Διπλωματική Εργασία. «Συμμετρία: Μια διαδρομή από τις απαρχές της έννοιας μέχρι τη σύγχρονη μαθηματική της διατύπωση»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διπλωματική Εργασία. «Συμμετρία: Μια διαδρομή από τις απαρχές της έννοιας μέχρι τη σύγχρονη μαθηματική της διατύπωση»"

Transcript

1 Διπλωματική Εργασία «Συμμετρία: Μια διαδρομή από τις απαρχές της έννοιας μέχρι τη σύγχρονη μαθηματική της διατύπωση» ΜΙΧΑΛΟΠΟΥΛΟΥ ΜΕΤΑΞΙΑ Α.Μ. Δ Επιβλέπων Καθηγητής Λάππας Διονύσιος ΑΘΗΝΑ

2 Η παρούσα Διπλωματική Εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης που απονέμει το Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών» Εγκρίθηκε την από Εξεταστική Επιτροπή αποτελούμενη από τους : Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα Υπογραφή 1) Λάππας Διονύσιος (επιβλέπων Καθηγητής) Aν. Καθηγητής. 2) Ράπτης Ευάγγελος Καθηγητής. 3) Σπύρου Παναγιώτης Aν. Καθηγητής. 2

3 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω: Τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Λάππα Διονύσιο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε, την καθοδήγησή του και τις συμβουλές του σε κάθε βήμα της εκπόνησης της Διπλωματικής μου Εργασίας και το χρόνο που μου διέθεσε. Τους καθηγητές κ. Ράπτη Ευάγγελο και κ. Σπύρου Παναγιώτη που με τίμησαν με τη συμμετοχή τους στην Εξεταστική Επιτροπή. Τους διδάσκοντες του Π.Μ.Σ. "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών". Την κ. Διονυσία Μπακογιάννη, για την βοήθειά της, τη προθυμία και την άμεση ανταπόκρισή της σε οτιδήποτε χρειάστηκα. Τους συμφοιτητές και φίλους που γνώρισα κατά τη διάρκεια των σπουδών μου, για τη συνεργασία τους, την αλληλοϋποστήριξη και τις ιδέες τους. Τον αείμνηστο καθηγητή μου κ. Ανδρεαδάκη Στυλιανό, για το ενδιαφέρον του, την βοήθειά του και τον χρόνο που μου διέθεσε. Τους συναδέλφους καθηγητές του 1ου ΕΠΑ.Λ. Κορωπίου, για τη συμπαράσταση και τη βοήθεια που μου προσέφεραν. Την οικογένειά μου, για τη κατανόηση και την υπομονή της. 3

4 Στον πατέρα μου και στους φίλους μου. 4

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περίληψη 7 Κεφάλαιο 1 - Η Ιστορία της Λέξης Συμμετρία 1.1 Εισαγωγή Η έννοια της λέξης συμμετρία στην Αρχαία Ελληνική Γραμματεία Η έννοια της λέξης συμμετρία στα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά Η εξέλιξη της έννοιας της συμμετρίας στην Αρχιτεκτονική Η συμμετρία την Πρώιμη Σύγχρονη Εποχή Η χρήση της λέξης συμμετρία στη Φυσική Ιστορία τον 18ο και 19ο αιώνα Βοτανολογία Κρυσταλλογραφία Ζωολογία Η χρήση της λέξης συμμετρία από τους μαθηματικούς της εποχής της Γαλλικής Επανάστασης Laplace Monge Legendre Lacroix Η Mαθηματική διατύπωση της συμμετρίας Η Ταξινόμηση των Πεπερασμένων Απλών Ομάδων 64 Κεφάλαιο 2 - Τα Μαθηματικά της Συμμετρίας 2.1 Μετασχηματισμοί στο Ευκλείδειο Επίπεδο Ομοπαραλληλικοί Μετασχηματισμοί και Ισομετρίες Ταξινόμηση των Ισομετριών του Επιπέδου Τα Θεωρήματα των Ισομετριών στο Ευκλείδειο Επίπεδο Ισομετρίες στο Χώρο Ομάδες συμμετρίας Θεμελιώδης Περιοχή Οι συμμετρίες του τετραγώνου και του κανονικού εξαγώνου 96 Κεφάλαιο 3 - Ομάδες Συμμετρίας στη Διακοσμητική Τέχνη 3.1 Εισαγωγή Οι Ομάδες Συμμετρίας των Ροζετών G Οι Ροζέτες στη Διακοσμητική Τέχνη Οι Ομάδες Συμμετρίας των Ζωοφόρων G Οι Διακοσμητικές Λωρίδες στη Διακοσμητική Τέχνη Ταξινόμηση των Περιοδικών Μοτίβων και Ορολογία 124 5

6 3.7 Οι Ομάδες Συμμετρίας Διακοσμητικού Σχεδίου Κάλυψης του Επιπέδου G Ομάδες Συμμετρίας Διακοσμητικού Σχεδίου Κάλυψης του Επιπέδου και Διακοσμητική Τέχνη 135 Κεφάλαιο 4 - Συμμετρία Ομοιότητας 4.1 Εισαγωγή Διαστολή Λογαριθμική Σπείρα Μετασχηματισμοί Ομοιότητας στο Επίπεδο Ομάδες Συμμετρίας Ομοιότητας Οι Ομάδες Συμμετρίας Ομοιότητας στη Διακοσμητική Τέχνη Αυτοομοιότητα στη Φύση και Φράκταλ Συμμετρία στο Χάος 177 Βιβλιογραφία 187 6

7 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εξέλιξη της έννοιας της συμμετρίας συμβαδίζει δυναμικά με τις αλλαγές στην επιστημονική γνώση. Η έννοια δημιουργήθηκε στην προσπάθεια του ανθρώπου να κατανοήσει την ομορφιά και την τάξη του φυσικού κόσμου και την αρμονία των αναλογιών. Οι αρχές της συμμετρίας εφαρμόστηκαν στη γλυπτική, στη ζωγραφική, την αρχιτεκτονική, την διακόσμηση και το σχέδιο. Η σημασία της λέξης συμμετρία και η χρήση της παίρνει διαχρονικά διάφορες μορφές. Χρειάστηκαν πολλοί αιώνες και η ανάπτυξη της Θεωρίας ομάδων, για να καταλήξουμε στη γενική αφηρημένη μαθηματική θεωρία της συμμετρίας η οποία ομαδοποιεί φαινομενικά διαφορετικές συμμετρίες και αποτελεί τη βάση για όλες τις ειδικές μορφές της. H Θεωρία ομάδων και η κρυσταλλογραφική ορολογία έγιναν ισχυρά εργαλεία στη μελέτη της διακοσμητικής τέχνης από τη Παλαιολιθική εποχή μέχρι σήμερα. Η σπειροειδής τάση στη φύση, που εμφανίζεται στην ανάπτυξη κάποιων έμβιων όντων και στην περιστροφική κίνηση, όπως για παράδειγμα οι υδάτινες δίνες, οδήγησαν στη συμμετρία ομοιότητας και στις ομάδες συμμετρίας ομοιότητας, που εμφανίζονται και στη διακοσμητική τέχνη. Η αυτοομοιότητα των ακτογραμμών και των οροσειρών, μελετήθηκε από τη Θεωρία των φράκταλ, ενώ φαινόμενα απρόβλεπτα όπως ο καιρός, οδήγησαν στη Θεωρία του χάους. Η συμμετρία εμφανίζεται και στο χάος και είναι συμμετρία μετά από μεγάλο αριθμό επαναλήψεων, στο μέσο όρο. Λέξεις κλειδιά: Συμμετρία, ομάδες, διακοσμητική τέχνη, συμμετρία ομοιότητας, αυτοομοιότητα, χάος. 7

8 ABSTRACT The evolution of the concept of symmetry is consistent with the dynamic changes in scientific knowledge. The concept was created in man's attempt to understand the beauty and order of the natural world and the harmony of proportions. The symmetry principles applied in sculpture, painting, architecture, decoration and design. The meaning of the word symmetry and its use over time takes different forms. It took many centuries and the development of group theory, to form a general abstract mathematical theory of symmetry which compiles seemingly different symmetries and forms the basis for all special forms. Group theory and crystallographic terminology, became powerful tools in the study of decorative art from the Paleolithic era up until now. The spiral tendency in nature, which occurs in the development of some living beings and rotational fluid motion, such as whirlpools, led to symmetry of similarity and the symmetry groups of similarity, also present in decorative art. Self-similarity of coastlines and mountain ranges, were studied by fractal theory and unpredictable phenomena such as weather, led to the theory of chaos. Symmetry appears in chaos and it is symmetry after a large number of iterations, in average. Key words: Symmetry, groups, decorative art, similarity symmetry, self-similarity, chaos. 8

9 Κεφάλαιο 1 - Η Ιστορία της Λέξης Συμμετρία 1.1 Εισαγωγή Στην καθημερινή μας γλώσσα χρησιμοποιούμε τη λέξη συμμετρία για να εκφράσουμε κάτι που έχει σωστές αναλογίες και υποδηλώνει την αρμονική και ισορροπημένη σχέση των μερών που συγκροτούν ένα σύνολο. Στα μαθηματικά είναι η ιδιότητα ότι κάτι παραμένει αναλλοίωτο από ένα σύνολο μετασχηματισμών. Οι απαρχές της θεωρίας της συμμετρίας, υπάρχουν στα μαθηματικά των Πυθαγορείων, στην ατομική θεωρία του Λεύκιππου και του Δημόκριτου και στη φιλοσοφία του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη. Η συμμετρία υπάρχει στην αρχιτεκτονική, στη ζωγραφική, στη γλυπτική, στη διακόσμηση, στη μουσική και γενικά στα δημιουργήματα του ανθρώπου. Η συμμετρία είναι πανταχού παρούσα στη φύση. Στα έμβια όντα, είναι εμφανής στη δομή και την εξωτερική τους μορφή, από τους μικροοργανισμούς μέχρι τα άνθη, τα φυτά, τα ζώα και τον άνθρωπο. Υπάρχει και στα ανόργανα υλικά, όπως οι κρύσταλλοι του νερού και οι νιφάδες του χιονιού. Η πορεία της εξέλιξης της έννοιας, λόγω του πλήθους των εφαρμογών της, περνάει μέσα από διάφορα επιστημονικά πεδία μέχρι τη τελική μαθηματική της διατύπωση. Ο Πυθαγόρας, ίδρυσε τον 6ο αιώνα π.χ. Σχολή στην Σάμο, που αργότερα μετέφερε στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Στη Σχολή διδάσκονταν μαθηματικά, γεωμετρία, μουσική, αστρονομία και φιλοσοφία. Οι Πυθαγόρειοι, ασχολήθηκαν κατά κύριο λόγο με τη γεωμετρία, τις ιδιότητες των αριθμών, μελέτησαν τις αριθμητικές αναλογίες της μουσικής κλίμακας και τις αρχές που διέπουν το σύμπαν. Σύμφωνα με τη διδασκαλία τους, το σύμπαν χαρακτηρίζεται από τάξη και ορθολογικότητα. Η ιδέα της παγκόσμιας αρμονίας, που βρίσκουμε και σε άλλους φιλοσόφους όπως ο Ηράκλειτος, ο Εμπεδοκλής και ο Φιλόλαος ανάγεται στους Πυθαγόρειους. Ο Πυθαγόρας δεν έγραψε τίποτα. Από τη βιογραφία του, που έγραψε ο Διογένης Λαέρτιος διαβάζουμε ότι, ο Πυθαγόρας θεωρούσε από τα σχήματα πιο ωραία, τη σφαίρα από τα στερεά και τον κύκλο από τα επίπεδα. Αυτό δείχνει ότι αναγνώριζε σαν πιο ωραία σχήματα, αυτά που έχουν τη μεγαλύτερη συμμετρία. Οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν τα πέντε κανονικά στερεά, το τετράεδρο, τον κύβο, το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο του οποίου οι πλευρές είναι κανονικά πεντάγωνα και το εικοσάεδρο με πλευρές ισόπλευρα τρίγωνα. Σύμφωνα με τον Weyl, η ύπαρξη των τριών πρώτων 9

10 πολύεδρων είναι περίπου προφανής γεωμετρικά. Αλλά η ανακάλυψη των δύο τελευταίων είναι μία από τις ωραιότερες και μοναδικές στιγμές σε ολόκληρη την ιστορία των μαθηματικών. Με αρκετή βεβαιότητα μπορεί να αποδοθεί στους Έλληνες αποίκους της κάτω Ιταλίας οι οποίοι ενδέχεται να συνέλαβαν την αφηρημένη μορφή του κανονικού δωδεκάεδρου, μέσω των κρυστάλλων του πυριτίου, ενός θειούχου ορυκτού που αφθονεί στη Σικελία. O Ιάμβλιχος, όπως θα δούμε παρακάτω αναφέρει ότι, οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν το κανονικό εικοσάεδρο και το κανονικό δωδεκάεδρο. Το Βιβλίο XIII των Στοιχείων του Ευκλείδη, ασχολείται αποκλειστικά με τις ιδιότητες των πέντε κανονικών στερεών. Τα Στοιχεία κλείνουν με την απόδειξη ότι, δεν υπάρχει άλλο κανονικό πολύεδρο εκτός από αυτά τα πέντε. Τα κανονικά πολύεδρα με τη μορφή Ακτινόζωων (πρωτόζωα με σφαιρική ακτινωτή συμμετρία που βρίσκονται σε αφθονία στο πλαγκτόν). Από μονογραφία του Ερνστ Χέκελ (Ernst Haeckel ) Οι Ατομικοί φιλόσοφοι, Λεύκιππος και Δημόκριτος, συνέδεσαν τη συμμετρία με τα συστατικά της ύλης. Υποστήριξαν ότι κάθε φυσικό αντικείμενο συνίσταται από 10

11 ελάχιστα αδιαίρετα σωματίδια που τα ονόμασαν άτομα. Σύμφωνα με τη θεωρία τους, τα δομικά συστατικά του σύμπαντος, μπορούν να έχουν συμμετρική μορφή, ή μπορεί να μην έχουν κανονικό σχήμα. Για πολλούς αιώνες, οι γεωμέτρες μελέτησαν τη μαθηματική ομορφιά και τη συμμετρία των κανονικών πολύεδρων. Τα κανονικά πολύεδρα λέγονται Πλατωνικά, επειδή ο Πλάτων τα χρησιμοποιεί σαν μέρος της κοσμολογίας του. Στο διάλογο "Τίμαιος" ο Πλάτων πραγματεύεται τον φυσικό κόσμο και την δημιουργία του και επιχειρεί να μαθηματικοποιήσει τη φύση. Κατά τον Τίμαιο, το σώμα του κόσμου, δημιουργήθηκε από τέσσερα στοιχεία, τη φωτιά, τον αέρα, το νερό, και τη γη, που συνδέονται μεταξύ τους με σχέση αναλογίας. Το σώμα του κόσμου έχει το σχήμα της σφαίρας, που είναι το πιο πλήρες, και το πιο ομοιόμορφο σχήμα. Τα σχήματα που εγγράφονται στη σφαίρα είναι τα κανονικά πολύεδρα. Ο Πρόκλος δίνει μια άλλη εξήγηση για την επιλογή της σφαίρας από τον Πλάτωνα, ότι έχει τον μεγαλύτερο όγκο από όλα τα στερεά με το ίδιο εμβαδόν. Τα τέσσερα στοιχεία τώρα, από τα οποία δημιουργείται ο κόσμος, είναι στερεά σώματα, που περικλείονται από επίπεδες επιφάνειες που δημιουργούνται από τρίγωνα. Όλα τα τρίγωνα συντίθεται από δύο είδη στοιχειωδών τριγώνων, το ορθογώνιο ισοσκελές και το ορθογώνιο σκαληνό. Από τα ορθογώνια σκαληνά τρίγωνα, επιλέγεται αυτό που έχει υποτείνουσα διπλάσια από τη μικρότερη κάθετη πλευρά. Έξι ορθογώνια σκαληνά τρίγωνα δημιουργούν ένα ισόπλευρο τρίγωνο (Σχήμα 1.1a). Με βάση αυτό το ισόπλευρο τρίγωνο ο Τίμαιος κατασκευάζει το τετράεδρο, το οκτάεδρο και το εικοσάεδρο. Σχήμα 1.1 Για την κατασκευή του κύβου, χρησιμοποιεί ορθογώνια ισοσκελή τρίγωνα. Τέσσερα ορθογώνια ισοσκελή τρίγωνα σχηματίζουν ένα τετράγωνο (Σχήμα 1.1b). Την 11

12 κατασκευή του δωδεκάεδρου αποδίδει στο θεό. Σύμφωνα με τη θεωρία του Πλάτωνα, το άτομο καθενός από τα στοιχεία της ύλης αντιστοιχεί σε ένα από τα κανονικά στερεά. Στη φωτιά αντιστοιχεί το τετράεδρο, στη γη ο κύβος, στον αέρα το οκτάεδρο και στο νερό το εικοσάεδρο. Στο κανονικό δωδεκάεδρο αντιστοιχεί η εικόνα ολόκληρου του Σύμπαντος. Η Θεωρία των Κανονικών Στερεών είναι η πρώτη μαθηματική θεωρία που αποδίδει πρωταρχικό ρόλο στη συμμετρία. Ο Αριστοτέλης απέκρουσε τη θεωρία του Πλάτωνα. Υποστήριξε ότι μόνο δύο κανονικά στερεά μπορούν να γεμίσουν τον χώρο, το τετράεδρο (λανθασμένα) και ο κύβος. Στα ουράνια σώματα έδωσε σφαιρικό σχήμα, γιατί οτιδήποτε άλλο θα μείωνε την τελειότητά τους. Η συμμετρία κρύβεται και πίσω από τις θεωρίες που αναπτύχθηκαν για την κίνηση των ουρανίων σωμάτων, στα πλαίσια του γεωκεντρικού μοντέλου, σύμφωνα με το οποίο η Γη βρίσκεται στο κέντρο του σύμπαντος και όλα τα άλλα ουράνια σώματα περιφέρονται γύρω της. Το θεμελιώδες αξίωμα της αρχαίας αστρονομίας ήταν ότι, η ομαλή κυκλική κίνηση είναι η μόνη δυνατή κίνηση στον ουρανό. Με βάση το αξίωμα αυτό, το οποίο ανάγεται στον Πλάτωνα, οικοδομήθηκε όλη η ερευνητική παράδοση του «σώζειν τα φαινόμενα», η αναζήτηση δηλαδή μαθηματικής τάξης πίσω από τη φαινομενική αταξία των ουράνιων κινήσεων. Ο Εύδοξος ο Κνίδιος (περ π.Χ.), πρότεινε το γεωμετρικό μοντέλο των ομόκεντρων σφαιρών για την ερμηνεία της κίνησης των πλανητών. Τον 3ο αι. π.χ. το μοντέλο των ομόκεντρων σφαιρών εγκαταλείφτηκε και αντικαταστάθηκε από το σύστημα των κύκλων και επικύκλων του Απολλώνιου του Περγαίου (περ π.χ.) και του Ιππάρχου (περ π.Χ.). Στη θεωρία των επικύκλων κάθε πλανήτης διαγράφει έναν μικρό κύκλο, τον επίκυκλο, το κέντρο του οποίου διατρέχει ταυτόχρονα έναν μεγαλύτερο κύκλο γύρω από τον παρατηρητή. Στη θεωρία των έκκεντρων κύκλων οι ρόλοι αντιστρέφονται. Ο πλανήτης κινείται σε έναν μεγάλο κύκλο τον έκκεντρο, το κέντρο του οποίου διαγράφει έναν μικρό κύκλο γύρω από τον παρατηρητή. O Κλαύδιος Πτολεμαίος, μαθηματικός, αστρονόμος και γεωγράφος που έζησε και έδρασε στην Αλεξάνδρεια (περ μ.χ.), προσπάθησε να φτιάξει ένα σύστημα κύκλων, επικύκλων και έκκεντρων που να συμφωνεί με τις παρατηρούμενες κινήσεις των πλανητών. Δεν τα κατάφερε και αποφάσισε να κάνει μια ουσιαστική αλλαγή. Αρχικά μετατόπισε λίγο τη γη από το κέντρο του κύκλου. Κατόπιν εισήγαγε ένα γεωμετρικό 12

13 σημείο Ε, συνευθειακό με τη γη G και το κέντρο C του κύκλου, έτσι ώστε η φαινόμενη κυκλική κίνηση του κέντρου Q του επίκυκλου που ακολουθούσε ένας πλανήτης P, να είναι ομαλή όπως φαίνεται από το σημείο E (Σχήμα 1.2). Με αυτόν τον τρόπο ο Πτολεμαίος κατάφερε να αναπαραστήσει τις κινήσεις των πλανητών. Το μοντέλο αυτό ο Πτολεμαίος το παρουσίασε στο βιβλίο του "Μαθηματική Σύνταξις" και παρέμεινε σε ισχύ για 14 αιώνες. Σχήμα 1.2 Η Αρχαία Ελληνική αρχιτεκτονική στηρίζεται επίσης στην ιδέα της συμμετρίας και της αναλογίας. Στην Αρχαία Ελλάδα δεν υπήρχαν σταθερά μεγέθη ναών, αλλά σταθερές αναλογίες για κάθε ρυθμό και για κάθε εποχή. Τα διάφορα μέρη του οικοδομήματος συνδέονται με το σύνολο μέσα από σταθερούς κανόνες αναλογιών. Αυτό επέτρεπε στους δημιουργούς να δουλεύουν με σιγουριά, με στόχο την τελειότητα. Οι αρχιτεκτονικοί ρυθμοί που αναπτύχθηκαν είναι, ο Δωρικός στην Κυρίως Ελλάδα, την Κάτω Ιταλία και τη Σικελία και ο Ιωνικός στην Ιωνία (Μικρά Ασία). Από αυτούς, ο Δωρικός είναι ο αρχαιότερος και ο σπουδαιότερος ρυθμός. Δωρικός Ρυθμός 13

14 Το καλύτερο δείγμα της κλασσικής ελληνικής αρχιτεκτονικής είναι αναμφίβολα ο Παρθενώνας, ο ναός της Αθηνάς Παρθένου στην Ακρόπολη των Αθηνών. Χτίστηκε ( π.Χ.) από τους φημισμένους αρχιτέκτονες Ικτίνο και Καλλικράτη, με τη γενική εποπτεία του γλύπτη Φειδία σε Δωρικό ρυθμό, αλλά και με στοιχεία Ιωνικού ρυθμού. Σημαντικό ρόλο στην επίτευξη της τελειότητας, έπαιξαν οι μαθηματικοί υπολογισμοί που εφαρμόστηκαν στην κατασκευή του Παρθενώνα. Στοχεύοντας στην εναρμόνιση όλων των διαστάσεων, το πλάτος, το ύψος, το μήκος, η διάμετρος της κάθε κολώνας όπως και η απόσταση μεταξύ τους, κατασκευάστηκαν σύμφωνα με την αναλογία 4:9. H ίδια αναλογία καθόρισε και όλα τα άλλα στοιχεία του ναού. Η σχέση ανάμεσα στο ύψος της κολώνας και στο ύψος του θριγκού, οι αναλογίες των μεταξονίων (τα διαστήματα μεταξύ των κάθετων αξόνων δύο γειτονικών κιόνων), η λέπτυνση της κολώνας και η ένταση του κορμού, το περίγραμμα του εχίνου και ο τρόπος σύνδεσής του με τον κορμό, η μορφή και ο αριθμός των τριγλύφων. Η κλίμακα αυτή, αποτέλεσε μία μέθοδο ελέγχου όλων των λεπτομερειών και προσέδωσε στο κτίριο ένα αξεπέραστο μεγαλείο. Οι αναλογίες του Παρθενώνα Στον Παρθενώνα δεν υπάρχει απόλυτα κάθετη γραμμή, αλλά ούτε και απόλυτα οριζόντια. O στυλοβάτης παρουσιάζει μία κύρτωση, η οποία μεταφέρεται στο θριγκό. Οι κολώνες αποκλίνουν από τον άξονα τους, καθώς γέρνουν προς τους τοίχους του ναού. O κορμός της κολώνας εμφανίζει ελαφριά διόγκωση πάνω από το μισό του ύψους της. Οι αποστάσεις ανάμεσα στις κολώνες και στους τριγλύφους, δεν είναι παντού οι ίδιες, Αυξάνονται ή ελαττώνονται καθώς προχωρούμε προς τους δύο 14

15 άξονες του κτιρίου. Όλες αυτές οι κατασκευαστικές λεπτομέρειες, που μπορεί να οφείλονται στην προσπάθεια διόρθωσης του οπτικού σφάλματος του ανθρώπινου οφθαλμού, ή σε τεχνικές αιτίες, αποδεικνύουν την επιμονή στη συμμετρία και την τελειότητα. Οι λεγόμενες οπτικές διορθώσεις συντελούν στην εναρμόνιση του κτιρίου με το περιβάλλον του, αλλά και στην εναρμόνιση όλων των τμημάτων με το σύνολο. Σχέδιο της ανατολικής πρόσοψης του Παρθενώνα από το Βιβλίο των Stuart J. και Revett N., "Οι Αρχαιότητες των Αθηνών", τ.2 Λονδίνο 1787 Το αρχαίο θέατρο της Επιδαύρου θεωρείται το τελειότερο αρχαίο ελληνικό θέατρο από άποψη ακουστικής και αισθητικής. Ο περιηγητής Παυσανίας, ήδη από την αρχαιότητα, επαινεί τη συμμετρία και την ομορφιά του. Το αρχαίο θέατρο κατασκευάστηκε μεταξύ του 340 π.χ. και του 330 π.χ. από τον Αργείο αρχιτέκτονα Πολύκλειτο τον Νεότερο όπως αναφέρει ο Παυσανίας. Η ορχήστρα του θεάτρου είναι ένας τέλειος κύκλος με τη βάση για το βωμό να βρίσκεται στο κέντρο του. Ο χώρος των θεατών σχεδιάστηκε αρχικά να περιλαμβάνει 34 θέσεις καθισμάτων και χωρίζονταν σε 12 τομείς που ξεκινούσαν ακτινωτά από τις γωνίες ενός εγγεγραμμένου στην ορχήστρα νοητού εικοσάεδρου. Οι σειρές των εδωλίων των οκτώ κεντρικών κερκίδων σχεδιάστηκαν ως περιφέρειες κύκλων με κέντρο το κέντρο της ορχήστρας, ενώ τα πλάγια ζεύγη των κερκίδων δεξιά και αριστερά διαγράφουν τόξα που το κέντρο τους βρίσκεται πιο μακριά και πιο έξω από το κέντρο της ορχήστρας. Έτσι μεγάλωνε το οπτικό πεδίο στις ακραίες κερκίδες και 15

16 εξυπηρετούνταν καλύτερα η ακουστική. Τον 2ο π.χ. αιώνα το θέατρο επεκτάθηκε πάνω από τον διάδρομο που περιέτρεχε την περιφέρεια του αρχικού διαζώματος. Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό του θεάτρου της Επιδαύρου είναι ότι ο θεατής της τελευταίας σειράς ακούει καθαρά τις ομιλίες στην ορχήστρα. To αρχαίο Θέατρο της Επιδαύρου από σχέδιο του Gerkan Οι αρχαίοι Έλληνες γλύπτες θέλησαν να απεικονίσουν την τέλεια ισορροπία και τη συμμετρία μέσα από την τέχνη τους. Έβλεπαν το ανθρώπινο σώμα σαν ένα αντικείμενο της ομορφιάς. Τα γλυπτά από την Αρχαϊκή περίοδο, εξιδανικεύουν την ανθρώπινη μορφή. Κατά την κλασική περίοδο, οι γλύπτες προσπάθησαν να αποτυπώσουν εκτός από την σωματική ομορφιά και την πνευματική. Τα γλυπτά έγιναν πιο ζωντανά μέσω της ρεαλιστικής αναπαράστασης και της απεικόνισης του ανθρώπινου συναισθήματος. Ο Αργείος γλύπτης Πολύκλειτος (μέσα του 5ου αι. π.χ.), συγκαταλέγεται στους τρείς σημαντικότερους γλύπτες της αρχαίας Ελλάδας. Αφιερώθηκε στην ιδέα της συμμετρίας και την ανάπτυξη ενός ιδανικού τύπου για το ανθρώπινο σώμα. Τη θεωρία του περί του κανόνα, εφάρμοσε στα ανδρικά αγάλματά του "Δορυφόρος" ή "Κανών" και "Διαδούμενος". Ο "Δορυφόρος", ήταν αποτύπωση μιας πραγματείας που είχε γράψει ο γλύπτης για τις ιδανικές αναλογίες. Το άγαλμα, που ίσως ενσαρκώνει τον Αχιλλέα επιδεικνύει τέλειες αρμονικές αναλογίες, που δεν υπάρχουν στη φύση, αλλά καθαρά στα μαθηματικά, υπολογισμένες με μεγάλη 16

17 ακρίβεια και με βάση ένα κοινό μέτρο, αντιπροσωπεύοντας τις καλύτερες αναλογίες μιας σειράς αθλητών, ιδίως ολυμπιονικών, στους ανδριάντες των οποίων ειδικευόταν ο Πολύκλειτος. «Δορυφόρος» του Πολυκλείτου Αντίγραφο του 70 π.χ. (Εθνικό Μουσείο Νεάπολη) 17

18 1.2 Η έννοια της λέξης συμμετρία στην Αρχαία Ελληνική Γραμματεία Η λέξη συμμετρία και το επίθετο σύμμετρος (αντίθετα ασυμμετρία και ασύμμετρος), εμφανίζονται για πρώτη φορά στην Αρχαία Ελλάδα. Παράγονται από τις λέξεις "συν" και "μέτρο" και χρησιμοποιούνται σε διάφορα κείμενα στην Αρχαία Ελληνική Γραμματεία. Το ουσιαστικό σημαίνει σωστή αναλογία, ή ένα από τα χαρακτηριστικά του καλού και του ωραίου, ή έχει την έννοια της καταλληλότητας. Το επίθετο σημαίνει ανάλογος, ισόμετρος, ισόχρονος, κατάλληλος, κατάλληλος στο μέγεθος, μέτριος στο μέγεθος, προσήκων, πρέπων, κανονικός. 1 Στο θέμα του πότε πρωτοεμφανίστηκε η λέξη συμμετρία επισημαίνουμε ότι δεν υπάρχει στα αρχαιότερα έργα του Ομήρου, Ησίοδου ούτε και στους Ορφικούς Ύμνους. Υπάρχει όμως σε αποσπάσματα του Πυθαγόρα και των Προσωκρατικών Φιλοσόφων που διασώθηκαν από μεταγενέστερους συγγραφείς. Τη χρησιμοποίησαν και οι τραγικοί ποιητές Αισχύλος, Σοφοκλής και Ευριπίδης. 2 O Διογένης Λαέρτιος (3ος μ.χ. αιώνας) είναι συγγραφέας μιας αρχαίας ελληνικής ιστορίας της φιλοσοφίας από την λεγόμενη "Προσωκρατική" περίοδο ως την εποχή του, ενός συνθετικού έργου με τίτλο "Φιλοσόφων βίων και δογμάτων συναγωγή". Το έργο αυτό είναι χωρισμένο σε δέκα βιβλία, περιέχει βιογραφικά στοιχεία για τους φιλοσόφους και περιλαμβάνει μικρά ή μεγάλα κατά περιπτώσεις, σημειώματα για τις επιμέρους φιλοσοφικές απόψεις τους. 3 Το βιβλίο Η ξεκινάει με τον Πυθαγόρα. Αρχίζει με αναφορά στη ζωή του Πυθαγόρα και το έργο του. Στα αποσπάσματα από τη διδασκαλία του η λέξη συμμετρία εμφανίζεται δύο φορές: Πυθαγόρας, Απόσπασμα Σελ. 171, γραμμές 7-11 «Diog. L. 8.9 ἐν δὲ τοῖς τρισὶ συγγράμμασι τοῖς προειρημένοις φέρεται Πυθαγόρου τάδε καθολικῶς. οὐκ ἐᾷ εὔχεσθαι ὑπὲρ αὑτῶν διὰ τὸ μὴ εἰδέναι τὸ συμφέρον. τὴν μέθην ἓν ἀνθ' ἑνὸς βλάβην καλεῖ καὶ πλησμονὴν πᾶσαν ἀποδοκιμάζει, λέγων μὴ παραβαίνειν μήτε τῶν πόνων μήτε τῶν σιτίων μηδένα τὴν συμμετρίαν.» 1 Μέγα λεξικόν της ελληνικής γλώσσης Liddell Scott Jones. 2 Η αναζήτηση της λέξης έγινε με τη βοήθεια του TLG (Thesaurus Linguae Graecae ) 3 Διογένης Λαέρτιος-ΦΙΛΟΣΟΦΩΝ ΒΙΩΝ ΚΑΙ ΔΟΓΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΓΩΓΗ-ΒΙΒΛΙΑ VI-X, Εκδόσεις Ζήτρος

19 «Στα τρία συγγράμματα του Πυθαγόρα που προανέφερα διατυπώνονται γενικά οι εξής απόψεις. Δεν επιτρέπει να προσευχόμαστε για τον εαυτό μας, επειδή δεν ξέρουμε ποιό είναι το συμφέρον μας. Τη μέθη με μια λέξη την αποκαλεί βλάβη και αποδοκιμάζει κάθε είδους υπερβολή, λέγοντας πως δεν πρέπει να ξεπερνάμε το μέτρο ούτε στο πιοτό ούτε στο φαγητό.» Πυθαγόρας, Απόσπασμα Σελ. 171, γραμμές «διαιρεῖται δὲ καὶ τὸν τοῦ ἀνθρώπου βίον οὕτως παῖς εἴκοσι ἔτεα, νεηνίσκος εἴκοσι, νεηνίης εἴκοσι, γέρων εἴκοσι. αἱ δὲ ἡλικίαι πρὸς τὰς ὥρας ὧδε σύμμετροι παῖς ἔαρ, νεηνίσκος θέρος, νεηνίης φθινόπωρον, γέρων χειμών. ἔστι δ' αὐτῷ ὁ μὲν νεηνίσκος μειράκιον, ὁ δὲ νεηνίης ἀνήρ.» «Την ανθρώπινη ζωή τη χωρίζει ως εξής: "Είκοσι χρόνια παιδί, είκοσι νεαρός, είκοσι νέος, είκοσι γέρος. Η αντιστοιχία ηλικιών - εποχών είναι: παιδί - άνοιξη, νεαρός - καλοκαίρι, νέος - φθινόπωρο, γέρος - χειμώνας". Λέγοντας νεαρός εννοεί τον έφηβο και με νέος εννοεί τον ώριμο άνδρα» 4 Στα σωζόμενα έργα του Αισχύλου ( π.x.), η λέξη συμμετρία εμφανίζεται 3 φορές. Στο παρακάτω απόσπασμα, από την τραγωδία "Χοηφόροι", η λέξη χρησιμοποιείται με την έννοια όμοιος: Αισχύλος, Χοηφόροι «σκέψαι, τομῇ προσθεῖσα βόστρυχον τριχός, σαυτῆς ἀδελφοῦ σύμμετρον τῷ σῷ κάρᾳ.» «σίμωσε την πλεξίδα αυτή στην κεφαλή μου και ιδές με τα μαλλιά πώς μοιάζει ταδερφού σου» 5 Στον Σοφοκλή ( π.χ.), η λέξη εμφανίζεται 5 φορές. Στην τραγωδία "Οιδίπους Τύραννος" η λέξη έχει την έννοια ισόχρονος: Σοφοκλής, Οιδίπους Τύραννος «ὅνπερ πάλαι ζητοῦμεν ἔν τε γὰρ μακρῷ γήρᾳ ξυνᾴδει τῷδε τἀνδρὶ σύμμετρος,» 4 ΔΙΟΓΕΝΗΣ ΛΑΕΡΤΙΟΣ - ΑΠΑΝΤΑ - ΤΟΜΟΣ 4, Εκδόσεις Κάκτος Αισχύλου Ορέστεια - Χοηφόροι, Μετάφραση - I.Ν. Γρυπάρη, Εκδοτικός Οίκος Γεωργίου Φέξη,

20 «Τα βαθιά του γεράματα στην ηλικία ταιριάζουν με τον ξένο» 6 Στο απόσπασμα 191 του Δημόκριτου (~ π.χ.), που διασώζει ο Στοβαίος (5ος αιώνας μ.χ.), η συμμετρία χρησιμοποιείται με την έννοια του κατάλληλος, αρμονικός: Δημόκριτος, Απόσπασμα 191 «ου. ἀνθρώποισι γὰρ εὐθυμίη γίνεται μετριότητι τέρψιος καὶ βίου συμμετρίηι» «Γιατί την ψυχική γαλήνη τη φέρνει στους ανθρώπους η συγκρατημένη διασκέδαση και η σύμμετρη ζωή.» 7 Ο Πλάτωνας ( π.χ.) χρησιμοποιεί στα έργα του όλο το φάσμα των εννοιών της λέξης συμμετρία καθώς και τη μαθηματική της έννοια. Στον "Τίμαιο", η λέξη συμμετρία χρησιμοποιείται 15 φορές. Το χωρίο 86b1-87b9 του Τίμαιου, ασχολείται με τις ασθένειες της ψυχής. Αναφέρει ότι «η υπερβολική ηδονή και ο υπερβολικός πόνος πρέπει να καταταγούν στις μεγαλύτερες ασθένειες της ψυχής». Στην παρομοίωση που χρησιμοποιεί η λέξη συμμετρία, έχει την έννοια του κανονικού: Πλάτων, Τίμαιος 86c5 «περεὶ δένδρον πολυκαρπότερον τοῦ συμμέτρου πεφυκὸς ᾖ,» «όπως στο δέντρο που παράγει περισσότερους από το κανονικό καρπούς,» Το αμέσως επόμενο χωρίο 87c1-88c6, ασχολείται με τους παράγοντες που διασφαλίζουν την υγεία του σώματος και του πνεύματος: Πλάτων, Τίμαιος 87c4-87e5 «Το καλό είναι βέβαια πάντοτε ωραίο, και το ωραίο δεν είναι ποτέ άμετρο. Άρα και για το έμβιο ον ισχύει το ίδιο: για να είναι καλό, πρέπει να διέπεται από μέτρο (σύμμετρον). Με τα κοινά μέτρα (συμμετριῶν) όμως μας συμβαίνει το εξής: διακρίνουμε και υπολογίζουμε μόνο τα σχετικά ασήμαντα, ενώ μας διαφεύγουν τα κυριότερα και τα μεγαλύτερα. Έτσι σε ότι αφορά την υγεία και την ασθένεια, την αρετή 6 Σοφοκλής, Οιδίπους Τύρρανος, Μετάφραση Τάσος Ρούσσος, Εκδόσεις Κάκτος Ανθολόγιο Φιλοσοφικών Κειμένων Γ Γυμνασίου, Σελ 26, Αθανασία Γλυκοφρύδη,Λεοντσίνη, Χριστίνα Σακελλίου, Ελένη Λεοντσίνη, Ο.Ε.Δ.Β

21 και την κακία, καμία συμμετρία ή αμετρία δεν είναι πιο σημαντική από αυτήν που υπάρχει ανάμεσα στην ίδια την ψυχή και το ίδιο το σώμα. Και όμως σε όλα αυτά δεν δίνουμε καμία προσοχή, ούτε καν τα αντιλαμβανόμαστε ωστόσο, όταν μια ισχυρή και μεγαλειώδης ψυχή προσλάβει σχετικά αδύναμη και μικροκαμωμένη σωματική μορφή, ή όταν πάλι η συνένωση των δύο καθορίζεται από την αντίστροφη ανισομέρεια, τότε το έμβιο ον ως όλον δεν είναι ωραίο, γιατί δεν έχει τις σωστές αναλογίες ως προς τις μέγιστες συμμετρίες (ἀσύμμετρον γὰρ ταῖς μεγίσταις συμμετρίαις). Ενώ ότι χαρακτηρίζεται από τέτοια συμμετρία αποτελεί το πιο ωραίο και αξιαγάπητο θέαμα για όποιον βέβαια είναι σε θέση να το δει. Ένα σώμα άμετρο, εξαιτίας ενός μακρύτερου ποδιού ή άλλης υπερτροφίας, δεν είναι μόνον άσχημο αλλά, επιπλέον, όταν μετέχει σε επίπονη εργασία προξενεί αμέτρητα κακά στον εαυτό του (μεγάλη κούραση, συχνά διαστρέμματα αλλά και πτώσεις λόγω της πλάγιας κίνησης).» 8 Στο απόσπασμα αυτό το ωραίο είναι μια όψη του καλού και προϋποθέτει συμμετρία δηλαδή σωστές αναλογίες. Στη σχέση σώματος και ψυχής επισημαίνεται το πόσο σημαντικό είναι να υπάρχει αναλογία σώματος και ψυχής και η λέξη "αμετρία" χρησιμοποιείται σαν συνώνυμο της ασυμμετρίας. Η σύνδεση της συμμετρίας με το κάλλος (ωραίο) και το αγαθό (καλό) επιβεβαιώνεται και στον "Φίληβο", έναν όψιμο διάλογο του Πλάτωνα. Το κεντρικό θέμα του διαλόγου είναι ο ρόλος της ηδονής και της φρόνησης στην ανθρώπινη ζωή. Στο ερώτημα τι είναι αγαθό, υποστηρίζει ότι ούτε η ηδονή ούτε η φρόνηση μπορούν να ταυτιστούν με το αγαθό. Απεναντίας, η αγαθότητα ταυτίζεται με τη συμμετρία το κάλλος και την αλήθεια και η φρόνηση θεωρείτε ως ένα ανώτερο από την ηδονή αγαθό, επειδή έχει μεγαλύτερη συγγένεια με αυτά τα τρία: 9 Πλάτων, Φίληβος 65a1-65a5 «ΣΩ. Οὐκοῦν εἰ μὴ μιᾷ δυνάμεθα ἰδέᾳ τὸ ἀγαθὸν θηρεῦσαι, σὺν τρισὶ λαβόντες, κάλλει καὶ συμμετρίᾳ καὶ ἀληθείᾳ, λέγωμεν ὡς τοῦτο οἷον ἓν ὀρθότατ' ἂν αἰτιασαίμεθ' ἂν τῶν ἐν τῇ συμμείξει, καὶ διὰ τοῦτο ὡς ἀγαθὸν ὂν τοιαύτην αὐτὴν γεγονέναι.» 8 Πλάτων Τίμαιος, Μετάφραση Βασίλης Κάλφας, Εκδόσεις Πόλις ΤΟ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΟ ΛΕΞΙΚΟ TOY CAMBRIDGE, Επιμελητής έκδοσης Robert Audi

22 Ο Αριστοτέλης ( π.χ.), στο βιβλίο του "Μετά τα Φυσικά", ασχολείται με την υπόσταση των μαθηματικών αντικειμένων. Συνδέει το καλό με το ωραίο και αναγνωρίζει ότι αυτά διαφέρουν επειδή το καλό συνεπάγεται πάντα δράση ενώ το ωραίο υπάρχει και στα αμετάβλητα πράγματα. Αλλά αυτό υποστηρίζει, δεν σημαίνει ότι οι μαθηματικές επιστήμες δεν λένε τίποτα για το ωραίο και το καλό. Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη, αυτοί που το ισχυρίζονται κάνουν λάθος και συνεχίζει: Αριστοτέλης, Μετά τα Φυσικά 1078a b2 «Του δε ωραίου οι κυριότερες μορφές είναι η τάξη, η συμμετρία και η ακρίβεια, πράγματα με τα οποία ασχολούνται ιδιαίτερα οι μαθηματικές επιστήμες.» Στο απόσπασμα αυτό η συμμετρία (με την έννοια της αναλογικότητας) και η ακρίβεια είναι είδη του ωραίου. Σε άλλο απόσπασμα από τα "Τοπικά" η συμμετρία είναι στοιχείο της ομορφιάς. Ο Αριστοτέλης αναφέρει ότι η υγεία είναι καλύτερη από την δύναμη και την ομορφιά, γιατί η υγεία είναι έμφυτη στα κύρια συστατικά του ζώου, ενώ η δύναμη και η ομορφιά στα δευτερεύοντα και συνεχίζει: Αριστοτέλης, Τοπικά 116b20-116b22 «Η δύναμη είναι ένα χαρακτηριστικό των νεύρων και των οστών, ενώ η ομορφιά φαίνεται να έχει σαν κύριο χαρακτηριστικό τη συμμετρία των άκρων.» Στην Ύστερη αρχαιότητα ο Κλαύδιος Πτολεμαίος (2ος μ.χ. αιώνας), χρησιμοποιεί τη λέξη συμμετρία με τη μαθηματική της έννοια που περιλαμβάνει και την έννοια της καταλληλότητας. Στο έργο του "Γεωγραφική υφήγησις", αναφέρεται στο ρόλο του χαρτογράφου στο σχεδιασμό χάρτη, στον οποίο τα διαστήματα πρέπει να είναι σε όσο το δυνατόν καλύτερη αναλογία (σύμμετρα) με τα πραγματικά. Σε ένα άλλο απόσπασμα από το βιβλίο του "Μαθηματική Σύνταξις", υποστηρίζει ότι η συμμετρία (με την έννοια της σωστής αναλογίας), σχετίζεται με το θείο και τη θεία ομορφιά. 22

23 Ο Γαληνός 10 ( μ.χ.), γράφει στο έργο του "Περί κράσεων" ότι «στη νόηση σύμμετρο είναι αυτό που ισαπέχει από τα άκρα» («οὕτω γὰρ ἐξευρήσομεν τῇ νοήσει τὸ σύμμετρον, ὅπερ ἑκατέρου τῶν ἄκρων ἴσον ἀπέχει») Και όταν ασχολείται με το κανονικό σχήμα του ανθρώπινου σώματος, αναφέρεται στο γλύπτη Πολύκλειτο και το έργο του "Κανών" «Και ένα συγκεκριμένο άγαλμα ίσως θα έπρεπε να επαινεθεί, αυτό που ονομάζεται "Κανών" του Πολυκλείτου. Έχει αυτό το όνομα λόγω της ακριβής συμμετρίας όλων των μελών μεταξύ τους» Συνοψίζοντας η λέξη συμμετρία στην αρχαία ελληνική γραμματεία έχει την έννοια αφενός του κατάλληλου ή αυτού που έχει μέτρο και αφετέρου την έννοια της ομορφιάς, αν και οι δύο σημασίες μεταφέρουν την αίσθηση της σωστής αναλογίας. Γενικά η λέξη συμμετρία στην αρχαία ελληνική γραμματεία, δεν περιορίζεται μόνο σε αντικείμενα στο χώρο, αλλά είναι μια αφηρημένη έννοια, που έχει να κάνει με την τάξη, την ομορφιά, την αρμονία και την τελειότητα. 1.3 Η έννοια της λέξης συμμετρία στα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά Στα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά, η λέξη σύμμετρος χρησιμοποιήθηκε για τα ορίσει τα μεγέθη που έχουν ρητό λόγο. Ο ορισμός των σύμμετρων και ασύμμετρων μεγεθών δίνεται στο Βιβλίο Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη: «Σύμμετρα μεγέθη λέγονται αυτά που μετρούνται με το ίδιο μέτρο και ασύμμετρα αυτά για τα οποία δεν υπάρχει κοινό μέτρο.» Η ανακάλυψη των ασύμμετρων μεγεθών είναι, χωρίς υπερβολή, η μεγαλύτερη ανακάλυψη, όχι μόνο στα Ελληνικά Μαθηματικά, αλλά στην παγκόσμια ιστορία των Μαθηματικών. Καθώς η ανακάλυψη αυτή πραγματοποιήθηκε, σύμφωνα με τις αρχαίες πηγές από τους Πυθαγόρειους, η φιλοσοφική σκέψη των Πυθαγορείων, επηρεάστηκε αποφασιστικά από αυτή την ανακάλυψη Έλληνας χριστιανός γιατρός που πραγματοποίησε σημαντικές ανακαλύψεις στην ανατομική και το έργο του έχαιρε μεγάλης εκτίμησης μέχρι την Αναγέννηση. 11 Η ανακατασκευή της Πυθαγόρειας γεωμετρίας, Σ. Νεγρεπόντη. 23

24 Οι αρχαίες πηγές 12 που αναφέρονται στην ανακάλυψη της ασυμμετρίας, γράφουν ότι η ανακάλυψη κρατήθηκε μυστική από τους Πυθαγόρειους μέχρι που κάποιος από αυτούς τη δημοσιοποίησε. Ο Πλούταρχος (περ μ.χ.) στο έργο του "Νομάς" (22,3,1-22,4,4), αναφέρει ότι οι γεωμετρικές μέθοδοι περί αρρήτων, που ήταν μυστική πραγματεία, δόθηκε στους ανάξιους (μη Πυθαγόρειοι) και η ασέβεια αυτή προκάλεσε μεγάλο «κοινό κακό». Ο Ιάμβλιχος (τέλη 3ου μ.χ. αιώνα) στο έργο του "Περί κοινής μαθηματικής Επιστήμης" (25, και 33-39), αναφέρει ότι ο Ίππασος, που ήταν Πυθαγόρειος, έγραψε πρώτος στη σφαίρα το κανονικό δωδεκάεδρο, δημοσιοποίησε την ανακάλυψή του και χάθηκε στη θάλασσα ως ασεβής. Ήθελε τη δόξα ότι αυτός τα ανακάλυψε, αλλά όλα οφείλονται στον Πυθαγόρα. Όταν αυτά διαδόθηκαν, ωφελήθηκαν ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος και ο Ιπποκράτης ο Χίος. Το κανονικό δωδεκάεδρο, έχει τις έδρες του κανονικά πεντάγωνα. Για την κατασκευή του κανονικού πενταγώνου χρειάζεται η χρυσή τομή και όταν δύο ευθύγραμμα τμήματα είναι σε λόγο χρυσής τομής είναι ασύμμετρα. Επομένως η γνώση που αποκαλύφθηκε σχετίζεται με την ασυμμετρία. Σε ένα άλλο έργο του "Πυθαγορικός Βίος" (88,13-89,4 και 246,10-247,1-7), ο Ιάμβλιχος αναφέρει ότι αυτός που αποκάλυψε τη φύση της συμμετρίας και της ασυμμετρίας στους ανάξιους να την κατανοήσουν, μισήθηκε τόσο πολύ από τους Πυθαγορείους ώστε όχι μόνο τον εξόρισαν από τις κοινές συναναστροφές και τα γεύματα, αλλά κατασκεύασαν και τάφο για αυτόν ενώ ζούσε σαν να είχε πεθάνει. Και εκείνος που αποκάλυψε το κανονικό εικοσάεδρο και δωδεκάεδρο, χάθηκε στη θάλασσα επειδή ασέβησε. Αναφέρει εδώ ξεκάθαρα ο Ιάμβλιχος ότι η γνώση των Πυθαγορείων που αποκαλύφθηκε στους ανάξιους ήταν της ασυμμετρίας και η αναφορά στο κανονικό εικοσάεδρο και δωδεκάεδρο πάλι σχετίζεται με την ασυμμετρία. Στο κανονικό εικοσάεδρο υπάρχουν επίπεδα που χρειάζεται η κατασκευή κανονικού πενταγώνου. Η Πρόταση ΧΙΙΙ.16 των Στοιχείων «Να κατασκευαστεί εικοσάεδρο, να εγγραφεί σε σφαίρα και να αποδειχθεί ότι η πλευρά του εικοσάεδρου είναι άρρητος, η καλούμενη ελλάσων» και η Πρόταση ΧΙΙΙ.17 των 12 Σημειώσεις μεταπτυχιακού μαθήματος «Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά - Στοιχεία Ευκλείδη» , Σ. Νεγρεπόντη, ΠΜΣ Διδακτικής Μαθηματικών, Μαθηματικό Τμήμα Πανεπιστημίου Αθηνών. 24

25 Στοιχείων «Να κατασκευαστεί δωδεκάεδρο, να εγγραφεί σε σφαίρα και να αποδειχθεί ότι η πλευρά του δωδεκάεδρου είναι άρρητος, η καλούμενη αποτομή», δείχνουν ξεκάθαρα την σχέση των δύο αυτών κανονικών στερεών με την ασυμμετρία. Ο Πάππος 4ος μ.χ. αιώνας (Σχόλια στο Βιβλίο Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη στα αραβικά), γράφει ότι ο πρώτος που δημοσίευσε την κοινοποίησε τις τετραγωνικές ρίζες στους υπόλοιπους πνίγηκε: "Αυτά πρέπει να τα κρατάει κανείς κρυφά και η ψυχή που από λάθος ή απροσεξία τα αποκάλυψε στον υπόλοιπο κόσμο περιπλανάται στον πόντο της ανομοιότητας". To ανώνυμο Σχόλιο 1 στο Βιβλίο Χ των Στοιχείων (Ανώνυμο Σχόλιο εις Στοιχεία Ευκλείδου Χ.1) γράφει ότι οι Πυθαγόρειοι ήταν οι πρώτοι που ξεκίνησαν τη μελέτη της ασυμμετρίας, αφού την ανακάλυψαν μέσω της παρατήρησης των αριθμών και συνεχίζει: «γιατί ενώ η μονάδα είναι κοινό μέτρο όλων των αριθμών δεν μπόρεσαν να βρουν κοινό μέτρο για όλα τα μεγέθη. Ο λόγος είναι ότι όλοι οι αριθμοί, οποιουδήποτε είδους όσο και αν διαιρεθούν αφήνουν κάποιο ελάχιστο μέρος το οποίο δεν μπορεί να υποστεί περαιτέρω διαίρεση, αλλά τα μεγέθη είναι διαιρετά επ άπειρον και δεν αφήνουν κάποιο μέρος, το οποίο να είναι το μικρότερο δυνατό και να μη δέχεται περεταίρω διαίρεση...αυτό λοιπόν γνωρίζοντας οι Πυθαγόρειοι εύρισκαν τη συμμετρία των μεγεθών όπου ήταν δυνατό. Ονόμασαν τα μεγέθη που μπορούν να μετρηθούν με το ίδιο μέτρο σύμμετρα, αλλά αυτά που δεν υπόκεινται στο ίδιο μέτρο ασύμμετρα και πάλι όσα από αυτά μετρούνται με κάποιο άλλο κοινό μέτρο σύμμετρα μεταξύ τους και όσα δεν μπορούν ασύμμετρα με τα άλλα. Έτσι υποθέτοντας τα μέτρα τους, απέδωσαν σε όλα διαφορετικές συμμετρίες αλλά παρόλο που ήταν διαφορετικές και ως προς αυτά δεν μπορούν να είναι πάντα σύμμετρα. Όλα τα μεγέθη όμως μπορούν να είναι ρητά και όλα άλογα (άρρητα) ως προς κάποιο, ως εκ τούτου το σύμμετρο και το ασύμμετρο είναι κάτι φυσικό (φύσει) ενώ το ρητό και το άλογο στηρίζεται στην υπόθεση ή τη σύμβαση (θέσει).» Selections illustrating the history of Greek Mathematics VOL 1, Ivor Thomas 1939, σελ 215 και Euclid Τhe thirteen Books of the Elements VOL 3, Sir Thomas L. Heath, Βook Χ, Introductory Note. 25

26 Το σχόλιο παρακάτω αναφέρει ότι ο πρώτος που δημοσιοποίησε τη θεωρία των αλόγων χάθηκε σε ναυάγιο γιατί καθετί άλογο και άμορφο είναι σωστό να κρύβεται. Τέλος, ο Πρόκλος ( μ.χ.) στο έργο του "Σχόλια εις Ευκλείδην" (65,15-21), μας λέει ότι Πυθαγόρας βρήκε και την ασυμμετρία και την σύσταση των κοσμικών σχημάτων δηλαδή τα πέντε κανονικά στερεά. Συνοψίζοντας, η ανακάλυψη της ασυμμετρίας αποδίδεται στη Σχολή των Πυθαγορείων με την απόδειξη της ασυμμετρίας της πλευράς προς τη διαγώνιο τετραγώνου και οι αρχές της θεωρίας των ασυμμέτρων που περιέχει το βιβλίο Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη ανάγονται στους πρώτους Πυθαγόρειους. Η ανάπτυξη της γεωμετρικής άλγεβρας, δηλαδή η χρήση γεωμετρικών αποδείξεων για την απόδειξη αλγεβρικών ταυτοτήτων, εξισώσεων και συστημάτων πρώτου και δευτέρου βαθμού και για τον υπολογισμό της τετραγωνικής και της κυβικής ρίζας αριθμών, ακολουθεί μια πορεία εξέλιξης, δια μέσου των Πυθαγορείων, στους συγχρόνους του Πλάτωνα. Στο τέλος του 5ου αιώνα π.χ. κεντρική σημασία στη γεωμετρική άλγεβρα αποκτά το πρόβλημα της ασυμμετρίας. Σημαντική συνεισφορά στην αποσαφήνιση του προβλήματος αυτού και στην έξοδο από τον μυστικισμό των Πυθαγορείων, είχε ο περίφημος γεωμέτρης Θεόδωρος ο Κυρηναίος. Ο Θεόδωρος είναι κατά το Διογένη Λαέρτιο δάσκαλος του Πλάτωνα και κατά τον Ιάμβλιχο Πυθαγόρειος. Στο διάλογο του Πλάτωνα "Θεαίτητος" (399 π.χ), εμφανίζεται σε μεγάλη ηλικία. Ο Θεαίτητος, μαθητής του Θεόδωρου και φίλος του Πλάτωνα, είχε λάβει μέρος στον Κορινθιακό πόλεμο 30 χρόνια πριν γραφτεί ο διάλογος (369 π.χ.), όπου τραυματίστηκε και πέθανε. Ο Πλάτωνας έγραψε το διάλογο αφιερωμένο στη μνήμη του, όπου περιγράφει σε μεγάλη έκταση τα προσόντα του και το χαρακτήρα του. Στο διάλογο, ο Θεαίτητος συζητά με το Σωκράτη και το Θεόδωρο τη φύση των ασύμμετρων μεγεθών. Σε ένα σύντομο χωρίο, περιγράφεται με λεπτομέρεια τι είχε βρεθεί προηγουμένως από τον Θεόδωρο και τι ανακάλυψε ο Θεαίτητος: 26

27 Πλάτων, Θεαίτητος 147d3-147e1 «ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ: Περί των πλευρών των τετραγώνων (περί δυνάμεων) κάτι σχεδίαζε αυτός εδώ ο Θεόδωρος αποδεικνύων ότι εκείνες (από των τετραγώνων με εμβαδόν) τριών και πέντε (τετραγωνικών) ποδών δεν είναι σύμμετρες ως προς το μήκος προς τη μετρική μονάδα (ποδιαία) και έτσι εξακολούθησε να λαμβάνει κάθε τετράγωνο, το ένα μετά του άλλου, μέχρι εκείνου των δέκα επτά ποδών. Σε αυτό κάπως σταμάτησε (ή: εδώ σταμάτησε).» 14 και συνεχίζει: «Μας ήρθε λοιπόν τότε στο νου κάτι σαν αυτό εδώ, επειδή οι δυνάμεις φαίνονταν να είναι άπειρες, να δοκιμάσουμε να τις συμπεριλάβουμε σε μια έννοια και με αυτήν να προσαγορεύσουμε όλες τις δυνάμεις» Ο Θεαίτητος, ονομάζει δυνάμεις «τις γραμμές που τετραγωνίζουν προμήκη αριθμό γιατί δεν μπορούν να είναι σύμμετρες ως προς το μήκος αλλά μόνο κατά το εμβαδόν». Προηγουμένως, χωρίζει τους αριθμούς σε τετράγωνους-ισόπλευρους αν μπορούν να ληφθούν σαν γινόμενο δύο ίσων παραγόντων και προμήκεις αν δεν μπορούν να ληφθούν σαν γινόμενο δύο ίσων παραγόντων. Η έκφραση "σύμμετρος ως προς το μήκος" (μήκει σύμμετρος), εμφανίζεται και στο Βιβλίο Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη και σημαίνει ότι υπάρχει κοινό μέτρο. Με σύγχρονα μαθηματικά "δύναμις" ονομάζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα α, όταν 2 2 α =Ν ρ, όπου * Ν, τετράγωνος αριθμός και ρ ευθύγραμμο τμήμα μήκους ενός ποδιού. Επομένως, σύμφωνα με το διάλογο του Πλάτωνα, ο Θεόδωρος απέδειξε ότι οι πλευρές των τετραγώνων με εμβαδά 3, 5 και μέχρι 17 τετραγωνικά πόδια είναι ασύμμετρες ως προς την πλευρά τετραγώνου μήκους ενός ποδιού. Ο Θεόδωρος απέδειξε, όπως θα λέγαμε σήμερα, την ασυμμετρία των 3, 5,... μέχρι και 17 με τη μονάδα. Δεν ξεκινάει από τη 2 και επομένως είναι λογικό να υποθέσουμε ότι η ασυμμετρία της 2 με τη μονάδα είχε ήδη αποδειχθεί. Ο Θεαίτητος μετά από αυτή τη διάλεξη βρήκε μια γενική λύση του προβλήματος που είχε επεξεργαστεί ο Θεόδωρος για λίγες περιπτώσεις. μη Ο Αριστοτέλης αναφέρει την απόδειξη της ασυμμετρίας της διαγώνιου με τη πλευρά τετραγώνου στα "Αναλυτικά Πρότερα" (41a 26-30). H απόδειξη γίνεται με απαγωγή 14 Η Αφύπνιση της Επιστήμης, B.L. Van Der Waerden, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

28 σε άτοπο αποδεικνύοντας ότι αν η διαγώνιος είναι σύμμετρη με τη πλευρά τετραγώνου ο ίδιος αριθμός θα είναι ταυτόχρονα περιττός και άρτιος. Στα "Μετά τα Φυσικά", χρησιμοποιεί το παράδειγμα της ασυμμετρίας της διαγωνίου προς τη πλευρά τετραγώνου, για να θέσει το θέμα του πως η επιστημονική έρευνα μπορεί να οδηγήσει σε συμπεράσματα που είναι αντίθετα στην ανθρώπινη διαίσθηση. Θεωρεί τη φιλοσοφία σαν την επιστήμη των πρώτων αρχών και αιτιών, ανώτερη από όλες τις άλλες επιστήμες. Η απόκτησή της μας λέει (απόσπασμα 983a11-23), οδηγεί σε μια κατάσταση αντίθετη από αυτήν που βρισκόμαστε όταν αρχίζουμε την έρευνα. Η ασυμμετρία της διαγωνίου («ἢ τὴν τῆς διαμέτρου ἀσυμμετρίαν»), προκαλεί έκπληξη στην αρχή («ἄρχονται... ἀπὸ τοῦ θαυμάζειν πάντες»), γιατί φαίνεται σε όλους εκπληκτικό ότι δεν μπορεί να μετρηθεί ακόμα και από τη μικρότερη μονάδα. Αλλά καταλήγουμε στο αντίθετο, όταν μαθαίνουμε την αιτία, γιατί δεν υπάρχει τίποτα που θα μπορούσε να εκπλήξει περισσότερο τον γεωμέτρη από το αν η διαγώνιος ήταν σύμμετρη. Η κύρια πηγή της μαθηματικής χρήσης της λέξης συμμετρίας στην Αρχαία Ελλάδα είναι τα "Στοιχεία του Ευκλείδη" (περ.300 π.χ.). Τη θεωρία των σύμμετρων και ασύμμετρων μεγεθών αναπτύσσει ο Ευκλείδης στο Βιβλίο Χ των Στοιχείων. Το Βιβλίο αυτό θεωρείται το δυσκολότερο Βιβλίο των Στοιχείων. Ο Ολλανδός μαθηματικός Simon Stevin ( ) το ονόμασε "Ο σταυρός του μαρτυρίου των μαθηματικών". Το σκοπό του Βιβλίου, αναφέρει ένα αραβικό χειρόγραφο του 1000 μ.χ. του Άραβα Aboû Othman, το οποίο είναι όπως πιστεύεται μέρος μιας χαμένης πραγματείας του Πάππου: «Ο σκοπός του Χ βιβλίου των "Στοιχείων" του Ευκλείδη είναι η έρευνα των σύμμετρων και ασύμμετρων, των ρητών και άρρητων μεγεθών. Η θεωρία αυτή έχει την αρχή της στη Σχολή του Πυθαγόρα. Αναπτύχθηκε σπουδαία από το Θεαίτητο τον Αθηναίο, ο οποίος επέδειξε στον κλάδο αυτό καθώς και σε άλλους κλάδους των μαθηματικών τέτοια οξύνοια, ώστε δίκαια να προκαλεί τον θαυμασμό. Εξ άλλου αυτός υπήρξε μια έξοχα προικισμένη διάνοια και αφοσιώθηκε με ευγενή ζήλο στην έρευνα της αλήθειας που περιέχεται στις επιστήμες, όπως μαρτυρεί και ο ομώνυμος διάλογος του Πλάτωνα. 'Όσον αφορά στις ακριβείς διακρίσεις των παραπάνω λεχθέντων μεγεθών και τις αναντίρρητες αποδείξεις των θεωρημάτων της θεωρίας αυτής, πιστεύω ότι αυτές κατά 28

29 κύριο λόγο οφείλονται στο μαθηματικό αυτό. Και αργότερα ο μέγας Απολλώνιος του οποίου η μεγαλοφυΐα στα μαθηματικά θαυμάστηκε σε μεγάλο βαθμό πρόσθεσε στις ανακαλύψεις αυτές θαυμάσιες θεωρίες μετά από πολλές προσπάθειες και εργασίες.» 15 Το Βιβλίο Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη ξεκινάει με τέσσερις ορισμούς που ορίζουν τη συμμετρία και ασυμμετρία σαν καθαρά μαθηματική έννοια: Ορισμός 1: Σύμμετρα μεγέθη λέγονται αυτά που μετρούνται με το ίδιο μέτρο και ασύμμετρα αυτά για τα οποία δεν υπάρχει κοινό μέτρο. Ορισμός 2: Ευθείες δυνάμει σύμμετρες λέγονται εκείνες που τα τετράγωνά τους μετρούνται από το ίδιο εμβαδόν και δυνάμει ασύμμετρες λέγονται οι ευθείες των οποίων τα τετράγωνα δεν μπορούν να έχουν οποιοδήποτε εμβαδόν κοινό μέτρο. Ορισμός 3: Για μια δοθείσα ευθεία, αποδεικνύεται ότι υπάρχουν άπειρες το πλήθος ευθείες σύμμετρες και ασύμμετρες με αυτήν, άλλες μόνο ως προς το μήκος και άλλες δυνάμει ασύμμετρες. Η δοθείσα ευθεία θα καλείται ρητή και οι ευθείες που είναι σύμμετρες με αυτήν είτε ως προς το μήκος και δυνάμει είτε μόνο δυνάμει θα καλούνται ρητές, οι δε ασύμμετρες προς αυτήν θα καλούνται άλογες (άρρητες). Ορισμός 4: Το τετράγωνο της δοθείσας ευθείας θα καλείται ρητό και τα σύμμετρα με αυτό ρητά και τα ασύμμετρα άλογα. Οι ευθείες που είναι πλευρές άλογων τετράγωνων είναι επίσης άλογες και αν πρόκειται για άλλα ευθύγραμμα σχήματα οι πλευρές των ισοδύναμων με αυτά τετραγώνων. Ο Ευκλείδης κάνει το διαχωρισμό σε ευθείες σύμμετρες ή ασύμμετρες ως προς το μήκος (μήκει σύμμετρες) και δυνάμει σύμμετρες ή ασύμμετρες. Οι δυνάμει σύμμετρες ή ασύμμετρες ευθείες (ευθύγραμμα τμήματα) είναι αυτές που τα τετράγωνά τους είναι σύμμετρα ή ασύμμετρα. Όπως εξηγείται στο Πόρισμα πριν την Πρόταση 10 του Βιβλίου X, όλες οι ευθείες που είναι σύμμετρες ως προς το μήκος είναι και δυνάμει σύμμετρες, αλλά οι ευθείες που είναι δυνάμει σύμμετρες δεν είναι όλες σύμμετρες και ως προς το μήκος. 15 Απόδοση στα νέα ελληνικά της ελληνικής μετάφρασης του Ευάγγελου Σταμάτη από το Βιβλίο ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΠΕΡΙ ΑΣΥΜΜΕΤΡΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΒΙΒΛΙΟΝ Χ, Εθνικό Τυπογραφείο

30 Ο Ορισμός 3 εισάγει την έννοια των ρητών και άρρητων ευθειών. Η σχετικότητα των όρων ρητός και άρρητος φανερώνεται από τον ορισμό. Μπορούμε να πάρουμε οπουδήποτε ευθύγραμμο τμήμα, να το ονομάσουμε ρητό και να ταξινομήσουμε τα άλλα ευθύγραμμα τμήματα σαν ρητά ή άρρητα σε σχέση με αυτό. Επίσης η σημασία του ρητού στον Ευκλείδη είναι ευρύτερη από τη σημερινή. Μια ευθεία δεν είναι ρητή μόνο αν είναι σύμμετρη ως προς το μήκος με μια ρητή ευθεία, αλλά είναι ρητή ακόμα και αν είναι δυνάμει σύμμετρη με μια ρητή ευθεία. Δηλαδή σε σύγχρονα μαθηματικά, αν ρ είναι ένα ρητό ευθύγραμμο τμήμα, τότε το m n ρ είναι ρητό, όπου n ρ είναι επίσης ρητό. Επειδή ο Ευκλείδης επεκτείνει τη σημασία του όρου ρητός, περιορίζει την έκταση του όρου άλογος (άρρητος). Άλογες ευθείες είναι οι ευθείες που δεν είναι σύμμετρες ούτε ως προς το μήκος ούτε δυνάμει με τη δοθείσα ρητή ευθεία. * mn, και m n ανάγωγο κλάσμα που δεν είναι τετράγωνο και το m Με τον Ορισμό 4 οι όροι ρητός και άλογος (άρρητος) εφαρμόζονται στα εμβαδά. Σύμφωνα με τον Ευκλείδη σε σύγχρονα μαθηματικά, αν ρ είναι ένα ρητό ευθύγραμμο τμήμα, το κ ή 2 2 ρ είναι ρητό και κάθε εμβαδό σύμμετρο με αυτό (της μορφής κ ρ όπου m * κ =, mn, και κ δεν είναι τετράγωνο) είναι ρητό ενώ κάθε εμβαδό n 2 της μορφής κ ρ είναι άρρητο. 16 Μετά τους τέσσερις ορισμούς ακολουθούν 115 προτάσεις, όπου αναπτύσσεται όλη η θεωρία των ασυμμέτρων. Ορίζονται τρείς θεμελιώδεις άλογες ευθείες, η μέση, η εκ δύο ονομάτων (διώνυμος) και η αποτομή και αποδεικνύεται ότι οι νέου είδους ευθείες είναι άλογες, μη αναγόμενες η μία στην άλλη. Κατόπιν οι διώνυμες διαιρούνται σε έξι υποκατηγορίες και οι έξι περιπτώσεις οδηγούν σε δεκατρείς τύπους άλογων ευθύγραμμων τμημάτων, οι οποίοι είναι μη αναγόμενοι ο ένας στον άλλο, επειδή σε 16 EUCLID THE THIRTEEN BOOKS OF THE ELEMENTS VOL 3, Sir Thomas L. Heath, Dover Publications, Definitions. 30

31 όλες τις περιπτώσεις τα τετράγωνα έχουν αλληλοαποκλειόμενες ιδιότητες. Για παράδειγμα, το τετράγωνο από μια μέση είναι μέση επιφάνεια. 17 Μια περίληψη του Βιβλίου Χ των Στοιχείων στην "Penny Cyclopaedia" 18 στο Λήμμα "Irrational quantity" (Άρρητη ποσότητα), γράφει ότι ο Ευκλείδης στο Βιβλίο Χ, ερευνά κάθε δυνατό είδος ευθείας που μπορεί να παρασταθεί στη μορφή ( a ± b) όπου ab, είναι σύμμετρες ευθείες. Όπως παρατηρεί ο T. L. Heath, στο εισαγωγικό σημείωμα της έκδοσης του Βιβλίου Χ και ο Van Der Waerden στην "Αφύπνιση της Επιστήμης", το Βιβλίο Χ των Στοιχείων συνδέεται στενά με το Βιβλίο XIII, που περιέχει τη θεωρία των κανονικών πολυέδρων. Όπως στο 10ο έτσι και στο 13ο Βιβλίο χρησιμοποιούνται κυρίως οι μέθοδοι της γεωμετρικής άλγεβρας και παρουσιάζουν αναντίρρητη ομοιότητα και στα δύο Βιβλία. Οι δε τύποι των αρρήτων που έχουν μελετηθεί και ταξινομηθεί στο 10ο Βιβλίο εμφανίζονται στις πλευρές των κανονικών πολυέδρων στο 13ο. Ο Αρχιμήδης ( π.Χ.) κατόρθωσε να επεκτείνει το πεδίο εφαρμογής των μαθηματικών στο φυσικό κόσμο πέρα από τη Γεωμετρία, στην Οπτική, τη Μηχανική και την Υδροστατική. Συνήθιζε να στέλνει τις μαθηματικές του ανακαλύψεις, πριν τις δημοσιεύσει, στους φίλους του στην Αλεξάνδρεια, κυρίως στον Κόνωνα και μετά τον θάνατό του στον Δοσίθεο μαθητή του Κόνωνα. Στη μαθηματική του πραγματεία "Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου" στον Πρόλογο του Βιβλίου 1, απευθύνεται στο Δοσίθεο και αναφέρει ότι ανακάλυψε θεωρήματα άξια λόγου και ασχολήθηκε με τις αποδείξεις τους, μεταξύ άλλων ότι «η επιφάνεια κάθε σφαίρας είναι τετραπλάσια του μεγίστου κύκλου της» και ότι «ο κύλινδρος που έχει βάση μέγιστο κύκλο σφαίρας και ύψος ίσο με τη διάμετρό της, έχει όγκο ίσο με τα 32 του όγκου της σφαίρας και η επιφάνειά του είναι επίσης τα 32 της επιφάνειας της σφαίρας.» και συνεχίζει: 17 Η ΑΦΥΠΝΙΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ, B.L. Van Der Waerden, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης 2003, σελ Η "Penny Cyclopaedia" της "Εταιρείας για τη Διάδοση των Χρήσιμων Γνώσεων" (Society for the Diffusion of Useful Knowledge), ήταν μια Αγγλική εγκυκλοπαίδεια σε είκοσι επτά τόμους και τρία συμπληρώματα που δημοσιεύθηκαν το διάστημα

32 «Οι ιδιότητες αυτές προϋπήρχαν φυσικά στα αναφερθέντα σχήματα, αγνοούνταν όμως από αυτούς που ασχολήθηκαν με τη γεωμετρία πριν από εμάς και κανένας από αυτούς δεν είχε ανακαλύψει ότι μεταξύ αυτών των σχημάτων υπάρχει συμμετρία.» Από τις ανακαλύψεις που αναφέρει ο Αρχιμήδης προηγουμένως και τις σχέσεις που προκύπτουν, φαίνεται ότι η συμμετρία χρησιμοποιείται με την έννοια του σύμμετρου, δηλαδή οι ορισμοί των γεωμετρικών σχημάτων που αναφέρονται ενέχουν γεωμετρικά μεγέθη τα οποία είναι σύμμετρα, με άλλα λόγια έχουν κοινό μέτρο. Ο Αρχιμήδης βρήκε επίσης τις εξισώσεις ισορροπίας απλών μοχλών και υπολόγισε τα κέντρα βάρους. Σύμφωνα με την παράδοση, ενθουσιασμένος για την ανακάλυψη των δυνατοτήτων των μοχλών είπε τη φράση: «Δός μοι πᾷ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω» δηλαδή «δώσε μου πού να σταθώ και τη γη θα κινήσω». Στη φυσική του πραγματεία "Περί επιπέδων ισορροπιών", Βιβλίο 1, χρησιμοποιεί τη λέξη συμμετρία με τη μαθηματική της έννοια, στις Προτάσεις 6 και 7, όπου διατυπώνει το Νόμο των Μοχλών και της Ισορροπίας των Βαρών: «Πρόταση 6: Τα σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις των οποίων ο λόγος είναι αντιστρόφως ανάλογος προς το λόγο των βαρών.» «Πρόταση 7: Αλλά και ασύμμετρα αν είναι τα μεγέθη, όμοια θα ισορροπήσουν σε αποστάσεις που έχουν λόγο αντιστρόφως ανάλογο προς το λόγο των μεγεθών.» 1.4 Η εξέλιξη της έννοιας της συμμετρίας στην Αρχιτεκτονική Τα ιστορικά στοιχεία δείχνουν ότι οι όροι σύμμετρος και ασύμμετρος που συναντάμε στα μαθηματικά κείμενα του Πλάτωνα, Αριστοτέλη, Ευκλείδη και Αρχιμήδη, που εκφράζουν τη σχέση δύο συνεχών μεγεθών που έχουν ή δεν έχουν κοινό μέτρο, δεν πέρασαν αυτούσιοι στις μεταφράσεις των έργων των Αρχαίων Ελλήνων στα Αραβικά και στα Λατινικά. Οι όροι αποδόθηκαν στα Λατινικά από τα Αρχαία Ελληνικά ετυμολογικά, με τις λέξεις "commensurabiles" και "incommensurabiles", ενώ συναντάμε και τους τύπους "communicantes" και "incommunicantes" σε μεσαιωνικές μεταφράσεις των Στοιχείων του Ευκλείδη από τα Αραβικά στα Λατινικά. Σε ορισμένες περιπτώσεις, ο Λατινικός όρος που υιοθετήθηκε αλλάζει νόημα, όπως στο 32

33 έργο του Βοήθιου 19 "Institutio arithmetica", όπου ο όρος "incommensurabiles" χρησιμοποιείται για αριθμούς (ακέραιους) που είναι σχετικά πρώτοι. Η εξέλιξη της λέξης συμμετρία με την έννοια της σωστής αναλογίας, που συναντάμε στην Αρχαία Ελληνική Γραμματεία και έχει σχέση με το καλό και το ωραίο, συνδέεται με την Αρχιτεκτονική 20. Ο Βιτρούβιος ήταν Ρωμαίος συγγραφέας, αρχιτέκτονας και μηχανικός που έζησε τον 1ο αιώνα π.χ. Είναι κυρίως γνωστός για την πραγματεία του περί αρχιτεκτονικής "De architectura", έργο που σήμερα αναφέρεται με τον τίτλο "Δέκα Βιβλία Αρχιτεκτονικής" και αποτελεί το μοναδικό κείμενο αρχιτεκτονικής θεωρίας και πρακτικής που διασώζεται από την κλασική εποχή. Το έργο αυτό βασισμένο στα ελληνικά διδάγματα, επέζησε για σχεδόν δύο χιλιετίες και απετέλεσε το σημείο εκκίνησης για τις σπουδές στην Τέχνη και τη Μηχανική. Ο Βιτρούβιος στο έργο του χρησιμοποίησε τη λέξη "summetria" για να αποδώσει το νόημα της αναλογίας, μεταφέροντας στα λατινικά την ελληνική λέξη συμμετρία. Το 2ο Βιβλίο της "De architectura" ξεκινάει προσδιορίζοντας τις Θεμελιώδεις Αρχές της Αρχιτεκτονικής: «Η Αρχιτεκτονική βασίζεται στην Τάξη, τη Διάθεση, την Ευρυθμία, τη Συμμετρία, την Κοσμιότητα και την Οικονομία.» Τάξη είναι ο σχεδιασμός και η διάρθρωση του οικοδομήματος με απόλυτη αίσθηση του μέτρου και της σωστής αναλογίας των μερών με το γενικό σύνολο. Διάθεση είναι η κατάλληλη διάταξη των στοιχείων. Ευρυθμία είναι η όμορφη εμφάνιση των μερών ξεχωριστά αλλά και σαν σύνολο. Οικονομία είναι η ισορροπημένη και η μη αλόγιστη κατανομή των υλικών καθώς και η προσεγμένη διάθεση του συνολικού χώρου. Συμμετρία όπως γράφει ο Βιτρούβιος: «Η συμμετρία είναι η κατάλληλη συμφωνία μεταξύ των μερών του έργου και η σχέση μεταξύ των διαφορετικών μερών και του συνόλου, σύμφωνα με ένα μέρος επιλεγμένο 19 Λατίνος φιλόσοφος και πολιτικός που άκμασε στο τέλος του 5ου και αρχές του 6ου αιώνα μ.χ. 20 From Summetria to Symmetry: The Making of a Revolutionary Scientific Concept, Giora Hon, Bernard R. Goldstein, Springer 2008, Κεφ 4. 33

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή Η ιδέα, ότι όλα τα υλικά πράγµατα συντίθενται από αυτά τα τέσσερα πρωταρχικά στοιχεία, αποδίδεται στον προγενέστερό Εµπεδοκλή, Έλληνα φιλόσοφο, ποιητή και πολιτικό [493-433 π.χ.] που γεννήθηκε στον Ακράγαντα

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ»

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» ΤΑΚΕΦΑΛΑΙΑΤΟΥΒΙΒΛΙΟΥ 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2. ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ:ΘΑΛΗΣ, ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ, ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ, ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ Η ΕΠΙΝΟΗΣΗ; 4. Ο ΘΑΥΜΑΣΤΟΣ ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Επιμέλεια: Μιχαηλίσιν Άννα- Μαρία, Τζιώτης Δημήτρης, Τσάτσα Κωνσταντίνα Η συμμετρία στο φυσικό κόσμο Η συμμετρία που κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ»

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Τμήμα 5 ης -6 ης Δημοτικού Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Θαλής ο Μιλήσιος 630/635 π.χ. 543 π.χ. Ο πρώτος φιλόσοφος! Ο Θαλής ο Μιλήσιος ανήκει στους προσωκρατικούς

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά περί Συμμετρίας

1. Γενικά περί Συμμετρίας 1. Γενικά περί Συμμετρίας ιδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε να... o αναφέρετε τη διττή σημασία της έννοιας της συμμετρίας από την αρχαία Ελλάδα μέχρι και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 2 Εισαγωγή... 3 Οι αρχές του σύμπαντος κατά τον Αριστοτέλη... 3 Ο υποσελήνιος χώρος... 3 Ο χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Σύμφωνα με τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας που διατύπωσε ο Αϊνστάιν, το βαρυτικό πεδίο κάθε μάζας δημιουργεί μια καμπύλωση στον χώρο (μάλιστα στον χωροχρόνο),

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΦΑΙΔΡΑ ΚΟΥΡΒΙΣΙΑΝΟΥ ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΑΤΣΑΝΤΩΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΚΑΣΙΜΑΤΗΣ Ερευνητικά Ερωτήματα Ποιοι είναι ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Θαλής ο Μιλήσιος

Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Θαλής ο Μιλήσιος ΕΝΟΤΗΤΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ Κείμενο 1 Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Είναι γνωστό πως στην Αρχαία Ελλάδα γίνονται τα πρώτα σημαντικά βήματα για την ανάπτυξη των επιστημών,

Διαβάστε περισσότερα

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1 Πίνακες πολλαπλασιασμού Το Βεδικό τετράγωνο Στάμη Τσικοπούλου Σ τα μαθηματικά και ιδιαίτερα στην αριθμητική ένας πίνακας πολλαπλασιασμού (ή αλλιώς ένας πυθαγόρειος πίνακας) είναι ένας πίνακας που χρησιμοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2011 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Υπολογισμός (ακρίβεια έως 5 δεκαδικά) Yale Babylonian collection, 1800 π.χ. 24 51 10 1+ + + = 1.41421296 2 3 60 60 60 Τετραγωνική ρίζα του 2 Ποια είναι η

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ

1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ 1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ Από τα αρχαιότατα χρόνια, έχουν καταβληθεί σηµαντικές προσπάθειες οι απειράριθµες ουσίες που υπάρχουν στη φύση να αναχθούν σε ενώσεις λίγων

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΟ. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΟΥΡΑΝΟΙ. Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου

ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΟ. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΟΥΡΑΝΟΙ. Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΟ. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΟΥΡΑΝΟΙ Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου Όσοι διαβάσατε «ΤΟ ΙΔΙΟΝ» www.omas-e.gr, θα διαπιστώσατε ότι στο κέντρο των συμπάντων υπάρχει η φυσαλίδα που στέλνει

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 0.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. Σε αυτό το επίπεδο περιλαµβάνονται δραστηριότητες ταξινόµησης, αναγνώρισης και περιγραφής διαφόρων σχηµάτων. Είναι σηµαντικό να χρησιµοποιούνται πολλά διαφορετικά και ποικίλα

Διαβάστε περισσότερα

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να γίνει η ανθυφαίρεση, μεταξύ της διαγωνίου δ και της πλευράς α ενός κανονικού πενταγώνου.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να γίνει η ανθυφαίρεση, μεταξύ της διαγωνίου δ και της πλευράς α ενός κανονικού πενταγώνου. ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να γίνει η ανθυφαίρεση, μεταξύ της διαγωνίου δ και της πλευράς α ενός κανονικού πενταγώνου. Διαπραγμάτευση του προβλήματος: (Απευθύνεται σε αναγνώστη με ελάχιστες πρότερες γνώσεις) Το παραπάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Λίγα λόγια για τα Πλατωνικά και Αρχιµήδεια Στερεά

Λίγα λόγια για τα Πλατωνικά και Αρχιµήδεια Στερεά Λίγα λόγια για τα Πλατωνικά και Αρχιµήδεια τερεά (Κανονικά και Ηµικανονικά Πολύεδρα) Λίγα Ιστορικά στοιχεία ηµ. Μπουνάκης χ. ύµβουλος Μαθηµατικών dimitrmp@sch.gr Ιούνιος 2011 Κανονικό Πολύεδρο είναι το

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 9 10 (Γ Γυμνασίου Α Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Ποιο από τα ακόλουθα είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμού 20102010 με τον

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS 246 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS Φουναριωτάκης Αθανάσιος Μαθηματικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Προσωπική ιστοσελίδα:

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci»

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Μάθημα: Άλγεβρα Υπεύθυνος καθηγητής: κ. Σκοτίδας Τάξη: Β Λυκείου Τμήμα Β2 Ονοματεπώνυμο: Λαμπρινή Μαρίνα Λάππα Σχολικό έτος: 2010 2011 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) Ποιο πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί 1 Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες 1. Ο χάρτης δείχνει

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Α ΡΙΑΝΟΥ 114 10558 ΑΘΗΝΑ Τηλέφωνο: 2103231788 - Fax: 2103223296

1 ο ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Α ΡΙΑΝΟΥ 114 10558 ΑΘΗΝΑ Τηλέφωνο: 2103231788 - Fax: 2103223296 1 ο ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Α ΡΙΑΝΟΥ 114 10558 ΑΘΗΝΑ Τηλέφωνο: 2103231788 - Fax: 2103223296 Πολιτιστικό πρόγραµµα: Επίσκεψη στο Μουσείο Ηρακλειδών 21/2/2012 Σ.Πατσιοµίτου Η επίσκεψη στο Μουσείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2012. 15.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2012. 15.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 15.03.12 Χ. Χαραλάμπους Έργα Στοιχεία Δεδομένα Φαινόμενα ή Σφαιρικά Οπτικά Κατοπτρικά Στοιχεία Μουσικής Βιβλίο περί διαιρέσεων Πορίσματα Κωνικά Τόποι προς επιφάνειες Ψευδάρια Μηχανική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ, ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ, ΤΕΧΝΗ

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ, ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ, ΤΕΧΝΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ «ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ ΣΥΜΒΟΥΛΕΥΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΗ» ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ Η σειρά σεμιναρίων με θέμα ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ, ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ, ΤΕΧΝΗ διοργανώνεται

Διαβάστε περισσότερα

Αισθητική φιλοσοφία της τέχνης και του ωραίου

Αισθητική φιλοσοφία της τέχνης και του ωραίου Αισθητική φιλοσοφία της τέχνης και του ωραίου Αικατερίνη Καλέρη, Αν. Καθηγήτρια το μάθημα Αισθητική διδάσκεται στο 4ο έτος, Ζ εξάμηνο εισάγει στις κλασσικές έννοιες και θεωρίες της φιλοσοφίας της τέχνης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 015 Εισαγωγικό σημείωμα Σύμφωνα με τις οδηγίες της ΔΕΠΠΣ: Στα Μαθηματικά ελέγχονται οι ικανότητες των μαθητών/τριών στην κατανόηση και στην

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Μακρή EFIAP. www.michalismakri.com

Μιχάλης Μακρή EFIAP. www.michalismakri.com Μιχάλης Μακρή EFIAP www.michalismakri.com Γιατί κάποιες φωτογραφίες είναι πιο ελκυστικές από τις άλλες; Γιατί κάποιες φωτογραφίες παραμένουν κρεμασμένες σε γκαλερί για μήνες ή και για χρόνια για να τις

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT Βασιλίσιν Μιχάλης, Δέφτο Χριστίνα, Ιλινιούκ Ίον, Κάσα Μαρία, Κουζμίδου Ελένη, Λαμπαδάς Αλέξης, Μάνε Χρισόστομος, Μάρκο Χριστίνα, Μπάμπη Χριστίνα, Σακατελιάν Λίλιτ, Σαχμπαζίδου

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο Το Πυθαγόρειο θεώρημα: μία διάσημη μαθηματική σχέση στον εργαστηριακό πάγκο της Φυσικής Παναγιώτης Μουρούζης Το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο συνήθως περιγράφεται φορμαλιστικά από μία σχέση της μορφής 2

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 1. Ο Άρης έφαγε 5 μιας σοκολάτας και ο Φίλιππος έφαγε 1 10 σοκολάτας περισσότερο από τον Άρη. Τι μέρος της σοκολάτας έμεινε;

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Χρυσή τομή. 3.1 Εισαγωγή

Χρυσή τομή. 3.1 Εισαγωγή Χρυσή τομή 3.1 Εισαγωγή Ίσως όλοι έχουμε την εντύπωση πως αυτό που λέγεται λόγος χρυσής τομής, είναι μία έμπνευση των αρχαίων Ελλήνων την οποία εκμεταλλεύτηκαν για να κατασκευάσουν κτίσματα ή να δημιουργήσουν

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο.

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ας μελετήσουμε τι συμβαίνει, όταν ένα υγρό περιέχεται σε ένα ακίνητο δοχείο. Τι δυνάμεις ασκεί στο δοχείο; Τι σχέση έχουν αυτές με το βάρος του υγρού; Εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών).

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών). ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.6 Ονομάζουν, περιγράφουν και ταξινομούν τρισδιάστατα σχήματα (κύβο, ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, πυραμίδα, σφαίρα, κύλινδρο, κώνο),

Διαβάστε περισσότερα

Αν και η πρώτη αντίδραση από πολλούς είναι η γελοιοποίηση για τη ανάλυση τέτοιων θεμάτων, παρόλα αυτά τα ερωτηματικά υπάρχουν.

Αν και η πρώτη αντίδραση από πολλούς είναι η γελοιοποίηση για τη ανάλυση τέτοιων θεμάτων, παρόλα αυτά τα ερωτηματικά υπάρχουν. Είναι γνωστή σε όλους η σειρά επιστημονικής φαντασίας Star Trek η οποία έχει φανατικούς θαυμαστές σε όλο τον κόσμο. Οι τεχνολογικές καινοτομίες και οι «φανταστικές» τεχνολογίες που είχε συμπεριλάβει στο

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα