ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΥΣΚΕΥΗΣ ΓΙΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗ ΚΙΝΟΥΜΕΝΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥΣ ΑΙΣΘΗΤΗΡΕΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΥΣΚΕΥΗΣ ΓΙΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗ ΚΙΝΟΥΜΕΝΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥΣ ΑΙΣΘΗΤΗΡΕΣ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΥΣΚΕΥΗΣ ΓΙΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗ ΚΙΝΟΥΜΕΝΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥΣ ΑΙΣΘΗΤΗΡΕΣ ΚΟΜΝΗΝΟΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΑΝΤΩΝΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΣΥΝΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΤΖΕΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

2 2

3 Περίληψη Η επιστημονική κοινότητα τα τελευταία χρόνια και κυρίως μετά το 1970 έχει δείξει τεράστιο ενδιαφέρον για τον τομέα της επεξεργασίας εικόνας και video σε συνδυασμό με τον έλεγχο κλειστού βρόγχου και όλα αυτά σε πραγματικό χρόνο. Γι αυτό και η οπτική παρακολούθηση (vision tracking) είναι και μία από τις πιο σημαντικές εφαρμογές στον τομέα του computer vision.το συγκεκριμένο αντικείμενο[1] αποτελεί πρόκληση για πολλούς, εξαιτίας της μεγάλης δυσκολίας που έγκειται στο γεγονός της παράλληλης αναγνώρισης των κινούμενων στόχων με την ταυτόχρονη κίνηση της camera. Περίτρανη απόδειξη όλων των παραπάνω είναι η μεγάλη ποικιλία των σχετικών άρθρων που έχουν δημοσιευτεί σε διάφορα σχετικά με τον αντικείμενο περιοδικά, βιβλία καθώς και έχουν παρουσιαστεί σε διάφορα συνέδρια. To μεγαλύτερο πλεονέκτημα αυτών των αυτόματων συστημάτων παρακολούθησης (automatic surveillance systems) είναι η πολύ καλή αξιοπιστία και η αποδοτικότητα για παρακολούθηση από απόσταση (long distance surveillance) σε σύγκριση με αυτή που θα παρουσίαζαν εάν στη θέση τους υπήρχε ο ανθρώπινος παράγοντας. Τα συστήματα(3) που χρησιμοποιούνται για παρακολούθηση μπορούν αν περιλαμβάνουν radar, sonars ή ακόμη και lasers. Κύριο μειονέκτημα αυτών των συστημάτων είναι οι συσκευές σάρωσης που περιλαμβάνουν. Αυτές είναι ενδεχομένως αναξιόπιστες και καταναλώνουν μεγάλες ποσότητες ενέργειας, γεγονός μη επιθυμητό κυρίως σε διαστημικές εφαρμογές. Μία ενδιαφέρουσα εναλλακτική λύση αντί της χρήσης των παραπάνω συσκευών είναι να υιοθετηθούν vision συστήματα, τα οποία παρέχουν ακριβής χρονική και χωρική ανάλυση (spatiotemporal resolution).στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η εξομοίωση ενός ελεγκτή ο οποίος έχοντας στην διάθεση του κάθε χρονική στιγμή την θέση του στόχου προς παρακολούθηση στην εικόνα θα θα οδηγεί την κάμερα ετσι ώστε να κρατάει τον στόχο σε μια περιοχή γύρω από το κέντρο της.μελλοντική εφαρμογή αυτης της διπλώματικης θα μπορούσε να είναι η ενσωμάτωση του συστήματος παρακολούθησης σε ένα σύστημα μονοκατευθυντικών κεραιων έτσι ώστε να επιτυγχάνεται η βέλτιστη επικοινωνία με τα αεροσκάφη. 3

4 Περιεχόμενα Κεφαλαιο 1 : Εισαγωγικές εννοιες του συστήματος οπτικής παρακολούθησης Αρχιτεκτονική συστήματος 1.2 Εφαρμογες συστημάτων έξυπνης παρακολούθησης 1.3 Image Based Servoing 1.4 Position Based Servoing Κεφαλαιο 2 : Θεμελειώδεις εννοιες ιχνηλασιας (Tracking) Παράλληλη επεξεργασία 2.2 Μέθοδοι πρόβλεψης διόρθωσης 2.3 Προυγμένοι αλγόριθμοι ιχνηλάτισης Πολλαπλοι Στόχοι Πολλαπλοι αισθητηρες Κεφάλαιο 3 : Δυναμικά μοντέλα στόχων Γενικα 3.2 Μοντελο σταθερής ταχύτητας (Constant Velocity Models) 3.3 Μοντέλα σταθερής επιτάχυνσης (Constant Acceleration Models) Wiener process Acceleration Model Wiener sequence acceleration model Κεφάλαιο 4 : Απλός Ιχνηλάτης με φίλτρο Kalman Γενικά 4.2 Ορισμος γραμμικου φίλτρου 4.3 Αποδειξη εξισώσεων 4.4 Προσομοίωση Kalman STT σε Matlab Μοντέλο σταθερής ταχύτητας Χαμένες μετρήσεις Ψευδεις συναγερμοί Μοντέλα με επιτάχυνση 4.5 Παράρτημα Κεφάλαιο 5 : Φίλτρο Αλλιλεπιδρόντων μοντέλων (IMM) Γενικα 5.2 IMM αλλιλεπίδραση συγχώνευση πρόβλεψη 5.3 Επιλογή Μαρκοβιανων πιθανοτήτων μετάβασης 5.4 Προσομοίωση IMM σε Matlab 5.5 Παράρτημα Κεφάλαιο 6 : Ελεγχος συσκευής pan/tilt Γενικα 4

5 6.2 Bέλτιστος Γραμμικός τετραγωνικός έλεγχος (LQR) Cheap control Expensive control 6.3 Γραμμικός τετραγωνικός Γκαουσιανός έλεγχος (LQG) Γενικα Παρατηρητές πλήρους τάξης Αρχη της διαχωρισιμότητας LQG estimation (Kalman Busy filter) Βέλτιστο κέρδος LQ Set point control Ανατροφοδότηση κατάστασης Ανατροφοδότηση εξόδου Απόδειξη εξισώσεων Εφαρμογή σε σύστημα οπτικής παρακολούθησης Καταστατικές εξισώσεις Κέρδος LQ Φίλτρο Kalman Προσομοίωση και αποτελέσματα Περαιτέρω συζήτηση για θέματα ελέγχου στο πρόβλημα της οπτικής παρακολούθησης 6.4 Παραρτημα 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : Εισαγωγικές έννοιες του συστήματος οπτικής παρακολούθησης 1.1 Αρχιτεκτονική συστήματος Τα οπτικά συστήματα παρακολούθησης[2],[3]αποτελούνται από δύο βασικά μέρη ανεξάρτητα μεταξύ τους. Αυτά είναι το σύστημα με το οποίο γίνεται η αναγνώριση και η επεξεργασία της εικόνας, το σύστημα του ελέγχου και τέλος το σύστημα κίνησης της camera. Το σύστημα της αναγνώρισης και επεξεργασίας της εικόνας (vision module) αποτελείται από το απαραίτητο υλικό (hardware) και λογισμικό (software) για την επεξεργασία της οπτικής πληροφορίας. Είναι υπεύθυνο για την αναγνώριση της θέσης του στόχου (target acquisition). Το σύστημα ελέγχου (control module) υπολογίζει την επιθυμητή κίνηση της camera (trajectory), αξιοποιώντας τις πληροφορίες από την επεξεργασία της εικόνας, με βάση έναν νόμο ελέγχου, έτσι ώστε να επιτυγχάνεται συνεχής και ομαλή κίνηση της camera ενώ παράλληλα ο στόχος να παραμένει στο κέντρο του συστήματος συντεταγμένων της εικόνας. Το σύστημα κίνησης (actuation) κινεί τους βαθμούς ελευθερίας (δύο περιστροφικοί στο συγκεκριμένο σύστημα) του συστήματος εικόνας προς τα νέα καθορισμένα σημεία που παρέχονται από το τμήμα ελέγχου. Η νέα κατάσταση του συστήματος ασκεί επιρροή στις επόμενες παρατηρήσεις του στόχου, που κλείνει το βρόχο μεταξύ της δράσης και της αντίληψης. Η παραπάνω περιγραφή του συστήματος απεικονίζεται στο ακόλουθο σχήμα. 6

7 1.2 Εφαρμογές συστημάτων έξυπνης παρακολούθησης ( smart surveillance) Τα συστήματα παρακολούθησης είτε τα συναντάμε σαν αυτοτελή συστήματα είτε σαν υποσυστήματα άλλων πιο περίπλοκων συστημάτων. Κάποιες κατηγορίες εφαρμογών παρατίθενται παρακάτω [2] : Σε διαδραστικά συστήματα : προηγμένο περιβάλλον διεπαφής ανθρώπου μηχανής (advanced human machine interface), εικονική πραγματικότητα (virtual reality). Σε αεροπορικές ή διαστημικές εφαρμογές: παρακολούθηση αεροσκαφών (aircraft tracking), παρακολούθηση πυραύλων (missle tracking), παρακολούθηση δορυφόρων (satellite tracking), αμυντικά συστήματα (defending weapons), Εφαρμογές αποθήκευσης και ανάκτησης εικόνας βασισμένες στο περιεχόμενο της (content based image storage/retrieval) Εφαρμογές σε κυκλοφορικά συστήματα και σε συστήματα πλοήγησης: ευφυή συστήματα πάνω σε οχήματα για τη διευκόλυνση της πορείας σε εθνικές οδούς (intelligent vehicle highway systems), παρακολούθησης κυκλοφορικής κίνησης (traffic monitoring),πλοήγηση (navigation) 7

8 Σε συστήματα έξυπνων κεραιων (smart antenna systems ) Εφαρμογές στη βιομηχανία (Industrial applications) : αυτόματη συναρμολόγηση (vision based assembly, robot manipulation of objects), επιθεώρηση κίνησης των αντικειμένων πάνω στις μεταφορικές ταινίες (motion of parts on conveyor belts in industry) Συστήματα ασφαλείας π.χ. σε σπίτια, σε τράπεζες,σε αεροδρόμια κ.λπ. (intruder detection, surveillance systems at airports) Μετεωρολογία (cloud tracking) Βιοιατρική : παρακολούθηση κίνησης κυττάρων και κινούμενων μερών του ανθρώπινου σώματος (cell motion and tracking of moving parts of the body) Σε συστήματα για τη διευκόλυνση ανθρώπων με αναπηρία (assisting individuals with disabilities) 1.3 Ιmage based servoing Σε αυτή την στρατηγική ελέγχου [4] η θέση του στόχου στην εικόνα χρησιμοποιείται στην ανάδραση.για παράγειγμα ας λάβουμε υπόψιν μας το παρακάτω σχήμα : 8

9 Στο παραπάνω σχήμα σκοπός είναι η κάμερα να κινηθεί με τέτοιο τρόπο ώστε από την αρχική εικόνα να πάμε στην τελική και ο πίνακας με τα χαρακτηρηστικά του στόχου να γίνει f0 fd.ο πίνακας αυτός μπορεί να περιλαμβάνει σύντεταγμένες μια περιοχής ή ενός σημείου.για ένα ρομποτ το οποίο έχει την κάμερα τοποθετημένη στην αρπάγη του οπώς φαίνεται και στο πρώτο σχήμα, οι σύντεταγμένες του στόχου θα εξαρτόνται από την σχετική μεταξύ τους θέση και κίνηση.γενικά μια τέτοια σχέση θα είναι μη γραμμική και συσχετισμένη και έτσι η κίνηση της αρπάγης θα προκαλεί μια διαφορετική και πολυπλοκη κίνηση του στόχου.για παράδειγμα μια περιστροφή της αρπάγης μπορεί να προκαλέσει ταυτόχρονα μετατόπιση και στους 2 άξονες τις εικόνας. Με βάση το παραπάνω σχήμα [5] ας ορίσουμε την σχετική στάση μεταξύ του επιπέδου της εικόνας και του στόχου να είναι : c x.τότε η σχέση : c f = f ( x t ) t μπορεί να γραμμικόποιηθεί γύρο από το σημείο λειτουργίας : 9

10 f ( c ) c f c f δ f = Jc xt δ x και t Jc( xt) =. c x t f J είναι η ιακωβιανή μήτρα που σχετίζει τον ρυθμό αλλαγής της στάσης του επιπέδου της c εικόνας με τον ρυθμό κίνησης του στόχου με άλλα λόγια δίνει μια σχέση μεταξύ της ταχύτητας της αρπάγης και της ταχύτητας του στόχόυ.η ιακοβιανή αυτή μητρα συχνά εμφανίζεται με την ονομασία ιακωβιανή εικόνας (image jacobian) ή πίνακας ευαισθησίας (sensitivity matrix).αργότερα η ιακωβιανη αυτή μήτρα θα χρησιμοπιήθει έμμεσα για την εξαγωγή των καταστατικών εξισώσεψν που είναι αναγκαίες για τον σχεδιασμό του ελεγκτή. Ας υποθέσουμε προς στιγμήν ότι η μήτρα αυτή είναι τετραγωνική και non singular (στην πράξη θα χρησιμοποιήσουμε τον ψευδοαντίστροφο) τότε : x& = J 1 ( x ) f& c f c t c t και έτσι ένας απλός proportional νόμος ελέγχου θα είναι : x& = K J 1 ( x )( f f ( t)) c f c t c t d Με τον παραπάνω νόμο ελέγχου η αρπάγη θα κινείται προς το επιθυμητό f d.κ είναι ενας διαγώνιος πίνακας και t δηλώνει μια χρονικά μεταβαλλόμενη ποσότητα.στην σύνεχεια ο ρυθμός αλλαγής c x& t μετατρέπεται σε ρυθμό αλλαγής της αρπάγης του ρομποτ μέσω ενός σταθερου ιακωβιακού πίνακα ti J,με i να δηλώνει τους βαθμούς ελευρείας του robot, που προκύπτει από την σχετική θέση c μεταξύ αρπάγης και κάμερας.εμας η μοναδα πάνω στην οποία έγιναν πειράματα για την απόδοση του ελεγκτη που σχεδιάζεται σε επόμενο κεφάλαιο είναι μια μονάδα pan/tilt δηλαδή έχει δυο περιστροφικούς βαθμούς ελευθερίας.στην συνέχεια με βάση αυτόν τον πίνακα ( ti J ) και με τις c τίμες c x& που προκύπτουν από τον νόμο ελέγχου που περιγράφικε παραπάνω παίρνουμε τις τίμες t για την περιστροφή/μετετόπιση των βαθμών ελευθερίας του robot με χρηση της ακόλουθης σχέσης & ti 1 ti θ = J θ ( θ) x& t. Η πλήρης εξίσωση είναι : & θ. 1 1 () ti ( ) ti f t = K J ( c θ θ Jc Jc x)( fd f ()) t Ένα τυπικο μοντέλο simulink που διατιθεται μαζι με το robotics toolbox για το Matlab φαίνεται παρακάτω : 10

11 1.4 Position Based Servoing Σε αυτή την τεχνική [4] γίνεται χρήση ειδικών αισθητήρων και τεχνικων που θα περιγραφουν εν συντομία στην συνέχεια για την πρόβλεψη της απόστασης μεταξύ του οπτικού αισθητήρα και του κινούμενου, προ παρακολούθηση, αντικειμένου. Οι αισθητήρες αυτής της κατηορίας χωρίζονται σε ενεργούς (Active Range Sensors) και σε παθητικούς (Passive Range Sensors). Στην πρώτη κατηγορία ανοίκουν αισθητήρες που με την χρήση υπερήχων ή δέσμης φωτός μπορουν να προσδιορίσουν το βάθος, ενώ στην δεύτερη κατηγορία ανοίκουν οι αισθητήρες που χρησιμοποιούν το διαθέσιμο φως για να προσδιορίσουν το βάθος.παρακάτω περιγράφονται συνοπτικά κάποιε τεχνικές PBVS : 11

12 Photogrammetric Με αυτή την τεχνική οι πληροφορίες για αντικείμενα αντλούνται από φωτογραφίες. Η τεχνική αυτή χρησιμοποιείται κυρίως όταν ο στόχος απέχει λιγότερο από 100m από την κάμερα. Για τον προσδιορισμός της σχετικής στάσης μεταξύ κάμερας και στόχου στις τρεις διαστάσεις από συντεταγμένες σημελιων σε μια εικόνα δυο διαστάσεων πρόσθετες πληροφορίες είναι αναγκαίες.τέτοιες πληροφορίες είναι οι intrinsic και extrinsic παράμετροι της κάμερας (calibration parameters) καθώς και η σχέση μεταξύ των παρατηρούμενων σημείων.το πρώτο set παραμέτρων περιλαμβάνει το focal length, παράγοντες βάθμωσης των pixels και τις συντεταγμένες του οπτικού άξονα στο επίπεδο της εικόνας.το δεύτερο set παραμέτρων καθορίζει την στάση της κάμερας στο world coordinate frame.συνήθως αυτές οι παράμεττοι είναι σε μορφή πίνακα 3x4 και ονομάζεται πίνακας καλιμπραρίσματος (calibration matrix). Εχοντας έτσι γνώση των εσωτερικών παραμέτρων της κάμερας και τις συντεταγμένες πολλών σημειων στην εικόνα μπορεί να βρεθεί η σχετική στάση μεταξύ της κάμερας και του στόχου.για τον σκοπό αυτό έχει αποδειχθεί ότι χρειάζονται οι συντεταγμένες τουλάχιστων 3 σημέιων στην εικόνα. Όταν βρεθεί η σχετική θέση μεταξύ κάμερας και στοχου, το επόμενο βήμα είναι να καθοριστεί η σχετική θέση μεταξύ της κάμερας και της αρπάγης του robot. Τα μειονεκτήματα της χρήσης αυτής της μεθόδου είναι οι πολύπλοκοι υπολογισμοί που χρειάζονται για να βραθεί η σχετικη στάση της κάμερας σε σ χεση με τον στόχο καθώς και η ανάγκη για καλιμπράρισμα. Stereo Vision Με την τεχνική αυτή χρησιμοποιούνται 2 διαφορετικές όψεις της ίδιας σκήνης παρμένες από γνωστές θέσεις για τον καθορισμό του βάθους. Η τοποθεσία ενός σημείου στην μια εικόνα πρέπει να αντιστοιχιθεί με την τοποθεσία του ίδιου σημείου στην δεύτερη εικόνα.αυτή η αντιστοίχιση δεν είναι εύκολη και είναι επηρεπής σε λάθη.ενα άλλο πρόβλημα αυτής της τεχνικής είναι ότι υπάρχουν σημεία τα οποία μπορεί να είναι ορατά μονο από την μια θέση (missing parts problem) και επομένως το βάθος αυτου του σημείου δεν μπορεί να καθοριστεί. Βαθος από την κίνηση Η τεχνική αυτή σχετίζεται πολύ με την προηγούμενη με την διαφορά ότι τώρα χρησιμοποιείται μια μόνο κάμερα και λήψεις από πολλαπλές θέσεις για τον καθορισμό του βάθους.τέτοιες λήψεις μπορουν να γίνουν διαθέσιμες κατά την κίνηση του robot αλλα πρέπει να γίνει η υπόθεση ότι ο στόχος δεν μετακινείται σημαντικά μεταξύ των διαδοχικών λήψεων. 12

13 Αναφορές [1] Μoving object tracking research based on active vision, Pan Feng,Wang Xuaanyin,Eang Quanqiang [2] On the visual mathematics of tracking, John Aloimonos and Dimitris P Tsakiris [3] Performance evaluation of an active vision system, Ulf M.Cahn von Seelen PHD [4] High performance visual closed loop robot control, Peter Ian Corke [5] Visual servoing with hand eye manipulator optimal control approach, Koicji Hashimoto, Takumi Ebine 13

