CAPITOLUL I OSCILATII

Transcript

1 OSCILTII CPITOLUL I Una din iscãrile iportante întâlnite în naturã este iscarea oscilatorie. Ex: o particulã oscileazã când se deplaseazã periodic în jurul unei pozitii de echilibru; iscarea unui pendul; o greutate suspendatã de un resort se pune în iscare când este lãsat liber. Dintre iscãrile oscilatorii cea ai des întâlnitã în fenoenele naturale si care utilizeazã un odel ateatic siplu este iscarea sinusoidalã (MS). Studiul acestei iscãri prezintã un interes deosebit deoarece stã la baza explicatiilor probleelor din fizica odernã ca opticã, electronicã, radiatii. I.. Cineatica iscãrii sinusoidale Prin definitie, spune cã o particulã care se deplaseazã în lungul axei Ox prezintã o MS când satisface relatia: x sin (ùt+ö ) (I.) unde (ùt+ö) reprezintã faza, ö faza initialã, iar aplitudinea; ù pulsatia. Viteza particulei este deterinatã din: dx cos( t + ϕ ) (I.) dt v iar acceleratia particulei este: dv a sin( t + ϕ) x (I.3) dt ceea ce aratã cã în iscarea sinusoidalã acceleratia este ereu proportionalã cu deplasarea, dar de sens opus ei. Reprezentarea vectorialã a cineaticii iscãrii sinusoidale (deplasarea, viteza, acceleratia) este arãtatã în figura (I.)

2 Graficul paraetrilor iscãrii sinusoidale în functie de tip este redat în Fig. I.. Fig. I Din cele douã reprezentãri se poate rearca faptul cã viteza particulei în iscarea sinusoidalã este în avans cu În final, pute scrie paraetrii sub fora: π, iar acceleratia în avans cu ð în raport cu deplasarea particulei. π x sin( t + ϕ) sin t + ϕ sin ( πft + ϕ) T π v cos( t + ϕ) cos t + ϕ cos(πft + ϕ) T π a sin( t + ϕ) cos t + ϕ cos T ( πft + ϕ)

3 unde T si f reprezintã perioada si respectiv frecventa iscãrii sinusoidale. I Dinaica iscãrii sinusoidale Etapa iediat urãtoare este studiul dinaic al iscãrii sinusoidale, adicã studiul actiunii fortei asupra particulei respective. Pentru aceasta, se considerã un siste oscilant alcãtuit dintr-un resort elastic orizontal de care este legat un corp de asã (oscilator aronic liniar). Dacã la un oent dat, i se va ipria corpului de asã o fortã oarecare F, acesta se va depãrta de pozitia initialã (de echilibru), iar lãsat liber va începe sã efectueze deplasãri egale (în lipsa frecãrii) în jurul pozitiei de echilibru; corpul de asã va deveni astfel un siste oscilant. Forta care ia nastere în resort si cautã sã readucã ereu resortul în pozitia initialã de echilibru, este o fortã elasticã de fora: F e Kx (I. 4) unde senul (-) aratã cã se opune deplasãrii, iar K este o caracteristicã a resortului nuitã constantã elasticã a resortului. plicând legea a II-a a dinaicii sau d x F a x la echilibru pute scrie: dt F F e x+ Kx K x+ x x+ x (I.5) care reprezintã ecuatia diferentialã a iscãrii sinusoidale; este o ecuatie diferentialã liniarã de ordinul doi, fãrã terenul cu derivata de ordinul întâi si fãrã terenul liber, cu coeficienti constanti. Solutia generalã a acestei ecuatii sub forã coplexã este: x K i t i t e + Ke (I.6) si aplicând relatiile lui Euler:

4 e e it it cost + isin t cost i sin t pe care le introduce în solutia generalã obtine: x K cost cos t + K i sin t + K cos t K i sin t ( K + K ) + isin t( K K ) Bsin t + Ccost (I.7) cu notatiile B C i( K K ) ( K + K ) (I.8) care reprezintã constante de integrare. stfel: C x B sin t + cos t B si notând C tgϕ (I.9) B se obtine: x B sin x ( t + tgϕ cos t ) B cosϕ ( sin t cosϕ + sin ϕ cos t ) sin ( t + ϕ ) sin ϕ B sin t + cost cos ϕ B cosϕ Din trigonoetrie se cunoaste cã: cosϕ + tg ϕ C + B B B + C Deci ( t + ϕ ) sin ( t + ϕ ) x B + C sin (I.) 3

5 unde s-a notat B + C (I.) Deterinarea lui si a fazei initiale ö plicã conditiile initiale: La t, x si atunci relatia (I.7) devine de fora x C, iar viteza la t este vv si din x derivarea relatiei (I.7) se obtine expresia vitezei: v dx dt Bcos t Csin t si punând conditiile la liitã rezultã de unde v B v B Deci, introducând expresiile constantelor de integrare B si C în relatia (I.) se obtine: v B + C + x (I.) si faza initialã din (I.9) tgϕ ϕ C x B v x arctg v (I.3) De fiecare datã când se întâlneste o relatie de fora: ( t + ϕ ) x sin (I.3 ) se cunoaste cã fenoenul corespunzãtor este oscilator, cã descrie o deplasare liniarã sau unghiularã a unei particule, un curent într-un circuit electric sau concentratia ionicã în plasã, teperatura unui corp sau nueroase alte fenoene care se întâlnesc în fizicã. 4

6 I. 3. Copunerea a douã iscãri sinusoidale pe aceeasi directie si de aceeasi frecventã. Considerã un corp care este supus în acelasi tip la douã iscãri sinusoidale care se efectueazã pe aceeasi directie si de aceeasi frecventã. Corpul se gãseste situat pe o platforã care oscileazã liniar în jurul pozitiei de echilibru OO cu frecventa f si aplitudinea. În acelasi tip corpul de pe platforã executã si el o iscare sinusoidalã cu aceeasi frecventã f dar de aplitudine în jurul SR legat de platforã, axa O O. Modelul ateatic legat de corp dupã relatia (I.) este: x sin t ( + ϕ ) iar cel legat de platforã este: x sin t ( + ϕ ) iar iscarea copusã este datã de relatia: x x + x unde x este elongatia corpului fatã de axa obilã O O, iar x este elongatia platforei fatã de axa OO Ureazã un calcul ateatic siplu astfel: x sin t cosϕ sin t sin ( t + ϕ ) + sin ( t + ϕ ) ( cosϕ + cos ϕ ) + cost( sin ϕ + sin ϕ ) + sin ϕ cos t + sin t cosϕ + sin ϕ cost Notând cu: B C cosϕ sin ϕ + + cosϕ sin ϕ 5

7 se obtine: x B sin t + Ccost si în final: ( + ϕ) x sin t (I.4) unde B + C si deci: + sin cos ϕ + ϕ + sin cos ϕ ϕ + + sin ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ + ca în final sã deterinã aplitudinea rezultantã de fora: si faza initialã: ( ϕ ϕ ) + + cos (I.5) C sin ϕ + sin ϕ tgϕ (I.6) B cosϕ + cosϕ Discutii Notând cu Äöö -ö ca fiind diferenta de fazã, atunci Dacã Äönð este un nuãr par de ð, cu n,,, 3, atunci relatia (I.5) devine adicã aplitudinea iscãrii sinusoidale rezultantã are valoarea axiã Dacã Äö(n+)ð este un nuãr ipar de ð atunci: + - si în acest caz aplitudinea iscãrii sinusoidale rezultantã are valoarea iniã. I.3 Reprezentarea vectorialã a lui Fresnel Fresnel a conceput reprezentarea iscãrii sinusoidale printr-un vector cu originea sa în originea O a SR având ca odul aplitudinea si forând la t unghiul nuit fazã initialã. Se 6

8 considerã cã acest vector sibolic se roteste în jurul originii O cu viteaza unghiularã ù. (Fig.I.4) Reainti: x x x x (sin t + ϕ ) (sin t + ϕ + x ) sin( t + ϕ) + + cos( ϕ ϕ) tgϕ sin ϕ cosϕ + + sin ϕ cosϕ I. 3.. Copunerea a douã iscãri sinusoidale pe aceeasi directie (paralelã) dar de frecvente diferite Presupune cã existã douã iscãri sinusoidale de aceeasi directie, având însã frecvente diferite, descrise de ecuatiile: x x sin t sin( t + ϕ ) (I.7) Dupã cu se vede pria iscare nu are fazã initialã, iar cele douã pulsatii diferite ù si ù se presupun a fi apropiate ca valoare, astfel încât diferenta lor va avea expresia: π π π(f f T T ) cu ù având o valoare icã. În acest caz cele douã ecuatii devin de fora: 7

9 x x sin sin t [( + ) t + ϕ ] (I.8) plitudinea iscãrii rezultante este de fora cunoscutã: + + cos ϕ (I. 9) unde ϕ ( + ) t + ϕ t t + ϕ ditând neglijabilã cresterea produsului ùt pe tipul unei perioade, atunci pentru acest interval de tip se poate considera cã: t + ϕ const. si atunci: ( t + ϕ ) + + cos (I. ) Din relatie, se poate constata cã aplitudinea iscãrii rezultante nu este constantã ci o functie periodicã unde aplitudinea oscileazã între valoarea axiã ax + care are loc pentru cos(ùt+ö ), adicã ùt+ ö nð si valoarea iniã in - care are loc când cos (ùt+ö )-, adicã (ùt+ö )(n+) ð. ceste fluctuatii în aplitudine (o odulare) de la o valoare axiã la una iniã poartã nuele de bãtãi Grafic aceste bãtãi se prezintã astfel (Fig. I. 5): Prin frecventa bãtãilor se întelege nuãrul de batãi pe unitatea de tip. Notând cu ô perioada bãtãilor atunci pentru douã axie consecutive se scrie: 8

10 iar prin scãdere se obtine ùt+ö nð ù(t+ô)+ö (n+)ð ùt+ö ô+ö -ùt -ö nð+ð-nð ùôð τ π π iar frecventa bãtãilor f b este f b ( f f) (I.) π π care aratã cã frecventa bãtãilor este egalã cu diferenta frecventelor celor douã iscãri coponente. I.4. Copunerea a douã iscãri sinusoidale perpendiculare având aceeasi frecventã. Se presupune cã un corp efectueazã douã iscãri perpendiculare de aceeasi frecventã ù, dup ã cu aratã figura (I. 6): Ecuatiile iscãrii sinusoidale sunt: x sin t y Bsin ( t + ϕ) (I. ) 9

11 de ai sus: si atunci y Pentru deterinarea iscãrii sinusoidale rezultante se eliinã tipul din cele ecuatii y Bsin t cosϕ + B cost sin ϕ sau Bx cos ϕ Bcos t sin ϕ Bx sin t x cosϕ + Bcos t sin ϕ Ridicând la pãtrat expresia de ai sus: y B x + cos ϕ y Bx cosϕ B cos t sin ϕ si stiind cã: cos t sin x t rezultã y sau: y B x + Bx ϕ ϕ x cos y cos B sin ϕ B x + cos Bx ϕ y cosϕ B sin B x ϕ + sin ϕ sau y B x + y Bx cosϕ B sin ϕ ca în final sã se obtinã dupã îpãrtire cu B : y B x + xy cosϕ sin B ϕ (I.3)

12 ecuatia reprezintã traiectoria iscãrii sinusoidale rezultante care este o elipsã. Discutii Figurile geoetrice pe care le poate lua iscarea sinusoidalã rezultantã depind de diferenta de fazã a iscãrii, adicã Äöö x y B Dacã ϕ nπ ; y x traiectoria este o dreaptã (C). B Dacã x y B ϕ (n + ) π + ; y x traiectoria este tot o dreaptã (BP). B Reprezentarea celor douã valori ale diferentei de fazã ö este redatã în figura I.7. Pentru celelalte valori ale lui ö se obtin traiectorii ale iscãrii sinusoidale având fore geoetrice diferite, astfel figura alãturatã (Fig. I. 8) aratã traiectoriile pentru ö; π π π 3π 3π ϕ < ; ϕ ; < ϕ < π; ϕ π; π < ϕ < ; ϕ ; ϕ π

13 Se observã cã pentru π ϕ sau 3π se obtin aceleasi elipse dar de sens contrar. În final pute afira cã copunerea a douã iscãri sinusoidale perpendiculare de aceeasi frecventã produce prin interferentã o polarizare elipticã, unde axele elipsei sunt paralele cu directiile celor douã iscãri sinusoidale. Dacã B elipsa se transforã în cerc si ave o polarizare circularã. La definirea ecuatiei de iscare a unui resort elastic a arãtat cã existã o fortã elasticã de fora F e -Kx. fora: In cazul studiat, al celor douã iscãri sinusoidale perpendiculare având ecuatiile de x sin ùt yb sin (ùt+ö) rezultã cã sunt necesare (referitor la resortul elastic) un siste de douã forte care sã fie dirijate dupã axele OX si OY, adicã Fx si Fy si care sã fie de fora Fx-Kx si Fy-Ky. Din copunerea celor douã forte, rezultã forta rezultantã (Fig. I. 9): F i Fx + j Fy K i x + j y K r (I.4) unde r este vectorul de pozitie al particulei. Se observã cã forta rezultantã F este dirijatã dupã vectorul de pozitie r ceea ce aratã cã poate fi consideratã ca o fortã centralã atractivã proportionalã cu deplasarea. ceastã fortã produce ereu o iscare planã chiar dacã particula

14 se deplaseazã în spatiu, deoarece forta este o fortã centralã si în consecintã traiectoria particulei sub actiunea unei astfel de forte este o elipsã. Energia potentialã corespunzãtoare unei astfel de forte F este datã de expresia: ( + y ) Kr E p Kx + Ky K x I. 4 Copunerea a douã iscãri sinusoidale perpendiculare de frecvente diferite Se considerã douã iscãri sinusoidale de fora: x sin y Bsin ( + δ)t t y Bsin t (I.5) unde ù ù +ä cu ä o ãrie de valoare relativ icã, si fãrã fazã initialã pentru cele douã iscãri sinusoidale. Mersul ateatic al copunerii celor douã iscãri sinusoidale perpendiculare este acelasi si se obtine iscarea rezultantã alcãtuitã din elipse înscrise într-un dreptunghi, dar spre deosebire de cazul frecventelor identice, aici axele elipselor care se foreazã variazã cu tipul ca lungie si ca orientare, aceasta deoarece diferenta de fazã ϕ ( + δ) t t t δ este dependentã de tip. Discutii - Dacã raportul frecventelor a celor douã iscãri sinusoidale perpendiculare este un nuãr incoensurabil, rezultã cã iscarea rezultantã nu ai este perpendicularã, iar traiectoria respectivã este o curbã care nu se închide, continuã, care acoperã treptat o suprafatã. - Dacã raportul frecventelor este rational, adicã raport de nuere întregi rezultã cã iscarea rezultantã este periodicã. Traiectoria este stabilã închisã (fixã) dar fora ei depinde si de diferenta de fazã Äö. ceste traie ctorii care se obtin în acest caz se nuesc figurile Lissajoux. 3

15 I. 5. plicatii ale iscãrii sinusoidale - Pendulul siplu; - Pendulul copus; - Pendulul de torsiune I. 5.. Pendulul siplu Miscarea pendulului este un exeplu clar de iscare oscilatorie. Pendulul siplu este definit ca un punct aterial greu de asã suspendat de un punct O printr-un fir de lungie l de asã neglijabilã. Dacã punctul este deplasat lateral pânã în pozitia B, astfel încât face unghiul È cu verticala OC, dupã care este liber, atunci punctul va oscila între B si B care este sietricul lui B (Fig. I. ). Ecuatia fundaentalã vectorialã pentru vibratia punctului este: a g + N (I. 6) iar analitic N Gn a a T N a sin θ g sin θ Pentru punctul aterial care descrie un cerc de razã l acceleratia tangentialã a T l θ, adicã sau l θ g sin θ 4

16 g θ+ sin θ (I. 7) l Dacã unghiul è este ic, ceea ce este adevãrat dacã aplitudinea de oscilatie este icã, pute considera sinèè si în acest caz iscarea pendulului este: g θ+ θ (I. 8) l cceleratia reprezintã o ecuatie diferentialã, odel ateatic identic cu cel tratat ai înainte g unde s-a înlocuit x cu è, iar si > è+ù è l l De aici rezultã expresia perioadei de oscilatie T π iar g ( t + ϕ) θ θ sin (I. 9) Se rearcã faptul cã perioada de oscilatie T nu depinde de asa punctului aterial (pendulului). Pentru aplitudini ai ari, aproxiatia perioadei T, sin èè nu ai este valabilã; în acest caz este dependentã de aplitudinea unghiularã è astfel încât: 9 4 sin θ + sin θ + sin θ neliniarã. Este rearcat faptul cã ecuatia diferentialã în cazul general al oscilatiilor, este o ecuatie I. 5.. Pendulul copus (fizic). Este un corp solid cu greutate proprie care poate oscila liber în jurul unei axe orizontale sub actiunea greutãtii. Fie ZZ axa orizontalã, C centrul de greutate al corpului, iar unghiul è între verticalã si perpendiculara dusã pe axa de rotatie (ZZ ) (Fig. I. ). plicând conditia de echilibru la rotatie în raport cu axa de rotatie (ZZ ) rezultã: J θ gb sin θ (I. 3) sau pentru icile oscilatii: gb θ θ + (I. 3) J 5

17 unde J este oentul de inertie al solidului în raport cu axa de rotatie, iar b este (bc) distanta dintre centrul de greutate C si axa de rotatie (ZZ ) si poartã denuirea de lungiea pendulului copus. Expresia de ai sus este o ecuatie diferentialã de tipul: θ + θ cu gb J si T π (I. 3) J gb Rearcã Pentru ici oscilatii, perioadele celor douã pendule siplu si copus sunt identice si atunci: π l π Jgb (I. 33) g unde l J b, este lungiea pendulului siplu Pendulul de torsiune. cest pendul este un alt exeplu de iscare sinusoidalã a unui corp suspedat de un fir, astfel încât firul OC trece prin centrul de greutate al corpului. Corpul se roteste cu unghiul è este torsionat si exercitã asupra corpului un oent de rotatie în jurul lui OC. cceleratia oentului are expresia Ma-Cè, unde C este constanta de torsiune din fir. Dacã I este oentul de inertie al corpului care se roteste în jurul axei OC, ecuatia de iscare (oscilatia) este de fora: Iθ Cθ Iθ+ Cθ C θ+ θ I iar prin analogie C, de unde I I T π (I. 34) C 6

18 I. 6. Oscilatii libere aortizate Dintre fortele de frecare care intervin în iscarea oscilatorie sunt considerate fortele de frecare interioare ale sisteului ecanic cât si cele dintre eleentele sisteului si ediul înconjurãtor. Toate aceste forte de frecare sunt înglobate în odelul de aortizor al sisteului ecanic. Pentru deterinarea odelului ateatic al unui siste ecanic cu aortizor se considerã un resort elastic liniar prins de un corp de asã si introdus într-un fluid. (Fig.I.3) supra corpului de asã se exercitã forta elasticã Fe-kx si o fortã de frecare (rezistentã) Fr-Cx din partea fluidului (proportionalã cu viteza de oscilatie). ave: plicând legea fundaentalã a dinaicii rezultã F F+ F r, iar dupã directia axei Ox x Kx Cx (I. 35) 7

19 unde C este coeficientul de rezistentã la înaintarea corpului într-un fluid vâscos. Ecuatia se ai scrie: C K x + x + x Notând C K α; unde ù pulsatia naturalã fãrã aortizare, rezultã:. x+ α x+ x (I. 36) Sã rezolvã aceastã ecuatie. Pentru aceasta introduce o nouã variabilã de fora: x ze (I. 37) si derivând de douã ori, obtine: x α ze x z e. x αze. + α. αz e ze. + z e + α + ze ze. αz e Înlocuite în ecuatia fundaentalã (I.36), obtine: z e. αz e + α ze α ze. + αz e + ze sau z e α ze + ze si în final: ( α ) z z+ (I. 38) Dacã notã α, rezultã: z+ z 8

20 cest odel ateatic reprezintã o ecuatie diferentialã cunoscutã a cãrei solutie este: ( + ϕ) z sin t (I. 39) iar în final: x e sin ( t + ϕ) Y sin ( t + ϕ) (I. 4) ceastã relatie ne aratã cã iscarea respectivã a corpului este o iscare oscilatorie aortizatã care este reprezentatã grafic în figura de ai jos: Unde aplitudinea Y descreste cu tipul, iar α C - este factorul de aortizare. Notând pseudoperioada: Sau: α se obtine pseudopulsatia, iar T π - reprezintã α 4π T π (I. 4) K C 4K C 4 Discutii asupra forei curbei descrise de iscarea oscilatorie aortizatã. În faza de început aplitudinea iscãrii este liitatã de curbele cu ±e -αt, cu o descrestere în tip; sinusoida intersecteazã axa Ot în puncte echidistante corespunzãtoare valorii lui t pentru care sin (t+ϕ). Cu trecerea tipului iscarea nu ai are caracter periodic, aplitudinile descresc si ajung la valoarea zero, deci apare caracterul de aortizare al iscãrii. 9

21 Decreent logaritic d. Se defineste ca fiind logaritul natural al raportului dintre douã valori succesive ale aplitudinii, separate printr-un interval de tip egal cu o pseudoperioadã T, adicã: n+ Yn e αt δ ln ln ln e (I. 4) Y α( t+ T) e sau: δ αt (I. 43) adicã decreentul logaritic δ este egal cu produsul dintre factorul de aortizare si pseudoperioada. Se ai defineste constanta de tip τ ca fiind inversul factorului de aortizare. T τ sauδ (I. 44) α τ Cunoasterea decreentului logaritic δ ajutã la deterinarea gradului de aortizare al unui anuit aterial, iar prin folosirea constantelor de tip ale diferitelor aronici generate de instruentele uzicale se poate deterina calitatea sunetului produs. I. 7. Oscilatii fortate (întretinute) În practicã, orice punct aterial (sau corp) care prezintã o iscare oscilatorie sinusoidalã sub actiunea fortei elastice, cu tipul pierde din energia sa oscilatorie pânã la stingerea oscilatiilor; apar oscilatiile aortizate. ceastã pierdere de energie oscilatorie se datoreste actiunii ediului care creazã o fortã de rezistentã. Dacã însã, aceastã pierdere de energie oscilatorie este copensatã, în tip, cu o energie exterioarã, atunci acel punct aterial poate avea o iscare oscilatorie continuã sau întretinutã. Exeple: ) Plasarea unui diapazon lângã o cutie de rezonantã; vor oscila peretii cutiei si aerul din interior; ) undele electroagnetice captate de o antenã care actioneazã asupra circuitului electric al unui aparat de radio sau televiziune; 3) pendulul unui ceasornic. Deonstratie Sã considerã cã asupra unui punct aterial care prezintã o iscare oscilatorie actioneazã o fortã elasticã Fe-Kx, o fortã de rezistentã din partea ediului proportionalã cu viteza de fora Fr-cx si o fortã periodicã exterioarã de fora: 3

22 ( t) F F sin (I. 45) plicând legea a II-a a dinaicii si toate fortele enuerate ai sus, se obtine o relatie de fora: F Fe Fr + F (I. 46) care va actiona asupra punctului aterial. Considerând punctul aterial ca un oscilator aronic liniar, pute scrie:. x+ Kx + cx F sin t (I. 47) relatie care se îparte la asa a punctului aterial. Se obtine:. x c K F + x+ x sin t (I. 48) Cu notatiile: c α si K unde c reprezintã coeficientul de rezistentã al ediului, α - reprezintã factorul de aortizare, este pulsatia proprie a punctului aterial. De retinut cã toti acesti paraetri c, α, au fost prezentati la deterinarea oscilatiilor aortizate. Cu aceste notatii expresia (I. 48) devine de fora:. x F + α x+ x sin t (I. 49) care reprezintã o ecuatie diferentialã de ordinul doi cu ebrul al doilea. Solutia generalã de rezolvare a acestei ecuatii este alcãtuitã din douã pãrti: pria parte, o solutie y a ecuatiei diferentiale fãrã ebrul al doilea (caz studiat la oscilatii aortizate), iar a doua parte y este o solutie particularã când apare în ecuatia diferentialã si ebrul din dreapta. De retinut faptul cã aceastã solutie particularã y trebuie sã satisfacã ecuatia diferentialã (I. 49) pentru toate valorile lui t. Deci solutia generalã este: yy +y (I. 5) 3

23 Pentru solutia y care reprezintã oscilatii aortizate a gãsit cã este de fora: ( t + ϕ) y e sin (I. 5) unde α (I. 5) În cazul existentei si celui de al doilea ebru solutia particularã y este: ( + ϕ ) y Bsin t (I. 53) Sã deterinã B si ϕ Pentru aceasta se deriveazã de douã ori y în raport cu tipul dupã expresiile introduc în ecuatia diferentialã generalã (I. 49). Se obtine: ẏ si.ẏ se. y B cos ( t + ϕ ) si derivata de ordinul doi: y Bsin ( t + ϕ ) care se introduc în ecuatia (I. 49): F Bsin ( t + ϕ) + αbcos( t + ϕ) + Bsin ( t + ϕ ) sin t (I. 54) Pentru oogenizarea expresiei (I. 54) pute scrie: F sin F t sin F [( t + ϕ) ϕ] sin ( t + ϕ) cos ϕ cos( t + ϕ ) sin ϕ F care este înlocuitã în ebrul al doilea din expresia (I. 54): 3

24 I p ρ a x v Trecând toti terenii într-o parte si dând factori couni sin ( t+ϕ ) si cos ( t+ϕ ) se obtine: F F sin ( t + ϕ ) B + B cosϕ + cos( t + ϕ ) α B + sin ϕ Pentru ca expresia de ai sus sã fie nulã trebuie ca: F B + B cos ϕ (I. 55) si F α B + sin ϕ (I. 56) Din rezolvarea ecuatiilor (I. 55) si (I. 56) se deterinã tg ϕ si B, adicã: F B + B cosϕ F Bα sin ϕ α α tgϕ (I. 57) + iar pentru B: sau B F ( ) cos ϕ B F cosϕ (I. 58) ( ) 33

25 Din trigonoetrie se cunoaste cã: cosϕ si înlocuind în relatia (I. 57) se obtine: + tg ϕ cosϕ + 4α ( ) ( ) + 4α si înlocuitãîn expresia (I. 58) se obtine: F F B (I. 59) ( ) ( ) + 4α ( ) + 4α stfel cu deterinarea paraetrilor B si ϕ solutia pentru y devine de fora: y F (I. 6) sin t ( ) + 4α ( + ϕ ) Deci solutia generalã are în final expresia: y e sin ( t + ϕ) + Bsin ( t + ϕ ) (I. 6) sau: y e sin ( t + ϕ) + ( ) F + 4α sin ( t + ϕ ) (I. 6) Discutii Solutia generalã (I. 6) reprezintã o suprapunere a oscilatiilor aortizate (proprii) cu oscilatiile fortate. De aceea priul teren corespunde unei iscari oscilatorii aortizate iar cel de-al doilea teren unei iscãri oscilatorii fortate. Din cauza celor douã iscãri oscilatorii apare un regi tranzitoriu care deliiteazã aceste iscãri de duratã egalã cu tipul necesar ca aplitudinile priului teren sã fie practic nule (oscilatii aortizate). Dupã acest tip, rãân 34

26 nuai oscilatiile fortate, apare regiul peranent de oscilatii iar solutia generalã (I. 6) se rezuã nuai la al doilea teren (Fig. I. 5). Rearcã - aplitudinea B si defazajul ϕ oscilatiilor fortate sunt dependente de structura sisteului oscilant (, k) si de pulsatia fortei periodice exterioare ; - frecventa oscilatiilor fortate este aceeasi cu frecventa fortei periodice exterioare perturbatoare; - oscilatiile fortate nu sunt aortizate. I. 7.. Rezonanta În cazul regiului peranent de oscilatii, nuai cu existenta oscilatiilor fortate, aplitudinea B este dependentã de pulsatia fortei periodice exterioare. În scopul analizei variatiei aplitudinii B cu pulsatia, se deriveazã expresia aplitudinii B în raport cu si apoi se pune conditia de deterinare a valorii aplitudinii axie B ax. Mai întâi se deriveazã aplitudinea B (I. 58) în raport cu si se obtine: db d F ( ) ( ) 4α + 4α 3 F ( α ) ( ) + 4α 3 (I. 6) db Pentru deterinarea aplitudinii axie B ax ave d anuleazã nuãrãtorul fractiei din ecuatia (I. 6) si rezultã: si în acest caz se 35

27 ( α ) si cu pulsatia fortei periodice rezultã cã: α de unde se gãseste valoarea lui pentru care aplitudinea B este axiã, adicã: si B ax α (I. 63) F (I. 64) α ( α ) În oentul în care pulsatia a fortei periodice perturbatoare devine egalã cu - α, aplitudinea iscãrii oscilatorii rezultante devine foarte are, ceea ce caracterizeazã aparitia fenoenului de rezonanta aplitudinilor. I. 7.. Discutii - dacã α atunci confor relatiilor (I. 6 si I. 63) aplitudinea B nu prezintã axi în doeniul valorilor reale ale pulsatiei si nu se produce fenoenul de rezonantã; - dacã efectul de aortizare se neglijeazã (α) atunci din relatia (I. 63) rezultã cã adicã pulsatia fortei periodice perturbatoare este egalã cu pulsatia proprie, iar rezonanta aplitudinilor tinde spre infinit (B ). I Rezonanta vitezelor Prin derivarea în raport cu tipul a relatiei (I. 53) rezultã: dy dt ( t + ϕ ) v B cos (I. 65) Coparând aceastã expresie a vitezei (I. 65) cu expresia fortei periodice exterioare (I.45) FF sin t, se vede cã ϕ reprezintã defazajul dintre viteza si forta exterioarã perturbatoare. plitudinea v a vitezei este în acest caz: 36

28 v F F B (I. 66) ( ) 4 + α + 4α Deoarece ãriea v depinde de si atinge valoarea axiã când cantitatea de la nuitor tinde spre zero, rezultã cã: (I. 67) adicã pentru frecventa a fortei periodice exterioare viteza si energia cineticã a oscilatorului sunt axie si se spune cã apare rezonanta vitezelor sau a energiilor. Din relatia (I. 66) se observã cã pentru, defazajul ϕ (I. 56). Deci rezonanta energiilor apare când cele douã pulsatii sunt egale ( ) în lipsa aortizãrii si în acest caz viteza este în fazã cu forta periodicã exterioarã perturbatoare. În consecintã: în cazul existentei rezonantei energiilor transferul de energie de la forta periodicã exterioarã la sisteul oscilant fortat este axiã. I Exeplificare Dacã un gaz este situat într-un spatiu unde se anifestã actiunea unui câp electric oscilant (unde electroagnetice), oscilatiile fortate sunt induse în atoii care copun oleculele de gaz. Deoarece oleculele au frecvente proprii de oscilatii bine definite, absorbtia de energie va trece printr-un axi când frecventa câpului electric va coincide cu una din frecventele proprii ale oleculelor. I Ipedanta oscilatorului La tratarea oscilatiilor aortizate s-a obtinut expresia pseudoperioadei T care este dependentã de 3 ãrii: asa, constanta de elasticitate K si factorul de aortizare α. În cadrul tratãrii oscilatiilor fortate aceste ãrii intervin în relatii cu pulsatia fortei periodice exterioare. Nuitorul expresiei aplitudinii vitezei v (I. 66) este denuit ipedanta oscilatorului si se noteazã cu Z si are expresia: Z K + 4 α (I. 68) unde K, asa a fost introdusã sub radical iar este dat factor coun. 37

29 Prin analogie cu expresia ipedantei Z din curentul alternativ: Z X + R (I. 69) K rezultã reactanta oscilatorului X si rezistenta oscilatorului Rα. Introducând expresia ipedantei oscilatorului în expresia aplitudinii vitezei v (I. 66) se obtine cã: v F Z iar viteza în functie de tip (I. 65) este de fora: F v cos( t + ϕ ) (I. 7) Z 38