ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ»"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ.-. ΜΠΑΛΟ ΗΜΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΕΜΠ.ΣΤΑΘΑΣ ΑΝΑΠΛ. ΚΑΘΗΓ. ΕΜΠ ΑΘΗΝΑ 6

2 . ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη Ευρώπη εώ και αρκετά χρόια έχει ααπτυχθεί ο τοµέας ελέγχου της ποιότητας τω παραγοµέω προϊότω και τω υκευώ µέω τω οποίω παράγοται τα προϊότα αυτά. Οι ατίτοιχες υκευές παραγωγής προϊότω για τη εργαία του Τοπογράφου Μηχαικού είαι προφαώς τα πάης φύεως γεωαιτικά και φωτογραµµετρικά όργαα µαζί µε το ααγκαίο βοηθητικό εξοπλιµό τους. Τα τελευταία χρόια, µε τη ψήφιη ειικού όµου, ειήχθη και τη Ελλάα ο υποχρεωτικός έλεγχος ποιότητας τω προϊότω. Το γεγοός αυτό βέβαια έχει ως αποτέλεµα αάµεα τα υπό έλεγχο προϊότα α υµπεριληφθού και οι µετρήεις µεγεθώ όπως : γωίες, µήκη, υψοµετρικές ιαφορές και εικοουτεταγµέες. Αυτό ηµαίει ότι τα όργαα µε τα οποία γίοται οι µετρήεις θα πρέπει α είαι ελεγµέα ως προς το τρόπο λειτουργίας τους και τη ποιότητα τω αποτελεµάτω τω µετρήεω που γίοται µε αυτά. ηλαή ελέγχεται η ακρίβεια και η αξιοπιτία τω µετρήεω που γίοται µε τα όργαα αυτά. Οι έλεγχοι αυτοί ακολουθού οριµέες ιεθείς προιαγραφές για το τρόπο µε το οποίο πρέπει α γίοται χωρίς α αποκλείεται και η περίπτωη α εφαρµόζοται και άλλου είους έλεγχοι αρκεί α έχου εγκριθεί από τους αρµόιους φορείς όπως π.χ. ο ΕΛ.Ο.Τ. Η Μετρολογία λοιπό είαι η επιτήµη της ακρίβειας τω µετρήεω και έχει ως ατικείµεο το θεωρητικό υπόβαθρο και τη εφαρµογή υγκεκριµέω ιαικαιώ ελέγχου αάλογα µε το ελεγχόµεο όργαο.

3 3 Στις παρούες ηµειώεις θα γίει ααφορά το θεωρητικό υπόβαθρο το οποίο τηρίζοται οι έλεγχοι τω οργάω που τη ουία είαι η εφαρµογή καόω και µεθόω της τατιτικής αάλυης. Πολλές έοιες είαι γωτές από τα ατίτοιχα µαθήµατα της Στατιτικής και της Θεωρίας Σφαλµάτω- Μεθόου Ελαχίτω Τετραγώω. Έτι τις επόµεες ελίες θα γίει µια ααφορά ε βαικές έοιες (ορολογία) που χρηιµοποιείται τη Μετρολογία καθώς επίης και ε κεφάλαια της τατιτικής χετικά µε τις βαικές υαρτήεις τω καταοµώ και τους τατιτικούς ελέγχους υποθέεω που κυρίως χρηιµοποιούται για α ελέγχοται τα τοπογραφικά όργαα τόο για τα υτηµατικά τους φάλµατα όο και για τη αξιοπιτία τους.

4 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Οι έοιες που θα οριθού παρακάτω ααφέροται και το όµο που αφορά ε θέµατα µετρολογίας τη Ελλάα. Βαθµοόµηη: είαι η ααγραφή, τη κεή κλίµακα του οργάου, τω εείξεω µε βάη έα γωτό και καθοριµέης ακρίβειας µέγεθος της φυικής ιιότητας τη οποία µετρά το όργαο. Για παράειγµα το θεοόλιχο που µετρά γωίες (φυική ιιότητα) ααγράφοται οι βαθµοί και η απόοη του (κλίµακα µέτρηης αά cc ή 5 cc κ.λπ.). ιακρίβωη: είαι η ύγκριη µεταξύ υο οργάω ή υκευώ µέτρηης, από τα οποία το έα είαι το εθικό πρότυπο ή πρότυπο γωτής ακρίβειας η οποία έχει µεταφερθεί ε αυτό από τα εθικά πρότυπα. Με τη ύγκριη αυτή βαθµοοµείται το υπό έλεγχο όργαο και ιαπιτώεται, επαληθεύεται ή επααφέρεται µε ρύθµιη η ακρίβεια του. ιαπίτευη: είαι η ιαικαία κατά τη οποία έας εξουιοοτηµέος φορέας χορηγεί επίηµη ααγώριη για τη ικαότητα άλλου φορέα ή ατόµου α εκτελεί υγκεκριµέα καθήκοτα. Πιτοποίηη: είαι η πράξη του Εθικού Ιρύµατος Μετρολογίας (Ε.Ι.Μ.) ή οποιουήποτε άλλου ιαπιτευµέου φορέα µε τη οποία πιτοποιείται η τεκµηρίωη της ακρίβειας ύµφωα µε προκαθοριµέες απαιτήεις. Συµµόρφωη: είαι η ικαοποίηη προιαγεγραµµέω απαιτήεω από προϊό ιαικαίας ή υπηρεία. Πρότυπο: είαι η υλοποιηµέη µοάα µέτρηης, τα υλικά ααφοράς ή υτήµατα µέτρηης, προοριµέα α ορίου, α πραγµατοποιήου, α υτηρήου ή α ααπαραγάγου µια µοάα ή µια ή και περιότερες αξίες εός µεγέθους για α χρηιµεύου ως βάη ααφοράς.

5 5 Εθικό πρότυπο: είαι το εθικά ααγωριµέο πρότυπο προκειµέου α χρηιµοποιείται ε µια χώρα ως βάη για το καθοριµό τιµώ ε άλλα πρότυπα του µεγέθους που αφορά. Πρωτεύο πρότυπο: είαι το πρότυπο το οποίο έχει καθοριθεί ή ααγωρίζεται ευρέως ότι έχει τις υψηλότερες µετρολογικές ιιότητες και η τιµή του είαι αποεκτή χωρίς α γίεται ααφορά ε άλλα πρότυπα του ίιου µεγέθους. ευτερεύο πρότυπο: είαι το πρότυπο του οποίου η τιµή καθορίζεται µέω ύγκριης µε έα πρωτεύο πρότυπο για το ίιο µέγεθος. Πρότυπα εργαίας: είαι οι πιτοποιηµέες µοάες, υκευές ή ιατάξεις που χρηιµοποιούται για τη ιακρίβωη υκευώ οκιµώ, µετρήεω ή ιαγώεω καθηµεριής χρήης. Για παράειγµα τέτοιου είους όργαα που θα µπορούα α χρηιµοποιηθού κλιµακωτά ως πρότυπα για το έλεγχο τω οργάω µέτρηης µηκώ είαι: Συµβολόµετρο χετικής ακρίβειας -8 (π.χ. εθικό πρότυπο). EDM (όπως π.χ. το Μεκόµετρο) χετικής ακρίβειας από -6 έως -7 (π.χ. πρωτεύο πρότυπο). Ταιίες invar χετικής ακρίβειας -6 ( π.χ. ευτερεύο πρότυπο). EDM χετικής ακρίβειας.5-5 (π.χ. πρότυπο εργαίας). Για τα θεοόλιχα ατίτοιχα θα µπορούε α χρηιµοποιηθεί κατάλληλα ιαµορφωµέο ύτηµα ελέγχου (όπως αυτό που χρηιµοποιείται από τη εταιρεία παραγωγής γεωαιτικώ οργάω Leica) το οποίο βαίζεται ε θεοόλιχο υψηλής ακρίβειας.

6 6 3. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Για τη τατιτική επεξεργαία τω αποτελεµάτω βάει της οποίας ελέγχοται τα γεωαιτικά όργαα χρηιµοποιούται οι παρακάτω υαρτήεις πυκότητας πιθαότητας (καταοµές): Καοική καταοµή ή καταοµή του Gauss. Υπεθυµίζεται ότι για µοοιάτατα µεγέθη η υάρτηη πυκότητας της καοικής καταοµής ίεται από τη χέη: f ( ) = ( µ ) e π µ Η µεταβλητή z = z ~ Ν(,) ηλαή ακολουθεί τη τυποποιηµέη καοική καταοµή µε υάρτηη πιθαότητας: f ( z) = e π z Καταοµή του Student ή καταοµή t. Καταοµή Χ. Καταοµή F. Οι τρεις τελευταίες είαι υαρτήεις της καταοµής Γάµµα και ε έχει ιιαίτερη ηµαία α οθού οι χέεις που ιχύου γι αυτές αφού τις τιµές τους τις ατλούµε από κατάλληλους πίακες. 4. ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΕΩ ΑΙΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ. Είαι γωτό ότι τις µετρήεις εµφαίζοται τα παρακάτω φάλµατα: Χοροειή Συτηµατικά Τυχαία

7 7 Οι έλεγχοι τω γεωαιτικώ οργάω ετιάζοται τη ακρίβεια και τη αξιοπιτία τους (έλεγχος εξωτερικής και εωτερικής ακρίβειας ατιτοίχως). Αυτό ηµαίει, όπως είαι γωτό, ότι έχει ηµαία ο προιοριµός τω υτηµατικώ φαλµάτω και η υµπεριφορά τω οργάω τις επααληπτικές µετρήεις (ηλαή η καταοµή τω τυχαίω φαλµάτω) ατιτοίχως. Ο προιοριµός τω υτηµατικώ φαλµάτω γίεται υγκρίοτας τη µέη τιµή µιας ειράς µετρήεω µε τη τιµή του ίιου µεγέθους η οποία έχει προκύψει από µετρήεις µε έα όργαο που θεωρείται ως πρότυπο (ακριβής τιµή µεγέθους). Πρέπει α υπεθυµιθεί ότι το φάλµα είαι: Σφάλµα= µέτρηη ακριβής τιµή. Εώ η ιόρθωη είαι: ιόρθωη= ακριβής τιµή µέτρηη. Οι έλεγχοι τω υτηµατικώ φαλµάτω και της αξιοπιτίας βαίζοται ε τατιτικούς ελέγχους υποθέεω. Για α εφαρµοθού αυτοί οι έλεγχοι, όπως είαι γωτό από τη τατιτική, είαι ααγκαίος ο υπολογιµός της µέης τιµής X και του τυπικού φάλµατος της µιας µέτρηης (εποµέως και της µεταβλητότητας ) µιας ειράς µετρήεω. Σηµαία επίης έχει για τη εφαρµογή τους α το τυπικό φάλµα αφορά έα είγµα µετρήεω ή το πληθυµό. Η µεταβλητότητα θεωρείται ότι αφορά το πληθυµό ότα προέρχεται από µεγάλο αριθµό µετρήεω ή ότα είαι εοµέη (π.χ. η εοµέη από το κατακευατή ακρίβεια του EDM είαι ±5mm). Αάλογα µε το είος του ελέγχου α πρόκειται ηλαή για προιοριµό υτηµατικώ φαλµάτω ή για το έλεγχο της αξιοπιτίας του οργάου και

8 8 αάλογα µε τα εοµέα χρηιµοποιείται η κατάλληλη καταοµή για τη ιχύ εός ελέγχου υπόθεης. Έτι για τα υτηµατικά φάλµατα µε εοµέη ή όχι τη µεταβλητότητα τω µετρήεω χρηιµοποιούται η καοική ή η καταοµή του Student ατιτοίχως. Για το έλεγχο της αξιοπιτίας του οργάου ή για τη ύγκριη της αξιοπιτίας υο οργάω χρηιµοποιούται η Χ και η F. Σηµαία επίης έχει πρι από το έλεγχο µιας υπόθεης α οριθεί το ιάτηµα εµπιτούης που υέεται µε τη πιθαότητα του α περιέχεται µια τιµή µέα αυτό και µε τη καταοµή που θα χρηιµοποιηθεί για το έλεγχο. 5. ΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ- ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΗΣ Στους ελέγχους τω οργάω, εκείο που έχει ηµαία είαι α ιερευηθεί τατιτικά α η τιµή εός µεγέθους, που έχει προκύψει µετά από µετρήεις µε υγκεκριµέο όργαο, βρίκεται ε έα οριµέο ιάτηµα τιµώ (ηλ. ιχύει η αιότητα b b [ b, ] b ) µε µια προκαθοριµέη πιθαότητα P. Η προκαθοριµέη πιθαότητα λαµβάεται υήθως 95% ή 99%. ηλαή : π.χ. ( ) P b b = α =. 95 Το παραπάω ιάτηµα τιµώ οοµάζεται ιάτηµα εµπιτούης εώ η όλη ιαικαία ελέγχου οοµάζεται εκτίµηη ιατήµατος. Η πιθαότητα P = α οοµάζεται επίπεο ή τάθµη εµπιτούης εώ η τιµή του α οοµάζεται επίπεο ηµατικότητας. Για α γίει η εκτίµηη ιατήµατος είαι ααγκαίο: ) α υπολογιθεί η καλύτερη τιµή για το µέγεθος από το ύολο τω µετρήεω που είαι ιαθέιµες και ) α είαι γωτή η καταοµή που ακολουθού οι τιµές του µεγέθους. Για το ιάτηµα εµπιτούης η προκαθοριµέη πιθαότητα, όπως ελέχθη, λαµβάεται υήθως 95% ή 99%. Μικρότερες ή µεγαλύτερες τιµές µπορεί α προκαλέου λάθη τύπου Ι ή ΙΙ ατιτοίχως. ηλαή κατά το έλεγχο α απορριφθού (τύπος Ι) ή α γίου εκτές (τύπος ΙΙ) τιµές εώ ε πρέπει.

9 9 Πολλές φορές τίθεται το ερώτηµα α το αποτέλεµα από µια τατιτική επεξεργαία µπορεί α γίει αποεκτό ή όχι ή α υγκριθεί αυτό το αποτέλεµα µε άλλη τιµή για το µέγεθος που ατιπροωπεύει. Σε αυτή τη περίπτωη, ύµφωα µε τη τατιτική, πρέπει α γίει έλεγχος της υπόθεης που κάουµε αάλογα µε το πώς τίθεται το ερώτηµα. Κατά τη ιαικαία αυτού του ελέγχου υπάρχει πάτοτε η µηεική υπόθεη Η και η εαλλακτική υπόθεη Η α. Ο έλεγχος της υπόθεης είαι άµεα υεεµέος µε το καθοριµό του ιατήµατος εµπιτούης και εποµέως και µε τη καταοµή που ακολουθεί η µεταβλητή που εξετάζεται. Υπεθυµίζεται ότι το πρόβληµα υµβολικά ιατυπώεται ως εξής: Έτω ότι θέλουµε α ελέγξουµε π.χ. α η τιµή µ είαι ίη µε τη τιµή µ. Η µηεική υπόθεη είαι: Η : µ = µ Η εαλλακτική υπόθεη µπορεί α είαι : Η α : µ µ ή µ µ ή µ µ. Στη περίπτωη που για τη εαλλακτική υπόθεη ιχύει το τότε ο έλεγχος είαι αµφίπλευρος για τις άλλες ύο περιπτώεις ο έλεγχος είαι µοόπλευρος. Στα επόµεα θα ούµε πιο ααλυτικά, βαιζόµεοι τα παραπάω, µε ποιους τρόπους ελέγχοται τα υτηµατικά φάλµατα τω οργάω και πως ελέγχεται η αξιοπιτία τους. 5. ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. Όπως ααφέρθηκε προηγουµέως ο έλεγχος τω υτηµατικώ φαλµάτω που γίεται τα όργαα χετίζεται µε τη ορθότητα τω µετρήεω. Ο έλεγχος αυτός µπορεί α αφορά: ) Στη ύγκριη της µέης τιµής, η οποία έχει προκύψει από µια ειρά µετρήεω µε το ελεγχόµεο όργαο, µε τη ακριβή τιµή του µεγέθους η οποία είαι εοµέη. ) Στη ύγκριη µεταξύ ύο µέω τιµώ µετρήεω οι οποίες έχου γίει µε ύο ιαφορετικά όργαα(χετικό υτηµατικό φάλµα).

10 Και τις ύο περιπτώεις ακολουθείται η ίια ιαικαία µε µια ιαφορά, ότι ηλαή κατά το έλεγχο της υπόθεης µπορεί α χρηιµοποιηθεί η καοική καταοµή ή η καταοµή του Student (t καταοµή) αάλογα µε τα εοµέα. η Περίπτωη: Σύγκριη µέης τιµής µε ακριβή τιµή (εοµέη τιµή τυπικού φάλµατος της µέης τιµής). Το πρόβληµα ε αυτή τη περίπτωη µπορεί α τεθεί µε ύο µορφές. Α) ίεται η ακριβής τιµή µ εός µεγέθους, η µέη τιµή από µια ειρά µετρήεω και το τυπικό φάλµα της µέης τιµής. Το τυπικό φάλµα της µέης τιµής θεωρείται ότι προκύπτει από το πληθυµό (ηλαή το είαι πολύ µεγάλο >) ή ότι είαι εοµέη ηλαή το Μηεική υπόθεη: Η : µ = που ηµαίει µ = = Εαλλακτική υπόθεη: Η α : µ που ηµαίει µ = Σε αυτή τη περίπτωη ο έλεγχος γίεται ως εξής: ) ηµιουργείται η ιαφορά = µ είαι του πληθυµού. ) Υπολογίζεται το τυπικό φάλµα της ιαφοράς = + = µ ιότι η ακριβής τιµή µ θεωρείται ότι ε έχει φάλµα. 3) Λόγω τω παραπάω προϋποθέεω θα χρηιµοποιηθεί η καοική καταοµή για αµφίπλευρο έλεγχο, οπότε επιλέγεται βάει του επιπέου εµπιτούης από τους πίακες η τιµή z α /. 4) Ελέγχεται η ικαοποίηη ή µη της αιότητας: z α / 5) Α ιχύει τότε ικαοποιείται η µηεική υπόθεη, πράγµα που ηµαίει ότι ε υπάρχει υτηµατικό φάλµα, άλλως η εαλλακτική οπότε πιτοποιείται η ύπαρξη υτηµατικού φάλµατος. ο Παράειγµα: µ = m, = m, =± 4mm για επίπεο εµπιτούης 95% α ελεγχθεί η ύπαρξη υτηµατικού φάλµατος ότα =5. Καοική καταοµή άρα z α / =.96 (αµφίπλευρος έλεγχος), = mm, / =.5. Άρα.5>.96 εποµέως υπάρχει υτηµατικό φάλµα.

11 ο Παράειγµα: m, m, ( 5mm 5ppm) µ = = οργ =± + για επίπεο εµπιτούης 95% α ελεγχθεί α υπάρχει υτηµατικό φάλµα το όργαο. Πάλι καοική καταοµή (εοµέο το τυπικό φάλµα από το κατακευατή) άρα z α / =.96, = mm, = ± 5.7mm, / =.76 <.96 άρα ε υπάρχει υτηµατικό φάλµα το όργαο. η Περίπτωη: Σύγκριη µέης τιµής µε ακριβή τιµή (µη εοµέη η τιµή του τυπικού φάλµατος). Σε αυτή τη περίπτωη ίοται όπως και τη προηγούµεη τα ίια τοιχεία µε τη ιαφορά ότι το τυπικό φάλµα της µέης τιµής προέρχεται από µικρό αριθµό παρατηρήεω. Εποµέως αφορά ε είγµα και όχι το πληθυµό και άρα αποτελεί εκτίµηη του τυπικού φάλµατος της µέης τιµής. Οι υποθέεις είαι ίιες όπως και τη η περίπτωη Και εώ επίης ηµιουργείται ο λόγος t = / αλλά αυτός θα πρέπει α ελεγχθεί µε τη καταοµή Student. Για το επιλεγµέο επίπεο εµπιτούης (για αµφίπλευρο έλεγχο) και µε τοιχείο ειόου, τους κατάλληλους πίακες, τους βαθµούς ελευθερίας, που είαι, βρίκεται το ηµείο t α /,. Προφαώς ε υπάρχει υτηµατικό φάλµα ότα t t α /,. Παράειγµα: µ = m, = m, =± 6 mm, = 5, για επίπεο εµπιτούης 95% α ελεγχθεί α υπάρχει υτηµατικό φάλµα το όργαο. Υπολογίζεται ο λόγος mm t = = = = mm Και αυτή τη περίπτωη το µ = άρα =. Από τους πίακες της καταοµής Student επειή πρόκειται για αµφίπλευρο έλεγχο και για 4 βαθµούς ελευθερίας βρίκεται το εκατοτιαίο ηµείο t.5,4 =.64. Είαι φαερό ότι ιχύει t =.667 <.64 και εποµέως ε υπάρχει υτηµατικό φάλµα το όργαο.

12 3 Περίπτωη: Έλεγχος για χετικό υτηµατικό φάλµα. Η περίπτωη αυτή εµφαίζεται ότα υγκρίοται υο όργαα µεταξύ τους. Τα εοµέα είαι: για το πρώτο όργαο,, για επίπεο εµπιτούης α.,, και για το εύτερο Η µηεική υπόθεη είαι: Η = = και η εαλλακτική υπόθεη είαι: Η α = Αµφίπλευρος έλεγχος και εώ. Το πρόβληµα ατιµετωπίζεται αάλογα µε τις υθήκες ως εξής: Α) Ότα θεωρούται γωτές (ή εοµέες) οι µεταβλητότητες, άρα και τα τυπικά φάλµατα, τότε για το έλεγχο του λόγου / προφαώς χρηιµοποιείται η καοική καταοµή, όπως και τη η περίπτωη, υπολογίζοτας το από τη χέη: = + Β) Ότα θεωρούται άγωτες οι µεταβλητότητες (είαι εκτιµήεις) επειή προέρχοται από έα είγµα και όχι το πληθυµό τότε για το έλεγχο του λόγου / χρηιµοποιείται η καταοµή του Student. ηλαή υπολογίζοται: t = = + και για εοµέο επίπεο εµπιτούης βρίκεται το t α /, από τους πίακες της καταοµής Student. Όπου οι βαθµοί ελευθερίας είαι : = + Στη βιβλιογραφία υατώται ύο υποπεριπτώεις: ) ότα τα όργαα είαι ιαφορετικά (π.χ. από άλλο κατακευατή ή ιαφορετικής ακρίβειας ) άρα έχου άγωτες µε αλλά ιαφορετικές µεταβλητότητες. Σε αυτή τη περίπτωη προεγγιτική χέη: ( + ) οι βαθµοί ελευθερίας υπολογίζοται από τη

13 3 ) ότα τα όργαα θεωρητικά έχου τη ίια ακρίβεια (π.χ. είαι ο ίιος τύπος οργάω από το ίιο κατακευατή) οπότε) άρα έχου τις ίιες µε αλλά άγωτες µεταβλητότητες. Σε αυτή τη περίπτωη υπολογίζεται ιαφορετικά η τιµή του χέη: από τη = + όπου το υπολογίζεται από τη χέη: = ( ) + ( ) + όπου = και = ηλαή είαι οι µεταβλητότητες όπως αυτές προκύπτου από τα τυπικά φάλµατα της µιας µέτρηης. Παράειγµα: ίοται = m, =± 8 mm, = 5 και = 5.69 m, =± mm, = Ζητείται α ιερευηθεί α υπάρχει υτηµατικό χετικό φάλµα µεταξύ τω ύο οργάω υποπεριπτώεις: ) ιαφορετικής ακρίβειας: Υπολογίζουµε: = 7mm, ( 8 + ) = για επίπεο εµπιτούης 95% εξετάζοτας και τις ύο = 8 + =±.6mm άρα 7mm t = =.3.6mm Από τη καταοµή Student για 95% επίπεο εµπιτούης, για αµφίπλευρο έλεγχο και = λαµβάεται η κρίιµη τιµή t.5, =.74 Όπως φαίεται t < t.5, άρα ε υπάρχει χετικό υτηµατικό φάλµα µεταξύ τω ύο οργάω.

14 4 Εά οι βαθµοί ελευθερίας υπολογίζοτα από τη χέη = + = 33 το κρίιµο ηµείο θα ήτα t.5,33 =.36 το οποίο µικρή ιαφορά έχει από το ατίτοιχο για = και το αποτέλεµα είαι το ίιο. ) ίιας ακρίβειας: Υπολογίζοται : = 7mm, = 8 5 = 69.7mm, = = 44.7mm = = 56.7mm 5 + Το πλέο υπολογίζεται από τη χέη: = mm + = 5 + = εποµέως 7mm t = =.39 το κρίιµο ηµείο είαι t.5,33 = mm ε υπάρχει χετικό υτηµατικό φάλµα µεταξύ τω ύο οργάω. Εά το υπολογιθεί από τη χέη = 8 + =.6mm τότε το παραµέει το ίιο t.5,33 =.36 7mm t = =.3, το κρίιµο ηµείο.6mm και ιχύει πάλι η µη ύπαρξη χετικού υτηµατικού φάλµατος. Από τα παραπάω φαίεται ότι ε υπάρχει ουιατική ιαφορά τους ελέγχους α αγοηθού οι υο υποπεριπτώεις. Πιθαό ιαφορές α εµφαίζοται ε οριακές κατατάεις για τις τιµές του t ή ότα έχουµε πολύ µικρό αριθµό παρατηρήεω. 5. ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΉΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ Ο έλεγχος ε αυτή τη περίπτωη έχει α κάει µε τη αξιοπιτία τω οργάω ηλαή µε τη ακρίβεια που αυτά παρέχου. Εώ ιακρίουµε ύο περιπτώεις:

15 5 ) Έλεγχος τω αποτελεµάτω εός οργάου ε χέη µε τη εοµέη ακρίβεια που αυτό θεωρητικά παρέχει (π.χ. ακρίβεια από το κατακευατή). ) Έλεγχος της χετικής ακρίβειας που ύο όργαα παρέχου υγκρίοτας τα αποτελέµατά τους. η Περίπτωη: Έλεγχος ακρίβειας εός οργάου. Τα εοµέα που ιατίθεται για το έλεγχο της αξιοπιτίας εός οργάου ε χέη µε τη εοµέη ακρίβεια που αυτό µπορεί α ώει είαι: Η µέη τιµή από µια ειρά µετρήεω, το τυπικό της φάλµα, ο αριθµός τω µετρήεω και η εοµέη ακρίβεια γι αυτό, που εκφράζεται µε το τυπικό φάλµα. Η µηεική υπόθεη είαι: Η = : Η εαλλακτική υπόθεη είαι: Ηα : Για επίπεο εµπιτούης -α ζητείται ο έλεγχος αυτώ τω υποθέεω. Το πρόβληµα ατιµετωπίζεται ως εξής: Υπολογίζεται το τυπικό φάλµα της µιας µέτρηης: = και ηµιουργείται ο λόγος: i χ = ( ) i Χρηιµοποιείται η χ καταοµή και βέβαια λόγω της εαλλακτικής υπόθεης ο έλεγχος θα είαι αµφίπλευρος. Επιλέγοται τα εκατοτιαία ηµεία ( α /) χ και ( α /) χ. Η µηεική υπόθεη ιχύει ότα : χ ( α /) χ ( α /) χ Παράειγµα: Μετά από 6 µετρήεις µε έα EDM πρόκυψε για έα µήκος τω 5.65m έα τυπικό φάλµα της µέης τιµής =± 7mm. Ο κατακευατής ίει γι αυτό το όργαο ( mm ppm) το όργαο ακολουθεί τη ακρίβεια του κατακευατή. = ± 5 ± 5. Να ελεγχθεί α

16 6 Υπολογίζεται το : =± 5.6mm Υπολογίζεται το τυπικό φάλµα της µιας µέτρηης: = = 7. i mm ηµιουργείται ο λόγος : ( ) χ = i = 46.6 Βρίκοται τα εκατοτιαία ηµεία: ( ).975 χ = και 5.83 ( ).5 χ = 5.83 Είαι φαερό.ότι η τιµή του χ είαι έξω από τα όρια τω ύο εκατοτιαίω ηµείω άρα ε ακολουθείται η προιαγεγραµµέη ακρίβεια του κατακευατή. η Περίπτωη : Σύγκριη ακριβειώ ύο οργάω (χετική ακρίβεια). Τα εοµέα αυτή τη περίπτωη είαι τα τυπικά φάλµατα της µέης τιµής (ή και της µιας µέτρηης) για κάθε όργαο καθώς και ο αριθµός τω µετρήεω για κάθε έα. ηλαή : ο όργαο:, (ή, ) και για το ο όργαο:, (ή, ). Ζητείται α ελεγχθεί α τα ύο όργαα έχου τη ίια ακρίβεια για εοµέο επίπεο εµπιτούης -α. Η µηεική υπόθεη είαι: Η = % : Η εαλλακτική υπόθεη είαι: Το πρόβληµα λύεται ως εξής: Ηα : ηµιουργείται ό λόγος : f = (το αριθµητή µπαίει η µεγαλύτερη από τις ύο ηλ. ότα > ). Χρηιµοποιείται η καταοµή F και ο έλεγχος θα είαι αµφίπλευρος λόγω της εαλλακτικής υπόθεης. Προιορίζοται τα κρίιµα ηµεία : F α /, / F α., και Η µηεική υπόθεη ιχύει α υµβαίει: F α /, / F α., f Επειή η τιµή του επιπέου ηµατικότητας α είαι µικρή, γι αυτές τις περιπτώεις, ιχύει η χέη: F α / = / <. F α /,,

17 7 Έτι αρκεί α ελεγχθεί η αιότητα: f F α /., Παράειγµα: Οι µετρήεις του ίιου µήκους µε ύο όργαα έωα τα εξής αποτελέµατα: ο όργαο: ο όργαο: = ± mm, = 5 = ± 6 mm, = Να ελεγχθεί για επίπεο εµπιτούης 95% α αυτά έχου τη ίια ακρίβεια. Υπολογίζοται τα τυπικά φάλµατα της µιας µέτρηης: =± 5 =± 38.7mm και =± 6 =± 9mm ηµιουργείται ο λόγος : 38.7 f = = = Από τη F καταοµή ετοπίζεται το εκατοτιαίο ηµείο:.5 F 4,9 = 3.83 και φαίεται ότι : f = 4.49 > F.5 4,9 = Άρα τα ύο όργαα ε έχου τη ίια ακρίβεια. 5.3 ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΕΩ ΑΙΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ Οι έλεγχοι τω θεοόλιχω και τω χωροβατώ ε ότι αφορά τις βαικές υθήκες που πρέπει α πληρούται για τη καλή τους λειτουργία καθώς και ο έλεγχος για τα υτηµατικά φάλµατα που εµφαίζοται τις µετρήεις µε τα EDM ααπτύοται τα βιβλία και τις ηµειώεις : ) «Γεωαιτικά όργαα και µέθοοι µέτρηης γωιώ και µηκώ».-. Μπαλοήµος και.σταθάς, 993, 3 ο Εξαµ. ΣΑΤΜ. ) «Υψοµετρία».-. Μπαλοήµος, Ο.Αραµπατζή, 4, 3 ο Εξαµ.ΣΑΤΜ. Ειικές µέθοοι ελέγχου που εφαρµόζοται κατά το πρότυπο DIN ε όλα τα παραπάω όργαα εξηγούται και ααπτύοται τις ατίτοιχες πειραµατικές και υπολογιτικές ακήεις που γίοται τη ιάρκεια του µαθήµατος.

18 8 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ) «Γεωαιία Ι» Σηµειώεις, Α.Μ. Αγατζά Μπαλοήµου, Χ. Μητακάκη, Χ. Μπιλήρης,.Σταθάς, Μ.Τακίρη,5. ) «Τοπογραφία». Βλάχος, ος τόµος, Θεαλοίκη 987 3) «Θεωρία Σφαλµάτω και Συορθώεις Ι» Α.Μ. Αγατζά - Μπαλοήµου Αθήα,. 4) «Συορθώεις τω παρατηρήεω και Θεωρία Εκτίµηης», Α. ερµάης, ος τόµος, Εκόεις Ζήη Θεαλοίκη 986.

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές Στατιτικές Συαρτήεις και Δειγματοληπτικές Καταομές 0 Στατιτικές υαρτήεις και δειγματοληπτικές καταομές Στο ειαγωγικό κεφάλαιο του Β Μέρους (8 ο Κεφάλαιο εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζου από τα δεδομέα»

Διαβάστε περισσότερα

ειγματοληπτικές κατανομές

ειγματοληπτικές κατανομές ειγματοληπτικές καταομές Σκοπός της τατιτικής υμπεραματολογίας: η εξαγωγή ατικειμεικώ υμπεραμάτω για έα πληθυμό από περιοριμέο αριθμό δεδομέω (δείγμα). Με τη περιγραφική τατιτική υχά μπορούμε α βγάλουμε

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις ρ.χ. Στρουθόπουλος, e-mail: stch@teise.g ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων Στατιτικός έλεγχος υποθέεω. Βαικές έοιες. Στατιτικός έλεγχος υποθέεω για τη μέη τιμή εός πληθυμού.. Ο πληθυμός είαι καοικός.. Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο.3 Πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ και ιχύς

Διαβάστε περισσότερα

11. Σημειακή Εκτίμηση & Εκτίμηση με Διάστημα

11. Σημειακή Εκτίμηση & Εκτίμηση με Διάστημα Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Αρκετά τρόφιμα περιέχου το ιχοτοιχείο ελήιο το οποίο, ότα προλαμβάεται ε μικρές ποότητες ημερηίως, έχει ευεργετική

Διαβάστε περισσότερα

12. Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων

12. Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Έας έος τύπος τιγάρω βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Α το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καποβιομηχαίας παραγωγής, εδιαφέρεται α γωρίζει τη μέη ποότητα

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Σημειακή εκτίμηη και εκτίμηη με διάτημα Εκτιμήτριες υαρτήεις και μέθοδοι εκτίμηης Σημειακή εκτίμηη Ιδιότητες τω εκτιμητριώ 3 Εκτίμηη με διάτημα Διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή εός πληθυμού Ο πληθυμός

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

4.6. Μη γραµµικοί ταξινοµητές Ν Back error propagation

4.6. Μη γραµµικοί ταξινοµητές Ν Back error propagation ΑΤΕΙ Σερρώ 4.6. Μη γραιοί ταξιοητές Back error propagaon Μία ιαφορετιή τεχιή χειαού εός πολυεπίπεου percepron για τη ταξιόηη η γραιά ιαχωριοέω λάεω βαίεται τη ατιατάταη της υάρτηης dx από ία υεχή αι ιαφορίιη

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ Είδη φαλµάτων Σφάλµα µετρηµένη αληθής τιµή Τυχαία - Εµφανίζονται χεδόν ε όλες τις παρατηρήεις και ακολουθούν υνήθως κανονική κατανοµή. Συτηµατικά - Εµφανίζονται ε όλες τις παρατηρήεις και µπορεί να µοντελοποιηθούν

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη,

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμέο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ν161_Στατιτική τη Φυική Αγωγή 05_01_Εκτίμηη παραμέτρων και διατημάτων Γούργουλης Βαίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Για την περιγραφή μιας μεταβλητής, που μετριέται ε έναν πληθυμό ή ε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Τι οοµάζεται συάρτηση ; Είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β.. Ποιες είαι οι κυριότερες γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

( Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ)

( Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Χ. ΑΜΙΑΝΟΥ, Ν. ΠΑΠΑ ΑΤΟΣ, Χ. Α. ΧΑΡΑΛΑΜΠΙ ΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΑΘΗΝΑ 003 Στη Ρίτα Στη Χρυούλα Στη Λέα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ατί

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΤΑΛΟΓΟΓΡΑΦΗΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ

Η ΚΑΤΑΛΟΓΟΓΡΑΦΗΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ Η ΚΑΤΑΛΟΟΑΦΗΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΣΤΙΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΕΣ ΤΟΥ Ε: ΞΩΤΕΙΚΟΥ Υπό κ. Evl Col, της Βιβλιοθήκης του K' Coll. Σηματικό μέρος του HELEN αφιερώεται ο ι η εξέταση της πολιτικής, που ακολουθού οι βιβλιοθήκες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ακαδ. Έτος ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ. Λέκτορας. Τηλ:

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ακαδ. Έτος ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ. Λέκτορας. Τηλ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 05-06 ιδάκω: Βαίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο είγµα Ο ηµατικότερος

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x 1,x,,x k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι 1,,, k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά Β.1. τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους,

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Στραγγίσεις (Εργαστήριο)

Στραγγίσεις (Εργαστήριο) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιευτικό Ίρυμα Ηπείρου Στραγγίεις (Εργατήριο Ενότητα 6 : Η κίνηη του νερού το έαφος IV Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης Άκηη Ένας κλειτός υπό πίεη υροφορέας έχει μεταβλητό πάχος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ειαγωγή... 3. ιαιθητική ειγµατοληψία... 6 3. ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ 8 ο εξάµηνο. Έλεγχοι Γεωδαιτικών Οργάνων κατά ISO / DIS

ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ 8 ο εξάµηνο. Έλεγχοι Γεωδαιτικών Οργάνων κατά ISO / DIS ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΓΕΩ ΑΙΣΙΑΣ και ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑΣ ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ 8 ο εξάµηνο Έλεγχοι Γεωδαιτικών Οργάνων κατά IO / DI 1857 - Σκοπός της άσκησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΦΟΥΝΤΟΥΚΙ ΗΣ Γ. ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Ρ. ΧΗΜΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗΣ

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗΣ Στο παρακάτω πίακα παρουσιάζοται τα σχόλια και οι παρατηρήσεις που υποβλήθηκα στο πλαίσιο της από 21.3.2011 δημόσιας αακοίωσης πρόσκλησης της ΡΑΕ για υποβολή απόψεω επί

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΙΚΤΥΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Καθηγητής. Συβρίδης Ακήεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίχυη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Η περίπτωη του εφελκυμού και της θλίψης των ραβδωτών φορέων είναι ενδεικτική για την αφετηρία της μελέτης παραμορφώιμων τερεών. Πρόκειται για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 860). Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών

Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών Μ4 Εύεη της πυκότητας τεεώ και υγώ 1. Σκοπός Στη άκηη αυτή θα ποδιοίουµε πειαµατικά τη πυκότητα τεεού ώµατος τις πειπτώεις που είαι βυθιµέο το εό και ότα επιπλέει και τη υέχεια θα ποδιοίουµε τη πυκότητα

Διαβάστε περισσότερα

Τυπολόγιο Σχετική συχότητα: = = κ f,,..., Αθροιστική συχότητα: Ν = και Ν, 2... = Ν + = κ Αθροιστική σχετική συχότητα: Ν F = f και F = F + f, = 2,...,

Τυπολόγιο Σχετική συχότητα: = = κ f,,..., Αθροιστική συχότητα: Ν = και Ν, 2... = Ν + = κ Αθροιστική σχετική συχότητα: Ν F = f και F = F + f, = 2,..., Μετά το τέλος της µελέτης του 2ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει α γωρίζει: Τις βασικές έοιες της στατιστικής όπως πληθυσµός, δείγµα κ.λ.π. καθώς και τις κατηγορίες τω µεταβλητώ. Τους ορισµούς της απόλυτης,

Διαβάστε περισσότερα

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i . Αν τα 4 6 8 δ, i, d, i και d αντιτοιχούν όλα το ίδιο αποτελεματικό επιτόκιο, τότε i 6 i 6 4 4 d 4 8 d 8 6 4 e δ (Α) 3 υ (Β) υ (Γ) υ (Δ) (Ε) + i . Ένα 0ετές αφαλιτικό προϊόν εγγυάται απόδοη 7% τα πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 3 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ

Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως είαι γωσό, η Μουσική είαι Μαθημαικά και (σο βάθος) υπάρχει, μία «αδιόραη αρμοία» μεαξύ αυώ ω δύο. Έα μουσικό έργο, διέπεαι από μαθημαικούς όμους, σε ό,ι αφορά ις σχέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ

ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ Δρ Χαράλαμπος Π Στρουθόπουλος Καθηγητής ΣΕΡΡΕΣ, ΜΑΡΤΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α) Λάθος (βλέπε σελίδα 4 του σχολικού βιβλίου, Το σωστό

Διαβάστε περισσότερα

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Α η συάρτηση f είαι

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

φ = 2ω = = 2 2(ν 2) + 4 = 2 + 4

φ = 2ω = = 2 2(ν 2) + 4 = 2 + 4 Γιατί οι μέλισσες κάου εξαγωικές τις κηρήθρες τους ; Χριστία Δασκαλάκη Α.Μ. 99 Ημερομηία παράδοσης 9-10-014 Θεωρούμε έα καοικό -γωο και σημειώουμε μια γωία του καθώς και τις γωίες του ισοσκελούς τριγώου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων Δεσμευμέη Πιθαότητα Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Δεσμευμέη Πιθαότητα - Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας Η πιθαότητα, ως έα μέτρο του βαθμού βεβαιότητας που έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ρ Αθ. Ρούτουλας Καθηγητής ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3 η ΤΣΙΜΕΝΤΑ - ΣΚΥΡΟ ΕΜΑ ΑΣΚΗΣΗ 10

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 2. Τυχαίες μεταβλητές-βασικές κατανομές

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 2. Τυχαίες μεταβλητές-βασικές κατανομές Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ 860) Τυχαίες μεταβλητές-βασικές καταομές Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Ο κλασικός ορισμός της πιθαότητας (Laplace, 181) Ο στατιστικός ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ,

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ, Προβλήματα Πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις Γραπτές αακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις Δρ. Πααγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Για το υπολογισμό του βαθμού της ετήσιας επίδοσης τω

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ)

Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ) Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 16-17 Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα