Α2. Να δώσετε τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων. και Μονάδες 5

Transcript

1 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣΟΥ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΤΡΙΤΗ 9 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου x + y = ρ στο σημείο του A(x1,y1) έχει εξίσωση Μονάδες 10 Α. Να δώσετε τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων και Μονάδες 5 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας την κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Η ευθεία με εξίσωση x = x0 είναι παράλληλη στον άξονα x x. β. Αν (δηλαδή τα και είναι αντίρροπα) τότε γ. Η απόσταση των σημείων A(x1, y1 ), B(x, y ) δίνεται από τον τύπο (ΑΒ) = δ. Κάθε εξίσωση της μορφής παριστάνει πάντα ευθεία. ε. Αν δύο διανύσματα του επιπέδου τότε ισχύει:. ΘΕΜΑ Β Μονάδες 10 Δίνονται τα διανύσματα για τα οποία ισχύει ότι και. Δίνεται επίσης το διάνυσμα. Β1. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και είναι. Μονάδες 5 Β. Να αποδείξετε ότι το μέτρο του διανύσματος είναι. Β3. Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και. Μονάδες 8 Μονάδες 7

2 Β4. Να υπολογίσετε την γωνία των διανυσμάτων και. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ Δίνονται τα σημεία Α(3,4), Β(1,3) και Γ( 1, 7). Γ1. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ δεν είναι συνευθειακά. Μονάδες 5 Γ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο B και να βρείτε το εμβαδόν του. Μονάδες 10 Γ3. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΒΓ. Μονάδες 5 Γ4. Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Δ, ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι ορθογώνιο. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση, με και η παραβολή η οποία διέρχεται από το σημείο Α(-1, ). Δ1. Να αποδείξετε ότι η εστία της παραβολής είναι το σημείο Ε(-1, 0). Μονάδες 4 Δ. Να αποδείξετε ότι η παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του λ, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Μονάδες 8 Δ3. Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης ε της παραβολής στο σημείο Α. Μονάδες 4 Δ4. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η ευθεία ε του Δ3 ερωτήματος να είναι εφαπτόμενη του κύκλου. Μονάδες 9 Να απαντήσετε στην κόλλα σας σε όλα τα θέματα. Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ

3 ΘΔΜΑ Α ΠΡΟΑΓΩΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ B ΣΑΞΖ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ ΣΔΣΑΡΣΖ 6 ΗΟΤΝΗΟΤ Να απνδείμεηε όηη ε εθαπηνκέλε ε ηνπ θύθινπ C : x + y = ξ ζην ζεκείν ηνπ A(x 1,y 1 ) έρεη εμίζωζε xx 1 + yy 1 = ξ. Μονάδες 10. Τη νλνκάδεηαη γξακκηθόο ζπλδπαζκόο δύν δηαλπζκάηωλ,. Μονάδες 5 3. Να σαπακηηπίζεηε ηιρ πποηάζειρ πος ακολοςθούν γπάθονηαρ ζηην κόλλα ζαρ ηη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα ζηο γπάμμα πος ανηιζηοισεί ζε κάθε ππόηαζη. α. Αλ det (, ) είλαη ε νξίδνπζα ηωλ δηαλπζκάηωλ,, ηόηε ηζρύεη ε ηζνδπλακία: // det (, ) 1. β. Αλ θαη R ηόηε νπωζδήπνηε. γ. Γηα ην εζωηεξηθό γηλόκελν ηωλ 0 θαη v ηζρύεη: v v. δ. Η επζεία κε εμίζωζε Α x + B y + Γ = 0, με 0 ή 0, είλαη παξάιιειε ζην δηάλπζκα (, ). ε. Αλ 4 0 ε εμίζωζε x y Ax B y 0 παξηζηάλεη ΘΔΜΑ Β έλα κόλν ζεκείν. Γίλνληαη ηα ζεκεία Α(1, ), Β(3, 4) θαη Γ(-4, 7). Μονάδες 5x=10 1. Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Α, Β θαη Γ απνηεινύλ θνξπθέο ηξηγώλνπ. Μονάδες 6. Να απνδείμεηε όηη ην ηξίγωλν ΑΒΓ είλαη νξζνγώλην. Μονάδες 6 3. Να βξείηε ηελ εμίζωζε ηεο πιεπξάο ΒΓ. Μονάδες 6 4. Να βξείηε ην ζπκκεηξηθό ηνπ ζεκείνπ Β ωο πξνο ηελ επζεία ΑΓ. Μονάδες 7

4 ΘΔΜΑ Γ Γίλεηαη ε εμίζωζε x y 6x 4y 8 0 (1). 1. Να απνδείμεηε όηη ε (1) παξηζηάλεη θύθιν C ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα.. Να βξείηε ηελ εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ παξαπάλω θύθινπ ζην ζεκείν ηνπ Α(,0). 3. Να εμεηάζεηε ηε ζρεηηθή ζέζε ηεο επζείαο ε: yx ωο πξνο ηνλ θύθιν C. Μονάδες 8+9+8=5 ΘΔΜΑ Γ Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα θαη θαη ην θπξηό ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ κε,, Να απνδείμεηε όηη ην ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν.. Αλ ην ΑΒΓΓ είλαη ξόκβνο θαη 1 ηόηε : Μονάδες 6 α) Να απνδείμεηε όηη ηα, είλαη θάζεηα κεηαμύ ηνπο. β) Να βξεζεί ην κήθνο ηεο πιεπξάο ηνπ ξόκβνπ. γ) Να βξεζεί ην είδνο ηεο γωλίαο. Μονάδες 7+6+6=19

5 1 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΤΚΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΣΩΝ ΥΟΛ.ΕΣΟ ΟΠΡΟΠΟΤΛΟΤ ΓΙΑΝΝΙΣΑ ΕΞΕΣΑΕΙ ΜΑΪΟΤ-ΙΟΤΝΙΟΤ 01 ΘΕΜΑΣΑ ΣΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘ. ΓΙΑΝΝΙΣΑ ο ΘΕΜΑ: Α. η)γίλεηαη ην δηάλπζκα =(ρ,ς). Να απνδεηρζεί όηη ην κέηξν ηνπ δίλεηαη από ηελ ζρέζε. (10 κνλ) ηη) Να δώζεηε ηνλ νξηζκό ηεο έιιεηςεο κε εζηίεο Δ θαη Δ. (5 κνλ) Β) Να απαληήζεηε ζηηο παξαθάησ εξσηήζεηο Σσζηνύ-Λάζνπο: η) Ο θύθινο (ρ-1) + (ς-1) =1 είλαη ν κνλαδηαίνο. Σ Λ ( κνλ) ηη) Η εμίζσζε Αρ+(Α -1) ς+γ=0 παξηζηάλεη επζεία γηα θάζε ηηη) Αλ ηζρύεη a ηόηε // IR Σ Λ ( κνλ) Σ Λ ( κνλ) ηλ) Η απόζηαζε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ε επζεία ρ+ς=0 κε ηνλ ρ ρ είλαη 45 Ο. Σ Λ ( κνλ) λ) Η εμίζσζε ς =pρ έρεη άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ ς ς. Σ Λ ( κνλ) ο ΘΕΜΑ Γίλεηαη δηάλπζκα κε a =1 θαη κε = θαη (, ) η) Να βξεζεί ην ηη) Αλ ( ) 3 θαη ην. ηηη) Να δείμεηε όηη. = 3 λα γξαθεί ην σο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ (6 κνλ) θαη β θαζώο επίζεο λα βξεζεί (1 κνλ) (7 κνλ) 3 ο ΘΕΜΑ: Γίλεηαη ε εμίζσζε ρ - ς - 4ις - ιρ - 3ι = 0. η) λα δείμεηε όηη παξηζηάλεη δύν επζείεο πνπ ηέκλνληαη θάζεηα (13 κνλ) ηη) λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο ηνπο (1 κνλ) 4 ο ΘΕΜΑ: Γίλεηαη ε εμίζσζε ρ + ς -θρ - 4(θ+1)ς + 3θ + 14 = 0 (1) η) Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ θ R γηα ηηο νπνίεο ε (1) παξηζηάλεη εμίζσζε θύθινπ θαη λα βξεζνύλ ην θέληξν θαη ε αθηίλα ηνπ. ηη) Γηα ηηο παξαπάλσ ηηκέο ηνπ θ λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ ηηη) Αλ C ν θύθινο πνπ πξνθύπηεη γηα θ = θαη επζεία δ: ρ+ς=0, λα βξεζνύλ νη εθαπηόκελεο ηνπ θύθινπ C πνπ είλαη παξάιιειεο ζηελ επζεία δ. (9 κνλ) (9 κνλ) (7 κνλ) Ο ΓΙΔΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΔΙΣΗΓΗΤΔΣ

6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΜΑЇΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 01 1 ο Θέµα Α) Να γράψετε τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων α και β. (Μονάδες 7) Β) Να αποδείξετε ότι για δύο διανύσµατα α και β, µη παράλληλα µε τους άξονες x x και y y, µε αντίστοιχους συντελεστές διεύθυνσης λ 1 και λ ισχύει: α β λ1 λ = 1. (Μονάδες 8) Γ) Να γράψετε στην κόλλα απαντήσεων τον αριθµό κάθε µίας από τις παρακάτω προτάσεις και δίπλα τον χαρακτηρισµό ΣΩΣΤΟ αν η πρόταση είναι σωστή, ή ΛΑΘΟΣ αν η πρόταση είναι λάθος: 1) Αν α β= 0, τότε α= 0 ή β= 0. ) Για κάθε διάνυσµα α ισχύει α = α. 3) Η ευθεία x= 0 έχει συντελεστή διεύθυνσης 0. 4) Η εξίσωση x + y + Ax+ By+ Γ= 0 παριστάνει πάντα κύκλο. 5) Κάθε ευθεία του επιπέδου µπορεί να περιγραφεί από εξίσωση της µορφής: Αx+ Βy+ Γ= 0, µε Α 0 ή Β 0. (Μονάδες 10) ο Θέµα ίνονται τα σηµεία Α(,) και Β( 4,5 ). Να βρείτε: Α) την εξίσωση της ευθείας ε 1 που διέρχεται από τα σηµεία Α και Β, (Μονάδες 8) Β) την εξίσωση της ευθείας ε που είναι κάθετη στην ε 1 και τέµνει τον y y στο σηµείο Γ( 0,8 ), (Μονάδες 9) Γ) την απόσταση ΑΜ όπου Μ είναι το σηµείο τοµής των ευθειών ε 1 και ε. (Μονάδες 8)

7 3 ο Θέµα ίνονται τα διανύσµατα α, β και γ π για τα οποία ισχύουν α = 3, β =, ( α,β) = και α+ β γ= 0. 3 Α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόµενο α β. (Μονάδες 6) Β) Να βρείτε το µέτρο του διανύσµατος γ. (Μονάδες 6) Γ) Να αποδείξετε ότι τα διανύσµατα α και γ σχηµατίζουν οξεία γωνία. (Μονάδες 6) ) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τους θετικούς αριθµούς x, για τους οποίους ισχύει η σχέση: α+ xβ α xβ = 17. ( ) ( ) (Μονάδες 7) 4 ο Θέµα ίνεται η παραβολή C µε κορυφή Ο( 0,0 ), η οποία έχει άξονα συµµετρίας τον x x και διέρχεται από το σηµείο Α( 1, ). Να βρείτε: Α) την εξίσωση της παραβολής C, τις συντεταγµένες της εστίας της Ε και την εξίσωση της διευθετούσας της δ, (Μονάδες 6) Β) την εξίσωση της εφαπτοµένης ( ε ) της παραβολής C στο σηµείο της Α, (Μονάδες 6) Γ) την εξίσωση της εφαπτοµένης ( ζ ) της παραβολής, που είναι κάθετη στην ευθεία x+ 5 η : y=. (Μονάδες 7) ) την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σηµείο Α και εφάπτεται στην ευθεία ( η ). (Μονάδες 6) Οδηγίες: 1. Να απαντήσετε σε όλα τα θέµατα.. Όλες οι απαντήσεις να γραφούν στην κόλλα αναφοράς και όχι στην κόλλα των θεµάτων. 3. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας και στο αντίγραφο των θεµάτων. Ο Εισηγητής Νικολόπουλος Αθανάσιος

8 ΘΔΜΑΣΑ ΓΡΑΠΣΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΞΔΣΑΔΩΝ ΜΑΪΟΤ-ΙΟΤΝΙΟΤ 01 ΘΔΜΑ 1 0 Α.Έζησ ηα δηαλύζκαηα α (x1,ψ1) και β (x,ψ) κε 0 και x 0 x1 θαη κε ζπληειεζηέο α// β λ 1 λ δηεύζπλζεο ι 1 θαη ι αληίζηνηρα. Να απνδείμεηε ηελ ηζνδπλακία (μονάδες 5) Β. Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ αθνινπζνύλ, γξάθνληαο ζην ηεηξάδηό ζαο ηε ιέμε ωζηό ή Λάθος α β 1) Αλ α (χ1,ψ1), β (χ,ψ) ηόηε ζπλ (α,β) = α β ) Αλ Α(ρ 1,ς 1 ),Β(ρ,ς ) ηόηε ΑΒ (χ1 χ,ψ1 ψ) 3) Η εμίζσζε ρρ 1 +ςς 1 =ξ είλαη ε εμίζσζε ηεο εθαπηόκελεο επζείαο ηνπ θύθινπ ρ +ς =ξ ζην ζεκείν ηνπ Α(ρ 1,ς 1 ) 4) Αλ Α(ρ 1,ς 1 ),Β(ρ,ς ) ηόηε γηα ηελ επζεία πνπ πεξλά από ηα ΑΒ νξίδεηαη πάληνηε ζπληειεζηήο δηεύζπλζεο 5) Η εμίζσζε Αρ+Βς+Γ=0 εθθξάδεη επζεία αλ A 0 και Β 0 6) Η εμίζσζε (ρ-ρ 0 ) +(ς-ς 0 ) =ξ εθθξάδεη θύθιν γηα θάζε ξr 7) Η έιιεηςε είλαη ν Γεσκεηξηθόο Σόπνο ησλ ζεκείσλ ηνπ επηπέδνπ ησλ νπνίσλ ε απόιπηε ηηκή ηεο δηαθνξάο ησλ απνζηάζεσλ ηνπο από δπν ζεκεία Δ θαη Δ είλαη ζηαζεξή θαη κηθξόηεξε ηνπ (ΔΔ ). 8) Η ππεξβνιή α χ β ψ α β κε α 0,β 0 ζην ζεκείν ηεο Α(ρ 0,ς 0 ) έρεη εθαπηνκέλε κε εμίζσζε α χχ 0 β EΛΛΗΝΙΚΗ ΓΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΓΙΑ ΒΙΟΤ ΜΑΘΗΗ & ΘΡΗΚΔΤΜΑΣΩΝ ΠΔΡΙΦΔΡΔΙΑΚΗ Γ/ΝΗ Π/ΘΜΙΑ ΚΑΙ Γ/ΘΜΙΑ ΔΚΠ/Η ΑΝ. ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ - ΘΡΑΚΗ Γ/ΝΗ Γ/ΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠ/Η ΡΟΓΟΠΗ ΜΟΤΙΚΟ ΓΤΜΝΑΙΟ ΛΤΚΔΙΟ ΚΟΜΟΣΗΝΗ ψψ 0 α β 9) Η εθθεληξόηεηα κηαο έιιεηςεο δίλεηαη από ηνλ ηύπν ΧΟΛΙΚΟ ΔΣΟ : γ ε θαη ηζρύεη 0<ε<1 α ΣΑΞΗ : Β ΛΤΚΔΙΟΤ ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ : 9 ΜΑΪΟΤ 01 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΚΑΣΔΤΘ. ΔΙΗΓΗΣΔ : ΒΑΙΛΔΙΟ ΣΔΦΑΝΙΓΗ 10)Η παξαβνιή ρ =pς έρεη άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ άμνλα ρ ρ (μονάδες 10x = 0) ΘΔΜΑ 0 Γίλνληαη ηα ζεκεία Α(,3) θαη Β(4,1). i) Να δείμεηε όηη ε επζεία (ε) πνπ πεξλά από ηα ΑΒ έρεη εμίζσζε ρ+ς-5=0 (μονάδες 5) ii) Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε (δ) ηεο επζείαο πνπ είλαη θάζεηε ζηελ (ε) ζην κέζνλ Μ ηνπ ΑΒ έρεη εμίζσζε - ρ+ς+1=0 (μονάδες 5)

9 iii) Να βξείηε ην ζεκείν ηνκήο Γ ηεο επζείαο (δ) ηνπ ii) εξσηήκαηνο κε ηνλ άμνλα ρ ρ (μονάδες 5) iv) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη θέληξν ην ζεκείν Γ θαη εθάπηεηαη ζηελ επζεία (ε) ηνπ i) εξσηήκαηνο (μονάδες 10) ΘΔΜΑ 3 0 i) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε ηεο παξαβνιήο (C) πνπ έρεη άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ άμνλα ς ς θαη θνξπθή ηελ αξρή ησλ αμόλσλ Ο(0,0) θαη πεξλά από ην ζεκείν Α(,1) είλαη ς = 4 1 ρ (μονάδες 5) ii) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο παξαβνιήο (C) ηνπ πξνεγνπκέλνπ i) εξσηήκαηνο ζην ζεκείν Α (μονάδες 5) iii) Να βξείηε ην ζεκείν ηνκήο Β ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ ii) εξσηήκαηνο κε ηνλ άμνλα ρ ρ (μονάδες 5) iv) Να βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΟΑΒ. (μονάδες 10) ΘΔΜΑ 4 0 Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε AB, AΓ 3 θαη π Α θαη Μ ην κέζνλ ηεο ΒΓ 3 i) Να βξείηε ην εζσηεξηθό γηλόκελν AB AΓ (μονάδες 5) ii) Να εθθξάζεηε ην δηάλπζκα AM ζπλαξηήζεη ησλ ABθαη AΓ (μονάδες 5) iii) Να βξείηε ην AM (μονάδες 5) iv) Να βξείηε ην ζπλ AB, AM (μονάδες 10) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΦΙΑ Ο Διευθυντής Ο εισηγητής

10 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : ΘΕΜΑ 1 ο ΘΕΜΑΤΑ Α 1. Να αποδείξετε ότι η διανυσµατική ακτίνα του µέσου Μ ενός ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ είναι OA+OB ΟΜ = Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε σωστό (Σ) ή λάθος (Λ). i. a b= ba Σ Λ Μονάδες 13 ii. ab = 0 a b Σ Λ iii. a b ab= a b Σ Λ Α 3. Στις παρακάτω προτάσεις να σηµειώσετε τη σωστή απάντηση : Μονάδες 6 1.Η εφαπτοµένη της παραβολής y = px στο σηµείο της (x 1, y 1 ) (0, 0) έχει συντελεστή διεύθυνσης Α. λ = p y 1 Β. λ = p y 1 y Γ. λ = 1 y. λ = 1 p p Ε. λ = p. Για την εκκεντρότητα ε, µιας έλλειψης, ισχύει : Α. ε=1 Β. ε<1 Γ. ε>1. ε=0

11 3.Από τις παρακάτω ελλείψεις µε εστίες στον άξονα y y και κέντρο συµµετρίας την αρχή των αξόνων, έχει εστιακή απόσταση 6 η x Α. y + x = 1 Β. y + x = 1 Γ. y + = x. y + x = 1 Ε. y + = Μονάδες 6 ΘΕΜΑ ο ίνονται τα διανύσµατα α και β µε α =, β = και α, β =135 ο. Β 1. Να βρείτε το µέτρο του u = α+ β Μονάδες 9 Β. Να βρείτε το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων α και u Μονάδες 8 Β 3. Να βρείτε το συνηµίτονο της γωνίας των α και u Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 3 ο ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, µε κορυφές τα σηµεία Α(1,), Β(-1,-) και Γ(3,4). Γ 1. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου Γ. Να βρείτε την απόσταση της κορυφής Α, από την πλευρά ΒΓ Γ 3. Να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Μονάδες 10 Μονάδες 7 Μονάδες 8

12 ΘΕΜΑ 4 ο ίνεται η εξίσωση : x +y =µ(x-3y) (1), όπου µ R *. 1. Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο ( c ) για κάθε µ R *. Μονάδες 7. Να αποδείξετε ότι ο κύκλος (c ) διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Μονάδες 3 3. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που ορίζονται από την (1) Μονάδες 7 4. Να δείξετε ότι ο κύκλος (c ) εφάπτεται της ευθείας ( η ) : y= 1 3 x Μονάδες 5 5. Αν το τµήµα ΟΒ είναι διάµετρος κύκλου που ορίζεται από την ( 1 ) µε µ>0 και έχει µήκος 10, να βρείτε την εφαπτοµένη του κύκλου αυτού στο σηµείο Β Μονάδες 3 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Ο ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΨΑΡΡΟΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΙ ΗΣ

13 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΟΥΔΡΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ EΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ.. ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ:.. ΟΝΟΜΑ:.. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ : ΑΡΜΑΟΣ ΠΕΤΡΟΣ, ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ ΟΛΟΓΡΑΦΩΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΣ ΥΠΟΓΡΑΦΗ Εκατονταβάθμια κλίμακα Εικοσαβάθμια κλίμακα ΘΕΜΑ 1 ο Α. Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου C : x + y = ρ σε ένα σημείο του Α ( x, y ). Να αποδείξετε ότι η ε έχει εξίσωση : xx + yy = ρ Β. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: 1: Η ευθεία η οποία διέρχεται από το σημείο Α( x0, y 0) και είναι παράλληλη στον άξονα yy έχει εξίσωση y= y 0 : α β α β = 1 (Μονάδες: 15) 3: Η απόσταση των σημείων Α ( x1, y 1) και Β ( x, y ) του επιπέδου δίνεται από τον τύπο ΑΒ = ( x x ) + ( y y ) 1 1 4:Ο κύκλος με κέντρο το σημείο K( x, y ) και ακτίνα ρ, έχει εξίσωση = ρ x y + = 1 C :( x x ) y 5: Η έλλειψη με εξίσωση α β και α > β έχει εστίες τα σημεία Ε ( γ,0) και Ε( γ,0) (Μονάδες: 10)

14 ΘΕΜΑ ο Δίνονται τα σημεία Α ( 3,), Β(,4) και 7 Μ ( 1, ). Α. Αν το σημείο Μ είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες του σημείου Γ είναι Γ(0,3) (Μονάδες: 7) Β. Να αποδείξετε ότι οι συντ ε ταγμένες των διανυσμάτων α =ΑΒ και β =ΑΓ είναι α = (1,) και β = (3,1) (Μονάδες: 5) Γ. Να αποδείξετε ότι τα μέτρα των διανυσμάτων α και β είναι α = 5 και β = 10 (Μονάδες: 6) Δ. Να υπολογίσετε τη γωνία θ των διανυσμάτων α και β. (Μονάδες: 7) ΘΕΜΑ 3 ο Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οxy, δίνονται τα σημεία Α(4,0) και Β(0,4), η ευθεία ε που διέρχεται από τα σημεία Α και Β και η ευθεία δ που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και είναι κάθετη προς την ευθεία ε. Α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας ε είναι x+y=4. (Μονάδες: 6) Β. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας δ. (Μονάδες: 6) Γ. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Μ των ευθειών δ και ε. (Μονάδες: 6) Δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΜOΒ. (Μονάδες: 6)

15 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η εξίσωση ε : y = x 6. C:x + y 4x 4y+ 6=0 και η ευθεία Α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση C παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο Κ(,) και ακτίνα ρ=. (Μονάδες: 6) Β. Να υπολογίσετε την απόσταση d( Κ, ε ) του κέντρου του κύκλου από την ευθεία ε και να αποδείξετε ότι ευθεία και κύκλος δεν έχουν κοινά σημεία. (Μονάδες: 7) Γ. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α του κύκλου που είναι πλησιέστερα στην ευθεία ε. (Μονάδες: 8) Δ. Αν Ο(0,0) και Μ είναι τυχαίο σημείο του κύκλου, να αποδείξετε για την απόσταση (ΟΜ) ισχύει ( ΟΜ) 3. (Μονάδες: 4) ΝΑ ΕΧΕΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ ΑΡΜΑΟΣ ΠΕΤΡΟΣ

16 ΘΕΜΑ Α ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΜΦΙΛΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 6 ΙΟΥΝΙOY 01 EΞETΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Α 1. Αν a =( x 1, y 1 ) και =( x, y ) είναι δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου που x1 x y1 y σχηματίζουν γωνία θ να αποδείξετε ότι x y. x y 1 1 Α. Να δώσετε τον ορισμό του γινομένου ενός πραγματικού αριθμού λ 0 με το μη μηδενικό διάνυσμα a. ΜΟΝΑΔΕΣ 9 ΜΟΝΑΔΕΣ 6 Α 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Η εξίσωση x + y + Ax + By +Γ = 0 με Α +Β 4Γ >0 παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ (, -- ). β.η εφαπτομένη του κύκλου x +y = ρ στο σημείο του Α(x 1,y 1 ) έχει εξίσωση xy 1 +yx 1 =ρ. γ. Η εκκεντρότητα ε της έλλειψης είναι μικρότερη της μονάδας. δ. Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα έχουμε ε. Στην παραβολή x =py, η εξίσωση της διευθετούσας είναι x = p. ΜΟΝΑΔΕΣ 10 ΘΕΜΑ Β 0 Δίνονται τα διανύσματα a, και u a με 1 και (, ) 10 1 Β 1. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων a και είναι. ΜΟΝΑΔΕΣ 5 Β. Να αποδείξετε ότι το μέτρο του διανύσματος u είναι u 3 Β 3. Να υπολογίσετε την γωνία των διανυσμάτων a και u Β 4. Να βρείτε το λ αν a ( a ) ΜΟΝΑΔΕΣ 6 ΜΟΝΑΔΕΣ 9 ΜΟΝΑΔΕΣ 5

17 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η παραβολή C : y 1 px με εστία Ε και η ευθεία ε με εξίσωση ε: y=αx+ 1 a, α 0. Αν Μ(1,) είναι κοινό τους σημείο να αποδείξετε ότι: Γ1. Οι εξισώσεις της παραβολής C 1 και της ευθείας ε είναι C αντιστοίχως. Γ. Η ευθεία ε εφάπτεται της παραβολής στο σημείο Μ(1,). : y 4 1 x και ε: y=x+1 ΜΟΝΑΔΕΣ 6 ΜΟΝΑΔΕΣ 4 Γ3. α. Η κάθετη ευθεία ζ που φέρνουμε από την εστία Ε προς στην ευθεία ε και η ευθεία ε τέμνονται πάνω στον άξονα y y στο σημείο Ν(0,1) ΜΟΝΑΔΕΣ 8 β. Η απόσταση της εστίας της παραβολής από την ευθεία ε είναι d(e,ε)= ΜΟΝΑΔΕΣ 3 γ. Tο εμβαδόν του τριγώνου ΕΜΝ είναι (ΕΜΝ)=1 ΜΟΝΑΔΕΣ 4 ΘΕΜΑ Δ Δίνονται τα μη παράλληλα διανύσματα a και και η εξίσωση C: x y a x y (1) Δ1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο με ακτίνα ρ= Δ. Αν ο παραπάνω κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων και εφάπτεται της ευθείας ε: y= x+ 4 να αποδείξετε ότι: ΜΟΝΑΔΕΣ 9 α. Tα διανύσματα a και είναι κάθετα. β. ΜΟΝΑΔΕΣ 3 γ. Αν επιπλέον οι συντεταγμένες του a είναι a =( 1,- 3 ) τότε: ΜΟΝΑΔΕΣ 7 i. = ΜΟΝΑΔΕΣ ii. το κέντρο του κύκλου είναι το Κ(-,) και η ακτίνα του ρ=. ΜΟΝΑΔΕΣ Δ3. Αν οι συντεταγμένες των σημείων Μ(γ, δ) και Ν(κ, λ) επαληθεύουν την εξίσωση του παραπάνω κύκλου τότε: ( ) ( ) 4 ΜΟΝΑΔΕΣ Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤHΣ ΚΕΦΑΛΑΣ ΝΙΚΟΣ

18 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ 4 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : / 5 / 01 ΕΞΕΤΑΣΤΕΣ : ΑΝΔΡΕΑΔΕΛΛΗΣ Σ. ΒΟΥΛΓΑΡΕΛΗΣ Α. ΘΕΜΑ Α 1. Αποδείξτε ότι η εφαπτομένη του κύκλου x + y = ρ στο σημείο του Α (x 1, y 1 ) έχει εξίσωση xx 1 + yy 1 = ρ. (10 μονάδες). Έστω Ε και Ε δυο σημεία ενός επιπέδου. Τι ονομάζεται έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε και Ε. (5 μονάδες) 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) η εξίσωση x y 4 9 β) αν a, yy' τότε ισχύει γ) έλλειψη με εξίσωση x 1 παριστάνει υπερβολή a 1 ό 1 1 a y a 1 με α>β έχει εστίες στον άξονα ψψ. δ) Η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής x = py στο σημείο Μ 1 (x 1, y 1 ) είναι yy 1 = p (x + x 1 ). ε) Μια παραβολή με άξονα συμμετρίας τον άξονα y y έχει πάντα εξίσωση της μορφής x = ρy. (5χ=10 μονάδες) ΘΕΜΑ Β Δίνεται η εξίσωση, (1) όπου, μη μηδενικά διανύσματα και, Να βρεθεί το ώστε η (1) να σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία ω =45 0. Να βρεθεί το ώστε η (1) να διέρχεται από το σημείο Α(0,). (6μονάδες) (6μονάδες)

19 3. Αν =1 και = Να δειχθεί ότι. 1 (6μονάδες) Να βρείτε το μέτρο του (7μονάδες) ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η εξίσωση : (1) 0 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει δυο ευθείες 1 : και :. (1μονάδες). Να βρεθεί το α ώστε οι ευθείες 1, του προηγούμενου ερωτήματος να είναι κάθετες. (5μονάδες) 3. Για 1 να βρεθούν οι εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι 1, (8μονάδες) ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση : ( 8) 7 0 (1) 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό λ η (1) παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. (9 μονάδες). Να δείξετε ότι η γραμμή πάνω στην οποία κινούνται τα κέντρα αυτών των κύκλων είναι η ευθεία της οποίας να βρεθεί η εξίσωση. (6μονάδες) 3. Να δειχθεί ότι όλοι οι παραπάνω κύκλοι διέρχονται από δυο σταθερά σημεία, για κάθε πραγματικό αριθμό λ. (5μονάδες) 4. Θεωρούμε τον κύκλο που ορίζεται για λ=0. Να βρεθούν τα σημεία αυτού του κύκλου που απέχουν από την αρχή των αξόνων την ελάχιστη και την μεγίστη απόσταση αντίστοιχα. (5μονάδες) Ο Δ/ΝΤΗΣ ΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΕΣ Σ. ΑΝΔΡΕΑΔΕΛΛΗΣ Σ. ΑΝΔΡΕΑΔΕΛΛΗΣ Α. ΒΟΥΛΓΑΡΕΛΗΣ

20 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ Α) Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες (x,y) του διανύσματος με άκρα τα σημεία Α(x1,y1) και Β(x,y), δίνονται από τις σχέσεις : x=x-x1 και y=y-y1. (μονάδες 11) x y Β) Δίνεται η έλλειψη a 1 με α>β>0. Συμπληρώστε τις ισότητες: i. μήκος μεγάλου άξονα ΑΑ = (μονάδες 1) ii. μήκος μικρού άξονα ΒΒ = (μονάδες 1) iii.εστιακή απόσταση ΕΕ = (μονάδες 1) iv. εκκεντρότητα ε= (μονάδες 1) Γ) Χαρακτηρίστε τις προτάσεις που ακολουθούν ως Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ), γράφοντάς το δίπλα στον αριθμό της πρότασης στην κόλλα σας: α. Αν a xi y j, τότε a β. a (. ) (. ) για οποιαδήποτε διανύσματα,, γ. Αν τότε. 1 δ. Η ισοσκελής υπερβολή έχει ασύμπτωτες τις διχοτόμους των αξόνων. ε. Η απόσταση του σημείου Μ0(x0,y0) από την ευθεία ε: Αx+By+Γ=0 Ax0 By 0 δίνεται από τον τύπο d( M 0, ) (μονάδες χ5=10) i j ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η παραβολή y =4x. i. Να βρείτε την εστία Ε και τη διευθετούσα δ της παραβολής. (μονάδες 6) ii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της παραβολής στο σημείο της Α(κ,4). (μονάδες 6) iii. Να βρείτε τα σημεία τομής Β, Γ, Δ της (ε) με τους άξονες xx, yy και τη διευθετούσα δ αντίστοιχα. (μονάδες 6) iv. Να βρείτε το συν( EB, E) (μονάδες 7)

21 ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ύψος ΑΔ. Αν Β(-1,0), Δ(3,4) και 4 3 i. Nα αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες του Γ είναι οι (0,1). (μονάδες 7) ii. Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος ΒΓ. (μονάδες 6) iii. Να βρείτε την εξίσωση του ύψους ΑΔ. (μονάδες 6) iv. Αν Α(-1,8) να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. (μονάδες 6) ΘΕΜΑ 4 Ο A. Δίνεται η εξίσωση C: x +y -8x+6y-λ +5=0. i. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού λ, για τις οποίες η εξίσωση C παριστάνει κύκλο. (μονάδες 5) ii. Να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα R των κύκλων C. (μονάδες 5) B. Δίνεται η εξίσωση (εμ): x+y-1+μ(x-y-11)=0 i. Να δείξετε ότι για κάθε τιμή του πραγματικού μ, η (εμ) παριστάνει ευθεία γραμμή. (μονάδες 5) ii. Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες (εμ) διέρχονται από σταθερό σημείο, το οποίο είναι το κέντρο Κ των κύκλων του Α ερωτήματος. (μονάδες 5) iii. Έστω Α, Β τα σημεία τομής των ευθειών (εμ) με τους κύκλους C. Να υπολογίσετε το OA OB, όπου Ο η αρχή των αξόνων. (μονάδες 5) Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα με όποια σειρά θέλετε. Μυτιλήνη 6/6/01 Η ΔΝΤΡΙΑ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ ΤΣΟΥΠΙΔΗΣ Δ. ΑΝΝΑ ΚΟΥΡΑΣΑΝΗ - ΧΡΗΣΤΕΛΗ ΠΑΖΙΑΝΟΥ Ε. ΚΟΥΤΣΚΟΥΔΗΣ Π.

22 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΙΑΝΝΟΥ ΘΕΜΑΤΑ Γραπτών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαίου - Ιουνίου 01 στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα) Θέμα Α Α1. Αν (x 1, y 1), B(x,y) δύο σημεία του καρτεσιανού επιπέδου να δείξετε ότι οι συντεταγμένες του μέσου Μ x1 x y1 y του ΑΒ είναι M, (Μονάδες 7) Α. Τι ονομάζουμε γινόμενο ενός πραγματικού αριθμού λ με το διάνυσμα ; (Μονάδες 4) Α3. Τι ονομάζουμε έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε και Ε ; (Μονάδες 4) Α4. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή ( Σ) ή λανθασμένη (Λ) (Μονάδες x5) i) Το εσωτερικό γινόμενο δύο οποιονδήποτε διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους. ii) Για οποιοδήποτε μη μηδενικό διάνυσμα ισχύει v v. Ax By παριστάνει ευθεία γραμμή. iii) Εάν A 0 τότε η εξίσωση 0 x y iv) Η έλλειψη C : 1, με 0 E β,0,e' β,0 v) Η ευθεία που περνά από το σημείο A(, ) και είναι παράλληλη με τον x x έχει εξίσωση x=α. έχει εστίες Θέμα B Δίνονται τα σημεία Α(,-1), Β(5,3) και το διάνυσμα τέτοιο ώστε και,. Να βρείτε: 3 Β1. τις συντεταγμένες του διανύσματος. (Μονάδες 5) Β. το εσωτερικό γινόμενο (Μονάδες 5) Β3. το μέτρο του διανύσματος u. 5 (Μονάδες 8) Β4. τον πραγματικό αριθμό λ για τον οποίο τα διανύσματα και w (3, ) είναι συγγραμμικά. (Μονάδες 7) Θέμα Γ Δίνεται το σημείο Μ(5,0) και ο κύκλος C με εξίσωση C : x y 6x 7 0. Γ1. Να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ του κύκλου C. (Μονάδες 9) Γ. Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου C. (Μονάδες 6) Γ3. Από το σημείο Μ φέρνουμε τις δύο εφαπτόμενες στον κύκλο C και έστω Α, Β τα σημεία επαφής. Να βρείτε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων ΜΑ και ΜΒ. (Μονάδες 10) Θέμα Δ Δίνεται η παραβολή C με εξίσωση C : x 4y και το σημείο της Α(,1). Δ1. Να βρείτε την εστία Ε της παραβολής καθώς και την εξίσωση εφαπτομένης της στο Α. (Μονάδες 9) Δ. Έστω Β τυχαίο σημείο της παραβολής με τετμημένη xb. Από το Β φέρνουμε κάθετη προς την ευθεία ε: y= - 1 που την την τέμνει στο σημείο Γ. Αν η ΕΑ τέμνει την ΒΓ στο σημείο Δ (i) να δείξετε ότι ΒΔ=ΕΒ-ΕΑ. (Μονάδες 7) (ii) να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β ώστε το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΕ να γίνει ίσο με 3 τ.μ. (Μονάδες 9) Ο Διευθυντής Ο εισηγητής Αλέξανδρος Συγκελάκης

23 ÖÔØ ÈÖÓÛ ÜØ ÅÓÙ¹ÁÓÙÒÓÙ ¾¼½¾ ÌÜ ³ ÜØÞÑÒÓ ÅÑ ÅÑØ ÂØ ÌÕÒÓÐÓ ÃØÙÒ ÂÑ ½ ½º Æ ô Ø ØÓÒ ÓÖ Ñ ØÓÙ ÛØÖÓ ÒÓÑÒÓÙ α β Ó ÒÙ ÑØÛÒ α βº ¾º ËØ ÔÑÒ ÖÛØÑØ ÑÔÓÖØ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ø ÕÛÖ ÔÜ Ø ØÓ ÛØÖ ÒÑÒÓ ØÛÒ ÒÙ ÑØÛÒ α = (x 1,y 1 ) β = (x,y ) Ò α β = x 1 x +y 1 y µ Æ ÔÓÜØ ÓØ ( ) α β + γ = α β + α γ µ Æ ÔÓÜØ Ø Ò Ø α β ÕÓÙÒ ÙÒØÐ Ø ÙÒ λ 1,λ ÒØ ØÓÕÛ ØØ α β λ 1 λ = 1 ÅÓÒ ½º ¾º ½¼ ¾º ½¼ ÂÑ ¾ ÒØ ØÓ ÔÖÐÐÐÖÑÑÓ OAΓB ÔÓÙ O Ò ÖÕ ØÛÒ ÜÒÛÒº ³ ØÛ OA = α OB = βº ½º Æ ÔÓÜØ Ø α+ β + α β = α + β ¾º Ò ÔÔÐÓÒ ØÓ ØÖÛÒÓ OAB Ò ÔÐÙÖÓ Ñ ÔÐÙÖ 3 Ò ÔÓÜØ Ø α+ β = 3º ÅÓÒ ½º ½ ¾º ½¾ ÂÑ ÒÓÒØ Ü Û Ø Ñ A(1,0) B(3,0) x +y 4x λy +3 = 0 ½µ ½º Æ ÔÓÜØ Ø λ Ü Û ½µ ÔÖ ØÒ ÐÓº Æ Ö Ø ÙÒÖØ ØÓÙ λ ØÓ ÒØÖÓ ØÒ ØÒ ØÓÙº ¾º Æ ÔÓÜØ Ø λ Ó ÐÓ ½µ ÖÕØ Ô Ø A Bº º Æ ÔÓÜØ Ø λ Ó ÐÓ ÔÓÙ ÖÕØ Ô Ø A B Õ Ü Û Ø ÑÓÖ ½µ º º ØÓ ÑÓ M(p,q) Ò ÒÛ Ø Ø Ò ÐÓ Ø ÑÓÖ ½µº ÖØ ØÓ pqº º Æ ÜØ Ø Ò ÙÔÖÕ Ù ÔÓÙ Ò ØÑÒ ÒÒ Ô ØÓÙ ÐÓÙ ½µº ÅÓÒ ½º ¾º º º º ½

24 ÂÑ ÒÓÒØ Ø Ñ A(1,0) B(0, 1)º ½º Æ ÔÓÜØ Ø Ó ÛÑØÖ ØÔÓ ØÛÒ ÑÛÒ M Ø ÓÔÓ Õ MA + MB = 5 Ò ÐÓ C ØÓÙ ÓÔÓÓÙ Ò ÖØ ØÒ Ü Û ØÓ ÒØÖÓ K ØÒ ØÒ ρº ¾º Æ ÔÓÜØ Ø Ó ÛÑØÖ ØÔÓ ØÛÒ ÑÛÒ M Ø ÓÔÓ Õ Ò Ù ε Ø ÓÔÓ Ò ÖØ ØÒ Ü Û º º Æ ÔÓÜØ Ø Ù ε ÔØØ ØÓÒ ÐÓ Cº MA MB = 4 º ³ ØÛ P ÑØÐØ ÑÓ Ø εº ³ ØÛ ÑÓ T ØØÓÓ ô Ø KP րր KT KP KT = ρ Æ ÖØ ØÓÒ ÛÑØÖ ØÔÓ ØÓÙ T º ÅÓÒ ½º ¾º º º Æ ÔÒØ Ø Ð Ø Ñغ ÃÐ ÔØÙÕ Æº ËÑÖÒ ÌØÖØ ÁÓÙÒÓÙ ¾¼½¾ Ç ÙÙÒØ Ù ØÖØÓ ÓÒÒ Ç Ø ÆÐÓ ÅÙÖÓÒÒ Ð ÌÞÐÔ ¾