14 Κεφαλαιο 2 ο : Θεμελειώδεις έννοιες ιχνηλασιας 2.1 Παράλληλη επεξεργασια Πολυάριθμες τεχνικές έχουν χρησιμοποιηθεί για την απλούστερη περίπτωση ιχνηλασίας ενός μόνο στόχου που δεν ελίσσεται. Η προσέγγιση ξεκινά με τη συλλογή ενος αριθμού ανιχνεύσεων του στόχου και τη μαζική επεξεργασία αυτών των στοιχείων για να παραχθεί μια διαδρομή. Με την επεξεργασία κατά δέσμες παράλληλα, όσο περισσότερες ανιχνεύσεις συλλεγούν, τόσο καλύτερη η λύση. Παρολαυτά οι υπολογιστικές απαιτήσεις είναι πιό απαιτητικές καθώς ο αριθμός Ανιχνεύσεων αυξάνεται, κάνοντας την επεξεργασία κατά δεσμίδες μια μη πρακτική λύση για τα περισσότερα συστήματα επιτήρησης. Κάθε φορά που συλλέγεται μια νέα μέτρηση, όλες οι προηγούμενες μετρήσεις χρησιμοποιούνται για να υπολογίσουν τη νέα κατάσταση που καθιστά την επεξεργασία κατά δεσμίδες πολύ δυσχρηστη. 2.2 Μεθοδοι πρόβλεψης διορθωσης Ενα από τα πλεονεκτήματα των μεθόδων πρόβλεψης διόρθωσης, ή αναδρομικών, μεθόδων είναι ότι η πρόβλεψη κατάστασης εξαρτάται μόνο από την προηγούμενη κατάσταση και την τρέχουσα μέτρηση. Σύμφωνα με τον Hutchins, οι απλούστεροι ιχνηλάτες σχεδιάζονται μόνο για κίνηση σε ευθεία (SLM), όμως οι επιταχύνσεις στόχων μπορούν να αντιμετωπιστούν με την αύξηση του κέρδους του φίλτρου ή αυξάνοντας τον όρο θορύβου των εξισώσεων κατάστασης. Οι πιό περίπλοκοι ιχνηλάτες σχεδιάζονται για να αντισταθμίσουν την κίνηση με στροφές, ή για να χειριστούν τις πολλαπλές υποθέσεις κίνησης στόχων, ή για να τις ταξινομήσουν μέσα στο clutter. Οι τύποι ιχνηλατών μπορούν να συνδυαστούν για να επιτρέψουν πολλαπλούς αισθητήρες, την ιχνηλασία πολλών στόχων, και την σύνθεση στοιχείων. Οι περισσότερς από τις τεχνικές που θα περιγραφούν χρησιμοποιούν την μορφη των καταστατικών x( k + 1) = Fx( k) + Bu( k) +Γw( k) εξισώσεων : για να πετιγράψουν την δυναμική συμπεριφορά yk ( ) = Hxk ( ) + vk ( ) του στόχου. 1) Φίλτρο Kalman σταθερού κέρδους Το φίλτρο Kalman σταθεροέ κέρδους είναι μια απλουστευμένη μορφή του φίλτρου Kalman. Με αυτό τον τρόπο αντι της ανανέωσης της μήτρας συνδιακύμανσης σε κάθε νέα μέτρηση, η συνδιακύμανση λαμβάνεται να είναι σταθερή.χρησιμοποιόντας την υπόθεση ότι η μήτρας συνδιακύμανσης θα πλησιάσει μια σταθερή τιμή στο χρόνο η διαφορική εξίσωση Riccati που συνδέεται με τα γραμμικά χρονικά αμετάβλητα συστηματα διακριτού χόνου μετατρέπεται σε αλγεβρική και μπορει να λυθεί αριθμητικά (care/dare): T T 1 Ke = A* Pe * C ( CPeC + Re) A I Pe C CPeC C PeA H Qe H T T 1 T ( * ( + Re) ) + * * = 0 Αντι των εντολών care/dare στην Matlab μπορει εναλλακτικα να χρησιμοποιηθεί η εντολη lqe/dlqe.μετα τον υπολογισμό του σταθερού κέρδους και του πίνακα συνδιακύμανσης οι εξισώσεις του φίλτρου θα εξαρτώνται μόνο από την μέτρηση, την προυγούμενη εκτίμηση και το σταθερό κέρδος.το θετικό με χρήση του φίλτρου kalman σταθερού κέρδους είναι ότι δε φορτώνει υπολογιστικά το σύστημα ωστόσο δεν είναι η βέλτιστη λύση. 14

15 2) Φιλτρο kalman χρονικά μεταβαλλόμενο Το φίλτρο kalman είναι η βάση πάνω στην οποία σχεδιάζονται μερικοί από τους πιο προηγμένους αλγορίθμους. Το φίλτρο αυτό είναι βέλτιστη λύση στο σειριακό πρόβλημα των ελαχίστων τετραγώνων, που σημαίνει ότι το τετράγωνο του λάθους ελαχιστοποιείται.. Είναι ένας σειριακός αλγόριθμος επειδή εξαρτάται μόνο από την τρέχουσα εκτίμηση μέτρησης και κατάστασης, και τις σχετικές μήτρες συνδιακύμανσης μέτρησης και πρόβλεψης κατάστασης. Το φίλτρο Kalman δεν είναι πολύ υπολογιστικά απαιτητικό, αλλά δεν σχεδιάζεται για να χειριστεί τους στόχους που ελλίσονται, clutter, ή πολλαπλους στόχους. Το φίλτρο μπορεί να προσαρμοστεί στους στόχους ελιγμού, αλλά η λύση δεν είναι πλέον βέλτιστη.τα παραδειγματα αυτού του φαινομένου θα παρουσιαστούν στο τμήμα αποτελεσμάτων. 3) Εκτεταμένο φίλτρο Kalman (EKF) Το EKF ισχύει σε περιπτώσεις όπου η διαδικασία μέτρησης είναι μη γραμμική, ή η δυναμική στόχων είναι μη γραμμική. Σύμφωνα με Bar- Shalom, ο μη γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να εισαγάγει μεροληψία στη λύση, ο υπολογισμός συνδιακύμανσης δεν είναι απαραιτήτως ακριβής, και το EKF μπορεί να αποκλίνει εάν οι αρχικοί όροι είναι ανακριβείς. Το EKF δεν εξετάστηκε λεπτομερώς σε αυτήν την διπλωματική. 4) Αλληλεπισρόντα πολλαπλά πρότυπα (IMM) Ο ιχνηλάτης ΙΜΜ χρησιμοποιείται για να προβλέψει την τρέχουσα κατάσταση του στόχου χρησιμοποιώντας δύο ή περισσότερα διαφορετικά μοντέλα κίνησης του στόχου. Παραδείγματος xάριν, εάν ο στόχος αναμένεται να είναι ένας στόχος ελιγμού, τα χρησιμοποιούμενα πρότυπα θα μπορούσαν να είναι ένα straight-line πρότυπο κινήσεων (SLM), ένα πρότυπο αριστερής στροφής, και ένα πρότυπο δεξιάς στροφής.αλλα πρότυπα θα μπορούσαν να είναι ποικίλα πρότυπα στροφής ή πρότυπα ανόδου/καθόδου. Ο αριθμός χρησιμοποιούμενων προτύπων εξαρτάται από την εφαρμογή. Για τον εκτιμητή IMM, πολλαπλες εξισώσεις κατάστασης χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν κάθε έναν από τους διαφορετικούς τρόπους λειτουργίας. Μια markov μήτρα μετάβασης χρησιμοποιείται για να διευκρινίσει την πιθανότητα ότι ο στόχος είναι σε ένα από τους τρόπους λειτουργίας. Συνήθως, αυτές οι τιμές επιλέγονται heuristically. Παρόμοιες με τη "ανοικτη στροφή" που συζητείται σε μια έκθεση ερευνητικών εργαστηρίων Πολεμικής Αεροπορίας οι πρότυπες πιθανότητες ενημερώνονται σε κάθε νέα μέτρηση, και οι προκύπτοντες παράγοντες στάθμισης χρησιμοποιούνται στον υπολογισμό της κατάστασης. Με άλλα λόγια, καμία gating απόφαση δεν απαιτείται για τον ιχνηλάτη για να λειτουργήσει κατάλληλα. 5) Αλλοι μέθοδοι που δεν μελετήθηκαν Eκτίμηση εισόδου Η βασική ιδέα αυτή της μεθόδου είναι η εκτίμηση της άγνωστης είσοδου (επιτάχυνση) και χρήση αυτής της εκτίμησης για για εκτίμηση της κατάστασης του στόχου (θέση και ταχύτητα).αν υποθέσουμε ότι η συμπεριφορά του στόχου μπορεί να περιγραφεί από το set των καταστατικών εξισώσεων που περιγραφικαν στην αρχη τότε το πρόβλημα της παρακολούθησης του στόχου που πραγματοποιεί ελιγμό μετατρέπεται σε αυτό της εκτίμησης της κατάστασης του στόχου με άγνωστη είσοδο.η μέθοδος που μελετήσαμε έχει παρόμοια δομή με αυτή του 2-επίπεδου kalman φίλτρου (twostage kalman).περισσοτερες λεπτομέρειες για αυτή την μέθοδο θα δώσουμε στην συνέχεια οπου θα παρουσιάσουμε και τα πειραματικά αποτελέσματα της. 15

16 Πιθανολογικο φιλτρο ενωσης δεδομενων (PDAF) Το πιθανολογικό φίλτρο ένωσης δεδομένων (PDAF) χρησιμοποιείται για να αντισταθμίσει το clutter που παραλαμβάνεται ως πιθανές έγκυρες επιστροφές στόχων μέσα σε μια περιοχή πύλης γύρω από την προβλεφθείσα θέση στόχων. Το PDAF είναι ένας υποβέλτιστος (sub-optimal) Μπεϋζιανός αλγόριθμος που συνδέει πιθανοτικά (χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση πιθανοφάνειας) όλες τις επικυρωμένες μετρήσεις στο στόχο. Για αυτόν τον λόγο, το PDAF είναι επίσης γνωστό ως προσέγγιση σύντηξης δεδομένων "όλων-γειτόνων". Οι επικυρωμένες μετρήσεις, επίσης γνωστές ως γείτονες, συνδυάζονται χρησιμοποιώντας μια σταθμισμένη συνάρτηση πιθανοφάνειας στον αλγόριθμο για να αποτελέσουν την αβεβαιότητα μέτρησης. Η εκτίμηση κατάστασης ενημερώνεται με όλες τις επικυρωμένες μετρήσεις που σταθμίζονται από τις πιθανότητες να έχουν προέλθει από το στόχο, δηλ. η συνδυασμένη καινοτομία υπόλοιπο (residual,innovation). Για να αποτελέσει την αβεβαιότητα μέτρησης, ένας πρόσθετος όρος προστίθεται στην εξίσωση αναπροσαρμογών συνδιακύμανσης. Σε αντιδιαστολή με την κοντινότερη προσέγγιση γειτόνων στην σύνθεση δεδομένων, το PDAF είναι μια προσέγγιση ένωσης στοιχείων "όλων των γειτόνων". Από κοινού πιθανοτικο φιλτρο ενωσης δεδομλενων (JPDAF) Το κοινό πιθανολογικό φίλτρο ένωσης δεδομένων (JPDAF) είναι μια επέκταση του PDAF για να περιλάβει τους πολλαπλους στόχους μέσα σε clutter. Το JPDAF επιτρέπει περιοχές επικύρωσης με μη μηδενική τομή, που σημαίνουν ότι περισσότεροι από ένας στόχοι μπορούν να είναι παρόντες μέσα στην πύλη για κάθε ενημέρωση. Αυτή η επίδραση προκαλεί μια επίμονη παρέμβαση κατά τη διάρκεια πολλών στιγμών δειγματοληψίας. Μια από τις απλοποιητικές υποθέσεις της προσέγγισης JPDA είναι ότι ο αριθμός στόχων είναι γνωστός. Επίσης, οι ψεύτικες μετρήσεις διανέμονται ομοιόμορφα στην περιοχή επικύρωσης, που σημαίνει πρόσθετο χρόνο υπολογισμού που χρησιμοποιείται αξιολογώντας λες τις μετρήσεις σαν να ήταν ορθές. 2.3 Προηγμενοι αλγοριθμοι ιχνηλατησης συνθετα προβληματα Προκειμένου να αντιμετωπιστούν σύνθετες περιπτώσεις όπως αυτη των πολλαπλών αισθητήρων με πολλαπλούς στόχους που μπορούν να ελίσσονται, πρόσθετες μέθοδοι είναι απαραίτητες. Αυτές οι μέθοδοι βελτιώνουν τα βασικά χαρακτηριστικά των ιχνηλατών που συζητήθηκαν στο προηγούμενο τμήμα Πολλαπλοι στόχοι Το πρόβλημα ιχνηλασίας πολλών στόχων (ΜΤΤ) συζητείται εκτενώς σε Bar-Shalom.Εάν ο αριθμός στόχων είναι γνωστός, το JPDAF είναι ένας καλά καθιερωμένος αλγόριθμος για την ιχνηλασία των στόχων. Δεδομένου ότι το JPDAF είναι μια Μπεϋζιανή προσέγγιση, όλοι οι πιθανοί στόχοι που μπορούν να ενημερωθούν από μια μέτρηση εξετάζονται ταυτόχρονα. Επιπλέον, όλες οι επικυρωμένες μετρήσεις που εμπίπτουν στην πύλη ιχνηλασίας εξετάζονται στην ενημέρωση της τροχιάς. Εντούτοις, εάν οι στόχοι ελίσσονται, ή ο αριθμός στόχων είναι άγνωστος, κάποια άλλη εφαρμογή του φίλτρου απαιτείται. Οι προηγμένοι αλγόριθμοι ιχνηλασίας έχουν ως σκοπό να συνδυάσουν τις καλύτερες ιδιότητες (ή τις πρακτικότερες ιδιότητες) των πιό βασικών τεχνικών ένωσης τροχιών και δεδομένων. Παραδείγματος χάριν, ο συνδυασμός των IMM με το JPDA επιτρέπει την ιχνηλασία πολλών στόχων διαφορετικών τρόπων κίνησης με την προσέγγιση "όλων των γειτόνων" στην ένωση πληρογοριών. Στην πραγματικότητα, πολλοί από τους αλγορίθμους μπορούν να απλοποιηθούν για να επιτρέψουν μια υποβέλτιστη λύση διατηρώντας τις πρακτικές πτυχές του αλγορίθμου. Παραδείγματος χάριν, το JPDA θα μπορούσε να απλοποιηθεί πολύ με τον καταναγκασμό της κοντινότερης ένωσης στοιχείων γειτόνων (NNJPDA). Ο συνδυασμός αυτού του νέου φίλτρου με IMM θα οδηγούσε σε ένα φίλτρο που θα μπορούσε να ακολουθήσει τους στόχους που ελίσσονται με την μέθοδο κοντινότερου γείτονα για data association (IMMw/NNJPDAF). 16

17 2.3.2 Πολλαπλοι αισθητηρες Σε σενάρια ιχνηλασίας πολλαπλών αισθητήρων, οι αισθητήρες μπορούν να είναι του ίδιου τύπου σε διαφορετικές θέσεις, ή διαφορετικών τύπων στις ίδιες ή διαφορετικές θέσεις. Μια αρχική θεωρηση πρέπει να γίνει στο βασικό πρόβλημα των πολλών αισθητήρων δηλ, το χρόνο στον οποίο οι μετρήσεις συλλέγονται. Εάν οι αισθητήρες είναι τέλεια συγχρονισμένοι, ενώσεις μέτρηση-σε-μετρηση μπορούν να εμφανιστούν, ακολουθούμενες από κεντρική data association & tracking. Μια πιό κοινή προσέγγιση όπου κάθε αισθητήρας εκτελεί την data association & tracking μέτρηση-σε-τροχιές και έπειτα η σύνθεση και ένωση τροχιά- σε-τροχιά γίνεται καπου κεντρικά μεταξύ των αισθητήρων. Κατά εκτέλεση της ένωσης και της σύντήξης τροχιά- σε-τροχιά,μια δοκιμή πρέπει να εκτελεσθεί για να καθορίσει εάν δύο διαδρομές ανήκουν στον ίδιο πραγματικό στόχο. Αυτό γίνεται με τη σύγκριση των εκτιμήσεων κατάστασης των δύο τροχιών. Για να εξετάσει την υπόθεση ότι δύο διαδρομές ανήκουν στον ίδιο στόχο, η διαφορά μεταξύ των εκτιμήσεων κατάστασης συγκρίνεται με μια τιμή κατώφλι. Εάν η δοκιμή ικανοποιείται, η σύντήξη των εκτιμήσεων μπορεί να πραγματοποιηθεί με μια απλή εξίσωση που μεταχειρίζεται τις συνδιακυμάνσεις λάθους των δύο αισθητήρων ανεξάρτητα. Η προκύπτουσα εκτίμηση κατάστασης είναι συνήθως ακριβέστερη από την περίπτωση απομονωμένων αισθητήρων. 17

18 Αναφορές [1]Manolakis D. E., "Efficient solution and performance analysis of 3-D position Estimation" [2] Cheung, K.W. So, H.C. Ma, W.-K. Chan, Y.T., "Least squares algorithms for time-of-arrival-based mobile location" [3]Stephen Kay, "Fundamentals of Statistical Signal Processing: Vol. I Estimation Theory", Prentice Hall, [4]Bates, D. M. and Watts, D. G. Nonlinear Regression and Its Applications, New York: Wiley, [5]Bar-Shalom, Yaakov, "Multitarget-Multisensor Tracking: Applications and Advances" [6]Blackman, S. and Robert, P., "Design and analysis of modern tracking systems", Artech House radar librmy

19 Κεφάλαιο 3 ο : Δυναμικά μοντέλα στόχων Περίληψη Ο κύριος σκοπός της ιχνηλασίας ενός στόχου είναι η εκτίμηση των μεταβλητών κατάστασης της πορείας του.αν και ένα κινουμενο αντικείμενο δεν είναι ποτε ένα σημειακο αντικειμενο στον χώρο ωστοσο για την ιχνηλασία του αντιμετωπίζεται σαν σημειακό αντικείμενο χωρίς σχήμα. Ένα δυναμικό μοντέλο κίνησης ενός στόχου περιγραφει την εξέλιξη των μεταβλητών κατάστασης σε σχέση με τον χρόνο. 3.1 Γενικα Σχεδόν όλα τα δυναμικά μοντέλα στόχων θεωρούν ότι η κίνηση του στόχου και οι παρατηρήσεις της μποτούν να αναπαρασταθούν από κάποιο γνωστό μαθηματικό μοντέλο επαρκώς ακριβές.τα ευρέως χρησιμοποιούμενα μοντέλα έχουν την μορφή των καταστατικών εξισώσεων με προσθετικό θόρυβο και εχουν την ακόλουθη μορφή : x( k + 1) = fk ( x( k), u( k)) + w( k) yk ( ) = h( xk ( )) + vk ( ) k x : το διάνυσμα καταστάσεως y : να είναι το διάνυσμα μετρήσεων u : η είσοδος ελέγχου την χρονική στιγμη w : ο θόρυβος του μοντέλου v : ο θόρυβος των μετρήσεων f,h καποιες συναρτήσεις συνηθως χρονικά μεταβαλλόμενες Μια από τις μεγαλύτερες προκλήσεις στην ιχνηλάτηση κινούμενων στόχων προκυπτει από το γεγονός ότι το σύστημα δεν εχει στην διάθεση του ένα ακριβές δυναμικό μοντέλο. Πιο συγκεκριμμένα δεν υπάρχει επαρκής γνώση για την εισοδο u, για την ακριβή μορφή της f ή για τα στατιστικά χαρακτηριστικά των θορύβων w και v. Οι κινήσεις ενός στόχου κατατάσονται κυρίως σε δύο κατηγοριες 1) Αυτές που περίεχουν ελιγμο 2) Αυτές που δεν περιέχουν ελιγμο 3.2 Μοντελο σταθερής ταχύτητας Όταν ενας στόχος θεωρείται σαν σημειακό αντικείμενο μια κίνηση αυτής της κατηγορίας περιγράφεται από από την εξισωση κίνησης : xt &() = 0 Στην πράξη η ιδανική αυτή κατάσταση αντικαθίσταται από την : x& () t w() t 19

20 Με wt () να είναι λευκός Γκαουσιανός θόρυβος Ν(0,σ 2 ) και αντισταθμίζει πιθανά λάθη στην μοντελοποίηση (π.χ εξαιτείας αναταράξεων) Η αντιστοιχη καταστατική εξίσωση συνεχούς χρόνου εχει την μορφή : [ cv ] [ cv ] [ 2, 2] [, ] x& () t = diag A x() t + diag B w() t Acv = diag A A Bcv = diag B2 B A2 =, B2 = Ενώ το μοντέλο διακριτού χρόνου είναι : [ cv ] [ cv ] [ 2, 2] [, ] x( k + 1) = F x( k) + G w( t) Fcv = diag F F Gcv = diag G2 G2 2 dt 0 dt F2 =, B 2 = dt Από το παραπάνω μοντέλο μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι ο θόρυβος w(k) ουσιαστικά αντοιστιχεί σε επιτάχυνση στον x και στον y αξονα και έχει συνδιασπορά που δόινεται από τον τύπο : S S x y cov( Gwk ) = diag[ Q% 2, Q% 2] dt dt 4 3 dt dt 3 2 Q% 2 = 3 dt 2 dt 2 Το παραπάνω μοντέλο ονομάζεται μοντέλο σταθερής ταχύτητας (Constant Velocity)και όπως ήταν αναμμενόμενο η είσοδος u εχει τιμή Mοντελα σταθερής επιτάχυνσης Συνήθως η είσοδος u η οποια είναι υπεύθυνη για την πραγματοποιήση του ελιγμού εχει φυση ντιτερμινιστική και κατά βάση είναι άγνωστη στο σύστημα παρακολούθησης.ενας τρόπος είναι να μοντελοποιηθεί σαν άγνωστη ντετερμινιστική διεργασία και να γίνει εκτίμηση της μέσω των μετρήσεων.τετοια μοντέλα είναι η βάση της μεθόδου : εκτίμηση εισόδου (input estimation).εξαιτείας αυτής της έλλιψης πληροφορίας, η άγνωστη διεργασία συχνα θεωρείται να είναι σταθερή και χρονικά αμετάβλητη μέσα σε ένα χρονικό παράθυρο.σε αυτή την περίπτωση η δυσκολία εγκιται στον καθορισμό του επιπέδου της εισόδου και των χρονικών στιγμών κατά τις οποίες η είσοδος πραγματοποιηεί πηδήματα.μια άλλη εκδοχή είναι να μοντελοποιηθεί σαν μια τυχαία διεργασία.τα μοντέλα που θεωρούν την επιτάχυνση σαν τυχαία διεργασία μπορούν να καταταχθούν σε τρεις κατηγορίες : 20

21 1) Μοντέλα λευκού θορύβου : Η επιτάχυνση ( u ) μοντελοποιείται σαν λευκός θόρυβος.σε αυτην την κατηγορία ανοίκουν τα μοντέλα σταθερής ταχύτητας (CV) και σταθερής επιτάχυνσης (CA) καθως και τα πολυονυμικά μοντέλα. 2) Μοντέλα Mαρκοβιανης διεργασίας : Η είσοδος ( u ) τωρα μοντελοποιείται σαν μια διεργασία Markov με χρονική αυτοσυσχέτιση.τετοια μοντέλα είναι το γνωστό μοντέλο Singer και κάποιες επεκτάσεις του. 3) Semi Markov jump μοντέλα : Η είσοδος μοντελοποιείται σαν semi Markov jump διεργασία. Στις πιο πολλές περιπτώσεις οι ελιγμόι ενός στόχου είναι συζευγμένοι με διαφορετικές συντεταγμένες. Ωστόσο για λόγου απλότητας θεωρούμε ότι αυτή η σύζευξη μεταξύ συντεταγμένων είναι ασθενής και μπορεί να αγνοηθεί. Αυτή η παραδοχή είναι η βάση μοντέλων που θεωρούν την επιτάχυνση σαν μια τυχαία διεργασία Wiener process Acceleration Model Στο μοντέλο αυτό η επιτάχυνση θεωρείται σαν μια Wiener διεργασία. Αυτό το μοντέλο έχει 2 ευρέως χρησιμοποιηούμενες εκδοχές. Η πρώτη από αυτές ονομάζεται white noise jerk model και θεωρει την παράγωγο της επιτάχυνσης jerk να είναι ανεξέρτητη διεργασία (λευκός θόρυβος ) : at &() = wt () Η αντίστοιχη αναπαράσταση σε μορφή καταστατικών αξισώσεων είναι : x& () t = A3x() t + B3w() t A3 = B3 = 0 1 Και οι αντίσοιχες εξισώσεις διακριτού χρόνου είναι : x( k + 1) = F3 x( k) + w( k) 2 dt 1 dt 2 F3 = 0 1 dt

22 Οπου : Q = cov( wk) = SwQ dt dt dt dt dt dt Q3 = dt dt dt Wiener sequence acceleration model Σε αυτό το μοντέλο η αύξηση της επιτάχυνσης θεωρείται σαν λευκός θόρυβος.η αύξηση αυτή μέσα σε μια χρονική περίοδο είναι το ολοκλήρωμα του jerk ( at &()) μεσα σε αυτην την περίοδο. Σε μορφή καταστατικών εξισώσεων : x( k + 1) = F3x( k) + G3w( k) 2 dt 1 dt 2 F3 = 0 1 dt dt 2 G3 = dt 1 Πρέπει να παρατηρήσουμε ότι ο όρος του θορύβου έχει διαφορετική συνδιακύμανση από το προυγούμενο μοντέλο : dt dt dt dt dt Q = cov( G3wk) = var( wk) dt dt dt

23 Αναφορες [1] X.Rong Li,Vesselin P. Jilkov, "Surey of maneuvering target tracking. Part 1 : Dynamic Models" 23

24 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Κεφάλαιο 4 ο : Απλος ιχνηλατης ενός στοχου με KALMAN φιλτρο Ξεκινάμε τη σειρά αυτή παρουσιάσεων με ένα απλό σύστημα tracking για ένα στόχο ως μια πρώτη επαφή με τις έννοιες της πρόβλεψης με kalman filtering.από την απλή περίπτωση του μοντέλου κίνησης του στόχου με σταθερή ταχύτητα πάμε στην περίπτωση που ο στόχος κινείται με επιτάχυνση και από την περίπτωση που κάποιες μετρήσεις έχουν χαθεί πάμε στην περίπτωση που έχουμε στάσιμους στόχους,ψευδείς συναγερμούς αλλά και τα δύο. 4.1 Γενικα Το φίλτρο Kalman αποτελεί βασικά μια προέκταση της επαναληπτικής μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων η οποία μας επιτρέπει να μοντελοποιήσουμε αποτελεσματικά την δυναμική κατάσταση τυχαίων στόχων. Παρέχει μια γενική λύση για το πρόβλημα της εκτίμησης με την επαναληπτική μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων από την κλάση των γραμμικών εκτιμητριών. Η χρήση του φίλτρου Kalman θα ελαχιστοποιήσει το μέσο τετραγωνικό σφάλμα εφόσον η δυναμική κατάσταση του στόχου και ο θόρυβος μέτρησης μπορούν να μοντελοποιηθούν με ακρίβεια. Επιπρόσθετα με την ελαχιστοποίηση του μέσου τετραγωνικού σφάλματος το φίλτρο Kalman έχει ένα πλήθος άλλα πλεονεκτήματα για εφαρμογές σε συστήματα ιχνηλασίας πολλαπλών στόχων. Τα πλεονεκτήματα αυτά περιλαμβάνουν τις ακόλουθες ιδιότητες : 1) Η ακολουθία του κέρδους επιλέγεται αυτόματα, με βάση το μοντέλο της κίνησης που υποθέτουμε για τον στόχο και το μοντέλο του θορύβου μέτρησης. Αυτό σημαίνει ότι το ίδιο φίλτρο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για διαφορετικούς στόχους και περιβάλλοντα μέτρησης αλλάζοντας μερικές παραμέτρους κλειδιά. 2) Η ακολουθία του κέρδους αυτόματα προσαρμόζεται στη μεταβαλλόμενη ιστορία ανίχνευσης. Αυτό περιλαμβάνει μεταβαλλόμενο διάστημα δειγματοληψίας και κενά στην ανίχνευση ενός στόχου. 3) Το φίλτρο Kalman παρέχει έναν βολικό υπολογισμό της ακρίβειας της εκτίμησης μέσω του πίνακα συνδιακύμανσης. Ο υπολογισμός αυτός απαιτείται για να εκτελέσουμε τους διάφορους υπολογισμούς που συνδέονται με την σύνδεση δεδομένων. Επίσης, η γνώση μιας τιμής για την αναμενόμενη διασπορά του λάθους πρόβλεψης, είναι χρήσιμη για την ανίχνευση ελιγμών και ανιχνεύοντας τους ελιγμούς το μοντέλο του φίλτρου Kalman παρέχει ένα βολικό τρόπο για να προσαρμοζόμαστε στα δυναμικά χαρακτηριστικά ανόμοιων στόχων. 4) Με τη χρήση του φίλτρου Kalman είναι δυνατόν τουλάχιστον να αντισταθμιστούν τα αποτελέσματα της λανθασμένης σύνδεσης δεδομένων αν αυτή υπάρξει στο έντονο περιβάλλον των συστημάτων ιχνηλασίας πολλαπλών στόχων. Για παράδειγμα μια βολική μέθοδος είναι να αυξήσουμε τις αριθμητικές τιμές των στοιχείων του πίνακα συνδιακύμανσης του φίλτρου Kalman ώστε να αντικατοπτρίζεται το αναμενόμενο σφάλμα που σχετίζεται με την αβέβαιη σύνδεση δεδομένων. Η προσέγγιση αυτή χρησιμοποιείται στη συνδυαστική πιθανοκρατική σύνδεση δεδομένων JPDA. 4.2 Ορισμος γραμμικού φίλτρου Kalman Υποθέτουμε ότι η δυναμική κατάσταση του στόχου μπορεί να μοντελοποιηθεί σαν μια μαρκοβιανή διαδικασία διακριτού χρόνου της μορφής : 24

25 x(k+1)=f*x(k)+bu(k)+w(k) (1) όπου x ( διάστασης n 1 ) είναι το διάνυσμα κατάστασης του στόχου που περιέχει τις μεταβλητές εκείνες για τις οποίες θέλουμε να κάνουμε μια εκτίμηση. Επίσης, F είναι η μήτρα μετάβασης που υποθέτουμε ότι είναι γνωστή, w(k ) είναι ο μηδενικής μέσης τιμής λευκός Γκαουσιανός θόρυβος της διαδικασίας με γνωστή μήτρα συνδιακύμανσης Q και u(k) είναι η ντετερμινιστική είσοδος του συστήματος,η οποία για παράδειγμα μπορεί να είναι η επιτάχυνση του στόχου όταν αυτή δεν υπάρχει μέσα στο διάνυσμα κατάστασης. Η εξίσωση (1) είναι μια διαφορική εξίσωση η οποία περιγράφει την δυναμική κατάσταση του στόχου σαν μια Μαρκοβιανή διαδικασία που αναπαρίσταται από το διάνυσμα κατάστασης. Η διακριτού χρόνου μαρκοβιανή διαδικασία μπορεί να οριστεί σαν μια διαδικασία στην οποία η στατιστική αναπαράσταση της διαδικασίας στο μέλλον ( σάρωση k +1 ) είναι ολοκληρωτικά καθορισμένη από την παρούσα κατάσταση ( σάρωση k ). Οι δυναμικές σχέσεις συνήθως παράγονται από συνεχούς χρόνου εξισώσεις κατάστασης π.χ x& () t = f ( x(), t u(),) t t + w() t yt () = hxt ( (),) t + vt () και έπειτα μετατρέπονται σε διακριτές της μορφής (1) (οι μετρήσεις είναι διαθέσιμες μόνο σε καθορισμένες χρονικές στιγμές αλλα η δυναμική συμπεριφορά του στόχου περιγράφεται με περισσότερη ακρίβεια με μοντέλα συνεχούς χρόνου). Η εξίσωση κατάστασης οδηγείται από την ντετερμινιστική είσοδο u(k ), όπως επίσης και από τον τυχαίο θόρυβο w(k ), ο οποίος αναπαριστά την τυχαιότητα που εισάγεται στο σύστημα, όπως για παράδειγμα τον τυχαίο θόρυβο επιτάχυνσης του στόχου. Οι μετρήσεις μπορούμε να θεωρήσουμε ότι προκύπτουν από το γραμμικό συνδυασμό κάποιων από τις μεταβλητές κατάστασης του συστήματος, οι οποίες αλλοιώνονται από ασυσχέτιστο θόρυβο. Έτσι, το διάνυσμα μέτρησης y ( διάστασης m 1 ) μοντελοποιείται ως εξής: y(k)=h*x(k)+v(k) (2) όπου Η είναι η μήτρα μέτρησης ( διάστασης m n ) και v(k ) είναι ο μηδενικής μέσης τιμής λευκός Γκαουσιανός θόρυβος μέτρησης με μήτρα συνδιακύμανσης R.Δεδομένης της δυναμικής κατάστασης του στόχου ( εξίσωση (1) ) και του μοντέλου μέτρησης ( εξίσωση (2) ) οι εξισώσεις για το φίλτρο Kalman είναι: K(k)= P( k k 1)* H *( H * P( k k 1)* H R) xˆ( k k) = xˆ( k k 1) + K( k)*( y( k) H * xˆ( k k 1)) (4) Pk ( k) = ( I Kk ( )* H)* Pk ( k 1)) (5) xˆ( k + 1 k) = A* xˆ( k k) (6) T T 1 + (3) P( k + 1 k) = A* P( k k)* A T + Q (7) 25

26 Η ενημέρωση του πίνακα συνδιακύμανσης βασίζεται στην υπόθεση ότι το κέρδος του φίλτρου Kalman έχει υπολογιστεί πρώτα από τη σχέση (3). Εάν εξαιτίας υπολογιστικού λάθους ο υπολογισμός του κέρδους δεν είναι ακριβής ή το κέρδος επιλέγεται με διαφορετικό τρόπο, η σταθεροποιημένη μορφή της εξίσωσης ενημέρωσης του πίνακα συνδιακυμανσης που θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί είναι : T T P( k k) = ( I K( k)* H)* P( k k 1))*( I K( k)* H) + K( k)* R* K( k) (8) Η χρησιμοποίηση της παραπάνω σχέσης θα προσδώσει μεγαλύτερη ευστάθεια στο φίλτρο Kalman. Ο πίνακας συνδιακυμανσης ορίζεται ως εξής : { ˆ ˆ } P( k) = E [ x( k) x( k)]*[ x( k) x( k)] T (9) Το διάνυσμα της διαφοράς μεταξύ των μετρούμενων και των εκτιμούμενων ποσοτήτων : yk %( ) = yk ( ) H* xk ˆ( k 1) (10) είναι το διάνυσμα υπολοίπου που έχει πίνακα συνδιακυμανσης : T S( k) = H * P( k k 1)* H + R (11) Επίσης μπορεί να οριστεί μια νέα έκδοση του φίλτρου Kalman στην οποία οι φιλτραρισμένες ποσότητες παρακάμπτονται και χρησιμοποιείται μόνο πρόβλεψη ενός βήματος. Αυτό είναι βολικό επειδή η λειτουργία πραγματικού χρόνου των MΤT συστημάτων συχνά υπαγορεύει ότι μόνο οι προβλεπόμενες ποσότητες έχουν πρακτική σημασία. Οι εξισώσεις για αυτό το φίλτρο Kalman είναι οι εξής : K ( k) A* P( k k 1)* H *( H * P( k k 1)* H R) p T T 1 = + (12) xk ˆ( + 1 k) = A* xk ˆ( k 1) + K ( k)*[ yk ( ) H* xk ˆ( k 1)] (13) P( k + 1 k) = ( A K ( k) H)* P( k k 1)* A T + Q (14 ) p p 26

27 4.3 Αποδειξη εξισώσεων αναλυτικη επεξηγηση Στην παράγραφο αυτή θα παρουσιάσουμε μια απλή και γρήγορη μέθοδο απόδειξης των παραπάνω σχέσεων.για λόγους συντόμευσης θα γίνει η απόδειξη για το μονοδιάστατο πρόβλημα χωρίς να αλλάζει κατι και για την γενική περίπτωση. Ως γνωστόν η κλάση των μοντέλων που μελετούμε ακολουθεί κανονική κατανομή.ετσι οι υπο PX ( συνθήκη πιθανότητες των μοντέλων, i y1,..., yi 1) ακολουθεί την κανονικη κατανομή και το PX ( ίδιο και η i y1,..., yi). Το δυναμικό μοντέλο είναι : x 2 i N( dixi 1, σ d ) i 2 i N( mx i i, σ m ) i y Συμβολισμοί: Συμβολίζουμε τη μέση τιμή της P( Xi / y0,..., y i) σαν X και την μέση τιμή της i P( Xi / y0,..., yi 1) X +. Την τυπική απόκλιση της i P( Xi / y0,..., y i) σαν σ και την τυπική απόκλιση της ι P( Xi / y0,..., yi 1) σαν σ +. i Δουλεύουμε με κανονικές κατανομές εξαιτίας της καλής συμπεριφοράς των ολοκληρωμάτων τους.παρακατω θα χρησιμοποιούμε την διασπορά ν αντι της τυπικής απόκλισης σ.για να κανουμε καποιους χρήσιμους μετασχηματισμους γράφουμε: 2 ( x μ) g( x; μν, ) = exp( ) 2v g( x; μν, ) = g( x μ;0, v) g( x; μν, ) = g( n; μν, ) gax gx a a 2 ( ; μν, ) = ( ; μ/, ν/ ) Θα χρειαστούμε επίσης τις παρακάτω ιδιότητες : gx u gu du gx 2 2 ( ; μν, a) ( ;0, νb) ( ; μν, a + νb) ad + cb bd gxabgxcd ( ;, ) ( ;, ) = gx ( ;, ) f( abcd,,, ) b+ d b+ d 27

28 1) ΠΡΟΒΛΕΨΗ PX ( / y,..., y ) = PX ( / X ) PX ( / y,..., y ) dx i 0 i 1 i i 1 i 1 0 i 1 i 1 g( X ; d X, σ ) g( X ; X,( σ ) ) dx i i i 1 di i 1 i 1 i 1 i 1 i i i σdi i 1 i 1 σi 1 i 1 i i i 1 σd σ i i 1 g( X d X ;0, ) g( X X ;0,( ) ) dx g( X d ( u+ X );0, ) g( u;0,( ) ) du g( X d udx ;, σ ) gu ( ;0,( σ ) ) du i i i i 1 di i i i i 1 σdi iσi i i 0 σdi iσi 1 g( X v; d X, ) g( v;0,( d ) ) dv g( X ; d X, + ( d ) ) Οπου κάναμε τους μετασχηματισμούς : Xˆ = d Xˆ + i i i 1 ( σ ) = σ + ( d σ ) i di i i 1 PX ( / y,..., y) = i 0 i i i i 0 i i i i σm i i i σi Py ( / X) PX ( / y,..., y ) 2 2 ( i i; i, m ) ( ;,( ) ) i i i i i i i 0 i 1 2) ΔΙΟΡΘΩΣΗ Py ( / X) PX ( / y,..., y ) dx Py ( / X) PX ( / y,..., y ) g( y ; m X, ) g( X ; X,( ) ) gmx y σ gx X g X y m σ m g X X i i i 0 i 1 i ( i; i / i, m / ) ( ;,( ) ) i i i i i Από τα παραπάνω έχουμε : 2 + Xi + miyi( σ i ) X i = σm + m ( ) i i σi σ ( σ ) + σ i = σ 2 2 mi i m + m ( ) i i σi σ σ 3) Πίνακας συνδιακύμανσης Από την εξίσωση κατάστασης μια καλή πρόβλεψη για την κατάσταση του συστήματος τη χρονική t στιγμή k + 1 δίνεται από τη σχέση : x% ( k + 1) = Axˆ ( k) καιτο αντίστοιχο λάθος πρόβλεψης από την σχέση : 28

29 ek %( + 1) = xk %( + 1) xk ( + 1) = Fxk ˆ( ) xk ( + 1) ek %( + 1) = Fek ( ˆ( ) + xk ( )) xk ( + 1) = Fek ˆ( ) wk ( ) Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα ο πίνακας συνδιακύμανσης του λάθους πρόβλεψης να είναι: ( ˆ )( ˆ ) T T Pk %( + 1) = E ek ( 1) ek ( 1) Fek ( ) wk ( ) Fek ( ) wk ( ) % + % + = T T T T Pk %( + 1) = FE ekek ˆ( ) ˆ( ) F + E wkwk ( ) ( ) FE ekwk ˆ( ) ( ) T T ( ) ˆ( ) ( 1) ˆ T E w k e k F P% k + = FP( k) F + Q( k) Για την εξαγωγή του τελικού αποτελέσματος θεωρήσαμε ότι τα διανύσματα ek ˆ( ) και wk ( ) είναι ασυσχέτιστα, αφού το ek ˆ( ) είναι το λάθος εκτίμησης για το x( k ) τη χρονική στιγμή t k ενώ wk ( ) είναι ο θόρυβος που σχετίζεται με την κατάσταση του συστήματος την επόμενη χρονική στιγμή t k + 1 Η τελευταία εξίσωση παρέχει ένα τρόπο για τον υπολογισμό του πίνακα Pk+ %( 1) επαναληπτικά, με αποτέλεσμα να ολοκληρώνεται αποτελεσματικά το σύνολο των εξισώσεων που απαιτούνται για τον υπολογισμό του κέρδους Kalman επαναληπτικά. Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε με επεξεργασία των μετρήσεων yk ( ) να κάνουμε εκτίμηση xˆ( k ) για το διάνυσμα κατάστασης x( k ) η οποία είναι γραμμική, αμερόληπτη και έχει ελάχιστη διασπορά. 4) Ιδιότητες του διανυσματικού υπολοίπου Το διάνυσμα υπολοίπου Inn( k ) αποτελεί την διαφορά μεταξύ της μέτρησης τη χρονική στιγμή tk και της πρόβλεψης που βασίζεται σε όλες τις προηγούμενες μετρήσεις μέχρι την χρονική στιγμή t. Η τιμή του διανύσματος υπολοίπου εξαρτάται από το διάνυσμα x% ( k) που είναι η πρόβλεψη k 1 του διανύσματος κατάστασης x( k) που βασίζεται σε όλες τις μετρήσεις μέχρι τη χρονική στιγμή tk 1. Εάν το διάνυσμα πρόβλεψης x% ( k) χαρακτηρίζεται από το λάθος ek %( ), τότε μπορούμε να γράψουμε : x% ( k) = x( k) + e% ( k) Οπου x( k ) το αλιθηνό διάνυσμα κατάστασης την χρονικη στιγμή της μέτρησης θα είναι : t k.επίσης το διάνυσμα λάθους zk ( ) = yk ( ) Hxk ( ) Οπότε το διάνυσμα υπολοίπου λαμβάνοντας υπόψιν τις δυο παραπάνω εξισώσεις γράφεται ως εξής : Innk ( ) = ( Hxk ( ) + zk ( )) H( xk ( ) + ek %( )) Innk ( ) = zk ( ) Hek %( ) 29

30 Ο πίνακας συνδιακύμνσης του διανύσματος βελτίωσης θα είναι : T T T T E Inn( k) Inn( k) = E z( k) z( k) + E He %( k) e% ( k) H T T T T T E He %( k) z( k) E z( k) e% ( k) H E Inn( k) Inn( k) = R( k) + HP% ( k) H T T T HE e %( k) z( k) E z( k) e% ( k) H Οι δυο τελευταίοι όροι είναι μηδενικοί. Αυτό συμβαινει γιατι το διάνυσμα λάθους μέτρησης είναι ο Γκαουσιανός θόρυβος μηδενικής μέσης τιμής του οποίου τα δείγματα είναι ανεξαρτητα από κατασταση σε κατάσταση. Επίσης αφού το ek %( ) είναι το λάθος πρόβλεψης την αντίστοιχη χρονική στιγμή και βασίζεται αποκλειστικά στις μετρήσεις μέχρι την χρονική στιγμή tk 1, αυτό σημαίνει ότι το zk ( ) είναι ασυσχέτιστο με το ek %( ). Ετσι λοιπόν : E Inn( k) Inn( k) T = R( k) + HP% ( k) H Η διαφορετικά : T ( % ) ( % ) 1 ( + % ) T T 1 T T T 1 E zk ( ) Rk ( ) + HPkH ( ) zk ( ) + ek %( ) H Rk ( ) + HPkH ( ) Hek % ( ) T T T 2() ek % H Rk () HPkH () zk () Στην παραπάνω σχέση επειδή τα zk ( ) και ek %( ) είναι ασυσχέτιστα ο τελευταίος όρος είναι T μηδέν.επίσης με βάση την ιδιότητα ότι μια τετραγωνική μορφή v Pv, οπου P είναι συμμετρικός T πίνακας, μπορεί να γραφτεί ως Tt{ vv P } η παραπάνω εξίσωση παίρνει την μορφή : T T 1 ( ) ( ( ) + %( ) ) ( ) = T T 1 T T T 1 { ( ) ( ) ( ( ) + %( ) ) + %( )%( ) ( ( ) + %( ) ) } E Inn k R k HP k H Inn k E Tr zkzk Rk HPkH Hekek H Rk HPkH Και επειδή ο R( k ) είναι ο πίνακας συνδιακύμανσης του zk ( ) και Pk %( ) ο πίνακας συνδιακύμανσης του ek %( ) η παραπάνω εξίσωση γράφεται : T T 1 ( ) ( ( ) + %( ) ) ( ) = T ( )( ( ) %( ) ) % T T ( ) ( ( ) %( ) ) ( )( ) E Inn k R k HP k H Inn k Tr Rk Rk HPkH HPkH Rk HPkH 1 1 { } = T T 1 T T 1 { ( ) %( ) ( ) %( ) } ( ) ( ( ) %( ) ) ( ) {} Tr Rk + HPkH Rk + HPkH E Innk Rk + HPkH Innk = Tr I = M 30

31 Οπου I είναι ο μοναδιαίος πίνακας μεγέθους MxM οπου Μ είναι η διάσταση του πίνακα R( k ). Εάν τα στοιχεία του διανύσματος υπολοίπου Inn( k) είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους και ακολουθούν T T κανονικη κατανομή τότε η τετραγωνική μορφή ( ) 1 κατανομή και Μ βαθμούς εέυθερίας. Inn( k) R( k) + HP% ( k) H Inn( k) θα έχει χ 2 Συνοψη εξισώσεων Μαρκοβιανό Μοντέλο συστήματος : x( k + 1) = Ax( k) + Bu( k + 1 k) + w( k) Α:πίνακας μετάβασης Χ:μεταβλητές κατάστασης U : εισοδος W : λευκός Γκαουσιανός θόρυβος Μοντέλο μετρήσεων : yk ( ) = Hxk ( ) + vk ( ) Κερδος Kalman : T T K( k) = P( k k 1) H ( HP( k k 1) H + R ) c 1 Νέα εκτίμηση βάση προηγούμενης πρόβλεψης από το μοντέλο συστήματος, το μοντέλο μετρήσεων και βάση νέας μετρησης : xˆ( k k) = xˆ( k k 1) + K( k)( y( k) Hxˆ( k k 1)) Νέα εκτίμηση πίνακος συνδιακύμανσης : Pk ( k) = ( I KkH ( ) ) Pk ( k 1) Πρόβλεψη βάση μοντέλου συστήματος : xˆ( k + 1 k) = Axˆ( k k) Προβλεψη πίνακος συνδιακύμανσης : T Pk ( + 1 k) = APk ( k) A + Q 31

32 4.4 Προσομοίωση Kalman STT σε Matlab Μοντέλο σταθερής ταχύτητας Θεωρούμε ότι ο στόχος σε αυτή την πέριπτωση κινείται με σταθερή ταχυτητα οπότε το μοντέλο του θα περιγράφεται από τις εξισώσεις σταθερης ταχύτητας που περιγράφικαν παραπάνω.στο παρακάτω διάγραμμα βλέπουμε την πραγματικώς μετρούμενη θέση του στόχου στην εικόνα και θα συμβολίζεται.οπως φαίνεται και στο σχήμα έβαλα θόρυβο μέτρησης στο μοντέλο μετρήσεων περίπου 200 pixels X Y position 32

33 X Y velocity Eπειδή ο θόρυβος στις μετρίσεις μας είναι πολύ μεγάλος πρέπει να μειώσουμε την εμπιστοσύνη μας σε αυτές, με αλλα λόγια να βασιζίμαστε περισσότερο στις εκτιμήσεις μας παρα στις μετρήσεις. Αυτό επιτυνχάνεται με την σωστη επιλογη των πινάκων Q, R που αντιπροσωπεύουν την αβεβαιότητα στο μοντέλο και στις μετρήσεις αντιστοιχα.το πόσο μεγάλο η μικρό πρέπει να επιλέξουμε κάποιον από τους 2 πίνακες εξαρτάται πάντα από τον άλλο πίνακα.πιο συγκεκριμένα αν θέλουμε να εμπιστευόμαστα παρα πολύ τις μετρήσεις μας επειδή ξέρουμε ότι ο θόρυβος έιναι ελάχιστος τότε θα πρέπει να επιλέξουμε μικρη τιμή για τον R (μικρή αβεβαιότητα στις μετρήσεις ) σε σύγκριση με τον Q. Στο μοντέλο σταθερής ταχύτητας το οποίο προς το παρόν θεωρούμε ότι περιγράφει την δυναμική συμπεριφορά του στόχου μας ο πίνακας συνδιακύμανσης Q του μοντέλου δίνεται από τον τύπο : Q dt dt = 3 dt 2 2 dt 33

34 Και για dt=1/25 είναι : Q = Αρα η τιμή του είναι πολύ μικρή.στα αποτελέσματα θα κρατάμε τον Q σταθερο και θα μεταβάλλουμε την τιμή του πίνακα R=ρR=ρ*eye(2) Με μπλε είναι η πραγματικη τιμη (για θεση ή ταχύτητα αναλογα) και με πράσινο η εκτίμηση.ο θοσυβος παραλήπεται για να είναι ευδιάκτιτα τα διαγράμματα. ρ = (σύγκριση με το ) X-Y position 34

35 X-Y vel ρ = (σύγκριση με το ) X-Y position 35

36 X-Y vel ρ = (σύγκριση με το ) Χ-Υ position 36

37 Χ-Υ velocity ρ = 0.01 (σύγκριση με το ) Χ-Υ position 37

38 X-Y vel ρ = 1 (σύγκριση με το ) Χ-Υ position 38

39 Χ-Υ vel ρ=10 39

40 Από τα παραπάνω αποτελέσματα κάνουμε τις εξής παρατηρήσεις : Όταν το ρ ηταν σχετικα κοντα στο αν αναλογιστούμε και τον θόρυβο τα αποτελέσματα δεν ηταν καλα γεγονός που το περιμέναμε αλλωστε αφου όπως είχαμε πει και στην αρχη θα πρέπει για τοσο πολύ θόρυβο το R να είναι πολύ μεγαλύτερο από τον πίνακα Q.Kαθώς αυξάνεμε το ρ τα αποτλέσματα βελτιώνονταν.για ρ =1 τα αποτελέσματα ηταν παρα πολύ κάλα.για ρ = 10 παρατηρούμε ότι η εκτίμηση αργει πολύ να συγκλίνει στην πραγμτική τιμή των μεταβλητών θέσης και ταχυτητας αφου τωρα η εμπιστοσύνη μας στις προβλέψεις είναι πάρα πολύ μεγάλη.εδώ πρέπει να επισημάνουμε ότι για ρ=10 αργει μεν η εκτίμηση να συγκλίνει αλλα το λάθος που θα έχει αφου συγκλίνει θα είναι πολύ μικρότερο για τις προυγούμενες τιμές του ρ. Απ το παραπάνω σχήμα είναι φανερό επίσης ότι η ταχύτητα συγκλίνει πολύ αργότερα.αυτο είναι δικαιολογημένο καθώς επιβάλλεται στο kalman filtering το διάνυσμα κατάστασης να έχει τουλαχιστον ένα βαθμό μεγαλύτερης τάξης παράγωγο από το διάνυσμα μετρήσεων.συνεπώς,αφού εδώ οι μετρήσεις έχουν ταχύτητα πρέπει να συμπεριληφθεί και η επιτάχυνση στο διάνυσμα κατάστασης.τα αποτελέσματα θα φανούν σε παρακάτω προσομοίωση. Συμπέρασμα Για αυξανόμενο ρ έχουμε αύξηση στον χρόνο σύγκλισης, μικρότερο σφάλμα αφού εχεί συγκλίνει η εκτίμηση μας, καλύτερα αποτελέσματα για πολύ θόρυβο.η επιλογή του ρ εξαρταται επομένως από τις προδιαγραφές του προβήματος μας. 40

41 Χαμένες μετρήσεις (Τα αποτελέσματα είναι για μετρήσεις χωρίς θόρυβο) Ένα σημαντικό θέμα προκύπτει όταν για οποιοδήποτε λόγο κάποιες μετρήσεις χαθούν.στην παρακάτω προσομοίωση,όπου έχουμε πολλές χαμένες μετρήσεις μαζι, φαίνεται ότι το φίλτρο χάνει προς στιγμήν μόνο την τροχιά. Οι χαμένες μετρήσεις είναι αυτές των χρονικών στιγμών 2, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 60, 250, 300, 301, 302, 303, 400 Εφοσον δεν υπάρχει θόρυβος θα θέσουμε στο ρ πολύ μικρη τιμη για να φανεί καλύτερα η επίδραση των χαμένων μετρησεων στην απόδοση του φίλτρου. ρ = X-Y position 41

42 X-Y velocity Σχολιασμος : Τις χρονικές στιγμές που οι μετρήσεις χάνονται το φίλτο δεν έχει κάποιο μηχανισμο που να μπορει να συνεχιζει με την προηγούμενη εκτίμηση και έτσι θεωρεί ότι οι μηδενικές μετρήσεις είναι έγκυρες. Ετσι κανει αρχικοποίηση τροχιάς με τη χαμένη δηλαδή μηδενική μέτρηση και κάνει αρκετή ώρα μέχρι να ξανασυγκλίνει στην πραγματική τροχιά. 42

43 Διορθωμένο φίλτρο kalman Το πρόβλημα διορθώνεται ως εξής: Ελέγχουμε αν η επεξεργασία της εικόνας δεν επέστρεψε μέτρηση και κάνουμε την πρόβλεψη μόνο με την προηγούμενη εκτίμηση χωρίς να παίρνουμε υπόψη μας τη μηδενική μέτρηση.τα αποτελέσματα είναι εκπλήκτικά. X-Y position 43

44 Χ-Υ velocity 44

45 Ψευδείς συναγερμοι (False alarms and clutter) (μετρήσεις χωρίς θόρυβο) Στην περίπτωση ψευδών συναγερμών παραμένει όμως το πρόβλημα αφού ο ιχνηλάτης θεωρεί τις μετρήσεις για πραγματικές και τις παίρνει υπόψην του για την ανανέωση της εκτίμησης..αυτό φαίνεται στην παρακάτω προσομοίωση. Χ-Υ position 45

, και. είναι σταθερές (χρονικά αμετάβλητες), προκύπτει το χρονικά αμετάβλητο φίλτρο Kalman (Time Invariant Kalman Filter):

, και. είναι σταθερές (χρονικά αμετάβλητες), προκύπτει το χρονικά αμετάβλητο φίλτρο Kalman (Time Invariant Kalman Filter): 1 ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟ ΦΙΛΤΡΟ KALMAN Για το χρονικά αμετάβλητο μοντέλο, όπου οι μήτρες F( k 1, k) F, H( k 1) H, Q( k) Q και R( k 1) R είναι σταθερές (χρονικά αμετάβλητες), προκύπτει το χρονικά αμετάβλητο

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman

Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman 1 Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman Το 1960, R.E. Kalman δημόσιευσε το διάσημο έγγραφό του περιγράφοντας μια επαναλαμβανόμενη λύση στο γραμμικό πρόβλημα φιλτραρίσματος διακριτών δεδομένων. Από εκείνη τη στιγμή,

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής Δεσμευμένη αξιοπιστία Η δεσμευμένη αξιοπιστία R t είναι η πιθανότητα το σύστημα να λειτουργήσει για χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 1: Βασικές έννοιες Μπλόκ διαγράμματα Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr Επ. Καθηγητής Τμήματος Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αναγνώριση Προτύπων Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Χριστόδουλος Χαμζάς Τα περιεχόμενο της παρουσίασης βασίζεται στο βιβλίο: Introduction to Pattern Recognition A Matlab Approach, S. Theodoridis,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε Πτυχιακή εργασία ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΕΣΗΣ ΓΡΑΦΙΔΑΣ ΕΚΤΥΠΩΤΗ ΕΚΠΟΝΗΣΗ: ΚΟΛΙΩΤΣΑ ΜΑΡΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΤΣΙΡΙΓΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Αναλυτική Μέθοδος- Αναλυτικό Πρόβλημα. Ανάλυση, Προσδιορισμός και Μέτρηση. Πρωτόκολλο. Ευαισθησία Μεθόδου. Εκλεκτικότητα. Όριο ανίχνευσης (limit of detection, LOD).

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Σημειώσεις μαθήματος Thomas Bayes (1701 1761) Στυλιανός Χατζηδάκης ECE 662 Άνοιξη 2014 1. Εισαγωγή Οι σημειώσεις αυτές βασίζονται στο μάθημα ECE662 του Πανεπιστημίου Purdue και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Σύμφωνα με το Ινστιτούτο Ρομποτικής της Αμερικής

Σύμφωνα με το Ινστιτούτο Ρομποτικής της Αμερικής ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ: ΟΡΙΣΜΟΣ: Σύμφωνα με το Ινστιτούτο Ρομποτικής της Αμερικής, ρομπότ είναι ένας αναπρογραμματιζόμενος και πολυλειτουργικός χωρικός μηχανισμός σχεδιασμένος να μετακινεί υλικά, αντικείμενα, εργαλεία

Διαβάστε περισσότερα

ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2007 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ

ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2007 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Γιατί οι επιχειρήσεις έχουν ανάγκη την πρόβλεψη σελ.1 1.2 Μέθοδοι πρόβλεψης....σελ.2 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ 2.1 Υπόδειγμα του Κινητού μέσου όρου.σελ.5 2.2 Υπόδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ GNSS/INS: ΑΠΟ ΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ GNSS/INS: ΑΠΟ ΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ Δορυφορική Γεωδαισία Σύγχρονα Συστήματα και Εφαρμογές Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών, Τμήμα Τοπογραφίας ΤΕΙ Αθήνας, 26 Μαΐου 2010 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ GNSS/INS: ΑΠΟ ΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΣΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας κυρίως τρεις μεθόδους:. Αναλυτικές Μέθοδοι: πραγματοποιείται κατάλληλη μαθηματική μοντελοποίηση του στοχαστικού

Διαβάστε περισσότερα

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένα σύστηµα εκκρεµούς όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Πάνω στη µάζα Μ επιδρά µια οριζόντια δύναµη F l την οποία και θεωρούµε σαν είσοδο στο σύστηµα. Έξοδος του συστήµατος θεωρείται η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηση και Γενίκευση. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων

Μάθηση και Γενίκευση. Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων Μάθηση και Γενίκευση Το Πολυεπίπεδο Perceptron (MultiLayer Perceptron (MLP)) Έστω σύνολο εκπαίδευσης D={(x n,t n )}, n=1,,n. x n =(x n1,, x nd ) T, t n =(t n1,, t np ) T Θα πρέπει το MLP να έχει d νευρώνες

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Βιομηχανικής Πληροφορικής Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών, ΤΕΙ Σερρών

Εργαστήριο Βιομηχανικής Πληροφορικής Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών, ΤΕΙ Σερρών ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένας εργοστασιακός φούρνος. Το αν οι αντιστάσεις του φούρνου λειτουργούν ή όχι, εξαρτάται από μια μεταβλητή C η οποία παίρνει τιμές από 0 μέχρι και 10. Με μηδέν σημαίνει ότι δεν περνάει καθόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

Υλοποίηση εντοπισμού στα Nao robots μέσω προσέγγισης του φίλτρου Kalman

Υλοποίηση εντοπισμού στα Nao robots μέσω προσέγγισης του φίλτρου Kalman Α Π Ε (Χ 2011/2012) Υλοποίηση εντοπισμού στα Nao robots μέσω προσέγγισης του φίλτρου Kalman Ιωακείμ Πέρρος, ΑΜ: 2007030085 2 Απριλίου 2012 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή / Πρόβλημα 1 2 Προσέγγιση / Λύση 2 2.1

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Να αναφέρετε ποια από τα σώματα που φαίνονται στην εικόνα κινούνται. Α. Ως προς τη Γη B. Ως προς το αυτοκίνητο. Α. Ως προς τη Γη κινούνται το αυτοκίνητο, το αεροπλάνο και ο γλάρος.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Ολοκληρώσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ψηφιακός Έλεγχος Συστημάτων Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Ο Νεύτωνας παίζει μπάλα

Κεφάλαιο 2: Ο Νεύτωνας παίζει μπάλα Κεφάλαιο : Ο Νεύτωνας παίζει μπάλα Το ποδόσφαιρο κατέχει αδιαμφισβήτητα τη θέση του βασιλιά όλων των αθλημάτων. Είναι το μέσο εκείνο που ενώνει εκατομμύρια ανθρώπους σε όλον τον κόσμο επηρεάζοντας ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink Δυναμική Μηχανών I 5 6 Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης 1 Σκοπός ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Ειδικά Συστήματα Ελέγχου Πλοίου(8.3.45.8) Κεφάλαιο: Συστήματα Ελέγχου Πλοίου

Μάθημα: Ειδικά Συστήματα Ελέγχου Πλοίου(8.3.45.8) Κεφάλαιο: Συστήματα Ελέγχου Πλοίου Μάθημα: Ειδικά Συστήματα Ελέγχου Πλοίου(8.3.45.8) Κεφάλαιο: Συστήματα Ελέγχου Πλοίου Δρ.ΓεώργιοςΠαπαλάμπρου 1 Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται συστήματα ελέγχου πλοίων, όπως αυτόματοι πιλότοι

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ρομποτική

Εισαγωγή στην Ρομποτική Τμήμα Μηχανολογίας Τ.Ε.Ι. Κρήτης Εισαγωγή στην Ρομποτική 1 Γενική περιγραφή ρομποτικού βραχίονα σύνδεσμοι αρθρώσεις αρπάγη Περιστροφική Πρισματική Βάση ρομποτικού βραχίονα 3 Βασικές ρομποτικές αρθρώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Θεωρία Απόφασης του Bayes 2.1 Εισαγωγή

Κεφάλαιο 2: Θεωρία Απόφασης του Bayes 2.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο : Θεωρία Απόφασης του Bayes. Εισαγωγή Η θεωρία απόφασης του Bayes αποτελεί μια από τις σημαντικότερες στατιστικές προσεγγίσεις για το πρόβλημα της ταξινόμησης προτύπων. Βασίζεται στη σύγκριση

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση του Φαινομένου του Μικροφωνισμού σε Ακουστικά Βαρηκοΐας

Αφαίρεση του Φαινομένου του Μικροφωνισμού σε Ακουστικά Βαρηκοΐας Αφαίρεση του Φαινομένου του Μικροφωνισμού σε Ακουστικά Βαρηκοΐας Νιαβής Παναγιώτης Επιβλέπων: Καθ. Γ. Μουστακίδης Περιεχόμενα Εισαγωγή Μικροφωνισμός σε ακουστικά βαρηκοΐας Προσαρμοστική αναγνώριση συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognton Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesan Decson Theory Π. Τσακαλίδης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayes Decson theory Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Βιομηχανικοί Ελεγκτές

Βιομηχανικοί Ελεγκτές Βιομηχανικοί Ελεγκτές Σημειώσεις Εργαστηρίου Έλεγχος Στάθμης Δοχείου με P.I.D. Ελεγκτή Περιεχόμενα 1. Τρόπος Εισαγωγής στο πρόγραμμα εξομοίωσης. 2. Τρόπος λειτουργίας εξομοιωτή. 3. Αναγνώριση ιδιοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/10/2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/10/2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 214-2 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/1/214 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

Το διαστημόπλοιο. Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δυναμική σε μία διάσταση - Δυναμική στο επίπεδο) Τάξη: Α Λυκείου

Το διαστημόπλοιο. Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δυναμική σε μία διάσταση - Δυναμική στο επίπεδο) Τάξη: Α Λυκείου Το διαστημόπλοιο Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δυναμική σε μία διάσταση - Δυναμική στο επίπεδο) Τάξη: Α Λυκείου Χρονική Διάρκεια Προτεινόμενη χρονική διάρκεια σχεδίου εργασίας: 5 διδακτικές ώρες Διδακτικοί

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Περιεχόμενα Μαθήματος Εισαγωγή στο Πρόβλημα. Monte Carlo Εκτιμητές. Προσομοίωση. Αλυσίδες Markov. Αλγόριθμοι MCMC (Metropolis Hastings & Gibbs Sampling).

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Χρήση του Simulation Interface Toolkit για την Εξομοίωση και Πειραματισμό Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Χρήση του Simulation Interface Toolkit για την Εξομοίωση και Πειραματισμό Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Χρήση του Simulation Interface Toolkit για την Εξομοίωση και Πειραματισμό Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Γ. Νικολακόπουλος, Μ. Κουνδουράκης, Α. Τζες και Γ. Γεωργούλας Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ 3-1 Προσομοιωση και Βελτιστοποιηση Συστηματος (Haimes, 1977) ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΠΙΝΑΚΑΣ 3-1 Προσομοιωση και Βελτιστοποιηση Συστηματος (Haimes, 1977) ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 3.1 Εισαγωγη ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Τα συστηματα εφαρμοζονται σε αναπτυξιακα προγραμματα, σε μελετες σχεδιασμου εργων, σε προγραμματα διατηρησης ή προστασιας περιβαλλοντος και υδατικων πορων και

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Ζήτησης και Προμηθειών της ΕΑ. Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης 1

Προγραμματισμός Ζήτησης και Προμηθειών της ΕΑ. Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης 1 Προγραμματισμός Ζήτησης και Προμηθειών της ΕΑ Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης 1 4. Πρόβλεψη Ζήτησης στην ΕΑ Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

NETCOM S.A. ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΛΜΟΜΕΤΑΤΡΟΠΕΩΝ DIGITAL CONTROL OF SWITCHING POWER CONVERTERS

NETCOM S.A. ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΛΜΟΜΕΤΑΤΡΟΠΕΩΝ DIGITAL CONTROL OF SWITCHING POWER CONVERTERS NETCOM S.A. ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΛΜΟΜΕΤΑΤΡΟΠΕΩΝ DIGITAL CONTROL OF SWITCHING POWER CONVERTERS Αρχή λειτουργίας των Αναλογικών και ψηφιακών Παλμομετατροπεων Ο παλμός οδήγησης ενός παλμομετατροπέα, με αναλογική

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών

9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών Κεφάλαιο 9: Συστολικές συστοιχίες επεξεργαστών 208 9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών Οι συστολικές συστοιχίες επεξεργαστών είναι επεξεργαστές ειδικού σκοπού οι οποίοι είναι συνήθως προσκολλημένοι σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Η Μέτρηση Εργασίας (Work Measurement ή Time Study) έχει ως αντικείμενο τον προσδιορισμό του χρόνου που απαιτείται από ένα ειδικευμένο

Διαβάστε περισσότερα