Fisika BATXILERGOA 2. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Fisika BATXILERGOA 2. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula"

Transcript

1

2 Fisika BATXILERGOA 2 Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula

3 Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, legeak aurrez ikusitako salbuespenezko kasuetan salbu. Obra honen zatiren bat fotokopiatu edo eskaneatu nahi baduzu, jo Cedrora (Centro Español de Derechos Reprográficos, Eusko Jaurlaritzako Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak onetsia (2015-V-15) Maketazioa: IPAR S.L. arte grafikoen tailerra. Donostia Ilustrazioak: Iván Landa Jenaro Guisasola, Ane Leniz eta Oier Azula EREIN. Donostia 2015 ISBN: L.G.: SS EREIN Argitaletxea. Tolosa Etorbidea Donostia T F erein@erein.eus Inprimatzailea: Gertu Zubillaga industrialdea 9, Oñati T F gertu@gertu.net

4 Aurkibidea FISIKA 1. gaia. Indar grabitatorioa Sarrera Planeten mugimendua: Kepler-en legeak Errotazioa eta planeten higidura Kepler-en bigarren legea eta momentu angularra Newton-en Grabitazio Unibertsalaren Legea Kepler-en hirugarren legea eta grabitazio unibertsalaren legea Grabitatea beste planeta batzuetan Ariketak gaia. Eremu grabitatorioa Sarrera Grabitazio-eremua Eremua: Kontzeptu fisikoa Eremuaren adierazpen grafikoa Energia potentzial grabitatorioa Grabitazio-eremuaren erabilpena Ariketak gaia. Eremu elektrikoa Sarrera Karga elektrikoa Eroaleak eta isolatzaileak Kargaren eredua. Laburpena Indar elektrikoa eta Coulomb-en legea Eremu elektrikoa Eremu elektrikoa: kontzeptua Eremu-lerro elektrikoak Gauss-en legea eremu elektrikoarentzat: hurbilpen kuantitatiboa Potentzial elektrikoa Ariketak gaia. Eremu magnetikoa Sarrera Magnetismoa Eremu magnetikoa Korronte elektrikoek ere eremu magnetikoak sortzen dituzte Eremu magnetikoek indarrak eragiten dituzte higitzen ari diren kargetan Ariketak gaia. Oszilazioak Sarrera Oszilazioak eta oreka Higidura harmoniko sinplea eta indar berreskuratzaile linealak Pendulua Higidura harmoniko sinplea Energia higidura harmoniko sinplean Oszilazio indargetuak eta erresonantzia Ariketak gaia. Uhin-higidura etra soinu-uhinak Sarrera Uhin-higiduraren orokortasunak Luzetarako uhinak eta zeharkako uhinak Uhin-higidura Uhinen deskribapena Soinua eta argi-uhinak Energia eta intentsitatea Doppler efektua eta talka-uhinak Ariketak gaia. Uhinen gainezarpena eta uhin geldikorrak Sarrera Uhinen gainezarpenaren printzipioa Bi iturritako uhinen arteko interferentziak Uhin geldikorrak Ariketak

5 8. gaia. Optika geometrikoa Sarrera Zer da argia? Argiaren hedapen zuzena Islapena Errefrakzioa Ispiluak eta leiarrak Tresna optikoak Ariketak gaia. Optika ondulatorioa Sarrera Interferentziak Difrakzioa Polarizazioa Ariketak gaia. Erlatibitate berezia Sarrera Higiduraren erlatibitatea Teoria elektromagnetikoaren iragarpenak Galileoren erlatibitatearen berrikuste kritikoa: erlatibitate bereziaren printzipioa Transformazioak erreferentzia-sistema batetik bestera Argiren abiadura al da gure unibertsoan egon daitekeen abiadurarik handiena? XX. Mendeko fisikaren ekuaziorik ezagunena Ariketak gaia. Fisika kuantikoa Sarrera Erradioazioen iturriaren ikusmolde klasikoa Interpretatzen zaila den fenomenoa: efektu fotoelektrikoa Efektu fotoelektrikoa Fotoiak Uhin materialak Energia kuantizaturik dago Ziurgabetasunaren printzipioa Ariketak gaia. Fisika nulearra eta partikulena Sarrera Erradioaktibitatea Nukleo atomikoren egitura Transformazio erradioaktiboak Elementu erradioaktiboen desintegrazio-abiadura Egonkortasun nuklearra eta indar nuklearrak Fisika nuklearraren medikuntza-aplikazioak Ariketak

6 1. gaia 1.1 irudia. Komunikazio-enpresa baten satelitea.

7 Indar grabitatorioa 1. Sarrera Udako gau lasai batean, telefonoz hizketan ari zara lagun batekin zure hiriko eraikin altu batetik, eta hara non ikusten duzun, urrunean, komunikazio-enpresa batek erabiltzen duen satelitea zure gainean. Nola lortzen da beti hiri beraren gainean egotea? (Ikusi 7. adibidea). Indar grabitatorioa materiaren elkarrekintzarik ahulena da. Arbuiagarria da oinarrizko partikulen arteko elkarrekintzetan, eta ondorioz, ez du inolako garrantzirik molekula, atomo eta nukleoei buruzko ikerketetan. Tamaina arrunteko objektuen arteko erakarpen grabitatorioa txikiegia da behagarria izateko. Eraikin batek auto batean eragiten duen erakarpena, adibidez, ez dugu nabaritu ere egiten. Haatik, planeta, satelite edo izarren moduko gorputz astronomikoen arteko elkarrekintzei behatzen diegunean, garrantzi handia du grabitateak. Lurrak gure gorputzetan eta inguratzen gaituzten objektuetan eragiten duen indar grabitatorioa oinarrizkoa da gure bizitzan. Grabitateak lotzen gaitu lurrera, eta horrek mantentzen ditu planetak (gurea barne) eguzki-sistemaren baitan. Indar grabitatorioak zerikusi handia du izarren garapenean eta galaxien portaeran. Demagun, eskalarik handienean, grabitateak unibertsoaren garapena zuzentzen duela. Newton-en garaian, unibertsoaren eta Lurraren arauek elkarren artean zerikusirik ez zutela pentsatzen zuten askok. Hala ere, haren aurreko ikerlari askok Newtonek beharrezkoak izan zituen ondorio asko atera zituzten. Kopernikok, esaterako, planetek Eguzkiaren inguruan biratzen zutela ondorioztatu zuen; Galileok gorputz guztiak azelerazio berberaz jausten zirela aurkitu zuen, eta Kepler-ek planeten orbita eliptikoa zela. Behaketaren bitartez deskribatutako fenomeno horiei guztiei azalpen teorikoa ematea izan zen, hain zuzen ere, Newtonen ekarpen nagusia. Newton-en grabitazio unibertsalaren legearen eta dinamikaren hiru legeen bitartez frogatu zen naturak lege berberei jarraitzen diela edonon. Horrek errotik aldatu zuen unibertsoaren inguruko ikuspuntua.

8 2 Planeten mugimendua: Kepler-en legeak Gizadia liluraturik egon da beti gauean zeruan ikus daitezkeen izar eta planeta argitsuekin. 1. Galdera: Nola bereiziko zenituzke izar bat eta planeta bat? Planeta eta izarren arteko desberdintasunei buruz ari garela, garrantzitsua da jakitea planetek ez bezala, izarrek distira egiten dutela. Planetek, aldiz, etenik gabe islatzen dute argia, distiratu gabe. Izarren eta gure artean dagoen distantzia askoz ere handiagoa izatea da horren arrazoia. Gainera, izarrak zirkuluak eginez mugitzen dira gauean zehar. Planetek, aldiz, ibilbide korapilatsuagoak egin ohi dituzte. Merkurio Artizarra Lurra Marte Jupiter Saturno Planeta Batez besteko erradio orbitala (x10 10 m) Periodoa T (urteak) Merkurio 5,79 0,241 Venus 10,8 0,615 Lurra 15,0 1 Marte 22,8 1,88 Jupiter 77,8 11,9 Saturno ,5 Urano Neptuno Pluton taula. Planeten batez besteko erradioak eta periodo orbitalak. 1.2 irudia. Eguzkiaren inguruko planeten orbitak. XVI. mendearen bukaeran, Tycho Brahe astronomoak planeten higidura aztertu zuen, eta aurretik egindako behaketak baino behaketa zehatzagoak egin zituen. Braheren datuetan oinarrituta, planetek Eguzkiaren inguruan egiten zuten ibilbidea eliptikoa zela ohartu zen Johannes Kepler (1.2 irudia). Frogatu zuen, halaber, planetak ez zirela abiadura konstantean higitzen; Eguzkitik zenbat eta hurbilago egon orduan eta azkarrago higitzen zirela frogatu zuen, hain zuzen. Azkenik, Kepler-ek erlazio matematiko bat zehaztu zuen planeten periodoa eta Eguzkiaren arteko batez besteko distantzia lotuz (1.1 taula). Planeten higidura azaltzen duten hiru lege enpirikotan adierazi zituen Kepler-ek emaitzak. Lege horiek izan ziren Newtonentzat grabitatearen legea azaltzeko oinarria. Hona hemen lege horiek: Urano Neptuno Pluton 8

9 1. legea: Planeta guztiak fokua Eguzkian duten orbita eliptikoetan higitzen dira. r Kometa P r p r a A 1.3 irudia. Eguzkiaren inguruko erradioa orbitalak. y b r 2 r1 F a F x 1.4 irudia. Elipsearen deskripzio geometrikoa. F foku izeneko bi puntu finkotara dauden distantzien batura konstanteko plano bateko puntu guztien leku geometrikoa da elipsea (1.4 irudia). Foku batean Eguzkia duen planeta baten ibilbide eliptikoa adierazten du. 1.4 irudian, ia zirkularra da Lurraren orbita; Eguzkirako distantzia perihelioan (punturik hurbilena) da, eta afelioan (punturik urrunena). Ardatz nagusiak bi distantzia horien batura neurtzen du; Lurraren orbitaren kasuan, erradioa da, hain zuzen. 2. Galdera:Zer egin dezakegu hain zenbaki handiak ez erabiltzeko? Lurra-Eguzkia batez besteko distantziak unitate astronomikoa definitzen du (UA): 1 UA = 1, m Eguzki-sistemari lotutako problemetan erabili ohi da UA. 3. Galdera:Zenbat metro daude Bilbotik Donostiara? Eta Gasteiztik New York-era? Zenbat metro egingo genituzke Lurrari bira osoa emanez gero? Zenbat bira eman beharko genizkioke Lurrari 1 UA distantzia egiteko? 9

10 2. legea: Planetatik Eguzkira doan irudizko lerroak azalera berdina hartzen du denbora-tarte berean. Dr Kometa Dr 1.5 irudia. Kepler-en bigarren legea erakusten du. 4. Galdera: Zer ondorio atera daiteke irudiko (1.5 irudia) bi gainazalak alderatuz gero? Hau da, planeta bat azkarrago higitzen da Eguzkitik gertu dagoenean urrun dagoenean baino. Ondorioz, denbora-tarte jakin batean bektoreak egindako azalera berdina izango da orbita osoan zehar. 3. legea: Planetak orbita osatzeko behar duen periodoaren karratua proportzionala da bere orbitaren ardatzerdi nagusiaren kuboarekiko. 5. Galdera: Tycho Brahe-ren taulari erreparatuta egiaztatzen al da 3. legearen erlazioa? Kepler-en hirugarren legeak erlazionatu egiten ditu planetaren periodoa eta Eguzkiarekiko batez besteko distantzia. Era aljebraikoan, r Eguzkiaren eta planeta baten arteko distantziaren batez bestekoa bada eta T planetaren biraketa-periodoa bada, Kepler-en hirugarren legeak honako hau ezartzen du: T 2 = K r 3 non K konstanteak balio bera duen planeta guztientzat. 1.1 adibidea Lurrak Eguzkiaren inguruan bira emateko behar duen denbora 365,2564 egunekoa da; batez besteko distantzia km duelarik, zein izango da Venus-ek Eguzkiaren inguruan orbita bat egiteko beharko lukeen distantzia, baldin eta batez besteko orbitaren distantzia 108, km-koa bada? Erantzuna: Beste planeta baten orbitaren arabera badakigu T 2 = Kr 3 berdina dela planeta guztientzat. Lurraren periodoa eta batez besteko orbitaren distantzia jakinik, K-ren balioa aterako dugu. K-ren balioa atera ondoren, eta Venusen batez besteko orbitaren distantzia erabiliz, Venus planetaren periodoa aterako dugu. 10

11 Kontuan hartu erabiltzen dugun denbora-unitatearen araberako unitateekin azalduko dugula Venus-en periodoa. Beraz, honako hau da Venus planetaren periodoa: K = (365,2564 egun) 2 ( km) 3 (365,2564 egun) 2 T 2 = (108, km) 3 v ( km) 3 T = v (365,2564 egun) 2 ( km) 3 (108, km) 3 T v = 223,76 egun Logikoa da kalkulatutakoa, Venus Eguzkitik Lurra baino gertuago dago, eta, beraz, logikoa Lurrak baino periodo txikiagoa izatea, hau da, denbora gutxiago behar izatea Eguzkiari bira oso bat emateko. 3 Errotazioa eta planeten higidura Badakigu planetak izar finkoen inguruan biratzen direla eta sateliteak daudela, maiz, planeta horien inguruan biraka. Lurraren kasua adibide berezia da, Ilargia baitu inguruan biraka. 6. Galdera: Pentsatu al duzu inoiz zergatik Lurretik Ilargiaren aurpegi bera ikusten dugun beti? Ilargiak orbita bat osatzen du Lurraren inguruan hilean behin. Gainera, bere ardatzaren inguruan ere bira egiten du sateliteak, bira osoa hilero hain zuzen (27,32 egun behar ditu). Hau da, biak berdinak dira!! Horrenbestez, Ilargiak beti erakusten dio Lurrari aurpegi bera. Gogoratu Errotazioaren zinematika Irudi hauetan mugimendu zirkularraren hainbat aldagai eta horien arteko harremanak agertzen dira. Mugimendu zirkularreko partikula abiadura konstantez higitzen bada, higidura zirkular uniformea duela esaten dugu. Partikulak orbita batean higitzen den satelite bat, soka baten muturrean dagoen baloi bat edo gurpil batean erantsitako partikula bat izan daitezke. Partikulak zer ordezkatzen duen alde batera utzita, haren bektorea ibilbide zirkularrarekiko ukitzailea izango da beti. Partikularen v abiadura konstantea izango da; beraz, bektorearen luzerak konstante iraungo du partikula zirkuluan higitzen bada. Higidura mota horretan, partikula θ H hasierako posiziotik θ B bukaerako posiziora mugituko da Dt denbora-tartean. Dθ = θ H θ B aldaketari desplazamendu angeluarra deritzo. 11

12 y y v r θ x r a x 1.6 irudia. Higidura zirkularra gogoratzen. Partikularen abiadura angeluarra, ondorioz, era honetara definituko dugu bere modulua. desplazamendu angeluarra w = = denbora-tartea Dθ Dt Abiadura angeluarraren nazioarteko unitateak rad/s dira. Gogoratu abiadura lineala abiadura angeluarraren zuzenki proportzionala dela: V = wr v y t f = t i + Dt x v w Dθ t i θ f r v θ f x 1.7 irudia. Partikula baten higidura zirkularra. 1.8 irudia. Partikula baten higidura 0i eta 0f artean. Abiadura angeluarrak denborarekiko duen aldakuntza azelerazio angeluarra da, eta bere modulua honela adierazten da: dw d 2 θ a = = dt d t 2 Azelerazio lineala ere azelerazio angeluarraren zuzenki proportzionala izango da: a = R 12

13 1.2 adibidea. Lurraren eta Ilargiaren abiadura angeluarrak Lurrak 24 ordu behar ditu bere ardatzaren inguruan bira bat emateko eta Ilargiak 29 egun gutxi gorabehera Lurrari bira oso bat emateko. Zein da Lurraren abiadura angeluarra? Eta Ilargiaren abiadura angeluarra Lurraren biraketa-ardatzarekiko? Erantzuna: Lurrak bere ardatzaren inguruan bira oso bat emateko 24 ordu behar ditu, segundotan T Lurra = 8, s. Ilargiak Lurrari bira oso bat emateko gutxi gorabehera 29 egun behar ditu, segundotan T Ilargia = 2, s. Bira oso batean 2π radian daude, beraz 2π zati bira bat emateko behar den denbora, periodoa, abiadura angeluarra modulua izango da w. Lurraren abiadura angeluarra: 2π 2π w Lurra = = = 3, , s -5 rad/s T Lurra Ilargiaren abiadura angeluarraren modulua: 2π 2π w Ilargia = = = 2, , s -6 rad/s T Ilargia Lurretik Ilargiari begiratzen diogunean eta zeruan mugitzen ari dela ikusten dugunean, bi mugimendu horien gainezarpena da benetan ikusten ari garena. Momentu angeluarra y Newton-en lehenengo legeak dioenez, isolatutako partikula baten momentua kontserbatu egiten da; lerrozuzenean higitzen den partikula batek aurrera jarraitzen duela esan nahi du horrek, higidura hori aldaraziko duen kanpoko eragilerik ez baldin badago behintzat. 7. Galdera: Zer gertatuko da higidura zirkularrean, baldin eta isolatutako partikula bat baldin badugu? Higidura zirkularrari erreparatzen badiogu, horretan p momentua ez dela kontserbatzen arrazoitu dezakegu. Momentua bektore bat da, eta higidura zirkularrean dagoen partikula baten momentua aldatu egiten da norabidea aldatzen denean. Adibidez, bizikleta baten gurpilak biraka jarraituko luke marruskadurarik ez balego. Higidura zirkularraren ideia hori adierazten duen balioa momentu angeluarra da. 1.9 irudian O jatorriarekiko r posizioan dagoen eta v abiaduraz higitzen den m masako partikula agertzen da. Partikularen momentu lineala p = m v da. Partikularen O jatorriarekiko L momentu angeluarra r eta v -ren arteko biderkadura bektorial gisa definitzen da. L = r x p r O L = r x p p = m v ø m 1.9 irudia. Momentu angeluarraren irudikapen grafikoa. x 13

14 1.9 irudian ikus daitekeen moduan, r eta p xy planoan badaude, orduan L z planoarekiko paraleloa izango da, eta era honetara adieraziko dugu: L = r x p = m v r sin φ k Kontuan hartu behar dugu momentu angeluarra espazioaren puntu batekiko definitzen dela. ^ Tresna matematikoak Biderkadura bektoriala Bi bektoreren (demagun A eta B) arteko biderkadura bektore gisa adierazten da C = A x B. Azken horren modulua A eta B bektoreek sortzen duten paralelogramoaren azaleraren berdina izango da (1.10 irudia), eta norabidea A eta B bektoreek osatzen duten planoarekiko perpendikularra. C bektorearen noranzkoa kalkulatzeko, eskuineko eskuaren legea erabiliko ^ dugu (1.11 irudia): A-k B-rekiko bira egiten du bien arteko angelu txikiena eginez. Bi bektoreen arteko angelua bada eta n haiekiko perpendikularra eta C-ren noranzkoa duen bektore unitarioa bada, A eta B-ren arteko biderkadura bektoriala honako hau izango da: C = A x B C = A x B B B A Ø A 1.10 irudia. A eta B bektoreen biderketa C bektorea da irudia. Norabidea eskuin eskuaren arauak ematen du. A x B = AB sin φ n A eta B paraleloak baldin badira, A x B nulua izango da. Biderkadura bektorialaren definiziotik honako hau ondoriozta daiteke A x A = 0 eta A x B = -B x A Biderkaduran garrantzi handikoa da bektoreen ordena. Bi bektoreen arteko biderkaduraren ezaugarri garrantzitsuenak honako hauek dira: y 1. Biderkadura bektorialak batuketaren banatze-legea betetzen du: A x (B + C) = (A x B) + (A x C) 2. A eta B t moduko aldagai baten funtzioak badira, A B-ren deribatua biderkaduren deribatuen lege normaletik lortzen da. j 3. i, j eta k bektore unitarioek (1.12 irudia), perpendikularrak izanik beren artean, honako hau betetzen dute: i x i x j = k, j x k = i, k x i = j Gainera k i x i = j x j = k x k = 0 ^ y 1.12 irudia. Bektore unitarioak. 14

15 Momentu angeluarraren kontserbazioa Sistema baten gainean eragiten duen kanpo-momentu erresultantea nulua bada, d L sist = 0 dt Hau da, L sist = konstantea Ekuazio hori momentu angeluarraren kontserbazio-printzipioaren enuntziatua da. Sistema bati eragiten dion kanpo-momentu erresultantea nulua bada, sistemaren momentu angeluar totala konstantea izango da. Printzipio hori momentu linealaren kontserbazio-printzipioaren baliokidea da. Sistema bat bere ingurutik isolaturik badago eta, ondorioz, kanpoko indar edo momentuek sisteman eragiten ez badute, hiru magnitude hauei eutsiko zaie: energia, momentu lineala eta momentu angeluarra. Momentu angeluarraren kontserbazio-printzipioa naturaren oinarrizko legea da. Eskala mikroskopikoan, Fisika atomiko eta nuklearrean, mekanika newtondarra betetzen ez bada ere, sistema isolatu baten momentu angeluarra konstante mantenduko da denboran zehar. Indar zentral oro da aipatutakoaren adibide garbia. Kasu horretan, posizio bektorea eta abiadura bektorea perpendikularrak izango dira: r v 1.3 adibidea Jone, institutu bateko ikaslea, 2 metroko erradioa duen zaldiko-maldiko baten ertzean dabil biraka, jolasean. Jonek 60 Kg-ko pisua du. Une jakin batean, pauso bat eman du biraketa-ardatzerantz, eta zentrotik metro batera gelditu da. Momentu angeluarraren kontserbazioa dela-eta handitu egin du abiadura angeluarra. Hasieran abiadura angeluarra w h = 0,2 rad/s-koa zela kontuan hartuta, kalkulatu zenbatekoa izango den abiadura hori bukaeran. R Erantzuna: Kalkulua egiteko, Joneren momentu angeluarra baino ez dugu kontuan edukiko; hori ez da oso hurbilpen ona, baina baliagarria izango da estimazio bat egiteko. Lehenengo, Joneren hasierako momentu angeluarra hasierako abiadura angeluarrarekiko kalkulatuko dugu w 0. Horretarako, momentu angeluarraren ekuazioan abiadura angeluarra eta abiadura lineala mugimendu zirkularrean erlazionatzen duen ekuazioa ordezkatuko dugu: L h = r h x p h = r h m v h sin φ = r h m (r h w h ) = m r h2 w h Amaierako momentu angeluarrarentzat ekuazio berdina du, baina amaierako erradioarekin eta abiadura angeluarrarekin: L b = r b x p b = r b mv b sin φ = r b m (r b w b ) = m r 2 b w b Sistema horretan momentu angeluarra kontserbatzen denez, berdinak izango dira hasierakoa eta bukaerakoa: m L h = L b fi m r h2 w h = m r b2 w b fiw b = w 1 = = 0,2 rad/s = 0,8 rad/s 1 m ( ) r h r b ( ) 15

16 4 Kepler-en bigarren legea eta momentu angeluarra r v dt Planeta m Kepler-ek frogatu zuenez, objektu bat (planeta edo kometa bat, adibidez) 1/r 2 -ren mendekoa den indar baten eraginez zentro baten inguruan mugitzen denean (Eguzkia, esaterako), objektuaren ibilbidea sekzio koniko (elipse, parabola edo hiperbola) bat dela. Eguzkia 8. Galdera: Noiz izango dira orbitak itxiak? (a) v a Afelio r a (b) Eguzkia r p Peritelio v p Eguzkitik gertu behin baino igarotzen ez diren objektuek sortzen dituzte ibilbide paraboliko edo hiperbolikoak. Orbita horiek ez dira itxiak. Elipseak dira gisako indar-eremua duten orbita itxi bakarrak. Eguzkiak planeta baten gainean eragiten duen indarra Eguzkiaren noranzkoan dagoela da Kepler-en bigarren legearen arrazoia. Indar zentrala da hori. Eguzkiaren inguruan orbita eliptikoan higitzen den planeta bat ikus daiteke irudian (1.13 irudia). Planetak distantzia bat egiten du denbora-tartean, eta irudian adierazitako azalera hartzen du erradio bektoreak irudia. Eguzkiaren inguruan orbita eliptikoan mugitzen den planeta bat. 9. Galdera: Nola kalkulatu daiteke azalera? r eta v dt bektoreek sortzen duten paralelogramoaren azaleraren erdia izango da azalera, hau da: r x vdt. Ondorioz, honako hau da dt denbora-tartean r erradio bektoreak ekortutako da azalera 1 1 da = r x vdt = r x mv dt 2 2m hau da, da dt L = 2m non L = r x mv planetak Eguzkiarekiko duen momentu angeluarraren modulua den. Denbora-tarte jakin batean ekortutako azalera, dt, L momentu angeluarrarekiko proportzionala izango da ondorioz. 10. Galdera: Zenbateko balioa du Eguzkiarekiko momentu angeluarrak? Eguzkiarekiko momentua nulua izango da, planetan eragiten duen indarra planeta eta Eguzkia lotzen dituen lerroan zuzendurik dagoelako. Ondorioz, planetaren momentu angeluarra kontserbatu egingo da, hau da, L konstantea da eta denbora-tarte jakin batean ekortutako azalera berdina izango da orbitaren zati guztietan (Kepler-en bigarren legea). Era horretara, L konstantea delako, gauza jakina da rv sin φ ere konstantea izango dela. Bai perihelioan bai afelioan φ = 90º, eta beraz r a v a = r p v p 16

17 1.4 adibidea Badakigu Lurrak orbita eliptiko bat osatzen duela Eguzkiaren inguruan bira egitean. Punturik gertuenean km-ra badago eta punturik urrunenean km-ra, zenbatekoa izango da bi puntu horien arteko abiaduren erlazioa? Erantzuna: 1. Badakigu, Kepler-en bigarren legeak dioen moduan, momentu angeluarra kontserbatu egiten dela. L = m 1 v 1 r 1 = m 2 v 2 r 2 2. Jakinda zer distantziatara dagoen Lurra Eguzkitik hurbilen pasatzen den puntua eta urrunen pasatzen den puntua, eta masa berdina dela kontuan hartuz, datuak txertatzea baino ez zaigu falta. 3. v 2 /v 1 = r 1 /r 2 = 147.5/152.6 = 0,967, hau da, Lurraren abiadura punturik hurbilenean baino %3.3 aldiz azkarragoa da punturik urrunean. 5 Newton-en Grabitazio Unibertsalaren Legea 11. Galdera: Zer ote dute komunean pilota baten erorketak eta Ilargiaren higidurak? r m 2 F 1,2 Newton-en grabitazio unibertsalaren legeak berdin eragiten diela bi gorputz horiei. Denok entzun izan dugu inoiz Newton-ek sagar bat erortzen ikusi zuenean pentsatu zuela lehen aldiz grabitatean. Istorio hori ez dago errealitatetik oso urrun. Sagarra erakarpenaren ondorioz erortzen bazen, zergatik ez luke Ilargiak erakarpen hori jasan behar? Lurrak Ilargiarengan (eta Eguzkiak planetengan) eragindako erakarpen-indarra, Lurrak sagarrarengan eragindakoaren berdina dela ondorioztatu zuen Newton-ek. Hitz gutxitan esanda, unibertsoko objektu guztien arteko erakarpen-indarra da grabitazioa! Gaur egun esaldi hori deigarria egiten ez zaigun arren, Newton-en aurretik inork ez zuen sekula pentsatu Lurreko objektuen eta unibertsokoen artean inolako loturarik egon zitekeenik. Newton-ek grabitatearen indarra distantziarekin txikituz doala ere ondorioztatu zuen. Grabitatearen inguruko bi ideia horiek unibertsala dela eta distantziarekin txikitu egiten dela dira Newton-en grabitatearen legearen oinarria. Newton-ek unibertsoko objektu guztiek beste edozein objektu erakartzen dutela proposatu zuen. Erakarpen-indar horrek ezaugarri hauek betetzen ditu: Indarra objektuen arteko distantziaren karratuaren alderantziz proportzionala da. Indarra bi objektuen masen biderkaduraren zuzenki proportzionala da irudiak r distantziara bereizitako m 1 eta m 2 masa esferikoak irudikatzen ditu. Masa bakoitzak erakarpen-indar bat eragiten du bestearengan, indar grabitazionala hain zuzen. Bi indar horiek, akzio/erreakzio bikotea eratzen dute, beraz; F 1,2 eta F 2,1 indarrek m 1 F 2, irudia. Grabitate-indarrak masen artean. r(ua) r(m) F(N) 0.5 UA 7, , UA 1, , UA 3, , UA 4, , UA 6, , UA 7, , taula. Grabitate-indarra Lurraren antzeko planetentzat, hainbat distantziatara. 17

18 m lurrarekiko (ml) masa (kg) F(N) ml*0.5 2, , ml 5, , ml*2 1, , ml*3 1, , ml*4 2, , ml*5 2, , taula. Grabitate-indarra Lurraren antzeko planetentzat distantzia berean baina masa gehiagorekin. balio bera baina kontrako noranzkoak izango dituzte. Indarren balioa Newton-en grabitazio unibertsalaren legeak emango digu. Newton-en grabitazio unibertsalaren legea. m 1 eta m 2 masako bi objektu r distantziara badaude, objektuek erakarpen-indar bat eragiten dute batak bestearengan: m F 1,2 = 1 m F 2 2,1 = G r 2 Indarren norabidea bi objektuak batzen dituen zuzenaren norabide bera da. G grabitazio-konstantea da. Honako balio hau du nazioarteko unitate-sisteman: G = 6, N m 2 / kg 2 Objektuen arteko r distantzia handitu ahala txikitzen da haien arteko grabitazio-indarra. Haien arteko distantzia biderkatuz gero, indarra lau aldiz txikiagoa izango da. Ekuazio matematiko horrek duen garrantzia ikusita, garrantzizkoa iruditzen zaigu sakonago aztertzea. Tresna matematikoak Karratuaren alderantzizko erlazioa Bi balioak karratuaren alderantzizko erlazioa izango dute, baldin eta y-ren balioa x- ren karratuaren alderantziz proportzionala bada. Honela adierazten dugu erlazio matematikoa: A y = x 2 y y = A x 2 x bikoiztuz gero, y 4 aldiz txikituko da, grafikoan ikus daitekeen moduan. X 3 aldiz txikiagoa eginez gero, y 9 aldiz handituko da. x hirukoiztuz gero, y 9 aldiz txikituko da. Orokorrean: x C aldiz txikitzean y C 2 aldiz handituko da (1.15 irudia). 1 4 A A irudia. Karratuen alderantzizko erlazio matematikoa. x Indar grabitatorio bat dago unibertsoko objektu guztien artean, baina tamaina arrunteko bi objekturen arteko erakarpen grabitatorioa oso txikia da, eta, ondorioz, ez da nabaria izango. Bi objektuetako bat (edo biak) bereziki handia denean baino ez da handia izango grabitazio-indarra. Lurrak zugan egiten duen indarra zure pisua handia da, Lurraren masa oso handia delako. Baina erakarpena bi norabidetan gertatzen da; Newton-en hirugarren legeak dioen moduan, Lurrarengan eragiten duzun indarra zure pisuaren berdina da. Dena dela, Lurraren masa handia dela-eta, arbuiagarria da indar hori. Esan bezala, Lurraren eta zure gorputzaren arteko erakarpen-indarra da zure pisuaren erantzule. Beste planeta batera bidaiatuko bazenu, zure masa berdina izango litzateke baina zure pisua aldatu egingo litzateke. 18

19 1.5 adibidea. Bi pertsonen arteko erakarpen grabitatorioa Fisikako zure gelan eserita zaude, zure ikaskide batetik 0.6 metrora. Estimatu zuen arteko erakarpen grabitatorioaren indarra, 65 kg-ko masa duzuela pentsatuta. Erantzuna: Masa guztia puntu batean baldin badago, hori ez da oso hurbilpen ona, baina baliagarria izango da estimazio bat lortzeko. 0,6 m izango da bi puntu horien arteko distantzia ekuazioa erabiliko dugu. Datuak ordezkatuz: Gm zu m beste ikaslea (6,67 10 F (zu) (beste ikaslea) = = -11 N m 2 / kg 2 ) (65 kg) (65 kg) = 7,8 10 r ( 2-7 N (0,60 m) ) 2 Indar hori oso txika da. Gutxi gorabehera ile baten pisua. 1.6 adibidea. Grabitazio-indarraren aldaketa Bi bola handiren arteko erakarpen-indar grabitatorioa N-koa da 20 metrora daudenean, beraien zentroetatik neurtuta. Zenbatekoa da beraien zentroen arteko distantzia erakarpen grabitatorioa N-koa denean? Erantzuna: Problema hori bi bolen masa jakin gabe ebatz dezakegu. Horretarako, indarren eta distantzien arteko zatidura hartu behar dugu kontuan. Indar grabitatorioak distantziaren karratuaren alderantzizko proportzionaltasuna du. Indarra (0,160N) / (0,010N) = 16 aldiz handiagoa egiten da. Beraz, distantzia 16 = 4 aldiz txikiagoa egin behar da. Distantzia berria orduan 20 m / 4 = 5,0 m. 6 Kepler-en hirugarren legea eta grabitazio unibertsalaren legea Orbita zirkularren kasuan, Newton-en grabitazio unibertsalaren legeak Kepler-en hirugarren legea dakar. Hori frogatzeko, demagun Eguzkiaren inguruan r erradiodun orbita zirkularrean v abiaduraz higitzen den planeta bat dugula. Eguzkiaren eta planetaren arteko erakarpen-indar grabitatorioak v 2 /r baliodun azelerazio zentripetua eragiten du. Newton-en bigarren legearen arabera, F = M p a norabide berdinean daudenez moduluak jarriko ditugu: G M e M p v = M 2 r 2 p r non M e Eguzkiaren masa eta M p planetaren masa diren. v 2 bakantzen badugu, honako hau dugu: GM v 2 = e r 19

20 Planetak 2π distantzia T denboran egiten duenez, haren abiadura periodoarekin erlazionaturik egongo da: 2πr v= T Aurreko ekuazioan lortutakoa ordezkatuz, honako hau lortzen da: Hau da; v 2 = 4π 2 r 2 T 2 Eguzkiaren M e masa planetaren masarekin ordezkatzen badugu, edozein planetaren sateliteen orbitentzat ere baliagarria da ekuazio hau. = G 4π 2 T 2 = r GM 3 e M e r 1.7 adibidea. Satelite geoestazionario bat kokatzen Komunikazio-sateliteak Lurreko puntu berdinaren gainean daude beti. Era horretako sateliteei geoestazionarioak esaten zaie. Zenbatekoa izan behar du bere orbitaren erradioak beti Lurreko puntu beraren gainean egon ahal izateko? Erantzuna: Satelitea beti Lurreko puntu berdinaren gainean egoteko, bere periodoak Lurraren periodoaren berdina izan behar du, hau da, 24 ordukoa. Segundotan T = 8, s. Satelitearen orbitaren erradioa 1.19 ekuazioaren bitartez kalkula dezakegu: GM e T 2 3 (6,67 10 ( 4π ) -11 N m 2 / Kg 2 ) (5, Kg) (8, s) 2 3 r= = ( 2 4π ) = 4, m 2 Hori oso orbita handia da, Lurraren erradioaren halako 7! irudia. ZTG adibidea. NOAA-19 satelite geoestazionarioak jasotako bi datu multzo erabilita, landaretzak duen garapena aztertzen du irudiak. Satelite geoestazionarioak oso erabiliak dira eguraldia aztertzeko, eta baita telekomunikazioetan ere. Altuerak determinatzen du bere funtzioa, eta EEUU gobernuak ematen ditu baimenak.

21 7 Grabitatea beste planeta batzuetan Astronautak Ilargira iritsi zirenean, oinez eta jauziak emanez ibili ziren satelitearen gainean, haien jantziek 80 kg-ko masa baino handiagoa izan arren. Objektuek Ilargian gutxiago pisatzen dutela gogorarazi zigun horrek. Baina zergatik gertatzen ote da hori? 1.16 irudiak Ilargian m masadun harri baten pisua neurtzen ari den astronauta bat erakusten digu. Lurraren gainean objektu batek duen pisua kalkulatzen dugunean w = mg formula erabiltzen dugu. Kalkulu bera egin dezakegu Ilargian dagoen masa batekin, irudietan ikusten den bezala g -k Ilargian duen balioa erabiltzen baldin badugu, noski. Norabide bakarra dagoenez moduluak landuko ditugu: F = mg m M ilargia R ilargia w = mg Ilargia Objektuen erorketari buruz Ilargian egindako esperimentuetan, g Ilargia -k 1,62 m/s 2 balioa duela lortu da. Dena dela, harriaren pisua Ilargiaren grabitazio-erakarpenaren eraginez sortzen dela kontuan hartzen badugu eta R Ilargia Ilargiaren erradioa dela, beste ekuazio hau ere erabil dezakegu: GM Ilargia m F Ilargiak masan = R 2 Ilargia M ilargia GM ilargia m R 2 ilargia m Azken bi ekuazio horiek indar berdina adierazten dute, eta, ondorioz, biak berdindu ditzakegu honako hau aurkitzeko: R ilargia g Ilargia = GM Ilargia R 2 Ilargia 1.16 irudia. Astronauta bat masa neurtzen Ilargian. Kalkulua Ilargian dagoen objektu batentzat egin dugun arren, emaitza guztiz orokorra izango da. Planeta edo izar baten azalean, era honetara kalkula daiteke erorketa askeko g azelerazioa, grabitateak eragiten duena: GM g planeta planeta = R 2 planeta Ilargiaren kasu zehatzerako lortu dugun g ilargia = 1,62 m/s 2 baliora itzulita, objektu batek Ilargian Lurrean baino gutxiago pisatuko duela ondoriozta dezakegu. Ilargiko grabitate txikia dela-eta oso erraza da bertan oinez ibiltzea, baina urrats geldoez. Aurreko ekuazioak planeta baten azaleko g-ren balioa ematen digu. Era orokorragoan, demagun objektu bat dugula planetaren zentrotik r > R distantziara. Distantzia horretan objektuak izango duen erorketa askeko azelerazioa honako hau izango da: GM g= r 2 21

22 Emaitza orokorrago horrek aurreko ekuazioarekin bat egiten du r = R denean, baina r > R distantziara egon daitezkeen erorketa askeko azelerazioak zehazteko aukera ematen digu. Azken ekuazioak Newton-en ideia adierazten du: g-k txikitu beharko luke azaletik urruntzen garen heinean. Hegazkinean 10 km-ko altueran joanez gero, erorketa askeko azelerazioa Lurrekoa baino % 0,3 txikiagoa da. Transbordadore espazial bat aurki daitekeen altueran, hau da, gutxi gorabehera 300 km-ko altueran, ekuaziori jarraituz g = 8,9 m/s 2 -ko azelerazioa izango dugu; Lurraren azaleko erorketa askeko azelerazioa baino % 10 txikiagoa da ia-ia. Balio hori satelitearen orbitaren periodoa kalkulatzeko erabiltzen badugu, 90 minutuko periodoa duela lortuko dugu. g-ren balio horrek, lurrazalean lortzen dena baino zertxobait txikiagoa denak, adierazten du orbitan dagoen objektua ez dela grabitaterik gabea ; grabitatea egon badago espazioan, baina objektua (satelitea, esaterako) erorketa askean dago. 1.8 adibidea. Grabitatea Saturnon Saturno planetak Lurrak baino 100 aldiz masa handiagoa du, 5, kg. Erradioa ere Lurraren erradioa baino askoz ere handiagoa da 5, m. Zein da g-ren balioa Saturnoren azalean? Erantzuna: Ondorengo ekuazioaren bitartez, g Saturno kalkula daiteke: GM Saturno ( ) g = R = (6, N m 2 / Kg 2 ) (5, Kg) 2 Saturno (5, m) = 11,1 m/s2 Saturno 2 Saturnok Lurra baino askoz masa handiagoa du, baina erradioa ere askoz handiagoa denez, Saturnoren grabitatea Lurrarenaren nahiko antzekoa da. 22

23 Ariketak 1. NASAko zientzialariek Eguzkiaren inguruan orbita oso eliptikoa duen kometa berri bat aurkitu dute, eta kometaren periodoa 127,4 urtekoa da. Eguzkitik dagoen distantziarik hurbilena 0,1 UA dela jakinik, zein izan daiteke kometa Eguzkitik urrunen egon daitekeen distantzia? 2. Zein izango da Uranoren periodoa Eguzkiaren inguruan 2, m orbitan mugitzen bada, baldin eta Lurraren periodoa urtebetekoa bada eta Lurraren orbita 1, m-koa? 3. Duela gutxi asteroide berri bat aurkitu dute Europar Agentzia Espazialekoek, eta Hector izena jarri diote. Asteroide hori 5,16 UA erradioa duen orbita ia zirkularrean higitzen da Eguzkiaren inguruan, zein izango da, bada, orbita bat egiteko behar duen denbora? 4. Ilargiaren orbita Lurraren inguruan 27,3 egunekoa da. Bere orbitaren apogeoan km-ko distantzian badago eta perigeoan km-ko distantzian, zer abiadura izango du Ilargiak puntu bakoitzean? 5. Europa, bizi garen kontinentea izendatzeko erabiltzeaz gainera, Jupiterren inguruan dabilen satelite bat da. Bere orbitaren batez besteko distantzia 6, m dela eta bira bakoitza emateko 3,55 egun behar dituela jakinda, kalkulatu al dezakegu Jupiterren pisua? Zein da? 6. Askotan entzun da astronautak espazioan daudenean grabitateak ez duela eraginik haiengan. Esaera horiek gezurra ala egia dira? Kalkulatu zer indar eragingo dien Lurrak lurrazaletik 400 km-ra dagoen espazio-ontziko astronautei. Orduan, zergatik izango dute sentipen hori? 7. Lurraren periodoa (1 urte) eta Eguzkiaren inguruan egiten duen orbitaren batez besteko distantzia (1, m) eta G-ren balioa jakinda, esan zein den Eguzkiaren masa. 8. Urrutiko galaxia bateko M-545 planeta momentu angeluar konstantez mugitzen da S-24 izar handiaren inguruan. Planeta periheliotik pasatzean, Eguzkitik 1, m-ra, m/s-ko abiadura darama. Zein izango da planeta horren abiadura afelioan, baldin eta 2, m distantziara badago S-24 Eguzkitik? 23

24 Ariketak 9. Estazio Espazial Internazionalak (ISS) kg masa du eta Lurraren inguruan orbita zirkularra deskribatzen du, lurrazaletik bataz besteko 360 km-ko altueran. Goi-atmosferarekin duen marruskadura dela-eta, altuera galtzen du etengabe; eta, ondorioz, zuzenketak egin behar zaizkio aldiro. Demagun arrazoi horregatik estazioa 340 km-ko altuerara jaitsi dela, kalkulatu: a) Abiadura orbitalak 340 km eta 360 km altueran dagoela. b) Beharrezko energia estazioa orbitarik altuenera eramateko. c) Zein da periodoak jasango duen aldaketa orbita bakoitza kontuan izanda? Datuak G = 6, N m 2 kg -2 ; M Lurra = 5, kg; R L = 6, m. 10. Martek Eguzkiaren inguruan deskribatzen duen orbitaren batez besteko distantzia Lurrak deskribatzen duena baino 1,52 aldiz handiagoa da. Orbita zirkularrak direla dioen hurbilpena ontzat hartuta, kalkulatu Marten urte batek zenbat iraungo lukeen. Kalkulatu Marteren eta Lurraren momentu angeluarren koefizienteak Eguzkiaren erdigunearekiko. Datuak G = 6, N m 2 kg -2 ; M Lurra = 5, kg; M Lurra = 6, kg; Lurrean urtea 365 egun 11. Europako Agentzia Espazialak lan bat eskaini dizu. Martera satelite geo estazionarioak (puntu baten gainean geldirik daudenak) bidali nahi ditu. a) Zer ezaugarri izan behar du satelitearen orbitak? b) Marteren azaletik zer distantziara egongo dira? Datuak G = 6, N m 2 kg -2 ; M Marte = 6, kg; Errotazio-denbora = 24 h 37 min 23 s; Marteren erradioa = km. 12. Lurraren inguruan orbita zirkular bat duen 500 kg-ko masako satelite artifizial batek 48 ordu behar ditu Lurraren inguruan bira bat emateko. Kalkulatu: a) Lurrazaletik zer altuerara dago? b) Zein da satelitearen azelerazioa orbita horretan? c) Zein izango da satelite horren periodoa Lurrazaletik Lurraren erradioaren distantzia bikoitzera jartzen baditugu? Datuak G = 6, N m 2 kg -2 ; M Lurra = 5, kg; R Lurra = km 24

25 13. Eguzkiaren erdialdetik azalera dagoen distantzia: a) Zein izango da Eguzkiaren azalean egongo den azelerazioa? b) Zein izango da, gutxi gorabehera, Eguzkiak eta Lurrak Ilargiaren gainean egingo duten indarren koefizientea. Aukeratu erantzun bat eta arrazoitu erantzuna. a b. 2 c d Datuak G = 6, N m 2 kg -2 ; M Lurra = kg; M Ilargia = kg; M Eguzkia = kg; R Eguzkia-lurra = 1, km; R Lurra-ilargia = km 14. M = kg masa duen planeta batek bera baino 16 aldiz masa txikiagoa eta km erradioa duen orbita zirkularra egiten duen satelite bat du. a) Kalkulatu satelitearen abiadura orbitala. b) Kalkulatu planetaren erdigunea eta satelitearen erdigunea lotzen duen segmentuaren zer puntutan izango den grabitatearen azelerazioa nulua. c) Puntu horretan espazio-ontzi bat jartzen badugu eta perturbazio baten ondorioz planetarantz erorketa librean hasten bada, zein izango da planetaren azalean izango duen abiadura? Datuak G = 6, N m 2 kg -2 ; planetaren erradioa: km 25

EREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA

EREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA AIXERROTA BHI EREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA 2012 uztaila P1. Urtebete behar du Lurrak Eguzkiaren inguruko bira oso bat emateko, eta 149 milioi km ditu orbita horren batez besteko erradioak.

Διαβάστε περισσότερα

Fisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2

Fisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2 Fisika BATXILEGOA Irakaslearen gidaliburua Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena,

Διαβάστε περισσότερα

DERIBAZIO-ERREGELAK 1.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. ( ) ( )

DERIBAZIO-ERREGELAK 1.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. ( ) ( ) DERIBAZIO-ERREGELAK.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. Izan bitez D multzo irekian definituriko f funtzio erreala eta puntuan deribagarria dela esaten da baldin f ( f ( D puntua. f zatidurak

Διαβάστε περισσότερα

Solido zurruna 2: dinamika eta estatika

Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Gaien Aurkibidea 1 Solido zurrunaren dinamikaren ekuazioak 1 1.1 Masa-zentroarekiko ekuazioak.................... 3 2 Solido zurrunaren biraketaren dinamika 4 2.1

Διαβάστε περισσότερα

Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra

Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra Gaien Aurkibidea 1 Definizioa 1 2 Solido zurrunaren zinematika: translazioa eta biraketa 3 2.1 Translazio hutsa...........................

Διαβάστε περισσότερα

Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa

Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa Gaien Aurkibidea 1 Higidura zirkularra 1 1.1 Azelerazioaren osagai intrintsekoak higidura zirkularrean..... 3 1.2 Kasu partikularrak..........................

Διαβάστε περισσότερα

1. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Aurrekoak

1. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Aurrekoak 1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 12 Laburpena 1 Uhin-Partikula Dualtasuna 2 Trantsizio Atomikoak eta Espektroskopia Hidrogeno Atomoaren Espektroa Bohr-en Eredua 3 Argia: Partikula (Newton)

Διαβάστε περισσότερα

= 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua.

= 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua. 1 ARIKETA Kalkulatu α : 4x+ 3y+ 10z = 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua. Aurki ezazu α planoak eta PH-k osatzen duten angelua. A'' A' 27 A''1 Ariketa hau plano-aldaketa baten bidez ebatzi

Διαβάστε περισσότερα

7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA. x i n i N i f i

7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA. x i n i N i f i 7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA 1. Osatu ondorengo maiztasun-taula: x i N i f i 1 4 0.08 2 4 3 16 0.16 4 7 0.14 5 5 28 6 38 7 7 45 0.14 8 2. Ondorengo banaketaren batezbesteko aritmetikoa 11.5 dela

Διαβάστε περισσότερα

1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra.

1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. 1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. 2. Higidura harmoniko sinplearen ekuazioa. Grafikoak. 3. Abiadura eta azelerazioa hhs-an. Grafikoak. 4. Malguki baten oszilazioa. Osziladore

Διαβάστε περισσότερα

ANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna

ANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna Metika espazioan ANGELUAK 1. Bi zuzenen ateko angeluak. Paalelotasuna eta pependikulatasuna eta s bi zuzenek eatzen duten angelua, beaiek mugatzen duten planoan osatzen duten angeluik txikiena da. A(x

Διαβάστε περισσότερα

FISIKA ETA KIMIKA 4 DBH Higidurak

FISIKA ETA KIMIKA 4 DBH Higidurak 1 HASTEKO ESKEMA INTERNET Edukien eskema Erreferentzia-sistemak Posizioa Ibibidea eta lekualdaketa Higidura motak Abiadura Abiadura eta segurtasun tartea Batez besteko abiadura eta aldiuneko abiadura Higidura

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 1. (2015/2016) 20 cm-ko tarteak bereizten ditu bi karga puntual q 1 eta q 2. Bi kargek sortzen duten eremu elektrikoa q 1 kargatik 5 cm-ra dagoen A puntuan deuseztatu

Διαβάστε περισσότερα

9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomiko

9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomiko 9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomikoak 1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 21 Laburpena 1 Espektroskopiaren Oinarriak 2 Hidrogeno Atomoa Espektroskopia Esperimentua

Διαβάστε περισσότερα

Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala

Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala eta limitearen teorema zentrala Josemari Sarasola Estatistika enpresara aplikatua Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 1 / 13 Estatistikan gehien erabiltzen den banakuntza

Διαβάστε περισσότερα

Aldagai Anitzeko Funtzioak

Aldagai Anitzeko Funtzioak Aldagai Anitzeko Funtzioak Bi aldagaiko funtzioak Funtzio hauen balioak bi aldagai independenteen menpekoak dira: 1. Adibidea: x eta y aldeetako laukizuzenaren azalera, S, honela kalkulatzen da: S = x

Διαβάστε περισσότερα

5. GAIA Solido zurruna

5. GAIA Solido zurruna 5. GAIA Solido zurruna 5.1 IRUDIA Giroskopioaren prezesioa. 161 162 5 Solido zurruna Solido zurruna partikula-sistema errazenetakoa dugu. Definizioak (hau da, puntuen arteko distantziak konstanteak izateak)

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA TEORIA 1. (2012/2013) Argiaren errefrakzioa. Guztizko islapena. Zuntz optikoak. Azaldu errefrakzioaren fenomenoa, eta bere legeak eman. Guztizko islapen a azaldu eta definitu

Διαβάστε περισσότερα

Zirkunferentzia eta zirkulua

Zirkunferentzia eta zirkulua 10 Zirkunferentzia eta zirkulua Helburuak Hamabostaldi honetan, hau ikasiko duzu: Zirkunferentzian eta zirkuluan agertzen diren elementuak identifikatzen. Puntu, zuzen eta zirkunferentzien posizio erlatiboak

Διαβάστε περισσότερα

2. GAIA Higidura erlatiboa

2. GAIA Higidura erlatiboa 2. GAIA Higidura erlatiboa 2.1 IRUDIA Foucault-en pendulua Pariseko Panteoian 1851n eta 2003an. 53 54 2 Higidura erlatiboa Bi erreferentzia-sistema inertzialen arteko erlazio zinematikoa 1.2.1 ataleko

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 95i 10 cm-ko aldea duen karratu baten lau erpinetako hirutan, 5 μc-eko karga bat dago. Kalkula itzazu: a) Eremuaren intentsitatea laugarren erpinean. 8,63.10

Διαβάστε περισσότερα

DBH3 MATEMATIKA ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1. Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA

DBH3 MATEMATIKA ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1. Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1 ALJEBRA EKUAZIOAK ETA EKUAZIO SISTEMAK. EBAZPENAK 1. Ebazpena: ( ) ( x + 1) ( )( ) x x 1 x+ 1 x 1 + 6 x + x+ 1 x x x 1+ 6 6x 6x x x 1 x + 1 6x x

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK

Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK SINUA KOSINUA TANGENTEA ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK sin α + cos α = sin α cos α = tg α 0º, º ETA 60º-KO ANGELUEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori,

Διαβάστε περισσότερα

Poisson prozesuak eta loturiko banaketak

Poisson prozesuak eta loturiko banaketak Gizapedia Poisson banaketa Poisson banaketak epe batean (minutu batean, ordu batean, egun batean) gertaera puntualen kopuru bat (matxura kopurua, istripu kopurua, igarotzen den ibilgailu kopurua, webgune

Διαβάστε περισσότερα

0.Gaia: Fisikarako sarrera. ARIKETAK

0.Gaia: Fisikarako sarrera. ARIKETAK 1. Zein da A gorputzaren gainean egin behar dugun indarraren balioa pausagunean dagoen B-gorputza eskuinalderantz 2 m desplazatzeko 4 s-tan. Kalkula itzazu 1 eta 2 soken tentsioak. (Iturria: IES Nicolas

Διαβάστε περισσότερα

EREMU NAGNETIKOA ETA INDUKZIO ELEKTROMAGNETIKOA

EREMU NAGNETIKOA ETA INDUKZIO ELEKTROMAGNETIKOA EREMU NAGNETIKOA ETA INDUKZIO ELEKTROMAGNETIKOA Datu orokorrak: Elektroiaren masa: 9,10 10-31 Kg, Protoiaren masa: 1,67 x 10-27 Kg Elektroiaren karga e = - 1,60 x 10-19 C µ ο = 4π 10-7 T m/ampere edo 4π

Διαβάστε περισσότερα

ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK 1.- LEHEN DEFINIZIOAK Jatorri edo erpin berdina duten bi zuzenerdien artean gelditzen den plano zatiari, angelua planoan deitzen zaio. Zirkunferentziaren zentroan erpina duten

Διαβάστε περισσότερα

Hirukiak,1. Inskribatutako zirkunferentzia. Zirkunskribatutako zirkunferentzia. Aldekidea. Isoszelea. Marraztu 53mm-ko aldedun hiruki aldekidea

Hirukiak,1. Inskribatutako zirkunferentzia. Zirkunskribatutako zirkunferentzia. Aldekidea. Isoszelea. Marraztu 53mm-ko aldedun hiruki aldekidea Hirukiak, Poligonoa: elkar ebakitzen diren zuzenen bidez mugatutako planoaren zatia da. Hirukia: hiru aldeko poligonoa da. Hiruki baten zuzen bakoitza beste biren batuketa baino txiakiago da eta beste

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA Indar zentralak

4. GAIA Indar zentralak 4. GAIA Indar zentralak 4.1 IRUDIA Planeten higiduraren ezaugarri batzuen simulazio mekanikoa zientzia-museoan. 121 122 4 Indar zentralak Aarteko garrantzia izan dute fisikaren historian indar zentralek:

Διαβάστε περισσότερα

Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea.

Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea. Magnetismoa M1. MGNETISMO M1.1. Unitate magnetikoak Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M K I N Energia Mekanikoa Sorgailua Energia Elektrikoa Energia

Διαβάστε περισσότερα

1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA...

1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... Aurkibidea 1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... 1 1.1 Proiekzioa. Proiekzio motak... 3 1.2 Sistema diedrikoaren oinarriak... 5 1.3 Marrazketarako hitzarmenak. Notazioak... 10 1.4 Puntuaren, zuzenaren eta planoaren

Διαβάστε περισσότερα

Unibertsitaera sartzeko hautaprobak 1995.eko Ekaina

Unibertsitaera sartzeko hautaprobak 1995.eko Ekaina Unibertsitaera sartzeko hautaprobak 1995.eko Ekaina FISIKA Aukera itzazu probletna-niuítzo bar eta bi gaidera A MULTZOA (3p) 1.- 1.000 kg-tako suziri bat orbitaan jarri da Lurreko gaínazaletik 800 km-tara

Διαβάστε περισσότερα

Elementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa.

Elementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa. Atomoa 1 1.1. MATERIAREN EGITURA Elektrizitatea eta elektronika ulertzeko gorputzen egitura ezagutu behar da; hau da, gorputz bakun guztiak hainbat partikula txikik osatzen dituztela kontuan hartu behar

Διαβάστε περισσότερα

1 Aljebra trukakorraren oinarriak

1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1.1. Eraztunak eta gorputzak Geometria aljebraikoa ikasten hasi aurretik, hainbat egitura aljebraiko ezagutu behar ditu irakurleak: espazio bektorialak, taldeak, gorputzak,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: MATEMATIKAKO ARIKETAK. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori, datorren

Διαβάστε περισσότερα

3. Ikasgaia. MOLEKULA ORGANIKOEN GEOMETRIA: ORBITALEN HIBRIDAZIOA ISOMERIA ESPAZIALA:

3. Ikasgaia. MOLEKULA ORGANIKOEN GEOMETRIA: ORBITALEN HIBRIDAZIOA ISOMERIA ESPAZIALA: 3. Ikasgaia. MLEKULA RGAIKE GEMETRIA: RBITALE IBRIDAZIA KARB DERIBATUE ISMERIA ESPAZIALA Vant off eta LeBel-en proposamena RBITAL ATMIKE IBRIDAZIA ibridaio tetragonala ibridaio digonala Beste hibridaioak

Διαβάστε περισσότερα

PLANETENTZAKO AURKITZAILEAK

PLANETENTZAKO AURKITZAILEAK ASTRONOMIA PLANETENTZAKO AURKITZAILEAK Jesus Arregi Ortzean planetak ezagutzeko, eskuarki, bi ohar eman ohi dira. Lehenengoa, izarrekiko duten posizioa aldatu egiten dutela, nahiz eta posizio-aldaketa

Διαβάστε περισσότερα

1. INGENIARITZA INDUSTRIALA. INGENIARITZAREN OINARRI FISIKOAK 1. Partziala 2009.eko urtarrilaren 29a

1. INGENIARITZA INDUSTRIALA. INGENIARITZAREN OINARRI FISIKOAK 1. Partziala 2009.eko urtarrilaren 29a 1. Partziala 2009.eko urtarrilaren 29a ATAL TEORIKOA: Azterketaren atal honek bost puntu balio du totalean. Hiru ariketak berdin balio dute. IRAUPENA: 75 MINUTU. EZ IDATZI ARIKETA BIREN ERANTZUNAK ORRI

Διαβάστε περισσότερα

EREDU ATOMIKOAK.- ZENBAKI KUANTIKOAK.- KONFIGURAZIO ELEKTRONIKOA EREDU ATOMIKOAK

EREDU ATOMIKOAK.- ZENBAKI KUANTIKOAK.- KONFIGURAZIO ELEKTRONIKOA EREDU ATOMIKOAK EREDU ATOMIKOAK Historian zehar, atomoari buruzko eredu desberdinak sortu dira. Teknologia hobetzen duen neurrian datu gehiago lortzen ziren atomoaren izaera ezagutzeko, Beraz, beharrezkoa da aztertzea,

Διαβάστε περισσότερα

9. K a p itu lu a. Ekuazio d iferen tzial arrun tak

9. K a p itu lu a. Ekuazio d iferen tzial arrun tak 9. K a p itu lu a Ekuazio d iferen tzial arrun tak 27 28 9. K A P IT U L U A E K U A Z IO D IF E R E N T Z IA L A R R U N T A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 29 Oharra: iku rra rekin

Διαβάστε περισσότερα

3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak. Eugenio Mijangos

3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak. Eugenio Mijangos 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak Eugenio Mijangos 3. KOADERNOA: ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIOAK Eugenio Mijangos Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia

Διαβάστε περισσότερα

PROGRAMA LABURRA (gutxiengoa)

PROGRAMA LABURRA (gutxiengoa) PROGRAMA LABURRA gutiengoa Batilergo Zientiiko-Teknikoa MATEMATIKA I Ignacio Zuloaga BHI Eibar IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila Ekuaio esponentialak Ariketa ebatiak:

Διαβάστε περισσότερα

9.28 IRUDIA Espektro ikusgaiaren koloreak bilduz argi zuria berreskuratzen da.

9.28 IRUDIA Espektro ikusgaiaren koloreak bilduz argi zuria berreskuratzen da. 9.12 Uhin elektromagnetiko lauak 359 Izpi ultramoreak Gasen deskargek, oso objektu beroek eta Eguzkiak sortzen dituzte. Erreakzio kimikoak sor ditzakete eta filmen bidez detektatzen dira. Erabilgarriak

Διαβάστε περισσότερα

10. GAIA Ingurune jarraituak

10. GAIA Ingurune jarraituak 10. GAIA Ingurune jarraituak 10.1 IRUDIA Gainazal-tentsioaren ondorio ikusgarria. 417 418 10 Ingurune jarraituak Ingurune jarraituen oinarrizko kontzeptuak aztertuko dira gai honetan: elastikotasuna hasteko,

Διαβάστε περισσότερα

5. GAIA Mekanismoen Analisi Dinamikoa

5. GAIA Mekanismoen Analisi Dinamikoa HELBURUAK: HELBURUAK: sistema sistema mekaniko mekaniko baten baten oreka-ekuazioen oreka-ekuazioen ekuazioen planteamenduei planteamenduei buruzko buruzko ezagutzak ezagutzak errepasatu errepasatu eta

Διαβάστε περισσότερα

(1)σ (2)σ (3)σ (a)σ n

(1)σ (2)σ (3)σ (a)σ n 5 Gaia 5 Determinanteak 1 51 Talde Simetrikoa Gogoratu, X = {1,, n} bada, X-tik X-rako aplikazio bijektiboen multzoa taldea dela konposizioarekiko Talde hau, n mailako talde simetrikoa deitzen da eta S

Διαβάστε περισσότερα

Uhin guztien iturburua, argiarena, soinuarena, edo dena delakoarena bibratzen duen zerbait da.

Uhin guztien iturburua, argiarena, soinuarena, edo dena delakoarena bibratzen duen zerbait da. 1. Sarrera.. Uhin elastikoak 3. Uhin-higidura 4. Uhin-higiduraren ekuazioa 5. Energia eta intentsitatea uhin-higiduran 6. Uhinen arteko interferentziak. Gainezarmen printzipioa 7. Uhin geldikorrak 8. Huyghens-Fresnelen

Διαβάστε περισσότερα

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi I. ebazkizuna (2.25 puntu) Poisson, esponentziala, LTZ Zentral

Διαβάστε περισσότερα

AURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7

AURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 AURKIBIDEA Or. I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 1.1. MAGNITUDEAK... 7 1.1.1. Karga elektrikoa (Q)... 7 1.1.2. Intentsitatea (I)... 7 1.1.3. Tentsioa ()... 8 1.1.4. Erresistentzia elektrikoa

Διαβάστε περισσότερα

EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA

EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA 1.1. Topologia.. 1.. Aldagai anitzeko funtzio errealak. Definizioa. Adierazpen grafikoa... 5 1.3. Limitea. 6 1.4. Jarraitutasuna.. 9 11 14.1. Lehen mailako

Διαβάστε περισσότερα

Magnetismoa. Ferromagnetikoak... 7 Paramagnetikoak... 7 Diamagnetikoak Elektroimana... 8 Unitate magnetikoak... 9

Magnetismoa. Ferromagnetikoak... 7 Paramagnetikoak... 7 Diamagnetikoak Elektroimana... 8 Unitate magnetikoak... 9 Magnetismoa manak eta imanen teoriak... 2 manaren definizioa:... 2 manen arteko interakzioak (elkarrekintzak)... 4 manen teoria molekularra... 4 man artifizialak... 6 Material ferromagnetikoak, paramagnetikoak

Διαβάστε περισσότερα

4. Hipotesiak eta kontraste probak.

4. Hipotesiak eta kontraste probak. 1 4. Hipotesiak eta kontraste probak. GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da ikerketa baten: - Helburua adierazteko. - Hipotesia adierazteko - Hipotesi nulua adierazteko - Hipotesi nulu estatistikoa

Διαβάστε περισσότερα

INDUSTRI TEKNOLOGIA I, ENERGIA ARIKETAK

INDUSTRI TEKNOLOGIA I, ENERGIA ARIKETAK INDUSTRI TEKNOLOGIA I, ENERGIA ARIKETAK 1.-100 m 3 aire 33 Km/ordu-ko abiaduran mugitzen ari dira. Zenbateko energia zinetikoa dute? Datua: ρ airea = 1.225 Kg/m 3 2.-Zentral hidroelektriko batean ur Hm

Διαβάστε περισσότερα

KANTEN ETIKA. Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat.

KANTEN ETIKA. Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat. EN ETIKA Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat. Kantek esan zuen bera baino lehenagoko etikak etika materialak zirela 1 etika materialak Etika haiei material esaten zaie,

Διαβάστε περισσότερα

7.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa

7.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa 7. GAIA Oszilazioak 7.1 IRUDIA Milurtekoaren zubia: Norman Foster-ek Londresen egin zuen zubi hau zabaldu bezain laster, ia bi urtez itxi behar izan zuten, egiten zituen oszilazio handiegiak zuzendu arte.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015

MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015 MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015 Mathieu Jarry iturria: Flickr CC-BY-NC-ND-2.0 https://www.flickr.com/photos/impactmatt/4581758027 Leire Legarreta Solaguren EHU-ko Zientzia eta Teknologia Fakultatea Matematika

Διαβάστε περισσότερα

Inekuazioak. Helburuak. 1. Ezezagun bateko lehen orria 74 mailako inekuazioak Definizioak Inekuazio baliokideak Ebazpena Inekuazio-sistemak

Inekuazioak. Helburuak. 1. Ezezagun bateko lehen orria 74 mailako inekuazioak Definizioak Inekuazio baliokideak Ebazpena Inekuazio-sistemak 5 Inekuazioak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Ezezagun bateko lehen eta bigarren mailako inekuazioak ebazten. Ezezagun bateko ekuaziosistemak ebazten. Modu grafikoan bi ezezaguneko lehen

Διαβάστε περισσότερα

LOTURA KIMIKOA :LOTURA KOBALENTEA

LOTURA KIMIKOA :LOTURA KOBALENTEA Lotura kobalenteetan ez-metalen atomoen arteko elektroiak konpartitu egiten dira. Atomo bat beste batengana hurbiltzen denean erakarpen-indar berriak sortzen dira elektroiak eta bere inguruko beste atomo

Διαβάστε περισσότερα

6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana

6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana 6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da: - Batezbestekoaren estimazioa biztanlerian kalkulatzeko. - Proba parametrikoak

Διαβάστε περισσότερα

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa Elektroteknia: Ariketa ebatzien bilduma LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA roiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak Hizkuntz koordinazioa Egilea(k): JAO AAGA, Oscar. Ondarroa-Lekeitio BH, Ondarroa

Διαβάστε περισσότερα

Mikel Lizeaga 1 XII/12/06

Mikel Lizeaga 1 XII/12/06 0. Sarrera 1. X izpiak eta erradiazioa 2. Nukleoaren osaketa. Isotopoak 3. Nukleoaren egonkortasuna. Naturako oinarrizko interakzioak 4. Masa-defektua eta lotura-energia 5. Erradioaktibitatea 6. Zergatik

Διαβάστε περισσότερα

Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean

Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean Pablo Mínguez Elektrika eta Elektronika Saila Euskal Herriko Unibertsitatea/Zientzi Fakultatea 644 P.K., 48080 BILBAO Laburpena: Atomo baten

Διαβάστε περισσότερα

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu I. ebazkizuna Ekoizpen-prozesu batean pieza bakoitza akastuna edo

Διαβάστε περισσότερα

ERREAKZIOAK. Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea

ERREAKZIOAK. Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea ERREAKZIAK Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea ADIZI ELEKTRZALEK ERREAKZIAK idrogeno halurozko adizioak Alkenoen hidratazioa

Διαβάστε περισσότερα

Antzekotasuna ANTZEKOTASUNA ANTZEKOTASUN- ARRAZOIA TALESEN TEOREMA TRIANGELUEN ANTZEKOTASUN-IRIZPIDEAK BIGARREN IRIZPIDEA. a b c

Antzekotasuna ANTZEKOTASUNA ANTZEKOTASUN- ARRAZOIA TALESEN TEOREMA TRIANGELUEN ANTZEKOTASUN-IRIZPIDEAK BIGARREN IRIZPIDEA. a b c ntzekotasuna NTZEKOTSUN IRUI NTZEKOK NTZEKOTSUN- RRZOI NTZEKO IRUIK EGITE TLESEN TEOREM TRINGELUEN NTZEKOTSUN-IRIZPIEK LEHEN IRIZPIE $ = $' ; $ = $' IGRREN IRIZPIE a b c = = a' b' c' HIRUGRREN IRIZPIE

Διαβάστε περισσότερα

Antzekotasuna. Helburuak. Hasi baino lehen. 1.Antzekotasuna...orria 92 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak

Antzekotasuna. Helburuak. Hasi baino lehen. 1.Antzekotasuna...orria 92 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak 6 Antzekotasuna Helburuak Hamabostaldi honetan haue ikasiko duzu: Antzeko figurak ezagutzen eta marrazten. Triangeluen antzekotasunaren irizpideak aplikatzen. Katetoaren eta altueraren teoremak erakusten

Διαβάστε περισσότερα

I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa

I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 1. ZENBAKI ERREALAK. ZENBAKI ERREALEN ADIERAZPENA ZENBAKIZKO ARDATZEKO PUNTUEN BIDEZ Matematikaren oinarrizko kontzeptuetariko bat zenbakia da. Zenbakiaren kontzeptua

Διαβάστε περισσότερα

1. jarduera. Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean?

1. jarduera. Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean? 1. jarduera Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean? 1. Hastapeneko intentsitatearen neurketa Egin dezagun muntaia bat, generadore bat, anperemetro bat eta lanpa bat seriean lotuz. 2. Erresistentzia

Διαβάστε περισσότερα

Jose Miguel Campillo Robles. Ur-erlojuak

Jose Miguel Campillo Robles. Ur-erlojuak HIDRODINAMIKA Hidrodinamikako zenbait kontzeptu garrantzitsu Fluidoen garraioa Fluxua 3 Lerroak eta hodiak Jarraitasunaren ekuazioa 3 Momentuaren ekuazioa 4 Bernouilli-ren ekuazioa 4 Dedukzioa 4 Aplikazioak

Διαβάστε περισσότερα

Ekuazioak eta sistemak

Ekuazioak eta sistemak 4 Ekuazioak eta sistemak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Bigarren mailako ekuazio osoak eta osatugabeak ebazten. Ekuazio bikarratuak eta bigarren mailako batera murriztu daitezkeen beste

Διαβάστε περισσότερα

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak 3 K a p itu lu a Aldagai errealek o fu n tzio errealak 13 14 3 K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 31 FUNTZIOAK:

Διαβάστε περισσότερα

1. Oinarrizko kontzeptuak

1. Oinarrizko kontzeptuak 1. Oinarrizko kontzeptuak Sarrera Ingeniaritza Termikoa deritzen ikasketetan hasi berri den edozein ikaslerentzat, funtsezkoa suertatzen da lehenik eta behin, seguru aski sarritan entzun edota erabili

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA: Ekuazio diferenzialak

4. GAIA: Ekuazio diferenzialak 4. GAIA: Ekuazio diferenzialak Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea Aurkibidea 4. Ekuazio diferentzialak......................................

Διαβάστε περισσότερα

Irrati-teleskopioak. NASAk Robledoko Astrobiologia Zentroan (INTA-CSIC) duen irrati-teleskopioa erabiliz egindako proiektu akademikoa.

Irrati-teleskopioak. NASAk Robledoko Astrobiologia Zentroan (INTA-CSIC) duen irrati-teleskopioa erabiliz egindako proiektu akademikoa. Irrati-teleskopioak Laburpena Unitate honetan, irrati-teleskopioen berri emango diegu ikasleei; irrati-teleskopioak teleskopio optikoekin alderatuko ditugu, nola ibiltzen diren azalduko dugu eta haien

Διαβάστε περισσότερα

Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35; 0,32; 0,32; 2,2 atm; 2,03 atm; 2.03 atm c) 1,86; 0,043

Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35; 0,32; 0,32; 2,2 atm; 2,03 atm; 2.03 atm c) 1,86; 0,043 KIMIKA OREKA KIMIKOA UZTAILA 2017 AP1 Emaitzak: a) 0,618; b) 0,029; 1,2 EKAINA 2017 AP1 Emaitzak:a) 0,165; 0,165; 1,17 mol b) 50 c) 8,89 atm UZTAILA 2016 BP1 Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35;

Διαβάστε περισσότερα

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak 3. K a p itu lu a Aldagai errealek o fu n tzio errealak 49 50 3. K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 3.1. ARAZOAREN

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak

1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak 1.- SARRERA 1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak Aire konprimitua pertsonak ezagutzen duen energia-era zaharrenetarikoa da. Seguru dakigunez, KTESIBIOS grekoak duela 2.000 urte edo gehiago katapulta

Διαβάστε περισσότερα

Oinarrizko mekanika:

Oinarrizko mekanika: OINARRIZKO MEKANIKA 5.fh11 /5/08 09:36 P gina C M Y CM MY CY CMY K 5 Lanbide Heziketarako Materialak Oinarrizko mekanika: mugimenduen transmisioa, makina arruntak eta mekanismoak Gloria Agirrebeitia Orue

Διαβάστε περισσότερα

Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK

Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK GORAKORTASUNA ETA BEHERAKORTASUNA MAIMOAK ETA MINIMOAK

Διαβάστε περισσότερα

1-A eta 1-8 ariketen artean bat aukeratu (2.5 puntu)

1-A eta 1-8 ariketen artean bat aukeratu (2.5 puntu) UNIBERTSITATERA SARTZEKO HAUTAPROBAK 2004ko EKAINA ELEKTROTEKNIA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JUNIO 2004 ELECTROTECNIA 1-A eta 1-8 ariketen artean bat aukeratu (2.5 1-A ARIKETA Zirkuitu elektriko

Διαβάστε περισσότερα

Hasi baino lehen. Zenbaki errealak. 2. Zenbaki errealekin kalkulatuz...orria 9 Hurbilketak Erroreen neurketa Notazio zientifikoa

Hasi baino lehen. Zenbaki errealak. 2. Zenbaki errealekin kalkulatuz...orria 9 Hurbilketak Erroreen neurketa Notazio zientifikoa 1 Zenbaki errealak Helburuak Hamabostaldi honetan hau ikasiko duzu: Zenbaki errealak arrazional eta irrazionaletan sailkatzen. Zenbaki hamartarrak emandako ordena bateraino hurbiltzen. Hurbilketa baten

Διαβάστε περισσότερα

10. K a p itu lu a. Laplaceren transfo rm atu a

10. K a p itu lu a. Laplaceren transfo rm atu a 1. K a p itu lu a Laplaceren transfo rm atu a 239 24 1. K A P IT U L U A L A P L A C E R E N T R A N S F O R M A T U A 1.1 A ra zo a re n a u rk e zp e n a K u rtsoan zehar, ald ag ai an itzen ald aketa

Διαβάστε περισσότερα

7. K a p itu lu a. Integ ra l a nizk o itza k

7. K a p itu lu a. Integ ra l a nizk o itza k 7. K a p itu lu a Integ ra l a nizk o itza k 61 62 7. K A P IT U L U A IN T E G R A L A N IZ K O IT Z A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 7.1. ARAZOAREN AURKEZPENA 63 7.1 A ra zo a

Διαβάστε περισσότερα

Ordenadore bidezko irudigintza

Ordenadore bidezko irudigintza Ordenadore bidezko irudigintza Joseba Makazaga 1 Donostiako Informatika Fakultateko irakaslea Konputazio Zientziak eta Adimen Artifiziala Saileko kidea Asier Lasa 2 Donostiako Informatika Fakultateko ikaslea

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Estatistika deskribatzailea.

6.1. Estatistika deskribatzailea. 6. gaia Ariketak. 6.1. Estatistika deskribatzailea. 1. Zerrenda honek edari-makina baten aurrean dauden 15 bezerok txanpona sartzen duenetik edaria atera arteko denbora (segundotan neurtuta) adierazten

Διαβάστε περισσότερα

UNITATE DIDAKTIKOA ELEKTRIZITATEA D.B.H JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. Helio atomoa ASKATASUNA BHI 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA

UNITATE DIDAKTIKOA ELEKTRIZITATEA D.B.H JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. Helio atomoa ASKATASUNA BHI 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA 1. JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. 1 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA Material guztiak atomo deitzen diegun partikula oso ttipiez osatzen dira. Atomoen erdigunea positiboki kargatua egon ohi da eta tinkoa

Διαβάστε περισσότερα

OREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA

OREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA GAIEN ZERRENDA Nola lortzen da oreka kimikoa? Oreka konstantearen formulazioa Kc eta Kp-ren arteko erlazioa Disoziazio-gradua Frakzio molarrak eta presio partzialak Oreka kimikoaren noranzkoa Le Chatelier-en

Διαβάστε περισσότερα

ANTIMATERIA FIKZIOA OTE?

ANTIMATERIA FIKZIOA OTE? ANTIMATERIA FIKZIOA OTE? Jose Antonio Legarreta Jakina denez XX. mendearen hasiera aldean AL- BERT EINSTEINek Erlatibitate Teoria-ren bere "Teoria Berezia" (1905) eta "Teoria Orokorra" (1916) izeneko ikerlanak

Διαβάστε περισσότερα

Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK

Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK ZENBAKI IRRAZIONALAK HURBILKETAK LABURTZEA BIRIBILTZEA GEHIAGOZ ERROREAK HURBILKETETAN Lagun ezezaguna Mezua premiazkoa zirudien

Διαβάστε περισσότερα

GIZA GIZARTE ZIENTZIEI APLIKATUTAKO MATEMATIKA I BINOMIALA ETA NORMALA 1

GIZA GIZARTE ZIENTZIEI APLIKATUTAKO MATEMATIKA I BINOMIALA ETA NORMALA 1 BINOMIALA ETA NORMALA 1 PROBABILITATEA Maiztasu erlatiboa: fr i = f i haditze bada, maiztasuak egokortzera joko dira, p zebaki batera hurbilduz. Probabilitatea p zebakia da. Probabilitateak maiztasue idealizazioak

Διαβάστε περισσότερα

DINAMIKA. c Ugutz Garitaonaindia Antsoategi Ingeniaritza Mekanikoa Saila Gasteizko I.I.T. eta T.I.T.U.E. Euskal Herriko Unibertsitatea

DINAMIKA. c Ugutz Garitaonaindia Antsoategi Ingeniaritza Mekanikoa Saila Gasteizko I.I.T. eta T.I.T.U.E. Euskal Herriko Unibertsitatea DINAMIKA c Ugutz Gartaonanda Antsoateg Ingenartza Mekankoa Sala Gastezko I.I.T. eta T.I.T.U.E. Euskal Herrko Unbertstatea 2000/2001 kasturtea Índce 1. SARRERA 3 2. INDARRAK 3 3. ERREFERENTZIA SISTEMA DINAMIKAN.

Διαβάστε περισσότερα

Oxidazio-erredukzio erreakzioak

Oxidazio-erredukzio erreakzioak Oxidazio-erredukzio erreakzioak Lan hau Creative Commons-en Nazioarteko 3.0 lizentziaren mendeko Azterketa-Ez komertzial-partekatu lizentziaren mende dago. Lizentzia horren kopia ikusteko, sartu http://creativecommons.org/licenses/by-ncsa/3.0/es/

Διαβάστε περισσότερα

2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA

2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA 2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. 2.2. Aurre-ondoetako espezifikazio formala. - 1 - 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. Programa baten

Διαβάστε περισσότερα

Gaiari lotutako EDUKIAK (127/2016 Dekretua, Batxilergoko curriculuma)

Gaiari lotutako EDUKIAK (127/2016 Dekretua, Batxilergoko curriculuma) Termodinamika Gaiari lotutako EDUKIAK (127/2016 Dekretua, Batxilergoko curriculuma) Erreakzio kimikoetako transformazio energetikoak. Espontaneotasuna 1. Energia eta erreakzio kimikoa. Prozesu exotermikoak

Διαβάστε περισσότερα

BAKARRIK OTE GAUDE? MJ

BAKARRIK OTE GAUDE? MJ BAKARRIK OTE GAUDE? MJ Barandiaran & Inaki Irazabalbeitia Atea jo zuten. Instant batez harriturik begiratu zuen, edaria utzi eta aulkitik altxatu baino lehen. Gaua oso lasaia zen eta ezinezkoa zirudien

Διαβάστε περισσότερα

Diamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira:

Diamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira: 1 Diamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira: T= 2,000 C eta P= 50,000 a 100,000 atmosfera baldintza hauek bakarrik ematen dira sakonera 160 Km-koa denean eta beharrezkoak dira miloika eta

Διαβάστε περισσότερα

KOSMOLOGIAREN HISTORIA

KOSMOLOGIAREN HISTORIA KOSMOLOGIAREN HISTORIA Historian zehar teoria asko garatu dira unibertsoa azaltzeko. Kultura bakoitzak bere eredua garatu du, unibertsoaren hasiera eta egitura azaltzeko. Teoria hauek zientziaren aurrerapenekin

Διαβάστε περισσότερα

Materialen elastikotasun eta erresistentzia

Materialen elastikotasun eta erresistentzia Materialen elastikotasun eta erresistentzia Juan Luis Osa Amilibia EUSKARA ETA ELEANIZTASUNEKO ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA Liburu honek UPV/EHUko Euskara eta Eleaniztasuneko Errektoreordetzaren

Διαβάστε περισσότερα

HASI ESKEMA INTERNET HASTEKO ESKEMA INTERNET

HASI ESKEMA INTERNET HASTEKO ESKEMA INTERNET 7 HASTEKO ESKEMA INTERNET Edukien eskema Uhin-higidura Soinua Higidura bibrakorra Soinu ekoizpena Uhin -higidura Uhin motak Uhin bat karakterizatzen duten magnitudeak Uhinen intentsitate eta energia Argia

Διαβάστε περισσότερα