= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

Transcript

1 Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim rojevim pridružuje rzličite vrijednosti funkcije Svojstvo ekvivlentno ovome je: f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko iz jednkosti funkcijskih vrijednosti slijedi i jednkost rgument Pretpostvimo d je f() f(y): logritmsk funkcij je injektivn f f ( y) log( + + 5) log( + y + 5) log log y y Vjež 0 Rezultt: y y + 5 / + 5 y + 5 y Provjeri je li funkcij f log( ) Funkcij je injekcij Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) + injekcij Provjeri je li funkcij f + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim rojevim pridružuje rzličite vrijednosti funkcije Svojstvo ekvivlentno ovome je: f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko iz jednkosti funkcijskih vrijednosti slijedi i jednkost rgument Pretpostvimo d je f() f(y): Vjež 0 Rezultt: f f ( y) + + y + + / + + y y + / + y + y Provjeri je li funkcij f + 5 injekcij Funkcij je injekcij Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Pojednostvnite funkciju f ( ) ( ) ( ) ( ) Rješenje 0 inčic Uporit ćemo inomne formule: ( + ) + +, ( + ) + + +, ( + ) Sd je: f

2 inčic Pomoću inomne formule doije se: Vjež 0 Rezultt: ove [ poništimo suprotne čln ] ( ) f ( + ) ( + ) + 6 ( + ) ( + ) + f Pojednostvnite funkciju f ( ) ( ) f Zdtk 0 (Tnj, gimnzij) Odredi prirodnu domenu funkcije 8 5 g ( ) ( + ) Rješenje 0 Mormo nći vrijednosti ev z koje je nzivnik jednk nuli i te vrijednosti odstrniti iz skup relnih rojev R: 0 ( ) ( + ) Domen je: D( g) R, Vjež 0 \ { } Odredi prirodnu domenu funkcije Rezultt: Domen je: D( g) R \ {, } + 5 g ( ) ( ) Zdtk 05 (Tnj, gimnzij) Odredi prirodnu domenu funkcije g Rješenje 05 Mormo nći vrijednosti ev z koje je rdiknd (izrz pod korijenom) strogo veći od nule: - Domen je: D( g ), Vjež 05 Odredi prirodnu domenu funkcije Rezultt: Domen je: D( g ), ( ) > 0 > / < - - O + g

3 Zdtk 06 (M, tehničk škol) Ako je ( g f )( ), log 6, g nđite f ( ) + f Rješenje 06 ( g f ) g ( f ) log 6 f log c c Iz f() slijedi: f Vjež 06 f 6 6 ( 6 ) + f ( ) Ako je ( g f )( ), g ( ) log, nđite f ( ) + f ( ) 6 Rezultt: 5 6 Zdtk 07 (Ml, gimnzij) Ako je f ( sin ) + tg, koliko je f? sin Rješenje 07 sin sin cos + sin f ( sin ) + tg + + cos cos cos cos sin Zto je: sin sin sin f tg sin sin sin sin sin cos sin sin sin Vjež 07 Ako je f ( cos ) + tg, koliko je f? cos Rezultt: f cos + tg Zdtk 08 (Anstzij, gimnzij) Zdn je funkcij f() + 5 Kolik je vrijednost inverzne funkcije f - ()? Rješenje 08 Iz zdne funkcije izrčunmo : f + 5 / log log log 5 f + log f ( + 5) log log ( ) log f + 5 log f 5 /: log f 5 ( ) ( ) f ( ) log 5 () log 5 5 f

4 Vjež 08 Zdn je funkcij f() - Kolik je vrijednost inverzne funkcije f - ()? Rezultt: Zdtk 09 (A, hotelijersk škol) Ako je f, R, izrčunj: f + f + f + + f + f + f Rješenje 09 Uočimo d je: , +, +, Prov im 99 (988 : 99) Izrčunjmo f() + f(), ko je + : ( + ) ( + ) f + f [ + ] Očigledno, trženi zroj jednk je Vjež 09 Ako je Rezultt: 5 f, R, izrčunj: f f f f + f + f Zdtk 00 (Anmrij, hotelijersk škol) Odredimo prirodnu domenu relne funkcije: + ) f +, ) f, c) f d) f ( ), e) f log( + ), f ) f + + Rješenje 00 Funkcij je postupk (prvilo, zkon, preslikvnje) kojim se svkom elementu domene (početni skup) pridružuje smo jedn element kodomene (zvršni skup) D f K f : D K f() D domen, početni skup, ulzni skup, područje definicije funkcije K kodomen, ntidomen, zvršni skup, izlzni skup, područje vrijednosti funkcije originl, prslik, rgument funkcije, vrijl, nezvisn vrijl f() slik, vrijednost funkcije, zvisn vrijl

5 Ako je reln funkcij zdn formulom, ond je njezin prirodn domen skup svih relnih rojev z koje formul im smisl f + možemo izrčunti z svki relni roj (tj on im smisl z svki relni ) p je prirodn ), domen funkcije f skup svih relnih rojev R Simolično pišemo: ) f i D f R il D f, + +, možemo izrčunti z svki relni roj osim z jer i td morli dijeliti s 0 (što + nije moguće) Postupk je sljedeći: nzivnik izjednčimo s nulom, riješimo doivenu jedndžu i rezultt izcimo iz skup R + 0 D f R \ { } c) f +, it će reln roj ko je rdiknd (izrz pod korijenom) veći ili jednk nuli Ako je rdiknd negtivn, td je drugi korijen imginrn roj Dkle, prirodn domen funkcije f doije se: + 0 D( f ), + d) f + +, it će reln roj ko je rdiknd (izrz pod korijenom) strogo veći od nule (nul ne može iti jer se s nulom ne smije dijeliti) Dkle, prirodn domen funkcije f doije se: e) f ( ), + > > D f + log +, it će reln roj ko je izrz pod logritmom strogo veći od nule jer domen logritmske funkcije smo su pozitivni relni rojevi Dkle, prirodn domen funkcije f doije se: f),, + > > D f + f + riječ je o trećem korijenu (neprnom roju!) p možemo izrčunti z svki relni roj (tj on im smisl z svki relni ) Prirodn domen funkcije f je skup svih relnih rojev R Simolično pišemo: D f R il i D f, + Vjež 00 Odredimo prirodnu domenu relne funkcije: f Rezultt: 5 5 D( f ) R \ { 5} Zdtk 0 (Mir, gimnzij) f 7 + : + izrčunj f + : f + Ako je Rješenje 0 Odredimo funkciju f() tko d podijelimo polinome: Budući d je f(), slijedi f 7 + : + ± ± ± 0 f + + f ( + ) : f ( + ) : ( ) f + + 5

6 Vjež 0 7 : izrčunj Ako je f ( + ) ( + ) f ( + ) + f ( + ) Rezultt: 0 Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Nđite temeljni period funkcije f() cos Rješenje 0,6,, Vjež 0 Nđite temeljni period funkcije f() cos Rezultt: 0,8 0,6 0, 0, -0, -0, -0,6-0,8 - -, -, y T period - -0,5 0,5,5,5,5 π T π π Zdtk 0 (Mir, gimnzij ) Nđite inverznu funkciju funkcije y log + log Rješenje 0 inčic log c Pojednostvimo izrz z funkciju uporom svojstv log : log c Temeljni period funkcije f() cos je T π π Temeljni period funkcije f() cos je T π π Temeljni period funkcije f() cos je upol mnji: T (modul prepolovljuje period T π jer se dio grf ispod osi zrcli preko osi u pozitivn dio) π Zto temeljni period funkcije f() cos iznosi: T log log log log y log + log log + log + log + log + log log log log Inverzn funkcij it će: y log y y log log / log y y y l og y y y ili f inčic Pojednostvimo izrz z funkciju uporom svojstv log : log + y log + log log log log log log log log log log Inverzn funkcij it će: y log y y log log / log y y y l og y y y ili f 6

7 Vjež 0 Nđite inverznu funkciju funkcije y log f Rezultt: Zdtk 0 (Fred, gimnzij) 0 Ako je f, + 0 g() log, nđite (f g)() Rješenje 0 Budući d je (f g)() f(g()), slijedi: ( f g )( ) f ( g ( ) ) f ( log) f ( 0) Vjež Ako je f, + 0 g() log, nđite (f g)() Rezultt: Zdtk 05 (Stel, gimnzij) 5 Ako je f i g, koliko je ( f g f )? Rješenje 05 Ponovimo: ( ) ( ) z 0, z < 0, f g f f g f Zto je: ( f g f ) f g f f g f g f g f g Vjež 05 f f f Ako je f g ( f g f ) Rezultt: Zdtk 06 (M, gimnzij) Rješenje 06 Nđite mksimum funkcije i, koliko je 0? f sin + cos + cos + sin n m m f sin cos cos sin n ( ) sin + cos + cos + sin cos + sin ( cos ) cos ( sin ) sin ( ) cos + cos + cos + sin + sin + sin + cos + cos + + sin + sin + + ( + ) 7

8 Vjež 06 ( ) ( ) ( ) + cos + + sin + cos + + sin + cos + sin + Nđite mksimum funkcije Rezultt: 6 f sin + cos + cos + sin Zdtk 07 (Anstzij, gimnzij) Ako je f + +, koliko je f ( + ) f ( )? Rješenje 07 Njprije odredimo funkciju f(): f + + f f f t + t + / t + + t + Budući d je zdn funkcij f(), slijedi: Vjež 07 t f t f ( + ) f ( ) ( + ) ( ) Ako je f + + f ( + ) + f ( ) Rezultt:, koliko je? Zdtk 08 (Anstzij, gimnzij) Nđite kodomenu funkcije f + Rješenje 08 Nek su A i B dv skup Funkcij ili preslikvnje s skup A u skup B je prvilo (zkon) f koje svkom elementu A jednoznčno pridružuje neki element y B Skup A zove se područje definicije ili domen, skup B područje vrijednosti ili kodomen funkcije f S pojmom kodomene povezn je skup zvn slik funkcije Sliku funkcije možemo shvtiti ko njmnju od svih mogućih kodomen funkcije Slik funkcije f sstoji se od svih y B z koje postoji A tkv d je f() y Slik funkcije je skup n koji funkcij f preslikv svoju domenu Grf zdne funkcije je prol otvorom okrenut prem dolje Njezino tjeme je: T (, y ) ( ) f +,, c c, y ( ) ( ) y 0 ( ) 8 Skup vrijednosti (slik funkcije) R f je projekcij grf n os ordint 8

9 T,8,6 y,, y 0 k o d o m e n 0,8 0,6 0, 0, -,5 - -,5 - -0,5 0,5,5,5-0, -0, -0,6-0,8 - -, Kodomen je skup: Vjež 08 Nđite kodomenu funkcije f -,, Rezultt: 0, + Zdtk 09 (Dijn, gimnzij) Ako je f izrčunjte f Rješenje 09 f Vrijednost funkcije z je: f ( ) < 0 < > 0 > 0 Vjež 09 Ako je f izrčunjte f Rezultt: Zdtk 00 (Anstzij, gimnzij) Izrzite ko funkciju od y, ko je y y Rješenje 00 y y / y y y + y 0 + ( ) Vjež 00 Izrzite y ko funkciju od, ko je y 0 y 0 y y y Rezultt: y 9