:: Test 1 Partea I Partea II

Transcript

1 :: Test 1 1. Numărul care este cu 1 mai mic decât 79 este.. Primele două zecimale exacte ale numărului 5 sunt.. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 şi 6 este. 4. Rezultatul calculului : : + 10 este. 5. Diagonala unui pătrat face cu latura sa un unghi de. 6. Suprafaţa unui teren dreptunghiular cu dimensiunile de 00 m şi 100 m este de ha; 7. Aria unui triunghi dreptunghic şi isoscel este de 16 cm. Lungimea catetei triunghiului este de cm; 8. Lungimea liniei mijlocii într-un triunghi echilateral este de 4 cm. Perimetrul triunghiului echilateral este egal cu cm; 9. Măsura unui unghi al unui hexagon regulat este de o ; I 10. Care este cel mai mic număr natural care împărţit la 4 dă restul, împărţit la 6 dă restul 5 şi împărţit la 8 dă restul 7? 11. Un obiect costă lei. Preţul lui se majorează cu 10%, apoi, după un timp, se reduce cu 10%. Aflaţi noul preţ al obiectului. 1. Arătaţi că : (a + b)(b + c)(a + c) 8abc, oricare ar fi numerele reale a; b; c 0; 1. O piramidă patrulateră regulată are apotema bazei egală cu cm şi înălţimea egală cu. Se cere: a. Aria totală şi volumul piramidei b. Măsura unghiului format de două feţe laterale opuse c. La ce distanţă de planul bazei trebuie dus un plan paralel cu baza astfel încât ariile laterale ale celor corpuri formate să fie egale. Aflaţi cât la suta reprezintă volumul piramidei mici din volumul trunchiului de piramidă obţinute astfel.

2 :: Soluţii Test ;. 66;. 7; 4. 15; o ; 6. ha; 7. 4 cm; 8. 4 cm; o ; I 10. ; lei; 1. Se foloseşte inegalitatea mediilor: (a + b) ab, a; b 0; 1. a) A t = 7 (1 + ) cm ; V = 7 cm ; b) 90 o ; c) OO = ( - 1) cm; x% 54%;

3 :: Test 1. Rezultatul calculului: este.. Soluţia reală a ecuaţiei: x - 7 = 9 este.. Media geometrică a numerelor x = - 1 şi y = + 1 este. 4. Dintre numerele şi mai mare este. 5. Dacă E(x) = - x +x - 5, atunci E(-1) este egal cu. 6. Lungimea laturii unui pătrat este de cm. Lungimea diagonalei pătratului este egală cu cm. 7. Un teren în formă de pătrat are lungimea laturii de 100 m. Aria suprafeţei terenului este de ha. 8. 5% din este lei. 9. Dacă 5 m de stofă costă lei, atunci cât vor costa 9 m de stofă de acelaşi fel? I 10. Se dau funcţiile: f : R R, f ( x) = x şi g : R R, g( x) = x +. a. Să se reprezinte în acelaşi sistem de axe ortogonale cele două funcţii şi să se afle coordonatele punctului de intersecţie al graficelor celor două funcţii. b. Să se verifice dacă punctul M(-1,) aparţine reprezentării grafice a funcţiei f. c. Să se determine punctul de pe graficul funcţiei g astfel încât ordonata punctului să fie egală cu dublul abscisei punctului. 11. Să se demonstreze că oricare ar fi numerele reale a şi b, a, b>0, avem îndeplinită relaţia: a. a + b ab a b b. + b a 1. Într-o piramidă triunghiulară regulată VABC avem latura bazei AB = 6 cm şi înălţimea VO = 4 cm. Se cere: a. Aria totală şi volumul piramidei. b. Tangenta unghiului format de muchia laterală cu planul bazei. c. Distanţa de la punctul A la planul (VBC).

4 :: Soluţii Test 1. 89;. 8;. ; 4. ; 5. 10; 6. cm; 7. 1 ha; ; lei; I 10. a. Gf I Gg = M1(1;-1); b. M(-1,) Gf ; c. N( ; ); 11. a) ( a b) 0 a + b a b, a; b > 0. a b b) ( a b) 0 a + b ab +, a; b > 0 ; b a 1. a. Apotema piramidei VE = 5 cm; A t = 7 ; V = 6 ; b. tg m(vc ˆO ) = ; c. d(a;(vbc)) = 7, cm;

5 :: Test 1. Dacă 5x M, atunci x { }. Primele două zecimale exacte ale numărului 5 sunt.. Cel mai mare divizor al numerelor 4 şi 6 este. 4. Rezultatul calculului : ( )(1 ) : este. 5. Doi muncitori termină o lucrare în 7 zile. 7 muncitori vor termina lucrarea în zile. 6. Dacă x y = 4 şi y + z = 5, atunci x + y + 4z =. 7. Dacă măsurile unghiurilor unui triunghi sunt direct proporţionale cu numerele ; şi 4, atunci măsurile unghiurilor triunghiului sunt egale cu. 8. Suplementul unghiului de 60 o 0 este. 9. Soluţia inecuaţiei x + > +5, x R este. I 10. Fie funcţia f : R R, f ( x) = ( a ) x + 1, a R. a +1 a. Aflaţi a R, astfel încât punctul A(1; ) să aparţină graficului funcţiei f. b. Pentru a = reprezentaţi grafic funcţia. c. Pentru a =, aflaţi punctele de pe graficul funcţiei f astfel încât x + = y - 1. x 6x + 11x Fie raportul: F( x )= x x + a. Aflaţi valorile reale ale lui x pentru care raportul F( x ) nu are definită valoarea. b. Simplificaţi raportul F( x ) 1. Se dă o prismă triunghiulară regulată ABCA B C cu latura bazei de 6cm şi înălţimea de 6cm. Se cere: a. Aria totală şi volumul prismei. b. Distanţa de la punctul B la latura [AC]. c. Cosinusul unghiului format de dreptele A C şi BC. d. Tangenta unghiului format de dreapta C B cu planul (ACC ).

6 :: Soluţii Test 1. x {;5;8};. 47;. 1; 4. 4; 5. zile; 6. ; o ; 60 o ; 80 o ; o 0 9. x (-, -1). I 10. a) a = ; b) f : R R, f ( x) = x + 1; c) M(1, ) şi M(-1, 0); 11. a) x {1, }; ( x 1)( x )( x ) b) F( x ) = = x ; ( x 1)( x ) 1. a) A t = 18 (6 + ) cm ; V = 54 cm ; b) d(b ;AC) = 7; c) Prin mijlocul M al segmentului [CC ] se duc paralele la A C şi BC ; 1 cos m ( A' C; BC') = ; 4 d) tg m (C B;(ACC )) = 15 ; 5

7 :: Test 4 1. Rezultatul calculului :10 este.. kg de bomboane cu 0000 lei/kg se amestecă cu 5 kg de bomboane cu lei/kg. Un kg de bomboane amestec costă lei/kg.. Nică şi Zita au impreună 5 ani. Nică are de două ori vârsta Zitei şi încă ani. Câţi ani are Zita? 4. Numărul natural cuprins între, 11 şi 7 este. 5. Scrieţi ca interval mulţimea A={x R -8 < x 1}=. 6. Într-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este de 10 cm şi lungimea unei catete este de 8 cm. Lungimea celeilalte catete este de cm. 7. Un rezervor are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile interioare de 40cm, 0cm, şi 0 cm. Capacitatea rezervorului este de l. 8. Punctele A şi B se găsesc la distanţa de 5cm faţă de un punct 0 şi sunt simetrice faţă de punctul 0. Distanţa dintre punctele A şi B este de cm. 9. Lungimea unui cerc este de 18π cm. Lungimea razei lui este de cm. I 10. Un tată are 61 de ani, iar fiul său 9 de ani. Cu câţi ani în urmă a fost tatăl de 5 ori mai în vârstă decât fiul? 11. Se dă funcţia: f : R R, f ( x) = x + a. a. Determinaţi a R, astfel încât punctul A( a +; -1) să aparţină reprezentării grafice a funcţiei f. b. Reprezentaţi grafic funcţia f pentru a = -1. c. Pentru a = -1, determinaţi aria triunghiului format de graficul funcţiei şi axele de coordonate. d. Rezolvaţi ecuaţia x + x 6 = 0, x R. 1. Un obiect în formă de trunchi de piramidă patrulateră regulată se împachetează într-o cutie paralelipipedica de volum cât mai mic. Laturile bazelor şi înălţimea trunchilui sunt de: L = 10 cm, l = 6 cm, h = 4 cm. Cât la sută din volumul cutiei ocupă obiectul?

8 :: Soluţii Test ; lei/kg;. 11 ani; 4. ; 5. A = ( 8;1] ; 6. 6 cm; 7. 4 l; cm; 9. 9 cm; I 10. cu 1 ani; 11. a) a = -1; b) f ( x) = x ; c) u ; d) S = {+, - }; 1. 65,()%.

9 ::Test 5 1. Dana are cu lei mai puţin decât Ioana. Dacă Ioana are 1657 lei, atunci Dana are lei.. Paul are lei, iar Dinu are de ori mai puţin. Câţi lei are Dinu?. Cel mai mare divizor comun al numerelor 6 şi 45 este g + 0,15 t = kg. 5. Un trapez ABCD, AB CD are lungimea liniei mijlocii de 1 cm. AB + CD = cm 6. Un dreptunghi are lungimea de 8 dm, iar lăţimea cu 0 cm mai mică decât lungimea. Aria dreptunghiului este dm. 7. Lungimea laturii unui hexagon regulat înscris într-un cerc cu raza de 6 cm este egală cu. 8. Măsura unui unghi este triplul măsurii altui unghi. Ştiind că suma măsurilor celor doua unghiuri este de 150 o, atunci unghiul mai mic are măsura de grade. 9. Raza unui cerc este de 4 cm. Aria cercului este cm. I 10. Două obiecte costă împreună lei. După ce preţul primului obiect se măreşte cu 0%, iar preţul celui de-al doilea obiect se micşorează cu 0% ele costă împreună lei. Aflaţi preţul iniţial al fiecărui obiect. 11. Soluţiile ecuaţiei x 6x + 5 = 0, exprimate în centimetri reprezintă raza şi generatoarea unui cilindru circular drept. a. Aflaţi aria laterală, totală şi volumul cilindrului. b. Presupunând că cilindrul este confecţionat dintr-un metal cu densitatea de 7 g/cm, să se afle masa cilindrului. 1. Înălţimea şi apotema bazei unei piramide patrulatere regulate (măsurate in centimetri) sunt x x + y = 8 respectiv y, soluţii ale sistemului: x y = 4 a. Să se afle aria totală şi volumul piramidei. b. Măsura unghiului diedru format de o faţă laterală cu planul bazei. c. Arătaţi că feţele laterale opuse sunt incluse în plane perpendiculare. d. Aflaţi distanţa de la un vârf al bazei la o faţă laterală opusă.

10 :: Soluţii Test lei; lei;. 9; 4. 18,5 kg; 5. 4 cm; dm ; 7. 6 cm; 8. 7 o 0 ; 9. 16π cm ; I lei; lei; 11. a) R = 5 cm, G = 1 cm sau R = 1 cm, G = 5 cm; A t = 60 π, V = 5π sau A t = 1 π ; V = 5π ; Al = 10π b) m = 175π g sau m = 5 π g; 1. h = 4cm = x, y = a p bazei = 4cm a) A t = 64( + 1) cm 56, V = cm ; b) 45 o ; d) d = 4 cm;

11 :: Test 6 1. Rezultatul calculului: ( - ) (-) este.. Dacă 1 este soluţie a ecuaţiei ax = 5, atunci a =.. ½ din ore + ¾ dintr-o oră este egal cu. 4. Triunghiul ABC este triunghi echilateral, iar E, F, P sunt mijloacele laturilor triunghiului. Dacă aria triunghiului EFP este egală cu 4 cm, atunci aria triunghiului ABC este =. 5. Soluţiile reale ale ecuaţiei x x + = 0 sunt. ) ) ) 6. Punctele A, B, C aparţin unui cerc cu raza de cm, astfel încât AB BC CA a. Măsura unghiului ABC este egală cu grade. b. Lungimea coardei AB este egală cu cm. 7. Lungimea diagonalei unui cub este de cm. Suma lungimilor muchiilor cubului este egală cu cm. 8. Lungimea unui cerc este 1π cm. Aria lui este cm 9. Media geometrica a numerelor 8 şi 8 + este. I Se dă funcţia f : R R, f ( x) = x 1. a. Reprezentaţi grafic funcţia. b. Aflaţi m R, astfel încât punctul M(m, ) să aparţină graficului funcţiei f. a 1 c. Calculaţi valoarea expresiei: f ( a) f ( a) 4 f. 11. O lucrare poate fi terminată de 6 muncitori în 1 zile. După trei zile de lucru numărul muncitorilor se mareşte cu 50%. În câte zile se va efectua toată lucrarea? 1. Într-o piramidă patrulateră regulată înălţimea este de 8 cm, iar lungimea laturii bazei este de 1cm. a. Aflaţi aria totală şi volumul piramidei. b. Sinusul unghiuluiformat de doua muchii laterale opuse. c. La ce distanţă de planul bazei trebuie facută o secţiune paralelă cu baza piramidei astfel încât volumul piramidei mici să fie egal cu 7 1 din volumul trunchiului de piramidă?

12 :: Soluţii Test ;. a = 4; 9. h = h 15min; cm ; 5. S ={1; }; 6. M (ABC) = 60 o ; AB = 7. 6 cm; 8. 6 π cm ; 9. 1; cm; I 10. b) m = 4; c) 5; zile; 1. a) A t = 84 cm, V = 84 cm ; 1 b) sinx = ; 17 c) La 4 cm faţă de bază;

13 :: Test 7 1. Dacă 1 este soluţie a ecuaţiei x + a = 10, atunci a =.. Dacă este soluţie a ecuaţiei x ax + 7a 10 = 0, atunci a =.. Dacă A = {x x Z *, x }, atunci A={ } 4. Dacă f ( x) = x x x + atunci f (-1) =. 5. Dan are de parcurs 100 km, dar el parcurge numai 10% din distanţă. Caţi km parcurge Dan? 6. Maria are 10 portocale. Dacă îi dă Soniei 5 din ele, atunci îi mai rămân Mariei portocale. 7. O gradină în formă de pătrat se împrejmuieşte cu un gard de sârmă. Câţi metri de sârmă sunt necesari pentru gard, dacă se pun patru rânduri de sârmă şi se lasă m pentru poarta, iar lungimea terenului este de 15 m? 8. Volumul unui rezervor în formă cubică a cărui muchie interioara este de m este dm egal cu l. 9. Pentru a vopsi o suprafaţă de 1m sunt necesare 50g vopsea. Ce suprafaţă poate fi vopsită cu 1 kg de vopsea? I 10. Fie funcţia f : R R, f ( x) = x + 1. a. Reprezentaţi grafic funcţia. b. Determinaţi a R, astfel încăt punctul A( a ; funcţiei f. c. Să se rezolve ecuaţia ( x 1) f ( x 1) =. 11. Fie expresia : x x x x E( x ) = + 1 : x x x + 9 a ) să aparţină reprezentării grafice a a. Aflaţi x R pentru care expresia E( x ) nu are definită valoarea. b. Arătaţi că E( x ) =. x 1 c. Să se reprezinte grafic funcţia f ( x ) =. E( x) 1. În prisma patrulateră regulată ABCDA B C D, raza cercului circumscris bazei ABCD este egală cu 6 cm, iar AA = 8 cm. a. Să se calculeze aria totală şi volumul prismei ABCDA B C D. b. Sinusul unghiului format de dreapta AD cu planul (CC A ). c. Fie M, N, P, Q mijloacele laturilor [AB], [BC], [CD] şi respectiv [AD], şi O centrul pătratului A B C D. Aflaţi volumul piramidei O MNPQ şi tangenta unghiului format de o muchie laterală a acestei piramide cu planul bazei.

14 :: Soluţii Test 7 1. a = 8;. a = ;. A = {±; ±; ±1}; 4. f (-1) = 1; km; 6. 6 portocale; 7. m; dm = 8000 l; 9. 4 m ; I 10. b) a = -1; c) ( x 1) f ( x 1) = x x S = {; a) x {; 0}; x - x + 9 > 0, x R. y 1 }; 1-1 B(0;-1) C(4; 1 ) A(;0) 4 x x 1 b) f : R {0,} R, f ( x ) = = x 1; 1. a) AB = 1 cm; A l = 67 cm ; At = 67 cm ; V = 1 15 cm ; b) Sin m (AD ;(CC A )) = 6 ; 6 c) V O MNPQ = 19 cm ; tg m (O N; (ABC)) = 4 ;

15 :: Test 8 1. Rezultatul calculului (-)(-) (- + ) este.. 0% dintr-un milion de lei este egal cu lei.. Probabilitatea de a apărea faţa cu cifra la aruncarea unui zar este de. 4. Un cerc are raza de cm. Coarda care subîntinde un arc de 60 o are lungimea egală cu cm. 5. Dintre numerele 5 şi 5 mai mare este. 6. Cel mai mare număr natural mai mic decât este. 7. Un teren are forma unui dreptunghi cu lungimea de 10 m si lăţimea de 110 m. Aria suprafeţei terenului este de hectare. 8. Un rezervor în formă de cub are muchia interioară egala cu 50 cm. Capacitatea rezervorului este de litri. 9. Aflaţi x o din figura alăturată ştiind că d 1 şi d sunt paralele. d 1 d x o x o 0 o I n n+ 1 n+ n+ n Să se arate că raportul : se poate simplifica prin 1 oricare ar n+ n n+ 1 n+ 1 n n+ + 4 fi n N. 11. Un vas în formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 10cm, 0cm şi 0cm este plin cu apă. Îl deşertăm într-un vas cilindric cu raza de 8cm. Până la ce înălţime se ridică apa? 1. Preţul unui obiect s-a majorat cu 10%. După un timp oarecare obiectul s-a majorat din nou cu 10%, ajungând astfel să coste lei. a. Aflaţi preţul iniţial al obiectului. b. Cu ce procent din preţul iniţial s-a mărit preţul obiectului după cele două majorări?

16 :: Soluţii Test ; lei; 1. ; 6 4. cm; 5. 5 ; 6. ; 7. 1,4 ha; dm = 15 l; o ; I n n n ( ) =, deci se poate simplifica prin 1 n n ( ) n N. 1 ( ) V paralelipipedului drept. = 6000 cm = volumul cilindrului ocupat de apă; aproximativ 0 cm a) Fie x lei preţul iniţial; x lei preţul după prima majorare; xlei preţul după a doua majorare. Preţul iniţial este x = lei b) 1%

17 :: Test 9 1. Rezultatul calculului, :10 este.. Dacă a 5 se divide la atunci a { }. Dacă 4 din distanţa dintre două oraşe este de 60 km, atunci distanţa dintre cele două oraşe este de km. 4. Într-un isoscel măsura unghiului de la bază este dublul măsurii unghiului opus bazei. Măsura unghiului opus bazei este de grade. 5. Raza unui disc circular este de 5 cm. Aria lui este de cm. 6. Dacă 1 este soluţia ecuaţiei (1-a) x = - a + 1, atunci a =. 7. Dacă 1 este soluţie a ecuaţiei ax x a + = 0, atunci a =. 8. Factorizarea numărului x x este. 9. Secţiunea axială a unui cilindru circular drept este un pătrat cu latura egală cu 6 cm. Volumul cilindrului este cm. I x 1 x + 6x Se dau rapoartele f1 ( x ) = şi f ( x ) =. x + x + 1 x + 4x + a. Aflaţi valorile lui x R, pentru care rapoartele date nu au definită valoarea. b. Simplificaţi fiecare raport. f1( x) x 1 c. Arătaţi că = f ( x) x + x 1 d. Aflaţi valorile întregi ale lui x pentru care este număr întreg. x Se dau punctele A(0, 1) şi B( 1, 0). a. Determinaţi funcţia liniară f a cărei grafic conţine punctele A şi B; reprezentaţi grafic funcţia f. b. În acelaşi sistem de axe de coordonate în care aţi reprezentat funcţia f, reprezentaţi 1 funcţia g : R R, g ( x ) = x 1, apoi aflaţi coordonatele punctului M( x, y ) de intersecţie a graficelor celor două funcţii. c. Arătaţi că reprezentările grafice a celor două funcţii f şi g sunt două drepte perpendiculare. 1. Un corp se compune dintr-un cilindru şi două conuri aşezate unul pe o bază a cilindrului şi celălalt con pe cealaltă bază a cilindrului. Ştiind că înălţimea cilindrului este egală cu înălţimea fiecărui con şi este egală cu cm, iar razele cilindrului şi a conurilor sunt egale şi sunt de 4 cm, se cere: a. Volumul corpului; b. Aria totală a corpului; c. Masa corpului, presupunând că el este confecţionat din metal a cărui densitate este de 7 g/cm.

18 :: Soluţii Test ;. a { 0;;4;6;8 };. 80 km; 4. 6 o ; 5. 5π cm ; 6. a = 1; 7. a = -5; 8. (x 1)(x + ); 9. 54π cm ; I 10. a) 1 ( x 1 b) f1 ( x ) = x + 1 f1( x) x 1 c) = ; f ( x) x + f x ) nu este definit pentru x { 1} şi f ( x ) = d) x { 1; 1; ; 4; 5; 7} şi ( x + ; x + 1 f x ) nu este definit pentru x { 1; } ; ; 11. a) a = ; b = 1; f ( x) = x + 1; b) M( 4 ; ); 5 5 c) Se ştie că dacă f : R R; f ( x) = ax + b şi g : R R, g( x) = mx + n, atunci graficele celor două funcţii sunt perpendiculare dacă 1, deducem că dreptele sunt perpendiculare. 1. a) V corpului = 80π cm ; b) A t corp = 64π cm ; c)m = V ρ ; m corpului = 80π cm g 7 = 560π g. cm 1 a m = - 1. Avem a = -, m = ; deci a m = -

19 :: Test Dacă este soluţia ecuaţiei mx 5 = 1, atunci m =.. Fie funcţia f : R R, f ( x) = x + 1. Valoarea expresiei: f (0) + f (1) + f (-1) + f () + f (-) este egală cu.. Soluţiile ecuaţiei : x + x - 6 = 0 sunt x 1 = şi x =. x 5 4. Raportul nu are definită valoarea pentru x { }. x 9 5. Perimetrul unui pătrat este 0 cm.aria lui este egală cu cm 6. Fie funcţia f : R R, f ( x) = ax + b. Dacă graficul funcţiei trece prin punctele A(-1;-1) şi B(1;) atunci a = şi b =. 7. Volumul unui cub cu diagonala de 4 cm este egal cu cm. 8. Aria totală a unui cilindru circular drept cu R = cm şi h = 4 cm este egală cu cm. 9. Aria laterală a unui con circular drept cu R = 4 cm şi G = 5 cm este egală cu cm. I 10. Se consideră funcţia f : R R, f ( x ) = x +. a. Reprezentaţi graficul funcţiei. b. Rezolvaţi ecuaţia f ( x ) = x. f ( x) c. Determinaţi x Z-{ 1} astfel încât fracţia să fie număr întreg. x 1 d. Determinaţi m R, astfel încât punctul M(m;m-1) să aparţină reprezentării grafice a funcţiei f. 11. Dintr-un bloc de cupru în formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 5 cm, 16 cm şi 40 cm se face sârmă cu diametrul de 0,8 mm.ce lungime are sârma? 1. Determinaţi m R astfel încât ecuaţia (m + )x - (m - 1)x + m - = 0 are: a. Soluţii reale şi diferite. b. Soluţii reale şi egale. c. Nu are soluţii reale.

20 :: Soluţii Test 10 1) m = ; ) 5; ) x 1 = şi x = -; 4) x { ± } ; 5) 5 cm ; 6) a = şi b =1; 7) 64 cm ; 8) 4π cm ; 9) 0π cm ; I 10) b) S = {, 1}; c) x {,0,4, } ; d) m = -; 11) 1 847m. 1) = 4(-m + 7), m R-{ } Pentru m ecuaţia are soluţii reale şi distincte, adică pentru m { } 7 m (- ; ) - { }. Pentru m = 7 ecuaţia are soluţii reale şi egale. 7 Pentru m, ecuaţia nu are soluţii reale. 7 şi m R-

21 :: Test Rezultatul calculului: este.. Dintre numerele 01 şi 11 divizibil cu este.. Dacă f(x)=-x + 4, atunci f(0)=. 4. Dacă x =, atunci x=. ) 5. În triunghiul ABC dreptunghic în A, m( B ) )=0 o. Dacă CB=10cm, atunci AC=. 6. Lungimea cercului cu raza de cm este egală cu. 7. Un dreptunghi are lungimea egală cu dublul lăţimii. Dacă lăţimea este de 10m, atunci perimetrul dreptunghiului este egal cu. 8. Soluţiile ecuaţiei x 5x + 6=0 sunt. 9. Într-un cilindru circular drept R=4cm şi h=5cm. Volumul cilindrului este egal cu cm. I 10. a) Să se determine funcţiile: f, g : R R, unde f ( x) = x + a şi g ( x) = x + b, ştiind că graficele acestora conţin punctul M(1, a + b). b) Pentru a=-1 şi b=0 reprezentaţi în acelaşi sistem de axe de coordonate funcţiile f( x ) şi g( x ) şi apoi aflaţi măsura unghiului format de graficele celor două funcţii. 11. Avem un vas cilindric circular drept cu R=cm şi h=1cm. O furnică porneşte de la un punct A al cercului de bază al cilindrului, face o dată ocolul vasului şi ajunge pe cercul bazei superioare într-un punct A situat pe aceeaşi generatoare cu punctul A de plecare. Furnica merge pe drumul cel mai scurt. Se cere lungimea drumului parcurs de furnică.

22 :: Soluţii Test 11 1) 105 ) 11 ) 4 4) x=5 sau x=1 5) 5cm 6) 6π cm 7) 60cm 8) S={, } 9) 80π cm I 10) M(1, a + b) G f f (1) = a + b. f (1) = 1+ a a), dar M(1, a + b) G g g(1) = a + b. g(1) = 1+ b 1+ a = a + b rezolvând sistemul a=-1 şi b=0. 1+ b = a + b b) f : R R, f ( x) = x g : R R, g( x) = x. Deoarece 1 ( 1) =-1(produsul coeficienţilor lui x este egal cu 1) deducem că măsura unghiului format de graficul celor două funcţii este de 90 o. 11) Se desfăşoară suprafaţa laterală a cilindrului. Drumul cel mai scurt parcurs de furnică este pe diagonala dreptunghiului obţinut prin desfăşurare. Se obţine ~,cm.

23 :: Test 1 1. Rezultatul calculului ( ) este. x. Dacă 15 =, atunci x =.. dl +, dal = l Dacă Z şi x Z *, atunci x { }. x 5. Valorile reale ale lui x pentru care x are sens sunt. 6. Într-un triunghi dreptunghic catetele au lungimile egale cu cm şi 4cm. Lungimea ipotenuzei este cm. 7. O bancă acordă dobândă anuală de 6%. La o depunere de lei, dobânda după 1 an este de lei. 8. Într-un cerc cu R=cm, o coardă subîntinde un arc de 10 o. Lungimea acestei coarde este de cm. 9. Într-un triunghi isoscel măsura unui unghi de la bază este de 75 o. Măsura unghiului opus bazei este. I 10. Se dă funcţia f : R R, f ( x) = x 4. a. Reprezentaţi grafic funcţia. b. Determinaţi coordonatele punctelor de intersecţie a graficului funcţiei cu axele de coordonate şi aflaţi distanţa de la originea axelor la dreapta grafic a funcţiei. c. Aflaţi coordonatele punctelor M(x;y) situate pe graficul funcţiei cu proprietatea x 1 =. 11. Într-o prismă patrulateră regulată ABCDA B C D, avem AB=8cm şi m( D B,(ADA ))=0 o. Să se afle: a. Aria totală şi volumul prismei b. Distanţa de la punctul C la dreapta AD şi la dreapta DB. c. m(d B;(ABC)) d. Sinusul unghiului format de dreptele AD şi B C. 1. Dacă elevii unei clase se aşează câte doi într-o bancă, atunci rămân trei elevi în picioare, iar dacă se aşează câte într-o bancă, rămân 5 bănci neocupate. Câte bănci şi câţi elevi sunt în clasă?

24 : Soluţii Test ;. 10;. 5, litri; 4. x { ±1 ; ± 5} ; 5. x [;+ ); 6. 5cm; lei; 8. cm; 9. 0 o; I 10. b) N( x ; y )=Gf O y P( x ; y )=Gf O x x = 0 N(0;-4) y = x 4 y = 0 P(;0) OP=; y = x 4 ON=4; 4 5 d(o;np) este înălţime corespunzătoare laturii [NP] în NOP dreptunghic în O; d(o;np)= 5 c) M(;) şi N(-1;-6); 11. a) AA =8 ; A t= 18( + 1)cm ; V= 51 cm ; b) d(c ;AD )=C D =8cm; d(c ;DB)=C O=4 10 cm; c) 45 o ; d) sin m( AD ;B C)= bănci şi 9 elevi. ; ;

25 :: Test Rezultatul calculului : este.. Dacă 57a este divizibil cu 5, atunci a {.}. Probabilitatea ca aruncând două zaruri deodată să apară ambele feţe cu cifra 5 este de. 4. Bisectoarea unui unghi de 79 o formează cu laturile unghiului două unghiuri cu măsurile de grade fiecare. 5. Într-un triunghi dreptunghic cu ipotenuza de 8cm, lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este de cm. 6. Într-un trapez lungimea liniei mijlocii este de 4cm şi înălţimea este de cm. Aria trapezului este de cm. 7. a) Media geometrică a numerelor 1 şi 7 este egală cu. b) Media geometrică a numerelor - şi + este. x + y = 7 x = 8. Dacă atunci x y = 1 y = 9. Dacă (x - )(x + )=0, atunci x { ; }. I x + 1 x 1 x Se consideră ecuaţia : + = x 1 x + 1 x 1 a. Verificaţi dacă 0 este soluţie a ecuaţiei. b. Stabiliţi domeniul de definiţie al ecuaţiei. c. Aflaţi soluţiile ecuaţiei.. Calculaţi: a. Lungimea segmentului [BC]. b. Lungimea segmentului [AB] în funcţie de a c. Valorile lui a pentru care ABC este dreptunghic în A. 1. Desenaţi cubul ABCDA B C D şi fie M [AB], N [BC] astfel încât [AM] [BN] şi AN I DM={P}. Dacă AA = 4cm şi AM=cm, se cere: a. Arătaţi că AN DM. b. Calculaţi distanţa de la punctul A la dreapta DM. c. Aflaţi raportul dintre volumul piramidei triunghiulare ACB D şi volumul cubului. 11. Se dau în plan punctele A(a; 0); B(1; ) şi C(7; 4) cu a [ 1;7 ]

26 :: Soluţii Test 1 1) 0; ) a { 0;5} ; 1 ) ; 6 4) 9 o 0 ; 5) 4cm; 6) 7 cm ; 7) a) 18 ; b) ; x = 4 8) ; y = 9) x ; ; { } I 10) a) 0 S; b) x R-{ ±1}; 1 c) S= ; ; 11) a) BC= 10 u; [ ] b) AB= a a + 5 cu a 1;7 ; c) a { ;5} ; 1) a) DAM ABN (CC); deducem că PAM şi PMA sunt complementare, deci m( AP ˆ M )=90 o, adică AN DM; 4 4 b) Se foloseşte teorema celor trei perpendiculare; d(a ;DM)= cm.; 5 c) 1 ;

27 :: Test Rezultatul calculului 7 : este.. Soluţia reală a ecuaţiei x =-1 este.. Dacă x N* şi x 7 8, atunci x { } 4. Dintre numerele 0 şi 6 mai mare este. 5. Divizorii întregi ai numărului 6 sunt. 6. Dacă A={ ;0;1; } şi B= { ;1; }, atuci A I B=. 7. Secţiunea axială a unui cilindru circular drept este un pătrat cu latura de 6cm. Volumul cilindrului este egal cu cm. 8. În paralelogramul ABCD, AD=6cm, AE BC, E BC şi AE=8cm. Lungimea segmentului [DE] este egală cu cm. 9. Într-un con circular drept R=cm şi G=5cm. Aria laterală a conului este egală cu cm. I 10. Numerele 47, 97 şi 47 împărţite la acelaşi număr natural n dau resturile 7; 9 şi respectiv 11. a. Determinaţi cel mai mare număr n care îndeplineşte condiţiile problemei. b. Determinaţi cel mai mic număr n care îndeplineşte condiţiile problemei Graficele funcţiilor : f, g :R R, f ( x )= x +a, g ( x )= x b au în comun punctul M(1; ). a. Determinaţi valorile reale ale lui a şi b. b. Pentru a= 1, calculaţi : f (1) + f () + f () + f (4) f (0) c. Pentru a= 1 şi b=-1, rezolvaţi în R inecuaţia: 1 f ( x ) g ( x )+ d. Pentru a=1 şi b=- reprezentaţi funcţiile f şi g în acelaşi sistem de axe de coordonate şi aflaţi aria triunghiului determinat de graficele funcţiilor cu axa ordonatelor. 1. Fie ABCDA B C D un trunchi de piramidă patrulateră regulată cu AB=1cm, A B =4cm şi apotema trunchiului de 5cm. Se cere: a. Volumul trunchiului de piramidă. b. Înălţimea piramidei din care provine trunchiul. c. Fie O centrul bazei ABCD şi O centrul bazei A B C D, iar H un punct situat pe [OO ] la egală distanţă de planul bazei mari şi planul unei feţe laterale. Calculaţi distanţa OH.

28 :: Soluţii Test 14 1) 0; ) 1; ) x { 1;;;4;5 }; 4) 0; 5) { ± 1; ± ; ± ; ± 6}; 6) {} 1 ; 7) 54π cm ; 8) 10cm ; 9) 15π cm ; I 10) a) n=48; b) n=1; 11) a) a= 1 ; b=-1; b) 40; c) x [ ; + ) ; d) 1 u ; 1) a) h=oo =cm; V=08cm ; b) VO= 9 cm. c) OH=HF, HF VE, F (VE), VE=apotema piramidei din care provine trunchiul; HF VH VFH~ VOE =. Deducem HO=cm=HF. OE VE

29 :: Test Rezultatul calculului +0,() este.. Cubul cu muchia de cm are lungimea diagonalei egală cm.. Soluţiile reale ale ecuaţiei x + 5x + 6=0 sunt. 4. Aria unui triunghi echilateral cu latura de cm este cm. 5. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 9 şi 1 este. 6. Un trapez are lungimile bazelor de 5cm şi 7cm. Lungimea liniei mijlocii a trapezului este egală cu cm. 7. Media geometrică a numerelor - şi + este. 8. În triunghiul ABC, AD şi BE sunt înălţimi, unde D BC şi E AC. Fie BC=8cm şi AC=6cm. AD Valoarea raportului este egală cu. BE 9. Fie propoziţia x 4 =. Valoarea expresiei. y x y 5 = I 10. Un cetăţean a cheltuit o sumă de bani în trei zile astfel: în prima zi a cheltuit 5% din toată suma pe care o avea, în a doua zi a cheltuit 0% din suma rămasă, iar în a treia zi restul de lei. a. Care a fost suma întreagă pe care a cheltuit-o cetăţeanul? b. Ce sumă de lei a cheltuit a doua zi? 11. În triunghiul dreptunghic ABC, m( Â )=90 o, AD BC, D (BC) se cunoaşte BD=1cm, BD 1 =. Calculaţi : DC 5 a. AD b. Perimetrul ABC. 1. Desenaţi un paralelipiped dreptunghic care are dimensiunile proporţionale cu numerele ; ; 5 şi volumul de 40cm. Aflaţi a. Diagonala paralelipipedului. b. Aria totală. c. Tangenta unghiului format de diagonala paralelipipedului cu planul bazei.

30 :: Soluţii Test ; 9. cm;. S ; ; { } 9 4. A= ; 6. 6cm; 7. 7; 8. ; ; cm ; I 10. a) lei; b) lei; 11. a) AD=1 5cm; b) P ABC = 1 ( )cm; 1. L=6cm, l=4cm, h=10cm; a. d= 8 cm; b. A t =48cm ; 5 1 c. tg x = ; 1

31 :: Test De pe un hectar de pământ cultivat cu grâu se obţin 0 chintale de grâu. Câte kg de grâu se obţin pe 10 ha?. O bancă acordă 0% dobândă anual. Care este dobânda după un an la o depunere de lei?. Un ceas rămâne în urmă cu secunde la fiecare 0 minute. El a fost potrivit exact la amiază (ora 1 din zi). Ce oră va arăta la miezul nopţii (ora 4)? 4. Un ţăran a vândut în piaţă 18kg 400g zmeură cu 60000lei/kg. El a încasat lei 5. Mama are 40 de ani şi fiica ei are 16 ani. Cu câţi ani în urmă vârsta mamei era de ori vârsta fiicei? 6. robinete umplu un bazin în 1 ore. În câte ore vor umple bazinul 9 robinete cu acelaşi debit? 7. Suma dimensiunilor unui dreptunghi este 1cm, iar diferenţa lor este 8cm. Aria dreptunghiului este egală cu cm. 8. Raza unui cerc este de 9cm. Lungimea arcului a cărui măsură este de 60 o este de cm, iar coarda care subîntinde acest arc are lungimea egală cu cm. 9. Cât cântăreşte un cub de gheaţă cu muchia de 0cm, dacă 1 dm de gheaţă cântăreşte 0,9 kg? I 10. Într-o cutie sunt portocale. Dacă se împart copiilor câte 4 portocale rămân copii fără portocale; dacă se împart copiilor câte portocale atunci mai rămân 15 portocale. Câte portocale sunt în cutie? 11. Se dau funcţiile f : R R, f ( x) = x şi g : R R, g( x) = x + 1 a. Reprezentaţi în acelaşi sistem de axe de coordonate cele două funcţii. b. Arătaţi că reprezentările grafice ale celor două funcţii sunt două drepte paralele şi aflaţi distanţa dintre ele. c. Dacă A şi B sunt punctele de intersecţie a graficului funcţiei f cu axa absciselor, respectiv, axa ordonatelor, iar C şi D sunt punctele de intersecţie a graficului funcţiei g cu axa absciselor, respectiv, axa ordonatelor, atunci precizaţi natura patrulaterului ABCD şi aflaţi aria lui. 1. Un bidon în formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 10cm, 15cm şi 0cm este plin cu apă. El se goleşte într-un vas cubic cu muchia de 50cm. Până la ce înălţime se ridică apa?

32 :: Soluţii Test 16 1) 0000 kg; ) lei; ) ora 11 şi 58 minute şi 48 secunde; 4) lei; 5) 4 ani; 6) 4 h; 7) 0cm ; 8) π cm; 9cm; 9) 7, kg; I 10) 96; 11) b) G f I G g = ; d(g f ; G g )= ; c) ABCD trapez isoscel; A ABCD = 9 ; 1) 1,cm;

33 :: Test Dacă x=1 şi ax (a - )=5a 1, atunci a=.. Dacă x= şi x (a + )x (a + 1)=0, atunci a =.. Dacă x=0 şi y=- x + 7, atunci y=. 4. Dacă f(-)= şi f(x)=(a + )x, atunci a=. 5. Dacă x N* şi x, atunci x { } 6. Triunghiul ABC este isoscel, AB=AC, şi m(a)=90 o. Dacă AD BC, D (BC) şi AD=cm, atunci perimetrul triunghiului este cm; iar aria lui este egală cu cm. 7. Triunghiul ABC este isoscel, AB=AC, şi m( Â )=45 o. Dacă AB=4cm, atunci: a. Aria triunghiului ABC este egală cu cm. b. Distanţa de la punctul B la dreapta AC este egală cu cm. 8. Triunghiul ABC este triunghi dreptunghic in A, iar AD este mediană (D (BC)). Dacă AD=4cm, atunci: a. Raza cercului circumscris triunghiului ABC este egală cu cm. b. Aria cercului circumscris triunghiului ABC este egală cu cm. 9. Linia mijlocie într-un trapez are lungimea egală cu 8cm. Dacă înălţimea trapezului este de cm, atunci aria trapezului este cm. I 10. Într-o bibliotecă sunt de cărţi în limba română şi limbi străine. Numărul cărţilor în limbi străine reprezintă 0% din cărţile în limba română. Câte cărţi de fiecare fel se găsesc în bibliotecă? 11. În trunchiul de piramidă triunghiulară regulată ABCA B C avem AB=10 cm, A B =4 cm, OO =4cm, unde O şi O sunt centre ale cercurilor circumscrise bazelor ABC, respectiv A B C. a. Lungimea muchiei laterale şi tangenta unghiului format de aceasta cu planul bazei. b. Aria totală şi volumul trunchiului de piramidă. c. Volumul piramidei din care provine trunchiul. 1. Un con circular drept are R=6cm şi G=9cm. Se secţioneaza cu un plan paralel cu baza la faţă de vârf. Se cere: a. Aria laterală, totală şi volumul conului. b. Volumul trunchiului de con obţinut prin secţionare. c. Măsura unghiului sectorului circular obţinut prin desfăşurarea laterală a conului. d. Sinusul unghiului de la vârful conului a secţiunii axiale în con.

34 :: Soluţii Test 17 1) 1; ) 1; ) 7; 4) 5; 5) {1; ; }; 6) 6(1 + ); 9; 7) a) 4 ; b ) ; 8) a) 4; b) 16π; 9) 4; I 10) 900; ) a) CC = 1 ; tg m(c 'ĈO ) = ; b) A t =19 cm ; V=156 cm ; 500 c) cm 0 ; VO= cm; 1) a) h= 5cm; A l =54πcm ; A t =90πcm ; V=6π 5cm ; 76π 5 b) V= c) 40 o ; cm ; d) sin m( AVB ˆ )= 4 5 ; 9

35 :: Test Rezultatul calculului a) 5 0,00 + 0,() este. b) este.. Care număr este mai mare: a) sau : 0,? b) 0, sau 0,?. Numărul natural situat între a),51 şi 7 este. b) şi 5 este. 4. a) Dintre numerele,14 şi, 14, raţional este numărul. b) Dintre numerele 1 şi 6 iraţional este. 5. a) Dacă aria unei grădini este de 1,5 ha atunci ea are m. b) Perimetrul unei grădini în formă de pătrat este de 40m. Lăţimea grădinii este de dam. 6. a) Măsura unui unghi este de 50 o 0. Măsura complementului lui este de o. b) Măsura unui unghi este de 76 o 0. Măsura suplementului lui este de o. 7. a) Aria unui cerc cu raza de 5cm este egală cu cm. b) Aria unei sfere cu raza de 5cm este egală cu cm. 8. a) Volumul unui cilindru circular drept cu R=cm şi h=4cm este egal cu cm. b) Volumul unui con circular drept cu R=0mm şi h=0,4 dm este egal cu cm. 9. a) Dacă 0% din lapte este smântână iar 10% din smântână este unt atunci ce cantitate de unt se obţine din 1000kg lapte? b) Un obiect costă lei. Preţul lui se reduce cu 10%, apoi se majorează cu 10%. Care este noul preţ al obiectului? I 10. Un drum este parcurs în 4 etape astfel: în prima etapă 0% din întregul drum; în a doua etapă 5% din restul drumului; în a treia etapă 50% din noul rest; iar în a patra etapă restul drumului, care era de 168 km. Aflaţi: a. Câţi km avea drumul? b. Câţi km au fost parcurşi în fiecare etapă? 11. a) În trapezul ABCD, AB CD, AD AB, AB=18cm, DC=1cm, AD=8cm. Să se calculeze aria şi perimetrul trapezului ABCD, precum şi aria şi perimetrul triunghiului MAB, unde {M}=AD I BC. b) În trunchiul de piramidă patrulateră regulată ABCDA B C D avem AB=6cm, A B =4cm şi OO =8cm unde O şi O sunt centrele bazelor ABCD respectiv A B C D. Să se calculeze aria totală şi volumul trunchiului de piramidă precum şi aria totală şi volumul piramidei din care provine trunchiul. 1. Un semicerc cu raza de 8cm se înfăşoară obţinându-se un con circular drept. Să se afle aria totală, laterală şi volumul conului.

36 :: Soluţii Test 18 1) a) 1 7 ; b) 795 ) a) :0,; b) 0,; ) a) ; b) ; 4) a),14; b) 1 ; 5) a) 15000m ; b) 1 dam; 6) a) 9 o 0 ; b)10 o 0 7) a) 5πcm ; b) 100πcm ; 8) a) 6πcm ; b) 1πcm ; 9) a) 0 kg; b) lei I 10) a) 640 km b) 19 km în prima etapă; 11 km în a doua etapă; 168 km în a treia etapă; 168 km în a patra etapă. 11) a) BC=10cm; A=10cm ; P=48cm. MA=4cm, MB=0cm, A MAB =16cm ; P MAB =7cm; b) apotema trunchiului =10cm, A t = 07cm ; V=7 96cm ; inaltimea piramidei din care provine trunchiul=4cm; apotema piramidei =0cm, A tpiramida =456cm ; V=10 68cm 1) G con = 8cm; R con = 4cm; h con = 4 cm; A l = πcm ; A t = 48πcm ; V= 64 π cm ;

37 :: Test Rezultatul calculului: : 10 + : 0, este.. Ioana are la un obiect două note de 9, o notă de 7 şi două note de 8. Media rotunjită este.. Fie mulţimile A={x x N, x este divizor al lui 1} şi B={x x Z, x este divizor al lui 9}. Elementele multimilor: a) A I B sunt{ }. b) A U B sunt{ }. 4. Dacă 57a9 M, atunci a { }. 5. Dacă în rombul ABCD, m( BA ˆ D )=60 o atunci: a) m( ABC ˆ )= grade. b) m(c ÂD )= grade. 6. În triunghiul ABC, m( Â )=90 o, AB=1cm şi BC=1cm. AC= cm. 7. a) Un cerc cu raza de cm are aria egală cu cm. b) O sferă cu raza de cm are aria egală cu cm. 8. Triunghiul echilateral cu latura de m are: a) Perimetrul egal cu cm. b) Aria egală cu cm. 9. Volumul unui cilindru circular drept cu R=cm şi h=5cm este cm. I x + ( m) x m 10. Fie raportul F( x )=. x x 6 a) Factorizaţi: x x 6. b) Aflaţi valorile x R pentru care F( x ) nu este definit. c) Determinaţi m R astfel încât F( x ) să fie ireductibil. d) Pentru m = simplificaţi F( x ) Fie expresia: E( x )=1 - + :. x x x 9 x + x x 9 a) Determinaţi x.r pentru care E( x ) are definită valoarea. x 6 b) Arătaţi că forma cea mai simplă a lui E( x ) este: E( x )=. x c) Determinaţi x Z astfel încât E( x ) Z. d) Rezolvaţi inecuaţia E( x ). 1. O cutie în formă de paralelipipped dreptunghic notat ABCDA B C D are AB=8cm, BC=4cm şi AA =1 cm. O furnica porneşte din punctul A şi merge pe suprafaţa laterală a cutiei până în punctul C pe drumul cel mai scurt. Se cere: a) Aria laterala, totala si volumul paralelipipedului b) Să se afle lungimea drumului. c) Să se afle măsura unghiului x pe care trebuie să-l formeze drumul la pornire cu muchia AB pentru a fi cel mai scurt.

38 :: Soluţii Test ,7;. 8;. a) {1; }; b) { ± 1 ; + ; ± ;4;6; ± 9;1 }; 4. a {0; ; 6; 9}; 5. a) 10 o ; b) 0 o ; 6. 5cm; 7. a) 4π ; b) 16π ; 8. a) 900; b) 9. 45π ; 9 m =500 cm ; 4 I 10. a) (x - )(x + ); b) x {; -}; c) m {; -}; x + d) F(x)= ; x a) x R\{0; ±}; c) x { ± 1 ; ± ; ± 6} ; d) S=[ -; 0); 1. a) A l =88 cm ; A t = ( 9 + ) cm ; V=84 cm ; b) Se aduce faţa BCC B a paralelipipedului în acelaşi plan cu faţa ABB A ; drumul cel mai scurt este lungimea diagonalei [AC ] în dreptunghiul ACC A. AC =4cm. c) x o =60 o ;

39 :: Test 0 1. Rezultatul calculului:, 10,5 : 10 este.. 56m= km.. Soluţia reală a ecuaţiei x + 5=x 1 este. 4. 5% din lei este. 5. Dacă 751a M9, atunci a=. x 9 6. După simlificare raportul devine. x + 6x Raza cercului circumscris unui triunghi echilateral cu latura de 8 cm este egală cu cm. 8. Aria traezului ABCD (AB CD) având AB=BC=1cm, AD=1cm şi CD=18cm este de cm. 9. Un pătrat cu latura 1 dm se roteşte în jurul unei laturi. Volumul cilindrului astfel obţinut este egal cu dm. I 10. a) Să se determine numerele raţionale a şi b ştiind că: a ( + ) + b( + 1) = b) Se consideră funcţia: f : R R, f ( x) = a x + ( + 1)b, cu a, b Q. Să se determine a şi b astfel încât punctul A( 1; 1) să aparţină reprezentării grafice a funcţiei f. 11. Doi elevi au împreună lei. După ce primul elev cheltuieşte 1/ din suma pe care o avea şi al doilea elev cheltuieşte 5% din suma pe care o avea, ei constată că au rămas cu sume egale. Să se afle ce sumă avea fiecare elev şi cât a cheltuit fiecare elev. 1. Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA B C D avem AB=8cm, BC=6cm şi AA =10cm. a) Să se calculeze aria totală, volumul şi diagonala paralelipipedului. b) Dacă E, F, P sunt proiecţiile unctului D pe D A, D B respectiv D C, să se arate că puncteled, E, F, P sunt coplanare. c) Tangenta unghiului format de planele (D BC) şi (ABC).

40 :: Soluţii Test ,65;. 0,056 km;. 6; lei; 5. a =5; x 6. ; x ; cm ;(Se duce paralela din B la AD şi se foloseşte teorema reciprocă a lui Pitagora) 9. π. I 10. a) a =- 1; b =; b) a =- 1; b =1; lei şi lei avea fiecare elev; lei şi lei cheltuieşte fiecare elev. 1. a) A t = 76cm ; V = 480cm ; d = 10 cm DE ( D' AB) DE D' B D ' B ( DEP) b) F ( DEP) E, F, P, D sunt coplanare; DP ( D' CB) DP D' B DF D' B c) tg m( D CB ˆ 5 ' )=. 4

41 :: Test 1 1. a) ¾ dintr-oră este minute b) 4h 5min + 85min= h. Care număr este mai mare: a) 0, sau 0,? b) 4:0,1 sau 4 0,1?. Produsul dintre cel mai mare divizor comun al numerelor 4 şi 6 şi cel mai mic multiplu comun al lor este egal cu. 4. a) Dacă 4 x = x 9 şi x N, atunci x=. b) Dacă x = 18 si x Z, atunci x=. 5. Dacă x=- si y=+8 atunci: a) x y =. b) x y =. 6. Într-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este de 8cm, iar măsura unui unghi ascuţit este de 40 o a) Măsura celuilalt unghi ascuţit este de o. b) Raza cercului circumscris triunghiului este de cm. 7. Soluţia ecuaţiei x + =15 exprimată în centimetri reprezintă muchia unui cub. Volumul cubului este egal cu cm. 8. Într-un triunghi echilateral linia mijlocie are lungimea egală cu 5cm. a) Perimetrul triunghiului echilateral este egal cu cm; b) Aria triunghiului determinat de liniile mijlocii ale triunghiului este egală cu. din aria triunghiului echilateral. 9. În figura alăturată ABCD este trapez, AB DC, E este mijlocul laturii AD şi F este mijlocul laturii BC. Dacă EF=1cm şi RS=6cm ({R}= EF AC, {S}=EF DB), atunci AB= cm şi DC= cm. D C A E R S F B I 10. a) Calculaţi: (x + )(x + 5); (x + )(x + 4). b) Arătaţi că: (x + )(x + )(x + 4)(x + 5) + 1 este pătrat perfect oricare ar fi x N. 11. Un gospodar are găini şi iepuri. Ştiind că în total are 54 de capete şi 156 de picioare, aflaţi câte găini şi câţi iepuri are gospodarul. 1. Într-o prismă triunghiulară regulată ABCA B C avem AB=10cm şi diagonala unei feţe laterale de 10 cm. Se cere: a) Aria totală a prismei şi volumul ei; b) Distanţa de la punctul A la dreapta BC c) Tangenta unghiului format de planele (A BC) şi (ABC) d) Distanţa de la punctul A la planul (A BC)

42 :: Soluţii Test 1 1) a) 45 minute; b) 6 h; ) a) 0,; b) 4:0,1=40; ) 4; 4) a) 6; b) x = ± ; 5) a) 16; b) 4; 6) a) 50 o ; b) R=4cm; 7) V=16cm ; 8) a) P=0cm; b) 1/4; 9) AB=18cm; DC=6cm; I 10) a) x + 7x + 10; x + 7x + 1; b) (x + )(x + )(x + 4)(x + 5) + 1=(x + )(x + 5)(x + )(x + 4) + 1= (x + 7x + 10)(x + 7x ) + 1 Notăm a=x + 7x + 10 şi avem: a(a + ) + 1=a + a + 1=(a + 1) deci obţinem: (x + 7x ) = (x + 7x + 11) 11) 0 găini şi 4 iepuri 1) a) A t =50( + 6)cm ; V=50 cm ; b) d(a,bc)=a E, E este mijlocul laturii BC; A E= 5 7cm; c) tg m(<a EA)= 10 1 d) d(a,(a BC))= cm. 7 ;

43 :: Test 1. Împărţind numărul 56 la 1 se obţine câtul şi restul.. Se dau numerele: -,(); 4 ; -4;,5; -; ; 0. a. Dintre numerele de mai sus, întregi sunt. b. Ordinea descrescătoare a numerelor date este.. Cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu,1 este. 4. Zecimala care ocupă locul 00 în scrierea zecimală a numărului 5,(7) este. AB 5. Dacă A, B, C sunt puncte colineare, B (AC), astfel încât AC=6cm şi =, atunci: AC a. AB= cm b. BC= cm. 6. În paralelogramul ABCD, m( Dˆ ) = 1 m( Â ). a. Aflaţi măsurile unghiurilor paralelogramului. b. Dacă AD=DC=6cm, atunci perimetrul paralelogramului ABCD este egal cu cm, iar aria lui este egală cu cm. 7. Punctele A, B, C se găsesc pe cercul de centru O şi rază 6cm. Dacă m( ABC ˆ )=0 o, atunci: a) m( AOC ˆ )= grade. b) AC= cm. c) lungimea arcului mic A C ) este cm. 8. Volumul unei sfere cu raza de cm este egal cu cm. 9. Raportul a două unghiuri suplementare este 7. Măsurile lor sunt egale cu grade şi grade. I 10. Fie ecuaţia: x mx + m m + 1=0, x R, m parametru real. a. Să se determine parametrul real m astfel încât ecuaţia dată să aibă soluţii reale. b. Pentru m= să se rezolve ecuaţia dată. 11. Fie funcţiile f ; g; h : R R, f ( x) = x + ; g ( x) = x + ; h ( x) =. a. Reprezentaţi în acelaşi sistem de axe de coordonate graficele celor trei funcţii. b. Aflaţi aria triunghiului determinat de reprezentările grafice ale celor trei funcţii. c. Determinaţi x Z * f ( x), astfel încât 0. g( x) 1. Pe planul triunghiului isoscel ABC de bază [BC] se ridică perpendiculara BM, BM= 4 cm. Se ştie că AB=8cm, m( ABC ˆ )=67 o 0. Se cere: a. m( BAC ˆ ); b. Lungimea înălţimii corespunzătoare laturii (AC) a triunghiului ABC; c. sin o 0. d. Distanţa de la punctul M la dreapta AC. e. Măsura unghiului format de planele (MAC) şi (ABC).

44 :: Soluţii Test 1. 10; 16;. a) 4; -; ; 0; b). ; 4. ; 5. a) 4cm; b) 10cm; 4 ;,5; ; 0; -; -,(); a) m( Â )=m ( Ĉ )=15 o, m( Bˆ )=m( Dˆ )=45 o ; b) 4cm; 18 cm 7. a) 60 o ; b) 6cm; c) π cm. 8. 6π cm ; o şi 54 o. I 10. a) m [ 1;+ ) ; b) S={; 1} b) A= 0 u ; c) x { ±1 ; ± } a) 45 o ; b) 4 ; c) ; d) d(m; AC)=MB =8cm; e) 45 o ;

45 :: Test 1. Maria are de trei ori mai mulţi ani decât jumătate din câţi are Ioana. Dacă diferenţa vârstelor lor este de 5 ani, atunci Maria are ani, iar Ioana are ani.. În două coşuri sunt 50 de portocale. În primul coş sunt cu 10 portocale mai multe decât în al doilea coş. Câte portocale sunt în fiecare coş?. Soluţia reală a ecuaţiei x=1 este x=.. 4. Factorizarea numărului x 9 este şi a numărului x + 4x + este 5. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei x x =0 este S={ }. x 1 6. Dacă f ( x) = atunci: x 9 a. f (1) =. b. f (x) nu are definită valoarea pentru x {...}. 7. Un teren agricol are forma unui trapez dreptunghic a cărui linie mijlocie are lungimea de 10 dam, iar distanţa dintre baze este de 100m. Aria suprafeţei terenului este ha. 8. Într-un triunghi dreptunghic lungimea unei catete este dublul lungimii celeilalte catete, iar lungimea ipotenuzei este de 4 5 cm. a. Lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este cm. b. Perimetrul triunghiului este cm. 9. Într-un cilindru circular drept diametrul bazei este de 10cm, iar înălţimea lui este 50% din diametrul bazei. Volumul lui este cm. I 1 x 1 x x 10. Se dă expresia: E ( x ) = :. x x 9 x + 4x + a. Aflaţi valorile reale ale lui x pentru care E ( x ) are definită valoarea. b. Arătaţi că forma cea mai simplă a expresiei este: E ( x ) =. x c. Rezolvaţi ecuaţia: E ( x ) = x. d. Rezolvaţi inecuaţia: E ( x). 11. Se dau punctele A(;1); B(4;) şi C(; -). a. Reprezentaţi în acelaşi sistem de axe de coordonate punctele A, B şi C şi calculaţi aria triunghiului ABC. b. Determinaţi funcţiile f ; g : R R, a căror reprezentare grafică este dreapta AB, respectiv dreapta BC. c. Precizaţi natura triunghiului OBC, O fiind originea axelor de coordonate şi arătaţi că punctele O, A şi B sunt colineare. 1. Într-un trunchi de con circular drept, secţiunea axială este un trapez isoscel ortodiagonal cu diagonala de 1 cm şi latura neparalelă de 6 5. Se cere: a. Raza mare, raza mică şi înălţimea trunchiului de con; b. Aria totală şi volumul trunchiului de con; c. Volumul conului din care provine trunchiul.

46 :: Soluţii Test ani şi 10 ani;. 0; 0;. 1; 4. (x - )(x + ); (x + 1)(x + ); 5. S={; -1}; 6. a) 0; b) x { ± } ; 7. 1 ha; 8. a) 5 cm; b) lungimile catetelor: 4cm şi 8cm; P= 4( + 5) cm; 9. 15π cm. I 10. a) x R \ { ± ; 1; } ; c) S={1}; d) S=(; ) 11. a) A ABC = u ; 1 b) f : R R, f ( x) = x ; g : R R, g( x) = x 6 c) OBC = isoscel de bază [OC]; se arată că O(0, 0) G. 1. a) R=9cm, r=cm; h=1cm; b)a t = 18( ) π cm ; V=468 π cm ; c) h con =18cm; V con =486 π cm ; f

47 :: Test 4 1. Transformaţi în fracţie ordinară ireductibilă fiecare din numerele:,5; -1,(6);,().. Aflaţi zecimala care ocupă locul 10 în scrierea numărului 1,4(95).. Care este probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr natural n dintre primele 10 numere naturale sa avem n Q? 4. Calculaţi partea întreagă şi partea fracţionară pentru numerele: a) 5,6 b), Rezultatul calculului: a) b),5 : 0, 0,() : 0,1(6). 6. Pe un teren agricol în formă de pătrat se plantează roşii. Ştiind că lungimea terenului este de 10 m şi că pe 1 m se plantează 4 fire de roşii, atunci pe întreaga suprafaţă se plantează fire de roşii. 7. Un cub şi un paralelipiped dreptunghic sunt echivalente. Dacă dimensiunile paralelipipedului sunt: 4 m; 10 m; 5 m, atunci muchia cubului este m. 8. O bară metalică are forma unei prisme triunghiulare regulate cu lungimea laturii bazei de 10cm, şi înălţimea de 1 m. Ştiind că densitatea metalului este de 7600 kg/m, atunci masa bazei este de kg. 9. Volumul unui tetraedru regulat cu muchia de cm este de cm. I = 5 x + y x y 10. a) Să se rezolve sistemul: = 0 x + y x y b) Determinaţi numerele raţionale a şi b ştiind că este adevărată egalitatea: a - b + = b a Fie ABCD un tetraedru regulat şi G 1, G, G centrele de greutate ale triunghiurilor DBC, DAC şi respectiv DAB. a. Pentru AB=4cm calculaţi aria totală şi volumul tetraedrului regulat. b. Demonstraţi că (G 1 G G ) (ABC). c. Calculaţi raportul dintre aria triunghiului G 1 G G şi aria triunghiului ABC. 1. Lungimile laturilor triunghiului ABC sunt: AB=(x - 1), AC=x şi BC=x+1, unde x N *. a. Determinaţi x astfel încât triunghiul ABC să fie isoscel de bază [AC] şi apoi calculaţi aria triunghiului. b. Determinaţi x astfel încât triunghiul să fie dreptunghic în A şi apoi îi calculaţi aria.

48 :: Soluţii Test ; ; ; 0. 5; 11. ; a) [5,6]=5; {5,6}= 0,6; b) [-,1]=-; {-,1}= 0,877; 1 5. a) ; b) 5,5; ; m; 8. m,87 kg ( 19 ); 9. I 9 cm. 4 1 x = ; c) (a; b)=(-6; -). 10. a) ( ; y) ; 11. a) A t = 16 cm 16 ; V= cm b) Fie F, E, P mijloacele laturilor AB, BC, respectiv AC; DG1 DG DG = = = G1G //EP si G G //PF (G1G G DE DP DF c) 9 1. )//(ABC). 1. a) ABC= isoscel de bază [AC] AB=BC x=4; A = 4 65 b) ABC= dreptunghic în A; deducem conform teoremei lui Pitagora x=; A 6. =

49 :: Test 5 1. Dacă un elev are la un obiect notele 9; 10; 7; 8, atunci media rotunjită este.. Se amestecă 5 kg de bomboane cu lei/kg cu kg de bomboane cu 5000 lei/kg. Un kg de bomboane amestec costă kg.. Rezultatul calculului este. 4. Media geometrică a numerelor şi 8 este. 5. Aria unei suprafeţe agricole este de,5 hectare. Suprafaţa are m. 6. Măsura unui unghi este de 15 o. Bisectoarea unghiului formează cu laturile lui unghiuri a căror măsură este de fiecare. 7. Complementul unui unghi are măsura egală cu 55 o. Măsura unghiului este de grade. 8. Măsura unui unghi este de trei ori mai mare decât măsura altui unghi. Ştiind că acele două unghiuri sunt suplementare, atunci măsura fiecărui unghi este de grade şi grade. 9. Lungimea unui cerc cu R=4cm este de cm. I 10. Fie funcţia f : R R, f ( x) = x 1. a. Reprezentaţi grafic funcţia. b. Aflaţi coordonatele punctelor M situate pe graficul funcţiei f astfel încât x + 1 = y Un trunchi de con circular drept are secţiunea axială trapezul isoscel ABCD, AB CD, AB=8, DC=0, BC=10. Se cere: a. Aria totală a trunchiului. b. Volumul trunchiului. 1. Raza unei sfere este de 5cm. Sfera se secţionează cu un plan astfel încât aria cercului de secţiune să fie egală cu 9π cm. Se cere: a. Aria şi volumul sferei. b. Aria celor două calote astfel formate. c. Aria şi volumul conului a cărui bază este cercul de secţiune şi vârful este centrul sferei.

50 :: Soluţii Test ;. 065 lei;. 1; 4. 4; m ; o 0 ; 7. 5 o ; o şi 15 o ; 9. 8π cm. I 4 x = 6 x = b) Din x + 1 = y 4 deducem şi y = , deci M (6; 11) şi M + ; + ; y = 11. a. 56π ; b. 416π ; 1. a) A=100π cm 500π ; V= cm ; b) Înălţimea calotei mici este 1cm; A calotei mici = 10π cm Înălţimea calotei mari este 9cm; A calotei mari =90π cm ; c) A t =4π cm ; V=1π cm.

51 :: Test 6 1. Rezultatul calculului: a) : 4 este. 1 1 b) : 4 8 este.. Triunghiul ABC este dreptunghic în A şi AB=6cm, AC=8cm. a. Lungimea ipotenuzei BC este egală cu cm. b. Aria triunghiului ABC este egală cu cm.. Se dă ecuaţia: x + 4=10. Soluţia ecuaţiei este x=. 4. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei: x 4x + =0 este: S={ }. 5. Mulţimea soluţiilor inecuaţiei: x 7 < - 1, x R, este S=. x + 4 > 7 6. Mulţimea soluţiilor sistemului de inecuaţii:, x R este S=. x 1 x 7. Dacă într-un cilindru circular drept R=cm şi aria laterală este 1π, atunci: a. Generatoarea cilindrului este egală cu cm. b. Volumul cilindrului este egal cu cm. 8. Raza unui cerc este de cm. a. Lungimea şi aria cercului sunt. b. Dacă el este un cerc mare al unei sfere, atunci aria sferei este egală cu cm şi volumul sferei este cm. x 5x + 9. Dacă F ( x ) =, atunci: x 4 a. F ( x ) este definită pentru x R { }. b. După simplificare F ( x) =. c. F(1)=. I 10. Se dă funcţia f : R R, f ( x) = ( a 1) x + b, a; b R. a. Pentru a = 0 şi b = reprezentaţi grafic funcţia. b. Determinaţi a şi b astfel graficul funcţiei f să conţină punctele A(1;0) şi B(-1;). x + 1 c. Aflaţi cardinalul mulţimii M= x Z* [ 1; ). 11. Un sondaj a arăta că 10% din persoanele intervievate citesc romane, iar dintre acestea, 5%, adică 0000 persoane citesc numai romane S.F.. Câte persoane au fost intervievate? 1. a) Se dă un trunchi de con circular drept în care R=1cm, r=8cm şi h=cm. Să se calculeze i. Aria laterală, totală şi volumul trunchiului; ii. Volumul conului din care provine trunchiul; iii. Măsura unghiului sectorului de cerc obţinut prin desfăşurarea laterală a conului din care provine trunchiul. b) O sferă cu volumul de 88π cm se secţionează cu un plan ce se află la distanţa de cm de centrul sferei. Se cere: i. Aria secţiunii; ii. Aria laterală a conului cu vârful în centrul sferei şi cu baza cercul de secţiune