Soluţiile problemelor propuse în nr. 2/2010
|
|
- Καλυψώ Κανακάρης-Ρούφος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Soluţiile problemelor propuse în nr. /00 Clsele primre P.96. Mior rnjeză ptru mărgele, două lbe şi două glbene, un lângă lt, pe o ţă. În câte feluri pote rnj Mior mărgelele? (Cls I) Inst. Mri Rcu, Işi Soluţie. Mior pote rnj mărgelele în şse moduri: AAGG, GGAA, GAGA, AGAG, AGGA, GAAG. P.97. Dn împrte o ciocoltă stfel: o linie întregă de 4 pătrăţele pentru frtele său, o colonă întregă de 4 pătrăţele pentru sor s, ir restul pentru sine. Câte pătrăţele de ciocoltă i-u revenit lui Dn? (Cls I) Mri Ursu, elevă, Işi Soluţie. Iniţilciocoltve4coloneşi 5linii. Dnrămscu = pătrăţele de ciocoltă. P.98. Numărţi figurile geometrice din desenul lăturt şi scrieţi: ) numărul triunghiurilor; b) numărul figurilor geometrice cre sunt pătrte su dreptunghiuri. (Cls II-) Andree Amrndei, studentă, Işi Soluţie. ) 5 triunghiuri; b) 5 pătrte şi 4 dreptunghiuri formeză 9 figuri geometrice cre sunt pătrte su dreptunghiuri. P.99. Dcă 5 = 5 b, pote fi diferenţ b un număr impr? (Cls II-) Andree Bîzdîgă, elevă, Işi Soluţie. Din 5 = 5 b se obţine +b = 30, deci b este număr pr, căci sum şi diferenţ două numere nturle u ceeşi pritte. P.00. Dintr-un număr de bile, u mse egle, ir un re o msă mi mre decât celellte. Cre este cel mi mic număr de cântăriri prin cre se pote depist bil cu ms mi mre, dcă vem l îndemână o blnţă cu două tlere? (Cls III-) An Cojocru, Işi Soluţie. Formăm trei grupe: 5b, 5b, b. Aşezăm câte 5 bile pe fiecre tler. După prim cântărire determinăm grup cre conţine bil mi gre. În continure mi vem nevoie de mximum două cântăriri pentru determin bil ce mi gre. În concluzie, numărul cel mi mic de cântăriri este 3. P.0. Diferenţ dintre sum vârstelor două persone şi diferenţ lor este 0 de ni. Triplul sumei vârstelor este egl cu de 7 ori diferenţ vârstelor. Cre este vârst fiecărei persone? (Cls III-) Vleri Avsîlcei, Işi Soluţie. Din ( +b) ( b) = 0 se obţine b+b = 0, deci b = 0. Utilizând dou informţie găsim 3( + 0) = 7( 0), de unde = 7 70, şdr 30 = 4 70 şi = 5. Vârstele sunt: 5 ni, 0 ni. 48
2 P.0. Aflţi numerele b şi c, cu b 9 şi c 0, stfel încât, dcă mărim cifrele şi b cu câte o unitte, tunci produsul b c se dubleză. (Cls III-) Amli Muntenu, elevă, Işi Soluţie. Dcă cifrele şi b se măresc cu câte o unitte, tunci numărul b devine b + şi condiţi problemei ne dă (b + )c = b c, de unde c = b c şi obţinem b =, c =,,3,,9. P.03. Cei doi tigri de l Zoo u suficientă hrnă pentru 3 săptămâni. Au mi fost duşi, însă, încă 5 tigri. Dcă fiecre mănâncă ceeşi cntitte de hrnă pe zi, câte zile le v mi junge cum hrn? (Cls IV-) Inst. Lur Chirilă, Işi Soluţie. Dcă tigri u suficientă hrnă 3 săptămâni, tunci un singur tigru re suficientă hrnă 6 săpţămâni, dică 4 zile. 7 tigri vor ve suficientă hrnă numi 4 : 7 = 6 zile. P.04. Aflţi tote numerele nturle n stfel încât triplul predecesorului lui n nu depăşeşte dublul succesorului lui n. (Cls IV-) Andree Simion, elevă, Işi Soluţie. Trebuie să vem 3 (n ) (n+), dică 3 n 3 n+, cee ce este echivlent cu n 5 şi obţinem n =,,3,4,5. P.05. Fie S sum zece numere nturle nenule. ) Dcă S = 54, rătţi că există cel puţin două numere egle. b) Aflţi zece numere nturle nenule distincte pentru cre S = 57. Câte posibilităţi sunt? Justificţi! (Cls IV-) Constnţ Tudorche şi Nelu Tudorche Soluţie. ) Sum celor mi mici zece numere nturle nenule distincte este = 55. Micşorând cu o unitte unul dintre termeni, vom obţine două numere egle. b) În sum = 55 putem să înlocuim pe 9 cu su pe 0 cu şi obţinem 0 numere nturle nenule şi distincte cre u sum 57. Avem două posibilităţi. Cls V- V.3. Un spiriduş îi şopteşte Ionei: Pentru slv lume de rău, prepră o poţiune din prf de ur şi prf de stele. În cmer lbstră este un dulp uriş, cu numerose rfturi, fiecre conţinând câte 0 de sticluţe numerotte: de l l 0 pe primul rft, de l l 40 pe l doile etc. Numărul rftului cu sticluţ cu prf de ur este egl cu numărul sticluţei cu prf de stele. Sum dintre numărul sticluţei cu prf de ur şi numărul sticluţei cu prf de stele este 43. Cre sunt numerele sticluţelor pe cre trebuie să le legă Ion? Cristin Timofte, Işi Soluţie. Fie x numărul sticluţei cu prf de stele; numărul sticluţei cu prf de ur v fi 0(x )+r unde r pote fi,,,0. Avem: x+0(x )+r = 43 x+r = 63, r 0. Singur soluţie convenbilă este x =, r =. Sticluţele căutte sunt numerotte cu (ce cu prf de stele), respectiv 3 (ce cu prf de ur). 49
3 V.4. Arătţi că numărul A = este cel mi mre număr nturl de trei cifre distincte Anc Chiriţescu, Ţigănşi (Işi) Soluţie. Clculând sumele (telescopice) din prnteze, obţinem că A = = 987, cre este cel mi mre număr nturl de trei cifre distincte V.5. Se consideră numărul = şi mulţime M = {n N n = k,k N}. Determinţi cele mi mici cinci elemente le lui M. Nicole Ivăşchescu, Criov Soluţie. Clculând sum, obţinem că = 00 0 : = , unde fctorii ultimului produs sunt numere prime. Cum n este pătrt perfect, rezultă că n = m = m, cu m N. Cele mi mici cinci elemente le lui M sunt 0,,4,9 şi 6. V.6. Se consideră mulţime A = {,,3,,00}. Scrieţi mulţime A c reuniune trei mulţimi disjuncte două câte două, vând celşi crdinl şi ceeşi sumă elementelor. Mirel Mrin, Işi Soluţie. Avem că A = B C D, unde B = {6k+ 0 k 334} {6k+6 0 k 334}, C = {6k+ 0 k 334} {6k+5 0 k 334} şi D = {6k +3 0 k 334} {6k+4 0 k 334}. Fiecre dintre mulţimile B,C şi D re crdinlul 670 şi sum elementelor eglă cu , deci sunt îndeplinite cerinţele problemei. V.7. Determinţi numerele nturle A pentru cre A + S(A) = 00. (Am nott cu S(A) sum cifrelor numărului A.) Cătălin Budenu, Işi Soluţie. Numărul A este de cel mult ptru cifre, cu cifr miilor cel mult eglă cu, deci S(A) = 9. Rezultă că 98 A 00. Verificând cele treizeci de posibilităţi, obţinem că A {986, 004}. Evident, numărul verificărilor pote fi micşort. De exemplu, cum A şi S(A) du celşi rest l împărţire prin 3, ir sum 00 se divide cu 3, rezultă că A..3 şi stfel rămân de făcut dor zece verificări. V.8. Reconstituiţi o împărţire, ştiind că împărţitorul, câtul şi restul sunt cifre le deîmpărţitului. Ion Săcălenu, Hârlău Soluţie. Fie D = I C +R, cu R < I. Cum I,C,R sunt cifre, rezultă că D 89, ir din R < I, urmeză că D nu pote fi număr de o cifră. Astfel, D = b şi I,C,R {,b}; deducem că I = C > R su I > C = R. În czul în cre > b, obţinem că I = C =, R = b, respectiv I =, C = R = b; prim situţie conduce l 0+b = +b = 0, imposibil, ir dou conduce l 00+b= b+b b = 0, din nou impisibil. Rămâne că < b, deci I = C = b, R = su I = b,c = R =. În primul cz, 0+b = b + 9 = b(b ), cu unic soluţie = 8, b = 9, ir în cel de-l doile, 0+b = b+ 9 = (b ) b = 0, imposibil. În concluzie, împărţire căuttă este 89 =
4 V.9. Fie,b,c trei numere impre, ir A = +b 3 +c 5 b+c. Ştiind că 30A nu este pătrt perfect, rătţi că măcr unul dintre numerele,b,c nu este pătrt perfect. Andrei Nedelcu, Işi +b Soluţie. Întrucât,b,c sunt impre, numerele x =, y = +c şi z = b+c sunt nturle, vând sum eglă cu + b + c, deci impră. Rezultă că x,y,z sunt fie tote impre, fie unul impr şi două pre. Prim situţie nu convine, deorece numărul 30A = x+ 3y+ 5z+ r ve toţi exponenţii pri, deci r fi pătrt perfect. Rămâne că există un număr pr printre numerele x,y,z (de fpt, chir două) şi tunci două dintre numerele impre,b,c du resturi diferite ( şi 3) l împărţire prin 4. Acel dintre numerele,b,c cre este de form M 4 +3 nu pote fi pătrt perfect. Cls VI- VI.3. Stbiliţi în câte moduri îl putem scrie pe 00 c sumă de trei numere nturle nenule, direct proporţionle cu trei numere nturle consecutive. Mirel Obrej şi Ion Lungu, Vslui Soluţie. Fie,b,c,n N stfel încât +b+c = 00 şi (,b,c)d.p.(n,n+,n+ ); folosind propriette fundmentlă şirului de rporte egle, vem că n = b n+ = c n+ = +b+c n+(n+)+(n+) = 00 3(n+) = 670 n+. n Atuncib = 670, = 670, irc = 670n+. Cum(n,n+) = şi(n+,n+)= n+ n+, rezultă că n + este un divizor l lui 670, cel puţin egl cu (deorece n 0). Otinem că n {,4,9,66,33,334,669}, prin urmre 00 pote fi descompus în şpte moduri cu respectre cerinţelor problemei. VI.4. Într-o duminică, bunic fce clătite pentru nepoţi; 40% dintre clătite sunt cu gem, ir restul cu ciocoltă. În duminic următore, bunic fce cu 0% mi multe clătite cu gem şi cu 5% mi puţine clătite cu ciocoltă. În cre dintre duminici făcut bunic mi multe clătite? Doru Turbtu, Işi Soluţie. Fie n numărul clătitelor făcute de bunică în prim duminică. Dintre ceste, 40% n = n 5 sunt cu gem, ir 3n sunt cu ciocoltă. În dou duminică, 5 vem n n 5 = n 5 clătite cu gem şi 3n n 5 5 = 57n clătite cu ciocoltă, 00 în totl 0n clătite. Rezultă că în dou duminică bunic făcut mi multe clătite 00 (cu % mi mult decât în prim duminică). VI.5. Determinţi restul împărţirii prin 00 numărului A = Andrei Pş, elev, Işi Soluţie. Pentruexponeţiimpri, n +b n = M(+b),oricrerfi,b N. Înczul nostru, = M 00, = M 00,, = M 00. Evident că 00 0 = M 00, ir 0 0 = (00 + ) 0 = M
5 Numărul este impr şi se divide cu 005, prin urmre = M În concluzie, A = M VI.6. Pe tblă sunt scrise numerele,,3,,00. Andrei şterge de pe tblă două numere, înlocuindu-le cu medi lor ritmetică şi procedeză stfel în mod repett, până când pe tblă rămâne un singur număr. Este posibil c cest ultim număr să fie 009, 5? Gbriel Pop, Işi Soluţie. Medi ritmetică două numere distincte este strict mi mică decât numărul mi mre. Pentru c în finl să rămână pe tblă numărul 009,5,l ultimul ps trebuie să fcă medi numerelor 00 şi 008,5. Pentru obţine 008,5, l penultimul ps Andrei v fce medi numerelor 009 şi 008. Astfel, în primii 007 pşi, r trebui c din numerele,,,008, să rămână pe tblă 008, fpt imposibil conform observţiei iniţile. VI.7. Considerăm punctele colinire distincte A, B, C, D şi E stfel încât AB = b, AC =, BD = b ( < b < 3), E este simetricul lui B fţă de D, ir mijlocul segmentului [AC] este punctul E. Aflţi numerele şi b, ştiind că BD = 6. Mtei Hăvârnenu, elev, Işi Soluţie. Considerând pe drept AB sensul de prcurs dinspre A către B, primele ptru puncte se pot fl într-un dintre ordinile A B C D, C A B D su b- C E A D B C A D B. În primele două situţii, mijlocul segmentului AC nu pote coincide cu simetricul lui B fţă de D. Rămâne de studit dor czul C A D B. Cum E este mijlocul lui [AC], obţinem că AE =. Însă D este mijlocul lui [BE], prin urmre + = b, deci b = 5. Condiţi BD = 6 conduce l = 4, b = 0. VI.8. Se consideră triunghiul isoscel ABC cu m( A) = 0. Perpendiculr în A pe AC intersecteză bisectore unghiului C în F şi ltur BC în E. Prlel prin E l AB tie CF în M şi notăm {P} = AM BC. Determinţi măsur unghiului APB. Gbriel Pop, Işi Soluţie. Observăm că AB = AC, m( B) = m( C) = 30, ir m( BAE) = 0 90 = 30. Cum AB EM, deducem că m( AEM) = 30. Însă m( AEC) = = 60, prin urmre EM este bisectore unghiului AEC. Rezultă că M este centrul cercului înscris în AEC, deci m( EAP) = 90 = 45. Din triunghiul AEP obţinem că m( APB) = = 75. VI.9. Se consideră triunghiul ABC. Determinţi un punct M pe ltur [AC], flt l eglă distnţă de vârful A şi de drept BC. Mihel Cing, Işi 5 B E F A P M C
6 Soluţie. Fie O punctul de intersecţie dintre BC şi perpendiculr în A pe drept AC. Din ipotez problemei, rezultă că M este egl depărtt de dreptele OA şi OC, prin urmre se flă situt l intersecţi dintre AC şi bisectore unghiului AOC. Cls VII- VII.3. Determinţi numerele bc, scrise în bz 0, pentru cre numărul A = bc Ô bc 8 este nturl. Vsile Chiric, Bcău Soluţi. Observăm că Ô bc 8 = bc A N, deci numărul bc 8 este pătrt perfect. Rezultă că bc = k +8, unde k {9,0,,3}. Verificând cele de czuri posibile, obţinem că A este număr nturl dor când bc {09,8}. Soluţi. Mi generl, determinăm numerele nturle x pentru cre A = x x 8este număr nturl. Vom vex = k +8, k N, irk k+8 = A, dică (k ) 4A =. Deducem că (k A )(k +A ) = şi, studiind czurile posibile, regăsim exct soluţiile de mi sus. Remrcăm stfel fptul că nu este esenţil c numărul nturl x să fie de trei cifre. VII.4. Demonstrţi că nu există numere nturle n pentru cre numărul A = n+ n+00 să fie pătrt perfect. Neculi Stnciu, Buzău Soluţie. Dcă n,m sunt numere nturle stfel încât n+ m Q, tunci n şi m sunt pătrte perfecte. Într-devăr, m obţine că n m = n m n+ m Q, deci n = [( n+ m)+( n m)] Q şi m = ( n+ m) n Q. Cum n,m N, deducem că n, m N, prin urmre n şi m sunt pătrte perfecte. Săpresupunem cărexistn NpentrucreA N; tuncin =,n+00= b, cu,b N. Rezultă că b = 00, deci (b )(b+) = 00. Cum A = +b este pătrt perfect, r trebui c +b =, b = 00, situţie cre nu convine. În concluzie, nu există n N pentru cre A să fie pătrt perfect. VII.5. Demonstrţi că numărul A = este divizibil cu 00. Tmr Culc, Işi Soluţie. Întrucât ( + b) n = m + nm + b n, vem că 0 00 = M M 00 + = M 00 +, ir = M M Atunci A = 009(M 00 + ) 00 (M M 00 + ) + = M M = M 00. VII.6. Dcă, b, c sunt lungimile lturilor unui triunghi, ir p este semiperimetrul cestui, demonstrţi că p + b p b + c p c O B A Ionel Nechifor, Işi M C
7 p Soluţie. Avem: p + b p b + c p c = p p + p p b + p p c = p + p b + p c 3 = ((p )+(p b)+(p c)) p + p b + p c = 6, cu eglitte în czul triunghiului echilterl. Notă. S-u primit lte trei soluţii le cestei probleme din prte d-lui Titu Zvonru, Comăneşti. VII.7. Se consideră triunghiul ABC, punctul A D pe ltur (BC) şi romburile BDEF şi CDGH cu E,G (AD), stfel încât A,F şi H sunt de ceeşi prte F E dreptei BC, ir AD sepră F şi H. Demonstrţi că G H dreptele AD, BH şi CF sunt concurente.. Dn Popescu, Sucev O Soluţie. Fie {O} = BH CF; cum BF CH, rezultă B D C că HO OB = HC BF = CD. Cu reciproc teoremei lui Thles în BCH, obţinem că DB DO CH şi tunci O AD, deci dreptele AD,BH şi CF sunt concurente. VII.8. Pe ltur (AB) triunghiului scuţitunghic ABC se consideră punctul M, ir pe segmentul (CM) punctul N, stfel încât BNM CAM. Demonstrţi că AN BC. Constntin Apostol, Rm. Sărt Soluţie. Avem că NMB CMA şi, cum cele două unghiuri sunt suplementre, ele vor fi drepte, deci CM AB. Fie {P} = BN AC; deorece NBM ACM şi m( ACM)+m( A) = 90, rezultă că m( ABP)+ m( A) = 90, prin urmre BP AC. Astfel, N se flă l intersecţi două înălţimi le triunghiului, dică este ortocentrul cestui. Deducem că AN este tot înălţime, deci AN BC. VII.9. Se consideră triunghiul ABC cu BC > AC > AB şi punctele D,E pe ltur (BC) şi F pe (AC), stfel încât AB = BD = AF, ir AC = CE. Drept BF intersecteză AD şi AE în G, respectiv H. Arătţi că punctele D,E,G şi H sunt conciclice. Dniel Brumă, Deleni (Işi) Soluţie. Observăm că, pe BC, ordine punctelor este B E D C, deorece ltfel r rezult că BC > AB + AC, imposibil. Din triunghiurile isoscele ABF şi EAC, obţinem că m( ABF) = 90 m( A), ir m( EAC) = 90 m( C), deci m( BAH) = m( A) + m( C) 90. Deducem că m( AHB) = 80 m( ABF) m( BAH) = 80 m( A), prin urmre m( EHG) = 80 m( A) = 80 m( D) (dtfiindfptulcătriunghiulbad esteisoscel). Rezultăstfelcăm( EHG)+m( D) = 54 M B B H.. E A N A G P.. D. F C C
8 80, de unde concluzi problemei. Cls VIII- VIII.3. Rezolvţi în R ecuţi x +y xy +x 0y+4 = 0. Ionic Mrcovschi, Pşcni Soluţie. Ecuţi dtăse pote scriesub form(x y+) +(x ) +(y 3) = 0. Cum pătrtele numerelorrele sunt nenegtive, obţinem că x y+ = x = y 3 = 0, de unde x =, y = 3. VIII.4. Demonstrţi c numărul A = (4 + +)( ) ( ) 3( ) este pătrt perfect. Binc Mri Filip, elevă, Işi Soluţie. Folosind descompunere n 4 +n + = (n +) n = [n(n )+] [n(n+)+], obţinem că A = ( ++) (3 +3+) ( ), deci A este pătrt perfect. äô n +3n+9 ç = Ô n +3n+9. VIII.5. Determinţi numerele întregi n pentru cre Ionuţ Stroe, student, Işi Soluţie. Prte întregă fiind număr întreg, rezultă că n + 3n+9 = k, unde k N. Obţinem că (n + 3) + 7 = 4k, deci (k + n + 3)(k n 3) = 7, cu mbele prnteze numere întregi. Anlizând situţiile posibile, găsim soluţiile n { 8, 3,0,5}. VIII.6. Fie,b,c,p N cu,b,c distincte şi p R\Q, ir A = { p,b p, c p}. Funcţi f : A N este definită prin f(x) = x +(c b)x b. Dcă x,y A, x < y, demonstrţi că f(x) < f(y). Cosmin Mne şi Drgoş Petrică, Piteşti Soluţie. Cum f( p) N, obţinem că ( p b )+(c b) p N, de unde (c b) = 0. Ştim că 0, deci c b= 0 şi tunci f(x) = x (b+). Dcă x,y A, x < y, numerele x şi y vor fi pozitive, prin urmre x < y şi de ici rezultă că f(x) < f(y). VIII.7. Determinţi numerele rele x, y şi z, ştiind că 4(x )y z +4(y )z x +4(z )x y = 3x y z. Lucin Tuţescu şi Mrin Mărculescu, Criov Soluţie. Dcă unul dintre numerele x,y su z este zero, vom ve şi un l doile număr nul, prin urmre ecuţi dtă re soluţiile (α,0,0);(0,β,0) şi (0,0,γ), cu α,β,γ R. Dcă xyz 0, împărţim prin 4x y z şi obţinem că x x + y y + z z = 3. Fiecre dintre frcţiile din stâng este însă cel mult eglă cu 4 55
9 4 (x x 4 (x ) 0, evident devărt, cu eglitte dor dcă x = ). Deducem că ecuţi din enunţ, mi dmite, în plus, soluţi (,,). VIII.8. Dcă cercurile înscrise în trei feţe le unui tetredru sunt tngente două câte două, tunci cercul înscris în ptr fţă este tngent primelor trei. Mihály Bencze, Brşov Soluţie. Considerăm cercurile înscrise triunghiurilor ABC, ACD şi ABD tngente muchiilor în T,T,,T 6. Avem că AT = A AT = AT 3 = (deorece sunt tngente duse din A l cercurile înscrise în triunghiurile ABC, ACD). L fel, T 3 T.. BT = BT 4 = BT 6 = b; CT 4 = CT = CT 5 = c şi T DT 5 = DT 3 = DT 6 = d. Dcă M,N,P sunt punctele de D tngenţă le cercului înscris triunghiului BCD cu lturile T 6. B.. BC,CD respectiv BD, cum BM = T 5 P BCD CD = T 4 C (b+c+d) (c+d) = b = BT 4, rezultă că M = T 4. L fel, N = T 5 şi P = T 6. VIII.9. Să se rte că din feţele unui cub de muchie l, confecţiont din crton, putem construi, fără resturi, feţele şse cuburi de muchii l,l,,l 6 stfel încât l = l +l + +l 6. Petru Asftei, Işi Soluţie. Împărţim fiecre fţă cubului dt în şse pătrte de lturi l = 3 l şi l = l 3 = = l 6 = 3 l. Evident, l +l + +l 6 = 4 9 l +5 9 l = l. Cls IX- IX.. Let,b,cbe positive rel numbers. Prove tht b+c +b c+ +c +b 3. Pedro H.O. Pntoj, Brzil x Soluţi. Conform ineglităţii lui Nesbitt, vem că y +z + y z +x + z x+y 3. Luând x = +, y = b +, z = c + +, obţinem că b +c + 3. Pe de ltă prte, cum b + b, c + c, rezultă că b + c + (b + c), deci + b+c + b +c şi de ici urmeză ineglitte cerută. Eglitte se + tinge pentru = b = c =. Soluţi. AvemÈ deciè + b+c +b+c + b+c (+b+c) (+b+c) = +b+c Ö 9 +b+c (+b+c) şiè b+c 9 9 (+b+c) = 3. (+b+c), IX.. Arătţi că pentru fiecre număr nturl n, există numerele nturle x < x < < x n stfel încât = x x x n 00. Rdu Sv, Işi 56
10 Soluţie. Vom demonstr firmţi prin inducţie mtemtică. Pentru n =, putem consider x =0 şi x = 00 0.Presupunem că există x,x,,x n c în enunţ şi să rătăm că există y < y < < y n+ stfel încât = y y y n+ 00. Cum = x n x n + + x n (x n +), putem lu y = x,,y n = x n, y n = x n +, y n+ = x n (x n +) şi tote cerinţele sunt îndeplinite. IX.3. Cordele AB şi CD le unui cerc de centru O sunt perpendiculre şi se intersecteză în P. Dcă E şi F sunt mijlocele segmentelor AC, respectiv BD, rătţi că PE = OF. Petru Asftei, Işi Soluţi. Dcă R, S sunt mijlocele segmentelor AB, respectiv CD, tunci PO = PR+PS = ( PA+ AR)+(PB+ BR)+( PC+ D CS)+( PD+ DS) = ( PA+ PB+ PC+ PD)+( AR+ BR)+ ( CS+ DS) = ( PA+ PC)+( PB+ PD) = PE+PF = PE+PO+OF. Deducem că PE+OF = 0, prin O F urmre PE = FO; în prticulr, PE = OF. S Soluţi. Fie {M} = PF AC. Cum APM FPB FBP ACP, rezultă că m( APM) + m( PAM) = 90, deci m( AMP) = 90. Astfel, FP AC şi, cum OE AC, deducem că PF OE. Anlog se A P E C R B rtă că OF P E şi tunci P EOF este prlelogrm, de unde concluzi problemei. IX.4. ) Dcă O este punctul de intersecţie digonlelor neperpendiculre le ptrulterului convex ABCD, tunci AB CD dcă şi numi dcă AO +DO + BC = BO +CO +AD. b) Presupunem că AB CD, m( AC,BD) 90 şi notăm cu r,r rzele cercurilor înscrise în triunghiurile AOD, respectiv BOC şi cu R,R rzele cercurilor circumscrise cestor triunghiuri. Arătţi că AD = BC r = r R = R. Cludiu Ştefn Pop, Işi Soluţie. ) Cum AOD BOC (opuse l vârf), tunci cos AOD = cos BOC, deci AO +DO AD = BO +CO BC ( ). Deducem D C AO DO BO CO că AB CD AO OC = BO AO DO = BO CO OD ( ) O AO +DO AD = BO +CO BC AO +DO + BC = BO +CO +AD. b) Cum AB CD, re loc eglitte de l punctul ). A B În plus, AO DO = BO CO şi S AOD = S BOC (= S). Atunci R = R AD DO AO = BO CO BC AD = BC, ir r = r S = S p = 4S 4S p p p (= p) p = p AO + DO +BC +(AO DO +AO BC + DO BC) = BO + CO + AD + (BO CO + BO AD + CO AD) BC(AO + DO) = AD(BO +CO) BC(p AD) = AD(p BC) BC = AD. 57
11 IX.5. Trei ceviene concurente împrt un triunghi ABC în şse triunghiuri mi mici, vând rzele cercurilor circumscrise R,R,,R 6. Dcă R = R +R + +R 6, demonstrţi că măcr două dintre numerele R,R,,R 6 sunt cel mult egle cu 6 R. Soluţie. Cu notţiile din figură, vem că Mrius Drăgn, Bucureşti BO sinbpo = R, AO sinapo = R, deci R = AO R BO. Anlog, R 3 = BO R 4 CO, R 5 = CO R 6 AO, prin urmre R R3 R5 = AO R R 4 R 6 BO BO CO CO = şi tunci AO R R 3 R 5 = R R 4 R 6. Vom răt că cel puţin unul dintre numerele R,R 3 şi R 5 este cel mult egl cu R. Întrdevăr, în cz contrr m ve că R > 6 R, R 3 > 6 R, 6 Cum R R 3 R 5 R >, ir R R 4 R 6 R P A R R 6 N R O R 3 R 5 R 4 B M C R 5 > 6 R, deci R +R 3 +R 5 > R, ir R +R 4 +R 6 = R (R +R 3 +R 5 ) < R. +R 4 +R 6 < R 6 3, jungem l o contrdicţie. În ceeşi mnieră se rtă că cel puţin unul dintre numerele R,R 4 şi R 6 este cel mult egl cu R şi cu cest, rezolvre problemei este completă. 6 Cls X- X.. Rezolvţi ecuţi [log + x ( +x + x )] [log +x + x ( + x )] =, unde este un prmetru rel, ir [t] este prte întregă lui t. Ştefn Gvril, Pitr Nemţ Soluţie. Pentru c bz logritmilor să nu fie, se impune condiţi x R. Observăm că pentru orice x R, numerele + x şi +x + x sunt strict mi mri decât, prin urmre log + x ( +x + x ) = = t > 0. (+ x ) log +x + x Nu putem ve t =, întrucât x 0 şi tunci unul dintre numerele t su se flă t în intervlul (0,), deci prte s întregă v fi 0. În concluzie, ecuţi dtă nu re soluţii dcă R, ir pentru = 0 mulţime soluţiilor este R. X.. Se consideră mulţimile finite X, Y şi Z stfel încât Z Y, X = 4, Y 5 şi Z = 3. Determinţi Y, ştiind că numărul funcţiilor f : X Y căror imgine include Z este 08. Mihi Hivs şi Constntin Chirilă, Işi Soluţie. Dcă Z = {y,y,y 3 } Y, notăm cu A i = {f : X Y y i / f(x)}, i =,,3. Numărul funcţiilor cre verifică cerinţ problemei este m 4 A A A 3, unde m = Y. Conform principiului includerii şi excluderii, A A A 3 = A + A + A 3 A A A A 3 A A 3 + A A A 3 = 3(m ) 4 3(m ) 4 +(m 3) 4 = m 4 4m+36. Deducem că 4m 36 = 08, de unde m = 6. X.3. Fie,b,x,x,,x n numere rele strict pozitive (n N,n ) şi σ o 58
12 permutre mulţimii {,,,n}. Demonstrţi că x + b x n + b x + b n + b x x x n. x σ() x σ(n) Dn Nedeinu, Drobet Tr. Severin Soluţie. Eliminând numitorii, vem de demonstrt că (x x σ() +b)(x x σ() +b) (x n x σ(n) +b) (x +b)(x +b) (x n +b). Observăm că (x x σ() + b) (x + b)(x σ() + b), întrucât cestă ineglitte este echivlentă cu b(x x σ() ) 0. Scriind şi celellte ineglităţi similre şi înmulţindu-le membru cu membru, obţinem cee ce dorim. X.4. Fie z,z,z 3 C stfel încât z = z = z 3 = şi z z z 3, z z 3 z şi z 3 z z sunt numere rele. Demonstrţi că (z z )(z z 3 )(z 3 z ) = 0. Ionuţ Ivănescu, Criov Soluţie. Fie z = z = z 3 = r. Cum z z z 3 = z z z 3 şi z z z 3 = z z z 3, prinînmulţiremembrucumembru, obţinem(dupăreduceri)că( r)(z z z z ) = 0. Întrucât r, deducem că z z = R. Anlog se rtă că z z 3 = b R şi z 3 z = c R. Din z z =, z z 3 = c = c obţinem, prin împărţire membru cu R, cu α = c =, şdr z = ±z 3. Similr, membru, că z = α, unde α = z 3 c z = ±z şi tunci măcr două dintre cele trei numere vor fi egle, de unde cerinţ problemei. X.5. Fie ABCD un ptrulter convex şi punctele P,Q AC, R,S BD stfel încât PA PC = QA QC = AB CD = RB RD = SB. Dcă M şi N sunt mijlocele segmentelor SD PQ, respectiv RS, demonstrţi că MN < PQ+RS. Titu Zvonru, Comăneşti Soluţie. NotămAC = α,bd = β, AB = k şiputempresupunek > (înczulîn CD cre k =, unul dintre punctele S, P su Q y nu există). Alegem un reper crtezin în rport Q.. cu cre A(0,0), B(,0), C(b,c), D(d,e), cu b > C S. d. Ţinând cont de formul cre dă coordontele D punctului cre împrte un segment într-un rport.. P E. R dt, obţinem că P bk +k, ck Q bk +k, k, k, ck x A B R +dk +k, ek şi +k S dk k, k, ek prin urmre kα kβ PQ = k, ir RS = k. Coordontele punctelor M şi N sunt M bk k, ck k, respectiv N dk k, k k, deci MN = bk k dk k + ck k ek k 59 = k 4 (k ) (b d) +(c e) +
13 (k ) + k (b d) (k ). Cum CD = (b d) + (c e) şi b d CD, rezultă că MN k (k ) AB CD), de unde MN åk CD +AB k +AB CD è = k(ab +CD) k. Pentru închei rezolvre, r fi destul să demonstrăm că k (k ) (AB + CD + k(ab +CD) k k(ac +BD) k, dică AB + CD < AC + BD. Acestă ineglitte rezultă imedit din ineglitte triunghiului: dcă {E} = AC BD, tunci AB+CD < AE+EB+ CE +ED = (AE +EC)+(BE +ED) = AC +BD. Cls XI- XI.. Demonstrţi că 4(x 3 +y 3 ) 9xy x y, x,y [0, ). Lucin Tuţescu, Criov Soluţie. Dcă y = 0, vem de rătt că 4x 3 0, devărt. Fie y > 0; dcă x = y, ineglitte este evidentă, ir când x y putem presupune că x > y (dtorită simetriei). Împărţind prin y3, cu notţi t = x >, vem de rătt că f(t) 0, unde y f : [, ) R, f(t) = 4t 3 9t +9t+4. Avem că f (t) = 3(4t 6t+3) > 0, t R şi, cum f() = 8 > 0, rezultă că f(t) > 0, t [, ). Eglitte în ineglitte din enunţ se tinge când x = y = 0. è XI.. Fie şirurile (w n ) n şi (p n ) n, unde w n =å (n)!! (n )!! n+, n < n wn pn ln wn π lnnn. N (şirul luiwllis), ir p n este l n-lenumăr prim. Clculţi lim π Gbriel Mîrşnu, Işi Soluţie. Se ştie că lim w n = π, ir lim =. În ceste condiţii, vem n n nlnn de- fce cu o nedeterminre de tip. Folosind ä procedeul uzul, vlore limitei w cerute este e l w n π n π, unde l = lim = lim n π ln wn n π ln + w =. n π ç XI.3. Clculţi limit şirului (x n ) definit prin: x (0, ), α (0,) (, ), x n+ = +(+αx n ) /α, n. Gheorghe Costovici, Işi Soluţie. Pentru început, fie α (, ); vom demonstr că lim x n = 0. Prin n inducţie, obţinem că x n > 0, n N. Apoi, (+x) α > +αx, x (0, ) (întrucât funcţi f : [0, ) R, f(x) = (+x) α αx re derivt pozitivă şi f(0) = 0). Rezultă că +αx n = (+x n+ ) α > +αx n+, de unde x n+ < x n, n N. Astfel, există lim x n = l [0, ) şi (+l) α = +αl. Însă n (+l)α > +αl, dcă l (0, ), după cum m demonstrt nterior şi rămâne că l = 0. Dcă α (0,), se rtă similr că (+x) α < +αx, x (0, ). Deducem că şirul este strict crescător şi, dcă r fi mărginit superior, r ve o limită L (0, ) 60 p n
14 stfel încât(+l) α = +αl, cee cer intr încontrdicţie cu ineglittenunţtă. Rămâne că şirul este nemărginit superior, deci lim x n = +. n XI.4. Fiind dte,b,α,β R, determinţi funcţiile f : R R cu propriette: x α y α = f(x)+bf(y), x,y R. f(x) β f(y) β Mrius Tib, elev, Bucureşti Soluţie. Observăm că schimbând x şi y între ele, semnul determinntului se schimbă, cee ce conduce l f(x) + bf(y) = f(y) bf(x), x,y R, dică (+b)(f(x)+f(y)) = 0, x,y R. Dcă + b 0, tunci f(x) + f(y) = 0, x,y R. Luând y = 0, obţinem că f(x) = c, x R (unde c = f(0)). O stfel de funcţie verifică eglitte din enunţ dcă şi numi dcă c = β = 0. Atunci, dcă β 0, ecuţi dtă nu re soluţii, ir dcă β = 0, singur soluţie este funcţi nulă. Dcă + b = 0, definim g : R R prin g(x) = f(x) β, x R. Ecuţi x y α funcţionlă din enunţ devine = [g(x) g(y)], x,y R, de unde g(x) g(y) xg(y) yg(x) = ( α)[g(x) g(y)], x,y R. Dcă = α, pentru y = obţinem g(x) = xg(), x R, deci f(x) = mx+β, cu m R. Dcă α, luăm y = 0 şi obţinem că g(x) = m(x+ α), x R, de unde f(x) = m(x+ α)+β, x R. Se consttă uşor că funcţiile fine obţinute în cest cz verifică ecuţi din enunţ. Problem 6043 din G.M. 9/008 se obţine din cest, în czul prticulr α = β = 0, = b. XI.5. Determinţi mtricele X,Y,Z M (Z), vând determinntul, ştiind că X 4 +Y 4 +Z 4 = X +Y +Z +6I. Florin Stănescu, Găeşti Soluţie. Dcă notăm cu x urm mtricei X, cum detx =, rezultă că X = xx I. De ici, X 3 = xx X = (x )X xi, ir X 4 = (x )X xx = (x 3 x)x (x )I. Trecândlurmă,obţinemcăTrX = x şitr(x 4 ) = x 4 4x + şi relţii nloge u loc pentru mtricele Y şi Z. Trecem cum l urmă în eglitte dinenunţ; rezultăcăx 4 4x ++y 4 4y ++z 4 4z + = x +y +z +, de unde (x )(x 4)+(y )(y 4)+(z )(z 4) = ( ). Cum x,y,z sunt numere întregi, produsele (x )(x 4), (y )(y 4) şi (z )(z 4) sunt sigur nenegtive. Dcă, de exemplu, x 3, tunci (x )(x 4) 40 şi se junge l o contrdicţie. Rezultă că x, y, z {0,,}; pentru pute ve loc (*), v trebui c x = y = z = 0, prin urmre X = Y = Z = I. În concluzie, X,Y şi Z vor fi mtrice rbitrre de form b, cu,b Z şi + b divizibil cu b. Cls XII- XII.. Fie x,y,z numere rele nenule. Dcă x+y +z = 0 şi x 5 +y 5 +z 5 = x 7 +y 7 +z 7, clculţi vlore expresiei A = x +y +z. Mihi Crăciun, Pşcni 6
15 Soluţie. Fie xy + yz + zx =, xyz = b; tunci x,y,z sunt soluţiile ecuţiei t 3 +t b = 0. Notând S n = x n +y n +z n, n N, obţinem că S n+3 = S n+ +bs n. Cum S 0 = 3, S = 0, S =, deducem: S 3 = 3b; S 4 = ; S 5 = 5b; S 7 = 7 b. Din condiţi S 5 = S 7, rezultă că b(7+5) = 0. Cum b 0, obţinem că = 5 7 şi A = S = 0 7. Ô xn +x n+ dx, XII.. Clculţi limit şirului ( n ) n N definit prin n = n N. Bogdn Victor Grigoriu, Fălticeni Soluţi. Vom plic ineglitte CBS, form integrlă: n = 0 xn Ô+x dx Cum evident n > 0, n N, rezultă că lim n n = x dx n (+x )dx = 3(n+). Soluţi (Moubinool Omrjee). Observăm că 0 < n = x n dx =, n N, prin urmre lim n+ n = 0. n XII.3. Clculţi lim x x x+ ctgt dt. Soluţie. Din formul de medie, x x x x Ô n +x dx Silviu Bog, Işi ctgt dt = x x+ ctgt x = x(x+) t x sin cos t x t x (xt x ). Cum x+ < t x <, tunci lim x t x = 0 şi lim (xt x) = ; x x obţinem că limit cerută este eglă cu. XII.4. Se consideră funcţi continuă f : [0,] (0,]. Demonstrţi că pentru orice n N, există un unic x n x n (0,) stfel încât f(t)dt = n f(t)dt. x n Clculţi limit şirului (x n ) şi rătţi că lim n( x n) = f(t)dt. n f() 0 Florin Stănescu, Găeşti Notă. Problem părut şi în G.M. 6/00, cu numărul C.O: 530. Soluţi s pote fi găsită în G.M. /0. XII.5. Fie F mulţime funcţiilor de două ori derivbile pe [, b] cu derivt de ordin doi continuă, pentru cre f() = α şi f(b) = β, unde α şi β sunt constnte b fixte. Notăm I(f) = [f (x)] b dx, f F şi J(f) = [f (x)( + f(x))] dx, f F. Determinţi min{i(f) f F} şi min{j(f) f F}. Adrin Cordunenu, Işi 6 0
16 Soluţie. Fie f 0 F stfel încât I(f) I(f 0 ), f F. Orice f F pote fi scrisă sub form f = f 0 + εϕ, unde ϕ C [,b] şi ϕ() = ϕ(b) = 0, ir ε este o b constntărbitrră. Rezultă căi(f) = I(f 0 +εϕ) = [(f 0 +εϕ) ] b dx = [f 0 (x)] + b ε f 0 b (x)ϕ (x)dx+ε [ϕ (x)] dx, expresie l cărei minim se tinge pentru ε = 0 b (întrucât I(f) I(f 0 )). Rezultă că f 0 b (x)ϕ (x)dx = 0, de unde f 0 (x)ϕ(x)dx = 0, ϕ C [,b] cu ϕ() = ϕ(b) = 0. De ici, f 0 (x) = 0, x [,b], deci f 0(x) = λx+µ, cu λ,µ constnte cre se determină din condiţiile în cpete. În finl, găsim că f 0 este unic determint: f 0 (x) = β b (x )+ α (b x). Vlore minimă b (β α) lui I(f) este I(f 0 ) = b. Pentru dou prte, observăm că f (+f) = (f +f ), f F. Considerând funcţi g = f +f, cu g() = α+α, g(b) = β+β, vem de găsit minimul integrlei b [g (x)] dx. Ţinând sem de ), vlore minimă lui J(f) este (g(b) g()) = b (β α) (+α+β). b Prbol Un presfânt părinte spune discipolului său: Fiule, să nu uiţi niciodtă: y = x +bx+c! D, presfinte, o să ţin minte... Peste ni de zile, credinciosul îl întrebă pe mentorul său: Mă chinuie o întrebre, părinte, ce este y = x +bx+c? L cre presfântul părinte îi răspunde: Fiule, st e o prbolă! 63
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA FINALĂ - 22 mai 2010
ETAPA FINALĂ - mi 00 BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A. Pe o dreptă se consideră 00 puncte, cre formeză 009 segmente, fiecre de cm. Pe primul segment, desupr dreptei, construim un pătrt, pe l doile segment,
Διαβάστε περισσότεραSeminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii
Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur
Διαβάστε περισσότεραMULTIMEA NUMERELOR REALE
www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραTITULARIZARE 2002 Varianta 1
TITULARIZARE 2002 Vrint 1 A. Omotetii plne: definiţie, oricre două triunghiuri omotetice sunt semene, mulţime omotetiilor de celşi centru formeză un grup belin izomorf cu grupul multiplictiv l numerelor
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
Διαβάστε περισσότεραEcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau
EcuŃii de grdul l doile x + x + c = 0,,,c R, 0 Formule de rezolvre: > 0 + x =, x =, = c; su ' + ' ' ' x =, x =, =, = c Formule utile în studiul ecuńiei de grdul l II-le: x + x = (x + x ) x x = S P 3 x
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραMETODE ŞI ETAPE NECESARE PENTRU DETERMINAREA
ETOE ŞI ETAPE ECESARE PETRU ETERIAREA UGHIULUI A OUĂ PLAE PROF. IACU ARIA, ŞCOALA ROUL LAEA, ORAVIłA, CARAŞ- SEVERI (). Unghi diedru. Fie α şi β două semiplne vând ceeşi frontieră (muchie)d. Se numeşte
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva
Διαβάστε περισσότεραsin d = 8 2π 2 = 32 π
.. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],
Διαβάστε περισσότεραGeometria triunghiului
Geometri triunghiului 1 I Triunghiul ritrr Fie AB A c h m l β γ B D E A 1 Geometri triunghiului Formule de z pentru triunghiuri Notm prin:,, c lungimile lturilor B, A, respectiv AB; α, β, γ mrimile unghiurilor
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραπ } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.
Trigonometrie FuncŃii trigonometrice. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic b c b sin B, cos B, tgb c C c ctgb, sin B cosc, tgb ctgc b b. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice. sin:r [-,] A c B sin(-x)
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI"
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEŢEANĂ 8 mrtie 04 Profil rel, specilizre ştiinţele nturii FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT
Διαβάστε περισσότερα7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează
TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραIntegrale generalizate (improprii)
Integrle generlizte (improprii) Fie f : [, ] R, definită prin =, α > 0. Pentru u, funţi α f este integrilă pe intervlul [, u] şi u ln α+ α+ u u = ( α)u α α, α = ln u, α =. Dă treem l limită pentru u oţinem
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραa) De câte cămări are nevoie hârciogul pentru a depozita toate semințele? b) După al câtelea drum a umplut complet a doua cămară?
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2009 Cls V- 1. Un hârciog cră semințe într-o glerie. L primul drum duce cu el o sămânță, l l doile duce 3 semințe, l l treile duce 5 semințe, etc.,
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a
Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL CLASA a IV-a Într-o zi de Duminică, la Salina Turda, a venit un grup de vizitatori, băieți și de două ori mai multe fete. Au intrat în Salină 324 băieți și 400
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.
ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc SEMINAR 1 3. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1. Să se arate că. f (x) dx = 0. Rezolvare:
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC. Să se rte că Rezolvre: SEMINAR
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραConcursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a
Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VII-a. Fie în exteriorul triunghiului ascuţitunghic ABC, triunghiurile dreptunghice ABP şi ACT cu ipotenuzele
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a V-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραCERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON
CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON ABSTRACT. Articolul prezintă două rezultate deosebite legate de patrulaterul inscriptibil şi câteva consecinţe ce decurg din aceste rezultate. Lecţia se adresează
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,... (pe fiecare
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραOLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A
OLIMPIAA E MATEMATICĂ 3 februarie 014 CLASA A V-A 1.) Ultima cifră a unui număr natural de patru cifre este 7. acă mutăm cifra 7 de pe locul unităţilor pe locul miilor, ob inem un număr cu 86 mai mare
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότεραME.09 Transformate Fourier prin sinus şi cosinus
ME.9 Trnsformte Fourier prin sinus şi cosinus Cuvinte cheie Trnsformre Fourier prin cosinus, trnsformre Fourier prin sinus, trnsformt Fourier prin sinus, trnsformt Fourier prin cosinus, formule de inversre,
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VI-a
Clasa a VI Lumina Math Intrebari (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45. Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă. clasa a VIII-a. mate 2000 excelenţă
Maranda Linţ Dorin Linţ Rozalia Marinescu Dan Ştefan Marinescu Mihai Monea Steluţa Monea Marian Stroe Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă clasa a VIII-a mate 000
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a X-a, MAI 2010 CLASA A IV-A
Ediţia a X-a, 4 5 MAI 00 CLASA A IV-A I. Suma a două numere naturale este 75. Dacă adunăm de patru ori primul număr cu de trei ori al doilea număr obţinem 40. Aflaţi numărul cel mai mare. Eugenia Miron
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a 1. Fiind dat un număr natural nenul n, vom nota prin n! produsul 1 2 3... n (de exemplu, 4! = 1 2 3 4). Determinați numerele naturale
Διαβάστε περισσότεραC 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Διαβάστε περισσότεραAnexa B2 Elemente de reprezentare grafică în plan şi în spaţiu.
Anex B Elemente de reprezentre grfică în pln şi în spţiu. 1. Tipuri de sisteme de coordonte. Coordonte crteziene Fie xoy un sistem de coordonte crteziene în pln. Fie P un punct în pln vând coordontele
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραAxiomele geometriei în plan şi în spańiu
xiomele geometriei în pln şi în spńiu 1 xiomele geometriei în pln şi în spńiu unoştinńele de geometrie cumulte în clsele gimnzile pot fi încdrte într-un sistem logic de propozińii mtemtice: xiome, definińii,
Διαβάστε περισσότερα2AM = AI + AJ EF. Aplicând lema de mai sus în triunghiurile ABD şi ACD avem
Conursul Gzet Mtemtiă și ViitoriOlimpii.ro Prolem 1. Fie D un punt moil pe ltur (BC) triunghiului ABC. În triunghiurile ABD şi ACD se însriu erurile C 1, respetiv C. Tngent omună exterioră (lt deât BC)
Διαβάστε περισσότεραSoluţiile problemelor propuse în nr. 2/2011
Soluţiile problemelor propuse în nr. /11 Clasele primare P.6. Fie numerele a = 1 + şi b = 9. Înlocuiţi cercul şi pătratul cu cifre corespunzătoare astfel încât a + b = 15. (Clasa I) Amalia Munteanu, elevă,
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραCercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!)
Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Prof. ION CĂLINESCU,CNDG, Câmpulung Voi prezenta o abordare simplă a determinării cercului lui Euler, pe baza unei probleme de loc geometric. Preliminarii:
Διαβάστε περισσότεραTit Tihon CNRV Roman FISA DE EVALUARE A UNITATII DE INVATARE. Caracteristici vizibile observate PUNCTAJ ACORDAT
Tit Tihon CNRV Romn FISA DE EVALUARE A UNITATII DE INVATARE Nr. crt 5 6 7 8 9 0 Nr. crt Nr. crt Crcteristici vizibile observte PUNCTAJ ACORDAT preciere D+ Nu Observţii privind preciere folosire mnulului
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότερα3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale
3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραTRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii:
TRIUNGHIUL Profesor lina Penciu, Școala Făgăraș, județul rașov Daca, si sunt trei puncte necoliniare, distincte doua câte doua, atunci ( ) [] [] [] se numeste triunghi si se noteaza cu Δ. Orice Δ determina
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 6 FORME LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE. 6.1 Forme liniare
Algebră liniră CAPITOLUL 6 FORME LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE 6 Forme linire Fie V un spţiu vectoril peste un corp K Definiţi 6 Se numeşte formă liniră su funcţionlă liniră o plicţie f : V K cre stisfce
Διαβάστε περισσότεραTestul nr. 1. Testul nr. 2
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1986 Clasa a V-a 1. Este numărul 1+2+3+ +1985 par? 2. Să se afle cel mai mic număr natural care împărțit la 5 dă restul 4, împărțit la 6 dă restul
Διαβάστε περισσότεραCONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI. 1. Elipsa. Cadrul de lucru al acestui curs este un plan an euclidian orientat E 2 =
CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI 1. Elips Cdrul de lucru l cestui curs este un pln n euclidin orientt E = ( ( E ) ) E,, , Φ. Denition 1.1. Se consider dou puncte distincte F, F
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραCURS I II. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1 Integrabilitate Riemann. Criterii de integrabilitate
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC CURS I II Cpitolul I: Integrl
Διαβάστε περισσότεραSoluţiile problemelor propuse în nr. 1/2015
Soluţiile problemelor propuse în nr. 1/15 Clasele primare P311. Scrie în casete toate numerele de la 1 la 19, o singură dată fiecare, astfel încât să obţii rezultatul dat: + = + = + = + = + = 9. (Clasa
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραy y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =
Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului
Διαβάστε περισσότεραAl cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ
CAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ În teori Integrlei definite numită şi Integrl Riemnn, s- urmărit c, l numite funcţii rele de o vriilă relă, dte pe mulţimi din R, după o schemă
Διαβάστε περισσότεραCursul 4. Matrice. Rangul unei matrice. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare. Metoda eliminării a lui Gauss
Lector univ dr Cristin Nrte Cursul 4 Mtrice Rngul unei mtrice Rezolvre sistemelor de ecuţii linire Metod eliminării lui Guss Definiţie O mtrice m n este o serie de mn intrări, numite elemente, rnjte în
Διαβάστε περισσότεραDreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra
ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom
Διαβάστε περισσότερα