Διπλωματική Εργασία. «Συμμετρία: Μια διαδρομή από τις απαρχές της έννοιας μέχρι τη σύγχρονη μαθηματική της διατύπωση»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διπλωματική Εργασία. «Συμμετρία: Μια διαδρομή από τις απαρχές της έννοιας μέχρι τη σύγχρονη μαθηματική της διατύπωση»"

Transcript

1 Διπλωματική Εργασία «Συμμετρία: Μια διαδρομή από τις απαρχές της έννοιας μέχρι τη σύγχρονη μαθηματική της διατύπωση» ΜΙΧΑΛΟΠΟΥΛΟΥ ΜΕΤΑΞΙΑ Α.Μ. Δ Επιβλέπων Καθηγητής Λάππας Διονύσιος ΑΘΗΝΑ

2 Η παρούσα Διπλωματική Εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης που απονέμει το Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών» Εγκρίθηκε την από Εξεταστική Επιτροπή αποτελούμενη από τους : Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα Υπογραφή 1) Λάππας Διονύσιος (επιβλέπων Καθηγητής) Aν. Καθηγητής. 2) Ράπτης Ευάγγελος Καθηγητής. 3) Σπύρου Παναγιώτης Aν. Καθηγητής. 2

3 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω: Τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Λάππα Διονύσιο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε, την καθοδήγησή του και τις συμβουλές του σε κάθε βήμα της εκπόνησης της Διπλωματικής μου Εργασίας και το χρόνο που μου διέθεσε. Τους καθηγητές κ. Ράπτη Ευάγγελο και κ. Σπύρου Παναγιώτη που με τίμησαν με τη συμμετοχή τους στην Εξεταστική Επιτροπή. Τους διδάσκοντες του Π.Μ.Σ. "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών". Την κ. Διονυσία Μπακογιάννη, για την βοήθειά της, τη προθυμία και την άμεση ανταπόκρισή της σε οτιδήποτε χρειάστηκα. Τους συμφοιτητές και φίλους που γνώρισα κατά τη διάρκεια των σπουδών μου, για τη συνεργασία τους, την αλληλοϋποστήριξη και τις ιδέες τους. Τον αείμνηστο καθηγητή μου κ. Ανδρεαδάκη Στυλιανό, για το ενδιαφέρον του, την βοήθειά του και τον χρόνο που μου διέθεσε. Τους συναδέλφους καθηγητές του 1ου ΕΠΑ.Λ. Κορωπίου, για τη συμπαράσταση και τη βοήθεια που μου προσέφεραν. Την οικογένειά μου, για τη κατανόηση και την υπομονή της. 3

4 Στον πατέρα μου και στους φίλους μου. 4

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περίληψη 7 Κεφάλαιο 1 - Η Ιστορία της Λέξης Συμμετρία 1.1 Εισαγωγή Η έννοια της λέξης συμμετρία στην Αρχαία Ελληνική Γραμματεία Η έννοια της λέξης συμμετρία στα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά Η εξέλιξη της έννοιας της συμμετρίας στην Αρχιτεκτονική Η συμμετρία την Πρώιμη Σύγχρονη Εποχή Η χρήση της λέξης συμμετρία στη Φυσική Ιστορία τον 18ο και 19ο αιώνα Βοτανολογία Κρυσταλλογραφία Ζωολογία Η χρήση της λέξης συμμετρία από τους μαθηματικούς της εποχής της Γαλλικής Επανάστασης Laplace Monge Legendre Lacroix Η Mαθηματική διατύπωση της συμμετρίας Η Ταξινόμηση των Πεπερασμένων Απλών Ομάδων 64 Κεφάλαιο 2 - Τα Μαθηματικά της Συμμετρίας 2.1 Μετασχηματισμοί στο Ευκλείδειο Επίπεδο Ομοπαραλληλικοί Μετασχηματισμοί και Ισομετρίες Ταξινόμηση των Ισομετριών του Επιπέδου Τα Θεωρήματα των Ισομετριών στο Ευκλείδειο Επίπεδο Ισομετρίες στο Χώρο Ομάδες συμμετρίας Θεμελιώδης Περιοχή Οι συμμετρίες του τετραγώνου και του κανονικού εξαγώνου 96 Κεφάλαιο 3 - Ομάδες Συμμετρίας στη Διακοσμητική Τέχνη 3.1 Εισαγωγή Οι Ομάδες Συμμετρίας των Ροζετών G Οι Ροζέτες στη Διακοσμητική Τέχνη Οι Ομάδες Συμμετρίας των Ζωοφόρων G Οι Διακοσμητικές Λωρίδες στη Διακοσμητική Τέχνη Ταξινόμηση των Περιοδικών Μοτίβων και Ορολογία 124 5

6 3.7 Οι Ομάδες Συμμετρίας Διακοσμητικού Σχεδίου Κάλυψης του Επιπέδου G Ομάδες Συμμετρίας Διακοσμητικού Σχεδίου Κάλυψης του Επιπέδου και Διακοσμητική Τέχνη 135 Κεφάλαιο 4 - Συμμετρία Ομοιότητας 4.1 Εισαγωγή Διαστολή Λογαριθμική Σπείρα Μετασχηματισμοί Ομοιότητας στο Επίπεδο Ομάδες Συμμετρίας Ομοιότητας Οι Ομάδες Συμμετρίας Ομοιότητας στη Διακοσμητική Τέχνη Αυτοομοιότητα στη Φύση και Φράκταλ Συμμετρία στο Χάος 177 Βιβλιογραφία 187 6

7 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εξέλιξη της έννοιας της συμμετρίας συμβαδίζει δυναμικά με τις αλλαγές στην επιστημονική γνώση. Η έννοια δημιουργήθηκε στην προσπάθεια του ανθρώπου να κατανοήσει την ομορφιά και την τάξη του φυσικού κόσμου και την αρμονία των αναλογιών. Οι αρχές της συμμετρίας εφαρμόστηκαν στη γλυπτική, στη ζωγραφική, την αρχιτεκτονική, την διακόσμηση και το σχέδιο. Η σημασία της λέξης συμμετρία και η χρήση της παίρνει διαχρονικά διάφορες μορφές. Χρειάστηκαν πολλοί αιώνες και η ανάπτυξη της Θεωρίας ομάδων, για να καταλήξουμε στη γενική αφηρημένη μαθηματική θεωρία της συμμετρίας η οποία ομαδοποιεί φαινομενικά διαφορετικές συμμετρίες και αποτελεί τη βάση για όλες τις ειδικές μορφές της. H Θεωρία ομάδων και η κρυσταλλογραφική ορολογία έγιναν ισχυρά εργαλεία στη μελέτη της διακοσμητικής τέχνης από τη Παλαιολιθική εποχή μέχρι σήμερα. Η σπειροειδής τάση στη φύση, που εμφανίζεται στην ανάπτυξη κάποιων έμβιων όντων και στην περιστροφική κίνηση, όπως για παράδειγμα οι υδάτινες δίνες, οδήγησαν στη συμμετρία ομοιότητας και στις ομάδες συμμετρίας ομοιότητας, που εμφανίζονται και στη διακοσμητική τέχνη. Η αυτοομοιότητα των ακτογραμμών και των οροσειρών, μελετήθηκε από τη Θεωρία των φράκταλ, ενώ φαινόμενα απρόβλεπτα όπως ο καιρός, οδήγησαν στη Θεωρία του χάους. Η συμμετρία εμφανίζεται και στο χάος και είναι συμμετρία μετά από μεγάλο αριθμό επαναλήψεων, στο μέσο όρο. Λέξεις κλειδιά: Συμμετρία, ομάδες, διακοσμητική τέχνη, συμμετρία ομοιότητας, αυτοομοιότητα, χάος. 7

8 ABSTRACT The evolution of the concept of symmetry is consistent with the dynamic changes in scientific knowledge. The concept was created in man's attempt to understand the beauty and order of the natural world and the harmony of proportions. The symmetry principles applied in sculpture, painting, architecture, decoration and design. The meaning of the word symmetry and its use over time takes different forms. It took many centuries and the development of group theory, to form a general abstract mathematical theory of symmetry which compiles seemingly different symmetries and forms the basis for all special forms. Group theory and crystallographic terminology, became powerful tools in the study of decorative art from the Paleolithic era up until now. The spiral tendency in nature, which occurs in the development of some living beings and rotational fluid motion, such as whirlpools, led to symmetry of similarity and the symmetry groups of similarity, also present in decorative art. Self-similarity of coastlines and mountain ranges, were studied by fractal theory and unpredictable phenomena such as weather, led to the theory of chaos. Symmetry appears in chaos and it is symmetry after a large number of iterations, in average. Key words: Symmetry, groups, decorative art, similarity symmetry, self-similarity, chaos. 8

9 Κεφάλαιο 1 - Η Ιστορία της Λέξης Συμμετρία 1.1 Εισαγωγή Στην καθημερινή μας γλώσσα χρησιμοποιούμε τη λέξη συμμετρία για να εκφράσουμε κάτι που έχει σωστές αναλογίες και υποδηλώνει την αρμονική και ισορροπημένη σχέση των μερών που συγκροτούν ένα σύνολο. Στα μαθηματικά είναι η ιδιότητα ότι κάτι παραμένει αναλλοίωτο από ένα σύνολο μετασχηματισμών. Οι απαρχές της θεωρίας της συμμετρίας, υπάρχουν στα μαθηματικά των Πυθαγορείων, στην ατομική θεωρία του Λεύκιππου και του Δημόκριτου και στη φιλοσοφία του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη. Η συμμετρία υπάρχει στην αρχιτεκτονική, στη ζωγραφική, στη γλυπτική, στη διακόσμηση, στη μουσική και γενικά στα δημιουργήματα του ανθρώπου. Η συμμετρία είναι πανταχού παρούσα στη φύση. Στα έμβια όντα, είναι εμφανής στη δομή και την εξωτερική τους μορφή, από τους μικροοργανισμούς μέχρι τα άνθη, τα φυτά, τα ζώα και τον άνθρωπο. Υπάρχει και στα ανόργανα υλικά, όπως οι κρύσταλλοι του νερού και οι νιφάδες του χιονιού. Η πορεία της εξέλιξης της έννοιας, λόγω του πλήθους των εφαρμογών της, περνάει μέσα από διάφορα επιστημονικά πεδία μέχρι τη τελική μαθηματική της διατύπωση. Ο Πυθαγόρας, ίδρυσε τον 6ο αιώνα π.χ. Σχολή στην Σάμο, που αργότερα μετέφερε στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Στη Σχολή διδάσκονταν μαθηματικά, γεωμετρία, μουσική, αστρονομία και φιλοσοφία. Οι Πυθαγόρειοι, ασχολήθηκαν κατά κύριο λόγο με τη γεωμετρία, τις ιδιότητες των αριθμών, μελέτησαν τις αριθμητικές αναλογίες της μουσικής κλίμακας και τις αρχές που διέπουν το σύμπαν. Σύμφωνα με τη διδασκαλία τους, το σύμπαν χαρακτηρίζεται από τάξη και ορθολογικότητα. Η ιδέα της παγκόσμιας αρμονίας, που βρίσκουμε και σε άλλους φιλοσόφους όπως ο Ηράκλειτος, ο Εμπεδοκλής και ο Φιλόλαος ανάγεται στους Πυθαγόρειους. Ο Πυθαγόρας δεν έγραψε τίποτα. Από τη βιογραφία του, που έγραψε ο Διογένης Λαέρτιος διαβάζουμε ότι, ο Πυθαγόρας θεωρούσε από τα σχήματα πιο ωραία, τη σφαίρα από τα στερεά και τον κύκλο από τα επίπεδα. Αυτό δείχνει ότι αναγνώριζε σαν πιο ωραία σχήματα, αυτά που έχουν τη μεγαλύτερη συμμετρία. Οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν τα πέντε κανονικά στερεά, το τετράεδρο, τον κύβο, το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο του οποίου οι πλευρές είναι κανονικά πεντάγωνα και το εικοσάεδρο με πλευρές ισόπλευρα τρίγωνα. Σύμφωνα με τον Weyl, η ύπαρξη των τριών πρώτων 9

10 πολύεδρων είναι περίπου προφανής γεωμετρικά. Αλλά η ανακάλυψη των δύο τελευταίων είναι μία από τις ωραιότερες και μοναδικές στιγμές σε ολόκληρη την ιστορία των μαθηματικών. Με αρκετή βεβαιότητα μπορεί να αποδοθεί στους Έλληνες αποίκους της κάτω Ιταλίας οι οποίοι ενδέχεται να συνέλαβαν την αφηρημένη μορφή του κανονικού δωδεκάεδρου, μέσω των κρυστάλλων του πυριτίου, ενός θειούχου ορυκτού που αφθονεί στη Σικελία. O Ιάμβλιχος, όπως θα δούμε παρακάτω αναφέρει ότι, οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν το κανονικό εικοσάεδρο και το κανονικό δωδεκάεδρο. Το Βιβλίο XIII των Στοιχείων του Ευκλείδη, ασχολείται αποκλειστικά με τις ιδιότητες των πέντε κανονικών στερεών. Τα Στοιχεία κλείνουν με την απόδειξη ότι, δεν υπάρχει άλλο κανονικό πολύεδρο εκτός από αυτά τα πέντε. Τα κανονικά πολύεδρα με τη μορφή Ακτινόζωων (πρωτόζωα με σφαιρική ακτινωτή συμμετρία που βρίσκονται σε αφθονία στο πλαγκτόν). Από μονογραφία του Ερνστ Χέκελ (Ernst Haeckel ) Οι Ατομικοί φιλόσοφοι, Λεύκιππος και Δημόκριτος, συνέδεσαν τη συμμετρία με τα συστατικά της ύλης. Υποστήριξαν ότι κάθε φυσικό αντικείμενο συνίσταται από 10

11 ελάχιστα αδιαίρετα σωματίδια που τα ονόμασαν άτομα. Σύμφωνα με τη θεωρία τους, τα δομικά συστατικά του σύμπαντος, μπορούν να έχουν συμμετρική μορφή, ή μπορεί να μην έχουν κανονικό σχήμα. Για πολλούς αιώνες, οι γεωμέτρες μελέτησαν τη μαθηματική ομορφιά και τη συμμετρία των κανονικών πολύεδρων. Τα κανονικά πολύεδρα λέγονται Πλατωνικά, επειδή ο Πλάτων τα χρησιμοποιεί σαν μέρος της κοσμολογίας του. Στο διάλογο "Τίμαιος" ο Πλάτων πραγματεύεται τον φυσικό κόσμο και την δημιουργία του και επιχειρεί να μαθηματικοποιήσει τη φύση. Κατά τον Τίμαιο, το σώμα του κόσμου, δημιουργήθηκε από τέσσερα στοιχεία, τη φωτιά, τον αέρα, το νερό, και τη γη, που συνδέονται μεταξύ τους με σχέση αναλογίας. Το σώμα του κόσμου έχει το σχήμα της σφαίρας, που είναι το πιο πλήρες, και το πιο ομοιόμορφο σχήμα. Τα σχήματα που εγγράφονται στη σφαίρα είναι τα κανονικά πολύεδρα. Ο Πρόκλος δίνει μια άλλη εξήγηση για την επιλογή της σφαίρας από τον Πλάτωνα, ότι έχει τον μεγαλύτερο όγκο από όλα τα στερεά με το ίδιο εμβαδόν. Τα τέσσερα στοιχεία τώρα, από τα οποία δημιουργείται ο κόσμος, είναι στερεά σώματα, που περικλείονται από επίπεδες επιφάνειες που δημιουργούνται από τρίγωνα. Όλα τα τρίγωνα συντίθεται από δύο είδη στοιχειωδών τριγώνων, το ορθογώνιο ισοσκελές και το ορθογώνιο σκαληνό. Από τα ορθογώνια σκαληνά τρίγωνα, επιλέγεται αυτό που έχει υποτείνουσα διπλάσια από τη μικρότερη κάθετη πλευρά. Έξι ορθογώνια σκαληνά τρίγωνα δημιουργούν ένα ισόπλευρο τρίγωνο (Σχήμα 1.1a). Με βάση αυτό το ισόπλευρο τρίγωνο ο Τίμαιος κατασκευάζει το τετράεδρο, το οκτάεδρο και το εικοσάεδρο. Σχήμα 1.1 Για την κατασκευή του κύβου, χρησιμοποιεί ορθογώνια ισοσκελή τρίγωνα. Τέσσερα ορθογώνια ισοσκελή τρίγωνα σχηματίζουν ένα τετράγωνο (Σχήμα 1.1b). Την 11

12 κατασκευή του δωδεκάεδρου αποδίδει στο θεό. Σύμφωνα με τη θεωρία του Πλάτωνα, το άτομο καθενός από τα στοιχεία της ύλης αντιστοιχεί σε ένα από τα κανονικά στερεά. Στη φωτιά αντιστοιχεί το τετράεδρο, στη γη ο κύβος, στον αέρα το οκτάεδρο και στο νερό το εικοσάεδρο. Στο κανονικό δωδεκάεδρο αντιστοιχεί η εικόνα ολόκληρου του Σύμπαντος. Η Θεωρία των Κανονικών Στερεών είναι η πρώτη μαθηματική θεωρία που αποδίδει πρωταρχικό ρόλο στη συμμετρία. Ο Αριστοτέλης απέκρουσε τη θεωρία του Πλάτωνα. Υποστήριξε ότι μόνο δύο κανονικά στερεά μπορούν να γεμίσουν τον χώρο, το τετράεδρο (λανθασμένα) και ο κύβος. Στα ουράνια σώματα έδωσε σφαιρικό σχήμα, γιατί οτιδήποτε άλλο θα μείωνε την τελειότητά τους. Η συμμετρία κρύβεται και πίσω από τις θεωρίες που αναπτύχθηκαν για την κίνηση των ουρανίων σωμάτων, στα πλαίσια του γεωκεντρικού μοντέλου, σύμφωνα με το οποίο η Γη βρίσκεται στο κέντρο του σύμπαντος και όλα τα άλλα ουράνια σώματα περιφέρονται γύρω της. Το θεμελιώδες αξίωμα της αρχαίας αστρονομίας ήταν ότι, η ομαλή κυκλική κίνηση είναι η μόνη δυνατή κίνηση στον ουρανό. Με βάση το αξίωμα αυτό, το οποίο ανάγεται στον Πλάτωνα, οικοδομήθηκε όλη η ερευνητική παράδοση του «σώζειν τα φαινόμενα», η αναζήτηση δηλαδή μαθηματικής τάξης πίσω από τη φαινομενική αταξία των ουράνιων κινήσεων. Ο Εύδοξος ο Κνίδιος (περ π.Χ.), πρότεινε το γεωμετρικό μοντέλο των ομόκεντρων σφαιρών για την ερμηνεία της κίνησης των πλανητών. Τον 3ο αι. π.χ. το μοντέλο των ομόκεντρων σφαιρών εγκαταλείφτηκε και αντικαταστάθηκε από το σύστημα των κύκλων και επικύκλων του Απολλώνιου του Περγαίου (περ π.χ.) και του Ιππάρχου (περ π.Χ.). Στη θεωρία των επικύκλων κάθε πλανήτης διαγράφει έναν μικρό κύκλο, τον επίκυκλο, το κέντρο του οποίου διατρέχει ταυτόχρονα έναν μεγαλύτερο κύκλο γύρω από τον παρατηρητή. Στη θεωρία των έκκεντρων κύκλων οι ρόλοι αντιστρέφονται. Ο πλανήτης κινείται σε έναν μεγάλο κύκλο τον έκκεντρο, το κέντρο του οποίου διαγράφει έναν μικρό κύκλο γύρω από τον παρατηρητή. O Κλαύδιος Πτολεμαίος, μαθηματικός, αστρονόμος και γεωγράφος που έζησε και έδρασε στην Αλεξάνδρεια (περ μ.χ.), προσπάθησε να φτιάξει ένα σύστημα κύκλων, επικύκλων και έκκεντρων που να συμφωνεί με τις παρατηρούμενες κινήσεις των πλανητών. Δεν τα κατάφερε και αποφάσισε να κάνει μια ουσιαστική αλλαγή. Αρχικά μετατόπισε λίγο τη γη από το κέντρο του κύκλου. Κατόπιν εισήγαγε ένα γεωμετρικό 12

13 σημείο Ε, συνευθειακό με τη γη G και το κέντρο C του κύκλου, έτσι ώστε η φαινόμενη κυκλική κίνηση του κέντρου Q του επίκυκλου που ακολουθούσε ένας πλανήτης P, να είναι ομαλή όπως φαίνεται από το σημείο E (Σχήμα 1.2). Με αυτόν τον τρόπο ο Πτολεμαίος κατάφερε να αναπαραστήσει τις κινήσεις των πλανητών. Το μοντέλο αυτό ο Πτολεμαίος το παρουσίασε στο βιβλίο του "Μαθηματική Σύνταξις" και παρέμεινε σε ισχύ για 14 αιώνες. Σχήμα 1.2 Η Αρχαία Ελληνική αρχιτεκτονική στηρίζεται επίσης στην ιδέα της συμμετρίας και της αναλογίας. Στην Αρχαία Ελλάδα δεν υπήρχαν σταθερά μεγέθη ναών, αλλά σταθερές αναλογίες για κάθε ρυθμό και για κάθε εποχή. Τα διάφορα μέρη του οικοδομήματος συνδέονται με το σύνολο μέσα από σταθερούς κανόνες αναλογιών. Αυτό επέτρεπε στους δημιουργούς να δουλεύουν με σιγουριά, με στόχο την τελειότητα. Οι αρχιτεκτονικοί ρυθμοί που αναπτύχθηκαν είναι, ο Δωρικός στην Κυρίως Ελλάδα, την Κάτω Ιταλία και τη Σικελία και ο Ιωνικός στην Ιωνία (Μικρά Ασία). Από αυτούς, ο Δωρικός είναι ο αρχαιότερος και ο σπουδαιότερος ρυθμός. Δωρικός Ρυθμός 13

14 Το καλύτερο δείγμα της κλασσικής ελληνικής αρχιτεκτονικής είναι αναμφίβολα ο Παρθενώνας, ο ναός της Αθηνάς Παρθένου στην Ακρόπολη των Αθηνών. Χτίστηκε ( π.Χ.) από τους φημισμένους αρχιτέκτονες Ικτίνο και Καλλικράτη, με τη γενική εποπτεία του γλύπτη Φειδία σε Δωρικό ρυθμό, αλλά και με στοιχεία Ιωνικού ρυθμού. Σημαντικό ρόλο στην επίτευξη της τελειότητας, έπαιξαν οι μαθηματικοί υπολογισμοί που εφαρμόστηκαν στην κατασκευή του Παρθενώνα. Στοχεύοντας στην εναρμόνιση όλων των διαστάσεων, το πλάτος, το ύψος, το μήκος, η διάμετρος της κάθε κολώνας όπως και η απόσταση μεταξύ τους, κατασκευάστηκαν σύμφωνα με την αναλογία 4:9. H ίδια αναλογία καθόρισε και όλα τα άλλα στοιχεία του ναού. Η σχέση ανάμεσα στο ύψος της κολώνας και στο ύψος του θριγκού, οι αναλογίες των μεταξονίων (τα διαστήματα μεταξύ των κάθετων αξόνων δύο γειτονικών κιόνων), η λέπτυνση της κολώνας και η ένταση του κορμού, το περίγραμμα του εχίνου και ο τρόπος σύνδεσής του με τον κορμό, η μορφή και ο αριθμός των τριγλύφων. Η κλίμακα αυτή, αποτέλεσε μία μέθοδο ελέγχου όλων των λεπτομερειών και προσέδωσε στο κτίριο ένα αξεπέραστο μεγαλείο. Οι αναλογίες του Παρθενώνα Στον Παρθενώνα δεν υπάρχει απόλυτα κάθετη γραμμή, αλλά ούτε και απόλυτα οριζόντια. O στυλοβάτης παρουσιάζει μία κύρτωση, η οποία μεταφέρεται στο θριγκό. Οι κολώνες αποκλίνουν από τον άξονα τους, καθώς γέρνουν προς τους τοίχους του ναού. O κορμός της κολώνας εμφανίζει ελαφριά διόγκωση πάνω από το μισό του ύψους της. Οι αποστάσεις ανάμεσα στις κολώνες και στους τριγλύφους, δεν είναι παντού οι ίδιες, Αυξάνονται ή ελαττώνονται καθώς προχωρούμε προς τους δύο 14

15 άξονες του κτιρίου. Όλες αυτές οι κατασκευαστικές λεπτομέρειες, που μπορεί να οφείλονται στην προσπάθεια διόρθωσης του οπτικού σφάλματος του ανθρώπινου οφθαλμού, ή σε τεχνικές αιτίες, αποδεικνύουν την επιμονή στη συμμετρία και την τελειότητα. Οι λεγόμενες οπτικές διορθώσεις συντελούν στην εναρμόνιση του κτιρίου με το περιβάλλον του, αλλά και στην εναρμόνιση όλων των τμημάτων με το σύνολο. Σχέδιο της ανατολικής πρόσοψης του Παρθενώνα από το Βιβλίο των Stuart J. και Revett N., "Οι Αρχαιότητες των Αθηνών", τ.2 Λονδίνο 1787 Το αρχαίο θέατρο της Επιδαύρου θεωρείται το τελειότερο αρχαίο ελληνικό θέατρο από άποψη ακουστικής και αισθητικής. Ο περιηγητής Παυσανίας, ήδη από την αρχαιότητα, επαινεί τη συμμετρία και την ομορφιά του. Το αρχαίο θέατρο κατασκευάστηκε μεταξύ του 340 π.χ. και του 330 π.χ. από τον Αργείο αρχιτέκτονα Πολύκλειτο τον Νεότερο όπως αναφέρει ο Παυσανίας. Η ορχήστρα του θεάτρου είναι ένας τέλειος κύκλος με τη βάση για το βωμό να βρίσκεται στο κέντρο του. Ο χώρος των θεατών σχεδιάστηκε αρχικά να περιλαμβάνει 34 θέσεις καθισμάτων και χωρίζονταν σε 12 τομείς που ξεκινούσαν ακτινωτά από τις γωνίες ενός εγγεγραμμένου στην ορχήστρα νοητού εικοσάεδρου. Οι σειρές των εδωλίων των οκτώ κεντρικών κερκίδων σχεδιάστηκαν ως περιφέρειες κύκλων με κέντρο το κέντρο της ορχήστρας, ενώ τα πλάγια ζεύγη των κερκίδων δεξιά και αριστερά διαγράφουν τόξα που το κέντρο τους βρίσκεται πιο μακριά και πιο έξω από το κέντρο της ορχήστρας. Έτσι μεγάλωνε το οπτικό πεδίο στις ακραίες κερκίδες και 15

16 εξυπηρετούνταν καλύτερα η ακουστική. Τον 2ο π.χ. αιώνα το θέατρο επεκτάθηκε πάνω από τον διάδρομο που περιέτρεχε την περιφέρεια του αρχικού διαζώματος. Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό του θεάτρου της Επιδαύρου είναι ότι ο θεατής της τελευταίας σειράς ακούει καθαρά τις ομιλίες στην ορχήστρα. To αρχαίο Θέατρο της Επιδαύρου από σχέδιο του Gerkan Οι αρχαίοι Έλληνες γλύπτες θέλησαν να απεικονίσουν την τέλεια ισορροπία και τη συμμετρία μέσα από την τέχνη τους. Έβλεπαν το ανθρώπινο σώμα σαν ένα αντικείμενο της ομορφιάς. Τα γλυπτά από την Αρχαϊκή περίοδο, εξιδανικεύουν την ανθρώπινη μορφή. Κατά την κλασική περίοδο, οι γλύπτες προσπάθησαν να αποτυπώσουν εκτός από την σωματική ομορφιά και την πνευματική. Τα γλυπτά έγιναν πιο ζωντανά μέσω της ρεαλιστικής αναπαράστασης και της απεικόνισης του ανθρώπινου συναισθήματος. Ο Αργείος γλύπτης Πολύκλειτος (μέσα του 5ου αι. π.χ.), συγκαταλέγεται στους τρείς σημαντικότερους γλύπτες της αρχαίας Ελλάδας. Αφιερώθηκε στην ιδέα της συμμετρίας και την ανάπτυξη ενός ιδανικού τύπου για το ανθρώπινο σώμα. Τη θεωρία του περί του κανόνα, εφάρμοσε στα ανδρικά αγάλματά του "Δορυφόρος" ή "Κανών" και "Διαδούμενος". Ο "Δορυφόρος", ήταν αποτύπωση μιας πραγματείας που είχε γράψει ο γλύπτης για τις ιδανικές αναλογίες. Το άγαλμα, που ίσως ενσαρκώνει τον Αχιλλέα επιδεικνύει τέλειες αρμονικές αναλογίες, που δεν υπάρχουν στη φύση, αλλά καθαρά στα μαθηματικά, υπολογισμένες με μεγάλη 16

17 ακρίβεια και με βάση ένα κοινό μέτρο, αντιπροσωπεύοντας τις καλύτερες αναλογίες μιας σειράς αθλητών, ιδίως ολυμπιονικών, στους ανδριάντες των οποίων ειδικευόταν ο Πολύκλειτος. «Δορυφόρος» του Πολυκλείτου Αντίγραφο του 70 π.χ. (Εθνικό Μουσείο Νεάπολη) 17

18 1.2 Η έννοια της λέξης συμμετρία στην Αρχαία Ελληνική Γραμματεία Η λέξη συμμετρία και το επίθετο σύμμετρος (αντίθετα ασυμμετρία και ασύμμετρος), εμφανίζονται για πρώτη φορά στην Αρχαία Ελλάδα. Παράγονται από τις λέξεις "συν" και "μέτρο" και χρησιμοποιούνται σε διάφορα κείμενα στην Αρχαία Ελληνική Γραμματεία. Το ουσιαστικό σημαίνει σωστή αναλογία, ή ένα από τα χαρακτηριστικά του καλού και του ωραίου, ή έχει την έννοια της καταλληλότητας. Το επίθετο σημαίνει ανάλογος, ισόμετρος, ισόχρονος, κατάλληλος, κατάλληλος στο μέγεθος, μέτριος στο μέγεθος, προσήκων, πρέπων, κανονικός. 1 Στο θέμα του πότε πρωτοεμφανίστηκε η λέξη συμμετρία επισημαίνουμε ότι δεν υπάρχει στα αρχαιότερα έργα του Ομήρου, Ησίοδου ούτε και στους Ορφικούς Ύμνους. Υπάρχει όμως σε αποσπάσματα του Πυθαγόρα και των Προσωκρατικών Φιλοσόφων που διασώθηκαν από μεταγενέστερους συγγραφείς. Τη χρησιμοποίησαν και οι τραγικοί ποιητές Αισχύλος, Σοφοκλής και Ευριπίδης. 2 O Διογένης Λαέρτιος (3ος μ.χ. αιώνας) είναι συγγραφέας μιας αρχαίας ελληνικής ιστορίας της φιλοσοφίας από την λεγόμενη "Προσωκρατική" περίοδο ως την εποχή του, ενός συνθετικού έργου με τίτλο "Φιλοσόφων βίων και δογμάτων συναγωγή". Το έργο αυτό είναι χωρισμένο σε δέκα βιβλία, περιέχει βιογραφικά στοιχεία για τους φιλοσόφους και περιλαμβάνει μικρά ή μεγάλα κατά περιπτώσεις, σημειώματα για τις επιμέρους φιλοσοφικές απόψεις τους. 3 Το βιβλίο Η ξεκινάει με τον Πυθαγόρα. Αρχίζει με αναφορά στη ζωή του Πυθαγόρα και το έργο του. Στα αποσπάσματα από τη διδασκαλία του η λέξη συμμετρία εμφανίζεται δύο φορές: Πυθαγόρας, Απόσπασμα Σελ. 171, γραμμές 7-11 «Diog. L. 8.9 ἐν δὲ τοῖς τρισὶ συγγράμμασι τοῖς προειρημένοις φέρεται Πυθαγόρου τάδε καθολικῶς. οὐκ ἐᾷ εὔχεσθαι ὑπὲρ αὑτῶν διὰ τὸ μὴ εἰδέναι τὸ συμφέρον. τὴν μέθην ἓν ἀνθ' ἑνὸς βλάβην καλεῖ καὶ πλησμονὴν πᾶσαν ἀποδοκιμάζει, λέγων μὴ παραβαίνειν μήτε τῶν πόνων μήτε τῶν σιτίων μηδένα τὴν συμμετρίαν.» 1 Μέγα λεξικόν της ελληνικής γλώσσης Liddell Scott Jones. 2 Η αναζήτηση της λέξης έγινε με τη βοήθεια του TLG (Thesaurus Linguae Graecae ) 3 Διογένης Λαέρτιος-ΦΙΛΟΣΟΦΩΝ ΒΙΩΝ ΚΑΙ ΔΟΓΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΓΩΓΗ-ΒΙΒΛΙΑ VI-X, Εκδόσεις Ζήτρος

19 «Στα τρία συγγράμματα του Πυθαγόρα που προανέφερα διατυπώνονται γενικά οι εξής απόψεις. Δεν επιτρέπει να προσευχόμαστε για τον εαυτό μας, επειδή δεν ξέρουμε ποιό είναι το συμφέρον μας. Τη μέθη με μια λέξη την αποκαλεί βλάβη και αποδοκιμάζει κάθε είδους υπερβολή, λέγοντας πως δεν πρέπει να ξεπερνάμε το μέτρο ούτε στο πιοτό ούτε στο φαγητό.» Πυθαγόρας, Απόσπασμα Σελ. 171, γραμμές «διαιρεῖται δὲ καὶ τὸν τοῦ ἀνθρώπου βίον οὕτως παῖς εἴκοσι ἔτεα, νεηνίσκος εἴκοσι, νεηνίης εἴκοσι, γέρων εἴκοσι. αἱ δὲ ἡλικίαι πρὸς τὰς ὥρας ὧδε σύμμετροι παῖς ἔαρ, νεηνίσκος θέρος, νεηνίης φθινόπωρον, γέρων χειμών. ἔστι δ' αὐτῷ ὁ μὲν νεηνίσκος μειράκιον, ὁ δὲ νεηνίης ἀνήρ.» «Την ανθρώπινη ζωή τη χωρίζει ως εξής: "Είκοσι χρόνια παιδί, είκοσι νεαρός, είκοσι νέος, είκοσι γέρος. Η αντιστοιχία ηλικιών - εποχών είναι: παιδί - άνοιξη, νεαρός - καλοκαίρι, νέος - φθινόπωρο, γέρος - χειμώνας". Λέγοντας νεαρός εννοεί τον έφηβο και με νέος εννοεί τον ώριμο άνδρα» 4 Στα σωζόμενα έργα του Αισχύλου ( π.x.), η λέξη συμμετρία εμφανίζεται 3 φορές. Στο παρακάτω απόσπασμα, από την τραγωδία "Χοηφόροι", η λέξη χρησιμοποιείται με την έννοια όμοιος: Αισχύλος, Χοηφόροι «σκέψαι, τομῇ προσθεῖσα βόστρυχον τριχός, σαυτῆς ἀδελφοῦ σύμμετρον τῷ σῷ κάρᾳ.» «σίμωσε την πλεξίδα αυτή στην κεφαλή μου και ιδές με τα μαλλιά πώς μοιάζει ταδερφού σου» 5 Στον Σοφοκλή ( π.χ.), η λέξη εμφανίζεται 5 φορές. Στην τραγωδία "Οιδίπους Τύραννος" η λέξη έχει την έννοια ισόχρονος: Σοφοκλής, Οιδίπους Τύραννος «ὅνπερ πάλαι ζητοῦμεν ἔν τε γὰρ μακρῷ γήρᾳ ξυνᾴδει τῷδε τἀνδρὶ σύμμετρος,» 4 ΔΙΟΓΕΝΗΣ ΛΑΕΡΤΙΟΣ - ΑΠΑΝΤΑ - ΤΟΜΟΣ 4, Εκδόσεις Κάκτος Αισχύλου Ορέστεια - Χοηφόροι, Μετάφραση - I.Ν. Γρυπάρη, Εκδοτικός Οίκος Γεωργίου Φέξη,

20 «Τα βαθιά του γεράματα στην ηλικία ταιριάζουν με τον ξένο» 6 Στο απόσπασμα 191 του Δημόκριτου (~ π.χ.), που διασώζει ο Στοβαίος (5ος αιώνας μ.χ.), η συμμετρία χρησιμοποιείται με την έννοια του κατάλληλος, αρμονικός: Δημόκριτος, Απόσπασμα 191 «ου. ἀνθρώποισι γὰρ εὐθυμίη γίνεται μετριότητι τέρψιος καὶ βίου συμμετρίηι» «Γιατί την ψυχική γαλήνη τη φέρνει στους ανθρώπους η συγκρατημένη διασκέδαση και η σύμμετρη ζωή.» 7 Ο Πλάτωνας ( π.χ.) χρησιμοποιεί στα έργα του όλο το φάσμα των εννοιών της λέξης συμμετρία καθώς και τη μαθηματική της έννοια. Στον "Τίμαιο", η λέξη συμμετρία χρησιμοποιείται 15 φορές. Το χωρίο 86b1-87b9 του Τίμαιου, ασχολείται με τις ασθένειες της ψυχής. Αναφέρει ότι «η υπερβολική ηδονή και ο υπερβολικός πόνος πρέπει να καταταγούν στις μεγαλύτερες ασθένειες της ψυχής». Στην παρομοίωση που χρησιμοποιεί η λέξη συμμετρία, έχει την έννοια του κανονικού: Πλάτων, Τίμαιος 86c5 «περεὶ δένδρον πολυκαρπότερον τοῦ συμμέτρου πεφυκὸς ᾖ,» «όπως στο δέντρο που παράγει περισσότερους από το κανονικό καρπούς,» Το αμέσως επόμενο χωρίο 87c1-88c6, ασχολείται με τους παράγοντες που διασφαλίζουν την υγεία του σώματος και του πνεύματος: Πλάτων, Τίμαιος 87c4-87e5 «Το καλό είναι βέβαια πάντοτε ωραίο, και το ωραίο δεν είναι ποτέ άμετρο. Άρα και για το έμβιο ον ισχύει το ίδιο: για να είναι καλό, πρέπει να διέπεται από μέτρο (σύμμετρον). Με τα κοινά μέτρα (συμμετριῶν) όμως μας συμβαίνει το εξής: διακρίνουμε και υπολογίζουμε μόνο τα σχετικά ασήμαντα, ενώ μας διαφεύγουν τα κυριότερα και τα μεγαλύτερα. Έτσι σε ότι αφορά την υγεία και την ασθένεια, την αρετή 6 Σοφοκλής, Οιδίπους Τύρρανος, Μετάφραση Τάσος Ρούσσος, Εκδόσεις Κάκτος Ανθολόγιο Φιλοσοφικών Κειμένων Γ Γυμνασίου, Σελ 26, Αθανασία Γλυκοφρύδη,Λεοντσίνη, Χριστίνα Σακελλίου, Ελένη Λεοντσίνη, Ο.Ε.Δ.Β

21 και την κακία, καμία συμμετρία ή αμετρία δεν είναι πιο σημαντική από αυτήν που υπάρχει ανάμεσα στην ίδια την ψυχή και το ίδιο το σώμα. Και όμως σε όλα αυτά δεν δίνουμε καμία προσοχή, ούτε καν τα αντιλαμβανόμαστε ωστόσο, όταν μια ισχυρή και μεγαλειώδης ψυχή προσλάβει σχετικά αδύναμη και μικροκαμωμένη σωματική μορφή, ή όταν πάλι η συνένωση των δύο καθορίζεται από την αντίστροφη ανισομέρεια, τότε το έμβιο ον ως όλον δεν είναι ωραίο, γιατί δεν έχει τις σωστές αναλογίες ως προς τις μέγιστες συμμετρίες (ἀσύμμετρον γὰρ ταῖς μεγίσταις συμμετρίαις). Ενώ ότι χαρακτηρίζεται από τέτοια συμμετρία αποτελεί το πιο ωραίο και αξιαγάπητο θέαμα για όποιον βέβαια είναι σε θέση να το δει. Ένα σώμα άμετρο, εξαιτίας ενός μακρύτερου ποδιού ή άλλης υπερτροφίας, δεν είναι μόνον άσχημο αλλά, επιπλέον, όταν μετέχει σε επίπονη εργασία προξενεί αμέτρητα κακά στον εαυτό του (μεγάλη κούραση, συχνά διαστρέμματα αλλά και πτώσεις λόγω της πλάγιας κίνησης).» 8 Στο απόσπασμα αυτό το ωραίο είναι μια όψη του καλού και προϋποθέτει συμμετρία δηλαδή σωστές αναλογίες. Στη σχέση σώματος και ψυχής επισημαίνεται το πόσο σημαντικό είναι να υπάρχει αναλογία σώματος και ψυχής και η λέξη "αμετρία" χρησιμοποιείται σαν συνώνυμο της ασυμμετρίας. Η σύνδεση της συμμετρίας με το κάλλος (ωραίο) και το αγαθό (καλό) επιβεβαιώνεται και στον "Φίληβο", έναν όψιμο διάλογο του Πλάτωνα. Το κεντρικό θέμα του διαλόγου είναι ο ρόλος της ηδονής και της φρόνησης στην ανθρώπινη ζωή. Στο ερώτημα τι είναι αγαθό, υποστηρίζει ότι ούτε η ηδονή ούτε η φρόνηση μπορούν να ταυτιστούν με το αγαθό. Απεναντίας, η αγαθότητα ταυτίζεται με τη συμμετρία το κάλλος και την αλήθεια και η φρόνηση θεωρείτε ως ένα ανώτερο από την ηδονή αγαθό, επειδή έχει μεγαλύτερη συγγένεια με αυτά τα τρία: 9 Πλάτων, Φίληβος 65a1-65a5 «ΣΩ. Οὐκοῦν εἰ μὴ μιᾷ δυνάμεθα ἰδέᾳ τὸ ἀγαθὸν θηρεῦσαι, σὺν τρισὶ λαβόντες, κάλλει καὶ συμμετρίᾳ καὶ ἀληθείᾳ, λέγωμεν ὡς τοῦτο οἷον ἓν ὀρθότατ' ἂν αἰτιασαίμεθ' ἂν τῶν ἐν τῇ συμμείξει, καὶ διὰ τοῦτο ὡς ἀγαθὸν ὂν τοιαύτην αὐτὴν γεγονέναι.» 8 Πλάτων Τίμαιος, Μετάφραση Βασίλης Κάλφας, Εκδόσεις Πόλις ΤΟ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΟ ΛΕΞΙΚΟ TOY CAMBRIDGE, Επιμελητής έκδοσης Robert Audi

22 Ο Αριστοτέλης ( π.χ.), στο βιβλίο του "Μετά τα Φυσικά", ασχολείται με την υπόσταση των μαθηματικών αντικειμένων. Συνδέει το καλό με το ωραίο και αναγνωρίζει ότι αυτά διαφέρουν επειδή το καλό συνεπάγεται πάντα δράση ενώ το ωραίο υπάρχει και στα αμετάβλητα πράγματα. Αλλά αυτό υποστηρίζει, δεν σημαίνει ότι οι μαθηματικές επιστήμες δεν λένε τίποτα για το ωραίο και το καλό. Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη, αυτοί που το ισχυρίζονται κάνουν λάθος και συνεχίζει: Αριστοτέλης, Μετά τα Φυσικά 1078a b2 «Του δε ωραίου οι κυριότερες μορφές είναι η τάξη, η συμμετρία και η ακρίβεια, πράγματα με τα οποία ασχολούνται ιδιαίτερα οι μαθηματικές επιστήμες.» Στο απόσπασμα αυτό η συμμετρία (με την έννοια της αναλογικότητας) και η ακρίβεια είναι είδη του ωραίου. Σε άλλο απόσπασμα από τα "Τοπικά" η συμμετρία είναι στοιχείο της ομορφιάς. Ο Αριστοτέλης αναφέρει ότι η υγεία είναι καλύτερη από την δύναμη και την ομορφιά, γιατί η υγεία είναι έμφυτη στα κύρια συστατικά του ζώου, ενώ η δύναμη και η ομορφιά στα δευτερεύοντα και συνεχίζει: Αριστοτέλης, Τοπικά 116b20-116b22 «Η δύναμη είναι ένα χαρακτηριστικό των νεύρων και των οστών, ενώ η ομορφιά φαίνεται να έχει σαν κύριο χαρακτηριστικό τη συμμετρία των άκρων.» Στην Ύστερη αρχαιότητα ο Κλαύδιος Πτολεμαίος (2ος μ.χ. αιώνας), χρησιμοποιεί τη λέξη συμμετρία με τη μαθηματική της έννοια που περιλαμβάνει και την έννοια της καταλληλότητας. Στο έργο του "Γεωγραφική υφήγησις", αναφέρεται στο ρόλο του χαρτογράφου στο σχεδιασμό χάρτη, στον οποίο τα διαστήματα πρέπει να είναι σε όσο το δυνατόν καλύτερη αναλογία (σύμμετρα) με τα πραγματικά. Σε ένα άλλο απόσπασμα από το βιβλίο του "Μαθηματική Σύνταξις", υποστηρίζει ότι η συμμετρία (με την έννοια της σωστής αναλογίας), σχετίζεται με το θείο και τη θεία ομορφιά. 22

23 Ο Γαληνός 10 ( μ.χ.), γράφει στο έργο του "Περί κράσεων" ότι «στη νόηση σύμμετρο είναι αυτό που ισαπέχει από τα άκρα» («οὕτω γὰρ ἐξευρήσομεν τῇ νοήσει τὸ σύμμετρον, ὅπερ ἑκατέρου τῶν ἄκρων ἴσον ἀπέχει») Και όταν ασχολείται με το κανονικό σχήμα του ανθρώπινου σώματος, αναφέρεται στο γλύπτη Πολύκλειτο και το έργο του "Κανών" «Και ένα συγκεκριμένο άγαλμα ίσως θα έπρεπε να επαινεθεί, αυτό που ονομάζεται "Κανών" του Πολυκλείτου. Έχει αυτό το όνομα λόγω της ακριβής συμμετρίας όλων των μελών μεταξύ τους» Συνοψίζοντας η λέξη συμμετρία στην αρχαία ελληνική γραμματεία έχει την έννοια αφενός του κατάλληλου ή αυτού που έχει μέτρο και αφετέρου την έννοια της ομορφιάς, αν και οι δύο σημασίες μεταφέρουν την αίσθηση της σωστής αναλογίας. Γενικά η λέξη συμμετρία στην αρχαία ελληνική γραμματεία, δεν περιορίζεται μόνο σε αντικείμενα στο χώρο, αλλά είναι μια αφηρημένη έννοια, που έχει να κάνει με την τάξη, την ομορφιά, την αρμονία και την τελειότητα. 1.3 Η έννοια της λέξης συμμετρία στα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά Στα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά, η λέξη σύμμετρος χρησιμοποιήθηκε για τα ορίσει τα μεγέθη που έχουν ρητό λόγο. Ο ορισμός των σύμμετρων και ασύμμετρων μεγεθών δίνεται στο Βιβλίο Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη: «Σύμμετρα μεγέθη λέγονται αυτά που μετρούνται με το ίδιο μέτρο και ασύμμετρα αυτά για τα οποία δεν υπάρχει κοινό μέτρο.» Η ανακάλυψη των ασύμμετρων μεγεθών είναι, χωρίς υπερβολή, η μεγαλύτερη ανακάλυψη, όχι μόνο στα Ελληνικά Μαθηματικά, αλλά στην παγκόσμια ιστορία των Μαθηματικών. Καθώς η ανακάλυψη αυτή πραγματοποιήθηκε, σύμφωνα με τις αρχαίες πηγές από τους Πυθαγόρειους, η φιλοσοφική σκέψη των Πυθαγορείων, επηρεάστηκε αποφασιστικά από αυτή την ανακάλυψη Έλληνας χριστιανός γιατρός που πραγματοποίησε σημαντικές ανακαλύψεις στην ανατομική και το έργο του έχαιρε μεγάλης εκτίμησης μέχρι την Αναγέννηση. 11 Η ανακατασκευή της Πυθαγόρειας γεωμετρίας, Σ. Νεγρεπόντη. 23

24 Οι αρχαίες πηγές 12 που αναφέρονται στην ανακάλυψη της ασυμμετρίας, γράφουν ότι η ανακάλυψη κρατήθηκε μυστική από τους Πυθαγόρειους μέχρι που κάποιος από αυτούς τη δημοσιοποίησε. Ο Πλούταρχος (περ μ.χ.) στο έργο του "Νομάς" (22,3,1-22,4,4), αναφέρει ότι οι γεωμετρικές μέθοδοι περί αρρήτων, που ήταν μυστική πραγματεία, δόθηκε στους ανάξιους (μη Πυθαγόρειοι) και η ασέβεια αυτή προκάλεσε μεγάλο «κοινό κακό». Ο Ιάμβλιχος (τέλη 3ου μ.χ. αιώνα) στο έργο του "Περί κοινής μαθηματικής Επιστήμης" (25, και 33-39), αναφέρει ότι ο Ίππασος, που ήταν Πυθαγόρειος, έγραψε πρώτος στη σφαίρα το κανονικό δωδεκάεδρο, δημοσιοποίησε την ανακάλυψή του και χάθηκε στη θάλασσα ως ασεβής. Ήθελε τη δόξα ότι αυτός τα ανακάλυψε, αλλά όλα οφείλονται στον Πυθαγόρα. Όταν αυτά διαδόθηκαν, ωφελήθηκαν ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος και ο Ιπποκράτης ο Χίος. Το κανονικό δωδεκάεδρο, έχει τις έδρες του κανονικά πεντάγωνα. Για την κατασκευή του κανονικού πενταγώνου χρειάζεται η χρυσή τομή και όταν δύο ευθύγραμμα τμήματα είναι σε λόγο χρυσής τομής είναι ασύμμετρα. Επομένως η γνώση που αποκαλύφθηκε σχετίζεται με την ασυμμετρία. Σε ένα άλλο έργο του "Πυθαγορικός Βίος" (88,13-89,4 και 246,10-247,1-7), ο Ιάμβλιχος αναφέρει ότι αυτός που αποκάλυψε τη φύση της συμμετρίας και της ασυμμετρίας στους ανάξιους να την κατανοήσουν, μισήθηκε τόσο πολύ από τους Πυθαγορείους ώστε όχι μόνο τον εξόρισαν από τις κοινές συναναστροφές και τα γεύματα, αλλά κατασκεύασαν και τάφο για αυτόν ενώ ζούσε σαν να είχε πεθάνει. Και εκείνος που αποκάλυψε το κανονικό εικοσάεδρο και δωδεκάεδρο, χάθηκε στη θάλασσα επειδή ασέβησε. Αναφέρει εδώ ξεκάθαρα ο Ιάμβλιχος ότι η γνώση των Πυθαγορείων που αποκαλύφθηκε στους ανάξιους ήταν της ασυμμετρίας και η αναφορά στο κανονικό εικοσάεδρο και δωδεκάεδρο πάλι σχετίζεται με την ασυμμετρία. Στο κανονικό εικοσάεδρο υπάρχουν επίπεδα που χρειάζεται η κατασκευή κανονικού πενταγώνου. Η Πρόταση ΧΙΙΙ.16 των Στοιχείων «Να κατασκευαστεί εικοσάεδρο, να εγγραφεί σε σφαίρα και να αποδειχθεί ότι η πλευρά του εικοσάεδρου είναι άρρητος, η καλούμενη ελλάσων» και η Πρόταση ΧΙΙΙ.17 των 12 Σημειώσεις μεταπτυχιακού μαθήματος «Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά - Στοιχεία Ευκλείδη» , Σ. Νεγρεπόντη, ΠΜΣ Διδακτικής Μαθηματικών, Μαθηματικό Τμήμα Πανεπιστημίου Αθηνών. 24

25 Στοιχείων «Να κατασκευαστεί δωδεκάεδρο, να εγγραφεί σε σφαίρα και να αποδειχθεί ότι η πλευρά του δωδεκάεδρου είναι άρρητος, η καλούμενη αποτομή», δείχνουν ξεκάθαρα την σχέση των δύο αυτών κανονικών στερεών με την ασυμμετρία. Ο Πάππος 4ος μ.χ. αιώνας (Σχόλια στο Βιβλίο Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη στα αραβικά), γράφει ότι ο πρώτος που δημοσίευσε την κοινοποίησε τις τετραγωνικές ρίζες στους υπόλοιπους πνίγηκε: "Αυτά πρέπει να τα κρατάει κανείς κρυφά και η ψυχή που από λάθος ή απροσεξία τα αποκάλυψε στον υπόλοιπο κόσμο περιπλανάται στον πόντο της ανομοιότητας". To ανώνυμο Σχόλιο 1 στο Βιβλίο Χ των Στοιχείων (Ανώνυμο Σχόλιο εις Στοιχεία Ευκλείδου Χ.1) γράφει ότι οι Πυθαγόρειοι ήταν οι πρώτοι που ξεκίνησαν τη μελέτη της ασυμμετρίας, αφού την ανακάλυψαν μέσω της παρατήρησης των αριθμών και συνεχίζει: «γιατί ενώ η μονάδα είναι κοινό μέτρο όλων των αριθμών δεν μπόρεσαν να βρουν κοινό μέτρο για όλα τα μεγέθη. Ο λόγος είναι ότι όλοι οι αριθμοί, οποιουδήποτε είδους όσο και αν διαιρεθούν αφήνουν κάποιο ελάχιστο μέρος το οποίο δεν μπορεί να υποστεί περαιτέρω διαίρεση, αλλά τα μεγέθη είναι διαιρετά επ άπειρον και δεν αφήνουν κάποιο μέρος, το οποίο να είναι το μικρότερο δυνατό και να μη δέχεται περεταίρω διαίρεση...αυτό λοιπόν γνωρίζοντας οι Πυθαγόρειοι εύρισκαν τη συμμετρία των μεγεθών όπου ήταν δυνατό. Ονόμασαν τα μεγέθη που μπορούν να μετρηθούν με το ίδιο μέτρο σύμμετρα, αλλά αυτά που δεν υπόκεινται στο ίδιο μέτρο ασύμμετρα και πάλι όσα από αυτά μετρούνται με κάποιο άλλο κοινό μέτρο σύμμετρα μεταξύ τους και όσα δεν μπορούν ασύμμετρα με τα άλλα. Έτσι υποθέτοντας τα μέτρα τους, απέδωσαν σε όλα διαφορετικές συμμετρίες αλλά παρόλο που ήταν διαφορετικές και ως προς αυτά δεν μπορούν να είναι πάντα σύμμετρα. Όλα τα μεγέθη όμως μπορούν να είναι ρητά και όλα άλογα (άρρητα) ως προς κάποιο, ως εκ τούτου το σύμμετρο και το ασύμμετρο είναι κάτι φυσικό (φύσει) ενώ το ρητό και το άλογο στηρίζεται στην υπόθεση ή τη σύμβαση (θέσει).» Selections illustrating the history of Greek Mathematics VOL 1, Ivor Thomas 1939, σελ 215 και Euclid Τhe thirteen Books of the Elements VOL 3, Sir Thomas L. Heath, Βook Χ, Introductory Note. 25

26 Το σχόλιο παρακάτω αναφέρει ότι ο πρώτος που δημοσιοποίησε τη θεωρία των αλόγων χάθηκε σε ναυάγιο γιατί καθετί άλογο και άμορφο είναι σωστό να κρύβεται. Τέλος, ο Πρόκλος ( μ.χ.) στο έργο του "Σχόλια εις Ευκλείδην" (65,15-21), μας λέει ότι Πυθαγόρας βρήκε και την ασυμμετρία και την σύσταση των κοσμικών σχημάτων δηλαδή τα πέντε κανονικά στερεά. Συνοψίζοντας, η ανακάλυψη της ασυμμετρίας αποδίδεται στη Σχολή των Πυθαγορείων με την απόδειξη της ασυμμετρίας της πλευράς προς τη διαγώνιο τετραγώνου και οι αρχές της θεωρίας των ασυμμέτρων που περιέχει το βιβλίο Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη ανάγονται στους πρώτους Πυθαγόρειους. Η ανάπτυξη της γεωμετρικής άλγεβρας, δηλαδή η χρήση γεωμετρικών αποδείξεων για την απόδειξη αλγεβρικών ταυτοτήτων, εξισώσεων και συστημάτων πρώτου και δευτέρου βαθμού και για τον υπολογισμό της τετραγωνικής και της κυβικής ρίζας αριθμών, ακολουθεί μια πορεία εξέλιξης, δια μέσου των Πυθαγορείων, στους συγχρόνους του Πλάτωνα. Στο τέλος του 5ου αιώνα π.χ. κεντρική σημασία στη γεωμετρική άλγεβρα αποκτά το πρόβλημα της ασυμμετρίας. Σημαντική συνεισφορά στην αποσαφήνιση του προβλήματος αυτού και στην έξοδο από τον μυστικισμό των Πυθαγορείων, είχε ο περίφημος γεωμέτρης Θεόδωρος ο Κυρηναίος. Ο Θεόδωρος είναι κατά το Διογένη Λαέρτιο δάσκαλος του Πλάτωνα και κατά τον Ιάμβλιχο Πυθαγόρειος. Στο διάλογο του Πλάτωνα "Θεαίτητος" (399 π.χ), εμφανίζεται σε μεγάλη ηλικία. Ο Θεαίτητος, μαθητής του Θεόδωρου και φίλος του Πλάτωνα, είχε λάβει μέρος στον Κορινθιακό πόλεμο 30 χρόνια πριν γραφτεί ο διάλογος (369 π.χ.), όπου τραυματίστηκε και πέθανε. Ο Πλάτωνας έγραψε το διάλογο αφιερωμένο στη μνήμη του, όπου περιγράφει σε μεγάλη έκταση τα προσόντα του και το χαρακτήρα του. Στο διάλογο, ο Θεαίτητος συζητά με το Σωκράτη και το Θεόδωρο τη φύση των ασύμμετρων μεγεθών. Σε ένα σύντομο χωρίο, περιγράφεται με λεπτομέρεια τι είχε βρεθεί προηγουμένως από τον Θεόδωρο και τι ανακάλυψε ο Θεαίτητος: 26

27 Πλάτων, Θεαίτητος 147d3-147e1 «ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ: Περί των πλευρών των τετραγώνων (περί δυνάμεων) κάτι σχεδίαζε αυτός εδώ ο Θεόδωρος αποδεικνύων ότι εκείνες (από των τετραγώνων με εμβαδόν) τριών και πέντε (τετραγωνικών) ποδών δεν είναι σύμμετρες ως προς το μήκος προς τη μετρική μονάδα (ποδιαία) και έτσι εξακολούθησε να λαμβάνει κάθε τετράγωνο, το ένα μετά του άλλου, μέχρι εκείνου των δέκα επτά ποδών. Σε αυτό κάπως σταμάτησε (ή: εδώ σταμάτησε).» 14 και συνεχίζει: «Μας ήρθε λοιπόν τότε στο νου κάτι σαν αυτό εδώ, επειδή οι δυνάμεις φαίνονταν να είναι άπειρες, να δοκιμάσουμε να τις συμπεριλάβουμε σε μια έννοια και με αυτήν να προσαγορεύσουμε όλες τις δυνάμεις» Ο Θεαίτητος, ονομάζει δυνάμεις «τις γραμμές που τετραγωνίζουν προμήκη αριθμό γιατί δεν μπορούν να είναι σύμμετρες ως προς το μήκος αλλά μόνο κατά το εμβαδόν». Προηγουμένως, χωρίζει τους αριθμούς σε τετράγωνους-ισόπλευρους αν μπορούν να ληφθούν σαν γινόμενο δύο ίσων παραγόντων και προμήκεις αν δεν μπορούν να ληφθούν σαν γινόμενο δύο ίσων παραγόντων. Η έκφραση "σύμμετρος ως προς το μήκος" (μήκει σύμμετρος), εμφανίζεται και στο Βιβλίο Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη και σημαίνει ότι υπάρχει κοινό μέτρο. Με σύγχρονα μαθηματικά "δύναμις" ονομάζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα α, όταν 2 2 α =Ν ρ, όπου * Ν, τετράγωνος αριθμός και ρ ευθύγραμμο τμήμα μήκους ενός ποδιού. Επομένως, σύμφωνα με το διάλογο του Πλάτωνα, ο Θεόδωρος απέδειξε ότι οι πλευρές των τετραγώνων με εμβαδά 3, 5 και μέχρι 17 τετραγωνικά πόδια είναι ασύμμετρες ως προς την πλευρά τετραγώνου μήκους ενός ποδιού. Ο Θεόδωρος απέδειξε, όπως θα λέγαμε σήμερα, την ασυμμετρία των 3, 5,... μέχρι και 17 με τη μονάδα. Δεν ξεκινάει από τη 2 και επομένως είναι λογικό να υποθέσουμε ότι η ασυμμετρία της 2 με τη μονάδα είχε ήδη αποδειχθεί. Ο Θεαίτητος μετά από αυτή τη διάλεξη βρήκε μια γενική λύση του προβλήματος που είχε επεξεργαστεί ο Θεόδωρος για λίγες περιπτώσεις. μη Ο Αριστοτέλης αναφέρει την απόδειξη της ασυμμετρίας της διαγώνιου με τη πλευρά τετραγώνου στα "Αναλυτικά Πρότερα" (41a 26-30). H απόδειξη γίνεται με απαγωγή 14 Η Αφύπνιση της Επιστήμης, B.L. Van Der Waerden, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

28 σε άτοπο αποδεικνύοντας ότι αν η διαγώνιος είναι σύμμετρη με τη πλευρά τετραγώνου ο ίδιος αριθμός θα είναι ταυτόχρονα περιττός και άρτιος. Στα "Μετά τα Φυσικά", χρησιμοποιεί το παράδειγμα της ασυμμετρίας της διαγωνίου προς τη πλευρά τετραγώνου, για να θέσει το θέμα του πως η επιστημονική έρευνα μπορεί να οδηγήσει σε συμπεράσματα που είναι αντίθετα στην ανθρώπινη διαίσθηση. Θεωρεί τη φιλοσοφία σαν την επιστήμη των πρώτων αρχών και αιτιών, ανώτερη από όλες τις άλλες επιστήμες. Η απόκτησή της μας λέει (απόσπασμα 983a11-23), οδηγεί σε μια κατάσταση αντίθετη από αυτήν που βρισκόμαστε όταν αρχίζουμε την έρευνα. Η ασυμμετρία της διαγωνίου («ἢ τὴν τῆς διαμέτρου ἀσυμμετρίαν»), προκαλεί έκπληξη στην αρχή («ἄρχονται... ἀπὸ τοῦ θαυμάζειν πάντες»), γιατί φαίνεται σε όλους εκπληκτικό ότι δεν μπορεί να μετρηθεί ακόμα και από τη μικρότερη μονάδα. Αλλά καταλήγουμε στο αντίθετο, όταν μαθαίνουμε την αιτία, γιατί δεν υπάρχει τίποτα που θα μπορούσε να εκπλήξει περισσότερο τον γεωμέτρη από το αν η διαγώνιος ήταν σύμμετρη. Η κύρια πηγή της μαθηματικής χρήσης της λέξης συμμετρίας στην Αρχαία Ελλάδα είναι τα "Στοιχεία του Ευκλείδη" (περ.300 π.χ.). Τη θεωρία των σύμμετρων και ασύμμετρων μεγεθών αναπτύσσει ο Ευκλείδης στο Βιβλίο Χ των Στοιχείων. Το Βιβλίο αυτό θεωρείται το δυσκολότερο Βιβλίο των Στοιχείων. Ο Ολλανδός μαθηματικός Simon Stevin ( ) το ονόμασε "Ο σταυρός του μαρτυρίου των μαθηματικών". Το σκοπό του Βιβλίου, αναφέρει ένα αραβικό χειρόγραφο του 1000 μ.χ. του Άραβα Aboû Othman, το οποίο είναι όπως πιστεύεται μέρος μιας χαμένης πραγματείας του Πάππου: «Ο σκοπός του Χ βιβλίου των "Στοιχείων" του Ευκλείδη είναι η έρευνα των σύμμετρων και ασύμμετρων, των ρητών και άρρητων μεγεθών. Η θεωρία αυτή έχει την αρχή της στη Σχολή του Πυθαγόρα. Αναπτύχθηκε σπουδαία από το Θεαίτητο τον Αθηναίο, ο οποίος επέδειξε στον κλάδο αυτό καθώς και σε άλλους κλάδους των μαθηματικών τέτοια οξύνοια, ώστε δίκαια να προκαλεί τον θαυμασμό. Εξ άλλου αυτός υπήρξε μια έξοχα προικισμένη διάνοια και αφοσιώθηκε με ευγενή ζήλο στην έρευνα της αλήθειας που περιέχεται στις επιστήμες, όπως μαρτυρεί και ο ομώνυμος διάλογος του Πλάτωνα. 'Όσον αφορά στις ακριβείς διακρίσεις των παραπάνω λεχθέντων μεγεθών και τις αναντίρρητες αποδείξεις των θεωρημάτων της θεωρίας αυτής, πιστεύω ότι αυτές κατά 28

29 κύριο λόγο οφείλονται στο μαθηματικό αυτό. Και αργότερα ο μέγας Απολλώνιος του οποίου η μεγαλοφυΐα στα μαθηματικά θαυμάστηκε σε μεγάλο βαθμό πρόσθεσε στις ανακαλύψεις αυτές θαυμάσιες θεωρίες μετά από πολλές προσπάθειες και εργασίες.» 15 Το Βιβλίο Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη ξεκινάει με τέσσερις ορισμούς που ορίζουν τη συμμετρία και ασυμμετρία σαν καθαρά μαθηματική έννοια: Ορισμός 1: Σύμμετρα μεγέθη λέγονται αυτά που μετρούνται με το ίδιο μέτρο και ασύμμετρα αυτά για τα οποία δεν υπάρχει κοινό μέτρο. Ορισμός 2: Ευθείες δυνάμει σύμμετρες λέγονται εκείνες που τα τετράγωνά τους μετρούνται από το ίδιο εμβαδόν και δυνάμει ασύμμετρες λέγονται οι ευθείες των οποίων τα τετράγωνα δεν μπορούν να έχουν οποιοδήποτε εμβαδόν κοινό μέτρο. Ορισμός 3: Για μια δοθείσα ευθεία, αποδεικνύεται ότι υπάρχουν άπειρες το πλήθος ευθείες σύμμετρες και ασύμμετρες με αυτήν, άλλες μόνο ως προς το μήκος και άλλες δυνάμει ασύμμετρες. Η δοθείσα ευθεία θα καλείται ρητή και οι ευθείες που είναι σύμμετρες με αυτήν είτε ως προς το μήκος και δυνάμει είτε μόνο δυνάμει θα καλούνται ρητές, οι δε ασύμμετρες προς αυτήν θα καλούνται άλογες (άρρητες). Ορισμός 4: Το τετράγωνο της δοθείσας ευθείας θα καλείται ρητό και τα σύμμετρα με αυτό ρητά και τα ασύμμετρα άλογα. Οι ευθείες που είναι πλευρές άλογων τετράγωνων είναι επίσης άλογες και αν πρόκειται για άλλα ευθύγραμμα σχήματα οι πλευρές των ισοδύναμων με αυτά τετραγώνων. Ο Ευκλείδης κάνει το διαχωρισμό σε ευθείες σύμμετρες ή ασύμμετρες ως προς το μήκος (μήκει σύμμετρες) και δυνάμει σύμμετρες ή ασύμμετρες. Οι δυνάμει σύμμετρες ή ασύμμετρες ευθείες (ευθύγραμμα τμήματα) είναι αυτές που τα τετράγωνά τους είναι σύμμετρα ή ασύμμετρα. Όπως εξηγείται στο Πόρισμα πριν την Πρόταση 10 του Βιβλίου X, όλες οι ευθείες που είναι σύμμετρες ως προς το μήκος είναι και δυνάμει σύμμετρες, αλλά οι ευθείες που είναι δυνάμει σύμμετρες δεν είναι όλες σύμμετρες και ως προς το μήκος. 15 Απόδοση στα νέα ελληνικά της ελληνικής μετάφρασης του Ευάγγελου Σταμάτη από το Βιβλίο ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΠΕΡΙ ΑΣΥΜΜΕΤΡΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΒΙΒΛΙΟΝ Χ, Εθνικό Τυπογραφείο

30 Ο Ορισμός 3 εισάγει την έννοια των ρητών και άρρητων ευθειών. Η σχετικότητα των όρων ρητός και άρρητος φανερώνεται από τον ορισμό. Μπορούμε να πάρουμε οπουδήποτε ευθύγραμμο τμήμα, να το ονομάσουμε ρητό και να ταξινομήσουμε τα άλλα ευθύγραμμα τμήματα σαν ρητά ή άρρητα σε σχέση με αυτό. Επίσης η σημασία του ρητού στον Ευκλείδη είναι ευρύτερη από τη σημερινή. Μια ευθεία δεν είναι ρητή μόνο αν είναι σύμμετρη ως προς το μήκος με μια ρητή ευθεία, αλλά είναι ρητή ακόμα και αν είναι δυνάμει σύμμετρη με μια ρητή ευθεία. Δηλαδή σε σύγχρονα μαθηματικά, αν ρ είναι ένα ρητό ευθύγραμμο τμήμα, τότε το m n ρ είναι ρητό, όπου n ρ είναι επίσης ρητό. Επειδή ο Ευκλείδης επεκτείνει τη σημασία του όρου ρητός, περιορίζει την έκταση του όρου άλογος (άρρητος). Άλογες ευθείες είναι οι ευθείες που δεν είναι σύμμετρες ούτε ως προς το μήκος ούτε δυνάμει με τη δοθείσα ρητή ευθεία. * mn, και m n ανάγωγο κλάσμα που δεν είναι τετράγωνο και το m Με τον Ορισμό 4 οι όροι ρητός και άλογος (άρρητος) εφαρμόζονται στα εμβαδά. Σύμφωνα με τον Ευκλείδη σε σύγχρονα μαθηματικά, αν ρ είναι ένα ρητό ευθύγραμμο τμήμα, το κ ή 2 2 ρ είναι ρητό και κάθε εμβαδό σύμμετρο με αυτό (της μορφής κ ρ όπου m * κ =, mn, και κ δεν είναι τετράγωνο) είναι ρητό ενώ κάθε εμβαδό n 2 της μορφής κ ρ είναι άρρητο. 16 Μετά τους τέσσερις ορισμούς ακολουθούν 115 προτάσεις, όπου αναπτύσσεται όλη η θεωρία των ασυμμέτρων. Ορίζονται τρείς θεμελιώδεις άλογες ευθείες, η μέση, η εκ δύο ονομάτων (διώνυμος) και η αποτομή και αποδεικνύεται ότι οι νέου είδους ευθείες είναι άλογες, μη αναγόμενες η μία στην άλλη. Κατόπιν οι διώνυμες διαιρούνται σε έξι υποκατηγορίες και οι έξι περιπτώσεις οδηγούν σε δεκατρείς τύπους άλογων ευθύγραμμων τμημάτων, οι οποίοι είναι μη αναγόμενοι ο ένας στον άλλο, επειδή σε 16 EUCLID THE THIRTEEN BOOKS OF THE ELEMENTS VOL 3, Sir Thomas L. Heath, Dover Publications, Definitions. 30

31 όλες τις περιπτώσεις τα τετράγωνα έχουν αλληλοαποκλειόμενες ιδιότητες. Για παράδειγμα, το τετράγωνο από μια μέση είναι μέση επιφάνεια. 17 Μια περίληψη του Βιβλίου Χ των Στοιχείων στην "Penny Cyclopaedia" 18 στο Λήμμα "Irrational quantity" (Άρρητη ποσότητα), γράφει ότι ο Ευκλείδης στο Βιβλίο Χ, ερευνά κάθε δυνατό είδος ευθείας που μπορεί να παρασταθεί στη μορφή ( a ± b) όπου ab, είναι σύμμετρες ευθείες. Όπως παρατηρεί ο T. L. Heath, στο εισαγωγικό σημείωμα της έκδοσης του Βιβλίου Χ και ο Van Der Waerden στην "Αφύπνιση της Επιστήμης", το Βιβλίο Χ των Στοιχείων συνδέεται στενά με το Βιβλίο XIII, που περιέχει τη θεωρία των κανονικών πολυέδρων. Όπως στο 10ο έτσι και στο 13ο Βιβλίο χρησιμοποιούνται κυρίως οι μέθοδοι της γεωμετρικής άλγεβρας και παρουσιάζουν αναντίρρητη ομοιότητα και στα δύο Βιβλία. Οι δε τύποι των αρρήτων που έχουν μελετηθεί και ταξινομηθεί στο 10ο Βιβλίο εμφανίζονται στις πλευρές των κανονικών πολυέδρων στο 13ο. Ο Αρχιμήδης ( π.Χ.) κατόρθωσε να επεκτείνει το πεδίο εφαρμογής των μαθηματικών στο φυσικό κόσμο πέρα από τη Γεωμετρία, στην Οπτική, τη Μηχανική και την Υδροστατική. Συνήθιζε να στέλνει τις μαθηματικές του ανακαλύψεις, πριν τις δημοσιεύσει, στους φίλους του στην Αλεξάνδρεια, κυρίως στον Κόνωνα και μετά τον θάνατό του στον Δοσίθεο μαθητή του Κόνωνα. Στη μαθηματική του πραγματεία "Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου" στον Πρόλογο του Βιβλίου 1, απευθύνεται στο Δοσίθεο και αναφέρει ότι ανακάλυψε θεωρήματα άξια λόγου και ασχολήθηκε με τις αποδείξεις τους, μεταξύ άλλων ότι «η επιφάνεια κάθε σφαίρας είναι τετραπλάσια του μεγίστου κύκλου της» και ότι «ο κύλινδρος που έχει βάση μέγιστο κύκλο σφαίρας και ύψος ίσο με τη διάμετρό της, έχει όγκο ίσο με τα 32 του όγκου της σφαίρας και η επιφάνειά του είναι επίσης τα 32 της επιφάνειας της σφαίρας.» και συνεχίζει: 17 Η ΑΦΥΠΝΙΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ, B.L. Van Der Waerden, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης 2003, σελ Η "Penny Cyclopaedia" της "Εταιρείας για τη Διάδοση των Χρήσιμων Γνώσεων" (Society for the Diffusion of Useful Knowledge), ήταν μια Αγγλική εγκυκλοπαίδεια σε είκοσι επτά τόμους και τρία συμπληρώματα που δημοσιεύθηκαν το διάστημα

32 «Οι ιδιότητες αυτές προϋπήρχαν φυσικά στα αναφερθέντα σχήματα, αγνοούνταν όμως από αυτούς που ασχολήθηκαν με τη γεωμετρία πριν από εμάς και κανένας από αυτούς δεν είχε ανακαλύψει ότι μεταξύ αυτών των σχημάτων υπάρχει συμμετρία.» Από τις ανακαλύψεις που αναφέρει ο Αρχιμήδης προηγουμένως και τις σχέσεις που προκύπτουν, φαίνεται ότι η συμμετρία χρησιμοποιείται με την έννοια του σύμμετρου, δηλαδή οι ορισμοί των γεωμετρικών σχημάτων που αναφέρονται ενέχουν γεωμετρικά μεγέθη τα οποία είναι σύμμετρα, με άλλα λόγια έχουν κοινό μέτρο. Ο Αρχιμήδης βρήκε επίσης τις εξισώσεις ισορροπίας απλών μοχλών και υπολόγισε τα κέντρα βάρους. Σύμφωνα με την παράδοση, ενθουσιασμένος για την ανακάλυψη των δυνατοτήτων των μοχλών είπε τη φράση: «Δός μοι πᾷ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω» δηλαδή «δώσε μου πού να σταθώ και τη γη θα κινήσω». Στη φυσική του πραγματεία "Περί επιπέδων ισορροπιών", Βιβλίο 1, χρησιμοποιεί τη λέξη συμμετρία με τη μαθηματική της έννοια, στις Προτάσεις 6 και 7, όπου διατυπώνει το Νόμο των Μοχλών και της Ισορροπίας των Βαρών: «Πρόταση 6: Τα σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις των οποίων ο λόγος είναι αντιστρόφως ανάλογος προς το λόγο των βαρών.» «Πρόταση 7: Αλλά και ασύμμετρα αν είναι τα μεγέθη, όμοια θα ισορροπήσουν σε αποστάσεις που έχουν λόγο αντιστρόφως ανάλογο προς το λόγο των μεγεθών.» 1.4 Η εξέλιξη της έννοιας της συμμετρίας στην Αρχιτεκτονική Τα ιστορικά στοιχεία δείχνουν ότι οι όροι σύμμετρος και ασύμμετρος που συναντάμε στα μαθηματικά κείμενα του Πλάτωνα, Αριστοτέλη, Ευκλείδη και Αρχιμήδη, που εκφράζουν τη σχέση δύο συνεχών μεγεθών που έχουν ή δεν έχουν κοινό μέτρο, δεν πέρασαν αυτούσιοι στις μεταφράσεις των έργων των Αρχαίων Ελλήνων στα Αραβικά και στα Λατινικά. Οι όροι αποδόθηκαν στα Λατινικά από τα Αρχαία Ελληνικά ετυμολογικά, με τις λέξεις "commensurabiles" και "incommensurabiles", ενώ συναντάμε και τους τύπους "communicantes" και "incommunicantes" σε μεσαιωνικές μεταφράσεις των Στοιχείων του Ευκλείδη από τα Αραβικά στα Λατινικά. Σε ορισμένες περιπτώσεις, ο Λατινικός όρος που υιοθετήθηκε αλλάζει νόημα, όπως στο 32

33 έργο του Βοήθιου 19 "Institutio arithmetica", όπου ο όρος "incommensurabiles" χρησιμοποιείται για αριθμούς (ακέραιους) που είναι σχετικά πρώτοι. Η εξέλιξη της λέξης συμμετρία με την έννοια της σωστής αναλογίας, που συναντάμε στην Αρχαία Ελληνική Γραμματεία και έχει σχέση με το καλό και το ωραίο, συνδέεται με την Αρχιτεκτονική 20. Ο Βιτρούβιος ήταν Ρωμαίος συγγραφέας, αρχιτέκτονας και μηχανικός που έζησε τον 1ο αιώνα π.χ. Είναι κυρίως γνωστός για την πραγματεία του περί αρχιτεκτονικής "De architectura", έργο που σήμερα αναφέρεται με τον τίτλο "Δέκα Βιβλία Αρχιτεκτονικής" και αποτελεί το μοναδικό κείμενο αρχιτεκτονικής θεωρίας και πρακτικής που διασώζεται από την κλασική εποχή. Το έργο αυτό βασισμένο στα ελληνικά διδάγματα, επέζησε για σχεδόν δύο χιλιετίες και απετέλεσε το σημείο εκκίνησης για τις σπουδές στην Τέχνη και τη Μηχανική. Ο Βιτρούβιος στο έργο του χρησιμοποίησε τη λέξη "summetria" για να αποδώσει το νόημα της αναλογίας, μεταφέροντας στα λατινικά την ελληνική λέξη συμμετρία. Το 2ο Βιβλίο της "De architectura" ξεκινάει προσδιορίζοντας τις Θεμελιώδεις Αρχές της Αρχιτεκτονικής: «Η Αρχιτεκτονική βασίζεται στην Τάξη, τη Διάθεση, την Ευρυθμία, τη Συμμετρία, την Κοσμιότητα και την Οικονομία.» Τάξη είναι ο σχεδιασμός και η διάρθρωση του οικοδομήματος με απόλυτη αίσθηση του μέτρου και της σωστής αναλογίας των μερών με το γενικό σύνολο. Διάθεση είναι η κατάλληλη διάταξη των στοιχείων. Ευρυθμία είναι η όμορφη εμφάνιση των μερών ξεχωριστά αλλά και σαν σύνολο. Οικονομία είναι η ισορροπημένη και η μη αλόγιστη κατανομή των υλικών καθώς και η προσεγμένη διάθεση του συνολικού χώρου. Συμμετρία όπως γράφει ο Βιτρούβιος: «Η συμμετρία είναι η κατάλληλη συμφωνία μεταξύ των μερών του έργου και η σχέση μεταξύ των διαφορετικών μερών και του συνόλου, σύμφωνα με ένα μέρος επιλεγμένο 19 Λατίνος φιλόσοφος και πολιτικός που άκμασε στο τέλος του 5ου και αρχές του 6ου αιώνα μ.χ. 20 From Summetria to Symmetry: The Making of a Revolutionary Scientific Concept, Giora Hon, Bernard R. Goldstein, Springer 2008, Κεφ 4. 33

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή Η ιδέα, ότι όλα τα υλικά πράγµατα συντίθενται από αυτά τα τέσσερα πρωταρχικά στοιχεία, αποδίδεται στον προγενέστερό Εµπεδοκλή, Έλληνα φιλόσοφο, ποιητή και πολιτικό [493-433 π.χ.] που γεννήθηκε στον Ακράγαντα

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά περί Συμμετρίας

1. Γενικά περί Συμμετρίας 1. Γενικά περί Συμμετρίας ιδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε να... o αναφέρετε τη διττή σημασία της έννοιας της συμμετρίας από την αρχαία Ελλάδα μέχρι και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 2 Εισαγωγή... 3 Οι αρχές του σύμπαντος κατά τον Αριστοτέλη... 3 Ο υποσελήνιος χώρος... 3 Ο χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Θαλής ο Μιλήσιος

Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Θαλής ο Μιλήσιος ΕΝΟΤΗΤΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ Κείμενο 1 Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Είναι γνωστό πως στην Αρχαία Ελλάδα γίνονται τα πρώτα σημαντικά βήματα για την ανάπτυξη των επιστημών,

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2011 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Υπολογισμός (ακρίβεια έως 5 δεκαδικά) Yale Babylonian collection, 1800 π.χ. 24 51 10 1+ + + = 1.41421296 2 3 60 60 60 Τετραγωνική ρίζα του 2 Ποια είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Μακρή EFIAP. www.michalismakri.com

Μιχάλης Μακρή EFIAP. www.michalismakri.com Μιχάλης Μακρή EFIAP www.michalismakri.com Γιατί κάποιες φωτογραφίες είναι πιο ελκυστικές από τις άλλες; Γιατί κάποιες φωτογραφίες παραμένουν κρεμασμένες σε γκαλερί για μήνες ή και για χρόνια για να τις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT Βασιλίσιν Μιχάλης, Δέφτο Χριστίνα, Ιλινιούκ Ίον, Κάσα Μαρία, Κουζμίδου Ελένη, Λαμπαδάς Αλέξης, Μάνε Χρισόστομος, Μάρκο Χριστίνα, Μπάμπη Χριστίνα, Σακατελιάν Λίλιτ, Σαχμπαζίδου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο Το Πυθαγόρειο θεώρημα: μία διάσημη μαθηματική σχέση στον εργαστηριακό πάγκο της Φυσικής Παναγιώτης Μουρούζης Το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο συνήθως περιγράφεται φορμαλιστικά από μία σχέση της μορφής 2

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

Αισθητική φιλοσοφία της τέχνης και του ωραίου

Αισθητική φιλοσοφία της τέχνης και του ωραίου Αισθητική φιλοσοφία της τέχνης και του ωραίου Αικατερίνη Καλέρη, Αν. Καθηγήτρια το μάθημα Αισθητική διδάσκεται στο 4ο έτος, Ζ εξάμηνο εισάγει στις κλασσικές έννοιες και θεωρίες της φιλοσοφίας της τέχνης

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ LypCh1:Layout 1 copy 11/13/08 8:53 PM Page 3 ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΛΥΠΟΥΡΛΗΣ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ ΑΠΟ ΤΟΝ ΟΜΗΡΟ ΣΤΟΝ ΙΠΠΟΚΡΑΤΗ ΚΕΙΜΕΝΑ ΚΑΙ ΕΙΚΟΝΕΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2008 LypCh1:Layout 1 copy 11/13/08 8:53 PM Page

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ στη «ΝΑΥΤΙΛΙΑ»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ στη «ΝΑΥΤΙΛΙΑ» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ στη «ΝΑΥΤΙΛΙΑ» ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Α. ΓΕΝΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΕΚΠΟΝΗΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Το παιχνίδι tangram. PIERCE Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Μαθητε ς/τριες Γ, Β και Α Γυμνασι ου3, 2, 1. sdoukakis@acg.edu

Το παιχνίδι tangram. PIERCE Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Μαθητε ς/τριες Γ, Β και Α Γυμνασι ου3, 2, 1. sdoukakis@acg.edu Το παιχνίδι tangram Ανδριανού Αφροδίτη 3, Γεωργιάδης Μάρκος 2, Γεωργιάδης Μάριος 1, Δεσποτάκης Γεράσιμος 2, Καραμπάσης Κλείτος 2, Κουτσιούμπας Ευριπίδης 1, Μελένιου Μιράντα 2, Ξενάκης Αριστοτέλης 1, Παπαβασιλόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 Στο σημείο αυτό του οδοιπορικού γνωριμίας με τις διάφορες μεθόδους αυτογνωσίας θα συναντήσουμε την Αστρολογία και θα μιλήσουμε για αυτή. Θα ερευνήσουμε δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Αρχικά σπούδασε Ιατρική, όμως ο καθηγητής του Οστίλιο Ρίτσι (μαθηματικός) τον έστρεψε στις Θετικές Επιστήμες.

Αρχικά σπούδασε Ιατρική, όμως ο καθηγητής του Οστίλιο Ρίτσι (μαθηματικός) τον έστρεψε στις Θετικές Επιστήμες. Γαλιλαίος (1581-1643) Γεννήθηκε στην Πίζα το 1581 Αρχικά σπούδασε Ιατρική, όμως ο καθηγητής του Οστίλιο Ρίτσι (μαθηματικός) τον έστρεψε στις Θετικές Επιστήμες. Ως δευτεροετής φοιτητής ανακάλυψε: 1. Τον

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ. ΣΧΕΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Πολυτίδης Δημήτρης. 1 ο ΕΤΟΣ

ΣΧΟΛΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ. ΣΧΕΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Πολυτίδης Δημήτρης. 1 ο ΕΤΟΣ ΣΧΟΛΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ ΣΧΕΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Πολυτίδης Δημήτρης 1 ο ΕΤΟΣ 1 η φάση: Ερώτημα συζήτησης: Που χρησιμοποιείται τη γεωμετρία στην εργασία σας και στην καθημερινή σας ζωή. (Μια διδακτική ώρα).

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Το παραμύθι της Επιπεδίας

Το παραμύθι της Επιπεδίας Το παραμύθι της Επιπεδίας Ιστορία του J.Weeks, βασισμένη σε ιδέες του μυθιστορήματος Flatland: a romance in many dimensions, του E.A.Abbott, το οποίο δημοσιεύτηκε το 1884, και στο οποίο βασίστηκε το κινηματογραφικό

Διαβάστε περισσότερα

Στη μορφολογία πρέπει αρχικά να εξετάσουμε το γενικό σχήμα του προσώπου.

Στη μορφολογία πρέπει αρχικά να εξετάσουμε το γενικό σχήμα του προσώπου. ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ Στη μορφολογία πρέπει αρχικά να εξετάσουμε το γενικό σχήμα του προσώπου. Διακρίνουμε τα εξής σχήματα - Οβάλ - Οβάλ μακρύ - Ορθογωνικό - Στρογγυλό - Τετραγωνικό - Τριγωνικό - Εξαγωνικό - Τραπεζοειδές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΡΧΑΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΡΧΑΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΡΧΑΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ A.1. ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ Επομένως, ούτε εκ φύσεως, αλλά ούτε και αντίθετα προς τη φύση μας υπάρχουν μέσα μας οι αρετές, αλλά έχουμε από τη φύση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟ Το κεφάλαιο αυτό γράφτηκε από το Βαγγέλη Δρίβα Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την συμμετρία στο επίπεδο. Αυτή έχει την έννοια της μεταφοράς όλων των σημείων ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Ιωάννης Λιακόπουλος 1, Χαράλαμπος Λυπηρίδης 2 1 Μαθητής B Λυκείου, Εκπαιδευτήρια «Ο Απόστολος Παύλος» liakopoulosjohn0@gmail.com, 2 Μαθητής

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΩΤΙΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ «ΡΟΔΙΩΝ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΡΑΠΤΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΥΠΟΤΡΟΦΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-2015 ΡΟΔΟΣ, 22 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014

ΙΔΙΩΤΙΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ «ΡΟΔΙΩΝ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΡΑΠΤΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΥΠΟΤΡΟΦΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-2015 ΡΟΔΟΣ, 22 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΙΔΙΩΤΙΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ «ΡΟΔΙΩΝ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΡΑΠΤΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΥΠΟΤΡΟΦΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-2015 ΒΑΘΜΙΔΑ: ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΤΑΞΗ: ΣΤ ΡΟΔΟΣ, 22 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 Διάβασε προσεκτικά τις ερωτήσεις και προσπάθησε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

Νηπιαγωγείο - Δημοτικό

Νηπιαγωγείο - Δημοτικό Νηπιαγωγείο - Δημοτικό Το πρόγραμμα «Τέχνη και Μαθηματικά» για το νηπιαγωγείο δημοτικό, αποτελείται από τρία διδακτικά μέρη, δύο εκ των οποίων είναι κοινά για τους μαθητές όλων των τάξεων (Μέρη Α & Β )

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 Περίληψη Η Αλίκη µισεί τα µαθηµατικά και θεωρεί πως δε χρησιµεύουν σε τίποτα. Μια µέρα που κάθεται και διαβάζει στο πάρκο, ένα παράξενο άτοµο την προσκαλεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΑΡΧΑΙΟ ΘΕΑΤΡΟ ΤΗΣ ΛΙΝΔΟΥ ΣΟΦΙΑ ΒΑΣΑΛΟΥ ΒΠΠΓ

ΤΟ ΑΡΧΑΙΟ ΘΕΑΤΡΟ ΤΗΣ ΛΙΝΔΟΥ ΣΟΦΙΑ ΒΑΣΑΛΟΥ ΒΠΠΓ ΤΟ ΑΡΧΑΙΟ ΘΕΑΤΡΟ ΤΗΣ ΛΙΝΔΟΥ ΣΟΦΙΑ ΒΑΣΑΛΟΥ ΒΠΠΓ Περιγραφή μνημείου Το αρχαίο θέατρο της Λίνδου διαμορφώνεται στους πρόποδες της δυτικής πλαγιάς του βράχου της λινδιακής ακρόπολης. Το κοίλο χωρίζεται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë Tα βασικά σημεία του μαθήματος Η Γη είναι ένα ουράνιο σώμα, που κινείται συνεχώς στο διάστημα. Το σχήμα της είναι γεωειδές, δηλαδή είναι ελαφρά συμπιεσμένο στις κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο: Όνοµα: Όνοµα πατέρα: e-mail: ιεύθυνση: Τηλέφωνο: Εξεταστικό Κέντρο: Σχολείο προέλευσης: Τάξη: Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για µαθητές της ' και ' τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo;

Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo; Κεφάλαιο 2 Εισαγωγή Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo; Η Logo είναι μία από τις πολλές γλώσσες προγραμματισμού. Κάθε γλώσσα προγραμματισμού έχει σκοπό τη δημιουργία προγραμμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Α ΚΥΚΛΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ. Ο Α Κύκλος Σπουδών οδηγεί στην απόκτηση μεταπτυχιακού διπλώματος ειδίκευσης στην «Οπτική και Όραση».

Α ΚΥΚΛΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ. Ο Α Κύκλος Σπουδών οδηγεί στην απόκτηση μεταπτυχιακού διπλώματος ειδίκευσης στην «Οπτική και Όραση». Α ΚΥΚΛΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ Ο Α Κύκλος Σπουδών οδηγεί στην απόκτηση μεταπτυχιακού διπλώματος ειδίκευσης στην «Οπτική και Όραση». 1. Προϋποθέσεις για τη λήψη Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης (Μ.Δ.Ε.) Κάθε Μεταπτυχιακός

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Χ Ρ Η Σ Η Γ Λ Ω Σ Σ Α Σ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 0 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Χ Ρ Η Σ Η Γ Λ Ω Σ Σ Α Σ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 0 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Χ Ρ Η Σ Η Γ Λ Ω Σ Σ Α Σ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 0 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ 1 Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ Ε Υ Μ Α Τ Ω Ν Κ Ε Ν Τ Ρ Ο Ε Λ Λ

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε.

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. «Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Μπολοτάκης Γιώργος Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, Διευθυντής Γυμνασίου Αγ. Αθανασίου Δράμας, Τραπεζούντος 7, Άγιος Αθανάσιος,

Διαβάστε περισσότερα

Διδαγμένο κείμενο. Ἀριστοτέλους Πολιτικά (Α1,1/Γ1,2/Γ1,3-4/6/12)

Διδαγμένο κείμενο. Ἀριστοτέλους Πολιτικά (Α1,1/Γ1,2/Γ1,3-4/6/12) Διδαγμένο κείμενο Ἀριστοτέλους Πολιτικά (Α1,1/Γ1,2/Γ1,3-4/6/12) Ἐπειδὴ πᾶσαν πόλιν ὁρῶμεν κοινωνίαν τινὰ οὖσαν καὶ πᾶσαν κοινωνίαν ἀγαθοῦ τινος ἕνεκεν συνεστηκυῖαν (τοῦ γὰρ εἶναι δοκοῦντος ἀγαθοῦ χάριν

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Νεοελληνική Γλώσσα Β Λυκείου ΚΑΛΥΒΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΙΩΑΝΝΑ

Νεοελληνική Γλώσσα Β Λυκείου ΚΑΛΥΒΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΙΩΑΝΝΑ ΚΩΔΙΚΟΣ ΘΕΜΑΤΟΣ: 18673 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 16/12/2014 ΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ: ΚΑΛΥΒΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΙΩΑΝΝΑ ΚΕΙΜΕΝΟ Η ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΗΣ Α. Ο συγγραφέας του παρόντος κειμένου παρουσιάζει τον προβληματισμό του αναφορικά με

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙ ΟΙΚΩΝ. Τεταρτημόρια

ΠΕΡΙ ΟΙΚΩΝ. Τεταρτημόρια ΠΕΡΙ ΟΙΚΩΝ Οι οίκοι είναι ένα από τα κυριότερα ερμηνευτικά μέσα που χρησιμοποιεί η αστρολογία. Μαζί με τους πλανήτες, τα ζώδια και τις όψεις αποτελούν τις βασικές αρχές στις οποίες στηρίζεται η ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ. Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ. Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012»

Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ. Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ. Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ Χαρτογραφία στην Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Τάξη

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο

Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο Α Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να γνωρίσουν οι μαθητές τα υλικά που χρειάζονται για το ελεύθερο σχέδιο και τον τρόπο που θα τα

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project

Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project Σην παρουσίαση των διδασκαλιών ή των project μπορούμε να ακολουθήσουμε την φόρμα που παρουσιάζεται παρακάτω. Μια παρουσίαση σύντομη και μια λεπτομερής.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Κατασκευή: Το μονόχορδο του Πυθαγόρα 2005-2006 Τόλιας Γιάννης Α1 Λ Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Α. Τσαγκογέωργα Περιεχόμενα: Τίτλος Εργασίας Σκοπός Υπόθεση (Περιγραφή Κατασκευής) Ορισμός Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

Η επιστημονική και καλλιτεχνική δημιουργία ως αρωγοί στην εκπαιδευτική διαδικασία

Η επιστημονική και καλλιτεχνική δημιουργία ως αρωγοί στην εκπαιδευτική διαδικασία Η επιστημονική και καλλιτεχνική δημιουργία ως αρωγοί στην εκπαιδευτική διαδικασία Β. Δρακόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Ε.Κ.Π.Α. Σχολή Θετικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

Ορτυγία. Κάντε κλικ για να επεξεργαστείτε τον υπότιτλο του υποδείγματος

Ορτυγία. Κάντε κλικ για να επεξεργαστείτε τον υπότιτλο του υποδείγματος Ορτυγία Κάντε κλικ για να επεξεργαστείτε τον υπότιτλο του υποδείγματος Τοποθεσία Πού βρίσκεται; Το νησί της Ορτυγίας βρίσκεται στην κάτω Ιταλία στις Συρακούσες. Τα αξιοθέατα: Ο ναός του Απόλλωνα üη πλατεία

Διαβάστε περισσότερα