ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ. (Μέρος πρώτο)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ. (Μέρος πρώτο)"

Transcript

1 ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ - Παράρτημα Καρδίτσας ΤΜΗΜΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΞΥΛΟΥ ΕΠΙΠΛΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ ΙΙ (Μέρος πρώτο) - ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ - ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ - ΑΝΟΧΕΣ - ΣΥΝΑΡΜΟΓΕΣ ΚΟΛΛΑΤΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Καθηγητής Εφαρμογών ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2012

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ. Γενικά. Σελ. 4 Διάγραμμα μεθόδων σχεδίασης. >> 5 2. ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. Γενικά. >> 6 Διάκριση προοπτικής προβολής. >> 6 3. ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. Γενικά. >> 7 Είδη παράλληλης προβολής. >> 7 4. ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ. Γενικά. >> 7 Πλεονεκτήματα μειονεκτήματα πλάγιας προβολής. >> 7,8 Γωνίες που χρησιμοποιούμε. >> 8 Διάκριση πλάγιας προβολής ανάλογα με τα μήκη των προβολών στους τρεις άξονες Χ- Ψ Ζ. >> 8,9 Είδη πλάγιας προβολής. >> 9 Πλάγια προβολή Cavalier. >> 9,10 Πορεία σχεδίασης κύβου σε πλάγια προβολή Cavalier. >> 11 Σχεδίαση αντικειμένων σε πλ. προβολή Cavalier. >> 12 Πλάγια προβολή Cabinet. >> 13 Σχεδίασης κύβου σε πλάγια προβολή Cabinet. >> 13 Παραδείγματα σχεδίασης αντικειμένων σε προβολή Cavalier & Cabinet - Σύγκριση >> 14,15 Τι πρέπει να προσέχουμε σχεδιάζοντας με τις μεθόδους Cavalier & Cabinet. >> 16 Σχεδίαση κύκλου σε πλάγια προβολή. >> ΟΡΘΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. Γενικά. >> 18 Διάκριση ορθής προβολής. >> 18 Μέθοδος σχεδίασης ορθών προβολών πολλαπλών όψεων ή απλώς ορθή προβολή. >> 18,19 Αξονομετρική προβολή. >> 19,20 Είδη αξονομετρικής προβολής. >> 21 Διάγραμμα συνηθέστερων ειδών αξον. Προβολής >> 21 Χαρακτηρισμός αξονομετρικής προβολής ανάλογα με τα μήκη των προβολών στους τρεις άξονες Χ-Ψ-Ζ >> 21,22 Διάγραμμα αξονομετρικών προβολών ανάλογα με τα μήκη των προβολών στους τρεις άξονες Χ-Ψ-Ζ. >> 23 Ποιες αξονομετρικές χαρακτηρίζονται μονομετρικές. >> 23,24 Ποιες αξονομετρικές χαρακτηρίζονται διμετρικές. >> 25 2

3 Ποιες αξονομετρικές χαρακτηρίζονται τριμετρικές. Σελ. 26 Ισομετρική προβολή. >> 27,28 Τι πρέπει να έχουμε υπόψη μας στην ισομετρική προβολή. >> 29 Τρόποι σχεδίασης αντικειμένων σε ισομετρική προβολή. >> 29,30 Παραδείγματα ισομετρικής προβολής. >> 30,31,32 Σχεδίαση κύκλου σε ισομετρική προβολή. >> 33 Αξονομετρική προβολή Cavalier (60 0 /30 0 ή 30 0 /60 0 ). >> 34 Αξονομετρική προβολή (7 0 /42 0 ή 42 0 /7 0 ). >> 34,35 Στρατιωτική προβολή. (Διμετρική) >> 35 Προβολή (10 0 /20 0 ή 20 0 /10 0 ). (Τριμετρική). >> ΑΝΟΧΕΣ - ΣΥΝΑΡΜΟΓΕΣ. Γενικά - Τι λέγεται ανοχή. >> 37,38 Διάφοροι συμβολισμοί και ο ορισμός τους. >> 39 Ανοχές μήκους. >> 39 Αριθμητικό παράδειγμα υπολογισμού ανοχής. >> 40 Πως γράφουμε την ανοχή στο σχέδιο. >> 40 Σειρές ανοχών. >> 41 Παράδειγμα υπολογισμού ανοχής και τοποθέτηση στο σχέδιο. >> 42 Πεδίο ανοχών. >> 43 Ανοχές γωνιών. >> 43 Συναρμογές. >> 44 Είδη συναρμογών. >> 44 Συναρμογή διακένου. >> 44,45 Πρεσσαριστή συναρμογή.\ >> 45 Συστήματα συναρμογών. >> 46 3

4 1. ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ. Γενικά: Σχέδιο είναι η παράσταση ενός αντικειμένου πάνω σε μια επίπεδη επιφάνεια έτσι ώστε, από αυτήν την παράσταση να φανερώνεται η μορφή του αντικειμένου με όλες τις λεπτομέρειες, καθώς και με το πραγματικό της μέγεθος η κάθε λεπτομέρεια. Επειδή κάθε αντικείμενο έχει στο χώρο τρεις διαστάσεις αναπτύχθηκαν διαφορετικές μέθοδοι σχεδίασης των αντικειμένων. Υπάρχουν αρχικά δύο μέθοδοι προβολής αντικειμένων στο χαρτί. Η παράλληλη προβολή όπου θεωρούμε ότι το προς σχεδίαση αντικείμενο το βλέπουμε από πολύ μακριά (άπειρο) και οι ακτίνες προβολής θεωρούνται ότι είναι παράλληλες μεταξύ τους, και η προοπτική προβολή όπου βλέπουμε το αντικείμενο από κοντά και από συγκεκριμένη θέση οπότε οι ακτίνες προβολής δεν είναι παράλληλες, αλλά συγκλίνουν σε ένα συγκεκριμένο σημείο, στο Σημείο Φυγής. Στην παράλληλη προβολή διακρίνουμε τις μεθόδους πλάγιας προβολής αντικειμένων στην οποία οι ακτίνες προβολής είναι πλάγιες προς τα επίπεδα προβολής και στην Ορθή προβολή αντικειμένων, όπου οι ακτίνες προβολής είναι κάθετες προς τα επίπεδα προβολής. Η ορθή προβολή διακρίνεται στην ορθή ή ορθογραφική προβολή πολλαπλών όψεων (multi orthographic projection), όπου είναι μέθοδος σχεδίασης αντικειμένων σε δύο διαστάσεις, και στην Αξονομετρική προβολή, η οποία είναι μέθοδος σχεδίασης αντικειμένων σε τρεις διαστάσεις. Τα σχέδια με την μέθοδο ορθής ή ορθογραφικής προβολής είναι κατ εξοχήν κατασκευαστικά σχέδια, μπορεί σε ορισμένες περιπτώσεις και τα αξονομετρικά σχέδια να είναι κατασκευαστικά, σε καμιά περίπτωση όμως δεν είναι κατασκευαστικά σχέδια τα σχέδια προοπτικής προβολής Αντικείμενο εκπαίδευσης για αυτό το εξάμηνο είναι: - Η πλάγια προβολή. - Η αξονομετρική προβολή. - Προπτική προβολή. Και οι τρεις μέθοδοι είναι μέθοδοι σχεδίασης αντικειμένων σε τρεις διαστάσεις. 4

5 Διάγραμμα μεθόδων σχεδίασης αντικειμένων: ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ (ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ) ΟΡΘΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ (ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ) ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ CAVALIER 1 Σ.Φ. 2 Σ.Φ. 3 Σ.Φ. ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΟΛΛΩΝ ΟΨΕΩΝ (ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ) ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ CABINET ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ( ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΕ ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ) ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΠΡΟΒΟΛΗ CAVALIER ΠΡΟΒΟΛΗ (με γωνίες 7/42 ή 42/7) ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΠΡΟΒΟΛΗ (με γωνίες 10/20 ή 20/10) 5

6 2. ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ: Γενικά: Η προοπτική προβολή είναι σχεδίαση σε τρεις διαστάσεις. Με την προοπτική σχεδίαση, πλησιάζουμε πιο πολύ σ αυτό που πραγματικά βλέπει το μάτι του παρατηρητή. Βλέπει δηλαδή το αντικείμενο σαν σε φωτογραφία οπότε γίνεται κατανοητό ακόμη και από κάποιον που δεν γνωρίζει σχέδιο. Σύμφωνα με την μέθοδο αυτή, ο παρατηρητής βρίσκεται κοντά στο αντικείμενο, και σε συγκεκριμένη θέση και απόσταση από αυτό. Διάκριση προοπτικής προβολής: Την προοπτική προβολή την διακρίνουμε: Σε σχεδίαση με ένα σημείο Φυγής >> >> με δύο σημεία Φυγής >> >> με τρία σημεία Φυγής ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΜΕ 1 Σ.Φ ΜΕ 2 Σ. Φ ΜΕ 3 Σ.Φ. Με την μέθοδο αυτή θα ασχοληθούμε αργότερα. 6

7 3. ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. Γενικά: Σχεδιάζοντας με αυτό το είδος προβολής θεωρούμε ότι το αντικείμενο το βλέπουμε από πολύ μακριά (άπειρο) και οι ακτίνες προβολής στο επίπεδο ή στα επίπεδα είναι παράλληλες μεταξύ τους, γι αυτό άλλωστε χαρακτηρίζεται παράλληλη προβολή.. Είδη παράλληλης προβολής: Σε αυτό το είδος προβολής ανήκει: - Η πλάγια προβολή και - Η ορθή προβολή. ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ ΟΡΘΗ ΠΡΟΒΟΛΗ 3. ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ. Γενικά: Στην πλάγια προβολή θεωρούμε ότι ο παρατηρητής βλέπει το αντικείμενο από πολύ μακριά (άπειρο), Οπότε οι ακτίνες προβολής είναι παράλληλες μεταξύ τους, (γι αυτό ανήκει στην παράλληλη προβολή), αλλά πλάγιες προς τα επίπεδα προβολής, (γι αυτό χαρακτηρίζεται πλάγια.). Στην σχεδίαση ενός αντικειμένου με την μέθοδο της πλάγιας προβολής, μια από τις όψεις του αντικειμένου που θεωρείται βασική και περιγράφονται οι περισσότερες λεπτομέρειες, σχεδιάζεται παράλληλα προς το επίπεδο προβολής, όπως θα σχεδιαζόταν με το σύστημα των ορθών προβολών. Ιδιαίτερα αν κάποια από τις όψεις του αντικειμένου έχει καμπύλες ακμές, πρέπει να σχεδιασθεί σαν βασική όψη, γιατί θα σχεδιασθεί πιο εύκολα και όπως είναι στην πραγματικότητα, ενώ αν σχεδιασθεί σε έναν από τους πλάγιους άξονες τα κυκλικά τμήματα του αντικειμένου θα σχεδιασθούν ελλείψεις. Πλεονεκτήματα μειονεκτήματα πλάγιας προβολής: - Επειδή στη μέθοδο αυτή οι ακτίνες προβολής είναι πλάγιες προς το επίπεδο προβολής, ο παρατηρητής παρόλο που βλέπει τους κύκλους σαν ελλείψεις, την σχεδίαση δεν σχεδιάζει έλλειψη, αλλά κανονικό κύκλο (όταν βρίσκεται στην μπροστινή βασική όψη). Αυτό είναι και το μεγάλο πλεονέκτημα της μεθόδου. 7

8 - Άλλο πλεονέκτημα της μεθόδου είναι ότι η σχεδίαση των αντικειμένων είναι πάρα πολύ εύκολη. Μειονέκτημα : Μειονέκτημα της μεθόδου είναι, ότι δεν υπάρχει η δυνατότητα σχεδίασης αντικειμένων με τα συστήματα CAD. Γωνίες που χρησιμοποιούμε: Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ως γωνίες κλίσης του τρίτου άξονα και κατ επέκταση των πλάγιων ακτινών προβολής όσες θέλουμε. Δεν χρησιμοποιούμε γωνία 90 0 και 180 0, γιατί θα συμπίπτει ο τρίτος άξονας, οπότε η σχεδίαση του αντικειμένου δεν θα είναι σε τρεις διαστάσεις, αλλά σε δύο. Έχει επικρατήσει να χρησιμοποιούνται οι γωνίες 30 0, 45 0, και 60 0, επειδή είναι και πιο εύκολο να σχεδιασθούν οι γωνίες λόγω των δυο διαφορετικών ορθογωνίων τριγώνων που χρησιμοποιούμε στη σχεδίαση και Σχ.4.1. Επικρατέστερα είδη πλάγιας προβολής είναι: με γωνία 30 ο και 45 ο. Η χρήση της γωνίας 60 ο παραμορφώνει το αντικείμενο, γι αυτό δεν την χρησιμοποιούμε. Διάκριση πλάγιας προβολής ανάλογα με τα μήκη των προβολών στους τρεις άξονες Χ-Ψ-Ζ: Η πλάγια προβολή ανάλογα με τα μήκη των προβολών στους τρεις άξονες Χ-Ψ-Ζ χαρακτηρίζεται: - Μονομετρική. - Διμετρική. Mονομετρική: Χαρακτηρίζεται η πλάγια προβολή, όταν τα μήκη των προβολών στους τρεις άξονες Χ Ψ Ζ είναι όλα ίσα. (Υπάρχει μια ενιαία κλίμακα για όλους τους άξονες) (σχ.3.2). 8

9 Χ-Ψ-Ζ Σχ Διμετρική: Χαρακτηρίζεται η πλάγια προβολή, όταν δύο από τα μήκη των προβολών των τριών μονάδων είναι ίσα και το υπό γωνία μήκος είναι διαφορετικό. (σχ. 4.3.). Χ - Ψ - Ζ 1 1 0,5 Σχ Είδη πλάγιας Προβολής: Η πλάγια προβολή διακρίνεται στα παρακάτω είδη: - Πλάγια προβολή Cavalier και - Πλάγια προβολή Cabinet Πλάγια προβολή Cavalier: Σε αυτό το είδος πλάγιας προβολής η γωνία κλίσης μπορεί να είναι 45 0 ή και 30 ο. Επικρατέστερη η γωνία 45 ο. Η γωνία 60 0 δεν χρησιμοποιείται πολύ, γιατί το σχεδιαζόμενο αντικείμενο παραμορφώνεται πολύ. Η πλάγια προβολή Cavalier χαρακτηρίζεται: Μονομετρική, γιατί τα μήκη των προβολών των τριών μονάδων που αντιστοιχούν στους τρεις άξονες Χ Ψ Ζ είναι ίσα δηλαδή Στο σχέδιο που ακολουθεί διακρίνεται η σχεδίαση ενός αντικειμένου σε πλάγια προβολή cavalier (σχ. 4.4.) και στις τρεις βασικές όψεις (πρόοψη, κάτοψη, πλ. αριστερή όψη) (σχ. 4.5.), με το σύστημα των ορθών προβολών. 9

10 Οι διαστάσεις Χ, Ψ, και Ζ στην πρόοψη και κάτοψη είναι οι πραγματικές και σχεδιάζονται το ίδιο και στην μέθοδο Cavalier δηλ. οι διαστάσεις έχουν το πραγματικό μέγεθος που έχει το αντικείμενο. Ωστόσο το αντικείμενο σχεδιάζεται ολίγον παραμορφωμένο. Σχ Σχ Πλάγια προβολή Cavalier Αντικειμένου Πρόοψη, κάτοψη, πλ. αριστερή όψη με το σύστημα των ορθών προβολών Οι δυνατές θέσεις που μπορούμε να σχεδιάσουμε το αντικείμενο. Σχ Σχ

11 Πορεία σχεδίασης κύβου σε πλάγια προβολή (Cavalier): Σχ Σχ Σχ Σχ Σχεδιάζω την πρόοψη όπως είναι μεταξύ των αξόνων Χ-Ψ (σχ. 4.7.) Από τις τρεις γωνίες χαράζω ημιευθείες με κλίση που έχει ο άξονας Ζ δηλαδή 45 0 και ορίζω πάνω στις ημιευθείες τις αντίστοιχες ακμές του κύβου,έτσι ώστε, οι ακμές στο σχέδιο να έχουν το πραγματικό μέγεθος (σχ. 4.8.). Συμπληρώνω το σχέδιο (σχ ) Χαράζω τις τελικές γραμμές και ολοκληρώνω το σχέδιο (σχ.4.10.). 11

12 Σχεδίαση αντικειμένου σε πλάγια προβολή Cavalier: Σχ Έχουμε στο επάνω μέρος του σχήματος τις τρεις όψεις (πρόοψη, κάτοψη, πλ. αριστερή όψη) με το σύστημα των ορθών προβολών. (Σχ ). Έχοντας τις διαστάσεις του αντικειμένου στις όψεις του σχεδιάζω τον όγκο του αντικειμένου. Στην συνέχεια αρχίζω να σχεδιάζω τις λεπτομέρειες. Χαράζω πιο έντονες τις γραμμές του αντικειμένου και ολοκληρώνω το σχέδιο. 12

13 Πλάγια προβολή Cabinet: Είναι είδος σχεδίασης πλάγιας προβολής ίδιο με αυτό της προβολής Cavalier.Σε αυτό το είδος πλάγιας προβολής οι γωνίες κλίσης στον πλάγιο άξονα μπορεί να είναι διάφορες, επικρατέστερες πάλι είναι οι γωνίες 60 0, 45 0, και 30 ο. Αυτή η γωνία που χρησιμοποιείται περισσότερο είναι πάλι η γωνία 45 ο. Διαφέρει από την προβολή Cavalier στο ότι χαρακτηρίζεται ως Διμετρική. Χαρακτηρίζεται έτσι γιατί τα μήκη των προβολών των δύο μονάδων (αξόνων Χ & Ψ) είναι ίδια, ενώ το μήκος στην τρίτη μονάδα (άξονα Ζ) που βρίσκεται υπό κλίση κάποιας γωνίας είναι το ½. Πορεία σχεδίασης κύβου σε πλάγια προβολή Cabinet: (σχ 4.12.) Σχεδιάζω την πρόοψη όπως είναι (σχ. 1). Χαράζω ημιευθείες με κλίση 45 0 και πάνω σε αυτές σημειώνω τις αντίστοιχες ακμές του κύβου, έτσι, ώστε οι ακμές στο σχέδιο να έχουν το μισό του πραγματικού μεγέθους.(σχ. 2). Χαράζω τις ακμές (σχ.3). Συμπληρώνω το σχέδιο και χαράζω τις τελικές γραμμές.(σχ. 4) Σχ

14 Παραδείγματα σχεδιαζόμενων αντικειμένων σε προβολή Cavalier & Cabinet - Σύγκριση: 1. Πλάγια προβολή Cavalier Πλάγια προβολή Cabinet Σχ Σχ Παρατηρούμε ότι η προβολή Cavalier παρουσιάζει το αντικείμενο παραμορφωμένο. 2. Πλάγια προβολή Cavalier Πλάγια προβολή Cabinet Σχ Σχ

15 Πλάγια προβολή Cavalier Πλάγια προβολή Cabinet Σχ Σχ Πλάγια προβολή Cavalier Πλάγια προβολή Cabinet Σχ Σχ Σε όλες τις περιπτώσεις βλέπουμε ότι τα αντικείμενα που είναι σχεδιασμένα με την μέθοδο Cavalier έχουν μια σχετική παραμόρφωση. Ιδιαίτερα αν στον πλάγιο άξονα τοποθετήσουμε την μεγαλύτερη διάσταση, τότε η παραμόρφωση θα είναι πολύ μεγάλη. Επίσης αν χρησιμοποιήσω και γωνία 60 0 το αποτέλεσμα θα είναι ακόμη χειρότερο. Γι αυτό και χρησιμοποιούμε τις γωνίες 30 0 και Για έπιπλα που έχουν μεγάλο βάθος προτιμούμε την μέθοδο Cabinet για να έχουμε καλύτερο αποτέλεσμα. 15

16 Τι πρέπει να προσέχουμε σχεδιάζοντας με τις μεθόδους (Cavalier & Cabinet): - Οι ακμές που είναι καμπύλες, πρέπει να βρίσκονται στην βασική όψη, ώστε αυτές να σχεδιάζονται πιο εύκολα και στην πραγματική τους μορφή. - Οι όψεις με τις μεγαλύτερες διαστάσεις να σχεδιάζονται ως βασικές όψεις, γιατί αποφεύγουμε τις παραμορφώσεις του αντικειμένου. - Όταν θέλουμε να σχεδιάσουμε ένα έπιπλο, που στην μπροστινή του πλευρά έχει πολλές λεπτομέρειες, προτιμούμε την πλάγια προβολή, γιατί το έπιπλο θα σχεδιασθεί στο πραγματικό του σχήμα. - Επίσης όταν το έπιπλο έχει μικρό βάθος προτιμούμε να το σχεδιάσουμε μ αυτή την μέθοδο, γιατί δεν θα έχουμε παραμόρφωση του αντικειμένου. Σχεδίαση κύκλου σε πλάγια προβολή: ( προσεγγιστική μέθοδος) Στην περίπτωση που δεν μπορούμε να σχεδιάσουμε τα κυκλικά τμήματα του αντικειμένου στην βασική όψη, ώστε να φανούν με την πραγματική τους μορφή, τότε αναγκαστικά σχεδιάζονται στα δύο άλλα επίπεδα, στο πάνω και στο πλάγιο. Τα κυκλικά τμήματα θα σχεδιασθούν ελλείψεις ακολουθώντας την παρακάτω πορεία. Οι ελλείψεις σχεδιάζονται πάντοτε με προσεγγιστικές μεθόδους και με την βοήθεια καμπυλόγραμμων. Εδώ η μέθοδος είναι προσεγγιστική. Πορεία σχεδίασης: - Σχεδιάζουμε το αντικείμενο σε πλάγια προβολή. - Στη θέση που προβλέπεται το κέντρο του κύκλου, χαράζουμε τους άξονές του σε πλάγια προβολή. - Με κέντρο την τομή των αξόνων σχεδιάζουμε τον κύκλο σε πραγματική διάσταση, ο οποίος τέμνει τους άξονες στα σημεία Α, Β, Γ και Δ. - Από τα σημεία Α και Β του ενός άξονα χαράζω κάθετες προς τον άλλο άξονα ΓΔ. - Από τα σημεία Γ και Δ του άλλου άξονα, χαράζω κάθετες προς τον άξονα ΑΒ. - Η κάθετος από το Α προς την ΓΔ και η κάθετος από το Γ προς την ΑΒ τέμνονται στο σημείο Ε. - Η κάθετος από το Β προς την ΓΔ και η κάθετος από το Δ προς την ΑΒ, τέμνονται στο σημείο Ζ. - Η κάθετοι ΑΕ και ΔΖ, τέμνονται στο σημείο Θ. - Τα σημεία Ε, Ζ, Η, Θ είναι τα κέντρα που θα χαραχθούν τα τέσσερα τόξα της έλλειψης. Χάραξη: - Με κέντρο το Ε και ακτίνα ΕΑ ή ΕΓ (R 1 ), χαράζω το τόξο ΑΓ. - Με κέντρο το Ζ και ακτίνα ΖΒ ή ΖΔ (R 1 ), χαράζω το τόξο ΒΔ. - Με κέντρο το Η και ακτίνα ΗΔ ή ΗΑ (R 2 ), χαράζω το τόξο ΑΔ. - Με κέντρο το Θ και ακτίνα ΘΒ ή ΘΓ (R 2 ), χαράζω το τόξο ΓΒ. 16

17 Τα κέντρα Ε, Ζ, Η, Θ, μας δίνουν την έλλειψη. ( αν ενώσω το Θ με το Η η ευθεία που ορίζεται αν την προεκτείνω μας δίνει τον μεγάλο άξονα της έλλειψης) Σχ Παράδειγμα χάραξηs έλλειψης σε πλάγια προβολή με κλίση γωνίας Σημείωση: Η ίδια μέθοδος εφαρμόζεται για οποιαδήποτε γωνία κλίσης. Σχ Παράδειγμα χάραξης έλλειψης πλάγιας προβολής με γωνία κλίσης

18 5. ΟΡΘΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. Γενικά: Η ορθή προβολή ανήκει στην Παράλληλη προβολή, γιατί θεωρούμε ότι βλέπουμε το αντικείμενο από πολύ μακριά (άπειρο) και οι ακτίνες προβολής είναι παράλληλες μεταξύ τους. Χαρακτηρίζεται ορθή, γιατί οι ακτίνες προβολής είναι κάθετες στα επίπεδα προβολής. Διάκριση ορθής προβολής: Την ορθή προβολή την διακρίνουμε : - Στην μέθοδο ορθών προβολών πολλαπλών όψεων (Multi orthographic projection). Σχεδίαση σε δύο διαστάσεις. - Αξονομετρική προβολή. (Σχεδίαση σε τρεις διαστάσεις.) ΟΡΘΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΕ ΠΟΛΛΕΣ ΟΨΕΙΣ ( ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ) ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ (ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΕ ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ) Διάγραμμα ειδών ορθής προβολής. Μέθοδος ορθών προβολών πολλαπλών όψεων ή απλώς Ορθή προβολή ή ορθογραφική προβολή : Η μέθοδος αυτή είναι μέθοδος σχεδίασης αντικειμένων σε δυο διαστάσεις. Στη μέθοδο αυτή υπάρχει μια σταθερή κλίμακα σχεδίασης ανάμεσα στα σχεδιαστικά και στα πραγματικά μήκη. Αυτό σημαίνει ότι για όλες τις ακμές του σχεδιαζόμενου αντικειμένου, που είναι παράλληλες με το επίπεδο προβολής, η κλίμακα είναι η ίδια. Αν και είναι δύσκολη μέθοδος σχεδίασης αντικειμένων, ωστόσο τα σχέδια αυτής της μεθόδου, μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως κατασκευαστικά σχέδια. Επειδή το αντικείμενο το βλέπουμε από πολλές διαφορετικές θέσεις, έχουμε την δυνατότητα να το σχεδιάσουμε σε πολλές όψεις, άρα να το περιγράψουμε καλύτερα. Δηλαδή με την μέθοδο αυτή έχουμε πλεονεκτήματα, γιατί : Έχουμε την δυνατότητα να σχεδιάσουμε το αντικείμενο σε πολλές όψεις, άρα να το περιγράψουμε με κάθε λεπτομέρεια. 18

19 Μας επιτρέπει να παρουσιάσουμε τις όψεις του αντικειμένου με το πραγματικό τους σχήμα, όταν οι έδρες του αντικειμένου είναι παράλληλες προς το επίπεδο προβολής. Έχει όμως και ένα σοβαρό μειονέκτημα, ότι Κάποιες έδρες και ακμές του αντικειμένου, είναι κάθετες προς το επίπεδο προβολής και παρουσιάζονται στο σχέδιο αντίστοιχα σαν ευθείες και σημεία. Για να εξαλείψουμε αυτό το μειονέκτημα που παρουσιάζει η σχεδίαση με την μέθοδο των ορθών προβολών, σχεδιάζουμε το αντικείμενο σε τρισδιάστατη μορφή. ΟΡΘΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΟΨΕΩΝ ΠΡΟΟΨΗ ΚΑΤΟΨΗ ΠΛ. ΑΡΙΣΤΕΡΗ ΠΛ. ΔΕΞΙΑ ΑΝΟΨΗ ΠΙΣΩ ΟΨΗ Διάγραμμα ειδών όψεων ορθής προβολής. Η μέθοδος αυτή ήταν αντικείμενο μελέτης του προηγούμενου εξαμήνου και συνεπώς δεν θα την επαναλάβουμε. Αξονομετρική προβολή: Είναι το δεύτερο είδος της ορθής προβολής. Η αξονομετρική προβολή ανήκει στην παράλληλη προβολή, γιατί θεωρούμε ότι το αντικείμενο το βλέπουμε από πολύ μακριά (άπειρο), οπότε οι ακτίνες προβολής είναι παράλληλες μεταξύ τους. Ανήκει στην ορθή προβολή, γιατί οι ακτίνες προβολής είναι κάθετες προς τα επίπεδα προβολής. Η αξονομετρική σχεδίαση μας δίνει τρισδιάστατη εικόνα του αντικειμένου, και αυτή η εικόνα είναι κατανοητή σε όλους, ακόμη και σε ανθρώπους που είναι άσχετοι με το σχέδιο. Δίνει στον σχεδιαστή την δυνατότητα να παρουσιάσει τις ιδέες του γρήγορα και με διάφορες παραλλαγές, προσεγγίζοντας την πραγματικότητα, αφού σχεδιάζει το αντικείμενο σαν να είναι σε φωτογραφία. Αυτό όμως βοηθάει και τον κατασκευαστή, ώστε να έχει πληροφορίες όσον αφορά την αισθητική του αντικειμένου, διάφορες κατασκευαστικές λεπτομέρειες, αλλά και πληροφορίες που αφορούν την λειτουργία του αντικειμένου. Η μέθοδος στηρίζεται σε ένα σύστημα τριών αξόνων Χ Ψ Ζ, όπου εκεί πάνω σχεδιάζονται οι ακμές του αντικειμένου και κάθε άξονας αντιστοιχεί σε μία από τις τρεις διαστάσεις (μήκος, πλάτος, ύψος). 19

20 Τοποθετούμε το επίπεδο προβολής κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να μην είναι παράλληλο με καμία έδρα του σχεδιαζόμενου αντικειμένου. Με αυτόν τον τρόπο διορθώνουμε το μειονέκτημα της ορθής προβολής Άρα για να εξαλείψουμε το μειονέκτημα που παρουσιάζει η σχεδίαση με την μέθοδο των ορθών προβολών πολλαπλών όψεων, σχεδιάζουμε το αντικείμενο σε μια όψη ακόμη, διαφορετική από τις σχεδιαζόμενες με το σύστημα των ορθών προβολών όψεις την αξονομετρική προβολή. Ότι σχεδιάζουμε κατ αυτό τον τρόπο δεν θα το παρουσιάζουμε με το πραγματικό σχήμα, αλλά δεν θα έχουμε το φαινόμενο να βλέπουμε έδρες σαν γραμμές ή ακμές σαν σημεία. Στην αξονομετρική προβολή βλέπουμε συγχρόνως τρεις όψεις του αντικειμένου. Στην αξονομετρική προβολή παρόλο ότι οι ακτίνες προβολής είναι κάθετες στο επίπεδο προβολής, οι ακμές, οι επιφάνειες, τα μήκη των πλευρών, και όλα γενικά τα χαρακτηριστικά του αντικειμένου διαφοροποιούνται ανάλογα με την κλίση που παίρνει το αντικείμενο σε σχέση με το επίπεδο προβολής. Επειδή οι γωνίες κλίσης του αντικειμένου σε σχέση με το επίπεδο προβολής μπορεί να είναι πολλές, θα υπάρχουν αντίστοιχα και πολλές θέσεις (περιπτώσεις) αξονομετρικής σχεδίασης του αντικειμένου. Για κατασκευαστικά σχέδια χρησιμοποιείται κατά αποκλειστικότητα η ορθή προβολή πολλαπλών όψεων. Για απλά αντικείμενα πολλές φορές μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σαν κατασκευαστικό σχέδιο και το αξονομετρικό, αρκεί να σημειωθούν οι διαστάσεις του. 20

21 Είδη αξονομετρικής προβολής: Συνοπτικά οι συνηθέστερες περιπτώσεις αξονομετρικής προβολής είναι: Η ισομετρική προβολή Η προβολή 7 0 /42 0 ή 42 0 /7 0 Η προβολή Cavalier 30 0 /60 0 ή 60 0 /30 0 Η στρατιωτική προβολή 60 0 /30 0 ή 30 0 /60 0 Η προβολή 10 0 /20 0 _ Προβολή 60 0 /30 0 ή 30 0 /60 0 Διάγραμμα συνηθέστερων ειδών αξονομετρικής προβολής: ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ 30 0 /30 0 ΠΡΟΒΟΛΗ 7 0 /42 0 ή 42 0 /7 0 ΠΡΟΒΟΛΗ CAVALIER 60 0 /30 0 ή 30 0 /60 0 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ 60 0 /30 0 ή 30 0 /60 0 ΠΡΟΒΟΛΗ 10 0 /20 0 ή 20 0 /10 0 ΠΡΟΒΟΛΗ 60 0 /30 0 ή 30 0 /60 0 Χαρακτηρισμός αξονομετρικής προβολής ανάλογα με τα μήκη των προβολών στους τρεις άξονες Χ-Ψ-Ζ: Η αξονομετρική προβολή χαρακτηρίζετα: - Μονομετρική. - Διμετρική. - Τριμετρική. 21

22 Mονομετρική: Λέγεται η αξονομετρική προβολή, όταν τα μήκη των προβολών στους τρεις άξονες Χ Ψ Ζ είναι όλα ίσα. (υπάρχει μια ενιαία κλίμακα για όλους τους άξονες) (σχ.5.1). Χ-Ψ-Ζ Σχ Διμετρική: Λέγεται η αξονομετρική προβολή, όταν δύο από τα μήκη των προβολών των τριών μονάδων είναι ίσα και το υπό την μεγαλύτερη γωνία μήκος είναι διαφορετικό. (σχ. 5.2.). Χ - Ζ - Ψ 1 1 0,5 Σχ Τριμετρική: Λέγεται η αξονομετρική προβολή, όταν τα μήκη των προβολών των τριών μονάδων, είναι και τα τρία διαφορετικά (σχ. 5.3.). Σχ Χ Ψ - Ζ διαφορετικά μήκη σε κάθε άξονα 22

23 Διάγραμμα αξονομετρικών προβολών ανάλογα με τα μήκη των προβολών στους τρεις άξονες Χ-Ψ-Ζ: ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΜΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΔΙΜΕΤΡΙΚΗ ΤΡΙΜΕΤΡΙΚΗ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ 30 0 /30 0 ΠΡΟΒΟΛΗ CAVALIER 60 0 /30 0 Ή 30 0 /60 0 ΠΡΟΒΟΛΗ 7 0 /42 0 Ή ΠΡΟΒΟΛΗ 42 0 / /20 0 Ή 20 0 /10 0 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ 60 0 /30 0 Ή 30 0 /60 0 ΠΡΟΒΟΛΗ 60 0 /30 0 Ή 30 0 /60 0 Μονομετρικές χαρακτηρίζονται: 1. Η Ισομετρική προβολή ( γωνίες 30 0 /30 0 ). ( μέτρα στους άξονες Χ-Ψ-Ζ 1-1-1). (Σχ ) Σχ

24 2. Η προβολή CAVALIER ( γωνίες 30 0 /60 0 ή 60 0 /30 0 ). ( μέτρα στους άξονες Χ-Ψ-Ζ ). (Σχ ). Σχ Η μέθοδος Cavalier η οποία μπορεί να χαρακτηριστεί σαν Στρατιωτική Προβολή με (γωνίες 30 0 /60 0 ή 60 0 /30 0 ) Όταν οι άξονες Χ & Ψ σχηματίζουν ορθή γωνία από την κάτω πλευρά του οριζόντιου άξονα. ( μέτρα στους άξονες Χ-Ψ-Ζ ). (Σχ ) Σχ

25 Διμετρικές χαρακτηρίζονται: 1. Η προβολή με γωνίες 7 0 /42 0 ή 42 0 /7 0 (μέτρα στους άξονες Χ-Ψ-Ζ 1-0,5-1). (Σχ ) Σχ Η Στρατιωτική προβολή. Σχ Στη στρατιωτική προβολή οι άξονες Χ, Ψ, είναι κάθετοι μεταξύ τους και ο Ζ κατακόρυφος. Ισχύει λ = μ =1. Δηλ. οι διαστάσεις πλάτους και βάθους του αντικειμένου είναι πραγματικές, δηλ. αυτές που έχει το αντικείμενο, ενώ το ύψος εξαρτάται από τον συντελεστή παραμόρφωσης. 25

26 Τριμετρικές χαρακτηρίζονται: 1. Τριμετρική με γωνίες 10 0 / 20 0 ή 20 0 /10 0 (μέτρα στους άξονες Χ-Ψ-Ζ 0,9 1 0,5). 2. Τριμετρική με γωνίες 60 0 /30 0 ή 30 0 /60 0 ( μέτρα στους άξονες Χ Ψ Ζ 0,9 1 0,5) Συνοπτικά στην αξονομετρική προβολή χαρακτηρίζονται: Μονομετρικές: Ισομετρική Προβολή (γωνίες 30 0 /30 0 ). Προβολή Cavalier (γωνίες 30 0 /60 0 ή 60 0 /30 0 ). Στρατιωτική Προβολή (με γωνίες 60 0 /30 0 ή 30 0 /60 0 ) Όταν οι άξονες Χ & Ψ είναι κάθετοι μεταξύ τους και σχηματίζουν γωνία 90 0 κάτω από τον οριζόντιο άξονα. Διμετρικές: Διμετρική προβολή ( με γωνίες 7 0 /42 0 ή 42 0 /7 0 ). Στρατιωτική προβολή (με γωνίες 60 0 /30 0 ή 30 0 /60 0 ) Τριμετρικές: Τριμετρική προβολή (με γωνίες 10 0 /20 0 ή 20 0 /10 0 ) Τριμετρική (με γωνίες 60 0 /30 0 ή 30 0 /

27 Ισομετρική Προβολή (μονομετρική): Η ισομετρική προβολή χαρακτηρίζεται μονομετρική προβολή, γιατί τα μήκη των προβολών στους τρεις άξονες Χ-Ψ-Ζ είναι Την ισομετρική προβολή την χρησιμοποιούμε όταν θέλουμε να δείξουμε λεπτομέρειες του αντικειμένου που βρίσκονται και στις τρεις όψεις. που βλέπουμε συγχρόνως. Η σχεδίαση ενός αντικειμένου σε ισομετρική προβολή στηρίζεται πάνω σε τρεις άξονες (Χ Ψ Ζ ),. δηλαδή έναν για κάθε μία από τις τρεις διαστάσεις (μήκος πλάτος ύψος). Οι άξονες αυτοί λέγονται ισομετρικοί και μπορούμε να τους τοποθετήσουμε σε διάφορες θέσεις. (σχ. 5.9) & (σχ ), (5.11.). Iσομετρική προβολή Σχ.5.9 Iσομετρική προβολή Χ-Ψ-Ζ Σχ.5.10 Σχ

28 Το πώς θα επιλέξουμε την θέση που θα έχουν οι τρεις άξονες εξαρτάται από το σχήμα και την μορφή του αντικειμένου, και ποια πλευρά θέλουμε να φαίνεται, ώστε να φανερώνεται η μορφή του. Οι γωνίες ανάμεσα στους αξονομετρικούς άξονες είναι πάντα ίσες σε όποια θέση και αν τους τοποθετήσουμε και είναι (Σχ ) Γι αυτό η μέθοδος λέγεται ισομετρική προβολή, γιατί οι άξονες Χ Ψ Ζ, σχηματίζουν μεταξύ τους ίσες γωνίες που είναι Σχ Σχ Ο κατακόρυφος άξονας Ψ είναι πάντα πιο κοντά στον σχεδιαστή, ενώ οι άλλοι δύο Χ και Ζ είναι με κλίση γωνίας α=β=30 0. Σχ Σχ Τα μέτρα των προβολών τα μετράμε πάνω στους ισομετρικούς άξονες και είναι ίσα (Σχ & Σχ ) 28

29 Τι πρέπει να έχουμε υπόψη μας στην ισομετρική προβολή: - Τις κατακόρυφες ακμές του εκάστοτε σχεδιαζόμενου αντικειμένου τις σχεδιάζουμε κατακόρυφα δηλαδή παράλληλα προς τον κατακόρυφο ισομετρικό άξονα. - Τις οριζόντιες ακμές τις σχεδιάζουμε από την δεξιά και αριστερή πλευρά του κατακόρυφου ισομετρικού άξονα, πλάγιες και παράλληλες προς τους δύο πλάγιους (με κλίση 30 0 ) άξονες. - Τα μέτρα των προβολών τα μετράμε πάνω στους ισομετρικούς άξονες και είναι ίσα Τρόποι σχεδίασης αντικειμένου σε ισομετρική προβολή: Α Τρόπος: - Ορίζουμε το σημείο Ο όπου είναι η αρχή των τριών αξόνων και χαράζουμε τους τρεις ισομετρικούς άξονες. - Ορίζουμε τις τρεις διαστάσεις ( μήκος πλάτος ύψος) πάνω στο αντικείμενο που θέλουμε να σχεδιάσουμε, και τις αντιστοιχίζουμε με τους τρεις άξονες. - Ορίζουμε πάνω στους άξονες τις διαστάσεις του αντικειμένου. - Χαράζουμε το περίγραμμα (το όγκο) του αντικειμένου, φέροντας παράλληλες προς τους άξονες. - Συμπληρώνουμε το σχέδιο. - Χαράζουμε και αναδεικνύουμε τις τελικές γραμμές του αντικειμένου. Β Τρόπος : - Ορίζουμε το σημείο Ο που είναι η αρχή των αξόνων και χαράζουμε τους δύο πλάγιους άξονες. - Στη συνέχεια χαράζουμε το ισομετρικό περίγραμμα της κάτοψης του αντικειμένου. - Χαράζουμε τις κατακόρυφες ακμές του αντικειμένου και εκεί πάνω σημειώνουμε το ύψος του αντικειμένου και στη συνέχεια και στη συνέχεια χαράζουμε τον όγκο του αντικειμένου με την μέθοδο των παραλλήλων. - Συμπληρώνουμε το σχέδιο με τις υπόλοιπες λεπτομέρειες. 29

30 Στην ισομετρική σχεδίαση αποφεύγουμε την σχεδίαση των διακεκομμένων γραμμών και τις χρησιμοποιούμε μόνο όταν θέλουμε να δείξουμε κάποιες σημαντικές μη ορατές ακμές. 1. Παραδείγματα σχεδίασης αντικειμένων σε ισομετρική προβολή: 30

31

32 4. Πορεία σχεδίασης τραπεζιού. 32

33 Σχεδίαση κύκλων και τόξων του αντικειμένου σε ισομετρική προβολή: Όπως και στην πλάγια προβολή έτσι και εδώ έχουμε πρόβλημα με την σχεδίαση κύκλων ή καμπύλων ακμών του αντικειμένου, γιατί, όταν σχεδιάζονται σε ισομετρική προβολή, σχεδιάζονται σαν ελλείψεις ή σαν κάποια τμήματα ελλείψεων. - Ορίζουμε το σημείο Ο (σημείο αρχής των αξόνων), και χαράζουμε τους δύο ισομετρικούς άξονες με κλίση Χαράζουμε το ισομετρικό περίγραμμα του κύκλου (ρόμβο), με μήκος πλευράς α που είναι το ΟΑΒΓ, στο παρακάτω σχήμα. - Βρίσκουμε τα μέσα των πλευρών ΟΑ, ΑΒ, ΒΓ, ΓΟ, που είναι τα Δ, Ε, Ζ, Η αντίστοιχα και χαράζουμε τα ΔΖ, ΕΗ. - Στη συνέχεια χαράζουμε τις διαγωνίους ΟΒ & ΑΓ. - Χαράζω από τις κορυφές των αμβλειών γωνιών τα τμήματα ΒΗ, & ΟΕ, τα οποία τέμνουν την διαγώνιο ΑΓ στα σημεία Θ & Ι αντίστοιχα. - Τα τέσσερα κέντρα που θα χαραχθούν τα τέσσερα τόξα είναι τα Ο, Β, Θ, Ι. Χάραξη: - Με κέντρο το Ο και ακτίνα την ΟΕ, χαράζω το τόξο ΕΖ. - Με κέντρο το Β και ακτίνα την ΒΗ, χαράζω το τόξο ΗΔ. - Με κέντρο το Θ και ακτίνα την ΘΗ, χαράζω το τόξο ΗΖ. - Με κέντρο το Ι και ακτίνα την ΙΕ, χαράζω το τόξο ΕΔ. Σχ Σχεδίαση κύκλου σε ισομετρική προβολή 33

34 Πρoβολή Cavalier ( με γωνίες 60 0 /30 0 ή 30 0 /60 0 ) (μονομετρική): Όπως και στην ισομετρική προβολή έτσι και εδώ τα μέτρα των προβολών στους τρεις άξονες θα είναι Χ-Ψ-Ζ γιατί είναι μονομετρική. Το ότι όμως η μία γωνία είναι 60 0, το αντικείμενο θα σχεδιασθεί ολίγον παραμορφωμένο. (σχ και σχ ) Σχ Σχ Μέθοδος με γωνίες 7 0 /42 0 ή 42 0 /7 0 (διμετρική): Η μέθοδος αυτή είναι διμετρική, γιατί τα δύο μέτρα των προβολών στους άξονες Χ-Ζ είναι ίδια δηλ 1-1, ενώ το τρίτο στον άξονα Ψ που είναι με την μεγαλύτερη κλίση 42 0 είναι 0,5. Η μέθοδος δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα χωρίς να παραμορφώνει το αντικείμενο, αλλά είναι δύσκολη στη σχεδίαση, γιατί απαιτεί μοιρογνωμόνιο και δεν μπορούμε να σχηματίσουμε τις γωνίες απ ευθείας με τα τρίγωνα. (σχ ) 34

35 Σχ Στρατιωτική προβολή (διμετρική) : Η στρατιωτική προβολή είναι διμετρική προβολή Οι γωνίες που χρησιμοποιούνται είναι 60 0 /30 0. Στη στρατιωτική προβολή οι άξονες Χ, Ψ, είναι κάθετοι μεταξύ τους και σχηματίζουν γωνία 90 0, ενώ ο Ζ είναι κατακόρυφος. Ισχύει λ = μ =1. Δηλ. οι διαστάσεις πλάτους και βάθους του αντικειμένου είναι πραγματικές, δηλ. αυτές που έχει το αντικείμενο, ενώ το ύψος εξαρτάται από τον συντελεστή παραμόρφωσης. Σχ

36 Προβολή με γωνίες 10 0 / 20 0 ή 20 0 /10 0 (τριμετρική): Η μέθοδος αυτή με γωνίες 10 0 /20 0 ή 20 0 /10 0, χαρακτηρίζεται τριμετρική, γιατί τα μήκη των προβολών στους τρεις άξονες Χ-Ψ-Ζ είναι διαφορετικά σε κάθε άξονα. Σχ Η τριμετρική προβολή σπάνια χρησιμοποιείται, λόγω των δυσκολιών που έχει στην χρησιμοποίηση των τριών διαφορετικών μέτρων που εφαρμόζονται στους τρεις άξονες Χ-Ψ-Ζ, και στις γωνίες που χρησιμοποιούνται. 36

37 6. ΑΝΟΧΕΣ ΣΥΝΑΡΜΟΓΕΣ. Γενικά- τι λέγεται ανοχή: Κάθε μηχανή αποτελείται από πολλά εξαρτήματα που συναρμολογούνται μεταξύ τους. Πιο παλιά τα διάφορα εξαρτήματα προσαρμόζονταν μεταξύ τους χειρονακτικά Αυτό απαιτούσε: 1. Ειδικευμένο προσωπικό. 2. Χρονοβόρα διαδικασία. 3. Απρόβλεπτα σφάλματα. 4. Υψηλό κόστος Η σημερινή εποχή απαιτεί εναλλαξιμότητα τεμαχίων. Εναλλαξιμότητα σημαίνει, ότι αντικείμενα που κατασκευάστηκαν σε ένα εργοστάσιο σε διαφορετικούς χρόνους να μπορούν να συναρμολογηθούν με αντικείμενα που κατασκευάστηκαν από άλλο εργοστάσιο σε διαφορετικούς χρόνους. Θεωρητικά η εναλλαξιμότητα των τεμαχίων, είναι δυνατή αν αυτά κατασκευαστούν έτσι, ώστε οι διαστάσεις τους να τηρηθούν χωρίς σφάλματα. Αυτό όμως είναι αδύνατον. Κανένα αντικείμενο δεν μπορεί να παραχθεί ακριβώς ίσο με το προηγούμενό του. Λόγοι που δεν επιτρέπουν να παραχθούν ίδια τεμάχια : Διάφορα σφάλματα. Φθορές στις εργαλειομηχανές. Φθορές στα εργαλεία κατασκευής. Διαφορές στο υλικό. Θερμοκρασιακές επιδράσεις. Ανθρώπινος παράγων. Πολλές φορές η τήρηση μιας διάστασης δεν είναι αναγκαία ούτε επιθυμητή. Εφόσον προκύπτουν αποκλίσεις (σφάλματα) από την διάσταση που θέλουμε, είναι αναγκαίο να τις περιορίσουμε μέσα σε προκαθορισμένα όρια. Τα όρια αυτά είναι δυο οριακές τιμές ( μία μέγιστη και μια ελάχιστη), μέσα στις οποίες πρέπει να βρίσκεται η πραγματική διάσταση κάθε τεμαχίου που παράγεται. Τα ίδιο συμβαίνει και στα έπιπλα όπου αποτελούνται από διάφορα στοιχεία τα οποία συναρμολογούνται μεταξύ τους. Σε ένα κατασκευαστικό σχέδιο επίπλου τοποθετούνται οι επιθυμητές διαστάσεις. 37

38 Κατά την κατασκευή των στοιχείων του όμως θα υπάρχει κάποια απόκλιση μέγιστη ή ελάχιστη μεταξύ της προβλεπόμενης διάστασης (επιθυμητής) και της διάστασης που επιτεύχθηκε κατά την παραγωγή των στοιχείων. Έτσι προκύπτει μια διαφορά μεταξύ της μέγιστης και ελάχιστης απόκλισης Επιθυμητές διαστάσεις Διαστάσεις κατά την κατασκευή Η διαφορά αυτή της προβλεπόμενης (επιθυμητής) διάστασης από την διάσταση που επιτεύχθηκε κατά την διαδικασία παραγωγής των στοιχείων δεν πρέπει να ξεπερνά κάποια επιτρεπτά όρια, ώστε να μην επηρεάζεται η ακρίβεια και η ποιότητα των στοιχείων. Έτσι έχουμε την μέγιστη επιτρεπτή διάσταση και την ελάχιστη επιτρεπτή διάσταση. Άρα : Ανοχή: Λέγεται η διαφορά ανάμεσα στην μέγιστη και την ελάχιστη επιτρεπόμενη διάσταση κατά την κατασκευή των στοιχείων ενός επίπλου. 38

39 Διάφοροι συμβολισμοί και ο ορισμός τους: Ν = Ονομαστική διάσταση: ( Είναι η διάσταση που αναγράφεται στο σχέδιο). Κ = Ελάχιστη διάσταση: ( Είναι η μικρότερη επιτρεπόμενη οριακή διάσταση). G = Μέγιστη διάσταση: (Είναι η μεγαλύτερη επιτρεπόμενη οριακή διάσταση). Α = Διάσταση απόκλισης: (Είναι η επιτρεπόμενη απόκλιση διάστασης από την ονομαστική διάστασης από την ονομαστική. Την διακρίνουμε σε άνω διάσταση απόκλισης και σε κάτω διάσταση απόκλισης). Au =Κατώτερη διάσταση απόκλισης: (Είναι η ελάχιστη αρνητική ονομαστική διάσταση). Αο = Ανώτερη διάσταση απόκλισης: (Είναι η μέγιστη θετική ονομαστική διάσταση). Τ = Διάσταση ανοχής (Ανοχή) : (Είναι η συνολική επιτρεπόμενη απόκλιση από την ονομαστική διάσταση). Τ = G K ή Τ = Ao - Au Ανοχές μήκους: Τ= G K ή T = Αο - Αu 39

40 Αριθμητικό παράδειγμα υπολογισμού ανοχής: Τ=G-K = 0,2-(-0,2) = 0,4 ή Τ=Ao-Au = 0,2-(-0,2)=0,4 Πως γράφουμε την ανοχή: 40

41 Σειρές ανοχών: ΣΕΙΡΑ ΗΤ 10: Για κατασκευαστικά στοιχεία υψηλής ακρίβεια. ΣΕΙΡΑ ΗΤ 15: Για κατασκευαστικά στοιχεία συνδυαζόμενα. ΣΕΙΡΑ ΗΤ 25 & ΗΤ 40: Όχι υψηλής ακρίβειας. 41

42 Παράδειγμα υπολογισμού και τοποθέτησης ανοχής στο σχέδιο: για Σειρά ΗΤ 15 Στον πίνακα σειράς των ανοχών για μήκος 25χιλ. και σειρά ΗΤ 15 Έχω ανοχή 0,21 άρα η κατώτερη διάσταση είναι 0,1 και η ανώτερη +0,1οπότε στο σχέδιο θα γράψουμε ,1 - Για μήκος στοιχείου 64 χιλ. και για σειρά ΗΤ 15 έχω ανοχή 0,26. Η κατώτερη διάσταση είναι - 0,13 και η ανώτερη +0,13. Στο σχέδιο θα γράψουμε 64 +_0,13. - Για μήκος 256 και την ίδια σειρά έχω: Ανοχή = 0,36 Κατώτερη διάσταση -0,18 Ανώτερη διάσταση +0,18 Στο σχέδιο θα γράψουμε ,18 - Για μήκος 306 χιλ. και την ίδια σειρά έχω: Ανοχή = 0,36 Κατώτερη διάσταση - 0,18 Ανώτερη διάσταση +0,18 Στο σχέδιο θα γράψουμε ,18 42

43 Πεδίο ανοχών: Το ορθογώνιο ΑΒΓΔ λέγεται πεδίο ανοχών Ανοχές γωνιών: Τ= G-K= 0,2-(-0,2) =0,4 t = T/2 = 0,4/2= 0,2 43

44 Συναρμογές Τα διάφορα έπιπλα αποτελούνται από στοιχεία (τα κατασκευαστικά στοιχεία) τα οποία πρέπει να συναρμολογηθούν μεταξύ τους, ώστε να μας αποτελέσουν το έπιπλο συναρμολογημένο. Τα στοιχεία αυτά λέγονται στοιχεία συναρμογής. Είδη συναρμογών: 1. Συναρμογή διακένου 2. Συναρμογή πρεσαριστή 3. Μεταβατική συναρμογή - Συναρμογή διακένου: Λέγεται έτσι γιατί τα συναρμολογούμενα στοιχεία εμφανίζουν ένα διάκενο μεταξύ τους, εκτός από τις αποκλίσεις των διαστάσεων που έχουν τα προς συναρμολόγηση στοιχεία.. Gw = Άξονας μέγιστης διάστασης Κw = Άξονας ελάχιστης διάστασης GB = Τρύπημα μέγιστης διάστασης Κb = Tρύπημα ελάχιστης διάστασης 44

45 Ανάλογα με τις ανοχές που έχει ξεχωριστά το κάθε στοιχείο, προκύπτει και διαφορετικό διάκενο. Μέγιστο διάκενο (Sg) Όταν συναρμολογούνται άξονας ελάχιστης διάστασης (Κw) και τρύπημα μέγιστης διάστασης (Gb). Ελάχιστο διάκενο (Sκ) Όταν συναρμολογούνται άξονας μέγιστης διάστασης (Gw) και τρύπημα ελάχιστης διάστασης (Kb). - Πρεσαριστή συναρμογή: Στις πρεσαριστές συναρμογές πρέπει τα στοιχεία συναρμογής να παρουσιάζουν ένα πλεόνασμα διάστασης, εκτός από τις αποκλίσεις των διαστάσεων που έχουν τα προς συναρμολόγηση στοιχεία. Ανάλογα με διαφορετικό. τις ανοχές που έχουν τα στοιχεία ξεχωριστά το πλεόνασμα είναι Μέγιστο πλεόνασμα διάστασης( Ug): προκύπτει όταν συναρμολογούνται η ελάχιστη διάσταση τρυπήματος (Kb) με την μέγιστη διάσταση άξονα (Gw). Ελάχιστο πλεόνασμα διάστασης (Uk): Όταν συναρμολογούνται η μέγιστη διάσταση τρυπήματος (Gb) με την ελάχιστη διάσταση άξονα (Kw). 45

46 Συστήματα συναρμογών: - Σύστημα ενότητας εσωτερικής διάστασης - Σύστημα ενότητας εξωτερικής διάστασης Στο σύστημα ενότητας εσωτερικής διάστασης τα πεδία των ανοχών των εσωτερικών διαστάσεων βρίσκονται σε ενότητα με τα κατώτερα όρια στη γραμμή του μηδενός. Δεν υπάρχει στις εσωτερικές διαστάσεις καμιά κατώτερη διάσταση απόκλισης. Είναι Au =0. και φυσικά χωρίς πρόσημο. Στο σύστημα ενότητας εξωτερικής διάστασης τα πεδία ανοχών των εξωτερικών διαστάσεων βρίσκονται σε ενότητα με τα ανώτερα όρια στη γραμμή του μηδενός. Δεν υπάρχει στις εξωτερικές διαστάσεις καμιά ανώτερη διάσταση απόκλισης. Είναι Α 0 = 0 και φυσικά χωρίς πρόσημο. 46

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Κόνιαρης Γεώργιος. Σχέδιο Ειδικότητας ΤΕΧΝΙΚΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Κόνιαρης Γεώργιος. Σχέδιο Ειδικότητας ΤΕΧΝΙΚΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Κόνιαρης Γεώργιος Σχέδιο Ειδικότητας ΤΕΧΝΙΚΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΑ Β Τάξη 1 ου Κύκλου Ειδικότητα: Αµαξωµάτων ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ & ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΗΣ Σύνταξη κειμένου: Μαρία Ν. Δανιήλ, Αρχιτέκτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι

ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΠΕΙΡΩΜΑΤΑ - ΚΟΧΛΙΕΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΠΕΙΡΩΜΑΤΑ - ΚΟΧΛΙΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΠΕΙΡΩΜΑΤΑ - ΚΟΧΛΙΕΣ Διαμόρφωση Σπειρώματος Το σπείρωμα δημιουργείται από την κίνηση ενός παράγοντος σχήματος (τρίγωνο, ορθογώνιο κλπ) πάνω σε έλικα που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙΣ ΕΛΕΝΗ Κ. ΆΓΑ, Επίκουρη Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. Μάθημα: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙΣ EΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 ΣΧΕΔΙΟ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (355) Μάθημα: ΣXEΔΙΟ ΕΠΙΠΛOY ΚΑΙ ΞΥΛΟΥΡΓΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Α! Τάξης. Καθηγητής : ΗΡΑΚΛΗΣ ΝΤΟΥΣΗΣ

Τεχνολογία Α! Τάξης. Καθηγητής : ΗΡΑΚΛΗΣ ΝΤΟΥΣΗΣ Τεχνολογία Α! Τάξης Καθηγητής : ΗΡΑΚΛΗΣ ΝΤΟΥΣΗΣ Μελέτη Πριν από κάθε κατασκευή προηγούνται : 1. Μελέτη 2. Σχεδίαση *Τι σχήμα να τις δώσω; *Τι μέγεθος θα έχει (διαστάσεις); Σχεδίαση * Ποιοι είναι οι κανόνες

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ»

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ» ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ 26 ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Σ ένα στερεό ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις. Όταν το στερεό ισορροπεί, δηλαδή ισχύει ότι F 0 και δεν περιστρέφεται τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν Στ=0,

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ http://www.ikastiko.gr/ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΚΥΡΙΑΚΗ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΔΙΩΡΟΦΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ»

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό.

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό. Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΚΥΡΙΑΚΗ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΔΙΩΡΟΦΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Λεμονιά Αμυγδάλου, Ε.Τ.Ε.Π. ΤΜΟΔ (Ειδικό Τεχνικό Εργαστηριακό Προσωπικό) (e-mail: lamygdalou@fme.aegean.gr) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή στην Τεχνική Σχεδίαση Όψεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΠΙΠΛΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΠΙΠΛΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Κεφάλαιο 17

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Κεφάλαιο 17 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 1 ο Παράδειγµα (διάρκεια: 15 λεπτά) Κεφάλαιο 17 Α. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ:... ΤΑΞΗ:... ΤΜΗΜΑ:... ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:... Β.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Χρόνος: ώρες Βαθμός: Ημερομηνία: Παρασκευή, 13 Ιουνίου 014 Υπογραφή καθηγητή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-321-0 Copyright: N. X. Ράκας, Eκδόσεις ZHTH, Θεσσαλονίκη, 2012 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Στα 1849 ο Sir David Brewster περιγράφει τη μακροσκοπική μηχανή λήψης και παράγονται οι πρώτες στερεοσκοπικές φωτογραφίες (εικ. 5,6).

Στα 1849 ο Sir David Brewster περιγράφει τη μακροσκοπική μηχανή λήψης και παράγονται οι πρώτες στερεοσκοπικές φωτογραφίες (εικ. 5,6). ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΑ Η στερεοσκοπία είναι μια τεχνική που δημιουργεί την ψευδαίσθηση του βάθους σε μια εικόνα. Στηρίζεται στο ότι η τρισδιάστατη φυσική όραση πραγματοποιείται διότι κάθε μάτι βλέπει το ίδιο αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΕΜΠΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΔΥΟ (2)

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΕΜΠΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΔΥΟ (2) AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΕΜΠΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΔΥΟ (2) ΖΗΤΟΥΝΤΑΙ: 1. Απεικόνιση του θέματος στον καθορισμένο

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σημειώσεις

Πρόχειρες Σημειώσεις Πρόχειρες Σημειώσεις ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΔΟΧΕΙΑ ΠΙΕΣΗΣ Τα λεπτότοιχα δοχεία πίεσης μπορεί να είναι κυλινδρικά, σφαιρικά ή κωνικά και υπόκεινται σε εσωτερική ή εξωτερική πίεση από αέριο ή υγρό. Θα ασχοληθούμε μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης K.5.1 Γραμμή Παραγωγής Μια γραμμή παραγωγής θεωρείται μια διάταξη με επίκεντρο το προϊόν, όπου μια σειρά από σταθμούς εργασίας μπαίνουν σε σειρά με στόχο ο κάθε ένας από αυτούς να κάνει μια ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. Γενικά. Επιφάνεια σχεδίασης. Όργανα σχεδίασης

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. Γενικά. Επιφάνεια σχεδίασης. Όργανα σχεδίασης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γενικά Τα περισσότερα στοιχεία αυτού του κεφαλαίου είναι γνωστά στους φοιτητές. Η εκ νέου παράθεσή τους στο παράρτημα γίνεται για λόγους υπενθύμισης και πιο ολοκληρωμένης παρουσίασης. Στην ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΔΙΩΡΟΦΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ»

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΔΙΩΡΟΦΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ» ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 15 ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΔΙΩΡΟΦΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΕ ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΡΙΒΗΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΕ ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΡΙΒΗΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΕ ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΡΙΒΗΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ [Π. Μουρούζης, Γ. Παληός, Κ. Παπαμιχάλης, Γ. Τουντουλίδης, Τζ. Τσιτοπούλου, Ι. Χριστακόπουλος] Για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ Ιστορικά Στις αρχές του 16 ου αιώνα ήταν ήδη γνωστές οι αρχές της γραμμικής προοπτικής, περίπου όπως την ξέρουμε σήμερα. Την περίοδο αυτή καλλιτέχνες, γλύπτες και αρχιτέκτονες άρχισαν να πειραματίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Η μεταβλητή "χρόνος" στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis

Η μεταβλητή χρόνος στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis Η μεταβλητή "χρόνος" στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis Η αναφορά στο χρόνο Αναφερόμενοι στο χρόνο, θα πρέπει κατ αρχάς να τονίσουμε ότι αυτός μπορεί να είναι είτε το ημερολογιακό έτος, είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ Μάθημα προς τους ειδικευόμενους γιατρούς στην Οφθαλμολογία, Στο Κ.Οφ.Κ.Α. την 18/11/2003. Υπό: Δρος Κων. Ρούγγα, Οφθαλμιάτρου. 1. ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Όταν μια φωτεινή ακτίνα ή

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο

Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο Α Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να γνωρίσουν οι μαθητές τα υλικά που χρειάζονται για το ελεύθερο σχέδιο και τον τρόπο που θα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΕΞΟΧΙΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΚΑΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΛΥΠΤΗ»

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙ ΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕ ΙΟ

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙ ΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕ ΙΟ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙ ΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕ ΙΟ ΤΕΤΑΡΤΗ 12 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΛΑΪΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΤΗΣ ΣΑΝΤΟΡΙΝΗΣ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ TΡΙΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ: «ΧΩΡΟΣ ΕΚΘΕΣΗΣ ΚΕΡΑΜΙΚΩΝ ΕΙΔΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 Τοπογραφικοί Χάρτες Περίγραμμα - Ορισμοί - Χαρακτηριστικά Στοιχεία - Ισοϋψείς Καμπύλες - Κατασκευή τοπογραφικής τομής

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο Ειδικότητας Αµαξωµάτων

Σχέδιο Ειδικότητας Αµαξωµάτων 89 ιδακτικοί στόχοι: Στο τέλος αυτής της διδακτικής ενότητας θα είσαι σε θέση: Να µπορείς να απεικονίζεις σε σκαρίφηµα τα κυριότερα µέρη των αµαξωµάτων. Να γνωρίζεις τη σειρά συναρµολόγησης των τµηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε κίνηση ενός κινητού; 2. Τι ονομάζουμε τροχιά ενός κινητού; 3. Τι ονομάζουμε υλικό σημείο; 4. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Τέκτων 10. for Windows. Εκπαιδευτική Έκδοση 5.4.0.104. Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα. Αθήνα, Μάιος 2013. Version_1_0_1

Τέκτων 10. for Windows. Εκπαιδευτική Έκδοση 5.4.0.104. Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα. Αθήνα, Μάιος 2013. Version_1_0_1 Τέκτων 10 for Windows Εκπαιδευτική Έκδοση 5.4.0.104 Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα Αθήνα, Μάιος 2013 Version_1_0_1 2 Τέκτων 10 for Windows Εκπαιδευτική Έκδοση Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «Βυζαντινές προσωπογραφίες. Ανίχνευση της Βυζαντινής τεχνοτροπίας στις μορφές του Δομήνικου Θεοτοκόπουλου»

ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «Βυζαντινές προσωπογραφίες. Ανίχνευση της Βυζαντινής τεχνοτροπίας στις μορφές του Δομήνικου Θεοτοκόπουλου» ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «Βυζαντινές προσωπογραφίες. Ανίχνευση της Βυζαντινής τεχνοτροπίας στις μορφές του Δομήνικου Θεοτοκόπουλου» ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2013-14 ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ 28 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΕΞΟΧΙΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Το κτήριο

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΕΜΠΤΗ 15 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2011

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΕΜΠΤΗ 15 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΕΜΠΤΗ 15 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΚΡΗΤΙΚΟ ΣΤΕΝΟΜΕΤΩΠΟ ΚΑΜΑΡΟΣΠΙΤΟ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΝΔΕΣΜΩΝ ΜΕ ΛΟΞΑ ΔΟΝΤΙΑ

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΝΔΕΣΜΩΝ ΜΕ ΛΟΞΑ ΔΟΝΤΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΠΙΠΛΟΥ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΝΔΕΣΜΩΝ ΜΕ ΛΟΞΑ ΔΟΝΤΙΑ Μιχάλης Σκαρβέλης Για την κατασκευή συνδέσμων με λοξά δόντια χρησιμοποιούνται αρκετές εμπειρικές μέθοδοι. Αφού γωνιάσουμε τα

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: f Μ = x ΜΑ+ x ΜΑ+ΑΒ + x ΜΑ+ΑΓ = ΜΑ + ΜΑ + ΜΑ + ΑΒ + ΑΓ ( x) ( x) ( x ) ( x) ( x ) = ( x + x + x ) ΜΑ + ( x) ΑΒ + ( x ) ΑΓ = ( x 4x+ ) ΜΑ+ ( x) ΑΒ+ ( x ) Α Γ f Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Μακρή EFIAP. www.michalismakri.com

Μιχάλης Μακρή EFIAP. www.michalismakri.com Μιχάλης Μακρή EFIAP www.michalismakri.com Γιατί κάποιες φωτογραφίες είναι πιο ελκυστικές από τις άλλες; Γιατί κάποιες φωτογραφίες παραμένουν κρεμασμένες σε γκαλερί για μήνες ή και για χρόνια για να τις

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

Να το πάρει το ποτάµι;

Να το πάρει το ποτάµι; Να το πάρει το ποτάµι; Είναι η σκιά ενός σώµατος που το φωτίζει ο Ήλιος. Όπως η σκιά του γνώµονα ενός ηλιακού ρολογιού που µε το αργό πέρασµά της πάνω απ τα σηµάδια των ωρών και µε το ύφος µιας άλλης εποχής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «ΦΟΙΤΗΤΙΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ»

ΘΕΜΑ: «ΦΟΙΤΗΤΙΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ» ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΤΡΙΤΗ 30 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΦΟΙΤΗΤΙΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες συναρμολόγησης

Οδηγίες συναρμολόγησης Οδηγίες συναρμολόγησης Μονάδα συστοιχίας 7214 6000-000.1TD Logamax plus GB162-65/80/100 Για τον τεχνικό Διαβάστε προσεκτικά πριν από τη συναρμολόγηση. 6 720 614 080 (2011/02) GR Επισκόπηση του προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΙ ΚΑΙ ΣΤΑΘΕΡΟΙ ΣΥΝΔΕΣΜΟΙ ΚΟΜΒΟΙ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΑΣΥΝΔΕΣΗ ΣΩΛΗΝΩΝ, ΡΑΒΔΩΝ, ΔΟΚΩΝ ΓΙΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΧΩΡΟΔΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ

ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΙ ΚΑΙ ΣΤΑΘΕΡΟΙ ΣΥΝΔΕΣΜΟΙ ΚΟΜΒΟΙ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΑΣΥΝΔΕΣΗ ΣΩΛΗΝΩΝ, ΡΑΒΔΩΝ, ΔΟΚΩΝ ΓΙΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΧΩΡΟΔΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ ΙΟΥΛΙΟΣ-ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2006 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 1 ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΙ ΚΑΙ ΣΤΑΘΕΡΟΙ ΣΥΝΔΕΣΜΟΙ ΚΟΜΒΟΙ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΑΣΥΝΔΕΣΗ ΣΩΛΗΝΩΝ, ΡΑΒΔΩΝ, ΔΟΚΩΝ ΓΙΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΧΩΡΟΔΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ Αριθμός Κατάθεσης Διπλώματος Ευρεσιτεχνίας Ο.Β.Ι.

Διαβάστε περισσότερα