VI. VECTORES NO ESPAZO

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "VI. VECTORES NO ESPAZO"

Transcript

1 VI. VECTORES NO ESPAZO.- Vectores no espazo. Operacións Sexa E o espazo de pntos ordinario o intitio da xeometría elemental. Un segmento orientado AB con orixe no pnto A e extremo no pnto B recibe o nome de ector fixo e se representa por AB. Se a orixe e o extremo coinciden, reslta o ector fixo nlo. O conxnto dos ectores fixos do espazo designarémolo por F. Características do ector AB: Módlo: a lonxitde do segmento AB e represéntase por AB Dirección: a recta qe pasa polos pntos A e B, o calqera paralela á mesma. Sentido: o do percorrido da recta dirección desde a orixe A ata o extremo B. Un ector fixo non nlo qeda perfectamente determinado no espazo cando se coñecen a súa orixe e o se extremo, o cando se coñece a súa orixe e o se módlo, dirección e sentido. Os ectores fixos nlos teñen módlo igal a cero e se admite qe teñen todos a mesma dirección e sentido. Eqipolencia de ectores fixos: Dos ectores fixos teñen o mesmo módlo cando son igais as lonxitdes dos segmentos qe determinan. Dos ectores fixos non nlos teñen a mesma dirección cando están na mesma recta o sobre rectas paralelas. Dos ectores fixos non nlos AB e CD teñen o mesmo sentido se : - estando sobre rectas paralelas, os extremos B e D pertencen ao mesmo semiplano dos qe determina a recta qe ne as orixes A e C. - estando sobre a mesma recta, teñen o mesmo sentido qe otro non sitado na recta qe os contén. Dos ectores fixos non nlos son eqipolentes, AB ~ CD, cando teñen o mesmo módlo, dirección e sentido. Interpretación xeométrica: Se consideramos dos ectores fixos AB e CD non nlos, non aliñados e eqipolentes e nimos as orixes A e C e os extremos B e D, a figra qe se obtén é n paralelogramo. Se collemos n ector fixo AB e tódolos ses eqipolentes, formamos n conxnto o clase determinada por AB. Cada nha das clases en qe qeda diidido o conxnto F mediante a relación de eqipolencia recibe o nome de ector libre. O conxnto dos ectores libres do espazo representámolo por V VI /

2 Representación e características dn ector libre: Calqera ector fixo AB sere como representante de toda a clase de eqialencia á qe pertence e qe designaremos por [AB], a o a. A clase formada polos ectores fixos nlos é o ector libre nlo. Este ector libre nlo representámolo por 0. Chámase módlo, dirección e sentido dn ector libre non nlo ao módlo, dirección e sentido dn calqera dos ses representantes. O módlo do ector libre a represéntase por a. O ector libre 0 ten por módlo 0 e non ten dirección nin sentido. Propiedade fndamental: Dados n ector libre a e n pnto arbitrario P do espazo, sempre é posible considerar n representante de a con orixe en P. Ademais, este representante é único. Operacións con ectores libres:. Dados dos ectores libres a e b e o pnto O do espazo, elixidos os representantes OA e AB de a e b, respectiamente, defínese o ector sma e se escribe a+b como o ector libre de representante OB. Tamén se pode obter a sma como a diagonal do paralelogramo qe ten por lados os ectores a e b A sma así definida non depende do pnto O elixido coma orixe dos representantes dos ectores smandos.. Sendo a n ector libre de representante AB e n número real distinto de cero, defínese.a como o ector qe ten : a dirección de AB o sentido de AB se 0 e o de BA se 0 o se módlo coincide co alor de. a Polo tanto, se e teñen a mesma dirección (ectores paralelos), entón existe n número R de modo qe =.- Dependencia e independencia linear de ectores Sexan, e tres ectores libres de V. O ector é combinación linear dos tres anteriores se pode escribirse = a + a + a. Tamén se di qe depende linearmente de, e. Se n ector non depende linearmente de otros, é linearmente independente deles. Vector coplanario con otros dos é aqel qe depende linearmente deles. Os ectores,,..., n son linearmente independentes se ningún deles se pode escribir como combinación linear dos demais. Se algún dos ectores se pode escribir como combinación linear do resto, dise qe os ectores son linearmente dependentes En xeral para determinar a dependencia o independencia linear dn sistema de ectores, igalase ao ector nlo nha combinación linear de ditos ectores, obténdose así n sistema de ecacións lineais homoxéneo. Se o sistema é determinado (solción única, a triial), non é posible despexar ningún ector en fnción dos demais e polo tanto os ectores son independentes. Se o sistema é indeterminado, existen combinacións lineais con coeficientes distintos de cero qe dan como resltado o ector nlo. Entón si qe se pode despexar algún ector como combinación linear dos demais: os ectores son linearmente dependente. VI / Matemáticas II XEOMETRÍA

3 O conxnto B={,, } é nha base de V se os ectores son linearmente independentes e ademais, calqera ector se pode expresar como combinación linear deles. Tres ectores libres,, non nlos e non coplanarios forman nha base de V. x x y z Coordenadas dn ector: Se x = x + y + z dise qe (x,y,z) son as compoñentes o coordenadas cartesianas do ector x respecto da base B. Pódese demostrar qe as coordenadas dn ector respecto dnha base son únicas. Entón a cada ector x se lle pode facer corresponder de maneira única nha terna (x,y,z) e reciprocamente. Sistema de referencia: Un sistema de referencia é o conxnto {O,,, } formado por n pnto O, qe é a orixe do sistema e nha base de V. Mediante n sistema de referencia, a cada pnto do espazo X se lle asocia n ector OX ector de posición do pnto X. As coordenadas deste pnto X son as coordenadas do ector OX respecto da base B={,, }. E fixado O V fixada nha base R X OX= x + y + z (x, y, z) As rectas qe determinan os ectores da base chámanse eixes de coordenadas e os planos determinados por eles, planos coordenados. Traballaremos no sistema de referencia ortonormal: aqel no qe os ectores son perpendiclares dos a dos e ademais de módlo a nidade, {O, e, e, e }={O, i, j, k }. As operacións en R : (x, y,z ) + (x, y, z ) = (x +x, y +y, z +z ) k (x, y, z) = (kx, ky, kz) son a tradcción alxébrica do qe ocorre en V ( Espazo afín asociado ao espazo ectorial V : e k ) Chámase espazo afín asociado ao espazo V dos ectores libres, e se representa por E ao espazo ordinario de pntos, E, dotado dnha aplicación p, de ExE en V qe a cada par de pntos (A, B) de ExE lle corresponde n ector a=[ab] tal qe: ) A E, a V, existe n único pnto B E tal qe [AB]=a ) A,B,C E, se cmpre [AB]+[BC]+[CA]=0 (relación de Chasles) VECTORES NO ESPAZO Matemáticas II VI /

4 .- Prodto escalar Sexan e dos ectores libres de V. Dos representantes dos ectores coa mesma orixe, determinan dos ánglos; ao menor deles chamaremos ánglo dos ectores e. Este ánglo é independente da orixe O e a súa medida está comprendida entre 0 e radiáns. Prodto escalar dos ectores e de V é o número real:.=..cos (, ) Se algún dos ectores é nlo, o se prodto escalar é cero. O prodto escalar pódese considerar como nha aplicación de V x V en R. (O espazo ectorial V dotado do prodto escalar recibe o nome de espazo ectorial eclídeo (V,.)) Nnha base ortonormal, e e 0 i j se se i j i j e, ademais, e,0, 0), e (0,, 0) ( e e (0, 0,) Interpretación xeométrica: O alor absolto do prodto escalar de dos ectores é igal ao módlo dn deles pola proxección do otro sobre el. Ánglo agdo: cos OH cos OH Ánglo obtso: cos( 80º OH cos ) En calqera caso OH Propiedades:,, w V. Conmtatia:. =. Ánglos opostos teñen o mesmo coseno cos(, ) cos(, ). O prodto escalar é distribtio respecto da sma de ectores:.(+w)=.+.w ( w) s' ' w' ' w' w VI / 4 Matemáticas II XEOMETRÍA

5 . Homoxénea: R, (.). =.(.) =.(.) a) Se 0, e teñen o mesmo sentido (, )=(, ) ( ).=..cos (,)=..cos (,)= (.) b) Se <0, e teñen sentidos opostos (, ), (, ) son splementarios ( ).=..cos (,)=... (-cos (,))= = -..(-cos(.))=...cos (,)= (.) 4. O prodto escalar dn ector por se mesmo é n número positio o nlo..=..cos (,)=.cos 0= 0. = 0 = 0 = 0 Expresión analítica: Se referidos á base ortonormal (e, e, e ) temos os ectores = ( e + e + e ) ( e + e + e ) e e e e e e e e +e e +e e + ( )ee ( )ee + ( )e e de onde = + + expresión analítica do prodto escalar dos ectores e. 4. Módlo dn ector: Das propiedades do prodto escalar sabemos qe é dicir, o módlo dn ector é igal á raíz cadrada positia do prodto escalar do ector por se mesmo. Na base ortonormal qe estamos considerando se = e + e + e teremos: = + + Verificándose:. 0 e = 0 0. En efecto xa qe = = R, V ; = ( ) ( ) ( ). Propiedade trianglar ( ).( )....cos.. Un ector dise nitario se o se módlo é a nidade = VECTORES NO ESPAZO Matemáticas II VI / 5

6 Dado n ector non nlo sempre se poden obter dos ectores nitarios coa mesma dirección e sentidos opostos,, qe claramente son nitarios: ( ) Da definición de prodto escalar e das expresións analíticas do prodto escalar de dos ectores e do módlo dn ector podemos calclar o ánglo qe determinan dos ectores: cos(, ) = (, ) = arc cos. A condición necesaria e sficiente para qe dos ectores non nlos sexan perpendiclares o ortogonais é qe o se prodto escalar sexa cero. Aínda qe etimoloxicamente ortogonal é o mesmo qe perpendiclar, en ectores, o termo ortogonal tilizarase para indicar qe o prodto escalar é cero. Como o ector nlo é ortogonal a calqera otro ector pero non se pode dicir qe sexa perpendiclar a ningún, diremos qe dos ectores poden ser ortogonais sen ser perpendiclares; é o caso de qe n deles sexa o ector nlo. Exercicio: Demostra qe se é o ánglo qe forman e, cos Prodto ectorial Chámase prodto ectorial de dos ectores libres e de V, a otro ector qe se representa por e qe se obtén do seginte modo: módlo: =..sen (,) dirección: sentido: w w perpendiclar ós ectores e o de aance dn sacarrollas o n parafso qe xira do primeiro ao segndo polo camiño máis crto Da definición se dedce qe o prodto ectorial de dos ectores pódese considerar como nha aplicación de V x V en V. Propiedades:. Homoxénea: ( )= ()=( ). Anticonmtatia: =-(). Distribtia do prodto ectorial respecto da sma: (+w)=()+(w) VI / 6 Matemáticas II XEOMETRÍA

7 Interpretación xeométrica: O módlo do prodto ectorial dos ectores e é igal á área do paralelogramo qe ten por lados os módlos dos ectores e. sen área do h h paralelogramo Como consecencia, a área dn triánglo é a metade da área do paralelogramo: A t AB AC Expresión analítica: Se =(,, ) e =(,, ) son dos ectores libres de V expresados nnha base ortonormal, o ector prodto ectorial en dado por: = e e (Este determinante non ten sentido por ser os ses elementos números reais e ectores; é lícito tilizalo se se conén en qe é só nha notación simbólica do prodto ectorial) Con esta expresión analítica do prodto ectorial, as propiedades anteriormente expostas son nha consecencia inmediata das propiedades dos determinantes. Pódese demostrar qe o prodto ectorial definido desta maneira é o mesmo qe o definido anteriormente. e e e e 6.- Prodto mixto Prodto mixto de tres ectores libres do espazo,, w é n número real qe se representa por [,,w] e qe se obtén : [,,w]=.(w); é polo tanto nha aplicación de V x V x V en R. Expresión analítica: Se =(,, ), =(,, ) e w=( w,w, w ) son tres ectores libres de V expresados nnha base ortonormal, o prodto mixto en dado por:,,w ( w) (,, ),,... det (,, w) w w w w w w w w w VECTORES NO ESPAZO Matemáticas II VI / 7

8 Propiedades qe se dedcen das propiedades dos determinantes:. [,,w] = [,w,] = [w,,]= - [,w,] = - [w,,] = - [,,w]. [,,w] = 0 se, e so se,,, w son linearmente dependentes. [a,b,cw] = abc[,,w] 4. [+',,w] = [,,w] + [',,w] Interpretación xeométrica: O alor absolto do prodto mixto de tres ectores é igal ao olme do paralelepípedo qe ten por arestas ós tres ectores.,, w w w cos α h w Volme do paralelepípedo Volme do prisma olme do paralelepípedo ; Volme do tetraedro = olme do paralelepípedo 6 Exercicio: B4. A. Pode ocorrer qe o prodto mixto de tres ectores sexa cero sen ser ningún dos ectores o ector nlo? Razoe a resposta. B. Para,, w, tres ectores no espazo tales qe, e w 5, ache os alores mínimo e máximo do alor absolto de se prodto mixto. VI / 8 Matemáticas II XEOMETRÍA

9 EXERCICIOS. Propoñer n exemplo dn ector qe sexa ortogonal ao ector c de coordenadas (, -, ) e teña módlo dobre qe o de c.. Sendo A(,, ), B(4,, ), C(4, 4, ), D(4, 4, ) értices dn paralelepípedo de arestas AB, AC e AD, calclar as coordenadas dos restantes értices e o se olme.. Dados os ectores (, 0, 0), (0,, ), determinar otro tal qe B={,, } sexa nha base ortonormal 4. Calclar algún alor do parámetro a para qe o prodto ectorial de (,, a) e (, a, 0) teña a dirección do eixe OZ 5. Dnha matriz cadrada, A, de orde, sábese o seginte:. A(, 0, 0) t =(, 0, ) t, A(,, 0) t =(0,, -) t.. A primeira fila de A é o prodto ectorial (,, ) (,, 0).. O sistema AX=(6, 0, ) t é compatible indeterminado. 4. A(0, 0, ) t é ortogonal ao ector (,, -) t. a) Achar a matriz A b) Cal das condicións anteriores asegra por se mesma qe o determinante de A ale cero? 6. Resoler a seginte ecación ectorial x (,, ) (,,5 ) sabendo qe x 6 7. Achar dos ectores linearmente independentes qe sexan ortogonais a e (,, ) 8. Dados os ectores (,, 0) e (, 0,), acha n ector nitario w qe sexa coplanario con e e ortogonal a. 9. Sexan os ectores (0,, 0), (,, ) e (,, ) a) Son os ectores, e linearmente dependentes? b) Para qe alores de a o ector ( 4, a, ) pode expresarse como combinación linear dos ectores, e? c) Calcla n ector nitario e perpendiclar a, e ( a,,, (,,) 0. a) Estdar se os ectores ) a a e (,, ) independentes en fnción do alor do parámetro a b) Cando sexan linearmente dependentes, escribir, se é posible, de e. Dados os ectores de encontrar nha base de R son linearmente como combinación linear e (,, ), e (, 5, ), e (0,, ) e e (-,, 0), R e escribir o otro como combinación linear de dita base. B0. a) En R, definir o prodto escalar de dos ectores. Poñer n exemplo de dos ectores non nitarios qe sexan ortogonais. b) Dados os ectores =(, -, ) e =(,, -), achar o conxnto de ectores qe, sendo perpendiclares a, pertenzan ao plano xerado por e. B. Calcle para qe os pntos A(,,), B(,0,), C(5,-,) e D(,, ) sexan coplanarios. Calcle a área do polígono ABCD B7. A. Sexan e dos ectores. Comprobe qe se ( )( ) 0 entón. B. Calcle os ectores nitarios qe sexan perpendiclares a (, 4,) e (,, 0). B. Dados os ectores (,0,4) e (,0, ) para qe alores de o módlo do ector ( ) ( ) ale 4? 4 VECTORES NO ESPAZO Matemáticas II VI / 9

XEOMETRÍA NO ESPAZO. - Se dun vector se coñecen a orixe, o módulo, a dirección e o sentido, este está perfectamente determinado no espazo.

XEOMETRÍA NO ESPAZO. - Se dun vector se coñecen a orixe, o módulo, a dirección e o sentido, este está perfectamente determinado no espazo. XEOMETRÍA NO ESPAZO Vectores fixos Dos puntos do espazo, A e B, determinan o vector fixo AB, sendo o punto A a orixe e o punto B o extremo, é dicir, un vector no espazo é calquera segmento orientado que

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS. 3. Cal é o vector de posición da orixe de coordenadas O? Cales son as coordenadas do punto O?

EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS. 3. Cal é o vector de posición da orixe de coordenadas O? Cales son as coordenadas do punto O? EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS Representa en R os puntos S(2, 2, 2) e T(,, ) 2 Debuxa os puntos M (, 0, 0), M 2 (0,, 0) e M (0, 0, ) e logo traza o vector OM sendo M(,, ) Cal é o vector de

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS DE REFORZO: RECTAS E PLANOS

EXERCICIOS DE REFORZO: RECTAS E PLANOS EXERCICIOS DE REFORZO RECTAS E PLANOS Dada a recta r z a) Determna a ecuacón mplícta do plano π que pasa polo punto P(,, ) e é perpendcular a r Calcula o punto de nterseccón de r a π b) Calcula o punto

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II Código: 26 (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

VIII. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Ángulos, perpendicularidade de rectas e planos

VIII. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Ángulos, perpendicularidade de rectas e planos VIII. ESPZO EULÍDEO TRIDIMENSIONL: Áglos perpediclaridade de rectas e plaos.- Áglo qe forma dúas rectas O áglo de dúas rectas qe se corta se defie como o meor dos áglos qe forma o plao qe determia. O áglo

Διαβάστε περισσότερα

Tema 3. Espazos métricos. Topoloxía Xeral,

Tema 3. Espazos métricos. Topoloxía Xeral, Tema 3. Espazos métricos Topoloxía Xeral, 2017-18 Índice Métricas en R n Métricas no espazo de funcións Bólas e relacións métricas Definición Unha métrica nun conxunto M é unha aplicación d con valores

Διαβάστε περισσότερα

IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes

IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes 1.- Distancia entre dous puntos Se A e B son dous puntos do espazo, defínese a distancia entre A e B como o módulo

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2012 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2012 MATEMÁTICAS II PAU Código: 6 XUÑO 01 MATEMÁTICAS II (Responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio = 3 puntos, exercicio 3= puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

1. O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES 1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR LIBRE

1. O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES 1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR LIBRE O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES DEFINICIÓN DE VECTOR LIBRE MATEMÁTICA II 06 Exames e Textos de Matemática de Pepe Sacau ten unha licenza Creative Commons Atribución Compartir igual 40 Internacional

Διαβάστε περισσότερα

VII. RECTAS E PLANOS NO ESPAZO

VII. RECTAS E PLANOS NO ESPAZO VII. RETS E PLNOS NO ESPZO.- Ecuacións da recta Unha recta r no espao queda determinada por un punto, punto base, e un vector v non nulo que se chama vector director ou direccional da recta; r, v é a determinación

Διαβάστε περισσότερα

Tema 1. Espazos topolóxicos. Topoloxía Xeral, 2016

Tema 1. Espazos topolóxicos. Topoloxía Xeral, 2016 Tema 1. Espazos topolóxicos Topoloxía Xeral, 2016 Topoloxía e Espazo topolóxico Índice Topoloxía e Espazo topolóxico Exemplos de topoloxías Conxuntos pechados Topoloxías definidas por conxuntos pechados:

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos)

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) 1 MATEMÁTICAS (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. Dada a matriz a) Calcula os valores do parámetro m para os

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos)

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) 21 MATEMÁTICAS (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 Dada a matriz a) Calcula os valores do parámetro m para os que A ten inversa.

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II Código: 26 (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 010 MATEMÁTICAS II Código: 6 (O alumno/a deber responder só aos eercicios dunha das opcións. Punuación máima dos eercicios de cada opción: eercicio 1= 3 punos, eercicio = 3 punos, eercicio 3 =

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS DE ÁLXEBRA. PAU GALICIA

EXERCICIOS DE ÁLXEBRA. PAU GALICIA Maemáicas II EXERCICIOS DE ÁLXEBRA PAU GALICIA a) (Xuño ) Propiedades do produo de marices (só enuncialas) b) (Xuño ) Sexan M e N M + I, onde I denoa a mariz idenidade de orde n, calcule N e M 3 Son M

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS. PRIMEIRA PARTE (Parte Común) ), cadradas de orde tres, tales que a 21

MATEMÁTICAS. PRIMEIRA PARTE (Parte Común) ), cadradas de orde tres, tales que a 21 PRIMEIRA PARTE (Parte Común) (Nesta primeira parte tódolos alumnos deben responder a tres preguntas. Unha soa pregunta de cada un dos tres bloques temáticos: Álxebra Lineal, Xeometría e Análise. A puntuación

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2016 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2016 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 06 Código: 6 MATEMÁTICAS II (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio = 3 puntos, exercicio = 3 puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

Tema: Enerxía 01/02/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA

Tema: Enerxía 01/02/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Tema: Enerxía 01/0/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Nome: 1. Unha caixa de 150 kg descende dende o repouso por un plano inclinado por acción do seu peso. Se a compoñente tanxencial do peso é de 735

Διαβάστε περισσότερα

A proba constará de vinte cuestións tipo test. As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta.

A proba constará de vinte cuestións tipo test. As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta. Páxina 1 de 9 1. Formato da proba Formato proba constará de vinte cuestións tipo test. s cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta. Puntuación Puntuación: 0.5

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa

TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa TRIGONOMETRIA. Calcular las razones trigonométricas de 0º, º y 60º. Para calcular las razones trigonométricas de º, nos ayudamos de un triángulo rectángulo isósceles como el de la figura. cateto opuesto

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 010 MATEMÁTICAS II Código: 6 (O alumno/a deber responder só aos eercicios dunha das opcións. Puntuación máima dos eercicios de cada opción: eercicio 1= 3 puntos, eercicio = 3 puntos, eercicio

Διαβάστε περισσότερα

Procedementos operatorios de unións non soldadas

Procedementos operatorios de unións non soldadas Procedementos operatorios de unións non soldadas Técnicas de montaxe de instalacións Ciclo medio de montaxe e mantemento de instalacións frigoríficas 1 de 28 Técnicas de roscado Unha rosca é unha hélice

Διαβάστε περισσότερα

ln x, d) y = (3x 5 5x 2 + 7) 8 x

ln x, d) y = (3x 5 5x 2 + 7) 8 x EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: CÁLCULO DIFERENCIAL. Deriva: a) y 7 6 + 5, b) y e, c) y e) y 7 ( 5 ), f) y ln, d) y ( 5 5 + 7) 8 n e ln, g) y, h) y n. Usando a derivada da función inversa, demostra que: a)

Διαβάστε περισσότερα

A circunferencia e o círculo

A circunferencia e o círculo 10 A circunferencia e o círculo Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar os diferentes elementos presentes na circunferencia e o círculo. Coñecer as posicións relativas de puntos, rectas e circunferencias.

Διαβάστε περισσότερα

NÚMEROS COMPLEXOS. Páxina 147 REFLEXIONA E RESOLVE. Extraer fóra da raíz. Potencias de. Como se manexa k 1? Saca fóra da raíz:

NÚMEROS COMPLEXOS. Páxina 147 REFLEXIONA E RESOLVE. Extraer fóra da raíz. Potencias de. Como se manexa k 1? Saca fóra da raíz: NÚMEROS COMPLEXOS Páxina 7 REFLEXIONA E RESOLVE Extraer fóra da raíz Saca fóra da raíz: a) b) 00 a) b) 00 0 Potencias de Calcula as sucesivas potencias de : a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) 5 a) ( ) ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

Sistemas e Inecuacións

Sistemas e Inecuacións Sistemas e Inecuacións 1. Introdución 2. Sistemas lineais 2.1 Resolución gráfica 2.2 Resolución alxébrica 3. Método de Gauss 4. Sistemas de ecuacións non lineais 5. Inecuacións 5.1 Inecuacións de 1º e

Διαβάστε περισσότερα

Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::...

Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::... Eletromagnetismo Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística Lista -.1 - Mostrar que a seguinte medida é invariante d 3 p p 0 onde: p 0 p + m (1)

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS

EXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS EXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. ) Clul os posiles vlores de,, pr que triz A verifique relión (A I), sendo I triz identidde de orde e triz nul de orde. ) Cl é soluión dun siste hooéneo

Διαβάστε περισσότερα

XUÑO 2018 MATEMÁTICAS II

XUÑO 2018 MATEMÁTICAS II Proba de Avaliación do Bacharelato para o Acceso áuniversidade XUÑO 218 Código: 2 MATEMÁTICAS II (Responde só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio

Διαβάστε περισσότερα

CADERNO Nº 2 NOME: DATA: / / Os números reais

CADERNO Nº 2 NOME: DATA: / / Os números reais CADERNO Nº NOME: DATA: / / Os números reais Contidos. Os números reais Números irracionais Números reais Aproximacións Representación gráfica Valor absoluto Intervalos. Radicais Forma exponencial Radicais

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO. F = m a

Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO. F = m a Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 1 ELECTOMAGNETISMO INTODUCIÓN MÉTODO 1. En xeral: Debúxanse as forzas que actúan sobre o sistema. Calcúlase a resultante polo principio de superposición. Aplícase a 2ª lei

Διαβάστε περισσότερα

x 2 6º- Achar a ecuación da recta que pasa polo punto medio do segmento de extremos

x 2 6º- Achar a ecuación da recta que pasa polo punto medio do segmento de extremos º- Dados os puntos A(,, ), B(, 4), C( 5,, ) EXERCICIOS XEOMETRÍA Acha as coodenadas dun cuato punto D coa condición que o cuadiláteo ABCD sexa un paalelogamo º- Escibi as ecuacións paaméticas, na foma

Διαβάστε περισσότερα

AB. Cando, pola contra, se toma B como orixe e A como extremo, o segmento

AB. Cando, pola contra, se toma B como orixe e A como extremo, o segmento VECTORES Índce. Vecores.... Operacóns con ecores en forma gráfca.... Combnacóns lneas de ecores..... Bases e coordenadas dun ecor... 4.. Operacóns con ecores expresados polas súas coordenadas... 5 4. Produo

Διαβάστε περισσότερα

1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos

1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos V. PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos 1 Experimento aleatorio. Concepto e exemplos Experimentos aleatorios son aqueles que ao repetilos nas mesmas condicións

Διαβάστε περισσότερα

LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS

LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS Páxina REFLEXIONA E RESOLVE Cónicas abertas: parábolas e hipérboles Completa a seguinte táboa, na que a é o ángulo que forman as xeratrices co eixe, e, da cónica e b o ángulo

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS PROBLEMAS M.H.S.. 1. Dun resorte elástico de constante k = 500 N m -1 colga unha masa puntual de 5 kg. Estando o conxunto en equilibrio, desprázase

Διαβάστε περισσότερα

Métodos Matemáticos en Física L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro APL)

Métodos Matemáticos en Física L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro APL) L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro Condiciones de contorno. Fuerzas externas aplicadas sobre una cuerda. condición que nos describe un extremo libre en una cuerda tensa. Ecuación

Διαβάστε περισσότερα

TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO

TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO 1. CORPOS XEOMÉTRICOS No noso entorno observamos continuamente obxectos de diversas formas: pelotas, botes, caixas, pirámides, etc. Todos estes obxectos son corpos xeométricos.

Διαβάστε περισσότερα

Expresións alxébricas

Expresións alxébricas Expresións alxébricas Contidos 1. Expresións alxébricas Que son? Como as obtemos? Valor numérico 2. Monomios Que son? Sumar e restar Multiplicar 3. Polinomios Que son? Sumar e restar Multiplicar por un

Διαβάστε περισσότερα

Números reais. Obxectivos. Antes de empezar.

Números reais. Obxectivos. Antes de empezar. 1 Números reais Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Clasificar os números reais en racionais e irracionais. Aproximar números con decimais ata unha orde dada. Calcular a cota de erro dunha aproximación.

Διαβάστε περισσότερα

Lógica Proposicional. Justificación de la validez del razonamiento?

Lógica Proposicional. Justificación de la validez del razonamiento? Proposicional educción Natural Proposicional - 1 Justificación de la validez del razonamiento? os maneras diferentes de justificar Justificar que la veracidad de las hipótesis implica la veracidad de la

Διαβάστε περισσότερα

Corpos xeométricos. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Poliedros... páx. 4 Definición Elementos dun poliedro

Corpos xeométricos. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Poliedros... páx. 4 Definición Elementos dun poliedro 9 Corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar que é un poliedro. Determinar os elementos dun poliedro: Caras, arestas e vértices. Clasificar os poliedros. Especificar cando un

Διαβάστε περισσότερα

PÁGINA 106 PÁGINA a) sen 30 = 1/2 b) cos 120 = 1/2. c) tg 135 = 1 d) cos 45 = PÁGINA 109

PÁGINA 106 PÁGINA a) sen 30 = 1/2 b) cos 120 = 1/2. c) tg 135 = 1 d) cos 45 = PÁGINA 109 PÁGINA 0. La altura del árbol es de 8,5 cm.. BC m. CA 70 m. a) x b) y PÁGINA 0. tg a 0, Con calculadora: sß 0,9 t{ ««}. cos a 0, Con calculadora: st,8 { \ \ } PÁGINA 05. cos a 0,78 tg a 0,79. sen a 0,5

Διαβάστε περισσότερα

NÚMEROS REAIS. Páxina 27 REFLEXIONA E RESOLVE. O paso de Z a Q. O paso de Q a Á

NÚMEROS REAIS. Páxina 27 REFLEXIONA E RESOLVE. O paso de Z a Q. O paso de Q a Á NÚMEROS REAIS Páxina 7 REFLEXIONA E RESOLVE O paso de Z a Q Di cales das seguintes ecuacións se poden resolver en Z e para cales é necesario o conxunto dos números racionais, Q. a) x 0 b) 7x c) x + d)

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. 2. Dada a ecuación lineal 2x 3y + 4z = 2, comproba que as ternas (3, 2, 2

EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. 2. Dada a ecuación lineal 2x 3y + 4z = 2, comproba que as ternas (3, 2, 2 EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS Dds s ecucións seguintes indic s que son lineis: ) + + b) + u c) + d) + Dd ecución linel + comprob que s terns ( ) e ( ) son lgunhs ds sús solucións

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS INTRODUCIÓN MÉTODO 1. En xeral: a) Debúxanse as forzas que actúan sobre o sistema. b) Calcúlase cada forza. c) Calcúlase a resultante polo principio

Διαβάστε περισσότερα

Expresións alxébricas

Expresións alxébricas 5 Expresións alxébricas Obxectivos Crear expresións alxébricas a partir dun enunciado. Atopar o valor numérico dunha expresión alxébrica. Clasificar unha expresión alxébrica como monomio, binomio,... polinomio.

Διαβάστε περισσότερα

Volume dos corpos xeométricos

Volume dos corpos xeométricos 11 Volume dos corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Comprender o concepto de medida do volume e coñecer e manexar as unidades de medida do S.M.D. Obter e aplicar expresións para o

Διαβάστε περισσότερα

Lógica Proposicional

Lógica Proposicional Proposicional educción Natural Proposicional - 1 Justificación de la validez del razonamiento os maneras diferentes de justificar Justificar que la veracidad de las hipótesis implica la veracidad de la

Διαβάστε περισσότερα

Reflexión e refracción. Coeficientes de Fresnel

Reflexión e refracción. Coeficientes de Fresnel Tema 5 Reflexión e refracción Coeficientes de Fresnel 51 Introdución Cando a luz incide sobre a superficie de separación de dous medios transparentes de índice de refracción diferente, unha parte entra

Διαβάστε περισσότερα

Polinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Polinomios... páx. 4 Grao. Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio

Polinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Polinomios... páx. 4 Grao. Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio 3 Polinomios Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Achar a expresión en coeficientes dun polinomio e operar con eles. Calcular o valor numérico dun polinomio. Recoñecer algunhas identidades notables,

Διαβάστε περισσότερα

Funcións e gráficas. Obxectivos. 1.Funcións reais páx. 4 Concepto de función Gráfico dunha función Dominio e percorrido Funcións definidas a anacos

Funcións e gráficas. Obxectivos. 1.Funcións reais páx. 4 Concepto de función Gráfico dunha función Dominio e percorrido Funcións definidas a anacos 9 Funcións e gráficas Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Coñecer e interpretar as funcións e as distintas formas de presentalas. Recoñecer o dominio e o percorrido dunha función. Determinar se unha

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA

Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA PROBLEMAS DIOPTRIO PLANO 1. Un raio de luz de frecuencia 5 10 14 Hz incide, cun ángulo de incidencia de 30, sobre unha lámina de vidro de caras plano-paralelas de espesor

Διαβάστε περισσότερα

TRAZADOS XEOMÉTRICOS FUNDAMENTAIS NO PLANO A 1. PUNTO E RECTA

TRAZADOS XEOMÉTRICOS FUNDAMENTAIS NO PLANO A 1. PUNTO E RECTA TRAZADOS XEOMÉTRICOS FUNDAMENTAIS NO PLANO 1. Punto e recta 2. Lugares xeométricos 3. Ángulos 4. Trazado de paralelas e perpendiculares con escuadro e cartabón 5. Operacións elementais 6. Trazado de ángulos

Διαβάστε περισσότερα

Resistencia de Materiais. Tema 5. Relacións entre tensións e deformacións

Resistencia de Materiais. Tema 5. Relacións entre tensións e deformacións Resistencia de Materiais. Tema 5. Relacións entre tensións e deformacións ARTURO NORBERTO FONTÁN PÉREZ Fotografía. Ponte Coalbrookdale (Gran Bretaña, 779). Van principal: 30.5 m. Contido. Tema 5. Relacións

Διαβάστε περισσότερα

Introdución á análise numérica. Erros no cálculo numérico

Introdución á análise numérica. Erros no cálculo numérico 1 Introdución á análise numérica. Erros no cálculo numérico Carmen Rodríguez Iglesias Departamento de Matemática Aplicada Facultade de Matemáticas Universidade de Santiago de Compostela, 2013 Esta obra

Διαβάστε περισσότερα

Ámbito científico tecnolóxico. Ecuacións de segundo grao e sistemas de ecuacións. Módulo 3 Unidade didáctica 8

Ámbito científico tecnolóxico. Ecuacións de segundo grao e sistemas de ecuacións. Módulo 3 Unidade didáctica 8 Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Módulo 3 Unidade didáctica 8 Ecuacións de segundo grao e sistemas de ecuacións Páxina 1 de 45 Índice 1. Programación da unidade...3

Διαβάστε περισσότερα

Ámbito científico tecnolóxico. Números e álxebra. Unidade didáctica 1. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial

Ámbito científico tecnolóxico. Números e álxebra. Unidade didáctica 1. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo Unidade didáctica 1 Números e álxebra Índice 1. Introdución... 1.1 Descrición da unidade

Διαβάστε περισσότερα

1_2.- Os números e as súas utilidades - Exercicios recomendados

1_2.- Os números e as súas utilidades - Exercicios recomendados 1_.- Os números e as súas utilidades - Exercicios recomendados 1. Ordena de menor a maior as seguintes fraccións: 1 6 3 5 7 4,,,,, 3 5 4 8 6 9. Efectúa as seguintes operacións e simplifica o resultado:

Διαβάστε περισσότερα

Funcións e gráficas. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Funcións páx. 4 Concepto Táboas e gráficas Dominio e percorrido

Funcións e gráficas. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Funcións páx. 4 Concepto Táboas e gráficas Dominio e percorrido 9 Funcións e gráficas Obxectivos Nesta quinceer na aprenderás a: Coñecer e interpretar as funcións e as distintas formas de presentalas. Recoñecer ou dominio e ou percorrido dunha función. Determinar se

Διαβάστε περισσότερα

Caderno de traballo. Proxecto EDA 2009 Descartes na aula. Departamento de Matemáticas CPI A Xunqueira Fene

Caderno de traballo. Proxecto EDA 2009 Descartes na aula. Departamento de Matemáticas CPI A Xunqueira Fene Departamento de Matemáticas CPI A Xunqueira Fene Nome: 4º ESO Nº Páx. 1 de 36 FIGURAS SEMELLANTES 1. CONCEPTO DE SEMELLANZA Intuitivamente: Dúas figuras son SEMELLANTES se teñen a mesma forma pero distinto

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS DE REFORZO: DETERMINANTES., calcula a matriz X que verifica A X = A 1 B, sendo B =

EXERCICIOS DE REFORZO: DETERMINANTES., calcula a matriz X que verifica A X = A 1 B, sendo B = EXERCICIOS DE REORZO: DETERMINANTES Pr A, lul riz X que verifi AX A B, sendo B ) Define enor opleenrio e duno dun eleeno nunh riz drd ) Dd riz A : i Clul o rngo, segundo os vlores de λ, de A λi, sendo

Διαβάστε περισσότερα

1 La teoría de Jeans. t + (n v) = 0 (1) b) Navier-Stokes (conservación del impulso) c) Poisson

1 La teoría de Jeans. t + (n v) = 0 (1) b) Navier-Stokes (conservación del impulso) c) Poisson 1 La teoría de Jeans El caso ás siple de evolución de fluctuaciones es el de un fluído no relativista. las ecuaciones básicas son: a conservación del núero de partículas n t + (n v = 0 (1 b Navier-Stokes

Διαβάστε περισσότερα

Semellanza e trigonometría

Semellanza e trigonometría 7 Semellanza e trigonometría Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Recoñecer triángulos semellantes. Calcular distancias inaccesibles, aplicando a semellanza de triángulos. Nocións básicas de trigonometría.

Διαβάστε περισσότερα

ESTRUTURA ATÓMICA E CLASIFICACIÓN PERIÓDICA DOS ELEMENTOS

ESTRUTURA ATÓMICA E CLASIFICACIÓN PERIÓDICA DOS ELEMENTOS Química P.A.U. ESTRUTURA ATÓMICA E CLASIFICACIÓN PERIÓDICA DOS ELEMENTOS ESTRUTURA ATÓMICA E CLASIFICACIÓN PERIÓDICA DOS ELEMENTOS CUESTIÓNS NÚMEROS CUÁNTICOS. a) Indique o significado dos números cuánticos

Διαβάστε περισσότερα

Interferencia por división da fronte

Interferencia por división da fronte Tema 9 Interferencia por división da fronte No tema anterior vimos que para lograr interferencia debemos superpoñer luz procedente dunha única fonte de luz pero que recorreu camiños diferentes. Unha forma

Διαβάστε περισσότερα

Introdución ao cálculo vectorial

Introdución ao cálculo vectorial Intoducón o cálculo ectol 1 Intoducón o cálculo ectol 1. MAGNITUDES ESCALARES E VECTORIAIS. Mgntude físc é todo qulo que se pode med. Mgntudes escles son quels que están detemnds po un lo numéco epesdo

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA

Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA PROBLEMAS DIOPTRIO PLANO 1. Un raio de luz de frecuencia 5 10¹⁴ Hz incide cun ángulo de incidencia de 30 sobre unha lámina de vidro de caras plano-paralelas de espesor 10

Διαβάστε περισσότερα

Académico Introducción

Académico Introducción - Σε αυτήν την εργασία/διατριβή θα αναλύσω/εξετάσω/διερευνήσω/αξιολογήσω... general para un ensayo/tesis Για να απαντήσουμε αυτή την ερώτηση, θα επικεντρωθούμε πρώτα... Para introducir un área específica

Διαβάστε περισσότερα

Problemas xeométricos

Problemas xeométricos Problemas xeométricos Contidos 1. Figuras planas Triángulos Paralelogramos Trapecios Trapezoides Polígonos regulares Círculos, sectores e segmentos 2. Corpos xeométricos Prismas Pirámides Troncos de pirámides

Διαβάστε περισσότερα

a) Calcula m de modo que o produto escalar de a( 3, 2 ) e b( m, 5 ) sexa igual a 5. ( )

a) Calcula m de modo que o produto escalar de a( 3, 2 ) e b( m, 5 ) sexa igual a 5. ( ) .. MATEMÁTICAS I PENDENTES (º PARTE) a) Calcula m de modo que o produto escalar de a(, ) e b( m, 5 ) sea igual a 5. b) Calcula a proección de a sobre c, sendo c,. ( ) 5 Se (, ) e y,. Calcula: a) Un vector

Διαβάστε περισσότερα

INICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS

INICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS INICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS Páina 0 REFLEXIONA E RESOLVE Coller un autobús en marca Na gráfica seguinte, a liña vermella representa o movemento dun autobús que arranca da parada e vai,

Διαβάστε περισσότερα

Exame tipo. C. Problemas (Valoración: 5 puntos, 2,5 puntos cada problema)

Exame tipo. C. Problemas (Valoración: 5 puntos, 2,5 puntos cada problema) Exame tipo A. Proba obxectiva (Valoración: 3 puntos) 1. - Un disco de 10 cm de raio xira cunha velocidade angular de 45 revolucións por minuto. A velocidade lineal dos puntos da periferia do disco será:

Διαβάστε περισσότερα

Áreas de corpos xeométricos

Áreas de corpos xeométricos 9 Áreas de corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Antes de empezar 1.Área dos prismas....... páx.164 Área dos prismas Calcular a área de prismas rectos de calquera número de caras.

Διαβάστε περισσότερα

Catálogodegrandespotencias

Catálogodegrandespotencias www.dimotor.com Catálogogranspotencias Índice Motores grans potencias 3 Motores asíncronos trifásicos Baja Tensión y Alta tensión.... 3 Serie Y2 Baja tensión 4 Motores asíncronos trifásicos Baja Tensión

Διαβάστε περισσότερα

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 101 a 119

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 101 a 119 Página 0. a) b) π 4 π x 0 4 π π / 0 π / x 0º 0 x π π. 0 rad 0 π π rad 0 4 π 0 π rad 0 π 0 π / 4. rad 4º 4 π π 0 π / rad 0º π π 0 π / rad 0º π 4. De izquierda a derecha: 4 80 π rad π / rad 0 Página 0. tg

Διαβάστε περισσότερα

Ventiladores helicoidales murales o tubulares, versión PL equipados con hélice de plástico y versión AL equipados con hélice de aluminio.

Ventiladores helicoidales murales o tubulares, versión PL equipados con hélice de plástico y versión AL equipados con hélice de aluminio. HCH HCT HCH HCT Ventiladores helicoidales murales o tubulares, de gran robustez Ventiladores helicoidales murales o tubulares, versión PL equipados con hélice de plástico y versión AL equipados con hélice

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS 61 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos Puntuación máxima de cada un dos exercicios: Álxebra 3 puntos; Análise 3,5 puntos;

Διαβάστε περισσότερα

Coordenadas astronómicas. Medida do tempo

Coordenadas astronómicas. Medida do tempo Astronomía Básica 5 Coordenadas astronómicas. Medida do tempo Josefina F. Ling Departamento de Matemática Aplicada Facultade de Matemáticas Grao de Óptica e Optometria Vicerreitoría de ESTUDANTES, Cultura

Διαβάστε περισσότερα

CADERNO Nº 2 NOME: DATA: / / Polinomios. Manexar as expresións alxébricas e calcular o seu valor numérico.

CADERNO Nº 2 NOME: DATA: / / Polinomios. Manexar as expresións alxébricas e calcular o seu valor numérico. Polinomios Contidos 1. Monomios e polinomios Expresións alxébricas Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio 2. Operacións Suma e diferenza Produto Factor común 3. Identidades notables Suma

Διαβάστε περισσότερα

As Mareas INDICE. 1. Introducción 2. Forza das mareas 3. Por que temos dúas mareas ó día? 4. Predición de marea 5. Aviso para a navegación

As Mareas INDICE. 1. Introducción 2. Forza das mareas 3. Por que temos dúas mareas ó día? 4. Predición de marea 5. Aviso para a navegación As Mareas INDICE 1. Introducción 2. Forza das mareas 3. Por que temos dúas mareas ó día? 4. Predición de marea 5. Aviso para a navegación Introducción A marea é a variación do nivel da superficie libre

Διαβάστε περισσότερα

Probabilidade. Obxectivos. Antes de empezar

Probabilidade. Obxectivos. Antes de empezar 12 Probabilidade Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Distinguir os experimentos aleatorios dos que non o son. Achar o espazo da mostra e distintos sucesos dun experimento aleatorio. Realizar operacións

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

Ámbito científico tecnolóxico. Movementos e forzas. Unidade didáctica 5. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial

Ámbito científico tecnolóxico. Movementos e forzas. Unidade didáctica 5. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 3 Unidade didáctica 5 Movementos e forzas Índice 1. Introdución... 3 1.1 Descrición da

Διαβάστε περισσότερα

Investigacións a partir da lectura do libro El diablo de los números

Investigacións a partir da lectura do libro El diablo de los números Investigacións a partir da lectura do libro El diablo de los números En que consiste o traballo que debes realizar?: Nas seguintes follas podes observar que para cada capítulo do libro de lectura se suxiren

Διαβάστε περισσότερα

PROPIEDADES CONFORMES

PROPIEDADES CONFORMES MIGUEL BROZOS V ÁZQUEZ PROPIEDADES CONFORMES DE PRODUCTOS DEFORMADOS 105 2004 Publicaciones del Departamento degeomelria;;-~=~ Miguel Brozos Vázquez PROPIEDADES CONFORMES DE PRODUCTOS DEFORMADOS Memoria

Διαβάστε περισσότερα

Resistencia de Materiais. Tema 3. Relacións de equilibrio tensional nos sólidos elásticos

Resistencia de Materiais. Tema 3. Relacións de equilibrio tensional nos sólidos elásticos Resistencia de Materiais. Tema 3. Relacións de equilibrio tensional nos sólidos elásticos ARTURO NORBERTO FONTÁN PÉREZ Fotografía. Ponte Chaotianmen (China, 2009). Van principal: 552 m. Introdución Mecánica

Διαβάστε περισσότερα

PAAU (LOXSE) XUÑO 2005 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CC. SOCIAIS

PAAU (LOXSE) XUÑO 2005 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CC. SOCIAIS PAAU (LOXSE) XUÑO 005 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CC. SOCIAIS Código: 61 O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos. Puntuación máxima de cada un dos exercicios: Álxebra

Διαβάστε περισσότερα

Exercicios de Física 04. Óptica

Exercicios de Física 04. Óptica Exercicios de Física 04. Óptica Problemas 1. Unha lente converxente ten unha distancia focal de 50 cm. Calcula a posición do obxecto para que a imaxe sexa: a) real e tres veces maior que o obxecto, b)

Διαβάστε περισσότερα

POTENCIAL VECTORIAL. DESENROLO MULTIPOLAR DO CAMPO MAGNÉTICO

POTENCIAL VECTORIAL. DESENROLO MULTIPOLAR DO CAMPO MAGNÉTICO Apntes de Eectoagnetiso. Capíto 8 POTENCAL ECTOAL. EENOLO MULTPOLA O CAMPO MAGNÉTCO egún o teoea de Hehotz, ψ A, sendo ψ A isto qe e, qeda A con A. O potencia vectoia tén oita ipotancia no desenoo teóico

Διαβάστε περισσότερα

TEMA IV: FUNCIONES HIPERGEOMETRICAS

TEMA IV: FUNCIONES HIPERGEOMETRICAS TEMA IV: FUNCIONES HIPERGEOMETRICAS 1. La ecuación hipergeométrica x R y α, β, γ parámetros reales. x(1 x)y + [γ (α + β + 1)x]y αβy 0 (1.1) Dividiendo en (1.1) por x(1 x) obtenemos (x 0, x 1) y + γ (α

Διαβάστε περισσότερα

Probas de acceso a ciclos formativos de grao medio CMPM001. Proba de. Código. Matemáticas. Parte matemática. Matemáticas.

Probas de acceso a ciclos formativos de grao medio CMPM001. Proba de. Código. Matemáticas. Parte matemática. Matemáticas. Probas de acceso a ciclos formativos de grao medio Proba de Matemáticas Código CMPM001 Páxina 1 de 9 Parte matemática. Matemáticas 1. Formato da proba Formato A proba consta de vinte cuestións tipo test.

Διαβάστε περισσότερα

ECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS

ECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS ECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS Índice 1. Ecuacións de primeiro e segundo grao... 1 1.1. Ecuacións de primeiro grao... 1 1.. Ecuacións de segundo grao.... Outras ecuacións alébricas... 5.1. Ecuacións

Διαβάστε περισσότερα

O principio de Hamilton

O principio de Hamilton Mecánica Clásica II 1 O principio de Hamilton José M. Sánchez de Santos Departamento de Física de Partículas Facultadede Física Grao en Física Vicerreitoría de estudantes, cultura e formación continua

Διαβάστε περισσότερα

Inecuacións. Obxectivos

Inecuacións. Obxectivos 5 Inecuacións Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Resolver inecuacións de primeiro e segundo grao cunha incógnita. Resolver sistemas de ecuacións cunha incógnita. Resolver de forma gráfica inecuacións

Διαβάστε περισσότερα

I.E.S. CADERNO Nº 6 NOME: DATA: / / Semellanza

I.E.S. CADERNO Nº 6 NOME: DATA: / / Semellanza Semellanza Contidos 1. Semellanza Figuras semellantes Teorema de Tales Triángulos semellantes 2. Triángulos rectángulos. Teoremas Teorema do cateto Teorema da altura Teorema de Pitágoras xeneralizado 3.

Διαβάστε περισσότερα

f) cotg 300 ctg 60 2 d) cos 5 cos 6 Al ser un ángulo del primer cuadrante, todas las razones son positivas. Así, tenemos: tg α 3

f) cotg 300 ctg 60 2 d) cos 5 cos 6 Al ser un ángulo del primer cuadrante, todas las razones son positivas. Así, tenemos: tg α 3 .9. Calcula el valor de las siguientes razones trigonométricas reduciéndolas al primer cuadrante. a) sen 0 c) tg 0 e) sec 0 b) cos d) cosec f) cotg 00 Solucionario a) sen 0 sen 0 d) cosec sen sen b) cos

Διαβάστε περισσότερα

Exercicios de Física 02a. Campo Eléctrico

Exercicios de Física 02a. Campo Eléctrico Exercicios de Física 02a. Campo Eléctrico Problemas 1. Dúas cargas eléctricas de 3 mc están situadas en A(4,0) e B( 4,0) (en metros). Caalcula: a) o campo eléctrico en C(0,5) e en D(0,0) b) o potencial

Διαβάστε περισσότερα

1. A INTEGRAL INDEFINIDA 1.1. DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA 1.2. PROPRIEDADES

1. A INTEGRAL INDEFINIDA 1.1. DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA 1.2. PROPRIEDADES TEMA / CÁLCULO INTEGRAL MATEMÁTICA II 07 Eames e Tetos de Matemática de Pepe Sacau ten unha licenza Creative Commons Atriución Compartir igual.0 Internacional. A INTEGRAL INDEFINIDA.. DEFINICIÓN DE INTEGRAL

Διαβάστε περισσότερα