3.1. Ecuaţii de gradul întâi Inecua tii de gradul întâi Modul unui număr real... 9

Transcript

1

2 Cuprins 1 Operaţii cu numere reale 1 11 Radicali, puteri Puteri Radicali 1 12 Identităţi 2 13 Inegalităţi 3 2 Funcţii 4 21 Noţiunea de funcţii 4 22 Funcţii injective, surjective, bijective 5 23 Compunerea funcţiilor 5 24 Funcţia inversă 6 3 Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi 7 31 Ecuaţii de gradul întâi 7 32 Inecua tii de gradul întâi 8 33 Modul unui număr real 9 4 Numere complexe Forma algebrică Puterile numărului i11 43 Conjugatul lui z Modulul unui număr complex Forma trigonometrică Formula lui Moivre Forma exponenţială Ecuaţia binomă 15 5 Progresii Progresiile aritmetice Progresiile geometrice 16 6 Logaritmi Ecuaţii şi inecuaţii logaritmice fundamentale Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale fundamentale 19

3 7 Geometrie Vectori Adunarea vectorilor Teoreme cu vectori Geometrie analitică în plan şi în spaţiu Plan determinat de un punct şi doi vectori necolinari paraleli cu planul Plan determinat de trei puncte necolinare Ecuaţia planului prin tăieturi Ecuaţia generală a planului Poziţia planelor Ecuaţia dreptei Ecuaţia dreptei determinat de un punct şi de un vector paralel cu dreapta Ecuaţia dreptei determinat de două puncte diferite Ecuaţia generală a dreptei Ecuaţia dreptei în plan Ecuaţia dreptei determinat de două puncte diferite Unghul determinat de două drepte Distanţa la un punct la o dreaptă (în plan) Ecuaţia bisectoarei (în plan) Distanţa la un punct la o dreaptă (în spaţiu) Cercul Elipsa Hiperbola Parabola Alte aplicaţii cu vectori 43 8 Metoda inducţiei matematice Axioma de recurenţă a lui Peano44 82 Metoda unducţiei matematice Variantă a metodei inducţiei matematice 44 9 Analiză combinatorie Permutări Aranjamente Combinări Binomul lui Newton Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale Polinoame Forma algebrică a unui polinom 47

4 102 Divizibilitatea polinoamelor Rădăcinile polinoamelor Ecuaţii algebrice Polinoame cu coeficienţi din R, Q, Z Permutări, matrici, determinanţi Permutări Matrici Determinanţi Inversa unei matrici Tr(A) Determinantul şi rangul Sisteme liniare Notaţii Compatibilitatea Sisteme omogene (b i =0) Trigonometrie Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Analiză matematică Recurenţe Recurenţe de ordin Recurenţe de ordin al doilea Limita de şiruri Limite generale, criterii de convergenţă Limite de funcţii Operaţii cu limite de funcţii Limite tip Continuitatea funcţiilor Teoreme pentru continuitatea funcţiilor Funcţii derivabile Definiţia derivatei într-un punct Reguli de derivare Derivatele funcţiilor elementare Derivatele funcţiilor compuse Derivatele de ordin superior ale unor funcţii elementare Proprietăţi ale funcţiilor derivabile Integrale Primitive 75

5 15 Primitivele funcţiilor Reguli pentru integrarea generală a funcţiilor Primitivele funcţiilor raţionale Integrale cu r=(x 2 +a 2 ) 1/ Integrale cu s=(x 2 a 2 ) 1/ Integrale cu t=(a 2 x 2 ) 1/ Integrale cu R 1/2 =(ax 2 +bx+c) 1/ Integrale cu R 1/2 =(ax+b) 1/ Integrale de funcţii trigonometrice ce conţin numai sin Integrale cu funcţii trigonometrice ce conţin numai cos Integrale cu funcţii trigonometrice ce conţin numai tan Integrale cu funcţii trigonometrice ce conţin atât sin cât şi cos Funcţii logaritmice Proprietăţi ale integralei definite Teorema Fundamentală Inegalităţi Alte teoreme Funcţii primitivabile Funcţii integrabile Arii Structuri algebrice Grupul Proprietăţi şi teoreme Monoid Inel Corpuri Spaţii vectoriale 93

6 1 Operaţii cu numere reale 11 Radicali,Puteri 111 Puteri 1 a m n = a m a n 2 a m b m = (a b) m 3 a m : a n = a m n 4 a m : b m = (a : b) m 5 a m = 1 a m 6 (a m ) n = a mn Puterile numerelor reale se extiind atât pentru exponenți raționali pozitivi sau negativi, cât şi pentru puterile reale fiind definite cu ajutorul şirurilor de puteri raționale Aceste puteri au proprietǎți identice cu exponenți numere naturale 112 Radicali n 1 a = a 1 n, a > 0; n 1 2 a = n 1 a = a 1 m ; 3 ( n a) n = a; n 4 a n b = n ab; 5 ( n 1 a )n = 1 a ; n 6 a n b n c = n abc; n 7 a : n b = n a b ; m 8 a n a = nm a n+m ; m 9 a : n a = nm a n m ; 10 n a nm = a m ; m 11 a n = a n m ; mn 12 a mp = n a p ; m 13 a p n b q = nm a pn b qm ; m 14 n a = nm a; 1

7 15 a 2 = a ; 2n+1 16 a = 2n+1 a; 17 a ± a+c a c b = 2 ± 2, c2 = a 2 b; 12 Identitǎţi Oricare ar fi x, y, z, t, a, b, c, d R şi n N avem: 1 a 2 b 2 = (a b)(a + b) 2 (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (ax by) 2 + (ay + bx) 2 3 a b b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) 4 a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) 5 a 3 + b 3 + c 3 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca) 6 a b + b 3 + c 3 = (a + b + c) 3 3(a + b)(b + c)(c + a) 7 a 4 b 4 = (a b)(a + b)(a 2 + b 2 ) 8 a 4 + b 4 = (a 2 + b 2 ab 2)(a 2 + b 2 + ab 2) 9 a 5 b 5 = (a + b)(a 4 + a 3 b + a 2 b 2 + ab 3 + b 4 ) 10 a 6 + b 6 = (a 3 2ab 2 ) 2 + (b 3 2a 2 b) 2 11 a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b + + ab n 2 + b n 1 ) 12 a 2n+1 + b 2n+1 = (a + b)(a 2 n a 2n 1 b + ab 2n 1 + b 2n ) 13 (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac 2 n n n 14 a j x j = a 2 j j=1 15 (Hermite) x 2 j j=1 j=1 k=0 1 i<j n n 1 [ x + k ] = [nx], n (a i x j a j x i ) 2 cu [ ] notǎm partea întreagǎ Fie x un numǎr real Se numeşte parte întreagǎ a lui x, cel mai apropiat întreg mai mic sau egal cu x Se numeşte parte fracționară a lui x, diferența dintre numǎr şi partea lui întreagă Definiția este sugerată de Axioma lui Arhimede : Pentru orice numar real x, existǎ un numǎr întreg n, unic, astfel incat n x < n+1 2

8 11 Permutǎri, matrici, determinanţi 111 Permutǎri Definiţie 111 Fie A = {1, 2,, n}, σ se numeşte permutare de gradul n dacǎ σ : A A şi bijectivǎ ( σ = ) 1 2 n σ(a) σ(2) σ(n) S n mulțimea ( permutǎrilor ) de grad n; S n = n!; 1 A = e, permutarea identicǎ e = 1 2 n 1 2 n ; Compunerea permutǎrilor: ( ) Fie σ, τ S n atunci σ τ = 1 2 n σ(τ(1)) σ(τ(2)) σ(τ(n)) S n Transpoziții: Definiţie 112 Fie i, j A, i j, τ ij S n, τ ij se numeşte transpoziţie dacǎ: Observații: τ ij (k) = 1) (τ ij ) 1 = τ ij ; j, dacǎ k=i; τ ij (k) = i, dacǎ k=j; k, în celelalte cazuri ( 1 2 i k j n 1 2 j k i n 2) Numǎrul transpozițiilor de grad n este C 2 n Signatura(semnul) unei permutǎri:, ) Definiţie 113 Fie (i, j) AxA, i < j, (i, j) se numeşte inversiune a lui σ dacǎ σ(j) < σ(i) m(σ) numǎrul inversiunilor a lui σ : 0 m(σ) C 2 n = n(n 1) 2 ɛ(σ) = ( 1) m(σ) se numeşte signatura lui σ 50

9 Observații: 1) Permutarea σ se numeşte parǎ dacǎ ɛ(σ) = 1, respectiv imparǎ dacǎ ɛ(σ) = 1; 2) Orice transpoziție este imparǎ; 3) ɛ(σ) = σ(i) σ(j) ; i j 1 i<j n 4) ɛ(σ τ) = ɛ(σ) ɛ(τ) 112 Matrici Definiţie 114 Fie M = {1, 2,, m} şi N = {1, 2,, n} O aplicaţie A : MxN C, A(i, j) = a ij se numeşte matrice de tipul (m, n); cu m linii şi n coloane: a 11 a 1n a 21 a 2n a m1 a mn şi notǎm M m,n (C) mulţimea matricelor de tipul (m, n) cu elemente numere complexe Definiţie 115 Dacǎ m = n atunci matricea se numeşte pǎtraticǎ de prdinul n, iar mulţimea lor se noteazǎ M n (C) Definiţie 116 Douǎ matrici A, B M m,n (C) sunt egale dacǎ şi numai dacǎ a ij = b ij, (i, j) MxN Operații cu matrici: 1 (Adunarea:)Fie A, B M m,n (C) atunci C = A + B M m,n (C), unde c ij = a ij + b ij, 51

10 (i, j) M N este suma lor Proprietǎți: Pentru orice A, B, C M m,n (C) avem cǎ: (a) A + B = B + A (b) (A + B) + C = A + (B + C) (c) A + O = O + A = A(elementul neutru O = O m,n matricea nulǎ) (d) A + ( A) = ( A) + A = O (inversa lui A) 2 (Înmulțirea cu scalari): Fie A M m,n (C) şi λ C atunci B = λa M m,n (C), unde b ij = λa ij, (i, j) M N este produsul matricei A cu scalarul λ Proprietǎți: Pentru A, B M m,n (C) şi λ, µ C avem cǎ: (a) 1 A = A; (b) λ A = A λ; (c) (λ + µ)a = λa + µa; (d) λ(a + B) = λa + λb; (e) λ(µa) = (λµ)a = µ(λa) 3 (Transpusa unei matrici): Fie A M m,n (C) atunci t A M m,n (C) unde t a ij = a ji, (i, j) M N 4 (Înmulțirea matricelor): Fie A M m,n (C) şi B M n,p (C) atunci n C = A B M m,p (C), unde c ij = a ik b kj, (i, j) M N este produsul lor Proprietǎți: k=1 (a) (AB)C = A(BC); (b) AI n = I n (element neutru matricea unitate) I n = M m,n (C);

11 (c) (A + B)C = AC + BC; (d) A(B + C) = AB + AC 113 Determinanţi Fie M n (C) mulțimea matricilor pǎtrate de ordin n cu elemente din C: A = a 11 a 1n a 21 a 2n a n1 a nn M n(c); Definiţie 117 Se neşte determinantul matricii A numǎrul det A = σ S n ɛ(σ)a 1σ(a) a 2σ(2) a nσ(n) a 11 a 1n a 21 a 2n det A = a n1 a nn det A = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in, unde A ij este complementul algebric al elementului a ij Dacǎ C = AB, atunci det C = det A det B(A, B, C M n (C)) Determinantul de ordin 2: a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Determinantul de ordin 3: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 12 a 23 a 31 a 31 a 22 a 13 a 11 a 32 a 23 a 21 a 12 a 33 53

12 are arie şi aria este b a (g(x) f(x))dx 16 Structuri algebrice 161 Grupul În matematică, un grup este o structură algebrică ce constă dintr-o mulțime şi o operație care combină două elemente ale mulțimii pentru a forma un al treilea element al aceleiaşi mulțimi Pentru a fi un grup, mulțimea şi operația trebuie să satisfacă o serie de condiții, denumite axiomele grupurilor, şi anume asociativitatea, elementul neutru şi elementul simetric Deşi acestea sunt proprietăți cunoscute ale multor structuri matematice, cum ar fi mulțimile de numere-de exemplu, mulțimea numerelor întregi împreunǎ cu operația de adunare formează un grup-formularea axiomelor este detaşatǎ de natura concretǎ a grupului şi de operația respectivǎ Aceasta permite manevrarea unor entități de origini matematice diferite într-o manieră flexibilǎ, pǎstrând în acelaşi timp aspecte structurale esențiale comune ale multor tipuri de obiecte Omniprezența grupurilor în numeroase domenii-atât matematice cât şi din afara matematicii-face din ele un principiu central de organizare în matematica contemporanǎ Un (G, ), format dintr-o mulțime G şi o lege de compoziție internǎ pe G, este grup dacǎ sunt satisfǎcute axiomele: Axioma închiderii: Oricare ar fi x şi y din G, şi rezultatul operației x y face parte din G Axioma asociativitǎții:oricare ar fi x,y,z din G, (x y) z = x (y z) Axioma elementului neutru Existǎ un element e în G, astfel încât e x = x e = x, oricare ar fi x din G Axioma elementelor simetrice: Oricare ar fi x din G, există y în G cu proprietatea cǎ x y = y x = e Dacă este satisfăcută şi axioma Axioma comutativității: Oricare ar fi x,y din G, x y = y x atunci grupul (G, ) se numeşte grup comutativ sau belian 89

13 1611 Proprietǎţi şi teoreme Teoremǎ 161 (Grupul lui Lorenz) Fie a > 0, G = ( a, a), x y = Atunci (G, ) este grup Abelian x+y 1+ xy a 2 Teoremǎ 162 Fie (G, ) şi fie H G Dacǎ H şi pentru orice x, y H avem x y H, şi pentru orice x H avem x 1 H, în acest caz H este subgroup a lui G şi notǎm cu H G Teoremǎ 163 Fie (G, ) un group, atunci H G este subgrup a lui G, dacǎ şi numai dacǎ, e H( e elementul neutru a lui G) şi pentru orice x, y H avem x y 1 H Teoremǎ 164 Fie (G, ) un group Fie Z G = {x G : x y = y x, y G}Atunci Z G este grup abelian Teoremǎ 165 Fie (G, ) un grup Atunci H = {e, a, a 2, a 3,, a n, } {a 1, a 2, } este subrup a lui G şi senumeşte subrup generat de a care se noteazǎ cu H = a Teoremǎ 166 Fie G un grup şi H, K G atunci (H K) G Teoremǎ 167 Fie (G, ) şi (G, ) grupuri Spunem cǎ grupurile G şi G sun izomorfe dacǎ şi numai dacǎ existǎ f : G G o funcţie bijectiǎ, pentru care f(x 1 x 2 ) = f(x 1 ) f(x 2 ), x 1, x 2 G şi f nu este bijectiǎ atunci f este morfism de grupuri Dacǎ G = G şi f este izomorfism, atunci f este automorfism Teoremǎ 168 Fie (G, ) şi (G, ) grupuri, fie f : G G un morfism Atunci f(e 1 ) = e 2, f(x 1 ) = [f(x)] 1, x G şi f(x n ) = [f(x)] n x G Teoremǎ 169 Fie ker(f) = {x G : f(x) = e 2 }, atunci ker G, respectiv Im(f) G Teoremǎ 1610 Fie (G, ) un grup şi H G un subrup al lui G şi fie xh = xh h H, x G x, y G atunci xh = yh, dacǎ şi numai dacǎ y 1 x H Teoremǎ 1611 (Lagrange) Fie (G, ) un grup finit şi fie H G un subrup a lui G Atunci H G, unde G numǎrul elementelor a lui G 90

14 Teoremǎ 1612 Fie G un grup cu n elemente Atunci ord(a) n, unde ord(a) = min{k : a k = e} Teoremǎ 1613 Dacǎ (G, ) este group cu G = p elemű csoport, unde p prim, atunci G ciclic Teoremǎ 1614 Fie G, G douǎ grupuri ciclic cu acelasi ordin Atunci G = G Teoremǎ 1615 (Cauchy) Fie (G, ) este grup finit cu ordin p, unde p este prim, p G, atunci x G, astfel încât ord(x) = p Definiţie 161 Fie (G, ) un grup şi p un numǎr prim, astfel încât G = p m r, p r, atunci un grup de ordin p m care este subgrup a lui G, atunci subgrupul se numeste subgrup Sylow de oridn p Teoremǎ 1616 (Feit-Thomson) Orice grup simplu cu ordin finit este abelian Teoremǎ 1617 Fie N G (H) = {g G ghg 1 = H} Dacǎ H G, atunci H N G (H) Teoremǎ 1618 Existǎ un morfism f : Q + Q surjectiv între (Q +, ) şi (Q, +) Teoremǎ 1619 Fie p un numǎr prim şi fie G = p 2 Atunci G este Abelian Teoremǎ 1620 Dacǎ G = Z n, atunci G este un grup cu ordin n Teoremǎ 1621 Dacǎ G = p 3, atunci x p Z(G) 162 Monoid În matematică monoid este o structură algebrică formată dintr-o mulțime S şi o lege de compoziție internă asociativă şi cu element neutru Astfel, un monoid este un semigrup cu element neutru Operația monoidului este adesea notată multiplicativ (de exemplu, ), adică rezultatul aplicării operației asupra perechii ordonate (x, y) este notat x y, x y sau chiar xy Reluând definiția, sunt îndeplinite următoarele reguli: 91

15 Lege de compoziție internă : A A A sau oricare ar fi x şi y două elemente din A, avem adevărată relația: x y A (Asociativitate)Oricare ar fi x, y şi z trei elemente din A, avem adevărată relația: x (y z) = (x y) z (Element neutru):există e un element din A astfel încât: oricare ar fi x un element arbitrar din A, avem relațiile: e x = x e = x 163 Inel Structura (A, +, )-t este inel dacǎ: (A, +) este Abelian (A, ) este monoid şi " " distributiv fațǎ "+": - x (y + z) = x y + x z, - (y + z) x = y x + z x x, y, z A dacǎ x y = y x, x, y A, atunci inelul este commutativ Exemple: 1 (Z, +, ) ; 2 (Z[i], +, ) unde Z[i] = {z = a + ib a, b Z} 3 (R n,, ); 4 (M n (R), +, ) ; 5 (Z n, +, ) Fie (A,, ) şi (A,, ) inele: Definiţie 162 f : A A -et este morfism de inele dacǎ f este bijectivǎ şi f(x y) = f(x) f(y), f(x y) = f(x) f(y), x, y A 164 Corpuri Fie (K, +, ) structurǎ algebricǎ şi, K K K, (x, y) x+y, K K K, (x, y) x y, K nevidǎ; 92