ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΥΣΚΕΥΗΣ ΓΙΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗ ΚΙΝΟΥΜΕΝΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥΣ ΑΙΣΘΗΤΗΡΕΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΥΣΚΕΥΗΣ ΓΙΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗ ΚΙΝΟΥΜΕΝΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥΣ ΑΙΣΘΗΤΗΡΕΣ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΥΣΚΕΥΗΣ ΓΙΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗ ΚΙΝΟΥΜΕΝΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥΣ ΑΙΣΘΗΤΗΡΕΣ ΚΟΜΝΗΝΟΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΑΝΤΩΝΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΣΥΝΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΤΖΕΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

2 2

3 Περίληψη Η επιστημονική κοινότητα τα τελευταία χρόνια και κυρίως μετά το 1970 έχει δείξει τεράστιο ενδιαφέρον για τον τομέα της επεξεργασίας εικόνας και video σε συνδυασμό με τον έλεγχο κλειστού βρόγχου και όλα αυτά σε πραγματικό χρόνο. Γι αυτό και η οπτική παρακολούθηση (vision tracking) είναι και μία από τις πιο σημαντικές εφαρμογές στον τομέα του computer vision.το συγκεκριμένο αντικείμενο[1] αποτελεί πρόκληση για πολλούς, εξαιτίας της μεγάλης δυσκολίας που έγκειται στο γεγονός της παράλληλης αναγνώρισης των κινούμενων στόχων με την ταυτόχρονη κίνηση της camera. Περίτρανη απόδειξη όλων των παραπάνω είναι η μεγάλη ποικιλία των σχετικών άρθρων που έχουν δημοσιευτεί σε διάφορα σχετικά με τον αντικείμενο περιοδικά, βιβλία καθώς και έχουν παρουσιαστεί σε διάφορα συνέδρια. To μεγαλύτερο πλεονέκτημα αυτών των αυτόματων συστημάτων παρακολούθησης (automatic surveillance systems) είναι η πολύ καλή αξιοπιστία και η αποδοτικότητα για παρακολούθηση από απόσταση (long distance surveillance) σε σύγκριση με αυτή που θα παρουσίαζαν εάν στη θέση τους υπήρχε ο ανθρώπινος παράγοντας. Τα συστήματα(3) που χρησιμοποιούνται για παρακολούθηση μπορούν αν περιλαμβάνουν radar, sonars ή ακόμη και lasers. Κύριο μειονέκτημα αυτών των συστημάτων είναι οι συσκευές σάρωσης που περιλαμβάνουν. Αυτές είναι ενδεχομένως αναξιόπιστες και καταναλώνουν μεγάλες ποσότητες ενέργειας, γεγονός μη επιθυμητό κυρίως σε διαστημικές εφαρμογές. Μία ενδιαφέρουσα εναλλακτική λύση αντί της χρήσης των παραπάνω συσκευών είναι να υιοθετηθούν vision συστήματα, τα οποία παρέχουν ακριβής χρονική και χωρική ανάλυση (spatiotemporal resolution).στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η εξομοίωση ενός ελεγκτή ο οποίος έχοντας στην διάθεση του κάθε χρονική στιγμή την θέση του στόχου προς παρακολούθηση στην εικόνα θα θα οδηγεί την κάμερα ετσι ώστε να κρατάει τον στόχο σε μια περιοχή γύρω από το κέντρο της.μελλοντική εφαρμογή αυτης της διπλώματικης θα μπορούσε να είναι η ενσωμάτωση του συστήματος παρακολούθησης σε ένα σύστημα μονοκατευθυντικών κεραιων έτσι ώστε να επιτυγχάνεται η βέλτιστη επικοινωνία με τα αεροσκάφη. 3

4 Περιεχόμενα Κεφαλαιο 1 : Εισαγωγικές εννοιες του συστήματος οπτικής παρακολούθησης Αρχιτεκτονική συστήματος 1.2 Εφαρμογες συστημάτων έξυπνης παρακολούθησης 1.3 Image Based Servoing 1.4 Position Based Servoing Κεφαλαιο 2 : Θεμελειώδεις εννοιες ιχνηλασιας (Tracking) Παράλληλη επεξεργασία 2.2 Μέθοδοι πρόβλεψης διόρθωσης 2.3 Προυγμένοι αλγόριθμοι ιχνηλάτισης Πολλαπλοι Στόχοι Πολλαπλοι αισθητηρες Κεφάλαιο 3 : Δυναμικά μοντέλα στόχων Γενικα 3.2 Μοντελο σταθερής ταχύτητας (Constant Velocity Models) 3.3 Μοντέλα σταθερής επιτάχυνσης (Constant Acceleration Models) Wiener process Acceleration Model Wiener sequence acceleration model Κεφάλαιο 4 : Απλός Ιχνηλάτης με φίλτρο Kalman Γενικά 4.2 Ορισμος γραμμικου φίλτρου 4.3 Αποδειξη εξισώσεων 4.4 Προσομοίωση Kalman STT σε Matlab Μοντέλο σταθερής ταχύτητας Χαμένες μετρήσεις Ψευδεις συναγερμοί Μοντέλα με επιτάχυνση 4.5 Παράρτημα Κεφάλαιο 5 : Φίλτρο Αλλιλεπιδρόντων μοντέλων (IMM) Γενικα 5.2 IMM αλλιλεπίδραση συγχώνευση πρόβλεψη 5.3 Επιλογή Μαρκοβιανων πιθανοτήτων μετάβασης 5.4 Προσομοίωση IMM σε Matlab 5.5 Παράρτημα Κεφάλαιο 6 : Ελεγχος συσκευής pan/tilt Γενικα 4

5 6.2 Bέλτιστος Γραμμικός τετραγωνικός έλεγχος (LQR) Cheap control Expensive control 6.3 Γραμμικός τετραγωνικός Γκαουσιανός έλεγχος (LQG) Γενικα Παρατηρητές πλήρους τάξης Αρχη της διαχωρισιμότητας LQG estimation (Kalman Busy filter) Βέλτιστο κέρδος LQ Set point control Ανατροφοδότηση κατάστασης Ανατροφοδότηση εξόδου Απόδειξη εξισώσεων Εφαρμογή σε σύστημα οπτικής παρακολούθησης Καταστατικές εξισώσεις Κέρδος LQ Φίλτρο Kalman Προσομοίωση και αποτελέσματα Περαιτέρω συζήτηση για θέματα ελέγχου στο πρόβλημα της οπτικής παρακολούθησης 6.4 Παραρτημα 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : Εισαγωγικές έννοιες του συστήματος οπτικής παρακολούθησης 1.1 Αρχιτεκτονική συστήματος Τα οπτικά συστήματα παρακολούθησης[2],[3]αποτελούνται από δύο βασικά μέρη ανεξάρτητα μεταξύ τους. Αυτά είναι το σύστημα με το οποίο γίνεται η αναγνώριση και η επεξεργασία της εικόνας, το σύστημα του ελέγχου και τέλος το σύστημα κίνησης της camera. Το σύστημα της αναγνώρισης και επεξεργασίας της εικόνας (vision module) αποτελείται από το απαραίτητο υλικό (hardware) και λογισμικό (software) για την επεξεργασία της οπτικής πληροφορίας. Είναι υπεύθυνο για την αναγνώριση της θέσης του στόχου (target acquisition). Το σύστημα ελέγχου (control module) υπολογίζει την επιθυμητή κίνηση της camera (trajectory), αξιοποιώντας τις πληροφορίες από την επεξεργασία της εικόνας, με βάση έναν νόμο ελέγχου, έτσι ώστε να επιτυγχάνεται συνεχής και ομαλή κίνηση της camera ενώ παράλληλα ο στόχος να παραμένει στο κέντρο του συστήματος συντεταγμένων της εικόνας. Το σύστημα κίνησης (actuation) κινεί τους βαθμούς ελευθερίας (δύο περιστροφικοί στο συγκεκριμένο σύστημα) του συστήματος εικόνας προς τα νέα καθορισμένα σημεία που παρέχονται από το τμήμα ελέγχου. Η νέα κατάσταση του συστήματος ασκεί επιρροή στις επόμενες παρατηρήσεις του στόχου, που κλείνει το βρόχο μεταξύ της δράσης και της αντίληψης. Η παραπάνω περιγραφή του συστήματος απεικονίζεται στο ακόλουθο σχήμα. 6

7 1.2 Εφαρμογές συστημάτων έξυπνης παρακολούθησης ( smart surveillance) Τα συστήματα παρακολούθησης είτε τα συναντάμε σαν αυτοτελή συστήματα είτε σαν υποσυστήματα άλλων πιο περίπλοκων συστημάτων. Κάποιες κατηγορίες εφαρμογών παρατίθενται παρακάτω [2] : Σε διαδραστικά συστήματα : προηγμένο περιβάλλον διεπαφής ανθρώπου μηχανής (advanced human machine interface), εικονική πραγματικότητα (virtual reality). Σε αεροπορικές ή διαστημικές εφαρμογές: παρακολούθηση αεροσκαφών (aircraft tracking), παρακολούθηση πυραύλων (missle tracking), παρακολούθηση δορυφόρων (satellite tracking), αμυντικά συστήματα (defending weapons), Εφαρμογές αποθήκευσης και ανάκτησης εικόνας βασισμένες στο περιεχόμενο της (content based image storage/retrieval) Εφαρμογές σε κυκλοφορικά συστήματα και σε συστήματα πλοήγησης: ευφυή συστήματα πάνω σε οχήματα για τη διευκόλυνση της πορείας σε εθνικές οδούς (intelligent vehicle highway systems), παρακολούθησης κυκλοφορικής κίνησης (traffic monitoring),πλοήγηση (navigation) 7

8 Σε συστήματα έξυπνων κεραιων (smart antenna systems ) Εφαρμογές στη βιομηχανία (Industrial applications) : αυτόματη συναρμολόγηση (vision based assembly, robot manipulation of objects), επιθεώρηση κίνησης των αντικειμένων πάνω στις μεταφορικές ταινίες (motion of parts on conveyor belts in industry) Συστήματα ασφαλείας π.χ. σε σπίτια, σε τράπεζες,σε αεροδρόμια κ.λπ. (intruder detection, surveillance systems at airports) Μετεωρολογία (cloud tracking) Βιοιατρική : παρακολούθηση κίνησης κυττάρων και κινούμενων μερών του ανθρώπινου σώματος (cell motion and tracking of moving parts of the body) Σε συστήματα για τη διευκόλυνση ανθρώπων με αναπηρία (assisting individuals with disabilities) 1.3 Ιmage based servoing Σε αυτή την στρατηγική ελέγχου [4] η θέση του στόχου στην εικόνα χρησιμοποιείται στην ανάδραση.για παράγειγμα ας λάβουμε υπόψιν μας το παρακάτω σχήμα : 8

9 Στο παραπάνω σχήμα σκοπός είναι η κάμερα να κινηθεί με τέτοιο τρόπο ώστε από την αρχική εικόνα να πάμε στην τελική και ο πίνακας με τα χαρακτηρηστικά του στόχου να γίνει f0 fd.ο πίνακας αυτός μπορεί να περιλαμβάνει σύντεταγμένες μια περιοχής ή ενός σημείου.για ένα ρομποτ το οποίο έχει την κάμερα τοποθετημένη στην αρπάγη του οπώς φαίνεται και στο πρώτο σχήμα, οι σύντεταγμένες του στόχου θα εξαρτόνται από την σχετική μεταξύ τους θέση και κίνηση.γενικά μια τέτοια σχέση θα είναι μη γραμμική και συσχετισμένη και έτσι η κίνηση της αρπάγης θα προκαλεί μια διαφορετική και πολυπλοκη κίνηση του στόχου.για παράδειγμα μια περιστροφή της αρπάγης μπορεί να προκαλέσει ταυτόχρονα μετατόπιση και στους 2 άξονες τις εικόνας. Με βάση το παραπάνω σχήμα [5] ας ορίσουμε την σχετική στάση μεταξύ του επιπέδου της εικόνας και του στόχου να είναι : c x.τότε η σχέση : c f = f ( x t ) t μπορεί να γραμμικόποιηθεί γύρο από το σημείο λειτουργίας : 9

10 f ( c ) c f c f δ f = Jc xt δ x και t Jc( xt) =. c x t f J είναι η ιακωβιανή μήτρα που σχετίζει τον ρυθμό αλλαγής της στάσης του επιπέδου της c εικόνας με τον ρυθμό κίνησης του στόχου με άλλα λόγια δίνει μια σχέση μεταξύ της ταχύτητας της αρπάγης και της ταχύτητας του στόχόυ.η ιακοβιανή αυτή μητρα συχνά εμφανίζεται με την ονομασία ιακωβιανή εικόνας (image jacobian) ή πίνακας ευαισθησίας (sensitivity matrix).αργότερα η ιακωβιανη αυτή μήτρα θα χρησιμοπιήθει έμμεσα για την εξαγωγή των καταστατικών εξισώσεψν που είναι αναγκαίες για τον σχεδιασμό του ελεγκτή. Ας υποθέσουμε προς στιγμήν ότι η μήτρα αυτή είναι τετραγωνική και non singular (στην πράξη θα χρησιμοποιήσουμε τον ψευδοαντίστροφο) τότε : x& = J 1 ( x ) f& c f c t c t και έτσι ένας απλός proportional νόμος ελέγχου θα είναι : x& = K J 1 ( x )( f f ( t)) c f c t c t d Με τον παραπάνω νόμο ελέγχου η αρπάγη θα κινείται προς το επιθυμητό f d.κ είναι ενας διαγώνιος πίνακας και t δηλώνει μια χρονικά μεταβαλλόμενη ποσότητα.στην σύνεχεια ο ρυθμός αλλαγής c x& t μετατρέπεται σε ρυθμό αλλαγής της αρπάγης του ρομποτ μέσω ενός σταθερου ιακωβιακού πίνακα ti J,με i να δηλώνει τους βαθμούς ελευρείας του robot, που προκύπτει από την σχετική θέση c μεταξύ αρπάγης και κάμερας.εμας η μοναδα πάνω στην οποία έγιναν πειράματα για την απόδοση του ελεγκτη που σχεδιάζεται σε επόμενο κεφάλαιο είναι μια μονάδα pan/tilt δηλαδή έχει δυο περιστροφικούς βαθμούς ελευθερίας.στην συνέχεια με βάση αυτόν τον πίνακα ( ti J ) και με τις c τίμες c x& που προκύπτουν από τον νόμο ελέγχου που περιγράφικε παραπάνω παίρνουμε τις τίμες t για την περιστροφή/μετετόπιση των βαθμών ελευθερίας του robot με χρηση της ακόλουθης σχέσης & ti 1 ti θ = J θ ( θ) x& t. Η πλήρης εξίσωση είναι : & θ. 1 1 () ti ( ) ti f t = K J ( c θ θ Jc Jc x)( fd f ()) t Ένα τυπικο μοντέλο simulink που διατιθεται μαζι με το robotics toolbox για το Matlab φαίνεται παρακάτω : 10

11 1.4 Position Based Servoing Σε αυτή την τεχνική [4] γίνεται χρήση ειδικών αισθητήρων και τεχνικων που θα περιγραφουν εν συντομία στην συνέχεια για την πρόβλεψη της απόστασης μεταξύ του οπτικού αισθητήρα και του κινούμενου, προ παρακολούθηση, αντικειμένου. Οι αισθητήρες αυτής της κατηορίας χωρίζονται σε ενεργούς (Active Range Sensors) και σε παθητικούς (Passive Range Sensors). Στην πρώτη κατηγορία ανοίκουν αισθητήρες που με την χρήση υπερήχων ή δέσμης φωτός μπορουν να προσδιορίσουν το βάθος, ενώ στην δεύτερη κατηγορία ανοίκουν οι αισθητήρες που χρησιμοποιούν το διαθέσιμο φως για να προσδιορίσουν το βάθος.παρακάτω περιγράφονται συνοπτικά κάποιε τεχνικές PBVS : 11

12 Photogrammetric Με αυτή την τεχνική οι πληροφορίες για αντικείμενα αντλούνται από φωτογραφίες. Η τεχνική αυτή χρησιμοποιείται κυρίως όταν ο στόχος απέχει λιγότερο από 100m από την κάμερα. Για τον προσδιορισμός της σχετικής στάσης μεταξύ κάμερας και στόχου στις τρεις διαστάσεις από συντεταγμένες σημελιων σε μια εικόνα δυο διαστάσεων πρόσθετες πληροφορίες είναι αναγκαίες.τέτοιες πληροφορίες είναι οι intrinsic και extrinsic παράμετροι της κάμερας (calibration parameters) καθώς και η σχέση μεταξύ των παρατηρούμενων σημείων.το πρώτο set παραμέτρων περιλαμβάνει το focal length, παράγοντες βάθμωσης των pixels και τις συντεταγμένες του οπτικού άξονα στο επίπεδο της εικόνας.το δεύτερο set παραμέτρων καθορίζει την στάση της κάμερας στο world coordinate frame.συνήθως αυτές οι παράμεττοι είναι σε μορφή πίνακα 3x4 και ονομάζεται πίνακας καλιμπραρίσματος (calibration matrix). Εχοντας έτσι γνώση των εσωτερικών παραμέτρων της κάμερας και τις συντεταγμένες πολλών σημειων στην εικόνα μπορεί να βρεθεί η σχετική στάση μεταξύ της κάμερας και του στόχου.για τον σκοπό αυτό έχει αποδειχθεί ότι χρειάζονται οι συντεταγμένες τουλάχιστων 3 σημέιων στην εικόνα. Όταν βρεθεί η σχετική θέση μεταξύ κάμερας και στοχου, το επόμενο βήμα είναι να καθοριστεί η σχετική θέση μεταξύ της κάμερας και της αρπάγης του robot. Τα μειονεκτήματα της χρήσης αυτής της μεθόδου είναι οι πολύπλοκοι υπολογισμοί που χρειάζονται για να βραθεί η σχετικη στάση της κάμερας σε σ χεση με τον στόχο καθώς και η ανάγκη για καλιμπράρισμα. Stereo Vision Με την τεχνική αυτή χρησιμοποιούνται 2 διαφορετικές όψεις της ίδιας σκήνης παρμένες από γνωστές θέσεις για τον καθορισμό του βάθους. Η τοποθεσία ενός σημείου στην μια εικόνα πρέπει να αντιστοιχιθεί με την τοποθεσία του ίδιου σημείου στην δεύτερη εικόνα.αυτή η αντιστοίχιση δεν είναι εύκολη και είναι επηρεπής σε λάθη.ενα άλλο πρόβλημα αυτής της τεχνικής είναι ότι υπάρχουν σημεία τα οποία μπορεί να είναι ορατά μονο από την μια θέση (missing parts problem) και επομένως το βάθος αυτου του σημείου δεν μπορεί να καθοριστεί. Βαθος από την κίνηση Η τεχνική αυτή σχετίζεται πολύ με την προηγούμενη με την διαφορά ότι τώρα χρησιμοποιείται μια μόνο κάμερα και λήψεις από πολλαπλές θέσεις για τον καθορισμό του βάθους.τέτοιες λήψεις μπορουν να γίνουν διαθέσιμες κατά την κίνηση του robot αλλα πρέπει να γίνει η υπόθεση ότι ο στόχος δεν μετακινείται σημαντικά μεταξύ των διαδοχικών λήψεων. 12

13 Αναφορές [1] Μoving object tracking research based on active vision, Pan Feng,Wang Xuaanyin,Eang Quanqiang [2] On the visual mathematics of tracking, John Aloimonos and Dimitris P Tsakiris [3] Performance evaluation of an active vision system, Ulf M.Cahn von Seelen PHD [4] High performance visual closed loop robot control, Peter Ian Corke [5] Visual servoing with hand eye manipulator optimal control approach, Koicji Hashimoto, Takumi Ebine 13

14 Κεφαλαιο 2 ο : Θεμελειώδεις έννοιες ιχνηλασιας 2.1 Παράλληλη επεξεργασια Πολυάριθμες τεχνικές έχουν χρησιμοποιηθεί για την απλούστερη περίπτωση ιχνηλασίας ενός μόνο στόχου που δεν ελίσσεται. Η προσέγγιση ξεκινά με τη συλλογή ενος αριθμού ανιχνεύσεων του στόχου και τη μαζική επεξεργασία αυτών των στοιχείων για να παραχθεί μια διαδρομή. Με την επεξεργασία κατά δέσμες παράλληλα, όσο περισσότερες ανιχνεύσεις συλλεγούν, τόσο καλύτερη η λύση. Παρολαυτά οι υπολογιστικές απαιτήσεις είναι πιό απαιτητικές καθώς ο αριθμός Ανιχνεύσεων αυξάνεται, κάνοντας την επεξεργασία κατά δεσμίδες μια μη πρακτική λύση για τα περισσότερα συστήματα επιτήρησης. Κάθε φορά που συλλέγεται μια νέα μέτρηση, όλες οι προηγούμενες μετρήσεις χρησιμοποιούνται για να υπολογίσουν τη νέα κατάσταση που καθιστά την επεξεργασία κατά δεσμίδες πολύ δυσχρηστη. 2.2 Μεθοδοι πρόβλεψης διορθωσης Ενα από τα πλεονεκτήματα των μεθόδων πρόβλεψης διόρθωσης, ή αναδρομικών, μεθόδων είναι ότι η πρόβλεψη κατάστασης εξαρτάται μόνο από την προηγούμενη κατάσταση και την τρέχουσα μέτρηση. Σύμφωνα με τον Hutchins, οι απλούστεροι ιχνηλάτες σχεδιάζονται μόνο για κίνηση σε ευθεία (SLM), όμως οι επιταχύνσεις στόχων μπορούν να αντιμετωπιστούν με την αύξηση του κέρδους του φίλτρου ή αυξάνοντας τον όρο θορύβου των εξισώσεων κατάστασης. Οι πιό περίπλοκοι ιχνηλάτες σχεδιάζονται για να αντισταθμίσουν την κίνηση με στροφές, ή για να χειριστούν τις πολλαπλές υποθέσεις κίνησης στόχων, ή για να τις ταξινομήσουν μέσα στο clutter. Οι τύποι ιχνηλατών μπορούν να συνδυαστούν για να επιτρέψουν πολλαπλούς αισθητήρες, την ιχνηλασία πολλών στόχων, και την σύνθεση στοιχείων. Οι περισσότερς από τις τεχνικές που θα περιγραφούν χρησιμοποιούν την μορφη των καταστατικών x( k + 1) = Fx( k) + Bu( k) +Γw( k) εξισώσεων : για να πετιγράψουν την δυναμική συμπεριφορά yk ( ) = Hxk ( ) + vk ( ) του στόχου. 1) Φίλτρο Kalman σταθερού κέρδους Το φίλτρο Kalman σταθεροέ κέρδους είναι μια απλουστευμένη μορφή του φίλτρου Kalman. Με αυτό τον τρόπο αντι της ανανέωσης της μήτρας συνδιακύμανσης σε κάθε νέα μέτρηση, η συνδιακύμανση λαμβάνεται να είναι σταθερή.χρησιμοποιόντας την υπόθεση ότι η μήτρας συνδιακύμανσης θα πλησιάσει μια σταθερή τιμή στο χρόνο η διαφορική εξίσωση Riccati που συνδέεται με τα γραμμικά χρονικά αμετάβλητα συστηματα διακριτού χόνου μετατρέπεται σε αλγεβρική και μπορει να λυθεί αριθμητικά (care/dare): T T 1 Ke = A* Pe * C ( CPeC + Re) A I Pe C CPeC C PeA H Qe H T T 1 T ( * ( + Re) ) + * * = 0 Αντι των εντολών care/dare στην Matlab μπορει εναλλακτικα να χρησιμοποιηθεί η εντολη lqe/dlqe.μετα τον υπολογισμό του σταθερού κέρδους και του πίνακα συνδιακύμανσης οι εξισώσεις του φίλτρου θα εξαρτώνται μόνο από την μέτρηση, την προυγούμενη εκτίμηση και το σταθερό κέρδος.το θετικό με χρήση του φίλτρου kalman σταθερού κέρδους είναι ότι δε φορτώνει υπολογιστικά το σύστημα ωστόσο δεν είναι η βέλτιστη λύση. 14

15 2) Φιλτρο kalman χρονικά μεταβαλλόμενο Το φίλτρο kalman είναι η βάση πάνω στην οποία σχεδιάζονται μερικοί από τους πιο προηγμένους αλγορίθμους. Το φίλτρο αυτό είναι βέλτιστη λύση στο σειριακό πρόβλημα των ελαχίστων τετραγώνων, που σημαίνει ότι το τετράγωνο του λάθους ελαχιστοποιείται.. Είναι ένας σειριακός αλγόριθμος επειδή εξαρτάται μόνο από την τρέχουσα εκτίμηση μέτρησης και κατάστασης, και τις σχετικές μήτρες συνδιακύμανσης μέτρησης και πρόβλεψης κατάστασης. Το φίλτρο Kalman δεν είναι πολύ υπολογιστικά απαιτητικό, αλλά δεν σχεδιάζεται για να χειριστεί τους στόχους που ελλίσονται, clutter, ή πολλαπλους στόχους. Το φίλτρο μπορεί να προσαρμοστεί στους στόχους ελιγμού, αλλά η λύση δεν είναι πλέον βέλτιστη.τα παραδειγματα αυτού του φαινομένου θα παρουσιαστούν στο τμήμα αποτελεσμάτων. 3) Εκτεταμένο φίλτρο Kalman (EKF) Το EKF ισχύει σε περιπτώσεις όπου η διαδικασία μέτρησης είναι μη γραμμική, ή η δυναμική στόχων είναι μη γραμμική. Σύμφωνα με Bar- Shalom, ο μη γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να εισαγάγει μεροληψία στη λύση, ο υπολογισμός συνδιακύμανσης δεν είναι απαραιτήτως ακριβής, και το EKF μπορεί να αποκλίνει εάν οι αρχικοί όροι είναι ανακριβείς. Το EKF δεν εξετάστηκε λεπτομερώς σε αυτήν την διπλωματική. 4) Αλληλεπισρόντα πολλαπλά πρότυπα (IMM) Ο ιχνηλάτης ΙΜΜ χρησιμοποιείται για να προβλέψει την τρέχουσα κατάσταση του στόχου χρησιμοποιώντας δύο ή περισσότερα διαφορετικά μοντέλα κίνησης του στόχου. Παραδείγματος xάριν, εάν ο στόχος αναμένεται να είναι ένας στόχος ελιγμού, τα χρησιμοποιούμενα πρότυπα θα μπορούσαν να είναι ένα straight-line πρότυπο κινήσεων (SLM), ένα πρότυπο αριστερής στροφής, και ένα πρότυπο δεξιάς στροφής.αλλα πρότυπα θα μπορούσαν να είναι ποικίλα πρότυπα στροφής ή πρότυπα ανόδου/καθόδου. Ο αριθμός χρησιμοποιούμενων προτύπων εξαρτάται από την εφαρμογή. Για τον εκτιμητή IMM, πολλαπλες εξισώσεις κατάστασης χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν κάθε έναν από τους διαφορετικούς τρόπους λειτουργίας. Μια markov μήτρα μετάβασης χρησιμοποιείται για να διευκρινίσει την πιθανότητα ότι ο στόχος είναι σε ένα από τους τρόπους λειτουργίας. Συνήθως, αυτές οι τιμές επιλέγονται heuristically. Παρόμοιες με τη "ανοικτη στροφή" που συζητείται σε μια έκθεση ερευνητικών εργαστηρίων Πολεμικής Αεροπορίας οι πρότυπες πιθανότητες ενημερώνονται σε κάθε νέα μέτρηση, και οι προκύπτοντες παράγοντες στάθμισης χρησιμοποιούνται στον υπολογισμό της κατάστασης. Με άλλα λόγια, καμία gating απόφαση δεν απαιτείται για τον ιχνηλάτη για να λειτουργήσει κατάλληλα. 5) Αλλοι μέθοδοι που δεν μελετήθηκαν Eκτίμηση εισόδου Η βασική ιδέα αυτή της μεθόδου είναι η εκτίμηση της άγνωστης είσοδου (επιτάχυνση) και χρήση αυτής της εκτίμησης για για εκτίμηση της κατάστασης του στόχου (θέση και ταχύτητα).αν υποθέσουμε ότι η συμπεριφορά του στόχου μπορεί να περιγραφεί από το set των καταστατικών εξισώσεων που περιγραφικαν στην αρχη τότε το πρόβλημα της παρακολούθησης του στόχου που πραγματοποιεί ελιγμό μετατρέπεται σε αυτό της εκτίμησης της κατάστασης του στόχου με άγνωστη είσοδο.η μέθοδος που μελετήσαμε έχει παρόμοια δομή με αυτή του 2-επίπεδου kalman φίλτρου (twostage kalman).περισσοτερες λεπτομέρειες για αυτή την μέθοδο θα δώσουμε στην συνέχεια οπου θα παρουσιάσουμε και τα πειραματικά αποτελέσματα της. 15

16 Πιθανολογικο φιλτρο ενωσης δεδομενων (PDAF) Το πιθανολογικό φίλτρο ένωσης δεδομένων (PDAF) χρησιμοποιείται για να αντισταθμίσει το clutter που παραλαμβάνεται ως πιθανές έγκυρες επιστροφές στόχων μέσα σε μια περιοχή πύλης γύρω από την προβλεφθείσα θέση στόχων. Το PDAF είναι ένας υποβέλτιστος (sub-optimal) Μπεϋζιανός αλγόριθμος που συνδέει πιθανοτικά (χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση πιθανοφάνειας) όλες τις επικυρωμένες μετρήσεις στο στόχο. Για αυτόν τον λόγο, το PDAF είναι επίσης γνωστό ως προσέγγιση σύντηξης δεδομένων "όλων-γειτόνων". Οι επικυρωμένες μετρήσεις, επίσης γνωστές ως γείτονες, συνδυάζονται χρησιμοποιώντας μια σταθμισμένη συνάρτηση πιθανοφάνειας στον αλγόριθμο για να αποτελέσουν την αβεβαιότητα μέτρησης. Η εκτίμηση κατάστασης ενημερώνεται με όλες τις επικυρωμένες μετρήσεις που σταθμίζονται από τις πιθανότητες να έχουν προέλθει από το στόχο, δηλ. η συνδυασμένη καινοτομία υπόλοιπο (residual,innovation). Για να αποτελέσει την αβεβαιότητα μέτρησης, ένας πρόσθετος όρος προστίθεται στην εξίσωση αναπροσαρμογών συνδιακύμανσης. Σε αντιδιαστολή με την κοντινότερη προσέγγιση γειτόνων στην σύνθεση δεδομένων, το PDAF είναι μια προσέγγιση ένωσης στοιχείων "όλων των γειτόνων". Από κοινού πιθανοτικο φιλτρο ενωσης δεδομλενων (JPDAF) Το κοινό πιθανολογικό φίλτρο ένωσης δεδομένων (JPDAF) είναι μια επέκταση του PDAF για να περιλάβει τους πολλαπλους στόχους μέσα σε clutter. Το JPDAF επιτρέπει περιοχές επικύρωσης με μη μηδενική τομή, που σημαίνουν ότι περισσότεροι από ένας στόχοι μπορούν να είναι παρόντες μέσα στην πύλη για κάθε ενημέρωση. Αυτή η επίδραση προκαλεί μια επίμονη παρέμβαση κατά τη διάρκεια πολλών στιγμών δειγματοληψίας. Μια από τις απλοποιητικές υποθέσεις της προσέγγισης JPDA είναι ότι ο αριθμός στόχων είναι γνωστός. Επίσης, οι ψεύτικες μετρήσεις διανέμονται ομοιόμορφα στην περιοχή επικύρωσης, που σημαίνει πρόσθετο χρόνο υπολογισμού που χρησιμοποιείται αξιολογώντας λες τις μετρήσεις σαν να ήταν ορθές. 2.3 Προηγμενοι αλγοριθμοι ιχνηλατησης συνθετα προβληματα Προκειμένου να αντιμετωπιστούν σύνθετες περιπτώσεις όπως αυτη των πολλαπλών αισθητήρων με πολλαπλούς στόχους που μπορούν να ελίσσονται, πρόσθετες μέθοδοι είναι απαραίτητες. Αυτές οι μέθοδοι βελτιώνουν τα βασικά χαρακτηριστικά των ιχνηλατών που συζητήθηκαν στο προηγούμενο τμήμα Πολλαπλοι στόχοι Το πρόβλημα ιχνηλασίας πολλών στόχων (ΜΤΤ) συζητείται εκτενώς σε Bar-Shalom.Εάν ο αριθμός στόχων είναι γνωστός, το JPDAF είναι ένας καλά καθιερωμένος αλγόριθμος για την ιχνηλασία των στόχων. Δεδομένου ότι το JPDAF είναι μια Μπεϋζιανή προσέγγιση, όλοι οι πιθανοί στόχοι που μπορούν να ενημερωθούν από μια μέτρηση εξετάζονται ταυτόχρονα. Επιπλέον, όλες οι επικυρωμένες μετρήσεις που εμπίπτουν στην πύλη ιχνηλασίας εξετάζονται στην ενημέρωση της τροχιάς. Εντούτοις, εάν οι στόχοι ελίσσονται, ή ο αριθμός στόχων είναι άγνωστος, κάποια άλλη εφαρμογή του φίλτρου απαιτείται. Οι προηγμένοι αλγόριθμοι ιχνηλασίας έχουν ως σκοπό να συνδυάσουν τις καλύτερες ιδιότητες (ή τις πρακτικότερες ιδιότητες) των πιό βασικών τεχνικών ένωσης τροχιών και δεδομένων. Παραδείγματος χάριν, ο συνδυασμός των IMM με το JPDA επιτρέπει την ιχνηλασία πολλών στόχων διαφορετικών τρόπων κίνησης με την προσέγγιση "όλων των γειτόνων" στην ένωση πληρογοριών. Στην πραγματικότητα, πολλοί από τους αλγορίθμους μπορούν να απλοποιηθούν για να επιτρέψουν μια υποβέλτιστη λύση διατηρώντας τις πρακτικές πτυχές του αλγορίθμου. Παραδείγματος χάριν, το JPDA θα μπορούσε να απλοποιηθεί πολύ με τον καταναγκασμό της κοντινότερης ένωσης στοιχείων γειτόνων (NNJPDA). Ο συνδυασμός αυτού του νέου φίλτρου με IMM θα οδηγούσε σε ένα φίλτρο που θα μπορούσε να ακολουθήσει τους στόχους που ελίσσονται με την μέθοδο κοντινότερου γείτονα για data association (IMMw/NNJPDAF). 16

17 2.3.2 Πολλαπλοι αισθητηρες Σε σενάρια ιχνηλασίας πολλαπλών αισθητήρων, οι αισθητήρες μπορούν να είναι του ίδιου τύπου σε διαφορετικές θέσεις, ή διαφορετικών τύπων στις ίδιες ή διαφορετικές θέσεις. Μια αρχική θεωρηση πρέπει να γίνει στο βασικό πρόβλημα των πολλών αισθητήρων δηλ, το χρόνο στον οποίο οι μετρήσεις συλλέγονται. Εάν οι αισθητήρες είναι τέλεια συγχρονισμένοι, ενώσεις μέτρηση-σε-μετρηση μπορούν να εμφανιστούν, ακολουθούμενες από κεντρική data association & tracking. Μια πιό κοινή προσέγγιση όπου κάθε αισθητήρας εκτελεί την data association & tracking μέτρηση-σε-τροχιές και έπειτα η σύνθεση και ένωση τροχιά- σε-τροχιά γίνεται καπου κεντρικά μεταξύ των αισθητήρων. Κατά εκτέλεση της ένωσης και της σύντήξης τροχιά- σε-τροχιά,μια δοκιμή πρέπει να εκτελεσθεί για να καθορίσει εάν δύο διαδρομές ανήκουν στον ίδιο πραγματικό στόχο. Αυτό γίνεται με τη σύγκριση των εκτιμήσεων κατάστασης των δύο τροχιών. Για να εξετάσει την υπόθεση ότι δύο διαδρομές ανήκουν στον ίδιο στόχο, η διαφορά μεταξύ των εκτιμήσεων κατάστασης συγκρίνεται με μια τιμή κατώφλι. Εάν η δοκιμή ικανοποιείται, η σύντήξη των εκτιμήσεων μπορεί να πραγματοποιηθεί με μια απλή εξίσωση που μεταχειρίζεται τις συνδιακυμάνσεις λάθους των δύο αισθητήρων ανεξάρτητα. Η προκύπτουσα εκτίμηση κατάστασης είναι συνήθως ακριβέστερη από την περίπτωση απομονωμένων αισθητήρων. 17

18 Αναφορές [1]Manolakis D. E., "Efficient solution and performance analysis of 3-D position Estimation" [2] Cheung, K.W. So, H.C. Ma, W.-K. Chan, Y.T., "Least squares algorithms for time-of-arrival-based mobile location" [3]Stephen Kay, "Fundamentals of Statistical Signal Processing: Vol. I Estimation Theory", Prentice Hall, [4]Bates, D. M. and Watts, D. G. Nonlinear Regression and Its Applications, New York: Wiley, [5]Bar-Shalom, Yaakov, "Multitarget-Multisensor Tracking: Applications and Advances" [6]Blackman, S. and Robert, P., "Design and analysis of modern tracking systems", Artech House radar librmy

19 Κεφάλαιο 3 ο : Δυναμικά μοντέλα στόχων Περίληψη Ο κύριος σκοπός της ιχνηλασίας ενός στόχου είναι η εκτίμηση των μεταβλητών κατάστασης της πορείας του.αν και ένα κινουμενο αντικείμενο δεν είναι ποτε ένα σημειακο αντικειμενο στον χώρο ωστοσο για την ιχνηλασία του αντιμετωπίζεται σαν σημειακό αντικείμενο χωρίς σχήμα. Ένα δυναμικό μοντέλο κίνησης ενός στόχου περιγραφει την εξέλιξη των μεταβλητών κατάστασης σε σχέση με τον χρόνο. 3.1 Γενικα Σχεδόν όλα τα δυναμικά μοντέλα στόχων θεωρούν ότι η κίνηση του στόχου και οι παρατηρήσεις της μποτούν να αναπαρασταθούν από κάποιο γνωστό μαθηματικό μοντέλο επαρκώς ακριβές.τα ευρέως χρησιμοποιούμενα μοντέλα έχουν την μορφή των καταστατικών εξισώσεων με προσθετικό θόρυβο και εχουν την ακόλουθη μορφή : x( k + 1) = fk ( x( k), u( k)) + w( k) yk ( ) = h( xk ( )) + vk ( ) k x : το διάνυσμα καταστάσεως y : να είναι το διάνυσμα μετρήσεων u : η είσοδος ελέγχου την χρονική στιγμη w : ο θόρυβος του μοντέλου v : ο θόρυβος των μετρήσεων f,h καποιες συναρτήσεις συνηθως χρονικά μεταβαλλόμενες Μια από τις μεγαλύτερες προκλήσεις στην ιχνηλάτηση κινούμενων στόχων προκυπτει από το γεγονός ότι το σύστημα δεν εχει στην διάθεση του ένα ακριβές δυναμικό μοντέλο. Πιο συγκεκριμμένα δεν υπάρχει επαρκής γνώση για την εισοδο u, για την ακριβή μορφή της f ή για τα στατιστικά χαρακτηριστικά των θορύβων w και v. Οι κινήσεις ενός στόχου κατατάσονται κυρίως σε δύο κατηγοριες 1) Αυτές που περίεχουν ελιγμο 2) Αυτές που δεν περιέχουν ελιγμο 3.2 Μοντελο σταθερής ταχύτητας Όταν ενας στόχος θεωρείται σαν σημειακό αντικείμενο μια κίνηση αυτής της κατηγορίας περιγράφεται από από την εξισωση κίνησης : xt &() = 0 Στην πράξη η ιδανική αυτή κατάσταση αντικαθίσταται από την : x& () t w() t 19

20 Με wt () να είναι λευκός Γκαουσιανός θόρυβος Ν(0,σ 2 ) και αντισταθμίζει πιθανά λάθη στην μοντελοποίηση (π.χ εξαιτείας αναταράξεων) Η αντιστοιχη καταστατική εξίσωση συνεχούς χρόνου εχει την μορφή : [ cv ] [ cv ] [ 2, 2] [, ] x& () t = diag A x() t + diag B w() t Acv = diag A A Bcv = diag B2 B A2 =, B2 = Ενώ το μοντέλο διακριτού χρόνου είναι : [ cv ] [ cv ] [ 2, 2] [, ] x( k + 1) = F x( k) + G w( t) Fcv = diag F F Gcv = diag G2 G2 2 dt 0 dt F2 =, B 2 = dt Από το παραπάνω μοντέλο μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι ο θόρυβος w(k) ουσιαστικά αντοιστιχεί σε επιτάχυνση στον x και στον y αξονα και έχει συνδιασπορά που δόινεται από τον τύπο : S S x y cov( Gwk ) = diag[ Q% 2, Q% 2] dt dt 4 3 dt dt 3 2 Q% 2 = 3 dt 2 dt 2 Το παραπάνω μοντέλο ονομάζεται μοντέλο σταθερής ταχύτητας (Constant Velocity)και όπως ήταν αναμμενόμενο η είσοδος u εχει τιμή Mοντελα σταθερής επιτάχυνσης Συνήθως η είσοδος u η οποια είναι υπεύθυνη για την πραγματοποιήση του ελιγμού εχει φυση ντιτερμινιστική και κατά βάση είναι άγνωστη στο σύστημα παρακολούθησης.ενας τρόπος είναι να μοντελοποιηθεί σαν άγνωστη ντετερμινιστική διεργασία και να γίνει εκτίμηση της μέσω των μετρήσεων.τετοια μοντέλα είναι η βάση της μεθόδου : εκτίμηση εισόδου (input estimation).εξαιτείας αυτής της έλλιψης πληροφορίας, η άγνωστη διεργασία συχνα θεωρείται να είναι σταθερή και χρονικά αμετάβλητη μέσα σε ένα χρονικό παράθυρο.σε αυτή την περίπτωση η δυσκολία εγκιται στον καθορισμό του επιπέδου της εισόδου και των χρονικών στιγμών κατά τις οποίες η είσοδος πραγματοποιηεί πηδήματα.μια άλλη εκδοχή είναι να μοντελοποιηθεί σαν μια τυχαία διεργασία.τα μοντέλα που θεωρούν την επιτάχυνση σαν τυχαία διεργασία μπορούν να καταταχθούν σε τρεις κατηγορίες : 20

21 1) Μοντέλα λευκού θορύβου : Η επιτάχυνση ( u ) μοντελοποιείται σαν λευκός θόρυβος.σε αυτην την κατηγορία ανοίκουν τα μοντέλα σταθερής ταχύτητας (CV) και σταθερής επιτάχυνσης (CA) καθως και τα πολυονυμικά μοντέλα. 2) Μοντέλα Mαρκοβιανης διεργασίας : Η είσοδος ( u ) τωρα μοντελοποιείται σαν μια διεργασία Markov με χρονική αυτοσυσχέτιση.τετοια μοντέλα είναι το γνωστό μοντέλο Singer και κάποιες επεκτάσεις του. 3) Semi Markov jump μοντέλα : Η είσοδος μοντελοποιείται σαν semi Markov jump διεργασία. Στις πιο πολλές περιπτώσεις οι ελιγμόι ενός στόχου είναι συζευγμένοι με διαφορετικές συντεταγμένες. Ωστόσο για λόγου απλότητας θεωρούμε ότι αυτή η σύζευξη μεταξύ συντεταγμένων είναι ασθενής και μπορεί να αγνοηθεί. Αυτή η παραδοχή είναι η βάση μοντέλων που θεωρούν την επιτάχυνση σαν μια τυχαία διεργασία Wiener process Acceleration Model Στο μοντέλο αυτό η επιτάχυνση θεωρείται σαν μια Wiener διεργασία. Αυτό το μοντέλο έχει 2 ευρέως χρησιμοποιηούμενες εκδοχές. Η πρώτη από αυτές ονομάζεται white noise jerk model και θεωρει την παράγωγο της επιτάχυνσης jerk να είναι ανεξέρτητη διεργασία (λευκός θόρυβος ) : at &() = wt () Η αντίστοιχη αναπαράσταση σε μορφή καταστατικών αξισώσεων είναι : x& () t = A3x() t + B3w() t A3 = B3 = 0 1 Και οι αντίσοιχες εξισώσεις διακριτού χρόνου είναι : x( k + 1) = F3 x( k) + w( k) 2 dt 1 dt 2 F3 = 0 1 dt

22 Οπου : Q = cov( wk) = SwQ dt dt dt dt dt dt Q3 = dt dt dt Wiener sequence acceleration model Σε αυτό το μοντέλο η αύξηση της επιτάχυνσης θεωρείται σαν λευκός θόρυβος.η αύξηση αυτή μέσα σε μια χρονική περίοδο είναι το ολοκλήρωμα του jerk ( at &()) μεσα σε αυτην την περίοδο. Σε μορφή καταστατικών εξισώσεων : x( k + 1) = F3x( k) + G3w( k) 2 dt 1 dt 2 F3 = 0 1 dt dt 2 G3 = dt 1 Πρέπει να παρατηρήσουμε ότι ο όρος του θορύβου έχει διαφορετική συνδιακύμανση από το προυγούμενο μοντέλο : dt dt dt dt dt Q = cov( G3wk) = var( wk) dt dt dt

23 Αναφορες [1] X.Rong Li,Vesselin P. Jilkov, "Surey of maneuvering target tracking. Part 1 : Dynamic Models" 23

24 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Κεφάλαιο 4 ο : Απλος ιχνηλατης ενός στοχου με KALMAN φιλτρο Ξεκινάμε τη σειρά αυτή παρουσιάσεων με ένα απλό σύστημα tracking για ένα στόχο ως μια πρώτη επαφή με τις έννοιες της πρόβλεψης με kalman filtering.από την απλή περίπτωση του μοντέλου κίνησης του στόχου με σταθερή ταχύτητα πάμε στην περίπτωση που ο στόχος κινείται με επιτάχυνση και από την περίπτωση που κάποιες μετρήσεις έχουν χαθεί πάμε στην περίπτωση που έχουμε στάσιμους στόχους,ψευδείς συναγερμούς αλλά και τα δύο. 4.1 Γενικα Το φίλτρο Kalman αποτελεί βασικά μια προέκταση της επαναληπτικής μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων η οποία μας επιτρέπει να μοντελοποιήσουμε αποτελεσματικά την δυναμική κατάσταση τυχαίων στόχων. Παρέχει μια γενική λύση για το πρόβλημα της εκτίμησης με την επαναληπτική μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων από την κλάση των γραμμικών εκτιμητριών. Η χρήση του φίλτρου Kalman θα ελαχιστοποιήσει το μέσο τετραγωνικό σφάλμα εφόσον η δυναμική κατάσταση του στόχου και ο θόρυβος μέτρησης μπορούν να μοντελοποιηθούν με ακρίβεια. Επιπρόσθετα με την ελαχιστοποίηση του μέσου τετραγωνικού σφάλματος το φίλτρο Kalman έχει ένα πλήθος άλλα πλεονεκτήματα για εφαρμογές σε συστήματα ιχνηλασίας πολλαπλών στόχων. Τα πλεονεκτήματα αυτά περιλαμβάνουν τις ακόλουθες ιδιότητες : 1) Η ακολουθία του κέρδους επιλέγεται αυτόματα, με βάση το μοντέλο της κίνησης που υποθέτουμε για τον στόχο και το μοντέλο του θορύβου μέτρησης. Αυτό σημαίνει ότι το ίδιο φίλτρο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για διαφορετικούς στόχους και περιβάλλοντα μέτρησης αλλάζοντας μερικές παραμέτρους κλειδιά. 2) Η ακολουθία του κέρδους αυτόματα προσαρμόζεται στη μεταβαλλόμενη ιστορία ανίχνευσης. Αυτό περιλαμβάνει μεταβαλλόμενο διάστημα δειγματοληψίας και κενά στην ανίχνευση ενός στόχου. 3) Το φίλτρο Kalman παρέχει έναν βολικό υπολογισμό της ακρίβειας της εκτίμησης μέσω του πίνακα συνδιακύμανσης. Ο υπολογισμός αυτός απαιτείται για να εκτελέσουμε τους διάφορους υπολογισμούς που συνδέονται με την σύνδεση δεδομένων. Επίσης, η γνώση μιας τιμής για την αναμενόμενη διασπορά του λάθους πρόβλεψης, είναι χρήσιμη για την ανίχνευση ελιγμών και ανιχνεύοντας τους ελιγμούς το μοντέλο του φίλτρου Kalman παρέχει ένα βολικό τρόπο για να προσαρμοζόμαστε στα δυναμικά χαρακτηριστικά ανόμοιων στόχων. 4) Με τη χρήση του φίλτρου Kalman είναι δυνατόν τουλάχιστον να αντισταθμιστούν τα αποτελέσματα της λανθασμένης σύνδεσης δεδομένων αν αυτή υπάρξει στο έντονο περιβάλλον των συστημάτων ιχνηλασίας πολλαπλών στόχων. Για παράδειγμα μια βολική μέθοδος είναι να αυξήσουμε τις αριθμητικές τιμές των στοιχείων του πίνακα συνδιακύμανσης του φίλτρου Kalman ώστε να αντικατοπτρίζεται το αναμενόμενο σφάλμα που σχετίζεται με την αβέβαιη σύνδεση δεδομένων. Η προσέγγιση αυτή χρησιμοποιείται στη συνδυαστική πιθανοκρατική σύνδεση δεδομένων JPDA. 4.2 Ορισμος γραμμικού φίλτρου Kalman Υποθέτουμε ότι η δυναμική κατάσταση του στόχου μπορεί να μοντελοποιηθεί σαν μια μαρκοβιανή διαδικασία διακριτού χρόνου της μορφής : 24

25 x(k+1)=f*x(k)+bu(k)+w(k) (1) όπου x ( διάστασης n 1 ) είναι το διάνυσμα κατάστασης του στόχου που περιέχει τις μεταβλητές εκείνες για τις οποίες θέλουμε να κάνουμε μια εκτίμηση. Επίσης, F είναι η μήτρα μετάβασης που υποθέτουμε ότι είναι γνωστή, w(k ) είναι ο μηδενικής μέσης τιμής λευκός Γκαουσιανός θόρυβος της διαδικασίας με γνωστή μήτρα συνδιακύμανσης Q και u(k) είναι η ντετερμινιστική είσοδος του συστήματος,η οποία για παράδειγμα μπορεί να είναι η επιτάχυνση του στόχου όταν αυτή δεν υπάρχει μέσα στο διάνυσμα κατάστασης. Η εξίσωση (1) είναι μια διαφορική εξίσωση η οποία περιγράφει την δυναμική κατάσταση του στόχου σαν μια Μαρκοβιανή διαδικασία που αναπαρίσταται από το διάνυσμα κατάστασης. Η διακριτού χρόνου μαρκοβιανή διαδικασία μπορεί να οριστεί σαν μια διαδικασία στην οποία η στατιστική αναπαράσταση της διαδικασίας στο μέλλον ( σάρωση k +1 ) είναι ολοκληρωτικά καθορισμένη από την παρούσα κατάσταση ( σάρωση k ). Οι δυναμικές σχέσεις συνήθως παράγονται από συνεχούς χρόνου εξισώσεις κατάστασης π.χ x& () t = f ( x(), t u(),) t t + w() t yt () = hxt ( (),) t + vt () και έπειτα μετατρέπονται σε διακριτές της μορφής (1) (οι μετρήσεις είναι διαθέσιμες μόνο σε καθορισμένες χρονικές στιγμές αλλα η δυναμική συμπεριφορά του στόχου περιγράφεται με περισσότερη ακρίβεια με μοντέλα συνεχούς χρόνου). Η εξίσωση κατάστασης οδηγείται από την ντετερμινιστική είσοδο u(k ), όπως επίσης και από τον τυχαίο θόρυβο w(k ), ο οποίος αναπαριστά την τυχαιότητα που εισάγεται στο σύστημα, όπως για παράδειγμα τον τυχαίο θόρυβο επιτάχυνσης του στόχου. Οι μετρήσεις μπορούμε να θεωρήσουμε ότι προκύπτουν από το γραμμικό συνδυασμό κάποιων από τις μεταβλητές κατάστασης του συστήματος, οι οποίες αλλοιώνονται από ασυσχέτιστο θόρυβο. Έτσι, το διάνυσμα μέτρησης y ( διάστασης m 1 ) μοντελοποιείται ως εξής: y(k)=h*x(k)+v(k) (2) όπου Η είναι η μήτρα μέτρησης ( διάστασης m n ) και v(k ) είναι ο μηδενικής μέσης τιμής λευκός Γκαουσιανός θόρυβος μέτρησης με μήτρα συνδιακύμανσης R.Δεδομένης της δυναμικής κατάστασης του στόχου ( εξίσωση (1) ) και του μοντέλου μέτρησης ( εξίσωση (2) ) οι εξισώσεις για το φίλτρο Kalman είναι: K(k)= P( k k 1)* H *( H * P( k k 1)* H R) xˆ( k k) = xˆ( k k 1) + K( k)*( y( k) H * xˆ( k k 1)) (4) Pk ( k) = ( I Kk ( )* H)* Pk ( k 1)) (5) xˆ( k + 1 k) = A* xˆ( k k) (6) T T 1 + (3) P( k + 1 k) = A* P( k k)* A T + Q (7) 25

26 Η ενημέρωση του πίνακα συνδιακύμανσης βασίζεται στην υπόθεση ότι το κέρδος του φίλτρου Kalman έχει υπολογιστεί πρώτα από τη σχέση (3). Εάν εξαιτίας υπολογιστικού λάθους ο υπολογισμός του κέρδους δεν είναι ακριβής ή το κέρδος επιλέγεται με διαφορετικό τρόπο, η σταθεροποιημένη μορφή της εξίσωσης ενημέρωσης του πίνακα συνδιακυμανσης που θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί είναι : T T P( k k) = ( I K( k)* H)* P( k k 1))*( I K( k)* H) + K( k)* R* K( k) (8) Η χρησιμοποίηση της παραπάνω σχέσης θα προσδώσει μεγαλύτερη ευστάθεια στο φίλτρο Kalman. Ο πίνακας συνδιακυμανσης ορίζεται ως εξής : { ˆ ˆ } P( k) = E [ x( k) x( k)]*[ x( k) x( k)] T (9) Το διάνυσμα της διαφοράς μεταξύ των μετρούμενων και των εκτιμούμενων ποσοτήτων : yk %( ) = yk ( ) H* xk ˆ( k 1) (10) είναι το διάνυσμα υπολοίπου που έχει πίνακα συνδιακυμανσης : T S( k) = H * P( k k 1)* H + R (11) Επίσης μπορεί να οριστεί μια νέα έκδοση του φίλτρου Kalman στην οποία οι φιλτραρισμένες ποσότητες παρακάμπτονται και χρησιμοποιείται μόνο πρόβλεψη ενός βήματος. Αυτό είναι βολικό επειδή η λειτουργία πραγματικού χρόνου των MΤT συστημάτων συχνά υπαγορεύει ότι μόνο οι προβλεπόμενες ποσότητες έχουν πρακτική σημασία. Οι εξισώσεις για αυτό το φίλτρο Kalman είναι οι εξής : K ( k) A* P( k k 1)* H *( H * P( k k 1)* H R) p T T 1 = + (12) xk ˆ( + 1 k) = A* xk ˆ( k 1) + K ( k)*[ yk ( ) H* xk ˆ( k 1)] (13) P( k + 1 k) = ( A K ( k) H)* P( k k 1)* A T + Q (14 ) p p 26

27 4.3 Αποδειξη εξισώσεων αναλυτικη επεξηγηση Στην παράγραφο αυτή θα παρουσιάσουμε μια απλή και γρήγορη μέθοδο απόδειξης των παραπάνω σχέσεων.για λόγους συντόμευσης θα γίνει η απόδειξη για το μονοδιάστατο πρόβλημα χωρίς να αλλάζει κατι και για την γενική περίπτωση. Ως γνωστόν η κλάση των μοντέλων που μελετούμε ακολουθεί κανονική κατανομή.ετσι οι υπο PX ( συνθήκη πιθανότητες των μοντέλων, i y1,..., yi 1) ακολουθεί την κανονικη κατανομή και το PX ( ίδιο και η i y1,..., yi). Το δυναμικό μοντέλο είναι : x 2 i N( dixi 1, σ d ) i 2 i N( mx i i, σ m ) i y Συμβολισμοί: Συμβολίζουμε τη μέση τιμή της P( Xi / y0,..., y i) σαν X και την μέση τιμή της i P( Xi / y0,..., yi 1) X +. Την τυπική απόκλιση της i P( Xi / y0,..., y i) σαν σ και την τυπική απόκλιση της ι P( Xi / y0,..., yi 1) σαν σ +. i Δουλεύουμε με κανονικές κατανομές εξαιτίας της καλής συμπεριφοράς των ολοκληρωμάτων τους.παρακατω θα χρησιμοποιούμε την διασπορά ν αντι της τυπικής απόκλισης σ.για να κανουμε καποιους χρήσιμους μετασχηματισμους γράφουμε: 2 ( x μ) g( x; μν, ) = exp( ) 2v g( x; μν, ) = g( x μ;0, v) g( x; μν, ) = g( n; μν, ) gax gx a a 2 ( ; μν, ) = ( ; μ/, ν/ ) Θα χρειαστούμε επίσης τις παρακάτω ιδιότητες : gx u gu du gx 2 2 ( ; μν, a) ( ;0, νb) ( ; μν, a + νb) ad + cb bd gxabgxcd ( ;, ) ( ;, ) = gx ( ;, ) f( abcd,,, ) b+ d b+ d 27

28 1) ΠΡΟΒΛΕΨΗ PX ( / y,..., y ) = PX ( / X ) PX ( / y,..., y ) dx i 0 i 1 i i 1 i 1 0 i 1 i 1 g( X ; d X, σ ) g( X ; X,( σ ) ) dx i i i 1 di i 1 i 1 i 1 i 1 i i i σdi i 1 i 1 σi 1 i 1 i i i 1 σd σ i i 1 g( X d X ;0, ) g( X X ;0,( ) ) dx g( X d ( u+ X );0, ) g( u;0,( ) ) du g( X d udx ;, σ ) gu ( ;0,( σ ) ) du i i i i 1 di i i i i 1 σdi iσi i i 0 σdi iσi 1 g( X v; d X, ) g( v;0,( d ) ) dv g( X ; d X, + ( d ) ) Οπου κάναμε τους μετασχηματισμούς : Xˆ = d Xˆ + i i i 1 ( σ ) = σ + ( d σ ) i di i i 1 PX ( / y,..., y) = i 0 i i i i 0 i i i i σm i i i σi Py ( / X) PX ( / y,..., y ) 2 2 ( i i; i, m ) ( ;,( ) ) i i i i i i i 0 i 1 2) ΔΙΟΡΘΩΣΗ Py ( / X) PX ( / y,..., y ) dx Py ( / X) PX ( / y,..., y ) g( y ; m X, ) g( X ; X,( ) ) gmx y σ gx X g X y m σ m g X X i i i 0 i 1 i ( i; i / i, m / ) ( ;,( ) ) i i i i i Από τα παραπάνω έχουμε : 2 + Xi + miyi( σ i ) X i = σm + m ( ) i i σi σ ( σ ) + σ i = σ 2 2 mi i m + m ( ) i i σi σ σ 3) Πίνακας συνδιακύμανσης Από την εξίσωση κατάστασης μια καλή πρόβλεψη για την κατάσταση του συστήματος τη χρονική t στιγμή k + 1 δίνεται από τη σχέση : x% ( k + 1) = Axˆ ( k) καιτο αντίστοιχο λάθος πρόβλεψης από την σχέση : 28

29 ek %( + 1) = xk %( + 1) xk ( + 1) = Fxk ˆ( ) xk ( + 1) ek %( + 1) = Fek ( ˆ( ) + xk ( )) xk ( + 1) = Fek ˆ( ) wk ( ) Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα ο πίνακας συνδιακύμανσης του λάθους πρόβλεψης να είναι: ( ˆ )( ˆ ) T T Pk %( + 1) = E ek ( 1) ek ( 1) Fek ( ) wk ( ) Fek ( ) wk ( ) % + % + = T T T T Pk %( + 1) = FE ekek ˆ( ) ˆ( ) F + E wkwk ( ) ( ) FE ekwk ˆ( ) ( ) T T ( ) ˆ( ) ( 1) ˆ T E w k e k F P% k + = FP( k) F + Q( k) Για την εξαγωγή του τελικού αποτελέσματος θεωρήσαμε ότι τα διανύσματα ek ˆ( ) και wk ( ) είναι ασυσχέτιστα, αφού το ek ˆ( ) είναι το λάθος εκτίμησης για το x( k ) τη χρονική στιγμή t k ενώ wk ( ) είναι ο θόρυβος που σχετίζεται με την κατάσταση του συστήματος την επόμενη χρονική στιγμή t k + 1 Η τελευταία εξίσωση παρέχει ένα τρόπο για τον υπολογισμό του πίνακα Pk+ %( 1) επαναληπτικά, με αποτέλεσμα να ολοκληρώνεται αποτελεσματικά το σύνολο των εξισώσεων που απαιτούνται για τον υπολογισμό του κέρδους Kalman επαναληπτικά. Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε με επεξεργασία των μετρήσεων yk ( ) να κάνουμε εκτίμηση xˆ( k ) για το διάνυσμα κατάστασης x( k ) η οποία είναι γραμμική, αμερόληπτη και έχει ελάχιστη διασπορά. 4) Ιδιότητες του διανυσματικού υπολοίπου Το διάνυσμα υπολοίπου Inn( k ) αποτελεί την διαφορά μεταξύ της μέτρησης τη χρονική στιγμή tk και της πρόβλεψης που βασίζεται σε όλες τις προηγούμενες μετρήσεις μέχρι την χρονική στιγμή t. Η τιμή του διανύσματος υπολοίπου εξαρτάται από το διάνυσμα x% ( k) που είναι η πρόβλεψη k 1 του διανύσματος κατάστασης x( k) που βασίζεται σε όλες τις μετρήσεις μέχρι τη χρονική στιγμή tk 1. Εάν το διάνυσμα πρόβλεψης x% ( k) χαρακτηρίζεται από το λάθος ek %( ), τότε μπορούμε να γράψουμε : x% ( k) = x( k) + e% ( k) Οπου x( k ) το αλιθηνό διάνυσμα κατάστασης την χρονικη στιγμή της μέτρησης θα είναι : t k.επίσης το διάνυσμα λάθους zk ( ) = yk ( ) Hxk ( ) Οπότε το διάνυσμα υπολοίπου λαμβάνοντας υπόψιν τις δυο παραπάνω εξισώσεις γράφεται ως εξής : Innk ( ) = ( Hxk ( ) + zk ( )) H( xk ( ) + ek %( )) Innk ( ) = zk ( ) Hek %( ) 29

30 Ο πίνακας συνδιακύμνσης του διανύσματος βελτίωσης θα είναι : T T T T E Inn( k) Inn( k) = E z( k) z( k) + E He %( k) e% ( k) H T T T T T E He %( k) z( k) E z( k) e% ( k) H E Inn( k) Inn( k) = R( k) + HP% ( k) H T T T HE e %( k) z( k) E z( k) e% ( k) H Οι δυο τελευταίοι όροι είναι μηδενικοί. Αυτό συμβαινει γιατι το διάνυσμα λάθους μέτρησης είναι ο Γκαουσιανός θόρυβος μηδενικής μέσης τιμής του οποίου τα δείγματα είναι ανεξαρτητα από κατασταση σε κατάσταση. Επίσης αφού το ek %( ) είναι το λάθος πρόβλεψης την αντίστοιχη χρονική στιγμή και βασίζεται αποκλειστικά στις μετρήσεις μέχρι την χρονική στιγμή tk 1, αυτό σημαίνει ότι το zk ( ) είναι ασυσχέτιστο με το ek %( ). Ετσι λοιπόν : E Inn( k) Inn( k) T = R( k) + HP% ( k) H Η διαφορετικά : T ( % ) ( % ) 1 ( + % ) T T 1 T T T 1 E zk ( ) Rk ( ) + HPkH ( ) zk ( ) + ek %( ) H Rk ( ) + HPkH ( ) Hek % ( ) T T T 2() ek % H Rk () HPkH () zk () Στην παραπάνω σχέση επειδή τα zk ( ) και ek %( ) είναι ασυσχέτιστα ο τελευταίος όρος είναι T μηδέν.επίσης με βάση την ιδιότητα ότι μια τετραγωνική μορφή v Pv, οπου P είναι συμμετρικός T πίνακας, μπορεί να γραφτεί ως Tt{ vv P } η παραπάνω εξίσωση παίρνει την μορφή : T T 1 ( ) ( ( ) + %( ) ) ( ) = T T 1 T T T 1 { ( ) ( ) ( ( ) + %( ) ) + %( )%( ) ( ( ) + %( ) ) } E Inn k R k HP k H Inn k E Tr zkzk Rk HPkH Hekek H Rk HPkH Και επειδή ο R( k ) είναι ο πίνακας συνδιακύμανσης του zk ( ) και Pk %( ) ο πίνακας συνδιακύμανσης του ek %( ) η παραπάνω εξίσωση γράφεται : T T 1 ( ) ( ( ) + %( ) ) ( ) = T ( )( ( ) %( ) ) % T T ( ) ( ( ) %( ) ) ( )( ) E Inn k R k HP k H Inn k Tr Rk Rk HPkH HPkH Rk HPkH 1 1 { } = T T 1 T T 1 { ( ) %( ) ( ) %( ) } ( ) ( ( ) %( ) ) ( ) {} Tr Rk + HPkH Rk + HPkH E Innk Rk + HPkH Innk = Tr I = M 30

31 Οπου I είναι ο μοναδιαίος πίνακας μεγέθους MxM οπου Μ είναι η διάσταση του πίνακα R( k ). Εάν τα στοιχεία του διανύσματος υπολοίπου Inn( k) είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους και ακολουθούν T T κανονικη κατανομή τότε η τετραγωνική μορφή ( ) 1 κατανομή και Μ βαθμούς εέυθερίας. Inn( k) R( k) + HP% ( k) H Inn( k) θα έχει χ 2 Συνοψη εξισώσεων Μαρκοβιανό Μοντέλο συστήματος : x( k + 1) = Ax( k) + Bu( k + 1 k) + w( k) Α:πίνακας μετάβασης Χ:μεταβλητές κατάστασης U : εισοδος W : λευκός Γκαουσιανός θόρυβος Μοντέλο μετρήσεων : yk ( ) = Hxk ( ) + vk ( ) Κερδος Kalman : T T K( k) = P( k k 1) H ( HP( k k 1) H + R ) c 1 Νέα εκτίμηση βάση προηγούμενης πρόβλεψης από το μοντέλο συστήματος, το μοντέλο μετρήσεων και βάση νέας μετρησης : xˆ( k k) = xˆ( k k 1) + K( k)( y( k) Hxˆ( k k 1)) Νέα εκτίμηση πίνακος συνδιακύμανσης : Pk ( k) = ( I KkH ( ) ) Pk ( k 1) Πρόβλεψη βάση μοντέλου συστήματος : xˆ( k + 1 k) = Axˆ( k k) Προβλεψη πίνακος συνδιακύμανσης : T Pk ( + 1 k) = APk ( k) A + Q 31

32 4.4 Προσομοίωση Kalman STT σε Matlab Μοντέλο σταθερής ταχύτητας Θεωρούμε ότι ο στόχος σε αυτή την πέριπτωση κινείται με σταθερή ταχυτητα οπότε το μοντέλο του θα περιγράφεται από τις εξισώσεις σταθερης ταχύτητας που περιγράφικαν παραπάνω.στο παρακάτω διάγραμμα βλέπουμε την πραγματικώς μετρούμενη θέση του στόχου στην εικόνα και θα συμβολίζεται.οπως φαίνεται και στο σχήμα έβαλα θόρυβο μέτρησης στο μοντέλο μετρήσεων περίπου 200 pixels X Y position 32

33 X Y velocity Eπειδή ο θόρυβος στις μετρίσεις μας είναι πολύ μεγάλος πρέπει να μειώσουμε την εμπιστοσύνη μας σε αυτές, με αλλα λόγια να βασιζίμαστε περισσότερο στις εκτιμήσεις μας παρα στις μετρήσεις. Αυτό επιτυνχάνεται με την σωστη επιλογη των πινάκων Q, R που αντιπροσωπεύουν την αβεβαιότητα στο μοντέλο και στις μετρήσεις αντιστοιχα.το πόσο μεγάλο η μικρό πρέπει να επιλέξουμε κάποιον από τους 2 πίνακες εξαρτάται πάντα από τον άλλο πίνακα.πιο συγκεκριμένα αν θέλουμε να εμπιστευόμαστα παρα πολύ τις μετρήσεις μας επειδή ξέρουμε ότι ο θόρυβος έιναι ελάχιστος τότε θα πρέπει να επιλέξουμε μικρη τιμή για τον R (μικρή αβεβαιότητα στις μετρήσεις ) σε σύγκριση με τον Q. Στο μοντέλο σταθερής ταχύτητας το οποίο προς το παρόν θεωρούμε ότι περιγράφει την δυναμική συμπεριφορά του στόχου μας ο πίνακας συνδιακύμανσης Q του μοντέλου δίνεται από τον τύπο : Q dt dt = 3 dt 2 2 dt 33

34 Και για dt=1/25 είναι : Q = Αρα η τιμή του είναι πολύ μικρή.στα αποτελέσματα θα κρατάμε τον Q σταθερο και θα μεταβάλλουμε την τιμή του πίνακα R=ρR=ρ*eye(2) Με μπλε είναι η πραγματικη τιμη (για θεση ή ταχύτητα αναλογα) και με πράσινο η εκτίμηση.ο θοσυβος παραλήπεται για να είναι ευδιάκτιτα τα διαγράμματα. ρ = (σύγκριση με το ) X-Y position 34

35 X-Y vel ρ = (σύγκριση με το ) X-Y position 35

36 X-Y vel ρ = (σύγκριση με το ) Χ-Υ position 36

37 Χ-Υ velocity ρ = 0.01 (σύγκριση με το ) Χ-Υ position 37

38 X-Y vel ρ = 1 (σύγκριση με το ) Χ-Υ position 38

39 Χ-Υ vel ρ=10 39

40 Από τα παραπάνω αποτελέσματα κάνουμε τις εξής παρατηρήσεις : Όταν το ρ ηταν σχετικα κοντα στο αν αναλογιστούμε και τον θόρυβο τα αποτελέσματα δεν ηταν καλα γεγονός που το περιμέναμε αλλωστε αφου όπως είχαμε πει και στην αρχη θα πρέπει για τοσο πολύ θόρυβο το R να είναι πολύ μεγαλύτερο από τον πίνακα Q.Kαθώς αυξάνεμε το ρ τα αποτλέσματα βελτιώνονταν.για ρ =1 τα αποτελέσματα ηταν παρα πολύ κάλα.για ρ = 10 παρατηρούμε ότι η εκτίμηση αργει πολύ να συγκλίνει στην πραγμτική τιμή των μεταβλητών θέσης και ταχυτητας αφου τωρα η εμπιστοσύνη μας στις προβλέψεις είναι πάρα πολύ μεγάλη.εδώ πρέπει να επισημάνουμε ότι για ρ=10 αργει μεν η εκτίμηση να συγκλίνει αλλα το λάθος που θα έχει αφου συγκλίνει θα είναι πολύ μικρότερο για τις προυγούμενες τιμές του ρ. Απ το παραπάνω σχήμα είναι φανερό επίσης ότι η ταχύτητα συγκλίνει πολύ αργότερα.αυτο είναι δικαιολογημένο καθώς επιβάλλεται στο kalman filtering το διάνυσμα κατάστασης να έχει τουλαχιστον ένα βαθμό μεγαλύτερης τάξης παράγωγο από το διάνυσμα μετρήσεων.συνεπώς,αφού εδώ οι μετρήσεις έχουν ταχύτητα πρέπει να συμπεριληφθεί και η επιτάχυνση στο διάνυσμα κατάστασης.τα αποτελέσματα θα φανούν σε παρακάτω προσομοίωση. Συμπέρασμα Για αυξανόμενο ρ έχουμε αύξηση στον χρόνο σύγκλισης, μικρότερο σφάλμα αφού εχεί συγκλίνει η εκτίμηση μας, καλύτερα αποτελέσματα για πολύ θόρυβο.η επιλογή του ρ εξαρταται επομένως από τις προδιαγραφές του προβήματος μας. 40

41 Χαμένες μετρήσεις (Τα αποτελέσματα είναι για μετρήσεις χωρίς θόρυβο) Ένα σημαντικό θέμα προκύπτει όταν για οποιοδήποτε λόγο κάποιες μετρήσεις χαθούν.στην παρακάτω προσομοίωση,όπου έχουμε πολλές χαμένες μετρήσεις μαζι, φαίνεται ότι το φίλτρο χάνει προς στιγμήν μόνο την τροχιά. Οι χαμένες μετρήσεις είναι αυτές των χρονικών στιγμών 2, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 60, 250, 300, 301, 302, 303, 400 Εφοσον δεν υπάρχει θόρυβος θα θέσουμε στο ρ πολύ μικρη τιμη για να φανεί καλύτερα η επίδραση των χαμένων μετρησεων στην απόδοση του φίλτρου. ρ = X-Y position 41

42 X-Y velocity Σχολιασμος : Τις χρονικές στιγμές που οι μετρήσεις χάνονται το φίλτο δεν έχει κάποιο μηχανισμο που να μπορει να συνεχιζει με την προηγούμενη εκτίμηση και έτσι θεωρεί ότι οι μηδενικές μετρήσεις είναι έγκυρες. Ετσι κανει αρχικοποίηση τροχιάς με τη χαμένη δηλαδή μηδενική μέτρηση και κάνει αρκετή ώρα μέχρι να ξανασυγκλίνει στην πραγματική τροχιά. 42

43 Διορθωμένο φίλτρο kalman Το πρόβλημα διορθώνεται ως εξής: Ελέγχουμε αν η επεξεργασία της εικόνας δεν επέστρεψε μέτρηση και κάνουμε την πρόβλεψη μόνο με την προηγούμενη εκτίμηση χωρίς να παίρνουμε υπόψη μας τη μηδενική μέτρηση.τα αποτελέσματα είναι εκπλήκτικά. X-Y position 43

44 Χ-Υ velocity 44

45 Ψευδείς συναγερμοι (False alarms and clutter) (μετρήσεις χωρίς θόρυβο) Στην περίπτωση ψευδών συναγερμών παραμένει όμως το πρόβλημα αφού ο ιχνηλάτης θεωρεί τις μετρήσεις για πραγματικές και τις παίρνει υπόψην του για την ανανέωση της εκτίμησης..αυτό φαίνεται στην παρακάτω προσομοίωση. Χ-Υ position 45

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ]

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ] 1 ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτό το μέρος της πτυχιακής θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με το φίλτρο kalman και θα δούμε μια καινούρια έκδοση του φίλτρου πάνω στην εφαρμογή της γραμμικής εκτίμησης διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος

Διαβάστε περισσότερα

, και. είναι σταθερές (χρονικά αμετάβλητες), προκύπτει το χρονικά αμετάβλητο φίλτρο Kalman (Time Invariant Kalman Filter):

, και. είναι σταθερές (χρονικά αμετάβλητες), προκύπτει το χρονικά αμετάβλητο φίλτρο Kalman (Time Invariant Kalman Filter): 1 ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟ ΦΙΛΤΡΟ KALMAN Για το χρονικά αμετάβλητο μοντέλο, όπου οι μήτρες F( k 1, k) F, H( k 1) H, Q( k) Q και R( k 1) R είναι σταθερές (χρονικά αμετάβλητες), προκύπτει το χρονικά αμετάβλητο

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων Ι

Αναγνώριση Προτύπων Ι Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 3: Στοχαστικά Συστήματα Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διδάσκων: Αντώνιος Τζές

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διδάσκων: Αντώνιος Τζές Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διδάσκων: Αντώνιος Τζές Πάτρα 2008 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης Ψηφιακός Έλεγχος Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Έστω γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + x k Ax k Bu k Εφαρμόζουμε γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman

Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman 1 Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman Το 1960, R.E. Kalman δημόσιευσε το διάσημο έγγραφό του περιγράφοντας μια επαναλαμβανόμενη λύση στο γραμμικό πρόβλημα φιλτραρίσματος διακριτών δεδομένων. Από εκείνη τη στιγμή,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΙΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ

ΕΚΤΙΜΙΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ 3.1 Εισαγωγή ΕΚΤΙΜΙΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ Στο κεφ. 2 είδαμε πώς θα μπορούσαμε να σχεδιάσουμε έναν βέλτιστο ταξινομητή εάν ξέραμε τις προγενέστερες(prior) πιθανότητες ( ) και τις κλάση-υπό όρους πυκνότητες

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Φυσικού Τμήματος «Υπολογιστική Φυσική» Θέμα εργασίας στο A Μέρος του μαθήματος «Προσομοίωση Χαοτικών Συστημάτων»

Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Φυσικού Τμήματος «Υπολογιστική Φυσική» Θέμα εργασίας στο A Μέρος του μαθήματος «Προσομοίωση Χαοτικών Συστημάτων» Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Φυσικού Τμήματος «Υπολογιστική Φυσική» Θέμα εργασίας στο A Μέρος του μαθήματος «Προσομοίωση Χαοτικών Συστημάτων» Οδηγίες: Σχετικά με την παράδοση της εργασίας θα πρέπει: Το κείμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2 HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Θεωρία πιθανοτήτων Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (αντίθετα με τις ντετερμινιστικές μεταβλητές)

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα του φιλτραρίσματος είναι να υπολογιστεί η βέλτιστη εκτίμηση. μέχρι και τη χρονική στιγμή k. Η εκτίμηση είναι:

Το πρόβλημα του φιλτραρίσματος είναι να υπολογιστεί η βέλτιστη εκτίμηση. μέχρι και τη χρονική στιγμή k. Η εκτίμηση είναι: 1 2. ΦΙΛΤΡΟ KALMAN 2.1.ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΦΙΛΤΡΟ KALMAN Το πρόβλημα του φιλτραρίσματος είναι να υπολογιστεί η βέλτιστη εκτίμηση (φιλτράρισμα) x( k / k ) της κατάστασης τη χρονική στιγμή δεδομένου του

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 5: Το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα ρύθμισης (LQ Regulators) Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ

ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ Ενότητα 3: Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Διδάσκων: Γεώργιος Στεφανίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με τα Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός. Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης

Σκοπός. Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης Η δομή Επιλογής στη PASCAL H δομή Επανάληψης στη PASCAL. Ρεύμα Εισόδου / Εξόδου.. Ρεύμα Εισόδου / Εξόδου. To πρόγραμμα γραφικών gnuplot. Γραφικά στη PASCAL. Σκοπός 6.1 ΕΠΙΔΙΩΞΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 1: Βασικές έννοιες Μπλόκ διαγράμματα Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr Επ. Καθηγητής Τμήματος Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Εκτίµηση Κίνησης Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος , 8ο Εξάμηνο. Ρομποτική II. Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος , 8ο Εξάμηνο. Ρομποτική II. Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 009-0, 8ο Εξάμηνο Ρομποτική II Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 )

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 ) Εστω X : Ω R d τυχαίο διάνυσμα με ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ X Εχουμε δει ότι η γνώση της κατανομής καθεμιάς από τις X, X,, X d δεν αρκεί για να προσδιορίσουμε την κατανομή του X, αφού δεν περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε Πτυχιακή εργασία ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΕΣΗΣ ΓΡΑΦΙΔΑΣ ΕΚΤΥΠΩΤΗ ΕΚΠΟΝΗΣΗ: ΚΟΛΙΩΤΣΑ ΜΑΡΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΤΣΙΡΙΓΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διαλέξεις 5 6 Principal component analysis EM for Gaussian mixtures: μ k, Σ k, π k. Ορίζουμε το διάνυσμα z (διάσταση Κ) ώστε K p( x θ) = π ( x μ, Σ ) k = k k k Eκ των υστέρων

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων . Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές 5 4 3 εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Σύμφωνα με το Ινστιτούτο Ρομποτικής της Αμερικής

Σύμφωνα με το Ινστιτούτο Ρομποτικής της Αμερικής ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ: ΟΡΙΣΜΟΣ: Σύμφωνα με το Ινστιτούτο Ρομποτικής της Αμερικής, ρομπότ είναι ένας αναπρογραμματιζόμενος και πολυλειτουργικός χωρικός μηχανισμός σχεδιασμένος να μετακινεί υλικά, αντικείμενα, εργαλεία

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση και Σχεδιασμός Μεταφορών Ι Γένεση Μετακινήσεων

Ανάλυση και Σχεδιασμός Μεταφορών Ι Γένεση Μετακινήσεων Γένεση Μετακινήσεων Παναγιώτης Παπαντωνίου Δρ. Πολιτικός Μηχανικός, Συγκοινωνιολόγος ppapant@upatras.gr Πάτρα, 2017 Εισαγωγή Αθροιστικά μοντέλα (Aggregate models) Ανάλυση κατά ζώνη πόσες μετακινήσεις ξεκινούν

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ562 Προχωρημένα Θέματα Βάσεων Δεδομένων Efficient Query Evaluation over Temporally Correlated Probabilistic Streams

ΗΥ562 Προχωρημένα Θέματα Βάσεων Δεδομένων Efficient Query Evaluation over Temporally Correlated Probabilistic Streams ΗΥ562 Προχωρημένα Θέματα Βάσεων Δεδομένων Efficient Query Evaluation over Temporally Correlated Probabilistic Streams Αλέκα Σεληνιωτάκη Ηράκλειο, 26/06/12 aseliniotaki@csd.uoc.gr ΑΜ: 703 1. Περίληψη Συνεισφοράς

Διαβάστε περισσότερα

3η Ενότητα Προβλέψεις

3η Ενότητα Προβλέψεις ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων 3η Ενότητα Προβλέψεις (Μέρος 4 ο ) http://www.fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Σύστημα ονομάζουμε ένα σύνολο στοιχείων κατάλληλα συνδεδεμένων μεταξύ τους για να επιτελέσουν κάποιο έργο Είσοδο ονομάζουμε τη διέγερση, εντολή ή αιτία η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1 1. Πότε τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία; Αναφέρεται παραδείγματα. Στη φυσική πολλές φορές είναι απαραίτητο να μελετήσουμε τα σώματα χωρίς να λάβουμε υπόψη τις διαστάσεις τους. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός του μέτρου της στιγμιαίας ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός υλικού σημείου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΜΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Προσαρμοζόμενο (adaptive) ονομάζεται ένα σύστημα ελέγχου, που μπορεί να προσαρμόσει τις παραμέτρους του αυτόματα, κατά τέτοιο

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 20. Παρατηρητής Κατάστασης Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 13

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 13 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 13 Πάτρα 28 Προσαρμοστικός έλεγχος με μοντέλο αναφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

Διπλωματική Εργασία: «Συγκριτική Μελέτη Μηχανισμών Εκτίμησης Ελλιπούς Πληροφορίας σε Ασύρματα Δίκτυα Αισθητήρων»

Διπλωματική Εργασία: «Συγκριτική Μελέτη Μηχανισμών Εκτίμησης Ελλιπούς Πληροφορίας σε Ασύρματα Δίκτυα Αισθητήρων» Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Διπλωματική Εργασία: «Συγκριτική Μελέτη Μηχανισμών Εκτίμησης Ελλιπούς Πληροφορίας σε Ασύρματα Δίκτυα Αισθητήρων» Αργυροπούλου Αιμιλία

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ. Άσκηση. γραμμάτων του επιθέτου σας (π.χ. για το επίθετο Κοσματόπουλος, οι αριθμοί α ι θα είναι a

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ. Άσκηση. γραμμάτων του επιθέτου σας (π.χ. για το επίθετο Κοσματόπουλος, οι αριθμοί α ι θα είναι a Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Άσκηση Θεωρείστε το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς: Y ( s) a s 4 3 a3s a U ( s) s a όπου οι αριθμοί α ι αντιστοιχούν στους αντίστοιχους αριθμούς των 4 πρώτων γραμμάτων του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Διδάσκων: Γεώργιος Μήτσης, Λέκτορας, Τμήμα ΗΜΜΥ Γραφείο: 401 Πράσινο Άλσος Ώρες γραφείου: Οποτεδήποτε (κατόπιν επικοινωνίας) Ηλ. Ταχ.: : gmitsis@ucy.ac.cy Ιωάννης Τζιώρτζης

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Βέλτιστος Δέκτης

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Βέλτιστος Δέκτης Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστος Δέκτης Σύνδεση με τα Προηγούμενα Επειδή το πραγματικό κανάλι είναι αναλογικό, κατά τη διαβίβαση ψηφιακής πληροφορίας, αντιστοιχίζουμε τα σύμβολα σε αναλογικές κυματομορφές

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμες Κινήσεις

Ευθύγραμμες Κινήσεις Οι παρακάτω σημειώσεις διανέμονται υπό την άδεια: Creaive Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές. 1 Θέση και Σύστημα αναφοράς Στην καθημερινή μας ζωή για να περιγράψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 1: Βασικές έννοιες Μπλόκ διαγράμματα Δ. Δημογιαννόπουλος,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Παλινδρόμηση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής Δεσμευμένη αξιοπιστία Η δεσμευμένη αξιοπιστία R t είναι η πιθανότητα το σύστημα να λειτουργήσει για χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 007-008 ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής 1η Εργαστηριακή Άσκηση Αναγνώριση

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 2: Ανασκόπηση θεωρίας εκτίμησης παραμέτρων και συνόρθωσης παρατηρήσεων Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 17 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη 7 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst15

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 2: Μοντελοποίηση φυσικών συστημάτων στο πεδίο του χρόνου Διαφορικές Εξισώσεις Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii Περιεχόμενα Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή... 1 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων... 2 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac...

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοημοσύνη Ι» 5 o Φροντιστήριο

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοημοσύνη Ι» 5 o Φροντιστήριο Πρόβλημα ο Ασκήσεις Φροντιστηρίου 5 o Φροντιστήριο Δίνεται το παρακάτω σύνολο εκπαίδευσης: # Είσοδος Κατηγορία 0 0 0 Α 2 0 0 Α 0 Β 4 0 0 Α 5 0 Β 6 0 0 Α 7 0 Β 8 Β α) Στον παρακάτω κύβο τοποθετείστε τα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή

Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Oι οπτικές επιδράσεις, που μπορεί να προκαλέσει μια εικόνα στους χρήστες, αποτελούν ένα από τα σπουδαιότερα αποτελέσματα των λειτουργιών γραφικών με Η/Υ. Τον όρο της οπτικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοημοσύνη Ι» 4 o Φροντιστήριο

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοημοσύνη Ι» 4 o Φροντιστήριο Ασκήσεις Φροντιστηρίου 4 o Φροντιστήριο Πρόβλημα 1 ο Ο πίνακας συσχέτισης R x του διανύσματος εισόδου x( στον LMS αλγόριθμο 1 0.5 R x = ορίζεται ως: 0.5 1. Ορίστε το διάστημα των τιμών της παραμέτρου μάθησης

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αναγνώριση Προτύπων Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Χριστόδουλος Χαμζάς Τα περιεχόμενο της παρουσίασης βασίζεται στο βιβλίο: Introduction to Pattern Recognition A Matlab Approach, S. Theodoridis,

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης 0.500 X 0.674σ 1 στις 0.800 X 1.8σ 1 στις

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Το κυματοπακέτο. (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο».

Το κυματοπακέτο. (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο». Το κυματοπακέτο (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο». Ένα ελεύθερο σωμάτιο δεν έχει κατ ανάγκη απολύτως καθορισμένη ορμή. Αν, για παράδειγμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από

Διαβάστε περισσότερα

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης 6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης Μία διαφορετική μέθοδος εκπαίδευσης των νευρωνικών δικτύων χρησιμοποιεί ιδέες από την Στατιστική Φυσική για να φέρει τελικά το ίδιο αποτέλεσμα όπως οι άλλες μέθοδοι,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ψηφιακός Έλεγχος Συστημάτων Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 12 η διάλεξη Ψηφιακός έλεγχος τεχνητού χεριού. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 12 η διάλεξη Ψηφιακός έλεγχος τεχνητού χεριού. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 1 η διάλεξη Ψηφιακός έλεγχος τεχνητού χεριού Ψηφιακός Έλεγχος 1 Θέλουμε να κάνουμε έλεγχο τεχντητού χεριού που πιάνει και μεταφέρει εύθραστα γυάλινα δοχεία διαφόρων μεγεθών. Ο στόχος είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένα σύστηµα εκκρεµούς όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Πάνω στη µάζα Μ επιδρά µια οριζόντια δύναµη F l την οποία και θεωρούµε σαν είσοδο στο σύστηµα. Έξοδος του συστήµατος θεωρείται η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 5: Παλινδρόμηση Συσχέτιση θεωρητική προσέγγιση Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα