ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ( PROJECT) ΘΕΜΑ: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΗ ΖΩΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ( PROJECT) ΘΕΜΑ: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΗ ΖΩΗ"

Transcript

1 1 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΦΙΛΙΠΠΙΑ ΑΣ Σχ. Έτος : ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ( PROJECT) ΘΕΜΑ: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΗ ΖΩΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ-ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ σελίδα 1.Εισαγωγή 2 2.Στάσεις και αντιλήψεις των µαθητών του λυκείου απέναντι στα µαθηµατικά Ορισµός ιαχρονική εξέλιξη- Κλάδοι των µαθηµατικών Βιογραφίες σπουδαίων µαθηµατικών της αρχαιότητας α) Θαλής ο Μιλήσιος β) Πυθαγόρας ο Σάµιος γ) Γαλιλαίος δ) Αρχιµήδης 5.α) Βαβυλωνιακά µαθηµατικά β)μαθηµατικά στην αρχαία Αίγυπτο Εφαρµογές των µαθηµατικών α) Μέλισσες και µαθηµατικά β) Ιατρική και µαθηµατικά γ) Ποδόσφαιρο και µαθηµατικά δ) Χρυσή Τοµή ε) Η ακολουθία Fibonacci Μαθηµατικά και καθηµερινότητα 45 (απάντηση στις ερωτήσεις των µαθητών για την χρησιµότητα των µαθηµατικών) 8 Παράρτηµα α) Ρήσεις διάσηµων ανθρώπων για τα µαθηµατικά 46 β) Ερωτηµατολόγιο 47 γ) Βιβλιογραφία δ) Μαθητές που συµµετείχαν 50 1

3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα µαθηµατικά είναι η επιστήµη που µελετά την ποσότητα (δηλαδή τους αριθµούς), τη δοµή (δηλαδή τα σχήµατα), το διάστηµα, τη µεταβολή και τις σχέσεις όλων των µετρήσιµων αντικειµένων της πραγµατικότητας και της φαντασίας µας. Περιγράφουν τις σχέσεις µε τύπους ή και αλγόριθµους και ερευνούν την αλήθεια τους µε αποδεικτική διαδικασία λογικών βηµάτων που στηρίζονται σε αξιώµατα και θεωρήµατα. Έτσι θα µπορούσαµε να πούµε ότι τα µαθηµατικά υπήρχαν απ την αρχή του κόσµου, αλλά ο άνθρωπος τα ανακάλυψε κάπου τον 6 ο αι. π.χ. Από τα µαθηµατικά στην αρχαία Αίγυπτο και Ελλάδα µε τη χρυσή τοµή και την ακολουθία Fibonacci και ολοκληρώνοντας τη διερεύνησή µας µε τους κλάδους των µαθηµατικών, την εφαρµογή τους τόσο στο ποδόσφαιρο, όσο και στην ιατρική, αλλά και τη στενή σχέση τους µε τις µέλισσες, καταλήξαµε στο συµπέρασµα ότι τα µαθηµατικά δεν είναι µια επιστήµη σαν όλες τις άλλες. Πρόκειται για τη µητέρα όλων των επιστηµών: φυσική, χηµεία, βιολογία, ιατρική. Όλα αναπτύχτηκαν στηριζόµενα στα µαθηµατικά. Έτσι, καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι χωρίς τα µαθηµατικά δε θα υπήρχε ολόκληρος ο ανθρώπινος πολιτισµός και εµείς ίσως να ζούσαµε σε κάποια σπηλιά. Ένα συνηθισµένο ερώτηµα που κάνουν οι µαθητές στους καθηγητές τους είναι: «Γιατί µαθαίνουµε Μαθηµατικά;» και «Πού θα µας χρησιµεύσουν;» Η απάντηση είναι πάντα η ίδια: «Επειδή είναι χρήσιµα στη ζωή µας». Η αλήθεια είναι ότι κανένας δεν µένει ικανοποιηµένος από αυτή την απάντηση. Θα µπορούσε να είναι χρήσιµα µέχρι να µάθουµε τις τέσσερις πράξεις για τους καθηµερινούς λογαριασµούς και υπολογισµούς µας. Τότε όµως γιατί µαθαίνουµε όλα αυτά τα Μαθηµατικά; Είναι αλήθεια ότι προτιµούµε τα εύκολα και απλά πράγµατα και όχι τα δυσνόητα. Όµως τα πράγµατα είναι τελείως διαφορετικά. Τα µαθηµατικά βρίσκονται παντού γύρω µας, µόνο που χρειάζεται κάποια προσπάθεια να τα ανακαλύψουµε. Όλες οι επιστήµες χρησιµοποιούν τα µαθηµατικά για να λύσουν τα δικά τους προβλήµατα. Οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι δε θα µπορούσαν να ξαναβρούν τα όρια των χωραφιών τους µετά από κάθε πληµµύρα του Νείλου, αν δεν χρησιµοποιούσαν τη γεωµετρία, ούτε θα µπορούσαν να κτίσουν τις πυραµίδες, ούτε ποτέ ο Κολόµβος θα είχε ανακαλύψει την Αµερική αν δεν χρησιµοποιούσε τριγωνοµετρία για να διαβάσει τ' αστέρια, ούτε τα διαστηµόπλοια θα είχαν φτάσει στον Άρη αν δεν είχαν σχεδιαστεί µε λεπτοµέρεια οι τροχιές τους µε µαθηµατικούς υπολογισµούς. Ούτε φυσικά θα υπήρχαν οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές και πολλά ακόµα. Η φυσική, η πληροφορική, η βιολογία, η ιατρική, η γεωλογία ακόµη και οι οικονοµικές επιστήµες στηρίζονται στα µαθηµατικά. Έτσι λοιπόν τα Μαθηµατικά που φαίνονται αποµακρυσµένα από την πραγµατικότητα δίνουν απαντήσεις και αποκαλύπτουν µε τεράστια επιτυχία τα φαινόµενα του κόσµου που είναι κατανοητά και συγκεκριµένα. Τα Μαθηµατικά δεν είναι λοιπόν ένα µάθηµα που απευθύνεται σε λίγους και έξυπνους, αλλά ένα µάθηµα απαραίτητο σε κάθε άνθρωπο, όπως είναι και η γλώσσα. Ακόµη και άνθρωποι που δεν έχουν πάει ποτέ σχολείο χρησιµοποιούν καθηµερινά στη ζωή τους τα Μαθηµατικά. 2

4 ΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΝΑΝΤΙ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ-ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Σε ενδιαφέρουν τα μαθηματικά; NAI OXI α) είναι δύσκολα β) είναι βαρετά γ) μου είναι αδιάφορα δ) άλλο Δ/Ξ-Δ/Α 2. Θα σου άρεσε να ασχοληθείς επαγγελματικά στο μέλλον με τα μαθηματικά; ΝΑΙ ΟΧΙ Δ/Ξ-Δ/Α 3

5 3. Πόσο χρόνο αφιερώνεις ( καθημερινά) στο διάβασμα των μαθηματικών; ΚΑΘΟΛΟΥ ΛΙΓΟ ΑΡΚΕΤΟ ΠΟΛΥ Δ/Ξ-Δ/Α 4

6 4. θεωρείς ότι πρέπει να αυξηθούν ή να μειωθούν οι ώρες των μαθηματικών ; ΜΕΙΩΘΟΥΝ ΑΥΞΗΘΟΥΝ Δ/Ξ-Δ/Α 5. Πιστεύεις πως τα μαθηματικά έχουν εφαρμογή στην καθημερινή ζωή ; NAI OXI Δ/Ξ-Δ/Α 5

7 6. Σε ενδιαφέρει περισσότερο ο κλάδος της Άλγεβρας ή της Γεωμετρίας ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Δ/Ξ-Δ/Α 7. Είναι τα μαθηματικά επιστήμη που αναπτύσσεται συνεχώς ; ΝΑΙ ΟΧΙ Δ/Ξ- Δ/Α 6

8 8. Θα έπρεπε τα μαθηματικά να είναι πρωτεύον μάθημα στις Πανελλαδικές εξετάσεις ; ΝΑΙ ΟΧΙ Δ/Ξ-Δ/Α Μετά την συγκέντρωση και την καταµέτρηση των απαντήσεων καταλήξαµε στο συµπέρασµα ότι η πλειοψηφία των µαθητών, αν και δεν ασχολούνται µε τα µαθηµατικά, πιστεύουν ότι είναι µια συνεχώς αναπτυσσόµενη επιστήµη και πως έχει πολλές εφαρµογές στην καθηµερινή ζωή. Έτσι κατανοούµε ότι παρόλο που δεν είναι πολλοί αυτοί οι οποίοι ενδιαφέρονται µελλοντικά για τον κλάδο των µαθηµατικών, όλοι αναγνωρίζουν την σηµασία τους στην ανθρώπινη ανάπτυξη. 7

9 ΟΡΙΣΜΟΣ- ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ-ΚΛΑ ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ορισµός Τα µαθηµατικά είναι η επιστήµη που µελετά την ποσότητα (δηλαδή τους αριθµούς), τη δοµή (δηλαδή τα σχήµατα), το διάστηµα, τη µεταβολή και τις σχέσεις των διαφόρων αντικειµένων που αναφέρονται στο µέγεθος, στο σχήµα και είναι σχετικές θέσεις τους. Κύριο γνώρισµα των µαθηµατικών είναι ότι εξετάζουν ιδιότητες των µεγεθών που µπορούν να µετρηθούν ή να υπολογιστούν χωρίς να ενδιαφέρονται καθόλου για την φύση τους. Οι µαθηµατικοί περιγράφουν τις σχέσεις µε τύπους ή και αλγόριθµους και ερευνούν την αλήθεια τους µε αποδεικτική διαδικασία λογικών βηµάτων που στηρίζονται σε αξιώµατα και θεωρήµατα. Σύντοµη διαχρονική εξέλιξη Τα µαθηµατικά είναι πνευµατικά δηµιούργηµα των Αρχαίων Ελλήνων και συγκεκριµένα από τα λαµπρότερα. Αιώνες πριν µεγάλοι Έλληνες µαθηµατικοί όπως ο Πυθαγόρας, ο Θαλής, ο Ευκλείδης, ο Αρχιµήδης ασχοληθούν µε αυτά, τα µαθηµατικά απασχολούσαν τους ανθρώπους αλλά ως τότε δεν ήταν παρά µια απλή συλλογή γνώσεων που είχαν άµεση χρήσιµη πρακτική εφαρµογή. Για παράδειγµα οι πρωτόγονοι άνθρωποι γνώριζαν να µετρούν, αλλά οι γνώσεις τους για τα µαθηµατικά δεν έφταναν πιο πέρα από το δέκα ή έστω το είκοσι, κι αυτό γιατί χρησιµοποιούσαν για το µέτρηµα τους τα δάχτυλα των χεριών και των ποδιών τους..η λογική θεωρούταν το µοναδικό µέσο που µπορούσε να οδηγήσει την ανθρώπινη σκέψη στην αλήθεια. Η µαθηµατική φιλοσοφική σκέψη υπήρξε ο οδηγός του αρχαίου κόσµου. Έξω όµως από την γεωµετρία δεν υπήρχαν ούτε πραγµατικά µαθηµατικά ούτε πραγµατική φιλοσοφία. Κλάδοι των µαθηµατικών Άλγεβρα είναι ο µαθηµατικός κλάδος που ασχολείται γενικά µε την έννοια της (αλγεβρικής) δοµής. -Μαθηµατική Ανάλυση είναι ο µαθηµατικός κλάδος που ασχολείται γενικά µε την έννοια της απόστασης. -Γεωµετρία είναι ο µαθηµατικός κλάδος που ασχολείται γενικά µε την έννοια του σχήµατος. -Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Καθιερωµένοι κλάδοι εφαρµοσµένων µαθηµατικών είναι οι εξής - Μαθηµατική Φυσική 8

10 -Θεωρία Πιθανοτήτων -Στατιστική -Θεωρία Πληροφοριών -Βελτιστοποίηση -Θεωρία Παιγνίων -Λογισµός Μεταβολών -Θεωρητική Πληροφορική -Κρυπτογραφία -Στα ιακριτά Μαθηµατικά µελετούνται συγκεκριµένα πεπερασµένες ή αριθµήσιµες δοµές. -Θεµέλια των µαθηµατικών είναι οι κλάδοι που προσπαθούν να θεµελιώσουν και να ενοποιήσουν τα Μαθηµατικά είναι οι εξής -Μαθηµατική λογική -Θεωρία µοντέλων -Θεωρία αποδείξεων -Θεωρία Συνόλων -Θεωρία Κατηγοριών Μια περιληπτική ιστορία των µαθηµατικών Για να φτάσουν τα µαθηµατικά στην σηµερινή τους µορφή υπήρξε µια πορεία. Τα µαθηµατικά που ήταν ανώτερα ήταν των Αιγυπτίων και των Βαβυλωνίων. Οι Αιγύπτιοι ήταν ο πρώτος λαός που ασχολήθηκε µε την µαθηµατική επιστήµη. Τα ίδια περίπου ισχύουν και για τους αρχαίους Βαβυλώνιους. Στην Βαβυλωνία τα µαθηµατικά αναπτύχθηκαν από τα 2000 π. Χ. Τουλάχιστον από το 1700 π.χ. µελετήθηκαν αριθµητικά προβλήµατα όπως οι Πυθαγόρειες τριάδες. Η βάση των µαθηµατικών των Βαβυλωνίων κληρονοµήθηκε από τους Έλληνες και ανεξάρτητη ανάπτυξη από τους Έλληνες άρχισε περί το 450 π. Χ. Η µέγιστη πρόοδος των µαθηµατικών από τους Έλληνες υπήρξε από τα 300 έως το 200 π. Χ. Η µέγιστη πρόοδος των µαθηµατικών στην Ευρώπη ξανάρχισε στις αρχές του 16 ου αιώνα µε τους Pacioli, Cardan, Tartaglia, Ferrari, µε την αλγεβρική επίλυση των τριτοβάθµιων και τεταρτοβάθµιων εξισώσεων. Οι Copernicus και Galileo επαναστάτησαν µε τις εφαρµογές των µαθηµατικών στη µελέτη του σύµπαντος. 9

11 Ο 17 ος αιώνας αντίκρισε τους Napier και Briggs, αλλά και άλλους να επεκτείνουν σηµαντικά την υπολογιστική δύναµη των µαθηµατικών µε την ανακάλυψη των λογαρίθµων. Ο Cavalieri έκανε σηµαντική πρόοδο για τον απειροστικό λογισµό και ο Descartes προσέθεσε τη δύναµη των αλγεβρικών µεθόδων στη Γεωµετρία. Επίσης η θεωρία της βαρύτητας του Newton, καθώς επίσης και η θεωρία του περί του φωτός, µας οδηγούν στον 18 ο αιώνα. Ο σηµαντικότερος µαθηµατικός του 18 ου Αιώνα ήταν ο Euler o oποίος επιπροσθέτως της δουλείας του σε ένα εύρος µαθηµατικών περιοχών, ανακάλυψε δύο νέους κλάδους, εκείνους του λογισµού των µεταβολών και της διαφορικής γεωµετρίας.ο Euler υπήρξε επίσης σηµαντικός στην επιπλέον ανάπτυξη της έρευνας στη θεωρία αριθµών, η οποία είχε αρχίσει από τον Fermat. Η εξέλιξη κατά τον 19 ο αιώνα υπήρξε ταχεία. Θεµελιώδους σηµασίας ήταν η εργασία του Fourier περί της θερµότητας. Ο Gauss θεωρούµενος από πολλούς ως ο µεγαλύτερος µαθηµατικός όλων των εποχών, έκανε σηµαντικότατες µελέτες. Μεταξύ αυτών, η εργασία του στη διαφορική γεωµετρία, η οποία ήταν επαναστατική για αυτόν τον τοµέα. Επίσης, συνέβαλε κατά µεγαλειώδη τρόπο στην αστρονοµία και το µαγνητισµό. Ο 19 ος αιώνας ανέδειξε την εργασία του Galois. Η εισαγωγή της έννοιας της οµάδας από τον Galois προανήγγειλε τη νέα κατεύθυνση της µαθηµατικής έρευνας, η οποία συνεχίστηκε κατά τη διάρκεια του 20 ου αιώνα. Το τέλος του 19 ου αιώνα βρήκε τον Cantor να ανακαλύπτει, σχεδόν µόνος του, τη θεωρία συνόλων. 10

12 ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ ΣΠΟΥ ΑΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Είναι γνωστό ότι η Αρχαία Ελλάδα έβαλε τα θεµέλια των µαθηµατικών επιστηµών και ειδικά στον τοµέα της Γεωµετρίας και της λογικής. Τα έργα των Αρχαίων Ελλήνων µαθηµατικών όσα βέβαια διασώθηκαν αποτέλεσαν τη βάση για την πιο πέρα εξέλιξη των µαθηµατικών επιστηµών. Ονόµατα όπως ο Θαλής έγιναν αντικείµενο µελέτης της ιστορίας των µαθηµατικών. Ωστόσο πολλά από τα έργα τους µε το πέρασµα των αιώνων καταστράφηκαν ή δεν ανακαλύφθηκαν. Για αυτούς τους µαθηµατικούς παραθέτονται κείµενα για το βίο και τη συµβολή τους στην αξιωµατική τοποθέτηση των µαθηµατικών. Βέβαια και η συνεισφορά των ξένων µαθηµατικών στην άνοδο της επιστήµης των µαθηµατικών είναι πολυσήµαντη. Κάποιοι από τους σηµαντικότερους ξένους µαθηµατικούς είναι ο Καβαλιέρι, ο Πιερ Φερµά, ο Ισαάκ Νεύτων και ο Γαλιλέος για τον οποίο εν συνέχεια γίνεται λόγος. ΘΑΛΗΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ Ο Θαλής του Εξαµίου και της Κλεοβουλίνης, είναι ο πρώτος άνθρωπος που αναφέρεται µε το όνοµα του στην ιστορία των Μαθηµατικών. ιακρίθηκε σε πολλούς τοµείς της γνώσης, Μαθηµατικά, Αστρονοµία, Μηχανική, Φιλοσοφία. Σύµφωνα µε την πλέον αποδεκτή παράδοση ο Θαλής πραγµατοποίησε πολυάριθµα ταξίδια στην Ασία, στην Κρήτη και στην Αίγυπτο. Στην πραγµατοποίηση των ταξιδιών αυτών συνετέλεσε το γεγονός της µεγάλης οικονοµικής του άνεσης που οφείλεται στο ότι από νωρίς ασχολήθηκε µε το εµπόριο του αλατιού. Με τα ταξίδια του ο Θαλής αποκόµισε πλούτο γνώσεων, καθώς ήρθε σε επαφή µε τη σοφία, τη γνώση και το µυστικισµό της Ανατολής. Ο Θαλής θεωρείται πρωτεργάτης της φιλοσοφίας και της επιστήµης αφού πρωτίστως κατόρθωσε να απελευθερώσει την ανθρώπινη σκέψη από τη µυθοπλαστική φαντασία και να την οδηγήσει µε συστηµατική µέθοδο στην ορθογραφική εξήγηση των φυσικών φαινοµένων. Εκεί όµως που διέπρεψε «Ο ιδρυτής της σοφίας» είναι στη γεωµετρία που µάλιστα θεωρείται και ως ο πατέρας της γεωµετρίας. Ο Θαλής έθεσε τις βάσεις της θεωρητικής γεωµετρίας εισάγοντας για πρώτη φορά την αποδεικτική διαδικασία ενώ µέχρι τότε οι µαθηµατικές ανακαλύψεις βασίζονται στη διαίσθηση και µόνο. Ο Πρόκλος γράφει χαρακτηριστικά: 1. Ο κύκλος διχοτοµείται από την διάµετρό του. Πολλά από τα θεωρήµατα της ευκλείδειας γεωµετρίας οφείλονται στο Θαλή: Α. η εγγεγραµµένη γωνία σε ηµικύκλιο είναι ορθή Β. οι παρά την βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες Γ. 2 κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες. 2 τρίγωνα είναι ίσα, αν έχουν ανά µια πλευρά ίση και τις προσκείµενες σε αυτή ίσες. 11

13 Στον Θαλή αποδίδεται και το οµώνυµο θεώρηµα (των ανάλογων τµηµάτων), µε την βοήθεια του οποίου υπολόγισε, όπως αναφέρουν ο Πρόκλος, ο Εύδηµος και ο Πλίνιος, το ύψος της πυραµίδας του Χέοπος. Κατά τον Πλούταρχο, ο Θαλής υπήρξε ο πρώτος που ξεπέρασε στις έρευνές του το πεδίο των πρακτικών ερωτηµάτων περαιτέρω της χρείας εξίκεσθαι τη θεωρία. Ο µεγάλος Ίωνας φιλόσοφος θεωρείται ένας από τους βασικούς εκπροσώπους της ιωνικής σχολής ( Θαλής,Αναξίµανδρος, Αναξιµένης, Ηράκλειτος ) θεωρείται ένας από τους εφτά σοφούς της αρχαίας Ελλάδας Πυθαγόρας ο Σάµιος Έζησε στο διάστηµα ( π.χ.) Ιδρυτής του πρώτου συστηµατικού πανεπιστηµίου στον κόσµο, στον Κρότωνα της Ιταλίας. Το πανεπιστήµιο αυτό ήταν ένα πολιτικό θρησκευτικό ίδρυµα µε πολιτικούς κυρίως στόχους στο οποίο ανάµεσα στα άλλα µελετήθηκαν και αναπτύχθηκαν η Αριθµητική και η Γεωµετρία. Οι πληροφορίες για τη ζωή και τη δράση του ίδιου του Πυθαγόρα είναι αµφιλεγόµενες και γράφτηκαν περί της 15 βιογραφίες του. Βέβαιο είναι ότι οι προσωπικές του προσφορές στα Μαθηµατικά ήταν: Το περίφηµο θεώρηµα που φέρει το όνοµά του. Αγνοούµε την απόδειξη που έδωσε ο ίδιος ενώ γνωρίζουµε ότι αυτή διέφερε από εκείνη του Ευκλείδη. Η ανακάλυψη µερικών πυθαγόρειων τριάδων, δηλαδή ακέραιων αριθµών, που επαληθεύουν την ισότητα του θεωρήµατός του. Αν οι αριθµοί α, β, γ εκφράζουν τα µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, τότε όπως γνωρίζουµε, ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρηµα α 2 = β 2 + γ 2 (1) Πυθαγόρειες τριάδες Πόσα όµως ορθογώνια τρίγωνα µπορούµε να βρούµε που τα µήκη των πλευρών τους εκφράζονται µε ακέραιους αριθµούς; Μια τριάδα θετικών ακεραίων αριθµών α, β, γ, για την οποία ισχύει η σχέση (1), λέµε ότι αποτελεί Πυθαγόρεια τριάδα. Την απλούστερη Πυθαγόρεια τριάδα σχηµατίζουν οι αριθµοί 5, 4, 3 αφού 52 =

14 Υπάρχουν, άραγε, τρόποι να σχηµατίζουµε Πυθαγόρειες τριάδες; Ο Πυθαγόρας (6ος αιώνας π.χ.) γνώριζε ότι οι αριθµοί της µορφής σχηµατίζουν µια Πυθαγόρεια τριάδα. Η ανακάλυψη των ασύµµετρων µεγεθών. Το γεγονός αυτό που κλόνισε το αριθµητικό δόγµα του, ότι «τα πάντα είναι αριθµοί»(δηλαδή αριθµήσιµα µε τους γνωστούς τότε αριθµούς, τους ακέραιους και τα κλάσµατα). Η κατασκευή και µελέτη τουλάχιστον των τριών από τα πέντε κανονικά πολύεδρα (τετράεδρο, κύβο, δωδεκάεδρο) Η κατασκευή της µουσικής κλίµακας. Μελέτη των λόγων της 4-χορδής λύρας και δηµιουργία κανόνων κατασκευής της 8-χορδής λύρας. Εκτός αυτών, σηµαντική πρέπει να ήταν και η συµβολή του στις προτάσεις του βιβλίου II των στοιχείων (θεωρείται ολόκληρο πυθαγόρειο) και στην κατασκευή της λύσης δευτεροβάθµιας εξίσωσης (και εκείνης της χρυσής τοµής) Μεγάλη πρέπει να ήταν και η συµβολή του στην αριθµητική (θεωρία των αριθµών). Ειδικότερα σε θεωρήµατα ακέραιων αριθµών και στην µελέτη των αριθµητικών προόδων.σήµερα είναι βέβαιο ότι ο Πυθαγόρας υπήρξε µεγάλη µαθηµατική προσωπικότητα και ότι µε τις έρευνες και το πανεπιστήµιό του συνέβαλε στο άλµα των αρχαίων ελληνικών µαθηµατικών. Η περίεργη µυστικότητα όµως, που διέπνεε το σύλλογο, έγινε αιτία να µην πληροφορηθούν οι βιογράφοι τα προσωπικά επιτεύγµατα του ίδιου και έτσι να αγνοούµε σήµερα το δικό του έργο, το οποίο ασφαλώς θα ήταν σηµαντικότατο. ΓΑΛΙΛΑΙΟΣ Γεννήθηκε στην Πίζα (Pisa) και πέθανε στο Αρκέτρι (Arcetri), κοντά στη Φλωρεντία. Ήταν µαθηµατικός, αστρονόµος και φυσικός, που συνέβαλε αποφασιστικά στη σύγχρονη επιστηµονική σκέψη. Βελτίωσε το τηλεσκόπιο Ανακάλυψε τους 4 δορυφόρους του ία Ανακάλυψε τις ηλιακές κηλίδες Εφηύρε το θερµόµετρο και τον αναλογικό διαβήτη 13

15 ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ Ο µαθηµατικός, φιλόσοφος, φυσικός και µηχανικός Αρχιµήδης ήταν ένα από τα µεγαλοφυή πνεύµατα που γνώρισε στην πορεία της η ανθρωπότητα. Σίγουρο θεωρείται ότι ο Αρχιµήδης γεννήθηκε στις Συρακούσες περί το 285 π.χ. και πιθανόν είχε πατέρα τον αστρονόµο Φειδία. ιασώθηκαν αρκετά συγγράµµατά του, µερικά αποσπασµατικά, «Περί σφαίρας και κυλίνδρου», «Κύκλου µέτρησις», «Περί πολυέδρων», «Περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων», «Περί ελίκων», «Κέντρα βάρους επιπέδων», «Τετραγωνισµός παραβολής», «Κατοπτρικά», «Μηχανικά» κ.ά. Έκανε τα πρώτα βήµατα για το µαθηµατικό υπολογισµό επιφανειών µε ακανόνιστο περίγραµµα και συµµετρικών εκ περιστροφής σωµάτων, µέθοδος που εξελίχθηκε, τεκµηριώθηκε και ονοµάστηκε στη σύγχρονη εποχή Ολοκληρωτικός Λογισµός, Παρουσίασε µέθοδο προσδιορισµού του άρρητου αριθµού π=3,14159 (Το π ορίζεται ως ο λόγος του µήκους ενός κύκλου προς τη διάµετρό του) Τελειοποίησε το Ελληνικό σύστηµα αρίθµησης Πρωτοασχολήθηκε µε τη ιαφορική Γεωµετρία Βρήκε τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης των τόξων 14

16 Βαβυλωνιακά Μαθηµατικά Όταν λέµε <<Βαβυλωνιακά Μαθηµατικά>> εννοούµε τα µαθηµατικά που αναπτύχθηκαν στη Μεσοποταµία από ποικίλους λαούς που την κατοίκησαν σε ένα χρονικό διάστηµα 3000 ετών περίπου. Έχουν ανακαλυφθεί τετρακόσιες περίπου πήλινες πλάκες µε µαθηµατικό περιεχόµενο, καταγραµµένο σε γραφή σφηνοειδή. Από αυτές οι 300 είναι πίνακες αριθµητικών υπολογισµών και οι υπόλοιπες εκατό περιέχουν µαθηµατικά προβλήµατα. Από τις πλάκες-πίνακες αριθµητικών υπολογισµών, ένας µεγάλος αριθµός είναι πίνακες πολλαπλασιασµών. Υπάρχουν επίσης πίνακες αντίστροφων αριθµών, που χρησίµευαν για τη µετατροπή της διαίρεσης σε πολλαπλασιασµό. Αρκετοί από αυτούς είναι πίνακες µονάδων µέτρησης. Επιπλέον υπάρχουν πολλοί πίνακες οικονοµικών υπολογισµών και εµπορικών συναλλαγών. Υπάρχουν επίσης πίνακες τετραγωνικών και κυβικών ριζών, καθώς και πίνακες δυνάµεων της µορφής α ν µε α=9, 16, 100, 225 και ν=1, 2, 3,, 10. Τέλος υπάρχουν πίνακες διάφορων µορφών π.χ. πίνακας υπολογισµού του αθροίσµατος n 3 + n 2 µε n= 1, 2,, 30 που χρησιµοποιούνταν στη λύση της εξίσωσης: x 3 + x 2 =α. Οι πλάκες µε προβλήµατα περιέχουν ποικίλα αριθµητικά και γεωµετρικά προβλήµατα. Οι λύσεις των µαθηµατικών προβληµάτων των Βαβυλωνίων που δίνονται είναι πρακτικού χαρακτήρα. ηλαδή αυτό που προσφέρουν είναι το πώς λύνεται το πρόβληµα και όχι το γιατί µπορεί να λυθεί µε η µία ή µε την άλλη διαδικασία. Επιπρόσθετα έχει διαπιστωθεί ότι ούτε µία γενική πρόταση δεν υπάρχει στα Βαβυλωνιακά Μαθηµατικά που να µπορεί να ταυτιστεί µε εκείνο που ονοµάζουµε σήµερα λογική απόδειξη. Το εξηνταδικό σύστηµα Το εξηνταδικό σύστηµα αρίθµησης όπου χρησιµοποίησαν οι λαοί της Μεσοποταµίας είναι ένα από τα αρχαιότερα συστήµατα αρίθµησης του ανθρώπου. Χρησιµοποιήθηκε αρχικά από τους Σουµέριους και από το 2000 π.χ. συστηµατικά από όλους σχεδόν τους λαούς της Μεσοποταµίας. Από τον 18 ο αιώνα π.χ. το εξηνταδικό σύστηµα καθιερώθηκε ως το κυριότερο σύστηµα αρίθµησης της χώρας. Το σύστηµα αυτό είναι ένα εξηνταδικό σύστηµα θέσης και χρησιµοποιεί µόνο δύο σύµβολα: ένα καρφί για τις µονάδες και µία σφήνα για τις δεκάδες. (καρφί και σφήνα) Με τον συνδυασµό των δύο αυτών συµβόλων παριστάνονται οι αριθµοί από το 2-59, χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της πρόσθεσης και βάση το 10. Ειδικό σύµβολο για το µηδέν (0) δεν υπήρχε στο σύστηµα αυτό. ύο βασικά χαρακτηριστικά του συστήµατος αρίθµησης των Βαβυλωνίων είναι:1 Ένα εξηνταδικό σύστηµα. 2 Είναι ένα ελλιπές σύστηµα θέσης. Η βάση του συστήµατος είναι το 60 και ο συµβολισµός µονάδων είναι:60 ν και το1/60 ν. 15

17 Ενδεικτικός πίνακας της γραφής των Βαβυλωνιακών αριθµών στο εξηνταδικό σύστηµα αρίθµησης αλλά και στο δεκαδικό. Μονάδες µέτρησης των Βαβυλωνίων. Α. Μονάδες µήκους: su-si, kȗs, cubit, ese, danna, gigar. Β. Μονάδες επιφανειών: sar, gar, sur, buru, bur, iku. Γ. Μονάδες χωρητικότητας: sila, gin, gur-lugal.gur. Μονάδες βάρους: mona ή mina, s^νe, gin, gȗ (τάλουτο) bashel, shekel Στοιχειώδεις πράξεις 1. Πρόσθεση και αφαίρεση: Οι Βαβυλώνιοι για να προσθέσουν δύο ή περισσότερους αριθµούς άθροιζαν τα σύµβολα όλων των αριθµών και στη συνέχεια αντικαθιστούσαν κάθε δέκα σύµβολα τις µονάδες µε ένα σύµβολο της δεκάδας και κάθε έξι σύµβολα της δεκάδας µε ένα σύµβολο της εξηντάδας που ήταν ίδιο µε το σύµβολο της µονάδας. Την αφαίρεση την αντιµετώπιζαν ως αντίθετη πράξη της πρόσθεσης, π.χ. για να αναιρέσουν το 17 από το 42, έβρισκαν έναν αριθµό που έπρεπε να προστεθεί στο 17 για να το κάνει Πολλαπλασιασµός: Στα Βαβυλωνιακά κείµενα δεν αναφέρεται κάποια µεθοδολογία την οποία ακολουθούν οι Βαβυλώνιοι για να πολλαπλασιάζουν αριθµούς. Ωστόσο πολλοί πίνακες περιέχουν τα πολλαπλάσια πολλών αριθµών. Οι πίνακες πολλαπλασιασµού που έχουν έρθει στο φως περιέχουν τα πολλαπλάσια των αριθµών: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30,36,40,45,48, ιαίρεση: Οι Βαβυλώνιοι τη διαίρεση ενός αριθµού προς έναν άλλον την αντιµετώπιζαν ως πολλαπλασιασµό του διαιρετέου επί τον αντίστροφο του διαιρέτη. π.χ. για να εκτελέσουν τη διαίρεση 36/9 έβρισκαν πρώτα το 1/9 που είναι 6,40 και στη συνέχεια υπολόγιζαν το γινόµενο 36*6,40 που είναι 240=4,0. ηλαδή 36/9=36* 1/9=36*6,40=4,0. Προβλήµατα αριθµητικής και άλγεβρας:οι λαοί της Μεσοποταµίας δε γνώριζαν αλγεβρικές µεθόδους και δεν είχαν αλγεβρικούς συµβολισµούς ούτε γενικούς τύπους. Σε κανένα Βαβυλωνιακό κείµενο δεν υπάρχει ούτε καν στοιχειώδης αλγεβρικός συµβολισµός, δεν έχει διατυπωθεί η έννοια της εξίσωσης ή του συστήµατος. Όλα τα προβλήµατα είναι πρακτικά και συγκεκριµένα. Εκτός αυτού τους λαούς της Μεσοποταµίας δεν τους απασχολούσε η γεωµετρική έννοια της ποσότητας, αλλά η ίδια η ποσότητα όπως αυτή εκφράζεται µε συγκεκριµένους αριθµούς. ευτεροβάθµιες εξισώσεις: Κυριαρχούν πολλές απόψεις για τη διαδικασία και τους τρόπους µε τους οποίους οι Βαβυλώνιοι έλυναν δευτεροβάθµιες εξισώσεις. Μια άποψη είναι ότι οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν το γενικό τύπο λύσης των δευτεροβάθµιων εξισώσεων γενικής µορφής κι αυτόν εφάρµοζαν σε κάθε περίπτωση. Μία δεύτερη άποψη είναι ότι έλυναν τις εξισώσεις µε τη βοήθεια κατάλληλων πινάκων. Μια Τρίτη 16

18 υπόθεση είναι ότι έλυναν τις εξισώσεις µε τη µέθοδο της δοκιµής και του λάθους. Τέλος, µερικοί ισχυρίζονται ότι ο Βαβυλώνιος γραφέας γνώριζε τη λύση από την αρχή, πριν κατασκευάσει, το πρόβληµα και η διαδικασία λύσης ήταν προκαθορισµένη. Γενικά, σε κανένα Βαβυλωνιακό κείµενο δεν υπάρχει ούτε ένας γενικός κανόνας, ένα θεώρηµα, που να αναφέρεται όχι µόνο στις δευτεροβάθµιες εξισώσεις αλλά σε οποιαδήποτε µαθηµατική ενότητα. Η Γεωµετρία των Βαβυλωνίων: Η γεωµετρία των Βαβυλωνίων είχε καθαρά πρακτικό χαρακτήρα. Από τα κείµενά τους προκύπτει ότι δεν είχαν συνειδητοποιήσει τη σηµασία των γεωµετρικών εννοιών ή δεν τους ενδιέφεραν οι γεωµετρικές έννοιες. Ο Solomon Gandz δηλώνει µε σαφήνεια ότι οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι δεν είχαν << γεωµετρία της γωνίας>> δηλαδή δεν υπάρχει καθόλου αναφορά σε γωνίες ή σε µέτρηση γωνιών στα Βαβυλωνιακά Μαθηµατικά. εν είχαν ούτε τον όρο για να εκφράσουν την ιδέα της γωνίας. Μάλιστα σε πολλά προβλήµατα εφάρµοζαν το πυθαγόρειο θεώρηµα αλλά δεν το γνώριζαν ως µία πρόταση η οποία ισχύει για κάθε ορθογώνιο τρίγωνο. Τετραγωνική ρίζα αριθµών: Οι Βαβυλώνιοι όταν ήθελαν να υπολογίσουν την τετραγωνική ρίζα κάποιου αριθµού, έστω α, έβρισκαν έναν αριθµό x του οποίου το τετράγωνο ήταν ίσο µε τα α. Αυτό γινότανε µε τη βοήθεια αντίστοιχων πινάκων τετραγώνων. Αυτή ήταν η µόνη µέθοδος υπολογισµού της τετραγωνικής ρίζας αριθµών. Σύµφωνα, όµως, µε τον Neugehauer, δεν µπορούµε να πούµε ότι οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν τη διαδικασία εξαγωγής της τετραγωνικής ρίζας αριθµού, αλλά δεν µπορούµε να αποδείξουµε και το αντίστροφο. Ανακεφαλαίωση: Τα µαθηµατικά των Βαβυλωνίων παρ όλο που δεν ξεπέρασαν το προεπιστηµονικό στάδιο, µπορεί να θεωρηθεί ότι ήταν υψηλού επιπέδου. Αν λάβουµε υπόψη µας και την αρχή κατά την οποία αναπτύχθηκαν τότε ασφαλώς θα συµφωνήσουµε ότι τα µαθηµατικά αυτά έχουν µία ξεχωριστή φιλοσοφία και ένα αναµφισβήτητο µεγαλείο. Στην αριθµητική και την άλγεβρα οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν να εκτελούν τις στοιχειώδεις πράξεις τις πρόσθεσης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασµού. Από τη γεωµετρία γνώριζαν να υπολογίζουν σωστά το εµβαδόν τριγώνου, ορθογωνίου και τραπεζίου, καθώς και τον όγκο ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου του κυλίνδρου. Είναι βέβαιο ότι δεν γνώριζαν το πυθαγόρειο θεώρηµα ως µία πρόταση µε γενική ισχύ. Μόνο κατά την εποχή των Σελευκιδών, υπάρχουν κάποιες ενδείξεις για εφαρµογή του πυθαγορείου θεωρήµατος. Όµως την εποχή αυτή η Βαβυλωνία αποτελούσε µέρος ελληνικού Βασιλείου και είναι πολύ πιθανόν τα µαθηµατικά που είχαν αναπτυχθεί στην αρχαία Ελλάδα να ήταν γνωστά στους Βαβυλώνιους. 17

19 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ Τα µαθηµατικά αποτέλεσαν κατάκτηση του ανθρώπου από τη στιγµή που αυτός κατανόησε ότι θα βρισκόταν αντιµέτωπος µε προβλήµατα, είτε αυτά θα ήταν απλά είτε πιο σύνθετα. Είναι αδιαµφισβήτητη λοιπόν η σηµαντικότητά τους όπως επίσης και η λειτουργία τους στην καθηµερινή µας ζωή. Ποιοι ήταν όµως εκείνοι που βελτίωσαν την επιστήµη των µαθηµατικών και πού τους χρησίµευσαν στην καθηµερινή τους ζωή; Οι Αιγύπτιοι ήταν ένας απ τους λαούς που ασχολήθηκαν ιδιαίτερα µε τα µαθηµατικά και κυρίως µε τη γεωµετρία, δηλαδή τον κλάδο των µαθηµατικών που πραγµατεύεται την έννοια του σχήµατος. Ο αιγυπτιακός λαός ήρθε σε επαφή µε τα µαθηµατικά επειδή του ήταν απαραίτητα για την επίλυση πρακτικών θεµάτων όπως ο επαναπροσδιορισµός των χωραφιών µετά τις πληµµύρες του Νείλου, σύµφωνα µε αναφορές του Ηροδότου. Ο Αιγυπτιακός πολιτισµός ήταν χτισµένος στις όχθες του Νείλου και παρόλο που ανέπτυξε την κτηνοτροφία βασιζόταν οικονοµικά στη γεωργία. Εκµεταλλευόµενοι λοιπόν την τοποθεσία τους δίπλα στο ποτάµι, κατασκεύασαν αρδευτικά κανάλια, τα οποία θα χάριζαν ευφορία στα χωράφια τους. Όµως ο Νείλος συχνά πληµµύριζε µετατρέποντας τα κτήµατά τους σε έναν τεράστιο λασπότοπο. Την αποστολή επαναπροσδιορισµού των ορίων των χωραφιών έφερναν σε πέρας ειδικοί, οι οποίοι κατείχαν τις απαραίτητες γνώσεις για τέτοιου είδους υπολογισµούς. Αυτοί οι ειδικοί ονοµάστηκαν από τους αρχαίους Έλληνες αρπεδονάπτες, επειδή το όργανο που χρησιµοποιούσαν για τους υπολογισµούς τους ήταν η αρπεδόνη. Η αρπεδόνη ήταν ένα κλειστό κορδόνι µε κόµπους σε καθορισµένες θέσεις που χώριζαν το σκοινί σε 12 ίσα τµήµατα. Με τη βοήθεια λοιπόν αυτού του οργάνου οι αρπεδονάπτες ( αυτοί που άπτονται της αρπεδόνης ) κατασκεύαζαν µια ορθή γωνία. Χρησιµοποιώντας τα 12 ίσα τµήµατα του σκοινιού, έφτιαχναν ένα τρίγωνο µε πλευρές 3,4 και 5 εφαρµόζοντας παράλληλα χωρίς να το γνωρίζουν το Πυθαγόρειο, όπως αργότερα ονοµάστηκε, θεώρηµα. Με αυτόν τον τρόπο καταλάβαιναν ότι ένα τρίγωνο µε πλευρές 3, 4 και 5 ήταν ορθογώνιο τρίγωνο. Το αξιοσηµείωτο, όµως, είναι πως κάτι ανάλογο συµβαίνει και σήµερα. Οι σηµερινοί οικοδόµοι χρησιµοποιούν ένα εργαλείο παρόµοιο της αρπεδόνης για να «γωνιάσουν» όπως λένε τα κτήρια που θέλουν να παρασκευάσουν σε σχήµα ορθογωνίου. Αρκετοί όµως πιστεύουν πως το επίπεδο γνώσης των µαθηµατικών των Αιγυπτίων αποκαλύφθηκε την περίοδο της κατασκευής των πυραµίδων π.χ π.χ. Η πιο αξιοθαύµαστη απ αυτές είναι η πυραµίδα του Χέοπα ή όπως αλλιώς ονοµάζεται Μεγάλη πυραµίδα της Γκίζα. 18

20 Οι Αιγύπτιοι χρησιµοποίησαν τα µαθηµατικά για να µετρήσουν και να υπολογίσουν το µέγεθος στο οποίο ήθελαν να είναι οι ογκόλιθοι αλλά και για να µετρήσουν την κλίση που δηµιούργησαν οι πλευρές της πυραµίδας µε το επίπεδο ώστε να δηµιουργηθεί οµοιόµορφη η κορυφή της πυραµίδας. Βέβαια παραµένει ακόµα ανεξήγητο το πώς µετέφεραν και τοποθέτησαν µε ακρίβεια χιλιοστού τους τεράστιους ογκόλιθους µέχρι την κορυφή της πυραµίδας. Ο έλληνας ιστορικός Ηρόδοτος το 480 π.χ. µίλησε για ένα είδος µηχανισµού µε ξύλινο ηµικυλινδρικό αναφορέα. Οι Αιγύπτιοι όπως προαναφέρθηκε ανέπτυξαν τα µαθηµατικά και κυρίως τη Γεωµετρία γεγονός που ήρθε ως συνέπεια των πρακτικών προβληµάτων µε τα οποία ήρθαν αντιµέτωποι. Φρόντισαν βέβαια να κληροδοτήσουν τις επόµενες γενιές µε τις γνώσεις στα µαθηµατικά. Η ενασχόληση των Αιγυπτίων µε τα µαθηµατικά φανερώνεται µέσα από τους παπύρους οι οποίοι αποκαλύπτουν τους τρόπους µε τους οποίους έλυναν οι Αιγύπτιοι τα τότε µαθηµατικά προβλήµατα. Ο πιο γνωστός και σηµαντικός πάπυρος είναι ο πάπυρος του Ριντ(Rhind) ή πάπυρος του Αχµέτ και χρονολογείται περίπου το 1800 π.χ. Η δεύτερη ονοµασία οφείλεται στον γραφέα Αχµέτ(Ahmet) ο οποίος το 1650 έκανε αντιγραφή του παπύρου από ένα παλαιότερο έγγραφο. Ο πάπυρος του Ριντ περιλαµβάνει 84 εκφωνήσεις προβληµάτων µαζί µε την λεπτοµερή λύση. Περιέχει ακόµα και προβλήµατα που σήµερα θα λυνόταν µε τη βοήθεια εξισώσεων πρώτου και δευτέρου βαθµού. Εν κατακλείδι παρατηρώντας γενικότερα την πορεία του Αιγυπτιακού λαού στα Μαθηµατικά οδηγούµαστε στο συµπέρασµα ότι ο αιγυπτιακός τρόπος ζωής αλλά και σκέψης αποτελεί ένα «θαύµα» του αρχαίου κόσµου. Παρόλο που ασχολήθηκαν µόνο µε πρακτικά προβλήµατα και όχι µε θεωρητικές έννοιες έφτασαν τα µαθηµατικά σε αρκετά υψηλό επίπεδο. Αν και αξιοθαύµαστο επίπεδο γνώσης των Αιγυπτίων µας έκανε κληρονόµους έργων και επιτευγµάτων απαράµιλλης αξίας είναι πολύ πιθανό η συνεισφορά τους στον κλάδο των µαθηµατικών να έχει υποτιµηθεί, αφού έχει διασωθεί µόνο ένας µικρός αριθµός παπύρων που αναφέρονται στα µαθηµατικά. 19

21 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ξέρουν οι µέλισσες µαθηµατικά; Στη φύση υπάρχουν πολλά αξιοθαύµαστα πράγµατα τα οποία σχετίζονται µε τα µαθηµατικά. Ένα από αυτά είναι η επαναλαµβανόµενη µορφή των κελιών στις κυψέλες των µελισσών. Έχει παρατηρηθεί ότι οι µέλισσες λειτουργώντας ενστικτωδώς κατασκευάζουν εξαγωνικά κελιά στις κηρήθρες τους. Αλλά πού οφείλεται αυτή η έµµονα επαναλαµβανόµενη µορφή των κελιών; Εάν το σχήµα των κελιών ήταν κυκλικό, οκτάγωνο ή πεντάγωνο τότε δε θα γέµιζε όλος ο διαθέσιµος χώρος, καθώς οι γωνίες που ενώνονται θα πρέπει να έχουν άθροισµα 360 µοίρες, και έτσι θα υπήρχαν κενά και θα έπρεπε τα τοιχώµατα να ήταν διπλά µε συνέπεια τη σπατάλη χρόνου αλλά και υλικού. Τα µόνα κανονικά πολύγωνα των οποίων οι γωνίες είναι διαιρέτες του 360 είναι: Το ισόπλευρο τρίγωνο (γωνία : 60 ο ) το τετράγωνο (γωνία : 90 ο ) και το κανονικό εξάγωνο (γωνία : 120 ο ) 20

22 Παρ όλα αυτά επιλέγουν το κανονικό εξάγωνο γιατί έχει τα περισσότερα πλεονεκτήµατα σε σχέση µε τα άλλα δυο σχήµατα. Το κανονικό εξάγωνο είναι αυτό που έχει τη µεγαλύτερη επιφάνεια σε σχέση µε την περίµετρό του. Αναλυτικότερα, αν πάρουµε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, ένα τετράγωνο και ένα κανονικό εξάγωνο, τα οποία έχουν την ίδια περίµετρο, τότε το κανονικό εξάγωνο είναι αυτό που έχει τη µεγαλύτερη επιφάνεια. Για παράδειγµα, αν η περίµετρος και των τριών σχηµάτων είναι 24m ισχύουν τα παρακάτω: Τύπος υπολογισµού του εµβαδού Ε = α 2 όπου α είναι η πλευρά του τριγώνου. Άρα αν η περίµετρος είναι 24 m τότε η πλευρά είναι α= =8 m και το εµβαδόν του είναι : Ε = 8 2 =16*1,7=27,2 m 2 Τύπος υπολογισµού του εµβαδού Ε = α 2 όπου α είναι η πλευρά του τετραγώνου. Άρα αν η περίµετρος είναι 24 m τότε η πλευρά είναι α= =6 m και το εµβαδόν του είναι : Ε = 6 2 =36 m 2 21

23 Τύπος υπολογισµού του εµβαδού όπου α είναι η πλευρά του εξαγώνου. Άρα αν η περίµετρος είναι 24 m τότε η πλευρά είναι α= m και το εµβαδόν του είναι : =40,8 Πάντως παρά τους µικροσκοπικούς τους εγκεφάλους οι µέλισσες είναι ικανές για εντυπωσιακά κατορθώµατα στη συµπεριφορά τους. 22

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΙΑΤΡΙΚΗ Τα Μαθηµατικά αποτελούν ένα από τους στυλοβάτες της ιατρικής επιστήµης. Οι βασικές επιστηµονικές αρχές της στηρίζονται σε µαθηµατικά πρότυπα. εν νοείται επιστηµονική σκέψη χωρίς τη θεώρησή της από µαθηµατική σκοπιά. Είναι αλήθεια για παράδειγµα ότι η ιατρική φυσική δεν νοείται χωρίς µαθηµατική υποδοµή. ΜΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΙΑΤΡΙΚΗ Η έλλειψη είναι µία πολύ χρήσιµη και πρακτική κωνική τοµή. Το χαρακτηριστικό της είναι ότι το άθροισµα των αποστάσεων ενός τυχαίου σηµείου της από τις εστίες, είναι σταθερό. Μια άλλη ιδιότητά της εξαιρετικά χρήσιµη, είναι η ανακλαστική. Η κάθετη στην εφαπτοµένη µιας έλλειψης στο σηµείο επαφής Μ διχοτοµεί τη γωνία, όπου E',E οι εστίες της έλλειψης Σύµφωνα µε την ιδιότητα αυτή ένα ηχητικό κύµα ή µια φωτεινή ακτίνα που ξεκινούν από τη µία εστία µιας έλλειψης, ανακλώµενα σε αυτήν, διέρχονται από την άλλη εστία.η µοναδική αυτή ιδιότητα της έλλειψης, ενέπνευσε τους επιστήµονες να κατασκευάσουν µια συσκευή για τη θεραπεία των νεφρικών και χολικών πετρών. 23

25 Η διαδικασία αυτή ονοµάζεται λιθοτριψία. Στη συσκευή της λιθοτριψίας, τοποθετείται το µισό κοµµάτι ενός ελλειψοειδούς, που είναι φτιαγµένο από τέτοιο υλικό που να επιτρέπει την ανάκλαση διαφόρων ενεργειακών κυµάτων. Το ελλειψοειδές είναι η τρισδιάστατη εκδοχή της έλλειψης. Από την εστία λοιπόν του µισού ελλειψοειδούς εκπέµπονται κρουστικά κύµατα, τα οποία ανακλώµενα, διέρχονται κανονικά από τη δεύτερη νοητή εστία στην οποία όµως βρίσκεται η νευρική πέτρα που πρέπει να διαλυθεί. Η θέση της πέτρας πρέπει, όπως είναι προφανές, να είναι αυστηρά ακριβώς στη θέση της δεύτερης εστίας. Η συσκευή είναι επίσης καλυµµένη µε ένα µαξιλαράκι, που περιέχει νερό, και το οποίο ακουµπάει την εκάστοτε πέτρα. Η πυκνότητα του νερού είναι µικρότερη από αυτή της πέτρας, και ως αποτέλεσµα, η πέτρα θρυµµατίζεται αµέσως µόλις τη χτυπήσει το κρουστικό κύµα. Τα θρύµµατα που προκύπτουν από τις συνεχείς διασπάσεις είναι τόσο µικρά που αποβάλλονται µε φυσικό τρόπο από τον οργανισµό. Μάλιστα δεν απαιτεί χειρουργική επέµβαση µειώνοντας τους όποιους κινδύνους. Η ιδιότητα αυτή επίσης χρησιµοποιείται στο σχεδιασµό ορισµένων τύπων οπτικών οργάνων και στην κατασκευή των λεγόµενων "στοών µε ειδική ακουστική". Οι στοές αυτές είναι αίθουσες µε ελλειπτική οροφή, στις οποίες ένα πρόσωπο που ψιθυρίζει στη µια εστία µπορεί να ακουστεί στην άλλη εστία. Ηλεκτρονική Τομογραφία Σήµερα µπορούµε να «δούµε» µέσα στο ανθρώπινο σώµα. Ένας σωλήνας Roentgen διατρέχει βραδέως το ανθρώπινο σώµα ενώ εκπέµπει µια ασθενή ακτίνα. Πάνω σε µια οθόνη, η ακτίνα παράγει ένα «φάντασµα» του εσωτερικού του ανθρώπινου σώµατος. Είναι η γνωστή µας ακτινογραφία. Στις νέες συσκευές η οθόνη αποτελείται από ανιχνευτές ακτινών οι οποίοι µετρούν ποσοτικά την ένταση απορρόφησης της ακτίνας Roentgen από το ανθρώπινο σώµα. Στη συνέχεια οι ανιχνευτές µεταβιβάζουν την πληροφορία σε ένα Η/Υ ο οποίος αναπαράγει ένα πιστό αντίγραφο του σώµατος. Είναι η Ηλεκτρονική Τοµογραφία. Και που είναι τα µαθηµατικά; Η εσωτερική εικόνα είναι άγνωστη. Από αυτή γνωρίζουµε µόνο ένα (ασθενές) οµοίωµα που παράγεται από την ακτίνα Roentgen. Η εικόνα αυτή όµως είναι το Επικαµπύλιο Ολοκλήρωµα άγνωστης συνάρτησης πάνω στην εσωτερική εικόνα. Πως ανακτούµε λοιπόν από το Επικαµπύλιο Ολοκλήρωµα την άγνωστη συνάρτηση; Ο µαθηµατικός Johann Radon επεξεργάστηκε µαθηµατικά το πρόβληµα το Η ηλεκτρονική τοµογραφία δεν είναι τίποτα άλλο από την αντιστροφή του µετασχηµατισµού Radon. Μαγνητική Τοµογραφία: τεράστιοι µαγνήτες δακτυλιοειδώς διατεταγµένοι γύρω από το ανθρώπινο σώµα παράγουν ισχυρό µαγνητικό πεδίο, το οποίο ευθυγραµµίζει τους άξονες των ατόµων Υδρογόνου στο ανθρώπινο σώµα, µετριέται η ένταση των προκαλούµενων παλµών και έτσι παράγεται µια εικόνα του εσωτερικού του σώµατος. Τα µαγνητικά πεδία έπρεπε να υπολογιστούν µε Ελλειπτικά Ολοκληρώµατα, για τον δε υπολογισµό αυτών ήσαν απαραίτητοι πολύ «γρήγοροι» αλγόριθµοι µε σκοπό την ταχύτατη αντίδραση στα δεδοµένα, για βραχυχρόνια έκθεση σε ακτινοβολίες. Την απάντηση έδωσε ο µαθηµατικός Jacobi, δηλαδή πριν από 60 χρόνια τα Μαθηµατικά είχαν δώσει τα κατάλληλα εργαλεία για την Μαγνητική Τοµογραφία. 24

26 Μια περίπτωση εφαρµογής της στατιστικής Πρόβληµα Γνωρίζουµε ότι µία ποικιλία ποντικών παρουσιάζει σταθερό ποσοστό καρκίνου αυτοµάτου γενέσεως, έστω 20%. Για να διερευνήσουµε την αποτελεσµατικότητα νέου σκευάσµατος, χορηγούµε τούτο σε 50 ποντικούς, που επιλέξαµε τυχαίως και παρατηρούµε, µετά από ορισµένο χρόνο, ότι 3 εξ αυτών είναι καρκινοπαθείς. Εκ του πειράµατος αυτού, τι µπορούµε να συµπεράνουµε για την αποτελεσµατικότητα του νέου αυτού σκευάσµατος; Απάντηση Στην περίπτωση αυτή γνωρίζουµε την θεωρητική συχνότητα χαρακτηριστικού σε ένα πληθυσµό και θέλοµε να την συγκρίνουµε µε την παρατηρούµενη συχνότητα του χαρακτηριστικού σε ένα δείγµα. Η σύγκριση θα γίνει µε εφαρµογή της δοκιµασίας χ2 (Chi-square). ιατυπώνουµε την υπόθεση Η0: Η παρατηρούµενη συχνότητα δεν διαφέρει της θεωρητικής συχνότητας. Το σκεύασµα δεν είναι αποτελεσµατικό. Εισάγουµε στο [SPSS Data Editor] του στατιστικού προγράµµατος SPSS 16.0 τα δεδοµένα του προβλήµατος υπό τη µορφή του παρακάτω πίνακα. Sample Disease Count TH C 20.0 TH NC 80.0 EXP C 3.0 EXP NC 47.0 Ενεργοποιούµε µια σειρά εντελών από το κύριο menu του προγράµµατος. Στο Output- SPSS Viewer εµφανίζονται οι πίνακες: Crosstabs 25

27 Sample * Disease Crosstabulation Disease C NC Total Sample EXP Count Expected Count 7,7 42,3 50,0 TH Count Expected Count 15,3 84,7 100,0 Total Count Expected Count 23,0 127,0 150,0 Chi-Square Tests Value df Asymp. Sig. (2-sided) Exact Sig. (2-sided) Exact Sig. (1-sided) Pearson Chi- Square Continuity Correctionb 5,033a 1,025 4,012 1,045 Likelihood Ratio 5,757 1,016 Fisher's Exact Test,030,018 N of Valid Cases 150 a. 0 cells (,0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 7,67. 26

28 Chi-Square Tests Value df Asymp. Sig. (2-sided) Exact Sig. (2-sided) Exact Sig. (1-sided) Pearson Chi- Square Continuity Correctionb 5,033a 1,025 4,012 1,045 Likelihood Ratio 5,757 1,016 Fisher's Exact Test,030,018 N of Valid Cases 150 a. 0 cells (,0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 7,67. b. Computed only for a 2x2 table Η υπολογισθείσα τιµή χ2 = 5,033 συγκρίνεται µε τις κρίσιµες τιµές της κατανοµής του χ2 για ένα βαθµό ελευθερίας και για επίπεδα σηµαντικότητας 5% και 1% που είναι χ2 1/ 0,05 = 3,84, χ2 1/ 0,01 = 6,63 αντίστοιχα. Επειδή 5,033 > 3,84 και 5,033 < 6,63 απορρίπτουµε την υπόθεση Η0 για επίπεδο σηµαντικότητας 5% και την δεχόµαστε για επίπεδο 1%. Τελικά το σκεύασµα είναι αποτελεσµατικό σε επίπεδο 5%, δηλαδή αν εφαρµοστεί σε 100 ποντικούς υπάρχει πιθανότητα µόνο οι 5 να παρουσιάσουν καρκίνο ενώ δεν υπάρχει πιθανότητα µόνο ένας να νοσήσει. Αναστασιάδου, Ι. (1974). Στοιχεία ανώτερων µαθηµατικών και στατιστικής ΙΙ. Θεσσαλονίκη (σ ). Η περίπτωση του καρδιογραφήµατος Η καταγραφή της ηλεκτρικής δραστηριότητας της καρδιάς δίνει το ηλεκτροκαρδιογράφηµα (ΗΚΓ), από το οποίο µε κατάλληλη ανάλυση της κυµατοµορφής του παίρνουµε σηµαντικές πληροφορίες για τη λειτουργία της καρδιάς. Τα περιοδικά σήµατα µπορούν να αναλυθούν σε µια σειρά (άθροισµα) απλών ηµιτονοειδών σηµάτων, των οποίων οι συχνότητες είναι πολ/σια µιας βασικής συχνότητας µε τη χρήση των µετασχηµατισµών Fourier. Το σήµα της πίεσης του αίµατος µπορεί να προσεγγισθεί από ένα περιοδικό σήµα µε περίοδο τη διάρκεια ενός καρδιακού παλµού και την κυµατοµορφή του ενός παλµού που επαναλαµβάνεται. 27

29 Το ΗΚΓ µπορεί να το θεωρήσουµε ως «περιοδικό» (παρόλο που το διάστηµα RR του ΗΚΓ δεν είναι σχεδόν ποτέ σταθερό αλλά η PQRST κυµατοµορφή είναι σχεδόν πάντα όµοια). Το ΗΚΓ µπορεί να το θεωρήσουµε ως «περιοδικό» (παρόλο που το διάστηµα RR του ΗΚΓ δεν είναι σχεδόν ποτέ σταθερό αλλά η PQRST κυµατοµορφή είναι σχεδόν πάντα όµοια). Το φυσιολογικό ΗΚΓ αποτελείται από ένα έπαρµα (κύµα)ρ, ένα «σύµπλεγµα QRS» και ένα έπαρµα (κύµα)τ. Το σύµπλεγµα QRS συνήθως αποτελείται από τρία διαφορετικά κύµατα, τα Q, R και S, που παράγονται-και τα τρία-από τη διέλευση της καρδιακής διέγερσης από τις κοιλίες. 28

30 Βιοηλεκτρικά σήµατα από το ανθρώπινο σώµα (Από σηµειώσεις στο διαδίκτυο της Επίκ. Καθ. Της Ιατρικής Σχολής Αθηνών, Άννη Λουϊζη) 29

31 ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ποια σχέση έχουν τα µαθηµατικά µε το ποδόσφαιρο? Μια σχέση που θα κάνουν τους ανυποψίαστους να εκπλαγούν και τους υποψιασµένους να σιγουρευτούν Σε µια εποχή όπου το επαγγελµατικό ποδόσφαιρο δεν είναι µόνο ζήτηµα ταλέντου, τύχης και πολλών χρηµάτων,η επιστήµη αναγνωρίζεται ως το πιο χρήσιµο εργαλείο για την απόδοση οµάδων και ποδοσφαιριστών. Το ποδόσφαιρο είναι τέχνη αλλά ταυτόχρονα και επιστήµη, και κάθε παίκτης χρησιµοποιεί γεωµετρία, αεροδυναµική και τις πιθανότητες για να φτάσει το µέγιστο απόδοσής του. Τα µαθηµατικά παίζουν τόσο καθοριστικό ρόλο στο παιχνίδι, ώστε οι κορυφαίοι παίκτες συνδυάζουν τον αθλητισµό µε την επιστηµονική σκέψη για να ξεχωρίσουν από τους υπόλοιπους παίκτες. Για τις εκτελέσεις φάουλ από απόσταση 23 µέτρων η µπάλα πρέπει να φύγει από το πόδι του ποδοσφαιριστή µε γωνία 16 µοιρών. Για τους δεξιοπόδαρους πρέπει να χτυπηθεί ελαφρά προς τα δεξιά ώστε να πάρει τα φάλτσα και να κατευθυνθεί µε δύναµη προς την εστία. Η αρχική ταχύτητα της µπάλας πρέπει να είναι χλµ./ Ώρα και να περιστρέφεται µε 600 στροφές το λεπτό. Το γήπεδο ποδοσφαίρου που παίζεται το ποδόσφαιρο είναι ορθογώνιο. Το µήκος του είναι από 90 µέχρι 120 µέτρα και το πλάτος του από 45 µέχρι 90 µέτρα. Από την τελική γραµµή κάθε περιοχής και στη µέση της υπάρχουν δύο κάθετα δοκάρια, που απέχουν µεταξύ τους 7,32 µ. και συνδέονται µ ένα οριζόντιο δοκάρι που έχει ύψος απ το έδαφος 2,44 µ. Αυτό είναι το τέρµα. Το γήπεδο ποδοσφαίρου το χωρίζουµε σε ίσες ζώνες στο µήκος και στο πλάτος. ηµιουργούµε δηλαδή έξι (6) ορθογώνια. Η επιτιθέµενη πλευρά κινείται από αριστερά στα δεξιά. Το ορθογώνιο ΑΒΓ αποτελεί την αµυντική γραµµή, το Γ ΕΖ την µεσαία γραµµή και το ΕΖΗΘ την επιθετική γραµµή. οι περισσότερες ενέργειες που αφορούν την στρατηγική στην άµυνα, στο κέντρο και την επίθεση εκδηλώνονται σ αυτές τις ζώνες. Εξίσου σηµαντικά είναι και τα κεντρικά και πλάγια τµήµατα. Το ορθογώνιο ΑΙΚΘ αποτελεί το αριστερό πλάγιο τµήµα, το ΙΜΛΚ το µέσο τµήµα και το ΜΛΗΒ το 30

32 δεξιό πλάγιο τµήµα. Α. Σύστηµα Ονοµάζεται έτσι επειδή τέσσερις παίκτες καλύπτουν την αµυντική γραµµή, δύο παίκτες την µεσαία γραµµή και τέσσερις την επιθετική. Ας βρούµε πόσες επιλογές πάσας έχουν οι 10 παίκτες, εκτός του τερµατοφύλακα. Ο κάθε παίκτης µπορεί να δώσει πάσα στους υπόλοιπους 9 άρα 9 πάσες δηλάδη συνολικά 9*10= 90 πάσες. Αν επιλέξουµε ως ανώτατο όριο της πάσας, τα 40 µέτρα, γιατί όσο πιο µακριά ταξιδεύει η µπάλα, τόσο πιο πιθανό είναι να κοπεί από αντίπαλο, και υποθέσουµε πως όλες οι πάσες είναι την εµβέλεια τότε θα έχουµε : 31

33 Ο Α παίκτης έχει : 4 επιλογές ( στο Β, Γ, Ε, Ζ) Ο Β παίκτης έχει : 5 επιλογές ( Α, Γ,, Ε, Ζ) Ο Γ παίκτης έχει : 5 επιλογές ( Α, Β,, Ε. Ζ) Ο παίκτης έχει : 4 επιλογές ( Γ, Β, Ε, Ζ) Ο Ε παίκτης έχει : 9 επιλογές ( Α, Β, Γ,, Ζ, Η, Θ, Ι,Κ) Ο Ζ παίκτης έχει : 9 επιλογές ( Α, Β, Γ,, Ε, Η, Θ, Ι, Κ, ) Ο Η παίκτης έχει : 4 επιλογές ( Ε, Ζ, Θ, Ι ) Ο Θ παίκτης έχει : 5 επιλογές ( Ε, Ζ, Η, Ι, Κ) Ο Ι παίκτης έχει : 5 επιλογές ( Ε, Ζ, Η, Θ, Κ ) Ο Κ παίκτης έχει : 4 επιλογές (Ε, Ζ, Θ, Ι) Συνολικά 54 διαθέσιµες πάσες σε αυτό το σύστηµα. Από αυτές µόνο 4+4=8 πάσες φτάνουν στην γραµµή επίθεσης δηλαδή ποσοστό 8/54*100= 14,81= 15% Β. Σύστηµα Με όµοιο τρόπο, οι επιλογές πάσας 40 µέτρων σε αυτό το σύστηµα είναι: αµυντικοί : = 20 Μέσοι : 7+9+7= 23 Επιθετικοί : 4+5+4= 13 Συνολικά 56 πάσες µε ποσοστό 7/56*100= 12,5% στη γραµµή επίθεσης. 32

34 Γ. Σύστηµα Οι επιλογές πάσας είναι : Αµυντικοί : = 24 Μέσοι : = 32 Επιθετικοί : 5+5=10 Συνολικά 66 πάσες µε ποσοστό 8/66*100= 12,1 % στην γραµµή επίθεσης.. Σύστηµα Οι επιλογές πάσας είναι : Αµυντικοί : =24 Μέσοι : =33 Επιθετικοί : =5 Συνολικά 62 πάσες µε ποσοστό 5/62*100= 8% στην επιθετική γραµµή. 33

35 Παρατηρούµε ότι το σύστηµα ( 66 εναλλαγές) είναι το καλύτερο, ενώ το ( 54 εναλλαγές) είναι το χειρότερο. Στο κάθε παίκτης έχει περισσότερες επιλογές, καθώς υπάρχουν 66/100= 6,6=7 συµπαίκτες σε απόσταση για πάσα, ενώ στο υπάρχουν 54/10= 5,4=5 παίκτες, κατά µέσο όρο, σε απόσταση για πάσα. Το κέντρο είναι η περιοχή όπου παρατηρείται συνήθως ο µεγαλύτερος συνωστισµός, καθώς όλη η κυκλοφορία της µπάλας, οι πάσες από την άµυνα στην επίθεση και αντίστροφα, περνούν από το χώρο του κέντρου. Από αυτήν την άποψη, το έργο που ανατίθεται στους µέσους, δηλαδή πόση δουλειά διεκπεραιώνουν παραλαµβάνοντας και µοιράζοντας την µπάλα, αποτελεί καθοριστικό παράγοντα σε κάθε αγωνιστικό σύστηµα. Για να δούµε λοιπόν πόσες πάσες ενός αγώνα( πάσες προς τα εµπρός, προς τα πίσω και από παίκτη σε παίκτη) περνούν από το κέντρο σε κάθε αγωνιστικό σύστηµα. Στα έχουµε : 9/54*100= 16,66= 17% σε κάθε µέσο παίκτη, πολύ απαιτητικό, γι αυτό το σύστηµα αυτό έχει εγκαταλειφθεί. Στο έχουµε : 23/3*56= 14% σε κάθε µέσο παίκτη. Στο έχουµε : 32/4*66 = 12% σε κάθε µέσο παίκτη. Στο έχουµε : 33/5*62=11% σε κάθε µέσο παίκτη. 34

36 Άραγε ποιο σύστηµα είναι ανώτερο από τα άλλα; Η απάντηση δεν είναι και τόσο προφανής. Πολλά εξαρτώνται από τον βαθµό στον οποίο επηρεάζεται το ποδόσφαιρο από τις στατιστικές πιθανότητες. Ίσως σε τελική ανάλυση, να είναι οι παίκτες που κάνουν το σύστηµα και όχι το αντίθετο. Γ. Άµυνα ζώνης κατά κύκλο στο σύστηµα Κάθε παίκτης είναι η κορυφή ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς 20 µέτρων. Επίσης κάθε παίκτης είναι το κέντρο κύκλου ακτίνας 20 µέτρων. Οι κύκλοι αλληλοτέµνονται και έτσι δεν µένει χώρος του γηπέδου ακάλυπτος. Το άθληµα µε τους περισσότερους φίλους στον κόσµο, συναντά την επιστήµη. Ή πιο σωστά, η επιστήµη µε τα σύγχρονα µέσα που διαθέτει κατορθώνει να µελετήσει τα ενδότερα του δηµοφιλέστερου αθλήµατος στον κόσµο : του ποδοσφαίρου 35

37 ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΖΩΗ ΜΑΣ Ποια είναι η σηµασία του µαγικού αριθµού 1,62 στη ζωή µας; Τόσο η φύση όσο και οι καλλιτέχνες φαίνεται ότι ακολουθούν τους κανόνες της αρµονίας, η οποία βασίζεται σε µαθηµατικούς τύπους που είχαν επινοήσει οι αρχαίοι Έλληνες. Ορισµός: Η χρυσή τοµή δίνει το σηµείο που πρέπει να διαιρεθεί ένα ευθύγραµµο τµήµα, ώστε ο λόγος του ως προς το µεγαλύτερο τµήµα να ισούται µε τον λόγο του µεγαλύτερου τµήµατος ως προς το µικρότερο. ηλαδή Από την δεξιά ισότητα παίρνουµε ότι Αντικαθιστώντας έχουµε Απαλοίφοντας τα b παίρνουµε Που τελικά δίνει Η παραπάνω δευτεροβάθµια εξίσωση έχει µία µόνο θετική λύση, την 36

38 ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑ ΡΟΜΗ Ο Πυθαγόρας υποστήριζε ότι αποτελεί µια από τις κρυµµένες αρµονίες της φύσης. Ο Ικτίνος τη χρησιµοποίησε στην κατασκευή του Παρθενώνα και ο Ντα Βίντσι στα υπέροχα γυµνά του. Κανένας όµως δεν µπορούσε να φανταστεί ότι χαρακτηρίζει τη µορφή φυσικών σχηµατισµών σε όλες τις κλίµακες των µεγεθών, από τις µικρότερες, όπως είναι τα όστρακα, ως τις µεγαλύτερες, όπως είναι οι κυκλώνες και οι γαλαξίες. Πρόκειται για τη Χρυσή Τοµή. Οι αρχαίοι έλληνες µαθηµατικοί, µε τη γνωστή αδυναµία τους στην τελειότητα της αρµονίας, είχαν δώσει ξεχωριστή σηµασία στη διαίρεση ενός ευθύγραµµου τµήµατος σε «µέσο και άκρο λόγο». H αρκετά σκοτεινή αυτή διατύπωση σηµαίνει, µε απλά λόγια, να χωρίσουµε µια γραµµή σε δύο άνισα τµήµατα, έτσι ώστε ο αριθµός που παίρνουµε αν διαιρέσουµε το µήκος του µεγάλου τµήµατος µε το µήκος του µικρού να ισούται µε τον αριθµό που παίρνουµε αν διαιρέσουµε το µήκος ολόκληρης της γραµµής µε το µήκος του µεγάλου. Ο αριθµός αυτός ονοµάστηκε από τους αρχαίους Χρυσή Τοµή ή θεία αναλογία και ισούται, περίπου, µε 1,62. Κατά τους αρχαίους Ελληνες η Χρυσή Τοµή διαιρούσε µια γραµµή µε τον τελειότερο αισθητικά τρόπο, και για τον λόγο αυτόν ο Πλάτωνας θεωρούσε ότι ο αριθµός αυτός βρίσκεται στον υπερουράνιο τόπο. H φαινοµενικά απλή αυτή κατασκευή απέκτησε µεγάλη σηµασία µε το πέρασµα των αιώνων. Για παράδειγµα είναι γνωστό ότι υπάρχουν άνθρωποι µε ψηλά πόδια και άλλοι µε κοντά. Ο Leonardo da Vinci ( ) είναι γνωστός για τα επιτεύγµατά του τόσο στις επιστήµες όσο και στις καλές τέχνες. Στα έργα του χρησιµοποίησε παραστατική γεωµετρία προκειµένου να δηµιουργήσει τα πρώτα παραµορφωµένα πλέγµατα, τα οποία όταν ειδωθούν από κάποια συγκεκριµένη γωνία εµφανίζονται κανονικά. Ο µεγάλος αυτός ζωγράφος της Αναγέννησης θεωρούσε ότι από όλους τους δυνατούς τύπους ανθρώπινων σωµάτων φαίνεται πιο «φυσικός» στο ανθρώπινο µάτι εκείνος στον οποίο ο οµφαλός χωρίζει το σώµα σε µέσο και άκρο λόγο. Ετσι για έναν «µέσο» άνθρωπο µε ύψος 1,80 µέτρα, ο οµφαλός βρίσκεται σε απόσταση 1,10 από το έδαφος. Έτσι σχεδίασε και τον γνωστό Βιτρούβιο άντρα. 37

39 Την χρυσή τοµή στην τέχνη τους χρησιµοποίησαν και πολλοί άλλοι µεγάλοι ζωγράφοι όπως οι Johanes kepler, Maurits Escher,Van Gogh και Salvator Dali. Πέρα όµως από τη διαίρεση ευθύγραµµων τµηµάτων, η Χρυσή Τοµή παίζει σηµαντικό ρόλο στην αισθητική των επιφανειών. Για παράδειγµα, αν παρουσιάσετε σε µια οµάδα ανθρώπων ορθογώνια παραλληλόγραµµα µε διάφορες αναλογίες πλευρών, οι περισσότεροι επιλέγουν ως «αρµονικότερο» αυτό του οποίου οι πλευρές έχουν λόγο ίσο µε τη Χρυσή Τοµή. H τάση αυτή ήταν ήδη γνωστή στους αρχιτέκτονες της αρχαίας Ελλάδας, όπως δείχνει το γεγονός ότι η βάση και το ύψος της πρόσοψης του Παρθενώνα, αν συνυπολογίσει κανείς και το τµήµα του αετώµατος που λείπει, έχουν λόγο ίσο µε τη Χρυσή Τοµή. Ο Fibonacci επίσης ήταν πολύ γνωστός στην εποχή του και αναγνωρίζεται σήµερα ως ο µεγαλύτερος µαθηµατικός του Μεσαίωνα. Γεννήθηκε στη δεκαετία του 1170 και πέθανε το 1250.Η σειρά Fibonacci είναι η σειρά στην οποία ο κάθε αριθµός είναι το άθροισµα των δύο προηγουµένων της σειράς και είναι η 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 Ο λόγος δυο διαδοχικών ζευγαριών της σειράς ονοµάζεται χρυσή αναλογία και είναι ο φ=

40 Η πρόσοψη του Παρθενώνα αποτελεί ένα παράδειγµα χρήσης της χρυσής τοµής στην αρχιτεκτονική. Η ίδια αναλογία εµφανίζεται σε πάρα πολλά κτήρια και πίνακες ζωγραφικής. H ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΣΤΗΝ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΟΤΗΤΑ ΣΤΗ ΦΥΣΗ Ο Πυθαγόρας είχε παρατηρήσει ότι οι περισσότερες αναλογίες στην φύση τείνουν να ακολουθούν µια συγκεκριµένη αναλογία, την χρυσή τοµή φ. Όµορφα σώµατα και πρόσωπα ανδρών και γυναικών βασίζονται σε αυτήν την αναλογία. Αυτήν την αναλογία ακολούθησαν οι µεγάλοι καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες της αρχαιότητας, όπως ο γλύπτης Φειδίας (απο τον οποίο πήρε το αρχικό γράµµα φ), αλλά και της ρωµιοσύνης. H σηµασία της Χρυσής Τοµής όµως δεν περιορίζεται στις καλές τέχνες, όπως ίσως θα µπορούσε να συµπεράνει κανείς εκ πρώτης όψεως. Οι πραγµατικά ενδιαφέρουσες εφαρµογές ξεκινούν από την κατασκευή, µε τη βοήθεια της Χρυσής Τοµής, ενός άλλου γεωµετρικού σχήµατος, που ονοµάζεται Λογαριθµική Σπείρα. H κατασκευή αυτή βασίζεται στην ακόλουθη ιδιότητα των «χρυσών» ορθογωνίων. Αν «κόψουµε» ένα τετράγωνο από ένα τέτοιο ορθογώνιο, τότε το µικρότερο ορθογώνιο που αποµένει είναι πάλι «χρυσό»! Με τον τρόπο αυτόν µπορούµε να κατασκευάσουµε µια ακολουθία από ολοένα και µικρότερα «χρυσά» ορθογώνια, που βρίσκονται το ένα µέσα στο άλλο. H λογαριθµική σπείρα είναι το σχήµα που σχηµατίζεται σε αυτή την ακολουθία των χρυσών ορθογωνίων, αν εγγράψουµε σε κάθε τετράγωνο ένα τεταρτοκύκλιο 39

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Επιμέλεια: Μιχαηλίσιν Άννα- Μαρία, Τζιώτης Δημήτρης, Τσάτσα Κωνσταντίνα Η συμμετρία στο φυσικό κόσμο Η συμμετρία που κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 2006 1/5 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:6 ο Οι απαρχές των Μαθηματικών Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη εκείνη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 26.02.14 Χ. Χαραλάμπους 14 ο πρόβλημα (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.) «μετάφραση των συμβόλων: Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών. Ιστορία των Μαθηματικών ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών. Ιστορία των Μαθηματικών ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2011 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους Μεσοποταμία Αίγυπτος 3000 1000 π.χ. Αίγυπτος: ο πάπυρος του Rhind ~1650 π.χ. Αγοράσθηκε από τον Σκωτσέζο Rhind το 1858 Αίγυπτος: ο πάπυρος της Μόσχας ~ 1600

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ»

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» ΤΑΚΕΦΑΛΑΙΑΤΟΥΒΙΒΛΙΟΥ 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2. ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ:ΘΑΛΗΣ, ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ, ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ, ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ Η ΕΠΙΝΟΗΣΗ; 4. Ο ΘΑΥΜΑΣΤΟΣ ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Η απαρχή της Γεωμετρίας Οι Βαβυλώνιοι, για πρώτη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Βασιλειάδης, Λύκειο Παιανίας «Η χρυσή τομή στα μαθηματικά, στην τέχνη, στη ζωή» 2012-2013

Γεώργιος Βασιλειάδης, Λύκειο Παιανίας «Η χρυσή τομή στα μαθηματικά, στην τέχνη, στη ζωή» 2012-2013 Γεώργιος Βασιλειάδης, Λύκειο Παιανίας «Η χρυσή τομή στα μαθηματικά, στην τέχνη, στη ζωή» 2012-2013 Η Χρυσή τοµή στην καθηµερινότητά µας Η χρυσή τοµή δεν είναι µόνο ένας µαθηµατικός όρος, αλλά και µια

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci»

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Μάθημα: Άλγεβρα Υπεύθυνος καθηγητής: κ. Σκοτίδας Τάξη: Β Λυκείου Τμήμα Β2 Ονοματεπώνυμο: Λαμπρινή Μαρίνα Λάππα Σχολικό έτος: 2010 2011 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) Ποιο πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΒΑΒΥΛΩΝΙΩΝ Οι Βαβυλώνιοι ζούσαν στη Μεσοποταµία,περιοχή µεταξύ των ποταµών Τίγρη και Ευφράτη.Η Μεσοποταµία ήταν κέντρο πολιτισµού των Σουµέριων,Ακκάδιων,Ασσύριων,Αραµαίων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm.

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο (A = 90 ) και πλευρές = 3 cm, = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Να βρείτε: α) Το εµβαδό Ε Π της παράπλευρης επιφάνειας.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού) Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο:... Όνοµα:... Όνοµα πατέρα:... e-mail:... ιεύθυνση:... Τηλέφωνο:... Εξεταστικό Κέντρο:... Σχολείο προέλευσης:... Τάξη:... Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ H γενική τάση των κατοίκων της Αιγύπτου στις επιστήμες χαρακτηριζόταν από την προσπάθεια

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο: Όνοµα: Όνοµα πατέρα: e-mail: ιεύθυνση: Τηλέφωνο: Εξεταστικό Κέντρο: Σχολείο προέλευσης: Τάξη: Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για µαθητές της ' και ' τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας;

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Τα μαθηματικά διαπερνούν κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα. Σ αυτή την παρουσίαση θα

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2011 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Υπολογισμός (ακρίβεια έως 5 δεκαδικά) Yale Babylonian collection, 1800 π.χ. 24 51 10 1+ + + = 1.41421296 2 3 60 60 60 Τετραγωνική ρίζα του 2 Ποια είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο 1 3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Μήκος κύκλου ακτίνας ρ : Το µήκος L ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο L = 2πρ ή L = πδ όπου δ η διάµετρος του κύκλου και π ένας άρρητος αριθµός του οποίου προσέγγιση µε δύο δεκαδικά

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 9 10 (Γ Γυμνασίου Α Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Ποιο από τα ακόλουθα είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμού 20102010 με τον

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 015 Εισαγωγικό σημείωμα Σύμφωνα με τις οδηγίες της ΔΕΠΠΣ: Στα Μαθηματικά ελέγχονται οι ικανότητες των μαθητών/τριών στην κατανόηση και στην

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ [Κ. ΠΑΠΑΜΙΧΑΛΗΣ ρ ΦΥΣΙΚΗΣ] Τίτλος του Σεναρίου ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μελέτη των µετασχηµατισµών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS 246 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS Φουναριωτάκης Αθανάσιος Μαθηματικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Προσωπική ιστοσελίδα:

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 4 (για µαθητές της Γ' τάξης Γυµνασίου και Α' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 4 (για µαθητές της Γ' τάξης Γυµνασίου και Α' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières αγκουρό Ελλάς Επώνυµο:... Όνοµα:... Όνοµα πατέρα:... e-mail:... ιεύθυνση:... Τηλέφωνο:... Εξεταστικό έντρο:... Σχολείο προέλευσης:... Τάξη:... Θέµατα αγκουρό 007 Επίπεδο: 4 (για

Διαβάστε περισσότερα

Κορδάτος Κωνσταντίνος Λισέβσκι Αντριάν Μακελαράκη Μελίνα Μιράντα Νίξον Μπελέρης Άρης Νεζεργιώτης Ιωάννης Παβλόβσκα Μάρτα Τάμπα Ιουλιάν

Κορδάτος Κωνσταντίνος Λισέβσκι Αντριάν Μακελαράκη Μελίνα Μιράντα Νίξον Μπελέρης Άρης Νεζεργιώτης Ιωάννης Παβλόβσκα Μάρτα Τάμπα Ιουλιάν ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΟΥ PROJECT Αντέμι Ορέστης Γκαντάλλα Μάρκος Γεωργακόπουλος Ευάγγελος Γιώργκο Σπύρο Καρούσης Στέφανος Κερμέζο Χριστίνα Κονιτόπουλος Πέτρος-Παύλος Κορδάτος Κωνσταντίνος Λισέβσκι Αντριάν Μακελαράκη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΦΑΙΔΡΑ ΚΟΥΡΒΙΣΙΑΝΟΥ ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΑΤΣΑΝΤΩΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΚΑΣΙΜΑΤΗΣ Ερευνητικά Ερωτήματα Ποιοι είναι ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα