ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ"

Transcript

1 ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 57

2 ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ Πολυγωνικά χωρία - Πολυγωνικές επιφάνειες. Τι καλούμαι πολυγωνικό χωρίο και πως ονομάζεται αυτό ; Πότε δύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα και τι καλείται πολυγωνική επιφάνεια; ς θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα ένα πεντάγωνο Ε.Το πολύγωνο μαζί με τα εσωτερικά του σημεία αποτελούν ένα χωρίο, που λέγεται πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από το Ε. Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από τρίγωνο, τετράπλευρο,..., ν-γωνο λέγεται αντίστοιχα τριγωνικό, τετραπλευρικό,..., ν-γωνικό. Επίσης, δύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα αντίστοιχα πολύγωνα είναι ίσα Τέλος ένα σχήμα που αποτελείται από πεπερασμένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων, που ανά δύο δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία, λέγεται πολυγωνική επιφάνεια.. Τι καλείται εμβαδόν πολυγωνικού χωρίου και πως συμβολίζεται αυτό ; Έστω, λοιπόν ένα πολυγωνικό χωρίο S. Όπως και στα ευθύγραμμα τμήματα, μέτρηση του χωρίου S λέμε τη σύγκρισή του με ένα άλλο επίπεδο χωρίο σ, το οποίο επιλέγουμε ως μονάδα. Η σύγκριση αυτή οδηγεί σε μια σχέση της μορφής: S = λ σ, όπου λ θετικός αριθμός. 58

3 Ο θετικός αριθμός λ λέγεται εμβαδόν του πολυγωνικού χωρίου S και συμβολίζεται με (S). (Στην περίπτωση μας είναι λ = 7,5 δηλαδή S= 7.5 σ ). Πολλές φορές το εμβαδόν ενός πολυγωνικού χωρίου ή μιας πολυγωνικής επιφάνειας θα το συμβολίζουμε απλά με το γράμμα Ε. Επίσης, στα επόμενα, θα λέμε εμβαδόν τριγώνου, τετραπλεύρου και γενικά πολυγώνου και θα εννοούμε το εμβαδόν του αντίστοιχου πολυγωνικού χωρίου. 3. Ποιες ιδιότητες (αξιώματα) δεχόμαστε ότι ισχύουν για το εμβαδόν ; Τι προκύπτει από τα αξιώματα αυτά ; Τι ονομάζουμε ισοδύναμα σχήματα και ποιο θεώρημα ισχύει για το εμβαδόν του τετραγώνου ; ια το εμβαδόν δεχόμαστε ότι ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες (αξιώματα): Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εμβαδά. ν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή μια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασμένου πλήθους πολυγωνικά χωρία, που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία, τότε το εμβαδόν του ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των επιμέρους πολυγωνικών χωρίων. ια παράδειγμα, για το εμβαδόν του πολυγωνικού χωρίου ΕΖ του (σχ. 5) έχουμε: (ΕΖ) = () + (Ζ) + (ΖΕ) Επίσης δεχόμαστε ότι: Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς είναι. πό τα παραπάνω αξιώματα προκύπτει ότι: ν ένα πολύγωνο Ρ περιέχεται στο εσωτερικό ενός άλλου πολυγώνου Π, τότε το εμβαδόν του Ρ είναι μικρότερο του εμβαδού του Π. Είδαμε παραπάνω ότι αν δύο πολυγωνικά χωρία είναι ίσα, τότε έχουν ίσα εμβαδά. Το αντίστροφο είναι φανερό ότι δεν ισχύει. ύο σχήματα που έχουν το ίδιο εμβαδόν λέγονται ισοδύναμα ή ισεμβαδικά. Έτσι σχήματα που δεν είναι ίσα μπορούν να συγκρίνονται ως προς το εμβαδόν τους. 59

4 Θεώρημα: Το εμβαδόν Ε ενός τετραγώνου πλευράς α είναι α, δηλαδή: Ε = α. 4. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα που ισχύει για το εμβαδόν ορθογωνίου. Θεώρημα Ι Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται με το γινόμενο των πλευρών του. ηλαδή αν α, β, οι πλευρές και Ε το εμβαδόν είναι: πόδειξη Έστω ένα ορθογώνιο, με = α και = β. Προεκτείνουμε την πλευρά κατά τμήμα Ε=α, την κατά Ι=β και σχηματίζουμε το τετράγωνο ΙΗΕ, το οποίο είναι φανερό ότι έχει πλευρά α+β και επομένως είναι: (ΙΗΕ) = (α + β) (). Προεκτείνοντας τις και σχηματίζονται τα τετράγωνα ΖΕ, ΙΘ με πλευρές α, β αντίστοιχα και το ορθογώνιο ΘΗΖ που είναι ίσο με το. Έτσι έχουμε (ΖΕ)=α, (ΙΘ) = β και (ΘΗΖ) = () () Είναι φανερό όμως ότι (ΙΗΕ) = () + (ΘΗΖ) + (ΙΘ) + (ΖΕ), από την οποία με τη βοήθεια των () και () προκύπτει ότι: (α + β) = () + α + β. πό αυτή μετά τις πράξεις καταλήγουμε στη σχέση () = α β. 5. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα που ισχύει για το εμβαδόν παραλληλογράμμου. Θεώρημα ΙI Το εμβαδόν Ε ενός παραλληλογράμμου ισούται με το γινόμενο μιας πλευράς του επί το ύψος που αντιστοιχεί σε αυτή. όπου α, β οι πλευρές και υ α, υ β τα αντίστοιχα ύψη. πόδειξη ς θεωρήσουμε ένα παραλληλόγραμμο και ας φέρουμε το ύψος Ζ που αντιστοιχεί στη. Θα αποδείξουμε ότι ()= Ζ. 60

5 πό το φέρουμε Η κάθετη στην προέκταση της. Τότε τα τρίγωνα Ζ και Η είναι ίσα (Z = H= 90, = και = ), οπότε: (Ζ) = (Η) (). πό το σχήμα όμως έχουμε ότι () = (ABZ) + (Ζ), οπότε σύμφωνα με την () προκύπτει ότι () = (Ζ) + (Η) = (ΖΗ). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα I έχουμε ()=(ΖΗ)= Ζ= Ζ, που είναι το ζητούμενο. 6. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα που ισχύει για το εμβαδόν τριγώνου. Θεώρημα IΙI Το εμβαδόν Ε ενός τριγώνου είναι ίσο με το ημιγινόμενο μιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος. πόδειξη Με πλευρές και σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο, το εμβαδόν του οποίου είναι () = α υ α (). Όμως τα τρίγωνα και είναι ίσα, οπότε: () = () (). πό το σχήμα έχουμε ότι () = ()+ () η οποία, σύμφωνα με τις () και (), μετατρέπεται στην α υ α = () ή () = α υ α. 7. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα που ισχύει για το εμβαδόν τραπεζίου, ποιο πόρισμα προκύπτει από το θεώρημα αυτό ; Θεώρημα IV Το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος του όπου, β οι βάσεις του τραπεζίου και υ το ύψος του. 6

6 πόδειξη Θεωρούμε τραπέζιο (//) με βάσεις =, = β και ύψος υ. Φέρουμε τη διαγώνιο. Τότε έχουμε Ε = () = () + () (). λλά τα δύο τρίγωνα και έχουν το ίδιο ύψος υ και βάσεις, β αντίστοιχα και επομένως: () = υ και () = β υ (), Με αντικατάσταση των σχέσεων () στην () προκύπτει ότι δηλαδή το ζητούμενο. ΠΟΡΙΣΜ Το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο της διαμέσου επί το ύψος του. πόδειξη φού για την διάμεσος δ ενός τραπεζίου ισχύει δ= τότε Ε = υ = δ υ. 8. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο με πόδειξη Φέρουμε το ύψος το οποίο είναι και διάμεσος. πό το ορθογώνιο τρίγωνο, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε 9. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν ρόμβου ισούται με το ημιγινόμενο των διαγωνίων του. πόδειξη Είναι φανερό (σχ.) ότι () = () + () (). Επειδή οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες και διχοτομούνται έχουμε: Με αντικατάσταση των () στην () προκύπτει ότι Ε = δ δ ΠΡΤΗΡΗΣΗ Ο προηγούμενος τύπος ισχύει και στην περίπτωση οποιουδήποτε κυρτού ή μη κυρτού, τετραπλεύρου με κάθετες διαγωνίους. 6

7 Πράγματι () = () + () = Ο + Ο = (Ο + Ο) =. 0. Έστω τρίγωνο. ν Μ διάμεσος του τριγώνου να αποδείξετε ότι : (Μ) = (Μ). πό την κορυφή να φέρετε τρεις ευθείες που να χωρίζουν το τρίγωνο σε τέσσερα ισοδύναμα τρίγωνα. i) Φέρουμε το ύψος του τριγώνου (σχ. 5). Το είναι και ύψος στα τρίγωνα Μ και Μ, οπότε έχουμε αφού το Μ είναι μέσο του. ii) πό το προηγούμενο ερώτημα προκύπτει ότι οι ζητούμενες ευθείες είναι οι φορείς των διαμέσων Μ, Κ και Λ των τριγώνων, Μ και Μ αντίστοιχα. 63

8 σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις κατανόησης.να γράψετε τους τύπους υπολογισμού του εμβαδού i) Τετραγώνου ii) Ορθογωνίου iii) Παραλληλογράμμου iν) Τριγώνου ν) Τραπεζίου πάντηση i) Ε = α ii) Ε = α β iii) Ε = β υ iν) Ε = β υ v) Ε = ( ) υ. Ένα τετράγωνο έχει περίμετρο 6, πόσο είναι το εμβαδόν του; Η πλευρά του τετραγώνου α είναι : α = 4, άρα Ε =6 3. Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις α = 9, β = 4 και είναι ισοδύναμο με τετράγωνο πλευρά x. Να βρεθεί το x x = 36 x = 6 4. Σε ένα τρίγωνο είναι α < β. Με ποια ανισοτική σχέση συνδέονται τα υ α και υ β ; Είναι α υ α = β υ β αφού α < β άρα υ β < υ α. 5. ν ένας ρόμβος έχει μήκη διαγωνίων 4 και 5, με τι ισούται το γινόμενο μίας πλευράς του επί το αντίστοιχο ύψος; ν α είναι η πλευρά του ρόμβου και υ το αντίστοιχο σ αυτή ύψος τότε είναι Ε = = α υ όπου δ, δ οι διαγώνιοι του ρόμβου. Οπότε α υ = 0 6. Ένας χωρικός αντάλλαξε έναν αγρό που είχε σχήμα τετραγώνου πλευράς 60 m με έναν άλλο σχήματος ορθογωνίου με πλάτος 40 και περίμετρο ίση με την περίμετρο του τετραγώνου. Έχασε ή κέρδισε ο χωρικός από αυτή την ανταλλαγή ; ιτιολογήστε την απάντηση. Η περίμετρος του τετραγώνου είναι 40m. Το μήκος του ορθογωνίου είναι = 80. Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι Ε = 60 = 3600m και του ορθογωνίου είναι Ε = = 300m Άρα ο χωρικός έχασε από την ανταλλαγή. 64

9 σκήσεις Εμπέδωσης. Στο εσωτερικό τετραγώνου πλευράς α = 4 κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο Ζ. Να υπολογισθεί το εμβαδόν των, Ζ, Ζ και Ζ. α Κ Μ Ζ () = = 4 = 6 Τρ.Ζ ισόπλευρο πλευράς α (Ζ) = = = 6 3 = Φέρουμε ΖΚ και ΖΜ. Τότε ΖΚ = Μ = (Ζ) =. ΖΚ = 4 = 4 = 4 (Ζ) = () (Ζ) (Ζ) (Ζ) = = = ν Μ τυχαίο σημείο της πλευράς = 0 τετραγώνου, τότε το άθροισμα (Μ) + (Μ) είναι : 5, B: 40, : 50, : 75, E: 00. Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντησή σας. Μ Φέρουμε ΜΚ (Μ) =. ΜΚ = 0. 0 = 50, 0 επειδή όμως () = 0 = 00 Κ (Μ) + (Μ) = ίνεται τρίγωνο με = 6, = 8 και ˆ = 60 ο. Να βρεθούν: i) το ύψος, ii) το εμβαδόν (), iii) το ύψος Ε 8 = ˆ = 60 ο ˆ = Πυθαγόρειο στο τρ.ε: 6 3 = 36 9 = 7 = Ε = = 3. 65

10 ii) (AB) =. Ε = = 3 iii) Ε = 8 3 = 5 Πυθαγόρειο στο τρ.ε: (AB) = 3 = + = 3. = 3 3. = 3 = 3 3 = = = = 5 4. Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο 4 και διαγώνιο 5. Να βρείτε το εμβαδόν του. Έστω x, y οι διαστάσεις του ορθογωνίου. Τότε x + y = 7, οπότε y = 7 x και (Πυθαγόρειο): x y 5 x 7 x 5 x 49 4x x 5 x 4x 4 0 x 7x 0 x = 3 ή x = 4 ια x = 3 η εξίσωση y = 7 x y = 4 Άρα το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι Ε = x y = 3. 4 = 5. ίνεται παραλληλόγραμμο με = 0 και αντίστοιχο προς αυτήν ύψος υ = 5. Πάνω στις πλευρές και παίρνουμε τα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα, ώστε Ε = Ζ. i) Να βρείτε το εμβαδόν του. ii) φού πρώτα συγκρίνετε τα εμβαδά των τραπεζίων ΕΖ και ΕΖ να βρείτε το εμβαδόν καθενός από αυτά. Ε i) () = 0. 5 = 50 Ζ ii) (ΕΖ) = (ΕΖ) αφού έχουν ίσες βάσεις και ίδιο ύψος. Άρα 5 το καθένα. 66

11 6. Ένα οικόπεδο έχει σχήμα τραπεζίου ( ) με Aˆ Bˆ, = 5m, = 0m και = m. Ένας καινούργιος δρόμος περνάει παράλληλα προς τη και αποκόπτει μία λωρίδα πλάτους 3m. Πόσα τετραγωνικά μέτρα είναι το οικόπεδο που απομένει; 5 0 K 3 Λ Πυθαγόρειο στο τρ.η: Η = 5 Άρα (ΚΛ) =. 3 = 3. 3 = 39 Έστω ΚΛ παραλληλόγραμμο ο καινούργιος δρόμος. ια να υπολογίσουμε την πλευρά του, φέρουμε Η A. Τότε Η = = και Η = Η = = 0 5 = 5. = = 69 = 0 5 Όμως () = = = 0 Άρα (ΛΚ) = 0 39 = 7 m. 3 = 3. 67

12 ποδεικτικές σκήσεις. ν Σ είναι σημείο μιας πλευράς παραλληλογράμμου, να αποδείξετε ότι (Σ) + (Σ) = (). Σ ρκεί να αποδείξουμε ότι (Σ) = (Σ). Τούτο συμβαίνει διότι έχουν ίδια βάση Σ και αντίστοιχα ύψη ίσα, αφού Σ.. ν οι διάμεσοι και Ε τριγώνου τέμνονται στο Θ, να αποδείξετε ότι: i) (Ε) = (Ε), ii) (Θ) = (ΕΘ) iii) (Θ) = (ΘΕ). Θ Ε i) Έχουν ίσες βάσεις Ε = Ε και ίδιο ύψος από το ii) Θυμόμαστε ότι Κάθε διάμεσος τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα Έτσι (Ε) = () και () = (), οπότε (Ε) = (). φαιρούμε, από τα δύο μέλη, το (Θ). Τότε (ΕΘ) = (Θ) iii) Ομοίως είναι () = (Ε) = (). φαιρούμε, από τα δύο πρώτα μέλη, το (Θ). 3. ίνεται τρίγωνο και το βαρύκεντρό του Θ. πό σημείο Σ της διαμέσου φέρουμε τις κάθετες ΣΕ, ΣΖ στις, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: i) (Σ) = (Σ) ii). ΣΖ =. ΣΕ και iii) (Θ) = (Θ) = 3 () 68

13 i) διάμεσος του τρ. () = () Σ διάμεσος του τρ.σ (Σ) = (Σ) Σ φαιρούμε κατά μέλη Ζ Σ Ε ii) (i) (Σ) = (Σ). ΣΖ =. ΣΕ. ΣΖ =. ΣΕ Θ iii) Κατά το ii) έχουμε (Θ) = (Θ) και ομοίως = (Θ). Άρα το καθένα = 3 () 4.ίνεται τραπέζιο (//). ν Μ το μέσο της πλευράς του, να αποδείξετε ότι () = (Μ). Έστω ΚΜΛ το ύψος του τραπεζίου. Λ () = ( + ).ΚΛ Μ = K K + Κ =. ΜΚ +. ΜΛ = (. ΜΚ +. ΜΛ ) =. Άρα και () = (Μ). 5.Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο με το γινόμενο της μίας από τις μη παράλληλες πλευρές του επί την απόσταση του μέσου της άλλης από αυτή. Η Μ Θ Κ Έστω το τραπέζιο, Μ το μέσο της και ΜΚ η απόσταση του Μ από τη. Θα αποδείξουμε ότι () =. ΜΚ 69

14 Ε Θ Κ πό το Μ φέρουμε //, που τέμνει τις, στα Η, Θ αντίστοιχα. Τότε τρ.μθ = τρ.μη άρα και ισεμβαδικά και ΗΘ παραλληλόγραμμο. Έχουμε () = (ΘΜ) + (ΜΘ) = (ΘΜ) + (ΜΗ) = (ΗΘ) = β.υ =. ΜΚ 6. ίνεται τρίγωνο με =, = και ˆ = 0 ο. Με πλευρές τις και κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου τα τετράγωνα Ε και ΖΘ αντίστοιχα. Τότε: i) να υπολογίσετε το τμήμα ΕΘ ii) να αποδείξετε ότι τα, Ε, Θ είναι συνευθειακά και iii) να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της πολυγωνικής επιφάνειας ΖΘΕ είναι Ζ i) ˆ = 0 ο ˆ = 60 ο Νόμος συνημιτόνων στο τρ.εθ = = 5 = 3 Άρα ΕΘ = 3 ii) Εύκολα διαπιστώνουμε ότι, στο τρίγωνο ΕΘ ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα, άρα είναι ορθογώνιο στο Ε. Άρα τα, Ε, Θ είναι συνευθειακά iii) ια το εμβαδόν του τριγώνου, φέρουμε το ύψος του Κ. ˆ = 0 ο ˆ = 30 ο Κ = Πυθαγόρειο στο τρίγωνο Κ () =. Κ = 3 = 3 (ΕΘ) = ΕΘ. Ε = 3 3 = (Ε) = (ΖΘ) = = 4 = 3 Άρα Κ = 3 () () = (3) = 4 (4) () + () + (3) + (4) (ΖΘΕ) = =

15 7. ν ω είναι η γωνία των διαγωνίων και κυρτού τετραπλεύρου, να αποδείξετε ότι () =. ημω. () = () + () =. +. B Ε =. ( + ) =. (Ε. ημω + Ε. ημω) =. (Ε + Ε)ημω =. ημω 8. Ο ιδιοκτήτης ενός οικοπέδου σχήματος ορθογωνίου, του οποίου το μήκος είναι κατά 8m μεγαλύτερο του πλάτους, θέλει να σχηματίσει, γύρω από το οικόπεδο και εξωτερικά αυτού, μια δενδροστοιχία πλάτους,5m. Έτσι αναγκάζεται να αγοράσει από τους γείτονές του 695 m. διαστάσεις του οικοπέδου. Ν K x x + 3 x + 8 Λ x + 5 Μ Έστω το αρχικό οικόπεδο με Να βρεθούν οι πλάτος = x και μήκος = x + 8, και ΚΛΜΝ το οικόπεδο μετά την επέκταση με ΛΜ = x + 5 και ΚΛ = x + 3. Είναι (ΚΛΜΝ) () = 695 (x + 3) (x +5) (x + 8) x = 695 x 5x 3x 5 x 8x x = 580 x = 58 το πλάτος και = 76 το μήκος. 7

16 Σύνθετα Θέματα. Θεωρούμε κυρτό τετράπλευρο. Στις προεκτάσεις των ημιευθειών,, και παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Ζ, Η, Θ και Ι, ώστε Ζ =, Η =, Θ = και Ι =. Να αποδείξετε ότι: i) (ΙΘ) = (Θ) = () ii) (ΙΘ) + (ΖΗ) = () και iii) (ΙΖΗΘ) = 5() Θυμίζουμε ότι: Κάθε διάμεσος τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα. i) Θ διάμεσος του τριγώνου ΘΙ (ΙΘ) = (Θ) διάμεσος του τριγώνου Θ (Θ) = () Θ Ι Ζ Η ii) i) (ΙΘ) = () και ομοίως (ΖΗ) = () Προσθέτουμε κατά μέλη (ΙΘ) + (ΖΗ) = () (ΙΘ) + (ΖΗ) = iii) Σύμφωνα με το ii) θα έχουμε (ΘΗ) + (ΙΖ) = () Άρα (ΙΖΗΘ) = (ΙΘ) + (ΖΗ) + (ΙΘ) + (ΖΗ) + () = () + () + () = 5().. Σε τρίγωνο παίρνουμε το μέσο Μ της διαμέσου, το μέσο Ν του Μ και το μέσο Ρ του Ν. Να αποδείξετε ότι (ΜΝΡ) = 8 (). Φέρουμε το τμήμα Μ. ΜΡ διάμεσος του τριγώνου ΜΝ Μ Ρ Ν (ΜΝΡ) = (ΜΝ) () Ν διάμεσος του τριγώνου Μ (ΜΝ) = (Μ) () () (ΜΝΡ) = (Μ) 7

17 = 4 (Μ) = 4 MB (3) Μ διάμεσος του τριγώνου (Μ) = () και Μ διάμεσος του τριγώνου (Μ) = () (3) (ΜΝΡ) = 4 = 4 = 8 (). 3. Στις πλευρές και τετραγώνου πλευράς α παίρνουμε τα σημεία Ζ και Η αντίστοιχα, ώστε Ζ = Η = 4. i) Να αποδείξετε ότι τα τμήματα Ζ και Η τέμνονται κάθετα σε σημείο Κ. ii) Να υπολογισθούν τα μήκη των τμημάτων Κ, Η και ΚΗ. iii) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΚΗ. τρ.ζ = τρ.η αφού είναι ορθογώνια με = και Ζ = Η = 3 4 Κ ˆ = ˆ λλά από το ορθ. τρίγωνο Ζ είναι Ζ ˆ + ˆ = 90 ο, άρα ˆ + ˆ = 90 ο Έτσι, στο τρίγωνο ΚΖ είναι ˆ = 90 ο. Η ii ) Πυθαγόρειο στο τρ.ζ: = + = + Άρα 3 4 = = 5 6 Ζ = 5 4 Στο τρ.ζ με ύψος Κ: = Ζ. Κ = 5 4. Κ Κ= 4 5 Πυθαγόρειο στο τρ.η: Πυθαγόρειο στο τρ.κη: = Άρα Η = = = = + 4 = = = 73

18 Φέρουμε το ύψος ΚΟΛ. K Ο Ο = = Άρα ΚΗ = 3 0 iii) (ΚΗ) = (ΚΗ) + (Η) = Κ. ΚΗ +. Η = = = = Θεωρούμε παραλληλόγραμμο και σημείο Ο στο εσωτερικό του τριγώνου. Να αποδείξετε ότι i) (Ο) + (Ο) = () και ii) (Ο) + (Ο) = (Ο) (Ο) + (Ο) =.ΟΚ +. ΟΛ = = (ΟΚ + ΟΛ) = Λ =. ΚΛ = () () λλά, κάθε διαγώνιος παραλληλογράμμου χωρίζει το παραλληλόγραμμο σε δύο ίσα και, κατά συνέπεια ισεμβαδικά τρίγωνα. ηλαδή () = () () (), () (Ο) + (Ο) = () ii) Στα δύο μέλη της αποδεικτέας ισότητας προσθέτουμε το (Ο), οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι (Ο) + (Ο) + (Ο) = (Ο) + (Ο), ή αρκεί () = (Ο) + (Ο), που ισχύει από το i). 5.ν και ΚΛΜΝ είναι ρόμβος πλευράς α και τετράγωνο πλευράς α αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι () (ΚΛΜΝ) Έστω, οι διαγώνιοι του ρόμβου και Ο το κέντρο του. ρκεί να αποδείξουμε ότι, ή αρκεί Πυθαγόρειο στο τρ.ο: = + + = =. () 74

19 πό την (), αρκεί να αποδείξουμε ότι ή αρκεί ή αρκεί ή αρκεί 0, που ισχύει. 75

20 ΕΜ Άλλοι τύποι για το εμβαδόν τριγώνου. Ποιοι τύποι προκύπτουν με τη βοήθεια του βασικού τύπου για το εμβαδόν ενός τριγώνου, με τη βοήθεια του τ, όπου τ η ημιπερίμετρος του τριγώνου δηλαδή τ = και των δύο κύκλων που συνοδεύουν το κάθε τρίγωνο δηλαδή του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο με ακτίνα R και του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου με ακτίνα ρ. Με τη βοήθεια του βασικού τύπου για το εμβαδόν ενός τριγώνου, με μήκη πλευρών α, β, γ, προκύπτουν και οι επόμενοι τύποι: όπου τ η ημιπερίμετρος του τριγώνου., όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. πόδειξη (i) ποδείξαμε ότι (ii) Έστω τρίγωνο και ο εγγεγραμμένος κύκλος του (Ι, ρ). Φέρουμε τα τμήματα Ι, Ι και Ι και έτσι το τρίγωνο χωρίζεται στα τρίγωνα Ι, Ι και Ι που έχουν το ίδιο ύψος ρ και δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία, οπότε έχουμε: (iii) 76

21 Θεωρούμε τη διάμετρο. Τα τρίγωνα Η και είναι όμοια, αφού B = H = και = ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο. Επομένως είναι Η/ = / ή βγ = Rυ α οπότε έχουμε ότι υ α = τύπο Ε = αυ α προκύπτει το ζητούμενο. και με αντικατάσταση στον. Ποιος είναι ο τριγωνομετρικός τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου ; Το εμβαδόν Ε ενός τριγώνου δίνεται και από τον (τριγωνομετρικό) τύπο: πόδειξη ν A β= γ ημ. ν A >, πάλι από το ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει ότι: υ β = γ ημ εξ = γ ημ(80 - ) = γ ημ. Έτσι και στις δύο περιπτώσεις έχουμε υ β =γ ημ οπότε Όταν A =, τότε υ β = γ, επομένως πάλι ο τύπος ισχύει. Όμοια αποδεικνύονται και οι υπόλοιποι τύποι. 3. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί ο νόμος των ημιτόνων. Νόμος των ημιτόνων Σε κάθε τρίγωνο να αποδειχθεί ότι = = = R. πόδειξη ή ημ = ή = R. Όμοια προκύπτει = R, = R, από τις οποίες συμπεραίνουμε το ζητούμενο. 4. ίνεται τρίγωνο με α = 3, β = 4 και γ = 5 (σχ.8). Να υπολογίσετε: (i) το εμβαδόν του, (ii) τα ύψη του, 77

22 (iii) τις ακτίνες του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου, (iv) το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα μέσα των πλευρών του. πόδειξη 78

23 σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις κατανόησης.με την βοήθεια του τύπου Ε = βγημ, να αποδείξετε ότι Ε βγ Ε = β γ ημ βγ = βγ Η ισότητα ισχύει όταν ημ =, δηλαδή ˆ = 90 ο, δηλαδή σε ορθογώνιο τρίγωνο.σε τρίγωνο είναι () = 9 και ρ =,5. Ποια είναι η περίμετρος του τριγώνου; Ε = τ ρ 9 =,5 τ τ = 6 τ = 3.Ποιοι είναι οι τύποι υπολογισμού του εμβαδού ενός τριγώνου; πάντηση i) Ε = α υ α = β υ β = υ γ ii) Ε = β γ ημ = α γ ημ = β α ημ iii) Ε = τ ρ iν) Ε = 4R ν) Ε= ( )( )( ) 79

24 σκήσεις Εμπέδωσης.Σε παραλληλόγραμμο είναι = 8, = 0 και = 34. Να βρείτε το εμβαδόν του. Με τον τύπο Ε = βρίσκουμε το εμβαδόν (). τ = (α + β + γ) = ( ) = 36 τ α = 36 0 = 6 τ β = = τ γ = 36 8 = 8 () = = = = 44. () = () =. 44 = 88.. ίνεται τραπέζιο ( ) με = 5, =, = 3 και = 5. Να βρείτε το εμβαδόν του και το ύψος του. 3 3 Λ 5 Κ 4 5 Με τον τύπο τρίγωνο Λ α = Λ = 4, β = = 5, γ = Λ = 3 τ = ( ) = 4 = τ α = 4 = 7 τ β = 5 = 6 τ γ = 3 = 8 Κ = = Φέρουμε Λ και το ύψος Κ. Τότε Λ παρ/μμο. Άρα Λ = = 3 και = Λ = Λ = 5 5 = υπολογίζουμε το ύψος Κ στο = () = ( + ). Κ = (5 + ). = = 6. = 80

25 3.ίνεται τρίγωνο με = 4, = 7 και ˆ = 60 ο. Να βρείτε το εμβαδόν του. Ε = β γ ημ = 7. 4 ημ60ο = = ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = ) με = 6 και = 8. Να βρείτε i) το εμβαδόν ii) το ύψος iii) την ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου κύκλου. i) Ε =. = 6.8 = 4 ii) Πυθαγόρειο: = + = Ε = 4. = 4 iii) τ = ( ) = 4 = 6 8 = = 00 = 0 0 = 4 = 4 5 Ε = τρ ρ = ρ = 4 =. 8

26 σκήσεις ποδεικτικές.ν σε τρίγωνο ισχύει βγ = α, να αποδείξετε ότι ˆ =. Είναι Ε = βγημ και Ε = α βγημ = α ημ = ˆ =..ν Ε το εμβαδόν του τριγώνου με πλευρές α, β, γ, να αποδείξετε ότι: i) E < τ(τ α) < ii) E = τ(τ α) = iii) E > τ(τ α) > i) E < τ(τ α) < τ(τ α) < < βγ < τγ + τβ τα βγ < τ (β + γ α) βγ < (α +β + γ) (β + γ α) ii) όμοια με = iii) όμοια με < βγ < αβ + αγ < + + < + βγ βα + γβ + γα 3.ν δύο τρίγωνα και είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο, να αποδείξετε ότι E πό τον τύπο Ε = έχουμε 4R 4R E 4R 8

27 4.Σε τρίγωνο με ˆ φέρουμε τα ύψη Ζ και Η. Να αποδείξετε ότι (ΖΗ) = () Όταν ˆ. (ΖΗ) = Η. Ζ.ημ () Στο ορθογώνιο τρίγωνο Η είναι Η = β συν και στο ορθογώνιο τρίγωνο Ζ είναι Ζ = γ συν () (ΖΗ) = β συν γ συν ημ = βγ ημ () H γ Z β λλά () = βγ ημ () (ΖΗ) = () Όταν ˆ > (ΖΗ) = Η. Ζ.ημ (3) Στο ορθογώνιο τρίγωνο Η είναι Η = β συν και στο ορθογώνιο τρίγωνο Ζ είναι Ζ = γ συν Ζ (3) (ΖΗ) = β συν γ συν ημ = βγ ημ (4) γ Η β λλά () = βγ ημ και συν = συν (4) (ΖΗ) = () = () 5.Σε τρίγωνο να αποδείξετε ότι: Είναι Ε =. E =. + + = + + = + + = = και κυκλικά. Άρα = = = 83

28 ε x M A O K B N y Σύνθετα Θέματα.i) ίνεται γωνία xoy ˆ και σταθερό σημείο Κ στο εσωτερικό αυτής. πό το Κ φέρουμε μεταβλητή ευθεία ε, που τέμνει τις πλευρές Ox, Oy στα σημεία Μ, Ν αντίστοιχα. Να ποδείξετε ότι το άθροισμα OKM είναι σταθερό. ii) Θεωρούμε τρίγωνο, σημείο Κ στο εσωτερικό του και τα τμήματα, και που διέρχονται από το Κ. ν,,..., είναι 6 αντίστοιχα τα εμβαδά των τριγώνων Κ, Κ, Κ, Κ, Κ, να αποδείξετε ότι + + = Κ και i) Κατ αρχήν, με οριακές θέσεις της ευθείας ε μπορούμε να εντοπίσουμε την ποσότητα του αθροίσματος. Μια οριακή θέση της ε είναι να γίνει Κ Oy. Τότε το εμβαδόν (ΟΚΜ) γίνεται (ΟΚ) και το (ΟΚΝ) απειρίζεται, οπότε το μηδενίζεται, αφού το Ν εξαφανίζεται στο άπειρο. ντίστοιχα σκεπτόμαστε, όταν η ε γίνει Κ Ox. Εδώ να παρατηρήσουμε ότι το ΟΚ είναι παρ/μμο, άρα (ΟΚ) = (ΟΚ) Θα αποδείξουμε, λοιπόν, ότι OKM OKM = = Τα τρίγωνα ΟΚ, ΟΚΜ έχουν κοινό ύψος από το Κ, άρα = = = Ομοίως Άρα OKM = = = = + ή ότι = = 84

29 ii) πό το i), με τέμνουσα Κ, έχουμε + = c 5 6 και με τέμνουσα Κ, έχουμε 6 Κ 5 + = c Άρα + = Κυκλικά ανά δεύτερο δείκτη είναι + = και + = () + () + (3) + + = ν,, είναι οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων τριγώνου, να αποδείξετε ότι () = = =. () = ( ) + ( ) ( ) = + () () (3) ρ α ρ α = (γ + β α). () λλά α + β + γ = τ α + β + γ α = τ α γ + β α = (τ α) ρ α Ι α () () = (τ α) = Ομοίως οι άλλες δύο ισότητες. 4.Έστω τετράπλευρο εγγράψιμο σε κύκλο. ν θέσουμε = α, = β, = γ και = δ, να αποδείξετε ότι ( ο Θεώρημα Πτολεμαίου) α δ γ β 85 Έστω R η ακτίνα του κύκλου. Εφαρμόζοντας τον τύπο Ε = έχουμε 4R () = () + () =

30 .. = () 4R 4R 4R () = () + () =.. = () 4R 4R 4R () και () (αδ + βγ) = (αβ + γδ) 86

31 ΕΜ Εμβαδόν και ομοιότητα. Να αποδείξετε ότι : αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων υψών, ενώ αν έχουν ίσα ύψη, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων βάσεων. πόδειξη ς θεωρήσουμε δύο τρίγωνα και '' με εμβαδά Ε και Ε' αντίστοιχα. Τότε είναι Ε = αυ α και Ε' = α υ α, οπότε =. πό την ισότητα αυτή προκύπτει άμεσα ότι: ν α = α, τότε = ν υ α = υ α, τότε =. Ποιο θεώρημα ισχύει για τον λόγο των εμβαδών στην περίπτωση που τα τρίγωνα και ''' είναι όμοια ; Να γίνει η απόδειξη του θεωρήματος αυτού. Θεώρημα Ι ν δυο τρίγωνα είναι όμοια τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας. πόδειξη Έστω δύο όμοια τρίγωνα και ''' με A = A' και = B'. Τότε = = λ (), όπου λ ο λόγος ομοιότητας. λλά, όπως και παραπάνω, είναι = () πό τις () και () προκύπτει ότι = λ. 87

32 3. Ποιο θεώρημα ισχύει για τον λόγο των εμβαδών ομοίων πολυγώνων ; Να γίνει η απόδειξη του θεωρήματος αυτού. Θεώρημα ΙΙ Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους. πόδειξη ς θεωρήσουμε δυο όμοια πολύγωνα π.χ. τα πεντάγωνα Ε και ''''Ε' με λόγο ομοιότητας: Φέρουμε τις διαγωνίους των πολυγώνων από τις κορυφές και ', οπότε αυτά χωρίζονται σε ισάριθμα τρίγωνα όμοια μεταξύ τους. ν Ε, Ε, Ε 3 και Ε', Ε', Ε' 3 είναι τα εμβαδά των αντίστοιχων τριγώνων, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα και τη σχέση (), θα έχουμε: 4. Ποιο θεώρημα ισχύει για το λόγο των εμβαδών τριγώνων με δύο γωνίες ίσες ή παραπληρωματικές ; Να αποδειχθεί το θεώρημα αυτό. Θεώρημα ΙIΙ ν μία γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωματική με μια γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε ο λόγος των εμβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος με το λόγο των γινομένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές. 88

33 πόδειξη Θεωρούμε τα τρίγωνα και ''' με A = A' ή A + A' = 80 Τότε και στις δύο περιπτώσεις θα ισχύει ημ = ημ', οπότε από τις ισότητες Ε = β γ ημ και Ε' = β' γ'ημ'. με διαίρεση κατά μέλη προκύπτει ότι = που είναι το ζητούμενο. ίνεται τρίγωνο και ευθεία ε που διέρχεται από το και είναι παράλληλη προς την πλευρά. ν Μ σημείο της ε, να αποδείξετε ότι (Μ) = (). πόδειξη Φέρουμε τα ύψη και ΜΖ των τριγώνων και Μ αντίστοιχα. Επειδή η ε είναι παράλληλη προς τη, προκύπτει ότι = ΜΖ και επομένως τα τρίγωνα και Μ είναι ισεμβαδικά, επειδή έχουν κοινή βάση και ίσα ύψη. Θεωρούμε τραπέζιο με βάσεις και και έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Να αποδείξετε ότι: πόδειξη (i) Είναι (Ο) = () - (Ο) = () - (Ο) = (Ο). (ii) Τα τρίγωνα Ο και Ο είναι όμοια (Ô = Ô, = A ) με λόγο ομοιότητας A και επομένως (OA)/(Ο) = A / (iii) Τα τρίγωνα Ο και Ο έχουν κοινή κορυφή και κοινό το ύψος από αυτήν, επομένως (OA)/(Ο) = Ο/Ο. πό την ομοιότητα όμως των τριγώνων Ο και Ο έχουμε τι Ο/Ο = /, οπότε (OA)/(Ο) = /. 89

34 σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις κατανόησης. ύο τρίγωνα και έχουν υ β = υ β και ( ) 3. ( ) ποιος είναι ο λόγος : : 3 : : 9 4 Ε: 4 9 Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. ( ) ( ) 3.ύο ρόμβοι και έχουν ˆ 4 ˆ και. 5 Να υπολογιστεί λόγος ( ) ( ) φού ˆ ˆ οι γωνίες των ρόμβων θα είναι ίσες και επειδή επιπλέον ισχύει 4 5 οπότε ( ) 6 ( ) 5 οι ρόμβοι είναι όμοιοι με λόγο ομοιότητας λ = Ένα ισοσκελές τρίγωνο ( = ) είναι ισοδύναμο με ένα τρίγωνο που έχει =36. ν είναι ˆ ˆ, ποιο είναι το μήκος των ίσων πλευρών του ισοσκελούς ; ˆ ( ) ˆ = = 6 ( ) 36 σκήσεις Εμπέδωσης 90

35 3.ύο τρίγωνα και έχουν α = α και. ν το εμβαδόν του είναι 30 m, να βρείτε το εμβαδόν του. = = 3 ( ) = 3 () ( ) = 3 30 ( ) =0 m.ίνεται παραλληλόγραμμο με εμβαδόν 0 m. ν Μ σημείο στην προέκταση της τέτοιο ώστε = Μ, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου Μ. Μ Φέρουμε τη διαγώνιο. Τα τρίγωνα Μ, έχουν ίδιο ύψος. Άρα (Μ) = () = () = 4 0 = 5 m 3.ίνεται τρίγωνο και τα σημεία και Ζ των προεκτάσεων των και, ώστε = 3 και Ζ =. ν το εμβαδόν του τριγώνου είναι 30 m, να βρείτε το εμβαδόν του Ζ. ˆ ˆ Ζ (Ζ) = 3 () = 3 30 = 0 m 9

36 4.Ένα τρίγωνο έχει εμβαδόν 75 m. Έστω σημείο της πλευράς και Μ σημείο του τέτοιο, ώστε AM M = 3. πό το Μ φέρουμε παράλληλο προς την πλευρά, που τέμνει τις και στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου ΕΖ. AM M = 3 AMM = 3 3 AM = 3 5 Ε M Ζ τρ.εζ όμοιο του τρ. και με Θ. Θαλή A = 3 5 (ΕΖ) = 9 5 () (ΕΖ) = 9 75 = 7 m 5 Άρα (ΕΖ) = () (ΕΖ) = 75 7 = 48 m. 5.ύο τρίγωνα και έχουν ˆ ˆ και ˆ ˆ =. αποδείξετε ότι α β = α β. ˆ ˆ ˆ ˆ = Άρα = = = = Να 9

37 Ζ Λ Ρ Κ Ε ποδεικτικές σκήσεις.ίνεται τρίγωνο και εσωτερικό του σημείο Ρ. ν οι Ρ, Ρ και Ρ τέμνουν τις, και στα, Ε και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι i) =, ii) + + = και iii) + + = i) Φέρουμε τα ύψη ΡΚ, Λ των τριγώνων Ρ, αντίστοιχα και επειδή έχουν κοινή βάση, θα είναι = () + () + (3) Τρ.ΡΚ όμοιο του Λ Άρα ii) Ομοίως και + + = = + + = + + = = = = = () () (3) iii) = ομοίως = = =. = Προσθέτουμε κατά μέλη και + + = = 3 = 93

38 .ίνεται τρίγωνο με ˆ, ˆ και το ύψος του. Στο ημιεπίπεδο (,) φέρουμε x και y. Πάνω στις x, y παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Ε και Ζ, ώστε να έιναι Ε = Ζ =. ν Μ, Ν είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι (ΕΜ) + (ΖΝ) = (). Ε x Ν Ζ y Μ ˆ ˆ.. (ΕΜ) = () Ομοίως (ΖΝ) = () Προσθέτουμε (ΕΜ) + (ΖΝ) = (). 3.ίνεται κύκλος κέντρου Ο και δύο κάθετες χορδές και. Να αποδείξετε ότι (Ο) = (Ο). O Κ ˆ = = = ˆ ˆ.. (Ο) = (Ο). 4.ίνεται τρίγωνο. Ευθεία παράλληλη προς τη τέμνει την στο και την στο Ε. Να αποδείξετε ότι. ρκεί να αποδείξουμε ότι AB AB Ε Τα τρίγωνα Ε, Ε έχουν ίδιο ύψος από το Ε, άρα AB () Τα τρίγωνα, Ε έχουν ίδιο ύψος από το, άρα AB = () 94

39 (), (), (3) AB = AB Θ.Θαλή = (3) 5.Πάνω στις πλευρές κυρτού τετραπλεύρου κατασκευάζουμε εξωτερικά αυτού τα τετράγωνα ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ και ΛΜ. Να αποδείξετε ότι Λ Μ Ζ (ΜΖ) + (ΗΚ) = (ΘΕ) + (ΙΛ) Ε Θ Η Φέρουμε τη διαγώνιο. ˆ ˆ = =.. = (ΜΖ) = () και ομοίως (ΗΚ) = () Άρα (ΜΖ) + (ΗΚ) = () Ι Κ Ομοίως (ΘΕ) + (ΙΛ) = () Άρα (ΜΖ) + (ΗΚ) = (ΘΕ) + (ΙΛ) 6.Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = ) και τρία πολύγωνα, και όμοια μεταξύ τους, που έχουν ως ομόλογες πλευρές, και 3 αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ( ) + ( ) = ( ), όπου ( ), ( ) και ( ) 3 3 τα εμβαδά τους. ρκεί να αποδείξουμε ότι Πολύγωνο όμοιο του Ομοίως Οπότε, αρκεί να αποδείξουμε ότι = + = = = = =, ή που ισχύει. 95

40 E E 4 O E E3 Σύνθετα Θέματα.Θεωρούμε τετράπλευρο και έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. ν,, και είναι τα εμβαδά των τριγώνων Ο, Ο, Ο 3 4 και Ο αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι 3 =. ν υποθέσουμε ότι η 4 είναι παράλληλη προς τη, τότε να αποδείξετε ότι i) =, 3 ii) =, iii) E, όπου Ε = () 4 4 ρκεί να αποδείξουμε ότι = 4 Τα τρίγωνα Ο, Ο έχουν κοινό ύψος από το άρα = και ομοίως 4 = Άρα = 4 i) ρκεί να αποδείξουμε ότι + = +, δηλαδή ότι () = (), 3 το οποίο συμβαίνει αφού ii) φού =, η ισότητα 3 3 = γίνεται 4 iii) 4 E 4 E = (αφού = ) 4 3 EE + (αφού E E E + + E 4 4 E + E E E 4, που ισχύει. = 4 = ) 4 96

41 . πό εσωτερικό σημείο Σ τριγώνου φέρουμε παράλληλες προς τις πλευρές του. ν,, είναι τα εμβαδά των τριών τριγώνων που 3 σχηματίζονται, να αποδείξετε ότι i) καθένα από τα τρίγωνα εμβαδών,, είναι όμοιο με το 3 ii) E + E + E = 3 E, όπου Ε = () i) Λόγω των παραλλήλων, είναι προφανές ότι καθένα από τα τρία τρίγωνα έχει ίσες γωνίες με το τρίγωνο ii) Ι Θ Ε 3 Ε Κ Σ Ε Ζ Η ρκεί να δειχθεί ότι Τρ.ΣΖ όμοιο E + E E + E3 E = E E E E E = Ομοίως Άρα E E = = E + E E + E3 E E και E 3 E = = = + + = = = 3.Σε τρίγωνο φέρουμε τις διχοτόμους, Ε και Ζ. Να αποδείξετε ότι () i) (ΕΖ) = ii) (ΕΖ) 4 () Ζ Ε i) Τα τρίγωνα ΖΕ, έχουν ˆ κοινή ( ) ( ) =. (ΖΕ) = () (ΖΕ) = () και κυκλικά ( )( ) 97

42 (Ζ) = ( )( ) (Ε) = ( )( ) () () (ΕΖ) = () (ΖΕ) (Ζ) (Ε) = = () ( )( () ) ( )( ) () ( )( ) = ( ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) () () = () = πράξεις στον αριθμητή.. = ii) (ΕΖ) 4 () () 4 () ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) που ισχύει. () 4.ίνεται τρίγωνο και σημεία Κ, Λ των πλευρών, αντίστοιχα. πό τα Κ, Λ να φέρετε δύο ευθείες που να χωρίζουν το τρίγωνο σε τρία ισοδύναμα μέρη. K Η Ζ Λ νάλυση Έστω ΚΖ η μία από τις ζητούμενες ευθείες. Τότε (ΚΖ) = 3 () = 3 () ρκεί να υπολογίσουμε το τμήμα Ζ συναρτήσει γνωστών τμημάτων. 98

43 Τα τρίγωνα ΚΖ, έχουν κοινή τη γωνία ˆ (), ().. = 3 =.. 3Κ. Ζ =. Ζ =. 3 Σύνθεση. Πάνω στην τοποθετούμε σημείο Ζ τέτοιο, ώστε Ζ = και φέρουμε 3 την ΚΖ. Με τον ίδιο τρόπο κατασκευάζουμε και τη δεύτερη ζητούμενη ευθεία ΛΗ. () 99

44 ενικές 0 ου Κεφαλαίου.Θεωρούμε τρίγωνο και ευθεία ε, που τέμνει τις πλευρές και στα και Ε αντίστοιχα.. Να αποδείξετε ότι: i) (Ε) = (Ε) ii) (Ε) = () iii) (BAE) + () = () με την επί πλέον υπόθεση ότι τα, Ε είναι μέσα των, αντίστοιχα. Ε i) Έχουν ίδια βάση και ίσα αντίστοιχα ύψη αφού Ε iii) ρκεί να δειχθεί ότι (BAE) + () = (Ε) + (Ε), ή ii) Στα δύο μέλη της ισότητας του i) προσθέτουμε το (Ε) () = (Ε) Επειδή διάμεσος του τριγώνου () = () και επειδή Ε Άρα () = (Ε) () = (Ε).Θεωρούμε τρίγωνο και σημείο της πλευράς του, ώστε =, λ > 0. Να αποδείξετε ότι: 4 i) () = 4 () ii) (AB) 4 () iii) () 3 4 () i) Tα τρίγωνα, έχουν ίδιο ύψος από το = πό την υπόθεση, όμως έχουμε = 4 00

45 Άρα = 4 () = 4 () ii) (AB) 4 () 4 iii) () 3 4 () που ισχύει () () 3 4 () () 4 () 3 4 () που ισχύει 3.Έστω τρίγωνο και η διχοτόμος του. Με τη θεωρία του εμβαδού να αποδείξετε ότι = (Θεώρημα διχοτόμου). ˆ ˆ =.. = () Tα τρίγωνα, έχουν ίδιο ύψος από το = () (), () = 0

46 4.ίνεται τρίγωνο με β = 3γ, μία διχοτόμος του και Ε μία διάμεσός του. Να αποδείξετε ότι: i) (A) = 3 () ii) ().(Ε) = ().(Ε) iii) (Ε) = 3 8 () γ β=3γ Ε i) ˆ ˆ =.. = 3 3 ii) ρκεί να αποδείξουμε ότι Στο i) αποδείχθηκε ότι = 3 = () Τα τρίγωνα Ε, Ε έχουν ίδιο ύψος από το Ε λλά, από Θ. ιχοτόμου, έχουμε = 3 3 Άρα = () 3 πό () και () iii) ρκεί να αποδείξουμε ότι = = 3 8 υτά τα τρίγωνα έχουν ˆ κοινή. =. = = 3 3 = (A) = 3 () 3 3 = = 3 4 = ίνεται ισοσκελές τρίγωνο με = = 6cm και ˆ = 0 ο. i) Να βρεθεί το εμβαδόν του. 0

47 ii) ν Ε είναι σημείο της τέτοιο, ώστε Ε = και το ύψος του 3 τριγώνου, να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου Ε. iii) ν η παράλληλη από το προς τη τέμνει την προέκταση της Ε στο Ζ, να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΕΖ. Ε Ζ i) () =. = 6. 6 ημ 0 0 = 8 3 = 9 3. ii) Τα τρίγωνα Ε, έχουν κοινή τη γωνία ˆ.. 3 άρα (Ε) = 3 () αλλά () = () = 9 3 άρα (Ε) = = 3 3 iii) Το τρίγωνο ΕΖ είναι όμοιο του Ε Άρα (ΕΖ) = 4 (Ε) (ΕΖ) = = Θεωρούμε τραπέζιο (//) και τα μέσα Κ, Λ των, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: i) (ΛΚ) = (ΚΛ) ii) (Μ) = (Μ), γι οποιοδήποτε σημείο Μ του ΚΛ. Κ Μ Λ i) Τα δύο τραπέζια είναι ισοδύναμα, αφού έχουν ίσες βάσεις και ίδιο ύψος. ii) ΜΚ διάμεσος του τριγώνου Μ 03

48 (ΜΚ) = (ΜΚ) () ΜΛ διάμεσος του τριγώνου Μ (ΜΛ) = (ΜΛ) () πό το i) έχουμε (ΛΚ) = (ΚΛ) (3) (3) () () (Μ) = (Μ) 7.Θεωρούμε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ( ˆ = ) με = γ. ιαιρούμε την πλευρά σε ν ίσα τμήματα (ν φυσικός, ν ) και από τα σημεία διαίρεσης φέρουμε παράλληλες προς την. i) Να υπολογισθούν ως συνάρτηση του γ τα εμβαδά των ν σχημάτων στα οποία διαιρέθηκε το τρίγωνο. ii) Χρησιμοποιώντας το (i) να αποδείξετε ότι (ν ) = i) Ρ λ Ε λ Ρ λ- Κ λ Κ λ- Κ Κ Έστω, λ =,,..., ν τα σημεία διαίρεσης και οι παράλληλες στην. Θα είναι και = = λ =. = =. για λ =,,..., ν. ii)... = () = (ν ) =. =. 8.ύο τετράγωνα και ΕΖΗ έχουν κοινή την κορυφή και εμβαδόν 36 το καθένα. ν οι πλευρές και ΕΖ έχουν κοινό μέσο Μ, να βρεθεί το εμβαδόν του σχήματος ΜΖΗ. 04

49 Το κάθε τετράγωνο έχει πλευρά 6, αφού έχει εμβαδόν 36. (ΜΖΗ) = (Μ) + (ΜΖΗ) () Ε M Η 6 3 (Μ) = = 6 = 7 (ΜΖΗ) = = 7 Ζ () (ΜΖΗ) = 54 9.Τρία τετράγωνα, των οποίων τα μήκη των πλευρών είναι ακέραιοι αριθμοί, έχουν κοινή κορυφή και είναι τοποθετημένα το να πάνω στο άλλο, όπως δείχνει το σχήμα. ν = και η γραμμοσκιασμένη περιοχή έχει εμβαδόν 7, να βρεθεί το εμβαδόν του μικρότερου και του μεγαλύτερου τετραγώνου. B y x x 7 Θέτουμε = y ακέραιος και = x = με = y + x ακέραιο, άρα και x ακέραιος. Η διαφορά των εμβαδών μεσαίου-μικρού τετραγώνου είναι 7, άρα y x y = 7 y xy x y = 7 x y x = 7 () Επειδή x, y θετικοί ακέραιοι, θα είναι και ο y+x θετικός ακέραιος με y + x > x () x = και y + x = 7 y + = 7 y = 8 Εμβαδόν του μικρότερου τετραγώνου = y 8 = 64 Εμβαδόν του μεγαλύτερου τετραγώνου = y x ίνεται τρίγωνο και τρεις θετικοί αριθμοί λ, μ, ν. Να φέρετε δύο ευθείες παράλληλες προς τη, που να χωρίζουν το τρίγωνο σε τρία μέρη ανάλογα των αριθμών λ, μ, ν. ν Ε, ΖΗ είναι οι ζητούμενες, θα είναι Ε Ζ Η 05 ()

50 τρ.ε όμοιο του τρ. () () = (αλγεβρική λύση) ια τη γεωμετρική λύση, πρέπει το τμήμα να κατασκευασθεί. () Κατασκευή του. Σε ευθεία θεωρούμε τμήμα ΤΣ με μέτρο λ και τμήμα ΡΤ με μέτρο λ + μ + ν. Ρ λ+μ+ν Τ λ Σ Με διάμετρο ΡΣ γράφουμε ημικύκλιο. Φέρουμε Τ ΡΣ. Πάνω στην Ρ θεωρούμε τμήμα. πό το φέρουμε παράλληλη στη ΡΣ, που τέμνει την Σ στο. Το είναι το ζητούμενο. πόδειξη Τρίγωνο ΣΡ ορθογώνιο με ύψος Τ Θ. Θαλή (), () () (). i) Έστω τρίγωνο και εσωτερικό του σημείο Μ. ν η Μ τέμνει τη στο, να αποδείξετε ότι: α) Μ β) = ii) Έστω τρίγωνο και εσωτερικό του σημείο Μ. ν οι ευθείες Μ, Μ και Μ τέμνουν τις πλευρές, και στα, Ε και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι να αποδείξετε ότι + = i) α) 06 Επειδή τα τρίγωνα, που μας ενδιαφέρουν, έχουν ίδια βάση Μ, φέρουμε τα αντίστοιχα ύψη τους,.

51 i) β) ii) Ζ Μ Μ Μ Ε i)α) Άρα Τότε = () Τρ. όμοιο με το τρ. Η () = = Επειδή τα τρίγωνα, που μας ενδιαφέρουν, έχουν ίδια βάση, φέρουμε τα αντίστοιχα ύψη τους ΜΜ, Τότε = () Τρ,ΜΜ όμοιο με το τρ. Η () = + = = και = + = = ( ) = = = = 07

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης 0. 0.3 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 8 Ερωτήσεις κατανόησης. Να γράψετε τους τύπους υπολογισµού του εµβαδού Τετραγώνου Ορθογωνίου i Παραλληλογράµµου iν) Τριγώνου ν) Τραπεζίου πάντηση Ε = α Ε = α β

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

10.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. ΑΒΓ =λ. ύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν υ β = υ β και =. β ποιος είναι ο λόγος β

10.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. ΑΒΓ =λ. ύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν υ β = υ β και =. β ποιος είναι ο λόγος β 0.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης. ( ) ύο τρίγωνα και έχουν υ β = υ β και =. ( ) β ποιος είναι ο λόγος β : : : 9 : 4 5 4 4 9 Κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα. Μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα. Μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα ΚΕΦΛΙΟ 9ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα Μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα 1. Τι καλούμαι ορθή προβολή ενός σημείου πάνω σε μία ευθεία και ποια είναι η προβολή ενός ευθυγράμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας ου Κεφαλαίου. Γενικές

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας ου Κεφαλαίου. Γενικές 1 σκήσεις σχ. ιβίου σείδας 7 8 ενικές 10 ου Κεφααίου 1. Θεωρούµε τρίωνο και ευθεία ε, που τέµνει τις πευρές και στα και Ε αντίστοιχα.. Να αποδείξετε ότι: (Ε) (Ε) (Ε) () i (BAE) + () () µε την επί πέον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 1 7.8 7.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 162 163 ρωτήσεις Κατανόησης 1. Να εξηγήσετε γιατί τα ίχνη, της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας τριγώνου είναι συζυγή αρμονικά των και. πάντηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ. Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ. Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ; ΚΦΛΙΟ 4ο ΠΡΛΛΗΛΣ ΥΘΙΣ Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ; Οι σχετικές θέσεις δυο ευθειών ε και ε, οι οποίες βρίσκονται στο ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου (1) (2) (1)

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου (1) (2) (1) σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 6 7 ενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου. ίνεται τρίγωνο (β γ) µε Â = 60 ο, τα ύψη του, και τα µέσα Μ, Ν των, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Μ = Ν. Τρ. ορθογώνιο µε Â = 60 ο M N ˆB

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. ΚΕΦΛΙΟ ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Κανονικά Πολύγωνα. Να δοθεί ο ορισμός του κανονικού πολυγώνου. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.. Να βρεθεί η γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ. Στοιχεία και είδη τριγώνων. Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ. Στοιχεία και είδη τριγώνων. Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ; ΚΕΦΛΙΟ 3ο ΤΡΙΩΝ Στοιχεία και είδη τριγώνων Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Αντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης Α µε την τιµή του στην στήλη Β

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Αντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης Α µε την τιµή του στην στήλη Β 1 11.6 11.8 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 50 51 Ερωτήσεις Κατανόησης 1. ντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης µε την τιµή του στην στήλη Στήλη Στήλη Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας Εµβαδόν κυκλικού τοµέα

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα 1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) : 5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. (ΑΒΓ) = 4 ( ΕΖ) ή ( ΕΖ) = (ΑΒΓ) Θα δείξουµε ότι (ΑΒΓ ) = ΑΓ. Πράγµατι είναι: (Α Γ) = (ΑΒΓ) = Εποµένως (Α Γ) + (ΑΒΓ) =

Ερωτήσεις ανάπτυξης. (ΑΒΓ) = 4 ( ΕΖ) ή ( ΕΖ) = (ΑΒΓ) Θα δείξουµε ότι (ΑΒΓ ) = ΑΓ. Πράγµατι είναι: (Α Γ) = (ΑΒΓ) = Εποµένως (Α Γ) + (ΑΒΓ) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) Επειδή τα Ζ,, Ε είναι µέσα των πλευρών τριγώνου είναι Ζ // Ε και Ε // Ζ. Άρα το τετράπλευρο Ζ Ε είναι παραλληλόγραµµο. Η διαγώνιος ΖΕ του παραλληλογράµµου το χωρίζει σε δύο ισοδύναµα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ». 1. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των σχημάτων,, χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδών το. Τι παρατηρείτε; ρίσκουμε ότι τα εμβαδά των,, είναι : 5,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΕΦΛΙΟ 9 Ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Θεώρημα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων εωμετρία και Λυκείου ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜA Ορισμός Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, όταν // και //. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Σε κύκλο (Ο, R) προεκτείνουµε µία διάµετρο του εκατέρωθεν των και και στις προεκτάσεις παίρνουµε τµήµατα = = R. Έστω ΕΜ τέµνουσα του κύκλου τέτοια ώστε Μ = R 7 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. 6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα Η έννοια του λόγου ορίζεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ως εξής: Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών η κατά πηλικότητά ποια σχέσις Λόγον έχειν προς άλληλα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

7.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156

7.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156 1 7.7 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156 ρωτήσεις ατανόησης 1. Στα παρακάτω σχήματα να βρείτε τα x, ψ (α) ε 1 ε x 1 2 ε 2 ψ 6 ε 2 3 3 ε 4 ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 3 ε 2 ε 1 ε 2 4 x 1,5 ψ 3 4 ε 3 (β) (γ) ε 1

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 140

Γενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 140 ενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 40. ίνεται τρίγωνο ορθογώνιο στο. πό τα άκρα, της υποτείνουσας φέρουµε κάθετες x και y στη και προς το ίδιο µέρος της. πό το µέσο Μ της φέρουµε κάθετη στην, που τέµνει

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο

Διαβάστε περισσότερα

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης .5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται το ισοσκελές τραπέζιο µε ɵ = = 45 ο. Έστω Ε, Ζ τα µέσα των και αντίστοιχα και Η. πό το Z φέρνουµε παράλληλη στην που τέµνει την στο Θ. Να δείξετε ότι Το τετράπλευρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις (3) (4)

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις (3) (4) σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 5 5 ενικές ασκήσεις. ανονικό εξάγωνο ΕΖ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, ) και έστω, Λ,, Ν, Ρ, Σ τα µέσα των πλευρών του. Να αποδείξετε ότι το ΛΝΡΣ είναι κανονικό εξάγωνο µε κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 90 Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων Θέμα 1. α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα και ποια σχέση τα συνδέει; β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σηµεία και είναι σηµεία του επιπέδου, η είναι ευθεία του. Η τέµνει την Μ στον Μ Ν Ν. Το Ν σαν σηµείο της ανήκει στο, άρα και το Μ σαν σηµείο της Ν ανήκει στο. B. Έστω ε µια ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα