הרצאה 3 קומבינטוריקה נוסחת ניוטון משפט מולטינומי. + t עבור ( ) + t

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "הרצאה 3 קומבינטוריקה נוסחת ניוטון משפט מולטינומי. + t עבור ( ) + t"

Transcript

1 ROBABILITY AND STATISTIS הסתברות וסטטיסטיקה יוג'ין מאת קנציפר Eugee Kazieper All rights reserved 5/6 כל הזכויות שמורות 5/6 הרצאה קומבינטוריקה עצרת של מספר ופונקצית גאמא עקרון הכפל סידורים ובחירות תמורות חליפות צירופים נוסחת ניוטון משפט מולטינומי קומבינטוריקה עוסקת בסוגים שונים של סידורים סידורים או בחירות מכילה עצרת של מספר ובחירות בהרבה מקרים התוצאה עבור מספר עצרת של מספר ופונקצית גאמא מוגדרת עבור מספרים שלמים חיוביים,,,, ב-! מסומנת! הגדרה D עצרת של מספר [factorial] ונתונה על ידי הנוסחא α פונקצית עצרת היא מקרה פרטי של פונקצית גאמא [Gamma] המוגדרת על ידי האינטגרל: α Γ ( α + ) dt α > t e α t כאן, הוא מספר ממשי שנמצא בתחום מתקיים: עבור שלמים (כולל אפס) ( )! Γ + t () dt e! Γ α כתוצאה, α ( α + ) αγ( α ) Γ שאלה L הוכח/הוכיחי את הנוסחא עבור כל Γ ( α + ) dt t e α t פתרון נתחיל מהגדרה ונבצע את האינטגרציה בחלקים פעם אחת נקבל: Γ α t α t α t α t ( α + ) dt t e t de t e α dt t e αγ( α ) סוף הוכחה Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author L-

2 Γ π שאלה L הוכח/הוכיחי כי I Γ Γ I dxdy נקבל: I I + t dx e ρdρdθ π / dt x dt e t t e α t : t x dx e α t dt e t פתרון על פי ההגדרה, בואו נבצע החלפת משתנה האינטגרציה x ( x + y ) dx dy e x ρ siθ ו x ρ cosθ : I ונחשב I במקום בקואורדינטות פולריות כך ש ρ ρ θ ρ ρ π d d e dρ ρe π { π / Γ I π / כתוצאה, סוף הוכחה עקרון הכפל בניסוח הראשון, עקרון הכפל מאפשר חישוב מספר התוצאות האפשריות בניסוי רב שלבי: מספר התוצאות האפשריות בניסוי רב שלבי אחד משלבי הניסוי כלומר, אם ניסוי מתבצע ב ניתן על ידי מכפלת מספרי התוצאות האפשריות בכל שלבים בזה אחר זה כאשר: בשלב הראשון ישנן בשלב השני ישנן, בשלב ה האחרון ישנן תוצאות אפשריות, תוצאות אפשריות, תוצאות אפשריות, N אזי מספר התוצאות השונות בניסוי כולו הוא בניסוח השני (הידוע תחת השם כלל שרשרת), עקרון הכפל מאפשר חישוב שלבי: עבור המאורע מתקיים: ההסתברות של ניסוי רב B I A L- Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author

3 ( B) ( A ) ( A / A ) ( A / A A ) ( A / A A ) I A ( A ) A /I A במילים אחרות, הערה משמעות של כלל שרשרת פשוטה; קל לקלוט אותה עבור ניסוי דו שלבי במקרה זה, B הנוסחא אומרת כי הסתברות של מאורע ) (B ( A ) ( A / A B כך ש ) ( A ) A I A שווה לכפל בין שתי הסתברויות: ההתרחשות בין הסתברות ההתרחשות של השלב השני בהינתן שהשלב הראשון אכן התרחש! של השלב הראשון להסתברות A / A ) ( סידורים תמורות: סידורים של איברים שונים בשורה הגדרה D מספר התמורות [permutatios] הוא מספר האפשרויות לסדר איברים שונים בשורה המסומן ב, הוא ניתן על ידי הנוסחא! {, a} {, a} הוכחה נתבונן באוסף של איברים שונים לסדר אותם בשורה הוא מספר האופציות למקם את האיברים בשורה מספר אפשרויות (אופציות) שבציור: בתוך תאים a a a a מיקום של איברים הוא ניסוי בעל אפשר לעשות זאת ב דרכים שלבים בשלב הראשון יש למקם את האיבר הראשון a מהמקומות כבר תפוס על ידי האיבר בשלב השני למקם יש את האיבר השני מכיוון שאחד, a קיימות רק אופציות לעשות זאת כך ממשיכים עד שנגיע למיקום האיבר האחרון a הסידורים הכולל הוא שעבורו קיימת אופציה אחת בלבד אזי, על פי עקרון הכפל, מספר במילים אחרות,! ( )! 6 { c, a} בשורה הוא הסידורים { c} { c,,{ c, a}, דוגמא E מספר תמורות של שלושה איברים שונים { c}, { c,, { c} האפשריים הם, שאלה L בכמה דרכים אפשר לסדר ספרים שונים על המדף? פתרון מדובר על מספר תמורות של שלושה איברים שונים בשורה, 6! Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author L-5

4 שאלה L נתונות הספרות 6 5,,,,, כמה מספרים בעלי שש ספרות ניתן לרשום בעזרתן במקרים הבאים? א ב ג ד ה ללא הגבלות שהספרה ראשונה משמאל שהספרה איננה ראשונה משמאל שהספרות ו- נמצאות בקצוות ש- הספרות הראשונות משמאל הן אי זוגיות ו- הספרות מימין הן זוגיות חובה להשתמש בכל הספרות! פתרון נוח לחשוב על הרכבת המספר כעל מילוי שישה תאים על ידי הספרות 6 5,,,,, א אם אין הגבלות להרכבה, מדובר על מספר תמורות של שישה איברים התשובה היא 7 6! 6 שונים בשורה אזי ב אם היא ספרה ראשונה משמאל, הספרות 6,5,,, 5 ניתן לעשות זאת ב!5 חייבים למלא את החמישה התאים הנשארים על ידי אופנים ג דרך ראשונה: אם הספרה איננה ראשונה משמאל, אפשר לראות כי התשובה ניתנת על ידי 6 5 6! 5! ההפרש בין א ו-ב: 6 דרך שנייה: אם הספרה לא יכולה להופיע כראשונה משמאל, ישנן חמש אופציות למלא את התא השמאלי; עבור התא הבא קיימות חמש אופציות (נובעות מהספרות 6) 5,,,, עבור התא השלישי משמאל נשארות ארבע אופציות וכד' עקרון הכפל מביא את התשובה: ! 6 ד אם הספרות ו נמצאות בקצוות, ישנן שתי אופציות: 6 ארבעה מקומות פנויים ממלאים ב! 6,5,, כך שהתשובה הסופית היא 8 דרכים שונות באמצעות הספרות ה הרכבת מספר בסעיף זה היא ניסוי דו שלבי בשלב הראשון ממלאים שלושה תאים משמאל באמצעות הספרות 5,, עבור זה קיימות 6! אופציות בשלב השני ממלאים שלושה תאים מימין באמצעות הספרות 6,, עבור זה קיימות 6! אופציות גם כן עקרון הכפל מביא את התשובה: 6 L-6 Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author

5 תמורות: סידורים בשורה כאשר ישנם איברים זהים טענה מספר האפשרויות לסדר איברים בשורה שבתוכם ישנם איברים זהים מסוג שני,, איברים זהים מסוג ה איברים זהים מסוג ראשון,, הוא! (,, )!!!,,, כאן }!!! הערה R מקטין מספר התמורות בגלל נוכחות של המכנה! אין צורך למנות תמורות של איברים זהים תוך כל תת קבוצה תת קבוצות של איברים זהים: מקרה פרטי של הנוסחא הנ''ל עבור הפרמטרים הוא "כל האיברים שונים" הערה R המקרה של :! (,,)!!!! ( ) { a, { a} ) 5 ( איברים דוגמא E באוסף של חמישה שבתוכם תת קבוצה עם איברים מסוג ישנן שתי תת קבוצות של איברים זהים {} איברים מסוג b מספר אזי, { a, { b, ו 5! (, ) (,) 5!! תמורות הוא האופציות הכלולות במספר זה הן { b, a} { b, { a, a} { b, a} { a, { b, { a, { b, a} שאלה L5 על המדף תשעה ספרים מהם ארבעה ספרי מתמטיקה זהים, שלושה ספרי פיסיקה זהים ושני ספרי כימיה זהים מצא/י בכמה אופנים ניתן לסדר את הספרים במקרים הבאים: א ב ג ללא הגבלה כל הספרים מאותו מקצוע סמוכים זה לזה ענה על סעיף א' בתנאי ששלושה ספרי פיסיקה שונים זה מזה פתרון משתמשים בנוסחא עבור תמורות בסעיף Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author L-7

6 9! (,,) 6 9!!! א כאשר אין הגבלות, מקבלים ב אם כל הספרים מאותו מקצוע סמוכים זה לזה, המצב הוא זה של שלושה איברים שונים בשורה, כך שהתשובה היא 6! ג אם מתייחסים לספרי פיסיקה כלספרים שונים זה מזה, מספר התמורות הוא 9! (,,,,) 756 9!! בחירות אנחנו נתבונן בארבעה סוגים של בחירות: עם ובלי החזרות, קשורות לנושא יופיעו בטבלה בסוף הסעיף עם ובלי חשיבות לסדר כל הנוסחאות חליפות: בחירה בלי החזרה ועם חשיבות לסדר איברים שונים איברים מאוסף המכיל הגדרה D מספר חליפות [variatios] הוא מספר האפשרויות לבחור כאשר אין לבחור אותו איבר יותר מפעם אחת (בחירה בלי החזרה) אך ישנה חשיבות לסדר הבחירה ( ) { a, c} ( ) דוגמא E מספר האפשרויות לבחור שני איברים מאוסף המכיל שלושה איברים כאשר מדובר על בחירה ללא החזרה עם חשיבות לסדר שווה ל 6 האופציות הקיימות הן { c,,{ c},{ c,a} c,c} { לא מופיעות ברשימה,{,{ c},{ a},{ a},{ מכיוון שהבחירה היא ללא החזרה, האופציות טענה מספר האפשרויות לבחור איברים מתוך ועם חשיבות לסדר (מספר חליפות) הוא איברים שונים כאשר הבחירה היא ללא החזרה! ( )! הוכחה נוח לחשוב על בחירה ללא החזרה ועם חשיבות לסדר של איברים מתוך איברים שונים את התא הראשון מותר למלא ב a i,, a i, a i כעל מילוי של תאים על ידי איברים ( ) ( ) ב +) ( דרכים שונות, את התא השני ב התא ה (האחרון) דרכים דרכים, את התא השלישי ב דרכים,, את a i a i a i L-8 על עקרון הכפל, מספר האופציות למלא את כל התאים הוא ( ) ( ) ( + )! ( )! Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author

7 סוף הוכחה הערה R עקרון הכפל בניסוח הראשון (אשר מתייחס לחישוב מספר האופציות בניסוי רב שלבי) לוקח בחשבון כל הסדרים האפשריים אנחנו נראה בהמשך כי עקרון הכפל בניסוח השני (אשר מטפל בחישוב הסתברות בניסוי רב שלבי) לא מתייחס לסדרים שונים כלל! ( )! 6 ו הערה R בדוגמא E, הפרמטרים כך שמספר אפשרויות הבחירה הוא שאלה L6 מכיתה בה שמונה בנים ושתים עשרה בנות בוחרים ועדה בת ארבעה תלמידים כל התפקידים בוועדה שונים זה מזה ותלמיד כלשהו לא יכול להיבחר ליותר מתפקיד אחד א ב בכמה אופנים ניתן לבחור את הוועדה? בכמה אופנים ניתן לבחור את הוועדה אם לתפקיד מסוים יש לבחור אחד מהבנים ולשלושת התפקידים האחרים יש לבחור רק בנות? א ב פתרון "תלמיד כלשהו לא יכול להיבחר ליותר מתפקיד אחד" פרוש הדבר: בחירה ללא החזרה "כל התפקידים בוועדה שונים זה מזה" פרוש הדבר: בחירה עם חשיבות לסדר אזי נשתמש בחליפות מספר אופנים! ! מדובר על בחירת הוועדה המכילה בן אחד ושלוש בנות: בן 8 בת דרך ראשונה בחירת הוועדה הוא "ניסוי" דו שלבי בשלב הראשון נבחר בן אחד מתוך 8 בנים בכיתה אפשר לעשות זאת ב- 8 אופנים בשלב השני, בוחרים בנות מתוך בנות בכיתה מספר אופציות אפשריות בשלב זה הוא על פי עקרון הכפל, מספר אפשרויות לבחור את 8 8 הוועדה כולה שווה ל 56 דרך שנייה אפשר להתייחס לבחירת הוועדה כלמילוי ארבעה תאים את התא הראשון אפשר למלא על ידי בן ב 8 אופנים את התא השני אפשר למלא על ידי אחת הבנות ב אופנים אזי למילוי התא השלישי קיימות אופציות, ולתא האחרון נשארו רק אופציות עקרון הכפל מביא את התשובה 8 56 שאלה L7 ישנם מסלולים שונים המקשרים עיר A לעיר לעיר שנייה וחזרה אם לא חוזרים באותה דרך? B בכמה אופנים ניתן לעבור מעיר אחת מסויימת Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author L-9

8 A a b c B פתרון "לא חוזרים באותה דרך" פרוש הדבר: בחירה ללא החזרה מניסוח השאלה עולה כי מדובר על בחירה עם,b { הם מסלולים a} ו- { חשיבות לסדר: המסלולים {b שונים! מניית המסלולים הלוך ושוב זו בחירה של איברים מתוך איברים אזי התשובה היא!! 6 שאלה L8 פתקים עם שמות של 7 ימי השבוע מונחים בכובע פתקים נלקחו משם כדי לקבוע ימים בהם יתקיימו הרצאות שונות מה ההסתברות שההרצאות לא יחולו בסוף שבוע (יום שישי ושבת)? לא תתקיים יותר מהרצאה אחת ביום אחד סדר בו יתקיימו ההרצאות חשוב פתרון " הרצאות שונות" פרוש הדבר: בחירה ללא החזרה "סדר בו יתקיימו הרצאות חשוב" פרוש הדבר: בחירה מסודרת כדי לחשב את ההסתברות הדרושה, אנחנו חייבים לחשב שני מספרים גודל מרחב המדגם ומספר האופציות עבור בחירה המובילה לתוצאה עליה שואלים את השאלה דרך ראשונה א גודל מרחב המדגם מתאים לבחירה של איברים מתוך 7 אזי, 7!! 7 ב אם הרצאות לא יתקיימו בסוף שבוע, כל שלושת הפתקים הגיעו מהחלק של 5 ימות החול כמצויר למטה: 5 ימות החול לכן ההסתברות הדרושה היא !! 7 5 זה מביא את מספר האופציות 6 דרך שנייה אפשר לחשב את ההסתברות הנשאלת באמצעות עקרון הכפל בניסוח השני (כלל שרשרת): חליפות: בחירה עם החזרה ועם חשיבות לסדר בבחירה עם החזרה ניתן לבחור באותו איבר יותר מפעם אחת L- Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author

9 { a, c} ( ) ( ) דוגמא E מספר האפשרויות לבחור איברים מאוסף של שלושה איברים מדובר על בחירה עם החזרה ועם חשיבות לסדר שווה ל- 9 האופציות הקיימות הן כאשר { c,,{ c},{ c,c},{ c,a},{ c},{,{ a},{,{ a} טענה מספר האפשרויות לבחור ועם חשיבות לסדר הוא איברים מתוך איברים שונים כאשר הבחירה היא עם החזרה { a,, a } הוכחה נתבונן באוסף של תאים איברים שונים נתייחס לסידורם כלמילוי של a a a מילוי של תאים הוא ניסוי בעל שלבים בכל שלב מותר למלא את התא הרלבנטי ב אופנים מכיוון שהבחירה היא בחירה עם החזרה אזי, על פי עקרון הכפל, מספר כולל של אפשרויות שווה ל- שאלה L9 כמה מספרים בני ספרות ניתן לרשום באמצעות הספרות?,,,, 5, כל ספרה יכולה להופיע יותר מפעם אחת פתרון דרך ראשונה "כל ספרה יכולה להופיע יותר מפעם אחת" פרוש הדבר: בחירה עם החזרה מובן שסדר הספרות במספר הוא כן חשוב אזי, אפשר לבחור ספרות מתוך 6 ב 6 אופנים 6 הנקודה החשובה מספר לא יכול להתחיל מהספרה זה אומר שצריך להוריד מ האופציות להרכיב "קוד" בן ספרות עם ספרה ראשונה משמאל את מספר מספר אופציות כאלו הוא 6 אזי, התשובה היא דרך שנייה מכיוון ש לא יכול להופיע במקום הראשון, קיימות 5 אופציות למלא את התא השמאלי ל תאים מימין ישנן 6 אופציות עבור כל אחד מתאים אלה אזי, לפי עקרון הכפל זה מביא את התשובה הבאה: 8 B בכמה אופנים ניתן לעבור מעיר אחת מסויימת A שאלה L ישנם מסלולים שונים המקשרים עיר לעיר לעיר שנייה וחזרה אם אפשר לחזור באותה דרך? L- Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author

10 פתרון "אפשר לחזור באותה דרך" פרוש הדבר: בחירה עם החזרה משאלה גם עולה כי מדובר על בחירה עם חשיבות לסדר מניית המסלולים הלוך ושוב זו בחירה של אזי התשובה היא מתוך איברים 9 צירופים: בחירה בלי החזרה ובלי חשיבות לסדר הגדרה D מספר צירופים [combiatios] הוא מספר האפשרויות לבחור איברים מתוך איברים שונים כאשר אין לבחור אותו איבר יותר מפעם אחת (בחירה בלי החזרה) ואין חשיבות לסדר הבחירה { a, c} ( ) ( ) דוגמא E5 מספר האפשרויות לבחור איברים מאוסף של שלושה איברים מדובר על בחירה ללא החזרה ובלי חשיבות לסדר הוא האופציות הקיימות הן כאשר { c},{ c},{ טענה מספר האפשרויות לבחור איברים מתוך ובלי חשיבות לסדר (מספר צירופים) הוא איברים שונים כאשר הבחירה היא ללא החזרה!! ( )!! הוכחה ניתן לראות כי מספר הצירופים סוף הוכחה ומספר החליפות קשורים אחד לשני כ שאלה L הוכח/הוכיחי כי שאלה L בכד 8 כדורים שונים בכמה אופנים ניתן להוציא ממנו בלי החזרה כדורים? כדורים? א ב מקום אסיפת הכדורים לא מוגדר א ב פתרון מדובר על בחירה ללא החזרה "מקום אסיפת הכדורים לא מוגדר" לסדר התשובה היא פרוש הדבר: אין חשיבות ועד את הכיתה בו תלמידים במקרים 5 תלמידים שאלה L מצא/י בכמה אופנים ניתן לבחור מכיתה של הבאים: L- א ללא הגבלה (אין בוועד תפקידים מוגדרים) Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author

11 ב ג בתנאי שתלמיד בשם מסוים חייב להיבחר לוועד בתנאי שתלמיד בשם מסוים חייב להיבחר ושניים אחרים יכולים להיבחר? (גם בשמות מסוימים) אינם אין בוועד תפקידים מוגדרים תלמיד אחד לא יכול להיבחר ליותר מתפקיד אחד פתרון "אין בוועד תפקידים מוגדרים" פרוש הדבר: בחירה בלי חשיבות לסדר "תלמיד אחד לא יכול למלא יותר מתפקיד אחד" פרוש הדבר: בחירה בלי החזרה 5 65 א התשובה היא ב הרכבת הוועד הוא ניסוי דו שלבי אם תלמיד בשם מסוים חייב להיבחר לוועד, בשלב הראשון בוחרים בתלמיד זה מספר האופציות לעשות זאת הוא בשלב השני אנחנו בוחרים ב תלמידים נוספים מתוך שנשארו מספר האופציות הוא עקרון הכפל, מגעים לתשובה: על פי 6 6 ג מכיוון ששני תלמידים בשמות מסוימים לא יכולים להיבחר לוועד, התשובה היא 86 שאלה L בכיס המרצה ישנם 6 מטבעות מזהב, מכסף ו מארד המרצה מוציא מטבעות בצורה אקראית מהי ההסתברות שכל המטבעות שיוציא הם מאותו חומר? פתרון: שאלה מתייחסת להסתברות אזי צריך לחשב את גודל מרחב המדגם ואת גודל המאורע אליו מתייחסת שאלה (במילים אחרות, יש לחשב את מספר האופציות המביאות לבחור מטבעות מאותו חומר) מרצה מוציא מטבעות בלי החזרה שאלה גם לא מתייחסת לסדר הבחירה כך שהבחירה היא בחירה לא מסודרת הוצאה של מטבעות מתוך הנמצאים בכיס מתאימה למרחב המדגם בגודל Ω E E נגדיר את המאורע {שלושה מטבעות מאותו חומר} המאורע בזוגות: A G {שלושה מטבעות מזהב}, A S {שלושה מטבעות מכסף} מורכב משלושה מאורעות זרים {שלושה מטבעות מארד} A B ( E) ( AG ) + ( AS ) + ( AB ) E A G A S כך ש- אזי ההסתברות הדרושה A B כדי לחשב שלוש הסתברויות אלו, יש למצוא את מספר האופציות להוציא מטבעות מזהב (מכסף, מארד) מכיס המרצה מטבעות מזהב הגיעו מחלק הכיס בו נמצאו 6 מטבעות מזהב אזי מספר האופציות הדרוש הוא A S באותה דרך, A G 6 ו כתוצאה, A B ( A ) G A G Ω 6 86, ( A ) S A S Ω 86, ( A ) B A B Ω 86 אזי, ההסתברות הדרושה היא Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author L-

12 ( E) ( A ) + ( A ) + ( A ) G S B 5 86 צירופים: בחירה עם החזרה ובלי חשיבות לסדר { a, c} ( ) ( ) דוגמא E6 מספר האפשרויות לבחור איברים מאוסף של שלושה איברים מדובר על בחירה עם החזרה ובלי חשיבות לסדר שווה ל 6 האופציות הקיימות הן כאשר { c,a},{ c,c},{ c},{, {,{ a} טענה מספר האפשרויות לבחור ובלי חשיבות לסדר הוא איברים מתוך איברים שונים כאשר הבחירה היא עם החזרה + + ( + )! (, ) +!( )! הוכחה כדי להבין את ההיגיון מאחורי ההוכחה, נחזור לדוגמא E6 ונציג אותה דרך הטבלה: a b שכיחות c שכיחות שכיחות אופציות { a} { { { c} { c,c} { c,a} הצגה פורמאלית כאן, מספר סימני נוכחות מסמן שכיחות איבר מסוים באופציה, וסימן הפרדה מפריד בין איברים שונים הצגה פורמאלית בטבלה מרמזת כי מספר הבחירות הוא שווה למספר האופציות לסדר איברים בשורה כאשר בתוכם יש שתי תת קבוצות: הראשונה מכילה איברים זהים ( ) והשנייה (,) מכילה גם שני איברים זהים ( ) התשובה במקרה זה היא 6 ו ) ( קל לראות כי במקרה הכללי, הצגה פורמאלית תכלול מספר האופציות לסדר סימני נוכחות סימני הפרדה איברים בשורה כאשר בתוכם ישנם שתי תת קבוצות בגודל ו + ( + )! (, ) +!( )! + + ) ( בהתאמה הוא סוף הוכחה L- Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author

13 5 בחירות: טבלת סיכום בלי החזרה עם החזרה מסודרת לא מסודרת + (, ) מקדם 5 בינומי ומקדם מולטינומי נוסחאות קומבינטוריות מכילות שני מקדמים חשובים: (,, ),, מקדם בינומי מקדם מולטינומי עם שני מקדמים אלה הם חלק בלטי נפרד של שני משפטים הבאים ( a + b) a b a b משפט T (משפט ניוטון) משפט T (משפט מולטינומי) (,, ): (,, ): ( x x x ) (,, ) x x,, x x x x x! (,, ):,, (,, ):! בצורה "מפחידה" יותר: שאלות 6 נוספות שאלה L5 נתונות הספרות 6 5,,,,, כמה מספרים בעלי שש ספרות ניתן לרשום בעזרתן במקרים הבאים? א שהספרה הראשונה משמאל היא ספרה אי זוגית Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author L-5

14 ש) שמ) ב ג שהמספר הוא מספר זוגי שהספרה 6 איננה ספרת האחידות יש לענות על השאלות אם () חלה חובה להשתמש בכל ספרה, () מותר להשתמש באותה ספרה יותר מפעם אחת פתרון במקרה ( חלה חובה להשתמש בכל ספרה, ניתן לראות כי התשובות הן: 5! 5! 5 5! א ב ג במקרה ( ותר להשתמש באותה ספרה יותר מפעם אחת, ניתן לראות כי התשובות הן: א ב ג שאלה L6 כמה מספרים בני 8 ספרות ניתן לרשום בעזרת הספרות,,,,,,,,,6,6,6,,6,8,8 א ב חובה להשתמש בכל ספרה פתרון א המספר הדרוש הוא הפרש בין מספר האופציות להרכיב קוד בן 8 ספרות מהספרות הנתונות למספר האופציות להרכיב קוד כאשר הספרה הראשונה משמאל היא : 8 (,,,) 7 (,,) 7 8 (,,) 7 (,,) 5 ב באותה דרך מקבלים: L-6 Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל דוגמא מרחב המדגם הוא כל הקומבינציות של 20 חודשי הולדת. לכל ילד 12 אפשרויות,לכן. לכן -

פתרון תרגיל דוגמא מרחב המדגם הוא כל הקומבינציות של 20 חודשי הולדת. לכל ילד 12 אפשרויות,לכן. לכן - פתרון תרגיל דוגמא מרחב המדגם הוא כל הקומבינציות של 0 חודשי הולדת לכל ילד אפשרויות,לכן לכן - 0 A 0 מספר קומבינציות שלא מכילות את חודש תשרי הוא A) המאורע המשלים ל- B הוא "אף תלמיד לא נולד באחד מהחודשים אב/אלול",

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה 5 הגדרה D5.1 בין 1 N . כלומר, t N

הרצאה 5 הגדרה D5.1 בין 1 N . כלומר, t N ROBABILITY A STATISTIS הסתברות וסטטיסטיקה יוג'ין מאת קנציפר ugee Kazieer All rights reserved 005/06 כל הזכויות שמורות 005/06 הרצאה 5 התפלגויות בדידות מיוחדות התפלגות אחידה ניסוי והתפלגות ברנולי התפלגות

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל-

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל- מ'' ל'' Deprmen of Applied Mhemics Holon Acdemic Insiue of Technology PROBABILITY AND STATISTICS Eugene Knzieper All righs reserved 4/5 חומר לימוד בקורס "הסתברות וסטטיסטיקה" מאת יוג'ין קנציפר כל הזכויות

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

ניסוי מקרי: ניסוי שיש לו מספר תוצאות אפשריות ואי-אפשר לדעת מראש באיזה תוצאה יסתיים הניסוי.

ניסוי מקרי: ניסוי שיש לו מספר תוצאות אפשריות ואי-אפשר לדעת מראש באיזה תוצאה יסתיים הניסוי. 1 תורת ההסתברות מהי? העולם שבו אנחנו חיים הוא עולם של אי-ודאות. מכיוון שאין לנו דרך לקבוע בוודאות את תוצאותיו של תהליך אקראי, אנו מנסים לצמצם את אלמנט אי-הודאות ולהעריך את הסיכויים של התוצאות האפשריות

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

או מעוותים, אשר הביא לכך שבציבור הרחב יש שתי דעות מנוגדות לגבי סטטיסטיקה: ה"תמימה"; אשרמבוססתעלכבודרבלמדעכולוולסטטיסטיקהבפרט,מהשגורםלקבלת

או מעוותים, אשר הביא לכך שבציבור הרחב יש שתי דעות מנוגדות לגבי סטטיסטיקה: התמימה; אשרמבוססתעלכבודרבלמדעכולוולסטטיסטיקהבפרט,מהשגורםלקבלת פרק מבוא לסטטיסטיקה. סטטיסטיקה מהי? הסטטיסטיקה היא מדע העוסק בנתונים כמותיים, איסופם, עיבודם, הצגתם והסקת מסקנות מהם וזאת כדי לסייע בפתרון בעיות מסוגים שונים. בימינו, קשה להעלות על הדעת איזה תחום בחיינו,

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9

סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9 סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9 תוכן העניינים מבוא לפרק "סימני התחלקות" ב 3, ב 6 וב 9............ 38 א. סימני ההתחלקות ב 2, ב 5 וב 10 (חזרה)............ 44 ב. סימן ההתחלקות ב 3..............................

Διαβάστε περισσότερα

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p;

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p; מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות בנושאים () זמני ריצה של פונקציות רקורסיביות () מיונים השאלות פתרו את נוסחאות הנסיגה בסעיפים א-ג על ידי הצבה חוזרת T() כאשר = T() = T( ) + log T() = T() כאשר =

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת

Διαβάστε περισσότερα

xpy xry & ~yrx xiy xry & yrx

xpy xry & ~yrx xiy xry & yrx האם קיים קשר בין העדפה ובחירה? ההנחה שקיים קשר הדוק בין מערכת ההעדפות של היחידה הכלכלית ובין התנהגותה המתבטאת בבחירה בין האפשרויות העומדות בפניה מקובלת מאד בתיאוריה הכלכלית. למעשה הנחת העבודה הבלעדית בניתוח

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה Analytical Electromagnetism Fall Semester 202-3 אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה צפיפויות מטען וזרם צפיפות מטען נפחית ρ מוגדרת כך שאינטגרל נפחי עליה נותן את המטען הכולל Q dv ρ היחידות של ρ הן מטען

Διαβάστε περισσότερα

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים.

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל לוח יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. קבל קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. על לוח אחד מטען Q ועל לוח שני מטען Q. הפוטנציאל על כל לוח הוא

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

גיאומטריה גיאומטריה מצולעים ניב רווח פסיכומטרי

גיאומטריה גיאומטריה מצולעים ניב רווח פסיכומטרי מצולע הוא צורה דו ממדית, עשויה קו "שבור" סגור. לדוגמה: משולש, מרובע, מחומש, משושה וכו'. אלכסון במצולע הוא הקו המחבר בין שני קדקודים שאינם סמוכים זה לזה. לדוגמה: בסרטוט שלפניכם EC אלכסון במצולע. ABCDE (

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד. חידה לחימום ( M ש- N > (כך מספרים טבעיים Mו- N שappleי appleתוappleים בעלי אותה הזוגיות (שappleיהם זוגיים או שappleיהם אי - זוגיים). המספרים הטבעיים מ- Mעד Nמסודרים בשורה, ושappleי שחקappleים משחקים במשחק.

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים

Διαβάστε περισσότερα

ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/

ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/ בגרות לבתי ספר על יסודיים סוג הבחינה: מדינת ישראל קיץ תשע"א, מועד ב מועד הבחינה: משרד החינוך 035804 מספר השאלון: דפי נוסחאות ל 4 יחידות לימוד נספח: מתמטיקה 4 יחידות לימוד שאלון ראשון תכנית ניסוי )שאלון

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים TECHNION Iael Intitute of Technology, Faculty of Mechanical Engineeing מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 d e C() y P() - ציור : דיאגרמת הבלוקים? d(t) ו 0 (t) (t),c() 3 +,P() + ( )(+3) שאלה מס נתונה

Διαβάστε περισσότερα

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1 גמישויות הגמישות מודדת את רגישות הכמות המבוקשת ממצרך כלשהוא לשינויים במחירו, במחירי מצרכים אחרים ובהכנסה על-מנת לנטרל את השפעת יחידות המדידה, נשתמש באחוזים על-מנת למדוד את מידת השינויים בדרך כלל הגמישות

Διαβάστε περισσότερα

עבודת קיץ למואץ העולים לכיתה י' סדרות:

עבודת קיץ למואץ העולים לכיתה י' סדרות: ב( ג( א ) עבודת קיץ למואץ העולים לכיתה י' סדרות: תרגילי חימום.... בסדרה חשבונית האיבר השמיני גדול פי מהאיבר הרביעי. סכום אחד-אשר האיברים הראשונים בסדרה הוא. 0 ( מצאו את האיבר הראשון של הסדרה. ( מצאו את

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעד (2014) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

1 סכום ישר של תת מרחבים

1 סכום ישר של תת מרחבים אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +

Διαβάστε περισσότερα

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הנושא: פתרון בעיות באמצעות שיטת הנסיגה הוכן ע"י: תמר זמיר תקציר: בחומר מוגדר המושג רקורסיה

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות (1) 80420

תורת ההסתברות (1) 80420 תורת ההסתברות (1) 80420 איתי שפירא 4 באוקטובר 2017 מתוך הרצאות מהאונברסיטה העברית 2017. i.j.shapira@gmail.com תוכן עניינים 0 מבוא והשלמות 6 0.1 נושאים מתורת הקבוצות.......................... 6 0.2 נושאים

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r ל' ' פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות חישוביות הרצאה 4 האם כל פונקציה מלאה היא פרימיטיבית רקורסיבית? לא נראה שתי הוכחות: פונקציות רקורסיביות (המשך) זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה קיומית: קיימות פונקציות

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים לכסון מטריצות יהי F שדה ו N n נאמר שמטריצה (F) A M n היא לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית כלומר, אם קיימת מטריצה הפיכה (F) P M n כך ש D P AP = כאשר λ λ 2 D = λ n

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 שאלון: 316, 035806 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 E נתון: 1 רוכב אופניים רכב מעיר A לעיר B

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( ) 9. חשבון אינטגרלי. עד כה עסקנו בבעיות של מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה. נשאלת השאלה בהינתן נגזרת האם נוכל למצוא את הפונקציה המקורית (הפונקציה שנגזרתה נתונה)? זוהי שאלה קשה יותר, חשבון אינטגרלי דן בבעיה

Διαβάστε περισσότερα

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ).

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ). מבוא לפרק: : עצים.(ree) עצים הם גרפים חסרי מעגלים. כך, כיוון פרק זה הוא מעין הפוך לשני הפרקים הקודמים. עץ יסומן לרב על ידי במשפטים 8.1-8.3 נפתח חלק מתכונותיו, ובהמשך נדון בהיבטים שונים של "עץ פורש" של

Διαβάστε περισσότερα

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח.

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח. החשמלי השדה הקדמה: מושג השדה חשמלי נוצר, כאשר הפיזיקאי מיכאל פרדיי, ניסה לתת הסבר אינטואיטיבי לעובדה שמטענים מפעילים זה על זה כוחות ללא מגע ביניהם. לטענתו, כל עצם בעל מטען חשמלי יוצר מסביבו שדה המשתרע

Διαβάστε περισσότερα

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר דקדוק חסר הקשר דקדוק חסר הקשר הנו רביעיה > S

Διαβάστε περισσότερα

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה:

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר עי החמישייה: 2 תרגול אוטומט סופי דטרמיניסטי אוטומטים ושפות פורמליות בר אילן תשעז 2017 עקיבא קליינרמן הגדרה אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה: (,, 0,, ) כאשר: א= "ב שפת הקלט = קבוצה סופית לא ריקה של מצבים מצב

Διαβάστε περισσότερα

א. חוקיות תשובות 1. א( קבוצות ספורט ב( עצים ג( שמות של בנות ד( אותיות שיש להן אות סופית ; ה( מדינות ערביות. 2. א( שמעון פרס חיים הרצוג. ב( לא.

א. חוקיות תשובות 1. א( קבוצות ספורט ב( עצים ג( שמות של בנות ד( אותיות שיש להן אות סופית ; ה( מדינות ערביות. 2. א( שמעון פרס חיים הרצוג. ב( לא. א. חוקיות. א( 1; ב( ; ג( השמיני; ד( ; ה( האיבר a שווה לפי - מיקומו בסדרה ; ו( = ;a ז( 9 = a ;.6 א( דוגמה: = a. +.7 א( =,1 + = 6 ;1 + ג( את המספר האחרון: הוא זה שמשתנה מתרגיל לתרגיל. 8. ב( 1 7 a, המספר

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות 1" (80420) באוניברסיטה העברית,

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס תורת ההסתברות 1 (80420) באוניברסיטה העברית, תורת ההסתברות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות " (80420) באוניברסיטה העברית, 8 2007. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

משפטי בקרה ולולאות שעור מס. 3 כל הזכויות שמורות דר' דרור טובי המרכז האוניברסיטאי אריאל

משפטי בקרה ולולאות שעור מס. 3 כל הזכויות שמורות דר' דרור טובי המרכז האוניברסיטאי אריאל משפטי בקרה ולולאות שעור מס. 3 דרור טובי דר' 1 כל הזכויות שמורות דר' דרור טובי המרכז האוניברסיטאי אריאל - הקדמה משפט התנאי if המשימה: ברצוננו לכתוב תוכנית המקבלת שני מספרים בסדר כל שהוא ולהדפיס אותם בסדר

Διαβάστε περισσότερα

סטודנטים יקרים הקורס באתר כולל פתרונות מלאים לספר התרגילים, וכן את התיאוריה הרלוונטית לכל נושא ונושא.

סטודנטים יקרים הקורס באתר כולל פתרונות מלאים לספר התרגילים, וכן את התיאוריה הרלוונטית לכל נושא ונושא. 1 סטודנטים יקרים לפניכם ספר תרגילים בקורס מבוא לסטטיסטיקה והסתברות א'. הספר הוא חלק מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה, המועבר ברשת האינטרנט.On-line הקורס באתר כולל פתרונות מלאים לספר התרגילים, וכן

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשסט 467 אלגברה א', סמסטר חורף תשס"ט, פתרונות לשיעורי הבית, עמוד מתוך 6 467 אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט תוכן עניינים : גליון שדות... גליון מרוכבים 7... גליון מטריצות... גליון 4 דירוג,

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 7

מודלים חישוביים תרגולמס 7 מודלים חישוביים תרגולמס 7 13 באפריל 2016 נושאי התרגול: מכונת טיורינג. 1 מכונת טיורינג נעבור לדבר על מודל חישוב חזק יותר (ובמובן מסוים, הוא מודל החישוב הסטנדרטי) מכונות טיורינג. בניגוד למודלים שראינו עד

Διαβάστε περισσότερα

logn) = nlog. log(2n

logn) = nlog. log(2n תכנוןוניתוחאלגוריתמים סיכוםהתרגולים n log O( g( n)) = Ω( g( n)) = θ ( g( n)) = תרגול.3.04 סיבוכיות { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 f ( n) c g( n) } { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 c g( n) f ( n) } { f ( n)

Διαβάστε περισσότερα

אם לא דברנו בסוף מספיק על שרשראות עם מספר מצבים אינסופי פשוט תתעלמו מהתרגילים המתאימים.

אם לא דברנו בסוף מספיק על שרשראות עם מספר מצבים אינסופי פשוט תתעלמו מהתרגילים המתאימים. תרגילים בשרשראות מרקוב. + תרגילים מבחינות עבר אם לא דברנו בסוף מספיק על שרשראות עם מספר מצבים אינסופי פשוט תתעלמו מהתרגילים המתאימים..תהי Xn שרשרת מרקוב סופית עם מטריצת מעבר דו-סטוכסטית )סכום של כל עמודה

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3..................................

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

מבחן במודלים חישוביים + פתרון מוצע

מבחן במודלים חישוביים + פתרון מוצע מבחן במודלים חישוביים + פתרון מוצע סמסטר ב' התשס"ט, מועד ב' תאריך: 1.9.2009 מרצים: ד"ר מירי פרייזלר, פרופ' בני שור מתרגלים: יהונתן ברנט, רני הוד מומלץ לקרוא את כל ההנחיות והשאלות בתחילת המבחן, לפני תחילת

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס תורת הקבוצות (80200) באוניברסיטה העברית, תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L

Διαβάστε περισσότερα

דוגמה: יהי T עץ בינארי כפי שמתואר בציור הבא:

דוגמה: יהי T עץ בינארי כפי שמתואר בציור הבא: של שאלות מבחינות פתרונות.1 שאלהזוהופיעהבמבחןמועדג 01 דוגמה: יהי T עץ בינארי כפי שמתואר בציור הבא: הגדרות: עבור צומת בעץ בינארי T נסמן ב- T את תת העץ של T ששורשו. (תת העץ הזה כולל את ). נגדיר את תת העץ

Διαβάστε περισσότερα

הסקה סטטיסטית/תקציר/תלמה לויתן

הסקה סטטיסטית/תקציר/תלמה לויתן הסקה סטטיסטית/תקציר/תלמה לויתן בניסוי אקראי נמדד ערכו של משתנה כמותי משתנה המחקר ואולם התפלגות המשתנה אינה ידועה החוקר מעוניין לענות על שאלות הנוגעות לערכי הנחות: - משפחת ההתפלגות של ידועה (ניווכח שזה

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה!

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה! הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב 24/10/2007 מרצה: פרופ אורנה גרימברג מתרגלים: גבי סקלוסוב,קרן צנזור,רותם אושמן,אורלי יהלום לוגיקה ותורת הקבוצות 234293 אביבתשס ז מבחןסופי מועדב הנחיות: משךהבחינה:

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר

Διαβάστε περισσότερα

שיעור.1 חופפים במשולש שווה שוקיים יחידה - 31 חופפים משולשים 311

שיעור.1 חופפים במשולש שווה שוקיים יחידה - 31 חופפים משולשים 311 יחידה :31חופפים משולשים נחפוף משולשים ונוכיח תכונות של אלכסוני משולשים שווה שוקיים ואלכסוני המלבן. שיעור.1חופפים במשולש שווה שוקיים נחקור ונוכיח תכונות של משולש שווה שוקיים נתון משולש שווה שוקיים שבו.

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר ינואר 2016, גרסה 0.22

מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר ינואר 2016, גרסה 0.22 מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס 89-214 אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר ינואר 2016, גרסה 0.22 אוניברסיטת בר אילן סמסטר א תשע ו תוכן העניינים 3 מבוא.............................. 3 מבוא לתורת

Διαβάστε περισσότερα