ισούται με: (Γ) α β Υ δ 8 ε ξ η

Transcript

1 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Ιανουάριος 000 ΧΡΟΝΟΣ: 50 ΛΕΠΤΑ Δοκίμιο για Α', Β', ' Λυκείου Άσκηση. Η παράσταση ισούται με: (Α) (Β) 5 () 8 5 (Δ) 5 (Ε) 7 Άσκηση. Δύο από τους παράγοντες της συνάρτησης f ( ) = + a+ β είναι οι χ+ και χ+. Τα α και β ισούνται με: (Α) α=-7, β=6 (Β) α=-7, β=-6 () α=, β=- (Δ) α=-9, β=8 (Ε) α=7, β=6 Άσκηση. α β Υ δ 8 ε ξ η Στη πιο πάνω διάταξη καθένα από τα γράμματα αντιπροσωπεύει ένα ψηφίο και το άθροισμα οποιωνδήποτε τριών διαδοχικών ψηφίων είναι ίσο με 8. Το η παριστάνει το ψηφίο: (Α) (Β) () 5 (Δ) 7 (Ε) 8 Άσκηση. Η σωστή διάταξη των αριθμών α= 55 β=, γ=5 είναι (Α) α<β<γ (Β) α<γ<β () β<γ<α (Δ) β<α<γ (Ε) γ<β<α Άσκηση 5. Στο σχήμα, το ΑΒΔ είναι τετράγωνο με πλευρά 6 cm. To χ ισούται με: (A) 8 cm (Β) 8, cm () 0 cm (Δ) 6 cm (E) cm ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 7

2 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' Λυκείου Άσκηση 6. Το πλήθος των διαγωνίων ενός οκταγώνου είναι (Α) 8 (Β) () 6 (Δ) 0 (Ε) 8 Άσκηση 7. Το εμβαδά του τριγώνου που περικλείεται από τις ευθείες (ε ): ψ = χ+, (ε ): ψ = χ + και του άξονα των χ ισούται με: (Α) (Β) 6 () 7,5 (Δ) 6 (Ε) Άσκηση 8. Οι τιμές του χ που επαληθεύουν την ανίσωση > είναι: (Α) χ<6 (Β)χ<0ήχ> ()<χ<6 (Δ)χ<ήχ>6 ( Ε )<χ <6 Άσκηση 9. Ποσό 6 μοιράζεται σε τρία άτομα ανάλογα προς τους αριθμούς : :. Το μικρότερο ποσό θα είναι: (Α) 0,5 (Β) () 6 (Δ) 6,50 (Ε) Άσκηση 0. Ποιου αριθμού τα των 5 είναι 0; (Α) 6 (Β) 00 () (Δ) 80 (Ε) 5 Άσκηση. Οι α, β, γ, και δ είναι ακέραιοι θετικοί αριθμοί με α > β > γ > δ. Αν το πηλίκο της διαίρεσης a β είναι γ και το υπόλοιπο δ, τότε η διαίρεση a γ έχει: (Α) πηλίκο γ, υπόλοιπο δ γ (Β) πηλίκο β, υπόλοιπο δ γ () πηλίκο δ, υπόλοιπο γ (Δ) πηλίκο β, υπόλοιπο γ (Ε) πηλίκο β, υπόλοιπο δ Άσκηση. Αν το χ αυξηθεί κατά 60% και το ψ ελαττωθεί κατά 0%, τότε το χψ θα (Α) ελαττωθεί κατά 0% (Β) ελαττωθεί κατά % () αυξηθεί κατά % (Δ) αυξηθεί κατά 0% (Ε) αυξηθεί κατά 0% Άσκηση. Ορίζουμε ότι χ = χ και χ ψ = χ-ψ. Η τιμή του 7 είναι: (Α) (Β) 6 () (Δ) (Ε) 96 Άσκηση. Το σύνολο των παραλληλογράμμων που υπάρχουν στο σχήμα είναι: 8 ΚΥ.Μ.Ε.

3 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' Λυκείου (Α) 6 (Β) 7 () (Δ) 8 (Ε) Άσκηση 5. Το εμβαδά του κυκλικού τμήματος που φαίνεται στο σχήμα είναι: π R (Α) (Β) π R () π R (Δ) π R (Ε) π R Άσκηση 6. Έμπορος αγόρασε χ κιλά μήλα και πλήρωσε α. Αν τα πώλησε προς β σεντς το κιλό, το ποσοστιαίο κέρδος του ήταν: (Α) a β (Β) β 00 a () β 00a a (Δ) β a (Ε) 00 β a 00a Άσκηση 7. Ο τροχός του σχήματος κάνει 00 στροφές το λεπτό. Το σημείο Α σε δευτερόλεπτο θα κάνει στροφή. A K (Α) 5 (Β) 8 () 7 (Δ) 080 (Ε) 800 Άσκηση 8. Ένα βιβλίο με ν σελίδες έχει πάχος β cm περιλαμβανομένων των εξώφυλλων, τα οποία έχουν πάχος γ cm το καθένα. Άλλο βιβλίο με ν σελίδες και παρόμοια εξώφυλλα θα έχει πάχος: ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 9

4 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' Λυκείου (Α) β (Β) (β-γ) () β-γ (Δ) (β-γ) (Ε) β+γ Άσκηση 9. Στο διπλανό σχήμα, το ΑΒ είναι ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο με Μ =90, ΔΕ//Β και ΒΔ=ΒΜ. Η γωνιά ΜΔΕ ισούται με: (Α) 5 (Β) 60 () 6,5 (Δ) 67,5 (Ε) 90 Άσκηση 0. Αν a = β β + γ, τότε β = (Α) a γ + a (Β) a γ a γ () + a (Δ) aγ a (Ε) a γ a Άσκηση. Μείγμα 80 g, νερού και γλυκερίνης περιέχει 0% γλυκερίνη. Αν προσθέσω 0 g νερού στο μείγμα, τότε το ποσοστό της γλυκερίνης στο μείγμα θα γίνει: (Α) 0% (Β) % () 5% (Δ) 0% (Ε) 5% Άσκηση. Σε ένα εργοστάσιο εργάζονται α άνδρες και γ γυναίκες. Ο μέσος μισθός των ανδρών είναι χ και των γυναικών y. Ο μέσος μισθός όλων των εργαζομένων, ανδρών και γυναικών, είναι: (Α) + y (Β) y + a γ () y + a γ (Δ) a + γ y a + γ (Ε) a + γ y + y Άσκηση. Αν f ( ) a = όπου a 0, τότε f f = (Α) α (Β) α () χ (Δ) (Ε) a Άσκηση. Τα μέσα των χορδών του κύκλου (Κ, ΚΑ) που είναι κάθετες προς τη χορδή ΑΒ βρίσκονται πάνω: 0 ΚΥ.Μ.Ε.

5 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' Λυκείου (Α) στη χορδή ΑΒ (Β) στη διάμετρο που είναι κάθετη στην ΑΒ () στη διάμετρο που είναι παράλληλη προς την ΑΒ (Δ) σε τόξο κύκλου που έχει κέντρο το μέσο Μ της ΑΒ (Ε) σε τόξο κύκλου που έχει κέντρο το μέσο Ν του τόξου ΑΒ Άσκηση 5. Έχω μπάλες από τις οποίες οι ζυγίζουν το ίδιο, ενώ η μια είναι ελαφρότερη από τις άλλες. Αν διαθέτω ζυγαριά με δύο πλάστιγγες, ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός ζυγισμάτων που χρειάζομαι να κάμω για να βρω στα σίγουρα την ελαφρότερη μπάλα: (Α) (Β) () (Δ) 7 (Ε) Άσκηση 6. Αν το ν είναι ακέραιος θετικός αριθμός, τότε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 99 ν + 9 είναι πάντοτε: (Α) 0 (Β) () 8 (Δ) ένας από τους αριθμούς,, 5, 7, ή 9 (Ε) ένας από τους αριθμούς 0,,, 6 ή 8 Άσκηση 7. Σε μια φωλιά υπάρχει ένα είδος εντόμων για τα οποία είναι γνωστό ότι κάθε μεσημέρι διπλασιάζονται σε αριθμό ενώ κατά τη διάρκεια της νύκτας πεθαίνουν έντομα. Αν τη Δευτέρα το πρωί υπάρχουν έντομα στη φωλιά, πόσα έντομα θα υπάρχουν το επόμενο Σάββατο το πρωί; (Α) 5 (Β) 9 () 5 (Δ) 5 (Ε) 55 Άσκηση 8. Στο διπλανό σχήμα το τεταρτοκύκλιο χωρίζεται σε δύο μέρη από το ημικύκλιο που έχει διάμετρο την ακτίνα του τεταρτοκυκλίου. Ο λόγος των εμβαδών των E δυο μέρων ισούται με: E ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

6 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' Λυκείου (Α) (Β) () (Δ) (Ε) Άσκηση 9. Αν α<0 και β<0, ποια από τις πιο κάτω ισότητες είναι λανθασμένη; Άσκηση 0. Η παράσταση Π= α β γ ισούται με: ΚΥ.Μ.Ε.

7 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Απρίλιος 00 ΧΡΟΝΟΣ:60 ΛΕΠΤΑ Δοκίμιο για Α', Β', ' Λυκείου Άσκηση. Εάν ο αριθμός β είναι θετικός και α = β, ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι λάθος: α β > 0 α + β = 0 αβ < 0 Δ. 0 α β = Ε. + α = β 0 Άσκηση. Εάν το σημείο (, ) είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος που ενώνει τα σημεία ( χ,) και (,ψ ), τότε το χ+ψ ισούται με: Δ. 7 0 Άσκηση. Εάν α β = αβ, τότε η παράσταση α ( β γ ) ισούται με: αβγ α βγ βγ α Δ. αβ γ Ε. 9αβγ Άσκηση. Η λύση της ανίσωσης χ χ + >, είναι: χ + χ< ή χ> χ<- ή χ>- <χ< Δ. <χ<- Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα Άσκηση 5. Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης ( χ χ )( χ ) ισούται με: = Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα χ Άσκηση 6. Εάν f ( χ ) = 9 τότε η παράσταση f ( χ ) f ( χ ) + ισούται με: 9 f ( χ ) f ( ) Δ. 8 f ( χ ) Ε. 9 f ( χ ) χ ψ ισούται με: Άσκηση 7. Η παράσταση ( ) ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

8 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ χψ χ ψ χ + ψ χ ψ Δ. ψ χ χψ Ε. χ ψ Άσκηση 8. Το πλήθος των ακεραίων λύσεων της ανίσωσης ν 7ν είναι: A. 0 B. 5 Δ. 6 Ε. περισσότερες από 7 Άσκηση 9. Δίνεται η εξίσωση + μ = 0, όπου μ είναι θετικός ακέραιος. Αν οι ρίζες της εξίσωσης ρ, ρ είναι θετικοί και διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί, τότε η τιμή της παράστασης ( ) Κ= ρ+ ρ + ρ ρ ισούται με: Δ. 6 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσκηση 0. Ο αριθμός ( 8) είναι ίσος με: + Δ. Ε. Άσκηση. Η κλίση μιας ευθείας είναι μη μηδενική και ισούται με την τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον y-άξονα Αν η ευθεία τέμνει τον -άξονα στο α, τότε το α ισούται με: Δ. Ε. 5 χ Άσκηση. Εάν f ( χ + ) =, τότε η συνάρτηση f ( ) ισούται με: 5 χ χ χ + 5 χ Δ. χ 6 Ε. Τίποτα από τα προηγούμενα. Άσκηση. Το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης χ συνχ + = 0 είναι: { } { } Δ. { } Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα Άσκηση. Αν για να αγοράσουμε 5 ταχινόπιτες πρέπει να δώσουμε τόσες λίρες όσες ταχινόπιτες αγοράζουμε με μία λίρα,τότε η μία ταχινόπιτα στοιχίζει: 5 σεντς 5 σεντς 0 σεντς Δ. 0 σεντς Ε. 0 σεντς Άσκηση 5. Δίνεται ένα κυρτό εικοσάγωνο Α... Α0.Ο αριθμός των διαγώνιων που ενώνουν τις κορυφές με άρτιους δείκτες (π.χ. Α Α, ) ισούται με: Δ. 0 Ε. 0 ΚΥ.Μ.Ε.

9 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ Άσκηση 6. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΔ είναι ορθογώνιο με ΑΕ =ΕΖ=ΖΒ= και ΑΗ = ΗΘ = ΘΔ = χ. Aν ΒΗ ΔΕ = ΘΖ, το μήκος του ΑΔ ισούται με: Δ. Ε. Άσκηση 7. Δίνεται ορθογώνιο με περίμετρο 6 cm. Το μήκος της μιας διάστασης του ισούται με χ cm. Η γραφική παράσταση του εμβαδού Ε, του ορθογωνίου, συναρτήσει του χ είναι: Ε Ε Ε Ε Ε χ χ χ χ Δ. Ε. χ Άσκηση 8. Εάν το κέντρο του κύκλου με διάμετρο είναι κορυφή ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου όπως φαίνεται στο σχήμα και το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής είναι του εμβαδού του τριγώνου τότε η κάθετη πλευρά του τριγώνου ισούται με: 6π π Δ. 6π Ε. π Άσκηση 9. Ο μικρότερος θετικός ακέραιος κ (κ>0) έτσι ώστε η παράσταση κ + + κ κ + να είναι τετράγωνο φυσικού αριθμού ισούται με: ( ) ( ) ( ) 9 Δ. Ε. 9 Άσκηση 0. Δίνεται συνάρτηση f : χ, χ {} 0. Η παράσταση χ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 5

10 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ ( ( ( ))) f f f χ ισούται με: 6 8 Δ. 8² Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα Άσκηση. Στο σχήμα το ευθύγραμμο τμήμα Β εφάπτεται του κύκλου ακτίνας με κέντρο την αρχή Ο ορθοκανονικού συστήματος αξόνων. Εάν το ευθύγραμμο τμήμα Ο τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ρ, τότε το μήκος του τμήματος Ρ ισούται με: Ο Δ. Ε. χ = χω Άσκηση. Δίνεται το σύστημα ψ = ψω Η θετική τιμή του ψ η οποία χ + ψ = επαληθεύει τις εξισώσεις ισούται με: Δ. 0 Ε. 6 0 Άσκηση. Έστω f συνάρτηση που ορίζεται για μ, ν έτσι ώστε: () i f ( μ ), ( ) ( ) ii f =, ( iii) f ( μν) = f ( μ) f ( ν) ( iv) f ( μ ) f ( ν ) Η τιμή του f() ισούται με: > όταν μ > ν Δ. 6 Ε. 6 Άσκηση. Οι πλευρές των τριών τετραγώνων ΑΒΔ, ΑΕΖΗ και ΑΘΙΚ στο διπλανό σχήμα, είναι ακέραιοι αριθμοί και το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας είναι. Αν ΒΕ=ΘΕ, το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΘΙΚ είναι: 6 ΚΥ.Μ.Ε.

11 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ Α Δ Η Κ Β Ε Θ Ζ Ι Δ. 00 Ε. 96 Άσκηση 5. ( ) Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο = 90 και ο κύκλος με κέντρο Ο είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο. Αν ΚΛ διάμετρος, ΚΛ // ΑΒ, ΚΜ ΑΒκαι ΛΝ ΑΒ, η γωνία ΜΝ ισούται με: Μ Ν Δ. 5 Ε. 5 Άσκηση 6. Η ευθεία c χ = τέμνει το τρίγωνο με κορυφές ( 0,0 ), (,) ( 9,) και και το χωρίζει σε δύο μέρη. Εάν το εμβαδόν των δύο περιοχών στις οποίες χωρίζεται το αρχικό τριγώνου είναι ίσο, τότε η τιμή c ισούται με: Ψ (,) χ=c (9,) (0,0) X 5 7 Δ. Ε. 0 Άσκηση 7. Σε ένα διαγωνισμό Μαθηματικών πήραν μέρος 000 μαθητές. Το δοκίμιο περιείχε προβλήματα. Το πρώτο πρόβλημα απαντήθηκε σωστά από 900 ακριβώς μαθητές, το δεύτερο από 800, το τρίτο από 700 και το τέταρτο από 600. Κανένας από τους διαγωνιζόμενους δεν απάντησε σωστά και στα τέσσερα προβλήματα. Οι μαθητές που έλυσαν το τρίτο και το τέταρτο πρόβλημα πήραν μετάλλιο. Ο αριθμός των μαθητών που πήραν μετάλλιο ισούται με: Δ. 650 Ε. 00 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 7

12 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ Άσκηση 8. Δίνονται δύο ακολουθίες : αν = + ν και βν ν = + όπου ν=,,, Έστω μ ο μικρότερος αριθμός έτσι ώστε αμ < βμ και ο κ είναι ο μεγαλύτερος αριθμός έτσι ώστε α > β +. Η τιμή του μ + κ ισούται με: κ 5 0 Δ. Ε. 8 κ Άσκηση 9. Δίνονται οι συναρτήσεις f 0, f, f,..., f ν με f 0( ) = και f ( ) = + f ( ) για κάθε k =0,,,..,ν-.Το f (00) είναι: 000 k k Δ. 00 Ε Άσκηση 0. Το συνολικό άθροισμα των ψηφίων των αριθμών και 5 είναι: Δ. 600 Ε ΚΥ.Μ.Ε.

13 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Απρίλιος 00 ΧΡΟΝΟΣ: 60 ΛΕΠΤΑ Δοκίμιο για Α', Β', ' Λυκείου Άσσκκηησσηη.. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ=Α=6 και Β=5. Αν Δ σημείο της πλευράς Β τέτοιο ώστε ΒΔ =, το μήκος του ΑΔ είναι: 5 Δ. Ε. 5 Άσσκκηησσηη.. Η παραβολή με εξίσωση ψ = αχ + βχ + γ έχει κορυφή το σημείο (,) και περνά από το σημείο (,0). Το γινόμενο αβγ ισούται: Δ. 8 Ε. Κανένα από προηγούμενα Άσσκκηησσηη.. Εάν χ χ χ χ = ψ ψ ψ ψ α τότε το α ισούται: 8 Δ. 8 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη.. Ο μεγάλος μαθηματικός De Morgan έζησε κατά τον 9 ο αιώνα μ.χ. Στον τελευταίο χρόνο της ζωής του είπε: «ήμουν χ χρονών το έτος χ²». Το έτος γέννησης του De Morgan ήταν: Δ. 85 Ε. 85 Άσσκκηησσηη 55.. Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι ευθείες (ε ): ψ = χ + και (ε ): ψ = χ +. Το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους είναι: ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 9

14 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ 8 9 Δ. 6 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα. Άσσκκηησσηη 66.. Στο τρίγωνο ΑΒ είναι ΑΒ = 6, 0 BAM = 0, ΑΜ διάμεσος, ΑΜ = 8. Το εμβαδόν του τριγώνου ( AM Δ ) ισούται: Α Β Μ 7 Δ. Ε. Άσσκκηησσηη 77.. Ο αριθμός + είναι ρίζα της συνάρτησης: χ + 0χ + χ 0χ + χ χ + Δ. χ 0χ + 6 Ε. χ 0χ + 0 Άσσκκηησσηη 88.. Το σημείο Ρ ανήκει στην ευθεία ψ = 5χ +. Το σημείο Σ έχει συντεταγμένες (, ). Αν Μ το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΡΣ, τότε το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία. 5 7 ψ = χ ψ = 5χ + 7 ψ = χ 5 5 Δ. 5 ψ = χ + Ε. ψ = 5χ 7 Άσσκκηησσηη 99.. Στο διπλανό κύκλο τα τόξα A και ΒΔ έχουν μέτρα A = 70, ΒΔ = 0. Αν οι χορδές ΑΒ και Δ τέμνονται στο σημείο Ρ η γωνία ΡΒ ισούται: Α Ρ Δ Β Δ. 50 Ε. 75 Άσσκκηησσηη 00.. Στο διπλανό σχήμα ΑΒΔ είναι τετράγωνο και ΒΕΖ κυκλικός τομέας μέσα στο ορθογώνιο ΑΗΖΔ. Εάν ΑΔ = Ε, ο λόγος των ευθυγράμμων τμημάτων ΔΖ και ΑΔ ισούται: 0 ΚΥ.Μ.Ε.

15 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ Α Β Η Δ Ε Ζ Δ. + 7 Ε. Άσσκκηησσηη.. Στο διπλανό σχήμα ΑΒ, ΔΕ είναι διάμετροι στον κύκλο με κέντρο, Ζ μέσο του τόξου ΑΔ, ΕΖ χορδή του κύκλου που τέμνει την ΑΒ στο σημείο Η. Αν 0 ΒΕ = 60 η γωνία Α H Ζ ισούται: Ε Α Η Β Ζ Δ Δ. 5 Ε. Αδύνατο να υπολογιστεί Άσσκκηησσηη.. Ένας ακέραιος αριθμός α διαιρούμενος με το 6 δίνει υπόλοιπο 5, ενώ διαιρούμενος με το 7 δίνει υπόλοιπο. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του α με το είναι: Δ. Ε. Άσσκκηησσηη.. Αν οι αριθμοί μ,ν είναι περιττοί με μ > ν > τότε για την εξίσωση χ + μχ + ν = 0 τι ισχύει από τα παρακάτω: Η διακρίνουσα είναι τέλειο τετράγωνο. Η εξίσωση έχει ρίζες άρρητες. Η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. Δ. Το άθροισμα των ριζών είναι περιττός αριθμός. Ε. Το γινόμενο των ριζών είναι πρώτος αριθμός. Άσσκκηησσηη.. Δύο γεωργοί θέλουν να μοιράσουν ένα δοχείο με 0 λίτρα λάδι, έχοντας μόνο βοηθητικά άδεια δοχεία των 5 lt και lt, ώστε ο πρώτος να πάρει 9 lt και ο δεύτερος lt. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός των δοκιμών για να το πετύχουν αυτό: 6 5 Δ. Ε. Άσσκκηησσηη 55.. Αν για τη συνάρτηση ψ f ( χ ) =, χ ισχύουν οι συνθήκες: ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

16 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ (α) για κάθε, (β) f ( ) = χ χ με χ χ f ( χ ) f ( χ ) και Τότε η λύση της ανίσωσης f ( χ ) + f είναι: ( χ ) χ = χ = χ = 0 Δ. χ = Ε. χ = Άσσκκηησσηη 66.. Στο διπλανό σχήμα, ΑΒΔ είναι τετράγωνο, πλευράς. Εάν Μ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ και ΔΡ Μ, τότε το ευθύγραμμο τμήμα ΔΡ ισούται: Δ Ρ Α Μ Β Δ. Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη 77. χ χ ισούται:. Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης f ( χ ) = Δ. 5 Ε. 8 Άσσκκηησσηη 88.. Εάν f ( χ ) f ( f ( α )) = α, και f ( α ) χ =. Το πλήθος των τιμών του α για τις οποίες ισχύει χ + α ισούται: 0 Δ. Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη 99.. Εάν α =, α =, αν = για ν, χ, χ 0 χ α αν Το α 00 ισούται με: χ χ χ Δ. χ χ Ε. χ Άσσκκηησσηη 00.. Δίνονται τρία τετράγωνα με διαστάσεις όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους ισούται: ΚΥ.Μ.Ε.

17 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ 9 5 Δ. 5 Ε. 5 Άσσκκηησσηη.. Σε ένα τραπέζιο ΑΒΔ (ΑΒ//Δ) με ΑΒ>Δ, το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα των ΑΒ και Δ ισούται με το μισό της διαφοράς των βάσεων του και περνά από το σημείο τομής Ε των προεκτάσεων των μη παράλληλων πλευρών του τραπεζίου. Η γωνία AEB ισούται: Δ. 0 Ε. 60 Άσσκκηησσηη.. Εάν (χ,ψ) είναι λύση του συστήματος : του ψ ισούται: χ ψ = χ + ψ 7 χ + ψ = χ ψ τότε η τιμή 5 Δ. 9 Ε. 5 Άσσκκηησσηη.. Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες (δ) και (ε) είναι παράλληλες, οι τρεις κύκλοι εφάπτονται ανά δύο, η ευθεία (δ) εφάπτεται στους κύκλους με κέντρα Κ, Κ και η ευθεία (ε) εφάπτεται στους κύκλους με κέντρα Κ, Κ. Αν ο κύκλος με κέντρο Κ έχει ακτίνα 9 και ο κύκλος με κέντρο Κ έχει ακτίνα η ακτίνα του κύκλου με κέντρο Κ ισούται: K (δ) K K (ε) 0, 8 Δ. Ε. 7 Άσσκκηησσηη.. Εάν χ χ χ = + +, τότε το 8 χ είναι ίσο με: + χ + χ Δ. 7+ χ + χ + χ + χ Ε. + 0χ + χ + 6χ + 7χ Άσσκκηησσηη 55.. Έστω 00 χ =. Το πλήθος των θετικών ακέραιων αριθμών που ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

18 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ υπάρχουν ανάμεσα στους 00 χ + χ + και 00 + χ χ 00 Δ. + + ισούται: 00 + Ε. 00 Άσσκκηησσηη 66.. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ=Α=0) και Β=. Τα σημεία Σ και Ρ ανήκουν στο ευθύγραμμο τμήμα Β έτσι ώστε ΒΣ:ΣΡ:Ρ=::. Τα μέσα των ΑΒ και Α είναι το Ε και Ζ αντίστοιχα. Φέρνουμε τις καθέτους από τα σημεία Ε και Ρ πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΣΖ που το τέμνουν στα Μ και Ν αντίστοιχα. Το μήκος του τμήματος ΜΝ ισούται: 9 0 Δ. Ε. 5 Άσσκκηησσηη 77.. Οι τρεις κύκλοι ακτίνας R εφάπτονται, και τα κέντρα ανήκουν στην ευθεία ΟΔ. Η ευθεία Ο εφάπτεται του (Μ, R) και τέμνει τον κύκλο (Κ, R) στο σημείο Ο. Το μήκος της χορδής ΑΒ ισούται: Ο Β Α Κ Λ Μ Δ ( + 5 ) R R 6 R 8 Δ. R 65 5 Ε. 8 R 5 Άσσκκηησσηη 88.. Ο κύκλος με κέντρο Α και ακτίνα εφάπτεται του θετικού ημιάξονα των τετμημένων και του θετικού ημιάξονα των τεταγμένων όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο κύκλος με κέντρο Β έχει ακτίνα και εφάπτεται του θετικού ημιάξονα Χ και του κύκλου με κέντρο Η ευθεία (ε) εφάπτεται και των δύο κύκλων. Η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας (ε) με τον άξονα ΨΨ ισούται: (ε) A B O Δ Δ. 0 + Ε. 9+ Άσσκκηησσηη 99.. ια την συνάρτηση ψ f ( χ ) = ισχύει ότι για κάθε χ > 0, ΚΥ.Μ.Ε.

19 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ f χ = χ + χ χ, τότε το f ισούται: 5 Άσσκκηησσηη 00. με: 9 Δ. 6 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα 5 6. Το ψηφίο των μονάδων του γινομένου ( 5 )( 5 )( 5 ) ισούται 0 Δ. 5 Ε. 6 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 5

20 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Απρίλιος 00 ΧΡΟΝΟΣ: 60 ΛΕΠΤΑ Δοκίμιο για Α', Β', ' Λυκείου Άσσκκηησσηη.. Η τιμή της παράστασης είναι: Δ. 0 5 Ε. 0 5 Άσσκκηησσηη.. Στο σύνολο των ακεραίων ορίζουμε την πράξη ( ): α β = α β. Η τιμή του ( ) είναι: Δ. 0 Ε. ο. Αν στο διπλανό σχήμα ΑΒ είναι ορθογώνιο τρίγωνο ( Β = 90 ) ο ( Α = 0 ), ΑΒ=6, ΒΔ Α και ΔΕ Β το μήκος του ΔΕ είναι: Άσσκκηησσηη. με Α Δ B Ε 8 Δ. Ε. κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη. άξονα των σε:. Η γραφική παράσταση της ( ) ( ) y = τέμνει τον 7 σημεία 5 σημεία σημεία Δ.0 σημεία Ε. σημεία Άσσκκηησσηη 55.. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης y = f () με τύπο είναι: f ( ) = (,] (,) (, 0) ( 0,) Δ. (, 0) ( 0,] Ε.[,+ ). Η απόσταση της κορυφής της παραβολής = ( ) + Άσσκκηησσηη 66. αρχή των αξόνων είναι: 6 y από την ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 7

21 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' Λυκείου Α Δ. Ε. Άσσκκηησσηη 77.. Στο διπλανό σχήμα Δ, Ε, Ζ, Η, Θ, Ι είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, Α, Β, ΔΕ, ΔΖ, ΖΕ αντίστοιχα. Αν το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ είναι, το εμβαδόν του τριγώνου ΗΘΙ είναι: Α Δ H Ε Θ Ι Β Ζ 8 6 Δ. Ε. Άσσκκηησσηη 88.. Σε οικοδομικό συγκρότημα σχήματος κυρτού εξαγώνου οι πλευρές και οι διαγώνιές του είναι δρόμοι. Αν κάθε δρόμος πρέπει να φωτίζεται με μια τουλάχιστον λάμπα τότε για να φωτιστούν όλοι οι δρόμοι, χρειάζονται τουλάχιστον 5 λάμπες 6 λάμπες 7 λάμπες Δ. 8 λάμπες Ε. 9 λάμπες Άσσκκηησσηη 99. ( + ) ( ). Η παράσταση ισούται: Δ. Ε. Άσσκκηησσηη 00.. Στο παρακάτω σχήμα ΑΒ=Β=Δ=ΔΕ. Α Β Δ Ε Αν n το πλήθος των ευθυγράμμων τμημάτων που δημιουργούνται από τα σημεία Α,Β,,Δ,Ε τότε ο πληθικός αριθμός του συνόλου Μ των μέσων των πιο πάνω ευθυγράμμων τμημάτων είναι: 0 5 Δ. 7 Ε. 8 Άσσκκηησσηη.. Αν η κορυφή της παραβολής y = μ άξονα των, η τιμή του μ είναι: βρίσκεται πάνω στον 9-9 Δ. 0 Ε. 6 Άσσκκηησσηη.. Αν για την συνάρτηση f () y = ισχύει ( f ( ) ) 5 = για κάθε R 8 ΚΥ.Μ.Ε.

22 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' Λυκείου τότε το ( ( f ( ) )) 65 f ισούται με: Άσσκκηησσηη.. Aν φ ο 0 είναι: Δ. 65 Ε. ( ) 65 = η τιμή της παράστασης Τ= ( ημφ + συνφ) ημφσυνφ Δ. 0 Ε. Άσσκκηησσηη.. Ο μεγαλύτερος από τους πιο κάτω αριθμούς είναι: Δ. 50 Ε. Άσσκκηησσηη 55.. Στο διπλανό σχήμα δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ=8.Με κέντρα τα Α, Β και ακτίνα γράφουμε τα τόξα Ο και ΔΟ. Με κέντρα τα, Δ και ακτίνα γράφουμε τα τόξα ΑΟ και ΒΟ. Ο λόγος του εμβαδού του σκιασμένου μέρους προς το εμβαδόν του ημικυκλίου είναι: 50 Δ A O B Δ. Ε. Άσσκκηησσηη 66.. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων η ευθεία ε : y = τέμνει τους άξονες ' και yy ' στα σημεία Α και Β αντίστοιχα και η ευθεία ε : y = + κ ( κ > 0) τέμνει τον άξονα yy' στο Η κάθετη στον άξονα ' στο Α τέμνει την ε στο Δ. Αν το εμβαδόν του ΑΒΔ είναι, η τιμή του κ είναι: 5 Δ. Ε. Άσσκκηησσηη 77.. Η τιμή της παράστασης είναι: 6 9 Δ. 9 Ε. 7 Άσσκκηησσηη 88.. Αν Τ = και Κ = ισχύει: ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 9

23 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' Λυκείου Τ>Κ Τ<Κ Τ=Κ Δ. Τ= Κ Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη 99.. Στο σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο στο Α η γωνία Β=0 και Β=8.Το σκιασμένο χωρίο που είναι η διαφορά των κυκλικών τομέων ΑΔ και 7π ΖΗ είναι.το μήκος του ΑΖ είναι: 6 B Δ Η Α Ζ Α 7 7 Δ. Ε. Άσσκκηησσηη 00.. Το πάτωμα ενός δωματίου είναι τετράγωνο και καλύπτεται πλήρως με ν τετραγωνικά πλακίδια. Αν το πλήθος των πλακιδίων κατά μήκος των διαγωνίων είναι, τότε το ν ισούται: 00 7 Δ. 8 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη.. Αν ρ, ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης = 0,τότε η τιμή της ρ + 5ρ + 7 ρ + 5ρ + 7 παράστασης Μ = + είναι: ρ + 7ρ + 5 ρ + 7ρ Δ. 7 Ε. 5 0 Άσσκκηησσηη.. Στον αριθμό 00 αβ το β είναι το ψηφίο των μονάδων και το α το ψηφίο των εκατοντάδων. Το πλήθος των δυνατών τιμών των ζευγών ( α, β ) είναι: 7 5 Δ. Ε. 0 Άσσκκηησσηη.. Η τιμή του κλάσματος είναι: 0 ΚΥ.Μ.Ε.

24 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' Λυκείου 0 Δ. 9 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη.. Στο σχήμα τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΒΔ είναι ισόπλευρα με πλευρές ΑΒ=, Β=5. Το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΕΔ είναι: Δ Ε A B Δ. 8 5 Ε. Άσσκκηησσηη 55.. Στο σχήμα ΟΑ = Ο = 8. Το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας είναι: A Β O 8π 6π π- Δ. 8π- Ε. π+ Άσσκκηησσηη 66.. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΔ είναι ορθογώνιο και ΒΕ, ΔΖ διχοτόμοι των γωνιών Β και Δ αντίστοιχα και Β=. Αν ΒΕΔΖ είναι ρόμβος το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΔ είναι: Α Ζ Β Δ Ε + Δ. + Ε. + ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

25 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' Λυκείου Άσσκκηησσηη 77.. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΔΕΘΙΚ είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο διαστάσεων ΑΒ=8, Β=6 και ΑΕ=5. Αν Μ, Ν, Ι και Κ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ,Β, ΘΗ και ΕΘ αντίστοιχα,η περίμετρος του τετραπλεύρου ΜΝΙΚ είναι: Α Μ Β Ε Κ Δ Ζ Ν 0 ( + ) 0 ( ) Θ Ι Η + 0 Δ Ε. 0 + Άσσκκηησσηη 88. Ο,α, ΟΕ ακτίνα του και ΣΕ εφαπτόμενο τμήμα.. Αν η ΣΑΒ είναι τέμνουσα που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και ΣΕ =β η θετική. Δίνεται κύκλος ( ) ρίζα της εξίσωσης + a = 0 όπου a β R +, είναι το ευθύγραμμο τμήμα ; Β Ο α Ε β Σ ΣΟ ΣΒ ΣΑ Δ. ΑΒ Ε. ΣΕ. Η συνάρτηση [ ] Άσσκκηησσηη 99. f ( ) = λέγεται «ακέραιο μέρος» και ορίζεται ως εξής: R f ( ) = [] είναι ο μέγιστος ακέραιος αριθμός ο οποίος είναι μικρότερος ή ίσος του. [π.χ Αν 5 < 6 τότε f ( ) = [ ] =5].Αν f ( ) = + [] + με [ 0,),το εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται κάτω από την γραφική παράσταση της f τις ευθείες =0, = και τον άξονα των είναι: Δ. Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη 00. εξίσωσης + = y. Το πλήθος των ζευγών ( y) είναι:, των θετικών ακέραιων λύσεων της 5 Δ. Ε. ΚΥ.Μ.Ε.

26 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 5 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Απρίλιος 00 ΧΡΟΝΟΣ: 60 ΛΕΠΤΑ Δοκίμιο για Α', Β', ' Λυκείου ΆΆσσκκηησσηη... Αν (χ+y)(-y)+(-y)² +(+y)² = 6 το χ ισούται: 6 6 Δ. 5 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα ΆΆσσκκηησσηη... Το ΑΒΔ είναι τετράγωνο πλευράς α.αν Α(, ) τότε η κλίση της Α είναι: Δ. Ε. Κανένα από τα προηγούμενα. ΆΆσσκκηησσηη... Στο σχήμα είναι ΑΒ=Α, ΔΒ=Δ, ΒΑ = 50. ΒΔ = 00.Το μέτρο της γωνίας ΑΒΔ είναι: Δ.,5 Ε. 0 ΆΆσσκκηησσηη... Αν +y = και χ + y = 5 τότε η τιμή της παράστασης χ + y είναι: 6 57 Δ. Ε. 50 ΆΆσσκκηησσηη Άδειο κυλινδρικό δοχείο με ακτίνα βάσης γεμίζει νερό με σταθερή ροή. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

27 5 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ Η σχέση του ύψους h με τον όγκο V του νερού περιγράφεται από τον τύπο V = π h+ 5 V = π h V π h = Δ. V π = Ε. V = π h ΆΆσσκκηησσηη Η παραβολή y = α +βχ + γ περνά από τα σημεία (0,6), (-,) και (,-). Η τιμή του α+β+γ είναι: Δ. 5 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα ΆΆσσκκηησσηη Αν α και β είναι ρίζες της εξίσωσης = 0 τότε η εξίσωση με ρίζες a, β είναι: Χ - 9 Χ + 6 = 0 ΆΆσσκκηησσηη 88. είναι: -9-6 = 0 6Χ +9Χ + = 0.. Δίνεται η συνάρτηση / με τύπο f ( ) = Δ. 6Χ -9Χ + = 0 Ε = 0. Το πεδίο ορισμού της (-,] [-,] R-{-} Δ. (-,] Ε. (-,) ΆΆσσκκηησσηη Ένα κιβώτιο περιέχει πράσινες,6 λευκές και 0 κόκκινες σημαίες που χρησιμοποιήθηκαν για τον στολισμό ενός κτηρίου κατά τον εορτασμό του καρναβαλιού στην Λεμεσό.Οι σημαίες απομακρύνονταν τυχαία από το κιβώτιο και κρεμιόντουσαν.ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός σημαιών που πρέπει να κρεμαστούν για να είναι βέβαιο ότι τουλάχιστον δύο σημαίες από κάθε χρώμα έχουν κρεμαστεί. 6 0 Δ. Ε. 8 ΆΆσσκκηησσηη Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο ( Α = 90 ) με ΑΒ=Α= χ και Μ και Ν τα μέσα των πλευρών Α και ΑΒ αντίστοιχα. Το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου είναι: ΆΆσσκκηησσηη. Δ. 6 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα... Αν f ( ) = 8 + f ( 0) + 6 και και f ( 0) > 0 το ( ) f ισούται Δ. 8 Ε. -6 ΚΥ.Μ.Ε.

28 5 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΆΆσσκκηησσηη... Στο διπλανό ισοσκελές τραπέζιο ισχύει BO = Δ.(Ο μέσο της Δ) Τότε ΒΑΔ- ΑΒΔ είναι: Δ. 90 Ε. 05 ΆΆσσκκηησσηη... Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο ( Α = 90 ), Β=0. Αν Δ η διχοτόμος της ΑΒ τότε ο λόγος ΔΒ ΔΑ είναι: Δ. Ε. ΆΆσσκκηησσηη... Στο διπλανό σχήμα το πολύγωνο ΑΒΕΔ έχει τις κορυφές του Α, Ε, Δ πάνω σε κύκλο ακτίνας α. Αν ΒΕΔ είναι τετράγωνο πλευράς α και ΑΒ ισόπλευρο τρίγωνο το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους είναι: α πα πα α α πα Δ. ( ) a π Ε. πα ΆΆσσκκηησσηη νωρίζοντας ότι = + είναι μία ρίζα της εξίσωσης χ - χ+ = 0 η τιμή της παράστασης : για = + είναι: A. + 0 Δ. + Ε. ΆΆσσκκηησσηη Υποθέτουμε ότι Ρ(χ) είναι πολυώνυμο και ισχύει P( ) 7 P( ) = +. τότε ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 5

29 5 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ ο βαθμός του πολυωνύμου είναι: 9 Δ. Ε. ΆΆσσκκηησσηη Το άθροισμα όλων των τιμών του χ που ικανοποιεί την εξίσωση ( ) = είναι: Δ. Ε.-5 ΆΆσσκκηησσηη Στο διπλανό τετράπλευρο έχουμε ΒΑ = ΒΔ, ΒΕ Α, ΒΕ = ΕΔ και AE E=. Αν τα μήκη των διαγωνίων του ΑΒΔ είναι ακέραιοι αριθμοί το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι: Δ. Ε. Κανένα από τα προηγούμενα ΆΆσσκκηησσηη Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι ισόπλευρο πλευράς α.τα τόξα γράφτηκαν με κέντρα τα σημεία Α,Β, Αν ΑΔ=β τότε το χ είναι: α-β a + β β-α Δ. α-β Ε. α-β ΆΆσσκκηησσηη Αν ν είναι άρτιος αριθμός και ισχύει α είναι: ν ( ) ( ) ν = 00 με α, χ θετικοί ακέραιοι τότε η τιμή του α a 0 Δ. Ε. 5 y ΆΆσσκκηησσηη... Αν a =, β = και a y ( ) + β = y τότε + είναι: y 6 ΚΥ.Μ.Ε.

30 5 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΆΆσσκκηησσηη... Η τιμή της παράστασης είναι: - 5 Δ. Ε. 9 ΆΆσσκκηησσηη... ια πόσους ακέραιους α ( a 00) κάποιου αριθμού; ο αριθμός α α είναι τετράγωνο Δ. 5 Ε. 5 ΆΆσσκκηησσηη... Στο σπίτι της γιαγιάς υπάρχει ένα καλάθι με μήλα και αχλάδια. Όταν επισκέφτηκαν το σπίτι της γιαγιάς όλα τα εγγόνια της,η γιαγιά τους πρόσφερε όλα τα φρούτα που είχε και κάθε παιδί πήρε το ίδιο πλήθος φρούτων χωρίς να δώσει σημασία τι είδος φρούτων πήρε το καθένα. Αν ο μεγαλύτερος εγγονός πήρε το των μήλων και 8 το των αχλαδιών,τα εγγόνια της γιαγιάς ήταν : Δ. 0 Ε. ΆΆσσκκηησσηη Στο διπλανό σχήμα έχουμε ΑΔ=, ΒΔ= και Δ=. Αν η γωνία ΟΑΔ είναι 0 το εμβαδόν του τριγώνου ΟΔΕ είναι: Δ. Ε. ΆΆσσκκηησσηη Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΔ είναι ορθογώνιο τραπέζιο ύψους 0 με παράλληλες πλευρές 8 και. Αν ΒΕ = 90 τότε το χ=αε είναι: ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 7

31 5 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. 8 Ε. ΆΆσσκκηησσηη Κάθε μέρα ο Αντώνης φεύγει από την προπόνηση του στο γήπεδο για το σπίτι του την ίδια ώρα με το ποδήλατο του. Αν τρέχει με ταχύτητα 0 Km/h φθάνει στο σπίτι του στις 8 h 0.Av τρέχει με ταχύτητα 0Km/h φτάνει στο σπίτι του στις 9h 5. Με ποια ταχύτητα σε Km/h πρέπει να τρέχει για να φθάσει στο σπίτι του στις 9h; 7 5 Δ. Ε. 8 ΆΆσσκκηησσηη Από τις παρακάτω διατάξεις η σωστή είναι 0 6 > 5 > 6 0 > > > > 5 Δ > > Ε > > ΆΆσσκκηησσηη Κλειστό γυάλινο κωνικό δοχείο περιέχει ποσότητα νερού. Όταν το δοχείο τοποθετηθεί σε οριζόντιο επίπεδο με την βάση του να βρίσκεται πάνω στο επίπεδο το ύψος του νερού είναι cm.av τοποθετηθεί ανεστραμμένο ώστε η κορυφή του να είναι προς τα κάτω και η βάση του παράλληλη με το οριζόντιο επίπεδο το ύψος του νερού είναι cm.to ύψος του κωνικού δοχείου είναι Δ. 9 6 Ε. + ΆΆσσκκηησσηη Η παράσταση ( 5 ) ( 5 ) + ισούται: 5 5 Δ. Ε. 8 ΚΥ.Μ.Ε.

32 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 6 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Απρίλιος 005 ΧΡΟΝΟΣ: 60 ΛΕΠΤΑ Δοκίμιο για Α', Β', ' LYKEIOY Άσσκκηησσηη.. Αν a = + και β = τότε η τιμή του α β είναι: 005 Δ. 005 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη.. Πόσα ζευγάρια θετικών ακεραίων (, ) y ικανοποιούν την εξίσωση 5+ 5y = 00. κανένα τρία δυο Δ. τέσσερα Ε. ένα Άσσκκηησσηη.. Αν τότε η τιμή της παράστασης K ( ) ( ) = + είναι: - 0 Δ. Ε. Άσσκκηησσηη.. Στο διπλανό σχήμα το ΑΔ> είναι ύψος και ( ΑΒ ) =, ( Β ) =, 0 = 5. A B Δ To ΑΔ είναι: Α + Δ. Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη 55.. Το πλήθος των θετικών ακεραίων αριθμών που είναι μικρότεροι από το 000 και δεν διαιρούνται ούτε με το,ούτε με το 5 είναι: Δ. 069 Ε. 070 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 9

33 6η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α, Β, ΛΥΚΕΙΟΥ Άσσκκηησσηη 66.. Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί Ν= αβγδ (σε δεκαδική μορφή) ικανοποιούν όλες τις παρακάτω συνθήκες (α) 000 Ν< 000 (β) είναι πολλαπλάσιοι του και του 5 (γ) β,γ πρώτοι αριθμοί με β γ και β + γ άρτιος αριθμός Δ. 8 Ε. Άσσκκηησσηη 77.. Αν y + y ω y+ ω = = 6 y z 7y + z με yzω,,, > 0, 6 y+ z, 7y z τότε η τιμή του y είναι: 7 Δ. Ε. 5 Άσσκκηησσηη 88.. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο είναι: f( ) = 0.Το πεδίο ορισμού της + (,] [ 0, ] R { } Δ. [, ) (, + ) Ε.(, ) Άσσκκηησσηη 99.. Το κλάσμα + + είναι ίσο με ( 5 ) + + Δ. Ε. + ( ) Άσσκκηησσηη 00.. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΔ είναι παραλληλόγραμμο με 0 ΔΖ = 0 και ΑΚ Δ 0 ΑΔ= 60, A Z B Ε Ποιό από τα παρακάτω είναι σωστό Δ Κ ΕΖ = ΑΚ ΑΒ = ΑΔ ΕΖ= ΑΔ Δ. ΕΖ= ΑΔ Ε. ΔΕ = ΕΚ 0 ΚΥ.Μ.Ε.

34 6η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α, Β, ΛΥΚΕΙΟΥ Άσσκκηησσηη.. Αν + f ( ) f =, το f (5) ισούται Δ. Ε. Άσσκκηησσηη.. Οι πλευρές ΑΒ,Β,Α προεκτείνονται κατά και = Β. ΑΑ = Α, ΒΒ = ΑΒ Α Β Β Α Αν το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ είναι,τότε το εμβαδόν του τριγώνου Α Β είναι: Δ. Ε. Άσσκκηησσηη.. Η κυρτή επιφάνεια ορθού κώνου είναι.αν η απόσταση του κέντρου της βάσης από μια γενέτειρά του είναι d,τότε ο όγκος του είναι: d d d Δ. d Ε. d Άσσκκηησσηη.. Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα 6 και διάμετρος Α Στην ακτίνα 0 ΟΒ παίρνουμε σημείο,ώστε Ο=.Χορδή ΕΖ περνά από το και ΕΒ = 60. Το μήκος του ΕΖ είναι : 0 6 Δ. Άσσκκηησσηη 55. α, β α β ισχύουν και β = α + 5,τότε η τιμή του γινομένου αβ είναι :. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς ( ) Ε. Κανένα από τα προηγούμενα α = β Δ. 7,5 Ε. - ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

35 6η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α, Β, ΛΥΚΕΙΟΥ Άσσκκηησσηη 66.. Στο διπλανό σχήμα τα τόξα α, β έχουν άθροισμα 0 0. Δ A y O β α K B Το + y ισούται με Δ. 0 0 Ε. 0 0 Άσσκκηησσηη 77.. Σε παραλληλόγραμμο με πλευρές και 7 η διαφορά των διαγώνιων είναι. Τότε το άθροισμα των διαγώνιων του είναι: 6 8 Δ. Ε. Άσσκκηησσηη 88.. Ένα σωληνάριο περιέχει 5cm οδοντόπαστας. Αν πιέσουμε το σωληνάριο, ώστε να αδειάσει τελείως και η μορφή της οδοντόπαστας που βγαίνει είναι κυλινδρική με κάθετη διατομή διαμέτρου 7mm, τότε το μήκος της οδοντόπαστας είναι (δίνεται π = ): 7 m 0,5m m Δ. m Ε.,5m Άσσκκηησσηη 99.. Ν είναι ένας πενταψήφιος θετικός ακέραιος. Ένας εξαψήφιος ακέραιος Ρ κατασκευάζεται με την προσθήκη του ψηφίου στο τέλος του Ν και ένας άλλος εξαψήφιος Q κατασκευάζεται με την προσθήκη του ψηφίου στην αρχή του Ν. Αν ο Ρ είναι τριπλάσιος του Q,τότε ο Ν είναι : Δ. 87 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη 00.. Το ΑΒΟ είναι τετράγωνο πλευράς και το Δ είναι το μέσον του Ο Η εξίσωση της ευθείας (ε) είναι : y Α Β Ο Δ (ε) ΚΥ.Μ.Ε.

36 6η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ + y = Α, Β, ΛΥΚΕΙΟΥ + y = y = Δ. + y = Ε. y = Άσσκκηησσηη.. Δυο κύκλοι (Ο, ρ) και (Κ,ρ) τέμνονται στα σημεία Α και Από το Α φέρνουμε την ΑΔ και ΚΣ Α, ΟΡ ΑΔ. Δ Ρ Ο Α Σ Κ Β Αν ΚΣ = ΟΡ,ο λόγος των εμβαδών του τετράπλευρου ΟΚΣΡ προς του τριγώνου ΚΔ είναι: Δ. Ε. Άσσκκηησσηη.. Η Ομόνοια και ο Απόλλωνας είναι μεταξύ των 6 ομάδων που προκρίθηκαν σε ένα ευρωπαϊκό τουρνουά ποδοσφαίρου. Θεωρώντας ότι όλες οι ομάδες είναι εξίσου πιθανόν να νικήσουν σε κάθε αγώνα που παίζουν, πόσο πιθανόν είναι να αγωνιστούν μεταξύ τους οι δυο κυπριακές ομάδες, αν ο τρόπος οργάνωσης του τουρνουά είναι αυτός που φαίνεται στο σχήμα 7 8 Δ. 8 Ε. 6 Άσσκκηησσηη.. Το γινόμενο των ψηφίων ενός τετραψήφιου αριθμού είναι 90. Πόσοι τέτοιοι αριθμοί υπάρχουν 5 60 Δ. 0 Ε. 6 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

37 6η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α, Β, ΛΥΚΕΙΟΥ Άσσκκηησσηη.. Μια στροφή ενός δρόμου πλάτους 5m σε όλο της το μήκος, έχει κατασκευαστεί ως εξής: τα τμήματα ΑΒ, Α Β είναι τόξα ομόκεντρων κύκλων με κέντρο το Κ,ενώ τα τμήματα Β,Β είναι τόξα ομόκεντρων κύκλων με κέντρο το σημείο Λ (σχήμα). B Β Α Α 60 Κ 0 Λ 0 0 Αν ΑΚΒ = 60 και ΒΛ = 0,τότε η διαφορά της εσωτερικής διαδρομής Α Β από την εξωτερική ΑΒ είναι : 5π m Άσσκκηησσηη 55.. Η καμπύλη (κ) έχει εξίσωση ΑΒΟ είναι 6. Η τιμή του c είναι : 5π m 0 m Δ. m Ε. π m y = c και το εμβαδόν του ορθογωνίου ± Δ. 6 Ε. Άσσκκηησσηη 66.. Τρίγωνο ΑΒ έχει κορυφές Α(0,),Β(,0),(,5) με 0< <. Αν το εμβαδόν του τριγώνου είναι 8,τότε το ισούται : Δ. Ε. 8 ΚΥ.Μ.Ε.

38 6η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α, Β, ΛΥΚΕΙΟΥ Άσσκκηησσηη 77.. Δίνεται κύκλος (Ο,R) και χορδή ΑΒ=α. Αν Α,Β εφαπτόμενα τμήματα, το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ είναι : Α B Ο α R 5α R 0α Δ. R α α Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη 88.. Τα τρίγωνα ΑΒ,Α Β είναι ίσα, τα ΜΝΚΑ, ΘΗΖΙ είναι τετράγωνα Ε και Β Η=ΗΖ=Ζ. Αν Ε = α,τότε ο λόγος Ε είναι: B Β Η Μ Ν Ε Θ Ε Ζ A Κ Α Ι Δ. Ε. Άσσκκηησσηη 99.. Ένας σκιέρ ανεβαίνει με το τελεφερίκ τη χιονοδρομική πίστα με σταθερή ταχύτητα km h και κατεβαίνει με σταθερή ταχύτητα km. Αν η χιονοδρομική πίστα h έχει το ίδιο μήκος με τη διαδρομή που ακολουθεί το τελεφερίκ και αγνοήσουμε το χρόνο παραμονής στην κορυφή της πίστας, τότε η μέση ταχύτητα της συνολικής διαδρομής (άνοδος κάθοδος) σε km h είναι: Δ. 7 Ε. 5 7 Άσσκκηησσηη 00.. Η τιμή της παράστασης Κ = + + είναι: Δ. Ε. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 5

39 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 7 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Απρίλιος 006 ΧΡΟΝΟΣ: 60 ΛΕΠΤΑ Δοκίμιο για Α', Β', ' Λυκείου. Μια γαλακτοβιομηχανία, σε ποσότητα γάλακτος με % λιπαρά προσθέτει ποσότητα γάλακτος με % λιπαρά και παράγει 00 κιλά γάλα με % λιπαρά. Η ποσότητα γάλακτος με % λιπαρά, που προστέθηκε είναι (σε κιλά) Δ. 0 Ε. 80. Αν α β α β α β =, R τότε η τιμή της παράστασης ( ) Κ= + είναι 0 Δ. 9 Ε.. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο f ( ) = + είναι (, + ) [ 0, + ) [, + ) Δ. [,0] f = α + 9 +, α 0. α Ποιο από τα παρακάτω ισχύει για τη γραφική παράσταση της f. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο ( ) 8 Ε. R τέμνει τον εφάπτεται στον εφάπτεται στον Δ. έχει ελάχιστο Ε. έχει μέγιστο άξονα των άξονα των y άξονα των σημείο σημείο Αν α, β είναι ακέραιοι μεγαλύτεροι του και ισχύει α = β, τότε η μικρότερη δυνατή τιμή του α + β είναι 8 5 Δ. 56 Ε Η τιμή της παράστασης Κ= είναι + Δ. - Ε.

40 7η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Σελίδα από 5 7. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι ισόπλευρο και ΑΔ Β, ΔΕ Α, ΕΖ Β Αν ΕΖ =, η πλευρά του ΑΒ είναι A Ε Β Δ Ζ 8 Δ. Ε Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΔΕ είναι κανονικό πεντάγωνο και Ζ,Η,Θ,Ι,Κ σημεία τομής των προεκτάσεων των πλευρών του. Αν το εμβαδόν του «αστεροειδούς» ΑΗΒΘΙΔΚΕΖΑ είναι, τότε το εμβαδόν του τετράπλευρου ΑΙΖ είναι 7 Δ. Ζ 0 Η A Ε B Κ Δ Θ Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Ι 9. Αν = και y = 6, τότε ποιο από τα παρακάτω ισχύει = y < y = y Δ. > y Ε. Κανένα από τα 0. Αν = 5 και 5 y = 56, το γινόμενο y ισούται με προηγούμενα 7 Δ. 8 Ε. 6. Οι ευθείες (ε): y = 0 και (δ): + y = y τέμνονται στο σημείο Αν η ευθεία (δ) τέμνει B τους ημιάξονες Ο και Οy στα σημεία Α και Β (ε) αντίστοιχα, τότε ο λόγος του εμβαδού του τριγώνου ΟΑ προς το εμβαδόν του τριγώνου ΟΒ είναι O A χ (δ) 5 Δ. Ε. 9

41 7η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Σελίδα από 5 α με α= β α β = α β β με α > β f ( β αα, ) μεα< β. Αν f (, ) f (, ), τότε η τιμή του f ( 8,7) είναι 8 0 Δ. 5 Ε.. Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού είναι Δ Ένας μικρός κήπος ΑΒΔ, σχήματος ορθογωνίου χωρίζεται σε ένα ορθογώνιο ΑΖΕΔ και ένα τετράγωνο ΖΒΕ, έτσι ώστε τριγώνου ΔΒΕ να είναι ΑΕ = 5m και το εμβαδόν του m. Το εμβαδόν του κήπου A Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Ζ B είναι Δ E m 0m 6m Δ. m Ε. 0 5 m 5. Η παράσταση: ισούται με 6. Αν, οι ρίζες της εξίσωσης 5 κ+ μ = 0, τότε Δ., Ε. είναι ρίζες της εξίσωσης Δ. Ε. κ + μ = 0 κ 0 μ + μ = μ 0 κ + μ = μ κ+ = 0 κ μ+ = 0 7. Το τρίγωνο ΑΒ είναι ισόπλευρο πλευράς α και α ΑΔ = ΒΕ =. Το μέτρο της γωνίας ΡΕ είναι Δ Α Ρ Β Ε Δ. 0 5 Ε. 0 70

42 7η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Σελίδα από 5 8. Η παραβολή του διπλανού σχήματος έχει κορυφή το σημείο Κ(κ,0) και τέμνει τον ημιάξονα Oy στο σημείο (0,κ). Αν το εμβαδόν του ορθογωνίου ΟΑΒ είναι 8, τότε η εξίσωση της παραβολής είναι y (0,κ) O(0,0) Κ(κ,0) B A y = ( + ) y = ( ) y = + Δ. = + Ε. y = + y 9. Στο σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι ισοσκελές με ΑΒ = Α = και 0 Α = 5. Αν ΒΔ ύψος του τριγώνου και ο κυκλικός τομέας ΒΛΔΚΒ ανήκει στον κύκλο (Β,ΒΔ), το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας που βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο και έξω από τον κυκλικό τομέα είναι ίσο με Α Λ Δ Β Κ π 6 π 0. ια την ακολουθία f : Αν f () = f ( ) =, τότε το f ( ) 8 π 6 Ν R ισχύει f ( n) = f ( n ) f ( n ), n. n ισούται με - Δ. Ε. 0. Κυρτό πολύγωνο έχει ν πλευρές και 70 διαγώνιους. Τότε το ν ισούται με Δ. π 8 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Δ. 60. Το ΑΒΔ είναι ορθογώνιο και τα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν βρίσκονται στις πλευρές ΑΒ, Β, Δ, ΔΑ αντίστοιχα ΑΚ ΒΛ Μ ΔΝ ώστε = = = =. Αν Ε το εμβαδόν ΚΒ Λ ΜΔ ΝΑ του ΚΛΜΝ και Ε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΔ, Ε ο λόγος Ε 5 9 ισούται με 9 5 Δ. 5 Α Ν Δ Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Κ Μ Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Β Λ

43 7η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Σελίδα 5 από 5. Από μαθητές που επέλεξαν Μαθηματικά, Φυσική, Χημεία, δεν υπάρχει μαθητής που επέλεξε μόνο ένα μάθημα. Αν ο αριθμός των μαθητών που επέλεξαν μόνο Μαθηματικά και Χημεία είναι τετραπλάσιος από τον αριθμό αυτών που επέλεξαν μόνο Μαθηματικά και Φυσική και ο αριθμός των μαθητών που επέλεξαν μόνο Φυσική και Χημεία είναι τριπλάσιος από τον αριθμό αυτών που επέλεξαν και τα μαθήματα, τότε ο αριθμός των μαθητών που επέλεξαν και τα μαθήματα είναι 0 5 Δ. Ε.. Το πλήθος των διαιρετών του αριθμού 006 είναι 8 Δ. 5 Ε Με τα μουσικά όργανα κιθάρα, μπουζούκι και βιολί θα σχηματίσουμε μελή ορχήστρα στην οποία θα υπάρχουν τουλάχιστον διαφορετικά όργανα. Το πλήθος τέτοιων ορχηστρών είναι 5 Δ. Ε. 6. Το μέγιστο πλήθος των σημείων τομής τριών διαφορετικών κύκλων και μιας ευθείας είναι 9 0 Δ. Ε. Κανένα από τα προηγούμενα 7. Στο ανάπτυγμα του Ο όρος αυτός έχει τιμή + υπάρχει όρος που δεν περιέχει το. 6 Δ. 0 Ε. 8. Σε ισοσκελές αμβλυγώνιο τρίγωνο ΑΒ ϕ είναι το μέτρο των οξειών γωνιών του και ΑΒ = Α = α. Αν Δ το ίχνος του ύψους από την κορυφή Β του τριγώνου, το Δ είναι ίσο με α συν ϕ + α ( συνϕ ) 9. Δίνεται η συνάρτηση f : Η τιμή του ( ) 7 ( ( )) ( ) f f f είναι α ( + συν ϕ ) Δ. α ( + συνϕ ) Ε. α ( + ημϕ ) f n με ( ) n+,αν n περιττ ός =. n, αν n άρτιος 8 8 Δ. 6 Ε Αν y z =, =, = 5, τότε ποιο από τα παρακάτω είναι ορθό < y< z < z < y y < z< Δ. y < < z Ε. Κανένα από τα προηγούμενα

44 8η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ. Αν y=, τότε η τιμή της παράστασης ΔΟΚΙΜΙΟ Α, Β,, ΛΥΚΕΙΟΥ K = + y+ y y είναι Α, Β,, ΛΥΚΕΙΟΥ - Δ. - Ε. 0. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) =. Το f ( ) f ( ) + ισούται με Δ. + Ε.. Ένας ποδηλάτης ταξιδεύει από την πόλη Α στην πόλη Β με ταχύτητα km 0 h ταχύτητα km 60 h. Η μέση ταχύτητα σε km h για τη συνολική διαδρομή είναι Δ. 55 Ε a. Στο σύνολο R ορίζουμε την πράξη a b= + b Η τιμή της παράστασης ( ) 0 είναι και επιστρέφει με 0 Δ. Ε Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του a με το 5 είναι, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του a με το 7 είναι Δ. Ε Το ABCD είναι τετράγωνο πλευράς και το FG είναι τόξο A K B του κύκλου με κέντρο το μέσον Κ της πλευράς ΑΒ και ακτίνα. Το μήκος των τμημάτων FD = GC = είναι F G D C Δ. Ε. 7. Αν η διαγώνιος d ενός ορθογωνίου σχηματίζει γωνία ορθογωνίου είναι 0 60 με μια πλευρά του, τότε το εμβαδόν του d d d Δ. d Ε. Κανένα από τα προηγούμενα

45 Α, Β,, ΛΥΚΕΙΟΥ 8. Αν από το αφαιρέσουμε τον αντίστροφο του, προκύπτει ο αντίστροφος του. 8η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Τότε ο + ισούται με 0 - Δ. 9. Στην ακολουθία πραγματικών αριθμών a,a,a,... είναι a = 0, a = και n n n { } a = a a, n,,5,6,.... Η τιμή του όρου a 8 είναι 0 - Δ. Ε. - Ε. 0. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει όγκο Τότε το ελάχιστο άθροισμα των διαστάσεών του είναι cm και διαστάσεις ακέραιους. 7cm 9cm 0cm Δ. 8cm. Αν X = είναι αληθές και Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Y =, τότε ποιό από τα παρακάτω X=Y Y=X X=Y Δ. X=Y Ε. Y=X. ια τη συνάρτηση f:r R ισχύουν f ( 0) = και f ( y) + f( ) + f ( y) = + y+ y+ k,y R όπου k R σταθερός. f είναι Η τιμή του ( ) - 0 Δ. - Ε.. Αν, οι ρίζες της εξίσωσης + a+ = 0 και, οι ρίζες της εξίσωσης τότε η τιμή της παράστασης ισούται με + b+ = 0, a + b a + b a + b Δ. a + b + Ε. a + b

46 8η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ. Αν στο τετράγωνο ΑΒCD το KB είναι ίσο με την πλευρά S του τετραγώνου, ο λόγος των εμβαδών S είναι A Α, Β,, ΛΥΚΕΙΟΥ S B K S D C Δ. Ε. 5. Στο διπλανό μη κυρτό οκτάγωνο ABCDEFGH A οι μη κυρτές γωνίες του έχουν μέτρο 0 0 η κάθε μια και οι διαγώνιοι AE, GC είναι κάθετες, ίσες, διχοτομούνται και έχουν μήκος. Το εμβαδόν του οκταγώνου είναι G H O B C F D Το τελικό αποτέλεσμα ενός ποδοσφαιρικού αγώνα ήταν -. Δ. 6+ Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων κατά τη λήξη του πρώτου ημιχρόνου είναι Δ. Ε. 7. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού a = είναι E 0 Δ. 6 Ε Πόσα υποσύνολα έχει το σύνολο A = {,,,,5,6,7} 7 9 Δ. 6 Ε Τα ψηφία,,,,5 μπορούν να σχηματίσουν 0 διαφορετικούς πενταψήφιους αριθμούς. Αν αυτοί τοποθετηθούν σε αύξουσα σειρά, τότε η θέση του αριθμού 5 είναι 7 η 7 η 7 η Δ. 7 η Ε. Κανένα από τα προηγούμενα

47 Α, Β,, ΛΥΚΕΙΟΥ 0. Ένας μαθητής σε 9 διαγωνίσματα Μαθηματικών έχει μέσο όρο 0 (βαθμολογία 0-0). 8η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Αν οι βαθμολογίες των διαγωνισμάτων του τοποθετηθούν σε αύξουσα σειρά, τότε η μέγιστη βαθμολογία του 5 ου διαγωνίσματος είναι Δ. 8 Ε. 9. Στο διπλανό σχήμα οι τρεις ίσοι κύκλοι διαμέτρου 0cm παριστάνουν τροχαλίες, που συνδέονται με έναν ιμάντα. Αν τα μήκη των διακέντρων των τροχαλιών είναι AB=m, AC=m και BC=5m, τότε το μήκος του ιμάντα είναι B A C ( + 0π ) m ( +π ) m ( ) π + π m Δ. + m 5. Στο διπλανό σχήμα το ABCD είναι ορθογώνιο τραπέζιο με 0 A= D= 90 και βάσεις AB = a, DC = a. Αν AD = a και το Μ είναι το μέσον της πλευράς BC, τότε το ΑΜ ισούται με A a Ε. Κανένα από τα προηγούμενα a B M D a C a a 5a Δ. a Ε. a. C K 8 m A 0m O 0m M B Στο σχήμα φαίνεται η τομή της εισόδου ενός παραβολικού τούνελ, που έχει μέγιστο ύψος OC=8m και μέγιστο πλάτος (άνοιγμα) AB=0m. Αν Μ το μέσον του OB, τότε το ύψος MK του τούνελ στο σημείο Μ είναι 5m 5,m 5,5m Δ. 5,8m Ε. 6m

48 Α, Β,, ΛΥΚΕΙΟΥ. Ο Κώστας πούλησε δύο τηλεοράσεις 98 κάθε μια. Από τη μια είχε κέρδος 0% και από την 8η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ άλλη είχε ζημία 0% επί της αξίας τους. Ο Κώστας είχε συνολικά κέρδος ούτε κέρδος, ζημία 8 Δ. κέρδος 8 Ε. ζημία ούτε ζημία Ένας χρυσοχόος κατασκευάζει σταυρούς, σύμφωνα με το πιο πάνω μοτίβο. Οι σταυροί αποτελούνται από επίχρυσους κυκλικούς δίσκους, διαμέτρου cm ο καθένας. Το ύψος του σταυρού, που αποτελείται από 0 τέτοιους κυκλικούς δίσκους είναι 98cm m 0cm Δ. 0cm Ε. 0cm 6. Σε ένα σχολείο ο αριθμός των αγοριών είναι τριπλάσιος του αριθμού των κοριτσιών και ο αριθμός των κοριτσιών εννεαπλάσιος του αριθμού των δασκάλων. Αν συμβολίσουμε με b, g, t το πλήθος των αγοριών, κοριτσιών, δασκάλων αντίστοιχα, τότε ο συνολικός αριθμών αγοριών, κοριτσιών και δασκάλων ισούται με b 7b 7 7. Στο διπλανό σχήμα η φωτεινή ακτίνα ε ανακλάται στον άξονα των και η ακτίνα d, ανακλώμενη σε καθρέφτη παράλληλο στον άξονα των y σε απόσταση 6, τον τέμνει στο σημείο Η εξίσωση της ευθείας f είναι g Δ. ε y 7g 7 B f d Ε. C 7t 7 ΚΑΘΡΕΠΤΗΣ O Α 6 +y-=0 +y+=0 -y+=0 Δ. -y-=0 Ε. y=-+0 5

49 8η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 8. Το γινόμενο Α, Β,, ΛΥΚΕΙΟΥ είναι ακέραιος αριθμός, του οποίου τα τελευταία ψηφία είναι μηδενικά. Το πλήθος αυτών των μηδενικών είναι 6 8 Δ. Ε Η ελάχιστη τιμή του θετικού ακεραίου k, για την οποία το άθροισμα S= k+ ( k+ ) + ( k+ ) ( k+ 0) είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου, είναι Δ. Ε. Κανένα από τα 0. Ένα νόμισμα σχήματος κανονικού εξάγωνου και πλευράς εφάπτεται σε τετράγωνο πλευράς 6, όπως φαίνεται στο σχήμα και κυλιέται στην περίμετρο του τετραγώνου, μέχρι να επανέλθει στην αρχική θέση. Το μήκος της γραμμής, που γράφει το κέντρο του εξάγωνου είναι προηγούμενα π 8π Δ. 6π Ε. Κανένα από τα προηγούμενα 6

50 8 th CYPRUS MATHEMATICAL OLYMPIAD A, B, C LYCEUM. If y=, then the value of the epression A, B, C LYCEUM K = + y+ y y is - C. D. - Ε. 0. Given the function f ( ) =, then f ( ) f ( ) + equals to C. D. + Ε.. A cyclist drives from town Α to town Β with velocity 0km h and comes back with velocity 60 km h. The mean velocity in km h for the total distance is 5 8 C. 50 D. 55 Ε a. We define the operation a b=, a,b R. + b The value of ( ) 0 is C. 0 D. Ε If the remainder of the division of a with 5 is, then the remainder of the division of a with 7 is C. D. Ε ABCD is square of side and FG is an arc of the circle with centre A K B the midpoint Κ of the side ΑΒ and radius. The length of the segments FD = GC = is F G D C C. D. Ε. 7. If the angle of the diagonal d of a rectangle forms an angle area of the rectangle is 0 60 with one of its sides, then the d d C. d D. d Ε. None of these

51 8 th CYPRUS MATHEMATICAL OLYMPIAD A, B, C LYCEUM 8. If we subtract from the inverse number of, we get the inverse number of. Then the number + equals to 0 C. - D. Ε. 9. We consider the sequence of real numbers a,a,a,... such that a = 0, a = and a = a a, n {,,5,6,... }. The value of the term a 8 is n n n 0 - C. D. Ε The volume of an orthogonal parallelepiped is The minimum sum of the dimensions is cm and its dimensions are integer numbers. 7cm 9cm C. 0cm D. 8cm Ε. None of these. If X = correct? and Y =, which of the following is X=Y Y=X C. X=Y D. X=Y Ε. Y=X. The function f:r R has the properties f ( 0) = and f ( y) + f( ) + f ( y) = + y+ y+ k,y R, where k R is a constant. The value of f ( ) is - C. 0 D. - Ε.. If, are the roots of the equation + a+ = 0 and, are the roots of the equation + b+ = 0, then the epression equals to a + b a + b C. a + b D. a + b + Ε. a + b

52 8 th CYPRUS MATHEMATICAL OLYMPIAD A, B, C LYCEUM. In the square ΑΒCD the segment KB equals to the side of the S square. The ratio of areas S is A B S K S D C C. D. Ε. 5. The non conve angles of the non conve A octagon ABCDEFGH measure 0 0 each and the diagonals AE, GC are perpendicular, bisect each other and are both equal to. Then the area of the octagon is G H O B C F D E 6 8 C. D The full time score of a football match was -. How many possible half time results can we have for this match? Ε. None of these 5 6 C. 0 D. Ε. 7. The last digit of the number a = is 0 C. D. 6 Ε How many subsets are there for the set A= {,,,,5,6,7}? 7 C. 9 D. 6 Ε five-digit numbers can be written with the digits,,,,5. If we place these numbers in increasing order, then the position of the number 5 is 7 st 7 nd C. 7 rd D. 7 th Ε. None of these

53 8 th CYPRUS MATHEMATICAL OLYMPIAD A, B, C LYCEUM 0. The mean value for 9 Math-tests that a student succeeded was 0 (in scale 0-0). If we put the grades of these tests in increasing order, then the maimum grade of the 5 th test is. 5 6 C. 7 D. 8 Ε. 9. In the following figure, three equal cycles of diameter 0cm represent pulleys, that are connected with a strap. If the distances between any two pulley centre points are AB=m, AC=m και BC=5m, then the length of the strap is B A C ( + 0π ) m ( +π ) m C. ( ) π + π m D. + m 5. In the following figure ABCD is an orthogonal trapezium with 0 A= D= 90 and bases AB = a, DC = a. If AD equals to = a and Μ is the midpoint of the side BC, then ΑΜ A a Ε. None of these a B M D a C a a C. 5a D. a Ε. a. C K 8 m A 0m O 0m M B In the figure above the right section of a parabolic tunnel is presented. Its maimum height is OC=8m and its maimum width is AB=0m. If Μ is the midpoint of OB, then the height MK of the tunnel at the point Μ is 5m 5,m C. 5,5m D. 5,8m Ε. 6m

54 8 th CYPRUS MATHEMATICAL OLYMPIAD A, B, C LYCEUM. Costas sold two televisions for 98 each. From the sale of the first one he made a profit of 0% on its value and from the sale of the second one, he had a loss of 0% on its value. After the sale of the two televisions Costas had in total profit neither profit C. loss 8 D.profit 8 Ε. loss nor loss A jeweller makes crosses, according to the pattern shown above. The crosses are made from golden cyclical discs, with diameter of cm each. The height of a cross, which is made from 0 such discs is 98cm m C. 0cm D. 0cm Ε. 0cm 6. The number of boys in a school is times the number of girls and the number of girls is 9 times the number of teachers. Let us denote with b, g, t the number of boys, girls and teachers respectively. Then the total number of boys, girls and teachers equals to b 7b 7 7. In the following diagram the light beam ε is reflected on the -ais and the beam d, being reflected on a mirror parallel to the y-ais at distance 6, intersects the y-ais at point The equation of line f is given by C. g D. ε y 7g 7 B f d Ε. C 7t 7 ΚΑΘΡΕΠΤΗΣ O Α 6 +y-=0 +y+=0 C. -y+=0 D. -y-=0 Ε. y=-+0 5

55 8 th CYPRUS MATHEMATICAL OLYMPIAD A, B, C LYCEUM 8. The product of How many are these zeros? is an integer number whose last digits are zeros. 6 8 C. D. Ε The minimum value of the positive integer k, for which the sum S= k+ ( k+ ) + ( k+ ) ( k+ 0) is a perfect square of an integer, is 5 6 C. 0 D. Ε. None of these 0. A coin with a shape of a regular heagon of side is tangent to a square of side 6, as shown in the figure. The coin rotates on the perimeter of the square, until it reaches its original position. The length of the line which is being inscribed by the centre of the heagon is π C. 8π D. 6π Ε. None of these 6

56 Α, Β, ΛΥΚΔΙΟΥ Σελίδα από οκίμιο για τη A', B', ' Τάξη Λυκείου Απριλίου 008. Αλ γηα όινπο ηνπο αξηζκνύο εθηόο από ην 0 ηζρύεη y y ηόηε ην είλαη Δ.. Ο πιεζπζκόο κηαο πόιεο απμήζεθε θαηά 00 θαηνίθνπο ζε έλα ρξόλν. Σηε ζπλέρεηα κεηώζεθε θαηά %.Η πόιε έρεη ηώξα θαηνίθνπο ιηγόηεξνπο από ηνλ αξρηθό πιεζπζκό ηεο. Ο αξρηθόο πιεζπζκόο ηεο ήηαλ Δ. Καλέλα από ηα πξνεγνύκελα. Τν εκβαδόλ ηεο επηθάλεηαο ελόο θύβνπ είλαη ην ηνπ εκβαδνύ ηεο επηθάλεηαο ελόο άιινπ θύβνπ. Ο ιόγνο ηνπ όγθνπ ηνπ πξώηνπ θύβνπ πξνο ηνλ όγθν ηνπ δεύηεξνπ θύβνπ είλαη 8 Δ.. ίλεηαη ε ζπλάξηεζε f ( ) 5 κε πεδίν νξηζκνύ A,, ηόηε ην πεδίν ηηκώλ ηεο f είλαη 0 f( ) 9 5 f( ) 5 f( ) 9 5 f( ) 9 Δ. 0 f( ) 5. Τν εκβαδόλ πνπ πεξηθιείεηαη κεηαμύ ησλ επζεηώλ, y θαη 5y 0 είλαη 6cm 0cm 0cm cm Δ. Καλέλα από ηα πξνεγνύκελα 6. Ο 00 νο όξνο ηεο αθνινπζίαο,,,0,60,8,... είλαη Δ Ο κηθξόηεξνο πξώηνο αξηζκόο πνπ δηαηξεί ηελ παξάζηαζε 5 είλαη 5 Δ. Καλέλα από ηα πξνεγνύκελα 8. Αλ (,) είλαη έλα ζεκείν ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο y f () πνην από ηα παξαθάησ είλαη ην αληίζηνηρν ζεκείν πάλσ ζηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο g( ) f 6 5 (, ) 0, 7 7,0 (6, ) Δ.(,) ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 9 η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 008

57 Α, Β, ΛΥΚΔΙΟΥ Σελίδα από 9. Μέζα ζε ηεηξάγσλν ΑΒ είλαη εγγεγξακκέλν ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΜΝ όπσο θαίλεηαη ζην δηπιαλό ζρήκα.αλ ην εκβαδόλ ηνπ ηεηξαγώλνπ είλαη ηόηε ην εκβαδόλ ηνπ ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ είλαη: A Ν B Μ Δ. 0. Τν πιήζνο ησλ ηξηγώλσλ πνπ ζρεκαηίδνληαη κε θνξπθέο ηα ζεκεία (0,0), (,0), (,), (,) έηζη ώζηε ην θάζε ηξίγσλν λα έρεη εκβαδόλ είλαη Δ. 0. ίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε ηύπν f( ) 0.Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο είλαη:, 0, R,, Δ.,. Αλ y a, y z b θαη z c ν κέζνο όξνο ησλ, y, z είλαη a b c a b c a b c a b c Δ. ελ κπνξεί λα 6 πξνζδηνξηζηεί p. Τα pq, θαη r είλαη ζεηηθνί αθέξαηνη κε p q, r q.αλ 0 ηόηε ην θιάζκα p q q ιέκε «πξώην» θιάζκα. Πνηό από ηα παξαθάησ είλαη έλα «πξώην» θιάζκα. ζα ην r q q p r p p r Δ. Καλέλα από ηα πξνεγνύκελα. Σην ζρήκα ην ABC ηξίγσλν είλαη εγγεγξακκέλν ζηνλ θύθιν κε A Q αθηίλα, C θαη ην ζεκείν Χ βξίζθεηαη πάλσ ζην AC ώζηε X BX CX.Αλ ε ΒΧ ηέκλεη ηνλ θύθιν ζην Q, ηόηε ην κήθνο ηνπ ηκήκαηνο PQ είλαη: B C P Δ. 5 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 9 η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 008

58 Α, Β, ΛΥΚΔΙΟΥ Σελίδα από κε = 5. Αλ f, f,, ηόηε ε ηηκή ηνπ f 8,7 είλαη f, Δ. 6. εδνκέλνπ όηη έρνπκε a b πνηα από ηηο πην θάησ ζρέζεηο ΔΝ είλαη αιεζήο γηα όιεο ηηο ηηκέο ησλ a θαη b πνπ ηθαλνπνηνύλ ηελ δνζείζα ζρέζε a b a b b a a b Δ. 0 a b 7. Σε θύθιν αθηίλαο R επηιέγνληαη ηπραία δύν ζεκεία Α, Η πηζαλόηεηα ην κήθνο ηεο ρνξδήο ΑΒ λα είλαη ηνπιάρηζηνλ R είλαη: 5 Δ. Καλέλα από ηα 6 πξνεγνύκελα 8. Τν ΑΒΟ είλαη ηεηξάγσλν πιεπξάο θαη ην είλαη ην κέζνλ ηνπ Ο Η εμίζσζε ηεο επζείαο (ε) είλαη : y Α Β Ο (ε) y y y y Δ. y 9. Αλ είλαη 0 θαη f ( ) ηόηε 0 f( ) 6 f( ) f( ) f( ) 0 Δ. 6 f( ) 0. Με ηα κνπζηθά όξγαλα θηζάξα, κπνπδνύθη θαη βηνιί ζα ζρεκαηίζνπκε κειή νξρήζηξα ζηελ νπνία ζα ππάξρνπλ ηνπιάρηζηνλ δηαθνξεηηθά όξγαλα. Τν πιήζνο ηέηνησλ νξρεζηξώλ είλαη 5 Δ.. ίλεηαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒ κε ΑΒ=Α=. Αλ Μ θαη Ν ηα κέζα ησλ πιεπξώλ Α θαη ΑΒ αληίζηνηρα ηόηε ην εκβαδόλ ηνπ ζθηαζκέλνπ ηξηγώλνπ είλαη: Μ A Ν B 6 6 Δ. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 9 η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 008

59 Α, Β, ΛΥΚΔΙΟΥ Σελίδα από. Αλ f ( ) 5, ε ηηκή ηνπ k R έηζη ώζηε ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f ( k ) λα είλαη ζπκκεηξηθή σο πξνο ηνλ y-άμνλα είλαη:. Ο αξηζκόο 0 Δ. 007 N 007 δηαηξείηαη κε Δ. Καλέλα από ηα 5 6 πξνεγνύκελα. Ο ιόγνο ηνπ εκβαδνύ ηνπ ηεηξαγώλνπ εγγεγξακκέλνπ ζε έλα εκηθύθιην αθηίλαο R πξνο ην εκβαδόλ ηνπ ηεηξαγώλνπ εγγεγξακκέλνπ ζε νιόθιεξν ηνλ θύθιν αθηίλαο R είλαη: 5 Δ Τν γηλόκελν είλαη αθέξαηνο αξηζκόο, ηνπ νπνίνπ ηα ηειεπηαία ςεθία είλαη κεδεληθά. Τν πιήζνο απηώλ ησλ κεδεληθώλ είλαη: 6 8 Δ Σην ζρήκα θαίλεηαη εκηθύθιην δηακέηξνπ ΑΒ=6cm κε θέληξν ην Κ θαη εκηθύθιην θέληξνπ Β θαη αθηίλαο cm.αλ ε θνηλή εθαπηνκέλε ΔF ησλ δύν εκηθπθιίσλ ηέκλεη ηελ επζεία ΑΒ ζην ζεκείν Η, ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΚΔΗ είλαη: E F A K C B D H 9cm 5 5cm 9 5 cm 0cm Δ. cm 7. Η ηζρπξή ππόζεζε ηνπ Goldbach ηζρπξίδεηαη όηη «θάζε αθέξαηνο κεγαιύηεξνο ηνπ 7 κπνξεί λα γξαθεί σο ην άζξνηζκα δπν δηαθνξεηηθώλ πξώησλ αξηζκώλ».ηα ηέηνηεο αλαπαξαζηάζεηο ηνπ αξηζκνύ 6 ε κεγαιύηεξε δπλαηή δηαθνξά κεηαμύ ησλ δύν πξώησλ αξηζκώλ είλαη: Δ ίδνληαη δύν παξάιιειεο επζείεο ζην επίπεδν κε εμηζώζεηο y 7 0 θαη 8 6y 0. Τόηε ην εκβαδό θάζε ηεηξαγώλνπ πνπ έρεη ηηο δύν απέλαληη πιεπξέο ηνπ ηε κηα πάλσ ζηελ πξώηε επζεία θαη ηελ άιιε πάλσ ζηε δεύηεξε επζεία είλαη: (ζε ηεηξαγσληθέο κνλάδεο) 6,5 5,76 6 7,9 Δ Αλ r είλαη ην ππόινηπν ηεο δηαίξεζεο ηνπ θαζελόο από ηνπο αξηζκνύο 059, 7, δηα ηνπ αξηζκνύ d, ηόηε ε δηαθνξά d-r είλαη: 5 79 d-5 Δ. d- 0. Αλ f( ) θαη f ( ) f ( f ( )), f ( ) f ( f ( )),..., n n f ( ) f ( f ( )), όπνπ n n αθέξαηνο κε n, γηα πνηεο ηηκέο ηνπ n ηζρύεη ε ζρέζε f ( ) f ( ) γηα θάζε ηηκή ηνπ γηα όιεο ηηο ηηκέο ηνπ n γηα ηηο άξηηεο ηηκέο ηνπ n γηα ηηο πεξηηηέο ηηκέο ηνπ n. ηα θακηά ηηκή ηνπ n. Δ. n : n k, ό k ί ό έ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 9 η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 008

60 A, B, C Lykeiou Page to 5 y. For all nonzero real numbers we define y. Then b c equals b c b c c Δ. c c b b Ε. b. The population of a town increased by 00 citizens during one year. Later on is decreased by %. The town now has citizens less than the original number. The original population was Δ Ε. None of these. The surface area of a cube equals to the surface area of a second cube. The ratio of the volume of the first cube to the volume of the second one is. Given the function f ( ) 5 Δ. 8 with domain A, Ε., the range of f is 0 f ( ) 9 5 f ( ) 5 f ( ) 9 Δ. 5 f ( ) 9 Ε. 0 f ( ) 5. The area of the region enclosed by the lines, y and 5y 0 is 6cm 0cm 0cm Δ. cm Ε. None of these 6. The 00 th term of the sequence,,, 0, 60, 8,... is Δ. 00 Ε The smallest prime number that divides the number 5 is 5 Δ. Ε. None of these CYPRUS MATHEMATICAL SOCIETY 9 th MATHEMATICAL OLYMPIAD

61 A, B, C Lykeiou Page to 5 8. The point (,) lies on the graph of y f ( ). Which of the following is the corresponding point that lies on the graph of the function g( ) f 6 5 (-,-) 7 0, 7,0 9. In the figure, the equilateral triangle CMN is inscribed in the square ABCD. If the area of the square is, then the area of the triangle equals to Δ. (6,-) Ε.(-,) A Ν B Μ D C 0. The number of triangles with area and with vertices any three points from (0,0), (,0), (,), (,) is Δ. Ε. Δ. Ε. 0. Given the function f such that f ( ) 0, the domain of f is, 0, R Δ.,, Ε.,. If y a, y z b and z c, the arithmetic mean of, y, z is a b c a b c a b c p. p, q and r are positive integers, p q, r q. If 0 then q Which one of the following is a proper fraction? Δ. a b c Ε. Impossible to 6 find p q is a proper fraction. r q q p r p Δ. p r Ε. None of these CYPRUS MATHEMATICAL SOCIETY 9 th MATHEMATICAL OLYMPIAD

62 A, B, C Lykeiou Page to 5. In the figure the triangle ABC is inscribed in the circle with radius, C and the point Χ lies on AC such that BX CX. If BX meets the circle at Q, the length of PQ is A X Q B C P Δ. 0 Ε. 5 με = f, 5. If f, f,, the value of f 8,7 is 8 0 Δ. 5 Ε. 6. If a b, which of the following is false for all a and b? a b a b b a Δ. a b Ε. 0 a b 7. Two random points A, B lay on a circle of radius R. The probability the length of the chord AB to be at least R is Δ. 5 6 Ε. None of these 8. ABO is a square of side and Δ is y the midpoint of O The equation of the line (ε) is Α Β Ο Δ (ε) y y y Δ. y Ε. y CYPRUS MATHEMATICAL SOCIETY 9 th MATHEMATICAL OLYMPIAD

63 A, B, C Lykeiou Page to 5 9. If 0 and f ( ), then 0 f ( ) 6 f ( ) f ( ) Δ. f ( ) 0 Ε. 6 f ( ) 0. Using the musical instruments guitar, bouzouki and violent we form orchestras of people, so that each orchestra has at least two different instruments.the number of such orchestras is 5 Δ. Ε.. Given the right and isosceles triangle ABC with AB=AC= If Μ and Ν are midpoints of the sides AC and AB respectively, then the area of shaded triangle is Μ A Ν B 6 6 Δ. Ε.. If f ( ) 5, the value of k R such that the graph of f ( k) be symmetrical to y-aes is 0 Δ. - Ε.. The number 007 N 007 is divided by 5 Δ.6 Ε. None of these. The ratio of the area of the square is inscribed in a semicircle of radius R to the area of a square inscribed in the circle of radius R is 5 Δ. Ε The product of How many are these zeros? is an integer number whose last digits are zeros. 6 8 Δ. Ε. 9 CYPRUS MATHEMATICAL SOCIETY 9 th MATHEMATICAL OLYMPIAD

64 A, B, C Lykeiou Page 5 to 5 6. The figure shows a semicircle with diameter ΑΒ=6cm centre Κ, and a smaller semicircle with centre B and radius cm.if the common tangent ΕF of the two semicircles intersect the line ΑΒ at the point Η, the area of the triangle ΚΕΗ is A K C B E F D H 9cm 5 5 cm 9 5 cm Δ. 0cm Ε. cm 7. The fundamental principal of Goldbach states that «every integer greater than 7 can be written as the sum of two distinct prime numbers». For the integer number 6, written as the sum of two prime numbers, the greatest difference between these two prime numbers is 00 9 Δ. 88 Ε. 80 y Two parallel lines with equations and 8 6y 0 are given. The area of any square which has its two opposite sides, each on each of the two parallel lines is (in square units) 6,5 5,76 6 Δ. 7,9 Ε If r is the remainder of the division when each of the following numbers 059, 7, is divided by d, then the difference d-r is 5 79 Δ. d-5 Ε. d- 0. If f ( ) and f ( ) f ( f ( )), f f f n n ( ) ( ( )),..., f ( ) f ( f ( )), where n n is a integer number with n, for what values of n the relationship f ( ) f ( ) is true for every value of? for all values of n for all even values for all odd values of n. Δ. For no value of n. Ε. n : n k, where k is a positive int eger of n CYPRUS MATHEMATICAL SOCIETY 9 th MATHEMATICAL OLYMPIAD

65 Α, Β, ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα από 5. Ορίζουµε την πράξη µε τον κανόνα αριθµούς, αβγ α β. Η παράσταση α ( β γ) α βγ α β = για όλους τους µη µηδενικούς πραγµατικούς αβ ισούται µε βγ α. αβ γ Ε. αβγ. Αν από το αφαιρέσουµε τον αντίστροφο του ( ) και προκύπτει ο αντίστροφος του ( ) τότε η τιµή του αριθµού είναι, - -. Ε.. Η διαφορά µεταξύ του µεγαλύτερου εξαψήφιου αριθµού µε διαφορετικά ψηφία και του µικρότερου εξαψήφιου αριθµού επίσης µε διαφορετικά ψηφία, είναι Ε. Κανένα από τα. Αν α =, β = y και α y β ( ) + = y, τότε η τιµή του + είναι y προηγούµενα. Ε. 5. Η πλευρά Α του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒ διαιρείται σε 8 ίσα τµήµατα. Φέρουµε 7 παράλληλα ευθύγραµµα τµήµατα προς τη Β από τα σηµεία διαίρεσης, τα οποία καταλήγουν στην υποτείνουσα ΑΒ, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Αν Β=0, τότε το άθροισµα των µηκών των 7 παραλλήλων είναι A Β 5. 0 Ε. 5 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 0 η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 009

66 Α, Β, ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα από 5 6. Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς α, β( α β) ισχύουν α = β + 5 και β = α + 5, τότε η τιµή του γινοµένου αβ είναι ,5 Ε Στην ισότητα = κ η τιµή του κ είναι 6. 8 Ε Η συνάρτηση f έχει τις ιδιότητες: () f ( 0) = και () για κάθε πραγµατικούς αριθµούς και y, f ( y) f ( y) Ποια είναι η τιµή του f ( 009) ; + = Ε 0 9. Τρείς αριθµοί έχουν γινόµενο 80 και είναι πρώτοι. Το άθροισµά τους είναι Ε Μια οµάδα προσκόπων ξεκινά πεζοπορία στις :00 πµ από το σηµείο Α και πρέπει να φθάσει στο σηµείο Τ, που απέχει από το Α km, ακριβώς στις :00 µµ. Περπατώντας µε ταχύτητα km h, φθάνει στο ενδιάµεσο σηµείο Β στις :5µµ. ια να φθάσει στο σηµείο Τ την προκαθορισµένη ώρα, πρέπει να κινηθεί από το Β έως το Τ µε ταχύτητα 5 km h 5, km h 5, km h. 5,5 km h Ε. 6 km h. Ένας εξαψήφιος αριθµός της µορφής αβγαβγ (στο δεκαδικό σύστηµα) δεν διαιρείται πάντα µε το 7. 0 Ε Έστω f ( ) ( ) + = +. Το άθροισµα f ( 0) f ( ) f ( ) f ( ) ισούται µε Ε. 0 9 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 0 η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 009

67 Α, Β, ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα από 5. Στο σχήµα τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΒ είναι ισοσκελή µε ΑΒ = Α = Β και Β Α. Το άθροισµα των γωνιών ΑΒ+ Α Β είναι ίσο µε Α Ε Β Ε. Κανένα από τα προηγούµενα. ίνεται κανονικό πεντάγωνο ΑΒ Ε. ράφουµε τον κύκλο, που εφάπτεται του στο και του ΑΒ στο Ε Πόσων µοιρών είναι το τόξο Α, που βρίσκεται µέσα στο πεντάγωνο; Α Β Ε Το πλήθος όλων των υποσυνόλων του συνόλου Α= {,,,,5,6,7} είναι Ε Τα µήκη των πλευρών ενός τριγώνου είναι, 5, κ Z. Το πλήθος των τιµών, που µπορεί να πάρει το κ είναι Ε Πόσοι πραγµατικοί αριθµοί καθιστούν την ( ) + πραγµατικό αριθµό; κανένας ένας δυο. οκτώ Ε. άπειροι 8. Το πρώτο ψηφίο του µικρότερου φυσικού αριθµού µε άθροισµα ψηφίων 009 είναι 7 6. Ε. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 0 η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 009

68 Α, Β, ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα από 5 9. Το άθροισµα των γωνιών, εκτός από µια, ενός κυρτού πολυγώνου είναι Το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου είναι Ε. 0. Αν η ακτίνα ενός κύκλου αυξηθεί κατά 00%, τότε το εµβαδόν του κύκλου αυξάνεται κατά 00% 00% 600%. 800% Ε. 900%. Η τιµή της παράστασης ( ) ( ) είναι Ε. 0. Ο θετικός αριθµός ικανοποιεί την ανισότητα <, αν και µόνον αν > 9 > < 9. > 9 Ε. <. Αν = και y= 6, ποιο από τα πιο κάτω ισχύει; = y < y = y. > y. Παρακάτω φαίνεται η ακολουθία των τριγωνικών αριθµών.,, 6, 0, * * * * * * * * * *.. * * * * * * Ο τύπος του νι-οστού όρου της ακολουθίας είναι ν( ν + ) * * * * ν( ν + ) ν( ν + ). Ε. Κανένα από τα προηγούµενα ν( ν + ) Ε. ν( ν + ) 5. Η τιµή της παράστασης Κ = + + είναι. Ε. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 0 η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 009

69 Α, Β, ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 5 από 5 6. Αν f ( ) = και (, ) = +, τότε το, ( ) F y y ( ) F f ισούται µε Ε. 7. Ένας διψήφιος ακέραιος είναι κ φορές το άθροισµα των ψηφίων του. Ο αριθµός που σχηµατίζεται αλλάζοντας τη θέση των ψηφίων του ισούται µε το άθροισµα των ψηφίων του επί 9 κ 0 κ κ. κ Ε. κ+ 8. Η συµµετρική ευθεία της ευθείας y= 5+ 8, ως προς την ευθεία y= έχει εξίσωση 8 y= 5+ 8 y= + 8 y= Στο σχήµα το ΑΒ είναι τετράγωνο πλευράς α. ράφουµε τα δυο τεταρτοκύκλια µε κέντρο το Α και ακτίνες ΑΒ, Α Το εµβαδόν του σκιασµένου µικτόγραµµου τετράπλευρου ΒΛ Β είναι 8 y= Ε. y= Λ Β α Α α Κ α α α. α Ε. α 0. Ο ηµήτρης ξεκινά ένα ταξίδι όταν οι δείκτες του ρολογιού συµπίπτουν, µεταξύ των ωρών 8 πµ και 9πµ και φτάνει στον προορισµό του µεταξύ µµ και µµ, όταν οι δείκτες είναι εκ διαµέτρου αντίθετοι. Το ταξίδι διήρκεσε 6 ώρες 6 ώρ. και 7 λ. 5 ώρ. και 6 λ.. 6,5 ώρες Ε. Κανένα από τα προηγούµενα ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 0 η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 009

70 Α, Β, C Lyceum page of 5. We define the operation such that α β =, for all nonzero real numbers α, β. αβ The epression α ( β γ) equals αβγ α βγ C. βγ α D. αβ γ Ε. αβγ. If we subtract the inverse number of ( ) from, then the result is the inverse number of ( ). The value of is - - C. D. Ε.. The difference between the largest si digit number with different digits and the smallest si digit number with different digits is. If α =, 8698 C D Ε. None of these β = y and α y β ( + ) = y, then the value of + is y C. D. Ε. 5. The side Α of the right triangle ΑΒ is divided in 8 equal segments. We draw the 7 segments that are parallel to Β from the divisional points to the hypotenuse ΑΒ, as in the figure. If Β=0, then the sum of the lengths of the 7 parallel segments is A Β C. 5 D. 0 Ε. 5 CYPRUS MATHEMATICAL SOCIETY 0 th MATHEMATICAL OLYMPIAD 009

71 Α, Β, C Lyceum page of 5 6. For the real numbers α, β( α β) we know that α = β + 5 and β = α + 5. The value of the product αβ is -9 0 C. 5 D. 7,5 Ε In the equality = κ the value of κ is C. 6 D. 8 Ε The function f has the properties: () f ( 0) = and () for every real numbers and y, f ( y) f ( y) What is the value of f ( 009)? + = +. 0 C. 00 D. 0 Ε 0 9. The product of three prime numbers is 80. Then their sum is C. 70 D. 80 Ε One scooters team starts walking at :00 a.m. from the point Α and it must arrive to the point Τ, that is km far away from the point A, at eactly :00 p.m. Walking in a speed of km h, the team arrives to at half the distance at point Β at :5 p.m. In order to arrive to the point Τ at the required time, the team must walk from Β to Τ With a speed of 5 km h 5, km h C. 5, km h D. 5,5 km h Ε. 6 km h. A si digit number in the form αβγαβγ (decimal system) is not always divisible by 7 C. D. 0 Ε Let f ( ) ( ) + = +. The sum f ( 0) f ( ) f ( ) f ( ) is equal to C. 8 9 D. Ε. 0 9 CYPRUS MATHEMATICAL SOCIETY 0 th MATHEMATICAL OLYMPIAD 009

72 Α, Β, C Lyceum page of 5. In the figure the triangles ΑΒ and ΑΒ are both isosceles with ΑΒ = Α = Β and Β Α. The sum of the angles ΑΒ+ Α Β is equal to Α Ε Β C. 0 0 D. 0 5 Ε. None of these. ΑΒ Ε is a regular pentagon. We draw a circle that is tangent to at and to ΑΒ at Ε How may degrees is the measure of the arc Α, which lies inside the pentagon? Α Β 08 C. 50 D. 5 Ε How many subsets does the set A has, where Α= {,,,,5,6,7}? 7 C. 9 D. 6 Ε The lengths of the sides of a triangle are, 5, κ Z. How many different values can κ have? 5 7 C. D. 5 Ε For how many real numbers the epression ( ) + is a real number? none one C. two D. eight Ε. infinite 8. The first digit of the smallest natural number with the sum of its digits 009 is 7 6 C. D. Ε. CYPRUS MATHEMATICAL SOCIETY 0 th MATHEMATICAL OLYMPIAD 009

73 Α, Β, C Lyceum page of 5 9. The sum of the angles, ecept one, of a conve polygon is How many sides does the polygon have? C. 7 D. 9 Ε. 0. The radius of a circle increases by 00%. The area of the circle increases by 00% 00% C. 600% D. 800% Ε. 900%. The value of the epression ( ) ( ) is C. 0 D. 0 Ε. 0. The positive number satisfies the inequality <, if and only if > 9 > C. < 9 D. > 9 Ε. <. If = and y= 6, which of the following is true? = y < y C. = y D. > y. We can see below the sequence of the triangular numbers :,, 6, 0, * * * * th The ν term of the sequence is ν( ν + ) * * * * * *.. * * * * * * * * * * ν( ν + ) C. ν( ν + ) D. Ε. None of these ν( ν + ) Ε. ν( ν + ) 5. The value of the epression Κ = + + is C. D. Ε. CYPRUS MATHEMATICAL SOCIETY 0 th MATHEMATICAL OLYMPIAD 009

74 Α, Β, C Lyceum page 5 of 5 6. If f ( ) = and (, ) = +, then, ( ) F y y ( ) F f equals C. 7 D. 8 Ε. 7. A two digit integer equals κ times the sum of its digits. If we interchange the place of its digits, the new number equals the sum its digits multiplied by 9 κ 0 κ C. κ D. κ Ε. κ+ 8. The symmetrical line of the line y= 5+ 8, with respect to y= is 8 8 y= + 8 C. y= + D. y= Ε. y= y= The figure ΑΒ is a square of side α. We draw two quadrants of centre Α and radii ΑΒ, Α The area of the shaded region ΒΛ Β is Λ Β α Α α Κ α α C. α D. α Ε. α 0. Demetris begins a trip when the hands of the clock coincide between the times 8 a.m. and 9 a.m. and he arrives to his destination between p.m. and p.m., when the hands are diagonally opposite. What was the time length of the trip? 6 hours Β 6h 7 min 5h 6 min.. 6,5 hours Ε. None of these CYPRUS MATHEMATICAL SOCIETY 0 th MATHEMATICAL OLYMPIAD 009