ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΔΗΜΙΟΛΟΓΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΔΗΜΙΟΛΟΓΙΑ"

Transcript

1 ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΔΗΜΙΟΛΟΓΙΑ Ο ρόλος της Στατιστικής στην ιατρική. Ανασκόπηση απλής στατιστικής μεθοδολογίας στην Ιατρική. Αιτία, αιτιότητα, συσχέτιση, συντελεστής kappa. Ταξινόμηση νόσων (Internatonal Classfcaton of Dseases, ICD code. Επίπτωση, επιπολασμός, προτυποποίηση. Αιτιολογικοί δείκτες (κίνδυνος, odds rato. Ευαισθησία, ειδικότητα, προγνωστική άξια. Μέθοδος Mantel-Hanenszel. Ανάλυση μελετών μαρτύρων ασθενών, επιλογή μαρτύρων. Παλινδρόμηση Posson. Μοντέλα συνάφειας. Θέματα ανάλυσης διασποράς και συνδιασποράς με fxed και random effects. Συλλογή ασθενών. Αρχές βιοστατιστικών και επιδημιολογικών μελετών. Εισαγωγή στα Repeated measures longtudnal data και μεταανάλυση. Βιβλιογραφία Παπαιωάννου Τ. και Φερεντίνου Κ. (000. Ιατρική Στατιστική, Εκδόσεις Α. Σταμούλης, Αθηνά. Ahlborn A. and Norell S. (900. Introducton to Modern Epdemology. Epdemology Resources Inc. Agrest A. (990 Categorcal Data Analyss, nd Edton (00. Altman D.G.(99. Practcal statstcs n medcal research, Chapman and Hall. Armtage P., Mathews J.N.S., Berry G. Statstcal methods n medcal research, (00 4th Edton, Blackwell. Breslow N.E. και Day N.E. (980 και 987. Statstcal methods n Cancer Research, Vol I και II. Clayton D. and Hlls M., (993. Statstcal methods n Epdemology, Oxford Unversty Press. Gardner, M.J. and Altman D.G. (984.Statstcs wth Confdence, Brtsh Medcal Journal. Gore S.M. and Altman D.G. (98 Statstcs n Practce, Brtsh Medcal Journal. Woolson R.F. (987. Statstcal Methods for the Analyss of Bomedcal Data, Wley. Άλλες αναφορές Armtage P. and Colton T. (998 Encyclopeda of Bostatstcs, 6 volumes, Wley. World Health Organzaton (99 Internatonal Statstcal Classfcaton of Dseases and Related Health Problems, 0 th revson, WHO Geneva. Αναφορές Βασικής θεωρίας Παπαϊωάννου Τ. (000 Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστικής, Εκδόσεις Σταμούλης, Αθηνά. Παπαιωαννου Τ. και Φερεντίνος Κ.(000 Μαθηματική Στατιστική:Εκτιμητική, Έλεγχος Υποθέσεων, Εφαρμογές. Εκδόσεις Σταμούλη, Αθήνα.

2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές:. Αναπτύχθηκαν στα πλαίσια του μαθήματος «Βιοστατιστική και Στατιστικές Μέθοδοι στην Επιδημιολογία το οποίο δίδαξα τα τελευταία χρόνια στο Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Εφαρμοσμένη Στατιστική, Κατεύθυνση Βιοστατιστικής του Τμήματος Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Παν/μίου Πειραιώς και. Απευθύνονται σε φοιτητές που έχουν διδαχθεί ένα δύο μαθήματα Πιθανοτήτων Στατιστικής χωρίς αναγκαστικά να έχει προηγηθεί ένα μάθημα «Βιοστατιστικής». Κατά συνέπεια σε ότι αφορά τη δυσκολία τους μπορούν να θεωρηθούν ως ενδιάμεσου επιπέδου στον ευρύτερο χώρο της Βιοστατιστικής και της Στατιστικής Επιδημιολογίας. Η έμφαση είναι όχι μόνο στην παρουσίαση των διαφόρων θεμάτων και αποτελεσμάτων αλλά και στη στατιστική τους αιτιολόγηση και προέλευση. Τάκης Παπαϊωάννου Πειραιάς Νοέμβριος 004

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ.... Ο Ρόλος της Στατιστικής στην Ιατρική.... Ανασκόπηση Στατιστικής Θεωρίας..... Εκτιμητής Μέγιστης Πιθανοφάνειας Διαστήματα Εμπιστοσύνης Έλεγχος Υποθέσεων Τεστ Απλή Στατιστική Μεθοδολογία P-Values και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Ισχύς (Power...9 Κεφάλαιο : ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ...0. Σύγκριση Ποσοστών κατά Ζεύγη...0. Επίπτωση (Incdence-Επιπολασμός (Prevalence Προτυποποίηση (Standardzaton Ποσοστών...7 Κεφάλαιο 3: ΜΕΤΡΑ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ ΓΙΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ Μέτρα Συνάφειας ως Συναρτήσεις του Χ Σχετικός Κίνδυνος (Relatve Rsk-Λόγος Πιθανοτήτων (Odds Rato ή Λόγοι Διαγωνίων Γινομένων για Πίνακες Μέτρα Συνάφειας για Διατακτικούς (Ordnal Πίνακες Συνάφειας Μέτρα Συμφωνίας μεταξύ Αξιολογητών Συντελεστής Κάππα του Cohen...3 Κεφάλαιο 4: ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΗ ΑΞΙΑ Ευαισθησία και Ειδικότητα Προβλεπτική Αξία Διαγνωστικών Κριτηρίων...40 Κεφάλαιο 5: ΚΑΛΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ Χ (Goodness Of Ft Έλεγχοι (Τεστ Καλής Προσαρμογής Έλεγχος συγκεκριμένης Πολυωνυμικής κατανομής Έλεγχος Πολυωνυμικής Κατανομής Έλεγχος Καλής Προσαρμογής με το Λόγο Πιθανοφανειών-G Γινόμενοι Πολυωνυμικών Κατανομών Ομογένεια Ποσοστών Έλεγχοι Ανεξαρτησίας σε Πίνακες Συνάφειας Το Τεστ McNemar ως X Τεστ...63 Κεφάλαιο 6: ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ: STUART-MAXWELL, COCHRAN και MANTEL-HAENSZEL Σύγκριση κατά Ζεύγη με περισσότερα από Δύο Δυνατά Αποτελέσματα- Τεστ των Stuart Maxwell Σύγκριση Περισσότερων από δύο Συσχετισμένων Ποσοστών-Τεστ του Cochran Mantel-Haenzel Test: Ανεξάρτητοι Πίνακες Case Study...7 Κεφάλαιο 7: ΑΛΛΑ ΘΕΜΑΤΑ Χ Τετράγωνο για Τάση (Χ for Trend Καμπύλες ROC...84 Κεφάλαιο 8: ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ...87 Κεφάλαιο 9: ΕΙΔΙΚΕΣ ΜΕΛΕΤΕΣ Μελέτες Ασθενών Μαρτύρων (Case-control studes Μελέτες Ασθενών Ομάδων (Case Cohort studes...88 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...89

4 4. ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΗ ΑΞΙΑ 4. ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΚΑΙ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ Η ευαισθησία και η ειδικότητα ενός διαγνωστικού τεστ ή μίας (νέας θεραπευτικής μεθόδου είναι δύο σημαντικά ποσοστά τα οποία συχνά χρησιμοποιούνται σε θέματα διαγνωστικών κριτηρίων ή τεστ (screenng tests. Είναι γνωστό ότι ένα διαγνωστικό τεστ κάποιου παράγοντα μπορεί να οδηγήσει στον ακόλουθο τετράπτυχο πίνακα Παράγοντας Τεστ - «Τεστ + ή» σημαίνει θετική ή αρνητική δήλωση και «παράγοντας + ή -» σημαίνει παρουσία του παράγοντα, δηλαδή ασθενής ή απουσία του παράγοντα, δηλαδή μη ασθενής (μάρτυρας αντίστοιχα. Έτσι ορίζονται τα παρακάτω ποσοστά:. ευαισθησία (senstvty του κριτηρίου είναι το ποσοστό των ασθενών που ικανοποιούν το κριτήριο ευαισθησία = Ρ(τεστ + / ασθενής. ειδικότητα (specfcty του κριτηρίου είναι το ποσοστό των υγιών (μαρτύρων που δεν ικανοποιούν το κριτήριο ειδικότητα = Ρ(τεστ - / μη ασθενής ή μάρτυρας 3. ποσοστό λανθασμένα θετικά ατόμων (false postve = ειδικότητα 4. ποσοστό λανθασμένα αρνητικών ατόμων (false negatve = ευαισθησία 36

5 5. ποσοστό ολικού σφάλματος λανθασμένης ταξινόμησης = Ρ (θετικό σφάλμα Ρ (υγιής + Ρ (αρνητικό σφάλμα Ρ (ασθενής = = ποσοστό δύο σφαλμάτων δεδομένης της σχετικής συχνότητας των ασθενών Παράδειγμα Σε ένα καινούριο τεστ διαγνώσεων καρκίνου εξετάστηκαν 900 άτομα, εκ των οποίων άλλα είχαν καρκίνο και άλλα δεν είχαν, με τα εξής αποτελέσματα: Αποτελέσματα Άτομα Σύνολο του τεστ με ασθένεια χωρίς ασθένεια Θετικό Αρνητικό Σύνολο Ζητάμε να εκτιμήσουμε τα προηγούμενα ποσοστά. Έτσι έχουμε: Παρατηρούμε ότι : ευαισθησία = 40 80% 300 = ειδικότητα = % 600 = ποσοστό θετικού σφάλματος = 30 5% 600 = ποσοστό αρνητικού σφάλματος = 60 0% 300 = ποσοστό ολικού σφάλματος = = % ευαισθησία = ποσοστό αρνητικού σφάλματος = = Ρ(σφάλμα Τύπου I = -α ειδικότητα = ποσοστό θετικού σφάλματος = = Ρ(σφάλμα Τύπου II = -β 37

6 όπου τα σφάλματα Τύπου I και II είναι τα γνωστά σφάλματα στον έλεγχο υποθέσεων. Εδώ ως μηδενική υπόθεση ορίζεται ένας ασθενής να δηλωθεί αρνητικός. Παράδειγμα Σε μία διαδικασία αιμοδοτών που καθορίζεται από την τιμή του log0sgtp στον όρο του αίματος εξετάστηκαν.000 άτομα εκ των οποίων άλλα έγιναν δεκτά για αιμοδοσία και άλλα όχι όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα Αποτελέσματα της διαδικασίας δεκτοί για αίμα (τεστ - όχι δεκτοί για αίμα (τεστ + άτομα υγιή άτομα ασθενή Σύνολο Σύνολο Εργαζόμενοι όπως στο προηγούμενο παράδειγμα έχουμε: Ευαισθησία = 94 78,3% 0 = Ειδικότητα = % 880 = Ποσοστό θετικού σφάλματος = 44 5% 880 = Ποσοστό αρνητικού σφάλματος = 6,7% 0 = Παρατηρούμε ομοίως ότι : Ποσοστό ολικού σφάλματος = = =0,044+ 0,0= 0,64=,64% Ευαισθησία = Ρ(Σφάλμα Τύπου I = -6/0 Ειδικότητα = Ρ(Σφάλμα Τύπου II = -44/880 38

7 Σχόλια: Ένα διαγνωστικό τεστ (screenng test μπορεί να είναι λανθασμένο θετικό ή λανθασμένα αρνητικό. Όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των λανθασμένων τόσο μικρότερη είναι η ευαισθησία. ευαισθησία ειδικότητα 39

8 4. ΠΡΟΒΛΕΠΤΙΚΗ ΑΞΙΑ ΔΙΑΓΝΩΣΤΙΚΩΝ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ Η προβλεπτική αξία ενός διαγνωστικού τεστ (predctve test αξιολογείται με την πιθανότητα ένα άτομο να έχει τη νόσο δοθέντος ότι το διαγνωστικό τεστ είναι θετικό, δηλαδή την Ρ(ασθενής / τεστ + PPV και την πιθανότητα ένα άτομο να είναι υγιές δοθέντος ότι το διαγνωστικό τεστ είναι αρνητικό, δηλαδή την Ρ(υγιής / τεστ - =NPV Η πρώτη πιθανότητα λέγεται θετική προβλεπτική αξία (postve predctve value και η δεύτερη αρνητική προβλεπτική αξία (negatve predctve value του διαγνωστικού τεστ. Ισχύουν: Ρ(νόσος = επιπολασμός νόσου (prevalence Ρ(νόσος / τεστ θετικό = θετική προβλεπτική αξία Ρ(τεστ θετικό / νόσος = ευαισθησία Ρ(τεστ θετικό / υγιής = ειδικότητα Για τον υπολογισμό των προβλεπτικών αξιών ενός διαγνωστικού τεστ στηριζόμαστε στο Θεώρημα του Bayes και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους τύπους: Θετική προβλεπτική αξία (PPV ευαισθησία επιπολασµ ός = ευαισθησία επιπολασµ ός + ( ειδικότητα ( επιπολασµ ός Αρνητική προβλεπόμενη αξία (NVP ειδικότητα ( επιπολασµ ός = ειδικότητα ( επιπολασµ ός + ( ευαισθησία επιπολασµ ός Είναι φανερό ότι οι προβλεπτικές αξίες εξαρτώνται από τον επιπολασμό και μπορεί να διαφέρουν σημαντικά για μικρές διαφορές του επιπολασμού. 40

9 Σε ένα διαγνωστικό τεστ, εκτός από την ευαισθησία ενδιαφερόμαστε και για τις «θετικές προβλεπτικές τιμές» δηλαδή την εκ των υστέρων πιθανότητα ένα άτομο να έχει τη νόσο δοθέντος ότι το τεστ είναι θετικό. Για να υπολογιστεί αυτή η πιθανότητα χρειαζόμαστε την εκ των προτέρων πιθανότητα εμφάνισης της νόσου δηλαδή του επιπολασμού. Μετά η θετική προβλεπτική αξία υπολογίζεται με το θεώρημα Bayes ή με έναν πίνακα της μορφής: Νόσος Διαγν. + Τεστ Ο οποίος συμπληρώνεται για 00 ή 000 άτομα. Ακολουθεί ένα «εύθυμο» παράδειγμα όπως παρουσιάστηκε σε ιατρικό, επιμορφωτικό συνέδριο. Assume that the followng nformaton s true A new dsease affectng people who read books about health care has recently been dentfed. It occurs n % of the populaton at rsk. The symptoms are nasty, but the dsease s not fatal. If t s left untreated, the vctm has chlls and fever for several weeks and suffers from moderate ntermttent nausea and palsy. The symptoms then dmnsh and dsappear. A new treatment elmnates these symptoms entrely, but t only works f admnstered pror to the onset of symptoms. That treatment nvolves no sgnfcant rsk, and nearly always work. But t s costly, nvolves takng daly doses of a foul medcne, and, worse, requres total abstenton from ce cream for eght weeks. A new test has been developed to dentfy vctms of the dsease presymptomatcally. Its specfcty and senstvty are each 98%, that s, t dentfes 98% of those who have the dsease wth a postve test result, and t dentfes 98% of those who do not have the dsease wth a negatve test result. The publc health servce has screened potental vctms of the dsease wth ths test, n order to dentfy those who should be offered the treatment. I regret to nform you that your test was postve. Please answer these two questons: 4

10 . How lkely do you thnk t s that you have the dsease? Probablty: (check one 95% % 74-84% 65-74% 55-64% 45-54% 35-44% 5-34% 5-4% 5-4% 5-4% -5% 0%. Do you want the treatment? Απάντηση: Κατασκευάζουμε τον πίνακα Τεστ Νόσος Θα περίμενε κανείς, εφόσον το τεστ είναι θετικό η πιθανότητα να είναι μεγάλη, π.χ. 95%. Η ακριβής όμως πιθανότητα είναι μικρή: Ρ(νόσος + τεστ + = 98/.096 = 0,0468 4,6% Βλέπουμε ότι είναι μεγαλύτερη του. Καλύτερα όμως να μην «πάρουμε» τη θεραπεία γι αυτή την «περίεργη» νόσο. Η θετική προβλεπτική αξία ενός διαγνωστικού τεστ συνήθως δεν είναι μεγάλη. Για να αυξηθεί πρέπει να αυξηθεί ο επιπολασμός (prevalence, η συχνότητα της νόσου π.χ. στο 0% ή στο 30%. Αυτό επιτυγχάνεται εφαρμόζοντας το διαγνωστικό τεστ σε ομάδες (πληθυσμό υψηλού κινδύνου π.χ. ηλικιωμένους ή καπνίζοντες όπου η συχνότητα (prevalence της νόσου είναι υψηλότερη έναντι του γενικού πληθυσμού. Διαγνωστικό τεστ και καρκίνος: Σε μερικά διαγνωστικά τεστ (screenng tests για τη διάγνωση (πρόβλεψη π.χ. του καρκίνου δεν είναι δυνατόν να διενεργηθεί αναδρομική μελέτη, παρά μόνο προοπτική. Και πάλι, μερικές φορές δεν είναι δυνατόν να αναμένουμε κάποιο μικρό ή μεγάλο χρονικό διάστημα για να διαγνώσουμε τη νόσο με βεβαιότητα και να προσδιορίσουμε την ευαισθησία ή την ειδικότητα του τεστ. Έτσι χρησιμοποιούμε μεταβλητές ή δείκτες (endponts που έχουν μεγάλη σχέση με την παρουσία ή μη της νόσου. 4

11 Για να αξιολογήσουμε ένα διαγνωστικό τεστ (να δούμε αν το screenng αξίζει να γίνει ή να καθιερωθεί εκτελούμε τυχαιοποιημένες ελεγχόμενες κλινικές δοκιμές (randomzed controlled clncal trals στις οποίες χρησιμοποιούνται άτομα τα οποία παίρνουν το τεστ και άτομα (controls που δεν παίρνουν το τεστ. Στον καρκίνο, η θνησιμότητα από τον καρκίνο είναι το συνηθέστερο χρησιμοποιημένο endpont για την αξιολόγηση του screenng. Για παράδειγμα, στον καρκίνο του μαστού υπάρχουν διάφορες διαγνωστικές μέθοδοι: αυτοεξέταση του μαστού, κλινική εξέταση, μαμμογραφία, θερμογραφία, υπέρηχος, lght sound κλπ. 43

12 ΑΣΚΗΣΕΙΣ.. Δίνεται ένας τετραγωνικός πίνακας συνάφειας ((π j I I και έστω ότι ισχύει το πολλαπλασιαστικό μοντέλο: π j = α α j (-β j = a + β a ( a =j (α Να δειχθεί ότι το μοντέλο ικανοποιεί τη συμμετρία και την περιθώρια ομοιογένεια (β Να δειχθεί ότι α = π. = π., =,,...I (c Να δειχθεί ότι β=k (κάππα Cohen και να ερμηνευθεί το k=0 και k= για το παραπάνω μοντέλο... Στην οδοντιατρική, ραδιογραφήματα τραπεζιτών (molars και προτραπεζιτών (premolars εξετάζονται από τρεις οδοντιάτρους με σκοπό τη διάγνωση. Σκοπός είναι να μελετηθεί η μεταβλητότητα (συμφωνία / ασυμφωνία μεταξύ των εξεταστών. Τα αποτελέσματα για κάθε δόντι (ραδιογράφημα χαρακτηρίζονται ως υγιές (Υ και χαλασμένο (Χ και έχουν ως εξής: Οδοντίατροι 3 Συχνότητα Υ Υ Υ.8 Υ Υ Χ. Υ Χ Υ 54 Υ Χ Χ 6 Χ Υ Υ 36 Χ Υ Χ 87 Χ Χ Υ 7 Χ Χ Χ 09 (a (b (c Ποιο ζεύγος οδοντίατρων συμφωνούν καλύτερα; Υπάρχει καλό επίπεδο συμφωνίας; Να αναλυθούν τα δεδομένα και με πρόγραμμα Η/Υ. 44

13 5. ΚΑΛΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ Χ (GOODNESS OF FIT 5.. ΈΛΕΓΧΟΙ (ΤΕΣΤ ΚΑΛΗΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ Όταν λέμε καλή προσαρμογή (goodness of ft εννοούμε το κατά πόσο πειραματικά ή δειγματοληπτικά δεδομένα, συνήθως συχνότητες, απαριθμήσεις (counts «ταιριάζουν» ή προέρχονται από μια συγκεκριμένη κατανομή ή μοντέλο πιθανοτήτων. Α. Πολυωνυμική κατανομή Το πιο γνωστό τεστ καλής προσαρμογής είναι το τεστ χι-τετράγωνο του Pearson που πρωτοεισήχθηκε από τον Karl Peason το 900. ο έλεγχος αυτός αξιολογεί (ελέγχει κατά πόσον πολυωνυμικές πιθανότητες είναι ίσες με ορισμένες υποθετικές τιμές. Στην επέκταση του, ελέγχει εάν τα δεδομένα ακολουθούν κάποια συγκεκριμένη κατανομή. 5.. Έλεγχος συγκεκριμένης Πολυωνυμικής κατανομής Έστω η μηδενική υπόθεση (Η ο ότι οι κ παράμετροι (π, π,...,π κ μιας πολυωνυμικής κατανομής έχουν τιμές ίσες με κάποιες συγκεκριμένες τιμές (π 0, π 0,...π κ0, όπου Σπ 0 = Σπ =. Όταν αληθεύει η Η 0 οι αναμενόμενες συχνότητες των κελιών ή κατηγοριών της πολυωνυμικής κατανομής είναι m 0 =e =nπ 0 με =,...,κ. Με βάση τις συχνότητες {n, n,...n k } του δείγματος, και για τον έλεγχο της Η 0 ο Pearson πρότεινε το Χ = ( n m m0 0 ( observed o exp ected e = expected e ως στατιστική συνάρτηση του τεστ (ΣΣΤ. Για μεγάλα δείγματα (n, το Χ έχει κατά προσέγγιση χι-τετράγωνο κατανομή ( χ (β.ε. Πιο αυστηρά, η τ.μ. Χ συγκλίνει κατά κατανομή προς την Το τεστ αυτό απορρέει από το ακόλουθο θεώρημα. k με κ- βαθμούς ελευθερίας χ k κατανομή. 45

14 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν n,...n k είναι οι συχνότητες που παρατηρούνται και π,..., π κ οι πιθανότητες της πολυωνυμικής κατανομής, τότε η ασυμπτωτική κατανομή του στατιστικού Χ ( n = Απόδειξη m m ( o = e e είναι χ με κ- βαθμούς ελευθερίας. Έχουμε (n,...,n k- M(n,π,...,π κ-. Είναι γνωστό ότι η κάθε μια τ.μ. n I (συχνότητα έχει διωνυμική κατανομή Β (n, π, =,,...,k. Επίσης, για μεγάλα n, τα n (και τα n /n έχουν κατά προσέγγιση κανονική κατανομή. Είναι όμως τα n συσχετισμένα με Cov (n, n j =-nπ π j. Από την επέκταση του θεωρήματος του De Movre για την πολυωνυμική κατανομή ή από το κεντρικό οριακό θεώρημα για πολυδιάστατες τ.μ. έχουμε ότι, αν p=(n /n,..., n k- /n [τα ποσοστά του δείγματος] και π = (π,...,π κ- [τα ποσοστά πληθυσμού], τότε: n (p-π d Ν κ- (0,Σ, όπου Σ=((σ με σ = π (-π και σ j = -π π j, j. H οριακή κατανομή Ν k- (0,Σ έχει σ.π.π. ƒ(x = (π ( k / Σ / exp {- x Σ - x} και από το θεώρημα του Crag γνωρίζουμε ότι η τετραγωνική μορφή x Σ - x χ κ. Ας θεωρήσουμε τώρα τη στατιστική συνάρτηση g(p g(n /n,...n k- /n n (p-π Σ - (p-π n. H συνάρτηση αυτή είναι μια συνεχής συνάρτηση του τυχαίου διανύσματος n (p-π το οποίο συγκλίνει κατά κατανομή στο τυχαίο διάνυσμα x N(0,Σ. Άρα από το γνωστό θεώρημα, τα τυχαία διανύσματα d g(p g(x = x Σ - x n χ k ή n(p-π Σ - (p-π d χ κ (* Ο πίνακας Σ=Dag (π-ππ όπου π=(π,...,π κ- και Σ - =((σ j όπου σ = +, π ι π κ σ j =, j και πκ =-π -π -...-π κ-. π Ν 46

15 Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στην τετραγωνική μορφή (* και μετά από αλγεβρικές πράξεις παίρνουμε ότι: n(p-π Σ - k ( n nπ ι (p-π= nπ = από το οποίο απορρέει το τελικό αποτέλεσμα. Παρατηρήσεις. Η παραπάνω απόδειξη στηρίζεται στο Κεντρικό Οριακό Θεώρημα ή στην σύγκλιση της πολυωνυμικής προς την πολυδιάστατη κανονική κατανομή (με διάσταση κ- και το θεώρημα του Grag. Αντί να δουλέψουμε με το ποσοστά p θα μπορούσαμε να ξεκινήσουμε την απόδειξη θεωρώντας ότι: προσεγγ (n,n,..., n k- ~. n Σ - =(( σ, j N k- (μ,σ, όπου μ = (nπ,..., nπ κ- και σ =nπ (-π, ι σ j =-nπ π j, j.. O Fsher σκιαγράφησε την απόδειξη ως εξής: Έστω ότι τα {n }, =,,...,k είναι ανεξάρτητες Posson τ.μ. με μέσες τιμές {m }. Για μεγάλα {m } οι τυποποιημένες τιμές {z = κατανομή Ν(0,, και το Σ z =Χ ( n m έχουν κατά προσέγγιση τυπική κανονική m έχει κατά προσέγγιση χ k κατανομή. Επειδή όμως Σn = Σm = n ή Σ(n -m =0 η κατανομή μετατρέπεται σε πολυωνυμική και χάνουμε έναν βαθμό ελευθερίας. 3. Ο Cramer δίνει τη μέση τιμή και διακύμανση, ακριβή και όχι ασυμπτωτική, του Χ : Ε(Χ = κ- Var(X = (k-+ n ( k 4. To X μπορεί να γραφεί και ως εξής: Χ k = n nπ = nπ ι π -k -k+x n με τον περιορισμό nπ nπ π =0. Είναι δηλαδή το Χ μια συνάρτηση των τ.μ. n,...,n k-. Αναπτύσσοντας το Χ σε σειρά Taylor γύρω από το 0 ή από το (nπ,..., nπ κ ή με την ροπογεννήτρια ή την χαρακτηριστική συνάρτηση του Χ, βρίσκουμε την Ε(Χ & Var(X. 47

16 5. Για την απόδειξη της ασυμπτωτικής κατανομής του Χ, ο Cramer βρίσκεται πρώτα την ασυμπτωτική κατανομή του τ.δ. ((n -nπ / n π,...,(n κ -nπ κ / nπ k η οποία είναι ιδιάζουσα (sngular πολυδιάστατη κανονική κατανομή στον χώρο των κ- διαστάσεων. Η απόδειξη του στηρίζεται στο όριο της χαρακτηριστικής συνάρτησης του παραπάνω τυχαίου διανύσματος με ανάπτυγμα σε σειρά Taylor κ.λπ. Η τετραγωνική μορφή στον εκθέτη της ιδιάζουσας κανονικής κατανομής έχει ασυμπτωτικά Grag. χ κ (θεώρημα του Χρήσιμες σχέσεις ( Σn = Σm = n ( X k n = n m Μεγαλύτερες αποκλίσεις των {n } από τα {m } δίνουν μεγαλύτερη τιμή στο Χ. Η τιμή p (p-value του τεστ είναι η πιθανότητα το Χ να πάρει τιμές μεγαλύτερες ή ίσες από την τιμή που παρατηρήθηκε, όταν ισχύει η Η 0, για όλες τις συχνότητες (cell counts, που το άθροισμά τους ισούται με το n οι οποίες παράγουν τιμές του Χ X observed. Για μεγάλα δείγματα (μεγάλο n, το p-value προσεγγίζεται από την πιθανότητα Ρ( χ κ X observed της χι-τετράγωνο κατανομής με κ- βαθμούς ελευθερίας. = Παράδειγμα (θεωρία του Mendel O Mendel διασταυρώνοντας pea plants of pure yellow stran με φυτά of pure green stran διατύπωσε την υπόθεση (πρόβλεψη ότι οι υβριδικοί σπόροι δεύτερης γενιάς θα είναι 75% κίτρινοι και 5% πράσινοι διότι το κίτρινο είναι το κυρίαρχο είδος (stran. Σε ένα πείραμα είχε παραγωγή n=803 σπόρων από τους οποίους n = 60 ήταν κίτρινοι και n =00 πράσινοι. Οι αναμενόμενες συχνότητες με π 0 =0,75 και π 0 =0,5 είναι m =nπ 0 = 607,5 και m =nπ 0 = 005,75. Το χι-τετράγωνο στατιστικό του Pearson X =0,05 με τιμή p=0,88, η οποία επιβεβαιώνει την υπόθεση του Mendel. Το Χ ακολουθεί χ κατανομή. Ο Mendel έκανε πολλά πειράματα σαν το παραπάνω. Ενδιαφέροντα είναι τα δεδομένα από 0 φυτά αρακά και η ανάλυση που δίνει ο Cramer στην σελίδα 43 του βιβλίου του. Σε όλα αυτά η υπόθεση του 3 κίτρινο προς πράσινο 48

17 επιβεβαιώνεται όχι μόνο για κάθε ένα από τα 0 φυτά αλλά και για το σύνολο των αποτελεσμάτων (κίτρινα και πράσινα. Επί πλέον επιβεβαιώνεται και το θεώρημα ελέγχοντας ότι οι 0 Χ τιμές προέρχονται από γεγονός ότι αν χ κατανομή. Το 936 ο R.A Fsher, χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του Mendel και το ελευθερίας αντίστοιχα, τότε: X,... X N είναι ανεξάρτητες χι-τετράγωνο τ.μ. με ν,...ν Ν βαθμούς N X ~ ν = N χ με ν = ν, όπου Ν είναι ο αριθμός των πειραμάτων του Mendel. O Fsher για Ν=84 βρήκε: = X =4~ χ 84 Η ο. Η κατανομή αυτή έχει μέση τιμή 84 και τυπική απόκλιση ( 84 / =3.0 και η πιθανότητα δεξιά του 4 είναι Ρ= Η προσαρμογή είναι σχεδόν «τέλεια». Πράγμα λίγο απίθανο αν λάβει κάνεις υπόψη του τις φυσιολογικές διακυμάνσεις της τύχης. Έτσι ο Fsher ισχυρίστηκε ότι τα δεδομένα είχαν παραποιηθεί από τον κηπουρό του Mendel. Παρά τις δυσκολίες με τα δεδομένα του Mendel, περαιτέρω έρευνα οδήγησε στην γενική αποδοχή της θεωρίας του. 5.. Έλεγχος πολυωνυμικής κατανομής με άγνωστες παραμέτρους Όταν οι παράμετροι π, π,...,π κ, της πολυωνυμικής κατανομής είναι άγνωστες θα πρέπει να εκτιμηθούν από τα δεδομένα και να χρησιμοποιηθούν ο τύπος του Χ με την διαφορά ότι e = nπ, όπου π είναι οι εκτιμητές μεγίστης πιθανοφάνειας (Ε.Μ.Π. των αγνώστων παραμέτρων π, και η κατανομή χ k 5 όπου s είναι το πλήθος των εκτιμώμενων παραμέτρων. ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι παράμετροι {π } της πολυωνυμικής κατανομής εξαρτώνται από άλλες άγνωστες παραμέτρους, θ δηλ. π = π (θ, τότε η στατιστική συνάρτηση. Χ k ( n ( d nπ θ = X k s nπ ( θ = 49

18 Όπου θ είναι ο εκτιμητής μέγιστης πιθανοφάνειας των παραμέτρων θ (ή μερικών από αυτές και s είναι ο αριθμός των παραμέτρων που εκτιμούνται από τα δεδομένα. Απόδειξη: παραπέμπουμε στα βιβλία των Cramer, Rao και Agrest Το παραπάνω θεώρημα μας δίνει το στατιστικό και την κατανομή που πρέπει να χρησιμοποιηθούν για τον έλεγχο καλής προσαρμογής διακριτών δεδομένων συχνοτήτων σε πολυωνυμική κατανομή με άγνωστες παραμέτρους. Η κρίσιμη περιοχή είναι Χ χ. k s, a Το ίδιο στατιστικό χρησιμοποιείται και για τον έλεγχο οποιασδήποτε κατανομής διακριτής ή συνεχούς αρκεί να γίνει κατάλληλη ομαδοποίηση της κατανομής σε κλάσεις (κατηγορίες πεπερασμένου πλήθους. Κλασικές περιπτώσεις είναι η κατανομή Posson και η κανονική κατανομή. Ας σημειωθεί ότι για τον έλεγχο συνεχούς (κυρίως κατανομής υπάρχει και ο έλεγχος Kolmogorov-Smrnoff. Παράδειγμα. Προσαρμογή με εκτίμηση συχνοτήτων 56 μικρά ζώα (dary calves ταξινομούνται ανάλογα με το αν προσβλήθηκαν ή όχι με πνευμονία δύο μήνες μετά την γέννησή τους. Τα ζώα που προσβλήθηκαν με πνευμονία ταξινομούνται επίσης ανάλογα με το αν είχαν ή όχι δεύτερη προσβολή με πνευμονία δύο εβδομάδες μετά την θεραπεία τους. Από τα 56 ζώα, τα 93 είχαν μια πρώτη προσβολή και από αυτά τα 30 είχαν δεύτερη προσβολή. Τα δεδομένα μπορούν να παρουσιαστούν με τον εξής πίνακα: Αρχική Δεύτερη προσβολή (nfecton προσβολή Ναι (+ Όχι (- Σύνολο Ναί ( Όχι ( Σύνολο Στον πίνακα αυτόν υπάρχει ένα κελί με μηδενική συχνότητα διότι είναι αδύνατον να έχουμε ζώα με δεύτερη προσβολή πνευμονίας χωρίς να έχουν 50

19 πρώτη. Κελιά με τέτοια δομή, από το πρόβλημα, λέγονται δομικά μηδενικά (structural zeros. Έχουν οι δύο προσβολές την ίδια πιθανότητα να πραγματοποιηθούν; Ως πρώτη αντίδραση, θα συνέκρινε κανείς την πιθανότητα α προσβολής 93/56= 59.6% με την πιθανότητα β προσβολής 30/56=9.% ή 30/93=3.%. Ποια από τις δύο τελευταίες πιθανότητες πρέπει να χρησιμοποιηθεί; Η δεύτερη προσβολή είναι δεσμευμένη, δοθείσης της πρώτης. Έτσι πρέπει να χρησιμοποιηθεί η δεύτερη πιθανότητα και η Η ο είναι: Η ο : Ρ (αρχική προσβολή + = Ρ(δεύτερη προσβολή + αρχική προσβολή+ Αν {π j } είναι άγνωστες (αληθινές πιθανότητες των κελιών του παραπάνω πίνακα,,j=,, όπου το παριστάνει τις γραμμές και το j τις στήλες, έχουμε, π +π +π =, π =0, Ρ(αρχική προσβολή +=π +π = π. Ρ(δεύτερη προσβολή+ αρχική προσβολή+= π /(π +π Και η μηδενική υπόθεση γίνεται, Η 0 : π +π =π /(π +π Έστω π η τιμή του δεξιού ή αριστερού μέλους της Η 0 δηλαδή π=ρ(αρχική προσβολή+=π +π. Τότε η Η 0 γίνεται: Η 0 :π =π, π =π-π, π =-π. Τα δεδομένα ακολουθούν τριωνυμική κατανομή (n=56, π, π, π και όταν ισχύει η Η 0 τα π j έχουν τις τιμές που δίδονται στην Η 0. Έτσι θέλουμε να επιβεβαιώσουμε αν τα δεδομένα προέρχονται από την τριωνυμική δοθείσης της Η 0. Εδώ πρέπει να εκτιμήσουμε τις αναμενόμενες συχνότητες. Για τον σκοπό αυτό πρέπει πρώτα να βρούμε τον εκτιμητή μεγίστης πιθανοφάνειας του π. Η τριωνυμική πιθανοφάνεια είναι: L(π =! n! n! n ( π n ( n n n! π π ( π, όπου n j είναι οι συχνότητες που παρατηρούμε. Λογαριθμίζοντας και αγνοώντας τα παραγοντικά έχουμε LogL(π= n log(π +n log(π-π +n log(-π Η log L( π π =0 μας δίνει 5

20 n n + n - π π π με λύση π = (n (n n - =0 π + n + n + n Για τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε π =0,494, π m = n =38,, m = n( π π =39,0 ( π m = n =78,9 και Χ = 9,7 με (κ--s=(3--= β.ε. διότι κ=3 και μια παράμετρος (s= εκτιμήθηκε από τα δεδομένα. Το p-value<0,00. άρα υπάρχει ισχυρή ένδειξη εναντίον της μηδενικής υπόθεσης. Τα δεδομένα δείχνουν ότι πολύ περισσότερα ζώα δέχθηκαν την αρχική προσβολή (nfecton παρά τη δεύτερη. Οι ερευνητές κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι «η αρχική προσβολή έχει ένα ανοσοποιητικό αποτέλεσμα που μειώνει την πιθανότητα δεύτερης προσβολής».. Παρατηρήσεις. Ο Pearson πρότεινε το στατιστικό που δίδεται στο Θεώρημα για την παρούσα περίπτωση χωρίς όμως τη διόρθωση για τους βαθμούς ελευθερίας την οποία πρότεινε και απέδειξε ο Fsher.. Ο έλεγχος p=p o στην απλή στατιστική συμπερασματολογία για διωνυμικά δεδομένα είναι και αυτός έλεγχος καλής προσαρμογής και μπορεί να γίνει με το χι-τετράγωνο στατιστικό Χ ( x npo = np o ( n x n( po + n( p o ~ χ Το τεστ αυτό είναι ισοδύναμο με το z-τεστ της Η 0 ( x / n p0 z = και ( p q / n o o z = χ. Η Όταν γίνεται προσαρμογή δεδομένων σε συνεχή κατανομή και ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας του Χ είναι πολύ μικρός τότε επιβάλλεται να εφαρμόζεται η διόρθωση συνέχειας του Yates η οποία δίδεται από τη σχέση Χ n ( n e 0,5 = e =. 5

21 4. Κανόνας ορθής εφαρμογής του ελέγχου Χ Οι όροι του στατιστικού Χ έχουν στον παρανομαστή τους τις αναμενόμενες συχνότητες Ε =nπ 0 η nπ ( θ οι οποίες δεν πρέπει να είναι πολύ μικρές διότι έτσι αυξάνεται η τιμή του όρου εξαιτίας των μικρών τιμών των π 0 που ελέγχουμε και όχι λόγω απόκλισης των συχνοτήτων. Έτσι η προσέγγιση της κατανομής χ δεν είναι ικανοποιητική και δεν πρέπει να εφαρμοστεί ο έλεγχος Χ. Οι παρατηρήσεις αυτές οδήγησαν στον λεγόμενο κανόνα ορθής εφαρμογής ο οποίος μετά από σχετική αναθεώρηση στη βιβλιογραφία έχει ως εξής: a Καμία από τις αναμενόμενες συχνότητες Ε δεν πρέπει να είναι μικρότερες του b Το ποσοστό των αναμενόμενων συχνοτήτων Ε οι οποίες είναι μικρότερες του 5 δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερο του 0% Έλεγχος καλής προσαρμογής με το λόγο πιθανοφανειών G Έλεγχος καλής προσαρμογής μπορεί να γίνει και με το τεστ πηλίκου πιθανοφανειών (LRT, γνωστού ως G. Έχουμε λ= max L( π Ηο = max L( π Ω k n [ n!/( n!] π ιο k [ n!/( n!] ( n / n n διότι η Η 0 περιέχει ένα μόνο σημείο, το π 0 και για το max L( π επιτυγχάνεται όταν το π γίνει ίσο με τον εκτιμητή ΜΠ: n/n = {n /n, n /n,..., n k /n}. Έτσι μετά από πράξεις k G -logλ = n ( n / mo = log ~ χ k, m 0 = nπ 0. Οι βαθμοί ελευθερίας προσδιορίζονται ως εξής: Ο χώρος Θ έχει διάσταση k- διότι υπάρχουν k παράμετροι, τα π, και ένας περιορισμός Σπ =. Ο χώρος Η 0 ή Θ 0 έχει μηδέν διάσταση. Οι βαθμοί ελευθερίας είναι η διαφορά των δύο διαστάσεων. Το G γράφεται και ως εξής: k G = n π log( π / π o = Ω =ni KΛ (π,π 0, όπου Ι ΚΛ (f,g παριστάνει την απόκλιση των Kullback-Lebler μεταξύ δύο κατανομών f και g ή το μέτρο πληροφορίας των Kullback-Lebler. I ΚΛ (π,π 0 είναι η απόκλιση των Kullback-Lebler μεταξύ της κατανομής του δείγματος 53

22 ( π =n /n και της κατανομής π 0 της Η 0. Όσο πιο μεγάλη είναι η απόκλιση Ι ΚΛ τόσο πιο μεγάλο είναι το G και τόσο πιο πολύ απέχουν τα δεδομένα από την Η 0. Τα Χ και G είναι ισοδύναμα με την έννοια: Χ -G P 0 ή n lm Ρ(Χ G =0 n Με δεδομένο και σταθερό τον αριθμό k των κελιών το Χ συνήθως συγκλίνει πιο γρήγορα από το G. Η χι-τετράγωνο προσέγγιση του G είναι καλή αν n>5 k. 54

23 5.. ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΜΟΓΕΝΕΙΑ ΠΟΣΟΣΤΩΝ - Έλεγχος Ομογένειας Ποσοστών - Συγκρίσεις χωρίς ζεύγη περισσότερων από ποσοστών Παράδειγμα (Έλεγχος ομογένειας δύο πολυωνυμικών κατανομών Έστω ότι έχουμε δύο ανεξάρτητα τυχαία δείγματα από δύο πολυωνυμικές κατανομές, δηλαδή (n,...,n c ~M(n,π,...,π c, π j = c j= (n,...,n c ~M(n,π,...,π c, π j = και θέλουμε να ελέγξουμε την υπόθεση αν τα δείγματα αυτά προέρχονται από τον ίδιο πληθυσμό, δηλαδή c j= Η 0 : π j = π j =π j για κάθε j=,,...,c Θα προσπαθήσουμε να βρούμε ένα στατιστικό για τον παραπάνω έλεγχο. Γνωρίζουμε από τα προηγούμενα ότι c j= ( n Άρα λόγω ανεξαρτησίας n j π j n π j χ c c ( n και j n π j j= n π j χ c c Χ = = j= ( n n π j n π j j ~ χ ( c (5.. Αν τώρα η Η 0 καθορίζει τα π j δηλαδή αν τα π j είναι γνωστά, τότε η ( με π j =π j μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως Σ.Τ. για τον έλεγχο της υπόθεσης μας με κρίσιμη περιοχή την Χ χ ( c, a (5.. Αν όμως η Η 0 δεν καθορίζει τα π j, τα π j στην ( θα πρέπει να εκτιμηθούν όταν ισχύει η Η 0. τότε όμως, αφού έχουμε δύο ανεξάρτητα δείγματα, είναι σαν αν έχουμε συνολικά ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n +n από μια πολυωνυμική κατανομή με πιθανότητες π, π,..., π c. Οι ΕΜΠ στην περίπτωση αυτή είναι: Έτσι εδώ το Σ.Τ. είναι c Χ = π j = ( n j n n n n + n = n j + n j = j= j n j n π j ( nj π = n = n n j. n n j / n / n (

24 Με κατανομή της Χ την χ c, διότι οι βαθμοί ελευθερίας στην ( που ήταν (c- θα πρέπει να μειωθούν κατά c- λόγω των εκτιμήσεων. Η κρίσιμη περιοχή την περίπτωση αυτή είναι Χ χ ( c, a, όπου το Χ δίνεται από τη σχέση (5..3 Για να κάνουμε έλεγχο πρακτικών προβλημάτων σε αυτή την περίπτωση χρήσιμος είναι ο παρακάτω c πίνακας: n n... n c n n n... n c n n n... n c n Παράδειγμα (κατανομή φύλου από οστά κρανίου Οστά κρανίου ανευρίσκονται σε μια περιοχή κατά τη διάρκεια αρχαιολογικών ανασκαφών. Οι ανασκαφές γίνονται σε 3 διαφορετικές περιόδους. Από τα οστά του κρανίου προσδιορίζεται το φύλο του ατόμου. Στις δύο πρώτες περιόδους ο προσδιορισμός του φύλου γίνεται από τον ερευνητή Α και στην τρίτη περίοδο από τον ερευνητή Β. Η κατανομή των οστών του κρανίου κατά φύλο και περίοδο έχει ως εξής: Οστά κρανίου ανά φύλο και περίοδο Περίοδο Σύνολο Άνδρας Γυναίκα Σύνολο Τι πληροφορίες δίνουν τα δεδομένα αυτά για την αναλογία των φύλων του πληθυσμού της περιοχής; Συγκεκριμένα Είναι η αναλογία των φύλων : για κάθε περίοδο; p άνδρας = p γυναίκα ή p άνδρας = ½ για κάθε περίοδο. Είναι οι αναλογίες και για τις τρεις περιόδους ίσες με : δηλαδή p πρώτη = p δεύτερη = p πρώτη = p δεύτερη = p τρίτη = / Είναι οι αναλογίες ίσες και για τις τρεις περιόδους, δηλαδή v p πρώτη = p δεύτερη = p τρίτη Υπάρχει διαφορά μεταξύ των ερευνητών; 56

25 Απάντηση Εδώ πρέπει να γίνει έλεγχος της υπόθεσης p=/ για κάθε περίοδο με το z-τεστ ή το χ -τέστ με β.ε Έτσι έχουμε: Για την η περίοδο: X (6 36 = 36 ( πρώτη Για την η περίοδο: Ε=5,5, X Για την 3η περίοδο: δεύτερη = 9.94**, η τιμή p<0.5% =9.9**, η τιμή p<0.5% Ε=05, X τρίτη =0.4, η τιμή p>0.5% Οι δύο αστερίσκοι σημαίνουν ότι το τεστ είναι στατιστικά σημαντικό. Εδώ έχουμε Η ο : p πρώτη = p δεύτερη = p τρίτη =/ και πρέπει να γίνουν τα εξής: Ένα χ -τεστ της υπόθεσης : με β.ε στην στήλη «Σύνολο» ( 55 ( 435 X σύνολο = Πρόσθεση των τριών προηγούμενων Χ. X άθροισµα = X πρώτη + X δεύτερη + Διαφορά αθροίσματος και συνόλου X διαφορ ά = X άθροισµα - συνόλου τρίτη =3.87** [ χ ] X = =0.09** [ χ ] X = =6.** [ χ ] Αυτό είναι το τεστ της Η 0 : p πρώτη = p δεύτερη = p τρίτη = ½ με p<5%. Εδώ ο έλεγχος είναι ότι τα 3 ποσοστά είναι ίσα, δηλαδή p πρώτη = p δεύτερη = p τρίτη. Έχουμε σύγκριση 3 ποσοστών από 3 ανεξάρτητους πληθυσμούς. Το τεστ που εφαρμόζεται είναι το ίδιο με εκείνο που προκύπτει αν θεωρήσουμε τον παραπάνω πίνακα ως πίνακα συνάφειας και υπολογίσουμε το χ -τέστ ανεξαρτησίας με (- (3-= β.ε. Πράγματι. X ανεξαρτησίας =6.3* Έτσι οι αναλογίες φύλου διαφέρουν από περίοδο σε περίοδο. Ο ένας αστερίσκος σημαίνει ότι το τεστ είναι στατιστικά σημαντικό. Για περαιτέρω διερεύνηση των αιτίων της απόρριψης της Η 0 εξετάζουμε τους πίνακες των διαφορών ή υπολοίπων (resduals O-E & (O-E /E: Ο-Ε (Ο-Ε /Ε Πρώτη Δεύτερη Τρίτη Πρώτη Δεύτερη Τρίτη Άνδρας Γυναίκα

26 Είναι φανερό από το πρόσημο και το μέγεθος της τρίτης στήλης, ότι η απόκλιση από την ομογένεια ή την ισότητα των ποσοστών οφείλεται στην τρίτη περίοδο. Το θέμα αυτό διερευνάται στην συνέχεια. v Μήπως όμως το παραπάνω συμπέρασμα ( οφείλεται στις διαφορές μεταξύ των ερευνητών Α & Β; Ο προσδιορισμός του φύλου γίνεται με υποκειμενική ανατομική εκτίμηση από τον ερευνητή. Τα αποτελέσματα ανά ερευνητή έχουν ως εξής: Ο j E ιξ Α Β Σύνολο Α Β Άνδρας Άνδρας Γυναίκα Γυναίκα Σύνολο χ τεστ για την ισότητα p A = p B ( ( X = ( ( =6.3 Έτσι σε Χ = 6.3 με β.ε {από το (} που μετρά τη διαφορά αναλογιών του φύλου, ένας ( β.ε αντιστοιχεί σε Χ =6.3 (που οφείλεται στους ερευνητές Α & Β {από το (v}. Άρα η διαφορά μεταξύ αναλογιών οφείλεται μόνο σε διαφορές μεταξύ ερευνητών. Υπάρχουν διαφορές στην τεχνική προσδιορισμού του φύλου μεταξύ των δύο ερευνητών. Τα δεδομένα δείχνουν μια υπεροχή των ανδρών αλλά η απόκλιση από το : οφείλεται στη διαφορά μεταξύ των ερευνητών (πιθανώς σε λανθασμένη τεχνική προσδιορισμού του φύλου. 58

27 5.3. ΕΛΕΓΧΟΙ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑΣ ΣΕ ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ: Πολλές φορές υπάρχει ανάγκη ελέγχου της ανεξαρτησίας δύο χαρακτηριστικών Α και Β ενός πληθυσμού, καθένα από τα οποία διακρίνεται σε διάφορες κατηγορίες Α, Α,...Α r και Β, Β,...Β c αντίστοιχα. Π.χ. χαρακτηριστικά μπορεί να είναι χρώμα των μαλλιών και το χρώμα των ματιών με κατηγορίες τους διάφορους χρωματισμούς (μαύρο, καστανό, ξανθό, κ.λπ.. Για να κάνουμε τον παραπάνω έλεγχο παίρνουμε από τον πληθυσμό δείγμα n μονάδων και έστω n j από αυτές φέρουν το χαρακτηριστικό Α και r c n j = j j= συγχρόνως το Β j, όπου n= Πίνακας συνάφειας: (ή συχνοτήτων είναι ο πίνακας: B B B j B c A j n... n j... n c A A j n... nj... ne nr... nrj... nrc A r. =((n j r c Στον παραπάνω πίνακα αντιστοιχεί ο πίνακας πιθανοτήτων ((π j r c όπου π j, =,...r, j=,...,c είναι οι αντίστοιχες πιθανότητες των κελιών (, j του πίνακα, δηλ. π j =P(A=A, B=B j. Θα χρησιμοποιούμε και τον γνωστό συμβολισμό π = j π j, π. j = j π j, n.. = j n j, π.. = j π j = κλπ. Η υπόθεση ανεξάρτητα των Α και Β διατυπώνεται ως εξής: Η 0 : π j = π. π. j για κάθε και j με εναλλακτική Η α : π j π. π. j για τουλάχιστον ένα ζεύγος, j. Η από κοινού κατανομή των τ.μ. n j είναι πολυωνυμική με παραμέτρους n και π j, =,,...,r και j=,,...,c με π j = και n = r c = j= r c n j = j=. Έτσι από το Θεώρημα προκύπτει ότι η στατιστική συνάρτηση για τον έλεγχο της υπόθεσης Η 0 : π j = π ιj0 θα είναι: r c Χ = = j= ( n j e e j j, (

28 όπου e j = nπ jο με ασυμπτωτική κατανομή χ με rc-i βαθμούς ελευθερίας λόγω της r c σχέσεως π j = όταν ισχύει η Η 0. = j= Έτσι αν τα π j = (π. (π. j είναι γνωστά τότε όταν ισχύει η Η 0 η (5.3. μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως Σ.Τ για τον έλεγχο της ανεξαρτησίας με κρίσιμη περιοχή. Χ Χ rc-,α. (5.3. Όταν τα π j άγνωστα τότε βρίσκουμε τους Ε.Μ.Π. που είναι (όταν ισχύει η Η ο n. π n. j = και π j =. n n Έτσι το Σ.Τ θα είναι Χ = r r = j= ( n j e e j j, (5.3.3 όπου τώρα e j = n π j = (n. n. j /n με κρίσιμη περιοχή Χ X (r-(c-,α (5.3.4 Εδώ το Χ έχει κατανομή την χ με (r-(c- βαθμούς ελευθερίας, διότι έχουμε rc- βαθμούς, μείον τις εκτιμώμενες παραμέτρους που είναι (r-+(c- έτσι rc-- [(r-+(c-]= (r-(c-. Ένα βασικό ερώτημα που προκύπτει στους πίνακες συνάφειας είναι το τι κάνουμε μετά τον έλεγχο της ανεξαρτησίας ο οποίος συνήθως απορρίπτει την Η 0 (την ανεξαρτησία των Α και Β. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να προχωρήσουμε: Ένας είναι να εκτιμήσουμε τις πιθανότητες π j και με τις αριθμητικές τιμές τους να διακρίνουμε τάσεις, συμπεριφορές κ.λπ. Άλλος είναι να εξετάσουμε τα υπόλοιπα (resduals των συχνοτήτων. n j -e j ή Ο j - E j και να μπορέσουμε να διακρίνουμε διαφορές, τάσεις κ.λπ. Ας σημειωθεί ότι ( nj e j = 0 και ( nj e j = 0. j Μπορούμε επίσης να εξετάσουμε και τις ποσότητες (Ο j -E j /E j. Τέλος μπορούμε να διερευνήσουμε την καταλληλότητα διαφόρων άλλων μοντέλων όπως π.χ. μοντέλων συνάφειας, θέμα το οποίο θα εξεταστεί στα «Κατηγορικά Δεδομένα». 60

29 Ας υπενθυμίσουμε τον κανόνα ορθής εφαρμογής του χ : οι αναμενόμενες συχνότητες Ε j δεν πρέπει να είναι μικρότερες του και όχι περισσότερες από 0% από αυτές να είναι μικρότερες του 5, επιπλέον το n πρέπει να είναι μεγαλύτερο του 4 rc. Παράδειγμα: Μογγολισμός Λοιμώδης ηπατίτιδα Μια ομάδα ιατρών ερευνητών μιας Πανεπιστημιακής Κλινικής, ισχυρίζεται ότι ο μογγολισμός στα παιδιά έχει σχέση με τη λοιμώδη ηπατίτιδα της μητέρας κατά την διάρκεια της εγκυμοσύνης της. Για τον έλεγχο του ισχυρισμού αυτού 000 περιπτώσεις εκλέγονται τυχαία από το αρχείο μιας μεγάλης μαιευτικής κλινικής και εξετάζονται ως προς την ηπατίτιδα της μητέρας. Μετά, και για κάθε περίπτωση, εντοπίζεται το παιδί και εξετάζεται για να διαπιστωθεί αν είναι μογγολοειδές ή όχι. Τα αποτελέσματα δίνονται στον ακόλουθο πίνακα. Παιδί (πραγματικότητα Μογγολοειδές Μη μογγολοειδές Μητέρα (τεστ Σύνολο + - Με λοιμώδη ηπατίτιδα Χωρίς λοιμώδη ηπατίτιδα Σύνολο Για τα δεδομένα αυτά έχουμε: Ε = = 5. 5, Ε = = Ε = = , Ε = = Έτσι η τιμή της στατιστικής συνάρτησης του τεστ είναι: Χ ( ( ( ( = = = Επειδή χ 0.05,= 3.84 θα έχουμε Χ =776.70>3.84=χ 0.05,. Άρα απορρίπτεται η υπόθεση της ανεξαρτησίας του μογγολισμού με τη λοιμώδη ηπατίτιδα και επομένως το αποτέλεσμα είναι πολύ σημαντικό. Δηλαδή ο μογγολισμός των παιδιών έχει σχέση με την προσβολή ή όχι της μητέρας από λοιμώδη ηπατίτιδα κατά τη διάρκεια της εγκυμοσύνης. Η πιθανότητα το παιδί να είναι μογγολοειδές δοθέντος ότι η μητέρα είχε λοιμώδη ηπατίτιδα είναι 65/4=46% και πολύ μεγαλύτερη από της πιθανότητα μογγολισμού δοθέντος ότι η μητέρα δεν έχει ηπατίτιδα που είναι 8/859=0.4%. Για περισσότερη διερεύνηση του θέματος αυτού εξετάζουμε τις διαφορές Ο-Ε ή (Ο-Ε /Ε. 6

30 Εδώ οι διαφορές Ο-Ε είναι: Μογγολισμός + - Ηπατίτιδα Και φανερώνουν μια θετική συσχέτιση μογγολισμού με την ηπατίτιδα. 6

31 5.4 ΤΟ ΤΕΣΤ McNEMAR ΩΣ χ ΤΕΣΤ. Το τεστ του McNemar εφαρμόζεται και στις ακόλουθες περιπτώσεις: α. Σε αναδρομικές μελέτες με ασθενείς και μάρτυρες (control, όπου κάθε ασθενής «ταιριάζεται» με ένα μάρτυρα (matched pars και το «ταίριασμα» γίνεται με αυστηρές και απαιτητικές προδιαγραφές. Έστω Ν τα ζεύγη ένας ασθενής ένας μάρτυρας. Κάθε ζεύγος βαθμολογείται ως εξής: Ζεύγος Ασθενής Μάρτυρας Α Α Α Όχι Α 3 Όχι Α Α 4 Όχι Α Όχι Α Όπου Α σημαίνει ότι το άτομο έχει χαρακτηριστικό π.χ. Α=καπνίζει και όχι Α=δεν καπνίζει και ασθενής σημαίνει ότι το άτομο έχει καρκίνο του πνεύμονα. Τα αποτελέσματα μπορούν να συνοψισθούν ως ακολούθως: ή σε μορφή πίνακα Αποτελέσματα Ασθενής Μάρτυρας Αριθ. ζευγών Α Α x Α Όχι Α y Όχι Α Α z Όχι Α Όχι Α w Σύνολο N Ασθενής Α Όχι Α Α x z Μάρτυρας όχι Α y w Ν ζεύγη Με άλλο λόγια Ν ζεύγη ταξινομούνται ανάλογα με το αν τα μέλη του ζεύγους έχουν καρκίνο πνεύμονα και αν καπνίζουν ή όχι. Θέλουμε να ελέγξουμε π.χ. αν τα ποσοστά των καπνιστών είναι τα ίδια στους καρκινοπαθείς με τα control (με άλλα λόγια και όχι αυστηρά, αν υπάρχει σχέση μεταξύ καπνίσματος και καρκίνου πνευμόνων. Λόγω του «ταιριάσματος» (parng πρέπει να εφαρμοστεί το τεστ του McNemar. Αν χρησιμοποιήσουμε το συμβολισμό των πινάκων συνάφειας, ο παραπάνω πίνακας γίνεται Ασθενής Μάρτυρας Α Όχι Α Σύνολο Α Ο Ο Ο. Όχι Α Ο Ο Ο. Σύνολο Ο. Ο. Ν 63

32 και το τεστ McNemar ισοδύναμα, με το z τεστ είναι z= O ( O + O /, O + O / Χ = ( O O ~ χ + O O Tα τεστ αυτά απορρέουν από το γεγονός ότι Ο O + O ~ BO ( + O,/ H 0 Αν η πιθανότητα καπνίσματος στους ασθενείς είναι ίση με την πιθανότητα καπνίσματος στους μάρτυρες έχουμε: π = π Κανονικά θα έπρεπε να συγκρίνουμε το ποσοστό των καρκινοπαθών στους καπνιστές με το ποσοστό των καρκινοπαθών στους μη καπνιστές. b. Σε μελέτες συσχέτισης ή μελέτες με διαγνωστικά κριτήρια Σε Ν άτομα καταγράφονται διάφορες ποιοτικές και ποσοτικές μετρήσεις. Για να δούμε αν τα ποσοστά επιτυχίας ή θετικής παρουσίας για δύο ποιοτικά χαρακτηριστικά είναι ίσα, θα εφαρμόσουμε το τεστ του McNemar. Σε Ν ασθενείς εφαρμόζονται δύο διαγνωστικές διαδικασίες για να προσδιοριστεί η παρουσία η απουσία κάποιου στοιχείου μιας ασθένεια. Ο έλεγχος της ισότητας των ποσοστών των θετικών αποτελεσμάτων για τις διαδικασίες γίνεται με τεστ McNemar. Γενική θεωρία Το τεστ McNemar προκύπτει από την τριωνυμική κατανομή (n, n - M(n,π, π όπου η τρίτη κατηγορία είναι δύο «σύμφωνες» ομάδες ++ & -- με σύνολο συχνοτήτων n +n και πιθανότητα π +π και το Χ του Pearson με εκτίμηση των παραμέτρων κάτω από το μοντέλο της μηδενικής Η 0 : π = π. Γενικά αν (Χ,..., Χ κ- Μ (n, π,..., π k- και θέλουμε να ελέγξουμε την +Η 0 : π =π έναντι π π το X τεστ του Pearson είναι: Χ = ( X X X + X χ /Η 0 Οι βαθμοί ελευθερίας προσδιορίζονται ως εξής: Οι βαθμοί ελευθερίας του Χ είναι k--s όπου s είναι ο αριθμός των παραμέτρων που εκτιμούνται. Το s λοιπόν ισούται με k-3 (από τις παραμέτρους π 3,...π κ- συν (από την κοινή τιμή των π και π όταν ισχύει η Η 0. Έτσι s=k- και k--s=. 64

33 6. ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ: STUART MAXWELL, COCHRAN και MANTEL-HAENSZEL 6. Σύγκριση κατά ζεύγη με περισσότερα από δύο δυνατά αποτελέσματα Τεστ των Stuart Maxwell. Εδώ εξετάζεται η περίπτωση του τεστ του McNemar με δύο ποιοτικές μεταβλητές, η κάθε μια όμως έχει περισσότερα από δύο δυνατά αποτελέσματα ή επίπεδα (μη διχοτομικές μεταβλητές. Για παράδειγμα, Ν άτομα (τα ίδια άτομα εξετάζονται σε δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές. Σε κάθε χρονική στιγμή εξετάζονται ως προς τα αποτελέσματα μιας ποιοτικής μεταβλητής με 3 ή περισσότερα επίπεδα. Σε άλλη ισοδύναμη περίπτωση αντί Ν ατόμων, μπορεί να υπάρχουν Ν ταιριασμένα ζεύγη (matched pars. Πίνακας Μετρήσεων άτομο πριν μετά ζεύγος ασθενής μάρτυρας ή Ν 3 3 Ν ή συνοπτικά Πριν (ή ασθενείς μετά (ή μάρτυρες 3 O O O 3 O O O 3 3 O 3 O 3 O 33 όπου,,3 είναι τα επίπεδα της ποιοτικής μεταβλητής. 65

34 Θέλουμε να ελέγξουμε την υπόθεση ότι τα πριν-μετά ή ασθενείς μάρτυρες ποσοστά για κάθε επίπεδο της μεταβλητής είναι ίσα. Με άλλα λόγια Η 0 : p =p, p = p, p 3 = p 3 (αρκούν μόνο τα p =p και p =p Οι μάρτυρες συμφωνούν με τους ασθενείς στα διαγνωστικά στοιχεία Ο, Ο και Ο 33. Οι διαφορές μεταξύ τους αντιπροσωπεύονται από τα μη διαγώνια στοιχεία O j και ειδικότερα από τις 3 διαφορές Ο -Ο, Ο -Ο, Ο 3 -Ο 3. Διάφορα τεστ έχουν προταθεί για την Η 0 στηριζόμενα στις διαφορές Ο -O [Bhapkar (966, Grzzle et al (969, Ireland et al (969, Βλ. Fless ή Woolson]. Ένα απλούστερο τεστ που δεν απαιτεί αντιστροφή πίνακα έχει προταθεί από τους Stuart (955 και Maxwell (970 για 3 3 πίνακες (βλ. Fless και Evertt (97: όπου X = O 3 ( O O j= ½ (Ο j +O j. O + O ( O O 3 3 ( O + O + O O 3 + O + O 3 O 3 ( O 3 O 3 ~ χ H 0, Aν η Η ο απορριφθεί, διερευνούμε κάθε ποσότητα χωριστά σχηματίζοντας πίνακες, που προκύπτουν συμπτύσσοντας τον 3 3 πίνακα, και εφαρμόζουμε το απλό τεστ McNemar με χ και k- (όχι β.ε. για να ελέγξουμε δηλαδή να μην επιτρέψουμε την αύξηση του α λόγω πολλαπλών τεστ. Παράδειγμα: 00 άτομα ερωτώνται αν στηρίζουν ή δεν στηρίζουν ή αδιαφορούν για την εξωτερική πολιτική της κυβέρνησης, δύο μήνες και μήνες μετά την ορκωμοσία της με τα ακόλουθα αποτελέσματα: Δύο μήνες στηρίζω δεν στηρίζω αδιαφορώ Στηρίζω Δώδεκα μήνες δεν στηρίζω αδιαφορώ Αλλάζουν τα ποσοστά από τους στους μήνες; 66

35 χ = 5( ( (0 5 ( =8.78 * χ,0.05 = 5.99 p-value<0.00 Έτσι υπάρχει αλλαγή των ποσοστών από τους στους μήνες. Υπάρχει αλλαγή του ποσοστού που στηρίζουν την εξωτερική πολιτική; Η 0 : p =p Πίνακας σύμπτυξης στηρίζω τα άλλα στηρίζω τα άλλα Χ = ( = 8* με χ,0.05 =

36 6. Σύγκριση περισσοτέρων από δύο συσχετισμένων ποσοστών Τεστ του Cochran. Έστω n άτομα τα οποία υποβάλλονται π.χ. σε 3 θεραπευτικές αγωγές Α, Β, C. Είναι τα ποσοστά επιτυχίας p A, p B, p c ίσα; Δεδομένα άτομο Α Β C : : : : n Τα δεδομένα μπορούν να συνοψιστούν και σε ένα πίνακα ανάλογο του πίνακα του τεστ McNemar. Εδώ όμως διατηρούμε τα αρχικά δεδομένα και θεωρούμε ότι έχουμε μια μεταβλητή y η οποία παίρνει τιμές 0 ή (- ή + ανάλογα με το αποτέλεσμα της θεραπείας Α, Β, C που εφαρμόζεται στην τύχη στο άτομο (Σχέδιο πλήρους τυχαιοποιημένου μπλοκ. Συμβολισμός: block (άτομο θεραπεία (ομάς... K y y... y k y y y... y k y : : : : : : : : : : n y n y n... y nk y n y y... y n y.. Tεστ του Cochran: Q = ( k ( k ky.. y y.. ~ y X k H o 68

37 Παράδειγμα: άτομα τα οποία παρακολουθούνται σε μια ψυχιατρική κλινική εξετάζονται ως προς την «διαταραχή της σκέψης» από 4 ιατρούς της κλινικής. Η σειρά της εξέτασης του κάθε ασθενούς ήταν τυχαία και κάθε ιατρός εξέτασε κάθε ασθενή (σχέδιο τυχαιοποιημένου μπλοκ. Υπάρχει διαφορά ως προς τα ποσοστά διάγνωσης διαταραχής της σκέψης μεταξύ των 4 ιατρών. Δεδομένα: ιατρός ιατρός άτομο Σύνολο f Cochran s Q: Q = 3(4( =3.69< 4 4 ( χ 3,0.05 =7.8 Δεν υπάρχει ένδειξη απόρριψης της Η 0 : p =p =p 3 =p 4 69

38 6.3 MANTEL HAENSZEL TEST: S ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Έστω ότι έχουμε περισσότερους από πίνακες συνάφειας (n άτομα ταξινομούνται με βάση δύο χαρακτηριστικά π.χ. παράγοντα (factor +,- και ασθένεια +,-, κάπνισμα +,- και καρκίνο +,-, condton +,- και response +,-, π.χ. ( δύο ή περισσότερες μελέτες του ίδιου αιτιολογικού προβλήματος που έχουν γίνει σε διαφορετικές χρονικές περιόδου ή κέντρα ( τα δύο χαρακτηριστικά ταξινομούνται και με βάση άλλο παράγοντα (nusance π.χ. ομάδες ηλικιών, κ.λπ. Υπάρχει σχέση μεταξύ των δύο χαρακτηριστικών για όλα τα επίπεδα του τρίτου χαρακτηριστικού (παράγοντα; Έστω n jk ο αριθμός των ατόμων με τον παράγοντα στο επίπεδο (+ ή - που έχει την ασθένεια στο επίπεδο j (+ ή - στο στρώμα κ, κ=,,..., s,,j=,. n n n j n js n n κ= κ= κ=s To στατιστικό των Mantel-Haenszel προκύπτει παίρνοντας ένα από τα 4 κελιά, π.χ. το n k και υπολογίζοντας τη μέση τιμή και την διακύμανση του n k χρησιμοποιώντας την υπεργεωμετρική κατανομή (υποθέτοντας ότι τα margnal totals είναι σταθερά. Έχουμε n marg.total ~ Hg (n.., n., n /n.. n Και Ε(n = n, Var(n = n.. (X~Hg(N,n,p, EX=np, VarX= npq To στατιστικό είναι: n n n n.. n.. N n N nk E( nk Var( n k n... n n.. n / ~ (Ν(0, n n. n. = ( n.. n.. όταν ισχύει η Η 0 τη μη σχέσης μεταξύ παράγοντα και ασθένειας για όλα τα στρώματα ή 70

39 n k n n k.. k n ( n n k.. k k n n.. n k k k ~ χ. Αντί για το τεστ Mantel Haenszel θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί το χ τεστ ανεξαρτησίας για κάθε πίνακα αθροίζοντας το για τους s πίνακες με χ και s β.ε Το Mantel Haenszel test απαιτεί το n... να είναι μεγάλο ενώ το δεύτερο τεστ χ απαιτεί το n..k σε κάθε στρώμα να είναι μεγάλο. Το τεστ Mantel-Haenszel χρησιμοποιείται ευρύτερα. Είναι ένα τεστ ολικής συσχέτισης / συνάφειας δύο ποιοτικών χαρακτηριστικών. Μπορεί κάποια συχνότητα n jk να είναι 0. Δεν πρέπει όμως τα πηλίκα πιθανοτήτων a να διαφέρουν πολύ μεταξύ τους. Η υπόθεση που ελέγχεται με το παραπάνω τεστ είναι γνωστή και ως υπόθεση δεσμευμένης ανεξαρτησίας (condtonal ndependence για τρισδιάστατους πίνακες συνάφειας. 7

40 6.4 CASE STUDY: ΚΑΡΚΙΝΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΣΤΑΤΗ Όταν γίνεται διάγνωση καρκίνου του προστάτη και πρόκειται να αποφασιστεί η στρατηγική θεραπείας είναι απαραίτητο να απαντηθεί το ερώτημα αν ο καρκίνος έχει απλωθεί στους γειτονικούς λεμφαδένες. Το ερώτημα είναι τόσο κρίσιμο ώστε να συνηθίζεται να γίνεται χειρουργική επέμβαση (laparatomy με μοναδικό σκοπό την εξέταση των αδένων, αφαίρεση δειγμάτων ιστού και ιστολογική εξέταση. Υπάρχουν όμως μεταβλητές που μπορούν να μετρηθούν χωρίς χειρουργική επέμβαση και έχουν «προβλεπτική» ικανότητα για την προσβολή των λεμφαδένων. Οι μεταβλητές αυτές είναι: η ένδειξη ακτινών Χ (Χ «χονδρικό» μέτρο μεγέθους και θέσης του όγκου [στάδιο] (που παίρνεται με ψηλάφηση μέσου του ορθού (Χ προεγχειρητική παθολογοανατομική ένδειξη της βιοψίας του όγκου (παίρνεται με βελόνη πριν από την εγχείρηση (Χ 3 [διαβάθμιση] ηλικία (Χ 4 επίπεδο phosphatase στον όρο του αίματος (Χ 5 Το επιστημονικό ενδιαφέρον είναι να διαπιστωθεί ποιες από τις πέντε (5 προεγχειρητικές μεταβλητές μπορούν να προβλέψουν προσβολή αδένων και με πόση ακρίβεια. Ειδικότερο ενδιαφέρον είναι να διαπιστωθεί αν αυξημένα επίπεδα phosphatase στον όρο του αίματος έχουν επιπρόσθετη προβλεπτική αξία δοθέντων των άλλων τεσσάρων μεταβλητών που χρησιμοποιούνται συνήθως. ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΠΡΟΣΤΑΤΗ Χ = ένδειξη ακτινών Χ Διωνυμικές μεταβλητές Χ = στάδιο: «χονδρικό» μέτρο μεγέθους και θέσης όγκου = θετικό ή σοβαρό εύρημα Χ 3 = διαβάθμιση: προεγχειρητική παθολοανατομική ένδειξη 0= «κενό» = αρνητικό ή μη σοβαρό βιοψίας όγκου εύρημα Χ 4 = ηλικία Χ 5 - phosphatase X 6 = λεμφαδένες 7

41 Αριθμός ασθενών Ακτίνες Χ Στάδιο Διαβάθμιση Ηλικία Phosphatase Λεμφανικοί αδένες Αριθμός ασθενών Ακτίνε Χ Στάδιο Διαβάθμιση Ηλικία Phosphatase Λεμφανικοί αδένες Αριθμός ασθενών Ακτίνε Χ Στάδιο Διαβάθμιση Ηλικία Phosphatase Λεμφανικοί αδένες α. Διαγνωστική ικανότητα κάθε μεταβλητής χωριστά Αδένες Αδένες 0 0 X ray Στάδιο (stage Ευαισθησία = /0 Ειδικότητα = 9/33 Ολικό σφάλμα=3/53=4% Ολικό σφάλμα = 7/53=3% α = 8.86 α =

42 Grade Αδένες Αδένες Ηλικία < Ολικό σφάλμα = 8/53 = 34% Ολικό σφάλμα= 3/53= 58% α = 3.6 α = 0.05 Acd <60 60 Αδένες Ολικό σφάλμα = 8/53 = 34% α= 6 9/4 4 = 5.4 Για τον πίνακα Χ ray αδένες έχουμε: Sens= /0, spec = 9/33, P(-Χ ray +αδένες = 9/0 σφάλμα λανθασμένα αρνητικό (false negatve P(+Χ ray -αδένες = 4/33 σφάλμα λανθασμένα θετικό (false postve. Έτσι το ολικό σφάλμα λανθασμένης ταξινόμησης είναι: total msclassfcaton error rate (πιθανότητα ενός ή άλλου σφάλματος δοθέντος των σχετικών συχνοτήτων του 0 και αδένων= = P(-Χ ray και + αδένες+ρ (+ Χ ray και αδένες = P(-Χ ray +αδένεςρ(+αδένες+ρ(+ Χ ray -αδένεςρ-(αδένες = 9/0 0/53+4/33 33/53=(9+4/53=3/53. Για τον πίνακα acd x αδένες το ολικό msclassfcaton σφάλμα είναι 8/53. Για τον πίνακα stage x αδένες το ολικό msclassfcaton σφάλμα είναι 7/53. Για 74

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Ο ρόλος της Στατιστικής στην Ιατρική Η εξέλιξη της Ιατρικής από το δογµατισµό, ακόµη και το µυστικισµό, στην επιστηµονική αβεβαιότητα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Ο ρόλος της Στατιστικής στην Ιατρική Η εξέλιξη της Ιατρικής από το δογµατισµό, ακόµη και το µυστικισµό, στην επιστηµονική αβεβαιότητα . ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Ο ρόλος της Στατιστικής στην Ιατρική Η εξέλιξη της Ιατρικής από το δογµατισµό, ακόµη και το µυστικισµό, στην επιστηµονική αβεβαιότητα ξεκίνησε τον 7 ο αιώνα. Το κλειδί σ αυτή την εξέλιξη υπήρξε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα

Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα Διαστρωμάτωση Mantel-Haenszel test Γεωργία Σαλαντή Λέκτορας επιδημιολογίας Λεπτοσπείρωση Πιο πολλά κρούσματα στις αγροτικές περιοχές; Πόσο επί τις εκατό του πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21 Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21 (Basic Sampling Techniques and Questionnaire Analysis using

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Βασικές έννοιες

Στατιστική. Βασικές έννοιες Στατιστική Βασικές έννοιες Τι είναι Στατιστική; ή μήπως είναι: Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων επιστημών, η οποία βασίζεται σ ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών που έχουν σκοπό: Το σχεδιασμό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη διαγνωστική έρευνα

Εισαγωγή στη διαγνωστική έρευνα DEPARTMENT OF HYGIENE AND EPIDEMIOLOGY Εισαγωγή στη διαγνωστική έρευνα Κώστας Τσιλίδης, ktsilidi@cc.uoi.gr http://users.uoi.gr/ktsilidi/teaching Ιωαννίδης: κεφάλαιο 3 Ahlbom: κεφάλαιο 3, 4 Guyatt: κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές αρχές της θεωρίας των πιθανοτήτων και η εφαρµογή τους στην εκτίµηση των ασφαλιστικών κινδύνων

Βασικές αρχές της θεωρίας των πιθανοτήτων και η εφαρµογή τους στην εκτίµηση των ασφαλιστικών κινδύνων Βασικές αρχές της θεωρίας των πιθανοτήτων και η εφαρµογή τους στην εκτίµηση των ασφαλιστικών κινδύνων Αθηνά Λινού Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ιατρική Σχολή, Πανεπιστήµιο Αθηνών Βασικές αρχές της θεωρίας των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognton Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesan Decson Theory Π. Τσακαλίδης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayes Decson theory Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις. Μια μηχανή εμφιάλωσης κρασιού γεμίζει φιάλες του μισού κιλού με ποσότητα κρασιού η οποία είναι κανονική τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes:

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes: ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 6 ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ 1.β ιαγνωστικοί Έλεγχοι Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Να δοθούν οι βασικές αρχές των µη παραµετρικών ελέγχων (non-parametric tests). Να παρουσιασθούν και να αναλυθούν οι γνωστότεροι µη παραµετρικοί έλεγχοι Να αναπτυχθεί η µεθοδολογία των

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανιχνευτικές εξετάσεις (screening) στη φροντίδα του παιδιού

Ανιχνευτικές εξετάσεις (screening) στη φροντίδα του παιδιού Ανιχνευτικές εξετάσεις (screening) στη φροντίδα του παιδιού Μάιος 2007 Τ. Παναγιωτόπουλος Τομέας υγείας του παιδιού Εθνική Σχολή Δημόσιας Υγείας «Όλα τα προγράμματα screening προκαλούν βλάβη, ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Γεσθημανή Μηντζιώρη MD, MSc, PhD Μονάδα Ενδοκρινολογίας της Αναπαραγωγής, Α Μαιευτική και Γυναικολογική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Κωνσταντίνος Τζιόμαλος Επίκουρος Καθηγητής Παθολογίας ΑΠΘ Α Προπαιδευτική Παθολογική Κλινική, Νοσοκομείο ΑΧΕΠΑ 1 ο βήμα : καταγραφή δεδομένων Το πιο πρακτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2.

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. Κεφάλαιο 17 Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 17.3. ΤΟ χ 2 ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 17.3.1. Ένα ερευνητικό παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Υπό ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΑΡΤΙΚΗ, ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΣΟΥΓΙΑΝΝΗ ΚΑΙ ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΑΡΤ1ΚΗ Ανωτάτη Βιομηχανική Σχολή Πειραιά 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα συνήθη κριτήρια αξιολόγησης επενδύσεων βασίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Επιδημιολογία 3 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕΛΕΤΩΝ. Ροβίθης Μ. 2006

Επιδημιολογία 3 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕΛΕΤΩΝ. Ροβίθης Μ. 2006 Επιδημιολογία 3 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕΛΕΤΩΝ Ροβίθης Μ. 2006 1 Τα στάδια της επιδημιολογικής έρευνας ταξινομούνται με μια λογική σειρά στην οποία κάθε φάση εξαρτάται από την προηγούμενη. Μια εκτεταμένη λίστα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Περιεχόμενα Μαθήματος Εισαγωγή στο Πρόβλημα. Monte Carlo Εκτιμητές. Προσομοίωση. Αλυσίδες Markov. Αλγόριθμοι MCMC (Metropolis Hastings & Gibbs Sampling).

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων (Data Structures)

Δομές Δεδομένων (Data Structures) Δομές Δεδομένων (Data Structures) Ανάλυση - Απόδοση Αλγορίθμων Έλεγχος Αλγορίθμων. Απόδοση Προγραμμάτων. Χωρική/Χρονική Πολυπλοκότητα. Ασυμπτωτικός Συμβολισμός. Παραδείγματα. Αλγόριθμοι: Βασικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 Μεταβλητές...5 Πληθυσμός, δείγμα...7 Το ευρύτερο γραμμικό μοντέλο...8 Αναφορές στη βιβλιογραφία... 11 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 Περίληψη... 13 Εισαγωγή... 13 Με μια ματιά...

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Αν το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι - ένας αριθμός R, τότε μπορεί να εκφραστεί με μία τ.μ. Χ R - αριθμοί R τότε μπορεί να εκφραστεί με ένα τ.δ. Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο Τα δεδομένα της στήλης Grade (Αρχείο Excel, Φύλλο Ask1) αναφέρονται στη βαθμολογία 63 φοιτητών που έλαβαν μέρος σε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρα σχέσης. Ιωάννα Τζουλάκη Λέκτορας Επιδημιολογίας Υγιεινή και Επιδημιολογία

Μέτρα σχέσης. Ιωάννα Τζουλάκη Λέκτορας Επιδημιολογίας Υγιεινή και Επιδημιολογία Μέτρα σχέσης Ιωάννα Τζουλάκη Λέκτορας Επιδημιολογίας Υγιεινή και Επιδημιολογία Στο τέλος...(learning outcomes) Να γνωρίζετε τα κυριότερα μέτρα σχέσης που χρησιμοποιούνται για μετρήσουμε μια συσχέτηση μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι ένας έτοιμος τύπος ο οποίος δέχεται σαν είσοδο τιμές ή συνθήκες και επιστρέφει ένα αποτέλεσμα, το οποίο μπορεί να είναι μια τιμή αριθμητική, αλφαριθμητική, λογική, ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37. 1 Βασικές αρχές καταχώρισης δεδομένων και στατιστικής ανάλυσης με το SPSS 39

Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37. 1 Βασικές αρχές καταχώρισης δεδομένων και στατιστικής ανάλυσης με το SPSS 39 41 Περιεχόμενα Ξενάγηση στο βιβλίο 25 Ξενάγηση στο συνοδευτικό CD 27 Εισαγωγή 29 Ευχαριστίες 33 Οι βασικές διαφορές μεταξύ του SPSS 16 και των προηγούμενων εκδόσεων 35 Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37 1 Βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Υπερπροσαρμογή (Overfitting) (1)

Υπερπροσαρμογή (Overfitting) (1) Αλγόριθμος C4.5 Αποφυγή υπερπροσαρμογής (overfitting) Reduced error pruning Rule post-pruning Χειρισμός χαρακτηριστικών συνεχών τιμών Επιλογή κατάλληλης μετρικής για την επιλογή των χαρακτηριστικών διάσπασης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα: «Γραμμικά μοντέλα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 20 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2007), σελ 249-258 Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Μανώλης Μανατάκης Τμήμα Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Η καταληκτική ημερομηνία για την παραλαβή

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η κανονική κατανομή ανακαλύφθηκε γύρω στο 720 από τον Abraham De Moivre στην προσπάθειά του να διαμορφώσει Μαθηματικά που να εξηγούν την τυχαιότητα. Γύρω στο 870, ο Βέλγος

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων 1. Σκοπός Σκοπός του μαθήματος είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη θεωρία Σφαλμάτων, όπως το σφάλμα, την αβεβαιότητα της μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομές Απώλειας. Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος

Κατανομές Απώλειας. Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Κατανομές Απώλειας Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Απαγορεύεται η αναδημοσίευση, η αναπαραγωγή, ολική ή περιληπτική του περιεχομένου αυτού με οποιονδήποτε τρόπο χωρίς προηγούμενη γραπτή άδεια του

Διαβάστε περισσότερα

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Τμηματικό e-mal : dap_ode@yahoo.gr www.dap-pape.gr

Διαβάστε περισσότερα

Τα συστηματικά σφάλματα στις επιδημιολογικές μελέτες Κάθε επιδημιολογική μελέτη πρέπει να θεωρείται ως μια άσκηση μέτρησης

Τα συστηματικά σφάλματα στις επιδημιολογικές μελέτες Κάθε επιδημιολογική μελέτη πρέπει να θεωρείται ως μια άσκηση μέτρησης Τα συστηματικά σφάλματα στις επιδημιολογικές μελέτες Κάθε επιδημιολογική μελέτη πρέπει να θεωρείται ως μια άσκηση μέτρησης Kenneth J. Rothman, 2002 Πρόγραμμα εκπαίδευσης στην επιδημιολογική επιτήρηση και

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές ερευνητικές προσεγγίσεις

Ποσοτικές ερευνητικές προσεγγίσεις ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ (PROJECT) Ποσοτικές ερευνητικές προσεγγίσεις (Quantitative Approaches to Research) Δρ ΚΟΡΡΕΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΑΘΗΝΑ 2013 Ποσοτικές ερευνητικές προσεγγίσεις (Quantitative Research

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα