Μαθηµατικά για Πληροφορική
|
|
- Ὀδυσσεύς Αποστολίδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Μαθηµατικά για Πληροφορική 6ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 27/11/ /11/ / 55
2 Γενικό πλάνο 1 Ανάλυση αλγορίθµων 2 Συµβολισµοί O, Ω και Θ 3 Αναδροµικές εξισώσεις 27/11/ / 55
3 Είδη αλγορίθµων Αλγόριθµοι µε αρχή και τέλος, µε είσοδο και έξοδο 27/11/ / 55
4 Είδη αλγορίθµων Αλγόριθµοι µε αρχή και τέλος, µε είσοδο και έξοδο Ατέρµονες αλγόριθµοι (λειτουργικά συστήµατα, δοµές δεδοµένων, πρωτόκολλα ιαδικτύου). 27/11/ / 55
5 Είδη αλγορίθµων Αλγόριθµοι µε αρχή και τέλος, µε είσοδο και έξοδο Ατέρµονες αλγόριθµοι (λειτουργικά συστήµατα, δοµές δεδοµένων, πρωτόκολλα ιαδικτύου). Παράλληλοι, κατανεµηµένοι κλπ Εδώ ϑα µελετήσουµε µόνο το πρώτο είδος και ειδικά τον χρόνο εκτέλεσης των αλγορίθµων. 27/11/ / 55
6 Υποθέσεις και συµβάσεις Ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθµου (προγράµµατος) εξαρτάται από 27/11/ / 55
7 Υποθέσεις και συµβάσεις Ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθµου (προγράµµατος) εξαρτάται από την είσοδο (το πλήθος και είδος των δεδοµένων) 27/11/ / 55
8 Υποθέσεις και συµβάσεις Ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθµου (προγράµµατος) εξαρτάται από την είσοδο (το πλήθος και είδος των δεδοµένων) την γλώσσα προγραµµατισµού 27/11/ / 55
9 Υποθέσεις και συµβάσεις Ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθµου (προγράµµατος) εξαρτάται από την είσοδο (το πλήθος και είδος των δεδοµένων) την γλώσσα προγραµµατισµού τον επεξεργαστή 27/11/ / 55
10 Υποθέσεις και συµβάσεις Ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθµου (προγράµµατος) εξαρτάται από την είσοδο (το πλήθος και είδος των δεδοµένων) την γλώσσα προγραµµατισµού τον επεξεργαστή το υπολογιστικό περιβάλλον 27/11/ / 55
11 Υποθέσεις και συµβάσεις Ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθµου (προγράµµατος) εξαρτάται από την είσοδο (το πλήθος και είδος των δεδοµένων) την γλώσσα προγραµµατισµού τον επεξεργαστή το υπολογιστικό περιβάλλον... 27/11/ / 55
12 Υποθέσεις και συµβάσεις Ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθµου (προγράµµατος) εξαρτάται από την είσοδο (το πλήθος και είδος των δεδοµένων) την γλώσσα προγραµµατισµού τον επεξεργαστή το υπολογιστικό περιβάλλον... Για µια καλή ϑεωρία ανάλυσης αλγορίθµων πρέπει 27/11/ / 55
13 Υποθέσεις και συµβάσεις Ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθµου (προγράµµατος) εξαρτάται από την είσοδο (το πλήθος και είδος των δεδοµένων) την γλώσσα προγραµµατισµού τον επεξεργαστή το υπολογιστικό περιβάλλον... Για µια καλή ϑεωρία ανάλυσης αλγορίθµων πρέπει να ξεκαθαρίσουµε ποια χαρακτηριστικά της εισόδου επηρεάζουν τον χρόνο του αλγορίθµου 27/11/ / 55
14 Υποθέσεις και συµβάσεις Ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθµου (προγράµµατος) εξαρτάται από την είσοδο (το πλήθος και είδος των δεδοµένων) την γλώσσα προγραµµατισµού τον επεξεργαστή το υπολογιστικό περιβάλλον... Για µια καλή ϑεωρία ανάλυσης αλγορίθµων πρέπει να ξεκαθαρίσουµε ποια χαρακτηριστικά της εισόδου επηρεάζουν τον χρόνο του αλγορίθµου να εξαλείψουµε µε κάποιο τρόπο τους υπόλοιπους εξωγενείς παράγοντες 27/11/ / 55
15 Υποθέσεις και συµβάσεις Οι εξωγενείς παράγοντες επηρεάζουν κυρίως πολλαπλασιαστικά τον χρόνο εκτέλεσης. 27/11/ / 55
16 Υποθέσεις και συµβάσεις Οι εξωγενείς παράγοντες επηρεάζουν κυρίως πολλαπλασιαστικά τον χρόνο εκτέλεσης. Εκτέλεση σε υπολογιστή Χ: t 27/11/ / 55
17 Υποθέσεις και συµβάσεις Οι εξωγενείς παράγοντες επηρεάζουν κυρίως πολλαπλασιαστικά τον χρόνο εκτέλεσης. Εκτέλεση σε υπολογιστή Χ: t Εκτέλεση σε υπολογιστή Υ: αt 27/11/ / 55
18 Υποθέσεις και συµβάσεις Οι εξωγενείς παράγοντες επηρεάζουν κυρίως πολλαπλασιαστικά τον χρόνο εκτέλεσης. Εκτέλεση σε υπολογιστή Χ: t Εκτέλεση σε υπολογιστή Υ: αt Από τα χαρακτηριστικά της εισόδου, κρατάµε µόνο το µήκος της εισόδου. 27/11/ / 55
19 Υποθέσεις και συµβάσεις Οι εξωγενείς παράγοντες επηρεάζουν κυρίως πολλαπλασιαστικά τον χρόνο εκτέλεσης. Εκτέλεση σε υπολογιστή Χ: t Εκτέλεση σε υπολογιστή Υ: αt Από τα χαρακτηριστικά της εισόδου, κρατάµε µόνο το µήκος της εισόδου. Βασική παραδοχή: Ο χρόνος είναι συνάρτηση T(n) του µήκους n της εισόδου. 27/11/ / 55
20 Υποθέσεις και συµβάσεις Οι εξωγενείς παράγοντες επηρεάζουν κυρίως πολλαπλασιαστικά τον χρόνο εκτέλεσης. Εκτέλεση σε υπολογιστή Χ: t Εκτέλεση σε υπολογιστή Υ: αt Από τα χαρακτηριστικά της εισόδου, κρατάµε µόνο το µήκος της εισόδου. Βασική παραδοχή: Ο χρόνος είναι συνάρτηση T(n) του µήκους n της εισόδου. Ποιας εισόδου όµως αφού υπάρχουν 2 n είσοδοι µήκους n; 27/11/ / 55
21 Υποθέσεις και συµβάσεις Οι εξωγενείς παράγοντες επηρεάζουν κυρίως πολλαπλασιαστικά τον χρόνο εκτέλεσης. Εκτέλεση σε υπολογιστή Χ: t Εκτέλεση σε υπολογιστή Υ: αt Από τα χαρακτηριστικά της εισόδου, κρατάµε µόνο το µήκος της εισόδου. Βασική παραδοχή: Ο χρόνος είναι συνάρτηση T(n) του µήκους n της εισόδου. Ποιας εισόδου όµως αφού υπάρχουν 2 n είσοδοι µήκους n; Ανάλυση χειρότερης περίπτωσης (worst-case): T(n) είναι ο µεγαλύτερος µεταξύ των χρόνων των εισόδων µήκους n. 27/11/ / 55
22 Μήκος εισόδου ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Είσοδος µια συµβολοσειρά του αλφαβήτου {0, 1} : Μήκος της (δυαδικής) εισόδου είναι ο αριθµός των συµβόλων της εισόδου. 27/11/ / 55
23 Μήκος εισόδου ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Είσοδος µια συµβολοσειρά του αλφαβήτου {0, 1} : Μήκος της (δυαδικής) εισόδου είναι ο αριθµός των συµβόλων της εισόδου. Είσοδος µια συµβολοσειρά του αλφαβήτου {0, 1,..., 9} : Μήκος (δυαδικής) εισόδου = 4 τον αριθµό των συµβόλων της εισόδου. 27/11/ / 55
24 Μήκος εισόδου ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Είσοδος µια συµβολοσειρά του αλφαβήτου {0, 1} : Μήκος της (δυαδικής) εισόδου είναι ο αριθµός των συµβόλων της εισόδου. Είσοδος µια συµβολοσειρά του αλφαβήτου {0, 1,..., 9} : Μήκος (δυαδικής) εισόδου = 4 τον αριθµό των συµβόλων της εισόδου. Είσοδος ένας ϕυσικός αριθµός a : Μήκος log a log a. 27/11/ / 55
25 Μήκος εισόδου ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Είσοδος µια συµβολοσειρά του αλφαβήτου {0, 1} : Μήκος της (δυαδικής) εισόδου είναι ο αριθµός των συµβόλων της εισόδου. Είσοδος µια συµβολοσειρά του αλφαβήτου {0, 1,..., 9} : Μήκος (δυαδικής) εισόδου = 4 τον αριθµό των συµβόλων της εισόδου. Είσοδος ένας ϕυσικός αριθµός a : Μήκος log a log a. Είσοδος είναι µια ακολουθία a 1, a 2,..., a k ϕυσικών αριθµών: Μήκος περίπου log a 1 + log a log a k, αλλά πρέπει να λάβουµε υπόψη και τα κόµµατα. 27/11/ / 55
26 Μήκος εισόδου ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Είσοδος µια συµβολοσειρά του αλφαβήτου {0, 1} : Μήκος της (δυαδικής) εισόδου είναι ο αριθµός των συµβόλων της εισόδου. Είσοδος µια συµβολοσειρά του αλφαβήτου {0, 1,..., 9} : Μήκος (δυαδικής) εισόδου = 4 τον αριθµό των συµβόλων της εισόδου. Είσοδος ένας ϕυσικός αριθµός a : Μήκος log a log a. Είσοδος είναι µια ακολουθία a 1, a 2,..., a k ϕυσικών αριθµών: Μήκος περίπου log a 1 + log a log a k, αλλά πρέπει να λάβουµε υπόψη και τα κόµµατα. Είναι ϕανερό ότι ο καθορισµός του µήκους µιας εισόδου παρουσιάζει επιπλοκές και δυσκολίες. 27/11/ / 55
27 Συµβολισµός O Ορισµός Εστω συναρτήσεις f, g : N R. Θα λέµε ότι f(n) = O(g(n)) αν υπάρχουν σταθερές c, n 0 > 0 τέτοιες ώστε f(n) c g(n), n n 0. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ (f(n) = 10n + 7, g(n) = n, 10n + 7 = O(n)) Αρκεί να ϐρούµε τις δυο σταθερές c και n 0 του ορισµού και να επιβεβαιώσουµε τη σχέση f(n) c g(n). n 0 = 1 c = 17. Για n n 0 = 1, έχουµε f(n) = 10n n + 7n 17n = cn = cg(n). 27/11/ / 55
28 Συµβολισµός O Οταν f = O(g), λέµε πως η f είναι (τάξης) O(g(n)). Από τον ορισµό της, η τάξη δηλώνει µόνο άνω ϕράγµα, µπορεί να κρύβει µια σταθερά, κρύβει συµπεριφορά πεπερασµένου πλήθους όρων (για n < n 0 ). 27/11/ / 55
29 Συµβολισµός O Πρόταση Εστω p(n) ένα πολυώνυµο ϐαθµού k. Τότε p(n) = O(n k ). Απόδειξη. p(n) = c k n k + + c 1 n + c 0 ιαλέγουµε n 0 = 1 και c = c k + + c 1 + c 0 και έχουµε p(n) c k n k + + c 1 n + c 0 c k n k + + c 1 n + c 0 c k n k + + c 1 n + c 0 c k n k + + c 1 n k + c 0 n k = cn k. Γιατί δεν διαλέξαµε c = c k + + c 1 + c 0, χωρίς τις απόλυτες τιµές; 27/11/ / 55
30 Παράδειγµα: Παραγοντικό Πρόταση Για a > 0, a n = O(n!). Απόδειξη. Εστω a Z, ειδάλλως χρησιµοποίησε a. Θέτουµε c = a a, n 0 = a : n n 0 = a : ηλαδή, a n a a a n a a! a n c a a(a 1) 2 1 c n! }{{} n 27/11/ / 55
31 Τεχνικές Πώς αποδεικνύουµε ότι f(n) = O(g(n)); 27/11/ / 55
32 Τεχνικές Πώς αποδεικνύουµε ότι f(n) = O(g(n)); Βρίσκουµε κατάλληλα c και n 0. 27/11/ / 55
33 Τεχνικές Πώς αποδεικνύουµε ότι f(n) = O(g(n)); Βρίσκουµε κατάλληλα c και n 0. Για ϑετικές συναρτήσεις f(n) και g(n), δείχνουµε ότι το όριο f(n) lim n g(n) υπάρχει και είναι κάποια σταθερά (δεν είναι δηλαδή). 27/11/ / 55
34 Τεχνικές Πώς αποδεικνύουµε ότι f(n) = O(g(n)); Βρίσκουµε κατάλληλα c και n 0. Για ϑετικές συναρτήσεις f(n) και g(n), δείχνουµε ότι το όριο f(n) lim n g(n) υπάρχει και είναι κάποια σταθερά (δεν είναι δηλαδή). Πώς αποδεικνύουµε το αντίστροφο, δηλαδή ότι δεν ισχύει f(n) = O(g(n)); 27/11/ / 55
35 Τεχνικές Πώς αποδεικνύουµε ότι f(n) = O(g(n)); Βρίσκουµε κατάλληλα c και n 0. Για ϑετικές συναρτήσεις f(n) και g(n), δείχνουµε ότι το όριο f(n) lim n g(n) υπάρχει και είναι κάποια σταθερά (δεν είναι δηλαδή). Πώς αποδεικνύουµε το αντίστροφο, δηλαδή ότι δεν ισχύει f(n) = O(g(n)); είχνουµε µε απαγωγή σε άτοπο ότι δεν υπάρχουν κατάλληλα c και n 0. 27/11/ / 55
36 Τεχνικές Πώς αποδεικνύουµε ότι f(n) = O(g(n)); Βρίσκουµε κατάλληλα c και n 0. Για ϑετικές συναρτήσεις f(n) και g(n), δείχνουµε ότι το όριο f(n) lim n g(n) υπάρχει και είναι κάποια σταθερά (δεν είναι δηλαδή). Πώς αποδεικνύουµε το αντίστροφο, δηλαδή ότι δεν ισχύει f(n) = O(g(n)); είχνουµε µε απαγωγή σε άτοπο ότι δεν υπάρχουν κατάλληλα c και n 0. Για ϑετικές συναρτήσεις f(n) και g(n), δείχνουµε ότι το όριο υπάρχει και είναι. f(n) lim n g(n) 27/11/ / 55
37 Η τεχνική µε τα όρια Πρόταση f(n) Για ϑετικές συναρτήσεις f(n) και g(n), αν το όριο lim n g(n) υπάρχει και είναι κάποια σταθερά (δεν είναι δηλαδή), τότε f(n) = O(g(n)). Απόδειξη. f(n) Εστω a το όριο. Τι σηµαίνει ότι lim n g(n) = a? Οτι ǫ > 0, m ǫ τ.ώ. n m ǫ : f(n) a ǫ. g(n) Ας πάρουµε ǫ = a. Τότε για κάθε n m a : f(n) f(n) a a g(n) g(n) 2a. Αρκεί τώρα να πάρουµε n 0 = m a και c = 2a. 27/11/ / 55
38 Παράδειγµα Πρόταση Να δειχτεί ότι εν ισχύει n 2 = O(n). Απόδειξη. Με εις άτοπο απαγωγή: Εστω ότι υπήρχαν κατάλληλες σταθερές c και n 0. Ας ϑεωρήσουµε την τιµή n = max{n 0, c + 1}. Θα πρέπει να έχουµε n 2 cn. Ισοδύναµα n c, άτοπο. Εναλλακτική απόδειξη. Το υπάρχει και είναι. n 2 lim n n 27/11/ / 55
39 Παράδειγµα: λογάριθµοι Πρόταση Για ακεραίους a, b > 0 ισχύει πως (ln n) a = O(n b ). Απόδειξη. Χρησιµοποιούµε κανόνα L Hôpital: (ln n) a lim n n b = lim n a(ln n)a 1 n bn b 1 = lim n a(ln n) a 1 bn b = lim n a! b a n b = 0 27/11/ / 55
40 Σχέσεις του συµβολισµού O Πρόταση Αν f(n) = O(g(n)) και g(n) = O(h(n)) τοτε f(n) = O(h(n)) Πρόταση f 1 (n) + f 2 (n) = O(max{f 1 (n), f 2 (n)}) 27/11/ / 55
41 Ιεραρχία συναρτήσεων Υπερεκθετικές: 2 2n Εκθετικές: 2 n2 n n n! 3 n 2 n 2 Υποεκθετικές: n log n Πολυωνυµικές: n 2 n log n n Λογαριθµικές: log 2 n log n Υπολογαριθµικές: log log n Σταθερές 1 n n 27/11/ / 55
42 Συµβολισµός Ω Ορισµός Εστω f και g δυο συναρτήσεις από τους µη αρνητικούς ακέραιους στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Θα λέµε ότι f(n) = Ω(g(n)) αν υπάρχουν ϑετικές σταθερές c και n 0 τέτοιες ώστε f(n) c g(n) για κάθε n n 0. Ισοδύναµα, f(n) = Ω(g(n)) αν και µόνο αν g(n) = O(f(n)). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ (f(n) = 10n 7, g(n) = n, 10n 7 = Ω(n)) Αρκεί να ϐρούµε τις δυο σταθερές c και n 0 του ορισµού και να επιβεβαιώσουµε τη σχέση f(n) c g(n). n 0 = 1 c = 3 f(n) = 10n 7 10n 7n 3n = cn = cg(n). 27/11/ / 55
43 Συµβολισµός Θ Ορισµός Εστω f και g δυο συναρτήσεις από τους µη αρνητικούς ακέραιους στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Θα λέµε ότι f(n) = Θ(g(n)) αν f(n) = O(g(n)) και f(n) = Ω(g(n)). Πρόταση f(n) Αν το lim n g(n) υπάρχει και έχει τιµή λ τότε O(g(n)) αν λ = 0 f(n) = Θ(g(n)) αν 0 < λ < Ω(g(n)) αν λ = 27/11/ / 55
44 Συµβολισµός o Ορισµός Εστω f, g : N R. f(n) = o(g) σταθ.c > 0, σταθ.n 0 : 0 f(n) < c g(n), n n 0. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ισχύει 2n = o(n 2 ) αλλά n 2 /4 o(n 2 ). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Οι συµβολισµοί O( ) και o( ) εκφράζουν άνω ϕράγµατα, αλλά µόνον ο o( ) εκφράζει αυστηρό άνω ϕράγµα. f = o(g) f = O(g). f(n) = o(g(n)) lim n f(n)/g(n) = 0. 27/11/ / 55
45 Βασικές αναδροµικές εξισώσεις Στην ανάλυση αλγορίθµων χρειάζεται συχνά να ϐρούµε τη λύση ανδροµικών εξισώσεων. Τυπικές αναδροµικές εξισώσεις είναι οι εξής: T(n) = T(n 1) + n 27/11/ / 55
46 Βασικές αναδροµικές εξισώσεις Στην ανάλυση αλγορίθµων χρειάζεται συχνά να ϐρούµε τη λύση ανδροµικών εξισώσεων. Τυπικές αναδροµικές εξισώσεις είναι οι εξής: T(n) = T(n 1) + n T(n) = 2T( n 2 ) + n 27/11/ / 55
47 Βασικές αναδροµικές εξισώσεις Στην ανάλυση αλγορίθµων χρειάζεται συχνά να ϐρούµε τη λύση ανδροµικών εξισώσεων. Τυπικές αναδροµικές εξισώσεις είναι οι εξής: T(n) = T(n 1) + n T(n) = 2T( n 2 ) + n T(n) = T(n 1) + T(n 2) 27/11/ / 55
48 Τεχνικές επίλυσης αναδροµικών Για να λύσουµε µια αναδροµική χρησιµοποιούµε τις εξής τεχνικές: Μαντεύουµε την γενική λύση και την επιβεβαιώνουµε στα δεδοµένα. 27/11/ / 55
49 Τεχνικές επίλυσης αναδροµικών Για να λύσουµε µια αναδροµική χρησιµοποιούµε τις εξής τεχνικές: Μαντεύουµε την γενική λύση και την επιβεβαιώνουµε στα δεδοµένα. Την «ξεδιπλώνουµε», την γενικεύουµε και την επιβεβαιώνουµε µε χρήση επαγωγής. 27/11/ / 55
50 Τεχνικές επίλυσης αναδροµικών Για να λύσουµε µια αναδροµική χρησιµοποιούµε τις εξής τεχνικές: Μαντεύουµε την γενική λύση και την επιβεβαιώνουµε στα δεδοµένα. Την «ξεδιπλώνουµε», την γενικεύουµε και την επιβεβαιώνουµε µε χρήση επαγωγής. Αν αποτελεί περίπτωση γνωστής οικογένειας αναδροµικών εξισώσεων, χρησιµοποιούµε την γενικότερη λύση. 27/11/ / 55
51 Ξεδίπλωµα Ποια η λύση της αναδροµικής εξίσωσης T(n) = T(n 1) + n, µε T(1) = 1; 27/11/ / 55
52 Ξεδίπλωµα Ποια η λύση της αναδροµικής εξίσωσης T(n) = T(n 1) + n, µε T(1) = 1; T(n) = T(n 1) + n = T(n 2) + (n 1) + n = T(n 3) + (n 2) + (n 1) + n 27/11/ / 55
53 Ξεδίπλωµα Ποια η λύση της αναδροµικής εξίσωσης T(n) = T(n 1) + n, µε T(1) = 1; T(n) = T(n 1) + n = T(n 2) + (n 1) + n = T(n 3) + (n 2) + (n 1) + n Μαντεύουµε τη γενίκευση T(n) = T(n k) + (n k + 1) + + n, για κάθε k N. 27/11/ / 55
54 Ξεδίπλωµα Ποια η λύση της αναδροµικής εξίσωσης T(n) = T(n 1) + n, µε T(1) = 1; T(n) = T(n 1) + n = T(n 2) + (n 1) + n = T(n 3) + (n 2) + (n 1) + n Μαντεύουµε τη γενίκευση T(n) = T(n k) + (n k + 1) + + n, για κάθε k N. Αυτό το αποδεικνύουµε µε επαγωγή στο k. 27/11/ / 55
55 Ξεδίπλωµα Ποια η λύση της αναδροµικής εξίσωσης T(n) = T(n 1) + n, µε T(1) = 1; T(n) = T(n 1) + n = T(n 2) + (n 1) + n = T(n 3) + (n 2) + (n 1) + n Μαντεύουµε τη γενίκευση T(n) = T(n k) + (n k + 1) + + n, για κάθε k N. Αυτό το αποδεικνύουµε µε επαγωγή στο k. Και τώρα για k = n 1, έχουµε T(n) = T(1) n = n = n(n + 1)/2. 27/11/ / 55
56 Ξεδίπλωµα Ποια η λύση της αναδροµικής εξίσωσης T(n) = 3T(n 1) 2T(n 2), µε T(1) = 1 και T(2) = 2; 27/11/ / 55
57 Ξεδίπλωµα Ποια η λύση της αναδροµικής εξίσωσης T(n) = 3T(n 1) 2T(n 2), µε T(1) = 1 και T(2) = 2; T(n) = 3T(n 1) 2T(n 2) = 7T(n 2) 6T(n 3) = 15T(n 3) 14T(n 4) 27/11/ / 55
58 Ξεδίπλωµα Ποια η λύση της αναδροµικής εξίσωσης T(n) = 3T(n 1) 2T(n 2), µε T(1) = 1 και T(2) = 2; T(n) = 3T(n 1) 2T(n 2) = 7T(n 2) 6T(n 3) = 15T(n 3) 14T(n 4) Μαντεύουµε τη γενίκευση T(n) = (2 k 1)T(n k + 1) (2 k 2)T(n k), για κάθε k 2. 27/11/ / 55
59 Ξεδίπλωµα Ποια η λύση της αναδροµικής εξίσωσης T(n) = 3T(n 1) 2T(n 2), µε T(1) = 1 και T(2) = 2; T(n) = 3T(n 1) 2T(n 2) = 7T(n 2) 6T(n 3) = 15T(n 3) 14T(n 4) Μαντεύουµε τη γενίκευση T(n) = (2 k 1)T(n k + 1) (2 k 2)T(n k), για κάθε k 2. Αυτό το αποδεικνύουµε µε επαγωγή στο k. 27/11/ / 55
60 Ξεδίπλωµα Ποια η λύση της αναδροµικής εξίσωσης T(n) = 3T(n 1) 2T(n 2), µε T(1) = 1 και T(2) = 2; T(n) = 3T(n 1) 2T(n 2) = 7T(n 2) 6T(n 3) = 15T(n 3) 14T(n 4) Μαντεύουµε τη γενίκευση T(n) = (2 k 1)T(n k + 1) (2 k 2)T(n k), για κάθε k 2. Αυτό το αποδεικνύουµε µε επαγωγή στο k. Και τώρα για k = n 1, έχουµε T(n) = (2 n 1 1)T(2) (2 n 1 2)T(1) = 2 n 1. 27/11/ / 55
61 Master theorem Θεώρηµα (Βασικό ϑεώρηµα αναδροµικών συναρτήσεων) Τότε η T(n) ισούται µε: T(n) = at( n ) + f(n), a 1, b > 1. b 1 Θ(n log b a ), αν f(n) = o(n log b a ), 2 Θ(n log b a log k+1 n), αν k 0 : f(n) = Θ(n log b a log k n), 3 Θ(f(n)), αν f(n) = ω(n log b a ), και c < 1 : af( n ) cf(n), n 1. b 27/11/ / 55
62 Master theorem: Παραδείγµατα ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ T(n) = 8T(n/2) n 2. Θέτω a = 8, b = 2, log b a = 3 στην περίπτωση (1), άρα T(n) = Θ(n 3 ). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ T(n) = 2T(n/2) + 10n. Θέτω a = 2 = b, k = 0 στην περίπτωση (2), άρα T(n) = Θ(n log n). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ T(n) = 2T(n/2) + n 2. Θέτω a = 2 = b,ǫ = 1 στην περίπτωση (3), άρα T(n) = Θ(n 2 ). 27/11/ / 55
63 Master theorem: Αντιπαραδείγµατα ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ T(n) = 2 n T(n/2) + n n ΕΝ Λύνεται µε το Θεώρηµα διότι το a δεν είναι σταθερά. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ T(n) = 2T(n/2) + n/ log n. ΕΝ Λύνεται µε το Θεώρηµα διότι δεν σχετίζονται πολυωνυµικά τα f(n) και n log b a. 27/11/ / 55
64 Αριθµητικές συναρτήσεις Ορισµός Κάθε συναρτηση f : N R λέγεται αριθµητική. Οι αριθµητικές συναρτήσεις ορίζονται µε 4 τρόπους: κλειστός τύπος: a k = 3 k, k 0. αναδροµική σχέση: ακολουθία (1, 3, 9, 27,...). a k = 3a k 1, k 1, a 0 = 1. Γεννήτρια συνάρτηση: A(z) = 1 1 3z = 1 + 3z + 9z2 + 27z /11/ / 55
65 Παράδειγµα: Fibonacci ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Κλειστός τύπος [ (1 a k = 1 ) k+1 ( ) k+1 ] , k Αναδροµική εξίσωση { ak = a k 1 + a k 2, k 2, αναδροµική σχέση ή εξίσωση διαφορών a 0 = 1, a 1 = 1 συνοριακές συνθήκες Ακολουθία a = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...) Γεννήτρια συνάρτηση A(z) = 1 1 z z 2 = 1 + z + 2z2 + 3z 3 + 5z /11/ / 55
66 Επίλυση αναδροµικής εξίσωσης Αντιστοιχία µε διαφορικές εξισώσεις df dx = f f = aex : κλειστός τύπος x df dx = bf f = axb : a, b = σταθερές. ΕΝ υπάρχει γενικός αλγόριθµος για όλες τις αναδροµικές σχέσεις. Θα µελετήσουµε µόνο γραµµικές αναδροµικές σχέσεις µε σταθερούς συντελεστές. Π.χ. a r + a r 1 = 3r 2 r. ΟΧΙ: a 2 r + a r 1 = 5, r a r + a r 1 = 5. 27/11/ / 55
67 Γραµµική αναδροµική σχέση Ορισµός Μία γραµµική αναδροµική σχέση τάξης k µε σταθερούς συντελεστές είναι της µορφής: C 0 a r + C 1 a r C k a r k = f(r), όπου C i R σταθερές, i = 0,...,k, και C 0 C k 0. Θεώρηµα Για κάθε γραµµική αναδροµική σχέση τάξης k µε σταθερούς συντελεστές, k συνεχόµενες τιµές της ακολουθίας a i είναι αναγκαίες και επαρκείς ώστε να υπάρχει µοναδική πραγµατική λύση. ηλ. οι τιµές αυτές αποτελούν κατάλληλο σύνολο συνοριακών συνθηκών. 27/11/ / 55
68 Επάρκεια Λήµµα εδοµένων k συνεχόµενων τιµών a m k,..., a m 1! λύση a. Απόδειξη. C 0 a m = C 1 a m 1 C k a m k + f(m) C 0 0 = am = C 0 a m+1 = C 1 a m C k a m k+1 + f(m + 1) a m+1 =. C k a m k 1 = C 0 a m 1 C k 1 a m k + f(m 1) C k a m k 2 = C 0 a m 2 C k 1 a m k 1 + f(m 2) C k 0 am k 1 = a m k 2 =. 27/11/ / 55
69 Αναγκαιότητα k Λήµµα k τιµές είναι αναγκαίες. Απόδειξη. Αντιπαράδειγµα: k = 2. a r + a r 1 + a r 2 = 4, a 0 = 2 : Γενικά, έστω a 0 = t: t, 0, 4 t, t, 0, 4 t, t, 0,... t, 4 t, 0, t, 4 t, 0, t, 4 t,... t, t + 1, 3 2t, t, t + 1, 3 2t, t, t , 0, 2, 2, 0, 2, 2, 0,... 2, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 2,... 2, 5, 3, 2, 5, 3,... δεκτές λύσεις Αν δίνονται περισσότερες από k τιµές: ίσως δεν υπάρχει λύση, π.χ. a r + a r 1 + a r 2 = 4, a 0 = 2 = a 1 = a 2. δεκτές λύσεις 27/11/ / 55
70 Αναγκαιότητα συνέχειας Λήµµα k συνεχόµενες τιµές είναι αναγκαίες. Απόδειξη. k µη συνεχόµενες: αδύνατο, µοναδική λύση ή άπειρες λύσεις. [Liu, Ασκηση 10.8] a r a r 1 + a r 2 = 0 (!) a 0 = 1, a 2 = 0 : 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0... ( ) a 0 = 0, a 3 = 0 : 0, x, x, 0, x, x, 0, x, x, 0, x, x, 0... ( ) a 0 = 0, a 3 = 2 : 0, x, x, 2 (άτοπο) 27/11/ / 55
71 Μη γραµµικές σχέσεις µε σταθερούς συντελεστές Λήµµα Για µη γραµµικές σχέσεις, k συνεχόµενες τιµές δεν ορίζουν πάντα µοναδική λύση (στο R). Απόδειξη. Αντιπαράδειγµα: a 2 r + a r 1 = 5, a 0 = 1. Λύσεις: 1, 2, ± 3, 5 3,... και 1, 2, ± 7,... Λήµµα Για µη γραµµικές σχέσεις, k συνεχόµενες τιµές δεν ορίζουν πάντα λύση στο R. Απόδειξη. Αντιπαράδειγµα: 5ar 2 + 3a r 1 = 1, a 0 = 1. 2 Λύση: 1, ±i,... 5 a 1 R 27/11/ / 55
72 Γραµµικές σχέσεις τάξης k, µε σταθερούς συντελεστές C 0 a r + C 1 a r C k a r k = f(r). Θα δώσουµε αλγόριθµο για πολλές περιπτώσεις της f(r). Λήµµα Αρκεί να ϐρεθεί µία λύση µοναδική (λόγω ϑεωρήµατος). Πρόταση Η Ολική λύση ϑα είναι το άθροισµα h + p της Οµογενούς λύσης και της Ειδικής λύσης τ.ώ.: C 0 [h r + p r ] + + C k [h r k + p r k ] = f(r). Οµογενής λύση (homogeneous): h : C 0 h r + + C k h r k = 0. Ειδική λύση (particular): p : C 0 p r + + C k p r k = f(r). Οι σταθεροί συντελεστές της Οµογενούς επιλέγονται τ.ώ. η Ολική λύση να ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες. 27/11/ / 55
73 Οµογενής λύση Ορισµός Εστω η οµογενής εξίσωση διαφορών C 0 h r + + C k h r k = 0. Το χαρακτηριστικό της πολυώνυµο είναι φ(x) = C 0 x k + + C k 1 x + C k. Το φ(x) έχει k χαρακτηριστικές ϱίζες στο C, µετρώντας πολλαπλότητες (Θεµελιώδες ϑεώρηµα). 27/11/ / 55
74 Πολλαπλότητα Ορισµός Κάθε ρ C είναι ϱίζα της φ(x) µε πολλαπλότητα m ανν φ(x) = (x ρ) m φ 1 (x) : φ 1 (ρ) 0. Αν m = 1 η ϱίζα λέγεται απλή, αλλιώς (m > 1) λέγεται πολλαπλή. Εµείς ϑα ασχοληθούµε µόνο µε πραγµατικές ϱίζες ρ. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ φ(x) = x 2 2x + 1 = (x 1) 2. Πρόταση ρ ϱίζα πολλαπλότητας m φ (i) (ρ) = 0, i < m. 27/11/ / 55
75 k απλές πραγµατικές ϱίζες Πρόταση Αν η φ(x) = 0 έχει k απλές, άρα διαφορετικές, πραγµατικές (χαρακτηριστικές) ϱίζες ρ 1... ρ k R, τότε η Οµογενής λύση είναι h r = B 1 ρ r B kρ r k µε σταθερές B 1,...,B k 0 που ϑα οριστούν από τις συνοριακές συνθήκες. Απόδειξη. Για κάθε ϱίζα ρ i ισχύει πως C 0 B i ρ r i + + C k B i ρ r k i = 0, για κάποια σταθερά B i 0. Αρα η Οµογενής λύση «περιέχει» τον όρο B i ρ r i. Γενικότερα, ισχύει C 0 (B 1 ρ r B kρ r k ) + + C k(b 1 ρ r k 1 + B k ρ r k k ) = 0 και η πρόταση αποδεικνύεται. 27/11/ / 55
76 Παράδειγµα Fibonacci ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Εξίσωση διαφορών: a r a r 1 a r 2 = 0. Χαρακτηριστικό πολυώνυµο φ(x) = x 2 x 1 = 0 ρ i = 1± 1+4 ( ) r ( ) r. Οµογενής λύση h r = B 1 + B Οι σταθερές B 1, B 2 υπολογίζονται µε ϐάση τις δύο συνοριακές συνθήκες a 0 = a 1 = 1 27/11/ / 55
77 Πραγµατική ϱίζα πολλαπλότητας m, 1 m k Πρόταση Αν φ(x) = (x ρ) m τότε, για σταθερές B i 0, η Οµογενής λύση είναι Πόρισµα (Γενικό) h r = B 1 r m 1 ρ r + B 2 r m 2 ρ r + + B m ρ r. Αν η ρ R είναι χαρακτηριστική ϱίζα πολλαπλότητας m 1, τότε το παρακάτω άθροισµα προστίθεται στην Οµογενή λύση, για σταθερές B i 0: Απόδειξη Πρότασης. B 1 r m 1 ρ r + B 2 r m 2 ρ r + + B m ρ r. Αρκεί να δείξουµε πως, για κάθε j = 1,... m, η B j r m j ρ r προστίθεται στην Οµογενή λύση, δηλ.: C 0 B j r m j ρ r + C 1 B j (r 1) m j ρ r C k B j (r k) m j ρ r k = 0. 27/11/ / 55
78 Η r m i ρ r προστίθεται στην Οµογενή λύση (συνοπτικά) Λήµµα (i = m) Η ρ r προστίθεται στην Οµογενή λύση (όπως για την απλή ϱίζα). Λήµµα (i = m 1) Η r ρ r προστίθεται στην Οµογενή λύση. Απόδειξη. Η ρ είναι διπλή ϱίζα του F 0 (x) = φ(x) x r k άρα της παραγώγου του F 0 (x) = C 0 rx r 1 + C 1 (r 1)x r C k (r k)x r k 1 = 0. Συνεπώς είναι ϱίζα του F 1 (x) = F 0 (x) x, δηλ.: C 0 r ρ r + C 1 (r 1)ρ r C k (r k)ρ r k = 0. Λήµµα (i < m 1) Η r m i ρ r προστίθεται στην Οµογενή λύση (παρόµοια απόδειξη). 27/11/ / 55
79 Η r m i ρ r προστίθεται στην Οµογενή λύση (αναλυτικά) Ορισµός Εστω F 0 = φ x r k, F 1 = F 0 x = C 0rx r + + C k (r k)x r k. Γενικά F i = C 0 r i x r + + C k (r k) i x r k, F i+1 = F i x = C 0 r i+1 x r + + C k (r k) i+1 x r k. Λήµµα Εστω ρ ϱίζα της F i, πολλαπλότητας m i 2 η ρ είναι ϱίζα της F i+1, πολλαπλότητας m i 1. Απόδειξη. F i = (x ρ) m i G F i = (m i)(x ρ) m i 1 G + (x ρ) m i G F i x = (x ρ) m i 1 x [(m i)g + (x ρ)g ]. Πόρισµα Η h r = r m i ρ r είναι Οµογενής λύση για 1 i m. 27/11/ / 55
80 Παράδειγµα [Liu 10.3] ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ίδεται 4a r 20a r a r 2 4a r 3 = 0. φ(x) = 4x 3 20x x 4 = 4x 2 (x 4) 4x(x 4) + (x 4) = (x 4)(2x 1) 2 ( ) r ( ) r 1 1 Άρα, h r = B 1 r + B 2 + B 3 4 r, 2 2 για κάποιες σταθερές B 1, B 2, B 3. 27/11/ / 55
81 Ειδική λύση Υπολογισµός Ειδικής λύσης Θα εξετάσουµε ορισµένες περιπτώσεις όπου υπάρχει αλγόριθµος. ΕΝ υπάρχει γενικός αλγόριθµος. 27/11/ / 55
82 f(r) = πολυώνυµο(r) : φ(1) 0 Πρόταση Αν f(r) = F 1 r t + + F t r + F t+1, t 1, η Ειδική λύση είναι P 1 r t + + P t r + P t+1 και οι σταθερές P i υπολογίζονται µε αντικατάσταση. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ίδεται: a r + 5a r 1 + 6a r 2 = 3r 2. Ειδική λύση: p r = P 1 r 2 + P 2 r + P 3. Αντικατάσταση: 3r 2 = (P 1 r 2 + P 2 r + P 3 )+5[P 1 (r 1) 2 + P 2 (r 1)+P 3 ]+6[P 1 (r 2) 2 + P 2 (r 2)+P 3 ] 12P 1 r 2 + r(12p 2 34P 1 ) + (12P P 1 17P 2 ) = 3r 2 12P 1 = 3 12P 2 34P 1 = 0 12P P 1 17P 2 = 0 P 1 = 1/4 P 2 = 17/24 P 3 = 115/288 27/11/ / 55
83 f(r) = πολυώνυµο(r) β r : φ(β) 0 Πρόταση Αν f(r) = β r : φ(β) 0, τότε η Ειδική λύση είναι Pβ r, P =σταθερά. Γενικότερα, αν f(r) = (F 1 r t + + F t r + F t+1 )β r : φ(β) 0, τότε η Ειδική λύση είναι (P 1 r t + + P t r + P t+1 )β r, P i σταθερές. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ίδεται: a r + a r 1 = 3r 2 r : φ(2) = 2 r + 2 r 1 0. Ειδική λύση: p r = (P 1 r + P 2 )2 r. Αντικατάσταση: (P 1 r + P 2 )2 r + (P 1 (r 1) + P 2 )2 r 1 = 3r 2 r { 2(P 1 r + P 2 ) + [P 1 (r 1) + P } 2 ] = 3r { 2 } 2P 1 + P 1 = 6 (r) P1 = 2 2P 2 P 1 + P2 = 0 (1) P 2 = 2/3 27/11/ / 55
84 f(r) = πολυώνυµο(r) β r : φ(β) = 0 Πρόταση Αν f(r) = (F 1 r t F t r + F t+1 )β r : φ(β) = 0, µε πολλαπλότητα µ, τοτε η Ειδική λύση είναι, για κάποιες σταθερές P i, r µ ( P 1 r t + + P t r + P t+1 ) β r. Οι περιπτώσεις πολυωνύµων f(r), µε φ(1) = 0, ανάγονται στην περίπτωση της εκθετικής µε β = 1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ίδεται: a r = a r a r a r 1 = 7 1 r. φ = x 1 φ(1) = 0, µ = 1. Ειδική λύση: p r = r 1 (P) 1 r = rp, Αντικατάσταση: rp (r 1)P = 7 P = 7. Προσοχή: Αν αγνοήσω το β r, δηλ. ϑεωρήσω f(r) = 7 = F 1 (πολυώνυµο), τότε p r = P P = P + 7 (Λάθος). 27/11/ / 55
85 Παράδειγµα [Liu,10.10] ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ίδεται a r 2a r 1 + a r 2 = 7 1 r. β = 1 και φ = x 2 2x + 1 = (x 1) 2 φ(β) = 0 µε πολλαπλότητα µ = 2. Ειδική λύση: p r = r 2 P 1 r. Αντικατάσταση r 2 P 2(r 1) 2 P + (r 2) 2 P = 7 r 2 : P 2P + P = 0 r : 4P 4P = 0 P = : 2P + 4P = 7 27/11/ / 55
86 f(r) = πολυώνυµο + εκθετική Πρόταση Αν f(r) = πολυώνυµο + εκθετική, τότε η Ειδική λύση είναι άθροισµα των δύο Ειδικών λύσεων. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ίδεται: a r 5a r 1 + 6a r 2 = 2 r + r. φ(x) = x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3), ϱίζα = 2, µε πολλαπλότητα µ = 1. Ειδική λύση: p r = rp 1 2 r + (P 2 r + P 3 ). Αντικατάσταση: (rp 1 2 r + P 2 r + P 3 ) 5[(r 1)P 1 2 r 1 + P 2 (r 1) + P 3 ]+ +6[(r 2)P 1 2 r 2 + P 2 (r 2) + P 3 ] = 2 r + r 2 r 2 [4rP 1 10(r 1)P 1 + 6(r 2)P 1 ] = 2 r P 1 = 2 r[p 2 5P 2 + 6P 2 ] = r P 2 = 1/2 P 3 + 5P 2 5P 3 12P 2 + 6P 3 = 0 P 3 = 7/4 27/11/ / 55
87 Ειδικές λύσεις: αθροισµα Πρόταση Οι περιπτώσεις που εξετάσαµε γενικεύονται στην εξης περίπτωση: f(r) = πολυώνυµο(r) β r + πολυώνυµο (r) γ r, όπου µπορεί τα πολυώνυµα να είναι σταθερά (και ίσα µε τη µονάδα ή το µηδέν) και τα β,γ R δύναται να είναι µονάδες. Ελέγχουµε αν τα β,γ είναι χαρακτηριστικές ϱίζες. Υπολογίζουµε δύο κατάλληλες ειδικές λύσεις και τις προσθέτουµε. 27/11/ / 55
88 Ολικές λύσεις Ολική λύση = Οµογενής λύση + Ειδική λύση. Προσδιορισµός συντελεστών οµογενούς λύσεως µέσω k συνεχόµενων συνοριακών συνθηκών. Ο προσδιορισµός ανάγεται σε k k γραµµικό σύστηµα το οποίο (αποδεικνύεται πως) έχει µοναδική λύση. 27/11/ / 55
89 Ολικές λύσεις a r = B 1 a r 1 + B 2 a r B k a r k + p(r) }{{}}{{} οµογενής ειδική k γραµµικές εξισώσεις µε αγνώστους B 1,..., B k a r0 = B 1 a r0 1 + B 2a r B ka r0 k + p(r 0) a r0+1 = B 1 a r B 2 a r B k a r0+1 k + p(r 0 + 1). a r0+k 1 = B 1 a r0+k B 2 a r0+k B k a r0+k 1 k + p(r 0 + k 1) 27/11/ / 55
90 Ολικές λύσεις Λύνοντας το προηγούµενο σύστηµα προσδιορίζουµε τους σταθερούς συντελεστές B 1,, B k. Καταλήξαµε σε µία Ολική λύση a r η οποία ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες. Από προηγούµενο Θεώρηµα, αυτή η λύση είναι µοναδική. 27/11/ / 55
91 Παράδειγµα ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ a r + 5a r 1 + 6a r 2 = 42 4 r a 2 = 278, a 3 = 962 Ολική λύση a r = B 1 ( 2) r + B 2 ( 3) r r { } { } 278 = 4B1 + 9B B1 = 1 = = 962 = 8B 1 27B B 2 = 2 a r = ( 2) r + 2( 3) r r 27/11/ / 55
92 Fibonacci ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ a r a r 1 a r 2 = 0, a 0 = a 1 = 1 Οµογενής: h r = B 1 ( ) r + B 2 ( ) r Ειδική λύση: p r = P : P P P = 0 P = 0, όπου φ(1) 0. Ολική λύση: = h r + 0 : 1 = a 0 = B 1 + B = a 1 = B 1 + B } = B 1 = B 2 = } Αρα [ (1 a r = 1 ) r+1 ( ) r+1 ] , r /11/ / 55
1 Ανάλυση αλγορίθµων. 2 Συµβολισµοί O, Ω και Θ. 3 Αναδροµικές εξισώσεις
Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 6ο Μάθηµα 1 Ανάλυση αλγορίθµων Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης 2 Συµβολισµοί O, Ω και Θ Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 27/11/2008 3
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά [Rosen, κεφ. 3] Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών, ΕΚΠΑ Οκτώβριος 2018
Διακριτά Μαθηματικά [Rosen, κεφ. 3] Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών, ΕΚΠΑ Οκτώβριος 2018 Αλγόριθμοι Ρυθμός αύξησης συναρτήσεων [Rosen 3.2] Αριθμητικές συναρτήσεις Τάξη αριθμητικών συναρτήσεων
Διαβάστε περισσότεραΟρισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R. η f(n) είναι fi( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C 1, C 2 και n 0, τέτοιες ώστε:
Συµβολισµός Ω( ) Τάξη των Συναρτήσεων () Εκτίµηση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R η f(n) είναι Ω( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C
Διαβάστε περισσότεραΑνω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Παράδειγµα (1/2) O( g(n) ) είναι σύνολο συναρτήσεων:
Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f(n) είναι O( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C και n
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 2: Ασυμπτωτικός συμβολισμός Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3)
Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3) 3.1 Ασυμπτωτικός συμβολισμός (Ι) Οι ορισμοί που ακολουθούν μας επιτρέπουν να επιχειρηματολογούμε με ακρίβεια για την ασυμπτωτική συμπεριφορά. Οι f(n) και g(n) συμβολίζουν
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Γιάννης Εμίρης. Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών ΕΚΠΑ. Οκτώβριος
ΔιακριτάΜαθηματικά Γιάννης Εμίρης http://eclass.uoa.gr/ Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών ΕΚΠΑ Οκτώβριος 2016 Διακριτά Μαθηματικά Αλγόριθμοι Ρυθμόςαύξησηςσυναρτήσεων[Rosen 3.2] Διακριτά Μαθηματικά Ορισμοί
Διαβάστε περισσότεραa n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά για Πληροφορική
Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 14/10/2008 1 / 24 Γενικό πλάνο 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής
Διαβάστε περισσότερα- εξίσωση που εκφράζει τον n-οστό όρο a n της ακολουθίας, - µέσω ενός ή περισσότερων όρων από τους a 0, a 1,..., a n 1, - για κάθε n n 0, όπου n 0 N.
Αναδροµικές Σχέσεις Αναδροµικές Σχέσεις Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµική Σχέση για την ακολουθία a n } είναι: - εξίσωση που εκφράζει τον n-οστό
Διαβάστε περισσότεραΓενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα
Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής 2 Ορισµός δοµικής
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγµατα. Τάξη των Συναρτήσεων (1) Παράδειγµα (2) Να δειχθεί ότι 7n 2 = O(n 3 ). Ορέστης Τελέλης
Τάξη των Συναρτήσεων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 1. Να δειχθεί ότι 7n 2 = O(n 3 ) 2. Να δειχθεί ότι η n 2 δεν είναι O(n). 3. Αληθεύει ότι n 3 =
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότερα(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου, Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 (Παρουσίαση 6) 1 / 20 Ρυθμοί αύξησης Γραμμικός ρυθμός αύξησης: n, 2n, Πολυωνυμικός
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων
Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (4) Μεθοδολογία αναδρομικών σχέσεων (Ι) Με επανάληψη της αναδρομής Έστω όπου r και a είναι σταθερές. Βρίσκουμε τη σχέση που εκφράζει την T(n) συναρτήσει της T(n-) την T(n)
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθµου Α: Ποσότητα υπολογιστικών πόρων που απαιτεί Α ως αύξουσα συνάρτηση µεγέθους στιγµιότυπου εισόδου. Χρόνος, µνήµη, επεξεργαστές, επικοινωνία,
Διαβάστε περισσότερα(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες:. Φωτάκης. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΑρχή Εγκλεισµού-Αποκλεισµού (3 σύνολα) Αρχή Εκλεισµού-Αποκλεισµού Η Τάξη των Συναρτήσεων. Εφαρµογές. Παράδειγµα 1.
Αρχή Εγκλεισµού-Αποκλεισµού (3 σύνολα) Αρχή Εκλεισµού-Αποκλεισµού Η Τάξη των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.g Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς A B C = A + B + C A B B C A C +
Διαβάστε περισσότεραΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2. Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2 Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Εµπειρική ανάλυση αλγορίθµων Μαθηµατική ανάλυση αλγορίθµων Αύξηση συναρτήσεων Συµβολισµός µεγάλου όµικρον Παραδείγµατα
Διαβάστε περισσότερα(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότερα4 Συνέχεια συνάρτησης
4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...
KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραρυθιμός αύξησης συναρτήσεων
ρυθμός αύξησης συναρτήσεων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα Ασυμπτωτικός συμβολισμός Καθιερωμένοι συμβολισμοί και συνήθεις συναρτήσεις 2 ασυμπτωτική πολυπλοκότητα Πολυπλοκότητα χειρότερης περίπτωσης Συγχωνευτική
Διαβάστε περισσότεραοµές εδοµένων 3 ο Εξάµηνο Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ
Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 εδοµένα Σύνολο από πληροφορίες που πρέπει να αποθηκευτούν σε έναν υπολογιστή Υπολογιστικό Μοντέλο ένας επεξεργαστής και µεγάλος
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 4: Αναδρομικές σχέσεις και ανάλυση αλγορίθμων Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δημήτρης Φωτάκης (λίγες προσθήκες: Άρης Παγουρτζής) Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρια Αριθµων Προβληµατα
Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας
Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 1 / 16 «Ζέσταµα» Να γράψετε τις συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότερα4 Συνέχεια συνάρτησης
4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη
Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθμου Α: Ποσότητα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ
ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας
Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207 Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΗΥ240: οµές εδοµένων. ιδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2
ΗΥ240: οµές εδοµένων ιδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου Υποχρεωτικό Μάθηµα 2ου έτους Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Κρήτης Ενότητα 1 Εισαγωγή ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2 Εισαγωγικά Θέµατα Αντικείµενο
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΔιαίρει-και-Βασίλευε. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 2
Διαίρει-και-Βασίλευε Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 2 Διαίρει-και-Βασίλευε Γενική µέθοδος σχεδιασµού αλγορίθµων: Διαίρεση σε ( 2) υποπροβλήµατα (σηµαντικά) µικρότερου µεγέθους.
Διαβάστε περισσότερα3 Αναδροµή και Επαγωγή
3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα
Διαβάστε περισσότεραΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ
ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ανάλυση Αλγορίθμων Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ανάλυση Αλγορίθμων Η ανάλυση αλγορίθμων περιλαμβάνει τη διερεύνηση του τρόπου
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς
Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 17 Υπενθύµιση: Ακολουθίες Ακολουθία είναι συνάρτηση από
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.
Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση
Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001
Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Έστω η πολυωνυµική εξίσωση α ν x ν + α ν- x ν- +... + α x + α 0 0, µε ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης,
Διαβάστε περισσότεραΗΥ240: οµές εδοµένων
ΗΥ240: οµές εδοµένων ιδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου Υποχρεωτικό Μάθηµα 2ου έτους Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Κρήτης Ενότητα 1 Εισαγωγή ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2 Εισαγωγικά Θέµατα Αντικείµενο
Διαβάστε περισσότερατη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n
Διαβάστε περισσότερα(a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2, b 1 b 2 ).
ΕΜ0 - Διακριτά Μαθηματικά Ιανουαρίου 006 Άσκηση - Λύσεις Πρόβλημα [0 μονάδες] Εστω L και L δύο κυκλώματα σε ένα γράφημα G. Εστω a μία ακμή που ανήκει και στο L και στο L και έστω b μία ακμή που ανήκει
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 3: Ασυμπτωτικός συμβολισμός Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις
Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου
Διαβάστε περισσότεραf(t) = (1 t)a + tb. f(n) =
Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΑριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης
Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) 1. α 0. Η παράσταση. Τα αποτελέσµατα σχετικά µε τις ρίζες της εξίσωσης συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα: Αν = 0
IΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Εξίσωση β βαθµού λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α, β, γ R µε α Η παράσταση α = β 4αγ λέγεται διακρίνουσα της εξίσωσης Τα αποτελέσµατα σχετικά µε τις ρίζες της
Διαβάστε περισσότεραΔ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ
ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α
Διαβάστε περισσότεραA2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ
A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία
Διαβάστε περισσότεραP(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!
Διακριτά Μαθηματικά Σύνοψη Θεωρίας Τυπολόγιο Αναστασία Κόλλια 20/11/2016 1 / 55 Κανόνες γινομένου και αθροίσματος Κανόνας αθροίσματος: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων Ενότητα 2
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Θέματα Απόδοσης Απόστολος Παπαδόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑπλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες
Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ
ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4 Η συνάρτηση δ ( και η παράγωγός της Ορίζεται ως εξής: δ ( ανωµαλο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Σε αυτή την άσκηση καλείστε να αναλύσετε και να υπολογίσετε το
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.
Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε
Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε 1. Να αποδειχθεί ότι κάθε ϑετικός ακέραιος αριθµός n 6, µπορεί να γραφεί στη µορφή όπου οι a, b, c είναι ϑετικοί ακέραιοι. n = a + b c,. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο
Διαβάστε περισσότερα1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγόριθμους. Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας
Εισαγωγή στους Αλγόριθμους Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr 1 Περιεχόμενα Μαθήματος Εισαγωγή στου Αλγόριθμους Πολυπλοκότητα Αλγορίθμων Ασυμπτωτική Ανάλυση Θεωρία Γράφων Κλάσεις Πολυπλοκότητας
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ)
ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ) A. Εύρεση Πεδίου Τιµών Συναρτήσεων ίνεται η συνάρτηση h, h ( ) = 4+, [ 1,4] Να βρεθεί το πεδίο τιµών της συνάρτησης. Η λογική για
Διαβάστε περισσότερα2 Αποδείξεις. 2.1 Εξαντλητική µέθοδος. Εκδοση 2005/03/22. Υπάρχουν πολλών ειδών αποδείξεις. Εδώ ϑα δούµε τις πιο κοινές:
2 Αποδείξεις Υπάρχουν πολλών ειδών αποδείξεις. Εδώ ϑα δούµε τις πιο κοινές: Εκδοση 2005/03/22 Εξαντλητική µέθοδος ή µέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβληµα έχει πεπερασµένες αριθµό περιπτώσεων τις εξετάζουµε
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)
1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της
Διαβάστε περισσότερα). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές
Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.
Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 13: Αλγόριθμοι-Μεγάλων ακεραίων- Εκθετοποίηση- Πολλαπλασιασμός πινάκων -Strassen Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑθ.Κεχαγιας. ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ v Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας. Απριλιος 2018
Σηµειωσεις : ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ v.. Θ. Κεχαγιας Απριλιος 8 Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Οριο και Συνεχεια Παραγωγος 4 3 Λογαριθµικες και Εκθετικες Συναρτησεις 44 4 Τριγωνοµετρικες Συναρτησεις
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερατα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 94 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ
Διαβάστε περισσότερα10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
SECTION 0 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. Ορισµοί Συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ Ε) καλείται µια εξίσωση της µορφής f [y (n), y (n ),..., y'', y', y, x] 0 όπου y', y'',..., y (n ), y (n) είναι οι παράγωγοι
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 23 Μαρτίου 2017 1 / 20 Επιλογή Το πρόβληµα
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι
Διαβάστε περισσότερα