Διπλωματική Εργασία. «Συμμετρία: Μια διαδρομή από τις απαρχές της έννοιας μέχρι τη σύγχρονη μαθηματική της διατύπωση»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διπλωματική Εργασία. «Συμμετρία: Μια διαδρομή από τις απαρχές της έννοιας μέχρι τη σύγχρονη μαθηματική της διατύπωση»"

Transcript

1 Διπλωματική Εργασία «Συμμετρία: Μια διαδρομή από τις απαρχές της έννοιας μέχρι τη σύγχρονη μαθηματική της διατύπωση» ΜΙΧΑΛΟΠΟΥΛΟΥ ΜΕΤΑΞΙΑ Α.Μ. Δ Επιβλέπων Καθηγητής Λάππας Διονύσιος ΑΘΗΝΑ

2 Η παρούσα Διπλωματική Εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης που απονέμει το Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών» Εγκρίθηκε την από Εξεταστική Επιτροπή αποτελούμενη από τους : Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα Υπογραφή 1) Λάππας Διονύσιος (επιβλέπων Καθηγητής) Aν. Καθηγητής. 2) Ράπτης Ευάγγελος Καθηγητής. 3) Σπύρου Παναγιώτης Aν. Καθηγητής. 2

3 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω: Τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Λάππα Διονύσιο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε, την καθοδήγησή του και τις συμβουλές του σε κάθε βήμα της εκπόνησης της Διπλωματικής μου Εργασίας και το χρόνο που μου διέθεσε. Τους καθηγητές κ. Ράπτη Ευάγγελο και κ. Σπύρου Παναγιώτη που με τίμησαν με τη συμμετοχή τους στην Εξεταστική Επιτροπή. Τους διδάσκοντες του Π.Μ.Σ. "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών". Την κ. Διονυσία Μπακογιάννη, για την βοήθειά της, τη προθυμία και την άμεση ανταπόκρισή της σε οτιδήποτε χρειάστηκα. Τους συμφοιτητές και φίλους που γνώρισα κατά τη διάρκεια των σπουδών μου, για τη συνεργασία τους, την αλληλοϋποστήριξη και τις ιδέες τους. Τον αείμνηστο καθηγητή μου κ. Ανδρεαδάκη Στυλιανό, για το ενδιαφέρον του, την βοήθειά του και τον χρόνο που μου διέθεσε. Τους συναδέλφους καθηγητές του 1ου ΕΠΑ.Λ. Κορωπίου, για τη συμπαράσταση και τη βοήθεια που μου προσέφεραν. Την οικογένειά μου, για τη κατανόηση και την υπομονή της. 3

4 Στον πατέρα μου και στους φίλους μου. 4

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περίληψη 7 Κεφάλαιο 1 - Η Ιστορία της Λέξης Συμμετρία 1.1 Εισαγωγή Η έννοια της λέξης συμμετρία στην Αρχαία Ελληνική Γραμματεία Η έννοια της λέξης συμμετρία στα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά Η εξέλιξη της έννοιας της συμμετρίας στην Αρχιτεκτονική Η συμμετρία την Πρώιμη Σύγχρονη Εποχή Η χρήση της λέξης συμμετρία στη Φυσική Ιστορία τον 18ο και 19ο αιώνα Βοτανολογία Κρυσταλλογραφία Ζωολογία Η χρήση της λέξης συμμετρία από τους μαθηματικούς της εποχής της Γαλλικής Επανάστασης Laplace Monge Legendre Lacroix Η Mαθηματική διατύπωση της συμμετρίας Η Ταξινόμηση των Πεπερασμένων Απλών Ομάδων 64 Κεφάλαιο 2 - Τα Μαθηματικά της Συμμετρίας 2.1 Μετασχηματισμοί στο Ευκλείδειο Επίπεδο Ομοπαραλληλικοί Μετασχηματισμοί και Ισομετρίες Ταξινόμηση των Ισομετριών του Επιπέδου Τα Θεωρήματα των Ισομετριών στο Ευκλείδειο Επίπεδο Ισομετρίες στο Χώρο Ομάδες συμμετρίας Θεμελιώδης Περιοχή Οι συμμετρίες του τετραγώνου και του κανονικού εξαγώνου 96 Κεφάλαιο 3 - Ομάδες Συμμετρίας στη Διακοσμητική Τέχνη 3.1 Εισαγωγή Οι Ομάδες Συμμετρίας των Ροζετών G Οι Ροζέτες στη Διακοσμητική Τέχνη Οι Ομάδες Συμμετρίας των Ζωοφόρων G Οι Διακοσμητικές Λωρίδες στη Διακοσμητική Τέχνη Ταξινόμηση των Περιοδικών Μοτίβων και Ορολογία 124 5

6 3.7 Οι Ομάδες Συμμετρίας Διακοσμητικού Σχεδίου Κάλυψης του Επιπέδου G Ομάδες Συμμετρίας Διακοσμητικού Σχεδίου Κάλυψης του Επιπέδου και Διακοσμητική Τέχνη 135 Κεφάλαιο 4 - Συμμετρία Ομοιότητας 4.1 Εισαγωγή Διαστολή Λογαριθμική Σπείρα Μετασχηματισμοί Ομοιότητας στο Επίπεδο Ομάδες Συμμετρίας Ομοιότητας Οι Ομάδες Συμμετρίας Ομοιότητας στη Διακοσμητική Τέχνη Αυτοομοιότητα στη Φύση και Φράκταλ Συμμετρία στο Χάος 177 Βιβλιογραφία 187 6

7 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εξέλιξη της έννοιας της συμμετρίας συμβαδίζει δυναμικά με τις αλλαγές στην επιστημονική γνώση. Η έννοια δημιουργήθηκε στην προσπάθεια του ανθρώπου να κατανοήσει την ομορφιά και την τάξη του φυσικού κόσμου και την αρμονία των αναλογιών. Οι αρχές της συμμετρίας εφαρμόστηκαν στη γλυπτική, στη ζωγραφική, την αρχιτεκτονική, την διακόσμηση και το σχέδιο. Η σημασία της λέξης συμμετρία και η χρήση της παίρνει διαχρονικά διάφορες μορφές. Χρειάστηκαν πολλοί αιώνες και η ανάπτυξη της Θεωρίας ομάδων, για να καταλήξουμε στη γενική αφηρημένη μαθηματική θεωρία της συμμετρίας η οποία ομαδοποιεί φαινομενικά διαφορετικές συμμετρίες και αποτελεί τη βάση για όλες τις ειδικές μορφές της. H Θεωρία ομάδων και η κρυσταλλογραφική ορολογία έγιναν ισχυρά εργαλεία στη μελέτη της διακοσμητικής τέχνης από τη Παλαιολιθική εποχή μέχρι σήμερα. Η σπειροειδής τάση στη φύση, που εμφανίζεται στην ανάπτυξη κάποιων έμβιων όντων και στην περιστροφική κίνηση, όπως για παράδειγμα οι υδάτινες δίνες, οδήγησαν στη συμμετρία ομοιότητας και στις ομάδες συμμετρίας ομοιότητας, που εμφανίζονται και στη διακοσμητική τέχνη. Η αυτοομοιότητα των ακτογραμμών και των οροσειρών, μελετήθηκε από τη Θεωρία των φράκταλ, ενώ φαινόμενα απρόβλεπτα όπως ο καιρός, οδήγησαν στη Θεωρία του χάους. Η συμμετρία εμφανίζεται και στο χάος και είναι συμμετρία μετά από μεγάλο αριθμό επαναλήψεων, στο μέσο όρο. Λέξεις κλειδιά: Συμμετρία, ομάδες, διακοσμητική τέχνη, συμμετρία ομοιότητας, αυτοομοιότητα, χάος. 7

8 ABSTRACT The evolution of the concept of symmetry is consistent with the dynamic changes in scientific knowledge. The concept was created in man's attempt to understand the beauty and order of the natural world and the harmony of proportions. The symmetry principles applied in sculpture, painting, architecture, decoration and design. The meaning of the word symmetry and its use over time takes different forms. It took many centuries and the development of group theory, to form a general abstract mathematical theory of symmetry which compiles seemingly different symmetries and forms the basis for all special forms. Group theory and crystallographic terminology, became powerful tools in the study of decorative art from the Paleolithic era up until now. The spiral tendency in nature, which occurs in the development of some living beings and rotational fluid motion, such as whirlpools, led to symmetry of similarity and the symmetry groups of similarity, also present in decorative art. Self-similarity of coastlines and mountain ranges, were studied by fractal theory and unpredictable phenomena such as weather, led to the theory of chaos. Symmetry appears in chaos and it is symmetry after a large number of iterations, in average. Key words: Symmetry, groups, decorative art, similarity symmetry, self-similarity, chaos. 8

9 Κεφάλαιο 1 - Η Ιστορία της Λέξης Συμμετρία 1.1 Εισαγωγή Στην καθημερινή μας γλώσσα χρησιμοποιούμε τη λέξη συμμετρία για να εκφράσουμε κάτι που έχει σωστές αναλογίες και υποδηλώνει την αρμονική και ισορροπημένη σχέση των μερών που συγκροτούν ένα σύνολο. Στα μαθηματικά είναι η ιδιότητα ότι κάτι παραμένει αναλλοίωτο από ένα σύνολο μετασχηματισμών. Οι απαρχές της θεωρίας της συμμετρίας, υπάρχουν στα μαθηματικά των Πυθαγορείων, στην ατομική θεωρία του Λεύκιππου και του Δημόκριτου και στη φιλοσοφία του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη. Η συμμετρία υπάρχει στην αρχιτεκτονική, στη ζωγραφική, στη γλυπτική, στη διακόσμηση, στη μουσική και γενικά στα δημιουργήματα του ανθρώπου. Η συμμετρία είναι πανταχού παρούσα στη φύση. Στα έμβια όντα, είναι εμφανής στη δομή και την εξωτερική τους μορφή, από τους μικροοργανισμούς μέχρι τα άνθη, τα φυτά, τα ζώα και τον άνθρωπο. Υπάρχει και στα ανόργανα υλικά, όπως οι κρύσταλλοι του νερού και οι νιφάδες του χιονιού. Η πορεία της εξέλιξης της έννοιας, λόγω του πλήθους των εφαρμογών της, περνάει μέσα από διάφορα επιστημονικά πεδία μέχρι τη τελική μαθηματική της διατύπωση. Ο Πυθαγόρας, ίδρυσε τον 6ο αιώνα π.χ. Σχολή στην Σάμο, που αργότερα μετέφερε στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Στη Σχολή διδάσκονταν μαθηματικά, γεωμετρία, μουσική, αστρονομία και φιλοσοφία. Οι Πυθαγόρειοι, ασχολήθηκαν κατά κύριο λόγο με τη γεωμετρία, τις ιδιότητες των αριθμών, μελέτησαν τις αριθμητικές αναλογίες της μουσικής κλίμακας και τις αρχές που διέπουν το σύμπαν. Σύμφωνα με τη διδασκαλία τους, το σύμπαν χαρακτηρίζεται από τάξη και ορθολογικότητα. Η ιδέα της παγκόσμιας αρμονίας, που βρίσκουμε και σε άλλους φιλοσόφους όπως ο Ηράκλειτος, ο Εμπεδοκλής και ο Φιλόλαος ανάγεται στους Πυθαγόρειους. Ο Πυθαγόρας δεν έγραψε τίποτα. Από τη βιογραφία του, που έγραψε ο Διογένης Λαέρτιος διαβάζουμε ότι, ο Πυθαγόρας θεωρούσε από τα σχήματα πιο ωραία, τη σφαίρα από τα στερεά και τον κύκλο από τα επίπεδα. Αυτό δείχνει ότι αναγνώριζε σαν πιο ωραία σχήματα, αυτά που έχουν τη μεγαλύτερη συμμετρία. Οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν τα πέντε κανονικά στερεά, το τετράεδρο, τον κύβο, το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο του οποίου οι πλευρές είναι κανονικά πεντάγωνα και το εικοσάεδρο με πλευρές ισόπλευρα τρίγωνα. Σύμφωνα με τον Weyl, η ύπαρξη των τριών πρώτων 9

10 πολύεδρων είναι περίπου προφανής γεωμετρικά. Αλλά η ανακάλυψη των δύο τελευταίων είναι μία από τις ωραιότερες και μοναδικές στιγμές σε ολόκληρη την ιστορία των μαθηματικών. Με αρκετή βεβαιότητα μπορεί να αποδοθεί στους Έλληνες αποίκους της κάτω Ιταλίας οι οποίοι ενδέχεται να συνέλαβαν την αφηρημένη μορφή του κανονικού δωδεκάεδρου, μέσω των κρυστάλλων του πυριτίου, ενός θειούχου ορυκτού που αφθονεί στη Σικελία. O Ιάμβλιχος, όπως θα δούμε παρακάτω αναφέρει ότι, οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν το κανονικό εικοσάεδρο και το κανονικό δωδεκάεδρο. Το Βιβλίο XIII των Στοιχείων του Ευκλείδη, ασχολείται αποκλειστικά με τις ιδιότητες των πέντε κανονικών στερεών. Τα Στοιχεία κλείνουν με την απόδειξη ότι, δεν υπάρχει άλλο κανονικό πολύεδρο εκτός από αυτά τα πέντε. Τα κανονικά πολύεδρα με τη μορφή Ακτινόζωων (πρωτόζωα με σφαιρική ακτινωτή συμμετρία που βρίσκονται σε αφθονία στο πλαγκτόν). Από μονογραφία του Ερνστ Χέκελ (Ernst Haeckel ) Οι Ατομικοί φιλόσοφοι, Λεύκιππος και Δημόκριτος, συνέδεσαν τη συμμετρία με τα συστατικά της ύλης. Υποστήριξαν ότι κάθε φυσικό αντικείμενο συνίσταται από 10

11 ελάχιστα αδιαίρετα σωματίδια που τα ονόμασαν άτομα. Σύμφωνα με τη θεωρία τους, τα δομικά συστατικά του σύμπαντος, μπορούν να έχουν συμμετρική μορφή, ή μπορεί να μην έχουν κανονικό σχήμα. Για πολλούς αιώνες, οι γεωμέτρες μελέτησαν τη μαθηματική ομορφιά και τη συμμετρία των κανονικών πολύεδρων. Τα κανονικά πολύεδρα λέγονται Πλατωνικά, επειδή ο Πλάτων τα χρησιμοποιεί σαν μέρος της κοσμολογίας του. Στο διάλογο "Τίμαιος" ο Πλάτων πραγματεύεται τον φυσικό κόσμο και την δημιουργία του και επιχειρεί να μαθηματικοποιήσει τη φύση. Κατά τον Τίμαιο, το σώμα του κόσμου, δημιουργήθηκε από τέσσερα στοιχεία, τη φωτιά, τον αέρα, το νερό, και τη γη, που συνδέονται μεταξύ τους με σχέση αναλογίας. Το σώμα του κόσμου έχει το σχήμα της σφαίρας, που είναι το πιο πλήρες, και το πιο ομοιόμορφο σχήμα. Τα σχήματα που εγγράφονται στη σφαίρα είναι τα κανονικά πολύεδρα. Ο Πρόκλος δίνει μια άλλη εξήγηση για την επιλογή της σφαίρας από τον Πλάτωνα, ότι έχει τον μεγαλύτερο όγκο από όλα τα στερεά με το ίδιο εμβαδόν. Τα τέσσερα στοιχεία τώρα, από τα οποία δημιουργείται ο κόσμος, είναι στερεά σώματα, που περικλείονται από επίπεδες επιφάνειες που δημιουργούνται από τρίγωνα. Όλα τα τρίγωνα συντίθεται από δύο είδη στοιχειωδών τριγώνων, το ορθογώνιο ισοσκελές και το ορθογώνιο σκαληνό. Από τα ορθογώνια σκαληνά τρίγωνα, επιλέγεται αυτό που έχει υποτείνουσα διπλάσια από τη μικρότερη κάθετη πλευρά. Έξι ορθογώνια σκαληνά τρίγωνα δημιουργούν ένα ισόπλευρο τρίγωνο (Σχήμα 1.1a). Με βάση αυτό το ισόπλευρο τρίγωνο ο Τίμαιος κατασκευάζει το τετράεδρο, το οκτάεδρο και το εικοσάεδρο. Σχήμα 1.1 Για την κατασκευή του κύβου, χρησιμοποιεί ορθογώνια ισοσκελή τρίγωνα. Τέσσερα ορθογώνια ισοσκελή τρίγωνα σχηματίζουν ένα τετράγωνο (Σχήμα 1.1b). Την 11

12 κατασκευή του δωδεκάεδρου αποδίδει στο θεό. Σύμφωνα με τη θεωρία του Πλάτωνα, το άτομο καθενός από τα στοιχεία της ύλης αντιστοιχεί σε ένα από τα κανονικά στερεά. Στη φωτιά αντιστοιχεί το τετράεδρο, στη γη ο κύβος, στον αέρα το οκτάεδρο και στο νερό το εικοσάεδρο. Στο κανονικό δωδεκάεδρο αντιστοιχεί η εικόνα ολόκληρου του Σύμπαντος. Η Θεωρία των Κανονικών Στερεών είναι η πρώτη μαθηματική θεωρία που αποδίδει πρωταρχικό ρόλο στη συμμετρία. Ο Αριστοτέλης απέκρουσε τη θεωρία του Πλάτωνα. Υποστήριξε ότι μόνο δύο κανονικά στερεά μπορούν να γεμίσουν τον χώρο, το τετράεδρο (λανθασμένα) και ο κύβος. Στα ουράνια σώματα έδωσε σφαιρικό σχήμα, γιατί οτιδήποτε άλλο θα μείωνε την τελειότητά τους. Η συμμετρία κρύβεται και πίσω από τις θεωρίες που αναπτύχθηκαν για την κίνηση των ουρανίων σωμάτων, στα πλαίσια του γεωκεντρικού μοντέλου, σύμφωνα με το οποίο η Γη βρίσκεται στο κέντρο του σύμπαντος και όλα τα άλλα ουράνια σώματα περιφέρονται γύρω της. Το θεμελιώδες αξίωμα της αρχαίας αστρονομίας ήταν ότι, η ομαλή κυκλική κίνηση είναι η μόνη δυνατή κίνηση στον ουρανό. Με βάση το αξίωμα αυτό, το οποίο ανάγεται στον Πλάτωνα, οικοδομήθηκε όλη η ερευνητική παράδοση του «σώζειν τα φαινόμενα», η αναζήτηση δηλαδή μαθηματικής τάξης πίσω από τη φαινομενική αταξία των ουράνιων κινήσεων. Ο Εύδοξος ο Κνίδιος (περ π.Χ.), πρότεινε το γεωμετρικό μοντέλο των ομόκεντρων σφαιρών για την ερμηνεία της κίνησης των πλανητών. Τον 3ο αι. π.χ. το μοντέλο των ομόκεντρων σφαιρών εγκαταλείφτηκε και αντικαταστάθηκε από το σύστημα των κύκλων και επικύκλων του Απολλώνιου του Περγαίου (περ π.χ.) και του Ιππάρχου (περ π.Χ.). Στη θεωρία των επικύκλων κάθε πλανήτης διαγράφει έναν μικρό κύκλο, τον επίκυκλο, το κέντρο του οποίου διατρέχει ταυτόχρονα έναν μεγαλύτερο κύκλο γύρω από τον παρατηρητή. Στη θεωρία των έκκεντρων κύκλων οι ρόλοι αντιστρέφονται. Ο πλανήτης κινείται σε έναν μεγάλο κύκλο τον έκκεντρο, το κέντρο του οποίου διαγράφει έναν μικρό κύκλο γύρω από τον παρατηρητή. O Κλαύδιος Πτολεμαίος, μαθηματικός, αστρονόμος και γεωγράφος που έζησε και έδρασε στην Αλεξάνδρεια (περ μ.χ.), προσπάθησε να φτιάξει ένα σύστημα κύκλων, επικύκλων και έκκεντρων που να συμφωνεί με τις παρατηρούμενες κινήσεις των πλανητών. Δεν τα κατάφερε και αποφάσισε να κάνει μια ουσιαστική αλλαγή. Αρχικά μετατόπισε λίγο τη γη από το κέντρο του κύκλου. Κατόπιν εισήγαγε ένα γεωμετρικό 12

13 σημείο Ε, συνευθειακό με τη γη G και το κέντρο C του κύκλου, έτσι ώστε η φαινόμενη κυκλική κίνηση του κέντρου Q του επίκυκλου που ακολουθούσε ένας πλανήτης P, να είναι ομαλή όπως φαίνεται από το σημείο E (Σχήμα 1.2). Με αυτόν τον τρόπο ο Πτολεμαίος κατάφερε να αναπαραστήσει τις κινήσεις των πλανητών. Το μοντέλο αυτό ο Πτολεμαίος το παρουσίασε στο βιβλίο του "Μαθηματική Σύνταξις" και παρέμεινε σε ισχύ για 14 αιώνες. Σχήμα 1.2 Η Αρχαία Ελληνική αρχιτεκτονική στηρίζεται επίσης στην ιδέα της συμμετρίας και της αναλογίας. Στην Αρχαία Ελλάδα δεν υπήρχαν σταθερά μεγέθη ναών, αλλά σταθερές αναλογίες για κάθε ρυθμό και για κάθε εποχή. Τα διάφορα μέρη του οικοδομήματος συνδέονται με το σύνολο μέσα από σταθερούς κανόνες αναλογιών. Αυτό επέτρεπε στους δημιουργούς να δουλεύουν με σιγουριά, με στόχο την τελειότητα. Οι αρχιτεκτονικοί ρυθμοί που αναπτύχθηκαν είναι, ο Δωρικός στην Κυρίως Ελλάδα, την Κάτω Ιταλία και τη Σικελία και ο Ιωνικός στην Ιωνία (Μικρά Ασία). Από αυτούς, ο Δωρικός είναι ο αρχαιότερος και ο σπουδαιότερος ρυθμός. Δωρικός Ρυθμός 13

14 Το καλύτερο δείγμα της κλασσικής ελληνικής αρχιτεκτονικής είναι αναμφίβολα ο Παρθενώνας, ο ναός της Αθηνάς Παρθένου στην Ακρόπολη των Αθηνών. Χτίστηκε ( π.Χ.) από τους φημισμένους αρχιτέκτονες Ικτίνο και Καλλικράτη, με τη γενική εποπτεία του γλύπτη Φειδία σε Δωρικό ρυθμό, αλλά και με στοιχεία Ιωνικού ρυθμού. Σημαντικό ρόλο στην επίτευξη της τελειότητας, έπαιξαν οι μαθηματικοί υπολογισμοί που εφαρμόστηκαν στην κατασκευή του Παρθενώνα. Στοχεύοντας στην εναρμόνιση όλων των διαστάσεων, το πλάτος, το ύψος, το μήκος, η διάμετρος της κάθε κολώνας όπως και η απόσταση μεταξύ τους, κατασκευάστηκαν σύμφωνα με την αναλογία 4:9. H ίδια αναλογία καθόρισε και όλα τα άλλα στοιχεία του ναού. Η σχέση ανάμεσα στο ύψος της κολώνας και στο ύψος του θριγκού, οι αναλογίες των μεταξονίων (τα διαστήματα μεταξύ των κάθετων αξόνων δύο γειτονικών κιόνων), η λέπτυνση της κολώνας και η ένταση του κορμού, το περίγραμμα του εχίνου και ο τρόπος σύνδεσής του με τον κορμό, η μορφή και ο αριθμός των τριγλύφων. Η κλίμακα αυτή, αποτέλεσε μία μέθοδο ελέγχου όλων των λεπτομερειών και προσέδωσε στο κτίριο ένα αξεπέραστο μεγαλείο. Οι αναλογίες του Παρθενώνα Στον Παρθενώνα δεν υπάρχει απόλυτα κάθετη γραμμή, αλλά ούτε και απόλυτα οριζόντια. O στυλοβάτης παρουσιάζει μία κύρτωση, η οποία μεταφέρεται στο θριγκό. Οι κολώνες αποκλίνουν από τον άξονα τους, καθώς γέρνουν προς τους τοίχους του ναού. O κορμός της κολώνας εμφανίζει ελαφριά διόγκωση πάνω από το μισό του ύψους της. Οι αποστάσεις ανάμεσα στις κολώνες και στους τριγλύφους, δεν είναι παντού οι ίδιες, Αυξάνονται ή ελαττώνονται καθώς προχωρούμε προς τους δύο 14

15 άξονες του κτιρίου. Όλες αυτές οι κατασκευαστικές λεπτομέρειες, που μπορεί να οφείλονται στην προσπάθεια διόρθωσης του οπτικού σφάλματος του ανθρώπινου οφθαλμού, ή σε τεχνικές αιτίες, αποδεικνύουν την επιμονή στη συμμετρία και την τελειότητα. Οι λεγόμενες οπτικές διορθώσεις συντελούν στην εναρμόνιση του κτιρίου με το περιβάλλον του, αλλά και στην εναρμόνιση όλων των τμημάτων με το σύνολο. Σχέδιο της ανατολικής πρόσοψης του Παρθενώνα από το Βιβλίο των Stuart J. και Revett N., "Οι Αρχαιότητες των Αθηνών", τ.2 Λονδίνο 1787 Το αρχαίο θέατρο της Επιδαύρου θεωρείται το τελειότερο αρχαίο ελληνικό θέατρο από άποψη ακουστικής και αισθητικής. Ο περιηγητής Παυσανίας, ήδη από την αρχαιότητα, επαινεί τη συμμετρία και την ομορφιά του. Το αρχαίο θέατρο κατασκευάστηκε μεταξύ του 340 π.χ. και του 330 π.χ. από τον Αργείο αρχιτέκτονα Πολύκλειτο τον Νεότερο όπως αναφέρει ο Παυσανίας. Η ορχήστρα του θεάτρου είναι ένας τέλειος κύκλος με τη βάση για το βωμό να βρίσκεται στο κέντρο του. Ο χώρος των θεατών σχεδιάστηκε αρχικά να περιλαμβάνει 34 θέσεις καθισμάτων και χωρίζονταν σε 12 τομείς που ξεκινούσαν ακτινωτά από τις γωνίες ενός εγγεγραμμένου στην ορχήστρα νοητού εικοσάεδρου. Οι σειρές των εδωλίων των οκτώ κεντρικών κερκίδων σχεδιάστηκαν ως περιφέρειες κύκλων με κέντρο το κέντρο της ορχήστρας, ενώ τα πλάγια ζεύγη των κερκίδων δεξιά και αριστερά διαγράφουν τόξα που το κέντρο τους βρίσκεται πιο μακριά και πιο έξω από το κέντρο της ορχήστρας. Έτσι μεγάλωνε το οπτικό πεδίο στις ακραίες κερκίδες και 15

16 εξυπηρετούνταν καλύτερα η ακουστική. Τον 2ο π.χ. αιώνα το θέατρο επεκτάθηκε πάνω από τον διάδρομο που περιέτρεχε την περιφέρεια του αρχικού διαζώματος. Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό του θεάτρου της Επιδαύρου είναι ότι ο θεατής της τελευταίας σειράς ακούει καθαρά τις ομιλίες στην ορχήστρα. To αρχαίο Θέατρο της Επιδαύρου από σχέδιο του Gerkan Οι αρχαίοι Έλληνες γλύπτες θέλησαν να απεικονίσουν την τέλεια ισορροπία και τη συμμετρία μέσα από την τέχνη τους. Έβλεπαν το ανθρώπινο σώμα σαν ένα αντικείμενο της ομορφιάς. Τα γλυπτά από την Αρχαϊκή περίοδο, εξιδανικεύουν την ανθρώπινη μορφή. Κατά την κλασική περίοδο, οι γλύπτες προσπάθησαν να αποτυπώσουν εκτός από την σωματική ομορφιά και την πνευματική. Τα γλυπτά έγιναν πιο ζωντανά μέσω της ρεαλιστικής αναπαράστασης και της απεικόνισης του ανθρώπινου συναισθήματος. Ο Αργείος γλύπτης Πολύκλειτος (μέσα του 5ου αι. π.χ.), συγκαταλέγεται στους τρείς σημαντικότερους γλύπτες της αρχαίας Ελλάδας. Αφιερώθηκε στην ιδέα της συμμετρίας και την ανάπτυξη ενός ιδανικού τύπου για το ανθρώπινο σώμα. Τη θεωρία του περί του κανόνα, εφάρμοσε στα ανδρικά αγάλματά του "Δορυφόρος" ή "Κανών" και "Διαδούμενος". Ο "Δορυφόρος", ήταν αποτύπωση μιας πραγματείας που είχε γράψει ο γλύπτης για τις ιδανικές αναλογίες. Το άγαλμα, που ίσως ενσαρκώνει τον Αχιλλέα επιδεικνύει τέλειες αρμονικές αναλογίες, που δεν υπάρχουν στη φύση, αλλά καθαρά στα μαθηματικά, υπολογισμένες με μεγάλη 16

17 ακρίβεια και με βάση ένα κοινό μέτρο, αντιπροσωπεύοντας τις καλύτερες αναλογίες μιας σειράς αθλητών, ιδίως ολυμπιονικών, στους ανδριάντες των οποίων ειδικευόταν ο Πολύκλειτος. «Δορυφόρος» του Πολυκλείτου Αντίγραφο του 70 π.χ. (Εθνικό Μουσείο Νεάπολη) 17

18 1.2 Η έννοια της λέξης συμμετρία στην Αρχαία Ελληνική Γραμματεία Η λέξη συμμετρία και το επίθετο σύμμετρος (αντίθετα ασυμμετρία και ασύμμετρος), εμφανίζονται για πρώτη φορά στην Αρχαία Ελλάδα. Παράγονται από τις λέξεις "συν" και "μέτρο" και χρησιμοποιούνται σε διάφορα κείμενα στην Αρχαία Ελληνική Γραμματεία. Το ουσιαστικό σημαίνει σωστή αναλογία, ή ένα από τα χαρακτηριστικά του καλού και του ωραίου, ή έχει την έννοια της καταλληλότητας. Το επίθετο σημαίνει ανάλογος, ισόμετρος, ισόχρονος, κατάλληλος, κατάλληλος στο μέγεθος, μέτριος στο μέγεθος, προσήκων, πρέπων, κανονικός. 1 Στο θέμα του πότε πρωτοεμφανίστηκε η λέξη συμμετρία επισημαίνουμε ότι δεν υπάρχει στα αρχαιότερα έργα του Ομήρου, Ησίοδου ούτε και στους Ορφικούς Ύμνους. Υπάρχει όμως σε αποσπάσματα του Πυθαγόρα και των Προσωκρατικών Φιλοσόφων που διασώθηκαν από μεταγενέστερους συγγραφείς. Τη χρησιμοποίησαν και οι τραγικοί ποιητές Αισχύλος, Σοφοκλής και Ευριπίδης. 2 O Διογένης Λαέρτιος (3ος μ.χ. αιώνας) είναι συγγραφέας μιας αρχαίας ελληνικής ιστορίας της φιλοσοφίας από την λεγόμενη "Προσωκρατική" περίοδο ως την εποχή του, ενός συνθετικού έργου με τίτλο "Φιλοσόφων βίων και δογμάτων συναγωγή". Το έργο αυτό είναι χωρισμένο σε δέκα βιβλία, περιέχει βιογραφικά στοιχεία για τους φιλοσόφους και περιλαμβάνει μικρά ή μεγάλα κατά περιπτώσεις, σημειώματα για τις επιμέρους φιλοσοφικές απόψεις τους. 3 Το βιβλίο Η ξεκινάει με τον Πυθαγόρα. Αρχίζει με αναφορά στη ζωή του Πυθαγόρα και το έργο του. Στα αποσπάσματα από τη διδασκαλία του η λέξη συμμετρία εμφανίζεται δύο φορές: Πυθαγόρας, Απόσπασμα Σελ. 171, γραμμές 7-11 «Diog. L. 8.9 ἐν δὲ τοῖς τρισὶ συγγράμμασι τοῖς προειρημένοις φέρεται Πυθαγόρου τάδε καθολικῶς. οὐκ ἐᾷ εὔχεσθαι ὑπὲρ αὑτῶν διὰ τὸ μὴ εἰδέναι τὸ συμφέρον. τὴν μέθην ἓν ἀνθ' ἑνὸς βλάβην καλεῖ καὶ πλησμονὴν πᾶσαν ἀποδοκιμάζει, λέγων μὴ παραβαίνειν μήτε τῶν πόνων μήτε τῶν σιτίων μηδένα τὴν συμμετρίαν.» 1 Μέγα λεξικόν της ελληνικής γλώσσης Liddell Scott Jones. 2 Η αναζήτηση της λέξης έγινε με τη βοήθεια του TLG (Thesaurus Linguae Graecae ) 3 Διογένης Λαέρτιος-ΦΙΛΟΣΟΦΩΝ ΒΙΩΝ ΚΑΙ ΔΟΓΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΓΩΓΗ-ΒΙΒΛΙΑ VI-X, Εκδόσεις Ζήτρος

19 «Στα τρία συγγράμματα του Πυθαγόρα που προανέφερα διατυπώνονται γενικά οι εξής απόψεις. Δεν επιτρέπει να προσευχόμαστε για τον εαυτό μας, επειδή δεν ξέρουμε ποιό είναι το συμφέρον μας. Τη μέθη με μια λέξη την αποκαλεί βλάβη και αποδοκιμάζει κάθε είδους υπερβολή, λέγοντας πως δεν πρέπει να ξεπερνάμε το μέτρο ούτε στο πιοτό ούτε στο φαγητό.» Πυθαγόρας, Απόσπασμα Σελ. 171, γραμμές «διαιρεῖται δὲ καὶ τὸν τοῦ ἀνθρώπου βίον οὕτως παῖς εἴκοσι ἔτεα, νεηνίσκος εἴκοσι, νεηνίης εἴκοσι, γέρων εἴκοσι. αἱ δὲ ἡλικίαι πρὸς τὰς ὥρας ὧδε σύμμετροι παῖς ἔαρ, νεηνίσκος θέρος, νεηνίης φθινόπωρον, γέρων χειμών. ἔστι δ' αὐτῷ ὁ μὲν νεηνίσκος μειράκιον, ὁ δὲ νεηνίης ἀνήρ.» «Την ανθρώπινη ζωή τη χωρίζει ως εξής: "Είκοσι χρόνια παιδί, είκοσι νεαρός, είκοσι νέος, είκοσι γέρος. Η αντιστοιχία ηλικιών - εποχών είναι: παιδί - άνοιξη, νεαρός - καλοκαίρι, νέος - φθινόπωρο, γέρος - χειμώνας". Λέγοντας νεαρός εννοεί τον έφηβο και με νέος εννοεί τον ώριμο άνδρα» 4 Στα σωζόμενα έργα του Αισχύλου ( π.x.), η λέξη συμμετρία εμφανίζεται 3 φορές. Στο παρακάτω απόσπασμα, από την τραγωδία "Χοηφόροι", η λέξη χρησιμοποιείται με την έννοια όμοιος: Αισχύλος, Χοηφόροι «σκέψαι, τομῇ προσθεῖσα βόστρυχον τριχός, σαυτῆς ἀδελφοῦ σύμμετρον τῷ σῷ κάρᾳ.» «σίμωσε την πλεξίδα αυτή στην κεφαλή μου και ιδές με τα μαλλιά πώς μοιάζει ταδερφού σου» 5 Στον Σοφοκλή ( π.χ.), η λέξη εμφανίζεται 5 φορές. Στην τραγωδία "Οιδίπους Τύραννος" η λέξη έχει την έννοια ισόχρονος: Σοφοκλής, Οιδίπους Τύραννος «ὅνπερ πάλαι ζητοῦμεν ἔν τε γὰρ μακρῷ γήρᾳ ξυνᾴδει τῷδε τἀνδρὶ σύμμετρος,» 4 ΔΙΟΓΕΝΗΣ ΛΑΕΡΤΙΟΣ - ΑΠΑΝΤΑ - ΤΟΜΟΣ 4, Εκδόσεις Κάκτος Αισχύλου Ορέστεια - Χοηφόροι, Μετάφραση - I.Ν. Γρυπάρη, Εκδοτικός Οίκος Γεωργίου Φέξη,

20 «Τα βαθιά του γεράματα στην ηλικία ταιριάζουν με τον ξένο» 6 Στο απόσπασμα 191 του Δημόκριτου (~ π.χ.), που διασώζει ο Στοβαίος (5ος αιώνας μ.χ.), η συμμετρία χρησιμοποιείται με την έννοια του κατάλληλος, αρμονικός: Δημόκριτος, Απόσπασμα 191 «ου. ἀνθρώποισι γὰρ εὐθυμίη γίνεται μετριότητι τέρψιος καὶ βίου συμμετρίηι» «Γιατί την ψυχική γαλήνη τη φέρνει στους ανθρώπους η συγκρατημένη διασκέδαση και η σύμμετρη ζωή.» 7 Ο Πλάτωνας ( π.χ.) χρησιμοποιεί στα έργα του όλο το φάσμα των εννοιών της λέξης συμμετρία καθώς και τη μαθηματική της έννοια. Στον "Τίμαιο", η λέξη συμμετρία χρησιμοποιείται 15 φορές. Το χωρίο 86b1-87b9 του Τίμαιου, ασχολείται με τις ασθένειες της ψυχής. Αναφέρει ότι «η υπερβολική ηδονή και ο υπερβολικός πόνος πρέπει να καταταγούν στις μεγαλύτερες ασθένειες της ψυχής». Στην παρομοίωση που χρησιμοποιεί η λέξη συμμετρία, έχει την έννοια του κανονικού: Πλάτων, Τίμαιος 86c5 «περεὶ δένδρον πολυκαρπότερον τοῦ συμμέτρου πεφυκὸς ᾖ,» «όπως στο δέντρο που παράγει περισσότερους από το κανονικό καρπούς,» Το αμέσως επόμενο χωρίο 87c1-88c6, ασχολείται με τους παράγοντες που διασφαλίζουν την υγεία του σώματος και του πνεύματος: Πλάτων, Τίμαιος 87c4-87e5 «Το καλό είναι βέβαια πάντοτε ωραίο, και το ωραίο δεν είναι ποτέ άμετρο. Άρα και για το έμβιο ον ισχύει το ίδιο: για να είναι καλό, πρέπει να διέπεται από μέτρο (σύμμετρον). Με τα κοινά μέτρα (συμμετριῶν) όμως μας συμβαίνει το εξής: διακρίνουμε και υπολογίζουμε μόνο τα σχετικά ασήμαντα, ενώ μας διαφεύγουν τα κυριότερα και τα μεγαλύτερα. Έτσι σε ότι αφορά την υγεία και την ασθένεια, την αρετή 6 Σοφοκλής, Οιδίπους Τύρρανος, Μετάφραση Τάσος Ρούσσος, Εκδόσεις Κάκτος Ανθολόγιο Φιλοσοφικών Κειμένων Γ Γυμνασίου, Σελ 26, Αθανασία Γλυκοφρύδη,Λεοντσίνη, Χριστίνα Σακελλίου, Ελένη Λεοντσίνη, Ο.Ε.Δ.Β

21 και την κακία, καμία συμμετρία ή αμετρία δεν είναι πιο σημαντική από αυτήν που υπάρχει ανάμεσα στην ίδια την ψυχή και το ίδιο το σώμα. Και όμως σε όλα αυτά δεν δίνουμε καμία προσοχή, ούτε καν τα αντιλαμβανόμαστε ωστόσο, όταν μια ισχυρή και μεγαλειώδης ψυχή προσλάβει σχετικά αδύναμη και μικροκαμωμένη σωματική μορφή, ή όταν πάλι η συνένωση των δύο καθορίζεται από την αντίστροφη ανισομέρεια, τότε το έμβιο ον ως όλον δεν είναι ωραίο, γιατί δεν έχει τις σωστές αναλογίες ως προς τις μέγιστες συμμετρίες (ἀσύμμετρον γὰρ ταῖς μεγίσταις συμμετρίαις). Ενώ ότι χαρακτηρίζεται από τέτοια συμμετρία αποτελεί το πιο ωραίο και αξιαγάπητο θέαμα για όποιον βέβαια είναι σε θέση να το δει. Ένα σώμα άμετρο, εξαιτίας ενός μακρύτερου ποδιού ή άλλης υπερτροφίας, δεν είναι μόνον άσχημο αλλά, επιπλέον, όταν μετέχει σε επίπονη εργασία προξενεί αμέτρητα κακά στον εαυτό του (μεγάλη κούραση, συχνά διαστρέμματα αλλά και πτώσεις λόγω της πλάγιας κίνησης).» 8 Στο απόσπασμα αυτό το ωραίο είναι μια όψη του καλού και προϋποθέτει συμμετρία δηλαδή σωστές αναλογίες. Στη σχέση σώματος και ψυχής επισημαίνεται το πόσο σημαντικό είναι να υπάρχει αναλογία σώματος και ψυχής και η λέξη "αμετρία" χρησιμοποιείται σαν συνώνυμο της ασυμμετρίας. Η σύνδεση της συμμετρίας με το κάλλος (ωραίο) και το αγαθό (καλό) επιβεβαιώνεται και στον "Φίληβο", έναν όψιμο διάλογο του Πλάτωνα. Το κεντρικό θέμα του διαλόγου είναι ο ρόλος της ηδονής και της φρόνησης στην ανθρώπινη ζωή. Στο ερώτημα τι είναι αγαθό, υποστηρίζει ότι ούτε η ηδονή ούτε η φρόνηση μπορούν να ταυτιστούν με το αγαθό. Απεναντίας, η αγαθότητα ταυτίζεται με τη συμμετρία το κάλλος και την αλήθεια και η φρόνηση θεωρείτε ως ένα ανώτερο από την ηδονή αγαθό, επειδή έχει μεγαλύτερη συγγένεια με αυτά τα τρία: 9 Πλάτων, Φίληβος 65a1-65a5 «ΣΩ. Οὐκοῦν εἰ μὴ μιᾷ δυνάμεθα ἰδέᾳ τὸ ἀγαθὸν θηρεῦσαι, σὺν τρισὶ λαβόντες, κάλλει καὶ συμμετρίᾳ καὶ ἀληθείᾳ, λέγωμεν ὡς τοῦτο οἷον ἓν ὀρθότατ' ἂν αἰτιασαίμεθ' ἂν τῶν ἐν τῇ συμμείξει, καὶ διὰ τοῦτο ὡς ἀγαθὸν ὂν τοιαύτην αὐτὴν γεγονέναι.» 8 Πλάτων Τίμαιος, Μετάφραση Βασίλης Κάλφας, Εκδόσεις Πόλις ΤΟ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΟ ΛΕΞΙΚΟ TOY CAMBRIDGE, Επιμελητής έκδοσης Robert Audi

22 Ο Αριστοτέλης ( π.χ.), στο βιβλίο του "Μετά τα Φυσικά", ασχολείται με την υπόσταση των μαθηματικών αντικειμένων. Συνδέει το καλό με το ωραίο και αναγνωρίζει ότι αυτά διαφέρουν επειδή το καλό συνεπάγεται πάντα δράση ενώ το ωραίο υπάρχει και στα αμετάβλητα πράγματα. Αλλά αυτό υποστηρίζει, δεν σημαίνει ότι οι μαθηματικές επιστήμες δεν λένε τίποτα για το ωραίο και το καλό. Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη, αυτοί που το ισχυρίζονται κάνουν λάθος και συνεχίζει: Αριστοτέλης, Μετά τα Φυσικά 1078a b2 «Του δε ωραίου οι κυριότερες μορφές είναι η τάξη, η συμμετρία και η ακρίβεια, πράγματα με τα οποία ασχολούνται ιδιαίτερα οι μαθηματικές επιστήμες.» Στο απόσπασμα αυτό η συμμετρία (με την έννοια της αναλογικότητας) και η ακρίβεια είναι είδη του ωραίου. Σε άλλο απόσπασμα από τα "Τοπικά" η συμμετρία είναι στοιχείο της ομορφιάς. Ο Αριστοτέλης αναφέρει ότι η υγεία είναι καλύτερη από την δύναμη και την ομορφιά, γιατί η υγεία είναι έμφυτη στα κύρια συστατικά του ζώου, ενώ η δύναμη και η ομορφιά στα δευτερεύοντα και συνεχίζει: Αριστοτέλης, Τοπικά 116b20-116b22 «Η δύναμη είναι ένα χαρακτηριστικό των νεύρων και των οστών, ενώ η ομορφιά φαίνεται να έχει σαν κύριο χαρακτηριστικό τη συμμετρία των άκρων.» Στην Ύστερη αρχαιότητα ο Κλαύδιος Πτολεμαίος (2ος μ.χ. αιώνας), χρησιμοποιεί τη λέξη συμμετρία με τη μαθηματική της έννοια που περιλαμβάνει και την έννοια της καταλληλότητας. Στο έργο του "Γεωγραφική υφήγησις", αναφέρεται στο ρόλο του χαρτογράφου στο σχεδιασμό χάρτη, στον οποίο τα διαστήματα πρέπει να είναι σε όσο το δυνατόν καλύτερη αναλογία (σύμμετρα) με τα πραγματικά. Σε ένα άλλο απόσπασμα από το βιβλίο του "Μαθηματική Σύνταξις", υποστηρίζει ότι η συμμετρία (με την έννοια της σωστής αναλογίας), σχετίζεται με το θείο και τη θεία ομορφιά. 22

23 Ο Γαληνός 10 ( μ.χ.), γράφει στο έργο του "Περί κράσεων" ότι «στη νόηση σύμμετρο είναι αυτό που ισαπέχει από τα άκρα» («οὕτω γὰρ ἐξευρήσομεν τῇ νοήσει τὸ σύμμετρον, ὅπερ ἑκατέρου τῶν ἄκρων ἴσον ἀπέχει») Και όταν ασχολείται με το κανονικό σχήμα του ανθρώπινου σώματος, αναφέρεται στο γλύπτη Πολύκλειτο και το έργο του "Κανών" «Και ένα συγκεκριμένο άγαλμα ίσως θα έπρεπε να επαινεθεί, αυτό που ονομάζεται "Κανών" του Πολυκλείτου. Έχει αυτό το όνομα λόγω της ακριβής συμμετρίας όλων των μελών μεταξύ τους» Συνοψίζοντας η λέξη συμμετρία στην αρχαία ελληνική γραμματεία έχει την έννοια αφενός του κατάλληλου ή αυτού που έχει μέτρο και αφετέρου την έννοια της ομορφιάς, αν και οι δύο σημασίες μεταφέρουν την αίσθηση της σωστής αναλογίας. Γενικά η λέξη συμμετρία στην αρχαία ελληνική γραμματεία, δεν περιορίζεται μόνο σε αντικείμενα στο χώρο, αλλά είναι μια αφηρημένη έννοια, που έχει να κάνει με την τάξη, την ομορφιά, την αρμονία και την τελειότητα. 1.3 Η έννοια της λέξης συμμετρία στα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά Στα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά, η λέξη σύμμετρος χρησιμοποιήθηκε για τα ορίσει τα μεγέθη που έχουν ρητό λόγο. Ο ορισμός των σύμμετρων και ασύμμετρων μεγεθών δίνεται στο Βιβλίο Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη: «Σύμμετρα μεγέθη λέγονται αυτά που μετρούνται με το ίδιο μέτρο και ασύμμετρα αυτά για τα οποία δεν υπάρχει κοινό μέτρο.» Η ανακάλυψη των ασύμμετρων μεγεθών είναι, χωρίς υπερβολή, η μεγαλύτερη ανακάλυψη, όχι μόνο στα Ελληνικά Μαθηματικά, αλλά στην παγκόσμια ιστορία των Μαθηματικών. Καθώς η ανακάλυψη αυτή πραγματοποιήθηκε, σύμφωνα με τις αρχαίες πηγές από τους Πυθαγόρειους, η φιλοσοφική σκέψη των Πυθαγορείων, επηρεάστηκε αποφασιστικά από αυτή την ανακάλυψη Έλληνας χριστιανός γιατρός που πραγματοποίησε σημαντικές ανακαλύψεις στην ανατομική και το έργο του έχαιρε μεγάλης εκτίμησης μέχρι την Αναγέννηση. 11 Η ανακατασκευή της Πυθαγόρειας γεωμετρίας, Σ. Νεγρεπόντη. 23

24 Οι αρχαίες πηγές 12 που αναφέρονται στην ανακάλυψη της ασυμμετρίας, γράφουν ότι η ανακάλυψη κρατήθηκε μυστική από τους Πυθαγόρειους μέχρι που κάποιος από αυτούς τη δημοσιοποίησε. Ο Πλούταρχος (περ μ.χ.) στο έργο του "Νομάς" (22,3,1-22,4,4), αναφέρει ότι οι γεωμετρικές μέθοδοι περί αρρήτων, που ήταν μυστική πραγματεία, δόθηκε στους ανάξιους (μη Πυθαγόρειοι) και η ασέβεια αυτή προκάλεσε μεγάλο «κοινό κακό». Ο Ιάμβλιχος (τέλη 3ου μ.χ. αιώνα) στο έργο του "Περί κοινής μαθηματικής Επιστήμης" (25, και 33-39), αναφέρει ότι ο Ίππασος, που ήταν Πυθαγόρειος, έγραψε πρώτος στη σφαίρα το κανονικό δωδεκάεδρο, δημοσιοποίησε την ανακάλυψή του και χάθηκε στη θάλασσα ως ασεβής. Ήθελε τη δόξα ότι αυτός τα ανακάλυψε, αλλά όλα οφείλονται στον Πυθαγόρα. Όταν αυτά διαδόθηκαν, ωφελήθηκαν ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος και ο Ιπποκράτης ο Χίος. Το κανονικό δωδεκάεδρο, έχει τις έδρες του κανονικά πεντάγωνα. Για την κατασκευή του κανονικού πενταγώνου χρειάζεται η χρυσή τομή και όταν δύο ευθύγραμμα τμήματα είναι σε λόγο χρυσής τομής είναι ασύμμετρα. Επομένως η γνώση που αποκαλύφθηκε σχετίζεται με την ασυμμετρία. Σε ένα άλλο έργο του "Πυθαγορικός Βίος" (88,13-89,4 και 246,10-247,1-7), ο Ιάμβλιχος αναφέρει ότι αυτός που αποκάλυψε τη φύση της συμμετρίας και της ασυμμετρίας στους ανάξιους να την κατανοήσουν, μισήθηκε τόσο πολύ από τους Πυθαγορείους ώστε όχι μόνο τον εξόρισαν από τις κοινές συναναστροφές και τα γεύματα, αλλά κατασκεύασαν και τάφο για αυτόν ενώ ζούσε σαν να είχε πεθάνει. Και εκείνος που αποκάλυψε το κανονικό εικοσάεδρο και δωδεκάεδρο, χάθηκε στη θάλασσα επειδή ασέβησε. Αναφέρει εδώ ξεκάθαρα ο Ιάμβλιχος ότι η γνώση των Πυθαγορείων που αποκαλύφθηκε στους ανάξιους ήταν της ασυμμετρίας και η αναφορά στο κανονικό εικοσάεδρο και δωδεκάεδρο πάλι σχετίζεται με την ασυμμετρία. Στο κανονικό εικοσάεδρο υπάρχουν επίπεδα που χρειάζεται η κατασκευή κανονικού πενταγώνου. Η Πρόταση ΧΙΙΙ.16 των Στοιχείων «Να κατασκευαστεί εικοσάεδρο, να εγγραφεί σε σφαίρα και να αποδειχθεί ότι η πλευρά του εικοσάεδρου είναι άρρητος, η καλούμενη ελλάσων» και η Πρόταση ΧΙΙΙ.17 των 12 Σημειώσεις μεταπτυχιακού μαθήματος «Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά - Στοιχεία Ευκλείδη» , Σ. Νεγρεπόντη, ΠΜΣ Διδακτικής Μαθηματικών, Μαθηματικό Τμήμα Πανεπιστημίου Αθηνών. 24

25 Στοιχείων «Να κατασκευαστεί δωδεκάεδρο, να εγγραφεί σε σφαίρα και να αποδειχθεί ότι η πλευρά του δωδεκάεδρου είναι άρρητος, η καλούμενη αποτομή», δείχνουν ξεκάθαρα την σχέση των δύο αυτών κανονικών στερεών με την ασυμμετρία. Ο Πάππος 4ος μ.χ. αιώνας (Σχόλια στο Βιβλίο Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη στα αραβικά), γράφει ότι ο πρώτος που δημοσίευσε την κοινοποίησε τις τετραγωνικές ρίζες στους υπόλοιπους πνίγηκε: "Αυτά πρέπει να τα κρατάει κανείς κρυφά και η ψυχή που από λάθος ή απροσεξία τα αποκάλυψε στον υπόλοιπο κόσμο περιπλανάται στον πόντο της ανομοιότητας". To ανώνυμο Σχόλιο 1 στο Βιβλίο Χ των Στοιχείων (Ανώνυμο Σχόλιο εις Στοιχεία Ευκλείδου Χ.1) γράφει ότι οι Πυθαγόρειοι ήταν οι πρώτοι που ξεκίνησαν τη μελέτη της ασυμμετρίας, αφού την ανακάλυψαν μέσω της παρατήρησης των αριθμών και συνεχίζει: «γιατί ενώ η μονάδα είναι κοινό μέτρο όλων των αριθμών δεν μπόρεσαν να βρουν κοινό μέτρο για όλα τα μεγέθη. Ο λόγος είναι ότι όλοι οι αριθμοί, οποιουδήποτε είδους όσο και αν διαιρεθούν αφήνουν κάποιο ελάχιστο μέρος το οποίο δεν μπορεί να υποστεί περαιτέρω διαίρεση, αλλά τα μεγέθη είναι διαιρετά επ άπειρον και δεν αφήνουν κάποιο μέρος, το οποίο να είναι το μικρότερο δυνατό και να μη δέχεται περεταίρω διαίρεση...αυτό λοιπόν γνωρίζοντας οι Πυθαγόρειοι εύρισκαν τη συμμετρία των μεγεθών όπου ήταν δυνατό. Ονόμασαν τα μεγέθη που μπορούν να μετρηθούν με το ίδιο μέτρο σύμμετρα, αλλά αυτά που δεν υπόκεινται στο ίδιο μέτρο ασύμμετρα και πάλι όσα από αυτά μετρούνται με κάποιο άλλο κοινό μέτρο σύμμετρα μεταξύ τους και όσα δεν μπορούν ασύμμετρα με τα άλλα. Έτσι υποθέτοντας τα μέτρα τους, απέδωσαν σε όλα διαφορετικές συμμετρίες αλλά παρόλο που ήταν διαφορετικές και ως προς αυτά δεν μπορούν να είναι πάντα σύμμετρα. Όλα τα μεγέθη όμως μπορούν να είναι ρητά και όλα άλογα (άρρητα) ως προς κάποιο, ως εκ τούτου το σύμμετρο και το ασύμμετρο είναι κάτι φυσικό (φύσει) ενώ το ρητό και το άλογο στηρίζεται στην υπόθεση ή τη σύμβαση (θέσει).» Selections illustrating the history of Greek Mathematics VOL 1, Ivor Thomas 1939, σελ 215 και Euclid Τhe thirteen Books of the Elements VOL 3, Sir Thomas L. Heath, Βook Χ, Introductory Note. 25

26 Το σχόλιο παρακάτω αναφέρει ότι ο πρώτος που δημοσιοποίησε τη θεωρία των αλόγων χάθηκε σε ναυάγιο γιατί καθετί άλογο και άμορφο είναι σωστό να κρύβεται. Τέλος, ο Πρόκλος ( μ.χ.) στο έργο του "Σχόλια εις Ευκλείδην" (65,15-21), μας λέει ότι Πυθαγόρας βρήκε και την ασυμμετρία και την σύσταση των κοσμικών σχημάτων δηλαδή τα πέντε κανονικά στερεά. Συνοψίζοντας, η ανακάλυψη της ασυμμετρίας αποδίδεται στη Σχολή των Πυθαγορείων με την απόδειξη της ασυμμετρίας της πλευράς προς τη διαγώνιο τετραγώνου και οι αρχές της θεωρίας των ασυμμέτρων που περιέχει το βιβλίο Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη ανάγονται στους πρώτους Πυθαγόρειους. Η ανάπτυξη της γεωμετρικής άλγεβρας, δηλαδή η χρήση γεωμετρικών αποδείξεων για την απόδειξη αλγεβρικών ταυτοτήτων, εξισώσεων και συστημάτων πρώτου και δευτέρου βαθμού και για τον υπολογισμό της τετραγωνικής και της κυβικής ρίζας αριθμών, ακολουθεί μια πορεία εξέλιξης, δια μέσου των Πυθαγορείων, στους συγχρόνους του Πλάτωνα. Στο τέλος του 5ου αιώνα π.χ. κεντρική σημασία στη γεωμετρική άλγεβρα αποκτά το πρόβλημα της ασυμμετρίας. Σημαντική συνεισφορά στην αποσαφήνιση του προβλήματος αυτού και στην έξοδο από τον μυστικισμό των Πυθαγορείων, είχε ο περίφημος γεωμέτρης Θεόδωρος ο Κυρηναίος. Ο Θεόδωρος είναι κατά το Διογένη Λαέρτιο δάσκαλος του Πλάτωνα και κατά τον Ιάμβλιχο Πυθαγόρειος. Στο διάλογο του Πλάτωνα "Θεαίτητος" (399 π.χ), εμφανίζεται σε μεγάλη ηλικία. Ο Θεαίτητος, μαθητής του Θεόδωρου και φίλος του Πλάτωνα, είχε λάβει μέρος στον Κορινθιακό πόλεμο 30 χρόνια πριν γραφτεί ο διάλογος (369 π.χ.), όπου τραυματίστηκε και πέθανε. Ο Πλάτωνας έγραψε το διάλογο αφιερωμένο στη μνήμη του, όπου περιγράφει σε μεγάλη έκταση τα προσόντα του και το χαρακτήρα του. Στο διάλογο, ο Θεαίτητος συζητά με το Σωκράτη και το Θεόδωρο τη φύση των ασύμμετρων μεγεθών. Σε ένα σύντομο χωρίο, περιγράφεται με λεπτομέρεια τι είχε βρεθεί προηγουμένως από τον Θεόδωρο και τι ανακάλυψε ο Θεαίτητος: 26

27 Πλάτων, Θεαίτητος 147d3-147e1 «ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ: Περί των πλευρών των τετραγώνων (περί δυνάμεων) κάτι σχεδίαζε αυτός εδώ ο Θεόδωρος αποδεικνύων ότι εκείνες (από των τετραγώνων με εμβαδόν) τριών και πέντε (τετραγωνικών) ποδών δεν είναι σύμμετρες ως προς το μήκος προς τη μετρική μονάδα (ποδιαία) και έτσι εξακολούθησε να λαμβάνει κάθε τετράγωνο, το ένα μετά του άλλου, μέχρι εκείνου των δέκα επτά ποδών. Σε αυτό κάπως σταμάτησε (ή: εδώ σταμάτησε).» 14 και συνεχίζει: «Μας ήρθε λοιπόν τότε στο νου κάτι σαν αυτό εδώ, επειδή οι δυνάμεις φαίνονταν να είναι άπειρες, να δοκιμάσουμε να τις συμπεριλάβουμε σε μια έννοια και με αυτήν να προσαγορεύσουμε όλες τις δυνάμεις» Ο Θεαίτητος, ονομάζει δυνάμεις «τις γραμμές που τετραγωνίζουν προμήκη αριθμό γιατί δεν μπορούν να είναι σύμμετρες ως προς το μήκος αλλά μόνο κατά το εμβαδόν». Προηγουμένως, χωρίζει τους αριθμούς σε τετράγωνους-ισόπλευρους αν μπορούν να ληφθούν σαν γινόμενο δύο ίσων παραγόντων και προμήκεις αν δεν μπορούν να ληφθούν σαν γινόμενο δύο ίσων παραγόντων. Η έκφραση "σύμμετρος ως προς το μήκος" (μήκει σύμμετρος), εμφανίζεται και στο Βιβλίο Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη και σημαίνει ότι υπάρχει κοινό μέτρο. Με σύγχρονα μαθηματικά "δύναμις" ονομάζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα α, όταν 2 2 α =Ν ρ, όπου * Ν, τετράγωνος αριθμός και ρ ευθύγραμμο τμήμα μήκους ενός ποδιού. Επομένως, σύμφωνα με το διάλογο του Πλάτωνα, ο Θεόδωρος απέδειξε ότι οι πλευρές των τετραγώνων με εμβαδά 3, 5 και μέχρι 17 τετραγωνικά πόδια είναι ασύμμετρες ως προς την πλευρά τετραγώνου μήκους ενός ποδιού. Ο Θεόδωρος απέδειξε, όπως θα λέγαμε σήμερα, την ασυμμετρία των 3, 5,... μέχρι και 17 με τη μονάδα. Δεν ξεκινάει από τη 2 και επομένως είναι λογικό να υποθέσουμε ότι η ασυμμετρία της 2 με τη μονάδα είχε ήδη αποδειχθεί. Ο Θεαίτητος μετά από αυτή τη διάλεξη βρήκε μια γενική λύση του προβλήματος που είχε επεξεργαστεί ο Θεόδωρος για λίγες περιπτώσεις. μη Ο Αριστοτέλης αναφέρει την απόδειξη της ασυμμετρίας της διαγώνιου με τη πλευρά τετραγώνου στα "Αναλυτικά Πρότερα" (41a 26-30). H απόδειξη γίνεται με απαγωγή 14 Η Αφύπνιση της Επιστήμης, B.L. Van Der Waerden, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

28 σε άτοπο αποδεικνύοντας ότι αν η διαγώνιος είναι σύμμετρη με τη πλευρά τετραγώνου ο ίδιος αριθμός θα είναι ταυτόχρονα περιττός και άρτιος. Στα "Μετά τα Φυσικά", χρησιμοποιεί το παράδειγμα της ασυμμετρίας της διαγωνίου προς τη πλευρά τετραγώνου, για να θέσει το θέμα του πως η επιστημονική έρευνα μπορεί να οδηγήσει σε συμπεράσματα που είναι αντίθετα στην ανθρώπινη διαίσθηση. Θεωρεί τη φιλοσοφία σαν την επιστήμη των πρώτων αρχών και αιτιών, ανώτερη από όλες τις άλλες επιστήμες. Η απόκτησή της μας λέει (απόσπασμα 983a11-23), οδηγεί σε μια κατάσταση αντίθετη από αυτήν που βρισκόμαστε όταν αρχίζουμε την έρευνα. Η ασυμμετρία της διαγωνίου («ἢ τὴν τῆς διαμέτρου ἀσυμμετρίαν»), προκαλεί έκπληξη στην αρχή («ἄρχονται... ἀπὸ τοῦ θαυμάζειν πάντες»), γιατί φαίνεται σε όλους εκπληκτικό ότι δεν μπορεί να μετρηθεί ακόμα και από τη μικρότερη μονάδα. Αλλά καταλήγουμε στο αντίθετο, όταν μαθαίνουμε την αιτία, γιατί δεν υπάρχει τίποτα που θα μπορούσε να εκπλήξει περισσότερο τον γεωμέτρη από το αν η διαγώνιος ήταν σύμμετρη. Η κύρια πηγή της μαθηματικής χρήσης της λέξης συμμετρίας στην Αρχαία Ελλάδα είναι τα "Στοιχεία του Ευκλείδη" (περ.300 π.χ.). Τη θεωρία των σύμμετρων και ασύμμετρων μεγεθών αναπτύσσει ο Ευκλείδης στο Βιβλίο Χ των Στοιχείων. Το Βιβλίο αυτό θεωρείται το δυσκολότερο Βιβλίο των Στοιχείων. Ο Ολλανδός μαθηματικός Simon Stevin ( ) το ονόμασε "Ο σταυρός του μαρτυρίου των μαθηματικών". Το σκοπό του Βιβλίου, αναφέρει ένα αραβικό χειρόγραφο του 1000 μ.χ. του Άραβα Aboû Othman, το οποίο είναι όπως πιστεύεται μέρος μιας χαμένης πραγματείας του Πάππου: «Ο σκοπός του Χ βιβλίου των "Στοιχείων" του Ευκλείδη είναι η έρευνα των σύμμετρων και ασύμμετρων, των ρητών και άρρητων μεγεθών. Η θεωρία αυτή έχει την αρχή της στη Σχολή του Πυθαγόρα. Αναπτύχθηκε σπουδαία από το Θεαίτητο τον Αθηναίο, ο οποίος επέδειξε στον κλάδο αυτό καθώς και σε άλλους κλάδους των μαθηματικών τέτοια οξύνοια, ώστε δίκαια να προκαλεί τον θαυμασμό. Εξ άλλου αυτός υπήρξε μια έξοχα προικισμένη διάνοια και αφοσιώθηκε με ευγενή ζήλο στην έρευνα της αλήθειας που περιέχεται στις επιστήμες, όπως μαρτυρεί και ο ομώνυμος διάλογος του Πλάτωνα. 'Όσον αφορά στις ακριβείς διακρίσεις των παραπάνω λεχθέντων μεγεθών και τις αναντίρρητες αποδείξεις των θεωρημάτων της θεωρίας αυτής, πιστεύω ότι αυτές κατά 28

29 κύριο λόγο οφείλονται στο μαθηματικό αυτό. Και αργότερα ο μέγας Απολλώνιος του οποίου η μεγαλοφυΐα στα μαθηματικά θαυμάστηκε σε μεγάλο βαθμό πρόσθεσε στις ανακαλύψεις αυτές θαυμάσιες θεωρίες μετά από πολλές προσπάθειες και εργασίες.» 15 Το Βιβλίο Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη ξεκινάει με τέσσερις ορισμούς που ορίζουν τη συμμετρία και ασυμμετρία σαν καθαρά μαθηματική έννοια: Ορισμός 1: Σύμμετρα μεγέθη λέγονται αυτά που μετρούνται με το ίδιο μέτρο και ασύμμετρα αυτά για τα οποία δεν υπάρχει κοινό μέτρο. Ορισμός 2: Ευθείες δυνάμει σύμμετρες λέγονται εκείνες που τα τετράγωνά τους μετρούνται από το ίδιο εμβαδόν και δυνάμει ασύμμετρες λέγονται οι ευθείες των οποίων τα τετράγωνα δεν μπορούν να έχουν οποιοδήποτε εμβαδόν κοινό μέτρο. Ορισμός 3: Για μια δοθείσα ευθεία, αποδεικνύεται ότι υπάρχουν άπειρες το πλήθος ευθείες σύμμετρες και ασύμμετρες με αυτήν, άλλες μόνο ως προς το μήκος και άλλες δυνάμει ασύμμετρες. Η δοθείσα ευθεία θα καλείται ρητή και οι ευθείες που είναι σύμμετρες με αυτήν είτε ως προς το μήκος και δυνάμει είτε μόνο δυνάμει θα καλούνται ρητές, οι δε ασύμμετρες προς αυτήν θα καλούνται άλογες (άρρητες). Ορισμός 4: Το τετράγωνο της δοθείσας ευθείας θα καλείται ρητό και τα σύμμετρα με αυτό ρητά και τα ασύμμετρα άλογα. Οι ευθείες που είναι πλευρές άλογων τετράγωνων είναι επίσης άλογες και αν πρόκειται για άλλα ευθύγραμμα σχήματα οι πλευρές των ισοδύναμων με αυτά τετραγώνων. Ο Ευκλείδης κάνει το διαχωρισμό σε ευθείες σύμμετρες ή ασύμμετρες ως προς το μήκος (μήκει σύμμετρες) και δυνάμει σύμμετρες ή ασύμμετρες. Οι δυνάμει σύμμετρες ή ασύμμετρες ευθείες (ευθύγραμμα τμήματα) είναι αυτές που τα τετράγωνά τους είναι σύμμετρα ή ασύμμετρα. Όπως εξηγείται στο Πόρισμα πριν την Πρόταση 10 του Βιβλίου X, όλες οι ευθείες που είναι σύμμετρες ως προς το μήκος είναι και δυνάμει σύμμετρες, αλλά οι ευθείες που είναι δυνάμει σύμμετρες δεν είναι όλες σύμμετρες και ως προς το μήκος. 15 Απόδοση στα νέα ελληνικά της ελληνικής μετάφρασης του Ευάγγελου Σταμάτη από το Βιβλίο ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΠΕΡΙ ΑΣΥΜΜΕΤΡΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΒΙΒΛΙΟΝ Χ, Εθνικό Τυπογραφείο

30 Ο Ορισμός 3 εισάγει την έννοια των ρητών και άρρητων ευθειών. Η σχετικότητα των όρων ρητός και άρρητος φανερώνεται από τον ορισμό. Μπορούμε να πάρουμε οπουδήποτε ευθύγραμμο τμήμα, να το ονομάσουμε ρητό και να ταξινομήσουμε τα άλλα ευθύγραμμα τμήματα σαν ρητά ή άρρητα σε σχέση με αυτό. Επίσης η σημασία του ρητού στον Ευκλείδη είναι ευρύτερη από τη σημερινή. Μια ευθεία δεν είναι ρητή μόνο αν είναι σύμμετρη ως προς το μήκος με μια ρητή ευθεία, αλλά είναι ρητή ακόμα και αν είναι δυνάμει σύμμετρη με μια ρητή ευθεία. Δηλαδή σε σύγχρονα μαθηματικά, αν ρ είναι ένα ρητό ευθύγραμμο τμήμα, τότε το m n ρ είναι ρητό, όπου n ρ είναι επίσης ρητό. Επειδή ο Ευκλείδης επεκτείνει τη σημασία του όρου ρητός, περιορίζει την έκταση του όρου άλογος (άρρητος). Άλογες ευθείες είναι οι ευθείες που δεν είναι σύμμετρες ούτε ως προς το μήκος ούτε δυνάμει με τη δοθείσα ρητή ευθεία. * mn, και m n ανάγωγο κλάσμα που δεν είναι τετράγωνο και το m Με τον Ορισμό 4 οι όροι ρητός και άλογος (άρρητος) εφαρμόζονται στα εμβαδά. Σύμφωνα με τον Ευκλείδη σε σύγχρονα μαθηματικά, αν ρ είναι ένα ρητό ευθύγραμμο τμήμα, το κ ή 2 2 ρ είναι ρητό και κάθε εμβαδό σύμμετρο με αυτό (της μορφής κ ρ όπου m * κ =, mn, και κ δεν είναι τετράγωνο) είναι ρητό ενώ κάθε εμβαδό n 2 της μορφής κ ρ είναι άρρητο. 16 Μετά τους τέσσερις ορισμούς ακολουθούν 115 προτάσεις, όπου αναπτύσσεται όλη η θεωρία των ασυμμέτρων. Ορίζονται τρείς θεμελιώδεις άλογες ευθείες, η μέση, η εκ δύο ονομάτων (διώνυμος) και η αποτομή και αποδεικνύεται ότι οι νέου είδους ευθείες είναι άλογες, μη αναγόμενες η μία στην άλλη. Κατόπιν οι διώνυμες διαιρούνται σε έξι υποκατηγορίες και οι έξι περιπτώσεις οδηγούν σε δεκατρείς τύπους άλογων ευθύγραμμων τμημάτων, οι οποίοι είναι μη αναγόμενοι ο ένας στον άλλο, επειδή σε 16 EUCLID THE THIRTEEN BOOKS OF THE ELEMENTS VOL 3, Sir Thomas L. Heath, Dover Publications, Definitions. 30

31 όλες τις περιπτώσεις τα τετράγωνα έχουν αλληλοαποκλειόμενες ιδιότητες. Για παράδειγμα, το τετράγωνο από μια μέση είναι μέση επιφάνεια. 17 Μια περίληψη του Βιβλίου Χ των Στοιχείων στην "Penny Cyclopaedia" 18 στο Λήμμα "Irrational quantity" (Άρρητη ποσότητα), γράφει ότι ο Ευκλείδης στο Βιβλίο Χ, ερευνά κάθε δυνατό είδος ευθείας που μπορεί να παρασταθεί στη μορφή ( a ± b) όπου ab, είναι σύμμετρες ευθείες. Όπως παρατηρεί ο T. L. Heath, στο εισαγωγικό σημείωμα της έκδοσης του Βιβλίου Χ και ο Van Der Waerden στην "Αφύπνιση της Επιστήμης", το Βιβλίο Χ των Στοιχείων συνδέεται στενά με το Βιβλίο XIII, που περιέχει τη θεωρία των κανονικών πολυέδρων. Όπως στο 10ο έτσι και στο 13ο Βιβλίο χρησιμοποιούνται κυρίως οι μέθοδοι της γεωμετρικής άλγεβρας και παρουσιάζουν αναντίρρητη ομοιότητα και στα δύο Βιβλία. Οι δε τύποι των αρρήτων που έχουν μελετηθεί και ταξινομηθεί στο 10ο Βιβλίο εμφανίζονται στις πλευρές των κανονικών πολυέδρων στο 13ο. Ο Αρχιμήδης ( π.Χ.) κατόρθωσε να επεκτείνει το πεδίο εφαρμογής των μαθηματικών στο φυσικό κόσμο πέρα από τη Γεωμετρία, στην Οπτική, τη Μηχανική και την Υδροστατική. Συνήθιζε να στέλνει τις μαθηματικές του ανακαλύψεις, πριν τις δημοσιεύσει, στους φίλους του στην Αλεξάνδρεια, κυρίως στον Κόνωνα και μετά τον θάνατό του στον Δοσίθεο μαθητή του Κόνωνα. Στη μαθηματική του πραγματεία "Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου" στον Πρόλογο του Βιβλίου 1, απευθύνεται στο Δοσίθεο και αναφέρει ότι ανακάλυψε θεωρήματα άξια λόγου και ασχολήθηκε με τις αποδείξεις τους, μεταξύ άλλων ότι «η επιφάνεια κάθε σφαίρας είναι τετραπλάσια του μεγίστου κύκλου της» και ότι «ο κύλινδρος που έχει βάση μέγιστο κύκλο σφαίρας και ύψος ίσο με τη διάμετρό της, έχει όγκο ίσο με τα 32 του όγκου της σφαίρας και η επιφάνειά του είναι επίσης τα 32 της επιφάνειας της σφαίρας.» και συνεχίζει: 17 Η ΑΦΥΠΝΙΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ, B.L. Van Der Waerden, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης 2003, σελ Η "Penny Cyclopaedia" της "Εταιρείας για τη Διάδοση των Χρήσιμων Γνώσεων" (Society for the Diffusion of Useful Knowledge), ήταν μια Αγγλική εγκυκλοπαίδεια σε είκοσι επτά τόμους και τρία συμπληρώματα που δημοσιεύθηκαν το διάστημα

32 «Οι ιδιότητες αυτές προϋπήρχαν φυσικά στα αναφερθέντα σχήματα, αγνοούνταν όμως από αυτούς που ασχολήθηκαν με τη γεωμετρία πριν από εμάς και κανένας από αυτούς δεν είχε ανακαλύψει ότι μεταξύ αυτών των σχημάτων υπάρχει συμμετρία.» Από τις ανακαλύψεις που αναφέρει ο Αρχιμήδης προηγουμένως και τις σχέσεις που προκύπτουν, φαίνεται ότι η συμμετρία χρησιμοποιείται με την έννοια του σύμμετρου, δηλαδή οι ορισμοί των γεωμετρικών σχημάτων που αναφέρονται ενέχουν γεωμετρικά μεγέθη τα οποία είναι σύμμετρα, με άλλα λόγια έχουν κοινό μέτρο. Ο Αρχιμήδης βρήκε επίσης τις εξισώσεις ισορροπίας απλών μοχλών και υπολόγισε τα κέντρα βάρους. Σύμφωνα με την παράδοση, ενθουσιασμένος για την ανακάλυψη των δυνατοτήτων των μοχλών είπε τη φράση: «Δός μοι πᾷ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω» δηλαδή «δώσε μου πού να σταθώ και τη γη θα κινήσω». Στη φυσική του πραγματεία "Περί επιπέδων ισορροπιών", Βιβλίο 1, χρησιμοποιεί τη λέξη συμμετρία με τη μαθηματική της έννοια, στις Προτάσεις 6 και 7, όπου διατυπώνει το Νόμο των Μοχλών και της Ισορροπίας των Βαρών: «Πρόταση 6: Τα σύμμετρα μεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις των οποίων ο λόγος είναι αντιστρόφως ανάλογος προς το λόγο των βαρών.» «Πρόταση 7: Αλλά και ασύμμετρα αν είναι τα μεγέθη, όμοια θα ισορροπήσουν σε αποστάσεις που έχουν λόγο αντιστρόφως ανάλογο προς το λόγο των μεγεθών.» 1.4 Η εξέλιξη της έννοιας της συμμετρίας στην Αρχιτεκτονική Τα ιστορικά στοιχεία δείχνουν ότι οι όροι σύμμετρος και ασύμμετρος που συναντάμε στα μαθηματικά κείμενα του Πλάτωνα, Αριστοτέλη, Ευκλείδη και Αρχιμήδη, που εκφράζουν τη σχέση δύο συνεχών μεγεθών που έχουν ή δεν έχουν κοινό μέτρο, δεν πέρασαν αυτούσιοι στις μεταφράσεις των έργων των Αρχαίων Ελλήνων στα Αραβικά και στα Λατινικά. Οι όροι αποδόθηκαν στα Λατινικά από τα Αρχαία Ελληνικά ετυμολογικά, με τις λέξεις "commensurabiles" και "incommensurabiles", ενώ συναντάμε και τους τύπους "communicantes" και "incommunicantes" σε μεσαιωνικές μεταφράσεις των Στοιχείων του Ευκλείδη από τα Αραβικά στα Λατινικά. Σε ορισμένες περιπτώσεις, ο Λατινικός όρος που υιοθετήθηκε αλλάζει νόημα, όπως στο 32

33 έργο του Βοήθιου 19 "Institutio arithmetica", όπου ο όρος "incommensurabiles" χρησιμοποιείται για αριθμούς (ακέραιους) που είναι σχετικά πρώτοι. Η εξέλιξη της λέξης συμμετρία με την έννοια της σωστής αναλογίας, που συναντάμε στην Αρχαία Ελληνική Γραμματεία και έχει σχέση με το καλό και το ωραίο, συνδέεται με την Αρχιτεκτονική 20. Ο Βιτρούβιος ήταν Ρωμαίος συγγραφέας, αρχιτέκτονας και μηχανικός που έζησε τον 1ο αιώνα π.χ. Είναι κυρίως γνωστός για την πραγματεία του περί αρχιτεκτονικής "De architectura", έργο που σήμερα αναφέρεται με τον τίτλο "Δέκα Βιβλία Αρχιτεκτονικής" και αποτελεί το μοναδικό κείμενο αρχιτεκτονικής θεωρίας και πρακτικής που διασώζεται από την κλασική εποχή. Το έργο αυτό βασισμένο στα ελληνικά διδάγματα, επέζησε για σχεδόν δύο χιλιετίες και απετέλεσε το σημείο εκκίνησης για τις σπουδές στην Τέχνη και τη Μηχανική. Ο Βιτρούβιος στο έργο του χρησιμοποίησε τη λέξη "summetria" για να αποδώσει το νόημα της αναλογίας, μεταφέροντας στα λατινικά την ελληνική λέξη συμμετρία. Το 2ο Βιβλίο της "De architectura" ξεκινάει προσδιορίζοντας τις Θεμελιώδεις Αρχές της Αρχιτεκτονικής: «Η Αρχιτεκτονική βασίζεται στην Τάξη, τη Διάθεση, την Ευρυθμία, τη Συμμετρία, την Κοσμιότητα και την Οικονομία.» Τάξη είναι ο σχεδιασμός και η διάρθρωση του οικοδομήματος με απόλυτη αίσθηση του μέτρου και της σωστής αναλογίας των μερών με το γενικό σύνολο. Διάθεση είναι η κατάλληλη διάταξη των στοιχείων. Ευρυθμία είναι η όμορφη εμφάνιση των μερών ξεχωριστά αλλά και σαν σύνολο. Οικονομία είναι η ισορροπημένη και η μη αλόγιστη κατανομή των υλικών καθώς και η προσεγμένη διάθεση του συνολικού χώρου. Συμμετρία όπως γράφει ο Βιτρούβιος: «Η συμμετρία είναι η κατάλληλη συμφωνία μεταξύ των μερών του έργου και η σχέση μεταξύ των διαφορετικών μερών και του συνόλου, σύμφωνα με ένα μέρος επιλεγμένο 19 Λατίνος φιλόσοφος και πολιτικός που άκμασε στο τέλος του 5ου και αρχές του 6ου αιώνα μ.χ. 20 From Summetria to Symmetry: The Making of a Revolutionary Scientific Concept, Giora Hon, Bernard R. Goldstein, Springer 2008, Κεφ 4. 33

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

1 Dodecaeder 3 7 5 11 9. 2 12 4 10 6. 8 Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Dodecaeder Copyright 1998-2005 Gijs Korthals

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 13.03.14 Χ. Χαραλάμπους Εντονες πυθαγόρειες επιδράσεις. Η Γεωμετρία και τα Μαθηματικά έχουν μια ξεχωριστή ξχ θέση. Ουδείς αγεωμέτρητος εισί Στον κόσμο των ιδεών τα μαθηματικά αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ο χρυσός αριθμός φ. Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών

Ο χρυσός αριθμός φ. Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών Ο χρυσός αριθμός φ Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Το πρόβλημα της χρυσής τομής, σε απλή διατύπωση είναι το εξής: Να χωριστεί ένα τμήμα ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή Η ιδέα, ότι όλα τα υλικά πράγµατα συντίθενται από αυτά τα τέσσερα πρωταρχικά στοιχεία, αποδίδεται στον προγενέστερό Εµπεδοκλή, Έλληνα φιλόσοφο, ποιητή και πολιτικό [493-433 π.χ.] που γεννήθηκε στον Ακράγαντα

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 8.03.12 Χ. Χαραλάμπους Θαλής ο Μιλήσιος ( 630-550π.Χ.) Πυθαγόρας o Σάμιος (570-490) Ζήνωνας ο Ελεάτης ( 490-430) Δημόκριτος o Αβδηρίτης (c. 460-370) Πλάτων (427-347 π.χ.) Ιστορικές

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΜΣ «ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ» Παραδείγματα Variation Μεταπτυχιακός Φοιτητής:

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Υποομάδα 3 Θέμα: Χρυσός Αριθμός Φ- Χρυσή Τομή

Υποομάδα 3 Θέμα: Χρυσός Αριθμός Φ- Χρυσή Τομή Α Γενικό Λύκειο Τοσιτσειο Αρσάκειο Εκάλης Ερευνητική εργασία project :Τα μαθηματικά στην Ακρόπολη Υποομάδα 3 Θέμα: Χρυσός Αριθμός Φ- Χρυσή Τομή Μέλη ομάδας: Χρήστος Παπακωνσταντίνου Βασίλης Πελωριάδης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 20.03.14 Χ. Χαραλάμπους Είναι το 5 ο αίτημα όντως αίτημα και όχι πρόταση? Η πρώτη φορά που το αίτημα χρησιμοποιείται στα Στοιχεία είναι στην απόδειξη της Πρότασης 29. ( Η Πρόταση 29

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα Η έννοια του λόγου ορίζεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ως εξής: Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών η κατά πηλικότητά ποια σχέσις Λόγον έχειν προς άλληλα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα: Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο:

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα:  Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρούλα Πατσιομίτου

Σταυρούλα Πατσιομίτου Αριστοτέλους Μεταφυσικά 1078 α 30 Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Σ υνδέονται τα Μαθηματικά με την Αισθητική, με την Τέχνη, με την Τεχνολογία. Πόσο σημαντικό είναι να γνωρίζουμε την Ιστορία τους;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β Ημερήσιου και Γ Εσπερινού Γενικού Λυκείου II. Διαχείριση διδακτέας ύλης Κεφάλαιο 7 ο (Προτείνεται να διατεθούν 6 διδακτικές ώρες). 7.1-7.6 Στις παραγράφους αυτές γίνεται πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ»

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» ΤΑΚΕΦΑΛΑΙΑΤΟΥΒΙΒΛΙΟΥ 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2. ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ:ΘΑΛΗΣ, ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ, ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ, ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ Η ΕΠΙΝΟΗΣΗ; 4. Ο ΘΑΥΜΑΣΤΟΣ ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ»

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Τμήμα 5 ης -6 ης Δημοτικού Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Θαλής ο Μιλήσιος 630/635 π.χ. 543 π.χ. Ο πρώτος φιλόσοφος! Ο Θαλής ο Μιλήσιος ανήκει στους προσωκρατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΤΩΝ. ΤΟΥ 46 ου ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΘΕΜΑ: «ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ ΓΝΩΣΗ»

ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΤΩΝ. ΤΟΥ 46 ου ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΘΕΜΑ: «ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ ΓΝΩΣΗ» ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΤΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ 46 ου ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΘΕΜΑ: «ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ ΓΝΩΣΗ» Αριστοτέλης (384-322 π.χ.) Ο Αριστοτέλης γεννήθηκε το 384 π.χ. Ήταν γιος ενός θεραπευτή.

Διαβάστε περισσότερα

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p. Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά περί Συμμετρίας

1. Γενικά περί Συμμετρίας 1. Γενικά περί Συμμετρίας ιδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε να... o αναφέρετε τη διττή σημασία της έννοιας της συμμετρίας από την αρχαία Ελλάδα μέχρι και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 2 Εισαγωγή... 3 Οι αρχές του σύμπαντος κατά τον Αριστοτέλη... 3 Ο υποσελήνιος χώρος... 3 Ο χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 14.03.12 Χ. Χαραλάμπους Πριν: Σύμφωνα με την πυθαγόρεια αντιμετώπιση η διαγώνιος και η ακμή τετραγώνου δεν είναι συγκρίσιμα. Ορισμός Ευδόξου: δύο μεγέθη σχηματίζουν λόγο όταν (ακέραιο)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 27.03.12 Χ. Χαραλάμπους Προσέγγιση για το π (Αρχιμήδης) "Κύκλου μέτρησις" Το θεώρημα εκφράζει τον λόγο της περιφέρειας του κύκλου ως προς τη διάμετρο του κύκλου, δηλ. το π. 3 10 / 71

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΦΑΙΔΡΑ ΚΟΥΡΒΙΣΙΑΝΟΥ ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΑΤΣΑΝΤΩΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΚΑΣΙΜΑΤΗΣ Ερευνητικά Ερωτήματα Ποιοι είναι ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: «Κωνσταντίνος και Ελένη. Ήσαν Άγιοι και οι δύο.» (Κ + Ε = Α + 2). Την εποχή της Στερεομετρίας.

Θέμα: «Κωνσταντίνος και Ελένη. Ήσαν Άγιοι και οι δύο.» (Κ + Ε = Α + 2). Την εποχή της Στερεομετρίας. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Παράρτημα Κέρκυρας Χαράλαμπος Δημητριάδης Μαθηματικός Θέμα: «Κωνσταντίνος και Ελένη. Ήσαν Άγιοι και οι δύο.» (Κ + Ε = Α + ). Την εποχή της Στερεομετρίας. Μέγιστο γινόμενο,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Επιμέλεια: Μιχαηλίσιν Άννα- Μαρία, Τζιώτης Δημήτρης, Τσάτσα Κωνσταντίνα Η συμμετρία στο φυσικό κόσμο Η συμμετρία που κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα [ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα Νικόλαος Στυλιανόπουλος Ηµερίδα Ιστορία των Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κύπρου Νοέµβριος 2016 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου υσκολίες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να γίνει η ανθυφαίρεση, μεταξύ της διαγωνίου δ και της πλευράς α ενός κανονικού πενταγώνου.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να γίνει η ανθυφαίρεση, μεταξύ της διαγωνίου δ και της πλευράς α ενός κανονικού πενταγώνου. ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να γίνει η ανθυφαίρεση, μεταξύ της διαγωνίου δ και της πλευράς α ενός κανονικού πενταγώνου. Διαπραγμάτευση του προβλήματος: (Απευθύνεται σε αναγνώστη με ελάχιστες πρότερες γνώσεις) Το παραπάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1 Πίνακες πολλαπλασιασμού Το Βεδικό τετράγωνο Στάμη Τσικοπούλου Σ τα μαθηματικά και ιδιαίτερα στην αριθμητική ένας πίνακας πολλαπλασιασμού (ή αλλιώς ένας πυθαγόρειος πίνακας) είναι ένας πίνακας που χρησιμοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ 5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ Μετρούμε αλλά και υπολογίζουμε Στο προηγούμενο μάθημα χρησιμοποιήσαμε το μέτρο, αλλά και άλλα όργανα με τα οποία μετρούμε το μήκος. Το σχήμα που μετρούμε με το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Ιστοσελίδα: Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις

Ιστοσελίδα:  Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις Ιστοσελίδα: http://www.astro.auth.gr/~varvogli/ Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: 10.00-12.00 καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις Πλανητάριο, 200 σελίδες Ημερολόγιο μαθήματος Μέθοδος διδασκαλίας:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Σύμφωνα με τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας που διατύπωσε ο Αϊνστάιν, το βαρυτικό πεδίο κάθε μάζας δημιουργεί μια καμπύλωση στον χώρο (μάλιστα στον χωροχρόνο),

Διαβάστε περισσότερα

1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ

1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ 1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ Από τα αρχαιότατα χρόνια, έχουν καταβληθεί σηµαντικές προσπάθειες οι απειράριθµες ουσίες που υπάρχουν στη φύση να αναχθούν σε ενώσεις λίγων

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Οι τεχνικές επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων εμφανίζονται τουλάχιστον πριν 4000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία, σημερινό Ιράκ. Οι μέθοδοι πιθανόν προήλθαν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια 18 ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια χαρακτηριστικά αποδίδουμε σε ένα πρόσωπο το οποίο λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2011 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Υπολογισμός (ακρίβεια έως 5 δεκαδικά) Yale Babylonian collection, 1800 π.χ. 24 51 10 1+ + + = 1.41421296 2 3 60 60 60 Τετραγωνική ρίζα του 2 Ποια είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΟ. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΟΥΡΑΝΟΙ. Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου

ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΟ. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΟΥΡΑΝΟΙ. Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΟ. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΟΥΡΑΝΟΙ Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου Όσοι διαβάσατε «ΤΟ ΙΔΙΟΝ» www.omas-e.gr, θα διαπιστώσατε ότι στο κέντρο των συμπάντων υπάρχει η φυσαλίδα που στέλνει

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Γ Γυμνασίου» των Δημητρίου Αργυράκη, Παναγιώτη Βουργάνα, Κωνσταντίνου Μεντή, Σταματούλας Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργη, έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. Πέτρου Αναστασία. Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. Πέτρου Αναστασία. Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Πέτρου Αναστασία Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα ΑΘΗΝΑ 2013 Ο Πυθαγόρας (586 500 π.χ.) του Μνησάρχου και της «ωραίας υπέρ φύσιν» Πυθαϊδος γεννήθηκε στη Σάμο. Μικρός επισκέφθηκε τους Δελφούς,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 27 Φεβρουαρίου 2016 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Θαλής ο Μιλήσιος

Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Θαλής ο Μιλήσιος ΕΝΟΤΗΤΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ Κείμενο 1 Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Είναι γνωστό πως στην Αρχαία Ελλάδα γίνονται τα πρώτα σημαντικά βήματα για την ανάπτυξη των επιστημών,

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων. Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων. Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015 Κατακόρυφη πτώση σωμάτων Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015 Α. Εισαγωγή Ερώτηση 1. Η τιμή της μάζας ενός σώματος πιστεύετε ότι συνοδεύει το σώμα εκ κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα