Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler"

Transcript

1 Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler

2 Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze, vidimo da je (što se tiče konačnodimenzionalnih prostora) dovoljno proučavati linearne operatore medu prostorima tipa R n (odnosno C n ), uzimajući u obzir efekte promjene odabira baze na koordinate vektora. Ako smo odabrali bazu za V, koje koordinate vektori te baze imaju obzirom na nju samu?

3 Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze, vidimo da je (što se tiče konačnodimenzionalnih prostora) dovoljno proučavati linearne operatore medu prostorima tipa R n (odnosno C n ), uzimajući u obzir efekte promjene odabira baze na koordinate vektora. Ako smo odabrali bazu za V, koje koordinate vektori te baze imaju obzirom na nju samu? Dakle, nakon fiksiranja baze smo vektorski prostor sveli na R n (odnosno C n ) s kanonskom bazom. Primjer Neka  : R 3 R 3 opisuje zrcaljenje prostora obzirom na neku ravninu, a baza { a, b, c } prostora je odabrana tako da je ta ravnina (y, z)-ravnina. Kamo  preslikava vektore kanonske baze od R 3?

4 Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze, vidimo da je (što se tiče konačnodimenzionalnih prostora) dovoljno proučavati linearne operatore medu prostorima tipa R n (odnosno C n ), uzimajući u obzir efekte promjene odabira baze na koordinate vektora. Ako smo odabrali bazu za V, koje koordinate vektori te baze imaju obzirom na nju samu? Dakle, nakon fiksiranja baze smo vektorski prostor sveli na R n (odnosno C n ) s kanonskom bazom. Primjer Neka  : R 3 R 3 opisuje zrcaljenje prostora obzirom na neku ravninu, a baza { a, b, c } prostora je odabrana tako da je ta ravnina (y, z)-ravnina. Kamo  preslikava vektore kanonske baze od R 3? Kamo  preslikava proizvoljan vektor x a + y b + z c?

5 Djelovanje linearnog operatora  uvijek je dovoljno zadati na vektorima baze domene. Pripadni rezultati su linearne kombinacije elemenata odabrane baze kodomene.

6 Djelovanje linearnog operatora  uvijek je dovoljno zadati na vektorima baze domene. Pripadni rezultati su linearne kombinacije elemenata odabrane baze kodomene. Ako uzmemo koeficijente tih linearnih kombinacija i zapišemo ih kao stupce neke matrice, dobili smo matricu operatora A (obzirom na odabrane baze). Napomena Ako je  operator s n- u m-dimenzionalni prostor, koliko koordinata ima element domene? Kodomene?

7 Djelovanje linearnog operatora  uvijek je dovoljno zadati na vektorima baze domene. Pripadni rezultati su linearne kombinacije elemenata odabrane baze kodomene. Ako uzmemo koeficijente tih linearnih kombinacija i zapišemo ih kao stupce neke matrice, dobili smo matricu operatora A (obzirom na odabrane baze). Napomena Ako je  operator s n- u m-dimenzionalni prostor, koliko koordinata ima element domene? Kodomene? Dakle, matrica operatora  imat će m redaka i n stupaca. Ako su domena i kodomena linearnog operatora jednake, uobičajeno je uzeti istu bazu u domeni i kodomeni, pa ćemo to u daljnjem podrazumijevati. Kako izgledaju matrice od Î i ˆ0? Ovise li one o odabiru baze?

8 Ovisnost matrice operatora o bazama Neka je ˆι : V (O) V (O) inverzija obzirom na ishodište. Kamo ˆι preslikava vektore proizvoljne baze { a, b } od V (O)?

9 Ovisnost matrice operatora o bazama Neka je ˆι : V (O) V (O) inverzija obzirom na ishodište. Kamo ˆι preslikava vektore proizvoljne baze { a, b } od V (O)? Kamo ˆι preslikava proizvoljan vektor x a + y b? Kako izgleda matrica operatora ˆι? Ovisi li ona o odabiru baze?

10 Ovisnost matrice operatora o bazama Neka je ˆι : V (O) V (O) inverzija obzirom na ishodište. Kamo ˆι preslikava vektore proizvoljne baze { a, b } od V (O)? Kamo ˆι preslikava proizvoljan vektor x a + y b? Kako izgleda matrica operatora ˆι? Ovisi li ona o odabiru baze? Općenito vrijedi: Sve matrice svih operatorâ simetrije su ortogonalne. Linearan operator  : R 4 R 4 zadan je kao tzv. pomak ulijevo: (x 1, x, x 3, x 4 ) (x, x 3, x 4, 0). Odredite njegove matrice obzirom na kanonsku bazu i obzirom na bazu (4, 0, 3, 0), (, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1) i (0, 1, 0, ).

11 Definicija Operatori oblika  : V V, Âv = cv za konstantan skalar c zovu se skalarni operatori. Ovisi li matrica skalarnog operatora o odabiru baze? Odredite matricu operatora projekcije koji svakoj točki prostora pridružuje njenu ortogonalnu projekciju na (x, y)-ravninu.

12 Definicija Operatori oblika  : V V, Âv = cv za konstantan skalar c zovu se skalarni operatori. Ovisi li matrica skalarnog operatora o odabiru baze? Odredite matricu operatora projekcije koji svakoj točki prostora pridružuje njenu ortogonalnu projekciju na (x, y)-ravninu. Važno!!! Linearni operatori na beskonačnodimenzionalnim prostorima ne mogu se opisati matricama.

13 Koja korist od matrice operatora? Primjer Linearni operator rotacije ˆρ y prostora oko y-osi ima (obzirom na bazu koja odreduje osi koordinatnog sustava, uz uvjet da je ortogonalna i da su prvi i treći vektor jednako dugi) matricu R y = cos α 0 sin α sin α 0 cos α Po čemu vidimo da je to odgovarajuća matrica?

14 Nastavak primjera Ako nas zanima na koju poziciju se zarotira neka točka prostora T, uzmimo njen radij-vektor r. On ima neke koordinate [x, y, z] obzirom na odabranu bazu. Kako je ˆρ y linearan operator, znamo ˆρ y r = x ˆρy a + y ˆρy b + z ˆρy c (zašto?).

15 Nastavak primjera Ako nas zanima na koju poziciju se zarotira neka točka prostora T, uzmimo njen radij-vektor r. On ima neke koordinate [x, y, z] obzirom na odabranu bazu. Kako je ˆρ y linearan operator, znamo ˆρ y r = x ˆρy a + y ˆρy b + z ˆρy c (zašto?).stoga je prva/druga/treća koordinata od ˆρ y r = (X, Y, Z) jednaka skalarnom produktu (u R 3 ) prvog/drugog/trećeg retka matrice R y s (x, y, z).

16 Nastavak primjera Ako nas zanima na koju poziciju se zarotira neka točka prostora T, uzmimo njen radij-vektor r. On ima neke koordinate [x, y, z] obzirom na odabranu bazu. Kako je ˆρ y linearan operator, znamo ˆρ y r = x ˆρy a + y ˆρy b + z ˆρy c (zašto?).stoga je prva/druga/treća koordinata od ˆρ y r = (X, Y, Z) jednaka skalarnom produktu (u R 3 ) prvog/drugog/trećeg retka matrice R y s (x, y, z). Pišemo R y x y z = X Y Z.

17 A v za A M m,n i v M n,1 Ovo množenje je definirano tako da njegov rezultat daje vektor Âv, točnije: njegove koordinate u kodomeni. Primjer Uzmimo rotaciju ˆR oko ishodišta za 60 uz ortonormiranu bazu ravnine: Imamo: ˆR(x i + y j ) = x ˆR i + y ˆR j = ( ) ( ) = x i + j + y i + j = ( x = y ) ( 3 x ) 3 i + + y j.

18 R = ˆR[x, y] = [ x R y ( ) 1/ 3/, 3/ 1/ [ x y 3, x 3 ] = [ x y 3 x 3 + y + y ] ],

19 R = ˆR[x, y] = [ x R y ( ) 1/ 3/, 3/ 1/ [ x y 3, x 3 ] = [ x y 3 x 3 + y + y ] Ako je A M m,n i v M n,1, umnožak Av definiramo kao matricu u M m,1 čiji elementi su skalarni produkti (u R n ) redaka od A s v. ],

20 R = ˆR[x, y] = [ x R y ( ) 1/ 3/, 3/ 1/ [ x y 3, x 3 ] = [ x y 3 x 3 + y + y ] Ako je A M m,n i v M n,1, umnožak Av definiramo kao matricu u M m,1 čiji elementi su skalarni produkti (u R n ) redaka od A s v. Kako množimo matricu redak s matricom stupcem i što dobijemo? Uz koji se uvjet matrica redak može pomnožiti s matricom stupcem? ],

21 R = ˆR[x, y] = [ x R y ( ) 1/ 3/, 3/ 1/ [ x y 3, x 3 ] = [ x y 3 x 3 + y + y ] Ako je A M m,n i v M n,1, umnožak Av definiramo kao matricu u M m,1 čiji elementi su skalarni produkti (u R n ) redaka od A s v. Kako množimo matricu redak s matricom stupcem i što dobijemo? Uz koji se uvjet matrica redak može pomnožiti s matricom stupcem? Koje dimenzije su domena i kodomena linearnog operatora ako je matrica tog operatora matrica-redak? ],

22 R = ˆR[x, y] = [ x R y ( ) 1/ 3/, 3/ 1/ [ x y 3, x 3 ] = [ x y 3 x 3 + y + y ] Ako je A M m,n i v M n,1, umnožak Av definiramo kao matricu u M m,1 čiji elementi su skalarni produkti (u R n ) redaka od A s v. Kako množimo matricu redak s matricom stupcem i što dobijemo? Uz koji se uvjet matrica redak može pomnožiti s matricom stupcem? Koje dimenzije su domena i kodomena linearnog operatora ako je matrica tog operatora matrica-redak? Možemo li pomnožiti matricu-stupac s matricom-stupcem? ],

23 R = ˆR[x, y] = [ x R y ( ) 1/ 3/, 3/ 1/ [ x y 3, x 3 ] = [ x y 3 x 3 + y + y ] Ako je A M m,n i v M n,1, umnožak Av definiramo kao matricu u M m,1 čiji elementi su skalarni produkti (u R n ) redaka od A s v. Kako množimo matricu redak s matricom stupcem i što dobijemo? Uz koji se uvjet matrica redak može pomnožiti s matricom stupcem? Koje dimenzije su domena i kodomena linearnog operatora ako je matrica tog operatora matrica-redak? Možemo li pomnožiti matricu-stupac s matricom-stupcem? ],

24 Neka je A M m,n proizvoljna matrica. Definiramo  : M n,1 M m,1 s Â(X ) = A X. Argumentirajte zašto je  uvijek linearan operator! Koja je matrica od  obzirom na kanonsku bazu?

25 Neka je A M m,n proizvoljna matrica. Definiramo  : M n,1 M m,1 s Â(X ) = A X. Argumentirajte zašto je  uvijek linearan operator! Koja je matrica od  obzirom na kanonsku bazu? Neki kvadrat ima vrhove u točkama koje Kks-u imaju koordinate (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1). Matrica M je kvadratna matrica reda i ˆM odgovarajući linearni operator koji djeluje na koordinatnoj ravnini. U kakve četverokute ˆM može preslikati naš kvadrat? U kakve ne? Ako je neki drugi kvadrat odreden vrhovima (4, 4), (6, ), (8, 4), (6, 6), uz koje uvjete na M će se oba kvadrata preslikati u isti tip četverokuta?

26 Tzv. opće pozicije u kristalnoj strukturi prostorne grupe Pbcn (rompski sustav) mogu se zapisati kao koordinate (m, n, p), (m + 1/, n + 1/, p + 1/), (m + 1/, n, p), (m, n + 1/, p), (m, n, p + 1/), (m + 1/, n + 1/, p), (m + 1/, n, p + 1/), (m, n + 1/, p + 1/), gdje su m, n i l cijeli brojevi. Zapišite jednu (ne-jediničnu) matricu koja (obzirom na kristalografsku bazu) predstavlja linearan operator simetrije za ovu kristalnu rešetku, tj. takav da se prije i poslije njegovog djelovanja opće pozicije nalaze na istim mjestima.

27 općenito A B Ovo množenje je definirano tako da njegov rezultat daje matricu koja odgovara kompoziciji linearnih operatora  i ˆB. Uz koji uvjet se dvije funkcije mogu komponirati?

28 općenito A B Ovo množenje je definirano tako da njegov rezultat daje matricu koja odgovara kompoziciji linearnih operatora  i ˆB. Uz koji uvjet se dvije funkcije mogu komponirati? Kakve stoga trebaju biti matrice A i B da bi AB imalo smisla?

29 općenito A B Ovo množenje je definirano tako da njegov rezultat daje matricu koja odgovara kompoziciji linearnih operatora  i ˆB. Uz koji uvjet se dvije funkcije mogu komponirati? Kakve stoga trebaju biti matrice A i B da bi AB imalo smisla? Koliko redaka i stupaca ima AB?

30 općenito A B Ovo množenje je definirano tako da njegov rezultat daje matricu koja odgovara kompoziciji linearnih operatora  i ˆB. Uz koji uvjet se dvije funkcije mogu komponirati? Kakve stoga trebaju biti matrice A i B da bi AB imalo smisla? Koliko redaka i stupaca ima AB? Ako želimo matricu A množiti s matricom B od stupčane, stupce matrice B redom tretiramo kao matrice-stupce. Dakle, produkt matrice A s matricom B je matrica čiji stupci su umnošci matrice A redom sa stupcima od B.

31 općenito A B Ovo množenje je definirano tako da njegov rezultat daje matricu koja odgovara kompoziciji linearnih operatora  i ˆB. Uz koji uvjet se dvije funkcije mogu komponirati? Kakve stoga trebaju biti matrice A i B da bi AB imalo smisla? Koliko redaka i stupaca ima AB? Ako želimo matricu A množiti s matricom B od stupčane, stupce matrice B redom tretiramo kao matrice-stupce. Dakle, produkt matrice A s matricom B je matrica čiji stupci su umnošci matrice A redom sa stupcima od B. Kada matricu-stupac možemo množiti s matricom-retkom i kako tada izgleda rezultat?

32 Komutativnost? Iz prethodnog se vidi: ako AB ima smisla, to ne znači da BA ima smisla. U kojim slučajevima oba umnoška AB i BA imaju smisla?

33 Komutativnost? Iz prethodnog se vidi: ako AB ima smisla, to ne znači da BA ima smisla. U kojim slučajevima oba umnoška AB i BA imaju smisla? Nadite dvije matrice A, B M takve da AB BA i dvije takve da AB = BA!

34 Komutativnost? Iz prethodnog se vidi: ako AB ima smisla, to ne znači da BA ima smisla. U kojim slučajevima oba umnoška AB i BA imaju smisla? Nadite dvije matrice A, B M takve da AB BA i dvije takve da AB = BA! Zbog nekomutativnosti množenja matrica, često se kao mjera nekomutativnosti uzima njihov komutator [A, B] = AB BA.

35 Primjer Paulijeve matrice spina su tri matrice koje se ponekad koriste za opis spinova elektrona (po jedna za svaki kutni moment): S x = ( ), S y = ( 0 i i 0 ), S z = ( ). Za njih je [S x, S y ] = i S z, [S y, S z ] = i S x, [S z, S x ] = i S y i S x + S y + S z = 3 4 ( ). Posljednja matrica predstavlja kvadrat spinskog kutnog momenta.

36 je asocijativno (A(BC) = (AB)C kad god je A ulančana s B i B s C). Postoji li matrica takva da pomnožena sa svakom matricom A M 3 daje A? Jedinične matrice su matrice I n M n koje na dijagonali imaju jedinice, a ostali elementi su im nule. Vrijedi I m A = AI n = A (za A M m,n ). Ako je A M m,n, za koje p i q ima smisla A0 p,q? A 0 p,q A? Što je rezultat tih umnožaka?

37 Odaberite neki skalar α i dvije matrice A, B M. Kako sve možete izračunati α A B? A AB + ( A)B? Napomena Ako matrica A predstavlja operator Â, a matrica B predstavlja operator ˆB, umnožak AB predstavlja kompoziciju  ˆB. Možete li skalarni produkt u R n opisati kao množenje matrica? Možete li naći dvije matrice u M takve da nisu nulmatrice, ali im je umnožak nulmatrica?

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 3 Zapis nekih transformacija ravnine i prostora - pojam matrice i linearnog operatora Lekcije i Matematike 1. 3. Zapis nekih transformacija ravnine i prostora

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 Skripta za seminar. Miroslav Jerković

Matematika 1 Skripta za seminar. Miroslav Jerković Matematika Skripta za seminar Miroslav Jerković Matematika - seminar ii Sadržaj Realni i kompleksni brojevi. Realni brojevi............................... Kompleksni brojevi............................3

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Vanjska simetrija kristâla

Vanjska simetrija kristâla Vanjska simetrija kristâla Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Listopad 2008. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 1 / 16 Vizualna simetrija Što je simetrija?

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici. Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu,

Διαβάστε περισσότερα

Kosinus-sinus dekompozicija ortogonalnih matrica malog reda

Kosinus-sinus dekompozicija ortogonalnih matrica malog reda V Hari i V Zadelj-Martić: Kosinus-sinus dekompozicija, mathe 10, veljača 007 1/14 Hrvatski matematički elektronski časopis mathe Broj 10 http://emathhr/ Kosinus-sinus dekompozicija ortogonalnih matrica

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

4 Unitarni prostori. 4.1 Definicija i svojstva unitarnih prostora. K polje R ili C, V je vektorski prostor nad K

4 Unitarni prostori. 4.1 Definicija i svojstva unitarnih prostora. K polje R ili C, V je vektorski prostor nad K 4 Unitarni prostori 4.1 Definicija i svojstva unitarnih prostora K polje R ili C, V je vektorski prostor nad K Definicija. Skalarni produkt na V je svaka funkcija p q: V ˆ V Ñ K koja ima sljedeća svojstva:

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Numerička analiza 26. predavanje

Numerička analiza 26. predavanje Numerička analiza 26. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2009/10, 26. predavanje p.1/21 Sadržaj predavanja Varijacijske karakterizacije svojstvenih

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra

Linearna algebra Linearna algebra 2 Siniša Miličić cinik@studentmathhr 2462004 Molim da se sve uočene greške i primjedbe pošalju na mail Ovaj dokument je javno dobro, te se smije neograničeno umnažati, mijenjati i koristiti

Διαβάστε περισσότερα

Kristalografske točkine grupe

Kristalografske točkine grupe Kristalografske točkine grupe Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Travanj 2017. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 1 / 29 Elementi simetrije Elementi

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Linearna algebra

Riješeni zadaci: Linearna algebra Riješeni zadaci: Linearna algebra Matrice Definicija Familiju A od m n realnih (kompleksnih) brojeva a ij, i 1,, m, j 1,, n zapisanih u obliku pravokutne tablice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1 a

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim. 1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u kemiji Primjene linearne algebre

Matematičke metode u kemiji Primjene linearne algebre Matematičke metode u kemiji Primjene linearne algebre 1 Kristalne rešetke Definicija 1 Rešetka u afinom prostoru A s koordinatnim sustavom (O; a 1,..., a n ) je skup svih točaka prosotora sa cjelobrojnim

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 1 / 121

Matematika 2. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 1 / 121 Matematika 2 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 1 / 121 Integriranje racionalnih funkcija; primjena integrala Integriranje

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru

Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Darija Brajković 2. prosinca 2013. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Operacije s vektorima 4 2.1 Zbrajanje vektora...............................

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. Oznake: Skupove prirodnih, cijelih, racionalnih i realnih brojeva označavamo sa N, Z, Q, R, C. Važnije tvrdnje pišemo kosim slovima.

Linearna algebra. Oznake: Skupove prirodnih, cijelih, racionalnih i realnih brojeva označavamo sa N, Z, Q, R, C. Važnije tvrdnje pišemo kosim slovima. Linearna algebra DARKO ŽUBRINIĆ Cilj ovog teksta je olakšati praćenje kolegija Linearne algebre onim studentima postdiplomskog studija FER-a koji nisu odslušali kolegij Linearne algebre u prvom semestru

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler

Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. Mirko Primc

Linearna algebra. Mirko Primc Linearna algebra Mirko Primc Sadržaj Dio 1. Linearna algebra 1 7 Poglavlje 1. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi 9 1. Sistemi linearnih jednadžbi 9 2. Trokutasti sistemi jednadžbi 11 3. Gaussova metoda

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički

MATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Ljiljana Arambašić MATEMATIKA 3 Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i tehnike, smjer nastavnički SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 4 Algebra matrica. Inverzna matrica. Determinanta Lekcije iz Matematike 1. 4. Algebra matrica. Inverzna matrica. Determinanta I. Naslov i obja²njenje naslova

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Nikola Sandrić MATEMATIKA 1. Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu

Nikola Sandrić MATEMATIKA 1. Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu Tomislav Došlić Nikola Sandrić MATEMATIKA 1 Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu Predgovor Poštovani čitatelji, u rukama imate nastavni materijal koji izlaže gradivo kolegija Matematika 1 za studente

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra i geometrija

Linearna algebra i geometrija Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, septembar 2012. Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 3 Sistemi linearnih jedna ina 3

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 7 Pojam svojstvene vrijednosti i svojstvenog vektora Lekcije iz Matematike 1. 7. Pojam svojstvene vrijednosti i svojstvenog vektora I. Naslov i obja²njenje naslova

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

1. Linearni operatori. Fiksirajmo po volji odabran kut ϕ [0, 2π) i promotrimo preslikavanje R ϕ : V 2 (O) V 2 (O) koje svaki radijvektor rotira za ϕ.

1. Linearni operatori. Fiksirajmo po volji odabran kut ϕ [0, 2π) i promotrimo preslikavanje R ϕ : V 2 (O) V 2 (O) koje svaki radijvektor rotira za ϕ. 1. Linearni operatori Fiksirajmo po volji odabran kut ϕ [0, 2π) i promotrimo preslikavanje R ϕ : V 2 (O) V 2 (O) koje svaki radijvektor rotira za ϕ. Kako je V 2 (O) vektorski prostor, prirodno je pitanje

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Priprema za ispit znanja Vektori

Priprema za ispit znanja Vektori Priprema za ispit znanja Vektori 1. Dan je pravilni šesterokut ABCDEF. Ako je =, = izrazi pomoću vektore,,. + + =0 = E D = + F S C + + =0 = = A B + + =0 = = =+ 2. Točke A, B, C, D, E i F vrhovi su pravilnog

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta

Διαβάστε περισσότερα

8 Tangencijalna ravnina plohe

8 Tangencijalna ravnina plohe 8 Tangencijalna ravnina plohe Sferu kao plohu pokrili smo sa šest, odnosno sa dvije karte u Primjeru 2. Dakle, općenito, neka točka sfere ležat će u slikama od više karata. Proučimo stoga što se dogada

Διαβάστε περισσότερα