מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

Transcript

1 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע ל רקורסיבי (בהמשך נראה כיצד להגיע לנוסחא מפורשת במקרים ספציפיים). נתחיל בדוגמא פשוטה: כמה מחרוזות בינאריות באורך n קיימות? נסמן מספר זה ב a. n נניח כי מצאנו כמה כאלו באורך n יש (כלומר, את n a). כעת, כדי להשלים את המחרוזת למחרוזת באורך n, ישנן שתי אפשרויות (או לשים 0 או לשים בתו האחרון). קיבלנו, אם כך, כי n a. n = 2a לבסוף, נקבע את תנאי ההתחלה (שימו לב שאחרת לא ניתן לחשב את מספר האפשרויות). במקרה שלנו, = 0 a, המחרוזת הריקה. נסמן ב a n את מספר האפשרויות לרצף שביל באורך n ע"י שימוש במרצפות אדומות באורך 2, מרצפות ירוקות באורך 2 ומרצפות שחורות באורך. כיתבו נוסחת נסיגה ל a n יחד עם תנאי התחלה. נחלק למקרים לפי המרצפת הראשונה. ניתן להניח מרפצת אדומה, ואז נרצף במרצפות באורך 2 n a 2 n ) אפשרויות). ניתן להניח מרפצת ירוקה, ואז נרצף במרצפות באורך 2 n a 2 n ) אפשרויות). ניתן להניח מרפצת שחורה, ואז נרצף במרצפות באורך n a n ) אפשרויות). מעקרון החיבור, נקבל כי: n 2.a n = 2a n 2 + a n וכעת נדרש למצוא תנאי התחלה גם ל a 0 וגם ל a. קל לראות כי = 0 a (לא להניח כלום) ו = a (להניח מרצפת שחורה). מכאן, וודאו למשל כי = 3 2 a ואכן ניתן להניח או שתי מרצפות שחורות, או מרצפת ירוקה או מרצפת אדומה. תרגיל 2 בכמה דרכים ניתן לחלק n אנשים לזוגות ובודדים?

2 נסמן ב a n את מספר האפשרויות. נסתכל על, למשל, הבן אדם הגבוהה ביותר. ניתן לסדרו לבד, ואז מספר האפשרויות הכולל הוא n a. סה"כ: נבחר איש כזה ( n אפשרויות) ונסדר את יתר האנשים. ניתן להצמידו לאיש אחר..(n ) a n 2 קיבלנו: n 2.a n = a n + (n ) a n 2 ותנאי ההתחלה הן = 0 a ו =.a נוודא כי = 2 2 a (או כזוג או כשני יחידים). תרגיל 3 בכמה מחרוזות בינאריות באורך n לא מופיע הרצף 0? נסמן ב a n את מספר המחרוזות. נחלק למקרים לפי התווים הראשונים של המחרוזת. סה"כ: אם המחרוזת מתחילה ב 0, ניתן להשלים אותה לכל מחרוזת חוקית באורך n ב n a אפשרויות. אם המחרוזת מתחילה ב : אם התו השני הינו 0, ניתן להשלים אותה לכל מחרוזת חוקית באורך 2 n, ב 2 n a אפשרויות. אם התו השני הינו, ניתן להשלים אותה רק למחרוזת שכולה באופן חוקי. n 2.a n = a n + a n 2 + כאשר = 0 a ו = 2.a תרגיל 4 בכמה מחרוזות טרינאריות (כלומר, מעל {2,0}), באורך n יש מספר זוגי של ים? נסמן ב a n את מספר המחרוזות. נחלק למקרים לפי התו הראשון במחרוזת. אם הספרה הראשונה היא 0 או 2, אז ב n המקומות האחרונים צריך להיות מספר זוגי של ים. סה"כ: n 2a אפשרויות. אם הספרה הראשונה היא, אז ב n המקומות האחרונים צריך להיות מספר אי זוגי של ים. כמה אפשרויות לכך? לפי המשלים, n 3. n a ולכן, נוסחת הנסיגה היא: n.a n = a n + 3 n עם תנאי ההתחלה = 0.a תרגיל 5 נתון סולם עם אינסוף שלבים. מותרים הצעדים הבאים: לעלות 3 שלבים למעלה, לרדת שלב אחד למטה ואסור לרדת פעמיים רצוף למטה. כמו כן, אסור לרדת למטה בצעד הראשון. לכל 0 n, מצאו את מספר המסלולים האפשריים להגיע לשלב ה n י. 2

3 b n = a n 3 כלומר: נסמן ב a n את מספר המסלולים האפשריים להגיע לשלב ה n י, וב b n את מספר המסלולים האפשריים להגיע לשלב ה n י כך שבצעד האחרון לא לוקחים צעד אחד למטה. אזי, לכל 0 n: a n = a n 3 + b n+ n 3.a n = a n 3 + a n 2 עם תנאי התחלה = 0 a 0 =, a ו = 2.a תרגיל 6 בכמה מחרוזות בינאריות באורך n לא מופיע הרצף 0? נסמן ב a n א חרוזת. אם המחרוזת מתחילה ב 0, ניתן להשלים אותה לכל מחרוזת חוקית באורך n ב n a אפשרויות. אם המחרוזת מתחילה ב : נקבל סה"כ: אם התו השני הינו 0, אחריו חייב להיות עוד 0 וניתן להשלים אותה לכל מחרוזת חוקית באורך 3,n ב n 3 a אפשרויות. אם התו השני הינו, נצטרך לפעול שוב לפי אותה חוקיות. ולכן, נסמן ב b n את מספר המחרוזות החוקיות באורך n (כלומר, ללא הרצף 0) שמתחילות ב. a n = a n + b n b n = a n 3 + b n מהמשוואה הראשונה נקבל כי n.b n = a n a נציב לשנייה ונקבל: a n a n = a n 3 + a n a n 2 n 3.a n = 2a n a n 2 + a n 3 עם תנאי התחלה = 4 2.a 0 =, a = 2, a תרגיל 7 במסיבה n רקדנים. מהו מספר החלוקות שלהם למעגלים, כאשר אין סדר בין המעגלים אך יש סדר בתוך כל מעגל? נסמן ב a n את מספר החלוקות. נמספר את הרקדנים. נתבונן במעגל שבו נמצא רקדן מס' ונסמן ב k את מספר הרקדנים באותו מעגל. מספר האפשרויות לבחירת הרקדנים למעגל זה, פרט לרקדן מס' : ( ) n k סה"כ, a n k אפשרויות. את יתר n k האנשים נסדר ב וכעת, נסדרם במעגל ב!( k) אפשרויות. מקבלים: n ( ) n n.a n = (k )!a n k k k= עם תנאי ההתחלה = 0 a. נסו להוכיח באינדוקציה כי לנוסחת הנסיגה הסבוכה הנ"ל דווקא יש סגור פשוט: לכל a. n =!n n, N האם תוכלו לתת נימוק קומבינטורי לשוויון הזה? 3

4 תרגיל 8 הציגו יחס נסיגה ותנאי התחלה עבור מספר הדרכים לרצף מלבן שמימדיו n 2 ע"י מרצפות בגודל:. ו 2..2,2 2 ו. נסמן ב a n את מספר הרצפים האפשריים בגודל n 2. סעיף כל שורה מרוצפת בנפרד. נסמן ב b n את האפשרויות לרצף שורה ונקבל.a n = b 2 n כמו כן, n 2.b n = b n +b לכן, n 2.a n = (b n + b n 2 ) 2 = ( an + a n 2 ) 2 עם תנאי התחלה = 0 a ו =.a סעיף 2 נסמן ב b n את מספר הדרכים לרצף בעזרת מרצפות אלו מלבן בגודל n 2 כך שחסרה בו משבצת פינתית אחת. ריצוף המלבן המלא מתחיל באחת מהדרכים הבאות:. מרצפת אחת של.2 2. בשורה הראשונה מרצפת של ובשנייה מרצפת של. 3. בשורה הראשונה מרצפת של 2 ובשנייה מרצפת של 2. לכן: 4. בשורה הראשונה מרצפת של ובשנייה מרצפת של 2 (חסרה משבצת פינתית אחת). 5. בשורה הראשונה מרצפת של 2 ובשנייה מרצפת של (חסרה משבצת פינתית אחת). a n = a n + a n + a n 2 + b n + b n כלומר, 2b n = a n+ 2a n a n כמו כן, כדי לרצף כאשר חסרה משבצת פינתית אחת, נוכל להשלים בעזרת מרצפת של ואז לרצף רגיל, או להכניס מרצפת של 2 ולהמשיך לרצף, כאשר חסרה משבצת פינתית אחת. b n = a n + b n 2 (a n+ 2a n a n ) = a n + 2 (a n 2a n a n 2 ) 2 a n+ a n 2 a n = a n + 2 a n a n 2 a n 2 a n+ = 3a n + a n a n 2 n 3.a n = 3a n + a n 2 a n 3 נציב ונקבל: עם תנאי התחלה: = 0 a = 2,a ו = 7 2.a 4

5 2 נוסחאות נסיגה בעזרת פולינום אופייני נציג את המקרה עבור המשוואה ההומוגנית n 2.a n = c a n + c 2 a להכללה לעומק רקורסיה כלשהו, ראו את המשפטים בהרצאה. נגדיר את הפולינום האופייני להיות.λx C.x 2 c x c 2 נמצא את שורשיו,.r, r 2 אם,r r 2 ה יהיה מהצורה.a n = A r n + B r n 2 אם r = r 2 = r ה יהיה מהצורה a n = A r n + B nr n נציב את תנאי ההתחלה כדי למצוא את A ואת B. מצאו ביטוי סגור ל n 2 a n = 3a n 2a עם תנאי ההתחלה = 0 a ו = 2.a הפולינום האופייני הוא + 2 3x.λx.x 2 פתרונות המשוואה = x x 2 הם, 2 ולכן ה יהיה מהצורה: λn.a + B 2 n A + B = A + 2B = 2 n N.a n = 2 n נציב תנאי התחלה: ונקבל = B.A = 0, לכן: 3 נוסחאות נסיגה בעזרת פונקציות יוצרות בשיטה זו, מוצאים את הפונקציה היוצרת של הסדרה ע"י שימוש בתנאי הנסיגה. מצאו ביטוי סגור ל n+ a n+2 = 5a n+ 6a n + 3 עם תנאי ההתחלה = 0 a ו = 6.a f = λx R. a n x n = λx R.a 0 + a x + R. f = λx הפונקציה היוצרת את הסדרה הנ"ל. אזי: תהא a nx n ( 5an+ 6a n + 3 n+) x n+2 = λx R. + 6x + 5x a n+ x n+ 6 x 2 a n x n + 3x 2 3 n x n = λx R. + 6x + 5x( a n x n a 0 ) 6 x 2 a n x n + 3x 2 3 n x n 5

6 λx. f = יוצא:, ולכל x מתקיים ש: a nx n 3x = מכיוון ש 3n x n f(x) = + 6x + 5x(f(x) ) 6x 2 f(x) + 3x3 3x = + x + 5xf(x) 6x 2 f(x) + 3x3 3x = 5xf(x) 6x 2 f(x) + 2x 3x f (x) = 2x ( 3x) ( 5x + 6x 2 ) = ( 3x) 2 f = λx R. ( 3x) 2 = λx R. ( n + 2 n N.a n = n ) 3 n = S (2, n) (3x) n נחלץ את f(x), ונקבל: לכן: ולכן ה המבוקש הוא ( ) n + 3 n = (n + ) 3 n n 4 נוסחאות נסיגה בעזרת פולינום אופייני עמוד 323 בספר מופיע העקרון הבא: אם P פולינום ממעלה l ו a שורש מריבוי i של הפולינום האופייני (כולל המקרה = 0 i, כלומר כש a אינו שורש של הפולינום האופייני), אז למשוואה (n) L(X) = λn.a n P יש מהצורה Q(n) f = λn.n i a n כאשר Q פולינום ממעלה l לכל היותר. את המקדמים של הפולינום Q מוצאים ע"י הצבה במשוואה וחילוץ. מצאו ביטוי סגור ל n+ a n+2 = 5a n+ 6a n + 3 עם תנאי ההתחלה = 0 a ו = 6.a (עם פולינום אופייני) פולינום אופייני הוא: 3) 2)(x.x 2 5x + 6 = (x החלק הלא הומוגני הוא: 3 n.3 מכיוון ש 3 (הבסיס של 3), n הוא שורש של הפולינום האופייני, אנו יודעים שקיים מהצורה:.λn.An3 n נמצא את ה A הנכון: A(n + 2)3 n+2 = A(n + )3 n+ + An3 n n A = נחלק ב 3, n ונכנס איברים. נקבל לכן n 3 n מסויים למערכת הלא הומוגנית. ע"פ משפט, כללי של המערכת הלא הומוגנית, הוא ספציפי למערכת ההומוגנית + כללי למערכת ההומוגנית. כלומר:. λn.c 2 n + D 3 n + n3 n כדי למצוא את,C D נציב תנאי התחלה: a 0 = = C + D a = 6 = 2C + 3D + 3 סה"כ יוצא ש: = 0,C,D = ולכן תשובה סופית הינה:.a n = 3 n + n 3 n = (n + )3 n 6

7 5 הומוגניזציה מצאו נוסחת נסיגה הומוגנית למספר המחרוזות באורך n מעל {d,a},b,c כך שכל מופעי a נמצאים לפני כל מופעי b. נחלק למקרים לפי התו הראשון במחרוזת. אם הוא b, אז ניתן להשלים את יתר המחרוזת מתוך {d,b},c ב n 3 אפשרויות. אם הוא אינו b, ניתן להשלים למחרוזת עם אותה חוקיות, באורך n. סה"כ: a n = 3 n + 3a n כך ש = 0 a. נשתמשת ב"הומוגניזציה". מתקיים כי a n+ = 3 n + 3a n = 3 3 n + 3a n אך אנו יודעים כי n.3 n = a n 3a נציב ונקבל: a n+ = 3 (a n 3a n ) + 3a n = 6a n 9a n או: a n = 6a n 9a n 2 שימו לב שהפולינום האופינו הוא a. = 4 וכדי לפתור את נוסחת הנסיגה, נצטרך תנאי התחלה נוסף: + 9 6x,λx.x 2 והוא בעל שורש כפול. 7