( ) قضايا. ) s تعميم 4) مشتق تعميم 5) انتگرال 7) كانولوشن. f(t) L(tf (t)) F (s) Lf(t ( t)u(t t) ) e F(s) L(f (t)) sf(s) f ( ) f(s) s.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "( ) قضايا. ) s تعميم 4) مشتق تعميم 5) انتگرال 7) كانولوشن. f(t) L(tf (t)) F (s) Lf(t ( t)u(t t) ) e F(s) L(f (t)) sf(s) f ( ) f(s) s."

Φυλλίς Δελή
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 معادلات ديفرانسيل + f() d تبديل لاپلاس تابع f() را در نظر بگيريد. همچنين فرض كنيد ( R() > عدد مختلط با قسمت حقيقي مثبت) در اين صورت صورت وجود لاپلاس f() نامند و با قضايا ) ضرب در (انتقال درحوزه S) F() L(f (() = نمايش ميدهند و به آن تبديل لاپلاس يك طرفه هم ميگويند. را در + a f() f() (a) d = F( a) L(f ()) F () L( f ()) ( ) F () () Lf( ( )u( ) ) F() L(f ()) F() f ( ) L(f ()) F() f ( ) f ( ) f ( ) ( ) f() L f( τ)dτ + f() L F()d L f () g() F().G() ( ) lim f () = lim F() + lim f () = lim F() + + L( δ ()) = L( ) L ( u() ) d + = = = = ()! L( ) = ( ) = + a ) ضرب در تعميم ( > ) ) انتقال در حوزه ) مشتق تعميم 5) انتگرال 6) تقسيم بر 7) كانولوشن 8) قضيه مقدار اوليه 9) قضيه مقدار نهايي محاسبه تبديل لاپلاس برخي توابع δ() (ضربه) ( ( u() (پله) ( ) (

2 ( ) L( α Γα+ ) = α+ ai + ia L( ) = = ia a a L(co a + ii a) = + i L(co a) =, L(i a) = a + a L = L(ch(a)) = + = a + a a a a a L(h(a)) = L = = a + a a + مثال- كدام گزينه صحيح است L(f (() = l ( α ) α ( (5 6 و (7 (8 (9 f() ( در صفر جهشي برابر دارد در صفر پيوسته است در صفر ضربه دارد f() مجانبي به معادله f()= دارد. ( + l + lim l = lim = lim + = = f ( + ) از قضيه مقدار اوليه بهره ميبريم: )f چيزي گفته نشده آن را صفر ميگيريم. بنابراين f() در = جهشي برابر يك دارد براي مجانب از قضيه مقدار چون در مورد ) lim l + = f () = مجانب f() = f() f() f() ( ( نهايي بهره خواهيم برد. lim f () = اگر ميشد آنگاه تابع در داراي ضربه ميشد. در اينجا در صفر ضربهاي با قدرت واحد دارد. + + = ( ) و = ( ) مثال- تبديل لاپلاس جواب معادله = و معادله داده شده معادله بسل مرتبه با شرايط اوليه است لذا Y() تبديل لاپلاس لاپلاس ميگيريم: چيست J() است. از معادله با توجه به قضاياي ياد شده ( Y() ( ) ( )) + Y() ( ) Y () = Y Y () + + Y Y = ( + )Y () Y() = Y = l Y = l( + ) + c Y + c Y() = lim Y() = = c Y() = + + F() f() = را حساب كنيد. مثال- اگر π) i u( ( ) ( ) f() = π ( π) i( π)u( π) L i = L(f()) = F() = π π ( + ) + ( + ) + f() = F( ) f() مثال- اگر تبديل فوريه f() باشد چيست F( ) = d = =

3 aω ω برق/ معادلات ديفرانسيل معادله اشتورم ليوويل d d p + (q +λρ ) = اين معادله فرم كلي چند معادله اخير است كه به صورت روبرو است: d d p q λρ p + p + (q +λρ )= = d d d p d p p اين معادله با شرايط مرزي همگن در = a و = b داراي يك سري توابع ويژه و مقادير ويژه نظير آنها ميباشد. ميتوان نشان داد كه اگر b ρ() ϕ() ϕ m()d = a λ m λ و () ϕ m دو تابع ويژه نظير دو مقدار ويژه مثال- در معادله روبرو مقادير ويژه و و توابع ويژه نظير آنها را بيابيد. باشند هموازه بر هم عمودند البته با وزن تابع ρ يعني: + +λ = d d ( ) = ( ) = D + D +λ= (D + ) +λ = λ بحث كنيم: = λ (الف {, } λ =ω ( ) ( ) (ب { +ω, +ω } λ =ω (ج { coω, iω} c مشتق c ( ) = غ ق ق = c = = C( ( +ω ) ( ω ) ) ( ) = ( λ) ϕ () بايد روي مقادير ويژه اگر حالت الف) c قابل قبول است لذا = λ مقدار ويژه و c تابع ويژه است. ( ) جزء شرايط اوليه بود آنگاه حالت الف غير قابل قبول ميشد: = * چون تابع ويژه غير صفر است.* حالت ب) كه جوابهاي اين معادله يا تابع مشتق در = c ( +ω ) ( +ω ) + ( +ω ) ( ω ) = C = است كه هر دو غير قابل قبولند. = i ω = i ω +ω coω = = iω+ωcoω= aω=ω ω=ω > ω= حالت ج) π ( m ) ωπ ω 5π مقادير ويژه ρ i. i d ρ= ; m = +ω Φ () = iω ( + ) π ω و يك نتيجه اين است كه: براي هاي به قدر كافي بزرگ است و ميتوان توابع ويژه را به صورت زير تقريب زد:

4 ( ) π ϕ () = i l ( ) +α( α+ )= برق/ معادلات ديفرانسيل ( ) () + π ϕ = i >> + را با فرض ( ) = و () = بيابيد. +λ = مثال- توابع ويژه و مقادير ويژه d d غقق }, λ= {l D(D ) + D +λ= D +λ= D =λ λ=ω قق } {coωl,i ωl λ=ω { ω, ω غقق } شرط مرزي () = باعث غير قابل قبول شدن دو جواب اول و سوم شده است. c ω ( ) π = = ciωl () =ω ccoω l حالت دوم = coω= ω = ( ) π λ=ω و تابع ويژه: = مقدار ويژه: : معادله لژندار مثال- در معادله لژاندر مقادير q p و ρ و λ را تعيين كنيد: P = ρ و q توابعي از هستند و, q +ρλ=α +α q =, ρ=, λ=α( α+ ) λ عدد ثابتي است. بنابراين مقدار ويژه تابع لژاندر ) ( αα+ ميباشد. )= : + + ( ν تابع بسل مثال- در مورد تابع بسل مثال قبل را تكرار كنيد. ν = p=,q=, ρ=+, λ=ν توجه كنيد كه معمولا ρ> گرفته ميشود.. J ()J m()d = m در ضمن شرايط مرزي همگن در = و + = است لذا + اشتورم ليوويل است +λ = مثال- آيا معادله + +λ = p=, ρ=,q= اشتورم ليوويل است λ=λ و + + ( 6 )= مثال- جواب معادله داده شده چيست co i + + ( بسل )= J (),J () =, + + = ( ) = مثال- معادله روبرو را حل كنيد: يك روش حل اين معادلات ايده تبديل به معادله بسل است كه اين كار به دو روش انجام ميشود. يكي «تعويض تابع» كه به صورت زير v v v + bv u + u + u = v v v + = v = v= c لذا: v است: v a براي بسل شدن بايد = + v

5 كه اين درست نيست چون v بايد متغير باشد. لذا روش «تعويض تابع» در uv بدرد نميخورد. روش ديگر روش «تعويض متغير» است كه به شرح زير است: g (z) g (z) d dz dz dz = g(z) =, = d g (z) d (g (z)) g g = g a g g z + b= b= + g + bg d d g dz g g dz dz g dz v bg =λ z در اين مثال داريم: g g g kg + + g + g lg lg lkz g gzk g z k = + = + = = = = dz g g dz g g g z g z v g باشد. بنابراين: =λ k هر چيزي ميتواند باشد ولي بايد g z k k k k k k= kz = z + + z = + + = بسل مرتبه صفر z k z z پس جواب ) ( J(z) = J است. + ( + ) + = v + v v= = = + تعويض تابع v v ( ) u + u + u = ( + ) + u + u + u = u + u+ u = u = J () = J () d d d. همچنين A() به صورت = = d d d مثال- معادله روبرو را به بسل تبديل كرده و جواب آن را بيابيد. معادله بسل مرتبه شد. لذا دستگاه معادلات خطي تعريف ميكنيم. aij را تعريف ميكنيم. بردار () = A()() + u() () = A()() SX() ( ) = A() X(). تعريف ميكنيم ; = فرض كنيد u() عضو تايي u() u = را نيز به صورت u () دستگاه معادلات خطي روبرو را در نظر بگيريد: براي حل ابتدا معادله همگن را حل ميكنيم: از طرفين تبديل لاپلاس ميگيريم: 5

6 () = Α ( ) + Aτ u( τ)dτ برق/ معادلات ديفرانسيل SX() ( ) = AX() حالت خاص A() = A ثابت باشد: (SI A)X() = ( ) X() = (SIA) ( ) نمايش ميدهند. در واقع A (A (SI ϕ() را ماتريس انتقال حالت A گويند و با تعريف: ϕ()) = L( A = I + A + A + A +...!! A A A I A A (SI A) = I A = S I = S S S S S S ϕ () = I + A + A عكس لاپلاس +... = A! X A h() = (SI A) ( ), h() = ( ) تا اينجا جواب همگن را به دست آورديم. حال سو ال پيدا كردن جواب خصوصي است. اگر از رابطه كلي لاپلاس ميگرفتيم: SX() ( ) = AX() + U() ( SI A) X() ( ) U() X() ( SI A) ( ) = + = + ( SI A) U() مثال- ( ) = + = = + ( ) + ( ) ( ) A (SI A) = = = ( ) = ( + ) ( + ) ch h () ch h () () ch h ϕ = = = h ch () h ch τ τ τ d + h ch τ τ τ h τ τ = + d ch τ τ τ τ + = + dτ τ + τ τ τ = + τ τ ( ) ( ch h () ) = + h ch ( ) ( ) 6

7 = = ( ) تبديل معادله خطي مرتبه به دستگاه برداري به شكل روبرو تشكيل ميدهيم: () ( ) + = b با توجه به تعريف فوق و معادله ديفرانسيل خطي مرتبه داده شده داريم: = = = = =aa a a + b A = ; u = b a a a a a + را به دستگاه تبديل كنيد: + = مثال- = = = A = ; u = = +. را متغير حالت مينامند. مسير متغير حالت در را مسير حالت گويند كه يك منحني است در فضاي R () نقطه شروع ( ) ( ) مسير حالت نقطه خاتمه ( ) ( ) ( ) 7

8 = 8 مثال- در منحني حالت داده شده اگر در زمان باشد در همين زمان چند است () = 0 ( ) = با توجه به منحني ( ) = ( ) = 8 ( ) = ( ) =? 8 = ( ) = / در اينجا منظور انتهاي مسر حالت است. مسير حالت به شرايط اوليه شديدا وابسته است. جايي كه حل معادله برايمان مشكل است ولي مسير حالت را ميتوانيم تشخيص دهيم اين مسير بدرد ميخورد. = = = + SX = X X = () = = l SY = X + Y = + Y Y() = = ( ) ( ) مثال- مسير حالت را بيابيد. () = مسير حالت: = l > = l+ =l براي رسم مسير از رابطه به دست آمده مشتق ميگيريم = ; =, تعقر رو به پايين < = = 8

Σχετικά έγγραφα

( ) x x. ( k) ( ) ( 1) n n n ( 1) ( 2)( 1) حل سري: حول است. مثال- x اگر. يعني اگر xها از = 1. + x+ x = 1. x = y= C C2 و... و

( ) x x. ( k) ( ) ( 1) n n n ( 1) ( 2)( 1) حل سري: حول است. مثال- x اگر. يعني اگر xها از = 1. + x+ x = 1. x = y= C C2 و... و معادلات ديفرانسيل y C ( ) R mi i كه حل سري يعني جواب دقيق ميخواهيم نه به صورت صريح بلكه به صورت سري. اگر فرض كنيم خطي باشد, اين صورت شعاع همگرايي سري فوق, مينيمم اندازه است جواب معادله ديفرانسيل i نقاط