1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45"

Transcript

1 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa

2 2

3 Cuprins 1 Serii numerice Definiţii. Exemple Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni oarecare Probleme propuse Serii de puteri Suma unei serii de puteri Operaţii cu serii de puteri Derivarea seriilor de puteri Integrarea seriilor de puteri Probleme propuse Formula lui Taylor Serii Taylor pentru funcţii de douǎ variabile Probleme propuse Noţiuni de topologie în R n 41 5 Funcţii de mai multe variabile Definiţii. Exemple Probleme propuse Limite. Continuitate Limita unei funcţii într-un punct Continuitate Probleme propuse

4 4 CUPRINS 7 Derivate parţiale Derivate parţiale de ordinul întâi Derivate parţiale de ordin superior Gradient. Diferenţialǎ Diferenţierea funcţiilor compuse Hessiana unei funcţii într-un punct Probleme propuse Extreme locale ale funcţiilor de mai multe variabile Extreme necondiţionate Extreme condiţionate Probleme propuse Elemente de calcul integral Primitive Primitive reductibile la primitivele funcţiilor raţionale Funcţii integrabile. Integrala definitǎ Aplicaţii ale integralelor definite Aria subgraficului unei funcţii continue şi pozitive Lungimea graficului unei funcţii derivabile cu derivata continuǎ Volumul unui corp de rotaţie Aria suprafeţelor de rotaţie Centre de greutate Ecuaţii diferenţiale Introducere în teoria ecuaţiilor diferenţiale Ecuaţii diferenţiale de ordinul I Ecuaţii cu variabile separabile Ecuaţii diferenţiale omogene Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul I Ecuaţii diferenţiale de tip Bernoulli Modele matematice ale creşterii populaţiei Modelul lui Malthus Modelul lui Verhulst

5 1 Serii numerice 1.1 Definiţii. Exemple Definiţie. Fie (a n ) n 1 un şir de numere reale şi s n = n i=1 a i, n 1. Cuplul ((a n ) n 1, (s n ) n 1 ) se numeşte serie numericǎ şi se noteazǎ n 1 a n sau n a n sau n=1 a n. Elementul a n se numeşte termen general al seriei, elementele şirului (a n ) n 1 se numesc termenii seriei; elementele şirului (s n ) n 1 se numesc sumele parţiale ale seriei, iar elementul s n se numeşte suma parţialǎ de rang n. Definiţie. O serie de numere reale n 1 a n se numeşte convergentǎ dacǎ şirul (s n ) n 1 al sumelor parţiale este convergent; dacǎ şirul sumelor parţiale are limitǎ, aceastǎ limitǎ se numeşte suma seriei, şi scriem lim s n = s = a n = s. n n 1 În particular, lim s n = = a n =, n n 1 lim s n = = a n =. n n 1 Dacǎ şirul sumelor parţiale nu are limitǎ, atunci seria se numeşte oscilantǎ. Dacǎ o serie este oscilantǎ sau are suma ±, ea se numeşte divergentǎ. Exemplu. Dacǎ r R este un numǎr real, seria n=0 r n se numeşte seria geometricǎ de raţie r. 5

6 6 1. SERII NUMERICE Fie r = 1. Atunci suma parţialǎ de ordin n a seriei geometrice este s n = = n + 1. }{{} n+1 Deoarece lim n (n + 1) =, seria n=0 1 n este diveregentǎ. Pentru r 1, suma parţialǎ de ordin n a seriei geometrice este s n = 1 rn+1 1 r. Propoziţie. Fie n=0 r n o serie geometricǎ. (i) Dacǎ r < 1, atunci seria geometricǎ este convergentǎ, cu suma 1 1 r. (ii) Dacǎ r 1, atunci seria geometricǎ este divergentǎ. Demonstraţie. (i) Dacǎ r < 1, atunci lim n r n+1 = 0, astfel cǎ lim n s n = 1 1, deci seria este convergentǎ, cu suma. 1 r 1 r (ii) Dacǎ r > 1, atunci lim n r n+1 =, deci suma este divergentǎ. Dacǎ r = 1, am vǎzut mai sus cǎ seria geometricǎ diverge. Dacǎ r = 1, atunci şirul sumelor parţiale alterneazǎ între valorile 0 ş1, deci şi aceastǎ serie este divergentǎ. Exemplu ( 2 3 )2 = n=1 ( 2 3 )n = 1 1 ( 2 3 ) = 3 5. Observaţie. Uneori, aşa cum am vǎzut şi în exemplele de mai sus, primul termen al unei serii nu este neapǎrat a 1. n=1 ( 1 2 )n şi 1 n=2 sunt exemple ln n de asemenea serii. În al doilea caz, trebuie sǎ începem cu n = 2, deoarece 1 ln 1 nu este definit. Exemplu. Putem scrie numǎrul 1 3 ca 1 3 = 0, = n Aceastǎ expresie este o serie, având termenul general a n = 3 10 n. Putem demonstra cǎ aceastǎ serie este convergentǎ: n +... = 3 10 ( n +...) = = 3 ( 1 10 k=0 10 )k = = = 3 9 = 1 3.

7 1.1. DEFINIŢII. EXEMPLE 7 De altfel, orice numǎr subunitar x poate fi gândit ca suma unei serii convergente, deoarece dacǎ x = 0, a 1 a 2 a 3... a n..., atunci x = a a a a n = a n n 10. n O condiţie necesarǎ de convergenţǎ a unei serii numerice este urmǎtoarea: Propoziţie. Fie n 1 a n o serie convergentǎ de numere reale. Atunci şirul (a n ) n 1 este convergent la 0. Demonstraţie. Fie s = k=1 a k. Pentru douǎ sume parţiale consecutive avem atunci n=1 n s n = = (a 1 + a a n 1 ) + a n = s n 1 + a n, k=1 deci a n = s n s n 1. Atunci lim a n = lim (s n s n 1 ) = lim s n lim s n 1 = s s = 0. n n n n Rezultǎ atunci urmǎtoarea condiţie suficientǎ de divergenţǎ: Corolar. Fie n 1 a n o serie de numere reale. Dacǎ şirul (a n ) n 1 nu are limitǎ sau are limitǎ nenulǎ, atunci seria datǎ este divergentǎ. Observaţie. Dacǎ n 1 a n este o serie pentru care lim n a n = 0, nu rezultǎ neapǎrat cǎ seria datǎ este convergentǎ. Contraexemplu. Seria armonicǎ n 1 1 n este divergentǎ, cu suma n 1 1 n =, în ciuda faptului cǎ lim n 1 n = 0: Sǎ presupunem cǎ seria datǎ ar fi convergentǎ cu suma n 1 1 n Rezultǎ deci cǎ lim n s n = s. Dar s n = n. = s. Fie s 2n s n = 1 n n n > 1 2n + 1 2n = n }{{ 2n} 2n = 1 2 n şi obţinem cǎ s 2n > s n, ( )n 1.

8 8 1. SERII NUMERICE Trecând la limitǎ în ultima relaţie, obţinem: s s, ceea ce este absurd. Prin urmare presupunerea facutǎ nu poate fi adevǎratǎ, deci seria armonicǎ este divergentǎ. O proprietate importantǎ a seriilor convergente este urmǎtoarea: Propoziţie. Fie n 1 a n şi n 1 b n douǎ serii convergente cu sumele s, respectiv t, şi fie α, β R. Atunci seria n 1(αa n + βb n ) este convergentǎ şi are suma αs + βt. Demonstraţie. Fie s n, respectiv t n, sumele parţialǎ de rang n ale celor douǎ serii. Atunci suma parţialǎ de rang n a seriei n 1(αa n + βb n ) este αs n + βt n, şi avem lim (αs n + βt n ) = α lim s n + β lim t n = αs + βt. n n n Corolar. Presupunem cǎ seria n 1(αa n + βb n ) este convergentǎ pentru anumite constante α, β R. Atunci n 1 a n este convergentǎ dacǎ şi numai dacǎ n 1 b n este convergentǎ. Observaţie. Din convergenţa seriei n 1(αa n + βb n ) nu rezultǎ însǎ convergenţa seriilor n 1 a n şi n 1 b n. Contraexemplu. Seria n 1(( 1) n + ( 1) n+1 ) este convergentǎ, în timp ce seriile n 1( 1) n şi n 1( 1) n+1 sunt divergente. 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi Definiţie. Spunem cǎ seria n 1 a n este cu termeni pozitivi dacǎ orice termen al sǎ este pozitiv: a n > 0, ( )n 1. Propoziţie. Şirul sumelor parţiale ale unei serii cu termeni pozitivi este strict crescǎtor. Demonstraţie. Fie (s n ) n 1 şirul sumelor parţiale ale unei serii cu termeni pozitivi n 1 a n. Atunci s n+1 s n = a n+1 = s n+1 > s n, n 1,

9 1.2. CRITERII DE CONVERGENŢǍ PENTRU SERII CU TERMENI POZITIVI9 deci şirul (s n ) este crescǎtor. Corolar. O serie cu termeni pozitivi are întotdeauna sumǎ(finitǎ sau nu). Câteva criterii pentru studiul seriilor cu termeni pozitivi sunt: C1) Seria n 1 a n cu termeni pozitivi este convergentǎ dacǎ şi numai dacǎ şirul (s n ) n 1 al sumelor parţiale este mǎrginit. Demonstraţie. Şirul (s n ) al sumelor parţiale este monoton, astfel cǎ el este convergent dacǎ şi numai dacǎ este mǎrginit. Proprietatea enunţatǎ rezultǎ atunci imediat. C2) Primul criteriu al comparaţiei. Fie n 1 a n, n 1 b n douǎ serii de numere reale nenegative, astfel încât ( )n 0 N : a n b n, ( )n n 0. Atunci au loc proprietǎţile: (a) n 1 b n convergentǎ = n 1 a n convergentǎ. (b) n 1 a n divergentǎ = n 1 b n divergentǎ. Demonstraţie. Dacǎ notǎm cu s n, respectiv t n, sumele parţiale de rang n ale seriilor n 1 a n şi n 1 b n, atunci din inegalitatea din enunţ rezultǎ cǎ s n s n0 t n t n0, ( )n n 0. (a) Dacǎ seria n 1 b n este convergentǎ, atunci lim n t n <, de unde rezultǎ cǎ lim n s n = t n + s n0 t n0 <, deci n 1 a n este convergentǎ. (b) Dacǎ seria n 1 a n este divergentǎ, atunci lim n s n =, de unde rezultǎ cǎ lim n t n = s n + t n0 s n0 =, deci n 1 b n este divergentǎ. Exemplu. Sǎ studiem convergenţa sau divergenţa seriei n=1 1 n. 1 Deoarece n 1, ( )n 1, şi deoarece seria 1 n n=1 n rezultǎ cǎ n 1 n=1 este divergentǎ. este divergentǎ, Exemplu. Vom studia natura seriei 1. n=1 n! Dacǎ n 4, atunci n! 2 n 1, deci 1. Deoarece seria 1 n! 2 n n=1 este o 2 n serie geometricǎ, cu raţia 1 < 1, ea este convergentǎ, de unde rezultǎ cǎ 2

10 10 1. SERII NUMERICE seria n=1 1 n! este convergentǎ. Observaţie. Dacǎ pentru un numǎr natural oarecare N, seria n=n+1 a n este convergentǎ, atunci seria n=1 a n este convergentǎ. De asemenea, dacǎ seria n=n+1 a n este divergentǎ, atunci seria n=1 a n este divergentǎ. Adunarea unui numǎr finit de termeni la o serie nu afecteazǎ deci convergenţa sau divergenţa seriei. Definiţie. Spunem cǎ douǎ serii de numere reale n 1 a n, n 1 b n au aceeaşi naturǎ dacǎ ambele sunt convergente sau ambele sunt divergente. Notaţie. Notǎm acest lucru prin n 1 a n n 1 b n C3) Al doilea criteriu al comparaţiei. Fie n 1 a n, n 1 b n douǎ serii de numere reale nenegative astfel încât Atunci au loc urmǎtoarele: a n lim = l. n b n (a) Dacǎ 0 < l <, cele douǎ serii au aceeaşi naturǎ. (b) Dacǎ l = 0 şi n 1 b n este convergentǎ, atunci n 1 a n este convergentǎ. (c) Dacǎ l = şi n 1 b n este divergentǎ, atunci n 1 a n este divergentǎ. a Demonstraţie. (a) Deoarece lim n n bn = l, existǎ un numǎr natural N, astfel încât an b n (l l, l + l ), ( )n N. Prin urmare au loc 2 2 l b 2 n a n 3lb 2 n, ( )n N. Deoarece seria n 1 b n are evident aceeaşi naturǎ ca şi seriile n 1 l b 2 n şi n 1 3lb 2 n, pe baza primului criteriu de comparaţie rezultǎ afirmaţia din enunţ. (b) Dacǎ l = 0, atunci existǎ un numǎr natural N, cu proprietatea cǎ a n bn < 1, ( )n N. Dar atunci a n < b n, ( )n N, de unde aplicând primul criteriu de comparaţie se obţine proprietatea enunţatǎ. (c) Dacǎ l =, atunci existǎ un numǎr natural N, cu proprietatea cǎ a n bn > 1, ( )n N. Dar atunci a n > b n, ( )n N, de unde aplicând primul criteriu de comparaţie se obţine proprietatea enunţatǎ. Exemplu. Vom arǎta cǎ n n 1 este divergentǎ. n 2 +1 Fie a n = n, b n 2 +1 n = 1. Atunci lim n n an b n = 1, deci seriile n 1 a n şi n 1 b n au aceeaşi naturǎ. Dar n 1 1 este divergentǎ, deci şi n n 1 este divergentǎ. n n 2 +1

11 1.2. CRITERII DE CONVERGENŢǍ PENTRU SERII CU TERMENI POZITIVI11 C4) Al treilea criteriu al comparaţiei. Fie n 1 a n, n 1 b n douǎ de numere reale nenegative, astfel încât : Atunci au loc proprietǎţile: ( )n 0 N : a n+1 a n b n+1 b n, ( )n n 0. (a) n 1 b n convergentǎ = n 1 a n convergentǎ. (b) n 1 a n divergentǎ = n 1 b n divergentǎ. Demonstraţie. Inegalitatea poate fi transcrisǎ în forma a n+1 a n b n+1 b n, ( )n n 0 a n+1 b n+1 a n b n, ( )n n 0, de unde rezultǎ cǎ an b n an 0 b n0, ( )n n 0, adicǎ a n a n0 b n b n0, ( )n n 0. Deoarece seriile n 1 a n şi n 1 an a n0, respectiv n 1 b n şi n 1 bn b n0 au aceeaşi naturǎ, din ultima inegalitate şi primul criteriu de comparaţie rezultǎ afirmaţiile din enunţ. C5) Criteriul condensǎrii. Fie n 1 a n o serie de numere reale pozitive, ai cǎrei termeni formeazǎ un şir descrescǎtor, convergent cǎtre 0. Atunci seria n 1 a n are aceeaşi natura ca şi seria n 0 2 n a 2 n. Demonstraţie. Deoarece şirul sumelor parţiale al seriei n 1 a n este monoton, seria este convergentǎ dacǎ şi numai dacǎ şirul sumelor parţiale este mǎrginit, sau, ceea ce este echivalent(datoritǎ monotoniei), dacǎ şi numai dacǎ şirul sumelor parţiale are un subşir mǎrginit. Deoarece şirul (a n ) este descrescǎtor, avem inegalitǎţile 2 k a 2 k s 2 k+1 s 2 k 2 k a 2 k+1, ( )k N. Adunând inegalitǎţile acestea pentru k = 0, n 1, obţinem atunci n 1 2 k a 2 k s 2 n 1 n 2 k a k=0 2 2 k, ( )n N. k=1

12 12 1. SERII NUMERICE Din primul criteriu de comparaţie deducem atunci cǎ seriile n 1 a n n 0 2 n a 2 n au aceeaşi naturǎ. şi Aplicaţie(Seriile armonice generalizate). Fie α > 0 un numǎr real pozitiv. Seria n 1 1 se numeşte seria armonicǎ n α generalizatǎ de grad α. Termenii ei sunt pozitivi şi descresc cǎtre 0, astfel cǎ putem folosi criteriul condensǎrii pentru a studia convergenţa ei. Prin urmare n 1 1 n 2 n 1 α n 0 (2 n ). α Studiem acum seria n 0 2 n 1 (2 n ) α. Avem n 0 2 n 1 (2 n ) = ( ) 2 n = ( ) 1 n. α n 0 2 α n 0 2 α 1 Aceasta este o serie geometricǎ, de raţie 1 2 α 1. Ea este convergentǎ dacǎ şi numai dacǎ raţia este subunitarǎ. Aceastǎ condiţie este în cazul nostru 1 2 α 1 < 1 2α 1 > 1 α 1 > 0 α > 1. Am obţinut deci urmǎtorul rezultat: Seria armonicǎ generalizatǎ de grad α este C6) Criteriul rǎdǎcinii(al lui Cauchy). convergentǎ, dacǎ α > 1 divergentǎ, dacǎ α 1 Fie n 1 a n o serie de numere reale pozitive şi fie l = lim n a n. Atunci: (a) Dacǎ l < 1, seria n 1 a n este convergentǎ. (b) Dacǎ l > 1, seria n 1 a n este divergentǎ. (c) Dacǎ l = 1, natura seriei n 1 a n poate fi oricare. Demonstraţie. (a) Dacǎ l < 1, atunci existǎ n 0 N cu proprietatea cǎ n an < l+1, ( )n n 2 0. Dar atunci are loc ( ) n l + 1 a n <, ( )n n 0. 2 Deoarece seria n=1 ( l+1 2 )n este geometricǎ, cu raţia subunitarǎ, ea este o serie convergentǎ, şi atunci din primul criteriu de comparaţie rezultǎ cǎ seria n=1 a n este convergentǎ. (b) Dacǎ l > 1, atunci pentru orice n 0 N fixat putem gǎsi n N cu

13 1.2. CRITERII DE CONVERGENŢǍ PENTRU SERII CU TERMENI POZITIVI13 n n 0 astfel încât a n > 1. Dar atunci nu putem avea lim n a n = 0. Prin urmare, conform criteriului necesar de convergenţǎ, seria n=1 a n nu este convergentǎ. (c) Dacǎ l = 1, este suficient sǎ indicǎm douǎ serii cu aceastǎ proprietate, dintre care una sǎ fie convergentǎ, iar cealaltǎ sǎ fie divergentǎ. Considerǎm seriile n=1 1 n şi n=1 1 n 2. Deoarece pentru orice funcţie polinomialǎ P cu coeficientul dominant pozitiv are loc lim n n P (n) = 1, rezultǎ cǎ lim n 1 n = lim n 1 n 2 convergentǎ. = 1, dar prima serie este divergentǎ, iar a doua În foarte multe situaţii este utilǎ urmǎtoarea C6 ) Variantǎ practicǎ a criteriului rǎdǎcinii Fie n 1 a n o serie de numere reale pozitive astfel încât existǎ limita l = lim n n a n. Atunci: (a) Dacǎ l < 1, seria n 1 a n este convergentǎ. (b) Dacǎ l > 1, seria n 1 a n este divergentǎ. (c) Dacǎ l = 1, natura seriei n 1 a n poate fi oricare. Exemplu. n 1 nα 2 n este convergentǎ, α R. Într-adevǎr, n an = n n α 2 n 1 2 < 1 = Exemplu. n 2 1 (lnn) n = n 1 este convergentǎ. n α 2 n convergentǎ. 1 Observǎm în primul rând cǎ seria începe de la n = 2 deoarece (ln 1) 1 definit. n an = n 1 (ln n) n = 1 ln n = n 2 1 (ln n) n 0 < 1 = convergentǎ. C7) Criteriul raportului(al lui d Alembert). Fie n 1 a n o serie de numere reale pozitive. Atunci: nu este

14 14 1. SERII NUMERICE (a) Dacǎ lim a n+1 a n < 1, seria n 1 a n este convergentǎ. (b) Dacǎ ( )n 0 N, astfel încât a n+1 a n 1, ( )n n 0 seria n 1 a n este divergentǎ. (c) Dacǎ lim a n+1 a n = 1, natura seriei n 1 a n poate fi oricare. Demonstraţie. (a) Dacǎ lim a n+1 < 1, atunci existǎ n 0 N astfel încât a n a n+1 a n < l+1 2, ( )n n 0. Dar atunci a n+1 < l + 1 a n 2 = ( l+1 2 )n+1 ( l+1 2 )n, ( )n n 0. Deoarece seria n=1 ( l+1 2 )n este convergentǎ, din al treilea criteriu de convergenţǎ rezultǎ cǎ seria n 1 a n este convergentǎ. (b) Dacǎ ( )n 0 N, astfel încât a n+1 a n 1, ( )n n 0, atunci rezultǎ cǎ a n a n0, ( )n n 0. Dar atunci nu putem avea lim n a n = 0. Prin urmare, conform criteriului necesar de convergenţǎ, seria n=1 a n nu este convergentǎ. (c) Seriile 1 şi 1 n=1 n n=1 au proprietatea cǎ lim a n+1 n 2 a n ele este divergentǎ, iar a doua este convergentǎ. = 1. Prima dintre Ca în cazul criteriului rǎdǎcinii, şi pentru criteriul raportului avem o C7 ) Variantǎ practicǎ a criteriului raportului Fie n 1 a n o serie de numere reale pozitive astfel încât existǎ limita l = a lim n+1 n a n. Atunci: (a) Dacǎ l < 1, seria n 1 a n este convergentǎ. (b) Dacǎ l > 1, seria n 1 a n este divergentǎ. (c) Dacǎ l = 1, natura seriei n 1 a n poate fi oricare. Exemplu. Arǎtǎm cǎ n 1 n 2 n Cu notaţia a n = n 2 n, avem este convergentǎ. a n+1 a n = n + 1 2n 1 2 < 1 = = n 1 C8) Criteriul lui Kummer. n 2 n convergentǎ. Fie n 1 a n o serie de numere reale pozitive.

15 1.2. CRITERII DE CONVERGENŢǍ PENTRU SERII CU TERMENI POZITIVI15 (a) Dacǎ existǎ un şir (t n ) de numere pozitive, un numǎr r > 0 şi n 0 N cu proprietatea cǎ t n a n atunci seria n 1 a n este convergentǎ. a n+1 t n+1 r, ( )n n 0, (b) Dacǎ existǎ un şir (t n ) de numere pozitive cu proprietatea cǎ seria n=1 1 t n este divergentǎ şi un numǎr natural n 0 N cu proprietatea cǎ t n a n atunci seria n 1 a n este divergentǎ. a n+1 t n+1 0, ( )n n 0, a Demonstraţie. (a) Din inegalitatea t n n a n+1 t n+1 r, deducem cǎ de unde obţinem şirul de inegalitǎţi ra n+1 t n a n t n+1 a n+1, ( )n n 0, ra n0 +1 t n0 a n0 t n0 +1a n0 +1 ra n0 +2 t n0 +1a n0 +1 t n0 +2a n ra n+1 t n a n t n+1 a n+1. Adunând aceste inegalitǎţi, obţinem cǎ r(s n s n0 ) t n0 a n0 t n+1 a n+1 t n0 a n0, ( )n n 0, deci s n s n0 + 1 r t n 0 a n0, ( )n n 0, adicǎ şirul sumelor parţiale este mǎrginit, şi cum el este şi monoton crescǎtor, este convergent. Seria n 1 a n este deci convergentǎ. a (b) Inegalitatea t n n a n+1 t n+1 0 este echivalentǎ cu an a n+1 t n+1 t n sau t n t n+1 a n+1 a n. Deoarece seria 1 n=1 t n este divergentǎ, din al treilea criteriu de comparaţie rezultǎ cǎ seria n 1 a n este divergentǎ. C9) Criteriul lui Raabe şi Duhamel. Fie n 1 a n o serie de numere reale pozitive. (a) Dacǎ existǎ un numǎr ρ > 1 şi un numǎr natural n 0 N astfel încât ( ) an n 1 ρ, ( )n n 0, a n+1

16 16 1. SERII NUMERICE atunci seria n 1 a n este convergentǎ. (b) Dacǎ existǎ un numǎr natural n 0 N astfel încât atunci seria n 1 a n este divergentǎ. n ( ) an 1 1, ( )n n 0, a n+1 Demonstraţie. Aplicǎm criteriul lui Kummer, considerând şirul t n = n. Putem scrie t n a n a n+1 t n+1 = n ( ) an 1 1. a n+1 (a) Notând r = ρ 1, avem r > 0 şi este îndeplinitǎ condiţia t n a n a n+1 t n+1 r, ( )n n 0, care conform criteriului lui Kummer ne asigurǎ convergenţa seriei date. (b) Dacǎ n ( a n a n+1 1 ) 1, t n a n şi seria n 1 a n este divergentǎ. ( )n n 0, atunci a n+1 t n+1 0, ( )n n 0, Variantǎ practicǎ a criteriului Raabe-Duhamel Fie n 1 a n o serie de numere reale pozitive şi sǎ presupunem cǎ existǎ l = lim n n( an a n+1 1). Atunci: (a) Dacǎ l > 1, atunci seria n 1 a n este convergentǎ. (b) Dacǎ l < 1, atunci seria n 1 a n este divergentǎ. (c) Dacǎ l = 1, natura seriei n 1 a n poate fi oricare. 1.3 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni oarecare Definiţie. O serie n 1 a n de numere reale se numeşte serie absolut convergentǎ dacǎ are proprietatea cǎ seria n 1 a n este convergentǎ. O serie convergentǎ n 1 a n cu proprietatea cǎ seria n 1 a n este divergentǎ se numeşte serie semiconvergentǎ.

17 1.3. CRITERII DE CONVERGENŢǍ PENTRU SERII CU TERMENI OARECARE17 Definiţie. Un şir (u n ) n 1 se numeşte şir fundamental(sau şir Cauchy) dacǎ este satisfǎcutǎ urmǎtoarea condiţie: ( )ε > 0 = ( )n ε : u n+p u n < ε, ( )n n ε, p N. Se poate demonstra cǎ un şir de numere reale este convergent dacǎ şi numai dacǎ este fundamental. In cazul seriilor obţinem atunci urmǎtorul criteriu de convergenţǎ: C1) Criteriul lui Cauchy. Fie n 1 a n o serie de numere reale. Atunci n 1 a n este convergentǎ dacǎ şi numai dacǎ ( )ε > 0 = ( )n ε 1 : n+p a k < ε, ( )n n ε, p N. k=n+1 Corolar. Orice serie absolut convergentǎ este convergentǎ. Corolar. Printr-o permutare a termenilor unei serii absolut convergente se obţine tot o serie absolut convergentǎ, având aceeaşi sumǎ. C2) Criteriul lui Abel. Dacǎ seria de numere reale n 1 a n are şirul sumelor parţiale (s n ) n 1 mǎrginit, iar (α n ) n 1 este un şir de numere pozitive descrescǎtor la 0, atunci seria n 1 α n a n este convergentǎ. Definiţie. O serie n 1 a n se numeşte serie alternantǎ dacǎ are loc relaţia a n a n+1 < 0, ( )n 1. O asemenea serie se scrie u 1 u 2 + u 3 u u 2n 1 u 2n +..., unde u n > 0, ( )n 1 sau u n < 0, ( )n 1. Pentru serii alternante are loc urmǎtorul criteriu de convergenţǎ: C3) Criteriul lui Leibniz. Fie n 1( 1) n a n o serie alternantǎ de numere reale. Dacǎ şirul (a n ) n 1 este monoton convergent la zero, atunci seria este convergentǎ.

18 18 1. SERII NUMERICE Exemplu. Seria n 1( 1) n 1 n este convergentǎ, deoarece şirul ( 1 n ) n 1 descreşte cǎtre zero.

19 1.3. CRITERII DE CONVERGENŢǍ PENTRU SERII CU TERMENI OARECARE19 CRITERII DE CONVERGENŢǍ (Tabel recapitulativ) Criterii Descriere Exemple şi comentarii Criteriul de Seria n=0 r n este n=0 1 este 2 n convergenţǎ convergentǎ, cu suma convergentǎ, cu suma 2 pentru seriile 1 dacǎ r < 1 1 r geometrice divergentǎ dacǎ r 1 n=0 2 n este divergentǎ Criteriul Dacǎ (a n ) n 1 nu converge Dacǎ a n 0 atunci suficient la 0, atunci n=0 a n n=0 a n poate fi de divergenţǎ este divergentǎ. convergentǎ( 1 n=0 ) n 2 sau divergentǎ( 1 ) n=0 n Criteriul Dacǎ 0 a n b n, ( )n Nu este necesar ca comparaţiei (sau a n+1 a n b n+1 b n, ( )n) a n b n (sau a n+1 a n b n+1 b n, şi n=0 b n este convergentǎ, etc.) pentru toţi n N, atunci n=0 a n ci doar pentru n N, este convergentǎ. Dacǎ 0 b n a n, ( )n unde N N este fixat (convergenţa sau (sau a n+1 a n b n+1 b n, ( )n) divergenţa unei serii şi n=0 b n este divergentǎ, nu este afectatǎ atunci n=0 a n de valorile primilor este divergentǎ. câtorva termeni) Criteriul de n=0 1 n este α Seriile armonice convergenţǎ divergentǎ dacǎ α 1 generalizate se folosesc pentru serii convergentǎ dacǎ α > 1. pentru studiul naturii armonice generalizate unor serii cu ajutorul criteriilor de comparaţie

20 20 1. SERII NUMERICE Criteriul Dacǎ a n 0, b n 0 Acest criteriu se foloseşte comparaţiei şi existǎ l > 0 pentru a studia natura unei cu limitǎ astfel încât serii n=0 a n şi a lim n n bn = l, putem gǎsi o serie atunci seriile n=0 b n, astfel încât n=0 a n, n=0 b n (a) cunoaştem natura sunt fie ambele convergente, fie ambele divergente seriei n=0 b n a (b) Limita lim n n bn uşor calculabilǎ Criteriul Dacǎ a n > 0 şi Dacǎ l = 1, atunci raportului lim n a n+1 a n = l, seria poate fi (D Alembert) atunci n 1 a n este convergentǎ( n=1 1 n 2 ) convergentǎ sau divergentǎ( n=1 1 n ). dacǎ l < 1 şi divergentǎ dacǎ l > 1. Criteriul Dacǎ a n > 0 şi Dacǎ l = 1, atunci rǎdǎcinii l = lim n n a n, seria poate fi (Cauchy) atunci n 1 a n este convergentǎ( 1 n=1 ) n 2 convergentǎ sau divergentǎ( 1 ). n=1 n dacǎ l < 1 şi * Criteriul rǎdǎcinii divergentǎ dacǎ l > 1. se aplicǎ cel mai frecvent atunci când a n este de forma a n = (...) n ( 1 (ln n) n = ( 1 ln n )n ) Criteriu pentru Seria n 1( 1) n a n, Dacǎ a n 0 serii alternante cu a n 0, este seria este divergentǎ. (Leibniz) convergentǎ dacǎ Criteriul lui Leibniz (i) lim n a n = 0 şi (ii) (a n ) n 1 este descrescǎtor se aplicǎ numai dacǎ termenii seriei sunt cu semne alternante este Criteriul Dacǎ n 1 a n Pentru studiul convergenţei convergenţei converge, atunci seriei n 1 a n absolute n 1 a n converge se pot folosi criteriile absolut de convergenţǎ

21 1.4. PROBLEME PROPUSE Probleme propuse Calculaţi sumele urmǎtoarelor serii 1. n n 2. n n 3. n n 4. n 2 5. n (n+1)(n+2) n 2 1 n(n+1) 2 (n+3) 3 n 7. n 4 5(n 2) 6 (n+1) 8. n 0 5n n 3 1 n(n 1) 10. n 0 ( 1 2 n n ) Studiaţi natura urmǎtoarelor serii 11. n 1 2n n n 1 rn nr, r (0, 1) 13. n 1 rn n r, r n 2 n! n n 15. n 1 nn (2n)! 16. n 1 en n n 1 en n! 18. n 1 n k 19. n 2 n 20. (ln n) n n 1 3n +n n! n 1 4n n n 1 n ln n n n 1 34n+5 n n 24. n 1 n2 n! (2n)! 25. n 1 (2n)! n 2 n! 26. n 1( n! n n ) n 27. n 1( nn n! )n 28. n 2 e n (ln n) n (ln n) n n n n 1( n 3n+2 )n Aflaţi care dintre urmǎtoarele serii sunt convergente, absolut convergente,

22 22 1. SERII NUMERICE respectiv divergente 31. n 1( 1) n 32. n 1 ( 1) n+1 2n 33. n n 2 ( 1) n n ln n ( 1) n n ln n 34. n n 1 ( 1) n n 3 2 ( 1) n ln n n 37. n 1 ( 1) n+1 5n n 1 sin nπ n 0 cos nπ n 1 ( 3) n n! 41. n 1 n! ( 3) n 42. n 1 ( 2) n n n 1 n 2 ( 2) n 44. n 2 ( 1) n+1 n(n+1) 45. n n 1 ( 1) n n 2 n 3 +1 sin( nπ 7 ) n n n 1 cos( nπ 6 ) n 2 ( 1) n (n+2) n(n+1) 49. n 2 ( 1) n n(n+1) (n+2) n 2 ( 1) n n(n+1) (n+2) n 1 ( 1) n 2 n n 52. n 1 ( 1) n+1 n! 53. n n 2 ( 1) n n n 54. ( 1) n n n! n 1 n+3 ( 1) n (n 2 +3) n 3 +4

23 2 Serii de puteri Definiţie. Fie a un numǎr real oarecare şi (a n ) n N un şir de numere. Numim serie de puteri(sau serie Taylor) centratǎ în punctul a, cu coeficienţii a n, seria a n (x a) n, n=0 în care numǎrul x R reprezintǎ o variabilǎ. Exemplu. Seriile urmǎtoare sunt câteva serii de puteri centrate în 0: 1 + x + x x n x 3 + x ( 1)n xn 2n x 1! + x2 2! xn n! +... Definiţie. MacLaurin. Seriile de puteri centrate în punctul 0 se mai numesc şi serii Definiţie. (i) Spunem cǎ o serie de puteri converge în punctul x dacǎ seria n=0 a n (x a) n este convergentǎ. În caz contrar spunem cǎ seria diverge în x. (ii) Spunem cǎ o serie de puteri converge pe o mulţime D dacǎ ea converge în orice punct x D. Exemplu. Vom încerca sǎ determinǎm punctele x R în care converge seria de puteri n=0 x n 3 n = 1 + x 3 + x x

24 24 2. SERII DE PUTERI Soluţie. Al n-lea termen al seriei este a n = xn 3 n. Aplicǎm criteriul raportului pentru a studia convergenţa seriei Avem x n n=0 3 n. a n+1 lim n a n x = 3. Deducem cǎ pentru x R cu x < 3, seria iniţialǎ este absolut convergentǎ, iar dacǎ x > 3, deoarece lim n a n = 0, seria este divergentǎ. Sǎ considerǎm acum separat cazul când x = 3. Pentru x = 3, seria iniţialǎ de puteri devine x n 3 = 3 n n 3 = 1 n, n n=0 care este evident divergentǎ. Pentru x = 3, n=0 care diverge de asemenea. x n 3 n = n=0 n=0 ( 3) n 3 n = n=0 ( 1) n, n=0 Problema centralǎ în studiul seriilor de puteri este determinarea mulţimii numerelor reale pentru care seria este convergentǎ. Definiţie. Mulţimea { } K = x R a n (x a) n -convergentǎ, n=0 se numeşte mulţimea de convergenţǎ a seriei. Observaţie. Oricare ar fi n=0 a n (x a) n o serie de puteri centratǎ în punctul a, are loc a K, deoarece pentru x = a, seria de puteri devine a Prin urmare, K este o mulţime nevidǎ. Lemǎ. (i) Dacǎ o serie de puteri n=0 a n (x a) n converge într-un punct t R, atunci ea converge absolut în orice punct x R cu x a < t a.

25 (ii) Dacǎ o serie de puteri n=0 a n (x a) n diverge într-un punct t R, atunci ea diverge în orice punct x R cu x a > t a. Demonstraţie. (i) Din criteriul necesar de convergenţǎ rezultǎ cǎ lim n a n (t a) n = 0. Prin urmare existǎ n 0 N cu proprietatea cǎ a n (t a) n < 1, ( )n n 0. Pentru n n 0 avem atunci cǎ a n (x a) n = a n (t a) n (x a) n (t a) n = a n(t a) n x a n x a < t a t a Deoarece seria geometricǎ x a n=0 n de raţie subunitarǎ este convergentǎ, t a din primul criteriu al comparaţiei şi inegalitatea de mai sus rezultǎ cǎ seria n=0 a n (x a) n este absolut convergentǎ. (ii) Dacǎ seria n=0 a n (x a) n ar fi convergentǎ, atunci ar rezulta, conform punctului (i), cǎ seria n=0 a n (t a) n ar fi absolut convergentǎ, şi deci convergentǎ. Acest lucru ar contrazice însǎ ipoteza. Prin urmare, presupunerea cǎ seria n=0 a n (x a) n ar fi convergentǎ nu poate fi corectǎ, deci n=0 a n (x a) n este divergentǎ. 25 n. Teorema I a lui Abel. Pentru orice serie de puteri n=0 a n (x a) n existǎ un numǎr R, cu 0 R, astfel încât a) Seria este absolut convergentǎ pe intervalul deschis (a R, a + R). b) Seria este divergentǎ pentru orice x cu x a > R. Demonstraţie. Fie { } R = sup t a [0, ) a n (t a) n - convergentǎ. n=0 Din lema de mai sus rezultǎ cǎ numǎrul R verificǎ toate afirmaţiile din enunţul teoremei. Definiţie. Numǎrul R din enunţul teoremei de mai sus se numeşte raza de convergenţǎ a seriei de puteri, iar intervalul deschis I = (a R, a + R) se numeşte intervalul de convergenţǎ al seriei de puteri. Observaţie. Afirmaţia teoremei I a lui Abel se poate sintetiza în relaţia ( )R [0, ] : (a R, a + R) K [a R, a + R]. Observaţie. În cazul când R (0, ), teorema lui Abel nu spune nimic despre convergenţa sau divergenţa seriei de puteri în capetele

26 26 2. SERII DE PUTERI a R şi a + R ale intervalului de convergenţǎ. Convergenţa seriei de puteri în aceste puncte se studiazǎ separat, folosind diverse criterii de convergenţǎ(cum ar fi criteriul necesar, criteriile de comparaţie, Raabe-Duhamel, Leibniz,... ). Este utilǎ şi urmǎtoarea Propoziţie. Dacǎ seria de puteri este absolut convergentǎ într-unul dintre capetele a R sau a + R ale intervalului de convergenţǎ, atunci ea este absolut convergentǎ şi în celǎlalt capǎt. Demonstraţie. Avem cǎ a n (a R a) n = a n ( R) n = a n R n = a n (a + R a) n, de unde rezultǎ cǎ afirmaţia propoziţiei este trivialǎ. Raza de convergenţǎ a unei serii de puteri este datǎ de Teorema lui Cauchy şi Hadamard. Fie n=0 a n (x a) n o serie de puteri şi R raza sa de convergenţǎ. Dacǎ notǎm ω = lim n a n, atunci R = 1 ω. (Folosim aici convenţiile uzuale 1 0 =, 1 = 0.) Demonstraţie. Fie x R un numǎr real oarecare. Atunci lim n a n (x a) n = x a lim n a n = x a ω. (i) Dacǎ x a < 1 ω, atunci lim n a n (x a) n < 1, de unde, conform criteriului rǎdǎcinii, rezultǎ cǎ seria n=0 a n (x a) n este absolut convergentǎ. (ii) Dacǎ x a < 1 ω, atunci lim n a n (x a) n > 1, de unde rezultǎ cǎ termenul general al seriei n=0 a n (x a) n nu converge la 0, deci seria este divergentǎ. Din cele demonstrate la (i) şi (ii) obţinem cǎ numǎrul R = 1 ω

27 27 este raza de convergenţǎ a seriei date. Exemplu. 1) Pentru seria 1 + x + x x n +... = x n n=0 avem n a n = 1, ( )n 2, deci ω = 1, şi atunci R = 1. 2) Pentru n a n = n 1, ω = lim n 1 n! n! 1 + x 1! + x2 2! xn n! +... = = 0, şi R =. n=0 1 n! xn, Uneori raza de convergenţǎ poate fi gǎsitǎ pe o cale ceva mai simplǎ: Propoziţie. Fie n=0 a n (x a) n o serie de puteri. Dacǎ existǎ limita lim n a n+1 a n, atunci a n+1 ω = lim n a n, deci pentru raza de convergenţǎ R = 1 ω a n R = lim n a n+1. avem în acest caz Exemplu. Determinǎm mulţimea de convergenţǎ a seriei de puteri x 1 + x2 2 + x xn n +... Coeficientul termenului general al seriei date este a n = 1. Deoarece existǎ n a lim n+1 n n a n = lim n = 1, avem ω = 1, deci R = 1. Intervalul n+1 de convergenţǎ este deci I = ( 1, 1) şi pentru mulţimea de convergenţǎ K avem I K [ 1, 1]. Rǎmâne sǎ mai studiem convergenţa seriei de puteri în capetele intervalului de convergenţǎ. Pentru x = 1, seria de puteri devine seria armonicǎ, care este divergentǎ. Deci 1 K. Pentru x = 1, seria de puteri devine o serie alternantǎ, pentru care modulele termenilor formeazǎ un şir descrescǎtor, convergent la 0. Conform criteriului lui Leibniz, aceasta este o serie convergentǎ, deci rezultǎ cǎ 1 K. Am dedus astfel cǎ mulţimea de convergenţǎ a seriei de puteri date este K = [ 1, 1).

28 28 2. SERII DE PUTERI 2.1 Suma unei serii de puteri Definiţie. Fie n=0 a n (x a) n o serie de puteri şi K mulţimea sa de convergenţǎ. Pentru fiecare x K sǎ notǎm σ(x) = a n (x a) n = a 0 + a 1 (x a) + a 2 (x a) a n (x a) n +... n=0 Am definit astfel o funcţie σ : K R : x σ(x). Funcţia aceasta se numeşte suma seriei de puteri n=0 a n (x a) n. Observaţie. Suma unei serii de puteri este o funcţie definitǎ numai pe mulţimea de convergenţǎ a seriei de puteri, deşi funcţiile putere a n (x a) n care sunt termenii seriei de puteri sunt definite pe întreaga mulţime R a numerelor reale. Exemplu. 1) Seria 1 + x + x x n +... = x n n=0 are mulţimea de convergenţǎ este K = ( 1, 1). Pentru orice x K, seria corespunzǎtoare(care este o seria geometricǎ) are suma σ(x) = 1 + x + x x n +... = 1 1 x. Funcţia f : R \ {1} R : x 1 1 x un alt domeniu de definiţie. este însǎ diferitǎ de σ, deoarece are Funcţia sumǎ σ asociatǎ unei serii de puteri are urmǎtoarele proprietǎţi: Propoziţie. Suma σ unei serii de puteri n=0 a n (x a) n este o funcţie continuǎ pe intervalul de convergenţǎ. Teorema II a lui Abel. Fie n=0 a n (x a) n o serie de puteri şi R raza sa de convergenţǎ. Dacǎ seria este convergentǎ în punctul a R(sau în a+r), atunci suma σ a seriei este continuǎ în acest punct. Observaţie. Prin urmare, suma unei serii de puteri este o funcţie continuǎ pe întregul ei domeniu de definiţie.

29 2.2. OPERAŢII CU SERII DE PUTERI Operaţii cu serii de puteri Propoziţie. Fie n=0 a n (x a) n şi n=0 b n (x a) n douǎ serii de puteri centrate într-un acelaşi punct a, şi fie α un numǎr real nenul oarecare. Dacǎ R 1 şi R 2 sunt razele de convergenţǎ ale celor douǎ serii, atunci: 1) raza de convergenţǎ R a seriei sumǎ n=0 (a n + b n )(x a) n verificǎ inegalitatea R inf(r 1, R 2 ). 2) raza de convergenţǎ a seriei α a n (x a) n = αa n (x a) n n=0 n=0 este R 1. 3) raza de convergenţǎ R a seriei produs n=0 c n (x a) n, ai cǎrei coeficienţi sunt daţi prin n c n = a 0 b n + a 1 b n a n b 0 = a k b n k, verificǎ inegalitatea R inf(r 1, R 2 ). Observaţie. Mulţimea seriilor de puteri centrate într-un punct formeazǎ un spaţiu vectorial în raport cu operaţiile de adunare (1) şi înmulţire cu scalari (2), respectiv un inel în raport cu operaţiile de adunare (1) şi înmulţire (3). k=0 2.3 Derivarea seriilor de puteri Definiţie. Fie n=0 a n (x a) n o serie de puteri: a 0 + a 1 (x a) + a 2 (x a) a n (x a) n +... Seria care are ca termeni derivatele termenilor acestei serii, a 1 + 2a 2 (x a) + 3a 3 (x a) na n (x a) n este de asemenea o serie de puteri, pe care o vom numi seria derivatelor seriei n=0 a n (x a) n. Pentru cele douǎ serii are loc atunci urmǎtoarea

30 30 2. SERII DE PUTERI proprietate: Propoziţie. Dacǎ n=0 a n (x a) n este o serie de puteri, având suma σ, atunci: 1) Seria derivatelor are aceeaşi razǎ de convergenţǎ. 2) Funcţia σ este derivabilǎ pe intervalul de convergenţǎ, şi derivata sa σ coincide pe acest interval cu suma seriei derivatelor. Corolar. O serie de puteri poate fi derivatǎ termen cu termen. Exemplu. Seria derivatelor a seriei de puteri 1 + x + x x n +... este 1 + 2x + 3x nx n Deoarece pentru suma primei serii de puteri avem 1 + x + x x n +... = 1, ( )x ( 1, 1), 1 x suma seriei derivatelor va fi 1 + 2x + 3x nx n = 2.4 Integrarea seriilor de puteri 1, ( )x ( 1, 1). (1 x) 2 Propoziţie. Dacǎ n=0 a n (x a) n este o serie de puteri, având suma σ, atunci: 1) Seria n=0 a n n+1 (x a)n+1 este o serie de puteri cu aceeaşi razǎ de convergenţǎ. 2) Suma ξ a seriei n=0 a n n+1 (x a)n+1 este o primitivǎ a funcţiei σ. Corolar. O serie de puteri poate fi integratǎ termen cu termen. Exemplu. Considerǎm seria de puteri 1 x 2 + x 4 x ( 1) n x 2n +... care este convergentǎ pentru x ( 1, 1). Suma ei este 1 x 2 + x 4 x ( 1) n x 2n +... = 1, ( )x ( 1, 1). 1 + x2

31 2.5. PROBLEME PROPUSE 31 Integrând termen cu termen în ultima relaţie, obţinem arctg(x) = x x3 3 + x5 5 x7 x2n ( 1)n +..., ( )x ( 1, 1). 7 2n + 1 Deoarece pentru x = 1, seria ( 1)n 1 2n este convergentǎ(conform criteriului lui Leibniz), din teorema a II-a a lui Abel deducem cǎ π 4 = arctg(1) = lim x 1 arctg(x) = = lim (x x3 x x5 5 x7 x2n ( 1)n 7 2n ) = = ( 1)n 1 2n Am obţinut deci identitatea π 4 = ( 1)n 2n , care a fost descoperitǎ de Leibniz. Pentru demonstraţia convergenţei seriei din membrul drept, el a folosit pentru prima datǎ criteriul de convergenţǎ pentru serii alternante care astǎzi îi poartǎ numele. 2.5 Probleme propuse Determinaţi intervalele de convergenţǎ şi domeniile de convergenţǎ ale urmǎtoarelor serii de puteri:

32 32 2. SERII DE PUTERI 1. n=0 x n 2. n=1 x n n2 n 3. n=1 x 2n 1 2n 1 5. n=1 ( 1) n 1 x n n 4. n=1 2 n 1 x 2n 1 (4n 3) 2 6. n=0 (n+1) 5 x 2n 2n+1 7. n=0 ( 1) n (2n + 1) 2 x n 8. n=0 x n n! 9. n=0 n!x n 10. n=1 x n n n 11. n=1 ( n 2n+1 )2n 1 x n 12. n=0 3 n2 x n2 13. n ( x n=1 n+1 2 )n 14. n!x n n=1 n n 15. n=2 x n 1 n3 n ln(n) 16. n=0 x n! 17. n=0 n!x n! 18. n=1 x n2 2 n 1 n n 19. n=1 x nn n n 21. n=1 (x 3) n n5 n 23. n=1 ( 1) n 1 (x 2) 2n 2n 20. n=1 ( 1) n 1 (x 5) n n3 n 22. n=1 (x 1) n n9 n 24. n=1 (x+3) n n n=1 n n (x + 3) n 26. n=1 (x+5) 2n 1 2n4 n 27. n=1 (x 2) n (2n 1)2 n 28. n=1 ( 1) n+1 (2n 1) 2n (x 1) n (3n 2) 2n 29. n=1 n!(x+3) n n n 30. n=1 (x+1) n (n+1)ln 2 (n+1) 31. n=1 (x+2) n2 n n 32. n=1 (1 + 1 n )n2 (x 3) n Prin derivare sau integrare, sǎ se calculeze sumele seriilor de puteri:

33 2.5. PROBLEME PROPUSE x + x xn +... n 34. x x ( 1)n 1 xn +... n 35. x + x x2n n x x3 3 5 x2n ( 1)n 1 2n x + 3x (n + 1)x n x 2 + 5x ( 1) n 1 (2n 1)x 2n x + 3 4x n(n + 1)x n Gǎsiţi sumele seriilor: x + 2 x x n x n x + x5 + x x4n n ( 1) n (2n 1) 3 n n n

34 34 2. SERII DE PUTERI

35 3 Formula lui Taylor Definiţie. Fie f : I R o funcţie, derivabilǎ de n ori într-un punct a I. Pentru fiecare x I putem atunci defini polinomul T n (x) = f(a) + f (a) 1! (x a) + f (a) (x a) f (n) 2! n! (a)(x a)n. Polinomul T n (x) se numeşte polinomul Taylor de gradul n(sau de ordinul n) asociat funcţiei f în punctul a. Definiţie. Dacǎ pentru fiecare x I notǎm atunci vom putea scrie f(x) = f(a) + x a f (a) + 1! oricare ar fi x I. R n (x) = f(x) T n (x), (x a)2 f (a) ! (x a)n f (n) (a) + R n (x), n! Aceastǎ egalitate se numeşte formula lui Taylor de ordinul n corespunzǎtoare funcţiei f în punctul a. Funcţia R n se numeşte restul de ordinul n al formulei lui Taylor. Observaţie. Polinomul lui Taylor T n (x) are proprietatea cǎ T (k) n (a) = f (k) (a), ( )k = 0, n. Corolar. Restul de ordinul n al formulei lui Taylor este o funcţie derivabilǎ de n ori în punctul a şi R (k) n (a) = 0, ( )k = 0, n. 35

36 36 3. FORMULA LUI TAYLOR Observaţie. proprietatea Pentru restul R n de ordin n al formulei lui Taylor are loc lim x a R n (x) (x a) n = 0. Propoziţie. Dacǎ f este derivabilǎ de n ori în punctul a I, atunci existǎ o funcţie α(x) definitǎ pe I astfel ca lim α(x) = 0 = α(a) x a şi astfel ca pentru orice x I sǎ avem f(x) = f(a) + x a f (a) + 1! + (x a)n f (n) (a) + n! (x a)2 f (a) ! (x a)n α(x). n! În continuare vom presupune cǎ f este derivabilǎ de n + 1 ori pe întreg intervalul I. Pentru restul de ordinul n al formulei lui Taylor vor fi atunci valabile urmǎtoarele formule: 1) Pentru orice numǎr natural p, cu 1 p n + 1 existǎ ξ cuprins între a şi x astfel cǎ R n (x) = (x a)p (x ξ) n p+1 f (n+1) (ξ). n!p În aceastǎ formǎ, R n se numeşte restul lui Schlömlich-Roche pentru formula lui Taylor. 2) Dacǎ în formula de mai sus punem p = 1, obţinem restul lui Cauchy pentru formula lui Taylor: R n (x) = (x a)(x ξ)n f (n+1) (ξ). n! 3) Dacǎ în formula de la 1) luǎm p = n + 1, obţinem restul lui Lagrange pentru formula lui Taylor R n (x) = (x a)n+1 f (n+1) (ξ). (n + 1)! Observaţie. Punctul intermediar ξ depinde de a, x, n şi p. Prin urmare, punctul ξ nu este neapǎrat acelaşi pentru cele trei formule de mai sus. Observaţie. Deoarece ξ este cuprins între a şi x, existǎ un numǎr θ(care depinde de asemenea de a, x, n şi p) astfel încât 0 < θ < 1 şi ξ = a + θ(x a).

37 Dacǎ notǎm h = x a, atunci ξ = a + θh, şi formula lui Taylor se va scrie f(a + h) = f(a) + h 1 f (a) + h2 hn f (a) n! f (n) (a) + R n, unde restul R n poate avea una din formele: R n = hn+1 (1 θ) n p+1 f (n+1) (a + θh) n!p (Schlömlich-Roche); R n = hn+1 (1 θ) n f (n+1) (a + θh) n! (Cauchy); R n = hn+1 (a + θh) (n+1)! (Lagrange). Exerciţiu. Scrieţi formula lui Taylor cu restul lui Lagrange în punctul 0 pentru urmǎtoarele funcţii: 1) f : R R, f(x) = e x. 2) f : R R, f(x) = sin(x). 3) f : R R, f(x) = cos(x). 4) f : ( 1, ) R, f(x) = ln(1 + x). 37 Definiţie. Fie f : I R o funcţie indefinit derivabilǎ într-un punct a I. Atunci putem considera seria urmǎtoare: f(a) + x a f (a) + 1! (x a)2 f (a) ! (x a)n f (n) (a) +... n! Aceastǎ serie de puteri se numeşte seria Taylor a funcţiei f în punctul a. Ea are o razǎ de convergenţǎ 0 R, o mulţime de convergenţǎ nevidǎ K care conţine cel puţin punctul a, şi un interval de convergenţǎ (a R, a + R) K. Pe mulţimea K este definitǎ funcţia sumǎ T a acestei serii de puteri. Sumele parţiale ale seriei Taylor a funcţiei f în punctul a sunt evident polinoamele Taylor asociate funcţiei f în punctul a. Deoarece pentru numere x aflate aproape de numǎrul a, polinoamele T n (x) aproximeazǎ din ce în ce mai bine funcţia f(x), se pune întrebarea dacǎ vom putea scrie f(x) = T (x), ( )x I K. Rǎspunsul la aceastǎ întrebare este dat de urmǎtoarea Teoremǎ. Seria Taylor a funcţiei f în punctul a este convergentǎ într-un punct x I K cǎtre valoarea f(x) a funcţiei f în x dacǎ şi numai dacǎ valorile în x ale resturilor R n ale formulelor lui Taylor formeazǎ un şir (R n (x)) convergent cǎtre 0.

38 38 3. FORMULA LUI TAYLOR 3.1 Serii Taylor pentru funcţii de douǎ variabile Dezvoltarea în serie Taylor a unei funcţii f(x, y) în jurul unui punct (a, b) are forma f(x, y) = f(a, b) + 1 [(x a) 1! x + (y b) ]f(a, b)+ y + 1 2! [(x a) x +(y b) y ]2 f(a, b) n! [(x a) x +(y b) y ]n f(a, b)+..., unde [(x a) x + (y b) y ş.a.m.d. ]f(a, b) = f x f (a, b)(x a) + (a, b)(y b), y [(x a) x + (y b) y ]2 f(a, b) = 2 f x 2 (a, b)(x a) f x y (a, b)(x a)(y b) + 2 f y 2 (a, b)(y b)2, 3.2 Probleme propuse 1. Arǎtaţi cǎ i) e x = 1 + x + x xn +..., ( )x R 1! 2! n! ii) sin(x) = x x3 + x5 n 1 x2n ( 1) +..., ( )x R 3! 5! (2n 1)! iii) cos(x) = 1 x2 + x ( 1) n x2n +..., ( )x R 2! 4! (2n)! iv) ln(1 + x) = x x2 + x ( 1)n 1 xn +..., ( )x ( 1, 1] n v) ln(1 x) = x x2 x3... xn..., ( )x [ 1, 1) 2 3 n vi) (1 + x) m = 1 + mx + m(m 1) x m(m 1)...(m n+1) x n +..., ( )x 1! 2! n! ( 1, 1) 2. Determinaţi dezvoltǎrile în serie MacLaurin ale urmǎtoarelor funcţii, indicând şi intervalele în care este valabilǎ fiecare dezvoltare:

39 3.2. PROBLEME PROPUSE 39 i) f(x) = a x ; ii) f(x) = sin(x + π 4 ); iii) f(x) = cos(x + a); iv) f(x) = sin 2 (x); v) f(x) = ln(2 + x); vi) f(x) = 2x 3 vii) f(x) = 3x 5 ; x 2 4x+3 (x 1) 2 ; viii) f(x) = cos2 (x); ix) f(x) = x ; x) f(x) = 1 1+x 2 4 x 2 ; xi) f(x) = ch(x); xii) f(x) = sh(x); xiii) f(x) = ln( 1+x 1 x ); xv) f(x) = ln(x x 2 ); xiv) f(x) = (1 + x) ln(1 + x); xvi) f(x) = arctg(x); xvii) f(x) = arcsin(x); xviii) f(x) = ln(1 + x 2x 2 )); xix) f(x) = (1 + x)e x ; xx) f(x) = x. 3. Scrieţi primii trei termeni nenuli ai dezvoltǎrilor în serie MacLaurin ale urmǎtoarelor funcţii: i)f(x) = tg(x); ii)f(x) = th(x); iii)f(x) = ln(cos(x)); iv)f(x) = e cos(x) ; v)f(x) = e sin(x). 4. Dezvoltaţi funcţia f(x) = x 3 2x 2 5x 2 în serie de puteri ale lui x Dezvoltaţi funcţia f(x) = ln(x) în serie de puteri ale lui x Dezvoltaţi funcţia f(x) = 1 x în serie de puteri ale lui x Dezvoltaţi funcţia f(x) = 1 x 2 în serie de puteri ale lui x Dezvoltaţi funcţia f(x) = 1 x 2 +3x+2 în serie de puteri ale lui x Dezvoltaţi funcţia f(x) = x în serie de puteri ale lui x Dezvoltaţi funcţia f(x) = cos(x) în serie de puteri ale lui x π Dezvoltaţi funcţia f(x) = ln(x) în serie de puteri ale lui 1 x 1+x. 12. Dezvoltaţi funcţia f(x) = x 1+x în serie de puteri ale lui x. 1+x 13. Folosind dezvoltarea funcţiei arctg(x), aflaţi numǎrul π cu o zecimalǎ exactǎ.

40 40 3. FORMULA LUI TAYLOR 14. Folosind dezvoltarea funcţiei e x, aflaţi numǎrul e cu trei zecimale exacte. 15. Dezvoltaţi în serie de puteri ale lui x şi y urmǎtoarele funcţii: i) f(x, y) = sin(x) sin(y), ii) f(x, y) = ln(1 x y + xy), iii) f(x, y) = sin(x 2 + y 2 ), iv) f(x, y) = arctg( x+y 1 xy ) v) f(x, y) = 1 x+y 1+x y. 16. Fie f(x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2. Dezvoltaţi f(x + h, y + k) în serie de puteri ale lui h şi k. 17. Dezvoltaţi e x+y în serie de puteri ale lui x 2 şi y Dezvoltaţi sin(x + y) în serie de puteri ale lui x şi y π Scrieţi formula lui Taylor de ordinul doi în punctul (0, 0) pentru urmǎtoarele funcţii: i) f(x, y) = e x cos(y), ii) f(x, y) = (1 + x) 1+y.

41 4 Noţiuni de topologie în R n Spaţiul vectorial R n are o structurǎ de spaţiu euclidian definitǎ de produsul scalar şi de norma asociatǎ. Cu ajutorul normei se poate defini pe R n o distanţǎ: d : R n R n R, d(x, Y ) = X Y, ( )X, Y R n. Proprietǎţile funcţiei distanţǎ sunt: 1) d(x, Y ) 0, ( )X, Y R n. 2) d(x, Y ) = 0 X = Y. 3) d(x, Y ) = d(y, X), ( )X, Y R n. 4) d(x, Y ) d(x, Z) + d(z, Y ), ( )X, Y, Z R n. O funcţie cu proprietǎţile funcţiei distanţǎ de mai sus se mai numeşte şi metricǎ, şi spunem cǎ (R n, d) este un spaţiu metric. Definiţie. Fie X R n şi r R +. Bila deschisǎ de centru X şi razǎ r este mulţimea B(X, r) = {Y R n d(x, Y ) < r}. Bila închisǎ de centru X şi razǎ r este mulţimea B(X, r) = {Y R n d(x, Y ) r}. Sfera de centru X şi razǎ r este mulţimea S(X, r) = {Y R n d(x, Y ) = r}. 41

42 42 4. NOŢIUNI DE TOPOLOGIE ÎN RN Definiţie. Fie X R n şi V R n. V se numeşte vecinǎtate a lui X dacǎ existǎ r > 0 cu proprietatea cǎ B(X, r) V. Mulţimea vecinǎtǎţilor punctului X o vom nota cu V(X), iar dacǎ V este o vecinǎtate a lui X, vom scrie V V(X). Definiţie. O mulţime D R n se numeşte mulţime deschisǎ dacǎ este vecinǎtate pentru orice punct al sǎu, i.e. ( )X D ( )r > 0 : B(X, r) D. Vom nota cu D mulţimea mulţimilor deschise incluse în R n. Complementarele mulţimilor deschise se numesc mulţimi închise. O mulţime compactǎ este o mulţime închisǎ şi mǎrginitǎ. Propoziţie. Mulţimile deschise incluse în R n au urmǎtoarele proprietǎţi: 1) R n, D. 2) Dacǎ D 1, D 2 D, atunci D 1 D 2 D. 3) Dacǎ (D i ) i I D este o familie oarecare de mulţimi deschise, atunci i I D i D. Definiţie. O familie T de submulţimi ale lui R n care satisface condiţiile din propoziţia de mai sus, se numeşte topologie pe R n. Observaţie. Mulţimea D a mulţimilor deschise din R n formeazǎ deci o topologie pe R n. Definiţie. Perechea (R n, D) fomeazǎ un spaţiu topologic. Definiţie. Fie M R n o submulţime oarecare a spaţiului topologic (R n, D). Interiorul lui M(notat Int(M)) este cea mai mare mulţime deschisǎ conţinutǎ în M. Avem Int(M) = {X R n M V(X)}. Exteriorul lui M(notat Ext(M)) este interiorul mulţimii complementare lui M în R n : Ext(M) = {X R n ( )r > 0 : B(X, r) M = }.

43 43 Închiderea(sau aderenţa lui M)(notatǎ M) este cea mai micǎ mulţime închisǎ care conţine M şi este complementara exteriorului mulţimii M: M = {X R n ( )r > 0 = B(X, r) M } = = {X R n ( )V V(X) = B(X, r) M }. Mulţimea punctelor de acumulare a lui M(notatǎ M ) este M = {X R n ( )V V(X) = B(X, r) M \ {X} }. Frontiera lui M(notatǎ F r(m)) constǎ din punctele aderente atât lui M, cât şi complementarei lui M: F r(m) = {X R n ( )V V(X) = B(X, r) M B(X, r) \ M}. Mulţimea punctelor izolate ale mulţimii M(notatǎ Iz(M)) constǎ din punctele aderente ale lui M care nu sunt puncte de acumulare: Iz(M) = M \ M.

44 44 4. NOŢIUNI DE TOPOLOGIE ÎN RN

45 5 Funcţii de mai multe variabile 5.1 Definiţii. Exemple Definiţie. Fie D R n o submulţime a spaţiului R n. O funcţie f : D R se numeşte funcţie(scalarǎ) de n variabile. Mulţimea D este domeniul de definiţie al lui f, notat Dom(f), iar mulţimea {f(x) X D} se numeşte imaginea funcţiei f, şi o notǎm Im(f). Observaţie. Uneori nu se indicǎ domeniul de definiţie al unei funcţii, ci doar spaţiul R n în care este inclus acesta. În acest caz se considerǎ de regulǎ cǎ domeniul de definiţie este domeniul maxim de definiţie, pentru care au sens toate calculele care se fac pentru determinarea imaginii unui vector prin funcţia a cǎrei lege de corespondenţǎ este indicatǎ. Exemplu. 1) Pentru funcţia f : R 4 R, definitǎ prin f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x x x x 2 4, domeniul de definiţie este R 4, iar imaginea este R +. 2) Fie f : D R 4 R, datǎ de legea de corespondenţǎ f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 1 x x x x Domeniul de definiţie nu este indicat, astfel cǎ trebuie considerat ca fiind domeniul maxim de definiţie al expresiei care defineşte legea de corespondenţǎ prin care este definitǎ funcţia. Astfel, Dom(f) = {X R 4 x x x x } = 45

46 46 5. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE = {X R 4 d(x, 0) 1} = R 4 \ S(0, 1). Imaginea funcţiei f este R \ ( 1, 0]. Definiţie. Fie f : D R n R o funcţie de n variabile. Graficul funcţiei f este mulţimea G f = {(X, x n+1 ) R n+1 X D, x n+1 = f(x)}. Exemplu. Graficul funcţiei f : B(0, 1) R 2 R, definitǎ prin f(x) = 1 X 2 este semisfera superioarǎ S + (0, 1) R 3. Definiţie. Fie f : D R n R o funcţie de n variabile şi α R. Linia de nivel α a lui f este mulţimea L α (f) = {(x 1, x 2,..., x n ) = X D, f(x) = α}. Ea se mai numeşte preimaginea(sau imaginea inversǎ) a lui α şi se mai noteazǎ şi f 1 (α). 5.2 Probleme propuse Determinaţi domeniile şi imaginile funcţiilor urmǎtoare 1. f(x, y) = x 2 + y 2 ; 2. f(x, y) = 1 + x + y; 3. f(x, y) = x y ; 4. f(x, y) = 1 x 2 4y 2 ; 5. f(x, y) = 1 x 2 + 4y 2 ; 6. f(x, y) = sin(x + y); 7. f(x, y) = e x + e y 1 ; 8. f(x, y) = ; (x 2 y 2 ) 3/2 x+y 9. f(x, y) = tan(x y); 10. f(x, y) = x y ; x y 11. f(x, y) = x+y ; 12. f(x, y) = sin 1 (x + y);

47 5.2. PROBLEME PROPUSE f(x, y) = cos 1 (x y); 14. f(x, y) = y x ; 15. f(x, y) = x2 y 2 x+y ; 16. f(x, y) = ln(1 + x2 y 2 ); 17. f(x, y) = x 2y + 2y x ; 18. f(x, y, z) = x + y + z; 19. f(x, y, z) = 1 x + y + z; 20. f(x, y, z) = ; x2 +y 2 +z f(x, y, z) = ; 22. f(x, y, z) = x 2 y 2 z 2 ; x2 y 2 +z f(x, y, z) = ln(x 2y 3z + 4); 24. f(x, y, z) = xy z ;

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE 1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ 2 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 5 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y). Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

1Reziduuri şi aplicaţii

1Reziduuri şi aplicaţii Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Fişier template preliminar

Fişier template preliminar logo.png Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Fişier template preliminar Universitatea Tehnica din Iaşi (front-hyperlinks-colors * 29 iulie 212) UTC.png UTI.png Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL DIFERENŢIAL IAŞI 2011 Cuprins 1 Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective:

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective: TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 61 TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE Obiective: Definirea principalelor proprietăţi matematice ale integralelor nedefinite Analiza principalelor proprietăţi matematice ale ecuaţiilor

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este.

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este. Copyright c 007 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului atematician 1 inisterul Educatiei si Tineretului Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 14 iunie 007 Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a)

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a) Universitatea "Dunărea de Jos" din Galaţi MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA 01 DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a Testele sunt recomandate pentru următoarele domenii de licenţă şi facultăţi:

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Capitolul 1 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Definiţia 1.0.1 O ecuaţie diferenţialǎ de ordinul întâi este o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma g(t, x, ẋ)

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE explicaţii teoretice, interpretări fizice, aplicaţii tehnice, exemple, exerciţii VOLUMUL II VALERIU ZEVEDEI

MATEMATICI SPECIALE explicaţii teoretice, interpretări fizice, aplicaţii tehnice, exemple, exerciţii VOLUMUL II VALERIU ZEVEDEI MATEMATICI SPECIALE explicaţii teoretice, interpretări fizice, aplicaţii tehnice, exemple, exerciţii VOLUMUL II VALERIU EVEDEI April 1, 25 2 CUPRINS III ELEMENTEDECALCULVARIAŢIONAL 9 11 ELEMENTE DE CALCUL

Διαβάστε περισσότερα

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC .Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A = Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache 2 * Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii. Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Dorel Lucanu Faculty of Computer Science Alexandru Ioan Cuza University, Iaşi, Romania dlucanu@info.uaic.ro PA 2014/2015 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare

Διαβάστε περισσότερα

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n 1 Preliminarii Fie M, A mulţimi nevide şi n N. Se muneşte operaţie n ară (sau lege de compoziţie n-ară) definită pe M orice aplicaţie τ : M n M (M n = } M {{... M } ). In cazul n = 2, obţinem operaţiile

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a

Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, 17-22 august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a Problema 1. Câte numere naturale de cinci cifre trebuie să scriem pentru

Διαβάστε περισσότερα

Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.

Asist. Dr. Oana Captarencu.  otto/pn.html. Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu http://www.infoiasi.ro/ otto/pn.html otto@infoiasi.ro Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40%

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z. Numere complexe Numere complexe Forma algebrcă a numărulu complex este a b unde a ş b sunt numere reale Numărul a se numeşte partea reală a numărulu complex ş se scre a Re ar numărul b se numeşte partea

Διαβάστε περισσότερα

MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA

MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA CÂMPURILOR Cuprins 15 MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 5 15.1 Câmpuri scalare. Curbe şi suprafeţe de nivel............................. 5 15.2 Derivata după o direcţie şi

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα

Circuite electrice in regim permanent

Circuite electrice in regim permanent Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα