ELEMENTE DE REZISTENTA MATERIALELOR

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ELEMENTE DE REZISTENTA MATERIALELOR"

Transcript

1 ELEMENTE DE REZISTENTA MATERIALELOR Mecanica clasică, cunoscută şi ca mecanica newtoniană, este fizica forţelor ce acţionează asupra corpurilor. Este adesea numită şi mecanica newtoniană după Isaac Newton şi legile mişcării elaborate de el. Mecanica clasică este subdivizată în statică, care studiază obiectele în echilibru, dinamică, care studiază forţele ce acţionează asupra obiectelor în mişcare şi cinematică, care studiază mişcarea corpurilor, dar fără a pune accent pe cauzele care produc aceste mişcări. Rezistenţa materialelor este una din disciplinele de bază în pregătirea inginerului pentru ca ea răspunde unor probleme concrete, de mare importanţă practică, privind siguranţa în exploatare a elementelor componente ale maşinilor şi instalaţiilor. Problemele rezistenţei materialelor pot fi grupate în 2 mari categorii: - probleme de dimensionare (constau în stabilirea dimensiunilor minime şi materialelor din care urmează a fi realizate diferite piese astfel încât sub acţiunea forţelor să se asigure rezistenţa, rigiditatea şi stabilirea construcţiei din care fac parte.) - probleme de verificare (constau în a determina dacă o piesă dintr-un anumit material cu dimensiunile cunoscute respectă sau nu, sub acţiunea forţelor, condiţiile de rezistenţă, stabilitate şi rigiditate.) A NOTIUNI RECPITULATIVE I. ACŢIUNI ŞI ÎNCĂRCĂRI Acţiunile oamenilor şi naturii se manifestă asupra construcţiilor prin încărcări. Încărcările se concretizează pentru elementele construcţiei în solicitări care produc eforturi, care la rândul lor se pot descompune în eforturi unitare. Condiţia pentru ca o construcţie să rămână întreagă este ca eforturile unitare, rezultate ca urmare a acţiunilor, să fie mai mici decât eforturile unitare capabile. Această abordare este simplistă, dar poate fi considerată sugestivă şi aproape adevărată. I.1. Acţiuni Se numeşte acţiune orice cauză capabilă de a genera într-o construcţie stări de solicitare mecanică (eforturi şi / sau deplasări). Acţiunile sunt reprezentate în calcule prin încărcări în cadrul cărora sunt definite sisteme de forte, deplasări impuse şi deformaţii împiedicate. Acţiunile sunt reprezentate în calcule prin încărcări. I.1.1. Durata de manifestare a încărcării / acţiunii; - încărcări permanente; - încărcări temporare: de lungă durată (cvasi-permanente); de scurtă durată (variabile); zăpada, vântul, variaţiile de temperatură climatică - încărcări excepţionale; acţiunea seismică cu intensitatea de proiectare (cutremurul "de calcul"); I.1.2. Distribuţia în spaţiu a încărcării / acţiunii; - încărcări concentrate; - încărcări distribuite. I.1.3. După modul de variaţie pe intervale scurte de timp:

2 - încărcări / acţiuni statice: care nu produc acceleraţii semnificative ale construcţiei sau ale părţilor componente; eforturile şi deformaţiile corespunzătoare au variaţii neglijabile, pe intervale scurte de timp; - încărcări / acţiuni dinamice: care produc acceleraţii semnificative ale construcţiei sau ale parţilor componente şi dau naştere la forţe de inerţie care nu pot fi neglijate în raport cu intensităţile altor tipuri de încărcări. I.1.4. Modul de aplicare pe construcţie; - acţiunile directe - se aplică direct asupra construcţiei - acţiunile indirecte - se aplică indirect asupra construcţiei - variaţii climatice de temperatură, diurne sau sezoniere; - tasări diferenţiate ale terenului de fundare; - mişcări seismice ale terenului, etc ; - proprietăţile specifice ale materialelor din care este realizată construcţia (proprietăţi reologice, cum sunt contracţia şi curgerea lentă, pentru structurile din beton armat sau din beton precomprimat). I.2. Încărcări Acţiunile luate în considerare în calculul construcţiilor, în conformitate cu STAS 10101/0-75, se clasifică după criteriul frecvenţei cu care intervin la anumite intensităţi, în: acţiuni permanente; acţiuni cvasi-permanente; acţiuni temporare; acţiuni excepţionale. Acţiuni permanente (P). Acţiunile permanente se aplică practic cu aceeaşi intensitate pe toată durata exploatării construcţiei. In cadrul acţiunilor permanente intervin: greutatea proprie a elementului care se dimensionează; greutatea tuturor elementelor susţinute de elementul în cauză. STAS 10101/1-75 Acţiuni temporare (T). Acţiunile temporare variază ca intensitate în timp şi în anumite intervale pot chiar să lipsească. După durata de solicitare, acţiunile temporare se împart în: 1)Acţiuni temporare de lungă durată, numite şi cvasipermanente (C), ca de exemplu: - greutatea utilajului specific exploatării (maşini-unelte, rezervoare, maşini de ridicat fixe etc.) ; - greutatea conţinutului în rezervoare, silozuri, conducte şi presiunile pe pereţii acestor construcţii ; - încărcările pe planşee în încăperile de depozitare, arhive etc.; - greutatea depunerilor de praf industrial; - variaţiile de temperatură tehnologică; - tasările neuniforme şi deplasările fundaţiilor. 2)Acţiuni temporare de scurtă durată (V), ca de exemplu: - încărcări distribuite sau concentrate din încărcare cu oameni pe acoperiş, planşee, scări etc.; - încărcări din convoaie de forţe (poduri de cale ferată, poduri de şosea) ; - încărcări datorită mijloacelor de ridicare şi transport cum sunt podurile rulante, grinzile rulante etc; - încărcările normate aduse de poduri; - încărcări din zăpadă şi eventual chiciură; - încărcări din vânt; - încărcări din variaţii de temperatură;

3 - încărcări care pot să apară în timpul montajului şi transportului. Acţiuni excepţionale (E). Acţiunile excepţionale pot apărea în timpul execuţiei sau exploatării construcţiei în cazuri foarte rare la valorile normate. În această categorie sunt cuprinse: - încărcarea seismică; - încărcări cu caracter de şoc; - încărcări datorită ruperii unor elemente ale construcţiei; - încărcări datorită unor inundaţii catastrofale. Valoarea normată a acestor acţiuni este precizată prin normative speciale. I.3. Gruparea acţiunilor Elementele şi structurile construcţiilor sunt de regulă solicitate în acelaşi timp de mai multe categorii de acţiuni. Calculele în stadiile limită trebuie să ia în considerare atât probabilitatea variabilităţii valorilor normate ale diferitelor acţiuni cât şi combinaţiile defavorabile şi practic posibile ale diferitelor acţiuni. De variabilitatea valorilor normate ale încărcărilor se ţine seama prin coeficienţii acţiunilor. Starea de eforturi si de deformaţii a unei construcţii este rezultatul suprapunerii mai multor tipuri de acţiuni, aceste acţiuni se grupează in funcţie de posibilitatea lor de apariţie simultan în două tipuri de grupări de încărcări. In cadrul unei grupări fiecare acţiune suferă corecţii. - Gruparea fundamentală. Aceasta grupare este formată din încărcări permanente, cvasi - permanente si variabile. - Gruparea specială. Aceasta grupare este formată din încărcări permanente, cvasipermanente, variabile si excepţionale. II. Definiţii Pentru a defini o secţiune, complet, cunoaşterea ariei şi a centrului de greutate nu sunt suficiente. Determinarea eforturilor, tensiunilor şi deformaţiilor impune cunoaşterea exactă a poziţiei fiecărui element de suprafaţă faţă de axele pe care se manifestă eforturile secţionale. II.1. Aria suprafeţei. A A= da (m 2 ) II.2. Poziţia centrului de greutate

4 S Y G = z A i yi (m) Y G = A A S y A i zi Z G = (m) Z G = A II.3. Moment static II Moment static faţă de o dreaptă Δ S Δ = da (m 3 ) II Moment static faţă axele OY şi Oz S z = (m II.4. Moment de inerţie A A yda 3 ) S y = zda (m 3 ) II.4.1. Moment inerţie axial 2 4 ) da I Δ = (m I z = y 2 da (m 4 ) I y = z 2 da (m 4 ) II.4.2. Moment inerţie polar r 2 da (y 2 ) da i A I 0 = I p = = = Iy + I z (m 4 ) II.4.3. Moment inerţie centrifugal I yz = yzda (m 4 ) II.5. Rază de giraţie i z = A I z (m) z 2 i i y = A I y (m) II.6. Modul de rezistenţă axial I W z = y I W Y = z z max y max (m 3 ) (m 3 )

5 II.7. Modul de rezistenţă polar I p W p = r max (m 3 ) II.8. Variaţia momentelor de inerţie în raport cu translaţia axelor Dacă avem o secţiune "S" şi un sistem de axe YOX faţă de care cunoaştem momentele de inerţie, atunci putem afla momentele de inerţie ale secţiunii "S" şi faţă de un alt sistem dacă se cunoaşte distanţa pe "x" şi pe "y" între cele două sisteme. Z 1 = Z - a Y 1 = Y - b A 2 I Z1 = y1 da = ( y b) 2 da = y 2 da - 2b da +b Analog I Y1 =I Y 2aS Y + a 2 A A A I Z1 =I Z 2bS Z + b 2 A A I z1y1 =I YZ as z - bs Y + aba y 2 Dacă primul sistem de axe trece prin centrul de greutate al secţiunii, momentul static în raport cu centrul de greutate este nul şi relaţiile devin: Cazuri particulare Secţiune dreptunghiulară I Z1 =I Z + b 2 A I Y1 =I Y + a 2 A I z1y1 =I YZ + aba A da

6 Secţiune circulară Secţiune inelară I z = y 2 h / 2 da = 2 h / 2 y bdy = 2 = h / 2 y 2 bh 3 bdy 0 12 I z = bh 3 12 I z = I z = d (D d I z = I z = 64 II.9 Variaţia momentelor de inerţie în raport rotirea axelor Dacă avem o secţiune "S" şi un sistem de axe YOX faţă de care cunoaştem momentele de inerţie, atunci putem afla momentele de inerţie ale secţiunii "S" şi faţă de un alt sistem dacă se cunoaşte unghiul de rotire între cele două sisteme. I z I y I z I y I Z1 = + cos2α - I yz sin2 α 2 2 I z I y I z I y I y1 = - cos2 α + I yz sin2 α 2 2 I z I y I yz = sin2 α + I yz cos2 α 2 4 )

7 II.10. Momente de inerţie principale 2I zy tg2α = - Iz Iy I z I y I 1,2 = ± ( I z I y ) 4I 2 2 I1 I 2 I z1y1 = 2 II.11. Caracteristicile geometrice ale secţiunilor plane compuse În cazul secţiunilor plane compuse, pentru determinarea caracteristicilor geometrice, se procedează astfel: 1) Se descompune figura (secţiunea) dată în figuri simple. 2) Se alege un sistem de axe convenabil. 3) În raport cu acest sistem se determină coordonatele z GI, y GI, ale centrelor de greutate G, ale figurilor simple componente. 4) Se calculează coordonatele z G şi y G ale centrului de greutate G al figurii cu formulele: A i yi Y G = Ai A i zi Z G = Ai 5) Se figurează sistemul central de axe y G ;z G 6) Se calculează momentele de inerţie ale secţiunii compuse ca fiind sume algebrice ale momentului de inerţie ale figurilor componente. 7) Se calculează modulurile de rezistenţă ale figurii compuse folosind relaţiile de definiţie: I I z y W z = W Y = ymax zmax 8) Se calculează razele de inerţie cu relaţiile din definiţie. i z = A I z (m) i y = A I y (m) 9) Caracteristicile geometrice ale secţiunii compuse date în raport cu orice alt sistem de axe translatat faţă de sistemul central de axe se calculează aplicând formulele lui Steiner relativ la întreaga figură. xy

8 LEGEA LUI HOOKE σ = ε E Figura V.1 Curba caracteristică Tensiunea sau efortul unitar este egal cu modulul de elasticitate longitudinal înmulţit cu alungirea relativă. Legea lui Hooke funcţionează numai în zona de proporţionalitate, zona îngroşată a curbei caracteristice F S l E l 0 τ = θ G σ - eforturile unitare normale (N/mm 2, N/m 2 ; dan/cm 2 ) τ - eforturile unitare tangenţiale ε - deformaţia specifică longitudinală θ - deformaţia specifică unghiulară (tangenţială) E - modulul de elasticitate longitudinal (modulul lui Young) şi reprezintă tangenta unghiului curbei caracteristice cu abscisa. E este constantă de material. E = tg α E Material (dan/cm 2 G (dan/cm 2 α ) μ ) (grad -1 ) Oţel tenace (2,00-2,15)10 6 (7,8-8,5)10 5 0,24-0, Oţel casant (2,00-2,2)10 6 8, ,25-0,29 11, duraluminiu (0,70-0,23)10 6 4, ,23-0,29 23, Beton simplu (0,15-0,49)10 5 0,16-0,18 (8,8-10) 10-6 Beton armat (0,18-0,43) Lemn (9-14)10 4 (4,5-6,5)10 3 (4-6) 10-6 Lemn (0,4-1,0)10 4 (4,5-6,5) Sticlă (50-60)10 4 (21-23)10 3 0,24-0,27 (1-8) 10-6 Cauciuc 0, (7-21)10 3 0,47 Gheaţă 0, , Pentru a demonstra legea lui Hooke se compară alungirea unor bare cu aceeaşi secţiune, lungimi diferite şi supuse aceleiaşi forţe de întindere. Se observă că bara mai lungă va prezenta o alungire mai mare, deci alungirea variază direct proporţional cu lungimea iniţială.

9 FORMULA LUI NAVIER Vom studia o grindă deformată la încovoiere. În tot acest studiu vom admite următoarele ipoteze: - Secţiunile plane înainte de încovoiere rămân plane şi după încovoiere - Fibrele longitudinale sunt numai întinse sau numai comprimate şi nu apasă una asupra alteia în sens lateral - La încovoiere relaţiile dintre tensiuni şi deformaţii sunt aceleaşi ca la solicitările de întindere sau de compresiune simplă. Considerăm, din piesa încovoiată, două secţiuni situate la distanţa l. σ = M z y I Formula lui Juravski τ xy = T z S bi z unde: T z S forţa tăietoare pe OZ momentul static al suprafeţei care tinde să alunece, calculat în raport cu axa OZ. III. EFORTURI SECŢIONALE ŞI TENSIUNI Deoarece eforturile dintr-o secţiune echilibrează forţele exterioare din stânga sau din dreapta secţiunii ele pot fi calculate utilizând această condiţie de echilibru şi anume: Forţa axială N este egală cu suma proiecţiilor pe normala la secţiune a tuturor forţelor situate la stânga sau la dreapta secţiunii; Forţa tăietoare T este egală cu suma proiecţiilor pe planul secţiunii a tuturor forţelor situate la stânga sau la dreapta secţiunii; Momentul încovoietor M î, este egal cu suma momentelor proiectate pe planul secţiunii a tuturor forţelor situate la stânga sau la dreapta secţiunii; Momentul de torsiune M t, este egal cu suma momentelor în raport cu normala la secţiune a tuturor forţelor situate la stânga sau la dreapta secţiunii. O bară este supusă unei solicitări simple, atunci când în secţiunile sale transversale apare numai un singur tip de efort secţional. Dacă în secţiunea barei apar două sau mai multe eforturi se spune că bara este supusă la solicitări complexe. Efortul secţional Forţa axială N Forţa tăietoare T Momentul încovoietor M î Momentul de torsiune M t Solicitarea Întindere (+N) sau compresiune (-N) Forfecare Încovoiere Torsiune (răsucire) z

10 Figura III.1 Descompunerea efortului secţional total Prin tensiune (sau efort unitar) se înţelege intensitatea forţelor interioare pe unitatea de suprafaţă. Tensiunile au semnificaţie de forţe uniform distribuite pe unitatea de suprafaţă, motiv pentru care au ca unitate de măsură N/m 2 cu multiplii şi submultiplii săi. Vectorul tensiune t se poate descompune în două componente: - o tensiune normală σ, vector normal pe planul secţiunii; - o tensiune tangenţială τ, vector situat în planul secţiunii. Tensiunea se află in planul secţiunii adică in planul yoz. Acest efort unitar tangenţial se poate descompune după paralele la axele Oz si Oy. Astfel rezultă xy si xz. xy efort unitar tangenţial x ne arată normala la planul în care se află efortul; y ne arată că efortul este paralel cu axa Oy. Figura III.2 Descompunerea efortului unitar total Dacă avem o secţiune oarecare A, solicitată de o forţă oarecare R, se pot scrie următoarele relaţii între eforturile secţionale şi eforturile unitare. N x = σ x da T y = τ xy da T z = τ xz da M x = (τ xy z -τ xz y)da M y = σ x z da M z = σ x y da forţă axială forţă tăietoare forţă tăietoare moment de torsiune moment de încovoiere moment de încovoiere

11 Figura III.3 Relaţia efortului secţional - efort unitar Unde: A este aria secţiunii transversale. Regăsim astfel semnificaţia eforturilor secţionale ca rezultante ale tensiunilor interne apărute în corp ca urmare a solicitărilor exterioare. Legea dualităţii tensiunilor tangenţiale ne arată că pe două planuri perpendiculare tensiunile tangenţiale sunt egale între ele xy = yx şi sunt fie convergente fie divergente pe linia de separare a planurilor respective.

12 B) CONSTRUCŢII METALICE 1) FORMA ÎN PLAN ŞI ÎN ELEVAŢIE Forma în plan a construcţiilor metalice poate fi: dreptunghi, pătrat, poligon regulat, cerc, diverse forme. 1) Forma în plan şi în elevaţie a) suprafeţe utile - dimensiuni impuse - forma impusă - forma optimă b) înălţime utilă - înălţime impusă - înălţime optimă c) relaţii între funcţiuni d) accese în construcţie e) circuaţii pe v şi o 2) Constrângeri impuse de teren a) forma şi dimensiunea terenului b) vecinătăţi c) accese la amplasament 3) Exigenţe constructive a) direcţia principală a vântului b) evacuarea apelor pluviale - interioară sau exterioară - transversală sau longitudinală c) iluminatul natural - lateral - zenital 2) POZIŢIA PUNCTELOR DE REZEMARE Deschidere distanţa între axele a doua şiruri de reazeme Traverse distanţa între axele a doua reazeme dintr-un şir 1) Mărimea deschiderilor - < 50m structuri obişnuite - > 50m structuri speciale De obicei se modelează ca multiplu de 1,50m. 2) tipuri de elemente srtructurale verticale - stâlpi - pile - diafragme

13 - tuburi 3) SCHEMA STATICĂ A STRUCTURILOR 1) Elemente liniare - rezemări pe două laturi elemente principale transversale elemente principale longitudinale elemente principale transversale şi longitudinale - rezemări pe patru laturi Reţele de elemente transversale şi longitudinale 2) Subansambluri spaţiale 3) Ansambluri spaţiale 4) MATERIALE FOLOSITE a. Beton armat b. Beton precompimat c. Metal d. Lemn e. Alte materiale Pot fi realizate unitar dint-un singur matrial sau mixt, din două sau mai multe materiale 5) ACŢIUNI 1) Greutate proprie 2) Sarcini utile 3) Climatice - vânt - zăpadă 4) Seism 6) ROSTURI Distanţa între rosturi de dilatare - la constr. metalice m - la constr. b.a m La construcţiile realizate ca ansamblu structural nu se fac rosturi 7) FUNCŢIUNI Industriale HALĂ Comercială SALĂ sau DEPOZIT Sport SALĂ Cultural SALĂ

14 Cap C. ELEMENTE METALICE SUPUSE LA SOLICITĂRI SIMPLE I.1. Întinderea Întindere este solicitarea mecanica rezultata din acţiunea simultana asupra unui corp a doua forţe egale, divergente pe aceeaşi direcţie. II.1.1. Tipuri de secţiune a elementelor metalice supuse la întindere Secţiuni Secţiuni unitare (fig II.1.a..g) Secţiuni compuse alipite (fig II.1.g,h) puţin depărtate (fig II.1.i..l) mult depărtate (fig II.1.m,n,o) figura II.1. II.1.2. Solidarizarea elementelor metalice supuse la întindere Tabelul II.1. Tip secţiune Tip de solidarizare Secţiuni compuse alipite Secţiuni compuse puţin depărtate Secţiuni compuse mult depărtate Cu sudură Cu nituri sau şuruburi Cu plăcuţe sudate Cu fururi nituite Cu plăcuţe sudate nituite Cu zăbreluţe sudate nituite

15 figura II.2. II.1.3. Dimensionarea elementelor metalice supuse la întindere Etapele dimensionării unui element metalic supus la întindere sunt: a) alegerea tipului de secţiune Se face în funcţie de mărimea solicitării, destinaţia elementului, modul de executarea. b) determinarea ariei brute necesare N A nec = R Unde: N efortul axial maxim de calcul, obţinui prin însumarea efectelor încăercărilor normate multiplicate fiecare cu coeficienţi încărcărilor respective şi cu coeficienţi de simultaneitate R rezistenţa de calcul a oţelului din care este realizat elementul α coeficient de slăbire a secţiunii α = 1 pentru construcţii sudate α = 0,88---0,9 pentru construcţii nituite sau bulonate c) propunerea unei secţiuni A ef A nec d) verificarea capacităţii portante de exploatare N σ = R A n

16 e) verificarea svelteţii barei l λ max = f λa i Tabelul II.2. λmax Valoarea admisibilă la construcţii Elemente de construcţii întinse Solicitate direct de încărcări dinamice cu regim de lucru uşor şi mediu Solicitate de încărcări statice cu regim de lucru uşor şi mediu Solicitate direct de încărcări cu regim de lucru greu şi foarte greu Talpa si diagonalele de reazem ale grinzilor cu zăbrele Celelalte elemente ale grinzilor cu Talpa inferioară a grinzilor căilor 150 _ 150 de rulare cu secţiune plină sau cu zăbrele Elementele contravântuirilor verticale între stâlpi si sub, căile de rulare Alte elemente de construcţii f) verificarea condiţiilor constructive g) stabilirea modului de solidarizare a elementelor secţiunii (dacă este cazul)

17 II.2. Compresiunea Compresiunea este solicitarea mecanica rezultata din acţiunea simultana asupra unui corp a doua forţe egale, convergente pe aceeaşi direcţie. II.2.1. Tipuri de secţiune a elementelor metalice supuse la compresiune Secţiuni Secţiuni unitare (fig II.3.a..f) Secţiuni compuse alipite (fig II.3.g,h,i,o,p) puţin depărtate (fig II.3.k..n) mult depărtate (fig II.3.r..v) figura II.3. II.2.2. Elemente de calcul a elementelor metalice supuse la compresiune Etapele dimensionării unui element metalic supus la compresiune sunt: a) alegerea tipului de secţiune Se face în funcţie de mărimea solicitării, destinaţia şi importanţa elementului, lungimea de flambaj şi modul de executarea. b) aprecierea svelteţii barei λ x λ a λ x λ a Unde: λ a zvelteţea admisibilă, conform tabelului II.3. λ x,λ y zvelteţea pe axele x-x respectiv y-y l f l x f x λ x = ; λ x = i i x x

18 1 Elemente de construcţii comprimate La grinzi cu zăbrele:tălpi, diagonale de reazem şi montanţi de reazem care transmit reacţiuni pe reazeme Tabelul II.3. λ max Valoare maximă admisibi 120 celelalte elemente stâlpi principali 120 stâlpi secundari (stâlpii pereţilor metalici, ai luminatoarelor etc), 150 zăbreluţele stâlpilor, legături şi contravântuirile între stâlpi (sub grinzile căilor de rulare) 3 contravântuiri (exclusiv cele arătate Ia nr. crt. 2) bare care servesc la micşorarea lungimii de flamba] a barelor 250 comprimate şi alte elemente care nu fac parte din elementele solicitate direct 5 talpa superioară a fermei acoperişului care rămâne nelegată în timpul montajului (coeficientul de zvelteţe limită, după efectuarea montajului trebuie să fie cel indicat la nr. crt. 1) diagonalele construcţiilor spaţiale dintr-o singură cornieră: 180 diagonală solicitată sub 50% din capacitatea portantă diagonală solicitată 100% din capacitatea portantă 150 între 50 şi 100% se interpolează liniar _ l fx,l fy lungimea de flambaj după axele x-x respectiv y-y Lungimea de flambaj depinde de lungimea reala a barei şi de felul de rezemare al acesteia şi are pentru cele patru cazuri studiate. următoarele valori: cazul 1 l f = l: cazul 2 l f = 2l: cazul 3 l f = 0,7l; cazu 4 l f = 0,5l: 1 este lungimea reala a barei. i x,i y raza de giraţie faţă de axele x-x respectiv y-y I i x = x I y ; i y = ; A A I x,i y momentul de inerţie după axele x-x respectiv y-y

19 figura II.4. c) determinarea coeficientului de flambaj În funcţie de coeficientului de svelteţe, de tipul secţiuni şi de materialul din care este realizată secţiunea se obţine φ coeficientului de flambaj. λ x φ x λ y φ y φ = min(φ x ;φ y ) Pentru elementele care îşi pot pierde stabilitatea prim răsucire-torsiune se determină şi coeficientul de zvelteţe la torsiune λ tr x,λ tr y λ tr x λ tr y φ tr x φ tr y d) verificarea capacităţii portante de exploatare N σ = R A n II.2.3. Verificarea elementelor metalice supuse la compresiune II Verificarea prin calcul a elementelor metalice, cu secţiune unitară, cu secţiune compusă prin alipire, cu secţiune compusă din elemente puţin depărtate supuse la compresiune - Elemente cunoscute: N, l fx, l fx, A, i x, i y - Verificarea condiţiilor de zvelteţe l l f x f y λ x = λ a ; λ y = λ a ix ix - Verificarea condiţiei de rezistenţă N σ = R A n - determinarea coeficientului de flambaj φ = min(φ x ;φ y )

20 - Verificarea condiţiei de stabilitate N σ = R A II Verificarea prin calcul a elementelor metalice, cu secţiune compusă din elemente mult depărtate, supuse la compresiune a) în raport cu axa x-x care întâlneşte materialul (fig. II.4.a) a b y 1 2 y 1 2 x x x x y c 1 y 1 figura II.5. - Elemente cunoscute: N, l fx, l fx, A, i x, i y, modul de solidarizare. - Verificarea condiţiilor de zvelteţe lf x λ x = λ a ix - Verificarea condiţiei de rezistenţă N σ = R A n - determinarea coeficientului de flambaj φ = φ x - Verificarea condiţiei de stabilitate N σ = R x A b) în raport cu axa y-y care nu întâlneşte materialul (fig. II.4.a şi b) - Elemente cunoscute: N, l fx, l fx, A, i x, i y, modul de solidarizare. - Verificarea condiţiilor de zvelteţe lf y λ y = λ a i y

21 - calculăm zvelteţe λ 1 solidarizare cu plăcuţe solidarizare cu zabreluţe l1 A λ 1 = 50 λ 1 = b 50 i1 Az l 1 - distanţa între axele plăcuţelor A b - aria secţiunii întregi bare i 1 - raza de giraţie a unui element faţă de A z - aria secţiunii zăbrelelor aşezate de o axa proprie paralelă cu axa ce nu taie parte şi alta a barei materialul β coeficient funcţie de unghiul zăbreluţei β = 2 sin cos 2 - calculăm zvelteţe λ tr secţiune cu o singură axa care nu secţiune cu două axe care nu taie materialul taie materialu λ ytr = λ a λ xtr = 2 y 2 1 λ a 2 x λ ytr = l λ 2 = i y λ a 50 - determinarea coeficientului de flambaj φ tr funcţie de λ ytr Verificarea condiţiei de stabilitate N σ = tr A R

22 II.2.4. Solidarizarea elementelor metalice supuse la compresiune II Tipuri de solidarizarea a elementelor metalice supuse la compresiune figura II.6. figura II.7. II Solidarizare cu plăcuţe Elemente cunoscute: A aria secţiunii întregii bare c distanţa între elementele de solidarizare marca oţelului - dimensiuni constructive 1 t p 6mm ; t p h p ; h p (0,5 0,8)c 50 - calculul forţei tăietoare convenţionale preluată de plăcuţe T c = ka k=20 OL37 22

23 - calculul solicitărilor din planul plăcuţelor T l M = c 1 T ; Q = c l 1 4 2c - verificarea condiţiilor de rezistenţă M Q σ = σa ; τ = 1,15 τ a W p A p k=25 OL44 k=30 OL52 - verificarea condiţiilor de stabilitate I p l1 c I1 c I p moment de inerţie al secţiuni plăcuţelor I 1 moment de inerţie al unui element al secţiuni faţă de axa 1-1 l 1 - distanţa între axele plăcuţelor - se calculează prinderea plăcuţelor II Solidarizare cu zăbreluţe Elemente cunoscute: A aria secţiunii întregii bare c distanţa între elementele de solidarizare marca oţelului - dimensiuni constructive 0 α (40 60) - - calcului forţei tăietoare convenţionale preluată de zăbreluţe T c = ka k=20 OL37 k=25 OL44 k=30 OL52 - calcului solicitărilor axiale din zăbreluţă T c D = 2cos - verificarea svelteţii zăbreluţelor lf λ = λ a imin - verificarea condiţiilor de stabilitate D σ a A z I p moment de inerţie al secţiuni plăcuţelor 23

24 I 1 moment de inerţie al unui element al secţiuni faţă de axa 1-1 l 1 - distanţa între axele plăcuţelor - se calculează prinderea zăbrelelor II.3. Încovoierea Încovoierea este solicitarea mecanica rezultata din acţiunea asupra unui corp, a unei forţe perpendicular pe axa unei bare sprijinita la ambele capete sau încastrată la un capăt. II.3.1. Tipuri de secţiune a elementelor metalice supuse la încovoiere Secţiuni Secţiuni unitare (fig II.8.a,b) Secţiuni compuse profile laminate (fig II.8.c,d) din tablă (fig II.8.e.f.g) din tablă şi profile laminate (fig II.8.h.k.l) figura II.8. II.3.2. Dimensionarea grinzilor din table sudate - elemente cunoscute: M momentul încovoietor marca oţelului - calcului modulului de rezistenţă necesară M x W x nec = a - propun grosimea inimii t i = 6,8,10,12,,20 mm. - calculul înălţimii optime a grinzii 24

25 h = 1,15 W t nec i - stabilirea valoarea h grindă, rotunjită cu: - pentru h < 1000 mm. la 50 mm. - pentru h 1000 mm. la 100 mm. figura II.9. - verificarea îndepliniri condiţiei de secţiune optimă h = t i - determinarea ariei necesare tălpilor W A t = b t = nec - 0,160 h t i h - propun grosimea tălpii t = (1,5..2,5)t i 12 mm t 30mm - determinarea lăţimii tălpilor b = t A t valoare care se rotunjeşte superior cu 5 mm - verificarea condiţiei 1 1 b = (... ) h 3 5 b 30 t II.3.3. Verificarea de rezistenţă M T S T σ = R ; τ = W t I Rf ; p i x p t i h i P σ l = R ; z = 2h s +50mm z t i 2* 2 σ echi = 3 1,1R 2* 2 * 2 σ echi = l l 3 1,25R figura II.10. = - pentru încovoiere pe 2 direcţii se face şi verificarea σ M M x + y 1,1R Wx W p - pentru grinzile cu tălpi egale τ t i h i R f Unde: M x, M y, T eforturile secţionale din încărcări de calcul I x, I y, momente de inerţie S moment static al secţiunii care lunecă în raport cu axa neutră P forţa concentrată care produce tensiunea locală σ l σ*,σ,τ eforturi unutare Z lăţimea zonei pe care se distribuie încărcarea P figura II

26 II.3.4. Verificarea de stabilitate generală figura II.12. Nu se verifică dacă - l 1 40i yt Ol37 - l 1 35i yt Ol 44, Ol 52 l 1 distanţa într legăturile transversale i yt raza de giraţie a tălpii comprimate în raport co axa y-y grinzile care nu satisfac relaţia anterioară se verifică cu: M x R pentru încovoiere pe o direcţie W p M M x y + 1,1 R pentru încovoiere pe două direcţie W p Wy M x, M y eforturile secţionale din încărcări de calcul W x, W y modul de rezistenţă φ ρ coeficient de flambaj stabilit funcţie de coeficientul de svelteţe transformat λ tr II.3.5. Verificarea de stabilitate locală - verificarea tălpii comprimate b ' k 1 t coeficient funcţie de marca de oţel - verificarea inimii hi ti R dacă această relaţie nu se verifică, atunci ( 2 2 ) ( ) 1 cr cr 26

27 II.4. Forfecarea Tăietoarea este solicitarea mecanica rezultata din acţiunea simultana asupra unui corp a doua forţe care se apropie una faţă de alta si care au ca drepte suport doua drept paralele foarte apropiate. II.5. Torsiunea Torsiunea este solicitarea mecanica rezultata din acţiunea asupra unui corp, a unui sistem de forţe exterioare ce se reduce la un moment al cărui vector este dirijat pe axul longitudinal al corpului. Efectul torsiunii este răsucirea elementului. Dacă se consideră două secţiuni transversale ale unui corp supus la torsiune, acestea au tendinţa de a se roti una faţă de alta, rămânând paralele între ele şi perpendiculare pe axa neutră (axa neutră se nu se deformează şi rămâne cu lungime constantă). Figura IV.16 Torsiunea Figura IV.17 Distribuţia eforturilor unitare tangenţiale rezultare din torsiune 27

28 Torsiunea barelor circulare Dacă considerăm o porţiune "dx" dintr-o bară, cu raza "r", solicitată la torsiune putem scrie: nn, tg γ γ = dx tg (dφ) dφ = γ dx = r dφ d γ = r = r θ dx nn, r unde: θ este răsucirea specifică (unghiul cu care se rotesc două secţiuni situate la o distanţă egală cu unitatea). γ este lunecarea specifică legea lui Hooke τ = G γ = G θ r [N/m 2 ] Din considerente de echilibru, momentul de torsiune Mt trebuie să fie egal cu suma momentelor tensiunilor tangenţiale τ în raport cu centrul secţiunii O : M t = rda A M t = G r 2 da = Gθ r 2 da = GθI A A r 2 da = I p momentul polar al secţiunii A p 28

29 G θ = M I p τ = G γ = G θ r τ = t valoarea maximă τ max = W p = R I p M tr I Pentru secţiunile circulare I p = W p = 4 m m 3 16 p M tr M = t Ip Wp - Verificarea: max = M t 2 adm [N/m ] Wp - Dimensionarea : M t momentul de rezistenţă polar W nec = m adm - Determinarea momentului de torsiune capabil : M t cap = W p τ adm - Determinarea răsucirii specifice : M t θ = [rad/m] G I p Produsul G Ip poartă numele de rigiditate la torsiune. 3 [Nm] 29

30 ÎMBINĂRI DEMONTABIL Prindere îmbinare prin care se realiyează fixarea unor piese se altele Înnădiri - îmbinări prin care se obţin piese cu lungime mai mare din piese cu lungime mai mică (înnădirea panelor continue, înnădirea grinzilor căilor de rulare etc.). Îmbinări de asamblare - îmbinări prin care se realizează o piesă din mai multe profile laminate Îmbinările, în funcţie de locul lor de execuţie, se clasifică în îmbinări de şantier şi îmbinări de uzină; asemenea îmbinări sunt impuse de lungimile maxime de transport, respectiv lungimile de livrare ale laminatelor. A)Alegerea diametrului tijei d 5t 0,2 d diametrul şurub t grosimea minimă a pachetului B)Verificarea la forfecare N ef n f d 4 2 af n f numărul secţiunilor de forfecare C)Verificarea la presiune pe gaură N d( t cg ) ag D)Verificarea la întindere 2 d N ci ai 4 30

31 Eclise- trebuie să îndeplinească următoarele condiţii A 2t eh e Ai t eh e W 2 Wi 6 Determinarea efortului în surubul cel mai solicitat H N H n T N T n n numărul de şuruburi max M ymax N M 2 2 (x y ) i i N max 2 2 rez (NT ) (N H N M ) Verificarea de rezistenţă N max rez min(n ef, N cg ) Cosiderăm că şurubul aflat la distanţa unitară se încarcă cu efortul N 1. rezultă că efortul ăntrun şurub aflat la distanţa r i ae încarcă cu N ni = N i r i Codiţia de echilibru n M N r N i 1 n r i M i 2 i i N i n r i 2 i N ni ri M n r i 2 i 31

32 Determinarea efortului în surubul cel mai solicitat H N H n N max M M y y max 2 i N max rez N H N max M Verificarea de rezistenţă N rez N ci 32

33 Determinarea efortului în surubul cel mai solicitat H N H n T N T n N max M M y y max 2 i Verificarea de rezistenţă N N H T max N rez Nci ) min(n, N ef Verificarea efort unitar în şurub cg ) 2 2 echi M,H ) 3( H,M ) 1, 1 (M,H) ( N H N A br M ai T A br 33

34 M r =k d N i M r moment de strângere k =0,2 N i =forţa axială din tijă N t =0,75 A n σ c f N t N c f coeficient de frecare c coeficient de siguranţă N = n s N s verificare N N max N cap max N cg d( t) ag 34

35 Maxime Distanţe între şuruburi e e1 e2 e3 Minime 3d 3d 2d 1,5d Construcţii civile şi industriale Bare întinse Bare comprimate 8d 12t 8d 12t 8d 12t 8d 12t 4d 8t 4d 8t 4d 8t 4d 8t ÎMBINĂRI NEDEMONTABIL Relaţiile din STAS 10108/0-78 prevăd o verificare a sudurilor, pe baza unor formule simplificate, considerând că în toate cazurile ruperea se produce în planul de grosime minimă a şi că în acest plan, se dezvoltă tensiuni de forfecare. Rezistenţa de calcul se ia: s R f = γ R (C.1.14) în care: R reprezintă rezistenţa de calcul a metalului de bază, iar γ = 0,7 (tab.c.1.1) Calculul la solicitări statice a îmbinărilor cu sudură cap la cap Calculele prezentate în continuare se aplică îmbinărilor din figura C

36 Figura.C.1.3.Îmbinări sudate În condiţiile metalului depus, care are caracteristicile mecanice (σ c, σ r ) cel puţin egale cu ale metalului de bază, verificarea sudurilor în adâncime (cu neglijarea îngroşării şi a concentratorilor de tensiune aferenţi) este aceeaşi ca şi în secţiunea imediat vecină din metalul de bază. Relaţiile de verificare a sudurilor sunt următoarele: sudurile perpendiculare pe direcţia solicitării de întindere sau compresiune, când rezultanta solicitărilor exterioare trece prin centrul de greutate al prinderii: N A s sudurile supuse la forfecare: s sudurile supuse la încovoiere: N a l s (C.1.1.) T a l s R f (C.1.2.) M I s y R sudurile supuse la încovoiere şi întindere sau compresiune: N M s y R a l I s R s s (C.1.3.) (C.1.4.) sudurile supuse la tensiuni σ şi τ: R (C.1.5.) unde: R este rezistenţa de calcul a materialului de bază; a - grosimea piesei celei mai subţiri dintre piesele care se sudează cap la cap; l s - lungimea de calcul a cordonului de sudură care se verifică, definită cu relaţia (l s = l - 2a ) şi l = b A s = a l s Aria de calcul a cordonului de sudură; I s x - momentul de inerţie al secţiunii de calcul a cordonului de sudură; y - distanţa din centrul de greutate al prinderii până la punctul care se verifică. Figura.C.1.4. Sudură cap la cap Calculul la solicitări statice a îmbinărilor cu sudură de colt Îmbinările realizate cu sudură în relief, supuse la diferite solicitări conform standardului menţionat, se verifică cu relaţiile: sudurile supuse la compresiune, întindere sau la o forţă tăietoare acţionând în centrul de greutate al secţiunii de calcul îmbinării (fig.c.1.22): 36

37 N (C.1.15) a l s Figura.C Sudură în relief supusă la compresiune, întindere sau forţă tăietoare acţionând în centrul de calcul al planului îmbinării. sudurile supuse la încovoiere în planul de calcul al cordoanelor de sudură (fig.c.1.23): M s y R f (C.1.16) Is Figura.C Sudură în relief supusă la moment încovoietor în planul de calcul al prinderii sudurile supuse la încovoiere perpendicular pe planul de calcul al cordoanelor de sudură (fig. C.1.24): M s d max R f (C.1.17) Ix Iy 37

38 Figura C Sudură în relief supusă la moment încovoietor perpendicular pe planului de calcul al prinderii sudurile supuse la forfecare pe mai multe direcţii se verifică la rezultanta tensiunilor din punctul în care se face verificarea (fig.c.1.25): (C.1.18) s R f Figura C Suduri în relief supuse la forţe pe mai multe direcţii În cazul unei prinderi sudate supuse la un moment încovoietor şi la forţă tăietoare, aceasta din urmă se consideră practic preluată numai de cordoanele paralele cu forţa (fig.c.1.26); Verificările se efectuează în punctele 1 şi 2 (de pe talpă şi inimă) cu relaţiile: Mh s s M1 R F (C.1.19) 2Is T s T R F (C.1.20) 2h ia i 2 2 s r M2 T f (C.1.21) Mh i M2 (C.1.22) 2Is 38

39 Figura C Suduri în relief supuse la forţă tăietoare şi moment încovoietor în planul prinderii În relaţiile s-au folosit notaţiile: a este grosimea de calcul a cordoanelor de sudură; l s - lungimea de calcul a sudurii (l s = l - 2a); Σal s - aria secţiunii cordoanelor de sudură solicitate; I s - momentul de inerţie al secţiunii de calcul al cordoanelor în raport cu axa neutră a îmbinării; I x, I y - momentele de inerţie ale secţiunii de calcul ale cordoanelor în raport cu axa x-x, respectiv axa y-y (fig.c.1.26). 39

40 40

41 41

42 42

43 43

44 44

45 45

46 46

47 47

48 48

49 49

50 DEPOZIT 50

51 51

52 DEPOZIT 2 52

53 53

54 54

55 ATELIER 1 55

56 56

57 57

58 58

59 59

60 60

61 61

62 62

63 ATELIER AUR 63

64 64

65 65

66 66

67 67

68 68

69 69

70 HALA P+3 70

71 71

72 72

73 73

74 74

75 75

76 76

77 77

78 78

79 79

80 80

81 81

82 82

83 83

84 84

85 85

86 86

87 87

88 88

89 89

90 90

91 91

92 92

93 93

94 94

95 95

96 96

97 97

98 98

99 99

100 Cap III. Elemente metalice supuse la solicitări complexe Cap IV. Îmbinările demontabile ale elementelor metalice Cap V. Îmbinările nedemontabile ale elementelor metalice Cap VI. Dimensionarea şi calculul elementelor structurale orizontale. Cap VII. Dimensionarea şi calculul elementelor structurale verticale Cap VIII. Dimensionarea şi calculul elementelor de contravântuire Cap IX. Materiale folosite în construcţii din lemn. Elemente generale de calcul şi alcătuire a elementelor componente ale structurilor din lemn Cap X. Şarpante şi grinzi cu zabrele din lemn Cap XI. Îmbinări ale elementelor din lemn Cap XII. Materiale folosite în construcţii din zidărie. Tipuri de zidării portante Cap XIII. Elemente generale de calcul şi alcătuire a structurilor din zidărie portantă Cap XIV. Conformare structurală pentru construcţiile cu structură din zidărie portantă 100

101 CLASIFICAREA CONSTRUCTIILOR DIN LEMN Dupa durata de exploatare: - permanente (durata de exploatare mai mare de 4 ani, sub forma de constructii civile, industriale, agricole, poduri, baraje etc); - provizorii (durata de exploatare mai mica de 4 ani, sub forma de baracamente, tribune, poduri pentru restabilirea circulatiei etc); - auxiliare (schele, esafodaje etc); Dupa conditiile de exploatare: - adapostite, ferite de intemperii (acoperisuri, plansee etc); - neadapostite, sunt supuse umezirii alternative (suprastructuri de poduri, pereti exteriori, turle pentru foraj etc); - sub apa, stau permanent sau timp indelungat sub apa (piloti sub etiaj, deversoare); Dupa destinatie: - constructii civile, industriale, agricole, cuprinzand cladiri, baraci, hale, ateliere; - poduri si podete de serviciu, pasarele etc; - hidrotehnice, cuprinzand baraje, deversoare etc; - speciale, cuprinzand silozuri, buncare, turnuri de racire, turle de foraj, stalpi si piloni pentru liniile electrice si de telecomunicatii etc; Dupa sistemul constructiv: - grinzi cu sectiune simpla sau compusa, armate sau de tip macaz, cu contrafisa, cu inima plina din scanduri sau placaj, cu zabrele si din lemn incleiat; - cadre cu inima plina, cu zabrele si din lemn incleiat; - arce cu inima plina, cu zabrele si din lemn incleiat; - bolti lamelare sau membrane; - cupole lamelare, membrane sau din arce incleiate; Dupa modul de imbinare: - imbinari dulgheresti (prag, scoabe etc); - imbinari cu pene; - imbinari cu cuie; - imbinari incleiate; - imbinari mixte; - imbinari cu piese metalice; Dupa modul de executie: - constructii executate in atelier sau in fabrica; - constructii executate pe santier; 101

102 AVANTAJE: AVANTAJELE SI DEZAVANTAJELE CONSTRUCTIILOR DIN LEMN - rezistenta relativ mare (raportul dintre rezistenta admisibila sau de calcul si densitatea materialului, comportare buna si la compresiune si la intindere); - prelucrare usoara; - asamblare, demontare, mutare, refacere si consolidare facila; - coeficientul de dilatare termica liniara in lungul fibrelor este redus (4x10-66 / C), de 2-3 ori mai mic decat al betonului si al otelului, la constructiile din lemn nu este necesara prevederea rosturilor de dilatatie; - coeficientul de conductibilitate termica al lemnului (λ=0.2) este redus fata de otel, beton sau zidaria de caramida material termoizolant; Denumirea materialelor Densitatea aparenta (dan/cm 3 ) Rezistenta admisibila Rezistenta relativa Compresiune Intindere ac at σ ac σ at (dan/cm 2 ) (dan/cm 2 ) Lemn x x10 3 Otel x x10 3 Beton simplu x x10 3 Zidarie caramida x x10 3 DEZAVANTAJE: - anizotropia si neomogenitatea structurii lemnului (rezistentele mecanice variaza cu unghiul pe care il formeaza directia fortei cu directia fibrelor; rezistenta materialului din apropierea radacinii este cu 15-20% mai mare decat cea a materialului din apropierea coroanei); - influenta negativa a umiditatii asupra proprietatilor fizico-mecanice; - sortiment limitat de material lemnos; - prezenta defectelor (naturale-noduri, contractie-umflare, putrezire); - durabilitate limitata; PROIECTAREA SI CALCULUL ELEMENTELOR DE CONSTRUCTII DIN LEMN CERINTELE UTILIZATORILOR ISO 6241/1984 SI STAS 12400/85 STABILITATE SI REZISTENTA (FIABILITATE STRUCTURALA; SIGURANTA LA FOC; ETANSEITATE; 102

103 EXIGENTE HIGOTERMICE; AMBIANTA ATMOSFERICE; EXIGENTE ACUSTICE; EXIGENTE VIZUALE; EXIGENTE DE IGIENA; ADAPTAREA LA UTILIZAREA SPATIILOR; DURABILITATE; ECONOMIE; CERINTA DE FIABILITATE STRUCTURALA IMPLICA: REGULI GENERALE SIGURANTA STRUCTURALA; APTITUDINE PENTRU EXPLOATARE; DURABILITATE; PROPRIETATILE MECANICE ALE LEMNULUI La proiectarea constructiilor din lemn trebuie respectate toate cerintele de rezistenta, stabilitate si durabilitate, adoptandu-se solutiile constructive eficiente si masurile de protectie contra putrezirii care sa asigure o buna conservare in timp a materialului folosit. Totodata, trebuie luate masurile necesare astfel incat aceste constructii sa fie ferite de temperaturi ridicate. Temperatura maxima a mediului inconjurator in care pot fi exploatate eficient constructiile din lemn se limiteaza la +55 C, avandu-se in vedere si normele in vigoare cu privire la preintampinarea pericolului de incendii. Deasemenea, la alegerea sistemului constructiv trebuie sa se tina cont si de calitatea si de umiditatea materialului folosit; in cazul in care materialul lemnos are o umiditate mare, si nu exista posibilitati de uscare in timp util, trebuie adoptate sisteme constructive la care uscarea lemnului nu provoaca deformatii periculoase sau eforturi unitare suplimentare. In cazul elementelor constructive executate din mai multe piese sau cu sectiune compusa, imbinarea acestora va trebui sa asigure o repartizare rationala a eforturilor in toate piesele componente. In acest sens, legaturile utilizate pentru realizarea imbinarii trebuie sa fie de acelasi tip si cu aceleasi caracteristici geometrice si elastice. Pentru a tine cont de influenta negativa a eventualelor defecte din zona imbinarii, tipul si numarul legaturilor se vor stabili folosind principiul fractionarii. Astfel, o atentie deosebita trebuie acordata elementelor intinse. In vederea evitarii aparitiei unor solicitari suplimentare in imbinare, efortul trebuie transmis centric, conditie obligatorie in cazul elementelor intinse. Dispunerea legaturilor intr-o imbinare trebuie sa fie simetrica in raport cu axa elementului. In cazul constructiilor de lemn nu se tine cont in calcul de eforturile suplimentare ce iau nastere din cauza variatiei de temperatura, respectiv in urma uscarii si umflarii lemnului. Se neglijeaza deasemenea in calcul efectul favorabil al fortelor de frecare, luandu-se in considerare insa efectul defavorabil al frecarii care poate duce la aparitia unor eforturi suplimentare. Stabilirea corecta a dimensiunilor elementelor constructiilor de lemn supuse la diferite solicitari implica cunoasterea proprietatilor mecanice, respectiv a rezistentelor materialului lemnos din care sunt realizate. FACTORI CARE INFLUENTEAZA PROPRIETATILE MECANICE ALE LEMNULUI: - CARACTERUL SI NATURA SOLICITARII; - VITEZA DE INCARCARE SI DURATA SOLICITARII; - STRUCTURA, DEFECTELE, STAREA DE UMIDITATE; Proprietatile mecanice ale lemnului se determina in laborator prin incercari facute pe masini de incercat, in anumite conditii prevazute de norme, pe epruvete mici, cu dimensiuni standardizate si executate dintrun lemn fara defecte. 103

104 Rezistentele astfel determinate nu pot fi considerate ca valori reale ale eforturilor in diferite elemente de constructie deoarece acestea contin diferite defecte care reduc considerabil proprietatile mecanice ale lemnului. Dimensiunile mari ale sortimentului lemnos folosit in mod curent in practica constructiilor din lemn, in comparatie cu dimensiunile epruvetelor standardizate, fac ca neomogenitatea materialului lemnos sa se manifeste mai puternic, fapt care conduce deasemenea la micsorarea rezistentelor. In aceste conditii valorile obtinute in cadrul incercarilor mecanice efectuate in conditii de laborator pe epruvete standardizate trebuie corectate cu factori semnificativi. COMPORTAREA LEMNULUI LA DIFERITE SOLICITARI: - INTINDERE: (paralela cu fibrele); - curba caracteristica are caracter curbiliniu; Pentru lemnul de rasinoase, incercarile Curba caracteristica a lemnului Intindere in lungul fibrelor mecanice efectuate in conditii de laborator 1400 au aratat ca valoarea medie a rezistentei la rupere la intindere in lungul 1200 fibrelor se situeaza in jurul a 1000 dan/cm 2, iar valoarea modulului de elasticitate 1000 variaza intre daN/cm 2 si dan/cm 2. efortul unitar (dan/cm^2) 800 Curba caracteristica de comportare a lemnului la intindere are pe toata lungimea 600 ei un caracter curbiliniu, fapt care demonstreaza lipsa limitei de 400 proportionalitate (intre eforturi 200 unitare si deformatii specifice) Valoarea rezistentei de rupere la deformatia specifica (10^-3) intindere centrica paralela cu fibrele este semnificativ micsorata la barele cu dimensiuni mai mari, fata de valoarea obtinuta pe epruvete standardizate datorita, pe de-o parte unei manifestari mai puternice a neomogenitatii materialului, iar pe de alta parte, datorita defectelor de noduri si devierii fibrelor lemnului in regiunea acestora. Experientele de laborator au aratat ca in cazul in care suma diametrelor nodurilor dintr-o sectiune ajunge la ¼ din dimensiunea laturii piesei intinse (calitatea I), rezistenta de rupere la intindere a acesteia scade pana la 0.27 din valoarea corespunzatoare obtinuta pe epruvete standardizate. Ruperea epruvetelor solicitate la intindere se produce brusc, fara dezvoltare de deformatii plastice. Rezistenta de rupere normala pe directia fibrelor este de ori mai mica decat rezistenta de rupere la intindere in lungul fibrelor. ATENTIE: dimensionarea se realizeaza din conditia de rezistenta; - COMPRESIUNE: (paralela cu fibrele); - influenta defavorabila a defectelor si a slabirilor este mai decat in cazul intinderii 1400 comportare plastica a lemnului la 1200 compresiune; Curba caracteristica a lemnului compresiune in lungul fibrelor mica 1000 Curba caracteristica de comportare la compresiune are o curbura mai pronuntata in comparatie cu cea la a efortul unitar (dan/cm^2) lemnului intindere deformatia specifica (10^-3)

105 Experimental s-a constatat ca rezistenta de rupere la compresiune in lungul fibrelor depinde de grosimea peretilor celulari ai lemnului tarziu. Distrugerea lemnului solicitat la compresiune in lungul fibrelor incepe cu flambajul fibrelor mai rezistente si mai rigide ale lemnului tarziu, care deviaza lateral spre fibrele mai moi ale lemnului timpuriu, ajungandu-se la mai multe planuri inclinate ce se formeaza in urma ruperii locale fibrelor. ATENTIE: dimensionarea se realizeaza in general la flambaj; - INCOVOIERE: - ipoteze simplificatoare: legea Hooke + ipoteza Bernoulli; - schema statica pentru incovoiere fara forta taietoare; - distributia eforturilor unitare pe inaltimea sectiunii transversale; Rezistenta de rupere la incovoiere se situeaza intre rezistentele la compresiune si intindere, avand pentru lemnul de rasinoase o valoare medie de 750 dan/cm 2. Influenta defectelor in cazul solicitarii la incovoiere este considerabila, mai ales daca acestea sunt situate in zona intinsa a barei. Experientele de laborator au aratat ca aceasta influenta este mai mare la barele din lemn ecarisate si mai mica la barele din lemn rotund. In cazul in care suma dimensiunilor nodurilor reprezinta 1/3 din latura sectiunii elementului din zona intinsa, rezistenta de rupere la incovoiere reprezinta doar pentru lemn ecarisat si pentru lemn rotund, din valoarea rezistentei de rupere a epruvetelor standardizate. Calculul elementelor solicitate la incovoiere se bazeaza pe o serie de ipoteze simplificatoare, si anume legea lui Hooke si faptul ca lemnul are acelasi modul de elasticitate E la incovoiere ca si in cazul solicitarii la intindere si compresiune. Experimental, s-a observat ca pentru primele trepte de incarcare, raportul dintre valoarea absoluta a deformatiilor specifice din zona comprimata ε c si respectiv a celor din zona intinsa ε t, este foarte apropiat de 1, aceasta insemnand ca pozitia axei neutre coincide cu centrul de greutate al sectiunii. In vecinatatea ruperii insa, valoarea raportului dintre deformatia specifica de compresiune si cea de intindere se reduce pana la 0.75, axa neutra incepand sa se deplaseze spre zona intinsa. In concluzie, in cazul solicitarii la incovoiere, ca urmare a deformatiilor care o insotesc, distributia eforturilor unitare normale pe inaltimea sectiunii transversale a barei poate fi considerata liniara doar in prima faza a incarcarii, cand acestea sunt mici. σ c1 σ c2 σ c3 σ t1 Comportarea lemnului la incovoiere in diverse stadii de lucru σ t2 σ t3 105

106 Odata cu cresterea incarcarii, cresc si eforturile unitare normale, iar materialul din zona comprimata incepe sa treaca in domeniul elasto-plastic, diagrama eforturilor unitare normale devenind usor curbilinie in zona comprimata, dar ramanand liniara in zona intinsa. Daca incarcarea creste si mai mult, eforturile unitare normale cresc in continuare, astfel ca materialul din zona comprimata trece in domeniul plastic, iar in zona intinsa incepe plastificarea (diagrama eforturilor unitare normale devenind si in aceasta zona curbilinie). In stadiul ultim, intreaga diagrama este curbilinie, cu exceptia unei mici zone in vecinatatea axei neutre care se pastreaza in domeniul elastic, iar eforturile unitare normale la extremitatile sectiunii ating valoarea de rupere. Ruperea incepe cu fibrele extreme din zona comprimata, unde se formeaza cute (ondulatii) care explica aparitia deformatiilor plastice in aceasta zona, deformatii ce se extind treptat inspre interiorul sectiunii, determinand astfel deplasarea axei neutre spre zona intinsa si se termina prin ruperea fibrelor din zona intinsa. - STRIVIRE: (compresiune perpendiculara pe fibre); - pentru s < p deformatiile sunt elastice si au valori mici (peretii celulelor se comporta bine); - pentru s > p deformatiile sunt permanente si au valori mari (distrugerea peretilor celulelor); - pentru s >> p cresc deformatiile (indesarea peretilor celulelor); Curba caracteristica a lemnului la compresiune si strivire transversal pe fibre arata ca in prima parte de incarcare cand σ s este mai mica decat σ p (limita de proportionalitate), peretii celulelor se comporta in conditii bune, deformatiile sunt elastice si au valori mici. Daca limita de proportionalitate este depasita, peretii celulelor se distrug, iar celulele se turtesc, provocand astfel deformatii mari, cu caracter permanent. Dupa turtirea completa a peretilor celulari se produce o indesare a acestora, determinand astfel reducerea cresterii deformatiilor, chiar la o marire considerabila a solicitarii. Valoarea rezistentei la strivire σ s variaza in functie de unghiul pe care il face forta de strivire cu directia fibrelor lemnului si creste cu micsorarea acestui unghi. σ s σ p ε p Curba caracteristica a lemnului la compresiune si strivire perpendiculara pe fibre ε ATENTIE: in zona reazemelor nu sunt permise solicitari care sa depaseasca p - FORFECARE: - rezistenta la forfecare transversala t ; - rezistenta la forfecare paralela p ; - rezistenta la forfecare longitudinala perpendiculara perp ; 106

107 CALCULUL ELEMENTELOR DE CONSTRUCTII DIN LEMN CU SECTIUNE SIMPLA INTINDERE AXIALA: at ( Rt ) An N t = forta axiala normata (de calcul); A n = aria sectiunii transversale, slabite; at = rezistenta admisibila la intindere in lungul fibrelor; R t = rezistenta de calcul la intindere in lungul fibrelor; COMPRESIUNE AXIALA: N c ac ( Rc An ) N = coeficient de flambaj; Zveltetea se cuantifica Pentru 75 Pentru 75 Nr.crt N cr N t 2 EI N cr = forta critica de flambaj; 2 l f E = modul de elasticitate al materialului; I = moment de inertie al sectiunii (dispersia, ex.valori); l = lungimea de flambaj a barei (in functie de rezemari); f I i = raza de giratie; A l prin f (coeficient de zveltete); i ( ; se obtine ) se obtine 2 Denumire element Grinzi cu zabrele si arce - talpi, diagonale si montanti reazem - celelalte elemente Stalpi principali Stalpi secundari Coeficient de zveltete maxim admis Constructii definitive a Constructii provizorii Contravantuiri

108 INCOVOIERE: - SIMPLA M ai W VERIFICARE DE REZISTENTA: ( R ) M = moment incovoietor normat (de calcul); W net = modul de rezistenta net; = rezistenta admisibila la incovoiere; R i i = rezistenta de calcul la incovoiere; ATENTIE: daca sectiunea cea mai slabita nu coincide cu sectiunea in care momentul incovoietor este maxim, se impune verificarea de rezistenta si in sectiunea cu slabiri maxime! net i VERIFICARE DE RIGIDITATE: f M maxl EI 2 Nr.crt. Element Incarcari de lunga durata 1. Plansee curente Sageata limita Incarcari de scurta durata L/250 L/ Plansee pod L/200 L/ Acoperisuri - pane, capriori; - astereala; L/200 L/150 L/150 L/ Dolii L/400 L/300 QS bi In general, pe langa incovoiere apare si forfecarea: b ( R ) b a f stanga sus M cap. gr l 1 stanga Q asociat lunga durata p normat q Q = forta taietoare normata (calcul); S b = momentul static brut al sectiunii; b = latimea sectiunii; I b = moment de inertie brut sectiune; ATENTIE: verificarea este necesara pentru grinzi scurte (l/h<5)! dreapta Q asociat dreapta Q asociat dreapta jos M cap. gr dreapta sus M cap. gr -OBLICA VERIFICARE DE REZISTENTA: M M x y ai ( Ri ) W W x x y VERIFICARE DE RIGIDITATE: 2 2 f f f f y adm stanga jos M cap. gr stanga Q asociat 108

109 COMPRESIUNE EXCENTRICA (DREAPTA SI OBLICA) - FORTA AXIALA DE COMPRESIUNE (pe pozitie deformata); - MOMENT INCOVOIETOR ( M x ; sau M x si M y ) Ipoteza I Ipoteza II Ipoteza III S x S t x S r x M I x N S ld x H S r y S y S M r x S x I y S y N H ld S y S M S H I x x t r y S y ld N t r r S x S x S x1 S x 2 M I y S y H t r r S y S y S y1 S y 2 H H H Y Y Y X X X Ipoteza I Ipoteza II Ipoteza III N N N calcul M x calcul M y calcul M x calcul M y M calcul M I M II I ld M M N e unde: S H ; I II I M ; M M M 1 2 EI, N ld cr N l 1 N cr N M M x y ai ( R A W W conventional 2 f ) x y i ; 109

110 SARPANTE TIPURI CONSTRUCTIVE SI ELEMENTE COMPONENTE 110

111 111

112 112

113 SARPANTE DIN CAPRIORI: - ALCATUIRE: perechi de capriori cu sau fara tiranti orizontali de rigidizare; - DESCHIDERE: 6.00m fara tiranti; 9.00m cu tiranti; - STABILITATEA GENERALA: contravantuiri long.; SARPANTE PE SCAUNE: - ALCATUIRE: elemente verticale (popi); elemente orizontale-longitud. (pane); elemente inclinate (capriori); elemente orizontale de rigidizare trans. elemente inclinate de rigidizare transv. GRUPAREA INCARCARILOR - STABILITATEA GENERALA: contrav. long+transv. - TIPURI: functie de deschidere, de pozitia elementelor structurale verticale (pereti sau cadre); CALCULUL ELEMENTELOR SARPANTEI - IPOTEZA I: incarcarea permanenta + incarcarea din zapada; - IPOTEZA II: incarcarea permanenta + incarcarea din vant (presiune) + + ½incarcarea din zapada; - IPOTEZA III: incarcarea permanenta + forta concentrata (1000N); - IPOTEZA IV: incarcarea permanenta + incarcarea din vant (pres.+suct.); CALCUL ASTEREALA (sustine invelitoarea din tabla, olane) - se determina incarcarile pentru o scandura de latime b ; - se calculeaza la incovoiere oblica pe doua directii; - se verifica la deformatia maxima; CALCUL SIPCI (sustin invelitoarea din tigla) - se determina incarcarile pentru o sipca; - se calculeaza la incovoiere oblica pe doua directii; - se considera simplu rezemate pe capriori; CALCUL CAPRIORI - se considera simplu rezemati pe pane; - sunt incarcati cu reactiunile din astereala sau sipci; CALCUL PANE - se considera simplu rezemate sau continue pe popi (ziduri, pt.cosoroaba); - sunt incarcate cu reactiunile din capriori; CALCUL POPI (elemente verticale sau inclinate, care preiau reactiunile panelor); Lemn Lamelar Incleiat STRUCTURA CONSTRUCTIVA DIN LEMN LAMELAR INCLEIAT Elementul de rezistenta din lemn lamelar incleiat este un element de constructie unde lungimile si sectiunile realizate pot diferi cu mult fata de dimensiunile obisnuite ale lemnului; pot fi liniare sau curbe,uneori cu curburi multiple in plan sau chiar in spatiu. Depasirea lungimilor curente se obtine prin innadirea ca-la-cap a lamelelor componente; in latime se 113

114 poate innadi la fel, iar inaltimea sectiunii se poate realiza printr-un numar adecvat de lamele componente. Prin lipire cu un adeziv de calitate si prin presare pe timpul intaririi adesivului se obtine forma finala a elementului de constructie.daca tiparul in care se realizeaza elementul este liniar, si elementul obtinut va fi liniar, iar daca se creeaza un tipar curb bineinteles ca si elementul realizat va prelua forma curba a tiparului. In timpul realizarii acestor elemente nu este permisa nici aburirea, nici tratament termic pentru material, forma impusa de tipar fiind garantata de adezivul utilizat. Materialul lemnos utilizat este Molidul sau Bradul rosu (picea excelsa),dar numai acel lemn care a crescut in conditii vitrege,a carui inelele anuale de crestere sunt foarte apropiate, lemnul fiind uniform si foarte dens. Adezivul (rasina sintetica) este rezistent la apa, la vapori de apa chiar si la fierbere, face fata tuturor conditiilor la care este expusa structura de lemn fara a fi daunatoare sanatatii. Datorita innadirii in lung a lamelelor componente si datorita eliminarii defectelor lemnului cu ocazia imbinarii cap la cap a lamelelor, se obtine un nou material lemnos, mult mai omogen fata de lemnul obisnuit, fara vatamari si fisurari de-a lungul elementului, fenomen atit de frecvent la lemnul obisnuit. Elemntele de lemn lamelar incleiat, inca din faza de proiectare se dimensioneaza tinind cont de prescriptiile PSI (Prevenirea si Stingerea Incendiilor) adica stabilind grosimea materialului care se poate sa arda, pina la venirea pompierilor, fara a periclita rezistenta si stabilitatea constructiei respective. Lemnul se poate trata si cu materiale de intirziere a aprinderii lemnului sau cu solutii antiseptice care nu permite aparitia putrezirii si a daunatorilor lemnului. (microorganisme, insecte, carii, etc.) In caz de incendiu, structurile din lemn lamelar incleiat se comporta in mod controlat si in cazul sectiunilor de lemn mai mari; NU-SI pierd capacitatea lor de rezistenta,permit evacuarea bunurilor aflate in spatiul acoperit, situatie care nu se constata la constructiile metalice, metalul ajuns la cca 600 grade C se deformeaza intr-un mod necontrolabil si Nu permite salvarea bunurilor, fiind pericol real de prabusire a structurii in orice moment. Lemnul se comporta bine fata de factorii corozivi si, in dese cazuri mai bine decit structurile similare din otel sau chiar beton armat. Este recomandata utilzarea structurilor din lemn lamelar la depozite de sare sau ingrasaminte chimice iar in cazul salilor de sport sau a piscinelor unde atmosfera umeda este predominanta aceste structuri se utilizeaza cu succes. Trebuie avuta grija ca sa se asigure o ventilatie naturala adecvata acestor structuri,ca vaporii de apa care ar putea condensa pe structura de lemn sa fie eliminati.nu se recomanda utilizarea structurilor chesonate unde evacuarea prin ventilatie a condensatului este dificila sau imposibila. Montajul structurilor din lemn lamelar incleiat este simpla,nu necesita macarale speciale,si prin utilizarea pieselor metalice de imbinare,se realizeaza articulatii corecte si simplu de realizat. Se pot acoperi deschideri mari, de pana la 70 m iar aportul estetic al unor asemnea structuri depaseste posibilitatile urbanistice ale structurilor de beton armat sau metal. Avand in vedere avantajele mai sus enumerate, aceste structuri din lemn lamelar incleiat se pot utiliza cu succes la realizarea Salilor de sport,piscine acoperite, Biserici, Centre comerciale, Hale industriale, Depozite de sare sau de chimicale, lucrari cu caracter agrozootehnic, Pasarele si chiar Poduri. Winter Garden Una din cele mai mari cladiri din sticla din Marea Britanie construita in ultima suta de ani, a creat o uimitoare inima verde in centrul metropolei. Alaturi de Peace Gardens si Millennium Galleries,Winter Garden incanta vizitatorii ce au ales un traseu pietonal prin centrul orasului. Winter Garden gazduieste peste 2500 de specii de plante din lumea inteaga creand un peisaj unic. Winter Garden si Millennium Galleries din Sheffield sunt realizari urbanistice ideale concepute de arhitectii moderni Pringle,Richards,Sharratt. 114

115 Galeriile se incadreaza intr-un stil definit de lumina, iar acuratetea formelor arhitecturale este realizata in maniera unor curente artistice de calitate superioara; prin raportare la stilul Gotic si la design-ul care strapunge cornisa, Winter Garden reprezinta o capodopera. Cladirea are un strat protector termic pentru pragul inferior de 4 grade C si este una din cele mai mari cladiri din lemn lamelar stratificat din Marea Britanie. La constructia ei, s-a folosist lemn de rasinoase,o esenta durabila care, in timp, capata o culoare argintiuverzuie. Aceasta esenta se ia direct din padure si nu necesita tratari chimice, iar lemul nu trebuie acoperit. Se reduce folosirea solventilor si deasemenea se evita aplicarea chimicalelor care ar putea omori plantele. Cladirea are un sistem constructiv inteligent care permite controlarea ventilarii si a deschiderii anvelopantei, astfel incat plantele sunt racite vara si incalzite iarna. Sistemul se adapteaza de la un an la altul in functie de clima. Despre cladire: - a fost conceputa de Pringle, Richards, Sharratt care au proiectat si Millennium Galleries. - are 70 metri in lungime,22 de metri in latime, iar imensele arce din lemn sunt aproape de 21 metri inaltime. - volumul constructiei poate adaposti 5000 de sere - la constructia ei s-au folosit 2100 m ² de sticla, 900 m³ de beton si 80 de tone de otel de tone de apa umplu zilnic casetele in care stau radacinile plantelor, echivalent cu a umple 4000 de roabe. Galeriile Millenium impreuna cu Winter Garden gazduiesc monumente civice si culturale ce evidentiaza un traseu. La nivel urbanistic, acest traseu se distinge din interiorul vechiului inel stradal ce inconjoara galeriile si gradina, catre oras, printr-o secventa de spatii publice pline de viata ce de intind de-a lungul lui. 115

116 116

117 117

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 REZISTENTA SI STABILITATEA ELEMENTELOR STRUCTURILOR DIN OTEL

Curs 1 REZISTENTA SI STABILITATEA ELEMENTELOR STRUCTURILOR DIN OTEL Curs 1 REZISTENTA SI STABILITATEA ELEMENTELOR STRUCTURILOR DIN OTEL Rezistenta elementelor structurale din otel o Calcul la nivelul secţiunii elementelor structurale (rezistenta secţiunilor) Stabilitatea

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 14. Asamblari prin pene

Capitolul 14. Asamblari prin pene Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

METODE PENTRU CALCULUL CONSTRUCŢIILOR

METODE PENTRU CALCULUL CONSTRUCŢIILOR METODE PENTRU CALCULUL CONSTRUCŢIILOR.1. Metode deterministe Factorii principali ai siguranţei care intervin în calculele efectuate conform principiilor metodelor deterministe se stabilesc empiric şi se

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

PRINCIPIILE METODEI STĂRILOR LIMITĂ MSL. Cerințe fundamentale: - rezistența structurală și siguranță - siguranță în exploatare - durabilitate

PRINCIPIILE METODEI STĂRILOR LIMITĂ MSL. Cerințe fundamentale: - rezistența structurală și siguranță - siguranță în exploatare - durabilitate 5. METODA STĂRILOR LIMITĂ 5.1. PRINCIPII FUNDAMENTALE PRINCIPIILE METODEI STĂRILOR LIMITĂ MSL Cerințe fundamentale: - rezistența structurală și siguranță - siguranță în exploatare - durabilitate Principii

Διαβάστε περισσότερα

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4. ELEMENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA INCOVOIERE (Elements in bending)

Curs 4. ELEMENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA INCOVOIERE (Elements in bending) Curs 4 ELEENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA INCOVOIERE (Elements in bending) Calculul de rezistenta a barelor (grinzilor) cu inima plina () Solicitarea incovoiere plana (monoaxiala) z z incovoiere oblica

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate... SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele

Διαβάστε περισσότερα

CALCUL FUNDAȚIE IZOLATĂ DE TIP TALPĂ DE BETON ARMAT. Fundație de tip 2 elastică

CALCUL FUNDAȚIE IZOLATĂ DE TIP TALPĂ DE BETON ARMAT. Fundație de tip 2 elastică CALCUL FUNDAȚIE IZOLATĂ DE TIP TALPĂ DE BETON ARMAT Fundație de tip 2 elastică FUNDAȚIE DE TIP 2 TALPĂ DE BETON ARMAT Etapele proiectării fund ației și a verificării terenului pe care se fundează 1. D

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

V O. = v I v stabilizator

V O. = v I v stabilizator Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Calculul la starea limită de exploatare (serviciu) se face pentru grupările de acţiuni (efecte ale acţiunilor) definite conform CR0, după caz:

Calculul la starea limită de exploatare (serviciu) se face pentru grupările de acţiuni (efecte ale acţiunilor) definite conform CR0, după caz: Calculul la starea limită de exploatare (serviciu) se face pentru grupările de acţiuni (efecte ale acţiunilor) definite conform CR0, după caz: - Combinaţia (gruparea) caracteristică; - Combinaţia (gruparea)

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

SOLICITAREA DE TRACŢIUNE COMPRESIUNE

SOLICITAREA DE TRACŢIUNE COMPRESIUNE CPITOLUL 4 SOLICITRE DE TRCŢIUE COMPRESIUE 4.1. Forţe axiale Dacă asupra unei bare drepte se aplică forţe dirijate în lungul axei longitudinale bara este solicitată la tracţiune (Fig.4.1.a) sau la compresiune

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede 2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 30. Transmisii prin lant

Capitolul 30. Transmisii prin lant Capitolul 30 Transmisii prin lant T.30.1. Sa se precizeze domeniile de utilizare a transmisiilor prin lant. T.30.2. Sa se precizeze avantajele si dezavantajele transmisiilor prin lant. T.30.3. Realizati

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

ÎNCOVOIEREA BARELOR DREPTE

ÎNCOVOIEREA BARELOR DREPTE CPTOLUL 6 ÎNCOVOERE BRELOR DREPTE 6.1. Încovoierea pură. Formula lui Navier. Considerăm bara de secţiune dreptungiulară din Fig.6.1, pentru care s-au trasat diagramele de eforturi T şi M. Fig.6.1 Se observă

Διαβάστε περισσότερα

TENSIUNI. DEFORMAŢII.

TENSIUNI. DEFORMAŢII. CAPITOLUL 3 TENSIUNI. DEFORMAŢII. 3.1.Tensiuni Fie un corp solid solicitat de un sistem de forţe în echilibru, ca în Fig. 3.1.a. Fig.3.1 În orice secţiune a corpului solicitat apar forţe interioare care

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 15. Asamblari prin caneluri, arbori profilati

Capitolul 15. Asamblari prin caneluri, arbori profilati Capitolul 15 Asamblari prin caneluri, arbori profilati T.15.1. Care dintre asamblarile arbore-butuc prin caneluri are portanta mai mare? a) cele din seria usoara; b) cele din seria mijlocie; c) cele din

Διαβάστε περισσότερα

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

FORŢE INTERIOARE. EFORTURI. DIAGRAME DE EFORTURI.

FORŢE INTERIOARE. EFORTURI. DIAGRAME DE EFORTURI. 2.1.Metoda secţiunilor CAPITOLUL 2 FORŢE INTERIOARE. EFORTURI. DIAGRAME DE EFORTURI. În orice corp solid există forţe interioare, de structură, care asigură păstrarea formei şi dimensiunilor corpului.

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

Autor: Zlateanu Tudor, prof. univ. dr. ing. Universitatea Tehnica de Constructii Bucuresti

Autor: Zlateanu Tudor, prof. univ. dr. ing. Universitatea Tehnica de Constructii Bucuresti CALCULUL SI PROIECTAREA CU AJUTORUL ETODEI ELEETULUI FIIT A UEI HALE IDUSTRIALE CU DESCHIDEREA/IALTIE DE 18/6 PETRU VERIFICAREA TEHICA A AUTOCAIOAELOR GRELE TIR Autor: Zlateanu Tudor, prof. univ. dr. ing.

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 1. Noțiuni Generale. 1.1 Definiții

Capitolul 1. Noțiuni Generale. 1.1 Definiții Capitolul 1 Noțiuni Generale 1.1 Definiții Forța este acțiunea asupra unui corp care produce accelerația acestuia cu condiția ca asupra corpului să nu acționeze şi alte forțe de sens contrar primeia. Forța

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

FLAMBAJUL BARELOR DREPTE

FLAMBAJUL BARELOR DREPTE . FAMBAJU BAREOR DREPTE.1 Calculul sarcinii critice de lambaj la bara dreapta supusa la compresiune Flambajul elastic al barelor drepte a ost abordat prima data de. Euler care a calculat expresia sarcinii

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Structuri de Beton Armat și Precomprimat

Structuri de Beton Armat și Precomprimat Facultatea de Construcții Departamentul C.C.I. Structuri de Beton Armat și Precomprimat Proiect IV CCIA Elaborat de: Ș.l.dr.ing. Sorin Codruț FLORUȚ Conf.dr.ing. Tamás NAGY GYÖRGY 2014 2015 Structuri de

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc = GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 3 NELINIARITĂŢI ALE COMPORTAMENTULUI MATERIALELOR - III-

Capitolul 3 NELINIARITĂŢI ALE COMPORTAMENTULUI MATERIALELOR - III- Capitolul 3 NELINIARITĂŢI ALE COMPORTAMENTULUI MATERIALELOR - III- 3.4. Criterii de plasticitate Criteriile de plasticitate au apărut din necesitatea de a stabili care sunt factorii de care depinde trecerea

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

Curba caracteristica a unui otel de înalta rezistenta

Curba caracteristica a unui otel de înalta rezistenta Efort unitar, [/mm2] [/mm2] Efort unitar, /mm 2 Subiecte la disciplina Construcţii Metalice Licenţa Otelul 1. Curba caracteristica a otelului: Sa se exemplifice pentru un otel carbon moale cu palier de

Διαβάστε περισσότερα

MECANICA CORP DEFORMABIL - NOŢIUNI GENERALE

MECANICA CORP DEFORMABIL - NOŢIUNI GENERALE MECANICA CORP DEFORMABIL - NOŢIUNI GENERALE 1. Obiectul mecanicii corpului deformabil În mecanica generală corpul solid - este considerat rigid nedeformabil. Această ipoteză este adecvată şi suficientă

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA MODULULUI DE ELASTICITATE LA SOLIDE FOLOSIND O METODA DINAMICA

DETERMINAREA MODULULUI DE ELASTICITATE LA SOLIDE FOLOSIND O METODA DINAMICA DETERMINAREA MODULULUI DE ELASTICITATE LA SOLIDE FOLOSIND O METODA DINAMICA Scopul lucrării În această lucrare se va determina modulul de elasticitate logitudinală (modulul Young) al unei bare, folosind

Διαβάστε περισσότερα

Stabilizator cu diodă Zener

Stabilizator cu diodă Zener LABAT 3 Stabilizator cu diodă Zener Se studiază stabilizatorul parametric cu diodă Zener si apoi cel cu diodă Zener şi tranzistor. Se determină întâi tensiunea Zener a diodei şi se calculează apoi un stabilizator

Διαβάστε περισσότερα

Dr.ing. NAGY-GYÖRGY Tamás Conferențiar

Dr.ing. NAGY-GYÖRGY Tamás Conferențiar Dr.ing. NAGY-GYÖRGY Tamás Conferențiar E-mail: tamas.nagy-gyorgy@upt.ro Tel: +40 256 403 935 Web: http://www.ct.upt.ro/users/tamasnagygyorgy/index.htm Birou: A219 Armături longitudinale Aria de armătură

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

BARDAJE - Panouri sandwich

BARDAJE - Panouri sandwich Panourile sunt montate vertical: De jos în sus, îmbinarea este de tip nut-feder. Sensul de montaj al panourilor trebuie să fie contrar sensului dominant al vântului. Montaj panouri GAMA ALLIANCE Montaj

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 10. Asamblari prin sudare, lipire si încleiere

Capitolul 10. Asamblari prin sudare, lipire si încleiere Capitolul 10 Asamblari prin sudare, lipire si încleiere T.10.1. Care sunt motivele pentru care piesele din fonta sunt greu sudabile? Ce masuri se recomanda pentru realizarea sudarii acestor piese? T.10.2.

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului

Διαβάστε περισσότερα

FIZICĂ. Oscilatii mecanice. ş.l. dr. Marius COSTACHE

FIZICĂ. Oscilatii mecanice. ş.l. dr. Marius COSTACHE FIZICĂ Oscilatii mecanice ş.l. dr. Marius COSTACHE 3.1. OSCILAŢII. Noţiuni generale Oscilaţii mecanice Oscilaţia fenomenul fizic în decursul căruia o anumită mărime fizică prezintă o variaţie periodică

Διαβάστε περισσότερα

15. Se dă bara O 1 AB, îndoită în unghi drept care se roteşte faţă de O 1 cu viteza unghiulară ω=const, axa se rotaţie fiind perpendiculară pe planul

15. Se dă bara O 1 AB, îndoită în unghi drept care se roteşte faţă de O 1 cu viteza unghiulară ω=const, axa se rotaţie fiind perpendiculară pe planul INEMTI 1. Se consideră mecanismul plan din figură, compus din manivelele 1 şi 2, respectiv biela legate intre ele prin articulaţiile cilindrice şi. Manivela 1 se roteşte cu viteza unghiulară constantă

Διαβάστε περισσότερα

3. REPREZENTAREA PLANULUI

3. REPREZENTAREA PLANULUI 3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

* * * 57, SE 6TM, SE 7TM, SE 8TM, SE 9TM, SC , SC , SC 15007, SC 15014, SC 15015, SC , SC

* * * 57, SE 6TM, SE 7TM, SE 8TM, SE 9TM, SC , SC , SC 15007, SC 15014, SC 15015, SC , SC Console pentru LEA MT Cerinte Constructive Consolele sunt executate in conformitate cu proiectele S.C. Electrica S.A. * orice modificare se va face cu acordul S.C. Electrica S.A. * consolele au fost astfel

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

STATICA CONSTRUCȚIILOR STRUCTURI STATIC DETERMINATE - Îndrumător pentru lucrări -

STATICA CONSTRUCȚIILOR STRUCTURI STATIC DETERMINATE - Îndrumător pentru lucrări - Nicolae CHIRA Roxana BÂLC Alexandru CĂTĂRIG Aliz MÁTHÉ Cristian CIPLEA Cristian MOJOLIC Ioana MUREȘAN Cristian CUCEU Radu HULEA Daniela PETRIC STATICA CONSTRUCȚIILOR STRUCTURI STATIC DETERMINATE - Îndrumător

Διαβάστε περισσότερα

CALCULUL BARELOR CURBE PLANE

CALCULUL BARELOR CURBE PLANE CPITOLUL 0 CLCULUL BRELOR CURBE PLE 0.. Tesiui î bare curbe plae. Formula lui Wikler Barele curbe plae sut bare care au axa geometrică o curbă plaă. Vom stuia bare curbe plae cu raza e curbură costată,

Διαβάστε περισσότερα

SIGURANŢE CILINDRICE

SIGURANŢE CILINDRICE SIGURANŢE CILINDRICE SIGURANŢE CILINDRICE CH Curent nominal Caracteristici de declanşare 1-100A gg, am Aplicaţie: Siguranţele cilindrice reprezintă cea mai sigură protecţie a circuitelor electrice de control

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul mecanic. Puterea mecanică.

Lucrul mecanic. Puterea mecanică. 1 Lucrul mecanic. Puterea mecanică. In acestă prezentare sunt discutate următoarele subiecte: Definitia lucrului mecanic al unei forţe constante Definiţia lucrului mecanic al unei forţe variabile Intepretarea

Διαβάστε περισσότερα