za reverzibilan kružni proces količina toplote koju je sistem na svojoj nižoj temperaturi T 1 predao okolini i ponovo prešao u početno stanje

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "za reverzibilan kružni proces količina toplote koju je sistem na svojoj nižoj temperaturi T 1 predao okolini i ponovo prešao u početno stanje"

Transcript

1 ENROPIJA

2 Spontani procesi u prirodi se uvek odvijaju u određenom smeru (npr. prelazak toplote sa toplijeg na hladnije telo) što nije moguće opisati termodinamičkim funkcijama do sad obrađenim. Nulti zakon termodinamike se izražava preko apsolutne temperature a I zakon termodinamike preko promene unutrašnje energije sistema odnosno entalpije. U cilju objašnjenja spontanosti nekog procesa II zakonom termodinamike a razmatranjem kružnog Karnoovog ciklusa, uvodi se nova funkcija stanja sistema koja izražava spontanost procesa-entropija. Obzirom da se toplota spontano odaje samo ako je temperatura okoline niža od temperature sistema sledi da entropija kao mera spontanosti treba da sadrži veličine kao što su toplota i temperatura. Q 2 Q Q količina toplote koju je sistem na svojoj temperaturi 2 primio od okoline i prešao iz početnog u krajnje stanje 2 1 za reverzibilan kružni proces količina toplote koju je sistem na svojoj nižoj temperaturi 1 predao okolini i ponovo prešao u početno stanje Q 2 / 2 >0 Q 1 / 1 <0 apsolutne vrednosti su im jednake

3 za bilo koji reversibilan kružni proces algebarski zbir količnika razmenjenih toplota i temperatura na kojima sistem razmenjuje toplotu sa okolinom biće jednak nuli: ciklus i Q i 0 Q/ funkcija stanja sistema jer ne zavisi od puta kojim je obavljen proces; ekstenzivna veličina Bilo koji kružni proces može se razložiti na veći broj Karnoovih ciklusa.

4 A Kružni proces B -jedan opšti ciklus- kriva linija ABA -površina koju obuhvata kružna linija ABA može se zameniti nizom izotermi i adijabata, odnosno podeliti na veći broj Karnoovih ciklusa (svaki sa dve izoterme i dve adijabate) -mali Karnoovi ciklusi u unutrašnjosti krive ABA će se poništavati zato što svaka izoterma ili adijabata koja za jedan ciklus predstavlja rad širenja, predstavljaće za susedni ciklus rad sabijanja, pa su zbog toga izotermski i adijabatski radovi u unutrašnjosti zatvorene krive ABA jednaki nuli -ostaju izoterme i adijabate perifernih ciklusa koje nisu kompenzovane susednim ciklusima. -spoljnja granica ovih malih procesa predstavlja izlomljenu krivu koja u najvećoj meri prati put koji prikazuje proces ABA

5 Sumirajući putem AB a zatim duž puta BA sve toplote podeljene odgovarajućim temperaturama dobija se: Ukoliko se ciklus razloži na beskonačno male Karnoove kružne procese, onda se izlomljena linija sve više približava krivoj opšteg kružnog procesa ABA. U graničnom slučaju kada se temperatura izotermi razlikuje za beskonačno malu vrednost d i kada se razmeni beskonačno mala količina toplote dq površina ograničena izlomljenom linijom izjednačava se sa površinom koju opisuje ABA. ada se može suma konačnih veličina ΣQ i / zameniti integralom po zatvorenoj putanji jer se radi o kružnom procesu: dq rev 0 totalni odnosno pravi diferencijal, odnosno funkcija stanja sistema. Po Klauzijusu podintegralna funkcija naziva se promena entropija i obeležava se sa ds: ds = S Q za konačnu promenu odnos između količine toplote koju sistem pri reversibilnom procesu razmeni sa okolinom i temperature sistema na kojoj se ta razmena izvršava

6 B ds ds S B S A S A S B A A ds 0 B funkcija stanja sistema -efikasnost toplotne mašine koja radi reverzibilno je maksimalna za date temperature - ako je neki stupanj Karnoovog ciklusa izveden na ireverzibilan način efikasnost će biti manja nego u slučaju reverzibilnog ciklusa: Q 2, irev Q Q 2, ir 1, rev Q 2, irev 2 Q 1, rev 1 0 ireverzibilno razmenjena toplota Q 0 za kružni ciklus koji se sastoji iz niza Karnoovih ciklusa čiji je makar i jedan stupanj ireverzibilan dq irev 0

7 procesi u prirodi su spontani odnosno ΔS 0 ireverzibilni pa su praćeni ukupnim porastom entropije sistema i njegove okoline znak > odnosi se na ireverzibilni, a znak = na reverzibilni proces Ukupna promena entropije jednog izolovanog sistema može da se izračuna ako se posmatraju male promenu u sistemu u užem smislu koji je u kontaktu sa toplotnim rezervoarom (njegova termodinamička okolina) pa se sistem i njegova bliža okolina posmatraju kao jedinstven izolovan sistem. uk S S sis S ok Neka je sistem telo na temperaturi sis i u termičkom kontaktu je sa okolinom koja je na temperaturi ok. Zamislimo da telo razmenjuje toplotu dq rev sa okolinom (predaje je okolini) beskonačno sporo (reverzibilno) pri čemu su mase i sistema i okoline tako velike da razmenjena količina toplote ne menja njihove temperature. U toku posmatranog reverzibilnog procesa toplota koju je sistem predao primila je okolina. ada će promena entropije reverzibilnog izotermskog procesa biti: ds uk ds sis ds ok dq rev sis dq ok rev dq rev sis sis ok ok

8 1. Ako je sis > ok onda je: ds uk dq rev sis sis ok ok 0 spontan proces u izolovanom sistemu se odigrava uz porast entropije 2. sis = ok (sistem u termičkoj ravnoteži sa okolinom): ds uk 0 3. sis < ok ds uk dq rev sis sis ok ok 0 ukupna promena entropije za proces koji se ne odigrava spontano

9 Zašto toplota prelazi sa toplijeg na hladnije telo? elo se nalazi na temperaturi 400 K a temperatura okoline je 300 K. Pod pretpostavkom da je telo toliko veliko da se njegova temperatura neće promeniti ako 400 J pređe u okolinu: S sis Q sis 400 J 1JK 400K 1 S ok Q ΔS uk = ΔS sis + ΔS ok = ,33 = 0,33 JK -1 ok 400 J 1,33JK 300K ΔS > 0, pa je proces prelaska toplote sa toplijeg na hladnije telo spontan Zašto voda mrzne? Mržnjenjem jednog mola vode dolazi do oslobođanja toplote od 600 J koja povećava temperaturu okoline. 1 S sis JK 273 mol 1.Ako je okolina na temperaturi od 250 K promena entropije biće: S ok Q ok Jmol K 24JK mol ΔS uk = ΔS sis + ΔS ok = = 2 JK -1 mol -1 ΔS uk > 0 pa je ovaj proces spontan

10 2.Kada bi se mržnjenje obavljalo na 300K promena entropije okoline bi iznosila: S ok Q ok Jmol K 20JK mol ΔS uk = ΔS sis + ΔS ok = = - 2 JK -1 mol -1 ΔS uk < 0 pa sledi zaključak da voda ne može da mrzne na 300K 3.Neka je okolina na temperaturi od 273K, onda je promena entropije okoline: S ok Q ok Jmol K 22JK mol ΔS uk = ΔS sis + ΔS ok = = 0 led i voda mogu da budu u ravnoteži neograničeno dugo

11 ENROPIJA I RAVNOEŽA du du dq PdV ds PdV I zakon termodinamike primenjen na reversibilan proces u zatvorenom sistemu u kombinaciji sa II zakonom du ds PdV 0 ds ds du dq PdV dq 0 ds 0 termodinamički izolovan sistem d( S) d( U ) U, V S, V 0 0

12 S I ds=0 II III Deo krive (I) karakteriše spontan proces, kada je ds>0. U tački II entropija dostiže maksimum a njena promena ds=0 što odgovara ravnotežnom stanju. Deo krive III odgovara nespontanom procesu ds<0. reakciona koordinata U Promena entropije I III Deo krive (I) karakteriše spontan proces du<0. U tački II energija dostiže minimum a njena promena du=0. Deo krive (III) odgovara nespontanom procesu du>0. II du=0 reakciona koordinata Promena unutrašnje energije Očigledna je težnja sistema ka maksimalnoj entropiji, odnosno ka minimumu energije.

13 ežnja ka povećanju entropije može se izraziti i kao princip degradacije energije, po kome energija postaje sve manje dostupna za rad jer entropija stalno raste. Spontane promene, imaju zajedničko to da su praćene prelaskom energije u niži kvalitet (degradacija energije) koji se u manjoj meri može koristiti za vršenje rada. Vruć blok od metala u kontaktu je sa hladnijom okolinom. Energija u zagrejanom telu je koncentrisana unutar njega a sadržana je u vibracijama jona u kristalnoj rešetki. Ova energija se naziva nedispergovana energija, to je energija koja je koncentrisana na malom i dobro definisanom prostoru. Joni na ivicama tela prenose atomima okoline svoju energiju. Primljenu energiju čestice dalje predaju svojim susedima. Energija se gubi u okolinu, odnosno disperguje u okolni prostor. Prirodni smer promene je u smeru rasipanja energije. U ovom slučaju to odgovara hlađenju bloka do temperature njegove okoline. Obrnut proces u kome bi se dispergovana energija ponovo skupila kroz sudare okoline prema česticama bloka je krajnje neverovatna. Početno lokalizovana energija (a) teži raspršivanju (disperziji)(b)

14 ENROPIJA I VEROVANOĆA Spontani procesi su praćeni porastom neuređenosti odnosno neuređenom, haotičnijom raspodelom energija. Energija pri spontanom procesu prelazi iz višeg u niži oblik u kome je manje upotrebljiva za rad. Prema klasičnoj termodinamici sistem u ravnoteži ima maksimalnu vrednost entropije. Prema statističkoj termodinamici entropiju sistema treba shvatiti kao funkciju verovatnoće termodinamičkog stanja sistema, pri čemu je stanje ravnoteže najverovatnije. ežnja izolovanog sistema da poveća svoju entropiju odgovara težnji sistema da spontano pređe u stanje maksimalne verovatnoće, a to je stanje ravnoteže. Ako su molekuli u sistemu u početku raspodeljeni tako da to ne odgovara njihovom najverovatnijem rasporedu odigraće se spontan proces kojim će molekuli doći u stanje najverovatnije raspodele.

15 -idealni monoatomski gas koji se nalazi u sudu sa pregradom -sistem je izolovan od okoline to jest ne razmenjuje sa njom energiju -početno stanje gasa je stanje gasa u kome zauzima zapreminu V 1, a krajnje stanje sistema odgovara gasu koji zauzima pri istoj temperaturi zapreminu V 2 -kada se pregrada ukloni molekuli gasa mogu da se slobodno kreću u svim pravcima (nema privilegovanih pravaca) pa će najmanje verovatno biti da svi molekuli ostanu u početnoj zapremini V 1. -molekuli gasa težiće da ispune svu raspoloživu zapreminu pa je verovatnoća za uspostavljanje krajnjeg stanja najveća a svih ostalih manja -stanje pri zapremini V 2 stanje najveće entropije odnosno novo ravnotežno stanje sistem pri spontanoj promeni prelazi u stanje najveće verovatnoće

16 entropija je u funkcionalnoj vezi sa verovatnoćom Npr. neka se sistem sastoji od samo jednog molekula koji se nalazi u nekoj zapremini V pa molekul može da se nađe samo u toj zapremini odnosno verovatnoća tog događaja je 1. Ako se ta zapremina podeli na dva jednaka dela međusobno povezana da gas može slobodno da zauzima oba dela, tada je verovatnoća da se molekul nađe u jednoj polovini zapremine 1/2. Ako se posmatraju dva molekula između tih zapremina, verovatnoća da se oba molekula nađu u određenoj zapremini je još manja (1/2) 2 =1/4. Ako se poveća broj molekula verovatnoća da se svi molekuli nađu u jednoj zapremini od dve na raspolaganju je sve manja i za 1 mol gasa pri N standardnim uslovima je 1 / 2 A je zanemarljivo mala. Najverovatnije stanje je stanje kada će se molekuli 1 mola gasa uniformno rasporediti unutar čitave raspoložive zapremine (dve jednake povezane zapremine). Sledi da su spontani procesi procesi prelaza iz manje verovatnog u više verovatno stanje odnosno entropija je u funkcionalnoj vezi sa termodinamičkom verovatnoćom tog stanja w: S f (w)

17 Funkcionalnu vezu je dao Bolcman. Posmatraju se dva sistema sa S 1 i w 1 odnosno S 2 i w 2. Kombinacijom nastaje novi sistem S 12 sa w 12. Entropija je aditivna veličina pa je: S S S Verovatnoća je multiplikativna veličina pa je: w w w ) ( ) ( w w f w f w f w w f S S w f S w k S ln Bolcmanova konstanta (k=1, JK -1 ) ln w w k S S S Svojstvo da je zbir jednak proizvodu ima logaritamska funkcija

18 PROMENA ENROPIJE HEMIJSKE REAKCIJE ν 1 A 1 + ν 2 A ν i A i = ν 3 A 3 + ν 4 A ν j A j promena entropije na konstantnoj temperaturi : r S o = ν 3 S 3 o + ν 4 S 4 o + + ν j S j o ν 1 S 1 o + ν 2 S 2 o + + ν j S j o r S o = j ν j S j o i ν i S i o proizvodi reaktanti

19 Molarne entropije gasova su približno jednake i uglavnom veće od molarnih entropija tečnosti i čvrstih supstanci iz razloga što su čestice sa svojim energijama u velikoj zapremini (dispergovana energija) za razliku od čvrstih supstanci gde je energija u malom prostoru. Molarne entropije čvrstih supstanci koje su izgrađene od složenijih molekula (npr. CuSO 4 x5h 2 O, saharoza itd.) mogu biti mnogo velike jer se energija raspoređuje na veći broj atoma. Molarna entropija vode je niža od entropije drugih tečnosti zbog vodoničnih veza koje uređuju sistem. Supstance slične kristalne strukture (izomorfne) i sastava imaju bliske vrednosti entropije (CaO, SrO, CuO, ZnO itd.) Entropije alkalnih halogenida rastu duž grupe (LiCl, NaCl, KCl, RbCl, CsCl). Izotopski sastav utiče na vrednosti entropije: H 2 O 69,9 JK -1 mol -1 a D 2 O 75,02 JK -1 mol -1. Proces rastvaranja čvrstih jedinjenja u vodi praćen je povećanjem entropije: + NaCl s + aq = Na aq + Cl aq Rastvaranje tečnosti i gasova praćeno je smanjenjem entropije: HCl g + aq = H + aq +Cl aq H 2 O 2 l + aq = H 2 O 2 aq

20 . ENROPIJA JONA Entropija jona se izračunava u odnosu na entropiju H + koja je uslovno uzeta da je nula: o S 298K H + =0 Entropija anjona se izračunava iz disocijacije kiseline: HA = H + + A o dis S HA o = S H + + S o A o S HA o S H + = 0, S o o HA iz tablica a dis S HA preko drugih termodinamičkih podataka ( H, G, K) S o A o = S HA o + dis S HA Entropije katjona se mogu izračunati iz promene entropije disocijacije baze znajući o S 298K OH o može da se odredi iz promene entropije procesa disocijacije vode dis S H 2 O

21 . Ova entropija se određuje iz temperaturne zavisnosti K dis ili ΔG kao nagib te zavisnosti što uslovljava i izvesne greške pri tom određivanju. + H 2 O l = H aq + OH aq o dis S H 2 O o = S H + o + S OH o S H 2 O l tablični podatak o Vrednost S OH se kreće od -8,24 do -12,13 JK 1 mol 1 u zavisnosti od tačnosti određivanja o dis S H 2 O pa se uzima srednja vrednosti od -10,18 JK 1 mol 1. Obzirom da iz jednog molekula vode nastaju dva jona za očekivati je da je Objašnjenje je u sledećem: H + i OH - joni koji nastaju disocijacijom vode jako deluju na molekule vode (jon-dipol interakcija), orijentišu ih tako da disocijacija ima za posledicu uređivanje sistema odnosno smanjenje neuređenosti. Povećanjem temperature, disocijacija raste, ali raste i tendencija narušavanja pomenute uređenosti pa pri višim temperaturama dolazi do porasta entropije.

22 ENROPIJA VEZE Suma entropija slobodnih atoma je veća od entropije istog broja atoma vezanih u molekul. Za molekul HCl: S o H = 114,60 JK 1 mol 1 ; S o Cl = 165,09JK 1 mol 1 o ; S HCl = 186,80JK 1 mol 1 S o H + S o Cl o > S HCl 0 S H Cl = S o o o H + S Cl S HCl = 92,89 JK 1 mol 1 o o o S veze = S atoma S molekula Prethodna jednačina važi za dvoatomne molekule. Kod složenih molekula entropija neke veze zavisi od prisustva drugih atoma u molekulu (veličine i broja atoma ili atomskih grupa i njihovog oblika i orijentacije). Pri izračunavanjima entropije veze kod složenih molekula uzima se u obzir simetrija molekula. S C C > S C=C > S C C veća uređenost odnosno manji broj mogućih rasporeda u molekulu Entropije veze se mogu koristiti i za izračunavanje promene entropije hemijske reakcije s tim što se entropije produkata i reaktanata računaju preko: o o o S molekula = S atoma S veze r S o o o = S prod. S reak.

23 PROMENA ENROPIJE FAZNE RANSFORMACIJE Fazna transformacija predstavlja promenu stanja agregacije pri ravnotežnoj temperature faznog prelaza: topljenje, isparavanje, sublimacija, prelazak iz jednog kristalnog oblika u drugi. Npr. 1 mol neke tečnosti je u ravnoteži sa svojom parom na pritisku od 1 bar. emperatura kada su u ravnoteži je tačka ključanja k. Isparavanje je praćeno apsorbovanjem određene količine toplote a što je razlika standardne molarne entalpije pare i tečnosti. Entropije topljenja su manje od entropija isparavanja. Entropija topljenja npr. je veća što je duži lanac ugljovodonika. Molarna entropija očvršćavanja je >O iako nastaje uređenija struktura. Razlog tome je činjenica da je process egzoterman pa je porast S okoline veći od smanjenja S sistema i ukupna promena entropije izolovanog sistema je >O.

24 PROMENA ENROPIJE IDEALNOG GASA Prati se reverzibilna promena 1 mola idealnog gasa. Prema I zakonu termodinamike: du = dq rev + dw dq rev = du dw dq rev = du + PdV du = C V d dq rev = C V d + PdV/: dq rev = C V d + P dv ds = C V d + P dv

25 P = R V d ds = C V + R dv V ds = C V d + R dv V Opštom integracijom (neodređene granice) uz uslov da C V ne zavisi od dobija se zavisnost entropije 1 mola idealnog gasa od i V: i V S = C V ln + RlnV + const. C P C V = R V = R P S = C P R ln + Rln R P + const. S = C P ln Rln + RlnR RlnP + const. S = C P ln Rln + RlnR + Rln RlnP + const.

26 Zavisnost entropije 1 mola idealnog gasa od i P: S = C P ln RlnP + const. i P Promena stanja 1 mola idealnog gasa pri promeni od 1 do 2 i V od V 1 do V 2 (integraljenje u određenim granicama): S = S 2 S 1 = C V ln Rln V 2 V 1 Promena stanja 1 mola idealnog gasa pri promeni od 1 do 2 i P od P 1 do P 2 : IZOHORSKI PROCES S = S 2 S 1 = C P ln 2 1 Rln P 2 P 1 V=const. (ΔV=0) S V = C V ln 2 1 IZOBARSKI PROCES P=const. (ΔP=0) S P = C P ln 2 1 s porastom entropija uvek raste pošto je C>0

27 IZOERMSKI PROCES =const. (Δ=0) S = Rln V 2 V 1 = Rln P 2 P 1 = Rln P 1 P 2 Pri izotermskom širenju V 2 >V 1 pa je ΔS>0. ADIJABASKI PROCES dq=0 du = dw C V d = PdV/: C V d = R dv V C V ln 2 1 = Rln V 2 V 1 C V ln Rln V 2 V 1 = 0 jednačina adijabate ΔS=0 izoentropijski proces

28 PROMENA ENROPIJE SA PROMENOM EMPERAURE 1. Uticaj pri V=const. ds = du + PdV ds V = du U V = C V veza I i II zakona S U V = S V U V S U V = 1 U V = C V pošto su i S i U funkcije temperature može se pisati: S = C S 1 V = C V U V V C V = S V toplotni kapacitet preko promene entropije

29 Integraljenjem u granicama 1-2 : ds V = C V d = C Vdln rečeno kod entropije idealnog gasa pri V=const. 2 S V = S 2 S 1 V = C V dln 1 2. Uticaj pri P=const. H = U + PV dh P = du + PdV + VdP dh P = du + PdV ds = du + PdV dh P = ds S H P = 1

30 S H P = S P H P H P = C P S = C S 1 P = C P H P P pošto su i S i H funkcije temperature može da se piše toplotni kapacitet preko promene entropije C P = S P C P i C V >0 sledi da S uvek raste sa porastom i pri P=const. i pri V=const. 2 d ds P = C P = C Pdln S P = S 2 S 1 P = C P dln ΔS se može odrediti grafički: 1 C P = f ln ili C P = f Površina ispod krive u granicama 1-2 je ΔS. ΔS se može odrediti analitički kada se C da kao polinom pa se rešava integral.

31 PROMENA ENROPIJE SA PROMENOM ZAPREMINE ds = du + PdV PdV = ds du P = S U V V P = 2 S V V + S 2 U V V S V = C V = 1 P V = 1 2 S V = 1 2 U V U V 2 U V + S 2 U V V diferencira se po V pri =const. diferencira se po pri V=const. ranije rečeno diferencira se po V pri =const. S = P V V Maksvelova relacija-promena S sa V pri =const. preko lako merljive promene P sa pri V=const.

32 Isto se dobija i iz jednačine : Kod idealnog gasa: S = P V V P = R V S = R V V V = R V = R V

33 PROMENA ENROPIJE SA PROMENOM PRIISKA H = U + PV dh = du + PdV + VdP dh = ds + VdP diferencira se po P pri =const. H = S + V P P P P V = S + H diferencira se po pri P=const. P P V = 2 S P P S + 2 H P P S = C P P = 1 2 S P = 1 2 H P H diferencira se po P: P ranije rečeno V = 1 2 H P P S + 2 H P P S = V P P Maksvelova relacija: promena S sa P na =const. preko lako merljive promene V sa pri P=const.

34 S = S 2 S 1 = P 1 P 2 V dp Sa grafika V=f() pri P=const. se za različite P nađu nagibi Onda se nagibi crtaju u f-ji od P pa se grafičkom integracijom-površina ispod krive u granicama P 1 -P 2 nađe ΔS.

35 ENROPIJA MEŠANJA S je ekstenzivna veličina. Pri mešanju supstanci dolazi do promene stanja sistema i do promene S. Npr. mešanje idealnih gasova: 1. Gasovi razdvojeni u sudu pregradama (ne reaguju) i pri istom P i imamo n 1, n 2, n 3, n n molova gasova koji zauzimaju zapremine V 1, V 2, V 3,, V n. o je stanje 1 sa ukupnom entropijom S 1 koja, pošto je aditivna veličina, je jednaka sumi svih entropija, odnosno entropija svakog pojedinačnog gasa: S 1 = n i=1 n i C V ln + RlnV i + const. entropija 1 mola idealnog gasa 2. Ukloni se pregrada, gasovi se mešaju, smeša je na istoj P i i ima ukupnu zapreminu V. o je stanje 2 sa ukupnom entropijom S 2 : S 2 = n i=1 n i C V ln + RlnV + const.

36 Entropija mešanja: entropija smeše me š S = S 2 S 1 V i = X i V suma entropija pojedinačnih gasova Amagatov zakon meš S = n i=1 n i RlnV RlnX i V n = n i RlnV RlnX i V RlnV i=1 meš S = n i=1 n i RlnX i V X i < 1 n = R n i lnx i i=1 meš S > 0 mešanje gasova je spontano. Jednačina važi i za idealne tečne smeše.

37 ERMODINAMIČKE JEDNAČINE SANJA 1. ds = du + PdV PdV = ds du P = S V U V diferenciramo po V uz =const. P = P V U V S = P V V Maksvelova relacija ermodinamička jednačina stanja (P, V, ) Ako se jednačina primeni na idealan gas: diferenciramo po : P V = R V P = R V U V PV = R U V = 0 iz Džulovog eksperimenta

38 2. H = U + PV dh = du + PdV + VdP dh = dq + VdP dh = ds + VdP diferenciramo po P uz =const. H = S + V dp P P dp V = S P + H P S = V P P Maksvelova relacija V = V P + H P ermodinamička jednačina stanja (P,V, )

39 Ako se jednačina primeni na idealan gas: PV = R V = R P diferenciramo po pri P=const. V = V P + H P V P = R P V = R P + H P PV = R H P = 0 iz Džul-omsonovog eksperimenta

Drugi zakon termodinamike

Drugi zakon termodinamike Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

entropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: S čvrsto < S tečno << S gas

entropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: S čvrsto < S tečno << S gas ,4,4, Odreñivanje promene entropije,4,4,, romena entropije pri promeni faza Molekular ularna interpretacija entropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: čvrsto

Διαβάστε περισσότερα

NULTI I PRVI ZAKON TERMODINAMIKE

NULTI I PRVI ZAKON TERMODINAMIKE NULTI I PRVI ZAKON TERMODINAMIKE NULTI ZAKON (princip)termodinamike ako su dva sistema A i B u međusobnom termičkom kontaktu, i u ravnoteži sa trećim sistemom C onda su u ravnoteži i jedan sa drugim Ako

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Idealno gasno stanje-čisti gasovi

Idealno gasno stanje-čisti gasovi Idealno gasno stanje-čisti gasovi Parametri P, V, T i n nisu nezavisni. Odnos između njih eksperimentalno je utvrđeni izražava se kroz gasne zakone. Gasni zakoni: 1. ojl-maritov: PVconst. pri konstantnim

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem.

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. 1.OSNOVNI POJMOVI TOPLOTA Primjeri * KALORIKA Nauka o toploti * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. * TD SISTEM To je bilo koje makroskopsko tijelo ili grupa tijela,

Διαβάστε περισσότερα

SPONTANI PROCESI II ZAKON TERMODINAMIKE

SPONTANI PROCESI II ZAKON TERMODINAMIKE SPONANI PROCESI II ZAKON ERMODINAMIKE I zakon termodinamike se bavi termodinamičkim procesom kao procesom koji je praćen ekvivalentnošću različitih oblika energije bez ikakvih ograničenja odnosno ne govori

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

GASNO STANJE.

GASNO STANJE. GASNO STANJE http://www.ffh.bg.ac.rs/geografi_fh_procesi.html AGREGATNA STANJA MATERIJE Četiri agregatna stanja materije na osnovu stepena uređenosti, tj. odnosa termalne energije čestica i energije međumolekulskih

Διαβάστε περισσότερα

Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika

Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika Molekularna fizika proučava strukturu i svojstva supstanci polazeći od molekularno -kinetičke teorije: supstance su sastavljene od vrlo malih čestica (molekula, atoma i jona) koji se nalaze u stalnom haotičnom

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota

TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota TERMODINAMIKA TERMO TOPLO nauka o kretanju toplote DINAMO SILA Termodinamika-nauka odnosno naučna disciplina koja ispituje odnose između promena u sistemima

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIČKI PARAMETRI su veličine kojima opisujemo stanje sistema.

TERMODINAMIČKI PARAMETRI su veličine kojima opisujemo stanje sistema. TERMODINAMIKA U svakodnevnom govoru, često dolazi greškom do koriščenja termina temperatura i toplota u istom značenju. U fizici, ova dva termina imaju potpuno različito značenje. Razmatračemo kako se

Διαβάστε περισσότερα

Promene termodinamičkih funkcija na putu do ravnoteže i u ravnoteži

Promene termodinamičkih funkcija na putu do ravnoteže i u ravnoteži romene termodinamičkih funkcija na putu do ravnoteže i u ravnoteži Helmholcova slobodna energija-2.5.1.,2.5.2. Gibsova slobodna energija-2.5.3. Gibs-Helmholcova jednačina-2.5.4. Reverzibilni i ireverzibilni

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

2. TERMODINAMIKA 2.1. Prvi zakon termodinamike

2. TERMODINAMIKA 2.1. Prvi zakon termodinamike . ERMODINAMIKA.. rvi zakon termodinamike ermodinamika je naučna disciplina koja proučava energetske promene koje prate univerzalne procese u prirodi kao i vezu tih promena sa osobinama materije koja učestvuje

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Gibbs-ova slobodna energija

Gibbs-ova slobodna energija ibbs-ova slobodna energija Reakcija će se odvijati spontano ili ne, zavisno od toga de li je praćena porastom entropije univerzuma ili ne: ri = const: S S S univerzuma sistema okruzenja S univerzuma H

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

MEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE

MEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE JN-DIPL VDNIČNE NE VEZE DIPL-DIPL JN-INDUKVANI DIPL DIPL-INDUKVANI INDUKVANI DIPL DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE jake JNSKA VEZA (metal-nemetal) KVALENTNA VEZA (nemetal-nemetal) METALNA

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

13.1. Termodinamički procesi O K O L I N A. - termodinamički sustav: količina tvari unutar nekog zatvorenog volumena

13.1. Termodinamički procesi O K O L I N A. - termodinamički sustav: količina tvari unutar nekog zatvorenog volumena 13. TERMODINAMIKA - dio fizike koji proučava vezu izmeñu topline i drugih oblika energije (mehanički rad) - toplinski strojevi: parni stroj, hladnjak, motori s unutrašnjim izgaranjem - makroskopske veličine:

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Rastvori i osobine rastvora

Rastvori i osobine rastvora Rastvori i osobine rastvora U srpskom jeziku reč rasvor predstavlja homogenu tečnu smešu. U engleskom reč solution predstavlja više od toga smešu dva gasa, legure (homogene smeše dva metala)... Na ovom

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Termofizika. Glava Temperatura

Termofizika. Glava Temperatura Glava 7 Termofizika Toplota je jedan od oblika energije sa čijim transferom sa tela na telo se svakodnevno srećemo. Tako nas na primer, leti Sunce zagreva tokom dana dok su vedre letnje noći često prilično

Διαβάστε περισσότερα

kvazistatičke (ravnotežne) promene stanja idealnih gasova

kvazistatičke (ravnotežne) promene stanja idealnih gasova zbirka zadataka iz termodinamike strana 1/71 kvazistatičke (ravnotežne) promene stanja idealnih gasova 1.1. Vazduh (idealan gas), (p 1 =2 bar, t 1 =27 o C) kvazistatički menja stanje pri stalnoj zapremini

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE

DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE DRUGI ZKON ERMODINMIKE Povratni i nepovratni procesi Ranije smo razmotrili više različitih procesa pomoću kojih se termodinamički sistem (u našem razmatranju, idealan gas) prevodi iz jednog stanja ravnoteže

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

RAVNOTEŽA TEČNO-PARA

RAVNOTEŽA TEČNO-PARA RAVNOTEŽA TEČNO-PARA Smeša dve isparljive komponente (dve tečnosti) koje se mešaju u svim odnosima: f = c p + 2 = 2 2 + 2 = 2 tečna homogena smeša+para iznad tečnosti Ako su te dve nezavisno promenjive

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u neparametarske testove

Uvod u neparametarske testove Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

RAVNOTEŽE U RASTVORIMA KISELINA I BAZA

RAVNOTEŽE U RASTVORIMA KISELINA I BAZA III RAČUNSE VEŽBE RAVNOTEŽE U RASTVORIMA ISELINA I BAZA U izračunavanju karakterističnih veličina u kiselinsko-baznim sistemima mogu se slediti Arenijusova (Arrhenius, 1888) teorija elektrolitičke disocijacije

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

0. OSNOVNE DEFINICIJE

0. OSNOVNE DEFINICIJE 0. OSNOVNE DEFINICIJE Termodinamicki sistem je deo opsteg prostora odvojen od okoline granicom sistema. Ako kroz granice sistema ne dolazi do toplotnih interakcija sistema i okoline takav sistem zave se

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Zadatci za vježbanje Termodinamika

Zadatci za vježbanje Termodinamika Zadatci za vježbanje Termodinamika 1. Električnim bojlerom treba zagrijati 22 litre vode 15 ⁰C do 93 ⁰C. Koliku snagu mora imati grijač da bi se to postiglo za 2 sata zagrijavanja? Specifični toplinski

Διαβάστε περισσότερα

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA / VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ SADRŽAJ. SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

Fizička mehanika i termofizika, junski rok

Fizička mehanika i termofizika, junski rok Fizička mehanika i termofizika, junski rok 5.7.2001. 1. Po strmoj ravni, nagibnog ugla α, kotrlja se bez klizanja masivni šuplji cilindar, mase M i poluprečnika R. Po unutrašnjosti cilindra se kreće pas.

Διαβάστε περισσότερα

y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0.

y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0. 73 7 Diferenciranje 7. Marginalna funkcija i izvod Ako su dve veličine, y i x, povezane linearnom funkcijom, y = f(x) = kx + n, onda se y menja ravnomerno u odnosu na x, tj. važi formula (43) y x = k =

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

Otvorene mreže. Zadatak 1

Otvorene mreže. Zadatak 1 Otvorene mreže Zadatak Na slici je data otvorena mreža u kojoj je rocesor centralni server. Prosečan intenzitet ulaznog toka rocesa u sistem iznosi X rocesa/sec. Posle rocesorske obrade, roces u % slučajeva

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

1 Osnovne postavke klasične nerelativističke mehanike

1 Osnovne postavke klasične nerelativističke mehanike 1 Osnovne postavke klasične nerelativističke mehanike Osnovni model koji koristimo u mehanici je materijalna tačka (ili čestica. Jednostavno rečeno, materijalna tačka je geometrijska tačka kojoj pridružujemo

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Pneumatski sistemi. Pneumatski sistem je tehnički sistem za pretvaranje i prenos energije, kao i za

Pneumatski sistemi. Pneumatski sistem je tehnički sistem za pretvaranje i prenos energije, kao i za 1 Pneumatsi sistemi Pneumatsi sistem je tehniči sistem za pretvaranje i prenos energije, ao i za upravljanje energijom. Ovo poglavlje obuhvata sledeće teme: osnovne funcije pneumatsog sistema osnovna svojstva

Διαβάστε περισσότερα