ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ"

Transcript

1 ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 57

2 ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ Πολυγωνικά χωρία - Πολυγωνικές επιφάνειες. Τι καλούμαι πολυγωνικό χωρίο και πως ονομάζεται αυτό ; Πότε δύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα και τι καλείται πολυγωνική επιφάνεια; ς θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα ένα πεντάγωνο Ε.Το πολύγωνο μαζί με τα εσωτερικά του σημεία αποτελούν ένα χωρίο, που λέγεται πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από το Ε. Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από τρίγωνο, τετράπλευρο,..., ν-γωνο λέγεται αντίστοιχα τριγωνικό, τετραπλευρικό,..., ν-γωνικό. Επίσης, δύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα αντίστοιχα πολύγωνα είναι ίσα Τέλος ένα σχήμα που αποτελείται από πεπερασμένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων, που ανά δύο δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία, λέγεται πολυγωνική επιφάνεια.. Τι καλείται εμβαδόν πολυγωνικού χωρίου και πως συμβολίζεται αυτό ; Έστω, λοιπόν ένα πολυγωνικό χωρίο S. Όπως και στα ευθύγραμμα τμήματα, μέτρηση του χωρίου S λέμε τη σύγκρισή του με ένα άλλο επίπεδο χωρίο σ, το οποίο επιλέγουμε ως μονάδα. Η σύγκριση αυτή οδηγεί σε μια σχέση της μορφής: S = λ σ, όπου λ θετικός αριθμός. 58

3 Ο θετικός αριθμός λ λέγεται εμβαδόν του πολυγωνικού χωρίου S και συμβολίζεται με (S). (Στην περίπτωση μας είναι λ = 7,5 δηλαδή S= 7.5 σ ). Πολλές φορές το εμβαδόν ενός πολυγωνικού χωρίου ή μιας πολυγωνικής επιφάνειας θα το συμβολίζουμε απλά με το γράμμα Ε. Επίσης, στα επόμενα, θα λέμε εμβαδόν τριγώνου, τετραπλεύρου και γενικά πολυγώνου και θα εννοούμε το εμβαδόν του αντίστοιχου πολυγωνικού χωρίου. 3. Ποιες ιδιότητες (αξιώματα) δεχόμαστε ότι ισχύουν για το εμβαδόν ; Τι προκύπτει από τα αξιώματα αυτά ; Τι ονομάζουμε ισοδύναμα σχήματα και ποιο θεώρημα ισχύει για το εμβαδόν του τετραγώνου ; ια το εμβαδόν δεχόμαστε ότι ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες (αξιώματα): Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εμβαδά. ν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή μια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασμένου πλήθους πολυγωνικά χωρία, που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία, τότε το εμβαδόν του ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των επιμέρους πολυγωνικών χωρίων. ια παράδειγμα, για το εμβαδόν του πολυγωνικού χωρίου ΕΖ του (σχ. 5) έχουμε: (ΕΖ) = () + (Ζ) + (ΖΕ) Επίσης δεχόμαστε ότι: Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς είναι. πό τα παραπάνω αξιώματα προκύπτει ότι: ν ένα πολύγωνο Ρ περιέχεται στο εσωτερικό ενός άλλου πολυγώνου Π, τότε το εμβαδόν του Ρ είναι μικρότερο του εμβαδού του Π. Είδαμε παραπάνω ότι αν δύο πολυγωνικά χωρία είναι ίσα, τότε έχουν ίσα εμβαδά. Το αντίστροφο είναι φανερό ότι δεν ισχύει. ύο σχήματα που έχουν το ίδιο εμβαδόν λέγονται ισοδύναμα ή ισεμβαδικά. Έτσι σχήματα που δεν είναι ίσα μπορούν να συγκρίνονται ως προς το εμβαδόν τους. 59

4 Θεώρημα: Το εμβαδόν Ε ενός τετραγώνου πλευράς α είναι α, δηλαδή: Ε = α. 4. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα που ισχύει για το εμβαδόν ορθογωνίου. Θεώρημα Ι Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται με το γινόμενο των πλευρών του. ηλαδή αν α, β, οι πλευρές και Ε το εμβαδόν είναι: πόδειξη Έστω ένα ορθογώνιο, με = α και = β. Προεκτείνουμε την πλευρά κατά τμήμα Ε=α, την κατά Ι=β και σχηματίζουμε το τετράγωνο ΙΗΕ, το οποίο είναι φανερό ότι έχει πλευρά α+β και επομένως είναι: (ΙΗΕ) = (α + β) (). Προεκτείνοντας τις και σχηματίζονται τα τετράγωνα ΖΕ, ΙΘ με πλευρές α, β αντίστοιχα και το ορθογώνιο ΘΗΖ που είναι ίσο με το. Έτσι έχουμε (ΖΕ)=α, (ΙΘ) = β και (ΘΗΖ) = () () Είναι φανερό όμως ότι (ΙΗΕ) = () + (ΘΗΖ) + (ΙΘ) + (ΖΕ), από την οποία με τη βοήθεια των () και () προκύπτει ότι: (α + β) = () + α + β. πό αυτή μετά τις πράξεις καταλήγουμε στη σχέση () = α β. 5. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα που ισχύει για το εμβαδόν παραλληλογράμμου. Θεώρημα ΙI Το εμβαδόν Ε ενός παραλληλογράμμου ισούται με το γινόμενο μιας πλευράς του επί το ύψος που αντιστοιχεί σε αυτή. όπου α, β οι πλευρές και υ α, υ β τα αντίστοιχα ύψη. πόδειξη ς θεωρήσουμε ένα παραλληλόγραμμο και ας φέρουμε το ύψος Ζ που αντιστοιχεί στη. Θα αποδείξουμε ότι ()= Ζ. 60

5 πό το φέρουμε Η κάθετη στην προέκταση της. Τότε τα τρίγωνα Ζ και Η είναι ίσα (Z = H= 90, = και = ), οπότε: (Ζ) = (Η) (). πό το σχήμα όμως έχουμε ότι () = (ABZ) + (Ζ), οπότε σύμφωνα με την () προκύπτει ότι () = (Ζ) + (Η) = (ΖΗ). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα I έχουμε ()=(ΖΗ)= Ζ= Ζ, που είναι το ζητούμενο. 6. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα που ισχύει για το εμβαδόν τριγώνου. Θεώρημα IΙI Το εμβαδόν Ε ενός τριγώνου είναι ίσο με το ημιγινόμενο μιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος. πόδειξη Με πλευρές και σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο, το εμβαδόν του οποίου είναι () = α υ α (). Όμως τα τρίγωνα και είναι ίσα, οπότε: () = () (). πό το σχήμα έχουμε ότι () = ()+ () η οποία, σύμφωνα με τις () και (), μετατρέπεται στην α υ α = () ή () = α υ α. 7. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα που ισχύει για το εμβαδόν τραπεζίου, ποιο πόρισμα προκύπτει από το θεώρημα αυτό ; Θεώρημα IV Το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος του όπου, β οι βάσεις του τραπεζίου και υ το ύψος του. 6

6 πόδειξη Θεωρούμε τραπέζιο (//) με βάσεις =, = β και ύψος υ. Φέρουμε τη διαγώνιο. Τότε έχουμε Ε = () = () + () (). λλά τα δύο τρίγωνα και έχουν το ίδιο ύψος υ και βάσεις, β αντίστοιχα και επομένως: () = υ και () = β υ (), Με αντικατάσταση των σχέσεων () στην () προκύπτει ότι δηλαδή το ζητούμενο. ΠΟΡΙΣΜ Το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο της διαμέσου επί το ύψος του. πόδειξη φού για την διάμεσος δ ενός τραπεζίου ισχύει δ= τότε Ε = υ = δ υ. 8. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο με πόδειξη Φέρουμε το ύψος το οποίο είναι και διάμεσος. πό το ορθογώνιο τρίγωνο, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε 9. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν ρόμβου ισούται με το ημιγινόμενο των διαγωνίων του. πόδειξη Είναι φανερό (σχ.) ότι () = () + () (). Επειδή οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες και διχοτομούνται έχουμε: Με αντικατάσταση των () στην () προκύπτει ότι Ε = δ δ ΠΡΤΗΡΗΣΗ Ο προηγούμενος τύπος ισχύει και στην περίπτωση οποιουδήποτε κυρτού ή μη κυρτού, τετραπλεύρου με κάθετες διαγωνίους. 6

7 Πράγματι () = () + () = Ο + Ο = (Ο + Ο) =. 0. Έστω τρίγωνο. ν Μ διάμεσος του τριγώνου να αποδείξετε ότι : (Μ) = (Μ). πό την κορυφή να φέρετε τρεις ευθείες που να χωρίζουν το τρίγωνο σε τέσσερα ισοδύναμα τρίγωνα. i) Φέρουμε το ύψος του τριγώνου (σχ. 5). Το είναι και ύψος στα τρίγωνα Μ και Μ, οπότε έχουμε αφού το Μ είναι μέσο του. ii) πό το προηγούμενο ερώτημα προκύπτει ότι οι ζητούμενες ευθείες είναι οι φορείς των διαμέσων Μ, Κ και Λ των τριγώνων, Μ και Μ αντίστοιχα. 63

8 σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις κατανόησης.να γράψετε τους τύπους υπολογισμού του εμβαδού i) Τετραγώνου ii) Ορθογωνίου iii) Παραλληλογράμμου iν) Τριγώνου ν) Τραπεζίου πάντηση i) Ε = α ii) Ε = α β iii) Ε = β υ iν) Ε = β υ v) Ε = ( ) υ. Ένα τετράγωνο έχει περίμετρο 6, πόσο είναι το εμβαδόν του; Η πλευρά του τετραγώνου α είναι : α = 4, άρα Ε =6 3. Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις α = 9, β = 4 και είναι ισοδύναμο με τετράγωνο πλευρά x. Να βρεθεί το x x = 36 x = 6 4. Σε ένα τρίγωνο είναι α < β. Με ποια ανισοτική σχέση συνδέονται τα υ α και υ β ; Είναι α υ α = β υ β αφού α < β άρα υ β < υ α. 5. ν ένας ρόμβος έχει μήκη διαγωνίων 4 και 5, με τι ισούται το γινόμενο μίας πλευράς του επί το αντίστοιχο ύψος; ν α είναι η πλευρά του ρόμβου και υ το αντίστοιχο σ αυτή ύψος τότε είναι Ε = = α υ όπου δ, δ οι διαγώνιοι του ρόμβου. Οπότε α υ = 0 6. Ένας χωρικός αντάλλαξε έναν αγρό που είχε σχήμα τετραγώνου πλευράς 60 m με έναν άλλο σχήματος ορθογωνίου με πλάτος 40 και περίμετρο ίση με την περίμετρο του τετραγώνου. Έχασε ή κέρδισε ο χωρικός από αυτή την ανταλλαγή ; ιτιολογήστε την απάντηση. Η περίμετρος του τετραγώνου είναι 40m. Το μήκος του ορθογωνίου είναι = 80. Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι Ε = 60 = 3600m και του ορθογωνίου είναι Ε = = 300m Άρα ο χωρικός έχασε από την ανταλλαγή. 64

9 σκήσεις Εμπέδωσης. Στο εσωτερικό τετραγώνου πλευράς α = 4 κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο Ζ. Να υπολογισθεί το εμβαδόν των, Ζ, Ζ και Ζ. α Κ Μ Ζ () = = 4 = 6 Τρ.Ζ ισόπλευρο πλευράς α (Ζ) = = = 6 3 = Φέρουμε ΖΚ και ΖΜ. Τότε ΖΚ = Μ = (Ζ) =. ΖΚ = 4 = 4 = 4 (Ζ) = () (Ζ) (Ζ) (Ζ) = = = ν Μ τυχαίο σημείο της πλευράς = 0 τετραγώνου, τότε το άθροισμα (Μ) + (Μ) είναι : 5, B: 40, : 50, : 75, E: 00. Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντησή σας. Μ Φέρουμε ΜΚ (Μ) =. ΜΚ = 0. 0 = 50, 0 επειδή όμως () = 0 = 00 Κ (Μ) + (Μ) = ίνεται τρίγωνο με = 6, = 8 και ˆ = 60 ο. Να βρεθούν: i) το ύψος, ii) το εμβαδόν (), iii) το ύψος Ε 8 = ˆ = 60 ο ˆ = Πυθαγόρειο στο τρ.ε: 6 3 = 36 9 = 7 = Ε = = 3. 65

10 ii) (AB) =. Ε = = 3 iii) Ε = 8 3 = 5 Πυθαγόρειο στο τρ.ε: (AB) = 3 = + = 3. = 3 3. = 3 = 3 3 = = = = 5 4. Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο 4 και διαγώνιο 5. Να βρείτε το εμβαδόν του. Έστω x, y οι διαστάσεις του ορθογωνίου. Τότε x + y = 7, οπότε y = 7 x και (Πυθαγόρειο): x y 5 x 7 x 5 x 49 4x x 5 x 4x 4 0 x 7x 0 x = 3 ή x = 4 ια x = 3 η εξίσωση y = 7 x y = 4 Άρα το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι Ε = x y = 3. 4 = 5. ίνεται παραλληλόγραμμο με = 0 και αντίστοιχο προς αυτήν ύψος υ = 5. Πάνω στις πλευρές και παίρνουμε τα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα, ώστε Ε = Ζ. i) Να βρείτε το εμβαδόν του. ii) φού πρώτα συγκρίνετε τα εμβαδά των τραπεζίων ΕΖ και ΕΖ να βρείτε το εμβαδόν καθενός από αυτά. Ε i) () = 0. 5 = 50 Ζ ii) (ΕΖ) = (ΕΖ) αφού έχουν ίσες βάσεις και ίδιο ύψος. Άρα 5 το καθένα. 66

11 6. Ένα οικόπεδο έχει σχήμα τραπεζίου ( ) με Aˆ Bˆ, = 5m, = 0m και = m. Ένας καινούργιος δρόμος περνάει παράλληλα προς τη και αποκόπτει μία λωρίδα πλάτους 3m. Πόσα τετραγωνικά μέτρα είναι το οικόπεδο που απομένει; 5 0 K 3 Λ Πυθαγόρειο στο τρ.η: Η = 5 Άρα (ΚΛ) =. 3 = 3. 3 = 39 Έστω ΚΛ παραλληλόγραμμο ο καινούργιος δρόμος. ια να υπολογίσουμε την πλευρά του, φέρουμε Η A. Τότε Η = = και Η = Η = = 0 5 = 5. = = 69 = 0 5 Όμως () = = = 0 Άρα (ΛΚ) = 0 39 = 7 m. 3 = 3. 67

12 ποδεικτικές σκήσεις. ν Σ είναι σημείο μιας πλευράς παραλληλογράμμου, να αποδείξετε ότι (Σ) + (Σ) = (). Σ ρκεί να αποδείξουμε ότι (Σ) = (Σ). Τούτο συμβαίνει διότι έχουν ίδια βάση Σ και αντίστοιχα ύψη ίσα, αφού Σ.. ν οι διάμεσοι και Ε τριγώνου τέμνονται στο Θ, να αποδείξετε ότι: i) (Ε) = (Ε), ii) (Θ) = (ΕΘ) iii) (Θ) = (ΘΕ). Θ Ε i) Έχουν ίσες βάσεις Ε = Ε και ίδιο ύψος από το ii) Θυμόμαστε ότι Κάθε διάμεσος τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα Έτσι (Ε) = () και () = (), οπότε (Ε) = (). φαιρούμε, από τα δύο μέλη, το (Θ). Τότε (ΕΘ) = (Θ) iii) Ομοίως είναι () = (Ε) = (). φαιρούμε, από τα δύο πρώτα μέλη, το (Θ). 3. ίνεται τρίγωνο και το βαρύκεντρό του Θ. πό σημείο Σ της διαμέσου φέρουμε τις κάθετες ΣΕ, ΣΖ στις, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: i) (Σ) = (Σ) ii). ΣΖ =. ΣΕ και iii) (Θ) = (Θ) = 3 () 68

13 i) διάμεσος του τρ. () = () Σ διάμεσος του τρ.σ (Σ) = (Σ) Σ φαιρούμε κατά μέλη Ζ Σ Ε ii) (i) (Σ) = (Σ). ΣΖ =. ΣΕ. ΣΖ =. ΣΕ Θ iii) Κατά το ii) έχουμε (Θ) = (Θ) και ομοίως = (Θ). Άρα το καθένα = 3 () 4.ίνεται τραπέζιο (//). ν Μ το μέσο της πλευράς του, να αποδείξετε ότι () = (Μ). Έστω ΚΜΛ το ύψος του τραπεζίου. Λ () = ( + ).ΚΛ Μ = K K + Κ =. ΜΚ +. ΜΛ = (. ΜΚ +. ΜΛ ) =. Άρα και () = (Μ). 5.Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο με το γινόμενο της μίας από τις μη παράλληλες πλευρές του επί την απόσταση του μέσου της άλλης από αυτή. Η Μ Θ Κ Έστω το τραπέζιο, Μ το μέσο της και ΜΚ η απόσταση του Μ από τη. Θα αποδείξουμε ότι () =. ΜΚ 69

14 Ε Θ Κ πό το Μ φέρουμε //, που τέμνει τις, στα Η, Θ αντίστοιχα. Τότε τρ.μθ = τρ.μη άρα και ισεμβαδικά και ΗΘ παραλληλόγραμμο. Έχουμε () = (ΘΜ) + (ΜΘ) = (ΘΜ) + (ΜΗ) = (ΗΘ) = β.υ =. ΜΚ 6. ίνεται τρίγωνο με =, = και ˆ = 0 ο. Με πλευρές τις και κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου τα τετράγωνα Ε και ΖΘ αντίστοιχα. Τότε: i) να υπολογίσετε το τμήμα ΕΘ ii) να αποδείξετε ότι τα, Ε, Θ είναι συνευθειακά και iii) να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της πολυγωνικής επιφάνειας ΖΘΕ είναι Ζ i) ˆ = 0 ο ˆ = 60 ο Νόμος συνημιτόνων στο τρ.εθ = = 5 = 3 Άρα ΕΘ = 3 ii) Εύκολα διαπιστώνουμε ότι, στο τρίγωνο ΕΘ ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα, άρα είναι ορθογώνιο στο Ε. Άρα τα, Ε, Θ είναι συνευθειακά iii) ια το εμβαδόν του τριγώνου, φέρουμε το ύψος του Κ. ˆ = 0 ο ˆ = 30 ο Κ = Πυθαγόρειο στο τρίγωνο Κ () =. Κ = 3 = 3 (ΕΘ) = ΕΘ. Ε = 3 3 = (Ε) = (ΖΘ) = = 4 = 3 Άρα Κ = 3 () () = (3) = 4 (4) () + () + (3) + (4) (ΖΘΕ) = =

15 7. ν ω είναι η γωνία των διαγωνίων και κυρτού τετραπλεύρου, να αποδείξετε ότι () =. ημω. () = () + () =. +. B Ε =. ( + ) =. (Ε. ημω + Ε. ημω) =. (Ε + Ε)ημω =. ημω 8. Ο ιδιοκτήτης ενός οικοπέδου σχήματος ορθογωνίου, του οποίου το μήκος είναι κατά 8m μεγαλύτερο του πλάτους, θέλει να σχηματίσει, γύρω από το οικόπεδο και εξωτερικά αυτού, μια δενδροστοιχία πλάτους,5m. Έτσι αναγκάζεται να αγοράσει από τους γείτονές του 695 m. διαστάσεις του οικοπέδου. Ν K x x + 3 x + 8 Λ x + 5 Μ Έστω το αρχικό οικόπεδο με Να βρεθούν οι πλάτος = x και μήκος = x + 8, και ΚΛΜΝ το οικόπεδο μετά την επέκταση με ΛΜ = x + 5 και ΚΛ = x + 3. Είναι (ΚΛΜΝ) () = 695 (x + 3) (x +5) (x + 8) x = 695 x 5x 3x 5 x 8x x = 580 x = 58 το πλάτος και = 76 το μήκος. 7

16 Σύνθετα Θέματα. Θεωρούμε κυρτό τετράπλευρο. Στις προεκτάσεις των ημιευθειών,, και παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Ζ, Η, Θ και Ι, ώστε Ζ =, Η =, Θ = και Ι =. Να αποδείξετε ότι: i) (ΙΘ) = (Θ) = () ii) (ΙΘ) + (ΖΗ) = () και iii) (ΙΖΗΘ) = 5() Θυμίζουμε ότι: Κάθε διάμεσος τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα. i) Θ διάμεσος του τριγώνου ΘΙ (ΙΘ) = (Θ) διάμεσος του τριγώνου Θ (Θ) = () Θ Ι Ζ Η ii) i) (ΙΘ) = () και ομοίως (ΖΗ) = () Προσθέτουμε κατά μέλη (ΙΘ) + (ΖΗ) = () (ΙΘ) + (ΖΗ) = iii) Σύμφωνα με το ii) θα έχουμε (ΘΗ) + (ΙΖ) = () Άρα (ΙΖΗΘ) = (ΙΘ) + (ΖΗ) + (ΙΘ) + (ΖΗ) + () = () + () + () = 5().. Σε τρίγωνο παίρνουμε το μέσο Μ της διαμέσου, το μέσο Ν του Μ και το μέσο Ρ του Ν. Να αποδείξετε ότι (ΜΝΡ) = 8 (). Φέρουμε το τμήμα Μ. ΜΡ διάμεσος του τριγώνου ΜΝ Μ Ρ Ν (ΜΝΡ) = (ΜΝ) () Ν διάμεσος του τριγώνου Μ (ΜΝ) = (Μ) () () (ΜΝΡ) = (Μ) 7

17 = 4 (Μ) = 4 MB (3) Μ διάμεσος του τριγώνου (Μ) = () και Μ διάμεσος του τριγώνου (Μ) = () (3) (ΜΝΡ) = 4 = 4 = 8 (). 3. Στις πλευρές και τετραγώνου πλευράς α παίρνουμε τα σημεία Ζ και Η αντίστοιχα, ώστε Ζ = Η = 4. i) Να αποδείξετε ότι τα τμήματα Ζ και Η τέμνονται κάθετα σε σημείο Κ. ii) Να υπολογισθούν τα μήκη των τμημάτων Κ, Η και ΚΗ. iii) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΚΗ. τρ.ζ = τρ.η αφού είναι ορθογώνια με = και Ζ = Η = 3 4 Κ ˆ = ˆ λλά από το ορθ. τρίγωνο Ζ είναι Ζ ˆ + ˆ = 90 ο, άρα ˆ + ˆ = 90 ο Έτσι, στο τρίγωνο ΚΖ είναι ˆ = 90 ο. Η ii ) Πυθαγόρειο στο τρ.ζ: = + = + Άρα 3 4 = = 5 6 Ζ = 5 4 Στο τρ.ζ με ύψος Κ: = Ζ. Κ = 5 4. Κ Κ= 4 5 Πυθαγόρειο στο τρ.η: Πυθαγόρειο στο τρ.κη: = Άρα Η = = = = + 4 = = = 73

18 Φέρουμε το ύψος ΚΟΛ. K Ο Ο = = Άρα ΚΗ = 3 0 iii) (ΚΗ) = (ΚΗ) + (Η) = Κ. ΚΗ +. Η = = = = Θεωρούμε παραλληλόγραμμο και σημείο Ο στο εσωτερικό του τριγώνου. Να αποδείξετε ότι i) (Ο) + (Ο) = () και ii) (Ο) + (Ο) = (Ο) (Ο) + (Ο) =.ΟΚ +. ΟΛ = = (ΟΚ + ΟΛ) = Λ =. ΚΛ = () () λλά, κάθε διαγώνιος παραλληλογράμμου χωρίζει το παραλληλόγραμμο σε δύο ίσα και, κατά συνέπεια ισεμβαδικά τρίγωνα. ηλαδή () = () () (), () (Ο) + (Ο) = () ii) Στα δύο μέλη της αποδεικτέας ισότητας προσθέτουμε το (Ο), οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι (Ο) + (Ο) + (Ο) = (Ο) + (Ο), ή αρκεί () = (Ο) + (Ο), που ισχύει από το i). 5.ν και ΚΛΜΝ είναι ρόμβος πλευράς α και τετράγωνο πλευράς α αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι () (ΚΛΜΝ) Έστω, οι διαγώνιοι του ρόμβου και Ο το κέντρο του. ρκεί να αποδείξουμε ότι, ή αρκεί Πυθαγόρειο στο τρ.ο: = + + = =. () 74

19 πό την (), αρκεί να αποδείξουμε ότι ή αρκεί ή αρκεί ή αρκεί 0, που ισχύει. 75

20 ΕΜ Άλλοι τύποι για το εμβαδόν τριγώνου. Ποιοι τύποι προκύπτουν με τη βοήθεια του βασικού τύπου για το εμβαδόν ενός τριγώνου, με τη βοήθεια του τ, όπου τ η ημιπερίμετρος του τριγώνου δηλαδή τ = και των δύο κύκλων που συνοδεύουν το κάθε τρίγωνο δηλαδή του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο με ακτίνα R και του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου με ακτίνα ρ. Με τη βοήθεια του βασικού τύπου για το εμβαδόν ενός τριγώνου, με μήκη πλευρών α, β, γ, προκύπτουν και οι επόμενοι τύποι: όπου τ η ημιπερίμετρος του τριγώνου., όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. πόδειξη (i) ποδείξαμε ότι (ii) Έστω τρίγωνο και ο εγγεγραμμένος κύκλος του (Ι, ρ). Φέρουμε τα τμήματα Ι, Ι και Ι και έτσι το τρίγωνο χωρίζεται στα τρίγωνα Ι, Ι και Ι που έχουν το ίδιο ύψος ρ και δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία, οπότε έχουμε: (iii) 76

21 Θεωρούμε τη διάμετρο. Τα τρίγωνα Η και είναι όμοια, αφού B = H = και = ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο. Επομένως είναι Η/ = / ή βγ = Rυ α οπότε έχουμε ότι υ α = τύπο Ε = αυ α προκύπτει το ζητούμενο. και με αντικατάσταση στον. Ποιος είναι ο τριγωνομετρικός τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου ; Το εμβαδόν Ε ενός τριγώνου δίνεται και από τον (τριγωνομετρικό) τύπο: πόδειξη ν A β= γ ημ. ν A >, πάλι από το ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει ότι: υ β = γ ημ εξ = γ ημ(80 - ) = γ ημ. Έτσι και στις δύο περιπτώσεις έχουμε υ β =γ ημ οπότε Όταν A =, τότε υ β = γ, επομένως πάλι ο τύπος ισχύει. Όμοια αποδεικνύονται και οι υπόλοιποι τύποι. 3. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί ο νόμος των ημιτόνων. Νόμος των ημιτόνων Σε κάθε τρίγωνο να αποδειχθεί ότι = = = R. πόδειξη ή ημ = ή = R. Όμοια προκύπτει = R, = R, από τις οποίες συμπεραίνουμε το ζητούμενο. 4. ίνεται τρίγωνο με α = 3, β = 4 και γ = 5 (σχ.8). Να υπολογίσετε: (i) το εμβαδόν του, (ii) τα ύψη του, 77

22 (iii) τις ακτίνες του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου, (iv) το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα μέσα των πλευρών του. πόδειξη 78

23 σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις κατανόησης.με την βοήθεια του τύπου Ε = βγημ, να αποδείξετε ότι Ε βγ Ε = β γ ημ βγ = βγ Η ισότητα ισχύει όταν ημ =, δηλαδή ˆ = 90 ο, δηλαδή σε ορθογώνιο τρίγωνο.σε τρίγωνο είναι () = 9 και ρ =,5. Ποια είναι η περίμετρος του τριγώνου; Ε = τ ρ 9 =,5 τ τ = 6 τ = 3.Ποιοι είναι οι τύποι υπολογισμού του εμβαδού ενός τριγώνου; πάντηση i) Ε = α υ α = β υ β = υ γ ii) Ε = β γ ημ = α γ ημ = β α ημ iii) Ε = τ ρ iν) Ε = 4R ν) Ε= ( )( )( ) 79

24 σκήσεις Εμπέδωσης.Σε παραλληλόγραμμο είναι = 8, = 0 και = 34. Να βρείτε το εμβαδόν του. Με τον τύπο Ε = βρίσκουμε το εμβαδόν (). τ = (α + β + γ) = ( ) = 36 τ α = 36 0 = 6 τ β = = τ γ = 36 8 = 8 () = = = = 44. () = () =. 44 = 88.. ίνεται τραπέζιο ( ) με = 5, =, = 3 και = 5. Να βρείτε το εμβαδόν του και το ύψος του. 3 3 Λ 5 Κ 4 5 Με τον τύπο τρίγωνο Λ α = Λ = 4, β = = 5, γ = Λ = 3 τ = ( ) = 4 = τ α = 4 = 7 τ β = 5 = 6 τ γ = 3 = 8 Κ = = Φέρουμε Λ και το ύψος Κ. Τότε Λ παρ/μμο. Άρα Λ = = 3 και = Λ = Λ = 5 5 = υπολογίζουμε το ύψος Κ στο = () = ( + ). Κ = (5 + ). = = 6. = 80

25 3.ίνεται τρίγωνο με = 4, = 7 και ˆ = 60 ο. Να βρείτε το εμβαδόν του. Ε = β γ ημ = 7. 4 ημ60ο = = ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = ) με = 6 και = 8. Να βρείτε i) το εμβαδόν ii) το ύψος iii) την ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου κύκλου. i) Ε =. = 6.8 = 4 ii) Πυθαγόρειο: = + = Ε = 4. = 4 iii) τ = ( ) = 4 = 6 8 = = 00 = 0 0 = 4 = 4 5 Ε = τρ ρ = ρ = 4 =. 8

26 σκήσεις ποδεικτικές.ν σε τρίγωνο ισχύει βγ = α, να αποδείξετε ότι ˆ =. Είναι Ε = βγημ και Ε = α βγημ = α ημ = ˆ =..ν Ε το εμβαδόν του τριγώνου με πλευρές α, β, γ, να αποδείξετε ότι: i) E < τ(τ α) < ii) E = τ(τ α) = iii) E > τ(τ α) > i) E < τ(τ α) < τ(τ α) < < βγ < τγ + τβ τα βγ < τ (β + γ α) βγ < (α +β + γ) (β + γ α) ii) όμοια με = iii) όμοια με < βγ < αβ + αγ < + + < + βγ βα + γβ + γα 3.ν δύο τρίγωνα και είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο, να αποδείξετε ότι E πό τον τύπο Ε = έχουμε 4R 4R E 4R 8

27 4.Σε τρίγωνο με ˆ φέρουμε τα ύψη Ζ και Η. Να αποδείξετε ότι (ΖΗ) = () Όταν ˆ. (ΖΗ) = Η. Ζ.ημ () Στο ορθογώνιο τρίγωνο Η είναι Η = β συν και στο ορθογώνιο τρίγωνο Ζ είναι Ζ = γ συν () (ΖΗ) = β συν γ συν ημ = βγ ημ () H γ Z β λλά () = βγ ημ () (ΖΗ) = () Όταν ˆ > (ΖΗ) = Η. Ζ.ημ (3) Στο ορθογώνιο τρίγωνο Η είναι Η = β συν και στο ορθογώνιο τρίγωνο Ζ είναι Ζ = γ συν Ζ (3) (ΖΗ) = β συν γ συν ημ = βγ ημ (4) γ Η β λλά () = βγ ημ και συν = συν (4) (ΖΗ) = () = () 5.Σε τρίγωνο να αποδείξετε ότι: Είναι Ε =. E =. + + = + + = + + = = και κυκλικά. Άρα = = = 83

28 ε x M A O K B N y Σύνθετα Θέματα.i) ίνεται γωνία xoy ˆ και σταθερό σημείο Κ στο εσωτερικό αυτής. πό το Κ φέρουμε μεταβλητή ευθεία ε, που τέμνει τις πλευρές Ox, Oy στα σημεία Μ, Ν αντίστοιχα. Να ποδείξετε ότι το άθροισμα OKM είναι σταθερό. ii) Θεωρούμε τρίγωνο, σημείο Κ στο εσωτερικό του και τα τμήματα, και που διέρχονται από το Κ. ν,,..., είναι 6 αντίστοιχα τα εμβαδά των τριγώνων Κ, Κ, Κ, Κ, Κ, να αποδείξετε ότι + + = Κ και i) Κατ αρχήν, με οριακές θέσεις της ευθείας ε μπορούμε να εντοπίσουμε την ποσότητα του αθροίσματος. Μια οριακή θέση της ε είναι να γίνει Κ Oy. Τότε το εμβαδόν (ΟΚΜ) γίνεται (ΟΚ) και το (ΟΚΝ) απειρίζεται, οπότε το μηδενίζεται, αφού το Ν εξαφανίζεται στο άπειρο. ντίστοιχα σκεπτόμαστε, όταν η ε γίνει Κ Ox. Εδώ να παρατηρήσουμε ότι το ΟΚ είναι παρ/μμο, άρα (ΟΚ) = (ΟΚ) Θα αποδείξουμε, λοιπόν, ότι OKM OKM = = Τα τρίγωνα ΟΚ, ΟΚΜ έχουν κοινό ύψος από το Κ, άρα = = = Ομοίως Άρα OKM = = = = + ή ότι = = 84

29 ii) πό το i), με τέμνουσα Κ, έχουμε + = c 5 6 και με τέμνουσα Κ, έχουμε 6 Κ 5 + = c Άρα + = Κυκλικά ανά δεύτερο δείκτη είναι + = και + = () + () + (3) + + = ν,, είναι οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων τριγώνου, να αποδείξετε ότι () = = =. () = ( ) + ( ) ( ) = + () () (3) ρ α ρ α = (γ + β α). () λλά α + β + γ = τ α + β + γ α = τ α γ + β α = (τ α) ρ α Ι α () () = (τ α) = Ομοίως οι άλλες δύο ισότητες. 4.Έστω τετράπλευρο εγγράψιμο σε κύκλο. ν θέσουμε = α, = β, = γ και = δ, να αποδείξετε ότι ( ο Θεώρημα Πτολεμαίου) α δ γ β 85 Έστω R η ακτίνα του κύκλου. Εφαρμόζοντας τον τύπο Ε = έχουμε 4R () = () + () =

30 .. = () 4R 4R 4R () = () + () =.. = () 4R 4R 4R () και () (αδ + βγ) = (αβ + γδ) 86

31 ΕΜ Εμβαδόν και ομοιότητα. Να αποδείξετε ότι : αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων υψών, ενώ αν έχουν ίσα ύψη, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων βάσεων. πόδειξη ς θεωρήσουμε δύο τρίγωνα και '' με εμβαδά Ε και Ε' αντίστοιχα. Τότε είναι Ε = αυ α και Ε' = α υ α, οπότε =. πό την ισότητα αυτή προκύπτει άμεσα ότι: ν α = α, τότε = ν υ α = υ α, τότε =. Ποιο θεώρημα ισχύει για τον λόγο των εμβαδών στην περίπτωση που τα τρίγωνα και ''' είναι όμοια ; Να γίνει η απόδειξη του θεωρήματος αυτού. Θεώρημα Ι ν δυο τρίγωνα είναι όμοια τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας. πόδειξη Έστω δύο όμοια τρίγωνα και ''' με A = A' και = B'. Τότε = = λ (), όπου λ ο λόγος ομοιότητας. λλά, όπως και παραπάνω, είναι = () πό τις () και () προκύπτει ότι = λ. 87

32 3. Ποιο θεώρημα ισχύει για τον λόγο των εμβαδών ομοίων πολυγώνων ; Να γίνει η απόδειξη του θεωρήματος αυτού. Θεώρημα ΙΙ Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους. πόδειξη ς θεωρήσουμε δυο όμοια πολύγωνα π.χ. τα πεντάγωνα Ε και ''''Ε' με λόγο ομοιότητας: Φέρουμε τις διαγωνίους των πολυγώνων από τις κορυφές και ', οπότε αυτά χωρίζονται σε ισάριθμα τρίγωνα όμοια μεταξύ τους. ν Ε, Ε, Ε 3 και Ε', Ε', Ε' 3 είναι τα εμβαδά των αντίστοιχων τριγώνων, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα και τη σχέση (), θα έχουμε: 4. Ποιο θεώρημα ισχύει για το λόγο των εμβαδών τριγώνων με δύο γωνίες ίσες ή παραπληρωματικές ; Να αποδειχθεί το θεώρημα αυτό. Θεώρημα ΙIΙ ν μία γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωματική με μια γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε ο λόγος των εμβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος με το λόγο των γινομένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές. 88

33 πόδειξη Θεωρούμε τα τρίγωνα και ''' με A = A' ή A + A' = 80 Τότε και στις δύο περιπτώσεις θα ισχύει ημ = ημ', οπότε από τις ισότητες Ε = β γ ημ και Ε' = β' γ'ημ'. με διαίρεση κατά μέλη προκύπτει ότι = που είναι το ζητούμενο. ίνεται τρίγωνο και ευθεία ε που διέρχεται από το και είναι παράλληλη προς την πλευρά. ν Μ σημείο της ε, να αποδείξετε ότι (Μ) = (). πόδειξη Φέρουμε τα ύψη και ΜΖ των τριγώνων και Μ αντίστοιχα. Επειδή η ε είναι παράλληλη προς τη, προκύπτει ότι = ΜΖ και επομένως τα τρίγωνα και Μ είναι ισεμβαδικά, επειδή έχουν κοινή βάση και ίσα ύψη. Θεωρούμε τραπέζιο με βάσεις και και έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Να αποδείξετε ότι: πόδειξη (i) Είναι (Ο) = () - (Ο) = () - (Ο) = (Ο). (ii) Τα τρίγωνα Ο και Ο είναι όμοια (Ô = Ô, = A ) με λόγο ομοιότητας A και επομένως (OA)/(Ο) = A / (iii) Τα τρίγωνα Ο και Ο έχουν κοινή κορυφή και κοινό το ύψος από αυτήν, επομένως (OA)/(Ο) = Ο/Ο. πό την ομοιότητα όμως των τριγώνων Ο και Ο έχουμε τι Ο/Ο = /, οπότε (OA)/(Ο) = /. 89

34 σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις κατανόησης. ύο τρίγωνα και έχουν υ β = υ β και ( ) 3. ( ) ποιος είναι ο λόγος : : 3 : : 9 4 Ε: 4 9 Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. ( ) ( ) 3.ύο ρόμβοι και έχουν ˆ 4 ˆ και. 5 Να υπολογιστεί λόγος ( ) ( ) φού ˆ ˆ οι γωνίες των ρόμβων θα είναι ίσες και επειδή επιπλέον ισχύει 4 5 οπότε ( ) 6 ( ) 5 οι ρόμβοι είναι όμοιοι με λόγο ομοιότητας λ = Ένα ισοσκελές τρίγωνο ( = ) είναι ισοδύναμο με ένα τρίγωνο που έχει =36. ν είναι ˆ ˆ, ποιο είναι το μήκος των ίσων πλευρών του ισοσκελούς ; ˆ ( ) ˆ = = 6 ( ) 36 σκήσεις Εμπέδωσης 90

35 3.ύο τρίγωνα και έχουν α = α και. ν το εμβαδόν του είναι 30 m, να βρείτε το εμβαδόν του. = = 3 ( ) = 3 () ( ) = 3 30 ( ) =0 m.ίνεται παραλληλόγραμμο με εμβαδόν 0 m. ν Μ σημείο στην προέκταση της τέτοιο ώστε = Μ, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου Μ. Μ Φέρουμε τη διαγώνιο. Τα τρίγωνα Μ, έχουν ίδιο ύψος. Άρα (Μ) = () = () = 4 0 = 5 m 3.ίνεται τρίγωνο και τα σημεία και Ζ των προεκτάσεων των και, ώστε = 3 και Ζ =. ν το εμβαδόν του τριγώνου είναι 30 m, να βρείτε το εμβαδόν του Ζ. ˆ ˆ Ζ (Ζ) = 3 () = 3 30 = 0 m 9

36 4.Ένα τρίγωνο έχει εμβαδόν 75 m. Έστω σημείο της πλευράς και Μ σημείο του τέτοιο, ώστε AM M = 3. πό το Μ φέρουμε παράλληλο προς την πλευρά, που τέμνει τις και στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου ΕΖ. AM M = 3 AMM = 3 3 AM = 3 5 Ε M Ζ τρ.εζ όμοιο του τρ. και με Θ. Θαλή A = 3 5 (ΕΖ) = 9 5 () (ΕΖ) = 9 75 = 7 m 5 Άρα (ΕΖ) = () (ΕΖ) = 75 7 = 48 m. 5.ύο τρίγωνα και έχουν ˆ ˆ και ˆ ˆ =. αποδείξετε ότι α β = α β. ˆ ˆ ˆ ˆ = Άρα = = = = Να 9

37 Ζ Λ Ρ Κ Ε ποδεικτικές σκήσεις.ίνεται τρίγωνο και εσωτερικό του σημείο Ρ. ν οι Ρ, Ρ και Ρ τέμνουν τις, και στα, Ε και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι i) =, ii) + + = και iii) + + = i) Φέρουμε τα ύψη ΡΚ, Λ των τριγώνων Ρ, αντίστοιχα και επειδή έχουν κοινή βάση, θα είναι = () + () + (3) Τρ.ΡΚ όμοιο του Λ Άρα ii) Ομοίως και + + = = + + = + + = = = = = () () (3) iii) = ομοίως = = =. = Προσθέτουμε κατά μέλη και + + = = 3 = 93

38 .ίνεται τρίγωνο με ˆ, ˆ και το ύψος του. Στο ημιεπίπεδο (,) φέρουμε x και y. Πάνω στις x, y παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Ε και Ζ, ώστε να έιναι Ε = Ζ =. ν Μ, Ν είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι (ΕΜ) + (ΖΝ) = (). Ε x Ν Ζ y Μ ˆ ˆ.. (ΕΜ) = () Ομοίως (ΖΝ) = () Προσθέτουμε (ΕΜ) + (ΖΝ) = (). 3.ίνεται κύκλος κέντρου Ο και δύο κάθετες χορδές και. Να αποδείξετε ότι (Ο) = (Ο). O Κ ˆ = = = ˆ ˆ.. (Ο) = (Ο). 4.ίνεται τρίγωνο. Ευθεία παράλληλη προς τη τέμνει την στο και την στο Ε. Να αποδείξετε ότι. ρκεί να αποδείξουμε ότι AB AB Ε Τα τρίγωνα Ε, Ε έχουν ίδιο ύψος από το Ε, άρα AB () Τα τρίγωνα, Ε έχουν ίδιο ύψος από το, άρα AB = () 94

39 (), (), (3) AB = AB Θ.Θαλή = (3) 5.Πάνω στις πλευρές κυρτού τετραπλεύρου κατασκευάζουμε εξωτερικά αυτού τα τετράγωνα ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ και ΛΜ. Να αποδείξετε ότι Λ Μ Ζ (ΜΖ) + (ΗΚ) = (ΘΕ) + (ΙΛ) Ε Θ Η Φέρουμε τη διαγώνιο. ˆ ˆ = =.. = (ΜΖ) = () και ομοίως (ΗΚ) = () Άρα (ΜΖ) + (ΗΚ) = () Ι Κ Ομοίως (ΘΕ) + (ΙΛ) = () Άρα (ΜΖ) + (ΗΚ) = (ΘΕ) + (ΙΛ) 6.Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = ) και τρία πολύγωνα, και όμοια μεταξύ τους, που έχουν ως ομόλογες πλευρές, και 3 αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ( ) + ( ) = ( ), όπου ( ), ( ) και ( ) 3 3 τα εμβαδά τους. ρκεί να αποδείξουμε ότι Πολύγωνο όμοιο του Ομοίως Οπότε, αρκεί να αποδείξουμε ότι = + = = = = =, ή που ισχύει. 95

40 E E 4 O E E3 Σύνθετα Θέματα.Θεωρούμε τετράπλευρο και έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. ν,, και είναι τα εμβαδά των τριγώνων Ο, Ο, Ο 3 4 και Ο αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι 3 =. ν υποθέσουμε ότι η 4 είναι παράλληλη προς τη, τότε να αποδείξετε ότι i) =, 3 ii) =, iii) E, όπου Ε = () 4 4 ρκεί να αποδείξουμε ότι = 4 Τα τρίγωνα Ο, Ο έχουν κοινό ύψος από το άρα = και ομοίως 4 = Άρα = 4 i) ρκεί να αποδείξουμε ότι + = +, δηλαδή ότι () = (), 3 το οποίο συμβαίνει αφού ii) φού =, η ισότητα 3 3 = γίνεται 4 iii) 4 E 4 E = (αφού = ) 4 3 EE + (αφού E E E + + E 4 4 E + E E E 4, που ισχύει. = 4 = ) 4 96

41 . πό εσωτερικό σημείο Σ τριγώνου φέρουμε παράλληλες προς τις πλευρές του. ν,, είναι τα εμβαδά των τριών τριγώνων που 3 σχηματίζονται, να αποδείξετε ότι i) καθένα από τα τρίγωνα εμβαδών,, είναι όμοιο με το 3 ii) E + E + E = 3 E, όπου Ε = () i) Λόγω των παραλλήλων, είναι προφανές ότι καθένα από τα τρία τρίγωνα έχει ίσες γωνίες με το τρίγωνο ii) Ι Θ Ε 3 Ε Κ Σ Ε Ζ Η ρκεί να δειχθεί ότι Τρ.ΣΖ όμοιο E + E E + E3 E = E E E E E = Ομοίως Άρα E E = = E + E E + E3 E E και E 3 E = = = + + = = = 3.Σε τρίγωνο φέρουμε τις διχοτόμους, Ε και Ζ. Να αποδείξετε ότι () i) (ΕΖ) = ii) (ΕΖ) 4 () Ζ Ε i) Τα τρίγωνα ΖΕ, έχουν ˆ κοινή ( ) ( ) =. (ΖΕ) = () (ΖΕ) = () και κυκλικά ( )( ) 97

42 (Ζ) = ( )( ) (Ε) = ( )( ) () () (ΕΖ) = () (ΖΕ) (Ζ) (Ε) = = () ( )( () ) ( )( ) () ( )( ) = ( ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) () () = () = πράξεις στον αριθμητή.. = ii) (ΕΖ) 4 () () 4 () ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) που ισχύει. () 4.ίνεται τρίγωνο και σημεία Κ, Λ των πλευρών, αντίστοιχα. πό τα Κ, Λ να φέρετε δύο ευθείες που να χωρίζουν το τρίγωνο σε τρία ισοδύναμα μέρη. K Η Ζ Λ νάλυση Έστω ΚΖ η μία από τις ζητούμενες ευθείες. Τότε (ΚΖ) = 3 () = 3 () ρκεί να υπολογίσουμε το τμήμα Ζ συναρτήσει γνωστών τμημάτων. 98

43 Τα τρίγωνα ΚΖ, έχουν κοινή τη γωνία ˆ (), ().. = 3 =.. 3Κ. Ζ =. Ζ =. 3 Σύνθεση. Πάνω στην τοποθετούμε σημείο Ζ τέτοιο, ώστε Ζ = και φέρουμε 3 την ΚΖ. Με τον ίδιο τρόπο κατασκευάζουμε και τη δεύτερη ζητούμενη ευθεία ΛΗ. () 99

44 ενικές 0 ου Κεφαλαίου.Θεωρούμε τρίγωνο και ευθεία ε, που τέμνει τις πλευρές και στα και Ε αντίστοιχα.. Να αποδείξετε ότι: i) (Ε) = (Ε) ii) (Ε) = () iii) (BAE) + () = () με την επί πλέον υπόθεση ότι τα, Ε είναι μέσα των, αντίστοιχα. Ε i) Έχουν ίδια βάση και ίσα αντίστοιχα ύψη αφού Ε iii) ρκεί να δειχθεί ότι (BAE) + () = (Ε) + (Ε), ή ii) Στα δύο μέλη της ισότητας του i) προσθέτουμε το (Ε) () = (Ε) Επειδή διάμεσος του τριγώνου () = () και επειδή Ε Άρα () = (Ε) () = (Ε).Θεωρούμε τρίγωνο και σημείο της πλευράς του, ώστε =, λ > 0. Να αποδείξετε ότι: 4 i) () = 4 () ii) (AB) 4 () iii) () 3 4 () i) Tα τρίγωνα, έχουν ίδιο ύψος από το = πό την υπόθεση, όμως έχουμε = 4 00

45 Άρα = 4 () = 4 () ii) (AB) 4 () 4 iii) () 3 4 () που ισχύει () () 3 4 () () 4 () 3 4 () που ισχύει 3.Έστω τρίγωνο και η διχοτόμος του. Με τη θεωρία του εμβαδού να αποδείξετε ότι = (Θεώρημα διχοτόμου). ˆ ˆ =.. = () Tα τρίγωνα, έχουν ίδιο ύψος από το = () (), () = 0

46 4.ίνεται τρίγωνο με β = 3γ, μία διχοτόμος του και Ε μία διάμεσός του. Να αποδείξετε ότι: i) (A) = 3 () ii) ().(Ε) = ().(Ε) iii) (Ε) = 3 8 () γ β=3γ Ε i) ˆ ˆ =.. = 3 3 ii) ρκεί να αποδείξουμε ότι Στο i) αποδείχθηκε ότι = 3 = () Τα τρίγωνα Ε, Ε έχουν ίδιο ύψος από το Ε λλά, από Θ. ιχοτόμου, έχουμε = 3 3 Άρα = () 3 πό () και () iii) ρκεί να αποδείξουμε ότι = = 3 8 υτά τα τρίγωνα έχουν ˆ κοινή. =. = = 3 3 = (A) = 3 () 3 3 = = 3 4 = ίνεται ισοσκελές τρίγωνο με = = 6cm και ˆ = 0 ο. i) Να βρεθεί το εμβαδόν του. 0

47 ii) ν Ε είναι σημείο της τέτοιο, ώστε Ε = και το ύψος του 3 τριγώνου, να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου Ε. iii) ν η παράλληλη από το προς τη τέμνει την προέκταση της Ε στο Ζ, να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΕΖ. Ε Ζ i) () =. = 6. 6 ημ 0 0 = 8 3 = 9 3. ii) Τα τρίγωνα Ε, έχουν κοινή τη γωνία ˆ.. 3 άρα (Ε) = 3 () αλλά () = () = 9 3 άρα (Ε) = = 3 3 iii) Το τρίγωνο ΕΖ είναι όμοιο του Ε Άρα (ΕΖ) = 4 (Ε) (ΕΖ) = = Θεωρούμε τραπέζιο (//) και τα μέσα Κ, Λ των, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: i) (ΛΚ) = (ΚΛ) ii) (Μ) = (Μ), γι οποιοδήποτε σημείο Μ του ΚΛ. Κ Μ Λ i) Τα δύο τραπέζια είναι ισοδύναμα, αφού έχουν ίσες βάσεις και ίδιο ύψος. ii) ΜΚ διάμεσος του τριγώνου Μ 03

48 (ΜΚ) = (ΜΚ) () ΜΛ διάμεσος του τριγώνου Μ (ΜΛ) = (ΜΛ) () πό το i) έχουμε (ΛΚ) = (ΚΛ) (3) (3) () () (Μ) = (Μ) 7.Θεωρούμε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ( ˆ = ) με = γ. ιαιρούμε την πλευρά σε ν ίσα τμήματα (ν φυσικός, ν ) και από τα σημεία διαίρεσης φέρουμε παράλληλες προς την. i) Να υπολογισθούν ως συνάρτηση του γ τα εμβαδά των ν σχημάτων στα οποία διαιρέθηκε το τρίγωνο. ii) Χρησιμοποιώντας το (i) να αποδείξετε ότι (ν ) = i) Ρ λ Ε λ Ρ λ- Κ λ Κ λ- Κ Κ Έστω, λ =,,..., ν τα σημεία διαίρεσης και οι παράλληλες στην. Θα είναι και = = λ =. = =. για λ =,,..., ν. ii)... = () = (ν ) =. =. 8.ύο τετράγωνα και ΕΖΗ έχουν κοινή την κορυφή και εμβαδόν 36 το καθένα. ν οι πλευρές και ΕΖ έχουν κοινό μέσο Μ, να βρεθεί το εμβαδόν του σχήματος ΜΖΗ. 04

49 Το κάθε τετράγωνο έχει πλευρά 6, αφού έχει εμβαδόν 36. (ΜΖΗ) = (Μ) + (ΜΖΗ) () Ε M Η 6 3 (Μ) = = 6 = 7 (ΜΖΗ) = = 7 Ζ () (ΜΖΗ) = 54 9.Τρία τετράγωνα, των οποίων τα μήκη των πλευρών είναι ακέραιοι αριθμοί, έχουν κοινή κορυφή και είναι τοποθετημένα το να πάνω στο άλλο, όπως δείχνει το σχήμα. ν = και η γραμμοσκιασμένη περιοχή έχει εμβαδόν 7, να βρεθεί το εμβαδόν του μικρότερου και του μεγαλύτερου τετραγώνου. B y x x 7 Θέτουμε = y ακέραιος και = x = με = y + x ακέραιο, άρα και x ακέραιος. Η διαφορά των εμβαδών μεσαίου-μικρού τετραγώνου είναι 7, άρα y x y = 7 y xy x y = 7 x y x = 7 () Επειδή x, y θετικοί ακέραιοι, θα είναι και ο y+x θετικός ακέραιος με y + x > x () x = και y + x = 7 y + = 7 y = 8 Εμβαδόν του μικρότερου τετραγώνου = y 8 = 64 Εμβαδόν του μεγαλύτερου τετραγώνου = y x ίνεται τρίγωνο και τρεις θετικοί αριθμοί λ, μ, ν. Να φέρετε δύο ευθείες παράλληλες προς τη, που να χωρίζουν το τρίγωνο σε τρία μέρη ανάλογα των αριθμών λ, μ, ν. ν Ε, ΖΗ είναι οι ζητούμενες, θα είναι Ε Ζ Η 05 ()

50 τρ.ε όμοιο του τρ. () () = (αλγεβρική λύση) ια τη γεωμετρική λύση, πρέπει το τμήμα να κατασκευασθεί. () Κατασκευή του. Σε ευθεία θεωρούμε τμήμα ΤΣ με μέτρο λ και τμήμα ΡΤ με μέτρο λ + μ + ν. Ρ λ+μ+ν Τ λ Σ Με διάμετρο ΡΣ γράφουμε ημικύκλιο. Φέρουμε Τ ΡΣ. Πάνω στην Ρ θεωρούμε τμήμα. πό το φέρουμε παράλληλη στη ΡΣ, που τέμνει την Σ στο. Το είναι το ζητούμενο. πόδειξη Τρίγωνο ΣΡ ορθογώνιο με ύψος Τ Θ. Θαλή (), () () (). i) Έστω τρίγωνο και εσωτερικό του σημείο Μ. ν η Μ τέμνει τη στο, να αποδείξετε ότι: α) Μ β) = ii) Έστω τρίγωνο και εσωτερικό του σημείο Μ. ν οι ευθείες Μ, Μ και Μ τέμνουν τις πλευρές, και στα, Ε και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι να αποδείξετε ότι + = i) α) 06 Επειδή τα τρίγωνα, που μας ενδιαφέρουν, έχουν ίδια βάση Μ, φέρουμε τα αντίστοιχα ύψη τους,.

51 i) β) ii) Ζ Μ Μ Μ Ε i)α) Άρα Τότε = () Τρ. όμοιο με το τρ. Η () = = Επειδή τα τρίγωνα, που μας ενδιαφέρουν, έχουν ίδια βάση, φέρουμε τα αντίστοιχα ύψη τους ΜΜ, Τότε = () Τρ,ΜΜ όμοιο με το τρ. Η () = + = = και = + = = ( ) = = = = 07

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. ΚΕΦΛΙΟ ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Κανονικά Πολύγωνα. Να δοθεί ο ορισμός του κανονικού πολυγώνου. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.. Να βρεθεί η γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ΥΠΟΥΡΙΟ ΠΙΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΥΤΩΝ Κωδικός βιβλίου: 0--007 ΠΟΛΙΤΙΣΟΥ ΚΙ ΘΛΗΤΙΣΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ε Κ ε Ψ Ζ Ο Ι Θ ε Η μα ε4 και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ISBN 978-960-06--6

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ 1 4.4 Η ΠΥΡΜΙ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Πυραµίδα Ονοµάζεται ένα στερεό του οποίου µία έδρα είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. ύο πυραµίδες φαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ 1 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά Τάξη Γ ΘΕΜΑ 1 0 Η εξίσωση αχ + βχ +γ = 0 είναι βαθμού εξίσωση και λύνεται χρησιμοποιώντας τους τύπους Δ =.. χ 1 =. χ =.. Η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Α και Β Γενικού Λυκείου ε 3 Γ ε 2 Κ Ε ε 1 Ι Ο Θ Η Ζ Α μ α Ψ ε 4 Β Β ( Σελ. 63 120 ) Τόμος 2ος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου 70 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου Σχέσεις µεταξύ τριγωνοµετρικών αριθµών 71 Εφαρµογές 72 73 74 75 76 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5.

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: f Μ = x ΜΑ+ x ΜΑ+ΑΒ + x ΜΑ+ΑΓ = ΜΑ + ΜΑ + ΜΑ + ΑΒ + ΑΓ ( x) ( x) ( x ) ( x) ( x ) = ( x + x + x ) ΜΑ + ( x) ΑΒ + ( x ) ΑΓ = ( x 4x+ ) ΜΑ+ ( x) ΑΒ+ ( x ) Α Γ f Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ (α + β) = α + αβ + β α + β + γ = 0, α 0 = β ± β 4αγ α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πράξεις με Πραγματικούς αριθμούς. Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ 4 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΜΑΘΗΜΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1 Σωτήρης Ε. Λουρίδας 1. ΓΕΝΙΚΑ: 1.1 Θεωρούμε ότι κάθε Μαθηματικό πρόβλημα είναι της μορφής «αν p τότε q», συμβολικά p q. 1.2. Λύση ενός Μαθηματικού προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 011-01 ΝΟΜΟΣ: ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Β. ΙΩΑΝΝΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΠΕ03 ΡΟΔΟΣ, ΣΕΠΤΕΒΡΙΟΣ 01 Θέματα προαγωγικών και απολυτηρίων

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Θέματα Προαγωγικών και Απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίων του Νομού Δωδεκανήσου Σχολικό Έτος: 01-013 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Δωδεκανήσου

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα