ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ»"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ.-. ΜΠΑΛΟ ΗΜΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΕΜΠ.ΣΤΑΘΑΣ ΑΝΑΠΛ. ΚΑΘΗΓ. ΕΜΠ ΑΘΗΝΑ 6

2 . ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη Ευρώπη εώ και αρκετά χρόια έχει ααπτυχθεί ο τοµέας ελέγχου της ποιότητας τω παραγοµέω προϊότω και τω υκευώ µέω τω οποίω παράγοται τα προϊότα αυτά. Οι ατίτοιχες υκευές παραγωγής προϊότω για τη εργαία του Τοπογράφου Μηχαικού είαι προφαώς τα πάης φύεως γεωαιτικά και φωτογραµµετρικά όργαα µαζί µε το ααγκαίο βοηθητικό εξοπλιµό τους. Τα τελευταία χρόια, µε τη ψήφιη ειικού όµου, ειήχθη και τη Ελλάα ο υποχρεωτικός έλεγχος ποιότητας τω προϊότω. Το γεγοός αυτό βέβαια έχει ως αποτέλεµα αάµεα τα υπό έλεγχο προϊότα α υµπεριληφθού και οι µετρήεις µεγεθώ όπως : γωίες, µήκη, υψοµετρικές ιαφορές και εικοουτεταγµέες. Αυτό ηµαίει ότι τα όργαα µε τα οποία γίοται οι µετρήεις θα πρέπει α είαι ελεγµέα ως προς το τρόπο λειτουργίας τους και τη ποιότητα τω αποτελεµάτω τω µετρήεω που γίοται µε αυτά. ηλαή ελέγχεται η ακρίβεια και η αξιοπιτία τω µετρήεω που γίοται µε τα όργαα αυτά. Οι έλεγχοι αυτοί ακολουθού οριµέες ιεθείς προιαγραφές για το τρόπο µε το οποίο πρέπει α γίοται χωρίς α αποκλείεται και η περίπτωη α εφαρµόζοται και άλλου είους έλεγχοι αρκεί α έχου εγκριθεί από τους αρµόιους φορείς όπως π.χ. ο ΕΛ.Ο.Τ. Η Μετρολογία λοιπό είαι η επιτήµη της ακρίβειας τω µετρήεω και έχει ως ατικείµεο το θεωρητικό υπόβαθρο και τη εφαρµογή υγκεκριµέω ιαικαιώ ελέγχου αάλογα µε το ελεγχόµεο όργαο.

3 3 Στις παρούες ηµειώεις θα γίει ααφορά το θεωρητικό υπόβαθρο το οποίο τηρίζοται οι έλεγχοι τω οργάω που τη ουία είαι η εφαρµογή καόω και µεθόω της τατιτικής αάλυης. Πολλές έοιες είαι γωτές από τα ατίτοιχα µαθήµατα της Στατιτικής και της Θεωρίας Σφαλµάτω- Μεθόου Ελαχίτω Τετραγώω. Έτι τις επόµεες ελίες θα γίει µια ααφορά ε βαικές έοιες (ορολογία) που χρηιµοποιείται τη Μετρολογία καθώς επίης και ε κεφάλαια της τατιτικής χετικά µε τις βαικές υαρτήεις τω καταοµώ και τους τατιτικούς ελέγχους υποθέεω που κυρίως χρηιµοποιούται για α ελέγχοται τα τοπογραφικά όργαα τόο για τα υτηµατικά τους φάλµατα όο και για τη αξιοπιτία τους.

4 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Οι έοιες που θα οριθού παρακάτω ααφέροται και το όµο που αφορά ε θέµατα µετρολογίας τη Ελλάα. Βαθµοόµηη: είαι η ααγραφή, τη κεή κλίµακα του οργάου, τω εείξεω µε βάη έα γωτό και καθοριµέης ακρίβειας µέγεθος της φυικής ιιότητας τη οποία µετρά το όργαο. Για παράειγµα το θεοόλιχο που µετρά γωίες (φυική ιιότητα) ααγράφοται οι βαθµοί και η απόοη του (κλίµακα µέτρηης αά cc ή 5 cc κ.λπ.). ιακρίβωη: είαι η ύγκριη µεταξύ υο οργάω ή υκευώ µέτρηης, από τα οποία το έα είαι το εθικό πρότυπο ή πρότυπο γωτής ακρίβειας η οποία έχει µεταφερθεί ε αυτό από τα εθικά πρότυπα. Με τη ύγκριη αυτή βαθµοοµείται το υπό έλεγχο όργαο και ιαπιτώεται, επαληθεύεται ή επααφέρεται µε ρύθµιη η ακρίβεια του. ιαπίτευη: είαι η ιαικαία κατά τη οποία έας εξουιοοτηµέος φορέας χορηγεί επίηµη ααγώριη για τη ικαότητα άλλου φορέα ή ατόµου α εκτελεί υγκεκριµέα καθήκοτα. Πιτοποίηη: είαι η πράξη του Εθικού Ιρύµατος Μετρολογίας (Ε.Ι.Μ.) ή οποιουήποτε άλλου ιαπιτευµέου φορέα µε τη οποία πιτοποιείται η τεκµηρίωη της ακρίβειας ύµφωα µε προκαθοριµέες απαιτήεις. Συµµόρφωη: είαι η ικαοποίηη προιαγεγραµµέω απαιτήεω από προϊό ιαικαίας ή υπηρεία. Πρότυπο: είαι η υλοποιηµέη µοάα µέτρηης, τα υλικά ααφοράς ή υτήµατα µέτρηης, προοριµέα α ορίου, α πραγµατοποιήου, α υτηρήου ή α ααπαραγάγου µια µοάα ή µια ή και περιότερες αξίες εός µεγέθους για α χρηιµεύου ως βάη ααφοράς.

5 5 Εθικό πρότυπο: είαι το εθικά ααγωριµέο πρότυπο προκειµέου α χρηιµοποιείται ε µια χώρα ως βάη για το καθοριµό τιµώ ε άλλα πρότυπα του µεγέθους που αφορά. Πρωτεύο πρότυπο: είαι το πρότυπο το οποίο έχει καθοριθεί ή ααγωρίζεται ευρέως ότι έχει τις υψηλότερες µετρολογικές ιιότητες και η τιµή του είαι αποεκτή χωρίς α γίεται ααφορά ε άλλα πρότυπα του ίιου µεγέθους. ευτερεύο πρότυπο: είαι το πρότυπο του οποίου η τιµή καθορίζεται µέω ύγκριης µε έα πρωτεύο πρότυπο για το ίιο µέγεθος. Πρότυπα εργαίας: είαι οι πιτοποιηµέες µοάες, υκευές ή ιατάξεις που χρηιµοποιούται για τη ιακρίβωη υκευώ οκιµώ, µετρήεω ή ιαγώεω καθηµεριής χρήης. Για παράειγµα τέτοιου είους όργαα που θα µπορούα α χρηιµοποιηθού κλιµακωτά ως πρότυπα για το έλεγχο τω οργάω µέτρηης µηκώ είαι: Συµβολόµετρο χετικής ακρίβειας -8 (π.χ. εθικό πρότυπο). EDM (όπως π.χ. το Μεκόµετρο) χετικής ακρίβειας από -6 έως -7 (π.χ. πρωτεύο πρότυπο). Ταιίες invar χετικής ακρίβειας -6 ( π.χ. ευτερεύο πρότυπο). EDM χετικής ακρίβειας.5-5 (π.χ. πρότυπο εργαίας). Για τα θεοόλιχα ατίτοιχα θα µπορούε α χρηιµοποιηθεί κατάλληλα ιαµορφωµέο ύτηµα ελέγχου (όπως αυτό που χρηιµοποιείται από τη εταιρεία παραγωγής γεωαιτικώ οργάω Leica) το οποίο βαίζεται ε θεοόλιχο υψηλής ακρίβειας.

6 6 3. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Για τη τατιτική επεξεργαία τω αποτελεµάτω βάει της οποίας ελέγχοται τα γεωαιτικά όργαα χρηιµοποιούται οι παρακάτω υαρτήεις πυκότητας πιθαότητας (καταοµές): Καοική καταοµή ή καταοµή του Gauss. Υπεθυµίζεται ότι για µοοιάτατα µεγέθη η υάρτηη πυκότητας της καοικής καταοµής ίεται από τη χέη: f ( ) = ( µ ) e π µ Η µεταβλητή z = z ~ Ν(,) ηλαή ακολουθεί τη τυποποιηµέη καοική καταοµή µε υάρτηη πιθαότητας: f ( z) = e π z Καταοµή του Student ή καταοµή t. Καταοµή Χ. Καταοµή F. Οι τρεις τελευταίες είαι υαρτήεις της καταοµής Γάµµα και ε έχει ιιαίτερη ηµαία α οθού οι χέεις που ιχύου γι αυτές αφού τις τιµές τους τις ατλούµε από κατάλληλους πίακες. 4. ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΕΩ ΑΙΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ. Είαι γωτό ότι τις µετρήεις εµφαίζοται τα παρακάτω φάλµατα: Χοροειή Συτηµατικά Τυχαία

7 7 Οι έλεγχοι τω γεωαιτικώ οργάω ετιάζοται τη ακρίβεια και τη αξιοπιτία τους (έλεγχος εξωτερικής και εωτερικής ακρίβειας ατιτοίχως). Αυτό ηµαίει, όπως είαι γωτό, ότι έχει ηµαία ο προιοριµός τω υτηµατικώ φαλµάτω και η υµπεριφορά τω οργάω τις επααληπτικές µετρήεις (ηλαή η καταοµή τω τυχαίω φαλµάτω) ατιτοίχως. Ο προιοριµός τω υτηµατικώ φαλµάτω γίεται υγκρίοτας τη µέη τιµή µιας ειράς µετρήεω µε τη τιµή του ίιου µεγέθους η οποία έχει προκύψει από µετρήεις µε έα όργαο που θεωρείται ως πρότυπο (ακριβής τιµή µεγέθους). Πρέπει α υπεθυµιθεί ότι το φάλµα είαι: Σφάλµα= µέτρηη ακριβής τιµή. Εώ η ιόρθωη είαι: ιόρθωη= ακριβής τιµή µέτρηη. Οι έλεγχοι τω υτηµατικώ φαλµάτω και της αξιοπιτίας βαίζοται ε τατιτικούς ελέγχους υποθέεω. Για α εφαρµοθού αυτοί οι έλεγχοι, όπως είαι γωτό από τη τατιτική, είαι ααγκαίος ο υπολογιµός της µέης τιµής X και του τυπικού φάλµατος της µιας µέτρηης (εποµέως και της µεταβλητότητας ) µιας ειράς µετρήεω. Σηµαία επίης έχει για τη εφαρµογή τους α το τυπικό φάλµα αφορά έα είγµα µετρήεω ή το πληθυµό. Η µεταβλητότητα θεωρείται ότι αφορά το πληθυµό ότα προέρχεται από µεγάλο αριθµό µετρήεω ή ότα είαι εοµέη (π.χ. η εοµέη από το κατακευατή ακρίβεια του EDM είαι ±5mm). Αάλογα µε το είος του ελέγχου α πρόκειται ηλαή για προιοριµό υτηµατικώ φαλµάτω ή για το έλεγχο της αξιοπιτίας του οργάου και

8 8 αάλογα µε τα εοµέα χρηιµοποιείται η κατάλληλη καταοµή για τη ιχύ εός ελέγχου υπόθεης. Έτι για τα υτηµατικά φάλµατα µε εοµέη ή όχι τη µεταβλητότητα τω µετρήεω χρηιµοποιούται η καοική ή η καταοµή του Student ατιτοίχως. Για το έλεγχο της αξιοπιτίας του οργάου ή για τη ύγκριη της αξιοπιτίας υο οργάω χρηιµοποιούται η Χ και η F. Σηµαία επίης έχει πρι από το έλεγχο µιας υπόθεης α οριθεί το ιάτηµα εµπιτούης που υέεται µε τη πιθαότητα του α περιέχεται µια τιµή µέα αυτό και µε τη καταοµή που θα χρηιµοποιηθεί για το έλεγχο. 5. ΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ- ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΗΣ Στους ελέγχους τω οργάω, εκείο που έχει ηµαία είαι α ιερευηθεί τατιτικά α η τιµή εός µεγέθους, που έχει προκύψει µετά από µετρήεις µε υγκεκριµέο όργαο, βρίκεται ε έα οριµέο ιάτηµα τιµώ (ηλ. ιχύει η αιότητα b b [ b, ] b ) µε µια προκαθοριµέη πιθαότητα P. Η προκαθοριµέη πιθαότητα λαµβάεται υήθως 95% ή 99%. ηλαή : π.χ. ( ) P b b = α =. 95 Το παραπάω ιάτηµα τιµώ οοµάζεται ιάτηµα εµπιτούης εώ η όλη ιαικαία ελέγχου οοµάζεται εκτίµηη ιατήµατος. Η πιθαότητα P = α οοµάζεται επίπεο ή τάθµη εµπιτούης εώ η τιµή του α οοµάζεται επίπεο ηµατικότητας. Για α γίει η εκτίµηη ιατήµατος είαι ααγκαίο: ) α υπολογιθεί η καλύτερη τιµή για το µέγεθος από το ύολο τω µετρήεω που είαι ιαθέιµες και ) α είαι γωτή η καταοµή που ακολουθού οι τιµές του µεγέθους. Για το ιάτηµα εµπιτούης η προκαθοριµέη πιθαότητα, όπως ελέχθη, λαµβάεται υήθως 95% ή 99%. Μικρότερες ή µεγαλύτερες τιµές µπορεί α προκαλέου λάθη τύπου Ι ή ΙΙ ατιτοίχως. ηλαή κατά το έλεγχο α απορριφθού (τύπος Ι) ή α γίου εκτές (τύπος ΙΙ) τιµές εώ ε πρέπει.

9 9 Πολλές φορές τίθεται το ερώτηµα α το αποτέλεµα από µια τατιτική επεξεργαία µπορεί α γίει αποεκτό ή όχι ή α υγκριθεί αυτό το αποτέλεµα µε άλλη τιµή για το µέγεθος που ατιπροωπεύει. Σε αυτή τη περίπτωη, ύµφωα µε τη τατιτική, πρέπει α γίει έλεγχος της υπόθεης που κάουµε αάλογα µε το πώς τίθεται το ερώτηµα. Κατά τη ιαικαία αυτού του ελέγχου υπάρχει πάτοτε η µηεική υπόθεη Η και η εαλλακτική υπόθεη Η α. Ο έλεγχος της υπόθεης είαι άµεα υεεµέος µε το καθοριµό του ιατήµατος εµπιτούης και εποµέως και µε τη καταοµή που ακολουθεί η µεταβλητή που εξετάζεται. Υπεθυµίζεται ότι το πρόβληµα υµβολικά ιατυπώεται ως εξής: Έτω ότι θέλουµε α ελέγξουµε π.χ. α η τιµή µ είαι ίη µε τη τιµή µ. Η µηεική υπόθεη είαι: Η : µ = µ Η εαλλακτική υπόθεη µπορεί α είαι : Η α : µ µ ή µ µ ή µ µ. Στη περίπτωη που για τη εαλλακτική υπόθεη ιχύει το τότε ο έλεγχος είαι αµφίπλευρος για τις άλλες ύο περιπτώεις ο έλεγχος είαι µοόπλευρος. Στα επόµεα θα ούµε πιο ααλυτικά, βαιζόµεοι τα παραπάω, µε ποιους τρόπους ελέγχοται τα υτηµατικά φάλµατα τω οργάω και πως ελέγχεται η αξιοπιτία τους. 5. ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. Όπως ααφέρθηκε προηγουµέως ο έλεγχος τω υτηµατικώ φαλµάτω που γίεται τα όργαα χετίζεται µε τη ορθότητα τω µετρήεω. Ο έλεγχος αυτός µπορεί α αφορά: ) Στη ύγκριη της µέης τιµής, η οποία έχει προκύψει από µια ειρά µετρήεω µε το ελεγχόµεο όργαο, µε τη ακριβή τιµή του µεγέθους η οποία είαι εοµέη. ) Στη ύγκριη µεταξύ ύο µέω τιµώ µετρήεω οι οποίες έχου γίει µε ύο ιαφορετικά όργαα(χετικό υτηµατικό φάλµα).

10 Και τις ύο περιπτώεις ακολουθείται η ίια ιαικαία µε µια ιαφορά, ότι ηλαή κατά το έλεγχο της υπόθεης µπορεί α χρηιµοποιηθεί η καοική καταοµή ή η καταοµή του Student (t καταοµή) αάλογα µε τα εοµέα. η Περίπτωη: Σύγκριη µέης τιµής µε ακριβή τιµή (εοµέη τιµή τυπικού φάλµατος της µέης τιµής). Το πρόβληµα ε αυτή τη περίπτωη µπορεί α τεθεί µε ύο µορφές. Α) ίεται η ακριβής τιµή µ εός µεγέθους, η µέη τιµή από µια ειρά µετρήεω και το τυπικό φάλµα της µέης τιµής. Το τυπικό φάλµα της µέης τιµής θεωρείται ότι προκύπτει από το πληθυµό (ηλαή το είαι πολύ µεγάλο >) ή ότι είαι εοµέη ηλαή το Μηεική υπόθεη: Η : µ = που ηµαίει µ = = Εαλλακτική υπόθεη: Η α : µ που ηµαίει µ = Σε αυτή τη περίπτωη ο έλεγχος γίεται ως εξής: ) ηµιουργείται η ιαφορά = µ είαι του πληθυµού. ) Υπολογίζεται το τυπικό φάλµα της ιαφοράς = + = µ ιότι η ακριβής τιµή µ θεωρείται ότι ε έχει φάλµα. 3) Λόγω τω παραπάω προϋποθέεω θα χρηιµοποιηθεί η καοική καταοµή για αµφίπλευρο έλεγχο, οπότε επιλέγεται βάει του επιπέου εµπιτούης από τους πίακες η τιµή z α /. 4) Ελέγχεται η ικαοποίηη ή µη της αιότητας: z α / 5) Α ιχύει τότε ικαοποιείται η µηεική υπόθεη, πράγµα που ηµαίει ότι ε υπάρχει υτηµατικό φάλµα, άλλως η εαλλακτική οπότε πιτοποιείται η ύπαρξη υτηµατικού φάλµατος. ο Παράειγµα: µ = m, = m, =± 4mm για επίπεο εµπιτούης 95% α ελεγχθεί η ύπαρξη υτηµατικού φάλµατος ότα =5. Καοική καταοµή άρα z α / =.96 (αµφίπλευρος έλεγχος), = mm, / =.5. Άρα.5>.96 εποµέως υπάρχει υτηµατικό φάλµα.

11 ο Παράειγµα: m, m, ( 5mm 5ppm) µ = = οργ =± + για επίπεο εµπιτούης 95% α ελεγχθεί α υπάρχει υτηµατικό φάλµα το όργαο. Πάλι καοική καταοµή (εοµέο το τυπικό φάλµα από το κατακευατή) άρα z α / =.96, = mm, = ± 5.7mm, / =.76 <.96 άρα ε υπάρχει υτηµατικό φάλµα το όργαο. η Περίπτωη: Σύγκριη µέης τιµής µε ακριβή τιµή (µη εοµέη η τιµή του τυπικού φάλµατος). Σε αυτή τη περίπτωη ίοται όπως και τη προηγούµεη τα ίια τοιχεία µε τη ιαφορά ότι το τυπικό φάλµα της µέης τιµής προέρχεται από µικρό αριθµό παρατηρήεω. Εποµέως αφορά ε είγµα και όχι το πληθυµό και άρα αποτελεί εκτίµηη του τυπικού φάλµατος της µέης τιµής. Οι υποθέεις είαι ίιες όπως και τη η περίπτωη Και εώ επίης ηµιουργείται ο λόγος t = / αλλά αυτός θα πρέπει α ελεγχθεί µε τη καταοµή Student. Για το επιλεγµέο επίπεο εµπιτούης (για αµφίπλευρο έλεγχο) και µε τοιχείο ειόου, τους κατάλληλους πίακες, τους βαθµούς ελευθερίας, που είαι, βρίκεται το ηµείο t α /,. Προφαώς ε υπάρχει υτηµατικό φάλµα ότα t t α /,. Παράειγµα: µ = m, = m, =± 6 mm, = 5, για επίπεο εµπιτούης 95% α ελεγχθεί α υπάρχει υτηµατικό φάλµα το όργαο. Υπολογίζεται ο λόγος mm t = = = = mm Και αυτή τη περίπτωη το µ = άρα =. Από τους πίακες της καταοµής Student επειή πρόκειται για αµφίπλευρο έλεγχο και για 4 βαθµούς ελευθερίας βρίκεται το εκατοτιαίο ηµείο t.5,4 =.64. Είαι φαερό ότι ιχύει t =.667 <.64 και εποµέως ε υπάρχει υτηµατικό φάλµα το όργαο.

12 3 Περίπτωη: Έλεγχος για χετικό υτηµατικό φάλµα. Η περίπτωη αυτή εµφαίζεται ότα υγκρίοται υο όργαα µεταξύ τους. Τα εοµέα είαι: για το πρώτο όργαο,, για επίπεο εµπιτούης α.,, και για το εύτερο Η µηεική υπόθεη είαι: Η = = και η εαλλακτική υπόθεη είαι: Η α = Αµφίπλευρος έλεγχος και εώ. Το πρόβληµα ατιµετωπίζεται αάλογα µε τις υθήκες ως εξής: Α) Ότα θεωρούται γωτές (ή εοµέες) οι µεταβλητότητες, άρα και τα τυπικά φάλµατα, τότε για το έλεγχο του λόγου / προφαώς χρηιµοποιείται η καοική καταοµή, όπως και τη η περίπτωη, υπολογίζοτας το από τη χέη: = + Β) Ότα θεωρούται άγωτες οι µεταβλητότητες (είαι εκτιµήεις) επειή προέρχοται από έα είγµα και όχι το πληθυµό τότε για το έλεγχο του λόγου / χρηιµοποιείται η καταοµή του Student. ηλαή υπολογίζοται: t = = + και για εοµέο επίπεο εµπιτούης βρίκεται το t α /, από τους πίακες της καταοµής Student. Όπου οι βαθµοί ελευθερίας είαι : = + Στη βιβλιογραφία υατώται ύο υποπεριπτώεις: ) ότα τα όργαα είαι ιαφορετικά (π.χ. από άλλο κατακευατή ή ιαφορετικής ακρίβειας ) άρα έχου άγωτες µε αλλά ιαφορετικές µεταβλητότητες. Σε αυτή τη περίπτωη προεγγιτική χέη: ( + ) οι βαθµοί ελευθερίας υπολογίζοται από τη

13 3 ) ότα τα όργαα θεωρητικά έχου τη ίια ακρίβεια (π.χ. είαι ο ίιος τύπος οργάω από το ίιο κατακευατή) οπότε) άρα έχου τις ίιες µε αλλά άγωτες µεταβλητότητες. Σε αυτή τη περίπτωη υπολογίζεται ιαφορετικά η τιµή του χέη: από τη = + όπου το υπολογίζεται από τη χέη: = ( ) + ( ) + όπου = και = ηλαή είαι οι µεταβλητότητες όπως αυτές προκύπτου από τα τυπικά φάλµατα της µιας µέτρηης. Παράειγµα: ίοται = m, =± 8 mm, = 5 και = 5.69 m, =± mm, = Ζητείται α ιερευηθεί α υπάρχει υτηµατικό χετικό φάλµα µεταξύ τω ύο οργάω υποπεριπτώεις: ) ιαφορετικής ακρίβειας: Υπολογίζουµε: = 7mm, ( 8 + ) = για επίπεο εµπιτούης 95% εξετάζοτας και τις ύο = 8 + =±.6mm άρα 7mm t = =.3.6mm Από τη καταοµή Student για 95% επίπεο εµπιτούης, για αµφίπλευρο έλεγχο και = λαµβάεται η κρίιµη τιµή t.5, =.74 Όπως φαίεται t < t.5, άρα ε υπάρχει χετικό υτηµατικό φάλµα µεταξύ τω ύο οργάω.

14 4 Εά οι βαθµοί ελευθερίας υπολογίζοτα από τη χέη = + = 33 το κρίιµο ηµείο θα ήτα t.5,33 =.36 το οποίο µικρή ιαφορά έχει από το ατίτοιχο για = και το αποτέλεµα είαι το ίιο. ) ίιας ακρίβειας: Υπολογίζοται : = 7mm, = 8 5 = 69.7mm, = = 44.7mm = = 56.7mm 5 + Το πλέο υπολογίζεται από τη χέη: = mm + = 5 + = εποµέως 7mm t = =.39 το κρίιµο ηµείο είαι t.5,33 = mm ε υπάρχει χετικό υτηµατικό φάλµα µεταξύ τω ύο οργάω. Εά το υπολογιθεί από τη χέη = 8 + =.6mm τότε το παραµέει το ίιο t.5,33 =.36 7mm t = =.3, το κρίιµο ηµείο.6mm και ιχύει πάλι η µη ύπαρξη χετικού υτηµατικού φάλµατος. Από τα παραπάω φαίεται ότι ε υπάρχει ουιατική ιαφορά τους ελέγχους α αγοηθού οι υο υποπεριπτώεις. Πιθαό ιαφορές α εµφαίζοται ε οριακές κατατάεις για τις τιµές του t ή ότα έχουµε πολύ µικρό αριθµό παρατηρήεω. 5. ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΉΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ Ο έλεγχος ε αυτή τη περίπτωη έχει α κάει µε τη αξιοπιτία τω οργάω ηλαή µε τη ακρίβεια που αυτά παρέχου. Εώ ιακρίουµε ύο περιπτώεις:

15 5 ) Έλεγχος τω αποτελεµάτω εός οργάου ε χέη µε τη εοµέη ακρίβεια που αυτό θεωρητικά παρέχει (π.χ. ακρίβεια από το κατακευατή). ) Έλεγχος της χετικής ακρίβειας που ύο όργαα παρέχου υγκρίοτας τα αποτελέµατά τους. η Περίπτωη: Έλεγχος ακρίβειας εός οργάου. Τα εοµέα που ιατίθεται για το έλεγχο της αξιοπιτίας εός οργάου ε χέη µε τη εοµέη ακρίβεια που αυτό µπορεί α ώει είαι: Η µέη τιµή από µια ειρά µετρήεω, το τυπικό της φάλµα, ο αριθµός τω µετρήεω και η εοµέη ακρίβεια γι αυτό, που εκφράζεται µε το τυπικό φάλµα. Η µηεική υπόθεη είαι: Η = : Η εαλλακτική υπόθεη είαι: Ηα : Για επίπεο εµπιτούης -α ζητείται ο έλεγχος αυτώ τω υποθέεω. Το πρόβληµα ατιµετωπίζεται ως εξής: Υπολογίζεται το τυπικό φάλµα της µιας µέτρηης: = και ηµιουργείται ο λόγος: i χ = ( ) i Χρηιµοποιείται η χ καταοµή και βέβαια λόγω της εαλλακτικής υπόθεης ο έλεγχος θα είαι αµφίπλευρος. Επιλέγοται τα εκατοτιαία ηµεία ( α /) χ και ( α /) χ. Η µηεική υπόθεη ιχύει ότα : χ ( α /) χ ( α /) χ Παράειγµα: Μετά από 6 µετρήεις µε έα EDM πρόκυψε για έα µήκος τω 5.65m έα τυπικό φάλµα της µέης τιµής =± 7mm. Ο κατακευατής ίει γι αυτό το όργαο ( mm ppm) το όργαο ακολουθεί τη ακρίβεια του κατακευατή. = ± 5 ± 5. Να ελεγχθεί α

16 6 Υπολογίζεται το : =± 5.6mm Υπολογίζεται το τυπικό φάλµα της µιας µέτρηης: = = 7. i mm ηµιουργείται ο λόγος : ( ) χ = i = 46.6 Βρίκοται τα εκατοτιαία ηµεία: ( ).975 χ = και 5.83 ( ).5 χ = 5.83 Είαι φαερό.ότι η τιµή του χ είαι έξω από τα όρια τω ύο εκατοτιαίω ηµείω άρα ε ακολουθείται η προιαγεγραµµέη ακρίβεια του κατακευατή. η Περίπτωη : Σύγκριη ακριβειώ ύο οργάω (χετική ακρίβεια). Τα εοµέα αυτή τη περίπτωη είαι τα τυπικά φάλµατα της µέης τιµής (ή και της µιας µέτρηης) για κάθε όργαο καθώς και ο αριθµός τω µετρήεω για κάθε έα. ηλαή : ο όργαο:, (ή, ) και για το ο όργαο:, (ή, ). Ζητείται α ελεγχθεί α τα ύο όργαα έχου τη ίια ακρίβεια για εοµέο επίπεο εµπιτούης -α. Η µηεική υπόθεη είαι: Η = % : Η εαλλακτική υπόθεη είαι: Το πρόβληµα λύεται ως εξής: Ηα : ηµιουργείται ό λόγος : f = (το αριθµητή µπαίει η µεγαλύτερη από τις ύο ηλ. ότα > ). Χρηιµοποιείται η καταοµή F και ο έλεγχος θα είαι αµφίπλευρος λόγω της εαλλακτικής υπόθεης. Προιορίζοται τα κρίιµα ηµεία : F α /, / F α., και Η µηεική υπόθεη ιχύει α υµβαίει: F α /, / F α., f Επειή η τιµή του επιπέου ηµατικότητας α είαι µικρή, γι αυτές τις περιπτώεις, ιχύει η χέη: F α / = / <. F α /,,

17 7 Έτι αρκεί α ελεγχθεί η αιότητα: f F α /., Παράειγµα: Οι µετρήεις του ίιου µήκους µε ύο όργαα έωα τα εξής αποτελέµατα: ο όργαο: ο όργαο: = ± mm, = 5 = ± 6 mm, = Να ελεγχθεί για επίπεο εµπιτούης 95% α αυτά έχου τη ίια ακρίβεια. Υπολογίζοται τα τυπικά φάλµατα της µιας µέτρηης: =± 5 =± 38.7mm και =± 6 =± 9mm ηµιουργείται ο λόγος : 38.7 f = = = Από τη F καταοµή ετοπίζεται το εκατοτιαίο ηµείο:.5 F 4,9 = 3.83 και φαίεται ότι : f = 4.49 > F.5 4,9 = Άρα τα ύο όργαα ε έχου τη ίια ακρίβεια. 5.3 ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΕΩ ΑΙΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ Οι έλεγχοι τω θεοόλιχω και τω χωροβατώ ε ότι αφορά τις βαικές υθήκες που πρέπει α πληρούται για τη καλή τους λειτουργία καθώς και ο έλεγχος για τα υτηµατικά φάλµατα που εµφαίζοται τις µετρήεις µε τα EDM ααπτύοται τα βιβλία και τις ηµειώεις : ) «Γεωαιτικά όργαα και µέθοοι µέτρηης γωιώ και µηκώ».-. Μπαλοήµος και.σταθάς, 993, 3 ο Εξαµ. ΣΑΤΜ. ) «Υψοµετρία».-. Μπαλοήµος, Ο.Αραµπατζή, 4, 3 ο Εξαµ.ΣΑΤΜ. Ειικές µέθοοι ελέγχου που εφαρµόζοται κατά το πρότυπο DIN ε όλα τα παραπάω όργαα εξηγούται και ααπτύοται τις ατίτοιχες πειραµατικές και υπολογιτικές ακήεις που γίοται τη ιάρκεια του µαθήµατος.

18 8 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ) «Γεωαιία Ι» Σηµειώεις, Α.Μ. Αγατζά Μπαλοήµου, Χ. Μητακάκη, Χ. Μπιλήρης,.Σταθάς, Μ.Τακίρη,5. ) «Τοπογραφία». Βλάχος, ος τόµος, Θεαλοίκη 987 3) «Θεωρία Σφαλµάτω και Συορθώεις Ι» Α.Μ. Αγατζά - Μπαλοήµου Αθήα,. 4) «Συορθώεις τω παρατηρήεω και Θεωρία Εκτίµηης», Α. ερµάης, ος τόµος, Εκόεις Ζήη Θεαλοίκη 986.

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

( Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ)

( Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Χ. ΑΜΙΑΝΟΥ, Ν. ΠΑΠΑ ΑΤΟΣ, Χ. Α. ΧΑΡΑΛΑΜΠΙ ΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΑΘΗΝΑ 003 Στη Ρίτα Στη Χρυούλα Στη Λέα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ατί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΤΑΛΟΓΟΓΡΑΦΗΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ

Η ΚΑΤΑΛΟΓΟΓΡΑΦΗΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ Η ΚΑΤΑΛΟΟΑΦΗΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΣΤΙΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΕΣ ΤΟΥ Ε: ΞΩΤΕΙΚΟΥ Υπό κ. Evl Col, της Βιβλιοθήκης του K' Coll. Σηματικό μέρος του HELEN αφιερώεται ο ι η εξέταση της πολιτικής, που ακολουθού οι βιβλιοθήκες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΦΟΥΝΤΟΥΚΙ ΗΣ Γ. ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Ρ. ΧΗΜΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Η Αγορά Κεφαλαίου Η αγορά κεφαλαίου αποτελεί ένα από τους ηµαντικότερους χρηµατοοικονοµικούς θεµούς

Διαβάστε περισσότερα

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ,

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ, Προβλήματα Πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

4. Αντιδράσεις πολυμερισμού

4. Αντιδράσεις πολυμερισμού 4. Ατιδράσεις πολυμερισμού Ποια μόρια οομάζοται μακρομόρια Τα μακρομόρια είαι μόρια μεγάλου μοριακού βάρους που σχηματίζοται από τη συέωση (= πολυμερισμό) απλούστερω δομικά μορίω (= μοομερή) σύμφωα με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β.

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β. Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης (πεπερασμέος, απείρως αριθμήσιμος, συεχής) Εδεχόμεα Α, Β, (απλά, σύθετα) Βέβαιο εδεχόμεο Αδύατο

Διαβάστε περισσότερα

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής Κεφάαιο Αξιοπιτία μονάδων - υτημάτων το χρόνο Κατανομές χρόνων ζωής Στο προηγούμενο κεφάαιο εξετάαμε την αξιοπιτία μονάδων ή υτημάτων τατικά δηαδή υποθέταμε ότι η μεέτη γίνονταν πάντα ε κάποια υγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιτροφής τη Βραχοµηχανική Appliaion of a paaboloid ieion in Rok Mehanis ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ, Μ.Γ., ρ Μηχ., Π.Μ. & Α.Τ.Μ., Αναπληρωτής Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στο παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = =

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = = Παράδειγα Το γωστό παράδειγα ε τα βάρη 0 ατόω ταξιοηέα σε 5 οάδες. Η έση τιή για το δείγα έχει βρεθεί 77. Τάξη Απόλυτες συχότητες Κετρική τιή τάξης Απόκλιση από το έσο 65-69 67,5 9,5 70-7 6 7,5,5 75-79

Διαβάστε περισσότερα

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΑΜΠΑΡΤΖΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΑΜΠΑΡΤΖΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΦΟΡΕΑΣ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Ε.)- ΤΜΗΜΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΚΡΗΤΗΣ Δ/ΝΣΗ: Εθνικής Αντιτάεως 105 71 306 ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΤΗΛΕΦΩΝΟ: 081-223997, 224595 FAX: 081-223997 E-mail: - Δ/νη το INTERNET: - ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ Λυείου Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών Παράρτηµα Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 1. ΤΑΣΕΙΣ Οι ξωτρικές δυνάµις που πιβάλλονται ένα ώµα µπορούν να χωριθούν δύο κατηγορίς, τις καθολικές δυνάµις και τις πιφανιακές δυνάµις. Οι καθολικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΙΚΕΣ/ ΟΜΟΙΟ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΕΣ 2010

ΚΛΑΔΙΚΕΣ/ ΟΜΟΙΟ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΕΣ 2010 ΚΛΑΔΙΚΕ ΟΜΟΙΟ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΕ 2010 ΚΛΑΔΟ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑ ΟΔΗΓΟΙ ΤΟΥΡΙΤΙΚΩΝ ΛΕΩΦΟΡΕΙΩΝ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΩΝ ΜΕΛΩΝ ΕΚΑ ΤΕΧΝΙΤΩΝ ΚΑΙ ΒΟΗΘΩΝ ΞΥΛΟΥΡΓΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΙΩΝ ΝΖΩΝΗ ΟΞΟΠΟΙΙΑ, ΠΟΤΟΠΟΙΙΑ, ΟΙΝΟΠΟΙΙΑ, ΟΙΝΟΠΝΕΥΜΑΤΟΠΟΙΙΑ,

Διαβάστε περισσότερα

Β.2.6. Γεωµετρικός µέσος.

Β.2.6. Γεωµετρικός µέσος. 6 Β..6. Γεωετρικός έος. α) Τα δεδοέα δίοται ααλυτικά Οριός Β.. Έτω ότι τα δεδοέα είαι δοέα ααλυτικά ( τιές που ατιτοιχού τα άτοα του πληθυού): i, i,,,..., Οοάζουε Γεωετρικό έο τω δεδοέω i, τη -οτή ρίζα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΣΙΣ Α.Τ.Ε.Β.Ε. ΤΟΜΕΑΣ ΕΙ ΙΚΩΝ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ - ΓΕΩΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΣΥΝΘΕΣΙΣ Α.Τ.Ε.Β.Ε. ΤΟΜΕΑΣ ΕΙ ΙΚΩΝ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ - ΓΕΩΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΥΝΘΕΣΙΣ Α.Τ.Ε.Β.Ε. ΤΟΜΕΑΣ ΕΙ ΙΚΩΝ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ - ΓΕΩΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ιεύθυη: Χάψα 1, 546 26, Θεαλοίκη Τηλ: (2310) -556 304, 556 305, 552 018, 552 019, 552 322,554 202 Fax: (2310) -556 574 Email: synthsa@otenet.gr,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συσκευασίες από αλουμίνιο, π.χ. αναψυκτικά, μπίρες κ.ά. Συσκευασίες από λευκοσίδηρο, π.χ. από γάλα εβαπορέ, τόνο, ζωοτροφές, τοματοπολτό κ.ά.

Συσκευασίες από αλουμίνιο, π.χ. αναψυκτικά, μπίρες κ.ά. Συσκευασίες από λευκοσίδηρο, π.χ. από γάλα εβαπορέ, τόνο, ζωοτροφές, τοματοπολτό κ.ά. ΑΝΑΚΥΚΛΩΣΗ ΣΥΣΚΕΥΑΣΙΩΝ Η Αακύκλωση σήμερα αποτελεί σηματική προτεραιότητα για το περιβάλλο και το μέλλο μας. Δε είαι μια εφήμερη τάση της εποχής, αλλά ατίθετα, υποχρέωση κάθε πολιτισμέης κοιωίας που συμβάλει

Διαβάστε περισσότερα

Τα οικονομικά της Υγείας: μια >υσάρεστη επιστήμη ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τις πολιτικές Υγείας;

Τα οικονομικά της Υγείας: μια >υσάρεστη επιστήμη ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τις πολιτικές Υγείας; Τ οικονομικά της Υγείς: μι υάρετη επιτήμη ή έν χρήιμο εργλείο γι τις πολιτικές Υγείς; Ιωάννης Κυριόπουλος Κθηγητής Οικονομικών της Υγείς, Διευθυντής του Τομέ Οικονομικών της Υγείς, Εθνική Σχολή Δημόις

Διαβάστε περισσότερα

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1 Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α Υ ΠΟΥ ΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑ Ι ΕΙΑ Σ & ΘΡΗΣ Κ/Τ Ω ΕΝΙΑ ΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤ ΙΚΟΣ Τ ΟΜ ΕΑ Σ Σ ΠΟΥ Ω Ν ΕΠΙΜ ΟΡΦΩ Σ ΗΣ ΚΑ Ι ΚΑ ΙΝΟΤ ΟΜ ΙΩ Ν /ΝΣ Η Σ ΠΟΥ Ω Τ µ ή µ α Α Α. Πα π α δ ρ έ ο υ 37

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Τι οομάζεται συάρτηση Συάρτηση uncton είαι μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο άποιου

Διαβάστε περισσότερα

συναρτησιακό μοντέλο: Ax=l+v (γεωμετρική απόσταση δορυφόρων-δέκτη) μετρήσεις: l στοχαστικό μοντέλο: W=σ 02 V (ψευδοαποστάσεις) (σ i =c cosecφ i )

συναρτησιακό μοντέλο: Ax=l+v (γεωμετρική απόσταση δορυφόρων-δέκτη) μετρήσεις: l στοχαστικό μοντέλο: W=σ 02 V (ψευδοαποστάσεις) (σ i =c cosecφ i ) Τύποι μετρήεων μέθοδοι δορυφορικού εντοπιμού μετρήεις ψευδοαποτάεων μετρήεις φάεων ΑΚΡΙΒΙΑ απόλυτος εντοπιμός χετικός εντοπιμός τατικός εντοπιμός κινηματικός εντοπιμός εκ των υτέρων εντοπιμός εντοπιμός

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ ΣΤΕΛΙΟΣ ΖΗΜΕΡΑΣ Σάος 3 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ...3. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΑΝΑΛΥΤΗΣ...3.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε βασικά όργανα του εργαστηρίου (διαστηµόµετρο, µικρόµετρο, χρονόµετρο) προκειµένου να: Να µετρήσουµε την πυκνότητα

Διαβάστε περισσότερα

121 [101] 124 [104] 8-9 ΦΥΣΙΚΗ. Εργ. Τ2 Οµάδα 7. Εργ. ΕΦ2 ΚΡΟΥΠΗΣ 9-10 ΖΕΙΜΠΕΚΗΣ ΖΑΧΑΡΟΥΛΗΣ ΠΕΡΑΚΗΣ

121 [101] 124 [104] 8-9 ΦΥΣΙΚΗ. Εργ. Τ2 Οµάδα 7. Εργ. ΕΦ2 ΚΡΟΥΠΗΣ 9-10 ΖΕΙΜΠΕΚΗΣ ΖΑΧΑΡΟΥΛΗΣ ΠΕΡΑΚΗΣ Τελ. Ενηµέρωση: 27/2/2009 ΩΡΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΑΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΑΚΑ. ΕΤΟΥ 2008-09 1 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΤΖΑΤΖΙΟ ΖΑΧΑΡΟΥΛΗ ΖΕΪΜΠΕΚΗ ΠΕΡΑΚΗ ΖΕΪΜΠΕΚΗ ΤΖΑΤΖΙΟ [101 Φυσική I] Αµφ. ΓΤΘΕ ΖΑΧΑΡΟΥΛΗ 120 [100] ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΝΑΚΕΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούε ε το ορισό και τις στοιχειώδεις ιδιότητες τω πιάκω, που είαι ορθογώιες παρατάξεις αριθώ ή άλλω στοιχείω Οι πίακες εφαίζοται στη θεωρία τω γραικώ συστηάτω,

Διαβάστε περισσότερα

t, όπου t Ζ. , t Ζ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

t, όπου t Ζ. , t Ζ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Επίλυση Γραμμικής Διοφαντικής Εξίσωσης Έστω η εξίσωση x y, όπου,, ακέραιοι με και Αν αναζητούμε ακέραιες λύσεις της εξίσωσης αυτής, ηλαή ζεύγη ακεραίων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΤΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΥΠΟ ΟΜΩΝ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΤΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΥΠΟ ΟΜΩΝ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΤΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΥΠΟ ΟΜΩΝ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Ταχ. διεύθυση: Ακτή Ποσειδώος 14-16 Ταχ. κώδικας:

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΤΑΤΑΞΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΕΜΠΕΙΡΙΑΣ- 6 ΘΕΣΕΙΣ ΜΕ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΤΑΤΑΞΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΕΜΠΕΙΡΙΑΣ- 6 ΘΕΣΕΙΣ ΜΕ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΧΩΡΙ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΜΟ - 6 ΘΕΕΙ ΜΕ ΕΙΡΑ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΒΑΘΜΟ 1 ΩΚΟ ΚΩΝΤΑΝΤΙΝΟΝΑΙ 7,397 ΌΧΙ 2 ΤΑΘΗ ΒΑΪΤΑ ΝΑΙ 7,2 ΌΧΙ 3 ΟΥΖΟΥΝΟΓΛΟΥ ΦΩΤΕΙΝΗ ΝΑΙ 7,094 ΌΧΙ 4 ΑΓΓΕΛΗ ΜΑΡΙΑ ΝΑΙ 7,047 ΌΧΙ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΓΓΛΙΚΗΣ Η ΑΛΛΗΣ ΞΕΝΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΣΤΙΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΤΟΥ Ε.Μ.Π.

Η ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΓΓΛΙΚΗΣ Η ΑΛΛΗΣ ΞΕΝΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΣΤΙΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΤΟΥ Ε.Μ.Π. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥΠΟΛΗ ΖΩΓΡΑΦΟΥ Η ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΓΓΛΙΚΗΣ Η ΑΛΛΗΣ ΞΕΝΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΣΤΙΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΤΟΥ Ε.Μ.Π. Α. ΣΧΟΛΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΏΝ Προπτυχιακές σπουδές : η ελληνική γλώσσα χρησιμοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΚΕΚΡΙΜΕΝΑ ΣΧΕ ΙΑ ΚΙΝΗΤΙΚΟΤΗΤΑΣ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΕΣ ΤΗΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ EMAIL ΤΙΤΛΟΣ ΣΧΕ ΙΟΥ ΑΡΙΘΜΟ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ Σ

ΕΓΚΕΚΡΙΜΕΝΑ ΣΧΕ ΙΑ ΚΙΝΗΤΙΚΟΤΗΤΑΣ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΕΣ ΤΗΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ EMAIL ΤΙΤΛΟΣ ΣΧΕ ΙΟΥ ΑΡΙΘΜΟ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ Σ ΕΓΚΕΚΡΙΜΕΝΑ ΧΕ ΙΑ ΚΙΝΗΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΕ ΤΗ Η ΕΚΠΑΙ ΕΥΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΡΤΙΗ Α/Α Α.Π ΚΩ ΙΚΟ ΜΑΤΟ ΙΚΑΙΧΟ - ΦΟΡΕΑ 2013 ΕΡΓΑΤΗΡΙΟ LEO03-01705 ΕΙ ΙΚΗ Η ΕΚΠΑΙ ΕΥΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΡΤΙΗ ΑΙΓΑΛΕΩ Ε.Ε.Ε.Ε.Κ. ΥΠΕΥΘΥΝΟ ΕΠΙΚΟΙΝΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

ιάρκεια σε ηµέρες εκπαίδευσης:

ιάρκεια σε ηµέρες εκπαίδευσης: ΕΠΕΑΕΚ 2.5.1.α «Ανάπτυξη των Ι ΒΕ και λειτουργία Προγραµµάτων δια βίου εκπαίδευσης» ΠΡΟΤΑΣΗ ΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΜΕΤΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟΥ ΙΑ ΒΙΟΥ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ια του Τµήµατος: Γεωπληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Oι Σπουδές και το Επάγγελμα του Αγρονόμου και Τοπογράφου Μηχανικού. Πάρις Σαββαΐδης, καθηγητής ΑΠΘ

Oι Σπουδές και το Επάγγελμα του Αγρονόμου και Τοπογράφου Μηχανικού. Πάρις Σαββαΐδης, καθηγητής ΑΠΘ Oι Σπουδές και το Επάγγελμα του Αγρονόμου και Τοπογράφου Μηχανικού Πάρις Σαββαΐδης, καθηγητής ΑΠΘ Θεσσαλονίκη, 13 Μαρτίου 2014 Ο Αγρονόμος και Τοπογράφος Μηχανικός (ΑΤΜ) είναι ο μηχανικός που ασχολείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΠΑΡΕΧΟΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ UTC ΑΠΟ ΤΟ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ, ΣΕ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΠΑΡΕΧΟΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ UTC ΑΠΟ ΤΟ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ, ΣΕ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΝΙΚΗΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΠΑΡΕΧΟΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ UTC ΑΠΟ ΤΟ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ, ΣΕ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Smart Shop uu ss ii nn g g RR FF ii dd Παύλος ΚΚ ατ σσ αρ όό ς Μ Μ MM Ε Ε ΞΞ ΥΥ ΠΠ ΝΝ ΟΟ ΜΜ ΑΑ ΓΓ ΑΑ ΖΖ Ι Ι ΡΡ ΟΟ ΥΥ ΧΧ ΙΙ ΣΣ ΜΜ ΟΟ ΥΥ E E TT HH N N ΧΧ ΡΡ ΗΗ ΣΣ ΗΗ TT OO Y Y RR FF II DD Απευθύνεται σσ

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

1κΝΓΕΝΙΚΟΝΛΤΚΕΙΟΝΚΙΛΚΙ

1κΝΓΕΝΙΚΟΝΛΤΚΕΙΟΝΚΙΛΚΙ 1κΝΓΕΝΙΚΟΝΛΤΚΕΙΟΝΚΙΛΚΙ ά η: Α - Α Ε Ε Ό ο α έσος α/α Ε ώ ο Ό ο α Πα έ α Ό ος 1 Α Α Α 20 2 Α Α Α Α Ω Α 19,8 3 Α Α Α Α 19,3 4 Α Ω Α Ω Α Α Α Α Α 19,2 5 Α Α Ω Α Α 19,2 6 Α Α ΩΑ 19,2 7 Α Α Α Ω Α 19,2 8 ΩΑ Α

Διαβάστε περισσότερα

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΙΔΑ: «ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ, ΜΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΖΩΗΣ» ΣΤΡΑΤΗ ΣΤΑΜΑΤΙΑ Επιβλέπων Καθηγητής: ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΚΑΡΛΟΒΑΣΙ, ΜΑΪΟΣ 2012 ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομος οδηγός του μαθήματος

Σύντομος οδηγός του μαθήματος Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016 Σύντομος οδηγός του μαθήματος Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Γενικές πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 2. Το σφάλµα προσέγγισης είναι πάντοτε θετικό. Μονάδες 1

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 2. Το σφάλµα προσέγγισης είναι πάντοτε θετικό. Μονάδες 1 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 28 ΙΟΥΝΙΟΥ 1999 ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1ο Α. Να χαρακτηρίσετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές µαθηµατικές συσχετίσεις θλιπτικών αντοχών σκυροδέµατος και τσιµέντου

Τεχνικές µαθηµατικές συσχετίσεις θλιπτικών αντοχών σκυροδέµατος και τσιµέντου Τεχνικές µαθηµατικές συσχετίσεις θλιπτικών αντοχών σκυροδέµατος και τσιµέντου Κ. K. Ευαγόρου ρ. Χηµικός, ιευθυντής Ποιότητας της Τσιµεντοποιίας ΒΑΣΙΛΙΚΟΥ Κύπρου A. Γ. ηµητρίου Μεταλλειολόγος Μηχανικός,

Διαβάστε περισσότερα

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ Ενότητα 2: Επαγωγική-περιγραφική στατιστική, παραµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται ο προσδιορισµός του αποτελέσµατος µε την πλήρη και την άµεση κοστολόγηση.

Ζητείται ο προσδιορισµός του αποτελέσµατος µε την πλήρη και την άµεση κοστολόγηση. Πλήρης και Αναλογική / Άµεση Κοστολόγηση Εφαρµογή Έστω ότι έχουµε τις ακόλουθες πληροφορίες για µία επιχείρηση: Άµεσα Υλικά 1.000 Η παραγωγή και πώληση ανέρχεται σε 1.000 µονάδες Άµεση Εργασία 2.000 και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2011 Α Ι Θ Ο Υ Σ Ε Σ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2011 Α Ι Θ Ο Υ Σ Ε Σ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΙΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ Ν.Ο.Π.Ε. ΤΜΗΜΑ ΝΟΜΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΟ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟ 2011 Α Ι Θ Ο Σ Ε Σ 01/09/2011 02/09/2011 08:00-10:30 ΚΛΗΡΟΝΟΜΙΚΟ ΙΚΑΙΟ ΕY Σαριπόλων,1,2,3,4,5,6,7,9,=

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Κατακρηµνίσεις (2 η Άσκηση)

ΤΕΧΝΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Κατακρηµνίσεις (2 η Άσκηση) ΤΕΧΝΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ Κατακρηµνίσεις ( η Άσκηση) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ιάρθρωση ου Μαθήµατος Ασκήσεων Έλεγχος οµοιογένειας

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΕΡΙ Α ΤΕΕ/ΤΚΜ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΙΑΡΡΟΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ ΣΤΟ ΑΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ - ΠΡΟΛΗΨΗ

ΗΜΕΡΙ Α ΤΕΕ/ΤΚΜ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΙΑΡΡΟΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ ΣΤΟ ΑΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ - ΠΡΟΛΗΨΗ ΗΜΕΡΙ Α ΤΕΕ/ΤΚΜ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΙΑΡΡΟΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ ΣΤΟ ΑΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ - ΠΡΟΛΗΨΗ 30 ΜΑΡΤΙΟΥ 2009 ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΑΓΩΓΩΝ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ ΣΤΗΝ ΠΟΛΗ ΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΚΑΡΑΚΙΤΣΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η Η Η : 10/2015 Η : 33.997,20 Ϊ Η Η: Ί ο π ο Ω Ω α ο υπο ογ α υγ ο α α α ογ , ΦΕ Σ 2015

Η Η Η : 10/2015 Η : 33.997,20 Ϊ Η Η: Ί ο π ο Ω Ω  α ο υπο ογ α υγ ο α α α ογ , ΦΕ Σ 2015 Η Η Η Θ Η Η Θ Β Θ Η Ω Η Ω Η Ω & Η Ω ΓΩ. Η : 10/2015 Γ : 33.997,20 Ϊ Η Η Η: Ί ο π ο ο α ΔΗ ο ο υπο ογ α ο υγ ο α α α ογ Ε. Η Θ Η. Γ. Γ Η ΓΓ ΦΗ V. Η ΓΓ ΦΗ - Γ Φ Ε, ΦΕ Υ Σ 2015 Η Η Η Θ Η Η Θ Β Θ Η Ω Η Ω Η

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων 1. Σκοπός Σκοπός του μαθήματος είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη θεωρία Σφαλμάτων, όπως το σφάλμα, την αβεβαιότητα της μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

1 η Εργαστηριακή Άσκηση: Απλή Αρµονική Ταλάντωση

1 η Εργαστηριακή Άσκηση: Απλή Αρµονική Ταλάντωση Ονοµατεπώνυµο: µήµα: Επιµέλεια: Παναγιώτης Παζούλης Φυσική Γ Λυκείου θετικής εχνολογικής Κατεύθυνσης 1 η Εργαστηριακή Άσκηση: Απλή Αρµονική αλάντωση Α) Εισαγωγικές έννοιες. Περιοδική κίνηση ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΙ. Έστω ένα οξύ-δείκτης Η, το οποίο ιοντίζεται και αποκαθίσταται ισορροπία της µορφής : Η + Η2Ο

ΟΙΙ. Έστω ένα οξύ-δείκτης Η, το οποίο ιοντίζεται και αποκαθίσταται ισορροπία της µορφής : Η + Η2Ο Π ΠΡ ΡΩ ΩΤ ΤΟ ΟΛ ΛΥ ΥΤ ΤΙΙΚ ΚΟ ΟΙΙ Ε ΕΙΙΚ ΚΤ ΤΕ ΕΣ Σ Πρωτολυτικοί δείκτες ονοµάζονται οι ενώσεις που έχουν την ιδιότητα να µεταβάλλουν το χρώµα τους µέσα σε καθορισµένα όρια του ph ενός διαλύµατος. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΕΠΑΝΑΠΡΟΚΗΡΥΞΗΣ για τη σύναψη ΣΥΜΒΑΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Ο ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΡΧΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΕΠΑΝΑΠΡΟΚΗΡΥΞΗΣ για τη σύναψη ΣΥΜΒΑΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Ο ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΡΧΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΥ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΧΑΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΑΙ ΜΙΣΘΟ ΟΣΙΑΣ Χανιά,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχοι. Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού

Έλεγχοι. Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού Έλεγχοι Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού Το ρυθμό απελευθέρωσης του φαρμάκου από το σκεύασμα Έλεγχο ταυτότητας και καθαρότητας της πρώτης ύλης και των εκδόχων( βάση προδιαγραφών)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον Μάρτιο 2015.

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον Μάρτιο 2015. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Πειραιάς, 4 Ιουνίου 20 ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Μάρτιος 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον Μάρτιο

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 1.3-1.4: Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό ( ιάλεξη 2) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Περιεχόµενα Εισαγωγικές Έννοιες - Ορισµοί Ο κύκλος ανάπτυξης προγράµµατος Παραδείγµατα Πότε χρησιµοποιούµε υπολογιστή?

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις γεωµετρικών µεγεθών µε χρήση διαστη- µόµετρου, µικρόµετρου και σφαιρόµετρου

Μετρήσεις γεωµετρικών µεγεθών µε χρήση διαστη- µόµετρου, µικρόµετρου και σφαιρόµετρου Μ7 Μετρήσεις γεωµετρικών µεγεθών µε χρήση διαστη- µόµετρου, µικρόµετρου και σφαιρόµετρου A. Προσδιορισµός της πυκνότητας στερεού σώµατος B. Εύρεση της εστιακής απόστασης συγκλίνοντα φακού. Σκοπός Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: 01 ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ: 002. Αναβάθµιση της ποιότητας της παρεχόµενη ς εκπαίδευσης (3)

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: 01 ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ: 002. Αναβάθµιση της ποιότητας της παρεχόµενη ς εκπαίδευσης (3) ΤΡΙΜΗΝΙΙΟ ΕΛΤΙΟ ΠΡΚΟΛΟΥΘΗΗ ΕΡΓΟΥ/ 2000-2006 ΤΡΙΜΗΝΙΙΟ ΕΛΤΙΟ ΠΡΚΟΛΟΥΘΗΗ ΕΡΓΟΥ ΤΜΗΜ (Ταυτότητα Έργου) ΕΠΙΧΕΙΡΗΙΚΟ ΠΡΟΓΡΜΜ: 01 ΕΠ ΕΚΠΙ ΕΥΗ ΚΙ ΡΧΙΚΗ ΕΠΓΓΕΛΜΤΙΚΗ ΚΤΡΤΙΗ (1) ΠΡΟΤΕΡΙΟΤΗΤ: 002 Προώθηση και βελτίωση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

Η ποιότητα των μετρήσεων κατανάλωσης ενέργειας ως παράγοντας του επιχειρηματικού κινδύνου

Η ποιότητα των μετρήσεων κατανάλωσης ενέργειας ως παράγοντας του επιχειρηματικού κινδύνου Η ποιότητα των μετρήσεων κατανάλωσης ενέργειας ως παράγοντας του επιχειρηματικού κινδύνου Γεώργιος Ν. Παπαδάκος Δρ Μηχανολόγος Μηχανικός ΕΜΠ Σύμβουλος Μετρολογίας Προοπτικές ανάπτυξης και οφέλη των επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΑΧΟΝΤΑ ΣΧΕ ΙΑ ΚΙΝΗΤΙΚΟΤΗΤΑΣ - ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΤΗΛΕΦΩΝΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ

ΕΠΙΛΑΧΟΝΤΑ ΣΧΕ ΙΑ ΚΙΝΗΤΙΚΟΤΗΤΑΣ - ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΤΗΛΕΦΩΝΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΕΠΙΛΑΧΟΝΤΑ ΧΕ ΙΑ ΚΙΝΗΤΙΚΟΤΗΤΑ - ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΕΚΠΑΙ ΕΥΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΡΤΙΗ Α/Α Α.Π ΚΩ ΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟ 1 2001 01572 mail@3sekpatras.ach.sch.gr 01819 2 54 2055 01547 3 4 5 36 6 39 7 11 10 01733 grammateia@iekacharn.att.sch.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ Επιλογή κειμένων των καθηγητών: Μ. GRAWITZ Καθηγήτρια Κοινωνιολογίας

Διαβάστε περισσότερα