CULEGERE DE PROBLEME

Transcript

1 Colecţia "LICEU CULEGERE DE PROBLEME petru eameul de admitere la Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii, Facultatea de Arhitectură

2 Descrierea CIP a Bibliotecii Naţioale a Româiei UNIVERSITATEA POLITEHNICA (Timişoara) Culegere de probleme petru eameul de admitere la: Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii, Facultatea de Arhitectură/Uiversitatea Politehica di Timişoara. Departametul de Matematică - Timişoara : Editura Politehica, Bibliogr. ISBN (76)(79.)

3 UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMIŞOARA DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ CULEGERE DE PROBLEME petru eameul de admitere la Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii, Facultatea de Arhitectură Colecţia "LICEU" EDITURA POLITEHNICA TIMIŞOARA -

4 Copyright Editura Politehica, Toate drepturile sut rezervate editurii. Nici o parte di această lucrare u poate fi reprodusă, stocată sau trasmisă pri idiferet ce formă, fără acordul prealabil scris al Editurii Politehica. EDITURA POLITEHNICA Bd. Republicii r Timişoara, Româia Tel. 56/.8 Fa 56/.8 editura@edipol.upt.ro Cosilier editorial: Prof.dr.ig. Sabi IONEL Redactor: Claudia MIHALI Bu de imprimat:.. Coli de tipar: 7 C.Z.U. 5(76)(79.) ISBN Tiparul eecutat la S.C. URC XEDOS Timişoara

5 5 CUPRINS ELEMENTE DE ALGEBRĂ (simbol AL )...9 ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANĂ ŞI TRIGONOMETRIE (simbol TG )...5 ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ (simbol AM )...57 ANEXE Subiecte date la admitere î aii 9 şi, cu soluţii complete...79 BIBLIOGRAFIE..

6 6

7 7 PREFAŢĂ Prezeta culegere coţie probleme de matematică petru pregătirea cadidaţilor la admiterea î Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii şi Facultatea de Arhitectură di cadrul Uiversităţii Politehica di Timişoara. Problemele sut prezetate după modelul test, cu mai multe răspusuri, ditre care uul sigur este corect. Î fialul culegerii sut prezetate subiectele, cu soluţii complete, date la admitere î ultimii doi ai la facultăţile meţioate. Notăm că această culegere este alcătuită di o parte ditre problemele di cartea Teste grilă de matematică petru eameul de bacalaureat şi admiterea î îvăţămâtul superior, Editura Politehica,, elaborată de autorii: T. Bâzaru, N. Boja, O. Lipova, A. Kovacs, G. Babescu, P. Găvruţa, D. Redi, I. Mihuţ, D. Dăiau, D. Păuescu, C. Milici şi R. Aghelescu. La cocursul de admitere, petru ote pâă la 8,, subiectele se etrag eclusiv di această culegere (cu evetuale modificări miore), restul subiectelor proveid di cartea meţioată mai sus. Departametul de Matematică al Uiversităţii Politehica di Timişoara

8 8 DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ PROGRAMA ANALITICĂ Elemete de algebră Progresii aritmetice şi geometrice. Fucţii: fucţia parte îtreagă, fucţia radical, fucţia de gradul al doilea; Ecuaţii iraţioale. Sisteme de ecuaţii eliiare. Fucţia epoeţială şi fucţia logaritmică. Ecuaţii epoeţiale şi ecuaţii logaritmice. Permutări, arajamete, combiări. Biomul lui Newto. Numere complee sub formă algebrică. Matrice. Determiaţi. Sisteme de ecuaţii liiare. Legi de compoziţie. Grupuri. Iele şi corpuri. Iele de polioame cu coeficieţi îtr-u corp comutativ. Elemete de geometrie şi trigoometrie Fucţii trigoometrice. Relaţii ître fucţii trigoometrice. Aplicaţii trigoometrice î geometria plaă: teorema cosiusului, teorema siusurilor; rezolvarea triughiurilor. Dreapta î pla. Ecuaţii ale dreptei. Codiţii de paralelism şi codiţii de perpedicularitate a două drepte. Calcule de distaţe şi arii. Elemete de aaliză matematică Limite de fucţii. Cotiuitate. Derivabilitate. Aplicaţii ale derivatelor î studiul variaţiei fucţiilor. Primitive. Itegrala defiită. Aplicaţii ale itegralei defiite: aria uei suprafeţe plae, volumul uui corp de rotaţie.

9 ELEMENTE DE ALGEBRĂ

10 Culegere de probleme ELEMENTE DE ALGEBRĂ (simbol AL) AL - Să se găsească primul terme a şi raţia r ai uei progresii aritmetice a a6 + a 7 ( a ) dacă :. a8 a7 a a) a, r b)a, r c)a, r d) a 5, r e)a, r f)a, r AL - Să se determie suma primilor de termei ai uei progresii aritmetice (a ), dacă a, a 5. a) b) 795 c) 55 d) 65 e) 5 f) 5 AL - Petru o progresie aritmetică suma primilor termei ai ei este S Să se determie primul terme a şi raţia r. a) a, r 9 b)a, r c)a, r d) a, r e)a, r f)a 9, r 9 a u şir avâd suma primilor termei S + a + b, ude AL Fie ( ) ab, R, petru orice. Să se determie a şi b astfel îcât şirul ( a ) să fie progresie aritmetică cu primul terme egal cu. a) a, b a R, b, c) a, b d) a, b e) a, b f) a, b b) ( ) AL - 5 Să se determie primul terme a şi raţia q petru progresia geometrică ( a ) dacă : a a a 5. a 6 5

11 Elemete de algebră a) a, q b) a, q c) a 6, q a 6 a d) sau e) a, q f) a a sau q q q q AL - 6 Suma a trei umere î progresie aritmetică este egală cu. Dacă se adaugă acestora, respectiv umerele,,, progresia devie geometrică. Să se afle aceste umere. a) 5,,7 şi 5,, b),,7 şi 7,,-9 c) 6,8, d),,5 şi 7,5, e) 5,9, şi 8,, f),,6 şi,,9 AL 7 Să se calculeze epresia + a + a E + a + a a a, a R \ { }. a) a b) a + c) a a a + + d) a a + e) a a + + f) AL 8 Să se determie umerele reale,y,z dacă,y,z sut î progresie aritmetică cu raţia eulă,,z,y sut î progresie geometrică şi +y+z 8. a) -, 6, b), 6, - c) 6,, d) -,, 8 e), -6, 6 f) 6, -8, AL - 9 Notâd cu S mulţimea soluţiilor ecuaţiei [ ] să se precizeze care di următoarele mulţimi este S a), Z b) U k, k + k Z k c) { ; d) {-,} e) [-,] f) (-,) Z \ {,} }

12 Culegere de probleme AL Se cosideră fucţia f: R R, f ( ) + şi se otează f f ο f,, f f - ο f. Să se determie epresia lui f a) f () f() + ; b) f () f(); c) f () f()+ - + d) f () f(); e) f () f()++; f) f () f()+ AL - Să se calculeze f ((, ]) petru fucţia de gradul al doilea defiită pri f ( ) +. a) [,] b) [,) c) (,] d) [,] e) (,) f) (,) AL - Să se rezolve iecuaţia <. a) R b) (,) (, ) c) (, + ) d) (, + ) (, ) e) (,) (, + ) f) R \ {,} AL - Să se determie valorile parametrului real m astfel îcât { R :( m ) ( m ) m } >. 5 m,, + a) ( ) b) m [, + ) c) m (, ] 5 d) m +, e) m 5, f) m, ( ] AL - Fiid dată ecuaţia a +b+c, (a ), să se eprime î fucţie de a, b şi c suma S +, ude, sut rădăciile ecuaţiei date. b bc c bc b bc a) S b) S a c) S a a a a a

13 Elemete de algebră b bc c bc b bc d) S + e) S a + f) S + a a a a a AL - 5 Să se determie parametrii reali m şi astfel ca ecuaţiile ( 5m 5) + ( m) + şi ( + ) 5 + să aibă aceleaşi rădăcii. a) m -, 7; b) m - 7, c) m 9, 7 d) m, 7 e) m 7, f) m 9, -7 AL - 6 Să se rezolve ecuaţia iraţioală +. a), b), c), d), e), f), AL - 7 Fie fucţia de gradul al doilea f m ( ) m ( m ) + m, ( m ). Să se determie m astfel îcât vârful parabolei asociate acestei fucţii să se găsească pe prima bisectoare. a) m b) m c) m d) m e) m f) m 6 6 AL - 8 Determiaţi epresia aalitică a fucţiei de gradul al doilea f : R R, f ( ) a + + c, ştiid că graficul ei taie aa Oy î puctul şi are abscisa vârfului. a) f ( ) + + b) f ( ) + c) f ( ) + + d) f ( ) + + e) f ( ) + + f) f ( ) + + AL - 9 Să se determie m R astfel îcât parabolele asociate fucţiilor f şi g ( ) m m 6 să aibă acelaşi vârf. ( ) a) m - b) m c) m - d) m e) m f) m -5

14 Culegere de probleme AL - Să se determie p, q R dacă fucţia : R R are maimul î puctul -. f, f ( ) + p + q a) p, q b) p, q c) p, q d) p q e) p q f) p, q AL - Presupuem că petru ecuaţia + b + c a avem Δ > şi rădăciile,. Să se calculeze î fucţie de Δ şi a. a ( ) a) Δ a b) Δ a c) Δ a d) Δ e) Δ a f) b + a Δ a AL - Petru ce valori ale parametrului real m iegalităţile m+ < < 6 sut satisfăcute petru orice R? + a) m R b) m 6 (, ) c) m ( 6, + ) d) m (, ) e) m 66 (, ) f) m 6 [, ] AL - Să se determie Im f ( ) f ( ) a), { } f R petru fucţia f : R R, b) 9 +, c), d), U, e), U, f),

15 Elemete de algebră 5 AL - Să se rezolve sistemul + y y a) {(,), (, )} b) {(,), (,) } c) {(,), (,) } d) {(, ), (, ) } e) {(,)} f) {(,)} AL - 5 Să se determie soluţiile reale ale sistemului y + y y + y 5 a) {(,), (, )}, b) {(,)} c) {(,)} d) {(,), (,) } e) {(,), (, )} f) {(,), (, )} AL - 6 Să se rezolve iecuaţia <. 7 a), b) 5, c) 5 5, d) 5 9, e) 7 5 5, 9 f) 7 9, AL - 7 Să se determie R petru care +. a), ( ) b) c) d) ± e) f) AL - 8 Fie iecuaţia >. Care di itervalele de mai jos reprezită mulţimea soluţiilor iecuaţiei? 7 b), a) (,) c) (,] d) (,+ ) e)[,5) f) 7, AL - 9 Să se determie mulţimea A R

16 6 Culegere de probleme a) (, ] b)[,+ ) c)[,+ ) d) (,] {} e)[ ) {} AL - Să se determie valoarea epresiei, f)[,+ ) E ( 9 9 ) ( ), Z a) 6 7 b) + c) d) e) f) AL - Să se determie toate soluţiile reale ale ecuaţiei a) { 5,, } b) [ 5, ] c) { 5,} d) [ 5, ] e) ( 5, + ) f) ( 5, ) AL - Să se determie toate soluţiile reale ale ecuaţiei +.,, c) a) { } d) {}, b) { } R \ e) (, ] {} f) {,,} AL - Să se calculeze valoarea epresiei E + +, petru [, ]. a) E + b) E + c) E d) E e) E 6 f) E ( ) AL - Să se rezolve ecuaţia: +. a) b) c) lg lg + ( )

17 Elemete de algebră 7 d) e) lg lg ( ) f) lg AL - 5 Determiaţi valoarea lui petru care e + e a) b) c) d) e) f) l AL - 6 Să se rezolve ecuaţia 6 9 a) este b) c) uica soluţie log log d) e) f) log + log log AL - 7 Să se rezolve iecuaţia: + >. a) ( ),+ b)[ ), c) (, ) d) (,+ ) e) (,+ ) f) (, ) AL - 8 Să se rezolve iecuaţia: > a),log b),log c) (,) d) (,log ( 5 ) ) e) (, log ( 5 + ) ) f) (, ) AL - 9 Să se rezolve ecuaţia: log log ( 5) ( 8).

18 8 Culegere de probleme a), b), c) d) e), f) 9 AL - Să se precizeze domeiul maim de defiiţie al fucţiei: f ( ) log.,, + a) ( ) b) (, ) [, + ) c)[,+ ) d) (,+ ) e) (,] (, ) f) (, ] [, ) AL - Să se determie domeiul maim de defiiţie al fucţiei ( ) f log log. + a) (,+ ) b) (,+ ) c), (, ) d),, e) (, ) (, + ) f) (, ) AL - Mulţimea soluţiilor ecuaţiei 5 log + log este: a) φ ; b), ; c) { }, ; d), ; e){,5 } f), 5 log9 6 AL - Să se rezolve ecuaţia: log + log ( ) log. a) b) c) 6 d) 6 e) f)

19 Elemete de algebră 9 AL - Să se rezolve ecuaţia lg + lg. a) b) c) d) e) f) AL - 5 Se cosideră iecuaţia: loga log + log, a >, a a a şi se otează cu M a mulţimea tuturor soluţiilor sale. Care ditre următoarele afirmaţii este adevărată? a) M, b) M, + c) M, + d), M e) ( 5, + ) f) M (, ) M AL - 6 Fie P ( ) a y+ a y 8 y> a ( ) toate valorile lui y astfel îcât P ( ) >, oricare ar fi log log,,,. Să se determie R. a) y ( a, a ) b) y ( a, a ) 8 c) y [ a, a] d) y ( a, ) e) y ( a, a) f) y [ a, a] AL - 7 Se cosideră fucţia f : R (, + ), Calculaţi iversa sa, f. e, f ( ), <. a) c) l( + ), (,) f ( ), [, + ) b) l, (,) f ( ), [, + ) d) f f l( ), (,) ( ), [, + ) l( + ), (,) ( ), [, + )

20 Culegere de probleme e) l( + ), (,) f ( ) f), [, + ) f l, (,) ( ) +, [, + ) AL - 8 Se cosideră epresia ( ) lui R astfel îcât E< ( ) 5. E log + log. Determiaţi valorile a) (, ) b) (, ) ( 6, ) c) [,] [ 6,] d) ( 6, + ) e) (, ) (, + ) f) (, ) (, + ) AL - 9 Să se determie umărul de elemete ale mulţimii E N + A 5 < ( + )! ( )! a) b) c) d) e) f) 5 AL 5 Soluţia ecuaţiei + 5( + 6)( + 5)( ) C se află î itervalul : a) (,9); b) (-8,-); c) (-6,-); d) (,) e) (,7); f) (9,). AL - 5 Să se rezolve ecuaţia C + + P A. a) b) c) 5 d) e) 7 f) AL - 5 Să se calculeze epresia: E C k C k C k,, k, k +. k C

21 Elemete de algebră a) E b) E c) E d) E e) E f) E AL - 5 Determiaţi mulţimea A a valorilor lui R petru care: C > C. a) A (, ) (, ] b) A { 567,,} c) A [ 7, ] d) A { 89,, } e) A [, ] {, } f) A {,,, } AL - 5 Să se precizeze termeul care u coţie pe di dezvoltarea biomului a + a *, a, R +. 5 a) Ca 5 7 b) Ca 7 5 c) Ca d) Ca 5 e) Ca 8 8 f) Ca AL - 55 Care este epresia termeului di dezvoltarea biomului care coţie pe a? a +, a a a)87 7 a b) 86 7 a c)7 5 a d) 86 a e) 7 a f) AL - 56 Care este termeul di dezvoltarea biomului î care epoeţii lui şi y sut egali? y + y, a) T b) T c) T 6 d) T 8 e) T 5 f) T AL - 57 Î dezvoltarea biomului +, suma coeficieţilor biomiali ai ultimilor trei termei este egală cu. Să se afle valorile lui petru care suma ditre termeul al treilea şi termeul al cicilea este egală cu 5. a), b) c), d), e) f),

22 Culegere de probleme AL 58 Calculaţi z + + z E z z petru umerele complee z şi z ( z fiid compleul cojugat umărului z). a) ( z + z ) b) ( + zz ) c) ( + z )( z ) d) z z e) ( + z )( z ) f) ( + z z ) AL - 59 Să se găsească valorile reale ale lui m petru care umărul i mi + m i + 5 este real i. ( ) ( ) a) m b) m c) 5 m d) m e) m f) m AL - 6 Să se calculeze valoarea epresiei i i E +. i + i a) i b) c) i d) e) i f) i AL - 6 Să se determie α R astfel îcât umărul comple i α + ( α + )i să fie real. a) b) + c) + d) + e) f) + AL - 6 Să se determie umerele complee z astfel îcât z + 8 z. a) z ± i, ± b) z ± i c) z ± i, ± ± i 5 i i d) z ± i, ± e) z ± i, f) z ± 5 + 7,,

23 Elemete de algebră AL 6 Să se precizeze cu care di valorile date mai jos este egal z ( + i) ( i) 9 7. a) z + i b) z c) z i d) z i e) z i f) z + i z AL - 6 Căreia di mulţimile de mai jos aparţie α + z z C \{}? z z, petru N b) Z c) Q d) R e) C \ R f) R \{} AL - 65 Să se determie toate umerele complee z C care verifică ecuaţia z z + i. a) z + i b) z + i, z i c) z, z + i 5 d) z i e) z, z + i f) z + i AL - 66 Fie α şi β rădăciile ecuaţiei + +. Să se calculeze α + β. a) b) c) d) i e) i f) AL - 67 Precizaţi partea imagiară a umărului comple ( i) i i + i i i 9 9 a) i b) i c) i d) i e) i f) i

24 Culegere de probleme AL - 68 Să se calculeze z dacă z + + i. a) b) c) d) 6 e) f) 6 AL - 69 Rădăciile pătrate ale umărului comple +i sut : a) +i, -i ; b) +i, --i ; c) +i, -+ ; d) -i, -+i ; e) +i, -i ; f) +i, +i AL - 7 Să se calculeze rădăcia pătrată di umărul comple z + i, i. ( ) a) + i, i b) + i, + i c) + i, i d) + i, + i e) i, i f) i, i AL - 7 Fie z u umăr comple astfel îcât b z se calculeze. b + z z a a b, ude, a > b >. Să a) a b) b c) a a b a + b a b d) a + b e) b + f) a a a + b b AL 7 Numerele complee z şi z satisfac relaţia: z + z z z. Care di afirmaţiile următoare este adevărată? a) z, z - i b) z z +i c) z, z > d) z > şi z > e) cel puţi uul di cele două umere f) z >, z are modulul mai mic sau egal cu. AL 7 Aflaţi a R astfel ca matricea diagoală costată X a a să fie soluţia comuă a ecuaţiilor matriceale a

25 Elemete de algebră 5 ( ) X şi ( ) X a) a b) a c) a d) a e) a f) a AL - 7 Se dau matricele pătratice de ordiul al doilea 6 5 E şi 7 F. Să se calculeze matricea A E F a) 9 A b) 9 A c) 9 A d) 9 A e) 9 A f) 9 A AL - 75 Fie ( ) Z A M. Dacă ( ) f să se calculeze ( ) A f. a) ( ) 6 A f b) ( ) 9 6 A f c) ( ) A f

26 6 Culegere de probleme d) ( ) 9 A f e) ( ) 9 6 A f f) ( ) I A f AL - 76 Să se calculeze produsul de matrice A B, ude A, B a) 7 b) 6 7 c) 7 d) 7 e) ( ) 7 f) 7 AL - 77 Să se rezolve ecuaţia matriceală: 7 5 X a) b) c) d) 5 e) f) AL - 78 Să se rezolve ecuaţia matriceală: 5 X

27 Elemete de algebră 7 a) 5 5 b) 5 c) 5 d) 5 5 e) 5 5 f) 5 5 AL - 79 Să se rezolve ecuaţia matriceală X a) X b) X c) X d) X e) X f) X AL - 8 Să se determie matricea X care verifică relaţia: 6 X. a) X ( ) b) X c) X d) X ( ) e) X f) X

28 8 Culegere de probleme AL - 8 Să se rezolve ecuaţia matriceală X. a) X 6 5 b) X 6 c) X 6 d) X 6 5 e) X 5 f) X 6 AL - 8 Fie A. Să se arate că A este de forma: A determie apoi a, N. a şi să se a) a+ a +, a b) a+ a, a c) a+ a +, a d) a+ a, a e) a+ a +, a f) a+ a, a AL - 8 Să se calculeze. a) b) c) d) e) f)

29 Elemete de algebră 9 AL - 8 Fiid dată matricea A, să se calculeze matricea A, N*. a) A ( ) b) A ( ) c) A d) A e) A f) A ( ) + AL - 85 Să se calculeze A, N* ude A. a) A b) A + c) A d) A e) A f) A AL - 86 Să se calculeze iversa matricei 6 9 A

30 Culegere de probleme a) A b) A c) A d) A e) 5 5 A f) A AL 87 Se dă ecuaţia a ; a R \ {-}. Să se determie parametrul a astfel îcât ître rădăciile ecuaţiei să eiste relaţia ( ) + + <. a) a ( ] [ ) +,, b) a ( ) ( ) +,, c) a [-,] d) a [,] e) a ( ], f) a [ ),+ AL - 88 Să se rezolve ecuaţia: X, X M (Z). a) X b) X c) X şi X d) X i i i i 6 e) X f) X

31 Elemete de algebră AL - 89 Dacă a,b,c sut lugimile laturilor uui triughi şi h a, h b, h c sut a h h îălţimile corespuzătoare, care este valoarea determiatului: Δ b h c h b c b h h c a a? a) Δ abc b) Δ c) Δ a +b +c e) Δ ; e) Δ abc f) Δ (ab+ac+bc) AL - 9 Să se calculeze determiatul: a) 8 b) 6 c) 6 d) 7 e) 8 f) AL - 9 Să se calculeze determiatul: Δ a a a a a a) b) a c) a d) 6a e) f) - AL - 9 Să se calculeze det ( A ) dacă A a) b) c) d) 7 e) f) 5

32 Culegere de probleme AL - 9 Fie matricele A determiatul matricii A B. şi B. Să se calculeze 9 a) -; b) -; c) ; d) ; e) ; f) AL - 9 Care sut soluţiile ecuaţiei? a), 7, b),, c) 7, 5, 5 d) 7, e) 7,, f), 7, a ab ac AL - 95 Să se rezolve ecuaţia ba b bc. ca cb c a) b) a c) a, b c d), +, a + b c e), a + b c f), a,, cu elemetele AL - 96 Fie matricea A ( ij ) i, j mi { i + j, i j + } a j i. Să se calculeze det A şi A.

33 Elemete de algebră a) det A, A b) det A, A c) det A, A d) det A, A e) det A, A f) det A, A AL - 97 Să se calculeze determiatul Δ sut rădăciile ecuaţiei + + 7, ştiid că,, a) Δ b) Δ - c) Δ d) Δ e) Δ f) Δ AL - 98 Să se rezolve sistemul: + y + z y + z 5. + y + z a) (,,) b) (,-,) c) (-,,) d) (,,) e) (,,) f) (,,) AL - 99 Să se rezolve sistemul + y + z + y + z + y + z a), y, z b), y, z c), y, z d), y, z e), y, z f), y 7, z 6

34 Culegere de probleme AL - Care sut valorile parametrului m R petru care sistemul de ecuaţii: m + y + z + my + z + y + mz admite soluţie uică? a) m R \ {-,} b) m R \ {,-} c) m R \ {-,-} d) m R \ {,} e) m R \ {-,} f) m R \ {-,} AL Se cosideră sistemul + y + mz y + z m m + y + z Să se determie parametrul real m petru ca sistemul să fie icompatibil. a) m, m -; b) m, m -; c) m -, m ; d) m, m ; e) m -, m ; f) m, m -. AL - Să se determie m R astfel ca sistemul: + y 8 y 5 + y m să fie compatibil. a) b) c) d) e) 8 f) AL - Petru ce valoare a parametrului real + y z + 5y + z + y + z m este compatibil şi edetermiat de ordiul îtâi? m R sistemul de ecuaţii a) m - b) m c) m - d) m e) m - f) m

35 Elemete de algebră 5 AL - Să se determie valorile parametrilor reali a şi b petru care sistemul + y z 6 + y+ bz este icompatibil. a y + z 8 a) a a, b R sau şi b b) a c) a R \, b b 7 d) a b şi R e) a a f) 7 b b m + y z AL - 5 Se cosideră sistemul liiar + y + z ( m ) + y + z, m, R. Petru ce valori ale parametrilor m şi sistemul este compatibil simplu edetermiat? a) m, b) m, c) m, d) m, e) m, f) m, AL - 6 Să se determie mulţimea valorilor parametrului real m petru care sistemul următor este compatibil my + + y m. + ( m ) y + m a) {,} b) c) {,} d) {-,} e) R \{-,} f) {,} AL - 7 Pe R se cosideră legea de compoziţie iteră defiită astfel: y y y + m, m R Să se determie m astfel îcât această lege să fie asociativă. a) m b) m c) m d) m e) m- f) m-

36 6 Culegere de probleme AL 8 Petru orice y y e + e ( ) R, y R se defieşte legea de compoziţie l ; precizaţi mulţimea soluţiilor ecuaţiei ( ) a) l,l b) d), l l c) { l } l e) { l } f) { l } AL - 9 Pe mulţimea A R \ {} se cosideră legea de compoziţie defiită pri: y y y + c, ( ), y A, c R Petru ce valoare a lui c legea este asociativă? a) c b) c- c) c d) c e) c f) c6 AL - Fie legea de compoziţie iteră pe R defiită pri y y + α + βy ( ), y R, ude α, β R. Care sut valorile lui α şi β petru care legea este comutativă şi asociativă? a) α β sau α şi β b) α + β c) α β sau α şi β d) α β e) α β f) α, β AL - Î mulţimea R este defiită legea de compoziţie iteră astfel îcât + y ( ), y R : y cu y. y Elemetul eutru e, admis de lege este: a) b) c) d) e) f)

37 Elemete de algebră 7 AL Pe R se defieşte legea de compoziţie pri y ay y +, ude a R. Petru ce valori ale lui a legea cosiderată admite elemet eutru? a) a b) c) a d) a e) a f) a AL - Determiaţi elemetul eutru al operaţiei defiită î R pri, y, y + + y y + y + y ( ) ( ) ( ), a) (,) b) (,) c) (,) d) (,) e) (-,-) f) (,-) AL - Să se determie elemetul eutru al grupului comutativ (G, ), ude l y G (, ) \ {} iar y a) b) e c) d) e) e f) e AL - 5 Petru ce valori ale parametrului real λ itervalul (,+ ) este mooid î raport cu legea de compoziţie defiită pe R pri : y y y + λ, ( ), y R? a) λ (,6 ) b) λ ( 6, + ) c) λ6 d) λ e) λ (, + ) f) λ (, ) AL - 6 Î mulţimea R a umerelor reale se cosideră legea de compoziţie defiită pri : y a + by, ( ), y R. Să se determie parametrii reali a şi b astfel îcât această lege de compoziţie să determie pe R o structură de grup abelia. a) a, b b) a, b c) a b d) a, b e) a, b f) a, b

38 8 Culegere de probleme AL - 7 Se cosideră grupul abelia ( R, ) cu legea de compoziţie : y k k ( + k k y a ) ude a R, este u umăr fiat, iar k este impar şi k. Care este elemetul eutru şi care este simetricul elemetului R î raport cu legea cosiderată? a) a ( a ) k k k k k k ; + b) a; ( a ) c) a ( a ) k k ; d) ; ( a ) k k k k k k k k k + e) ; ( a ) f) ; ( a ) AL - 8 Să se determie partea mulţimii Z pe care legea de compoziţie defiită pri : y + y + y, ( ), y Z determiă o structură de grup abelia propriu. a) Z b) Z \{} c) Z \ { } d) {} Z \ e) {,} f) { } AL - 9 Fie M R \. Să se determie mab,, * R astfel ca legea y y y + m să determie pe M o structură de grup abelia, iar aplicaţia * ( ) ( ) ( ) f : M, R,, f a + b să fie u izomorfism ître ( M, ) şi grupul multiplicativ al umerelor reale, diferite de zero. a) m 6; a ; b b) m 6; a ; b c) m 5; a ; b d) m ; a b ; e) m ; a b ; f) m ; a ; b (,, ) AL - Fie grupurile ( R, + ) şi ( ) α f R ( ) f ( ) e + α α +. Î ce codiţii fucţia :, +,, α N, α 5 este u izomorfism de grupuri? a) α5 b) α c) α8 d) α6 e) α7 f) α 9 k AL - Fie grupul (A, + ) ude compoziţie defiită pri : A R R R şi + este legea de (, ) ( y, y, y ) ( + y, + y, + y )(, )(,, ), ( y, y y ) A +,,.

39 Elemete de algebră 9 Petru ce m R fucţia f : A A cu f,, m + +, + m m ( ) ( ), este u automorfism al grupului (A, + )? a) m ± b) m R \{} c) m {, } d) m e)m f) m R \{, } AL - Fie G (, + ) care are o structură de grup faţă de operaţia defiită pri : y y ( + y) + 6, ( ), y G. Să se determie ab îcât fucţia f : R * G, f ( ) a b R * + + petru orice + R * +, la grupul ( G, ). izomorfism de la grupul ( ), R astfel, să realizeze u a) a, b b) a, b c)a, b d) a, b e) a b f)a, b { },. Să se determie a Z petru care operaţiile + şi AL - Fie Z Z ( y), y Z (, y ) (, y ) ( +, y + y ) (, y ) o (, y ) ( y + y ay y ), determiă pe Z Z o structură de iel cu elemetul uitate e(,). Î acest caz să se determie divizorii lui zero dacă eistă. a) a; u eistă b) a; (,), Z * c) a; (,), Z * d) ( ) a Z ; u eistă e) a Z ; (,y), y Z * f) ( ) a Z ;(,), Z * AL Fie ielul ( Z,,o) ude legile de compoziţie sut defiite pri y + y p; o y y p py + p + p, p Z. Să se stabilească dacă ielul are sau u divizori ai lui zero. Î caz afirmativ să se determie divizorii lui zero. a) Da; p, p-; b) Nu; c) Da; p, p; d) Da;, p+; e) Da; p,p; f) Da; p, p+.

40 Culegere de probleme AL - 5 Fie abc,, R. Pe R defiim legile de compoziţie şi Τ pri: y a + by, ( ), y R şi Τy y y + c, ( ), y R. Care sut valorile a, b, c astfel îcât ( R,, Τ ) să fie corp? a) a, b, c b) a, b, c 6 c) a, b, c 6 d) a, b, c e) a, b, c f) a, b, c 6 AL - 6 Să se rezolve următorul sistem de ecuaţii î corpul claselor de resturi $ + $ y 5$ modulo :. 7$ + $ y 8$ a) ( 9 $, $ ) b) ( 9 $, $ ) c) ( 69 $, $ ) d) ( 89 $, $ ) e) ( 5 $, $ ) f) ( 6 $, $ ) AL - 7 Care sut soluţiile sistemului: $ + $ y $ $ + $ y $ î ielul Z? a) $, y 7 $ b) $, y $ c) $, y $ d) icompatibil e) $, y $ f) 8$, y $ AL 8 Să se determie valoarea parametrului real m astfel îcât poliomul P ( ) + + m să se dividă cu +. a) b) c) d) e) f) AL 9 Să se determie câtul q şi restul r al împărţirii poliomului f la poliomul g +. a) q + +, r 5 5; b) q +, r 5 + 5; c) q + 7, r 5 ; d) q +, r + ; e) q + 6, r + ; f) q, r + 5; AL - Fie P u poliom cu coeficieţi reali. Dacă resturile împărţirii lui P la a b, a b sut egale, să se determie restul împărţirii lui P şi ( )

41 Elemete de algebră la poliomul ( a)( b). a) a + b b)b + a c) P(a) d)b + e) + a f) + b AL - Să se determie restul împărţirii poliomului P + ( ) ( ) ( ) la poliomul ( ) Q +. a) + b) c) d) + e) + f) AL - Fie f [ X] pri împărţirea la X + şi ( X + ) f ( X ) X f ( X + ) împărţirii lui f la X R u poliom de grad cel puţi doi. Dacă f dă restul X., să se determie restul a) X b) + X c) d) e) X X f) X AL - Să se determie toate polioamele de gradul trei care se divid la -, iar resturile împărţirii la -, - şi - sut egale. a) α ( ) b) α ( ) c) α ( 9 6 8) d) α ( ) e) α ( ) f) ( ) α α R AL - Fie P u poliom cu coeficieţi reali de grad mai mare sau egal cu, iar R mx + X + p restul împărţirii lui P pri produsul ( X )( X ). Să se determie m, şi p astfel îcât resturile împărţirii lui P pri X, X şi X + să fie, respectiv,,, 6. a) m,, p b) m,, p c) m 7, 6, p d) m,, p 5 e) m,, p f) m,, p AL - 5 Determiaţi puterile aturale petru care poliomul ( ) ( ) f X + X + + X este divizibil pri g X X +. a) p, p N b) p+, p N c) p+, p N d) p, p N e) p+, p N f) N

42 Culegere de probleme AL - 6 Să se determie parametrii a,b R astfel îcât poliomul ( ) + a b, să fie divizibil cu ( ) + P + Q. a) a b) a 6 c) a - 6 b - b - 6 b 6 d) a 6 e) a 5 f) a b - b - 5 b - AL 7 Să se determie restul R() al împărţirii poliomului Q + a + la ++, N +. ( ) b a) R ( ) ( a ) + b b) R ( ) ( a + ) + b + c) R ( ) a + b d) R ( ) ( a ) + b e) R( ) ( a ) + b f) R ( ) ( a ) + b + AL - 8 Fie f Z [ X], f a + ax + ax + a X poliomului f, dacă ( ) ( )... ( ), ( ) f + f + + f N.. Determiaţi coeficieţii * a) f + X 5X + X c) f + X + 6X + X e) f X + X X b) f X X + X d) f + X 6X + X f) f X 6X + X AL - 9 Determiaţi ordiul de multiplicitate m N al rădăciii 5 a ecuaţiei : a) b) c) d) e) f) 5 AL - Fie [ ] P R X, P ax + bx + cx + d, a, b. Să se determie relaţia ditre coeficieţii a, b, c, d petru care rădăciile lui P sut î progresie aritmetică. a) b + 7ab+ 9abc b) b 7a d + 9abc c) b + 7a d 9abc d) a + 7abc 9bd e) c + 7abc f) c + 7a d 9abc

43 Elemete de algebră P R X, P ax + bx + cx + d, a, d. Să se determie relaţia ditre coeficieţii a, b, c, d petru ca rădăciile poliomului P să fie î progresie geometrică. AL - Fie poliomul [ ] a) ab cd b) ab cd c) ab c d d) ac b d e) ac bd f) ac bd AL - Care este relaţia ditre a şi b atuci câd ecuaţia a + ab, ab, R \, are o rădăciă dublă. {} a) b a b)b a c)b a d) a 5b e) a b f) a b AL - Să se determie m R ştiid că rădăciile,, ale ecuaţiei + m + satisfac relaţia + +. a) m, m b) m, m c) m, m d) m, m8 e) m, m f) m, m AL - Dacă,, sut rădăciile ecuaţiei +, să se precizeze care di ecuaţiile următoare are drept rădăcii : y +, y +, y +. a) y y + b) y y c) y + y + 7 d) y + y + y + e) y + y f) y y + y AL - 5 Să se rezolve ecuaţia : ( ) ( ) ea admite rădăcia , ştiid că a)+,, b)+,, c)+, +, d)+,, e)+, +, + f)+,, AL - 6 Să se determie ab, R astfel ca ecuaţia + a + b + 7 să aibă rădăciile î progresie aritmetică.

44 Culegere de probleme a) a, b7 b) a, b 9 c) a 5, b d) a, b 6 e) a, b 6 f) a 5, b AL - 7 Să se rezolve ecuaţia: ( ) + + +, ştiid că admite rădăcia. i 5 6 a) + ± + ± i 5 + 6,, b),, c), +, + d), +, e),, ± 5+ 6 f), +, 5+ 6 AL 8 Să se determie valorile raţioale ale parametrilor a şi b astfel îcât + să fie rădăciă a ecuaţiei : + a + b a) a, b b) a, b c) a, b d) a, b e) a, b f) a, b AL - 9 Să se determie parametrii reali a, b şi c ştiid că ecuaţiile + a + b + şi + c au o rădăciă dublă comuă. a) a, b, c b) a, b, c c) a, b, c a, b, c a, b, c d) a, b, c e) a, b, c f) a b c a, b, c AL - 5 Să se determie suma coeficieţilor poliomului obţiut di dezvoltarea ( 8 8) 997. a) b) c) 997 d) e) C 997 f) 997

45 ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANĂ ŞI TRIGONOMETRIE

46 6 Culegere de probleme ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANĂ ŞI TRIGONOMETRIE (simbol TG ) TG - Să se calculeze: cos5 si5 E tg5 + ctg5. a) b) c) d) e) 8 f) 8 TG - Dacă tga, tgb, tgc, cât este tg ( a b c) + +? a) b) c) d) e) f) TG - Dacă se otează t si u, se cere să se eprime î fucţie de t epresia E tg u+ ctg u. a) t + b) t c) t d) t e) t f) t + TG - Dacă cos, 7 π cos y şi y,,, să se calculeze y. a) π b) π c) 6 π d) π e) 5 π f) π TG - 5 Să se restrâgă epresia: ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) si 5 cos 5 E tg. si 5 cos 5 a) E b) E c) E tg d) E ctg e) E si f) E cos TG - 6 Să se verifice că următoarea epresie este idepedetă de

47 Elemete de geometrie plaă şi trigoometrie ( ) ( ) E cos + si cos + si. a) E b) E c) E d) E e) E f) TG - 7 Ştiid că ctg, să se calculeze: si E si cos. cos E a) b) c) d) e) 7 7 f) 7 TG - 8 Să se calculeze valoarea epresiei: si tg E cos ctg petru π. a) b) c) d) e) f) TG - 9 Ştiid că π si α, α,, să se calculeze tg α. 5 a) b) c) d) 5 e) f) 7 : R R, cos. 5 TG - Determiaţi perioada pricipală a fucţiei f f ( ) a) b) 7 π c) 5π d) π 7 TG - Să se calculeze epresia E e) 5 π 7 si 6 si cos + cos 6 f) π

48 8 Culegere de probleme a) + b) c) d) + e) f) + TG - Să se calculeze epresia: [, π / ]. si + tg, ştiid că avem cos + ctg cos, a) ( 5 ) b) ( + 5 ) c) 6 ( 5 ) 6 5 d) ( + 5 ) e) ( 5 ) f) 5 ( + 5 ) 5 TG - Arătaţi că următoarea epresie este idepedetă de, + si + cos E +. + ctg + tg a) E b) E c) E d) E e) E f) E TG - Să se calculeze cos 5 + si 5 a) b) 6 c) d) e) 6 f) 6 TG - 5 Să se calculeze: tg5 cos5 + ctg5 si5 a) b) c) d) e) 5 f)

49 Elemete de geometrie plaă şi trigoometrie 9 TG - 6 Să se calculeze: si cos a) b) c) d) e) TG - 7 Să se calculeze: tg tg tg... tg89. f) a) b) c) d) e) f) TG - 8 Se dă triughiul ABC î care AB R m BAC α, R fiid raza cercului circumscris triughiului. Să se determie celelalte laturi î fucţie de α şi R. şi ( ) a) R, Rsi α, Rsi( α + 6 ) b) R, Rsi α, Rsi( α + ) c) R, Rsi α, Rsiα d) R, R,Rsiα e),, R, Rsi α +, Rsiα R R R f) ( ) TG - 9 Ître laturile uui triughi avem relaţia: a b+ c, iar ître ughiurile sale Aˆ Bˆ + Cˆ. Triughiul este: a) ascuţit ughic oarecare b) obtuz ughic oarecare c) isoscel d) dreptughic e) echilateral f) oarecare TG - Î triughiul ABC se dă b, c latura a. ˆ 6 şi m( C ) a) ( 6) b) 6 d) ( + 6) e) ( 6) şi ( 6). Să se calculeze c) 6 şi 6+ + f) 6+

50 5 Culegere de probleme TG - U triughi ABC cu lugimile laturilor,, 5 are vârful A opus laturii A de mărime mijlocie. Care este valoarea lui tg? a) 7 b) 7 c) 5 7 d) 6 7 e) f) 8 7 TG - Dacă A,B,C sut măsurile ughiurilor uui triughi să se calculeze: E tg A+ tg B+ tg C a) E ctg A ctg B ctg C ; b) E ctg A ctg B tg C c) E ctg A tg B tg C d) E tg A tg B tg C e) E tg A tg B ctg C f) E tg A ctg B tg C TG - Dacă î triughiul ABC avem răspusurile de mai jos este corect. A tg şi b+ c a, precizaţi care di a) ( ˆ π m B) sau ( ˆ π m C) b) m( A ˆ ) m( Bˆ ) c) m( A ˆ ) d) ( ˆ π m B) sau ( ˆ π m C) e) m( A ˆ ) m( Cˆ) f) m( A ˆ ) π π TG - Să se calculeze aria triughiului ABC, ştiid că a 6, B 6 şi C 5. a) 6( + ) b) 9( ) c) 9( + ) d) 6( ) 9 e) ( ) f) ( + ) TG - 5 Îtr-u triughi ABC laturile a, b, c sut îm progresie aritmetică, a fiid termeul di mijloc. Să se calculeze epresia: B C E tg tg.

51 Elemete de geometrie plaă şi trigoometrie 5 a) E b) E c) 6 E d) E e) E 6 f) E TG - 6 Se dau puctele A(,5), M(-,), N(,). Să se scrie ecuaţiile dreptelor ce trec pri A şi fac ughiurile de 5 şi, respectiv,5 cu dreapta (MN). a) - 7y + 6, 7 + y - 6 b) - 5y + 9, 5 -y -5 c) - y +, + y - 8 d) - y +, + y - e) - y + 7, + y - f) - 7y +, 7 - y - TG - 7 Să se afle coordoatele vârfurilor uui triughi cuoscâd mijloacele laturilor P(,-), Q(,7), R(-,). a) (-,-), (5,), (-,) b) (-,), (8,-5), (-6,9) c) (-,-5), (,9), (-,) d) (-,-5), (8,), (-6,) e) (,-), (-,9), (,7) f) (,-), (5,), (-9,9) TG - 8 Se dau puctul A(-,) şi dreapta (d) y + 5. Să se determie coordoatele puctului B, simetricul lui A faţă de dreapta (d). a) B(-,) b) B(,) c) B(,-) d) B(,) e) B(,-) f) B(-,) * TG - 9 Fiid date umerele a, b R, se cosideră puctele A(a,), B(,b) şi M(,λ) situate pe aele de coordoate (O) şi (Oy). Să se determie λ astfel ca proiecţia puctului M pe dreapta (AB) să coicidă cu mijlocul segmetului AB. a) a b a b) a b b c) a b a + b a b a a + b d) e) f) a b b TG Î sistemul cartezia (Oy) se cosideră puctele A(,), B(,), M(,-) şi N(-,). Să se determie puctul de cocureţă al dreptelor (AN), (BM) şi al perpedicularei di O pe (AB).

52 5 Culegere de probleme 8 a), d), b), e), c), f), 9 9 TG - Se dau puctele A(,5), B(-,), C(,). Se cere să se scrie ecuaţia mediaei di A a triughiului ABC. a) + 5y - b) - y + 7 c) + y - d) + y - e) - y - f) - y - TG Să se scrie ecuaţia dreptei ce trece pri puctul de itersecţie al dreptelor ( d ) + y 7, ( d ) y + şi este paralelă cu prima bisectoare. a) y ; b) y + 7; c) y + 5 d) y + ; e) y + ; f) y + 7. TG - Se dau dreptele (AB): - y +, (AC): - y -, (BC): + y +. Să se scrie ecuaţia îălţimii di A a triughiului ABC. a) - y + b) 6-9y - c) - + 6y - d) - y - e) 6-9y + f) - 6y + TG - Se dă triughiul ABC determiat de dreptele (AB): + y -, (BC): + y -, (CA): - y -. Să se calculeze aria triughiului ABC. a) A Δ ABC b) A Δ ABC 8 c) A Δ ABC 6 d) A Δ ABC 5 e) A Δ ABC 7 f) A Δ ABC 9 TG - 5 Să se determie λ astfel ca distaţa de la puctul A(,) la dreapta variabilă (λ+) - (λ-)y + λ - să fie d. a), - b), 7 c) 9 7, d) 9 7, e) -, 7 f),

53 Elemete de geometrie plaă şi trigoometrie 5 TG - 6 Să se scrie ecuaţiile dreptelor care trec pri puctul A(-5,7) şi sut situate la distaţa de puctul B(,7). a) + y -, - y + b) + 5y - 5, - 5y + 55 c) - y + 9, + y + d) + y -, + y - e) - y +, + y + f) - y +, + y - TG - 7 Fie î plaul (Oy) puctul M(-,6) şi dreapta (d) + y - 5. Să se afle distaţa simetricului puctului M î raport cu dreapta (d) pâă la prima bisectoare. a) b) c) d) 5 e) f) 5 TG - 8 Fie î plaul (Oy) puctele A(,) şi B(7, -) şi dreapta (d) -y+. Să se afle puctul M de pe dreapta (d) care este echidistat faţă de puctele A şi B. a) M(,) b) M, c) M, d) M, 8 e) M 9 8, f) M, 8 TG 9 Să se determie m R astfel îcât dreptele d : +my+m+ şi d : +(m-)y+m+ să coicidă. a) m b) m c) m d) m e) m f) m TG Să se determie α R astfel îcât dreptele de ecuaţii (d ) +y-, (d ) -y+ şi (d ) α+y- să fie cocurete: 9 a) α b) α c) α d) α- e) α TG Să se scrie ecuaţia dreptei di pla, ştiid că A(, ) este piciorul perpedicularei coborâtă di origie pe dreaptă. a) +y-; b) +y-; c) +y-9;

54 5 Culegere de probleme d) +y-; e) +y-; f) +y-7. TG Să se determie ecuaţia mediatoarei segmetului ce ueşte puctele (,) şi (,8) a) 9-7y b) 7-9y c) +7y-5 d) 7-y- e) +7z- f) -y+ TG Fie î plaul (Oy) puctele A(5,6), B(-,), C(-,-) şi D(6,). Ce figură geometrică reprezită patrulaterul ABCD? a) dreptughi b) romb c) pătrat d) trapez isoscel e) trapez dreptughic f) paralelogram TG Ştiid că puctul M(,y) se află pe dreapta D : + y +, să se determie miimul epresiei: E + y. a) b) c) d) e) f) TG 5 Se dă dreapta (α - ) + (α - )y - α + cu α R. Să se determie α astfel că dacă A,B sut itersecţiile dreptei cu (O), respectiv (Oy), să avem: +. OA OB a) α, α b) α 5 α 7 c) α 7 α 5 d) α 5 α 7 e) α 5 α 7 f) α 7 α 5 TG 6 Pe catetele OB şi OC ale uui triughi dreptughic se costruiesc î afară pătrate î care vârfurile opuse lui O sut, respectiv, D şi E. Să se determie coordoatele puctului H de itersecţie a dreptelor (CD) şi (BE), dacă B(b,) iar C(,c).

55 Elemete de geometrie plaă şi trigoometrie 55 a) H bc bc, b) H b + c + bc b + c + bc bc bc, b + c bc b + c bc c) H bc bc, d) H b c, b+ c bc b+ c b+ c e) H b c, f) H b + c b c, bc bc bc bc TG - 7 Fie A şi B puctele î care dreapta a + (a + )y + a taie aa (O), respectiv (Oy), (d ) dreapta ce trece pri A şi este paralelă cu prima bisectoare a aelor; (d ) dreapta care trece pri B şi este perpediculară pe (d ). Să se determie a astfel îcât puctul de itersecţie ditre (d ) şi (d ) să fie pe dreapta de ecuaţie + 5y. a) a ± b) a ± c) a, a d) a, a e) a ± f) a -, a TG - 8 Se dau dreptele + y -, + y -, - y + şi - y -, care sut laturile uui paralelogram. Să se scrie ecuaţiile diagoalelor. a) - y, - y + b) - y -, + y - c) - y +, + y - d) + y -, - + y + e) + 6y - 5, 5 + y - 7 f) + 6y - 5, - y + TG - 9 Se dau puctele A(,) şi B(-5,-). Să se afle puctul M pe dreapta (d) y +, astfel ca m ( AMB ) 9. a) M (-,), M (,5) b) M (-,), M, c) M (-,), M, d) M (,5) e) M(-,) f) M (,), M (-,)

56 56 Culegere de probleme TG - 5 Se dau dreptele - y + 6 şi - y - 9. Să se determie paralela la a doua bisectoare a aelor de coordoate care formează ître cele două drepte u segmet de 5 uităţi. a) y - +, y - + b) y - -, y - + c) y - + 5, y - + d) y - + 5, y - - e) y - -, y - + f) y - +, y -

57 ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

58 58 Culegere de probleme ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ (simbol AM ) AM - Determiaţi umerele reale a şi b astfel îcât: + + a b 5 lim + 8. a) a, b5 b)a, b 5 c)a 5, b d) a 5, b e)a, b f)a, b AM - Să se determie parametrii a şi b reali, aşa îcât: lim 8 a b +. a) a, b b)a, b c)a, b d) a, b e)a 8, b 6 f)a 6, b AM - Să se calculeze: L lim + arctg. arctg + a) b) + c) d) e) f) AM - Fie f :(, + ) R, defiită pri relaţia f ( ) + ( + ) + ( + ) + + ( + ) Să se determie lim f ( ). [ ] l l... l petru orice >. a) b) c) e d) + ( ) e e) ( + )( + ) e 6 f) e

59 Elemete de aaliză matematică 59 AM - 5 Să se calculeze: lim 7 9. a) 56 b) 56 c) 8 d) 8 e) f) AM - 6 Să se determie parametrul real a astfel îcât fucţia f : R \{} R, defiită pri f ( ) ( ) al, dacă <, dacă > să aibă limită î puctul. a) b) c) d) e) l f) l e AM - 7 Să se calculeze: lim cos. a) b) c) d) e) f) AM - 8 Să se calculeze: lim. l a) b) c) d) e) f) AM - 9 Să se determie: lim si. a) b) + c) d) e) f) u eistă AM - Să se calculeze: lim( si + si ). a) + b) c) d) e) f)

60 6 Culegere de probleme AM - Să se calculeze: lim si m *, ude m, N. π si a) m b) ( ) m m c) ( ) m m d) ( ) m m e) m f) ( ) m m e AM - Să se calculeze: lim si. a) b) c) d) e e) e f) + AM - Să se calculeze: lim + +. a) b) c) d) e e) e f) e AM - Se cosideră şirul ( ) ude a lim( si ) a) e b) e b cu termeul geeral b a + a a,. Să se calculeze: lim c) e d) e e) b. e a + a AM - 5 Se cosideră fucţia f :( k, + ) R, f ( ), + k ude ak, R. Să se precizeze relaţia ditre a şi k astfel îcât graficul fucţiei f să admită ca asimptotă dreapta y +. a) a + k b) a + k c) a + k d) a + k e) a + k f) a + k f), ude D este domeiul maim + de defiiţie. Să se determie asimptotele lui f. AM - 6 Fie f : D R R, f ( ) a),, y 5 b),, y 6 c),, y

61 Elemete de aaliză matematică 6 d),, y e),, y 5 f),, y AM - 7 Se cosideră fucţia :(, ] [, ), ( ) f + R f. Să se determie ecuaţia asimptotei spre la graficul lui f. a) y b) y c) y + d) y e) y + f) u eistă AM - 8 Fie fucţia f : R \ R, defiită pri + f ( ). Să se determie asimptotele la graficul acestei fucţii. a) y y,, b) y, c) y +, d), y e) y y,, f), y + AM 9 Să se determie valoarea costatei a R, astfel îcât fucţia f : [,] R, 7si a( ), [,) f ( ) 6 + a, [,] să fie cotiuă pe domeiul ei de defiiţie. a) a ; b) a ; c) a ; d) a ; e) a 5; f) a,5. AM - Să se determie valorile parametrului real m astfel îcât ecuaţia m 5 m să aibă cel puţi o rădăciă reală î itervalul (,). 5 m b) m,, + c) a) (, ) 5 m, 5 d) m, e) 5 m, f) m,

62 6 Culegere de probleme AM - Fie fucţiile f: D, f( ) ( ) f : D, f( ) R R şi fucţiile R R. Ştiid că D şi D sut domeiile maime de defiiţie ale celor două fucţii, să se precizeze aceste domeii. a) D [, + ) {} ; D[, + ) b) D [, + ) {} ; D [, ) c) D (, + ); D [, + ) {} d) D D [, + ) e) D [, + ); D [, + ) {} f) D D [, + ) {} AM - Se cosideră fucţia f : (, ) R, f ( ) ( + ) l Să se calculeze f (). a) b) c) d) e) f) AM - Să se calculeze derivata de ordiul uu a fucţiei f : R R, f ( ) a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e) f ( ) f) f ( ) AM - Care este cea mai mică pată posibilă a uei tagete la curba y + 5? a) 5 5 b) c) d) e) f) - AM - 5 Fie fucţia R ( ) f : D, f si, ude D este domeiul maim de defiiţie al fucţiei f. Să se studieze derivabilitatea fucţiei f î puctul şi î caz afirmativ să se calculeze valoarea derivatei î acest puct. a) f ' ( ) b) f ' ( ) c) f 'u ( ) eistă

63 Elemete de aaliză matematică 6 d) f ' ( ) e) f ' ( ) f) f ' ( ) AM - 6 Fie f : e, e R, defiită pri f ( ) arcsi l. Să se determie mulţimea puctelor î care fucţia este derivabilă. a) e, e b) e, c) ( ], e d)[ ] e e, e e), (,e) f), (,e] AM - 7 Să se determie parametrii reali a şi b astfel îcât fucţia f : R R, + a, defiită pri f ( ), să fie derivabilă pe R. a + b, > a) a, b b)a, b c)a R, b 5 d) a, b R e) a, b f)a, b AM - 8 Să se determie parametrii reali a şi b astfel îcât fucţia f : R R, e, defiită pri f ( ), să fie derivabilă pe R. a + b, > a) a, b b)a e, b e c) a, e b e d) a e, b e e) a e, b f) a, b ae, AM - 9 Fie fucţia f : R R, f ( ). si + bcos, > Să se determie costatele reale a şi b astfel îcât f să fie derivabilă pe R. a) a b b)a, b c)a b d) a, b e)a b f)a, b e AM - Să se calculeze derivata fucţiei f f ( ) arctg +. : E R R, defiită pri

64 6 Culegere de probleme a) f ( ) ' + b) f ( ) ' + c) f ( ) ' d) f ( ) ' + e) f ( ) f) f ( ) ' + AM - Să se calculeze derivata fucţiei f : \{ } [,] defiită pri ( ) f si. R, a) f '( ) cos b) f ' ( ) si c) ( ) f ' d) f '( ) cos e) f '( ) cos f) f '( ) AM - Fie f :[, ] R, derivabilă astfel îcât f ( ) f ( ) orice [, ]. Să se calculeze f '. ( ) a) f ' ( ) b) ( ) f ' petru cos c) f ' ( ) d) f ' ( ) e) f ' ( ) f) ( ) f ' + 5 derivata iversei fucţiei f î puctul y. AM - Se dă fucţia f : R (, + ), pri f ( ). Să se calculeze a) l5 b) l5 c) l d) l e) l f) l AM - Să se determie coeficietul ughiular al tagetei î puctul ( ee, ) f :, + R, f l +. la graficul fucţiei ( ) ( ) a) e b) e c) + e d) e + e e) e f) e AM - 5 Petru ce valoare a parametrului real t, fucţia f : R R,

65 Elemete de aaliză matematică 65 t f ( ) + bisectoare? are î puctul graficul taget uei drepte paralelă cu prima a) t b) t c) t d) t e) t f) t AM - 6 Fie f :[, + ) R, defiită pri f ( ) +. Să se determie abscisa a uui puct situat pe graficul lui f î care tageta la grafic să fie paralelă cu coarda ce ueşte puctele de pe grafic de abscisă,. 5 a) b) c) d) e) f) + şi +. Să se scrie ecuaţia tagetei la graficul lui f î puctul de abscisă. AM - 7 Se cosideră fucţia f : R \{ } R, f ( ) a) y + b)y + 8+ c)y + 8+ d) y + 8 e) y + 8 f) y + + a + b : R \ R,, ude ab, R. Să se determie a şi b ştiid că graficul lui f este taget dreptei y î puctul. AM - 8 Fie f {} f ( ) a) a, b b)a, b c)a, b d) a, b e)a, b f)a, b AM - 9 Se cosideră fucţiile f ( ) şi g ( ) + + c, ude c R. Să se afle c astfel îcât graficele lui f şi g să aibă o tagetă comuă îtr-u puct de itersecţie a curbelor. a) c b) c c) c d) c e) c f) c AM - Fie fucţia f : R R, f ( ) e. Să se determie pata tagetei la graficul fucţiei î puctul de abscisă -.

66 66 Culegere de probleme a) - b) c) d) e e) -e f) e + p + q AM - Se cosideră fucţia f(). Să se determie parametrii + p,q R astfel ca dreapta y- să fie tagetă graficului fucţiei î puctul A(,-). a) p, q -8 b) p-, q-5 c) p-, q - d) p-, q- e) p-5, q- f) p-6, q- AM - Să se determie puctul P de pe graficul fucţiei tageta la grafic trece pri origie. f() e +, î care a) P(,) b) P(, e ) c) P(, +e) d) P(, e + ) e) P(-, e - ) f) P AM - Să se afle soluţia iecuaţiei l( ) a) ( + ) d) ( + ) + >., b), ( ) c), ( ), e) (, + ) f), ( ) AM - Să se determie valorile parametrului real m petru care fucţia f : R R f l + m este mooto crescătoare pe R., ( ) ( ) a) (, ] b)[,+ ) c) (, ] [, + ) d) (, ] e) (, ] [, + ) f)[, ] AM - 5 Să se determie toate soluţiile (, + ) ale iecuaţiei: l a) (,+ ) b) (, e ] c)[ ) e,+ d) e e) [ ee, ] AM - 6 Să se afle puctele de etrem local ale fucţiei f : R R f, precizâd atura lor. ( ). e f) [ e,+ ), defiită pri

67 Elemete de aaliză matematică 67 a) 5 mi, ma, 5 mi b) ma, 5 mi c) 5 mi, 5 ma d) ma, 5 ma e) 5 ma, mi, 5 mi f) 5 ma, mi, 5 ma AM - 7 Să se determie cea mai mică şi cea mai mare valoare a fucţiei f : R R f 6 pe segmetul [, ]., ( ) a) f, f b) f 5, f 6 c) f 8, f mi ma mi d) f, f 7 e) f 9, f f) f 7, f mi ma mi AM - 8 Care este mulţimea puctelor de etrem local ale fucţiei f : E R R, f, ude E este domeiul maim de defiiţie? a) {} ( ) b) { } ma ma, c) d) {} mi mi ma ma e) {, } f) { 5, } a + a AM - 9 Se cosideră fucţia f : R R, f ( ) ude a este u parametru + real. Să se determie a astfel îcât fucţia să aibă u etrem î puctul. a) a b) a c) a d) a e) a f) a AM - 5 Să se determie mulţimea puctelor de ifleiue petru fucţia f : R R, f ( ) + 5. a) {,} b) { } c) {,} d) e) { } f) {,} a + b + c, ude a >, c<, b R. Să se determie coeficieţii a, b, c astfel ca graficul fucţiei să admită AM - 5 Se dă fucţia f : R \{} R, f ( ) asimptotă dreapta y f ( ) +, iar. a) a, b, c b) a, b, c c) a, b, c d) a, b, c e) a, b, c f) a, b, c

68 68 Culegere de probleme AM - 5 Să se determie valoarea costatei f : R R, a R astfel îcât fucţia si, π f ( ) a, să fie cotiuă pe R. π dacă π dacă a) π b) c) d) e) f) AM - 5 Fie fucţia R ( ) f : D, f si, ude D este domeiul maim de defiiţie al fucţiei f. Să se studieze derivabilitatea fucţiei f î puctul şi î caz afirmativ să se calculeze valoarea derivatei î acest puct. a) f ' ( ) b) f ' ( ) c) f 'u ( ) eistă d) f '( ) e) f '( ) f) f ' ( ) AM - 5 Fie α u umăr real şi f :[, ] R fucţia dată de: f ( ) α si,., Să se determie α R petru care f este de două ori derivabilă î. a) α b) α c) α> d) α> e) α> f) α AM - 55 Fie fucţia f ( ) arcsi. Să se determie ecuaţia tagetei la graficul fucţiei î puctul de abscisă.

69 Elemete de aaliză matematică 69 π + + a) y ( ) b) y ( ) π c) y + ( ) π + d) y ( ) e) y ( ) π π f) y + AM - 56 Folosid itervalele de mootoie ale fucţiei f :(, + ) R, defiită pri f ( ) 5 a) ( ) l, să se precizeze care di următoarele iegalităţi este adevărată. 5 > 5 b) < 5 c) > 8 d)8 < e) < f) > 5 AM - 57 Fie f : R R, defiită pri f ( ) + a 5, ude a R. Să se determie parametrul a astfel îcât fucţia să admită u etrem cu valoarea. a) a b) a şi a c) a d) a e) a 5 f) a a AM - 58 Fie f : R R, defiită pri f ( ) ude a R. Să se + determie a petru care fucţia f admite u puct de etrem situat la distaţa de aa Oy. a) a, a b) a, a c) a, a d) a, a e) a, a f) a, a 7 + +, AM - 59 Fie f : R R, f ( ). Precizaţi care di e, > următoarele fucţii reprezită o primitivă a fucţiei f :

70 7 Culegere de probleme + +, F ( ) e, > F + +, ( ) e, > F F c, ( ) e + c, > + +, ( ) e +, > a) toate b) ici ua c) F d) F e) F f) F + 97 AM - 6 Se cosideră fucţia f : (, ) R, f ( ). + Să se găsească umerele reale m, şi p astfel îcât fucţia m + + p F : (,) R, F( ) să fie primitivă petru f a) m,, p 7 b) m,, p 7 c) m,, p 7 9 d) m,, p 7 e) m, 7, p 9 f) m,, p AM 6 Calculaţi itegrala edefiită + d petru orice ( a, b), ude ( a,b). a) + l + C b) + C c) + + C d) + l + C e) l + + C + f) + C AM 6 Calculaţi itegrala: d e.

71 a) e e b) Elemete de aaliză matematică 7 e e c) ( e ) e d) ( e e ) e) ( e ) e f) ( e ) e AM 6 Să se calculeze itegrala: a) arctg b) l e d e + arctg c) arctg d) arctg e) arctg f) arctg arctg AM 6 Să se calculeze e e d. a) arcsi e arcsi e b) arcsi e arcsi e c) arcsi e arcsi e d) arcsi e arcsi e e) ( arcsi arcsi e e ) arcsi e arcsi e AM 65 Să se calculeze: ( ) e d a). e b) - c) ( e ) d) ( e) f) ( ) e) e f) e AM 66 Să se calculeze primitivele fucţiei + f : (, ) (, ) R, f ( ). + a) l( + ) + C b) l + C c) l + C

72 7 Culegere de probleme d) + l + l ( ) ( ) + C + C e) + l + C + l + C f) ( ) + l + C AM 67 Să se determie mulţimea primitivelor următoarei fucţii trigoometrice f : (, π ) R, f ( ) si a) l ctg + C b) C cos + c) l tg + C d) l tg + C e) l ctg + C f) l cos + C ( ) AM - 68 Să se calculeze I si d, ude π π,. si + cos a) I +C l tg b) ( l si cos ) c) I + C I + C I l si + cos + C I + l si + cos + C arctg d) ( ) e) I ( ) + + C l si cos arctg f) ( ) AM - 69 Să se stabilească o relaţie de recureţă petru itegralele: / I, N,, I d. a) I + ( )( I I ) b) I + ( )( I I ) c) I ( + )( I I ) d) I ( ) I + I

73 Elemete de aaliză matematică 7 e) I + ( I I ) f) I ( )( I I) AM 7 Să se stabilească o relaţie de recureţă petru itegralele I, π ( si ) N, I d + a) I I, ; b) I I, c) I I, ; d) I I, + e) I I, ; f) I I, 5 AM - 7 Ştiid că Pd ( ) şi Pd ( ) [ Pt () + P ( t ) ] dt. 5, să se calculeze a) b) 9 c) 8 d) 9 e) 7 f) Nu are ses o astfel de itegrală AM - 7 Se cosideră fucţia f : [,] R, ( ) Să se calculeze itegrala I f ( ) d [] [] + f. a) I l b) I l 6 c) I l d) I l e) I l f) I l AM 7 Să se calculeze 5 a) b) d. c) d) 7 e) f)

74 7 Culegere de probleme + d. AM 7 Să se calculeze: ( ) a) b) c) d) e) 9 f) 6 AM 75 Să se calculeze I + d a) 5 7 b) 5 c) 5 d) 5 e) f) 7 5 AM - 76 Fie fucţia f : [,] R, f ( ). Să se determie (,) f. îcât ( ) d f ( c) c astfel a) c b) c ± c) c d) 8 c e) 8 c ± f) c AM - 77 Să se calculeze a) b) π e l + ( l ) d π c) e- d) l e) l f) AM - 78 Calculaţi valoarea itegralei: I ( + + ) d. a) 8 b) 5 c) d) 9 e) 7 f) 8 AM - 79 Să se calculeze itegrala: I a) I l b) I + 5 d. l c) I + l

75 Elemete de aaliză matematică 75 d) I + l e) I + AM - 8 Să se calculeze : I d l f) I + l a) l + arctg b) l + π c) l + π 8 d) l e) π 8 f) l +π AM - 8 Să se calculeze : d. ( + ) a) l b) l 7 c) l d) l e e) 8 l f) l AM - 8 Care este valoarea itegralei : d? 8 a ) l( 9 + ) b) arctg c) d) e) f) 8 AM - 8 Să se calculeze valoarea itegralei: I + d a) I 5 b) I 5 c) I d) I ( 5 ) e) I ( 5 ) f) I ( 5+ ) AM - 8 Să se calculeze itegrala : d. π+ b) ( ) a) ( ) π c) π d) π e) π f) π

76 76 Culegere de probleme AM - 85 Să se calculeze : + d. a) 5 b) c) d) e) 5 f) AM - 86 Să se calculeze: d I. + + a) I b) I c) I d) I - e) I π f) I π AM - 87 Să se calculeze itegrala defiită d si π π a) l b) l c) l d) l e) l f) l 8 AM - 88 Determiaţi valoarea itegralei: I π si cos + si d. a) b) c) l d) 8 l e) f) l 5 5 AM - 89 Să se calculeze I π a) I ( e ) π e si d. π b) I e c) + π I e 5 d) π I e 5 π e) I + e 5 f) + π I e

77 Elemete de aaliză matematică 77 π AM - 9 Să se calculeze ma{ si,cos } d. a) b) c) d) e) f) - AM - 9 Să se calculeze lim a, dacă a d + petru orice N. a) b) c) d) e) 5 f) AM - 9 Să se calculeze lim ( ) e d. a) b) e c) e - d) e AM - 9 Fie F : R R, F e t ( ) l( t + t ) dt etrem local ale fucţiei F. e) e f). Determiaţi puctele de a) b) e c), d) e) u are pucte de etrem local f), 5 e AM - 9 Să se calculeze aria domeiului margiit de graficul fucţiei f ( ) cu aa O şi dreptele,. + a) l b) c) π d) e) π f) π AM - 95 Să se calculeze aria figurii plae cuprisă ître parabola y şi dreapta + y. a) 9 b) c) d) 8 e) 7 f) 8

78 78 Culegere de probleme AM - 96 Calculaţi aria domeiului mărgiit de curbele : y şi y. a),5 b),5 c), d) 6,5 e) f),5 AM - 97 Fie f : (-,+ ) R, defiită pri f () l (+ ). Care este aria porţiuii plae cuprisă ître graficul fucţiei, dreptele, şi aa O? a) b) l c) l d) l e) l f) l + AM - 98 Care este aria suprafeţei cuprisă ître parabolele de ecuaţii : y şi 8 y? a) 8 b) 6 c) 8 d) e) f) AM 99 Să se calculeze volumul corpului de rotaţie determiat pri rotirea î jurul f 8,,. aei O a subgraficului fucţiei ( ) [ ] a) 6 π b) 66 π c) π d) π e) π f) 8π AM - Să se calculeze volumul corpului de rotaţie determiat pri rotirea î jurul aei O a subgraficului fucţiei f ( ) 6, [,]. a) 6 π b) π c) π d) π e) π f) 6π

79 ANEXE Subiecte date la admitere î aii 9 şi, cu soluţii complete