ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ. (Μέρος πρώτο)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ. (Μέρος πρώτο)"

Transcript

1 ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ - Παράρτημα Καρδίτσας ΤΜΗΜΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΞΥΛΟΥ ΕΠΙΠΛΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ ΙΙ (Μέρος πρώτο) - ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ - ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ - ΑΝΟΧΕΣ - ΣΥΝΑΡΜΟΓΕΣ ΚΟΛΛΑΤΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Καθηγητής Εφαρμογών ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2012

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ. Γενικά. Σελ. 4 Διάγραμμα μεθόδων σχεδίασης. >> 5 2. ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. Γενικά. >> 6 Διάκριση προοπτικής προβολής. >> 6 3. ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. Γενικά. >> 7 Είδη παράλληλης προβολής. >> 7 4. ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ. Γενικά. >> 7 Πλεονεκτήματα μειονεκτήματα πλάγιας προβολής. >> 7,8 Γωνίες που χρησιμοποιούμε. >> 8 Διάκριση πλάγιας προβολής ανάλογα με τα μήκη των προβολών στους τρεις άξονες Χ- Ψ Ζ. >> 8,9 Είδη πλάγιας προβολής. >> 9 Πλάγια προβολή Cavalier. >> 9,10 Πορεία σχεδίασης κύβου σε πλάγια προβολή Cavalier. >> 11 Σχεδίαση αντικειμένων σε πλ. προβολή Cavalier. >> 12 Πλάγια προβολή Cabinet. >> 13 Σχεδίασης κύβου σε πλάγια προβολή Cabinet. >> 13 Παραδείγματα σχεδίασης αντικειμένων σε προβολή Cavalier & Cabinet - Σύγκριση >> 14,15 Τι πρέπει να προσέχουμε σχεδιάζοντας με τις μεθόδους Cavalier & Cabinet. >> 16 Σχεδίαση κύκλου σε πλάγια προβολή. >> ΟΡΘΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. Γενικά. >> 18 Διάκριση ορθής προβολής. >> 18 Μέθοδος σχεδίασης ορθών προβολών πολλαπλών όψεων ή απλώς ορθή προβολή. >> 18,19 Αξονομετρική προβολή. >> 19,20 Είδη αξονομετρικής προβολής. >> 21 Διάγραμμα συνηθέστερων ειδών αξον. Προβολής >> 21 Χαρακτηρισμός αξονομετρικής προβολής ανάλογα με τα μήκη των προβολών στους τρεις άξονες Χ-Ψ-Ζ >> 21,22 Διάγραμμα αξονομετρικών προβολών ανάλογα με τα μήκη των προβολών στους τρεις άξονες Χ-Ψ-Ζ. >> 23 Ποιες αξονομετρικές χαρακτηρίζονται μονομετρικές. >> 23,24 Ποιες αξονομετρικές χαρακτηρίζονται διμετρικές. >> 25 2

3 Ποιες αξονομετρικές χαρακτηρίζονται τριμετρικές. Σελ. 26 Ισομετρική προβολή. >> 27,28 Τι πρέπει να έχουμε υπόψη μας στην ισομετρική προβολή. >> 29 Τρόποι σχεδίασης αντικειμένων σε ισομετρική προβολή. >> 29,30 Παραδείγματα ισομετρικής προβολής. >> 30,31,32 Σχεδίαση κύκλου σε ισομετρική προβολή. >> 33 Αξονομετρική προβολή Cavalier (60 0 /30 0 ή 30 0 /60 0 ). >> 34 Αξονομετρική προβολή (7 0 /42 0 ή 42 0 /7 0 ). >> 34,35 Στρατιωτική προβολή. (Διμετρική) >> 35 Προβολή (10 0 /20 0 ή 20 0 /10 0 ). (Τριμετρική). >> ΑΝΟΧΕΣ - ΣΥΝΑΡΜΟΓΕΣ. Γενικά - Τι λέγεται ανοχή. >> 37,38 Διάφοροι συμβολισμοί και ο ορισμός τους. >> 39 Ανοχές μήκους. >> 39 Αριθμητικό παράδειγμα υπολογισμού ανοχής. >> 40 Πως γράφουμε την ανοχή στο σχέδιο. >> 40 Σειρές ανοχών. >> 41 Παράδειγμα υπολογισμού ανοχής και τοποθέτηση στο σχέδιο. >> 42 Πεδίο ανοχών. >> 43 Ανοχές γωνιών. >> 43 Συναρμογές. >> 44 Είδη συναρμογών. >> 44 Συναρμογή διακένου. >> 44,45 Πρεσσαριστή συναρμογή.\ >> 45 Συστήματα συναρμογών. >> 46 3

4 1. ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ. Γενικά: Σχέδιο είναι η παράσταση ενός αντικειμένου πάνω σε μια επίπεδη επιφάνεια έτσι ώστε, από αυτήν την παράσταση να φανερώνεται η μορφή του αντικειμένου με όλες τις λεπτομέρειες, καθώς και με το πραγματικό της μέγεθος η κάθε λεπτομέρεια. Επειδή κάθε αντικείμενο έχει στο χώρο τρεις διαστάσεις αναπτύχθηκαν διαφορετικές μέθοδοι σχεδίασης των αντικειμένων. Υπάρχουν αρχικά δύο μέθοδοι προβολής αντικειμένων στο χαρτί. Η παράλληλη προβολή όπου θεωρούμε ότι το προς σχεδίαση αντικείμενο το βλέπουμε από πολύ μακριά (άπειρο) και οι ακτίνες προβολής θεωρούνται ότι είναι παράλληλες μεταξύ τους, και η προοπτική προβολή όπου βλέπουμε το αντικείμενο από κοντά και από συγκεκριμένη θέση οπότε οι ακτίνες προβολής δεν είναι παράλληλες, αλλά συγκλίνουν σε ένα συγκεκριμένο σημείο, στο Σημείο Φυγής. Στην παράλληλη προβολή διακρίνουμε τις μεθόδους πλάγιας προβολής αντικειμένων στην οποία οι ακτίνες προβολής είναι πλάγιες προς τα επίπεδα προβολής και στην Ορθή προβολή αντικειμένων, όπου οι ακτίνες προβολής είναι κάθετες προς τα επίπεδα προβολής. Η ορθή προβολή διακρίνεται στην ορθή ή ορθογραφική προβολή πολλαπλών όψεων (multi orthographic projection), όπου είναι μέθοδος σχεδίασης αντικειμένων σε δύο διαστάσεις, και στην Αξονομετρική προβολή, η οποία είναι μέθοδος σχεδίασης αντικειμένων σε τρεις διαστάσεις. Τα σχέδια με την μέθοδο ορθής ή ορθογραφικής προβολής είναι κατ εξοχήν κατασκευαστικά σχέδια, μπορεί σε ορισμένες περιπτώσεις και τα αξονομετρικά σχέδια να είναι κατασκευαστικά, σε καμιά περίπτωση όμως δεν είναι κατασκευαστικά σχέδια τα σχέδια προοπτικής προβολής Αντικείμενο εκπαίδευσης για αυτό το εξάμηνο είναι: - Η πλάγια προβολή. - Η αξονομετρική προβολή. - Προπτική προβολή. Και οι τρεις μέθοδοι είναι μέθοδοι σχεδίασης αντικειμένων σε τρεις διαστάσεις. 4

5 Διάγραμμα μεθόδων σχεδίασης αντικειμένων: ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ (ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ) ΟΡΘΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ (ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ) ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ CAVALIER 1 Σ.Φ. 2 Σ.Φ. 3 Σ.Φ. ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΟΛΛΩΝ ΟΨΕΩΝ (ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ) ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ CABINET ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ( ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΕ ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ) ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΠΡΟΒΟΛΗ CAVALIER ΠΡΟΒΟΛΗ (με γωνίες 7/42 ή 42/7) ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΠΡΟΒΟΛΗ (με γωνίες 10/20 ή 20/10) 5

6 2. ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ: Γενικά: Η προοπτική προβολή είναι σχεδίαση σε τρεις διαστάσεις. Με την προοπτική σχεδίαση, πλησιάζουμε πιο πολύ σ αυτό που πραγματικά βλέπει το μάτι του παρατηρητή. Βλέπει δηλαδή το αντικείμενο σαν σε φωτογραφία οπότε γίνεται κατανοητό ακόμη και από κάποιον που δεν γνωρίζει σχέδιο. Σύμφωνα με την μέθοδο αυτή, ο παρατηρητής βρίσκεται κοντά στο αντικείμενο, και σε συγκεκριμένη θέση και απόσταση από αυτό. Διάκριση προοπτικής προβολής: Την προοπτική προβολή την διακρίνουμε: Σε σχεδίαση με ένα σημείο Φυγής >> >> με δύο σημεία Φυγής >> >> με τρία σημεία Φυγής ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΜΕ 1 Σ.Φ ΜΕ 2 Σ. Φ ΜΕ 3 Σ.Φ. Με την μέθοδο αυτή θα ασχοληθούμε αργότερα. 6

7 3. ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. Γενικά: Σχεδιάζοντας με αυτό το είδος προβολής θεωρούμε ότι το αντικείμενο το βλέπουμε από πολύ μακριά (άπειρο) και οι ακτίνες προβολής στο επίπεδο ή στα επίπεδα είναι παράλληλες μεταξύ τους, γι αυτό άλλωστε χαρακτηρίζεται παράλληλη προβολή.. Είδη παράλληλης προβολής: Σε αυτό το είδος προβολής ανήκει: - Η πλάγια προβολή και - Η ορθή προβολή. ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ ΟΡΘΗ ΠΡΟΒΟΛΗ 3. ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ. Γενικά: Στην πλάγια προβολή θεωρούμε ότι ο παρατηρητής βλέπει το αντικείμενο από πολύ μακριά (άπειρο), Οπότε οι ακτίνες προβολής είναι παράλληλες μεταξύ τους, (γι αυτό ανήκει στην παράλληλη προβολή), αλλά πλάγιες προς τα επίπεδα προβολής, (γι αυτό χαρακτηρίζεται πλάγια.). Στην σχεδίαση ενός αντικειμένου με την μέθοδο της πλάγιας προβολής, μια από τις όψεις του αντικειμένου που θεωρείται βασική και περιγράφονται οι περισσότερες λεπτομέρειες, σχεδιάζεται παράλληλα προς το επίπεδο προβολής, όπως θα σχεδιαζόταν με το σύστημα των ορθών προβολών. Ιδιαίτερα αν κάποια από τις όψεις του αντικειμένου έχει καμπύλες ακμές, πρέπει να σχεδιασθεί σαν βασική όψη, γιατί θα σχεδιασθεί πιο εύκολα και όπως είναι στην πραγματικότητα, ενώ αν σχεδιασθεί σε έναν από τους πλάγιους άξονες τα κυκλικά τμήματα του αντικειμένου θα σχεδιασθούν ελλείψεις. Πλεονεκτήματα μειονεκτήματα πλάγιας προβολής: - Επειδή στη μέθοδο αυτή οι ακτίνες προβολής είναι πλάγιες προς το επίπεδο προβολής, ο παρατηρητής παρόλο που βλέπει τους κύκλους σαν ελλείψεις, την σχεδίαση δεν σχεδιάζει έλλειψη, αλλά κανονικό κύκλο (όταν βρίσκεται στην μπροστινή βασική όψη). Αυτό είναι και το μεγάλο πλεονέκτημα της μεθόδου. 7

8 - Άλλο πλεονέκτημα της μεθόδου είναι ότι η σχεδίαση των αντικειμένων είναι πάρα πολύ εύκολη. Μειονέκτημα : Μειονέκτημα της μεθόδου είναι, ότι δεν υπάρχει η δυνατότητα σχεδίασης αντικειμένων με τα συστήματα CAD. Γωνίες που χρησιμοποιούμε: Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ως γωνίες κλίσης του τρίτου άξονα και κατ επέκταση των πλάγιων ακτινών προβολής όσες θέλουμε. Δεν χρησιμοποιούμε γωνία 90 0 και 180 0, γιατί θα συμπίπτει ο τρίτος άξονας, οπότε η σχεδίαση του αντικειμένου δεν θα είναι σε τρεις διαστάσεις, αλλά σε δύο. Έχει επικρατήσει να χρησιμοποιούνται οι γωνίες 30 0, 45 0, και 60 0, επειδή είναι και πιο εύκολο να σχεδιασθούν οι γωνίες λόγω των δυο διαφορετικών ορθογωνίων τριγώνων που χρησιμοποιούμε στη σχεδίαση και Σχ.4.1. Επικρατέστερα είδη πλάγιας προβολής είναι: με γωνία 30 ο και 45 ο. Η χρήση της γωνίας 60 ο παραμορφώνει το αντικείμενο, γι αυτό δεν την χρησιμοποιούμε. Διάκριση πλάγιας προβολής ανάλογα με τα μήκη των προβολών στους τρεις άξονες Χ-Ψ-Ζ: Η πλάγια προβολή ανάλογα με τα μήκη των προβολών στους τρεις άξονες Χ-Ψ-Ζ χαρακτηρίζεται: - Μονομετρική. - Διμετρική. Mονομετρική: Χαρακτηρίζεται η πλάγια προβολή, όταν τα μήκη των προβολών στους τρεις άξονες Χ Ψ Ζ είναι όλα ίσα. (Υπάρχει μια ενιαία κλίμακα για όλους τους άξονες) (σχ.3.2). 8

9 Χ-Ψ-Ζ Σχ Διμετρική: Χαρακτηρίζεται η πλάγια προβολή, όταν δύο από τα μήκη των προβολών των τριών μονάδων είναι ίσα και το υπό γωνία μήκος είναι διαφορετικό. (σχ. 4.3.). Χ - Ψ - Ζ 1 1 0,5 Σχ Είδη πλάγιας Προβολής: Η πλάγια προβολή διακρίνεται στα παρακάτω είδη: - Πλάγια προβολή Cavalier και - Πλάγια προβολή Cabinet Πλάγια προβολή Cavalier: Σε αυτό το είδος πλάγιας προβολής η γωνία κλίσης μπορεί να είναι 45 0 ή και 30 ο. Επικρατέστερη η γωνία 45 ο. Η γωνία 60 0 δεν χρησιμοποιείται πολύ, γιατί το σχεδιαζόμενο αντικείμενο παραμορφώνεται πολύ. Η πλάγια προβολή Cavalier χαρακτηρίζεται: Μονομετρική, γιατί τα μήκη των προβολών των τριών μονάδων που αντιστοιχούν στους τρεις άξονες Χ Ψ Ζ είναι ίσα δηλαδή Στο σχέδιο που ακολουθεί διακρίνεται η σχεδίαση ενός αντικειμένου σε πλάγια προβολή cavalier (σχ. 4.4.) και στις τρεις βασικές όψεις (πρόοψη, κάτοψη, πλ. αριστερή όψη) (σχ. 4.5.), με το σύστημα των ορθών προβολών. 9

10 Οι διαστάσεις Χ, Ψ, και Ζ στην πρόοψη και κάτοψη είναι οι πραγματικές και σχεδιάζονται το ίδιο και στην μέθοδο Cavalier δηλ. οι διαστάσεις έχουν το πραγματικό μέγεθος που έχει το αντικείμενο. Ωστόσο το αντικείμενο σχεδιάζεται ολίγον παραμορφωμένο. Σχ Σχ Πλάγια προβολή Cavalier Αντικειμένου Πρόοψη, κάτοψη, πλ. αριστερή όψη με το σύστημα των ορθών προβολών Οι δυνατές θέσεις που μπορούμε να σχεδιάσουμε το αντικείμενο. Σχ Σχ

11 Πορεία σχεδίασης κύβου σε πλάγια προβολή (Cavalier): Σχ Σχ Σχ Σχ Σχεδιάζω την πρόοψη όπως είναι μεταξύ των αξόνων Χ-Ψ (σχ. 4.7.) Από τις τρεις γωνίες χαράζω ημιευθείες με κλίση που έχει ο άξονας Ζ δηλαδή 45 0 και ορίζω πάνω στις ημιευθείες τις αντίστοιχες ακμές του κύβου,έτσι ώστε, οι ακμές στο σχέδιο να έχουν το πραγματικό μέγεθος (σχ. 4.8.). Συμπληρώνω το σχέδιο (σχ ) Χαράζω τις τελικές γραμμές και ολοκληρώνω το σχέδιο (σχ.4.10.). 11

12 Σχεδίαση αντικειμένου σε πλάγια προβολή Cavalier: Σχ Έχουμε στο επάνω μέρος του σχήματος τις τρεις όψεις (πρόοψη, κάτοψη, πλ. αριστερή όψη) με το σύστημα των ορθών προβολών. (Σχ ). Έχοντας τις διαστάσεις του αντικειμένου στις όψεις του σχεδιάζω τον όγκο του αντικειμένου. Στην συνέχεια αρχίζω να σχεδιάζω τις λεπτομέρειες. Χαράζω πιο έντονες τις γραμμές του αντικειμένου και ολοκληρώνω το σχέδιο. 12

13 Πλάγια προβολή Cabinet: Είναι είδος σχεδίασης πλάγιας προβολής ίδιο με αυτό της προβολής Cavalier.Σε αυτό το είδος πλάγιας προβολής οι γωνίες κλίσης στον πλάγιο άξονα μπορεί να είναι διάφορες, επικρατέστερες πάλι είναι οι γωνίες 60 0, 45 0, και 30 ο. Αυτή η γωνία που χρησιμοποιείται περισσότερο είναι πάλι η γωνία 45 ο. Διαφέρει από την προβολή Cavalier στο ότι χαρακτηρίζεται ως Διμετρική. Χαρακτηρίζεται έτσι γιατί τα μήκη των προβολών των δύο μονάδων (αξόνων Χ & Ψ) είναι ίδια, ενώ το μήκος στην τρίτη μονάδα (άξονα Ζ) που βρίσκεται υπό κλίση κάποιας γωνίας είναι το ½. Πορεία σχεδίασης κύβου σε πλάγια προβολή Cabinet: (σχ 4.12.) Σχεδιάζω την πρόοψη όπως είναι (σχ. 1). Χαράζω ημιευθείες με κλίση 45 0 και πάνω σε αυτές σημειώνω τις αντίστοιχες ακμές του κύβου, έτσι, ώστε οι ακμές στο σχέδιο να έχουν το μισό του πραγματικού μεγέθους.(σχ. 2). Χαράζω τις ακμές (σχ.3). Συμπληρώνω το σχέδιο και χαράζω τις τελικές γραμμές.(σχ. 4) Σχ

14 Παραδείγματα σχεδιαζόμενων αντικειμένων σε προβολή Cavalier & Cabinet - Σύγκριση: 1. Πλάγια προβολή Cavalier Πλάγια προβολή Cabinet Σχ Σχ Παρατηρούμε ότι η προβολή Cavalier παρουσιάζει το αντικείμενο παραμορφωμένο. 2. Πλάγια προβολή Cavalier Πλάγια προβολή Cabinet Σχ Σχ

15 Πλάγια προβολή Cavalier Πλάγια προβολή Cabinet Σχ Σχ Πλάγια προβολή Cavalier Πλάγια προβολή Cabinet Σχ Σχ Σε όλες τις περιπτώσεις βλέπουμε ότι τα αντικείμενα που είναι σχεδιασμένα με την μέθοδο Cavalier έχουν μια σχετική παραμόρφωση. Ιδιαίτερα αν στον πλάγιο άξονα τοποθετήσουμε την μεγαλύτερη διάσταση, τότε η παραμόρφωση θα είναι πολύ μεγάλη. Επίσης αν χρησιμοποιήσω και γωνία 60 0 το αποτέλεσμα θα είναι ακόμη χειρότερο. Γι αυτό και χρησιμοποιούμε τις γωνίες 30 0 και Για έπιπλα που έχουν μεγάλο βάθος προτιμούμε την μέθοδο Cabinet για να έχουμε καλύτερο αποτέλεσμα. 15

16 Τι πρέπει να προσέχουμε σχεδιάζοντας με τις μεθόδους (Cavalier & Cabinet): - Οι ακμές που είναι καμπύλες, πρέπει να βρίσκονται στην βασική όψη, ώστε αυτές να σχεδιάζονται πιο εύκολα και στην πραγματική τους μορφή. - Οι όψεις με τις μεγαλύτερες διαστάσεις να σχεδιάζονται ως βασικές όψεις, γιατί αποφεύγουμε τις παραμορφώσεις του αντικειμένου. - Όταν θέλουμε να σχεδιάσουμε ένα έπιπλο, που στην μπροστινή του πλευρά έχει πολλές λεπτομέρειες, προτιμούμε την πλάγια προβολή, γιατί το έπιπλο θα σχεδιασθεί στο πραγματικό του σχήμα. - Επίσης όταν το έπιπλο έχει μικρό βάθος προτιμούμε να το σχεδιάσουμε μ αυτή την μέθοδο, γιατί δεν θα έχουμε παραμόρφωση του αντικειμένου. Σχεδίαση κύκλου σε πλάγια προβολή: ( προσεγγιστική μέθοδος) Στην περίπτωση που δεν μπορούμε να σχεδιάσουμε τα κυκλικά τμήματα του αντικειμένου στην βασική όψη, ώστε να φανούν με την πραγματική τους μορφή, τότε αναγκαστικά σχεδιάζονται στα δύο άλλα επίπεδα, στο πάνω και στο πλάγιο. Τα κυκλικά τμήματα θα σχεδιασθούν ελλείψεις ακολουθώντας την παρακάτω πορεία. Οι ελλείψεις σχεδιάζονται πάντοτε με προσεγγιστικές μεθόδους και με την βοήθεια καμπυλόγραμμων. Εδώ η μέθοδος είναι προσεγγιστική. Πορεία σχεδίασης: - Σχεδιάζουμε το αντικείμενο σε πλάγια προβολή. - Στη θέση που προβλέπεται το κέντρο του κύκλου, χαράζουμε τους άξονές του σε πλάγια προβολή. - Με κέντρο την τομή των αξόνων σχεδιάζουμε τον κύκλο σε πραγματική διάσταση, ο οποίος τέμνει τους άξονες στα σημεία Α, Β, Γ και Δ. - Από τα σημεία Α και Β του ενός άξονα χαράζω κάθετες προς τον άλλο άξονα ΓΔ. - Από τα σημεία Γ και Δ του άλλου άξονα, χαράζω κάθετες προς τον άξονα ΑΒ. - Η κάθετος από το Α προς την ΓΔ και η κάθετος από το Γ προς την ΑΒ τέμνονται στο σημείο Ε. - Η κάθετος από το Β προς την ΓΔ και η κάθετος από το Δ προς την ΑΒ, τέμνονται στο σημείο Ζ. - Η κάθετοι ΑΕ και ΔΖ, τέμνονται στο σημείο Θ. - Τα σημεία Ε, Ζ, Η, Θ είναι τα κέντρα που θα χαραχθούν τα τέσσερα τόξα της έλλειψης. Χάραξη: - Με κέντρο το Ε και ακτίνα ΕΑ ή ΕΓ (R 1 ), χαράζω το τόξο ΑΓ. - Με κέντρο το Ζ και ακτίνα ΖΒ ή ΖΔ (R 1 ), χαράζω το τόξο ΒΔ. - Με κέντρο το Η και ακτίνα ΗΔ ή ΗΑ (R 2 ), χαράζω το τόξο ΑΔ. - Με κέντρο το Θ και ακτίνα ΘΒ ή ΘΓ (R 2 ), χαράζω το τόξο ΓΒ. 16

17 Τα κέντρα Ε, Ζ, Η, Θ, μας δίνουν την έλλειψη. ( αν ενώσω το Θ με το Η η ευθεία που ορίζεται αν την προεκτείνω μας δίνει τον μεγάλο άξονα της έλλειψης) Σχ Παράδειγμα χάραξηs έλλειψης σε πλάγια προβολή με κλίση γωνίας Σημείωση: Η ίδια μέθοδος εφαρμόζεται για οποιαδήποτε γωνία κλίσης. Σχ Παράδειγμα χάραξης έλλειψης πλάγιας προβολής με γωνία κλίσης

18 5. ΟΡΘΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. Γενικά: Η ορθή προβολή ανήκει στην Παράλληλη προβολή, γιατί θεωρούμε ότι βλέπουμε το αντικείμενο από πολύ μακριά (άπειρο) και οι ακτίνες προβολής είναι παράλληλες μεταξύ τους. Χαρακτηρίζεται ορθή, γιατί οι ακτίνες προβολής είναι κάθετες στα επίπεδα προβολής. Διάκριση ορθής προβολής: Την ορθή προβολή την διακρίνουμε : - Στην μέθοδο ορθών προβολών πολλαπλών όψεων (Multi orthographic projection). Σχεδίαση σε δύο διαστάσεις. - Αξονομετρική προβολή. (Σχεδίαση σε τρεις διαστάσεις.) ΟΡΘΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΕ ΠΟΛΛΕΣ ΟΨΕΙΣ ( ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ) ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ (ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΕ ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ) Διάγραμμα ειδών ορθής προβολής. Μέθοδος ορθών προβολών πολλαπλών όψεων ή απλώς Ορθή προβολή ή ορθογραφική προβολή : Η μέθοδος αυτή είναι μέθοδος σχεδίασης αντικειμένων σε δυο διαστάσεις. Στη μέθοδο αυτή υπάρχει μια σταθερή κλίμακα σχεδίασης ανάμεσα στα σχεδιαστικά και στα πραγματικά μήκη. Αυτό σημαίνει ότι για όλες τις ακμές του σχεδιαζόμενου αντικειμένου, που είναι παράλληλες με το επίπεδο προβολής, η κλίμακα είναι η ίδια. Αν και είναι δύσκολη μέθοδος σχεδίασης αντικειμένων, ωστόσο τα σχέδια αυτής της μεθόδου, μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως κατασκευαστικά σχέδια. Επειδή το αντικείμενο το βλέπουμε από πολλές διαφορετικές θέσεις, έχουμε την δυνατότητα να το σχεδιάσουμε σε πολλές όψεις, άρα να το περιγράψουμε καλύτερα. Δηλαδή με την μέθοδο αυτή έχουμε πλεονεκτήματα, γιατί : Έχουμε την δυνατότητα να σχεδιάσουμε το αντικείμενο σε πολλές όψεις, άρα να το περιγράψουμε με κάθε λεπτομέρεια. 18

19 Μας επιτρέπει να παρουσιάσουμε τις όψεις του αντικειμένου με το πραγματικό τους σχήμα, όταν οι έδρες του αντικειμένου είναι παράλληλες προς το επίπεδο προβολής. Έχει όμως και ένα σοβαρό μειονέκτημα, ότι Κάποιες έδρες και ακμές του αντικειμένου, είναι κάθετες προς το επίπεδο προβολής και παρουσιάζονται στο σχέδιο αντίστοιχα σαν ευθείες και σημεία. Για να εξαλείψουμε αυτό το μειονέκτημα που παρουσιάζει η σχεδίαση με την μέθοδο των ορθών προβολών, σχεδιάζουμε το αντικείμενο σε τρισδιάστατη μορφή. ΟΡΘΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΟΨΕΩΝ ΠΡΟΟΨΗ ΚΑΤΟΨΗ ΠΛ. ΑΡΙΣΤΕΡΗ ΠΛ. ΔΕΞΙΑ ΑΝΟΨΗ ΠΙΣΩ ΟΨΗ Διάγραμμα ειδών όψεων ορθής προβολής. Η μέθοδος αυτή ήταν αντικείμενο μελέτης του προηγούμενου εξαμήνου και συνεπώς δεν θα την επαναλάβουμε. Αξονομετρική προβολή: Είναι το δεύτερο είδος της ορθής προβολής. Η αξονομετρική προβολή ανήκει στην παράλληλη προβολή, γιατί θεωρούμε ότι το αντικείμενο το βλέπουμε από πολύ μακριά (άπειρο), οπότε οι ακτίνες προβολής είναι παράλληλες μεταξύ τους. Ανήκει στην ορθή προβολή, γιατί οι ακτίνες προβολής είναι κάθετες προς τα επίπεδα προβολής. Η αξονομετρική σχεδίαση μας δίνει τρισδιάστατη εικόνα του αντικειμένου, και αυτή η εικόνα είναι κατανοητή σε όλους, ακόμη και σε ανθρώπους που είναι άσχετοι με το σχέδιο. Δίνει στον σχεδιαστή την δυνατότητα να παρουσιάσει τις ιδέες του γρήγορα και με διάφορες παραλλαγές, προσεγγίζοντας την πραγματικότητα, αφού σχεδιάζει το αντικείμενο σαν να είναι σε φωτογραφία. Αυτό όμως βοηθάει και τον κατασκευαστή, ώστε να έχει πληροφορίες όσον αφορά την αισθητική του αντικειμένου, διάφορες κατασκευαστικές λεπτομέρειες, αλλά και πληροφορίες που αφορούν την λειτουργία του αντικειμένου. Η μέθοδος στηρίζεται σε ένα σύστημα τριών αξόνων Χ Ψ Ζ, όπου εκεί πάνω σχεδιάζονται οι ακμές του αντικειμένου και κάθε άξονας αντιστοιχεί σε μία από τις τρεις διαστάσεις (μήκος, πλάτος, ύψος). 19

20 Τοποθετούμε το επίπεδο προβολής κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να μην είναι παράλληλο με καμία έδρα του σχεδιαζόμενου αντικειμένου. Με αυτόν τον τρόπο διορθώνουμε το μειονέκτημα της ορθής προβολής Άρα για να εξαλείψουμε το μειονέκτημα που παρουσιάζει η σχεδίαση με την μέθοδο των ορθών προβολών πολλαπλών όψεων, σχεδιάζουμε το αντικείμενο σε μια όψη ακόμη, διαφορετική από τις σχεδιαζόμενες με το σύστημα των ορθών προβολών όψεις την αξονομετρική προβολή. Ότι σχεδιάζουμε κατ αυτό τον τρόπο δεν θα το παρουσιάζουμε με το πραγματικό σχήμα, αλλά δεν θα έχουμε το φαινόμενο να βλέπουμε έδρες σαν γραμμές ή ακμές σαν σημεία. Στην αξονομετρική προβολή βλέπουμε συγχρόνως τρεις όψεις του αντικειμένου. Στην αξονομετρική προβολή παρόλο ότι οι ακτίνες προβολής είναι κάθετες στο επίπεδο προβολής, οι ακμές, οι επιφάνειες, τα μήκη των πλευρών, και όλα γενικά τα χαρακτηριστικά του αντικειμένου διαφοροποιούνται ανάλογα με την κλίση που παίρνει το αντικείμενο σε σχέση με το επίπεδο προβολής. Επειδή οι γωνίες κλίσης του αντικειμένου σε σχέση με το επίπεδο προβολής μπορεί να είναι πολλές, θα υπάρχουν αντίστοιχα και πολλές θέσεις (περιπτώσεις) αξονομετρικής σχεδίασης του αντικειμένου. Για κατασκευαστικά σχέδια χρησιμοποιείται κατά αποκλειστικότητα η ορθή προβολή πολλαπλών όψεων. Για απλά αντικείμενα πολλές φορές μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σαν κατασκευαστικό σχέδιο και το αξονομετρικό, αρκεί να σημειωθούν οι διαστάσεις του. 20

21 Είδη αξονομετρικής προβολής: Συνοπτικά οι συνηθέστερες περιπτώσεις αξονομετρικής προβολής είναι: Η ισομετρική προβολή Η προβολή 7 0 /42 0 ή 42 0 /7 0 Η προβολή Cavalier 30 0 /60 0 ή 60 0 /30 0 Η στρατιωτική προβολή 60 0 /30 0 ή 30 0 /60 0 Η προβολή 10 0 /20 0 _ Προβολή 60 0 /30 0 ή 30 0 /60 0 Διάγραμμα συνηθέστερων ειδών αξονομετρικής προβολής: ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ 30 0 /30 0 ΠΡΟΒΟΛΗ 7 0 /42 0 ή 42 0 /7 0 ΠΡΟΒΟΛΗ CAVALIER 60 0 /30 0 ή 30 0 /60 0 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ 60 0 /30 0 ή 30 0 /60 0 ΠΡΟΒΟΛΗ 10 0 /20 0 ή 20 0 /10 0 ΠΡΟΒΟΛΗ 60 0 /30 0 ή 30 0 /60 0 Χαρακτηρισμός αξονομετρικής προβολής ανάλογα με τα μήκη των προβολών στους τρεις άξονες Χ-Ψ-Ζ: Η αξονομετρική προβολή χαρακτηρίζετα: - Μονομετρική. - Διμετρική. - Τριμετρική. 21

22 Mονομετρική: Λέγεται η αξονομετρική προβολή, όταν τα μήκη των προβολών στους τρεις άξονες Χ Ψ Ζ είναι όλα ίσα. (υπάρχει μια ενιαία κλίμακα για όλους τους άξονες) (σχ.5.1). Χ-Ψ-Ζ Σχ Διμετρική: Λέγεται η αξονομετρική προβολή, όταν δύο από τα μήκη των προβολών των τριών μονάδων είναι ίσα και το υπό την μεγαλύτερη γωνία μήκος είναι διαφορετικό. (σχ. 5.2.). Χ - Ζ - Ψ 1 1 0,5 Σχ Τριμετρική: Λέγεται η αξονομετρική προβολή, όταν τα μήκη των προβολών των τριών μονάδων, είναι και τα τρία διαφορετικά (σχ. 5.3.). Σχ Χ Ψ - Ζ διαφορετικά μήκη σε κάθε άξονα 22

23 Διάγραμμα αξονομετρικών προβολών ανάλογα με τα μήκη των προβολών στους τρεις άξονες Χ-Ψ-Ζ: ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΜΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΔΙΜΕΤΡΙΚΗ ΤΡΙΜΕΤΡΙΚΗ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ 30 0 /30 0 ΠΡΟΒΟΛΗ CAVALIER 60 0 /30 0 Ή 30 0 /60 0 ΠΡΟΒΟΛΗ 7 0 /42 0 Ή ΠΡΟΒΟΛΗ 42 0 / /20 0 Ή 20 0 /10 0 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ 60 0 /30 0 Ή 30 0 /60 0 ΠΡΟΒΟΛΗ 60 0 /30 0 Ή 30 0 /60 0 Μονομετρικές χαρακτηρίζονται: 1. Η Ισομετρική προβολή ( γωνίες 30 0 /30 0 ). ( μέτρα στους άξονες Χ-Ψ-Ζ 1-1-1). (Σχ ) Σχ

24 2. Η προβολή CAVALIER ( γωνίες 30 0 /60 0 ή 60 0 /30 0 ). ( μέτρα στους άξονες Χ-Ψ-Ζ ). (Σχ ). Σχ Η μέθοδος Cavalier η οποία μπορεί να χαρακτηριστεί σαν Στρατιωτική Προβολή με (γωνίες 30 0 /60 0 ή 60 0 /30 0 ) Όταν οι άξονες Χ & Ψ σχηματίζουν ορθή γωνία από την κάτω πλευρά του οριζόντιου άξονα. ( μέτρα στους άξονες Χ-Ψ-Ζ ). (Σχ ) Σχ

25 Διμετρικές χαρακτηρίζονται: 1. Η προβολή με γωνίες 7 0 /42 0 ή 42 0 /7 0 (μέτρα στους άξονες Χ-Ψ-Ζ 1-0,5-1). (Σχ ) Σχ Η Στρατιωτική προβολή. Σχ Στη στρατιωτική προβολή οι άξονες Χ, Ψ, είναι κάθετοι μεταξύ τους και ο Ζ κατακόρυφος. Ισχύει λ = μ =1. Δηλ. οι διαστάσεις πλάτους και βάθους του αντικειμένου είναι πραγματικές, δηλ. αυτές που έχει το αντικείμενο, ενώ το ύψος εξαρτάται από τον συντελεστή παραμόρφωσης. 25

26 Τριμετρικές χαρακτηρίζονται: 1. Τριμετρική με γωνίες 10 0 / 20 0 ή 20 0 /10 0 (μέτρα στους άξονες Χ-Ψ-Ζ 0,9 1 0,5). 2. Τριμετρική με γωνίες 60 0 /30 0 ή 30 0 /60 0 ( μέτρα στους άξονες Χ Ψ Ζ 0,9 1 0,5) Συνοπτικά στην αξονομετρική προβολή χαρακτηρίζονται: Μονομετρικές: Ισομετρική Προβολή (γωνίες 30 0 /30 0 ). Προβολή Cavalier (γωνίες 30 0 /60 0 ή 60 0 /30 0 ). Στρατιωτική Προβολή (με γωνίες 60 0 /30 0 ή 30 0 /60 0 ) Όταν οι άξονες Χ & Ψ είναι κάθετοι μεταξύ τους και σχηματίζουν γωνία 90 0 κάτω από τον οριζόντιο άξονα. Διμετρικές: Διμετρική προβολή ( με γωνίες 7 0 /42 0 ή 42 0 /7 0 ). Στρατιωτική προβολή (με γωνίες 60 0 /30 0 ή 30 0 /60 0 ) Τριμετρικές: Τριμετρική προβολή (με γωνίες 10 0 /20 0 ή 20 0 /10 0 ) Τριμετρική (με γωνίες 60 0 /30 0 ή 30 0 /

27 Ισομετρική Προβολή (μονομετρική): Η ισομετρική προβολή χαρακτηρίζεται μονομετρική προβολή, γιατί τα μήκη των προβολών στους τρεις άξονες Χ-Ψ-Ζ είναι Την ισομετρική προβολή την χρησιμοποιούμε όταν θέλουμε να δείξουμε λεπτομέρειες του αντικειμένου που βρίσκονται και στις τρεις όψεις. που βλέπουμε συγχρόνως. Η σχεδίαση ενός αντικειμένου σε ισομετρική προβολή στηρίζεται πάνω σε τρεις άξονες (Χ Ψ Ζ ),. δηλαδή έναν για κάθε μία από τις τρεις διαστάσεις (μήκος πλάτος ύψος). Οι άξονες αυτοί λέγονται ισομετρικοί και μπορούμε να τους τοποθετήσουμε σε διάφορες θέσεις. (σχ. 5.9) & (σχ ), (5.11.). Iσομετρική προβολή Σχ.5.9 Iσομετρική προβολή Χ-Ψ-Ζ Σχ.5.10 Σχ

28 Το πώς θα επιλέξουμε την θέση που θα έχουν οι τρεις άξονες εξαρτάται από το σχήμα και την μορφή του αντικειμένου, και ποια πλευρά θέλουμε να φαίνεται, ώστε να φανερώνεται η μορφή του. Οι γωνίες ανάμεσα στους αξονομετρικούς άξονες είναι πάντα ίσες σε όποια θέση και αν τους τοποθετήσουμε και είναι (Σχ ) Γι αυτό η μέθοδος λέγεται ισομετρική προβολή, γιατί οι άξονες Χ Ψ Ζ, σχηματίζουν μεταξύ τους ίσες γωνίες που είναι Σχ Σχ Ο κατακόρυφος άξονας Ψ είναι πάντα πιο κοντά στον σχεδιαστή, ενώ οι άλλοι δύο Χ και Ζ είναι με κλίση γωνίας α=β=30 0. Σχ Σχ Τα μέτρα των προβολών τα μετράμε πάνω στους ισομετρικούς άξονες και είναι ίσα (Σχ & Σχ ) 28

29 Τι πρέπει να έχουμε υπόψη μας στην ισομετρική προβολή: - Τις κατακόρυφες ακμές του εκάστοτε σχεδιαζόμενου αντικειμένου τις σχεδιάζουμε κατακόρυφα δηλαδή παράλληλα προς τον κατακόρυφο ισομετρικό άξονα. - Τις οριζόντιες ακμές τις σχεδιάζουμε από την δεξιά και αριστερή πλευρά του κατακόρυφου ισομετρικού άξονα, πλάγιες και παράλληλες προς τους δύο πλάγιους (με κλίση 30 0 ) άξονες. - Τα μέτρα των προβολών τα μετράμε πάνω στους ισομετρικούς άξονες και είναι ίσα Τρόποι σχεδίασης αντικειμένου σε ισομετρική προβολή: Α Τρόπος: - Ορίζουμε το σημείο Ο όπου είναι η αρχή των τριών αξόνων και χαράζουμε τους τρεις ισομετρικούς άξονες. - Ορίζουμε τις τρεις διαστάσεις ( μήκος πλάτος ύψος) πάνω στο αντικείμενο που θέλουμε να σχεδιάσουμε, και τις αντιστοιχίζουμε με τους τρεις άξονες. - Ορίζουμε πάνω στους άξονες τις διαστάσεις του αντικειμένου. - Χαράζουμε το περίγραμμα (το όγκο) του αντικειμένου, φέροντας παράλληλες προς τους άξονες. - Συμπληρώνουμε το σχέδιο. - Χαράζουμε και αναδεικνύουμε τις τελικές γραμμές του αντικειμένου. Β Τρόπος : - Ορίζουμε το σημείο Ο που είναι η αρχή των αξόνων και χαράζουμε τους δύο πλάγιους άξονες. - Στη συνέχεια χαράζουμε το ισομετρικό περίγραμμα της κάτοψης του αντικειμένου. - Χαράζουμε τις κατακόρυφες ακμές του αντικειμένου και εκεί πάνω σημειώνουμε το ύψος του αντικειμένου και στη συνέχεια και στη συνέχεια χαράζουμε τον όγκο του αντικειμένου με την μέθοδο των παραλλήλων. - Συμπληρώνουμε το σχέδιο με τις υπόλοιπες λεπτομέρειες. 29

30 Στην ισομετρική σχεδίαση αποφεύγουμε την σχεδίαση των διακεκομμένων γραμμών και τις χρησιμοποιούμε μόνο όταν θέλουμε να δείξουμε κάποιες σημαντικές μη ορατές ακμές. 1. Παραδείγματα σχεδίασης αντικειμένων σε ισομετρική προβολή: 30

31

32 4. Πορεία σχεδίασης τραπεζιού. 32

33 Σχεδίαση κύκλων και τόξων του αντικειμένου σε ισομετρική προβολή: Όπως και στην πλάγια προβολή έτσι και εδώ έχουμε πρόβλημα με την σχεδίαση κύκλων ή καμπύλων ακμών του αντικειμένου, γιατί, όταν σχεδιάζονται σε ισομετρική προβολή, σχεδιάζονται σαν ελλείψεις ή σαν κάποια τμήματα ελλείψεων. - Ορίζουμε το σημείο Ο (σημείο αρχής των αξόνων), και χαράζουμε τους δύο ισομετρικούς άξονες με κλίση Χαράζουμε το ισομετρικό περίγραμμα του κύκλου (ρόμβο), με μήκος πλευράς α που είναι το ΟΑΒΓ, στο παρακάτω σχήμα. - Βρίσκουμε τα μέσα των πλευρών ΟΑ, ΑΒ, ΒΓ, ΓΟ, που είναι τα Δ, Ε, Ζ, Η αντίστοιχα και χαράζουμε τα ΔΖ, ΕΗ. - Στη συνέχεια χαράζουμε τις διαγωνίους ΟΒ & ΑΓ. - Χαράζω από τις κορυφές των αμβλειών γωνιών τα τμήματα ΒΗ, & ΟΕ, τα οποία τέμνουν την διαγώνιο ΑΓ στα σημεία Θ & Ι αντίστοιχα. - Τα τέσσερα κέντρα που θα χαραχθούν τα τέσσερα τόξα είναι τα Ο, Β, Θ, Ι. Χάραξη: - Με κέντρο το Ο και ακτίνα την ΟΕ, χαράζω το τόξο ΕΖ. - Με κέντρο το Β και ακτίνα την ΒΗ, χαράζω το τόξο ΗΔ. - Με κέντρο το Θ και ακτίνα την ΘΗ, χαράζω το τόξο ΗΖ. - Με κέντρο το Ι και ακτίνα την ΙΕ, χαράζω το τόξο ΕΔ. Σχ Σχεδίαση κύκλου σε ισομετρική προβολή 33

34 Πρoβολή Cavalier ( με γωνίες 60 0 /30 0 ή 30 0 /60 0 ) (μονομετρική): Όπως και στην ισομετρική προβολή έτσι και εδώ τα μέτρα των προβολών στους τρεις άξονες θα είναι Χ-Ψ-Ζ γιατί είναι μονομετρική. Το ότι όμως η μία γωνία είναι 60 0, το αντικείμενο θα σχεδιασθεί ολίγον παραμορφωμένο. (σχ και σχ ) Σχ Σχ Μέθοδος με γωνίες 7 0 /42 0 ή 42 0 /7 0 (διμετρική): Η μέθοδος αυτή είναι διμετρική, γιατί τα δύο μέτρα των προβολών στους άξονες Χ-Ζ είναι ίδια δηλ 1-1, ενώ το τρίτο στον άξονα Ψ που είναι με την μεγαλύτερη κλίση 42 0 είναι 0,5. Η μέθοδος δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα χωρίς να παραμορφώνει το αντικείμενο, αλλά είναι δύσκολη στη σχεδίαση, γιατί απαιτεί μοιρογνωμόνιο και δεν μπορούμε να σχηματίσουμε τις γωνίες απ ευθείας με τα τρίγωνα. (σχ ) 34

35 Σχ Στρατιωτική προβολή (διμετρική) : Η στρατιωτική προβολή είναι διμετρική προβολή Οι γωνίες που χρησιμοποιούνται είναι 60 0 /30 0. Στη στρατιωτική προβολή οι άξονες Χ, Ψ, είναι κάθετοι μεταξύ τους και σχηματίζουν γωνία 90 0, ενώ ο Ζ είναι κατακόρυφος. Ισχύει λ = μ =1. Δηλ. οι διαστάσεις πλάτους και βάθους του αντικειμένου είναι πραγματικές, δηλ. αυτές που έχει το αντικείμενο, ενώ το ύψος εξαρτάται από τον συντελεστή παραμόρφωσης. Σχ

36 Προβολή με γωνίες 10 0 / 20 0 ή 20 0 /10 0 (τριμετρική): Η μέθοδος αυτή με γωνίες 10 0 /20 0 ή 20 0 /10 0, χαρακτηρίζεται τριμετρική, γιατί τα μήκη των προβολών στους τρεις άξονες Χ-Ψ-Ζ είναι διαφορετικά σε κάθε άξονα. Σχ Η τριμετρική προβολή σπάνια χρησιμοποιείται, λόγω των δυσκολιών που έχει στην χρησιμοποίηση των τριών διαφορετικών μέτρων που εφαρμόζονται στους τρεις άξονες Χ-Ψ-Ζ, και στις γωνίες που χρησιμοποιούνται. 36

37 6. ΑΝΟΧΕΣ ΣΥΝΑΡΜΟΓΕΣ. Γενικά- τι λέγεται ανοχή: Κάθε μηχανή αποτελείται από πολλά εξαρτήματα που συναρμολογούνται μεταξύ τους. Πιο παλιά τα διάφορα εξαρτήματα προσαρμόζονταν μεταξύ τους χειρονακτικά Αυτό απαιτούσε: 1. Ειδικευμένο προσωπικό. 2. Χρονοβόρα διαδικασία. 3. Απρόβλεπτα σφάλματα. 4. Υψηλό κόστος Η σημερινή εποχή απαιτεί εναλλαξιμότητα τεμαχίων. Εναλλαξιμότητα σημαίνει, ότι αντικείμενα που κατασκευάστηκαν σε ένα εργοστάσιο σε διαφορετικούς χρόνους να μπορούν να συναρμολογηθούν με αντικείμενα που κατασκευάστηκαν από άλλο εργοστάσιο σε διαφορετικούς χρόνους. Θεωρητικά η εναλλαξιμότητα των τεμαχίων, είναι δυνατή αν αυτά κατασκευαστούν έτσι, ώστε οι διαστάσεις τους να τηρηθούν χωρίς σφάλματα. Αυτό όμως είναι αδύνατον. Κανένα αντικείμενο δεν μπορεί να παραχθεί ακριβώς ίσο με το προηγούμενό του. Λόγοι που δεν επιτρέπουν να παραχθούν ίδια τεμάχια : Διάφορα σφάλματα. Φθορές στις εργαλειομηχανές. Φθορές στα εργαλεία κατασκευής. Διαφορές στο υλικό. Θερμοκρασιακές επιδράσεις. Ανθρώπινος παράγων. Πολλές φορές η τήρηση μιας διάστασης δεν είναι αναγκαία ούτε επιθυμητή. Εφόσον προκύπτουν αποκλίσεις (σφάλματα) από την διάσταση που θέλουμε, είναι αναγκαίο να τις περιορίσουμε μέσα σε προκαθορισμένα όρια. Τα όρια αυτά είναι δυο οριακές τιμές ( μία μέγιστη και μια ελάχιστη), μέσα στις οποίες πρέπει να βρίσκεται η πραγματική διάσταση κάθε τεμαχίου που παράγεται. Τα ίδιο συμβαίνει και στα έπιπλα όπου αποτελούνται από διάφορα στοιχεία τα οποία συναρμολογούνται μεταξύ τους. Σε ένα κατασκευαστικό σχέδιο επίπλου τοποθετούνται οι επιθυμητές διαστάσεις. 37

38 Κατά την κατασκευή των στοιχείων του όμως θα υπάρχει κάποια απόκλιση μέγιστη ή ελάχιστη μεταξύ της προβλεπόμενης διάστασης (επιθυμητής) και της διάστασης που επιτεύχθηκε κατά την παραγωγή των στοιχείων. Έτσι προκύπτει μια διαφορά μεταξύ της μέγιστης και ελάχιστης απόκλισης Επιθυμητές διαστάσεις Διαστάσεις κατά την κατασκευή Η διαφορά αυτή της προβλεπόμενης (επιθυμητής) διάστασης από την διάσταση που επιτεύχθηκε κατά την διαδικασία παραγωγής των στοιχείων δεν πρέπει να ξεπερνά κάποια επιτρεπτά όρια, ώστε να μην επηρεάζεται η ακρίβεια και η ποιότητα των στοιχείων. Έτσι έχουμε την μέγιστη επιτρεπτή διάσταση και την ελάχιστη επιτρεπτή διάσταση. Άρα : Ανοχή: Λέγεται η διαφορά ανάμεσα στην μέγιστη και την ελάχιστη επιτρεπόμενη διάσταση κατά την κατασκευή των στοιχείων ενός επίπλου. 38

39 Διάφοροι συμβολισμοί και ο ορισμός τους: Ν = Ονομαστική διάσταση: ( Είναι η διάσταση που αναγράφεται στο σχέδιο). Κ = Ελάχιστη διάσταση: ( Είναι η μικρότερη επιτρεπόμενη οριακή διάσταση). G = Μέγιστη διάσταση: (Είναι η μεγαλύτερη επιτρεπόμενη οριακή διάσταση). Α = Διάσταση απόκλισης: (Είναι η επιτρεπόμενη απόκλιση διάστασης από την ονομαστική διάστασης από την ονομαστική. Την διακρίνουμε σε άνω διάσταση απόκλισης και σε κάτω διάσταση απόκλισης). Au =Κατώτερη διάσταση απόκλισης: (Είναι η ελάχιστη αρνητική ονομαστική διάσταση). Αο = Ανώτερη διάσταση απόκλισης: (Είναι η μέγιστη θετική ονομαστική διάσταση). Τ = Διάσταση ανοχής (Ανοχή) : (Είναι η συνολική επιτρεπόμενη απόκλιση από την ονομαστική διάσταση). Τ = G K ή Τ = Ao - Au Ανοχές μήκους: Τ= G K ή T = Αο - Αu 39

40 Αριθμητικό παράδειγμα υπολογισμού ανοχής: Τ=G-K = 0,2-(-0,2) = 0,4 ή Τ=Ao-Au = 0,2-(-0,2)=0,4 Πως γράφουμε την ανοχή: 40

41 Σειρές ανοχών: ΣΕΙΡΑ ΗΤ 10: Για κατασκευαστικά στοιχεία υψηλής ακρίβεια. ΣΕΙΡΑ ΗΤ 15: Για κατασκευαστικά στοιχεία συνδυαζόμενα. ΣΕΙΡΑ ΗΤ 25 & ΗΤ 40: Όχι υψηλής ακρίβειας. 41

42 Παράδειγμα υπολογισμού και τοποθέτησης ανοχής στο σχέδιο: για Σειρά ΗΤ 15 Στον πίνακα σειράς των ανοχών για μήκος 25χιλ. και σειρά ΗΤ 15 Έχω ανοχή 0,21 άρα η κατώτερη διάσταση είναι 0,1 και η ανώτερη +0,1οπότε στο σχέδιο θα γράψουμε ,1 - Για μήκος στοιχείου 64 χιλ. και για σειρά ΗΤ 15 έχω ανοχή 0,26. Η κατώτερη διάσταση είναι - 0,13 και η ανώτερη +0,13. Στο σχέδιο θα γράψουμε 64 +_0,13. - Για μήκος 256 και την ίδια σειρά έχω: Ανοχή = 0,36 Κατώτερη διάσταση -0,18 Ανώτερη διάσταση +0,18 Στο σχέδιο θα γράψουμε ,18 - Για μήκος 306 χιλ. και την ίδια σειρά έχω: Ανοχή = 0,36 Κατώτερη διάσταση - 0,18 Ανώτερη διάσταση +0,18 Στο σχέδιο θα γράψουμε ,18 42

43 Πεδίο ανοχών: Το ορθογώνιο ΑΒΓΔ λέγεται πεδίο ανοχών Ανοχές γωνιών: Τ= G-K= 0,2-(-0,2) =0,4 t = T/2 = 0,4/2= 0,2 43

44 Συναρμογές Τα διάφορα έπιπλα αποτελούνται από στοιχεία (τα κατασκευαστικά στοιχεία) τα οποία πρέπει να συναρμολογηθούν μεταξύ τους, ώστε να μας αποτελέσουν το έπιπλο συναρμολογημένο. Τα στοιχεία αυτά λέγονται στοιχεία συναρμογής. Είδη συναρμογών: 1. Συναρμογή διακένου 2. Συναρμογή πρεσαριστή 3. Μεταβατική συναρμογή - Συναρμογή διακένου: Λέγεται έτσι γιατί τα συναρμολογούμενα στοιχεία εμφανίζουν ένα διάκενο μεταξύ τους, εκτός από τις αποκλίσεις των διαστάσεων που έχουν τα προς συναρμολόγηση στοιχεία.. Gw = Άξονας μέγιστης διάστασης Κw = Άξονας ελάχιστης διάστασης GB = Τρύπημα μέγιστης διάστασης Κb = Tρύπημα ελάχιστης διάστασης 44

45 Ανάλογα με τις ανοχές που έχει ξεχωριστά το κάθε στοιχείο, προκύπτει και διαφορετικό διάκενο. Μέγιστο διάκενο (Sg) Όταν συναρμολογούνται άξονας ελάχιστης διάστασης (Κw) και τρύπημα μέγιστης διάστασης (Gb). Ελάχιστο διάκενο (Sκ) Όταν συναρμολογούνται άξονας μέγιστης διάστασης (Gw) και τρύπημα ελάχιστης διάστασης (Kb). - Πρεσαριστή συναρμογή: Στις πρεσαριστές συναρμογές πρέπει τα στοιχεία συναρμογής να παρουσιάζουν ένα πλεόνασμα διάστασης, εκτός από τις αποκλίσεις των διαστάσεων που έχουν τα προς συναρμολόγηση στοιχεία. Ανάλογα με διαφορετικό. τις ανοχές που έχουν τα στοιχεία ξεχωριστά το πλεόνασμα είναι Μέγιστο πλεόνασμα διάστασης( Ug): προκύπτει όταν συναρμολογούνται η ελάχιστη διάσταση τρυπήματος (Kb) με την μέγιστη διάσταση άξονα (Gw). Ελάχιστο πλεόνασμα διάστασης (Uk): Όταν συναρμολογούνται η μέγιστη διάσταση τρυπήματος (Gb) με την ελάχιστη διάσταση άξονα (Kw). 45

46 Συστήματα συναρμογών: - Σύστημα ενότητας εσωτερικής διάστασης - Σύστημα ενότητας εξωτερικής διάστασης Στο σύστημα ενότητας εσωτερικής διάστασης τα πεδία των ανοχών των εσωτερικών διαστάσεων βρίσκονται σε ενότητα με τα κατώτερα όρια στη γραμμή του μηδενός. Δεν υπάρχει στις εσωτερικές διαστάσεις καμιά κατώτερη διάσταση απόκλισης. Είναι Au =0. και φυσικά χωρίς πρόσημο. Στο σύστημα ενότητας εξωτερικής διάστασης τα πεδία ανοχών των εξωτερικών διαστάσεων βρίσκονται σε ενότητα με τα ανώτερα όρια στη γραμμή του μηδενός. Δεν υπάρχει στις εξωτερικές διαστάσεις καμιά ανώτερη διάσταση απόκλισης. Είναι Α 0 = 0 και φυσικά χωρίς πρόσημο. 46

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ.

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ. ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους 28/9/2008 12:48 καθ. Τεχνολογίας 28/9/2008 12:57 Προοπτικό σχέδιο με 2 Σημεία Φυγής Σημείο φυγής 1 Σημείο φυγής 2 Γωνία κτιρίου

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων Διάλεξη 2η Παναγής Βοβός Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΧΝΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις 1 ου Διαγωνίσματος Θέμα 1 ο α) Από μία κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy ΒΓ. Τότε ω = Β και φ = Γ, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Η προοπτική εικόνα, είναι, όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός χωρικού αντικειμένου, σε ένα επίπεδο, με κέντρο προβολής, το μάτι του παρατηρητή. Η εικόνα αυτή, θεωρούμε ότι αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο.

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο. ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ Η ιστιοπλοΐα ανοιχτής θαλάσσης δεν διαφέρει στα βασικά από την ιστιοπλοΐα τριγώνου η οποία γίνεται με μικρά σκάφη καi σε προκαθορισμένο στίβο. Όταν όμως αφήνουμε την ακτή και ανοιγόμαστε στο

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Κόνιαρης Γεώργιος. Σχέδιο Ειδικότητας ΤΕΧΝΙΚΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Κόνιαρης Γεώργιος. Σχέδιο Ειδικότητας ΤΕΧΝΙΚΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Κόνιαρης Γεώργιος Σχέδιο Ειδικότητας ΤΕΧΝΙΚΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΑ Β Τάξη 1 ου Κύκλου Ειδικότητα: Αµαξωµάτων ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013. Όνομα μαθητή /τριας: Τμήμα: Αρ.

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013. Όνομα μαθητή /τριας: Τμήμα: Αρ. ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΤΑΞΗ: B ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ώρες ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 12 / 6 / 2013 Βαθμός: Ολογράφως: Υπογραφή: Όνομα μαθητή

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ & ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΗΣ Σύνταξη κειμένου: Μαρία Ν. Δανιήλ, Αρχιτέκτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι:

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: ΗΛΙΑΚΑ ΩΡΟΛΟΓΙΑ Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: Οριζόντια Κατακόρυφα Ισημερινά Το παρακάτω άρθρο αναφέρεται στον τρόπο λειτουργίας αλλά και κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής). Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

2. τα ρωμαϊκά, που το λούκι έχει μετασχηματιστεί σε επίπεδο και έχει ενσωματωθεί στο καπάκι

2. τα ρωμαϊκά, που το λούκι έχει μετασχηματιστεί σε επίπεδο και έχει ενσωματωθεί στο καπάκι Οι αριθμοί αντιμετωπίζονται με τον ίδιο τρόπο, αλλά είναι σημαντικό να μελετήσουμε τον τρόπο που σημειώνονται οι αριθμοί που αποδίδουν στα σχέδια τις διαστάσεις του αντικειμένου. Οι γραμμές διαστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 ΣΧΕΔΙΟ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (355) Μάθημα: ΣXEΔΙΟ ΕΠΙΠΛOY ΚΑΙ ΞΥΛΟΥΡΓΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θεωρήματα καθώς και το Θεώρημα Ι σ. 104 είναι SOS όχι μόνο για θεωρία αλλά και για χρήση στις ασκήσεις, οπότε πρέπει να κατανοήσετε τι λένε, να ξέρετε την απόδειξη και να είστε έτοιμοι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας,

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας, ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Εισαγωγή Αυτό που στην εφαρμοσμένη γεωμετρία ονομάζουμε συχνά γραμμική προοπτική είναι ένα σύστημα αναπαράστασης του τρισδιάστατου χώρου σε επιφάνεια δύο διαστάσεων. Η μέθοδος αυτή απεικόνισης

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής (σχεδιαστής) πρέπει να αναπτύξει την ικανότητα επικοινωνίας, με τη βοήθεια σχεδίων ή σκίτσων.

Ο μαθητής (σχεδιαστής) πρέπει να αναπτύξει την ικανότητα επικοινωνίας, με τη βοήθεια σχεδίων ή σκίτσων. ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ Η Γραφική Επικοινωνία αναφέρεται στις γραφικές δεξιότητες και τεχνικές που χρησιμοποιούνται στην Τεχνολογία. Περιλαμβάνει σχέδιο, χρήση χρωμάτων, καταχώρηση πληροφοριών και παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΠΕΙΡΩΜΑΤΑ - ΚΟΧΛΙΕΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΠΕΙΡΩΜΑΤΑ - ΚΟΧΛΙΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΠΕΙΡΩΜΑΤΑ - ΚΟΧΛΙΕΣ Διαμόρφωση Σπειρώματος Το σπείρωμα δημιουργείται από την κίνηση ενός παράγοντος σχήματος (τρίγωνο, ορθογώνιο κλπ) πάνω σε έλικα που

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Μηχανολογικό Σχέδιο

Εισαγωγή. Μηχανολογικό Σχέδιο Εισαγωγή Σχέδιο: Γραφική παράσταση αντικειμένου. Η φωτογραφία είναι ανεπαρκής γιατί αποτελεί την προοπτική αναπαράσταση των αντικειμένων, δηλαδή δεν έχει πραγματικές διαστάσεις και γιατί δεν αποκαλύπτει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ 1. Εισαγωγή Όπως έχουμε τονίσει, η κατανόηση του τρόπου με τον οποίο προσδιορίζεται η τιμή ενός αγαθού απαιτεί κατανόηση των δύο δυνάμεων της αγοράς, δηλαδή της ζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

με τόξο ακτίνας R 43 1.2.14 Σύνδεση ευθείας τ με δύο τόξα ακτίνας R και R 1

με τόξο ακτίνας R 43 1.2.14 Σύνδεση ευθείας τ με δύο τόξα ακτίνας R και R 1 Πρόλογος 19 1 1.1 ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΑ ΣΧΕΔΙΟΥ 21 1.1.1 Χαρτί σχεδίου 21 1.1.2 Κανονισμοί στο σχέδιο 21 1.1.3 Τοποθέτηση του χαρτιού 23 1.1.4 Αναδίπλωση 23 1.1.5 Υπόμνημα 24 1.1.6 Κλίμακα 25 1.1.7

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί 1 Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες 1. Ο χάρτης δείχνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Διατυπώστε το θεώρημα του Θαλή, κάνετε σχήμα και γράψτε την αναλογία που εκφράζει το θεώρημα του Θαλή στο συγκεκριμένο σχήμα. Απάντηση: «Αν τρείς τουλάχιστον παράλληλες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι

ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Α! Τάξης. Καθηγητής : ΗΡΑΚΛΗΣ ΝΤΟΥΣΗΣ

Τεχνολογία Α! Τάξης. Καθηγητής : ΗΡΑΚΛΗΣ ΝΤΟΥΣΗΣ Τεχνολογία Α! Τάξης Καθηγητής : ΗΡΑΚΛΗΣ ΝΤΟΥΣΗΣ Μελέτη Πριν από κάθε κατασκευή προηγούνται : 1. Μελέτη 2. Σχεδίαση *Τι σχήμα να τις δώσω; *Τι μέγεθος θα έχει (διαστάσεις); Σχεδίαση * Ποιοι είναι οι κανόνες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ»

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ» ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ 26 ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ. Ορισμοί Εμβαδόν τετραγώνου. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α ισούται µε α 2.

1.3 ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ. Ορισμοί Εμβαδόν τετραγώνου. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α ισούται µε α 2. ΜΡΟΣ Β 1.3 ΜΒΑΔΑ ΠΙΠΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 1 Ορισμοί μβαδόν τετραγώνου 1.3 ΜΒΑΔΑ ΠΙΠΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α ισούται µε α. E α α α μβαδόν ορθογωνίου Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου µε πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα