Kengura Tarptautinio matematikos konkurso užduotys ir sprendimai. Junioras

Transcript

1 Kengur 013 Trptutinio mtemtikos konkurso užduotys ir sprendimi Juniors

2 KENGŪROS KONKURSO ORGANIZAVIMO KOMITETAS KENGŪRA 013 TARPTAUTINIO MATEMATIKOS KONKURSO UŽDUOTYS IR SPRENDIMAI Autorius ir sudrytojs Aivrs Noviks Redktorius Aivrs Noviks Mketvims Pulius Šrk Aivrs Noviks, 013 Kengūros orgnizvimo komitets, 013

3 Turinys Prtrmė 4 Geriusiųjų sąrši Dlyvio kortelės pvyzdys 8 Sąlygos 9 Sprendimi 13 Atskymi 5 3

4 Prtrmė Pprsti žiūrint, Kengūros konkurss tėr ne ką dugiu kip 30, o junesnių klsių mokinims dr mžiu (ties, lbi neksdienių) mtemtikos uždvinių, susitikims su kuriis už sprendėjo suolo trunk nepilns dvi kdemines vlnds. Ir visks. Tik tiek Pprsti žiūrint, ir mūsų grsiusiojo lpinisto Vldo Vitkusko pskutinis metrs įkopint į Everestą irgi susidėjo ne iš šimto judesių, o ki kurie iš jų gl ir pskriti tebuvo tik krustelėjimi. Ties, tie krustelėjimi turėjo būti nežmoniški sunkūs. Tčiu kodėl tiek dug žmonių tų kopimų imsi į relius klnus ir kodėl net per 5 milijonus vidurinės mokyklos mokinių ksmet pvsrį kopi į Kengūros klnelius? Kuo tie Kengūros klnelii tokie ptruklūs, kokios ten ukštumėlės tsiveri? Juk dbr ju nebeišsisuksi burbtelėjęs: jie neturi kur dėtis, ti ir sprendinėj visokius uždvinukus. Juk nepskysi, kd milijoni tip ju ir neturi kur dėtis šitokioje prmogų gdynėje. Ar tik ne todėl, kd tie milijoni geri žino, jog bigimjme kopime jų luki, nors ir įveikimi, bet krtu ir lbi gržūs, ptruklūs uždvinii, kuriuos spręsdms gli užsikbinti pči turiusi to žodžio teikim prsme? Kip ti žinojo (o jei ne ti sužinojo) per Lietuvos mokinių, dlyvvusių konkurse 013 metis. Juk konkurss it žvus tornds (o tokių irgi būn) negriudms supurto įtemptą mokyklos dienų tėkmę ir prlėkęs pliek beveik nemtomą, bet iškų pėdską visų susidūrusių su juo vizduotėse. Jo imi ilgėtis džni pts to nesuvokdms žymi dlimi būtent iš to ilgesio pmtyti pprstų, gržių bei viliojnčių uždvinių ir tsirnd milijoni dlyvujnčiųjų. 75 lemtingos drbo minutės kiekvienų metų kovo mėnesio trečiąjį ketvirtdienį vinikuoj beglę įdėtų pstngų ir kruopštų triūsą, neįkyrii vism išminties trokštnčim psuliui be pliovos įrodydmos, kd glvą lužyti prsmingi, kd ir mtemtikos užduotis besprendžint, glim ptirint žismingumą, spėliojimo zrtą, žibiškus, netikėtus proto nušvitimus. Nepmirškime, kd vertinmi yr tik konkurso dlyvių 1 1 klsių kengūriukų tskymi, o tskymą kiekvienoje užduotyje reiki psirinkti (ir kuo greičiu!) iš penkių duotųjų. Ar tikri teisings ts tskyms, kuris iš pirmo žvilgsnio trodo lbiusii tikėtins? Ar ts uždvinys tikri toks sunkus, kd verčiu jį prleisti? O gl tereiki pstebėti kokią smulkmeną, svime nekrintnčią į kis, ir uždvinys iš krto išsispręs? Ar psėdėti prie šio uždvinio dr kelis minutes? O gl verčiu rizikuoti ir iš krto spėti lbiusii ptinkntį tskymą? Juk jei ptikysi priklusomi nuo uždvinio sunkumo gusi 3, 4 r 5 tškus, tčiu jei rizik nepsiteisins ir pršusi pro šlį bus blogiu nei jei išvis jokio tskymo nežymėtum. Mt už klidingą tskymą iš bendros tškų sumos su šltu buhlteriniu tikslumu timm ketvirtis to, ks būtų pridėt tskius teisingi. (Visgi pstebėsime, kd į minusą nusiristi Kengūros konkurse neįmnom, nes kiekvienm mokiniui vien už dlyvvimą dosnii skirim 30 tškų.) Su pnšiis klusimis konkurso dlyvii susiduri džni, nes Kengūros uždvinių sprendimi būn gn netikėti, kviečintys sprendėją pdryti trdimą peršokti per stndrtinio mąstymo brikds. Tip kint milijonų sprendėjų požiūris į ti, koki gi būn (šmikšti) užduotis ir iš kelių minčių bei pprstų skinių ju gli sukristi jos sprendims šti ju, regis, net gli tskirti, už kurių sąlygos žodžių r skičių slpstosi tikrsis tskyms. Dbr stbtelėkime kimirki ir pklusykime kelių žodžių iš Kengūros gelmių Lietuvoje ir visme psulyje. Ks gi mums tą ksmetį viesulą siunči? Kip nesunku nuspėti, konkurso idėj gimė ir lbi sėkmingi rutuliojosi Austrlijoje, o Europoje ji ėmė sklisti iš Prncūzijos. Prncūzi suteikė Kengūri ir jos dbrtinę orgnizcinę išvizdą. Lietuvoje prie Kengūros konkurso ištkų stovėjo ir lbi dug nuveikė įvirios institucijos, mokyklos ir kitos svo gyvenimą švietimui pskyrusios orgnizcijos bei entuzistingi prdininki.

5 Klbnt šiek tiek žismingiu, būtent jų glingomis pstngomis grkštus bei efektyvus mokymo simboliu tpęs gyvūns su vis svo mokslo kriun ir buvo tviliots ir, drįstme ti skyti nedvejodmi, negrįžtmi tšuolivo ps mus bei įsikūrė Nemuno žemėje. Trp sumnii į Lietuvą Kengūros konkursą viliojusių institucijų pirmiusii minėtini Švietimo ir mokslo ministerij, Mtemtikos ir informtikos instituts bei Vilnius universitets, o nenutylint žmonių pirmiusii reikėtų pminėti či būtent ts tvejis, ki nutylėti būtų nepdoru Lietuvos mtemtikos olimpidų ptrirchą Juozą Juvencijų Mčį bei ŠMM vyriusiąją mtemtikos specilistę Mrytę Skkuskienę. O šiip, Kengūri nuolt mūsų gyvenime rndntis, visks vykst kip visur, kur rimti dirbm. Ir Kengūros rts suksi kiurus metus net vsromis, ki, trodytų, tik tostogos, geriusii konkurse psirodžiusieji mokinii kviečimi į stovykls, kur gli dlyvuti tiek sportiniuose, tiek kengūriniuose (mtemtiški sportiniuose), tiek kituose smgiuose renginiuose. O rudenį eksperti, suvživę iš viso psulio, renk uždvinius konkursui, per žiemą jie verčimi į dešimtis klbų, dptuojmi ir pritikomi tip, jog krtis trodo, kd jie suglvoti kimyninime miestelyje. Vien Lietuvoje Kengūr klb keturiomis pgrindinėmis klbomis: lietuvių, lenkų, rusų ir nglų. Tik tip, nepstebimi bei nenuleidžint rnkų, ir gli užgimti konkurss, keičintis jo dlyvių požiūrį į mtemtiką. Tik ti ir teprodo, kip modernim žmogui duoti dermą psirengimą dr modernesnei mus užgriūnnčii teičii, į kurią jm lemt žengti. Šis kelis neišvengims juo teks eiti. Eiti bus įdomu, krtis šiek tiek bugu, gl net sunku bet jo vingii įveikimi, o jį psirinkusiųjų užmoji stebinntys. Ks gi mūsų luki kelionėje? Šioje knygelėje pteikti konkurso uždvinii, pro kuriuos 013metų kovo 1 dieną kelivo ir gusii sprendė 9 10 klsių (Junioro mžius grupė) mokinii. Be to, norintieji psitikrinti, r jie tikri geri sprendė, pnūdusieji psižiūrėti, kip dr glim spręsti šiuos uždvinius rb kip juos pjėgi spręsti jų pteikėji, knygelėje rs ir visų uždvinių tskymus su sprendimis. Kip ju senii visi žino, norint rsti r psirinkti teisingą tskymą iš penkių duotųjų, ne visd būtin griežti išspręsti uždvinį r kip kitip perkrtyti visą psulio išmintį, todėl ir knygelėje pteikimi ki kurių uždvinių ne tik griežti mtemtinii sprendimi (jie žymimi ženklu!), bet ir jų kengūrinii sprendimi, piškinntys, kip nusiguti iki teisingo tskymo, uždvinio iki glo tip ir neišsprendus (tokie sprendimi-nusigvimi pžymėti ženklu?). Ki vienokių r kitokių sprendimo būdų yr dugiu nei viens, jie žymimi ženklis??,!!,!!! ir pn. Nors konkurse židime pknk klustuku pžymėto sprendimo, tikimės, kd mtemtikos glvosūkių sportu užsikrėtusim skitytojui nebus svetims ir zrts išsiiškinti viską iki glo bei pereiti uždvinio lynu be penkių tskymų psugos. Td kviečime keliuti ir pvikštinėti juo krtu su Kengūr išmėginti turims jėgs bei ždinti svo kūrybines glis, kurių jūs, miels skitytoju, šitiek dug turite! 5 Romulds Kšub ir Aivrs Noviks

6 Juniors, 9 klsė, 50 geriusiųjų Vlents Brss, Alsėdžių vidurinė mokykl, Plungės r., 119,75 Jons Mockūns, Alsėdžių vidurinė mokykl, Plungės r., 108,75 Viv Augustinitė, Žemičių Klvrijos vidurinė mokykl, Plungės r., 103,5 Akvilė Viršilitė, Skuodo Prnciškus Ždeikio gimnzij, Skuodo r., 10,50 Ev Derengovsk, Eišiškių gimnzij, Šlčininkų r., 10,00 Gintuts Lsevičius, Kišidorių Algirdo Brzusko gimnzij, Kišidorių r., 10,00 Adrin Vilkite, Vilnius licėjus, Vilnius m., 101,5 Rosit Urnikytė, Žemičių Klvrijos vidurinė mokykl, Plungės r., 99,75 Mrt Voitkevičiūtė, Vldislvo Sirokomlės vidurinė mokykl, Vilnius m., 98,75 Einrs Sipvičius, Kėdinių Šviesioji gimnzij, Kėdinių r., 9,5 Edvins Repečk, Aušros gimnzij, Kuno m., 95,00 Juzef Kučinski, Adomo Mickevičius gimnzij, Vilnius m., 93,75 Luks Mrtišius, Lieporių gimnzij, Šiulių m., 93,50 Justin Novikovitė, Vilnius licėjus, Vilnius m., 9,50 Tds Budriks, Kuno technologijos universiteto gimnzij, Kuno m., 9,50 Nikit Dniliuk, Vsilijus Kčilovo gimnzij, Vilnius m., 90,75 Arns Steponvičius, Šiulių universiteto gimnzij, Šiulių m., 90,00 Ast Jršiūtė, Kpčimiesčio Emilijos Pliterytės mokykl, Lzdijų r., 90,00 Ksprs Krliks, Mrijmpolės Rygiškių Jono gimnzij, Mrijmpolės sv., 90,00 Luks Nruševičius, 5-oji gimnzij, Pnevėžio m., 90,00 Mrius Kurbkovs, Jotvingių gimnzij, Alytus m., 90,00 Roks Giedritis, Jėzuitų gimnzij, Vilnius m., 89,75 Aušrinė Aglinskitė, Utenos Adolfo Špokos gimnzij, Utenos r., 89,00 Gedimins Jcunsks, Kuno technologijos universiteto gimnzij, Kuno m., 88,75 Pulius Birmns, Simono Duknto gimnzij, Vilnius m., 88,75 Roms Brons, Žirmūnų gimnzij, Vilnius m., 88,75 Regimnts Nrkus, Slntų gimnzij, Kretingos r., 88,50 Andrejus Kostrevs, Didždvrio gimnzij, Šiulių m., 88,00 Drj Poimnov, Aleksndro Puškino vidurinė mokykl, Vilnius m., 88,00 Liudviks Čips, Kuno technologijos universiteto gimnzij, Kuno m., 87,75 Hrolds Mckelo, Širvintų Luryno Stuokos-Gucevičius gimnzij, Širvintų r., 87,50 Mindugs Čeknusks, Kretingos Prnciškonų gimnzij, Kretingos r., 87,50 Silvij Juciūtė, Telšių Žemitės gimnzij, Telšių r., 87,5 Simons Gervė, Sulės gimnzij, Kuno m., 8,50 Denis Krupičiovič, Šlčininkų Sntrvės vidurinė mokykl, Šlčininkų r., 8,5 Gedimins Brs, Plngos senoji gimnzij, Plngos m., 8,5 Pulius Sulėns, Kuno technologijos universiteto gimnzij, Kuno m., 8,5 Viltė Prnuskitė, Vilnius licėjus, Vilnius m., 8,5 Kmilė Tumšytė, Kuno technologijos universiteto gimnzij, Kuno m., 8,00 Arnolds Gritė, Kuno technologijos universiteto gimnzij, Kuno m., 85,75 Tds Žututs, Veiviržėnų gimnzij, Klipėdos r., 85,75 Aistė Kudulytė, Jėzuitų gimnzij, Vilnius m., 85,50 Ričrds Lukševičius, Grigiškių Šviesos gimnzij, Vilnius m., 85,50 Drius Burinskis, Vldislvo Sirokomlės vidurinė mokykl, Vilnius m., 85,00 Evlds Sročk, Generolo Povilo Plechvičius junojo krio mokykl, Kuno m., 85,00 Domnts Vlčecks, Kuno technologijos universiteto gimnzij, Kuno m., 84,75 Dovyds Morkūns, Anykščių Antno Vienuolio gimnzij, Anykščių r., 84,75 Luks Visocks, Žirmūnų gimnzij, Vilnius m., 84,75 Roks Kireilis, Mrijmpolės mrijonų gimnzij, Mrijmpolės sv., 84,75 Jurgis Viginis, Šv. Kristoforo gimnzij, Vilnius m., 84,5

7 7 Juniors, 10 klsė, 50 geriusiųjų Domnts Jdenkus, Grigiškių Šviesos gimnzij, Vilnius m., 13,50 Meilė Petruskitė, Kuno technologijos universiteto gimnzij, Kuno m., 119,75 Domnts Bružs, Nujosios Akmenės Rmučių gimnzij, Akmenės r., 118,50 Ptricij Špokitė, Juozo Blčikonio gimnzij, Pnevėžio m., 118,50 Augusts Dulskis, Žirmūnų gimnzij, Vilnius m., 11,5 Jons Budrusks, Kuno technologijos universiteto gimnzij, Kuno m., 108,75 Mksim Bovrov, Nujmiesčio vidurinė mokykl, Vilnius m., 108,75 Gbij Kielitė, Kuno technologijos universiteto gimnzij, Kuno m., 107,50 Mrius Bškys, Vilnius licėjus, Vilnius m., 10,5 Roks Tomkevičius, Ąžuolo ktlikiškoji vidurinė mokykl, Kuno m., 10,00 Emilijus Stnkus, Ąžuolyno gimnzij, Klipėdos m., 104,75 Driuš Cilind, Eišiškių gimnzij, Šlčininkų r., 10,5 Rūt Vitkutė, Kuno technologijos universiteto gimnzij, Kuno m., 10,00 Ernest Bitkivskij, Vilnius licėjus, Vilnius m., 101,5 Mnts Prnskitis, Stsio Šlkuskio gimnzij, Šiulių m., 101,5 Tds Retys, Ukmergės Antno Smetonos gimnzij, Ukmergės r., 101,5 Artur Nkliud, Vilnius licėjus, Vilnius m., 100,75 Mnts Petriks, Vilnius licėjus, Vilnius m., 100,00 Vygints Vytrts, Mrijmpolės Sūduvos gimnzij, Mrijmpolės sv., 100,00 Edmunds Riškus, Kuršėnų Pvenčių vidurinė mokykl, Šiulių r., 98,75 Sulius Beinorius, Vilnius licėjus, Vilnius m., 98,75 Dins Jnisovs, Kuno Vyturio ktlikiškoji vidurinė mokykl, Kuno m., 97,00 Alns Plščinsks, Vilnius licėjus, Vilnius m., 9,5 Mild Jundulitė, Vilnius licėjus, Vilnius m., 9,00 Indrė Tuminuskitė, Kuno technologijos universiteto gimnzij, Kuno m., 94,50 Mnts Dirm, Vilnius licėjus, Vilnius m., 93,75 Olg Jon Šmititė, Žirmūnų gimnzij, Vilnius m., 93,75 Eivyds Rčkusks, Ąžuolyno gimnzij, Klipėdos m., 93,50 Nikit Šurin, Juventos gimnzij, Vilnius m., 93,50 Gret Rodevič, Eišiškių gimnzij, Šlčininkų r., 93,5 Kšyštof Šeibk, Simono Konrskio vidurinė mokykl, Vilnius m., 93,5 Justins Kvoliūns, Vilnius licėjus, Vilnius m., 9,50 Miglė Trtėnitė, Vievio gimnzij, Elektrėnų sv., 9,50 Simons Pilkusks, Minties gimnzij, Vilnius m., 9,50 Šrūns Totoritis, Kuno technologijos universiteto gimnzij, Kuno m., 9,5 Kmil Kuznecov, Sužionių vidurinė mokykl, Vilnius r., 9,00 Pulius Adomvičius, Šilutės Vydūno gimnzij, Šilutės r., 91,5 Jokūbs Čepėns, Jėzuitų gimnzij, Vilnius m., 90,50 Justs Juknys, Ukmergės Antno Smetonos gimnzij, Ukmergės r., 90,5 Jolnt Krsdomsk, Sužionių vidurinė mokykl, Vilnius r., 90,00 Rugilė Jurevičiūtė, Akdemijos Ugnės Krvelis gimnzij, Kuno r., 90,00 Adoms Dnilevičius, Klipėdos licėjus, Klipėdos m., 89,75 Gytis Rmnusks, Rdviliškio Vižgnto gimnzij, Rdviliškio r., 88,75 Iev Brkuskitė, Kretingos Jurgio Pbrėžos gimnzij, Kretingos r., 88,75 Julij Jneiko, Juventos gimnzij, Vilnius m., 88,75 Mri Kmil Žygis, Mišiglos Juzefo Obrembskio vidurinė mokykl, Vilnius r., 88,75 Roberts Repecks, Vėtrungės gimnzij, Klipėdos m., 88,50 Tds Mnkus, Vrpo gimnzij, Kuno m., 88,50 Augustė Jurenkovitė, Ukmergės Antno Smetonos gimnzij, Ukmergės r., 87,50 Bltrus Šivickis, Vilnius licėjus, Vilnius m., 87,50 Ernest Lokutivevskij, Vilnius r. Rukinių vidurinė mokykl, Vilnius r., 87,50 Pulius Jnonis, Biržų Aušros vidurinė mokykl, Biržų r., 87,50 Žilvins Spučys, Sulės gimnzij, Kuno m., 87,50

8 Trptutinis mtemtikos konkurss KENGŪRA Dlyvio kortelė KAIP UŽPILDYTI DALYVIO KORTELĘ TEISINGAS KORTELĖS UŽPILDYMAS YRA TESTO DALIS! 1. Kortelę pildykite pieštuku.. Jei žymėdmi suklydote, IŠTRINKITE žymėjimą trintuku ir žymėkite dr krtą. 3. Nurodytoje vietoje įršykite svo mokyklos šifrą (jį Jums pskys mokytojs) ir pvdinimą. 4. Kryželiu titinkmuose lngeliuose pžymėkite, kuri klb ir kurioje klsėje mokotės (gimnzijos klsės - G1,, G4). 5. Žemiu nurodytoje vietoje didžiosiomis spusdintinėmis ridėmis įršykite svo vrdą ir pvrdę. Pvyzdys: Pvrdė P A V A R D E N I S. Išsprendę testo uždvinį, nurodytoje šios kortelės vietoje pžymėkite tik vieną psirinktą tskymą. Žymėjimo kryželiu pvyzdys: ATSAKYMŲ DALIS Mokyklos šifrs Mokyklos pvdinims Klb Lietuvių Lenkų Nykštuks Mžylis Bičiulis Kdets Juniors Senjors Rusų Klsė (G1) 10(G) 11(G3) 1(G4) Anglų Vrds Pvrdė Uždvinių tskymi 1 A B C D E 7 A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E PASTABOS 1. Už teisingą tskymą skirimi visi uždvinio tški. Už nenurodytą tskymą skirim 0 tškų, o klidings tskyms vertinms minus 5% uždvinio tškų.. KORTELĖS NEGALIMA LANKSTYTI IR GLAMŽYTI. 3. Atlikę užduotį, konkurso orgniztorims grąžinkite tik šią kortelę. Sąlygų lpelis ir sprendimi liek Jums. Automtinis pdorojims, Ncionlinis egzminų centrs, 013

9 013 m. konkurso užduočių sąlygos Klusimi po 3 tškus 1. Skičius nesidlij iš: A) B) 3 C) 5 D) 7 E) 11. Gretutė nt vienodų kvdrtinių lpelių užtušvo pvizduots figūrs. Kelių figūrų perimetri lygūs lpelio perimetrui? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 3. Poni Aurelij pmtė prduotuvėje tokį skelbimą: Kukurūzų kcij!!! 0 centų už burbuolę! Ks šešt burbuolė nemokm! Ji tučtuoju nupirko po 4 burbuoles kiekvienm iš svo 4 vikų. Kiek ji sumokėjo? A) 0,80 Lt B) 1,0 Lt C),80 Lt D) 3,0 Lt E) 80 Lt 4. Suduginus tris iš skičių, 4, 1, 5, 50, 15, gut sndug Km lygi tų trijų skičių sum? A) 70 B) 77 C) 131 D) 143 E) Kits skičius 5. Popierius lps pdlyts į kvdrtinius vienetinio ploto lngelius. Jme pžymėti šeši tški (žr. pv.). Sujungus tris iš jų tkrpomis, susidrė trikmpis. Koks yr mžiusis glims to trikmpio plots? A) 1 4 B) 1 3 C) 1 D) 1 E). Skičių 4 15 ir 8 10 sum yr dvejeto lipsnis. Ji lygi: A) 10 B) 15 C) 0 D) 30 E) Popierinis kubs nudžyts juodi ir blti, ir trodo tip, trsi jį sudrytų keturi blti ir keturi juodi kubelii. Kokį vizdą glime guti iškloję kubą? A) B) C) D) E) 8. Imme skičius 4 didžiusią triženklį krtotinį ir skičius 4 mžiusią triženklį krtotinį. Km lygus tų dviejų krtotinių skirtums? A) 900 B) 899 C) 89 D) 5 E) 4

10 10 SĄLYGOS 9. Brėžinyje šli mtome pskritimą be ketvirčio ir jme pžymėtą rodyklę. Kokį vizdą gusime, psukę tą figūrą 90 kmpu prieš likrodžio rodyklę plink tšką O, o td pkeitę ją veidrodiniu tspindžiu Ox šies tžvilgiu? A) B) C) D) E) 10. Kuris iš išvrdytų skičių yr didžiusis? A) 0 13 B) 0 13 C) 0 13 D) 01 3 E) 013 Klusimi po 4 tškus 11. Lygikrštį trikmpį AOB psukus plink tšką O, guts trikmpis COD. Žinom, kd β = BOC = 70 (žr. pv.). Km lygus kmps α = BAC? A) 0 B) 5 C) 30 D) 35 E) 40 A 1. Pveikslėlyje pvizduots zigzgs, sudryts iš šešių vienetinių lngelių. Jo perimetrs lygus 14. Km lygus sudryto iš 013 lngelių zigzgo perimetrs? A) 0 B) 408 C) 403 D) 038 E) Atkrp AB jungi dvi priešings tisyklingojo šešikmpio viršūnes. Atkrp CD jungi jo dviejų priešingų krštinių vidurio tškus (žr. pv.). Rskite šių tkrpų ilgių sndugą, jei šešikmpio plots lygus 0. A) 40 B) 50 C) 0 D) 80 E) Vienos klsės mokinii pršė testą. Jei kiekviens berniuks būtų gvęs 3 blis dugiu, klsės pžymių vidurkis būtų didesnis 1, blo. Kurią klsės dlį sudro mergitės? A) 0% B) 30% C) 40% D) 0% E) Nusttyti neįmnom α B B β O D C C D A 15. Stčikmpis ABCD yr III koordinčių sistemos ketvirtyje, o jo krštinės lygigrečios su koordinčių šimis (žr. pv.). Kiekvieni viršūnei priskirims skičius, lygus jos koordinčių sntykiui y : x. Kurios viršūnės skičius bus mžiusis? A) A B) B C) C D) D E) Nusttyti neįmnom 1. Šindien ir pono Jono, ir jo sūnus gimtdienis. Jų mžių (metis) sndug lygi 013. Kuriis metis gimė pons Jons? A) 1981 B) 198 C) 1953 D) 195 E) Nusttyti neįmnom C 17. Rugilė mėgino nubrėžti iš lygikrščių trikmpių sudrytą rombą, bet išmtvusi kmpus suprto suklydusi (žr. pv.). Kuri iš penkių tkrpų yr ilgiusi? A) AD B) AC C) AB D) BC E) BD A B 18. Penki iš eilės einntys ntūrlieji skičii psižymi toki svybe: trijų iš jų sum lygi kitų dviejų sumi. Kiek yr tokių skičių penketų? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) Dugiu nei 3 D

11 Keliis būdis įmnom iš tško A ptekti į tšką B, einnt rodyklių nurodyt kryptimi (žr. pv.)? A) B) 8 C) 9 D) 1 E) Duots šešiženklis ntūrlusis skičius, kurio skitmenų sum lyginė, o sndug nelyginė. Kuris iš šių teiginių pie duotąjį skičių gli būti teisings? A) Lyginii yr du rb keturi jo skitmenys B) Tokio skičius nėr C) Jo nelyginių skitmenų skičius nelyginis D) Visi šeši jo skitmenys skirtingi E) Teiginii A D klidingi Klusimi po 5 tškus 1 1. Skičius užršyts bigtine dešimtine trupmen, kurios pskutinis skitmuo nenulinis Kiek skitmenų užršyt po kblelio? A) 10 B) 1 C) 13 D) 14 E) Kiek yr ntūrliųjų skičių, kurių kiekviens dlijsi iš 013 ir turi lygii 013 ntūrliųjų dliklių (įskitnt 1 ir ptį skičių)? A) 0 B) 1 C) 3 D) E) Kits skičius 3. Keli lygišonii trikmpii, suglusti šoninėmis krštinėmis, sudro iškyląjį dugikmpį (žr. pv.). Trikmpių kmpų, turinčių bendrą viršūnę, dydžii lipsniis yr ntūrlieji skičii 4, 48, 7, 9, 10, guti duginnt mžiusiąjį iš 1,, 3,. Lins tokiu pt būdu sugludė tiek lygišonių trikmpių, kiek tik įmnom. Kiek lipsnių turi mžiusis iš bendrviršūnių kmpų Lino brėžinyje? A) 1 B) C) 3 D) E) 8 4. Skom, kd su skičių trejetu tlikt opercij SUMOS, jei kiekviens iš trijų skičių pkeičims kitų dviejų sum. Pvz., skičius 3, 4, opercij SUMOS pverči skičiis 10, 9, 7, o šiuos svo ruožtu skičiis 1, 17, 19. Prdėkime nuo skičių 1,, 3. Po kelių tokių opercijų trejete pirmą krtą psirodys skičius 013? A) 8 B) 9 C) 10 D) 013 E) Skičius 013 negusime 5. Skičius 1,, 3, 4, 5,, 7, 8, 9 ir 10 suršome rtu (nebūtini iš eilės). Prie kiekvieno skičius pridėję du jm gretimus, gunme 10 sumų. Mžiusiąją iš jų pžymime s. Kokią didžiusią reikšmę gli įgyti s? A) 14 B) 15 C) 1 D) 17 E) 18. Lins skičius nuo 1 iki suskirstė į 11 porų. Didesnįjį kiekvienos poros skičių jis pdlijo iš mžesniojo. Kiek dugiusii ntūrliųjų skičių glėjo guti Lins? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) Sujungus tris duotojo tisyklingojo trylikkmpio viršūnes, susidrė trikmpis. Trylikkmpio centrs tsidūrė to trikmpio viduje. Kiek yr tokių trikmpių? A) 7 B) 85 C) 91 D) 100 E) Kits skičius

12 1 SĄLYGOS 8. Pirmsis utomobilis išvyko iš Greitoglos pstoviu 50 km/h greičiu. Nuo to liko ks vlndą iš Greitoglos išvykdvo po utomobilį. Kiekviens iš jų buvo 1 km/h greitesnis už prieš ti išvykusį. Pskutinis utomobilis 100 km/h greičiu išvyko 50 vlndų vėliu nei pirmsis. Koks yr utomobilio, vživusio visų kitų priešky po 100 vlndų nuo pirmojo utomobilio strto, greitis? A) 50 km/h B) km/h C) 75 km/h D) 84 km/h E) 100 km/h 9. Plei kelią vien eile ug 100 medžių: ąžuolų ir uosių. Nėr tokių dviejų ąžuolų, trp kurių ugtų lygii 5 medžii. Kiek dugiusii ąžuolų ug plei kelią? A) 48 B) 50 C) 5 D) 0 E) Apršytoji situcij neįmnom 30. Ūkininks išėjo pžiūrėti lukų. Jis pmtė trktorių, tempintį ilgą vmzdį, ir ėmė mtuoti vmzdžio ilgį 1 metro žingsniis. Eidms plei vmzdį trktorius judėjimo kryptimi, ūkininks suskičivo 140 žingsnių, o eidms priešing kryptimi 0 žingsnių. Ūkininko ir trktorius greičii pstovūs. Koks yr vmzdžio ilgis? A) 30 m B) 35 m C) 40 m D) 48 m E) 80 m

13 Sprendimi 1. D 7! Perrškyme skirtumą = = 000(100 1) = Skičius 000 = dlijsi iš ir 5, o skičius 99 = 3 11 dlijsi iš 3 ir 11. Nei viens iš jų nesidlij iš 7.. C 4! Lyginnt perimetro linijų ilgumą, pknk lyginti tik ts jų dlis, kurios nesutmp. Ts dlis sudrnčių tkrpų ilgius pžymėkime, kip prodyt pveikslėlyje b b b b b b 3 4 b4 4 b 4 4 b4 4 b 4 5 b b b b b b b b b b b b Ki kurių tkrpų ilgii sutmp, nes jos yr priešingos stčikmpio krštinės. Kiekvienos figūros (einnt iš kirės į dešinę) tveju glioj tokios lygybės r nelygybės: 1) 1 = 1 ; ) +4b ; 3) 3 +b 3 3 ; 4) 4 +b 4 = 4 +b 4 ; 5) 5 +b 5 = 5 +b 5 ; ) 8 = 8. Turime keturis lygybes ir keturis figūrs, kurių perimetri lygūs lpelio perimetrui. 3. C,80 Lt! Poni Aurelij nupirko 4 4 = 1 burbuolių. Iš jų nemokmos buvo -oji ir 1-oji burbuolės, o po 0 centų poni Aurelij sumokėjo už likusis 1 = 14 burbuolių. Todėl ji sumokėjo 14 0 = 80 centų rb, 80 Lt. 4. C 131? Tris skičius iš šešių duotųjų prinkti nesunku: 4 15 = = 10 3 = Ieškom sum lygi = 131.! Įsitikinkime tuo, kd kitip trijų skičių prinkti neįmnom. Jų sndug 1000 dlijsi iš 5 3, bet ne iš 5 4. Kitip trint, turime suduginti lygii tris penketus. Jei neimsime skičius 15, ti turėsime imti kitus skičius, besidlijnčius iš 5, t. y. 5 = 5 rb 50 = 5. Tčiu bet kuris viens iš jų teturi du penketus, t. y. dlijsi tik iš 5, o du tokie skičii ju duod 4 penketus, jų sndug dlijsi iš 5 4. Vdinsi, turime imti skičių 15. Likusių dviejų skičių sndug lygi 1000 : 15 = 8. Ją gusime tik suduginę du mžiusius skičius ir 4. 13

14 14 SPRENDIMAI 5. C 1! Pžymėkime tškus, kip prodyt pveikslėlyje. Riebesnėmis linijomis pžymėkime trikmpio ABC ukštinę ir stčikmpį, į kurį įbrėžts trikmpis DEF. Rskime trikmpių ABC ir DEF plotus. Trikmpio ABC plots lygus pusei pgrindo AB ir ukštinės sndugos: = 1. Stčikmpį DEF, kurio plots yr 4 = 8, sudro trikmpis DEF ir trys sttieji trikmpii, kurių ploti yr =, = 3, 1 1 = 1. Td trikmpio DEF plots lygus = 3 1. Žinom, ir iš iš kies buvo glim nusttyti, kd trikmpio DEF plots didesnis nei trikmpio ABC. Tip pt iš kies ptikrinus visus r bent dugelį trikmpių, kurių ploti mums rūpi, nesunku nuspėti, kd trikmpio ABC plots ir yr mžiusis. Bet šį ploto skičivimo pvyzdį či pteikėme, kd būtų lengviu pstebėti dėsningumą, dėl kurio mžensio ploto trikmpio negusime ne tik šiuo tveju, bet ir jokiu tveju, jei tik tškus žymime lnguoto popierius lngelių viršūnėse. Juk plink bet kokį trikmpį su tokiomis viršūnėmis glim pibrėžti stčikmpį, einntį per trikmpio viršūnes ir ribojntį stčikmpę sritį, sudrytą iš vienetinių lngelių. Jo plots bus sveiksis skčius. Tą stčikmpį sudrys prdinis trikmpis druge su stčiisiis trikmpiis, kurių krštinių ilgii yr sveikieji skičii. Stčiųjų trikmpių ploti bus sveikieji skičii, pdlyti iš, td ir prdinio trikmpio plots, gunms tuos plotus tėmus iš stčikmpio ploto, bus sveiksis skičius, pdlyts iš. Vdinsi, mžesnio ploto nei 1 : = 1 trikmpis turėti negli.. E 31! Abu dėmenys ptys yr dvejeto lipsnii: = ( ) 15 +( 3 ) 10 = = = 30 = 30+1 = 31. A B C D E F 7. E! Kiekvienoje kubo sienoje yr po du bltus ir du juodus lngelius (kitip nei tskyme B). Jokioje sienoje tos pčios splvos lngelii neturi bendros krštinės (kitip nei tskymuose A ir D). Pgliu pstebėkime, kd bendrą krštinę turintys, bet skirtingose sienose esntys lngelii yr visd tos pčios splvos (kitip nei tskyme C). Jei prdėsime džyti išklotinę nuo bet kurios sienos, ir kiekvieną sieną nudžysime pgl išvrdyts tisykles, ti gusime tokį vizdą, kip tskyme E.

15 15 8. C 89! Skičius 4 krtotinii yr 4, 8, 1,..., 9, 100, 104, 108,..., 99, 99, 1000,... Ieškoms skirtums lygus = D! Po posūkio rodyklė tsiduri III koordinčių ketvirtyje, bet jos kryptis nepkint (žr. pv.). O po tspindėjimo rodyklė grįžt į II ketvirtį, bet im rodyti kryptį prieš likrodžio rodyklę. y y y O x O x O x 10. C 0 13! Dėl ptogumo visus skičius pkelkime kvdrtu: A) ( 0 13) = 0 13 = 0 < 4000; B) ( 0 13) = 0 19 < 0 00 = 4000; C) (0 13) = > = 4000; D) ( 01 3) = 01 9 < = 010 < 4000; E) ( 013) = 013 < Didžiusis skičius yr D 35! Trikmpii AOB ir COD yr lygūs trpusvyje ir lygikrščii, todėl AOB = BAO = 0 ir AO = BO = CO. Vdinsi, trikmpis AOC lygišonis ir CAO = ACO. Dbr šiuos kmpus glime rsti, užršę trikmpio α kmpų sumą. Kdngi 180 = CAO + ACO + AOC = CAO + CAO + ( AOB + BOC) = A CAO = CAO + 130, ti CAO = = 5. Pgliu rndme α = BAC = BAO CAO = 0 5 = 35. B β O C D

16 1 SPRENDIMAI 1. B 408! Perimetro liniją sudro trpusvyje nesuglustos lngelių krštinės. Kiekvien iš jų yr vienetinio ilgio, td beliek rsti tokių krštinių skičių. Vien pžvelgus į pteiktą pvyzdį nesunku suvokti, kd kiekvieno lngelio, išskyrus du krštinius, lygii dvi krštinės yr suglustos su kitomis ir dvi nėr. Iš tiesų kiekviens iš 013 = 011 lngelių yr suglusts su dviem gretimis, tik krštinii lngelii turi po vieną kimyninį, todėl po tris su kitomis nesuglusts krštines. Gunme perimetrą = D 80! Či neįrodinėsime geri žinomų ir intuityvii nesunkii suprntmų tisyklingojo dugikmpio svybių. Kiekviens tisyklingsis dugikmpis turi centrą ti yr pie jį pibrėžto pskritimo centrs. Jei iš to centro į dugikmpio viršūnes išvesime tkrps, ti jos bus lygios ir dlys dugikmpį į lygius lygišonius trikmpius. Be to, jei tisyklingsis dugikmpis turi lyginį viršūnių skičių, ti glime klbėti pie dugikmpio priešings viršūnes ir priešings krštines. Įstrižinės, junginčios priešings viršūnes, ein per centrą ir centrs js dlij pusiu. Priešingos krštinės yr lygigrečios, o jų vidurius junginti tkrp yr joms sttmen, ein per centrą ir jis ją tip pt dlij pusiu. Norint išspręsti šį uždvinį, viso to iš nksto žinoti nebūtin ti nėr sunku tspėti žiūrint į brėžinį, pstebint jo simetriškumą. Vdinsi, duotojo šešikmpio centrs yr tkrpų AB ir CD snkirt O, dlijnti kiekvieną iš jų pusiu, tkrp CD yr sttmen šešikmpio krštinei EF, o tkrp AB su j lygigreti (žr. pv.; todėl ir AB su CD trpusvyje sttmenos). Tšką O sujungėme su šešikmpio krštinėmis. Tip pdlijome jį į šešis lygius lygišonius trikmpius. Kdngi 30 kmpą su viršūne O pdlijome į šešis lygius kmpus, ti tų kmpų dydžii lygūs 30 : = 0. Vdinsi, td ir kiti du kiekvieno lygišonio B C trikmpio kmpi lygūs po = 0. Šeši trikmpii ne tik lygišonii, bet ir lygikrščii (todėl OB = OE = EF ). Kdngi trikmpii lygūs, ti kiekvieno iš jų plots yr 0 : = 10. Kit vertus, trikmpio OEF plots lygus pusei krštinės ir į ją nuleistos ukštinės sndugos 1(OD EF ). Psinudokime tuo, kd tkrpos AB ir CD dlij vien kitą pusiu: 10 = 1 (OD EF ) = 1(( 1CD) OB) = 1(( 1CD) ( 1AB)) = 1 (AB CD). Tip rndme AB CD = = 80. E D F A!! Jei per tškus C ir D nubrėšime tieses, lygigrečis su tkrp AB, o per A ir B tieses, lygigrečis su tkrp CD, ti tos tiesės kirsis sttmeni (nes tkrpos AB ir CD pčios stmenos). Besikirsdmos tiesės iškirs vien kitoje tkrps, sudrnčis keturkmpį su stčiis kmpis, t. y. stčikmpį KLM N (žr. pv.). Trys lygigrečios tkrpos KN, LM ir CD yr lygios, nes būdmos sttmenos tiesėms KL ir MN, visos yr lygios tstumui trp šių lygigrečių tiesių. Tip pt lygios yr ir tkrpos KL, MN ir AB. Tigi stčikmpio kršinės lygios AB ir CD, o plots yr AB CD. K E B D F N L H C A M

17 17 Kip ir! dlyje, trikmpio OF A plots lygus 0 : = 10. Aukštinė F H šį lygikrštį trikmpį dlij į dvi lygis dlis, kurių plots yr 10 : = 5. Stčikmpį AHF L jo įžmbinė tip pt dlij į dvi lygis dlis. Kdngi trikmpio AF H plots yr 5, ti ir trikmpio AF L plots yr 5. Stčikmpį KLM N sudro prdinis šešikmpis ir keturi trikmpii, kurių kiekvieno plots, lygus 5, rndms tip pt. Viso stčikmpio plots lygus AB CD = = D 0%! Trkime, kd klsėje yr b berniukų ir m mergičių, iš viso b+m vikų. Mergičių dlis klsėje m lygi 100%. b+m s Visų mokinių surinktą pžymių sumą pžymėkime s. Klsės pžymių vidurkis lygus. Jei b+m kieviens berniuks gutų 3 blis dugiu, ti pžymių sum pdidėtų 3b ir būtų lygi s + 3b, o nujs vidurkis būtų lygus s+3b. Sudrykime lygtį: b+m Pertvrkykime ją: s + 3b b + m = s + 3b b + m s s = 1,, b + m 3b b = 1,, b + m 1 b m = 1 0, 4, b + m Tigi mergitės sudro 0, 100% = 0% mokinių. 15. D D s + 1,. b + m + 3b s = 1,, b + m = 0, 4, b + m = 0,. b + m! Pžymėkime tškų koordintes A(x 1 ; y 1 ) ir C(x ; y ). Kdngi tški A ir B prikluso ti pčii horizontlii tiesei (rb tm pčim sttmeniui, nuleistm į Oy šį), ti jų koordintė y yr t pti. Be to, sutmp tškų C ir D koordintė y, tškų A ir D koordintė x, tškų B ir C koordintė x. Todėl glime tip užršyti tškus: B(x ; y 1 ) ir D(x 1 ; y ). III ketvirčio tškų koordintės yr neigimos. Kuo tšks yr dešiniu, tuo jo koordintė x didesnė. Kuo tšks yr ukščiu, tuo jo koordintė y didesnė. Todėl x 1 < x < 0 ir y 1 < y < 0. Jei imsime neigimų skičių modulius, ti nelygybės psivers: x 1 > x > 0 ir y 1 > y > 0. Tškus A, B, C, D titink sntykii y 1 x 1, y 1 x, y x, y x 1. Šie neigimų skičių sntykii bus teigimi y 1, y 1, y, y. x 1 x x x 1 skičii, todėl nepkis, jei pimsime jų modulius: Dbr, ngrinėjnt vien teigimus skičius, nesunku suvokti, kuris sntykis mžiusis: turime imti kuo mžesnį skitiklį ir kuo didesnį vrdiklį. T. y. skičius bus mžesnis, jei imsime y, o ne y 1, ir x 1, o ne x. Sntykis y x 1 titink tšką D.

18 18 SPRENDIMAI 1. D 195! Kd rstume viss skičius išskidymo į du duginmuosius glimybes, išskidykime jį mksimlii, užršykime skičių 013 kip pirminių skičių sndugą: 013 = 3 71 = Skičii 3, 11, 1 yr pirminii, jų neišskidysi į mžesnius duginmuosius. Iš jų reiki guti tėvo ir sūnus mžių. Imkime didžiusią iš trijų skičių 1. Iš jo dlijsi rb tėvo, rb sūnus mžius, kitip juos suduginę negusime 013. Jei ti yr sūnus mžius, ti tėvui liek dugiusii 3 11 = 33 meti. Bet 33 < 1, tip būti negli, nes tėvs vyresnis už sūnų. Vdinsi, tėvo mžius dlijsi iš 1. Tčiu jei jis nėr lygus 1 metms, ti tų metų yr mžiusii 1 3 = 183, o juk žmonės tiek negyven. Todėl ponui Jonui yr 1 meti, o jo sūnui yr 013 : 1 = 33 meti. Pons Jons gimė = 195-isiis metis. 17. A AD! Rskime nepžymėtus trikmpių kmpus (žr. pv.): ABD = = 1 ; BAC = = 59. Mtome, kd bu trikmpii turi tuos pčius kmpus 59, 0, 1. Todėl trikmpii yr pnšūs (bet ne lygūs!). Trikmpyje prieš didesnį kmpą yr didesnė krštinė. Šią svybę pritikykime dviem duotiesiems trikmpims. Trikmpyje ABD turime AB < BD < AD, o trikmpyje ABC turime BC < AB < AC, nes 59 < 0 < 1. Mtome, kd ilgiusi tkrp gli būti tik AD rb AC. Kd plygintume šis skirtingų trikmpių tkrps, psinudokime trikmpių pnšumu. Pnšiųjų trikmpių titinkmos krštinės proporcingos. Imkime krštines, esnčis prieš 0 ir 1 kmpus: AC AB = AD BD, AB AC = AD < AD. BD Nelygybę gvome, psinudoję ju nusttytu fktu AB < BD. Tigi tkrp AD ilgiusi. A C D B 18. C! Mžiusiąjį iš penkių skičių pžymėkime n. Turime skičius n, n + 1, n +, n + 3, n + 4. Pstebėkime, kd ju ki n = 5, sudėję net tris mžiusius iš penkių skičių, gusime sumą, didesnę už likusių dviejų: = 18 > = 17. Tokiu tveju norimos sumų lygybės nepvyks guti. Jei imsime didesnes n reikšmes, nuo to mžiusis glims sumų skirtums tik didės. Iš tiesų jis lygus n + (n + 1) + (n + ) (n + 3) (n + 4) = n 4. Ki n 5, ts skirtums n 4 1, todėl niekd nebus lygus 0. Reikšmės n = ir n = 4 tink: = 4 + ir = Reikšmės n = 1 ir n = 3 netink. Greičiusis būds tuo įsitikinti yr pstebėti, kd ki n yr nelyginis, ti visų penkių skičių sum n + (n + 1) + (n + ) + (n + 3) + (n + 4) = 5n + 10 yr nelyginė. Jei dviejų ir trijų skičių sumos būtų lygios, trkime, ntūrlijm skčiui s, ti sudėję bi sums gutume, kd nelyginė visų skičių sum 5n + 10 lygi lyginim skičiui s. Tip negli būti. Gvome du skičių penketus, 3, 4, 5, ir 4, 5,, 7, 8.

19 D 1! Prdėkime nuo tško A ir trijų jm gretimų viršūnių. Iš tško A į kiekvieną iš jų įmnom ptekti vieninteliu būdu, todėl pžymėkime js skičiumi 1. Toliu iš eilės ngrinėkime viršūnes, į kuris įmnom ptekti tik iš ju pžymėtųjų, ir prie kiekvienos nurodykime, keliis būdis į ją įmnom ptekti. Pvz., imkime viršūnę C (žr. pv.). Į ją glim ptekti iš dviejų viršūnių, pžymėtų skičiumi 1: per vieną iš jų vienu būdu, per kitą iš jų vienu būdu, iš viso = būdis. Tip pt smprotudmi skičiumi pžymime dr dvi viršūnes. Dbr ngrinėkime viršūnę D. Į ją glim ptekti iš trijų viršūnių, pžymėtų skičiumi : per vieną iš jų dviem būdis, per kitą iš jų dviem būdis, ir dviem būdis per trečią, iš viso + + = būdis. Kiekvienu tveju užršoms skičius lygus gretimų viršūnių, iš kurių į psirinktą viršūnę ein rodyklės, skičių sumi. Dr vieną viršūnę pžymime skičiumi 1, td dr dvi viršūnes skičiumi 1 + = 3. Pgliu į viršūnę B glim ptekti = 1 būdų. 1 1 C D 1B!! Einnt pgl rodykles, teks lygii vieną krtą pkilti krštine ukštyn (pvdinkime šį žingsnį X), lygii vieną krtą krštine teks žengti gilyn iš priekinės Y pvizduoto stčikmpio gretsienio sienos į užpklinę (pvdinkime šį žingsnį Y ) ir lygii du krtus X teks krštine žengti dešinėn (pvdinkime šį žingsnį Z). Visos rodyklės rodo vien iš šių trijų krypčių, o Z kol titinkmo žingsnio netlikome, jį glime tlikti bet kd. Vdinsi, ptekimo į tšką B būdus glim sutptinti su žingsnių X, Y, Z ir dr krtą Z kombincijomis. Pvz., kombinciją ZXY Z titink kelis nuo A iki B, pvizduots pveikslėlyje. Beliek rsti, keliis būdis glim išrikiuoti keturis rides X, Y, Z, Z. Visų pirm imkime rides ZZ. Ridę X glim priršyti trimis būdis: XZZ, ZXZ, ZZX. Kiekvienu iš 3 tvejų likusią ridę Y glim priršyti 4 būdis (įterpti į vieną iš dviejų trpų, priršyti prdžioje rb gle). Iš viso gunme 3 4 = 1 būdų Z 3 B 0. E Teiginii A D klidingi! Jei šešių skitmenų sndug yr nelyginė, ti ir kiekviens iš skitmenų yr nelyginis. Šešių nelyginių skitmenų sum visd lyginė, todėl informcij pie skitmenų sumą yr bereikšmė. J šime uždvinyje sąmoningi bndom supinioti. Kdngi nelyginii yr lygii šeši skičius skitmenys, o lyginio nei vieno, ti teiginii A ir C negli būti teisingi. Skičius tenkin uždvinio sąlygą, todėl klidings ir teiginys B. Iš viso tėr penki nelyginii skitmenys 1, 3, 5, 7, 9, td šešių skirtingų skitmenų skičius negli turėti. Todėl visd klidings yr ir teiginys D. Pirmieji keturi teiginii klidingi.

20 0 SPRENDIMAI 1. C 13! Kd nereiktų dlyti kmpu, pdrykime, kd vrdiklyje būtų skičius 10 lipsnis. Mums pded ti, kd vrdiklis dlijsi tik iš pirminių skičių ir 5, kurie yr skičius 10 dliklii: = = = = = Dlyti ntūrlųjį skičių iš skičius 10 lipsnio 10 n ju pprst: tiesiog pršome kblelį prieš n-ąjį skitmenį iš dešinės (jei dlinys neturi pknkmi skitmenų, prieš jį pršom tiek nulių, kiek jų trūkst, kd skičius turėtų n + 1 skitmenį). Gunme n skitmenų po kblelio, bet jų gli sumžėti, jei dlinys bigisi vienu r keliis nuliis. Juos td tiesiog turėtume nubrukti, kd pskutinis skitmuo būtų nenulinis. Dugindmi ntūrlųjį skičių, besibigintį skitmeniu 5, iš 5, vėl gusime skičių, besibigintį skitmeniu 5. Todėl trupmenos skitiklis 5 10 bigisi skitmeniu 5, o ne 0, ir pdliję jį iš gusime 13 skitmenų po kblelio, iš kurių pskutinis bus lygus 5, o ne 0.. D! Trkime, kd ntūrlusis skičius n tenkin uždvinio sąlygą. Jis dlijsi iš skičius 013 = (3, 11, 1 yr pirminii skičius 013 dliklii). Todėl skičių n glime užršyti pvidlu n = 3 11 b 1 c m, či, b, c, m yr ntūrlieji skičii ir skičius m nesidlij nei iš 3, nei 11 r 1. T. y. 3, 11 b, 1 c yr mksimlūs pirminių skičių lipsnii, iš kurių dlijsi skičius n. Imkime bet kokį ntūrlųjį skičių n 1. Jį tip pt glim užršyti pvidlu n 1 = b1 1 c1 m 1, či, b, c yr neneigimi sveikieji skičii ir ntūrlusis skičius m 1 nesidlij nei iš 3, nei 11 r 1. Skičii 1, b 1, c 1 gli būti lygūs 0, nes skičius n 1 nebūtini dlijsi iš 3, 11 r 1. Skičius n 1 yr skičius n dliklis td ir tik td, jei n : n 1 = b b1 1 c c1 m m 1 yr sveiksis skičius. Tip yr td ir tik td, ki 0 1, 0 b 1 b, 0 c 1 c, o m dlijsi iš m 1. Kiek glimybių mes turime tip prinkti skičių? Skičius 1 gli įgyti + 1 reikšmę, skičius b 1 b + 1 reikšmę, skičius c 1 c + 1 reikšmę, o skičius m 1 tiek reikšmių, kiek skičius m turi dliklių. Jei skičius m turi d dliklių, ti iš viso turime ( + 1)(b + 1)(c + 1)d glimybių. Ngrinėkime lygybę ( + 1)(b + 1)(c + 1)d = 013 = Turime + 1, b + 1, c =. Jei ir d, ti kirėje pusėje turime bent keturis nevientinius dugiklius, o dešinėje net mksimlii išskidę skičių į pirminius skičius, teturime tris nevienetinius dugiklius. Vdinsi, d = 1 ir skičius m teturi vieną dliklį. Tčiu kiekviens ntūrlusis skičius dlijsi iš 1 ir iš svęs pties ir šie du dliklii sutmp, tik ki ts skičius lygus 1. Tigi m = 1. Beliek rsti kiek ntūrliųjų sprendinių turi lygtis ( + 1)(b + 1)(c + 1) = Dešinėje turime vienintelį išskidymą į tris nevienetinius dugiklius, gli skirtis tik jų tvrk. Todėl trys kirės pusės dugiklii turi tm tikr tvrk sutpti su dešinės pusės dugikliis. Gunme šešis glimybes ir šešis uždvinio sąlygą tenkinčius skčius: 1) + 1 = 3, b + 1 = 11, c + 1 = 1 ir n = ; ) + 1 = 3, b + 1 = 1, c + 1 = 11 ir n = ; 3) + 1 = 11, b + 1 = 3, c + 1 = 1 ir n = ; 4) + 1 = 11, b + 1 = 1, c + 1 = 3 ir n = ; 5) + 1 = 1, b + 1 = 3, c + 1 = 11 ir n = ; ) + 1 = 1, b + 1 = 11, c + 1 = 3 ir n =

21 1 3. C 3! Trkime, kd Lins sugludė m trikmpių, o mžiusis bendrviršūnis kmps turi n lipsnių. Td bendrviršūnii kmpi turės po n, n, 3n,..., mn lipsnių. Sudėję juos, gusime pilnąjį kmpą 30. Turime lygybę n + n + 3n mn = 30. Jos kiriji pusei pritikykime ritmetinės progresijos sumos formulę: n+n+3n+...+mn = n( m) = n m(m+1). Iš eilės tikrinkime mžiusis n reikšmes. Ki n = 1, ti m(m+1) = 30. Pertvrkę lygtį mtome, kd ti yr kvdrtinė lygtis: m + m 70 = 0. Jos diskriminnts D = = 841 = dlijsi iš 3, bet ne iš 9, todėl iš jo ištrukt šknis, o krtu ir lygties šknys nėr sveikieji skičii. Kd lygtis m(m+1) = 30 neturi ntūrliųjų sprendinių (juk tik jie mums rūpi), glim pstebėti ir kitip. Ki m, ti m(m+1) 7 = 13 7 < 30. O ki m 7, ti m(m+1) 7 8 = 14 7 > 30. Ki n =, ti m(m + 1) = 30 rb m + m 30 = 0. Diskriminnts D = = 1441 = dlijsi iš 11, bet ne iš 11 = 11, todėl iš jo ištrukt šknis, o krtu ir lygties šknys nėr sveikieji skičii. Kd lygtis m(m + 1) = 30 neturi ntūrliųjų sprendinių, glim pstebėti ir kitip. Ki m 18, ti m(m + 1) < 30. O ki m 19, ti m(m + 1) 19 0 > 30. Ki n = 3, ti 3 m(m+1) = 30 rb m + m 40 = 0. Ši lygtis turi ntūrliąją šknį m = 15 (kit šknis m = 1). Vdinsi, įmnom suglusti 15 trikmpių, imnt mžiusią bendrviršūnį kmpą, lygų E Skičius 013 negusime! Iš trejeto 1,, 3 gusime trejetą 3, 4, 5, td 7, 8, 9, td 15, 1, 17 ir t. t. Gutieji skičių trejeti yr gretimų ntūrliųjų skičių trejeti. Ks tsitink su tokiis trejetis n, n+1, n+ po opercijos SUMOS? Gunme nują trejetą n + (n + 1), n + (n + ), (n + 1) + (n + ) rb n + 1, n +, n + 3. Vėl gvome tris gretimus skičius. Todėl prdėjus nuo trijų gretimų skičių, skičii kiekvienme iš gutųjų trejetų bus gretimi. Dr pstebėkime, kd nujojo trejeto skičii yr pytikslii dvigubi didesni. Tiksliu, vietoj vidurinio iš trijų skičių n + 1 gunme lygii dusyk didesnį vidurinį skičių n +. Prdinis vidurinis skičius yr. Vietoj jo po pirmos opercijos gusime = 4, td 4 = 8, toliu 1, 3, 4 ir t. t. Kiekvienme gutme skičių trejete vidurinis skičius bus dvejeto lipsnis. Kiekviens trejets turės pvidlą n 1, n, n + 1, či n = 1,, 3,... Bet skičius 013 ir jm gretimi skičii 01 bei 014 yr trp dvejeto lipsnių 10 = 104 ir 11 = 048, nei viens iš jų pts nėr dvejeto lipsnis. Todėl skičius 013 jokim skičių trejetui, kurį gusime tlikdmi operciją, nepriklusys. 5. B 15? Trkime, suršius skičius tm tikr tvrk x 1, x, x 3,..., x 10, mžiusioji iš sumų s 1 = x 1 + x + x 3, s = x + x 3 + x 4,..., s 10 = x 10 + x 1 + x lygi s. Bndykime įvertinti s. Kieviens iš rtu suršytų skičių pnudots skičiuojnt lygii tris iš sumų. Todėl jei sudėsime viss 10 sumų, ti gusime skičių s 1 + s s 10 = = ( ) 3 = 55 3 = 15. Kit vertus, kiekvien sum ne mžesnė už s, todėl visų 10 sumų sum 15 = s 1 + s s 10 10s. Gunme 1,5 s, td s 1. Glim rsti pvyzdį, kur s = 15. Pvz., suršykime skičius rtu toki tvrk: 1, 5, 9, 7,,, 8, 3, 4, 10. Gunme tokis sums: 15, 1, 18, 15, 1, 17, 15, 17, 15, 1. Reikšmės s = 1 guti nepvyks, td ntūrlu spėti, kd s = 15 yr didžiusi glim reikšmė.

22 SPRENDIMAI! Sunkiusi uždvinio dlis yr įsitikinti, kd neįmnom guti s = 1. Tm reiki bndyti kiek griežčiu įvertinti 10 sumų. Pstebėkime, kd dvi gretimos trijų skičių sumos negli būti lygios. Pvz., jei s = s 3, ti x + x 3 + x 4 = x 3 + x 4 + x 5 ir x = x 5. Lygii tip pt s 1 s, s 3 s 4, s 4 s 5,..., s 9 s 10, s 10 s 1. Ti reiški, kd jei kuri nors sum lygi s, ti ji gretimos sumos ju ne mžesnės nei s + 1. Trkime, kd s = 1. Td bent vien iš sumų s 1 ir s ne mžesnė už 17, bent vien iš sumų s 3 ir s 4 ne mžesnė už 17,..., bent vien iš sumų s 9 ir s 10 ne mžesnė už 17. Vdinsi, s 1 + s = 33, s 3 + s = 33,..., s 9 + s = 33. Jei bent vien iš šių penkių nelygybių yr griežt, ti 15 = s 1 + s s 10 > 33 5 = 15. Todėl visos šios nelygybės yr lygybės: s 1 + s = , s 3 + s 4 = ,..., s 9 + s 10 = Kiekvienoje sumų poroje vien sum lygi 1, o kit 17. Jei s 1 = s 4 = 1 rb 17, ti s = s 3 = 17 rb 1. Ju minėjome, kd dvi gretimos sumos negli būti lygios, todėl s 1 s 4. Anlogiški s s 5. Vdinsi, s 1 + s 4 = ir s + s 5 = Ngrinėkime reiškinį (s 1 s ) + (s 4 s 5 ) = ((x 1 + x + x 3 ) (x + x 3 + x 4 )) + ((x 4 + x 5 + x ) (x 5 + x + x 7 ) = (x 1 x 4 ) + (x 4 x 7 ) = x 1 x 7. Jis lygus (s 1 s ) + (s 4 s 5 ) = (s 1 + s 4 ) (s + s 5 ) = (1 + 17) (1 + 17) = 0. Gvome prieštrą. Td s 1.. D 10! Visų 11 ntūrliųjų skičių guti nepvyks. Iš tiesų skičius 17 nedlij jokio iš kitų skičių, o pts dlijsi tik iš skičius 1. Todėl jis turėtų būti vienoje poroje su skičiumi 1. Bet ts pts glioj ir kitm didelim pirminim skičiui 19. Jis tip pt turi būti vienoje poroje su skičiumi 1, bet šis ju užimts. Nėr sunku rsti tokį skičių suskirstymą į pors, kd gutume 10 ntūrliųjų skičių. Neptogiusius skičius 17 ir 19 sudėkime į vieną porą. Dr vieną didelį pirminį skičių 13 esme priversti poruoti su skičiumi 1. O pirminį skičių 11 ju glime suporuoti su skičiumi. Didesniuosius lyginius skičius stenkimės poruoti su dvigubi mžesniis. Viens iš glimų vrintų yr toks: =, = 3, =, , 18 1 =, 9 8 =, 7. C = 3, 14 = 7, 13 1 = 13, 1 4 = 3, 3 =.! Jungint bet kuris tris trylikkmpio viršūnes, iš viso glim guti C 3 13 = = 13 trikmpių (derinių skičius). Nusttykime, kiek tokiu būdu glim guti trikmpių, netenkinnčių uždvinio sąlygos. Apie trylikkmpį pibrėžkime pskritimą. Jo centrs sutps su trylikkmpio centru. Psirinkime dvi trylikkmpio viršūnes A ir B. Jos dlij pskritimą į du nelygius lnkus (iš likusių 13 = 11 viršūnių trumpesnijm priklusys dugiusii 5, o didesnijm bent lygiis trpis išsidėsčiusios viršūnės). Psirinkime trečią trylikkmpio viršūnę ir gusime trikmpį ABC. Jei C priklusys trumpesnijm lnkui, ti kmps ACB remsis į ilgesnįjį lnką, kurio ilgis viršij pusę pskritimo ilgio, ir bus buksis. Jei C priklusys ilgesnijm lnkui, ti kmps ACB remsis į trumpesnįjį lnką ir bus smilusis.

23 Apie trikmpį pibrėžto pskritimo centrs yr trikmpio viduje td ir tik td, ki trikmpis yr smilusis. Td jei norime guti trikmpį, netenkinntį uždvinio sąlygos, turime guti bukąjį trikmpį: tip prinkti trylikkmpio viršūnes, kd vien iš jų priklusytų trumpesnijm iš tų lnkų, į kuriuos pibrėžtąjį pskritimą dlij kitos dvi viršūnės. Mums reiki nusttyti, keliis būdis ti glim pdryti. Pirmiu rinkimės trikmpio ABC krštinę AB, o td trečiąją trikmpio viršūnę C tip, kd kmps ACB būtų buksis. Kiekvien pibrėžtojo pskritimo styg AB, junginti dvi trylikkmpio viršūnes A ir B, dlij pskritimą į du lnkus, kurių trumpesnijm, neskitnt jo glų A ir B, prikluso 5, 4, 3,, 1 rb 0 trylikkmpio viršūnių. Kiekvienu tveju būdų stygi AB prinkti bus 13 (imme bet kurią vieną iš 13 viršūnių, o ntrąją prenkme vienreikšmiški kip esnčią už titinkmi 5, 4, 3,, 1 rb 0 viršūnių pgl likrodžio rodyklę). Kiekvienu tveju psirinkti trečiąją viršūnę C trumpesnijme lnke bus titinkmi 5, 4, 3,, 1 rb 0 būdų. Iš viso gunme 13 ( ) = būdų. Trikmpių, tenkinčių uždvinio sąlygą, skičius lygus = 13 7 = C 75 km/h! Automobilis, išvživęs k vlndų vėliu už pirmąjį, vžiuoj (50+k) km/h greičiu (ks vlndą išvžiuojnčių utomobilų greitis didėj po 1 km/h). Či k = 0, 1,,..., 50. Prėjus 100 vlndų nuo pirmojo utomobilio išvykimo utomobilis, prleidęs pirmąsis k vlndų, vživo 100 k vlndų ir todėl nuvživo (100 k)(50 + k) = k + 50k kilometrų. Mums rūpi utomobilis, spėjęs nuvžiuoti didžiusią tstumą. Su kuri iš reikšmių k = 0, 1,,..., 50 kvdrtinė funkcij k +50k+5000 įgyj didžiusią reikšmę? Ti glim nusttyti ištirint jos grfiką (prbolę). Kits būds būtų išskirti pilnąjį kvdrtą: k + 50k = (k 50k) = (k 5k ) = (k 5) = (k 5) Mtome, kd funkcij įgyj didžiusią reikšmę, ki kvdrts (k 5) įgyj mžiusią glimą reikšmę 0. Tip nutiks, ki k = 5. Gunme ieškomą utomobilio greitį 50 + k = 75 km/h C 5! Sunumeruokime medžius iš eilės nuo 1-ojo iki 100-ojo. Psirinkime pirmuosius medžius, td medžius prleiskime ir psirinkime medžius nuo 13-ojo iki 18-ojo, td vėl medžius prleiskime ir psirinkime medžius nuo 5-ojo iki 30-ojo, ir t. t. Įsisitikinkime tuo, kd visi šie medžii gli būti ąžuoli. Jei du medžii prikluso tm pčim gretimų medžių šešetui, ti trp jų ne dugiu nei 4 medžii. Jei du medžii prikluso skirtingiems šešetms, ti trp jų mžiusii medžii. Kiekgi psirinkome medžių? Pirmieji 9 medžii psidlij į 9 : = 1 šešetų. Mes psirinkome ks ntrą iš jų, tigi psirinkome pusę visų šių medžių rb 9 : = 48 medžius. Be to, psirinkome nepilną 17-ąjį šešetą iš pskutiniųjų keturių medžių. Iš viso turime 5 medžius, kurie visi gli būti ąžuoli. Įrodykime, kd dugiu ąžuolų būti negli. Imkime bet kuriuos 1 iš eilės einnčių medžių. Sunumeruokime juos iš eilės nuo 1-ojo iki 1-ojo ir suskirstykime juos į pors: 1-ąjį ir 7-ąjį, -ąjį ir 8-ąjį,..., -ąjį ir 1-ąjį. Kiekvienoje poroje trp medžių yr lygii penki kiti, todėl kiekvienoje poroje yr dugiusii viens ąžuols. Tigi ąžuoli sudro dugiusii pusę visų 1 medžių. Dbr vėl imkime pirmuosius 9 medžius ir suskirstykime juos į 9 : 1 = 8 gretimų medžių tuzinus. Kiekvienme tuzine ne dugiu nei pusė medžių yr ąžuoli, todėl ir trp 9 medžių bus dugiusii 9 : = 48 ąžuoli. Dr nepminėjome 4 pskutiniųjų medžių. Krtu su jis iš viso gli būti dugiusii = 5 ąžuoli.

24 4 SPRENDIMAI 30. B 35 m! Ieškomą vmzdžio ilgį metris pžymėkime l. Ūkininko greitį pžymėkime v u (m/s), o trktorius v t (m/s). Ki ūkininks prdėjo eiti plei vmzdį jo judėjimo kryptimi, iki ntrojo vmzdžio glo jį skyrė tstums l (m), jis judėjo greičiu v u (m/s), o ntrsis vmzdžio gls t pči kryptimi greičiu v t (m/s). Ki du objekti jud t pči kryptimi, juos skirintis tstums kint tip pt, kip jis kistų vienm iš objektų nejudnt, o kitm judnt greičiu, lygiu jo ir kito objekto greičių l skirtumui. Todėl ūkininks ntrąjį vmzdžio glą psivijo per liką v u v t (s). Per šį liką l ūkininks nuėjo v u v t v u metrų ir tiek pt žingsnių. Ki ūkininks prdėjo eiti plei vmzdį priešing kryptimi, iki ntrojo vmzdžio glo jį skyrė tstums l (m), jis judėjo greičiu v u (m/s), o ntrsis vmzdžio gls priešing kryptimi greičiu v t (m/s). Ki du objekti jud priešingomis kryptimis, juos skirintis tstums kint tip pt, kip jis kistų vienm iš objektų nejudnt, o kitm judnt greičiu, lygiu jo ir kito objekto greičių sumi. Todėl ūkininks ntrąjį vmzdžio glą psivijo per liką l šį liką ūkininks nuėjo v u+v t v u metrų ir tiek pt žingsnių. Sudrome lygčių sistemą: Išsireikškime iš biejų lygčių l: { l = 140 vu vt v u { l v u v t v u = 140, l v u+v t v u = 0. l = 0 vu+vt v u Dbr iš biejų lygčių išsireikškime vt v u : Išspręskime gutąją lygtį l tžvilgiu: l = = 140(1 vt v u ), = 0(1 + vt v u ). v t = 1 l v u 140 = l l l 0 =, ( 1 l ) =, 0 = = = 35 (m). l v u+v t (s). Per

25 Atskymi Uždvinio Nr. Atskyms 1 D C 3 C 4 C 5 C E 7 E 8 C 9 D 10 C 11 D 1 B 13 D 14 D 15 D 1 D 17 A 18 C 19 D 0 E 1 C D 3 C 4 E 5 B D 7 C 8 C 9 C 30 B