Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost
|
|
- Τισιφόνη Κορνάρος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Profesor Student Nebojša Ikodinović Marina Stanković 270/2011 Anđela Milijašević 132/2011 Datum:
2 1.Proporcionalnost duži i Talesova teorema Teorija: Ako su date duži a, b, k gde je k jedinična duć i ako je а = mk, b = nk, tada količnik m:n, odnosno m/n nazivamo razmerom duži а i b, štooznačavamo sa a : b = m : n, оodnosno a/b = m/n. Talesova teorema: ako su paralelne prave a i b transverzale pravih p i q i ako je p q{s}, a p = {A}, a q = {A1}, b p = {B}, b q = {B1}, tada je AA1/BB1 = SA/SB = SA1/SB1 = k gde je k koeficijent sličnosti trouglova SAA1 и SBB1. Zadaci 1.Data je duž AB.Odrediti na toj duži tačku M tako da je AM : MB = 2 : 1. Neka su P i Q tacke takve da je AP = 2, BQ = 1 i AP BQ. Tada je M presek duži AB i PQ. 2
3 2.Data je duž AB. Naći tačke C i D, koje ovu duž dele unutrašnjom i spoljašnjom podelom u odnosu m : n. Neka su prave p i q паралелне, tako da prava p sadrži tačku А. a prava q sadrži tačku B,neka tačka M pripada pravoj p, a tačke N,N1 i N 2tačke koje pripadaju pravoj q tako da je АМ = m, BN1 = BN2 = n. Tada u preseku pravih MN1 i AB nalazi se tačka C,a u preseku pravih MN2 i AB nalazi se tačka D tako da važi: AE/EB = AF/BF = m/n. 3
4 3.U datom trouglu ABC (vidi sliku) duž DE je paralelna sa AB. Naći : a) CE, ako je AC = 12, CD = 4, BC = 24; b) BE, ako je AC = 15, AD = 3, BC = 25; c) BC, ako je AD = 6, CD = 14, CE = 7. 4
5 Na osnovu Talesove teoreme, prema datoj slici, imamo razmere AC : CD = BC : CE = AB : DE. I odavde računamo tražene dužine. a) Iz AC : CD = BC : CE dobijamo da je CE = (CD*BC)/AC = (4*24)/12 = 8; b) Iz AC : CD = BC : CE, na osnovu osobina proporcija dobijamo (AC - CD) : (BC - CE) = AC : BC, odnosno AD : BE = AC : BC. Odavde je BE = (AD*BC)/AC = (3*25)/15 = 5; c) Iz datih razmera u zadatku na osnovu osobina proporcija dobijamo da je (AC - CD) : (BC - CE) = CD : (CD - CE),odnosno AD : BE = CD : CE.Odavde je BE = (AD*CE)/CD = (6*7)/14 = 3, pa je BC = CE + BE = 7+3 = Na duži AB dužine 92 date cu tačke C i D, takve da važi AC/CD = 2/3 i CD/DB = 5/7. Odrediti dužine duži AC, CD i DB. Iz uslova zadatka sledi da je AC : CD : DB = 10 : 15 : 21 i AC + CD + DB = 92. Ako označimo AC = 10t, CD = 15t i DB = 21t, onda dobijamo da je 46t = 92 i odatle da je t = 2. I onda sledi da je AC = 20, CD = 30 i DB = 42. 5
6 5. Simetrala unutrasnjeg ugla trougla ABC kod temena A deli naspramnu stranicu BC na odsečke proporcionalne ostalim dvema stranicama tj. AB : AC. Dokazati. Neka je D presek simetrale ugla A i stranice BC i E presek prave koja sadrži tačku C, a paralelna je pravoj AD, sa pravom AB (vidi sliku). Tada su uglovi kod temena C i E trougla ACE jednaki polovini ugla A trougla ABC tj. taj trougao je jednakokraki. Zato je AC = AE. Dalje, zbog AD CE, na osnovu Talesove teoreme dobijamo BD/DC = AB/AE = AB/AC. 6. Dokazati da simetrala spoljašnjeg ugla kod temena A trougla ABC deli stranicu BC u odnosu AB : AC (AB BC). Neka je D presek simetrale spoljašnjeg ugla kod temena A trougla ABC sa pravom BC i E presek paralele sa AD, koja sadrži tačku C, sa pravom AB, (vidi sliku). Tada su uglovi kod temena C i E trougla ACE jednaki polovini spoljašnjeg ugla kod temena A trougla ABC pa sledi AE = AC. Dalje zbog AD CE, sledi BD/CD = AB/AE = AB/AC. 6
7 7. Neka tačke C i D dele tetivu AB kruga na tri jednaka dela. Dokazati da je od tri dobijena centralna ugla AOC, COD, DOB srednji najveći. Označimo sa E podnožje normale iz O na AB (vidi sliku). Tada je OE visina, a OC medijana (odnosno srednja linija trougla) u trouglu AOD. Kako je bisektrisa (simetrala) ugla AOD između medijane i visine, to je AOC< COD, dok je AOC = DOB. 8. Dat je trougao ABC i tačka D na stranici BC. Prava koja sadrži tačku D i paralelna je stranici AC seče stranicu AB u tački E, a prava koj asadrći tačku D i paralelna je stranici AB seče stranicu AC u tački F. Dokazati da je AE/AB + AF/AC = 1. Na osnovu Talesove teoreme imamo da je AE/AB + AF/AC = CD/BC + DB/BC = BC/BC = 1. Dakle dokazana je jednakost. 7
8 2.Homotetija Teorija: Neka je O data tačka i k dati broj različit od nule. Preslikavanje HO figure F1 pri kojoj svakoj tački M koja pripada figuri F odgovara tačka M1 koja pripada figuri F1, tako da je OM1 = kom, naziva se homotetijom sa centrom O i koeficijentom k. Pišemo HO(F) = F1. Zadaci 9. Dat je oštrougli trougao ABC. Konstruisati kvadrat čija dva temena pripadaju stranici BC, a po jedno teme stranicama AB i AC. Neka je MNPQ proizvoljan kvadrat takav da temena M i N pripadaju pravoj BC i Q pripada pravoj AB, (vidi sliku). Neka je P1 presek prave BP i prave AC. Homotetija sa centromb i koeficijentom BP1/BP preslikava kvadrat MNPQ u traženi kvadrat M1N1P1Q1. 8
9 10. Data je figura F1. Neka je figura F2 homotetična datoj pri homotetiji HO,k. Neka se figura F3 dobija translacijom figure F2 za vektor v. Dokazati da je figura F3 homotetična figuri F1 i odrediti centar i koeficijent te homotetije. Neka je X1 proizvoljna tačka figure F1, X2 slika tačke X1 pri homotetiji HO,k, X3 tačka određena sa vektori X1X2 i v su jednaki tj. X1X2 = v i S tačka određena uslovom OS = v = - (OX1/X1X2)*v. Tada su tačke C, X1 i X3 kolinearne što se vidi na slici i važi SX3/SX1 = OX2/OX1 = k. Prema tome figura F3 jeste homotetična figuri F1 pri homotetiji HS,k. 9
10 11. Dokazati da je figura homotetična pravoj - prava. Neka je O centar homotetije HO,k i neka su X i Y proizvoljne tačke prave p, a X1 i Y1 slike tih tačaka pri homotetiji HO,k. Tada vayi sledeća jednakost vektora : X1Y1 = X1O + OY1 = kxo + koy = k(xo + OY) = kxy. Prema tome, tačke X1 i Y1 pripadaju pravoj p1 koja je paralelna sa pravom p. Sledi da je svaka tačka prave p1 slika neke tačke prave p.neka je M1 proizvoljna tačka prave p1 i neka je tačka M određena uslovom OM = 1/kOM1. Tada je OM1 = kom i X1M1 = kxm. Prema tome tačka M pripada pravoj p, a njena slika pri datoj homotetiji je tačka M1. 3.Sličnost. Sličnost trouglova Teorija: Preslikavanje Pk ravni α na samu sebe koje svake dve tačke A,B prevodi u tačke A1B1 = k*ab, gde je k dati pozitivan broj, naziva se transformacijom sličnosti sa koeficijentom k. Stavovi sličnosti: neka su SAA1 i SBB1 dva trougla. Svaki od narednih uslova je potreban i dovoljan uslov da ova dva trougla budu slična SAA1 ~ SBB1: 1. AA1/BB1 = SA/SB = SA1/SB1; 2. A = B i A1 = B1; 3.AA1/BB1 = SA/SB i A = B. Zadaci 12. Dokazati da su slični trouglovi ABS i CDS, (vidi sliku) gde je S proizvoljna tačka unutrašnjosti kruga. 10
11 Kako je ASB = CSD, kao unakrsni uglovi datih trouglova, i ABD = ACD kao uglovi nad istim lukom AD. Iz ove dve jednakosti na osnovu stava 2. sledi da su trouglovi ABS i CDS slični. 13. Stranice trougla ABC su a=18cm, b=15cm i c=12cm. Odrediti obim sličnog trougla ako je koeficijent sličnosti 5:3. Neka je A1B1C1 trougao koji je sličan datom trougla. Kako je koeficijent sličnosti 5:3, dakle imamo da je a1=5/3a i odatle sledi da je a1=5*8/3=30. Na isti način dobijamo da je b1=5/3b=25, c1=5/3c=20. I onda sledi da je O1=a1+b1+c1=75cm. 14. Dat je trapez ABCD kod koga je AB CD. Neka je O presek dijagonala AC i BD. Dokazati da su trouglovi OAB i OCD slični. Sličnost ova dva trouglova nam sledi iz jednakosti pojedinih uglova datih trouglova, odnosno iz sledećih jednakosti : AOB = COD kao unakrsni i BAO = DCO kao uglovi sa paralelnim kracima. Pa na osnovu stava 2. sledi sličnost datih trouglova. 11
12 15. Dat je jednakokraki trougao ABC kod koga je AB = AC. Prava l koja sadrži tačku A seče pravu BC u tački D, a opisani krug u tački E. Dokazati da je AB 2 =AD*AE. Prvo, primetimo sa slike jednakost uglova, AEB = ACB, kao periferijski uglovi nad istim lukom. Zato je i ABD = AEB. Osim toga BAE = DAB, pa zbog toga važi ABE ~ ADB, odakle nam sledi AB/AE = AD/AB i odatle konačno sledi AB 2 = AD*AB. 12
13 16. Dužine stranica pravougaonika su a=5cm, b=2cm. Odrediti stranice sličnog pravougaonika čiji obim i površina imaju jednake merne jedinice. Stranice sličnog pravougaonika datom pravougaoniku označimo sa a1 i b1, tada imamo da je a1/a=b1/b=k odnosno imamo a1/5=b1/2=k. Odatle nam sledi da je a1=5k, b1=2k. Kako su merne jedinice površine i obima ovog sličnog pravougaonika jednake sledi da je 2*(5k+2k) = 5k*2k,pa sledi da je 14k = 10k odakle dobijamo da je k= 7/5 odakle nam sledi da je a1=7, b1=2*7/ Duž koja spaja središta osnova trapeza jednak je njihovoj polurazlici. Naći zbir uglova na većoj poluosnovici. Za početak, produžimo bočne strane AD i BC datog trapeza ABCD do njihovog preseka kao na slici. Odatle dobijamo slične trouglove DSM ~ ASN, gde su M i N redom središta poluosnovica AB i CD (sličnost sledi iz jednakosti uglova ASN = DSM,jer su to isti uglovi, i SAN = SDM, kao transverzalni uglovi). Iz sličnosti ova dva trougla dobijamo da je AN/DM = SN/SM, odakle je (AN - DM)/DM = MN/SM, pa zbog MN = AN - DM, DM = SM i SMD je jednakokrak. Isto ovo važi i za SMC. Pa kako je SMC = 2 A i SMD = 2 B, a SMC+ SMD = 180 sledi da je A+ B =
14 18. Prava koja sadrži teme C romba ABCD seče produžetak stranice AB u tački E,a produžetak stranice AD u tački F. Ako je BE = 9cm i DF = 4cm, odrediti dužinu stranice romba. Sa slike vidimo da imamo dva slična trougla, BEC ~ DCF. Sličnost ova dva trougla sledi iz toga što su sledeći uglovi jednaki FDC = CBE kao transverzalni uglovi i CFD = ECB kao uglovi sa paralelnim kracima. Iz sličnosti ova dva trougla sledi da je a/4 = 9/a, pa sledi da je stranica romba ABCD jednaka, a 2 =36, odnosno a=6cm. 14
15 4.Primena sličnosti na pravougli trougao Teorija: Pravougli trouglovi ADC i BCD (vidi sliku) su slični ako međusobom i slični sa datim trouglom ABC ( ACD = CBD = β), pa važe sledeće prpoprcije ili Euklidovi stavovi: 1. p : hc = hc : q, odnosno hc 2 = pq, odnosno hc = pq; 2.b : p = c : b, odnosno b 2 = pc, odnosno b = pc; 3.a : q = c : a, odnosno a 2 = cq, odnosno a = cq; 4. Pitagorina teorema: a 2 + b 2 = c 2. (slika) Zadaci 19. Primenom Euklidovih stavova dokazati Pitagorinu teoremu. Iz b : p = c : b, tj. b 2 = pc i iz a : q = c : a, tj a 2 = qc pa sledi da je a 2 + b 2 = qc + pc = (p + q)*c = c*c = c 2. 15
16 20. Ako je kod jednakokrakog trougla krak geometrijska sredina osnovice i visine koja odgovara osnovici, osnovica je dvaput veći od visine. Dokazati. Označimo sa a osnovicu, sa h visinu i sa b krak datog trougla ABC. Iz b 2 = h 2 + (a/4) 2 i b = ah dobijamo a-2h = 0 odnosno a = 2h. 21. Krug je presečen dvema paralelnim pravama koje su na međusobnom odstojanju 3cm i nalaze se sa iste strane središta kruga. Te prave određuju tetive duđine 18cm i 24cm. Izračunati dužinu r poluprečnika kruga. Neka je x odstojanje centra kruga od duže tetive. Po pitagorinoj teoremi je: r 2 = x i r 2 = (x+3) , odakle dobijamo da je x = x 2 + 6x + 90, odnosno 16
17 dobijamo da je 6x = 54 tj. x = 9cm. I onda dobijamo da je r = 15cm. (vidi sliku) 22. U tetivnom četvorouglu ABCD dijagonala BD je upravna na stranicu BC, ABC = BAD = 120 i DA = 1cm. Izračunati dužinu dijagonale BD i starnice CD. Kako je DBC prav, to je CD prečnik kruga. Kako je ABC = BAD = 120, to je BCD = CDA = 60. Četvorougao ABCD je jednakokraki trapez, pa je AD = BC = 1cm i DB = 3, CD = 2cm. 17
18 23. Izračunati odnos kateta u pravouglom trouglu ako se visina i težišna duž koje odgovaraju hipotenuzi odnose kao 40 : 41. Neka su BD = 40t i BE = 41t visina, odnosno težišna duž koje odgovaraju hipotenuzi AC pravouglog trougla ABC (AC < BC). Tada je i AC = CE = 41t, a kako je iz trougla BDE : DE = (BE 2 - BD 2 ) = 9t, to je AD = AE - DE = 32t. Iz sličnosti trouglova ABD i BDC nalazimo da je AB/BC = AD/BD = 32t/40t = 4/ Dužine težišnih duži u pravouglom trouglu su ta = 7 i tb = 4. Naći dužinu hipoteze c. Iz ta 2 = (a/2) 2 + b 2 i tb 2 = a 2 + (b/2) 2 sabiranjem dobijamo da je ta 2 + tb 2 = 5/4(a 2 + b 2 ), pa je c 2 = 4/5(ta 2 + tb 2 ) i c =
19 5.Dodatak(malo teži zadaci) Zadaci 25. Dat je trougao ABC i tačke A1 i B1, redom, na stranicama BC i AC, takve da važi AB1/B1C = α, BA1/A1C = β. Ako je S presek presek duži AA1 i BB1, odrediti odnos AS/SA1. Neka prava koja sadrži tačku A1, a paralelna je sa BB1 seče stranicu AC u B2, (vidi sliku). Tada je B1B2/B1C = BA1/A1C = β, pa sledi da je α = AB1/B1C = AB1/(B1B2 + B2C) = AB1/(B1B2 + 1/β*B1B2) = β/β+1 * AB1/B1B2. Koristeći ovu jednakost i Talesovu teoremu dobijamo da je AS/SA1 = AB1/B1B2 = α(β + 1)/β. 26. Ako su a, b, c dužine stranica trougla ABC, r dužina poluprečnika opisanog kruga datog trougla i ha dužina visine, koja odgovara stranici a, dokazati da je bc = 2rha. Neka je D podnožje visine iz A i AE prečnik opisanog kruga, kao što se vidi na slici. Tada je ABD ~ ACE ( ADB = ACE = 90, ABC = AEC, kao uglovi nad istim lukom AC) i odatle AB : AD = AE : EC tj. cb = 2rha. 19
20 27. U zadati četvorougao ABCD upisati romb, kome su stranice paralelne dijagonalama datog četvorougla. Neka je E'F'G'H' romb čije su stranice paralelne dijagonalama datog četvorougla, a temena E' i H' su na stranicama AB, odnosno AD(vidi sliku). AF' seče BC u F, a AG' seče CD u G. EFGH je traženi romb. 20
21 28. Dokazati da je poluprečnik kruga, koji polovi stranice trougla dva puta manji od poluprečnika kruga opisanog oko tog trougla. Krug koji polovi stranice trougla trebalo bi da prolazi kroz tačke A1, B1 i C1 koje su središta stranica datog trougla ABC kao što se vidi na slici. Kako su ovi trouglovi slični sa koeficijentom sličnosti 1/2 to su njihovi poluprečnici opisanih krugova u odnosu 1 : Visine dva trougla su prporcionalne. Dokazati da su ti trouglovi slični. Neka su h, u, v visine koje redom odgovaraju stranicama a, b, c jednog trougla, h1. u1, v1 visine koje odgovaraju stranicama a1, b1, c1 drugog trougla, pri čemu važi h/h1 = u/u1 = v/v1 = k. Kako je ah = bu = cv i a1h1 = b1u1 = c1v1 dobijamo da je ah/a1h1 = bu/b1u1 = cv/c1v1 = a/a1 * k = b/b1 * k = c/c1 * k. Iz poslednje jednakosti dobijamo da je a/a1 = b/b1 = c/c1, a odatle sledi da su dati trouglovi slični. 30. Neka su r1 i r2 poluprečnici krugova k1 i k2 koji se dodiruju i T1 i T2 dodirne tačke jedne njihove zajedničke spoljašnje tangente. Dokazati da je T1T2 = 2 r1r2. Neka je r1 > r2 i M podnožje normale iz tačke O1 na duž O1T1. Tada je četvorougao O2T2T1M pravougaonik, pa je T1T2 = MO2 = (O1O2 2 - O1M 2 ) = ((r1 + r2) 2 - (r1 - r2) 2 ) = 2 r1r2. 21
22 22
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog
Διαβάστε περισσότεραSli cnost trouglova i Talesova teorema
Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1.
Διαβάστε περισσότεραO trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš
O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz Euklidske geometrije II
Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II Sličnost trouglova 1. Neka su dati krugovi k 1 (O 1, r 1 ), k 2 (O 2, r 2 ) i k 3 (O 3, r 3 ) takvi da k 1 dodiruje krug k 2 u tački P, k 2 dodiruje krug k
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραAksiome podudarnosti
Aksiome podudarnosti Postoji pet aksioma podudarnosti (tri aksiome podudarnosti za duži + dvije aksiome podudarnosti za uglove) III 1 Za svaku polupravu a sa početnom tačkom A i za svaku duž AB, postoji
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραSličnost trouglova i primene
Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Seminarski rad iz metodike nastave matematike i računarstva Sličnost trouglova i primene Autori: Aleksandra Obradović Aleksandra Radulović Milica Pješčić Mirjana
Διαβάστε περισσότεραAko dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična.
Sličnost trouglova i Talesova teorema Definicija sličnosti trouglova Dva trougla ABC i A B C su slična ako su im sva tri ugla redom podudarna i ako su im a odgovarajuće stranice proporcionalne tj. = b
Διαβάστε περισσότεραKonstruktivni zadaci. Uvod
Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,
Διαβάστε περισσότερα1. APSOLUTNA GEOMETRIJA
1. APSOLUTNA GEOMETRIJA Euklidska geometrija izvedena sintetičkim metodom zasniva se na aksiomama koje su podeljene u pet grupa i to: aksiome rasporeda, aksiome incidencije, aksiome podudarnosti, aksiome
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1
Elementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1 Trougao Računanje uglova u trouglu 1. Težišnica i visina iz vrha A u ABC djele ugao α na tri jednaka dijela. Koliki su uglovi trougla ABC. 2. U trouglu
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
Διαβάστε περισσότεραEUKLIDSKA GEOMETRIJA
EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku
Διαβάστε περισσότεραRacionalni algebarski izrazi
. Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Zenica, 27.01.2010. Pismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1 Zadatak br. 1 a) U oštrouglom trouglu ABC (AC < BC) visina
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραZbirka zadataka iz geometrije. Elektronsko izdanje
Zbirka zadataka iz geometrije . Predrag Janičić ZBIRKA ZADATAKA IZ GEOMETRIJE Sedmo izdanje (treći put ponovljeno četvrto izdanje) Matematički fakultet Beograd, 2007 Autor: dr Predrag Janičić, docent
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραEuklidska geometrija II (1. dio)
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Akademska 2012/2013. (sveska je skinuta sa stranice pf.unze.ba\nabokov U svesci je mogu a pojava grešaka. Za uo ene greške pisati
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραAksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije
Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije 1. Postoji jedna i samo jedna prava koja sadrži dve razne tačke A i B. 2. Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B, C. 3. Ako
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar)
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar) Srdjan Vukmirović August 19, 2003 Aksiome projektivne geometrije P1 Za ma koje 2 tačke A i B postoji tačno jedna prava a = AB kojoj pripadaju tačke A i B.
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα9 Elementarni zadaci: Prizma i kvadar
9 Elementarni zadaci: Prizma i kvadar Elementarna pitanja: 1. Kako glasi formula za računanje površine prizme? 2. Kako glasi formula za računanje zapremine prizme? [V = B H] 3. Kako glasi formula za računanje
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
Διαβάστε περισσότερα2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *)
.7. DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOMETRIJE *) Riječ je o sljedećem zadatku iz geometrije: Oko jednakostraničnog trougla Δ opisana je kružnica. Dokazati da svaka tačka M luka ima osobinu M+ M = M. Daćemo
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραGeometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije
Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Master rad Mentor: Prof. dr Mića Stanković Student: Ivana Gavrilović Niš,
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραPROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Geometrije 4
Zadaci iz Geometrije 4 - za rad na vežbama - 3. maj 2017. 1 Stereometrija 1. Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ivice a. Dokazati da je tetraedar ACB 1 D 1 pravilan i odrediti mu dužinu ivice. 2. Dat je
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραSadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.)
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Matematika i informatika Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Sedmica broj 1 i 2 (Osnovi pojmovi iz geometrije) Uvod
Διαβάστε περισσότεραTehnologija bušenja II
INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine
56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραVektori. Ukoliko biste kasnije te godine poželeli da odete iz Beograda na Zlatar, vaš put bi obrazovao vektor b: #slika:
Vektori Zamislite da živite u Beogradu I da želite da odete avionom u Herceg Novi na more. Ukoliko biste povezali trenutno nalazište i željenu destinaciju, obrazovali biste vektor: #slika: Pošto biste
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραPROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP
PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
Διαβάστε περισσότερα12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija
12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija Elementarna pitanja: 1. Nabrojati sve geometriske figure prikazane na slici ispod. [kocka, kvadar, četverostrana piramida, sfera
Διαβάστε περισσότεραGeometrija II. Elvis Baraković siječnja Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/
Geometrija II Elvis Baraković 1 10. siječnja 2018. 1 Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Tuzli, Odsjek matematika, Univerzitetska 4 75000 Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/ Sažetak
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραPrimene kompleksnih brojeva u geometriji
Primene kompleksnih brojeva u geometriji Radoslav Dimitrijević 07.1.011. 1 Neki osnovni geometrijski pojmovi 1.1. Rastojanje izmed u tačaka Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni odred ene kompleksnim
Διαβάστε περισσότεραPOLIEDRI. Ivana Bojović 171/03
POLIEDRI Ivana Bojović 171/03 Sadržaj Poliedarske površi...2 Prizma...5 Piramida...8 Zarubljena piramida...10 Pravilni poliedri...11 Površina poliedara...12 Površina prizme...12 Površina pravouglog paralelopipeda...13
Διαβάστε περισσότεραLEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE
LEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE BANJA LUKA, 2010. i ii Sadržaj: 1 Prva lekcija 1 1.1 O Euklidovim Elementima................... 1 1.2 Osnovni pojmovi u geometriji................... 3 1.3 Aksiome incidencije
Διαβάστε περισσότεραPRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI
Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija http://wwwpmfniacrs/mii Matematika i informatika (1) (013), 19-74 PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI Mihailo Krstić, Student Departmana
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραKantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK
Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK Živinice 1.4.014. ZADACI UDRUŽENJE MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog
Διαβάστε περισσότεραMatematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki
Matematiqka gimnazija u Beogradu 30.01.2007. Vektori Milivoje Luki 1. Linearne kombinacije vektora Vektor v je linearna kombinacija vektora v 1, v 2,..., v n ako postoje skalari (odn. realni brojevi) λ
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Διαβάστε περισσότεραPaskalova teorema, pol i polara verzija 2.0:
askalova teorema, pol i polara verzija 2.0: 10.2.2015. uxan uki Teoreme kojima se ovde bavimo su u stvari tvrđenja iz projektivne geometrije, tako da imaju i dokaze unutar projektivne geometrije. Ipak,
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραDIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραKompleksni brojevi i Mebijusove transformacije
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Kompleksni brojevi i Mebijusove transformacije Master rad Student: Marina Durica, 1043/016 Mentor: prof dr. Miodrag Mateljević Beograd, 017. Sadržaj Uvod 1 Kompleksni
Διαβάστε περισσότερα4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραMatematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava iz matematike Inverzija. Milivoje Luki
Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava iz matematike 10.12.2005. Inverzija Milivoje Luki milivoje.lukic@gmail.com Inverzija sa centrom O i polupreqnikom r je preslikavanje ψ O,r : E 2 \{O} E 2
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραPotencija taqke. Duxan uki
Potencija taqke Duxan uki Neka su dati krug k i taqka u ravni. Posmatrajmo proizvoljnu pravu l kroz i njene preseqne taqke B i sa krugom k. Proizvod B ne zavisi od izbora prave l. Zaista, ako sa D oznaqimo
Διαβάστε περισσότερα