CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene"

Transcript

1 Geometrie liniară în spaţiu CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU 6.. Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu I. Coordonate carteziene În cele ce urmează, notăm cu E 3 spaţiul punctual tridimensional al geometriei elementare şi cu V 3 spaţiul ectorilor liberi. Reamintim (ezi Obseraţia.3. b)) că un punct fixat O E 3 şi o bază canonică { i, j, k } a lui V 3 definesc în mod unic un sistem de trei axe Ox, Oy şi Oz, orientate de ersorii i, j şi respecti k, perpendiculare două câte două şi care au aceeaşi origine şi aceeaşi unitate de măsură. Acestea formează reperul cartezian Oxyz. Datorită corespondenţei bijectie între mulţimea reperelor carteziene Oxyz şi cea a ansamblelor {O, i, j, k } se mai spune că acestea din urmă reprezintă nişte repere carteziene. Fie M E 3 şi fie M i, i =,,3 proiecţiile lui M pe axele carteziene Ox, Oy şi respecti Oz. Notăm cu x, z şi z coordonatele corespunzătoare punctelor M, M şi M 3 (ezi Obseraţia.3. b) pentru definiţia coordonatelor). Tripletul ordonat de numere reale (x,y,z) R 3 reprezintă coordonatele carteziene ale punctului M în reperul cartezian Oxyz. 74

2 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială În cazul plan om nota cu E planul geometriei elementare. Se constată uşor că mulţimea ectorilor liberi cu reprezentanţi în planul E este un subspaţiu ectorial V, de dimensiune, al lui V 3. Este clar că, în acest subspaţiu, a exista o bază ortonormată { i, j}. Aşa cum am arătat mai sus, unui punct fixat O E şi bazei { i, j} i se poate asocia în mod unic un sistem de axe Ox şi Oy, perpendiculare, cu aceeaşi origine şi aceeaşi unitate de lungime. Aceste axe or defini un reper cartezian Oxy în plan. Ca şi în spaţiu, se definesc coordonatele carteziene (x, y) ale unui punct M E astfel încât OM = x i + y j (Fig. 8). II. Coordonate polare. Legătura între coordonatele carteziene şi cele polare Considerăm Ox, o axă în planul E cu originea O, numită axă polară. Atunci poziţia unui punct M E poate fi caracterizată prin perechea de numere reale (ρ, θ) (, ) [, π), numite coordinate polare, care au următoarea semnificaţie: ρ este distanţa euclidiană de la originea O la punctul M iar θ este măsura unghiului orientat definit de semidreptele Ox şi OM (θ = m( (Ox, OM))). Dacă suprapunem axa polară Ox cu axa carteziană Ox, atunci se obţine următoarea legătură între coordonatele carteziene şi cele polare ale punctului M: 75

3 Geometrie liniară în spaţiu x = ρ cosθ sau ρ = x + y, sinθ =y/ x + y, cos θ = x/ x + y. y = ρ sinθ III. Coordonate sferice şi cilindrice. Legătura cu coordonatele carteziene Coordonate sferice În spaţiul E 3 considerăm reperul Oxyz format din trei drepte concurente în O, perpendiculare două câte două. Fie M O un punct din E 3 şi fie M i, i =,,3 proiecţiile lui M pe dreptele Ox, Oy şi Oz. De asemenea fie M` proiecţia punctului M pe planul Oxy (ezi Fig. 9). Notăm cu r distanţa euclidiană dintre O şi M, cu θ măsura unghiului orientat (Ox, OM`), θ [,π) şi cu ϕ măsura unghiului orientat (Oy, OM), ϕ [,π ). Numerele reale (r, θ, ϕ) se numesc coordonatele sferice ale punctului M. Fie (x, y, z) coordonatele carteziene ale punctului M. Dacă notăm ρ = OM` se obseră că x = ρcos θ, y = ρ sin θ, ρ = r sinϕ. Acum este uşor de ăzut că legătura dintre coordonatele sferice (r, θ, ϕ) şi cele carteziene este dată de relaţiile x = rsinϕ cos θ, y = rsinϕ sin θ, z = rcosϕ. Originea este definită de ρ = şi θ, ϕ nedeterminaţi. 76

4 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Coordonate cilindrice Considerăm reperul cartezian Oxyz şi punctul M E 3, M O (Fig. ). Dacă M` este proiecţia punctului M pe planul Oxy atunci considerăm tripletul (ρ, θ, z) unde ρ şi θ sunt definiţi ca şi în cazul coordonatelor sferice iar z este coordonata proiecţiei M 3 a lui M pe axa Oz. Este clar că între coordonatele carteziene şi cele cilindrice există următoarele relaţii x =ρ cos θ, y =ρ sin θ, z = z, ρ >, θ [,π). Originea este definită de ρ = şi z = şi θ nedeterminat. 6.. Rototranslaţia în plan şi spaţiu Definiţia 6.. Fie V 3 spaţiul ectorial al ectorilor liberi dotat cu produsul scalar introdus de Definiţia.4.. a) O transformare liniară ortogonală R L R (V 3 ), a cărei matrice asociată într-o bază a lui V 3 are determinantul egal cu se numeşte rotaţie. b) Dacă V 3, atunci funcţia T: V 3 V 3 definită prin T(x) = x +, x V 3 se numeşte translaţie de ector. Propoziţia 6.. a) Rotaţia păstrează produsul scalar şi în consecinţă distanţa euclidiană. b) Dacă T este o translaţie de ector 77

5 Geometrie liniară în spaţiu atunci T - există şi este tot o translaţie de ector -. c) Translaţia păstrează distanţa euclidiană. Demonstraţie. a) Intr-adeăr, rotaţia este în particular o transformare ortogonală şi, în consecinţă, păstrează produsul scalar (a se edea punctul 3. din Propoziţia 4.4.). Fie x, y V 3. Aem R(x) R(y) = R(x y) = < R(x - y), R(x - y)> = <(x - y), (x - y)> = x y şi rezultă concluzia. b) Dacă T - : V 3 V 3, T - (x) = x -, x V 3 atunci T T - (x) = T - (x) + = x + = x, pentru orice x V 3. Analog se arată că T - T(x) = x, x V 3 şi rezultă concluzia. c) Este triial. O funcţie f : V 3 V 3, care este surjectiă şi care păstrează distanţa euclidiană se numeşte izometrie. Aplicând propoziţia de mai sus, deducem că rotaţiile şi translaţiile sunt izometrii. Este uşor de ăzut că rezultatul compunerii a două izometrii este tot o izometrie. În general, se poate arăta că orice izometrie f este fie o transformare ortogonală dacă f() =, fie o compunere dintre o rotaţie R şi o translaţie T, f = T R, în caz contrar.(pentru demonstraţie se poate consulta [6].) Schimbări de repere carteziene în plan Considerăm două repere carteziene {O, i, j } şi {O`, i `, j ` } în planul E (izomorf cu R ). Primul reper cartezian a mai fi notat şi Oxy iar cel de al doilea O`x`y`, după numele axelor 78

6 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială de coordonate asociate. Fie M E un punct ale cărui coordonate carteziene faţă de cele două repere sunt (x, y) şi respecti (x`,y`). Presupunem că (a, b) sunt coordonatele punctului O` în raport cu reperul cartezian Oxy şi că θ este unghiul dintre direcţia axei Ox şi cea a axei O`x`. În cele ce urmează om arăta că aplicaţia f: R R, (x`, y`) (x, y), care în mod eident este o izometrie, este compunerea dintre o rotaţie R şi o translaţie T, f = T R. Pentru început, obserăm că relaţia OM = (6..) x i + y j = a i + b j + x` i ` + y` j `. 79 OO `+ O ' M se mai scrie Reamintim că < i, j> =, < i, i > =, < i, i `> = cos θ, < i, j `> = cos (θ + π/) = - sinθ, < j, j> =, < j, i `> = sin θ, < j, j `> = cosθ. Făcând pe rând produsul scalar dintre i, j şi (6..) obţinem relaţiile (6..) x = a + x`cosθ - y`sinθ y = b + x`sinθ + y`cosθ. Definim aplicaţia R: R R, R(x`, y`) = (x, y ), x = x`cosθ - y`sinθ, y = x`sinθ + y`cosθ. Este uşor de ăzut că R este o rotaţie, în sensul Definiţiei 6... Intuiti, această transformare arată cum se schimbă coordonatele unui punct M dacă reperul cartezian faţă de care se calculează noile coordonate se obţine prin rotirea lui O`x`y` cu unghiul θ în sensul acelor de ceasornic. Din acest moti spunem că R este o rotaţie de unghi θ. Pe de altă parte, aplicaţia T: R R, T(x, y ) = (x, y), x = a + x, y = b + y este în mod eident o translaţie de ector = (a, b). Acum este clar că f = T R, ceea ce trebuia demonstrat. Din acest moti izometria f se mai numeşte şi rototranslaţie în plan.

7 Geometrie liniară în spaţiu 6.3. Planul în spaţiu În spaţiul geometriei euclidiene E 3, un plan este o submulţime a lui E 3 (sau R 3 ) determinată în mod unic de condiţii geometrice de tipul: ) un punct şi un ector normal la plan; ) trei puncte necoliniare; 3) două drepte concurente; 4) o dreaptă şi un punct exterior dreptei etc. În cele ce urmează om considera, fără a mai specifica acest lucru de fiecare dată, că B = { i, j, k } este o bază canonică a lui V 3 şi {O, i, j, k } este reperul cartezian asociat Planul determinat de un punct şi de un ector normal la plan Fie P un plan din V 3. Un ector liber din V 3, a cărui direcţie este perpendiculară pe planul P se numeşte ector normal la plan sau, pe scurt, normală la plan. Considerăm ectorul liber n = A i + B j + C k V 3 şi punctul M (x o, y, z ) E 3. În continuare om stabili ecuaţiile planului P ce conţine punctul M şi are normala la plan n. ( ezi Fig. ). Este uşor de ăzut că un punct curent M(x, y, z) este situat în planul P dacă şi numai dacă ectorii liberi P d M (x, y, z ) Fig. n M(x,y,z) M M şi n sunt ortogonali, 8

8 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială adică dacă < M M, n > =. Obserăm că M M = OM - OM = (x - x ) i + (y - y ) j+ (z - z ) k şi, folosind Teorema.4. (5.), obţinem : (6.3.) A(x - x ) + B(y - y ) + C(z - z ) =. Ecuaţia de mai sus se numeşte ecuaţia planului determinat de un punct şi o normală dată. Dacă notăm D = - (Ax + By + Cz ), relaţia (6.3.) se scrie (6.3.) Ax + By + Cz + D = şi am obţinut ecuaţia carteziană generală a planului P. Se poate arăta că dacă A, B, C, D R, A + B + C, atunci mulţimea L, formată din toate punctele M E 3 ale căror coordonate carteziene (x,y,z) (faţă de reperul cartezian Oxyz) satisfac relaţia (6.3.), este un plan din E 3. Într-adeăr dacă M (x o, y, z ) L, atunci D = - (Ax + By + Cz ) şi orice alt punct M(x, y, z) L a satisface (6.3.). Deci < M M, n > =, unde n = Ai + B j + C k V 3, ceea ce înseamnă că toate punctele M se află într-un plan perpendicular pe direcţia lui n, plan ce conţine pe M. De aici rezultă uşor concluzia. Obseraţia 6.3. a) Conform celor spuse mai sus, orice plan P E 3 este caracterizat, într-un reper cartezian Oxyz, de o ecuaţie de tipul (6.3.), unde coeficienţii A, B, C nu sunt toţi nuli. b) În ecuaţia (6.3.), coeficienţii A, B, C reprezintă coordonatele ectorului normal la plan. Deci, două plane ale căror ecuaţii diferă prin termenul liber sunt plane paralele, iar ecuaţia (6.3.)` Ax + By + Cz = λ, λ R, 8

9 Geometrie liniară în spaţiu reprezintă familia planelor paralele din spaţiu de normală dată n = A i + B j + C k. Pentru λ =, ecuaţia (6.3.)` reprezintă ecuaţia unui plan care conţine originea reperului cartezian Oxyz. c) Ecuaţiile planelor de coordonate sunt următoarele z = ecuaţia planului xoy y = ecuaţia planului xoz x = ecuaţia planului yoz. (Exerciţiu). d) Dacă în locul normalei n considerăm ersorul n / n ( n A + B + C = ), care este la rândul lui o normală la plan, atunci Ax + By + Cz + D ecuaţia (6.3.) se scrie sub forma = ecuaţia normalizată a planului P. ± A + B + C şi se numeşte Ecuaţia planul determinat de trei puncte necoliniare Fie M (x, y, z ), M (x, y, z ), M 3 (x 3, y 3, z 3 ) E 3 trei puncte necoliniare. Un punct curent M(x, y, z) este situat în planul P dacă şi numai dacă ectorii M M, M M şi M M 3 sunt coplanari. Punctul. al 8 Teoremei.6. ne asigură că aceşti ectori sunt coplanari dacă şi numai dacă (6.3.3) < M M, M M M M > =. 3 Dacă notăm cu r = OMşi respecti r i = OM i, i =,, 3 ectorii de poziţie ai punctelor M, respecti M i, i =,, 3 în reperul cartezian {O; i, j, k }, (Oxyz), atunci M M = OM - OM = r - r = (x x ) i + (y y ) j + (z z ) k (ezi Fig. 3), M M = r - r = (x x ) i + (y y ) j + (z z ) k, M M 3 = r 3 - r = (x 3 x )i + (y 3 y ) j + (z 3 z ) k.

10 Relaţia (.6.) ne asigură că Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială x x y y z z < M M, M M M M > = 3 x x y y z z x 3 x y3 y z 3 z =. Folosind determinanţilor, ecuaţia echialentă x proprietăţile obţinem x y z (6.3.4) =. x y z x 3 y y 3 z z 3 Ecuaţia (6.3.4) este ecuaţia carteziană a planului determinat de cele trei puncte M, M, M 3. Pe de altă parte, Teorema.3. b) ne asigură că cei trei ectori M 83 M M, M şi M M 3 sunt coplanari dacă şi numai dacă sunt liniar dependenţi, adică dacă există scalarii α, β, γ, nu toţi nuli astfel încât α M M + β M M + γ M M 3 =. Dacă α =, atunci β sau γ şi ar rezulta că sistemul { M M, M M } este liniar dependent. Dar sistemul { 3 M M, M M 3 } nu poate fi liniar dependent, căci elementele sale nu sunt ectori coliniari (M, M, M 3 sunt puncte necoliniare, prin ipoteză). Deci α. Deducem că planul P este format din toate punctele M E 3 pentru care există λ, µ R astfel încât M M = λ M M + µ M M } 3 Altfel spus, planul P este caracterizat de relaţia ectorială (6.3.5) r = r + λ r r ) + µ ( r ), λ, µ R ( r numită ecuaţia ectorială a planului prin trei puncte. Ecuaţia ectorială (6.3.5), scrisă în reperul cartezian Oxyz, este echialentă cu ecuaţiile P O M 3 M M r r M r r 3 Fig. 3

11 Geometrie liniară în spaţiu x = x + λ(x x ) + µ (x x ) (6.3.6) y = y + λ(y y ) + µ (y y ), λ, µ R z = z + λ(z z ) + µ (z z ) numite ecuaţiile carteziene parametrice ale planului determinat de trei puncte Planul determinat de un punct şi doi ectori necoliniari Fie punctul M (x, y, z ) E 3 şi ectorii liberi (l, m, n ) şi (l, m, n ), necoliniari, adică. Se ştie că există un plan unic P care conţine punctul M şi este paralel cu dreptele suport d, d ale unor reprezentanţi ai ectorilor şi. Punctul M(x, y, z) P dacă şi numai dacă ectorii liberi M M, şi sunt coplanari. Deci produsul lor mixt trebuie să fie este nul, adică < M M, > =. Deoarece obţinem < M M, > = sau, echialent, O r d M P Fig. 4 d r M M M = r - r, (6.3.7) x x l l y y m m z z n n =. Ecuaţia obţinută mai sus se numeşte ecuaţia carteziană a planului printrun punct, paralel cu două direcţii date. Pe de altă parte, aplicând Teorema.3. b) şi raţionând ca în paragraful precedent, deducem că M P dacă şi numai dacă există 84

12 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială scalarii λ, µ R astfel încât M M = λ + µ. Deci planul P este caracterizat de relaţia ectorială (6.3.8) r r = + λ + µ, λ, µ R. Această ecuaţie este numită ecuaţia ectorială a planului printr-un punct, paralel cu două direcţii. Proiectând ecuaţia (6.3.8) pe axele sistemului cartezian de coordonate, Oxyz, obţinem ecuaţiile: (6.3.9) x y z = x = y = z + λ l + λ m + λ n + µ l + µ m, λ, µ R, + µ n numite ecuaţiile carteziene sub formă parametrică ale planului printr-un punct, paralel cu două direcţii Poziţia relatiă a două plane Studiind mulţimea soluţiilor sistemului format din ecuaţiile a două plane π, π E 3, se a constata că există următoarele poziţiilor geometrice ale celor două plane: planele se intersectează după o dreaptă; plane sunt (strict) paralele; planele sunt confundate. Presupunem că, faţă de reperul cartezian {O; i, j, k }, planele π şi π au ecuaţiile (π ): A x + B y + C z + D =, (π ): A x + B y + C z + D =. Considerăm sistemul (6.3.) Ax + By + Cz + D = A x + By + Cz + D =. Notăm cu M A B C = A B C (respecti A B C D M = ) A B C D matricea ( respecti matricea extinsă) a sistemului. 85

13 Dacă rang(m) = rang( M ) Geometrie liniară în spaţiu =, atunci sistemul (6.3.) este compatibil simplu nedeterminat. Mulţimea soluţiilor lui reprezintă punctele comune celor două plane, adică, aşa cum om edea în paragraful următor, o dreaptă d = π π. Dacă rang(m) = rang( M ) =, atunci sistemul (6.3.) este compatibil dublu nedeterminat şi cele două plane coincid, π π. (Temă: arătaţi că rang(m) ). Dacă rang(m) rang( M ), sistemul (6.3.) este incompatibil şi cele două plane nu au nici un punct comun, π π Dreapta în spaţiu În spaţiul geometric E 3, o dreaptă este unic determinată prin condiţii geometrice de tipul: un punct şi un ector nenul (o direcţie dată), două puncte distincte, intersecţia a două plane Dreapta determinată de un punct şi o direcţie (un ector director) Fie un punct M (x, y, z ) E 3 şi ectorul liber nenul V 3. Atunci punctul M împreună cu mulţimea punctelor M E 3, cu proprietatea că ectorii liberi M M şi sunt coliniari, defineşte o dreaptă unică din E 3. (Coliniaritatea celor doi ectori exprimă faptul că punctul M aparţine unei drepte care trece prin M şi este paralelă cu dreapta suport a lui.)(ezi Fig. 5) O M r r r r M Fig. 5 d Obserând că M M = r r -, relaţia de coliniaritate se mai scrie (6.4.) r = r + λ, λ R. 86

14 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Ecuaţia obţinută se numeşte ecuaţia ectorială a dreptei d care trece prin punctul M şi are direcţia dată de ectorul (dreapta d este paralelă cu dreapta suport a unui reprezentant al lui ). Dacă proiectăm relaţia (6.4.) pe axele reperului cartezian {O,i, j, k }, obţinem ecuaţiile parametrice ale dreptei d prin punctul M (x, y, z ), aând direcţia dată de ectorul = li + mj + nk : x = x + λl (6.4.) y = y + λm. z = z + λn Vectorul r = (l, m, n) V 3 se numeşte ectorul director al dreptei d iar coordonatele l, m, n R se numesc parametrii directori ai dreptei d. Dacă ectorul director este ersorul e, care formează unghiurile α, β, γ cu axele de coordonate Ox, Oy, Oz, atunci e = i cosα + j cosβ + k cosγ. În acest caz cosα, cosβ, cosγ sunt parametrii directori ai dreptei d şi se or numi cosinusurile directoare ale dreptei. Ele satisfac relaţia cos α + cos β + cos γ =. Reenind la cazul general, în care ectorul director este = li + mj + nk, presupunem că l, m, n. Eliminând parametrul λ din ecuaţiile (6.4.) se obţin ecuaţiile: (6.4.3) x x l y y = m z z = n numite ecuaţiile carteziene canonice ale dreptei d, care trece prin punctul M (x, y, z ) şi are direcţia dată de ectorul = li + mj + nk. Obseraţia Dacă o parte dintre parametrii directori l, m, n sunt nuli, atunci ecuaţiile (6.4.3) se modifică după cum urmează., 87

15 Geometrie liniară în spaţiu Cazul I. (un singur parametru director nenul). Presupunem, fără a restrânge generalitatea, că l. Eliminând parametrul λ din ecuaţiile (6.4.), obţinem (6.4.4) d : Analog se obţine d : y y m x x y y = l m z z =, x = x. n, z = z, dacă n =, etc. Cazul II. (doi parametri directori nenuli). Dacă l = m =, atunci, din (6.4.3), obţinem următoarele ecuaţii pentru dreapta (6.4.5) d : x = x, y = y, z R. În mod asemănător se obţin ecuaţiile d : x = x, z = z, y R, dacă l = n = şi d : y = y, z = z, x R, dacă m = n = Dreapta determinată de două puncte distincte Fie M (x, y, z ), M (x, y, z ) E 3 două puncte distincte. Aceste puncte determină o dreaptă unică d. Această dreaptă trece prin M şi are drept ector director pe M M ecuaţia ectorială a dreptei (6.4.6) d: r r + ( r ) = λ, λ R. r O formă echialentă a acesteia este următoarea d: r = ( λ ) r + λr, λ R. Ecuaţiile parametrice ale dreptei prin două puncte sunt următoarele (6.4.7) x = ( λ)x + λx y = ( λ)y + λy z = ( λ)z + λz. Particularizând ecuaţia (6.4.), obţinem 88, λ R. De asemenea, dacă x x, y y, z z, ecuaţiile carteziene canonice ( ezi ec. (6.4.3)) ale dreptei d sunt O r M r r M Fig. 6 r M

16 (6.4.8) Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială x x x x y y = y y z z = z z Dacă nu aem îndeplinită condiţia de mai sus, atunci ecuaţiile (6.4.8) se modifică aşa cum am arătat în Obseraţia Obseraţia 6.4. Pentru λ (, ) ecuaţiile (6.4.7) definesc mulţimea punctelor de pe dreapta d cuprinse între punctele M şi M, iar pentru λ R \ [, ] aceleaşi ecuaţii definesc mulţimea punctelor dreptei d care sunt exterioare segmentului M M. Pentru mijlocului segmentului M M. =. λ obţinem coordonatele Dreapta ca intersecţie a două plane Fie planele π şi π cu ecuaţiile (π ): A x + B y + C z + D =, (π ): A x + B y + C z + D =. Din geometria elementară se ştie că dacă planele π şi π nu sunt paralele, atunci ele se intersectează după o dreaptă d. În paragraful 6.3.4, am arătat că acest lucru se întâmplă dacă sistemul format din ecuaţiile celor două plane este compatibil nedeterminat. Deci ecuaţia dreptei d, dată de intersecţia celor două plane este Ax + By + Cz + D = D: A x + By + C z + D = Este uşor de ăzut că ectorul director al dreptei d este = n n, unde n = (A, B, C ), n = (A, B, C ) sunr normalele planelor π şi π Poziţia relatiă a două drepte. Fie dreptele d şi d cu ectorii directori = l i + m j n k şi + respecti = l i + m j n k. Considerăm punctele M (x, y, z ) d, + M (x, y, z ) d. Aem următoarele cazuri: 89

17 Geometrie liniară în spaţiu Cazul I. Dacă ectorii liberi, şi M sunt necoplanari, adică < M M, >, atunci dreptele d şi d sunt necoplanare (drepte oarecare în spaţiu). În acest caz există o direcţie normală unică, comună cele două drepte, dată de = şi, deci, o unică dreaptă care se sprijină pe cele două drepte şi are direcţia (Fig. 7), numită perpendiculara comună a dreptelor d şi d. Perpendiculara comună d este dată de intersecţia planelor π şi π, unde π este planul determinat de punctul M şi ectorii necoliniari şi iar π este planul determinat de punctul M şi ectorii necoliniari şi. Dacă x x y y z z d : l m n = l m n M li + mj + nk =, atunci x x, l m n = l y y m z z Cazul II. Dacă ectorii, şi M M sunt coplanari, adică < M n. M, > =, atunci dreptele d şi d sunt coplanare. Dacă în plus ectorii, sunt necoliniari, atunci dreptele d şi d sunt concurente, în caz contrar ele sunt paralele sau confundate. M d M Fig. 7 d d 6.5. Distanţe în plan şi în spaţiu Distanţa de la un punct la o dreaptă Fie d E 3 o dreaptă ce trece prin punctul M (x, y, z ) E 3 şi are ectorul director li + mj + nk = şi fie A(x, y, z) E 3 un punct care nu aparţine dreptei d. Se ştie că distanţa dintre punctul A şi dreapta d este de 9

18 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială fapt distanţa dintre punctul A şi proiecţia ortogonală A` a acestuia pe dreaptă (Fig. 8). Dacă notăm cu δ (A, d) distanţa de la punctul A la dreapta d, obserăm că determinat de ectorii aria paralelogramului M Aşi este δ (A, d). Pe de altă parte, interpretarea geometrică a normei produsului M A (ezi Obseraţia.5.. ) ne conduce la formula δ (A, d) = M A M A A. De aici obţinem Fig. 8 d (6.5.) δ (A, d) = M A. Dacă punctul A aparţine dreptei d, atunci este eident că δ (A, d) = Distanţa de la un punct la un plan Distanţa de la un punct M la un plan P : Ax + By + Cz + D = este dată M (x,y,z ) n de distanţa dintre punctul M (x, y, z ) şi r punctul M (x, y, z ), proiecţia ortogonală a acestuia pe planul P. P r M ' (x, y, z ) Obserăm că ectorul M ` M şi normala n = Ai + B j + C k la planul P sunt O Fig. 9 ` coliniari. Prin definiţie < M M, n > = n ` M M cos(). Pe de altă parte, M M ` = rr r - = ` (x x )i + (y y ) j + (z z ) k şi < M M, n > = 9

19 Geometrie liniară în spaţiu (x - x )A + (y - y )B + (z - z )C = x A + y B + z C + D. Deci x A + y B + z C + D = n ` M M. Deoarece n = A + B + C, obţinem (6.5.) δ(m,p) = ` M M = Ax + By A + B + Cz + C + D Distanţa dintre două drepte oarecare în spaţiu Fie d şi d două drepte din spaţiu ai căror ectori directori sunt + = l i + m j n kşi = l i + m j n k. Dacă d este perpendiculara comună a celor două drepte, fie P şi P punctele de contact ale acesteia cu d şi d. Fie M i (x i, y i, z i ) d i, i =,. Construim paralelipipedul + P P d δ(p,p ) M determinat de ectorii M M, şi şi obserăm că distanţa δ (d, d ) dintre dreptele d şi d este dată de δ (P, P ), distanţa dintre P şi P şi este egală cu înălţimea paralelipipedului astfel construit. Aând în edere interpretarea geometrică a produsului mixt < M M, >, putem exprima în două feluri olumul paralelipipedului şi obţinem M Fig. 3 h d d (6.5.3) δ (d, d ) = δ (P, P ) = < MM, >. 9

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ Liliana Brǎescu Eva Kaslik Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ CURS DE GEOMETRIE Timişoara 2007

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

Cuprins. I Geometrie Analitică 9

Cuprins. I Geometrie Analitică 9 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului POSDRU/56/1.2/S/32768, Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predareînvăţare-evaluare

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1 CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi-seminar 1

Vectori liberi-seminar 1 Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE. Valeriu Zevedei, Ionela Oancea

ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE. Valeriu Zevedei, Ionela Oancea ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Valeriu Zevedei, Ionela Oancea April 9, 005 CUPRINS 1 CALCUL VECTORIAL 7 1.1 Vectori legaţi,vectori liberi... 7 1. Operaţiilinearecuvectori... 9 1..1

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu A. U. Thor 0.1 Generalităţi Definitia 1.1 Se numeşte curbă înspaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiuacăror coordonate sunt date de x

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE

4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE 4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE 4.1. GENERALITĂŢI În general corpurile geometrice sunt în poziţii oarecare faţă de planele de proiecţie. Prin metodele geometriei descriptive proiecţiile acestor corpuri

Διαβάστε περισσότερα

4.Inversul lui z=a+bi este nr.complex, z cu proprietatea ca zz =1, rezulta z =a/(a 2 +b 2 ) (bi)/(a 2 +b 2 ) si notam z =z -1

4.Inversul lui z=a+bi este nr.complex, z cu proprietatea ca zz =1, rezulta z =a/(a 2 +b 2 ) (bi)/(a 2 +b 2 ) si notam z =z -1 Numere complexe 1.Multimea numerelor complexe este C=RxR={(a;b)/a,b R} cu operatiile: z 1 =(a 1 ;b 1 ), z 2 =(a 2 ;b 2 ) a 1 ;b 1 ;a 2 ;b 2 R, z 1 +z 2 = (a 1 +a 2 ; b 1 +b 2 ), z 1 z 2 = (a 1 a 2 - b

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

Polarizarea tranzistoarelor bipolare

Polarizarea tranzistoarelor bipolare Polarizarea tranzistoarelor bipolare 1. ntroducere Tranzistorul bipolar poate funcţiona în 4 regiuni diferite şi anume regiunea activă normala RAN, regiunea activă inversă, regiunea de blocare şi regiunea

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI GEOMETRICE ALE FIGURILOR DIN PLAN ŞI SPAŢIU

CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI GEOMETRICE ALE FIGURILOR DIN PLAN ŞI SPAŢIU CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI GEOMETRICE ALE FIGURILOR DIN PLAN ŞI SPAŢIU In urma parcurgerii acestui capitol: veţi obţine informaţii generale despre transformări geometrice şi despre predarea lor, veţi reactualiza

Διαβάστε περισσότερα

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii Felix Klein (1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de grup pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului. In discursul inaugural de

Διαβάστε περισσότερα

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3 6.CONUL ŞI CILINDRUL 6.1.GENERALITĂŢI Conul este corpul geometric mărginit de o suprafaţă conică şi un plan; suprafaţa conică este generată prin rotaţia unei drepte mobile, numită generatoare, concurentă

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE. Culegeredeprobleme. Emil STOICA şi Mircea NEAGU

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE. Culegeredeprobleme. Emil STOICA şi Mircea NEAGU ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Culegeredeprobleme Emil STOICA şi Mircea NEAGU Cuprins 1 Spaţii vectoriale. Spaţii euclidiene 1 1.1 Elementeteoreticefundamentale................ 1

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A = Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC .Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

O adaptare didactica a unui sistem axiomatic

O adaptare didactica a unui sistem axiomatic O adaptare didactica a unui sistem axiomatic Oana Constantinescu In acest document dorim sa prezentam o adaptare a unui sistem axiomatic semiformalizat pentru geometria in plan si in spatiu. Spunem adaptare

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este.

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este. Copyright c 007 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului atematician 1 inisterul Educatiei si Tineretului Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 14 iunie 007 Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a)

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a) Universitatea "Dunărea de Jos" din Galaţi MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA 01 DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a Testele sunt recomandate pentru următoarele domenii de licenţă şi facultăţi:

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 1. Noțiuni Generale. 1.1 Definiții

Capitolul 1. Noțiuni Generale. 1.1 Definiții Capitolul 1 Noțiuni Generale 1.1 Definiții Forța este acțiunea asupra unui corp care produce accelerația acestuia cu condiția ca asupra corpului să nu acționeze şi alte forțe de sens contrar primeia. Forța

Διαβάστε περισσότερα

Geometria curbelor şi suprafeţelor 27 Mai 2014

Geometria curbelor şi suprafeţelor 27 Mai 2014 Geometria curbelor şi suprafeţelor 7 Mai 04 Mircea Crâşmăreanu ii Cuprins Introducere v Noţiunea de curbă. Geometria unei curbe Reperul Frenet şi curburi 9 3 Teorema fundamentală a curbelor 7 4 Ecuaţiile

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA

MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA CÂMPURILOR Cuprins 15 MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 5 15.1 Câmpuri scalare. Curbe şi suprafeţe de nivel............................. 5 15.2 Derivata după o direcţie şi

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n 1 Preliminarii Fie M, A mulţimi nevide şi n N. Se muneşte operaţie n ară (sau lege de compoziţie n-ară) definită pe M orice aplicaţie τ : M n M (M n = } M {{... M } ). In cazul n = 2, obţinem operaţiile

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

29 Iunie Aplicaţii ale numerelor complexe în Geometrie. Absolvent: Haliţă Diana-Florina. Coordonator ştiinţific: Prof. Dr.

29 Iunie Aplicaţii ale numerelor complexe în Geometrie. Absolvent: Haliţă Diana-Florina. Coordonator ştiinţific: Prof. Dr. I UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Specializarea Matematică-Informatică, linia de studiu română 29 Iunie I 1 2 3 I 4 5 MATEM 6 MATEM 7 Bibliografie I Motivaţia:

Διαβάστε περισσότερα

Grupul ortogonal. Mircea Crasmareanu. Facultatea de Matematică Universitatea Al. I. Cuza Iaşi,

Grupul ortogonal. Mircea Crasmareanu. Facultatea de Matematică Universitatea Al. I. Cuza Iaşi, Grupul ortogonal Mircea Crasmareanu Facultatea de Matematică Universitatea Al. I. Cuza Iaşi, 700506 România mcrasm@uaic.ro http://www.math.uaic.ro/ mcrasm Curs de Perfecţionare 2007 9 Figuri Abstract However

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

Circuite electrice in regim permanent

Circuite electrice in regim permanent Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este

Διαβάστε περισσότερα

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE 1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ 2 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 5 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

Reflexia şi refracţia luminii.

Reflexia şi refracţia luminii. Reflexia şi refracţia luminii. 1. Cu cat se deplaseaza o raza care cade sub unghiul i =30 pe o placa plan-paralela de grosime e = 8,0 mm si indicele de refractie n = 1,50, pe care o traverseaza? Caz particular

Διαβάστε περισσότερα

Liviu BERETEU FUNDAMENTE DE INGINERIE MECANICA

Liviu BERETEU FUNDAMENTE DE INGINERIE MECANICA Liviu BERETEU FUNDAMENTE DE INGINERIE MECANICA 200 .Momentul unei forţe în raport cu un punct şi în raport cu o axă. Cuplu de forţe Momentul unei forţe F în raport cu un punct O se defineşte ca fiind produsul

Διαβάστε περισσότερα

Fişier template preliminar

Fişier template preliminar logo.png Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Fişier template preliminar Universitatea Tehnica din Iaşi (front-hyperlinks-colors * 29 iulie 212) UTC.png UTI.png Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi

Διαβάστε περισσότερα

TOPOGRAFIE - CARTOGRAFIE LP. 5. Elemente de cartometrie

TOPOGRAFIE - CARTOGRAFIE LP. 5. Elemente de cartometrie TOPOGRAFIE - CARTOGRAFIE LP. 5 Elemente de cartometrie Cartometria este acea parte a cartografiei care se ocupă cu procedeele şi instrumentele necesare aprecierii cantitative a diferitelor obiecte sau

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 61 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum cu

Διαβάστε περισσότερα

A1. Valori standardizate de rezistenţe

A1. Valori standardizate de rezistenţe 30 Anexa A. Valori standardizate de rezistenţe Intr-o decadă (valori de la la 0) numărul de valori standardizate de rezistenţe depinde de clasa de toleranţă din care fac parte rezistoarele. Prin adăugarea

Διαβάστε περισσότερα

Calculul valorilor şi vectorilor proprii

Calculul valorilor şi vectorilor proprii Capitolul 4 Calculul valorilor şi vectorilor proprii Valorile şi vectorii proprii joacă un rol fundamental în descrierea matematică a unor categorii foarte largi de procese tehnice, economice, biologice

Διαβάστε περισσότερα

COMPUNEREA OSCILAŢIILOR ARMONICE PERPENDICULARE

COMPUNEREA OSCILAŢIILOR ARMONICE PERPENDICULARE UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICĂ BN - 1 B COMPUNEREA OSCILAŢIILOR ARMONICE PERPENDICULARE 004-005 COMPUNEREA OSCILAŢIILOR ARMONICE PERPENDICULARE

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu

Διαβάστε περισσότερα