DELJIVOST CELIH BROJEVA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "DELJIVOST CELIH BROJEVA"

Transcript

1 DELJIVOST CELIH BROJEVA 1 Osnovne osobine Definicija 1.1 Nea su a 0 i b celi brojevi. Ao postoji ceo broj m taav da je b = ma, onda ažemo da je a delitelj ili fator broja b, b je sadržalac, višeratni ili umnoža broja broja a, do je m olični oji se dobija pri delenju broja b sa brojem a. Ao je b deljivo sa a, onda to označavamo sa a b i ažemo jednostavno da a deli b. Ao a b i ao je a b, ažemo da je a pravi delitelj broja b. Ao a b, očigledno je da a ( b), ( a) b i ( a) ( b). Stoga se pri razmatranju deljivosti obično ograničavamo na nenegativne cele brojeve. Teorema 1.1 Ao je ceo broj b deljiv celim brojem a 0, onda je njihov olični jednoznačno odred en. Doaz: Ao je broj b deljiv brojem a, onda postoji ceo broj m ao njihov olični, tao da je b = ma. Ao bi postojao još nei olični n oji se dobija pri delenju broja b brojem a, onda bi važila jednaost b = na, pa bi stoga bilo ma = na. Kao je a 0, iz poslednje jednaosti dobijamo da je m = n. Teorema 1.2 Nea su a, b, c proizvoljni nenegativni celi brojevi. Tada važi: (a) ao a b i ao je b 0, onda je 0 < a b; (b) ao a b i b a, a 0 b, onda je a = b; (c) ao a b i b c, onda a c. Doaz: (a) Ao a b, tada po definiciji postoji nenegativan ceo broj m taav da je b = ma. Kao je b > 0, brojevi a i m su pozitivni, tj. 1 a i 1 m, pa je b = ma a 1 = a > 0. (b) Pretpostavimo da a b i b a. Tada je a b i b c na osnovu tvrd enja oje smo doazali pod (a), pa je a = b zbog antisimetričnosti relacije ured enja u supu N. (c) Ao a b i b c, onda postoje celi brojevi m i n tavi da je b = ma i c = nb. No onda je c = nma, pa ao je nm ceo broj, sledi da a b. Posledica 1.1 Relacija je relacija ured enja u supu prirodnih brojeva N. Teorema 1.3 Nea su a, b, c, d proizvoljni celi brojevi. Tada važe sledeća tvrd enja: (a) ao a b i a c, onda a (rb + sc) za proizvoljne cele brojeve r i s; (b) ao a b i c d, onda ac bd; (c) ao su brojevi b i c deljivi brojem a, i ao b c, onda b c a a. 1

2 Doaz: (a) Ao a b i a c, onda postoje celi brojevi m i n tavi da je b = ma i c = na. No onda je rb + sc = rma + sna = (rm + sn)a. Kao je rm + sn ceo broj, to a (rb + sc) (b) Kao a b i c d, postoje celi brojevi m i n tavi da je b = ma i d = nc. Odavde sledi da je bd = (mn)ac, pa ao je mn ceo broj, to ac bd. (c) Pošto su brojevi b i c deljivi brojem a, brojevi b a i c a su celi. Kao b c, postoji ceo broj m taav da je c = mb, odale sledi da je c a = m b a, što doazuje da b c a a. Posledica 1.2 Relacija u supu celih brojeva ima sledeća svojstva: (a) ao a b, tada a mb i ma mb; (b) ao a b i a c, tada a (b + c) i a (b c); (c) ao a i b i, i = 1, n, tada a 1... a n b 1... b n ; (d) ao a b, tada a n b n za svao n N; (e) ao su u jednaosti a 1 + a a n = b 1 + b b m, svi sabirci sem jednog deljivi celim brojem c, onda je i taj jedan deljiv brojem c. Zadaci za vežbanje 1. Doazati da n n + 1 onda i samo onda ao je n = ±1. 2. Doazati da svai od brojeva 1, 2,..., deli bar jedan od brojeva n + 1, n + 2,..., n +. Ao je n neparan broj, doazati da je n(n 2 1 deljiv sa Doazati da je vadrat celog broja deljiv sa 4 ili je oblia 8n Doazati da je vadrat brojeva oji nisu deljivi ni sa 2 ni sa 3 oblia 12n Doazati da (a) 9 10 n 1; (b) n + ( 1) n 1 6. Doazati da je zbir 2n + 1 uzastopnih brojeva deljiv sa 2n Delenje sa ostatom Teorema 2.1 (Algoritam deljenja) Za svai par celih brojeva a i b 0 jednoznačno je odred en par celih brojeva q i r za oje je a = bq + r, 0 r < b. Doaz: Doažimo najpre egzistenciju brojeva q i r. Razmotrimo najpre slučaj ada je a 0. Označimo sa S = {m Z : m b > a}. Kao je a + 1 S, to je S neprazan podsup supa prirodnih brojeva N, pa ima najmanji element. 2

3 Nea je s = min S i q = s 1. Tada q S, pa je stoga q b a. Stoga je r = a q b 0. Sdruge strane je s b > a, jer je s S. Stoga je b = s b q b > a q b = r, čime smo pdoazali da je 0 r < b. Iz definicione jednaosti za r imamo da je a = q b + r. Kao je b = b sgn(b), to je a = bq + r za q = q sgn(b). Nea je sada a < 0. Kao je a > 0, prema doazanom slučaju postoje s, r Z tavi da je a = s b + r i 0 r < b. Sada je a = s b r i b < r 0. Ao je r = 0, onda je za q = s sgn(b) i r = r = 0 tvrd enje zadovoljeno. Med utim, ao je r > 0, onda r ne zadovoljava tražene nejednaosti. Zbog toga radimo popravu: a = s b r = s b b + b r = ( s 1) b + ( b r ). Nea je q = s 1, r = b r. Sada je a = b q + r. Proverimo nejednaosti za r. Kao je 0 < r < b, množenjem sa 1 dobijamo b < r < 0. Dodavanjem b dobijamo 0 < b r < b, tj. 0 < r < b. Za q = q sgn(b) onačno imamo da je a = bq + r i 0 < r < b. Ostaje da doažemo jedinstvenost. Pretpostavimo da je a = bq+r = bq 1 +r 1, 0 r, r 1 < b. Ne umanjujući opštost doaza možemo pretpostaviti da je r r 1. Iz polazne jednaosti imamo da je b(q q 1 ) = r 1 r. Kao je 0 r 1 r < b, to je 0 b(q q 1 ) < b. Sraćivanjem sa b, dobijamo da je 0 q q 1 < 1. Kao je q q 1 nenegativan ceo broj, to je q q 1 = 0. Otuda je q = q 1, pa je r = r 1. Broj q u prethodno doazanoj teoremi je nepotpun olični, a r ostata pri delenju broja a brojem b, ili raće, samo ostata. Ao je r = 0, onda je a = bq, tj. broj a je deljiv brojem b. Ao a nije deljivo sa b, uve je r 0. Algoritam deljenja se često oristi u lasifiaciji brojeva. Na primer, za b = 2, ao je r = 1 imamo neparne brojeve oblia a = 2q + 1, do za r = 0 imamo parne brojeve a = 2q. Sličnu situaciju imamo za b = 3, 4,... Tao dobijamo razbijanje supa celih brojeva na disjuntne lase po modulu broja b. Dva cela broja pripadaju istoj lasi onda i samo onda ao je njihova razlia deljiva sa b. O ovome će više reči biti ada budemo govorili o ongruencijama. Teorema 2.2 Nea je b ceo broj veći od 1. Tada se svai pozitivan ceo broj m na jedinstven način može priazati u obliu (1) m = a n b n + a n 1 b n a 0, gde je 0 < a n < b i 0 a i < b, za i = 0, 1,..., n 1. Doaz: Za dato m Z i b > 1 na osnovu Teoreme 2.1 postoje jedinstveno odred eni celi brojevi q 0 i a 0 za oje važi m = q 0 b + a 0, 0 a 0 < b. 3

4 Očigledno je q 0 0. Ao je q 0 = 0 teorema je doazana. Ao je q 0 pozitivan broj, deljenjem q 0 sa b dobijamo q 0 = q 1 b + a 1, 0 a 1 < b, gde su q 1 i a 1 prema Teoremi 1. jedinstveno odred eni celi brojevi. Nastavljajući ovaj postupa dobijamo m = q 0 b + a 0, 0 a 0 < b, q 0 > 0, q 0 = q 1 b + a 1, 0 a 1 < b, q 1 > 0, q 1 = q 2 b + a 2, 0 a 2 < b, q 2 > 0, q n 2 = q n 1 b + a n 1, 0 a n 1 < b, q n 1 > 0, q n 1 = q n b + a n, 0 a n < b, q n = 0. Kao je m > q 0 > q 1 > > 0 sledi da je na ovaj način jednoznačno odred en ceo pozitivan broj q n 1 oji je manji od broja b. Iz poslednje jednaosti imamo da je a n = q n 1, pa je oeficijent a n pozitivan broj. Zamenom dobijamo da je m = q 0 b + a 0 = = (q 1 b + a 1 )b + a 0 = q 1 b 2 + a 1 b + a 0 = = (q n 1 b + a n 1 )b n a 1 b + a 0 = = q n 1 b n + a n 1 b n a 1 b + a 0 = = a n b n + a n 1 b n a 1 b + a 0. Dobijena reprezentacija broja m je jedinstvena, jer su oeficijenti a i, i = 0, 1,..., n, na osnovu Teoreme 1. jednoznačno odred eni. Ao su zadovoljeni uslovi Teoreme 5., tada za broj m predstavljen u obliu (1) ažemo da je napisan u brojevnom sistemu za osnovu b. Broj b je baza ili osnova datog brojevnog sistema, a sam broj m zapisujemo u obliu (a n a n 1 a 0 ) b. Primer 2.1 Nea je a Z, n N +. Označimo sa rem n (a) ostata pri deljenju broja a brojem n. Funcija rem n (a) presliava sup Z u sup {0, 1,..., n 1}. Da se sve vrednosti funcije rem n (a) realizuju, neposredno sledi iz činjenice da je za 0 a < n rem n (a) = a. Tao npr. funcija rem 2 ima vrednosti 0 i 1; rem 2 (2) = 0, do je rem 2 (2+1) = 1 za svao Z. Funcija rem 4 ima četiri vrednosti: 0, 1, 2, 3. Za i {0, 1, 2, 3} definišimo sup C i = {a Z : rem 4 (a) = i}. Familija {C i : i = 0, 3} čini particiju supa Z, tj. to su disjuntni supovi i svai ceo broj pripada jednom od njih. Primetimo da se sa ovim supovima dosta pravilno računa. Poažimo da je proizvod ma oja dva broja iz C 1 opet u C 1. 4

5 Nea su a, b C 1. Tada postoje brojevi, l Z, tao da je a = i b = 4l + 1, pa je a b = (4 + 1)(4l + 1) = 16l l + 1 = 4(4l + + l) + 1, što doazuje da je ab C 1. Slično se doazuje da je za a C 1 i b C 3, ab C 3. Čitaocu prepuštamo da ispita računanje sa lasama C i. Definicija 2.1 Nea je D(a) = {b Z + : b a}, gde je a Z. Ao je a > 1 i D(a) = {1, a}, onda ažemo da je a prost broj. Nadalje ćemo proste brojeve označavati isljučivo slovom p sa odgovarajućim indesima. Napomenimo da se u grafiu relacije prosti brojevi nalaze u drugom nivou. Ao posmatramo sup N 2 := N + \ {1} sa relacijom oja je generisana sa N +, onda su prosti brojevi u prvom nivou delimično ured enog supa (N 2, ) i pretstavljaju minimalne elemente. U matematici se uve teži da se svi elementi nee struture predstave pomoću minimalnih. U daljem izlaganju mi ćemo poazati da se svai ceo broj može priazati pomoću prostih brojeva i da je taj priaz jedinstven. Upravo ta činjenica najbolje govori o značaju prostih brojeva. Definicija 2.2 Nea je D(a, b) = D(a) D(b), gde su a, b Z, a, b 0. Broj (a, b) := max D(a, b) je najveći zajedniči delilac brojeva a i b. Ao je (a, b) = 1, tada ažemo da su brojevi a i b uzajamno prosti. Poažimo da je definicija oretna, tj. da za svaa dva broja a, b Z \ {0} postoji (a, b). Kao 1 a, b, to je sup D(a, b) neprazan. Osim toga je c a za svao c D(a, b), pa je sup D(a, b) ograničen neprazan sup prirodnih brojeva. Stoga max D(a, b), odn. (a, b) postoji. Primetimo na raju da je za a, b Z, (a, b) = ( a, b ). Stoga u nastavu uve pretpostavljamo da je u oznaci (a, b) a, b N +. 3 Ceo deo realnog broja Nea su a i b 0 celi brojevi. Pretpostavimo da b ne deli a. Na osnovu Teoreme 2.1 postoje jednoznačno odred eni brojevi q i r tavi da je odale je za b > 0 (1) a = bq + r, 0 < r < b, a b = q + r b, 0 < r b < 1. Za b < 0 treba zameniti b sa b, pa tao imamo prethodni slučaj. Prema tome a b je realan broj jedna zbiru celog broja q i pravog razloma r b. Iz relacije (1) dobijamo da je q < a b < q + 1, 5

6 odale vidimo da je q najveći ceo broj oji nije veći od broja a b. Broj q se naziva ceo deo realnog broja a b i označava sa [ ] a b. Još opštije: ceo deo realnog broja x je najveći ceo broj oji nije veći od x. Obeležava se sa [x]. Iz definicije sledi da je [x] x < [x] + 1, a ao je x ceo broj, tada i samo tada je [x] = x. Iz definicije celog dela realnog broja sledi relacija x = [x] + {x}, gde je 0 {x} < 1. Broj {x} se naziva decimalni deo realnog broja X. Teorema 3.1 Nea su x i y realni brojevi, a m ceo broj. Tada je (a) [x + m] = [x] + m; (b) [x] + [y] [x + y] [x] + [y] + 1, ili, pošto su sva tri broja cela, [x + y] = [x] + [y] ili [x + y] = [x] + [y] + 1 ; [ ] (c) [x] m = [ x m], m > 0. Doaz: (a) Nea je x = [x] + {x}. Pošto je x + m = [x] + {x} + m, 0 {x} < 1, a [x] + m je ceo broj, sleduje da je [x + m] = [x] + m. (b) Pod imo od izraza [x + y] = [x + {x} + y + {y}] i primenimo svojstvo celog dela oje smo doazali pod (a): [[x] + [y] + {x} + {y}] = [x] + [y] + [{x} + {y}]. Tada je [x + y] = [x] + [y] + [{x} + {y}]. Kao je 0 [{x} + {y}] < 2, to je ceo broj [{x} + {y}] jedna 0 ili 1. Stoga je čime smo doazali da je [x + y] = [x] + [y] ili [x + y] = [x] + [y] + 1, [x] + [y] [x + y] [x] + [y] + 1. (c) Na osnovu Teoreme 2.1 za cele brojeve [x] i m 0 postoje celi brojevi q i r tavi da je (1) [x] = mq + r, 0 r < m. Kao je [x] = x {x}, to je x = mq + r + {x}, pa je (2) x m = q + r + {x} m. 6

7 Iz uslova oje zadovoljavaju brojevi r i {x} taod e je (3) 0 r + {x} m < 1, pa je zbog (2) i (3) (4) Kao je zbog (1) [ x = q. m] to je (5) [x] m = q + r m, gde je 0 r m < 1, [ ] [x] = q. m Sada iz jednaosti (4) i (5) sledi tražena jednaost. Posledica 3.1 (a) Ao je a > 0 ceo broj i [ax] = b, tada je [ ] b [x] = ; a (b) Za svai realan broj važi jedna od jednaosti [x] + [ x] = 0 ili [x] + [ x] = 1, prema tome da li je x ceo broj ili ne; (c) Za realne brojeve x 1, x 2,..., x n važi jednaost [x 1 ] + [x 2 ] + + [x n ] [x 1 + x x n ] = [x 1 ] + [x 2 ] + + [x n ] + n 1. Doaz: (a) Kao je [ax] = b i a ceo broj različit od nule, to je prema svojstvu (c) oje smo doazali u prethodnoj teoremi [ ] [ ] b [ax] [ ax ] = = = [x]. a a a Doaz: (b) Zamenom y = x u (b) prethodne teoreme odmah dobijamo da je [x] + [ x] = [x + ( x)] = 0 ili [x] + [ x] + 1 = [x + ( x)] = 0, već prema tome da li je x ceo broj ili ne. Doaz: (c) Doaz se izvodi inducijom. Za n = 2 jednaost važi na osnovu nejednaosti (b) doazanoj u prethodnoj teoremi. Pretpostavimo da je tvrd enje tačno za n = m, tj. nea je [x 1 ] + [x 2 ] + + [x m ] [x 1 + x x m ] [x 1 ] + [x 2 ] + + [x m ] + m 1. 7

8 Kao je [x 1 + x x m ] + [x m+1 ] [x 1 + x x m+1 ] [x 1 + x x m ] + [x m+1 ] + 1, sabiranjem poslednjih dveju dvostruih nejednaosti imamo da je [x 1 ] + x 2 ] + + [x m+1 ] [x 1 + x x m+1 ] [x 1 ] + [x 2 ] + + [x m+1 ] + m, što je i trebalo doazati. Zadaci za vežbanje 1. Ao je +1 n x [x] < n, gde je < nprirodan broj, doazati da je [nx] n[x] =. 2. Doazati da je [ [x] + x + 1 ] [ + x + 2 ] [ + + x + n 1 ] = [nx]. n n n 3. Ao je (a, b) = d, gde su a i b prirodni brojevi, doazati da je n 1 [ bn ] (a 1)(b 1) = + d + 1. a 2 2 n=1 4. Doazati da je n [ n ] (2 1) = =1 =1 n [ n ] 2. 4 Prosti brojevi Teorema 4.1 Za svai prirodan broj n N 2 postoji prost broj p taav da p n. Doaz: Tvrd enje doazujemo transfinitnom inducijom. Nea je n N 2 i nea je tvrd enje tačno za sve prirodne brojeve iz N 2 oji su manji od n. Razliujemo dva slučaja. Broj n je prost. Tada je n prost broj oji deli n. Broj n je složen. U tom slučaju je D(n) {1, n}. Nea je D(n) \ {1, n}. Tada je 1 < < n. Prema inducijsoj hipotezi postoji prost broj p tao da p. Kao n, to p n, pa je tvrd enje doazano. Teorema 4.2 Nea je n N 2 složen broj. Tada postoji prost broj p [ n]. 8

9 Doaz: Kao je n složen broj, D(n) {1, n}. Nea je D(n) \ {1, n}. Pošto n, postoji prirodan broj l taav da je n = l. Sobzirom na činjenicu da je 1 < < n, sledi da je i 1 < l < n. Kao je l ili l, ne umanjujući opštost doaza, možemo pretpostaviti da je l. Prema prethodnom tvrd enju postoji prost broj p tao da p l. Stoga je p l, a time je p. Odatle je sada p 2 l = n, tj. p [ n]. Primer 4.1 (Eratostenovo sito) Odredimo sve proste brojeve oju su manji od 100. Na osnovu prethodne teoreme dovoljno je, ao složene, odstraniti sve brojeve manje od 100 oji su deljivi sa 2,3,5,7 sem njih. Preostali brojevi manji od 100 su prosti. Tao imamo sledeću listu prostih brojeva oji su manji od 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 13, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Teorema 4.3 Prostih brojeva ima besonačno mnogo. Doaz: Doaz izvodimo svod enjem na ontradiciju. Pretpostavimo da je sup P svih prostih brojeva onačan. Tada je P = {p 1, p 2,..., p n } za neo n N. Uočimo broj M = p 1 p 2... p n + 1. Kao je M N 2, na osnovu Teoreme 4.1 postoji prost broj p taav da p M. Kao je p P, to je p = p i za neo i n. Dale, p i M. Sdruge strane, ao je M 1 = p i s, gde je s = p 1... i 1 p i+1... p n, to p i M 1. No onda p i M (M 1), tj. p i 1. Kontradicija. Sledeća teorema je poznata ao OSNOVNA TEOREMA ARITMETIKE, što najbolje govori o njenom značaju u teoriji brojeva. Napomenimo da u formulaciji teoreme oristimo onvenciju da je proizvod po praznom supu jedna 1. Teorema 4.4 Za svai prirodan broj n N + postoje jedinstveni N, prosti brojevi p 1 < p 2 < < p i α 1, α 2,..., α N + tao da je Izraz p α1 1 p α p α broja n n = p α 1 1 pα pα. nazivamo prostom ili anonsom fatorizacijom Posledica 4.1 Nea je (p n ) n N sup prostih brojeva pored anih u rastući niz. Presliavanje f : N ω N definisano sa je 1-1 presliavanje. f(α 1,..., α ) = p α p α +1 9

10 Doaz: Nea je za, l N + i (α 1,..., α ), (β 1,..., β l ) f(α 1,..., α ) = f(β 1,..., β l ) = n. Tada su p α p α +1 i p β p β l+1 l fatorizacije broja n. Kao n ima jedinstvenu fatorizaciju, to je = l, pa je stoga za svao i α i + 1 = β i + 1. Time smo doazali da je (α 1,..., α ) = (β 1,..., β ). Dale, f je 1-1 presliavanje. Posledica 4.2 Prirodan broj je vadrat onda i samo onda ao u prostoj fatorizaciji ima sve izložioce parne. Doaz: Nea je n N 2 i nea je n = p α 1 1 p 2α 2... p α anonsa fatorizacija broja n. ( ) Nea je n = m 2 i nea je m = q β 1 1 qβ qβ l l anonsa fatorizacija broja m. Tada je n = p α1 1 pα pα = q 2β1 1 q 2β q 2β l l. Kao je fatorizacija broja n jedinstvena, to je = l, p i = q i i α i = 2β i za svao i. ( ) Pretpostavimo da broj n u svojoj anonsoj fatorizaciji ima za izložioce parne brojeve. To znači da je n = p 2α 1 1 p 2α p 2α za neo N +, proste brojeve p 1,..., p i prirodne brojeve α,..., α. Očigledno je da za m = p α1 1 pα pα važi n = m 2. Posledica 4.3 Nea su a, b, c N +, (a, b) = 1 i ab = c 2. Tada postoje, l N tao da je a = 2 i b = l 2. Doaz: Nea je a = p α 1 1 pα pα, b = qβ 1 1 qβ qβ l l. Kao je (a, b) = 1, to je p i q j za svao i i svao j l. Otuda je c 2 = a b = p α1 1 pα pα qβ1 1 qβ qβ l l. Kao je izraz na desnoj strani, do na ured ivanje po veličini osnova, prosta fatorizacija broja c 2, to je prema prethodnom tvrd enju α i paran broj za svao i, do je β j paran broj za svao j l. To doazuje da su a i b vadrati prirodnih brojeva. Zadaci za vežbanje 1. Jedina dva uzastopna prosta broja su 2 i 3. Doazati. 2. Doazati da je n za n > 1 složen broj n je složen broj za svao n 1. Doazati. 4. Doazati da postoji proizvoljan broj uzastopnih brojeva oji nisu prosti. 5. Ao je n prirodan broj i 2 n 1 prost broj, doazati da je n prost broj. 10

11 5 Relacija ongruencije po modulu Definicija 5.1 Nea su a, b i m 0 celi brojevi. Broj a je ongruentan sa brojem b s obzirom na modul m, ao m a b i to označavamo sa a b(mod m) ili sa a m b. Ao a b nije deljivo sa m tada je a neongruentno sa b po modulu m. Ovo označavamo sa a b(mod m) ili sa a m b. Primer 5.1 Relacija (1) a 1(mod 2), znači da je a 1 deljivo sa 2, tj. da postoji ceo broj m taav da je a 1 = 2m, odnosno a = 2m + 1. Dale, a je neparan broj. Lao se proverava da važi i obrat. Naime, ao je a proizvoljan neparan broj, za njega važi relacija (1). Prema tome, relacija (1) je arateristična za neparne brojeve. Iz relacije (1) sledi da je a 2 1(mod 8). Zaista, ao važi (1), onda je a neparan broj, dale oblia a = 2m + 1, pa je a 2 = 4m 2 + 4m + 1. Odavde sledi da je a 2 1 = 4m(m + 1). Brojevi m i m + 1 su uzastopni, pa je jedan od njih paran. Stoga je a 2 1 deljivo sa 8, te je doista a 2 1(mod 8). Prema Definiciji 5.1, relacija (2) a b(mod m) označava da m a b, što opet znači da postoji ceo broj t taav da je a b = tm, odnosno (3) a = b + tm. Obratno, za svai broj a oblia (3) važi relacija m a b, pa samim tim i (2). Na taj način smo doazali da je a ongruentno sa b po modulu m onda i samo onda ao postoji ceo broj t taav da je a = b + mt. Ovaj isaz možemo formulisati i na sledeći način. Teorema 5.1 Sup svih celih brojeva x ongruentnih sa a po modulu broja m dat je izrazom x = a + tm, t = 0, ±1, ±2,... Teorema 5.2 Brojevi a i b imaju jednae ostate pri deljenju sa m onda i samo onda ao je a b(mod m). Doaz: Ao je a b(mod m), tada postoji ceo broj t taav da je a = b + tm. Za brojeve b i m 0 na osnovu Teoreme 2.1 postoje jednoznačno odred eni celi brojevi q i r tavi da b = qm + r, 0 r < m, gde je r ostata dobijen pri 11

12 deljenju broja b sa brojem m. Odavde sledi da je a = m(q + t) + r, gde je 0 r < m. Dale, i broj a pri deljenju sa brojem m ima isti ostata r. Da doažemo obrat, pretpostavimo da brojevi a i b imaju isti ostata r pri deljenju sa brojem m. To znači da postoje celi brojevi q 1 i q 2 tavi da je a = mq 1 + r, b = mq 2 + r, 0 r < m. Odavde sledi da je a b = m(q 1 q 2 ), tj. a b(mod m). Sobzirom na ovu teoremu, relaciju ongruencije možemo definisati i na sledeći način: a je ongruentno sa b po medulu m ao i samo ao brojevi a i b imaju iste ostate pri deljenju sa m, ili simboliči, a b(mod m) rem m (a) = rem m (b). Teorema 5.3 Broj r je ostata oji se dobija deobom celog broja a celim brojem m 0 ao i samo ao je (4) a r(mod m), 0 r < m. Doaz: Sup relacija (4) evivalentan je supu relacija a = r + mt, 0 r < m. Med utim, broj r oji zadovoljava posledne dve relacije pretstavlja ostata pri deljenju broja a brojem m. Prema tome, tvrd enje je doista tačno. Navedimo sada nee osnovne osobine relacije ongruencije. U tom smislu primetimo najpre da je relacija ongruencije po modulu zadatog broja m 0 reflesivna, tj. za svai ceo broj a važi a a(mod m), jer m a a. Ao je a b(mod m), tada m a b. Odavde sledi da m (b a) odn. m b a, pa je b a(mod m). Prema tome, relacija ongruencije je i simetrična. Ona je i tranzitivna. Zaista, ao je a b(mod m) i b c(mod m), tada postoje celi brojevi S i t tavi da je a = b + sm i b = c + tm. No onda je a = c + (s + t)m, što doazuje da je a c(mod m). Time smo doazali sledeće tvrd enje: Teorema 5.4 Relacija ongruencije po modulu zadatog broja m je relacija evivalencije. Teorema 5.5 Nea su a, b, c, d i m 0 celi brojevi. Ao je (5) a b(mod m), c d(mod m), tada je (6) a + c b + d(mod m), a c b d(mod m). 12

13 Doaz: S obzirom na relacije (5) postoje celi brojevi s i t tavi da je a = b+sm i c = d+tm. Odavde se dobija da je a+c = b+d+(s+t)m i a c = b d+(s t)m, pa relacije (6) važe. Posledica 5.1 Nea su a 1,..., a, b 1,..., b i m 0 celi brojevi. Tada iz relacija a i b 1 (mod m), i = 1,, sledi relacija a a b b (mod m). Teorema 5.6 Nea su a, b, c i m 0 celi brojevi. Ao je a b(mod m), tada je ac bc(mod m), i ac bc(mod cm). Doaz: Ao je a b(mod m), tada m a b, pa tim pre m (a b)c, odn. m ac bc. Ali tada je ac bc(mod m), što je i trebalo doazati. Iz m a b taod e sledi da mc ac bc, što daje ac bc(mod cm). Teorema 5.7 Nea su a, b, c, d i m 0 celi brojevi. Ao je (7) a b(mod m) i c d(mod m), tada je ac bd(mod m). Doaz: Na osnovu prethodne teoreme i relacija (7) proizilazi da je ac bc(mod m), i bc bd(mod m), odale se zbog tranzitivnosti relacije ongruencije dobija acd b(mod m). Posledica 5.2 Ao su a 1,..., a, b 1,..., b i m 0 celi brojevi za oje je važe relacije a i b i (mod m), i = 1,, tada je a 1... a b 1... b (mod m). Posledica 5.3 Nea su a, b i m 0 celi brojevi, a n prirodan broj. a b(mod m), tada je a n b n (mod m). Ao je 13

14 Posledica 5.4 Nea je P n (x) = c 0 x n + c 1 x n c n 1 x + c n polinom sa celim oeficijentima c i, i = 0, n. P n (a) P n (b)(mod m). Ao je a b(mod m), tada je Primer 5.2 U ovom primeru odredićemo riterijum deljiosti broja a = c n c n 1 c 1 c 0 sa brojevima 3,9 i 11. Primetimo najpre da se broj a može priazati ao a = 10 n c n + 10 n 1 c n c 1 + c 0, c n 0. Pošto je 10 1(mod 9), to je 10 1(mod 9) za svai prirodan broj. Odavde na osnovu Posledice 5.4 imamo da je Dale, a 0(mod 9) ao i samo ao je a c n + c n c 1 + c 0 (mod 9). c n + c n c 1 + c 0 0(mod 9) Prema tome, broj je deljiv sa 9 onda i samo onda ao je zbir cifara tog broja deljiv sa 9. Pošto je 10 1(mod 3), lao zaljučujemo da i za deljivost sa 3 važi sličan riterijum. Ceo bro je deljiv sa 3 ond i samo onda ao je zbir njegovih cifara deljiv sa 3. Pošto je 10 1(mod 11), taod e je 10 ( 1) (mod 11) za svai nenegativan ceo broj. Za prirodan broj a tada važi a ( 1) n c n + ( 1) n 1 c n 1 + c 1 + c 0 (mod 11). Dale, ceo broj je deljiv sa 11 onda i samo onda ao je razlia zbirova cifara na parnim i neparnim mestima deljiva sa 11. Primer 5.3 Odredimo ostata oji se dobija pri deljenju broja sa 13. Pod imo od relacije (mod 13). Kao je 27 1(mod 13), to je 3 3 1(mod 13). Odavde je (3 3 ) (mod 13), pa je onačno (mod 13), odn (mod 13). Pošto je 0 < 3 < 13, na osnovu Teoreme 5.2 zaljučujemo da brojevi 3 i pri deljenju sa 13 imaju iste ostate. Stoga je ostata pri deljenju broja sa 13 jedna 3. Teorema 5.8 Ao je a b(mod m) i d m, tada je a b(mod d). 14

15 Doaz: Kao je a b(mod m), to m a b. Pošto d m, to zbog tranzitivnosti relacije sledi da d a b, pa je a b(mod d). Iz prethodno doazanih teorema vidimo da je rad sa relacijama ongruencije, ada su u pitanju sabiranje i množenje, isti ao i rad sa jednačinama. Med utim, ada je reč o deljenju, postoje izvesna ograničenja, o čemu govore sledeće tri teoreme. Teorema 5.9 Ao je a b(mod m) i ao c a i c b, tada je a (8) c b ( mod m ), c d gde je d = (c, m). Doaz: Iz relacije a b(mod m) sleduje da m a b, a isto tao i m (9) c d d a b. c Kao je (c, m) = d, to je ( c d, ) m d = 1. Prema tome, iz (9) proizilazi da m d pa važi (8). a b c, Teorema 5.10 Nea su a, b, c i m 0 celi brojevi, pri čemu je a b(mod m). Tada važe sledeća tvrd enja: (a) ao c a, c b i (c, m) = 1, tada je a c b c (mod m); (c) ao c a, c b i c m, tada je a c b c (mod m c ). Doaz: (a) Pretpostavimo da c a, c b i da je (c, m) = 1. Nea je a 1 = a c, b 1 = b c. Kao m a b, to m c(a 1 b 1 ). Kao je (c, m) = 1, to m a 1 b 1, pa je a a 1 b 1 (mod m), odn. c b c (mod m). (b) Nea je a = a 1 c, b = b 1 c, m = m 1 c i a b(mod m). Kao m b a, to je b a = mt za neo t Z. Zamenom a, b i m u poslednjoj jednaosti dobijamo da je b 1 c a 1 c = m 1 tc. Sraćivanjem ove jednaosti sa c imamo da je b 1 a 1 = m 1 t. Otuda je a 1 b 1 (mod m 1 ), što je i trebalo doazati. Primer 5.4 Sledeći primer poazuje da sraćivanje može biti neoretno ao uslovi prethodne teoreme nisu zadovoljeni. Ao relaciju 20 8(mod 6) sratimo sa 4 dobijamo da je 5 2(mod 6), što naravno nije tačno, jer uslov (4, 6) = 1 pod (a) nije zadovoljen. Primer 5.5 Doažimo da za neparan broj a važi ongruencija a 2n 1(mod 2 n+2 ), n 1. Doaz ćemo izvesti potpunom matematičom inducijom. Nea je a = 2m 1 i n = 1. Tada je a 2 1 = 4m(m 1). Ovaj broj je deljiv sa 8 = 2 1+2, pa tvrd enje važi za n = 1. Pretpostavimo da je tvrd enje tačno za n =, tj. da je a 2 1(mod 2 +2 ). 15

16 Pošto je a = a = (a 2 1)(a 2 + 1), 2 +2 a 2 1 po indutivnoj hipotezi, a 2 a jer je a prema pretpostavci neparan broj, to 2 +3 a Time smo doazali da je (mod 2 +3 ), tj. da je tvrd enje tačno i za n = + 1, pa dale i za svao n N. Primer 5.6 Doazati da je 9 3 2n 8n 9 0(mod 64), n N. Stavimo da je f(n) = 9 3 2n 8n 9. Tada je f(n + 1) = n 8n 17, f(n + 2) = n 8n 25. Eliminacijom izraza 3 2n i n iz ove tri jednačine dobijamo jednačinu odale sleduje relacija f(n + 2) 10f(n + 1) + 9f(n) = 64, f(n + 2) 10f(n + 1) 9f(n)(mod 64). Pretpostavimo da je f(n) 0(mod 64) i f(n+1) 0(mod 64). Tada iz poslednje jednaosti sledi da je i f(n + 2) 0(mod 64). Pošto je f(1) = 64 0(mod 64) i f(2) = 704 0(mod 64), na osnovu principa matematiče inducije sledi da je tvrd enje tačno za sve prirodne brojeve. Zadaci za vežbanje 1. Odrediti ostate pri deljenju brojeva (a) 3 21 sa 11; (b) sa 13; (c) sa Odrediti ostate pri deljenju brojeva (a)10! sa 11; (b) 16! sa 17; (c) 23! sa Odrediti ostata deljenja broja ( ) 28 sa Dat je polinom f(x) = 3x 5 2x 4 + x 3 3x 2 + x 7. Odrediti ostate pri deljenju brojeva f(2) i f(5) sa Odrediti riterijume za deljivost brojeva napisanih u deadnom brojevnom sistemu sa 7, 13 i Doazati da je Mersenov broj M 37 = deljiv sa Doazati ongruencije (a) n 3 n(mod 24), (n je neparan broj), (b) 13 2n 1(mod 7), (c) 11 n n+1 (mod 133). 16

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

Elementarna matematika - predavanja -

Elementarna matematika - predavanja - Elementarna matematika - predavanja - February 11, 2013 2 Sadržaj I Zasnivanje brojeva 5 I.1 Peanove aksiome............................. 5 I.2 Celi brojevi................................ 13 I.3 Racionalni

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Linearni operatori. Stepenovanje matrica

Linearni operatori. Stepenovanje matrica Linearni operatori Stepenovanje matrica Nea su X i Y vetorsi prostori nad istim poljem salara K Presliavanje A : X Y zovemo operator Za operator A ažemo da je linearan ao je istovremeno 1 aditivan: A(u

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t) Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su

Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su Poglavlje 1 Brojevi i brojni sistemi Cvetana Krstev 1.1 O brojevima Prirodni brojevi su brojevi sa kojima se broji, uključujući i nulu: 0, 1, 2, 3,.... Pojam pozitivnih i negativnih brojeva nije definisan

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b.

b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b. 1 DJELJIVOST 1.1. Djeljivost. Prosti brojevi Količnik dvaju prirodnih brojeva nije uvijek prirodni broj. Tako na primjer, broj 54 8 nije prirodan, jer 54 nije djeljiv s 8. Broj 221 jest prirodan, jer 221

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Prosti brojevi. Uvod

Prosti brojevi. Uvod MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Prosti brojevi 20.12.2015. Uvod Definicija 1. Kažemo da je prirodan broj p prost broj ako ima točno dva (različita) djelitelja (konkretno, to su 1 i p). U suprotnom

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Primene kompleksnih brojeva u geometriji

Primene kompleksnih brojeva u geometriji Primene kompleksnih brojeva u geometriji Radoslav Dimitrijević 07.1.011. 1 Neki osnovni geometrijski pojmovi 1.1. Rastojanje izmed u tačaka Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni odred ene kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 1. Prvo predavanje - funkcije i prirodni brojevi Cilj predavanja u prvoj sedmici je podsećanje na skupove brojeva koji su se koristili u prethodnom školovanju,

Διαβάστε περισσότερα

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0. Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo

Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo January 24, 2012 Uvod U Bosni i Hercegovini već pedesetak godina se organizuju

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja... Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije

Glava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije Glava 1 Z transformacija 1.1 Pojam z transformacije U elektrotehnici se vrlo često susrećemo sa signalima koji su diskretnog tipa. To znači da je radimo sa signalima koji su zadati svoji vrednostima samo

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih

Διαβάστε περισσότερα

O Šturmovim rečima i njihovim primenama u teoriji brojeva

O Šturmovim rečima i njihovim primenama u teoriji brojeva UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Kristina Ago O Šturmovim rečima i njihovim primenama u teoriji brojeva - Master rad- Mentor: dr Bojan Bašić

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

Predikatska logika - II deo. Jelena Ignjatović

Predikatska logika - II deo. Jelena Ignjatović Predikatska logika - II deo Jelena Ignjatović Logika i teorija skupva Ugnježdeni kvantifikatori Ugnježdeni kvantifikatori U matematici i informatici se često sreću kvantifikatori koji se javljaju u oblasti

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih

Διαβάστε περισσότερα

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Dragan S. Djordjević Niš, 2009. 0 Sadržaj Predgovor 3 1 Metrički prostori 5 1.1 Primeri metričkih prostora................. 5 1.2 Konvergencija nizova i osobine

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

KURS IZ MATEMATIKE I

KURS IZ MATEMATIKE I UČITELJSKI FAKULTET U SOMBORU dr Aleksandar Petojević KURS IZ MATEMATIKE I TEORIJA I REŠENI ZADACI Sombor, 2003. Glava 1 Matematička logika 1.1 Teorija Definicija 1. Iskazi su one rečenice o kojima ima

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

1. Funkcije više promenljivih

1. Funkcije više promenljivih 1. Funkcije više promenljivih 1. Granične vrednosti funkcija više promenljivih Definicija 1. Funkcija f : D( R n R ima graničnu vrednost u tački (x 0 1, x 0 2,..., x 0 n D i jednaka je broju α R ako važi

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK

Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK Živinice 1.4.014. ZADACI UDRUŽENJE MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα