navedene uslove naziva se stacionarnim v r B tokom fluida. Deo fluida ograničen dvema A B

Transcript

1 5. Benulijea jednačina DINAMIKA FLUIDA Petpostaićemo da je fluid nestišlji, odn. da je gustina fluida nezaisna od ednosti pitiska u fluidu, i da je bzina fluida u datoj tački postoa ista za se čestice fluida koje koz nju polaze. Geometijsko mesto tačaka koz koje čestica sukcesino polazi nazia se stujna linija. Bzina čestice u datoj tački stujne linije uek je po pacu tangente u toj tački na stujnu liniju (idi sliku 5.). tujanje fluida koje zadooljaa goe A naedene usloe nazia se stacionanim B tokom fluida. Deo fluida oganičen dema A B stujnim linijama nazia se stujna ce. C Uočimo jednu stujnu ce, sl.4., i u njoj C da popečna peseka pošina i. a i obeležimo posečne bzine lika 5. Pikaz jedne stujne cei i stujne čestica fluida na oim pošinama. Ako linije unuta nje. između uočenih peseka nema izoa ni A = const, B = const, C = const. ponoa fluida masa fluida koja potekne A B C koz popečni pesek pošine moa biti jednaka masi fluida koja potekne lika 5. Uz jednačinu kontinuiteta 5. Benulijea jednačina koz popečni pesek pošine : Δtρ = Δtρ, (5.) gde su Δ t, ρ eme poticanja date mase koz popečene peseke i gustina fluida, espektino. Iz (5.) sledi: =, (5.) (5.) nazia se jednačinom kontinuiteta. Posmatamo stacionano stujanje tečnosti, bez unutašnjeg tenja, u gaitacionom polju Zemlje. Za eme Δ t masa fluida koja potekne koz p peseke pošina i, na kojima su apsolutni statički pitisci p i p, iznosi: C p Δm= Δtρ = Δtρ. (5.3) h efeentni nio lika 5.3 Uz Benulijeu jednačinu to iz (5.3)-(5.5) sledi: h C Pomena kinetičke enegije uočenog dela fluida mase Δ m pi polasku koz da uočena peseka jednaka je adu sih sila: Δ E k = Ag + A p = Δ E p + pδt p Δt = Δmg( h h) + ( p p ) Δt (5.4) Kako je: Δ E k = Δm( ), (5.5)

2 68 5 DINAMIKA FLUIDA ρ + p = ρ + p. (5.6) Kako su peseci poizoljno uzeti zaključujemo da zbi ti naedena člana moa imati konstantnu ednost duž cele stujne cei: ρ + p = const. (5.7) Izaz u (5.7) nazia se Benulijea jednačina. Pi član u (5.7) pedstalja hidodinamički pitisak (posledica ketanja fluida), a dugi apsolutni statički pitisak na uočenom popečnom peseku fluida. Teći član je posledica dejsta gaitacionog polja Zemlje. 5. Pimena Benulijee jednačine 5.. Toičelijea teoema Pimenom Benulijee jednačine na pimeu isticanja tečnosti iz šiokog otoenog suda koz oto koji se nalazi na astojanju h od slobodne pošine tečnosti u sudu (idi 5.4)dobijamo: h p 5.. Pitoa ce h h lika 5.4 Uz Toičelijeu teoemu ρ + p = ρ + p, (5.8) odakle sledi izaz: ( ) = gh = + g h h. (5.9) + Iz jednačinene kontinuiteta imamo: iz azloga što je =, (5.) >>. Iz (5.9) i (5.) sledi: = gh. (5.) Dakle, bzina isticanja tečnosti iz šiokog suda jednaka je bzini koju telo dobija pi slobodnom padu koje pada sa isine koja je jednaka astojanju mesta na kome tečnost ističe od nioa tečnosti u šiokom sudu (koga možemo smatati konstantnim). Pitoa ce (idi slika 5.5) se koisti za meenje bzine potoka fluida. Pimenom Benulijene jednačine na mestu otoa cei i daleko izan nje na istoj isini u odnosu na efeentni nio dobijamo h h p p H p p lika 5.5 Pitoa ce h ρ + p = ρ + p. (5.) Na otou cei fluid miuje, odn. =. tatički apsolutni pitisci u datim tačkama postoa iznose + ρ g h, p + ρg h. (5.3) p Iz (5.) i (5.3), kao i činjenice da je = dobijamo da je bzina potoka fluida na datom niou = gh, gde je = h h. H

3 5..3 Ventuijea ce 5. Pimena Benulijee jednačine 69 Izgled Ventuijee cei pikazan je na slici 5.6. astoji se od jednog suženja koje je umetnuto u ce i koje je izedeno tako da se izbegaaju tubulencije na ulazu i izlazu iz suženja. h p h p p h lika 5.6 Ventiijea ce Pimenom Benulijee jednačine na pesecima ispod umetnutih etikalnih cei dobijamo: gde su: Iz jednačine kontinuiteta imamo da je: ρ + p = ρ + p, (5.4) + ρ g h, p + ρg h. (5.5) p Iz (5.4)-(5.6) dobijamo bzinu potoka fluida 5.3 Tenje u tečnostima-iskoznost = =. (5.6) gh ( ), H h h =. (5.7) Njutn je pedložio teoiju po kojoj se tenje u tečnostima tetia analogno tenju čstih tela A u mehanici. Na pimeu ketanja tečnosti, koja se nalazi između de ploče (A, koja se keće bzinom, i nepoketne B), koje se nalaze na međusobnom astojanju d, objasnićemo sile tenja u tečnostima. Petpostaićemo da se d tečnost keće laminano (u slojeima) između B kojih nema pelaza čestica tečnosti. loj uz lika 5.7 Laminano ketanje fluida ploču A keće se bzinom istog intenziteta kao i ta ploča, a slojei ispod bzinama se manjeg intenziteta, tako da je sloj uz ploču B nepoketan. Kako među slojeima tečnosti postoji elatino ketanje (keću se azličitim bzinama) jalja se sila iskoznog tenja među njima. Meenja su pokazala da je sila tenja sazmena dodinoj pošini između slojea i gadijentu bzine: F t = η d d, (5.8)

4 7 5 DINAMIKA FLUIDA gde je η koeficijent iskoznosti. Jedinica u I je Pa s = kg ms. Znak minus u izazu za intenzitet sile tenja (iskozne sile) je iz azloga što bzina opada kako se udaljaamo od poketne ploče, a intenzitet neke fizičke eličine moa biti pozitian. Za dati slučaj ketanja gadijent bzine je d d = d, tako da zamenom u (5.8) dobijamo: F t = η d. (5.9) Kao što idimo intezitet sile iskoznog tenja je isti između ma koja da susedna sloja fluida. aspodela bzine slojea fluida je lineana: Kako se bzina po popečnom peseku fluida menja najpe ćemo definisati infinitezimalni potok dq sloja fluida koji se nalazi na astojanju od gonje ploče (idi sliku 5.7a), debljine d i popečnog peseka d = a d. Bzina uočenog sloja fluida je (). ( ) d a( )d dq = = (5.) ( ) =. (5.) d Na osnou (5.) i (5.) i šći inegaciju po od nula do d dobijamo izaz za potok: d Q = a d = ad. (5.) d ednja bzina potoka fluida teba da obezbedi ukupan potok kao i postono pomenljia bzina: Q = ad = s ad s =. (5.3) 5.3. Poticanje tečnosti koz hoizontalnu ce kužnog popečnog peseka. Poaseje zakon Posmatamo sloj tečnosti koji se nalazi na astojanju od ose hoizontalne cei, kužnog popečnog peseka polupečnika i dužine l, koz koju tečnost laminano potiče (idi sliku 5.8). d A B lika 5.7a Uz izačunaanje potoka p p a d ( ) l lika 5.8 Poticanje tečnosti koz hoizontalnu ce Vednosti pitisaka na leom i desnom kaju cei su p i p ( p > p tako da tečnost potiče s lea na desno). loj se keće pod dejstom azlike pitisaka, odnosno sile:

5 5.3 Tenje u tečnostima 7 ( p p ) π F = Δp =. (5.4) Ketanju sloja supotstalja se sila tenja data izazom u (5.8) u kojoj je = πl pošina omotača sloja koji je cilindičnog oblika. Da bi se sloj ketao stalnom bzinom intenziteti oe de sile, koje su istog paca a supotnog smea, moaju biti isti eđianjem izaza u (5.5) dobijamo difeencijalnu jednačinu η πl d d = Δp π. (5.5) Δp d = d, (5.6) ηl čijom integacijom u ganicama od položaja uočenog sloja fluida gde je ednost bzine cei gde je bzina jednaka nuli, je ce miuje dobijamo: Δp Δp d = d ( ) = ηl 4ηl ( ) Δp = 4ηl = ma ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) do. (5.7) Kada smo ponašli aspodelu bzina cilj nam je da nađemo potok tečnosti-poteklu zapeminu tečnosti koz ce u jedinici emena. mataćemo da uočeni sloj tečnosti ima elementanu debljinu d i da se čestice tečnosti u tom sloju imaju istu bzinu ( ) (idi sl.5.8a). + d dl lika 5.8a Uz izačunaanje potoka tečnosti Za eme dt čestice koje su se našle na leom kužnom pstenu elementane debljine d pešle su elementani put dl, kećući se bzinom konstantnog inteziteta ( ). Potekla elementana zapemina fluide koz dati kužni psten iznosi: dv = d dl = π d ( ) dt. (5.8) Elementani potok fluida je: dq = dv dt = d( ) = πd( ). (5.9) Ukupni potok dobijamo integacijom (5.9) uzimajući izaz za intezitet bzine iz (5.7): ( ( ) ) 4 Δpπ Q π d = ma =. (5.3) 8η l

6 7 5 DINAMIKA FLUIDA Izaz za sednju bzinu dobijamo što smatamo da se si slojei tečnosti keću istom bzinom, obezbeđujući isti potok tečnosti: s Iz (5.3) i (5.3) dobijamo izaz za sednju bzinu: Q = π. (5.3) s s Δp =. (5.3) 8η l Maseni potok dobijamo kada potok fluida pomnožimo njegoom gustinom.