Capitolul 14. Polinoame

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Capitolul 14. Polinoame"

Transcript

1 Polinoame! Definirea noţiunii de polinom! Forma algebrică a polinoamelor! Reprezentarea polinoamelor în memoria calculatorului! Implementări sugerate! Probleme propuse! Soluţiile problemelor Capitolul Definirea noţiunii de polinom Fie mulţimea şirurilor (infinite) de numere complexe f = (a 0, a 1, a 2,..., a n,...), care au numai un număr finit de termeni nenuli, adică există un număr natural m, astfel încât a i = 0 pentru orice i > m. Exemple şirul f = (1, -2, 8, 0,..., 0...) are trei termeni nenuli; şirul g = (0, 1, -2, 0,..., 0) are doi termeni nenuli. Pe această mulţime se definesc două operaţii algebrice: 1. Adunarea f + g = (a 0 + b 0, a 1 + b 1, a 2 + b 2,...). 2. Înmulţirea f g = (c 0, c 1, c 2,...), unde c 0 = a 0 b 0 c 1 = a 0 b 1 + a 1 b 0 c 2 = a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0... a r = a 0 b r + a 1 b r 1 + a 2 b r a r b 0 Se observă că suma f + g şi produsul f g aparţin aceleiaşi mulţimi. Definiţie Fiecare element al mulţimii definite anterior pe care sunt definite cele două operaţii, se numeşte polinom.

2 14. Polinoame 289 Dacă f = (a 0, a 1, a 2,..., a n,...) este un polinom, numerele a 0, a 1, a 2,... se numesc coeficienţii lui f. A. Proprietăţi ale adunării polinoamelor Fie f, g şi h trei polinoame. 1. Adunarea este comutativă: f + g = g + f. 2. Adunarea este asociativă: (f + g) + h = f + (g + h). 3. Element neutru pentru adunarea polinoamelor este polinomul constant 0 = (0, 0,...). Avem f + 0 = 0 + f = f. 4. Orice polinom are un opus notat cu f, astfel încât f + ( f) = ( f) + f = 0. B. Proprietăţi ale înmulţirii polinoamelor 1. Înmulţirea este comutativă: f g = g f. 2. Înmulţirea este asociativă: (f g) h = f (g h). 3. Element neutru pentru înmulţirea polinoamelor este polinomul constant 1 = (1, 0,...). Avem f 1 = 1 f = f. 4. Înmulţirea este distributivă faţă de adunare: f (g + h) = f g + f h şi Avem (f + g) h = f h + g h. 5. Dacă f şi g sunt polinoame nenule, atunci produsul lor este un polinom nenul (f 0 şi g 0 f g 0). 6. Posibilitatea simplificării cu un factor nenul: dacă f, g şi h sunt polinoame astfel încât f g = f h şi f 0, atunci g = h Forma algebrică a polinoamelor Prin convenţie, vom nota polinomul (0, 1, 0, 0,...) cu X şi îl vom citi nedeterminata X. În urma înmulţirii polinoamelor va rezulta: X 2 = X X = (0,1,0,...) (0,1,0,0,...) = (0,0,1,0,... ) X 3 = X X 2 = (0,1,0,...) (0,0,1,0,...) = (0,0,0,1,0,...)... X n = X X n 1 = (0,1,0,...) (0,0,...,0,1,0,...) = (0,0,...,0,1,0,...)... n 1 Folosim înmulţirea şi adunarea pentru a scrie: f = a 0 + a 1 X + a 2 X a m X m, unde a 0, a 1, a 2,..., a m sunt coeficienţii polinomului f. Polinoamele de forma ax n, unde a C (mulţimea numerelor complexe) şi n este un număr natural se numesc monoame. n

3 Polinoame În mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi se disting următoarele submulţimi importante: R[X] = mulţimea polinoamelor cu coeficienţi reali; Q[X] = mulţimea polinoamelor cu coeficienţi raţionali; Z[X] = mulţimea polinoamelor cu coeficienţi întregi Reprezentarea polinoamelor în memoria calculatorului Reprezentarea prin şirul coeficienţilor Coeficienţii unui polinom se vor păstra într-un tablou unidimensional în ordine crescătoare (sau descrescătoare) după puterea lui X. Numim gradul polinomului puterea cea mai mare a lui X, pentru care coeficientul este diferit de 0. În concluzie, şirul corespunzător coeficienţilor va avea cel puţin atâtea elemente + 1 (pentru termenul liber), cât este gradul polinomului. Acest mod de reprezentare are avantajul că în cazul a două polinoame coeficienţii aceloraşi puteri ale lui X sunt aşezaţi în cei doi vectori pe poziţii corespunzătoare Exemplu de adunare şi scădere a două polinoame Fie P 1 (X) = 4X 5 3X 4 + X 2 8X + 1 şi P 2 (X) = 3X 4 X 3 + X 2 + 2X 1. (P 1 + P 2 )(X) = 4X 5 3X 4 + X 2 8X X 4 X 3 + X 2 + 2X 1 = = 4X 5 X 3 + 2X 2 6X. (P 1 P 2 )(X) = 4X 5 3X 4 + X 2 8X + 1 3X 4 + X 3 X 2 2X + 1 = = 4X 5 6X 4 + X 3 10X + 2. Reprezentând polinoamele sub formă de tablouri unidimensionale în care am aşezat coeficienţii în ordine crescătoare după puterile lui X, adunarea şi scăderea se efectuează astfel: indice P P P 1 + P P 1 P Exemplu de înmulţire a două polinoame Fie P 1 (X) = 3X 2 X + 1 şi P 2 (X) = X

4 14. Polinoame 291 (3X 2 X + 1) (X 2) 3X 3 X 2 + X 6X 2 + 2X 2 3X 3 7X 2 + 3X 2 P P P 1 X P 1 ( 2) P 1 P Valoarea unui polinom Prin definiţie numărul f(α) = a 0 + a 1 α + a 2 α a n α n se numeşte valoarea polinomului f în α. Exemplu Valoarea polinomului P 1 (X) = 3X 2 X + 1 în punctul X = 2 este: P 1 (2) = = = = 11. S-a demonstrat că cea mai rapidă metodă de a calcula valoarea unui polinom este cea bazată pe schema lui Horner. Polinomul P(X) se scrie sub forma: P(X) = (...(((a n x + a n 1 ) x a 2 ) x + a 1 ) x + a 0 şi se aplică un algoritm simplu în care x este argumentul pentru care se calculează valoarea polinomului P de coeficienţi a i şi grad n: Subalgoritm Horner(n,x,P): P a[n] pentru i=n-1,0 execută: P P*x + a[i] Împărţirea polinoamelor Prezentăm în continuare o serie de definiţii şi teoreme a căror cunoaştere este necesară în rezolvarea problemei propuse la sfârşitul acestui capitol *). A. Teorema împărţirii cu rest Fiind date două polinoame oarecare cu coeficienţii complecşi f şi g, unde g 0, atunci există două polinoame cu coeficienţi de tip complex q şi r, astfel încât f = g q + r, unde gradul polinomului r este mai mic decât gradul polinomului g. Polinoamele q şi r sunt unice dacă satisfac această proprietate. *) Cei care simt nevoia unui studiu aprofundat pot consulta bibliografie de specialitate (de exemplu, manualul de matematică pentru clasa a X-a).

5 Polinoame Exemplu Fie P 1 (X) = X 3 2X 2 + 6X 5 şi P 2 (X) = X 2 1. ( X 3 2X 2 + 6X 5) : (X 2 1) = X 2 X 3 + X 2X 2 + 7X 5 2X 2 2 7X 7 Observaţie Dacă cele două polinoame au coeficienţi numere întregi şi coeficientul termenului de grad maxim al împărţitorului este ±1 atunci câtul şi restul sunt polinoame cu coeficienţi întregi. Fie f şi g două polinoame. Spunem că polinomul g divide polinomul f (sau f este divizibil prin g, sau g este un divizor al lui f, sau f este un multiplu al lui g) dacă există un polinom h, astfel încât f = g h. Fie f un polinom nenul cu coeficienţi de tip complex. Un număr complex a este rădăcină a polinomului f, dacă f(a) = 0. Teorema lui Bézout: Fie f 0 un polinom nenul. Numărul a C este rădăcină a polinomului f dacă şi numai dacă X a îl divide pe f. Teoremă Fie f = a 0 + a 1 X + a 2 X a n X n un polinom cu a n 0, n 1. Dacă x 1, x 2,..., x n sunt rădăcinile lui f, atunci f = a n (X x 1 ) ( X x 2 )... ( X x n ) şi, în plus, această descompunere a lui f în factori liniari este unică. Teoremă Restul împărţirii unui polinom f 0 prin binomul X a este egal cu valoarea f(a) a polinomului f în a. Schema lui Horner oferă un procedeu de aflare a câtului şi a restului împărţirii polinomului f prin binomul X a. În cazul în care restul împărţirii este 0, a este rădăcină a polinomului. Orice rădăcină a polinomului este divizor al numărului a 0 /a n (din ultima relaţie a lui Viéte ). În tabelul următor prezentăm schema lui Horner pentru împărţire: Fie a i coeficienţii polinomului P. Efectuăm împărţirea la monomul X v.

6 14. Polinoame 293 puterile nedeterminatei n n 1 n coeficienţi a n a n 1 a n 2... a 1 a 0 coeficienţii câtului a n a n 1 + vb n 1 a n 2 + vb n 2... a 1 + vb 1 a 0 + vb 0 îi notăm b n 1 b n 2 b n 3... b 0 r Acest tabel se completează astfel: în rândul doi al tabelului se scriu coeficienţii polinomului f ; următoarea linie a tabelului va conţine coeficienţii b şi se formează astfel: b n 1 primeşte valoarea a n ; pe celelalte coloane (de la n 1 la 0) elementele b i se calculează cu formula: b i = a i v b i + 1 Dacă a 0 + vb 0 este 0, înseamnă că v este rădăcină a polinomului. Câtul împărţirii polinomului dat la acest monom (X v) este polinomul ai cărui coeficienţi sunt coeficienţii b i nenuli (doar cu un grad mai mic), iar restul este a 0 + vb 0. Exemplu Împărţim polinomul 2X 4 5X 3 8X + 1 la X 2: puterea v coeficienţi câtul b = ( 1) = ( 2) = ( 12) = 23 b 3 b 2 b 1 b 0 r Câtul împărţirii este 2X 3 X 2 2X 12, iar restul este 23. Pentru a descompune un polinom cu coeficienţi întregi sub formă de produs de binoame se aplică schema lui Horner pentru fiecare divizor posibil al lui a 0 /a n. În cazul în care acesta este rădăcină a polinomului, se reţine şi se continuă procedeul cu polinomul cât. În final, pentru fiecare rădăcină determinată avem un monom. Dacă restul este un polinom nenul înseamnă că acesta nu se poate descompune în produs de monoame în mulţimea numerelor întregi. Exemplu Să se descompună polinomul X 4 2X 3 + 3X 2 10X + 8. Se determină rădăcinile întregi posibile, deci divizorii lui 8: 1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 8. Aplicăm schema lui Horner pentru aceste valori. Pot exista rădăcini multiple, adică putem găsi o valoare pentru care polinomul să se dividă la (x v) k, unde k > 1.

7 Polinoame puterea v coeficienţi este rădăcină = ( 1) 1 = = ( 8) = 0 dar nu dublă = = = 6 nu este rădăcină ( 1) 1 = ( 1 ) ( 2) = ( 1) 4 = 12 este rădăcină = = = 0 nu este rădăcină = = = ( 2) ( 1) = = = ( 4) 1 = ( 4) ( 3) = = = = ( 8) ( 7) = 60 Coeficienţii polinomului cât sunt: nu este rădăcină X 2 X 1 X În concluzie X 4 2X 3 + 3X 2 10X + 8 = (X 2 + X + 4) (X 1) (X 2) Reprezentarea polinoamelor prin monoamele sale Dacă un polinom are mulţi coeficienţi egali cu 0, reprezentarea prin şirul coeficienţilor nu mai este avantajoasă. În acest caz, se preferă reprezentarea prin şirul monoamelor. De asemenea, dacă aceste monoame nu sunt accesibile în ordinea crescătoare (sau descrescătoare) a puterii lui X, nu vor apărea probleme, deoarece în cazul fiecărui monom se precizează două informaţii: valoarea coeficientului şi gradul termenului. Reprezentarea prin monoame, se poate realiza cu mai multe tipuri de structuri de date. cu două şiruri: unul pentru coeficienţii diferiţi de 0 ai polinomului şi unul pentru gradele corespunzătoare ale termenilor; cu un şir de articole *) ; cu ajutorul unei liste liniare, alocată dinamic **). *) Tipul record se va învăţa la sfârşitul clasei a 9-a **) Alocarea dinamică o vom învăţa în clasa a 10-a.

8 14. Polinoame Implementări sugerate Pentru a vă familiariza cu implementarea operaţiilor cu polinoame vă recomandăm să rezolvaţi următoarele exerciţii prin care să realizaţi operaţiile: 1. citirea unui polinom dat prin grad şi coeficienţi; 2. citirea unui polinom dat prin monoame; 3. valoarea unui polinom pentru un argument dat; 4. adunarea a două polinoame; 5. înmulţirea a două polinoame; 6. împărţirea a două polinoame; 7. determinarea acelui polinom dintre n polinoame care pentru un argument dat are valoare maximă Probleme propuse Operaţii cu polinoame În funcţie de cerinţa precizată în fişierul de intrare, se va efectua una dintre următoarele operaţii asupra unor polinoame cu coeficienţi întregi: adunarea a două polinoame; scăderea a două polinoame; înmulţirea a două polinoame; împărţirea a două polinoame; calcularea valorii unui polinom într-un punct (număr întreg) dat; descompunerea unui polinom în produs de binoame. Date de intrare De pe prima linie a fişierului de intrare POL.IN se citeşte un caracter care comunică operaţia care trebuie efectuată. Caracterele posibile sunt: '+': se solicită adunarea a două polinoame; '-': se solicită scăderea celui de-al doilea polinom din primul; '*': se solicită produsul a două polinoame; '/': se solicită câtul şi restul după ce primul polinom s-a împărţit la al doilea; 'v': se solicită calcularea valorii unui polinom într-un punct dat; 'd': se solicită descompunerea polinomului în binoame. În cazul în care se doreşte o operaţie aritmetică, coeficienţii celor două polinoame se vor afla pe liniile a doua şi respectiv a treia a fişierului.

9 Polinoame Pentru calculul valorii unui polinom, valoarea numerică întreagă pentru care se cere calcularea valorii polinomului se va citi de pe a doua linie a fişierului, pe linia a treia aflându-se coeficienţii polinomului dat. Dacă opţiunea este 'd', coeficienţii polinomului de descompus se află pe a doua linie a fişierului. Coeficienţii polinoamelor se vor citi din fişierul POL.IN în ordine crescătoare după puterile nedeterminatei. (Astfel, având şi coeficienţii nuli, gradul polinomului se va determina pe baza numărului coeficienţilor). Date de ieşire În fişierul POL.OUT se va scrie, în funcţie de operaţia solicitată: pentru operaţiile '+', '-' şi '*' se va afişa polinomul rezultat în urma efectuării operaţiei respective; în urma operaţiei de împărţire (/) vor rezulta două polinoame (câtul şi restul); coeficienţii acestor polinoame se vor scrie pe prima (câtul) şi respectiv a doua linie a fişierului rezultat (restul); valoarea unui polinom cu coeficienţi întregi într-un punct dat (număr întreg) este un număr întreg care va fi scris în fişierul de ieşire; în urma descompunerii unui polinom ca produs de binoame rezultă o expresie de forma (polinom 1 )(polinom 2 )...(polinom k ). Polinoamele se vor afişa în formă algebrică, în ordinea descrescătoare a gradelor termenilor. Puterile lui X se vor afişa sub forma: X'^'putere (dacă putere > 1); X 1 se va afişa X; X 0 nu se va afişa (apare doar coeficientul); termenii ai căror coeficienţi sunt 0 nu se vor scrie, excepţie făcând polinomul nul. Restricţii şi precizări toate polinoamele au coeficienţi întregi; datele de intrare sunt corecte şi conforme cu descrierea din enunţ; coeficientul termenului de grad maxim a polinomului împărţitor în cazul operaţiei '/' este 1. Exemple POL.IN POL.OUT X^3+X^2-3X

10 14. Polinoame 297 POL.IN POL.IN * POL.IN / POL.IN v POL.IN d POL.OUT X^3-X^2-X+2 POL.OUT X^5-X^4-3X^3+3X^2+X-1 POL.OUT X+1 2 POL.OUT 116 POL.OUT (X^2+X+4)( X-1)( X-2) Soluţiile problemelor propuse Operaţii cu polinoame Complexitatea acestei aplicaţii obligă la utilizarea subprogramelor, unele dintre ele fiind necesare în cazul realizării mai multor operaţii. Din subprogramele care prelucrează polinoamele am construit un unit. În acest unit am definit tipul polinom şi subprogramele care realizează operaţiile de care vom avea nevoie. Unele subprograme sunt apelate doar de subprograme şi nu se văd din programul utilizator al unit-ului. Interfaţa acestui unit: interface type polinom=array[0..30] of Integer; function Valp(p:polinom; gradp:byte; x:integer):integer; { calculează valoarea polinomului p într-un punct dat x cu schema lui Horner } procedure citeste(var pol:polinom; var gradp:byte; var f:text); { returnează polinomul citit din fişier şi gradul lui }

11 Polinoame procedure Afiseaza(p:polinom; gradp:byte; var g:text); { afişează un polinom în forma sa algebrică } procedure Completeaza(var p:polinom; g:byte; var grad:byte); { completează polinomul p cu 0-uri până la noul grad } procedure Initializeaza(var p:polinom; g:byte); { iniţializează coeficienţii polinomului p de grad g cu 0-uri } procedure Ori_X(var p:polinom; var g:byte); { înmulţeşte polinomul p cu X } procedure Inmulteste_cu_scalar(var p:polinom; g:byte; constanta:integer); { returnează polinomul rezultat din înmulţirea lui cu o constantă } procedure Aduna(p1,p2:polinom; g1,g2:byte; var p3:polinom; var g3:byte); { adunarea a două polinoame (p1 şi p2 de grad g1 respectiv g2) } procedure Scade(p1,p2:polinom; g1,g2:byte; var p3:polinom; var g3:byte); { efectuează scăderea a două polinoame (p1 şi p2 de grad g1 respectiv g2) } procedure Inmulteste(p1,p2:polinom; g1,g2:byte; var p3:polinom; var g3:byte); { returnează polinomul rezultat din înmulţirea a două polinoame } procedure Imparte(p1,p2:polinom; g1,g2:byte; var pcat,prest:polinom; var gcat,grest:byte); { returnează polinomul cât şi rest rezultate din împărţirea a două polinoame } procedure Descompune(p:polinom; g:byte; var g:text); { descompune polinomul în produs de binoame } Subalgoritmul Citeşte citeşte de pe linia curentă a fişierului de intrare coeficienţii unui polinom şi determină gradul acestuia (în funcţie de numărul de coeficienţi). Subalgoritm Citeşte(pol,gradp): gradp 0 cât timp nu urmează marca de sfârşit de linie execută: citeşte pol[gradp] gradp gradp+1 sfârşit cât timp gradp gradp - 1

12 14. Polinoame 299 În subalgoritmul care afişează un polinom sub formă algebrică şi conform cerinţelor enunţate s-au separat următoarele situaţii: dacă polinomul are grad 0, se afişează termenul liber; dacă polinomul are grad mai mare decât 0: se afişează primul termen (de grad maxim); se afişează termenii de grad gradp-1,..., 1; se afişează termenul liber. De asemenea: în faţa coeficienţilor pozitivi vom scrie '+' (avem de afişat o sumă de monoame), pe când în faţa celor negativi semnul '-' se afişează implicit (nu este cazul să se adauge nimic); dacă coeficientul este 0, termenul respectiv nu se afişează. Subalgoritm Afişează_polinom(p,gradp): dacă gradp = 0 atunci scrie p[gradp] { avem numai termen liber } altfel dacă p[gradp] = -1 atunci scrie '-' { termen de tipul -x } altfel dacă p[gradp] 1 atunci { termen de tipul Coef*x } scrie p[gradp] dacă gradp > 1 atunci { termen de tipul...x^k } scrie 'X^',gradp) altfel scrie 'X' { termen de tipul...x } pentru i=gradp-1,1 execută: dacă p[i] 0 atunci { dacă termenul are coeficient nenul } dacă p[i] = -1 atunci scrie '-' altfel dacă p[i] = 1 atunci scrie '+' altfel dacă p[i] > 1 atunci scrie '+',p[i] altfel scrie p[i] dacă i > 1 atunci scrie 'X^',i altfel scrie 'X'

13 Polinoame dacă p[0] > 0 atunci scrie '+',p[0] { afişarea termenului liber } dacă p[0] < 0 atunci scrie p[0] Urmează acum prezentarea subalgoritmilor care corespund opţiunilor posibile din fişierul de intrare. Opţiunea 'v' Subalgoritm Valp(p,gradp,x) { calculează valoarea polinomului p într-un punct dat x cu schema lui Horner } v 0 pentru i=gradp,0 execută: v v*x + p[i] Valp v Opţiunea '+' În vederea adunării a două polinoame (p 1 de grad g 1 şi p 2 de grad g 2 ), acestea mai întâi se aduc la aceeaşi lungime (a celui de grad maxim grad) cu subalgoritmul Completează(p,g,grad). Acest lucru înseamnă adăugare de 0-uri până la lungimea mai mare (coeficienţi de rang mai mare), deoarece şirul coeficienţilor este ordonat crescător după puterile lui X. În continuare adunarea constă într-o simplă adunare a şirurilor coeficienţilor. Subalgoritm Completează(p,g,grad): { completează polinomul p cu 0-uri până la noul grad } pentru i=g+1,grad execută: p[i] 0 Subalgoritm Adună(p1,p2,g1,g2,p3,g3) { se completează cu 0-uri polinomul mai scurt până la lungimea celuilalt } { şi se determină gradul rezultatului } dacă g1 > g2 atunci g3 g1 Completează(p2,g2,g1) altfel g3 g2

14 14. Polinoame 301 Completează(p1,g1,g2) pentru i=0,g3 execută: p3[i] p1[i] + p2[i] { se adună termen cu termen } { dacă în urma adunării celor două polinoame s-a redus gradul } { polinomului rezultat, se modifică gradul polinomului sumă } cât timp (g3 > 0) şi (p3[g3] = 0) execută: g3 g3-1 sfârşit cât timp Dacă vrem să evităm această operaţie de completare cu 0-uri, care cauzează creşterea operaţiilor elementare de adunare, putem proceda în felul următor: Subalgoritm Adună(p1,p2,g1,g2,p3,g3): dacă g1 < g2 atunci pentru i=0,n execută: p2[i] p2[i] + p1[i] p3 p2 g3 g2 altfel pentru i=0,n execută: p1[i] p1[i] + p2[i] p3 p1 g3 g1 { adunăm p1 cu p2 } Această rezolvare are dezavantajul că îl modifică pe p 1, respectiv pe p 2, după caz. Dacă însă i-am transmite prin valoare, după revenirea din apel, i-am regăsi nemodificate. Opţiunea '-' Scăderea a două polinoame poate fi privită ca o adunare a primului polinom cu polinomul rezultat din înmulţirea celui de-al doilea polinom cu 1: p 1 p 2 = p 1 + ( 1) p 2 Subalgoritm Scade(p1,p2,g1,g2,p3,g3): Înmulţeşte_cu_scalar(p2,g2,-1) Adună(p1,p2,g1,g2,p3,g3);

15 Polinoame { dacă în urma scăderii celor două polinoame s-a redus gradul } { polinomului rezultat, se modifică gradul polinomului diferenţă } cât timp (g3 > 0) şi (p3[g3] = 0) execută: g3 g3-1 sfârşit cât timp Opţiunea '*' Înmulţirea poate fi privită ca adunarea polinoamelor obţinute din înmulţirea lui p 1 cu câte un monom de-al lui p 2. Polinomul produs îl vom iniţializa: Subalgoritm Iniţializează(p,g): { iniţializează coeficienţii polinomului p de grad g cu 0-uri } pentru i=0,g execută: p[i] 0 Monoamele cu care se va înmulţi p 1 le obţinem din p 2 sub formă de coeficienţi. În consecinţă ne trebuie un subalgoritm care înmulţeşte un polinom cu un număr întreg: Subalgoritm Înmulţeşte_cu_scalar(p,g,constanta): { returnează polinomul rezultat din înmulţirea lui cu constanta } pentru i=0,g execută: p[i] constanta*p[i] În subalgoritmul Înmulţeşte(p1,p2,g1,g2,p3,g3) vom utiliza trei polinoame de lucru: paux de grad gaux, termen1 şi termen2. Polinomul paux primeşte valoarea polinomului p 1, în termen1 strângem polinomul rezultat (p 3 ), iar în termen2 păstrăm temporar polinomul paux care la fiecare pas se înmulţeşte cu X. De asemenea, la fiecare pas (în număr de câţi termeni sunt în p 2 ) vom înmulţi p 1 cu coeficientul corespunzător din p 2 şi rezultatul se adună la p 3 (păstrat în termen1). Subalgoritm Înmulţeşte(p1,p2,g1,g2,p3,g3): { returnează polinomul rezultat din înmulţirea a două polinoame } g3 g1 + g2 Iniţializează(p3,g3) { se iniţializează rezultatul } paux p1 { paux = polinom de lucru } gaux g1 { se adună la fiecare pas polinomul paux la polinomul rezultat p3 }

16 14. Polinoame 303 pentru i2=0,g2 execută: { pentru fiecare coeficient al polinomului p2 } termen1 p3 termen2 paux Înmulţeşte_cu_scalar(termen2,gaux,p2[i2]) Adună(termen1,termen2,g3,gaux,p3,g3) Ori_X(paux,gaux) { se pregăteşte paux pentru pasul următor } Efectul subalgoritmului Ori_X(p,g) este echivalent cu înmulţirea polinomului p cu X. De fapt se deplasează coeficienţii în şir cu o poziţie la dreapta, eliberând astfel locul termenului liber care se iniţializează cu 0 şi în final se măreşte gradul polinomului cu 1: Subalgoritm Ori_X(p,g): { înmulţeşte polinomul p cu X } pentru i=g,0 execută: { se deplasează coeficienţii cu o poziţie spre dreapta } p[i+1] p[i] p[0] 0 g g + 1 Dacă într-o problemă am avea nevoie de un subalgoritm simplu de înmulţire, am putea folosi următorul: Subalgoritm Înmulţeşte(p1,p2,g1,g2,p3,g3): g3 g1 + g2 Iniţializează(p3,g3) { se iniţializează rezultatul } pentru i=0,g1 execută: pentru j=0,g2 execută: p3[i+j] p3[i+j] + p1[i]*p2[j] Opţiunea '/' Deoarece această aplicaţie determină câtul şi restul a două polinoame cu coeficienţi întregi, conform unui rezultat prezentat în suportul teoretic al lecţiei, coeficientul de grad maxim al polinomului împărţitor trebuie să fie 1 sau 1.

17 Polinoame Subalgoritm Împarte(p1,p2,g1,g2,pcât,prest,gcât,grest): { returnează polinomul cât şi rest, rezultate din împărţirea a două polinoame } gcat g1 - g2{ gradul polinomului cât este diferenţa gradelor polinoamelor } { se iniţializează coeficienţii polinomului pcât cu 0 } Iniţializează(pcât,gcât) { câtul şi restul vor fi polinoame cu coeficienţi întregi } dacă (p2[g2] = 1) sau (p2[g2] = -1) atunci { gradul deîmpărţitului gradul împărţitorului } cât timp g1 g2 execută: { coeficientul termenului de grad g1-g2 va fi rezultatul împărţirii } pcat[g1-g2] [p1[g1]/p2[g2]] Înmulţeşte(pcat,p2,g1-g2,g2,paux,gaux) Scade(p1,paux,g1,gaux,prest,grest) p1 prest { se repetă procesul, împărţind restul actual la p2 } g1 grest sfârşit cât timp Opţiunea 'd' Pe rând, pentru fiecare posibil divizor se construieşte polinomul p 2, conform schemei lui Horner. Subalgoritm Descompune(p,g,gg): dacă rest[p[0]/p[g]] = 0 atunci { numai dacă are coeficienţi întregi } nd 0 { se introduc în şirul divi divizorii lui p[0] } pentru i=1,abs(p[0]) execută: dacă rest[p[0]/i] = 0 atunci{ i şi -i se introduc în şirul divizorilor } nd nd+1 divi[nd] i nd nd+1 divi[nd] -i grad g { variabilă auxiliară în care se păstrează gradul polinomului } k 1 { indice în şirul divizorilor } nrăd 0 { numărul rădăcinilor găsite } repetă { se construieşte polinomul p2 conform schemei lui Horner, } p2[g] p[g] { coeficientul termenului de grad maxim } pentru i=g-1,0 execută: p2[i] p[i] + p2[i+1]*divi[k]

18 14. Polinoame 305 dacă p2[0] = 0 atunci { divi[k] este rădăcină a lui p1 } nrăd nrăd + 1 răd[nrăd] divi[k] { păstrăm rădăcina în şirul rădăcinilor } pentru i=1,g execută: p[i-1] p2[i] g g - 1 { scade gradul polinomului p1 } altfel k k + 1 până când (k > nd) sau (nrăd = grad) { până când nu mai sunt divizori sau am găsit toate rădăcinile } Afişează_Produs_de_Binoame Subalgoritmul de mai sus apelează o procedură specială de afişare. Procedura face parte din zona de declaraţii a subprogramului Descompune(p,g,gg). Subalgoritm Afişează_Produs_de_Binoame: { se afişează produsul de polinoame determinat } dacă g > 0 atunci { se afişează p1 care nu mai are rădăcini în mulţimea numerelor întregi } scrie '(' Afişează(p,g,gg) scrie ')' pentru k=1,nrad execută: p[0] -răd[k] p[1] 1 scrie '(' Afişează(p,1,gg) scrie ')' sfârşit algoritm Aceste subprograme sunt toate încorporate în unit-ul păstrat în fişierul Poli.pas, care trebuie inclus în programul care îl va utiliza. Programul principal cuprinde citirea caracterului care codifică operaţia de efectuat. În funcţie de valoarea acestui caracter se execută secvenţa de instrucţiuni care citeşte datele de intrare, efectuează operaţia precizată şi afişează rezultatele în forma solicitată. p1, p2, p3 şi p4 sunt polinoame de grade g1, g2, g3 şi respectiv g4.

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu

Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

1 Corpuri finite. 1.1 Introducere. Reamintim mai intai

1 Corpuri finite. 1.1 Introducere. Reamintim mai intai 1 Corpuri finite. 1.1 Introducere Reamintim mai intai Definiţie 1 Se numeşte corp un inel comutativ (K,+, ) cu proprietatea ca orice element nenul x din k este inversabil, i.e. există x 1 k astfel încât

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

VII.2. PROBLEME REZOLVATE Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

Tablouri unidimensionale

Tablouri unidimensionale Tablouri unidimensionale Problema 1 Să se determine mulţimea cifrelor unui număr natural n > 0, dat. Exemplu: n=1723237 Cifre = {1,2,3,7 Se cere să se utilizeze subprograme care să comunice între ele şi

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Teme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice

Teme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice Teme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice As. Ruxandra Barbulescu Septembrie 2017 Orice nelamurire asupra enunturilor/implementarilor se rezolva in cadrul laboratorului de MN,

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016 16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex

Διαβάστε περισσότερα

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A = Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale

ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale 3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011 Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare. Copyright Paul GASNER

2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare. Copyright Paul GASNER 2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare Copyright Paul GASNER Adunarea în sistemul binar Adunarea se poate efectua în mod identic ca la adunarea obişnuită cu cifre arabe în sistemul zecimal

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT. x 4

FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT. x 4 FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT Se numeşte reţea de transport un graf în care fiecărui arc îi este asociat capacitatea arcului şi în care eistă un singur punct de intrare şi un singur punct de ieşire.

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme liniare - metode directe

Sisteme liniare - metode directe Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K

Διαβάστε περισσότερα

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară Curs 7 II.3 Grupuri II.3.1 Definiţie. Exemple Definiţia II.3.1.1. Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară pe G, notată : G G G, (x, y) x y, astfel încât: (G1) (Asociativitate) (x y) z =

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1 FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile

Διαβάστε περισσότερα

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0 INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Rădăcini primitive modulo n

Rădăcini primitive modulo n Universitatea Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Rădăcini primitive modulo n Îndrumător ştiinţific: Prof. Dr. Victor Alexandru 2010 Rezumat Tema lucrarii este studiul radacinilor primitive.

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică. 1 Mulţimea numerelor naturale

Aritmetică. 1 Mulţimea numerelor naturale Aritmetică. 1 Mulţimea numerelor naturale Calitatea unei propoziţii matematice de a fi adevărată (sau falsă) se demonstrează (numim atunci propoziţia respectivă teoremă, lemă, propoziţie, corolar, etc)

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1

2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1 2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh Copyright Paul GASNER Diagrame Karnaugh Tehnică de simplificare a unei expresii în sumă minimă de produse (minimal sum of products MSP): Există un număr minim

Διαβάστε περισσότερα