NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 2 SMJER: ISTRAŽIVAČKI SMJER SKIN EFEKT
|
|
- Τρύφαινα Παππάς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 2 SMJER: ISTRAŽIVAČKI SMJER SKIN EFEKT
2 ISTRAŽIVAČKI SMJER NFP2 1 ZADACI a) Diskutirajte LCR krug koji se koristi u ovoj vježbi i izvedite uvjet rezonancije. b) Izmjerite ekvivalentnu debljinu skina kod bakra i mjedi za frekvencije u području 1.5 khz do 15 khz. c) Diskutirajte ovisnost debljine skina o frekvenciji. d) Diskutirajte izraz (10) i članove koji su zanemareni dobivanjem te formule iz (9). Napomena: vodite računa da pri mjerenju frekvencija uvijek bude konstanta.
3 SKIN EFEKT 1.1 Uvod Kod razmatranja bilo kojeg problema u vezi s transportom naboja ili strujom kroz neki homogeni vodič, nikad se posebno ne naglašava naizgled trivijalna činjenica da je gustoća struje na svakom mjestu presjeka tog vodiča jednaka. Medutim, to je strogo ispunjeno samo onda kad kroz vodič teče istosmjerna struja. Doduše, teče li njime izmjenična, ali niskofrekventna struja, ne opaža se kod tanjih vodiča ni tad neko narušavanje ove zakonitosti. Tek kad frekvencija dostigne relativno visoke vrijednosti, ili vodič ima relativno veliku debljinu, počinju se opažati pojave koje korigiraju našu predstavu o jednolikosti gustoće struje po presjeku vodiča. Opazilo se, naime, da električni otpor vodiča ovisi o frekvenciji struje koja njime prolazi. Kao što znamo, otpor vodiča duljine l i presjeka S dan je formulom: R = ρ l S (1) u kojoj je ρ specifična otpornost materijala od kojeg je vodič načinjen. Budući da specifična otpornost, kao jedna od osnovnih konstanti materijala, ne može ovisiti o frekvenciji, za promjenu otpora mora biti odgovorna neka promjena u geometriji vodiča. Dakako, ne u pravoj, već u njegovoj efektivnoj geometriji. Teško bi bilo zamisliti da se pritom mijenja duljina vodiča. Za to ne bi našli valjani razlog. Presjek se, medutim, može promijeniti. Mjerenja pokazuju da se otpor vodiča povećava s frekvencijom, što daje do znanja da se njegov efektivni presjek smanjuje. Smanjivanje presjeka je, očito, samo jednostavnije izražena činjenica da gustoća struje u vodiča nije više jednolika. Pokazalo se da ona s porastom frekvencije pada oko centra vodiča i da se istovremeno povećava uz njegovu površinu. Pri vrlo visokim frekvencijama nejednolikost gustoće struje je tako velika da ona gotovo iščezava u unutrašnjosti vodiča i koncentrira se samo u površinskim slojevima. Ovaj efekt zato je i nazvan skin efektom (skin - koža, kora, ljuska). Sasvim formalno, efekt se može protumačiti na slijedeći način. Zamislimo da je cilindrični vodič nizom koncentričnih krugova i snopom radijusa podijeljen na velik broj elementarnih vodiča jednakog presjeka Q (sl.1). Tada svaki elementarni vodič ima kod istosmjerne struje otpor dan formulom (1), tj. ρ l/q. Pri prolazu
4 ISTRAŽIVAČKI SMJER NFP2 2 Slika 1. Podjela cilindra na elementarne vodiče. izmjenične struje stvara se oko svakog vodiča i unutar njega magnetsko polje, odnosno magnetska indukcija B, čije silnice možemo prikazati kao koncentrične krugove. Očigledno će površina F elementarnog vodiča na koju upadaju silnice magnetske indukcije biti veća ako se on nalazi bliže centru vodiča. To slijedi iz zahtjeva jednakosti presjeka Q. Ako je, dakle, površina F 1 veća od F 2, veći je i tok magnetske indukcije BF 1 od toka BF 2. Kroz elementarne vodiče u blizini centra i uz površinu prolazit će različit broj silnica magnetske indukcije. Budući da vodičem teče izmjenična struja, magnetska indukcija se mijenja u vremenu, što će u elementarnim vodičima (u opsegu plohe F ) izazvati stvaranje elektromotorne sile E = F db/dt. Ponovno imamo E 1 > E 2. Polaritet stvorene elektromotorne sile je po Le Chatelierovom principu takav da se ona protivi uzrocima koji su je izazvali. Drugim riječima, u elementarnim vodičima inducira se struja suprotnog smjera od one koja prolazi vodičem i koja je izazvala stvaranje magnetske indukcije. Postaje tako razumljivim da je zbog veće protuelektromotorne sile u blizini centra vodiča i efektivna struja na tom mjestu manja od one u površinskim slojevima. Idući od površine vodiča prema njegovom centru, gustoća struje se smanjuje. Slikovito efekt možemo zamisliti tako da svi elementarni vodiči na koje je cilindar bio podijeljen nemaju više jednak otpor ρ l/q kao kod istosmjerne struje, već im otpor raste što se više približavamo centru cilindra. Jasno je zato da je i ukupni otpor cilindra njegov efektivni otpor veći nego u slučaju kad njime prolazi istosmjerna struja.
5 ISTRAŽIVAČKI SMJER NFP Tumačenje skin efekta na osnovu Maxwellovih jednadžbi Iako je kvalitativnim objašnjenjem iz prethodnog poglavlja skin efekt postao razumljiv, time se ipak ne možemo zadovoljiti jer su nam mnoge stvari ostale skrivene. U prvom redu ne znamo još kakva je raspodjela gustoće struje duž radijusa vodiča, tj. kakav je strujni profil. Znamo medutim, da postojanje skin efekta i njegove zakonitosti moraju proizići i kao posljedica osnovnih jednadžbi za širenje elektromagnetskih valova u prostoru, tj. iz Maxwellovih jednadžbi. Zamislimo da se masivni metalni vodič radijusa a nalazi unutar zavojnice kroz koju prolazi izmjenična struja frekvencije f. Ona će stvarati izmjenično magnetsko polje H paralelno osi z (sl.2), što znači da ćemo unutar vodiča imati magnetsku indukciju B istog smjera. Vremenske promjene magnetskog polja izaz H B E a r Slika 2. Metalni cilindar unutar zavojnice. zivaju vrtloge električnog polja E, čije silnice su koncentrične kružnice s centrom u r = 0. Znajući prethodna objašnjena skin efekta, već sada možemo reći da jakost električnog polja unutar vodiča neće biti posvuda ista, već će biti neka funkcija od r, tj. E = E(r). Uzmimo dogovorno da je za r = a električno polje E(r = a) = E 0. Pokušajmo sada riješiti poblem uz pomoć Maxwellovih jednadžbi. One za
6 ISTRAŽIVAČKI SMJER NFP2 4 slučaj kad nema prostornog naboja glase E = 0 (2) E = B (3) t B = 0 (4) H = j + ε E (5) t S ε je označena apsolutna dielektrična konstanta vodiča. struje i električno polje povezuje Ohmov zakon Budući da gustoću j = σe (6) u kojem je σ specifična električna vodljivost vodiča, možemo četvrtu Maxwellovu jednadžbu odmah preobraziti: H = σe + ε E t Primijenivši nadalje operator rotacije na drugu jednadžbu dobijamo relaciju (7) ( E) = ( E) E = B t = µ t H (8) u kojoj µ označava apsolutnu permeabilnost vodiča. Kombiniranjem prethodnih dviju relacija nastaje diferencijalna jednadžba E µε 2 E t 2 E µσ t = 0 (9) za vremensku i prostornu ovisnost električnog polja unutar vodiča (sličan izraz mogao bi se izvesti i za magnetsko polje). Jednadžba koju smo dobili naziva se telegrafskom jednadžbom. Ona za σ = 0 tj. za izolatorska sredstva, prelazi u dobro poznatu valnu jednadžbu. Za harmonijsku pobudu, tj. kada imamo elektromagnetsku pojavu neke frekvencije ω, sve veličine pa i električno polje E u jednadžbi (9) su proporcionalne izrazu exp( iωt). Uvrštavanjem E(x, t) = E(x) exp( iωt) i zanemarivanjem malih članova, dobivamo: E + iµσωe = 0. (10)
7 ISTRAŽIVAČKI SMJER NFP2 5 Naš problem ima cilindarsku simetriju, s obzirom da se radi o dugačkoj ravnoj žici. Stoga možemo u operatoru izostaviti derivacije po z i φ, te dobivamo običnu diferencijalnu jednadžbu za električno polje: d 2 E dr r de dr + iµσωe = 0. (11) Rješenja ove jednadžbe se mogu prikazati pomoću specijalnih funkcija, ali za naše potrebe ćemo preuzeti približni izraz (za dovoljno visoke frekvencije): ( E(r, t) = E 0 exp a r ) [ ( )] a r exp i 2πft δ δ U njemu je korištena kratica δ = (12) 1 πµσf. (13) Tumačenje pojedinih članova u relaciji (12) nije komplicirano. Drugi eksponencijalni član označava vremensku promjenu električnog polja i njegove fazne odnose, što u našem razmatranju skin efekta nije interesantno. Preostala dva člana predstavljaju, ustvari, amplitudu tog polja i govore nam kako se ona mijenja s koordinatom r, tj. s udaljenošću od površine vodiča. Kao što je bilo i dogovoreno, na samoj površini, tj. za r = a, električno polje ima vrijednost E 0. Veličina δ dana formulom (13), naziva se dubinom prodiranja električnog polja u vodič. Često se ona naziva i debljinom skina. Stavimo li a r = δ, dobivamo E = E 0 /e, što znači da je δ ona udaljenost od površine vodiča na kojoj električno polje padne na dio 1/e svoje početne vrijednosti. struje: Uz pomoć Ohmovog zakona (6) i relacije (12), dobivamo amplitudu gustoće ( j = j 0 exp a r ) δ (14) Vidimo da ona pada eksponencijalno s udaljenošću od površine vodiča i da je brzina tog pada ovisna o debljini vodiča, o veličini δ, tj. o vrsti materijala od kojeg je načinjen vodič i o frekvenciji struje koja teče zavojnicom. Uvedemo li umjesto vodljivosti σ specifičnu otpornost ρ, dobivamo ρ δ = πµf. (15)
8 ISTRAŽIVAČKI SMJER NFP2 6 Vidimo da je dubina prodiranja to manja što je frekvencija viša i što je otpor vodiča manji. Vidimo takoder da će skin efekt biti jače izražen kod feromagnetskih tvari koje imaju veliku magnetsku permeabilnost µ. Vrlo često se veličina i jakost skin efekta procjenjuje prema omjeru ξ = R f R 0, (16) gdje je R f otpor vodiča kad njime protiče izmjenična struja frekvencije f, a R 0 kod istosmjerne struje. Taj omjer je očito neka funkcije debljine vodiča i dubine prodiranja (13) ili (15), pa se uobičajilo promatrati funkcijsku vezu ξ = ξ(a/δ), tj. vezu ξ = ξ(a πµf/ρ). Grafički je ta funkcija prikazana na sl.3. Pomoću nje možemo se npr. uvjeriti daje za bakreni vodič specifičnog otpora R f /R a/δ Slika 3. Omjer R f /R 0 kao funkcija a/δ Ωcm i promjera 2 cm, omjer kod 400 Hz jednak približno 1.7. Odatle se vidi da skin efekt kod debljih vodiča može biti znatan i pri relativno vrlo niskim frekvencijama. Kod 50 Hz može se utjecaj skin efekta opaziti u bakrenim ili aluminijskim vodičima tek ako su oni deblji od 1 2 cm. Ako je vodič od željeza, s efektom se mora računati i kod daleko manjih promjera. U radiotehnici ili kod televizijskih uredaja (npr. antene) koriste se redovito vodiči načinjeni od cijevi, jer je zbog skin efekta upotreba punih vodiča nepotrebna. Kod smanjivanja ovi vodiči su najčešće pozlaćeni.
9 ISTRAŽIVAČKI SMJER NFP Mjerenje dubine prodiranja Skin efekt može se demonstrirati ili izmjeriti na različite načine. Može se npr. propuštati kroz vodič visokofrekventna izmjenična struja, te mjeriti njegov efektivni otpor u ovisnosti o frekvenciji. Dubina prodiranja dobiva se tada uz pomoć relacije (16) i funkcijske veze ξ = ξ(a/δ) prikazane na sl.3. Druga mogućnost je da se vodič stavlja u magnetsko polje zavojnice kroz koju protiče izmjeniča struja (kao na sl.2). Kod toga se opaža da skin efekt u vodiču uzrokuje promjenu u koeficijentu samoindukcije zavojnice. Ta promjena može se mjeriti i povezati na neki način s dubinom prodiranja električnog polja u vodič. Ovu metodu koristit ćemo i u našoj vježbi, pa smo zato i naveli u prošlom poglavlju njenu teorijsku osnovu. Prije samog opisa metode, potrebno je definirati jednu veličinu koja će nam znatno olakšati daljnja razmatranja. To je tzv. ekvivalentna debljina skina. Ona će postati shvatljivom ako se detaljnije promotri kako se zapravo mijenja eksponencijalni porast (14) gustoće struje s frekvencijom. Kao što smo već konstatirali, povisuje li se frekvencija, gustoća struje oko centra vodiča pada. Kod visokih frekvencija ukupna struja I kroz vodič prolazi gotovo potpuno u tankom sloju tik uz površinu. U ostalim dijelovima presjeka struje gotovo da i nema. Ovakav profil struje sugerira nam da masivni cilindrični vodič shvatimo kao šuplji cilindar sa zidom debljine d kroz koji protiče ukupna struja I i to homogeno, s gustocom j 0. Velicina d naziva se tada ekvivalentnom debljinom skina. Ideja je ilustrirana na sl.4. Na slici lijevo prikazana je prava, a desno zamišljena situacija. Dok iz lijevog dijela slike slijedi da je ukupna struja I, prema desnoj slici: I = 2π a 0 rj(r)dr = (2ad d 2 )πj 0. (17) Ova formula bi već mogla poslužiti za definiciju ekvivalentne debljine skina d. No kod viših frekvencija i debljih vodiča vrijedi sigurno d a, pa se ekvivalentna debljina skina reducira na jednostavniju definiciju: I = 2πaj 0 d. (18) Budući da se rješavanjem integrala u izrazu (17) uz pomoć (14) za ukupnu struju dobiva relacija I = 2πaj 0 δ [1 δa + δa ( exp δ )]. (19) a
10 ISTRAŽIVAČKI SMJER NFP2 8 0j j 0j /e δ d a r a r Slika 4. Definicija ekvivalentne debljine skina pomoću jednostavnije relacije. Vidimo da je ekvivalentna debljina skina d povezana s dubinom prodiranja δ pomoću formule d = δ [1 δa + δa ( exp δ )]. a (20) Ona se uz uvjet δ a pojednostavljuje i daje d δ. Možemo, dakle, zaključiti da se ekvivalentna debljina skina ponaša jednako kao i dubina prodiranja i da se promatranjem te veličine mogu shvatiti sve osnovne zakonitosti skin efekta. Pogledajmo sada kakav utjecaj vrši skin efekt u vodiču na koeficijent samoindukcije L zavojnice. Ako se radi o cilindričnoj jednoslojnoj zavojnici duljine x, polumjera r z, presjeka q, od N navoja, njen koeficijent samoindukcije je dan izrazom: L 1 = πµ 0N 2 q (21) x u kojoj je µ 0 magnetska permeabilnost vakuuma (zraka). U našem eksperimentu neće se mijenjati broj navoja i duljina zavojnice, pa možemo pisati L 1 = Cr 2 z (22) gdje je C konstanta. Protječe li zavojnicom izmjenična struja, a u nju se stavi u cilindrični vodič polumjera a, primijetit će se smanjivanje koeficijenta samoindukcije zavojnice. Pojava je shvatljiva. Budući da je zbog skin efekta unutrašnjost vodiča postala nedostupna za magnetsko polje zavojnice, smanjio se njen efektivni presjek, što zbog (21) uzrokuje i smanjivanje koeficijenta L 1. Iz sl.5 može
11 ISTRAŽIVAČKI SMJER NFP2 9 r z a a-d Slika 5. Efektivni presjek zavojnice. se lako zaključiti da je novi koeficijent samoindukcije L 2 dan formulom L 2 = C[rz 2 (a d) 2 ] (23) Promjena koeficijenta samoindukcije dobiva se odbijanjem (23) od (22), što daje L = C(a d) 2 (24) odnosno L = C(a d) (25) (ovdje smo redefinirali konstanu C). Mjeri li se sada na neki način L, a u zavojnicu se stavljaju vodiči iz istog materijala, ali različitog promjera a, dobiva se ovisnost L(a). Ekstrapolacijom u L = 0 se onda može odrediti ekvivalentna debljina skina. 1.4 Sklop za mjerenje - rezonantna frekvencija LCR kruga Kao što smo vidjeli u prethodnom poglavlju, debljinu skina na nekoj frekvenciji možemo odrediti pomoću promjene induktiviteta. Jedan od načina da izmjerimo induktivitet jest da mijenjanjem kapaciteta C u LCR krugu postignemo rezonanciju, tj. da postignemo da se imaginarne komponente ponište. Tada su napon pobude i struja koja teče krugom u fazi, a pojava se lako može opaziti na osciloskopu.
12 ISTRAŽIVAČKI SMJER NFP2 10 U svrhu opažanja tražene pojave, spojite u seriju zavojnicu, kondenzator, i otpornik (99.5 Ω), te na zavojnicu priključite jedan izvod, a na otpornik drugi izvod izvora sinusoidalnog napona. S obzirom na širok raspon kapaciteta C koji nam trebaju, po potrebi paralelno kondenzatorskoj dekadi možete spajati dodatne kondenzatore. Izvor sinusoidalnog signala postavite na oko 10 V pp ili više, te ga spojite na X otklonski sklop osciloskopa. Pad napona sa otpornika dovedite na Y otklonski sklop osciloskopa. Kada je uvjet rezonancije ω 2 LC = 1 zadovoljen, pad napona na otporniku je u fazi s izvorom napona, i iste je amplitude, te se stoga na osciloskopu dobiva pravac. Povečavajući osjetljivost na osciloskopu (minimalna osjetljivost na osciloskopu neka bude 100 mv; u protivnom dolazi do izobličenja signala), uvjet rezonancije se može vrlo točno zadovoljiti. Iz poznate vrijednost za C, dobiva se induktivitet: L = 1 ω 2 C. (26) Ako sa L 0 i C 0 označimo vrijednost dobivene sa zavojnicom bez bakrene ili mjedene šipke, tada je L = L 0 L = 1 ω 2 ( 1 C 0 1 C ). (27) Na taj način možemo izmjeriti traženu ovisnost L o polumjeru šipke a. Pri mjerenju, obratite pažnju na frekvenciju koja mora biti konstantna do na sve četiri znamenke, te je po potrebi namještajte.
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραElektrodinamika ( ) ELEKTRODINAMIKA Q t l R = ρ R R R R = W = U I t P = U I
Elektrodinamika ELEKTRODINAMIKA Jakost električnog struje I definiramo kao količinu naboja Q koja u vremenu t prođe kroz presjek vodiča: Q I = t Gustoća struje J je omjer jakosti struje I i površine presjeka
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότεραVježba 081. ako zavojnicom teče struja jakosti 5 A? A. Rezultat: m
Zadatak 8 (Marija, medicinska škola) Kolika je jakost magnetskog polja u unutrašnjosti zavojnice od 5 zavoja, dugačke 5 cm, ako zavojnicom teče struja jakosti A? ješenje 8 N = 5, l = 5 cm =.5 m, = A, H
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραElektrodinamika
Elektrodinamika.. Gibanje električnog naboja u električnom polju.2. Električna struja.3. Električni otpor.4. Magnetska sila.5. Magnetsko polje električne struje.6. Magnetski tok.7. Elektromagnetska indukcija
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότεραELEKTRODINAMIKA ELEMENTI STRUJNOG KRUGA IZVOR ELEKTRIČNE ENERGIJE
ELEKTRODINAMIKA ELEKTRIČNA STRUJA I PRIPADNE POJAVE ELEMENTI STRUJNOG KRUGA Strujni krug je sastavljen od: izvora u kojemu se neki oblik energije pretvara u električnu energiju, spojnih vodiča i trošila
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραMagnetsko polje ravnog vodiča, strujne petlje i zavojnice
Magnetske i elektromagnetske pojave_intro Svojstva magneta, Zemljin magnetizam, Oerstedov pokus, magnetsko polje ravnog vodiča, strujne petlje i zavojnice, magnetska sila na vodič, Lorentzova sila, gibanje
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραPriprema za državnu maturu
Priprema za državnu maturu E L E K T R I Č N A S T R U J A 1. Poprečnim presjekom vodiča za 0,1 s proteče 3,125 10¹⁴ elektrona. Kolika je jakost struje koja teče vodičem? A. 0,5 ma B. 5 ma C. 0,5 A D.
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραPeriodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραE2. Električni titrajni krug
Električni titrajni krug 1 E. Električni titrajni krug 1. Ključni pojmovi Impedancija, rezonancija, faktor dobrote, LC titrajni krug. Teorijski uvod a) Slobodne oscilacije Serijski titrajni krug zamišljamo
Διαβάστε περισσότερα, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova
Grupa A 29..206. agreb Prvi kolokvij Analognih sklopova i lektroničkih sklopova Kolokvij se vrednuje s ukupno 42 boda. rijednost pojedinog zadatka navedena je na kraju svakog zadatka.. a pojačalo na slici
Διαβάστε περισσότεραZADATCI S NATJECANJA
ZADATCI S NATJECANJA MAGNETIZAM 41. Na masenom spektrometru proučavamo radioaktivni materijal za kojeg znamo da se sastoji od mješavine 9U 35 9U. Atome materijala ioniziramo tako da im je naboj Q +e, ubrzavamo
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραSnage u kolima naizmjenične struje
Snage u kolima naizmjenične struje U naizmjeničnim kolima struje i naponi su vremenski promjenljive veličine pa će i snaga koja se isporučuje potrošaču biti vremenski promjenljiva Ta snaga naziva se trenutna
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότερα#6 Istosmjerne struje
#6 Istosmjerne struje I Jednadžbe za istosmjerne struje II Gibbsov potencijal u vodičima predavanja 20** Drudeov model za vodljive elektrone Jouleov zakon Makroskopske jednadžbe za istosmjerne struje Gibbsov
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραUnipolarni tranzistori - MOSFET
nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]
Διαβάστε περισσότερα4. Koliki naboj treba dati kugli mase 1 kg da ona lebdi ispod kugle s nabojem 0,07 µc na udaljenosti 5 cm?
1 Coulombov zakon 1. Koliki je omjer gravitacijske i elektrostatske sile izmedu dva elektrona? m e = 9, 11 10 31 kg 2. Na kojoj će udaljenosti u zraku odbojna sila izmedu dvaju jednakih naboja q 1 = q
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότερα