1 Odre deni integrali. Smjena promjenjivih u odre denom integralu Primjena odre denog integrala 3. 3 Furijeovi redovi 4

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 Odre deni integrali. Smjena promjenjivih u odre denom integralu Primjena odre denog integrala 3. 3 Furijeovi redovi 4"

Transcript

1 150 ispitnih zadataka za vježbu podjeljenih po oblastima - detaljno raspisana rješenja ovih zadataka možete skinuti sa stranice pf.unze.ba\nabokov\za vjezbu Sadržaj 1 Odre deni integrali. Smjena promjenjivih u odre denom integralu. 3 2 Primjena odre denog integrala 3 3 Furijeovi redovi 4 4 Granične vrijednosti funkcija dviju promjenjivih 6 5 Neprekidnost funkcija dvije promjenjive 6 6 Diferencijalni račun funkcija više realnih promjenjivih 6 7 Tejlorova formula za funkcije dvije i veše promjenjivih 7 8 Jednačina tangentne ravni i jednačina normale na površ 7 9 Izvod funkcije u datom smijeru i gradijent funkcije 8 10 Ekstremi funkcija dvije i više promjenjih 8 11 Dvostruki integrali 8 12 Smjena promjenjivih u dvostrukom integralu 8 13 Trostruki integrali Računanje trostrukih integrala uvo denjem cilindričnih i sfernih koordinata Primjena dvostrukog i trostrukog integrala Krivoliniski integral prve vrste (po luku) Krivoliniski integral druge vrste (po koordinatama) Green-Gausova formula Primjena krivoliniskog integrala druge vrste: Računanje površine ravne figure Nezavisnost krivoliniskog integrala od vrste konture. Odre divanje primitivnih funkcija Površinski integral prve vrste Površinski integral druge vrste 14 1

2 23 Primjena površinskog integrala Formula Stoksa Formula Gaus-Ostrogradskog Integrali ovisni o parametru Vektorska teorija polja Cirkulacija i fluks vektorskog polja 18 2

3 1 Odre deni integrali. Smjena promjenjivih u odre denom integralu. 1. Izračunati integrale. (a) ˆ3 3x 2 dx; (b) ˆ4 ˆ7 (1 + e x 4 )dx; (c) dt 3t + 4 ; (d) π ˆ2a (x + 3) sin axdx Izračunati integrale. (a) ˆ5 0 xdx 1 + 3x ; (b) ˆln 3 ln 2 dx e x e x ; 3. Dokazati da za parnu funkciju f(x) vrijedi (c) 3 ˆ 1 (x 3 + 1)dx x 2 4 x 2 ; (d) π ˆ2 0 dx 2 + cos x. ˆa ˆa f(x)dx = 2 f(x)dx a 0 dok za neparnu funkciju f(x) vrijedi ˆa a f(x)dx = 0. 2 Primjena odre denog integrala 4. Izračunati dužinu luka polukubičnog paraboloida y 2 = (x 1) 3 izme du tački A(2; 1) i B(5; 8). 5. Izračunati dužinu luka jednog svoda cikloide x = a(t sin t), y = a(1 cos t) (za jedan svod cikloide parametar t uzima vrijednosti od 0 do 2π). 6. Izračunati zapreminu tijela koje nastaje rotacijom krive x2 a + y2 = 1 oko y-ose. 2 b2 7. Figura u ravni ograničena parabolom y = 4 x 2 i poluravnima y 3, y 0 rotira oko x-ose. Izračunati zapreminu dobijenog tijela. 8. Izračunati površinu omotača tijela koje nastaje kada dio krive y = x 3, koji se nalazi izme du pravih x = 2 i x = 2, rotira oko x-ose Izračunati površinu omotača tijela koje nastaje kada astroida x = a cos 3 t, y = a sin 3 t rotira oko x-ose (grafik astroide je prikazan na slici lijevo). 10. Figura u ravni ograničena linijama 2y = x 2 i 2x + 2y 3 = 0 rotira oko x-ose. Izračunati zapreminu dobijenog tijela. 3

4 11. Izračunati zapreminu tijela koje nastaje rotacijom krive x = a cos 3 t, y = a sin 3 t oko x-ose (data kriva je poznata pod imenom astroida i njen grafik je prikazan na slici lijevo). 3 Furijeovi redovi 12. Funkciju definisanu grafikom pretvoriti u Furijer-ov red. Dobijeni rezultat iskoristiti ( 1) n za sumiranje reda 2n + 1. n=0 13. Funkciju definisanu grafikom pretvoriti u Furijerov red. Dobijeni rezultat iskoristiti za sumiranje reda 1 (4n 1)(4n 3). k=1 14. Pretvoriti u Fourier-ov red funkciju definisanu grafikom: Iskoristiti dobijeni rezultat za izračunavanje sume redova ( 1) n+1 n=1 2n Funkciju definisanu grafikom pretvoriti u Fourier-ov red. i ( 1) n n=1. 2n 1 Dobijeni rezultat iskoristiti za sumiranje reda n=1 1 2n 1. 4

5 16. Funkciju definisanu grafikom pretvoriti u Furijerov red. Dobijeni rezultat iskoristiti za sumiranje reda ( 1) n k=1 n sinnπ Razviti funkciju f(x) = x( π 2 x) po sinusima višestrukih uglova u intervalu (0, π 2 ). 18. Razviti funkciju f(x) = 3x2 6πx + 2π 2 12 u red po kosinusima u intervalu (0, π). 19. Dio grafika f-je y = f(x) je prikazan na slici lijevo. Datu funkciju pretvoriti u Furijer-ov red samo po cos-inusima. ( 1) n Dobijeni rezultat iskoristiti za sumiranje reda 1 4n. 2 n=1 20. Funkciju definisanu grafikom pretvoriti u Furijerov red. Dobijeni rezultat iskoristiti za sumiranje reda 1 (2k 1). 2 k=1 21. Razviti funkciju f(x) = 3x2 6πx + 2π rezultat iskoristiti za sumiranje reda n. 2 n=1 u red po kosinusima u intervalu (0, π). Dobijeni 22. Funkciju definisanu grafikom razviti u Furijer-ov red. Dobijeni rezultat iskoristiti za sumiranje redova (a) ; 2 (b)

6 23. Funkciju definisanu grafikom razviti u Furijer-ov red. Dobijeni rezultat iskoristiti za sumiranje reda n sin nπ 2 + (2n 1)(2n + 1) Granične vrijednosti funkcija dviju promjenjivih 24. Neka je data funkcija f : R 2 R definisana na sljedeći način { (xy) 2, (x, y) (0, 0); (xy) f(x, y) = 2 +(x y) 2 0, (x, y) = (0, 0). Odrediti da li sljedeći limesi postoje i izračunati one limese koji postoje: (a) lim[lim f(x, y)]; lim[lim f(x, y)]; x 0 y 0 y 0 x 0 (b) f(x, y). lim (x,y) (0,0) 5 Neprekidnost funkcija dvije promjenjive x 2 y 3, (x, y) (0, 0) 25. Ispitati neprekidnost funkcije f(x, y) = 2x 2 + y2 0, (x, y) = (0, 0). 26. Ispitati neprekidnost funkcije f(x, y) = { (x 1) 2 lnx (x 1) 2 +y 2, (x, y) (1, 0) 0, (x, y) = (1, 0). 6 Diferencijalni račun funkcija više realnih promjenjivih 27. Ako je u = ϕ(x y) + ψ(x + y) x gdje su ϕ i ψ diferencijalne funkcije, izračunati u (x2 x x ) 2 u x2 y Ako je z = y f(x 2 y 2 ) gdje je f diferencijalna funkcija, izračunati 1 x z x + 1 y z y. 6

7 29. Ako je z = e y ϕ(ye x 2 2y 2 ) gdje je ϕ diferencijabilna funkcija, dokazati da je (x 2 y 2 ) z z + xy x y = xyz. 30. Provjeriti da li funkcija z = arc tg x, u kojoj je x = u+v, y = u v, zadovoljava jednakost y z u + z v = u v v 2 + u Ako je f(x) = arc sin x y gdje je y = x provjeriti da li je df dx = 1 x Ako je z = ln(e x + e t ) gdje je x = t 3 izračunati z t i dz dt. 33. Provjeriti da li funkcija u = sin x + F (sin y sin x), u kojoj je F diferencijabilna funkcija, zadovoljava jednakost u u cos x + cos y = cos x cos y. y x 34. Provjeriti da li funkcija z = ϕ(x 2 + y 2 ), u kojoj je ϕ diferencijabilna funkcija, zadovoljava jednakost y z x x z y = Ako je p = u 2 ln v pri čemu je u = x y p y = 2xu (v ln v + y). vy2 i v = 3x 2y, odrediti p x i provjeriti da li vrijedi 7 Tejlorova formula za funkcije dvije i veše promjenjivih 36. Razložiti funkciju f(x, y) = arc tg(x 2 y 2e x 1 ) po formuli Tejlora u okolini tačke M(1, 3) do stepena drugog reda zaključno. 37. Funkciju f(x, y) = arc tg x y razviti u Tejlorov red do članova četvrtog reda u okolini 1 + xy tačke (0, 0). Prikazati izgled opšteg člana. 8 Jednačina tangentne ravni i jednačina normale na površ 38. Odrediti jednačinu tangentne ravni na površ x2 a + y2 2 b + z2 = 1, koja je normalna na pravu 2 c2 x 1 = y 2 = z Naći jednačinu tangentne ravni elipsoida x2 a + y2 2 b + z2 = 1 koja na koordinatnim osama 2 c2 odsjeca jednake pozitivne odsječke. 40. Dokazati da tangentne ravni povrsi x + y + z = a (a > 0) odsjecaju od koordinatnih osa odsjecke ciji je zbir jednak a. 41. Napisati jednačinu tangentne ravni i normale na površ 2 x z + 2 y z = 8 u tački M(2, 2, 1). 7

8 9 Izvod funkcije u datom smijeru i gradijent funkcije 42. Izračunati izvod funkcije u = x 2 y 2 + z 2 3xyz u tački T (1, 1, 2) u smjeru koji čini s koordinatnim osama uglove π 3, π 4 i π Ekstremi funkcija dvije i više promjenjih 43. Odrediti ekstreme funkcije f(x, y) = x 2 xy + y 2 2x 2y. 44. Naći ekstreme funkcije z = x + y sin x sin y. 45. Naći ekstreme funkcije z = (2x 2 + 3y 2 )e (x2 +y 2). 46. Odrediti ekstreme funkcije f(x, y) = xe y+x sin y. 47. Naći ekstreme funkcije z = x 3 + 4x 2 y + xy 2 12xy 3y Dvostruki integrali 48. Izmjeniti poredak integracije u integralu 49. Izmjeniti poredak integracije u integralu 50. Dati dvostruki integral ˆR 0 dx R 2 x 2 na polarne koordinate. 51. Izračunati dvostruki integral I = 1, x + y = Izračunati D ˆ 0 D ˆ1 0 ˆ1 0 ˆ3y dy y ˆx 2 dx x 3 f(x, y) dx. f(x, y)dy. f(x, y) dy iz pravougaonih koordinata transformisati dx dy, ako je D : y 2 x 2 = 1, x 2 + y 2 = 4. D xy dx dy, gdje je D oblast ograničena linijama xy = 53. Izračunati I = (x 2 + y 2 )dxdy gdje je D paralelogram sa stranicama y = x, y = x + a, y = a, y = 3a (a > 0). 12 Smjena promjenjivih u dvostrukom integralu 54. Izračunati dvostruki integral dat u polarnim koordinatama I = oblast D a) kružni sektor, ograničen linijama ρ = a, ϕ = π 2 i ϕ = π; b) polukrug ρ 2acosϕ, 0 ϕ π 2 ; D ρsinϕ dρ dϕ gdje je 8

9 c) oblast izme du linija ρ = 2 + cosϕ i ρ = 1 (obavezno nacrtati izgled oblasti D u sve tri slučaja). 1 x 55. Izračunati integral I = 2 y x 2 + y dx dy ako je D oblast data sa 2 x2 +y 2 1, y Izračunati dvostruki integral I = y 2 ) 2 = a 2 (x 2 y 2 ). 57. Izračunati dvostruki integral 58. Dati dvostruki integral na polarne koordinate. D ˆ2R R/2 dy D D 2Ry y 2 dx dy ako je D oblast ogranicena lemniskatom (x 2 + (x 2 + y 2 ) dx dy gdje je D = {(x, y) R x 2 + y 2 2 (x + 2y)}. 3 ˆ 0 f(x, y) dx iz pravougaonih koordinata transformisati 59. Izračunati dvostruki integral 3 ˆ2 0 dx 1 x 2 ˆ 1 1 x 2 x2 + y 2 dy. 60. Izračunati dvostruki integral 61. Izračunati: G ˆ 2π π 2 ˆ 0 ˆ a dx π ˆ2 x2 cos(x 2 + y 2 ) dy. π 2 x2 (a) dvostruki integral dϕ ρ 2 sin 2 ϕ dρ; 0 0 xy 1 x (b) dvojni integral 2 y 2 dxdy gdje je G = {(x, y) : x 2 +y 2 1, x 0, y 0}. 2x 2 + y Izračunati I = 63. Izračunati D 64. Izračunati D G (x + y2 x Izračunati dvojni integral I = ) dxdy gdje je G = {(x, y) : x 2 + y 2 2ax 0, a > 0}. ydxdy gdje je D = {(x, y) : 1 x 2 + y 2 2x, y 0}. xdxdy gdje je D = {(x, y) : 1 x 2 + y 2 2y, x y, x 0}. D = {(x, y) : 1 x 2 + y 2 x 9, y x 3} Izračunati D D arc tg y dxdy gdje je x y dxdy gdje je D = {(x, y) : x 2 + y 2 1, x 2 + y 2 2x, y 0}. 9

10 13 Trostruki integrali 67. Izračunati trojini integral I = G 1 dxdydz, gdje je oblast G u prvom oktantu (1 + z) 3 ograničena ravnima x + y = 1, z = x + y, x = 0, y = 0, z = 0. ˆˆˆ dx dy dz 68. Izračunati trostruki integral I = ako je Ω oblast ome dena koordi- (x + y + z + 1) 3 natnim ravnima i sa ravni x + y + z = 1. ˆˆˆ 69. Izračunati trostruki integral I = y = x, y = 2x, 2x = 1, x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0. D Ω z dx dy dz ako je Ω oblast ograničena površinama 14 Računanje trostrukih integrala uvo denjem cilindričnih i sfernih koordinata 70. Uvo denjem cilindričnih koordinata izračunati trostruki integral J = (x 2 + y 2 + z 2 ) dxdydz gdje je oblast W ograničena površinom 3(x 2 + y 2 ) + z 2 = 3a Izračunati trostruki integral K = y dxdydz gdje je oblast T ograničena površinama y = x 2 + z 2 i y = h, h > Dati trojni integral Ω T f(x, y, z) dxdydz transformisati na trostruki u cilindričnim koordinatama (sa odre denim posebnim granicama integracije) ako je Ω oblast u prvom oktantu ograničen cilindrom x 2 + y 2 = R 2 i ravnima z = 0, z = 1, y = x i y = x Dat je trostruki integral ˆ2π 0 ˆ2 dϕ 0 r 3 dr 4 r 2 ˆ 0 dz u cilindričnim koordinatama. Skicirati oblast integracije i izračunati taj integral prelazeći na sferne koordinate. 74. Izračunati trostruki integral K = ydxdydz gdje je oblast T ograničena površinama y = x 2 + z 2 i y = h, h > 0. T W 75. Izračunati integral x2 + y 2 + z 2 dxdydz gdje je Ω = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 z, x 2 + y 2 z 2 }. 76. Uvo denjem sfernih koordinata izračunati integral dx Ω ˆ1 0 1 x 2 ˆ 0 dy 2 x 2 y 2 ˆ x 2 +y 2 z 2 dz. 10

11 77. Izračunati integral xyzdxdydz gdje je oblast V ograničena sferom x 2 + y 2 + z 2 = 1 i ravnima x = 0, y = 0, z = 0 u I oktantu. V 15 Primjena dvostrukog i trostrukog integrala 78. Izračunati zapreminu tijela, koje je ograničeno sa površinama z = y 2 x 2, z = 0, y = ± Izračunati zapreminu tijela, ograničeno površinama y = x 2, y = 1, x + y + z = 4, z = Izračunati zapreminu tijela ograničenog dijelom površi (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 = a6 z 2 u I oktantu. x 2 + y 2, a > Izračunati zapreminu tijela koje je ograničeno površima x 2 + y 2 + z 2 = 4 i x 2 + y 2 = 3z. 82. Izračunati zapreminu tijela ogranicenog valjkom x 2 + y 2 = 6x i ravnima x z = 0, 5x z = Izračunati zapreminu tijela ograničenog ravninom x0y, valjkom x 2 + y 2 = 2ax i čunjem x 2 + y 2 = z Izračunati zapreminu tijela koju ravan z = x + y odsijeca od paraboloida z = x 2 + y Izračunati zapreminu dijela kugle x 2 + y 2 + z 2 = R 2 koji se nalazi izme du dvije paralelne ravni z = 0 i z = a (0 < a < R). 86. Naći težište homogenog tijela ograničenog sa ravnima x = 0, y = 0, z = 0, x = 2, y = 4 i x + y + z = 8 (koso zasiječen paralelopiped). 87. Izračunati zapreminu tijela ograničenog loptom x 2 + y 2 + z 2 = a 2, cilindrom x 2 + y 2 = ax i ravni 0xy koji se nalazi u gornjem poluprostoru. 16 Krivoliniski integral prve vrste (po luku) ˆ 88. Izračunati krivoliniski integral I = (4 3 x 3 y)dl izme du tački E( 1; 0) i F (0; 1) a) po pravoj EF ; b) po liniji astroide x = cos 3 t, y = sin 3 t. 89. Izračunati krivoliniski integral prve vrste I = x2 + y 2 ds gdje je C krug x 2 + y 2 = ax, (a>0). ˆ 90. Izračunati krivoliniski integral (x y) ds po kružnoj liniji x 2 + y 2 = ax. L L C x = a cosϕ cos2ϕ 91. Izračunati krivoliniski integral prve vrste (x + y) ds ako je c : y = a sinϕ cos2ϕ c π ϕ π 4 4 (kriva c je desna latica lemniskate ρ = a cos2ϕ). 11

12 ˆ 92. Izračunati krivoliniski integral I = A(0; 2) do tačke B(4; 0). AB dl po odsječku prave x 2y = 4 od tačke x2 + y2 93. Neka je A tačka u kojoj prava 2x 5y 1 = 0 siječe ˆ y-osu, a B tačka u kojoj data prava ds siječe x-osu. Izračunati krivolinijski integral prve vrste, ako je C odsiječak x2 + y date prave izme du tačaka A i B. C 17 Krivoliniski integral druge vrste (po koordinatama) 94. Izračunati krivoliniske integrale a) 2x dx (x + 2y) dy i b) ycosx dx + sinx dy l po krivoj l, gdje je l trougao čiji su vrhovi A( 1; 0), B(0; 2) i C(2; 0). 95. Date su tačke A(3; 6; 0) i B( 2; 4; 5). Izračunati krivoliniski integral I = +l c xy 2 dx + yz 2 dy zx 2 dz gdje je c: (a) duž koja spaja tačke O i B (O je koordinatni početak) (b) kriva od A do B kruga zadan jednačinama x 2 + y 2 + z 2 = 45, 2x + y = 0. ˆ 96. Izračunati krivoliniski integral I = (x 2 + y 2 ) dx + x 2 y dy gdje je c kontura trapeza koga obrazuju prave x = 0, y = 0, x + y = 1 i x + y = 2. c 97. Izračunati krivoliniski integral I = C z dz duž krive koja nastaje kao presjek cilindra (x a 2 )2 a (y b 2 )2 b 2 2 = 1 i paraboloida z = x2 a + y2 2 b 2 orjentisana u pozitivnom smijeru (a b > 0). 98. Izračunati krivoliniski integral I = y dx + x 2 dy duž krive koja nastaje kao presjek ravni c z = 0 i cilindra x2 a + y2 2 b = x 2 a + y orjentisana u pozitivnom smijeru (a b > 0). b 99. Izračunati integral I = y 2 dx po krivoj koja nastaje kao presjek kugle x 2 +y 2 +z 2 = R 2 c i valjka x 2 + y 2 = Rx. (Mala pomoć: Da bi ste izračunali ovaj integral treba parametrizirati krivu c. Jedan od načina kako to možete postići je da krenete od parametrizacije kruga...) ˆ ˆ 100. Izračunati krivoliniske integrale (a) I = 2xdx (x + 2y)dy; (b) I = ycosxdx + sinxdy; gdje je l kontura trougla čiji su vrhovi A( 1; 0), B(0; 2) i C(2; 0). l +l 101. Izračunati krivolinijski integral druge vrste I = xdy + xdz C 12

13 gdje je C kriva koja nastaje presjekom cilindrične površi x 2 + y 2 = 2x i ravni z = x pozitivno orjentisana ako se posmatra iz tačke (0; 0; 1) Izračunati krivoliniski integral druge vrste I = (y z)dx + (z x)dy + (x y)dz gdje je C krug x 2 + y 2 + z 2 = a 2 (a > 0), y = xtg α, (0 < α < π ) uzet u smjeru suprotnom kretanju kazaljnke na satu ako se posmatra sa pozitivnog dijela x-ose Izračunati vrijednost krivoliniskog integrala I = ydx + zdy + xdz duž zatovorene krive C koja je dobijena kao presjek sljedećih površina: x 2 + y 2 = r 2 i x 2 = rz (r > 0). (Kriva C je orjentisana pozitivno ako se posmatra sa z-ose za z > r). 18 Green-Gausova formula 104. Pomoću Greenove formule izračunati krivoliniski integral (x 2 y y3 + ye xy ) dx + (x + xe xy ) dy c ako je c pozitivno rjentisana kontura odre dena linijama y = 1 x 2, y = Izračunati krivoliniski integral I = (xy + x + y)dx + (xy + x y)dy ako je c : x 2 + c y 2 = 3x. ˆ 106. Pomoću Greenove formule izračunati integral I = (xy + x + y) dx + (xy + x y) dy, ako je c kontura kruga x 2 + y 2 = ax prije dena u pozitivnom smislu. C C c 107. Izračunati ˆ I = (e x+y sin 2y + x + y)dx + (e x+y (2 cos 2y + sin 2y) + 2x)dy C gdje je C kriva y = 2x x 2, integracija se vrši od tačke A(2; 0) do tačke O(0; 0) Izračunati ˆ I = AO (ex sin y my)dx + (e x cos y m)dy gdje je AO gornji polukrug x 2 + y 2 = ax, y 0 (a > 0) orjentisan od tačke A(a; 0) do tačke O(0; 0). 19 Primjena krivoliniskog integrala druge vrste: Računanje površine ravne figure 109. Uz pomoć krivoliniskog integrala druge vrste, izračunati površinu, ograničenu kardioidom x = 2 cost cos2t, y = 2sint sin2t Izračunati pomoću krivoliniskog integrala druge vrste površinu ravne figure ograničene konturom x = a(t sin t) c : y = a(1 cos t) 0 t 2π 13

14 20 Nezavisnost krivoliniskog integrala od vrste konture. Odre divanje primitivnih funkcija 111. Izračunati krivoliniski integral (6,8) ˆ x dx + y dy x2 + y 2 duž puta koji ne prolazi kroz koordinatni početak. (1,0) 112. Izračunati krivoliniski integral (1,2) ˆ (2,1) 21 Površinski integral prve vrste 113. Izračunati površinski integral I = oktantu. ˆˆ 114. Izračunati površinski integral iznad xy-ravni Izračunati površinski integral x2 + 4 ds, S y dx x dy x 2 duž puta koji ne siječe osu 0y. S xyz ds, ako je S dio ravni x + y + z = 1 u I 3z ds gdje je S površina paraboloida z = 2 (x 2 +y 2 ) (S) gdje je (S) omotač površi x2 4 + y2 4 = z2 9, 0 z Izračunati površinski integral prvog tipa I = W (x 2 + y 2 )ds gdje je W -površina dijela paraboloida x 2 + y 2 = 2z koju odsjeca ravan z = 1 (dio paraboloida ispod date ravni). ds 117. Izračunati površinski integral I = (1 + z) ako je S sfera 2 x2 + y 2 + z 2 = 1. S 22 Površinski integral druge vrste 118. Izračunati površinski integral drugog tipa (po koordinatama) I = gdje je σ donja strana kruga x 2 + y 2 a 2. σ 4 x2 + y 2 dxdy 119. Izračunati površinski integral K = W y dx dz gdje je W -površina tetraedra ograničenog ravnima x + y + z = 1, x = 0, y = 0 i z = 0. 14

15 120. Izračunati površinski integral 2 dxdy + y dxdz x 2 z dydz gdje je T vanjska strana T elipsoida 4x 2 + y 2 + 4z 2 = 4 koji se nalazi u prvom oktantu Izračunati površinski integral xy 3 z dx dy ako je S vanjska strana sfere x 2 +y 2 +z 2 = 4 u prvom oktantu Izračunati površinski integral druge vrste I = xyz dxdy S S gdje je S spoljna strana dijela sfere x 2 + y 2 + z 2 = 1, x 0, y Izračunati površinski integral drugog tipa (po koordinatama) I = gdje je σ donja strana kruga x 2 + y 2 a 2. σ 4 x2 + y 2 dxdy 124. Izračunati I = S+ ( 1 x dydz + 1 y dzdx + 1 ) z dxdy gdje je S+ spoljašnja strana jedinične sfere (zadatak uraditi bez upotrebe teoreme Gauss- Ostrogradskog - zadatak se i ne može uraditi uz pomoć navedene teoreme zato što ne ispunjavaju sve uslove teoreme) Izračunati površinski integral I = y 2 dydz + (y 2 + x 2 )dzdx + (y 2 + x 2 + z 2 )dxdy gdje je S+ spoljašnja strana polusfere x 2 + y 2 + z 2 = 2Rx, z > 0 (za fiksirano R > 0). S Data je kriva c koja je dobijena kao presjek površina x 2 + y 2 = r 2 i x 2 = rz (r > 0). Izračunati površinski integral 23 Primjena površinskog integrala S S dxdy gdje je S gornja strana površine koju zatvara kriva c. ˆˆ 127. Izračunati ds, ako je S površina djela sfere S = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 } koja se nalazi u unutrašnjosti cilindra S 1 = {(x, y, z) R 3 x2 a + y2 = 1, z R}, b < a. 2 b Neka je S površina tijela koje je dobijeno presjekom dva cilindra S 1 = {(x, y, z) R 3 x 2 + z 2 = a 2, y R} i S 1 = {(x, y, z) R 3 y 2 + z 2 = a 2, x R}. Izračunati ds. S 129. Izračunati površinu dijela površi S : z 2 = 2xy odre dene u prvom oktantu u presjeku sa ravnima: x = 0, y = 0 i x + y = 1. Uputa: B(α, β) = ˆ 1 0 x α 1 (1 x) β 1 dx, B( 3 2, 3 2 ) = π 8, B(1 2, 5 2 ) = 3π 8. 15

16 130. Izračunati površinu dijela lopte x 2 +y 2 +z 2 = 3a 2 koja se nalazi ispod parabole x 2 +y 2 = 2az a iznad x0y ravni Izračunati površinu onog dijela kupe z 2 = x 2 +y 2 koji se nalazi unutar valjka x 2 +y 2 = 2x Odrediti površinu koju cilindar x 2 + y 2 = ax isjeca na lopti x 2 + y 2 + z 2 = a 2 iznad ravni Oxy. 24 Formula Stoksa 133. Uz pomoć formule Stoksa, izračunati krivoliniski integral e x dx + z(x 2 + y 2 ) 3 2 dy + yz 3 dz l gdje je l-zakrivljena linija OCBAO (vidi sliku) dobijena presjekom površina z = x 2 + y 2, x = 0, x = 2, y = 0, y = Uz pomoć formule Stoksa, izračunati krivolinijski integral I = L x 2 y 3 dx + dy + zdz gdje je L krug dat sa x 2 + y 2 = r 2 i z = 0 (r>0). (L je pozitivno orjentisana kriva ukoliko se posmatra sa pozitivnog dijela z-ose.) 25 Formula Gaus-Ostrogradskog 135. Uz pomoć formule Gauss-Ostrogradski izračunati površinski integral " 4x 3 dydz + 4y 3 dxdz 6z 4 dxdy S gdje je S vanjska strana cilindra x 2 + y 2 = a 2 koji se nalazi izme du ravni z = 0 i z = h Pomoću formule Gauss-Ostrogradski izračunati površinski integral " I = xz dydz + xy dzdx + yz dxdy, S ako je S vanjska strana tijela koje pripada prvom oktantu i ograničeno je cilindrom x 2 +y 2 = 1, te ravnima x = 0, y = 0, z = 0, z = Izračunati površinski integral I = S+ x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy gdje je S+ spoljašnja strana kupe odre dena omotačem z 2 = x 2 + y 2, 0 z h i osnovom x 2 + y 2 h 2, z = h za fiksirano h > 0. 16

17 26 Integrali ovisni o parametru 138. Prvo izračunati integral I = i koristeći metodu diferenciranja po parametru izračunati ˆ 0 G(α) = e x sin(αx)dx pa poslije toga dobijeni rezultat iskoristiti ˆ 139. Date su vrijednosti dva integrala (α > 0) ˆ 0 cos αx 1 + x 2 dx = π 2 e α, 0 xe x cos(αx)dx ˆ 0 sin αx x dx = π 2. Koristeći date jednakosti, uz pomoć metode diferenciranja po parametru izračunati 140. Metodom diferenciranja po parametru izračunati integral ˆ1 0 ˆ 0 sin αx x(1 + x 2 ) dx. ln(1 a 2 x 2 ) x 2 1 x 2 dx (a2 < 1) (mala pomoć: možda ćete naći korisno da u rješavanju integrala iskoristie smjene x = sin t ili tg t = z) Metodom diferenciranja po parametru izračunati integral ˆ1 0 arc tg ax x dx (mala pomoć: 1 x2 možda ćete naći korisno da u rješavanju integrala iskoristie smjene x = sin t ili tg t = z). 27 Vektorska teorija polja 142. Dokazati da je vektorsko polje potencijalno i naći njegov potencijal: v = 2x(y 2 + z 2 ) i + 2y(x 2 + z 2 ) j + 2z(x 2 + y 2 ) k Odrediti brojeve a i b tako da vektorsko polje v = (yz + axy, xz + bx 2 + yz 2, axy + y 2 z) bude potencijalno i za dobijeno polje izračunati njegovu cirkulaciju duž pravoliniske konture od tačke A(1; 1; 1) prema tački B(2; 2; 2) 144. Neka funkcije g, h : R 3 R ispinjavaju g(x, y, z) = 0 i h(x, y, z) = 0 gdje je = 2 x y z 2 Laplace-ov operator. Za funkciju f : R3 R datu sa izračunati f(x, y, z). f(x, y, z) = g(x, y, z) + (x 2 + y 2 + z 2 )h(x, y, z) 145. Pokazati da je vektorsko polje v = (2x + y + z, x + 2y + z, x + y + 2z) potencijalno i naći njegov potencijal Dokazati da je vektorsko polje v = (z cos zx y sin x, cos x, x cos zx) potencijalno i izračunati cirkulaciju tog polja duž prave od tačke O(0, 0, 0) do tačke A(1, 2, π). 17

18 28 Cirkulacija i fluks vektorskog polja 147. Izračunati cirkulaciju vektorskog polja v = (1, xy 2, yz 2 ) duž konture x 2 + 2y 2 = 4, z = 2x Izračunati cirkulaciju polja v = x i + y j + (x + y 1) k duž odsječka prave izme du tačaka A(1, 1, 1) i B(2, 3, 4) Data su skalarna polja f = xyz, g = xy + yz + zx. (a) Formirati vektorska polja a = gradf, b = gradg i ispitati prirodu vektorskog polja a b (drugim riječima odgovoriti ˆ na pitanje da li je polje a b potencijalno ili solenoidno). (b) Izračunati ( a b)dr, gdje je C duž koja spaja tačke O(0, 0, 0) i B(1, 2, 3). C 150. Izračunati fluks vektorskog polja po unutrašnjoj strani sfere x 2 + y 2 + z 2 = 1. v = (x, y 2, x 2 + z 2 1) 18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

221

222

223

224

225

226

227

228

229

230

231

232

233

234

235

236

237

238

239

240

241

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković

MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković MATEMATIKA II VEŽBE Dr Boban Marinković 1 Neodredjeni integral dx = x + C, dx x = ln x + C, dx = arcsin x + C, 1 x 2 a x dx = ax ln a + C, cos x dx = sin x + C, dx x 2 a = 1 2 2a ln x a x + a + C, dx x2

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

QETVRTI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 1, Grupa A. x 2, g : x. 1 (x 2 + y 2 dx dy. QETVRTI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 1, Grupa B. ln x (x 1) 3/2.

QETVRTI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 1, Grupa A. x 2, g : x. 1 (x 2 + y 2 dx dy. QETVRTI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 1, Grupa B. ln x (x 1) 3/2. 1. Izraqunati QETVRTI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 1, 1995. x arctan x 1 + x dx. Grupa A. Izraqunati povrxinu koju ograniqavaju pozitivan deo x - ose i grafici funkcija 3. Ako je oblast ograniqena krivama

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Tangentna ravan i normala površi

1.1 Tangentna ravan i normala površi Površi. Tangentna ravan i normala površi Zadatak Data je površ r(u, v) = (u cos v, u sin v, a 2 u 2 ), a = const. Ispitati o kojoj se površi radi i odrediti u i v linije. Zadatak 2 Data je površ r(u, v)

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:

Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a: Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II

Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II Sličnost trouglova 1. Neka su dati krugovi k 1 (O 1, r 1 ), k 2 (O 2, r 2 ) i k 3 (O 3, r 3 ) takvi da k 1 dodiruje krug k 2 u tački P, k 2 dodiruje krug k

Διαβάστε περισσότερα

Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),

Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ), Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija

Analitička geometrija 1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Konstruktivni zadaci. Uvod

Konstruktivni zadaci. Uvod Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

dr Lidija Stefanović INTEGRALI: KRIVOLINIJSKI, DVOJNI, TROJNI, POVRŠINSKI ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA; II DEO SKC Niš, 2009.

dr Lidija Stefanović INTEGRALI: KRIVOLINIJSKI, DVOJNI, TROJNI, POVRŠINSKI ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA; II DEO SKC Niš, 2009. dr idija tefanović INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI ZA TUENTE TEHNIČKIH FAKUTETA; II EO KC Niš, 9. dr idija tefanović INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI ZA TUENTE TEHNIČKIH

Διαβάστε περισσότερα

Author : Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Πιθανώς έχει καποιο λάθος.

Author : Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Πιθανώς έχει καποιο λάθος. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Τμήμα Φυσικής 1ο Σετ Ασκήσεων Γενικών Μαθηματικών ΙΙ Author : Βρετινάρης Γεώργιος Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Χ.Τσάγκας 19 Φεβρουαρίου 217 ΑΕΜ: 14638 Πιθανώς

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Integrali Materijali za nastavu iz Matematike 1

Integrali Materijali za nastavu iz Matematike 1 Integrali Materijali za nastavu iz Matematike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 202/3 / 44 Definicija primitivne funkcije i neodredenog integrala Funkcija F je primitivna funkcija (antiderivacija)

Διαβάστε περισσότερα

ZI. NEODREðENI INTEGRALI

ZI. NEODREðENI INTEGRALI ZI. Nodrđni intgrali 7 ZI. NEODREðENI INTEGRALI. Antidrvacij. Pronañi tri antidrivacij funkcij.. Odrdi sv antidrivacij funkcij.. Pronañi dvij antidrivacij funkcij.. Pronañi antidrivaciju funkcij za koju

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi

Διαβάστε περισσότερα

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu P R I P R E M N I Z A D A C I za DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Š.G. 005 / 006. UPUTSTVO: 1. Za svaki od prva četiri zadatka

Διαβάστε περισσότερα

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 4.1 Ravan u prostoru......................... 5 4.2 Udaljenost ta

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R. Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Elementi teorije polja

1.4 Elementi teorije polja 1.4. ELEMENTI TEORIJE POLJA 1 1.4 Elementi teorije polja Definicija 1. Neka je data bilo koja funkcija: u u p rq : R 3 Ñ R. Tada kažemo da je dato skalarno polje. Prostor R 3 razmatramo kao skup vektora,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

1 Integrali. 1.1 Pojam neodre denog integrala. Uvod u površinski problem

1 Integrali. 1.1 Pojam neodre denog integrala. Uvod u površinski problem Integrali. Pojam neodre denog integrala Uvod u površinski problem Iako većina razmišlja o integralu isključivo kao o obratu izvoda, osnove integralnog računa sežu mnogo dalje u prošlost od modernih vremena.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:

Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se: 4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona * Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα