za reverzibilan kružni proces količina toplote koju je sistem na svojoj nižoj temperaturi T 1 predao okolini i ponovo prešao u početno stanje
|
|
- Θέτις Φιλιππίδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ENROPIJA
2 Spontani procesi u prirodi se uvek odvijaju u određenom smeru (npr. prelazak toplote sa toplijeg na hladnije telo) što nije moguće opisati termodinamičkim funkcijama do sad obrađenim. Nulti zakon termodinamike se izražava preko apsolutne temperature a I zakon termodinamike preko promene unutrašnje energije sistema odnosno entalpije. U cilju objašnjenja spontanosti nekog procesa II zakonom termodinamike a razmatranjem kružnog Karnoovog ciklusa, uvodi se nova funkcija stanja sistema koja izražava spontanost procesa-entropija. Obzirom da se toplota spontano odaje samo ako je temperatura okoline niža od temperature sistema sledi da entropija kao mera spontanosti treba da sadrži veličine kao što su toplota i temperatura. Q 2 Q Q količina toplote koju je sistem na svojoj temperaturi 2 primio od okoline i prešao iz početnog u krajnje stanje 2 1 za reverzibilan kružni proces količina toplote koju je sistem na svojoj nižoj temperaturi 1 predao okolini i ponovo prešao u početno stanje Q 2 / 2 >0 Q 1 / 1 <0 apsolutne vrednosti su im jednake
3 za bilo koji reversibilan kružni proces algebarski zbir količnika razmenjenih toplota i temperatura na kojima sistem razmenjuje toplotu sa okolinom biće jednak nuli: ciklus i Q i 0 Q/ funkcija stanja sistema jer ne zavisi od puta kojim je obavljen proces; ekstenzivna veličina Bilo koji kružni proces može se razložiti na veći broj Karnoovih ciklusa.
4 A Kružni proces B -jedan opšti ciklus- kriva linija ABA -površina koju obuhvata kružna linija ABA može se zameniti nizom izotermi i adijabata, odnosno podeliti na veći broj Karnoovih ciklusa (svaki sa dve izoterme i dve adijabate) -mali Karnoovi ciklusi u unutrašnjosti krive ABA će se poništavati zato što svaka izoterma ili adijabata koja za jedan ciklus predstavlja rad širenja, predstavljaće za susedni ciklus rad sabijanja, pa su zbog toga izotermski i adijabatski radovi u unutrašnjosti zatvorene krive ABA jednaki nuli -ostaju izoterme i adijabate perifernih ciklusa koje nisu kompenzovane susednim ciklusima. -spoljnja granica ovih malih procesa predstavlja izlomljenu krivu koja u najvećoj meri prati put koji prikazuje proces ABA
5 Sumirajući putem AB a zatim duž puta BA sve toplote podeljene odgovarajućim temperaturama dobija se: Ukoliko se ciklus razloži na beskonačno male Karnoove kružne procese, onda se izlomljena linija sve više približava krivoj opšteg kružnog procesa ABA. U graničnom slučaju kada se temperatura izotermi razlikuje za beskonačno malu vrednost d i kada se razmeni beskonačno mala količina toplote dq površina ograničena izlomljenom linijom izjednačava se sa površinom koju opisuje ABA. ada se može suma konačnih veličina ΣQ i / zameniti integralom po zatvorenoj putanji jer se radi o kružnom procesu: dq rev 0 totalni odnosno pravi diferencijal, odnosno funkcija stanja sistema. Po Klauzijusu podintegralna funkcija naziva se promena entropija i obeležava se sa ds: ds = S Q za konačnu promenu odnos između količine toplote koju sistem pri reversibilnom procesu razmeni sa okolinom i temperature sistema na kojoj se ta razmena izvršava
6 B ds ds S B S A S A S B A A ds 0 B funkcija stanja sistema -efikasnost toplotne mašine koja radi reverzibilno je maksimalna za date temperature - ako je neki stupanj Karnoovog ciklusa izveden na ireverzibilan način efikasnost će biti manja nego u slučaju reverzibilnog ciklusa: Q 2, irev Q Q 2, ir 1, rev Q 2, irev 2 Q 1, rev 1 0 ireverzibilno razmenjena toplota Q 0 za kružni ciklus koji se sastoji iz niza Karnoovih ciklusa čiji je makar i jedan stupanj ireverzibilan dq irev 0
7 procesi u prirodi su spontani odnosno ΔS 0 ireverzibilni pa su praćeni ukupnim porastom entropije sistema i njegove okoline znak > odnosi se na ireverzibilni, a znak = na reverzibilni proces Ukupna promena entropije jednog izolovanog sistema može da se izračuna ako se posmatraju male promenu u sistemu u užem smislu koji je u kontaktu sa toplotnim rezervoarom (njegova termodinamička okolina) pa se sistem i njegova bliža okolina posmatraju kao jedinstven izolovan sistem. uk S S sis S ok Neka je sistem telo na temperaturi sis i u termičkom kontaktu je sa okolinom koja je na temperaturi ok. Zamislimo da telo razmenjuje toplotu dq rev sa okolinom (predaje je okolini) beskonačno sporo (reverzibilno) pri čemu su mase i sistema i okoline tako velike da razmenjena količina toplote ne menja njihove temperature. U toku posmatranog reverzibilnog procesa toplota koju je sistem predao primila je okolina. ada će promena entropije reverzibilnog izotermskog procesa biti: ds uk ds sis ds ok dq rev sis dq ok rev dq rev sis sis ok ok
8 1. Ako je sis > ok onda je: ds uk dq rev sis sis ok ok 0 spontan proces u izolovanom sistemu se odigrava uz porast entropije 2. sis = ok (sistem u termičkoj ravnoteži sa okolinom): ds uk 0 3. sis < ok ds uk dq rev sis sis ok ok 0 ukupna promena entropije za proces koji se ne odigrava spontano
9 Zašto toplota prelazi sa toplijeg na hladnije telo? elo se nalazi na temperaturi 400 K a temperatura okoline je 300 K. Pod pretpostavkom da je telo toliko veliko da se njegova temperatura neće promeniti ako 400 J pređe u okolinu: S sis Q sis 400 J 1JK 400K 1 S ok Q ΔS uk = ΔS sis + ΔS ok = ,33 = 0,33 JK -1 ok 400 J 1,33JK 300K ΔS > 0, pa je proces prelaska toplote sa toplijeg na hladnije telo spontan Zašto voda mrzne? Mržnjenjem jednog mola vode dolazi do oslobođanja toplote od 600 J koja povećava temperaturu okoline. 1 S sis JK 273 mol 1.Ako je okolina na temperaturi od 250 K promena entropije biće: S ok Q ok Jmol K 24JK mol ΔS uk = ΔS sis + ΔS ok = = 2 JK -1 mol -1 ΔS uk > 0 pa je ovaj proces spontan
10 2.Kada bi se mržnjenje obavljalo na 300K promena entropije okoline bi iznosila: S ok Q ok Jmol K 20JK mol ΔS uk = ΔS sis + ΔS ok = = - 2 JK -1 mol -1 ΔS uk < 0 pa sledi zaključak da voda ne može da mrzne na 300K 3.Neka je okolina na temperaturi od 273K, onda je promena entropije okoline: S ok Q ok Jmol K 22JK mol ΔS uk = ΔS sis + ΔS ok = = 0 led i voda mogu da budu u ravnoteži neograničeno dugo
11 ENROPIJA I RAVNOEŽA du du dq PdV ds PdV I zakon termodinamike primenjen na reversibilan proces u zatvorenom sistemu u kombinaciji sa II zakonom du ds PdV 0 ds ds du dq PdV dq 0 ds 0 termodinamički izolovan sistem d( S) d( U ) U, V S, V 0 0
12 S I ds=0 II III Deo krive (I) karakteriše spontan proces, kada je ds>0. U tački II entropija dostiže maksimum a njena promena ds=0 što odgovara ravnotežnom stanju. Deo krive III odgovara nespontanom procesu ds<0. reakciona koordinata U Promena entropije I III Deo krive (I) karakteriše spontan proces du<0. U tački II energija dostiže minimum a njena promena du=0. Deo krive (III) odgovara nespontanom procesu du>0. II du=0 reakciona koordinata Promena unutrašnje energije Očigledna je težnja sistema ka maksimalnoj entropiji, odnosno ka minimumu energije.
13 ežnja ka povećanju entropije može se izraziti i kao princip degradacije energije, po kome energija postaje sve manje dostupna za rad jer entropija stalno raste. Spontane promene, imaju zajedničko to da su praćene prelaskom energije u niži kvalitet (degradacija energije) koji se u manjoj meri može koristiti za vršenje rada. Vruć blok od metala u kontaktu je sa hladnijom okolinom. Energija u zagrejanom telu je koncentrisana unutar njega a sadržana je u vibracijama jona u kristalnoj rešetki. Ova energija se naziva nedispergovana energija, to je energija koja je koncentrisana na malom i dobro definisanom prostoru. Joni na ivicama tela prenose atomima okoline svoju energiju. Primljenu energiju čestice dalje predaju svojim susedima. Energija se gubi u okolinu, odnosno disperguje u okolni prostor. Prirodni smer promene je u smeru rasipanja energije. U ovom slučaju to odgovara hlađenju bloka do temperature njegove okoline. Obrnut proces u kome bi se dispergovana energija ponovo skupila kroz sudare okoline prema česticama bloka je krajnje neverovatna. Početno lokalizovana energija (a) teži raspršivanju (disperziji)(b)
14 ENROPIJA I VEROVANOĆA Spontani procesi su praćeni porastom neuređenosti odnosno neuređenom, haotičnijom raspodelom energija. Energija pri spontanom procesu prelazi iz višeg u niži oblik u kome je manje upotrebljiva za rad. Prema klasičnoj termodinamici sistem u ravnoteži ima maksimalnu vrednost entropije. Prema statističkoj termodinamici entropiju sistema treba shvatiti kao funkciju verovatnoće termodinamičkog stanja sistema, pri čemu je stanje ravnoteže najverovatnije. ežnja izolovanog sistema da poveća svoju entropiju odgovara težnji sistema da spontano pređe u stanje maksimalne verovatnoće, a to je stanje ravnoteže. Ako su molekuli u sistemu u početku raspodeljeni tako da to ne odgovara njihovom najverovatnijem rasporedu odigraće se spontan proces kojim će molekuli doći u stanje najverovatnije raspodele.
15 -idealni monoatomski gas koji se nalazi u sudu sa pregradom -sistem je izolovan od okoline to jest ne razmenjuje sa njom energiju -početno stanje gasa je stanje gasa u kome zauzima zapreminu V 1, a krajnje stanje sistema odgovara gasu koji zauzima pri istoj temperaturi zapreminu V 2 -kada se pregrada ukloni molekuli gasa mogu da se slobodno kreću u svim pravcima (nema privilegovanih pravaca) pa će najmanje verovatno biti da svi molekuli ostanu u početnoj zapremini V 1. -molekuli gasa težiće da ispune svu raspoloživu zapreminu pa je verovatnoća za uspostavljanje krajnjeg stanja najveća a svih ostalih manja -stanje pri zapremini V 2 stanje najveće entropije odnosno novo ravnotežno stanje sistem pri spontanoj promeni prelazi u stanje najveće verovatnoće
16 entropija je u funkcionalnoj vezi sa verovatnoćom Npr. neka se sistem sastoji od samo jednog molekula koji se nalazi u nekoj zapremini V pa molekul može da se nađe samo u toj zapremini odnosno verovatnoća tog događaja je 1. Ako se ta zapremina podeli na dva jednaka dela međusobno povezana da gas može slobodno da zauzima oba dela, tada je verovatnoća da se molekul nađe u jednoj polovini zapremine 1/2. Ako se posmatraju dva molekula između tih zapremina, verovatnoća da se oba molekula nađu u određenoj zapremini je još manja (1/2) 2 =1/4. Ako se poveća broj molekula verovatnoća da se svi molekuli nađu u jednoj zapremini od dve na raspolaganju je sve manja i za 1 mol gasa pri N standardnim uslovima je 1 / 2 A je zanemarljivo mala. Najverovatnije stanje je stanje kada će se molekuli 1 mola gasa uniformno rasporediti unutar čitave raspoložive zapremine (dve jednake povezane zapremine). Sledi da su spontani procesi procesi prelaza iz manje verovatnog u više verovatno stanje odnosno entropija je u funkcionalnoj vezi sa termodinamičkom verovatnoćom tog stanja w: S f (w)
17 Funkcionalnu vezu je dao Bolcman. Posmatraju se dva sistema sa S 1 i w 1 odnosno S 2 i w 2. Kombinacijom nastaje novi sistem S 12 sa w 12. Entropija je aditivna veličina pa je: S S S Verovatnoća je multiplikativna veličina pa je: w w w ) ( ) ( w w f w f w f w w f S S w f S w k S ln Bolcmanova konstanta (k=1, JK -1 ) ln w w k S S S Svojstvo da je zbir jednak proizvodu ima logaritamska funkcija
18 PROMENA ENROPIJE HEMIJSKE REAKCIJE ν 1 A 1 + ν 2 A ν i A i = ν 3 A 3 + ν 4 A ν j A j promena entropije na konstantnoj temperaturi : r S o = ν 3 S 3 o + ν 4 S 4 o + + ν j S j o ν 1 S 1 o + ν 2 S 2 o + + ν j S j o r S o = j ν j S j o i ν i S i o proizvodi reaktanti
19 Molarne entropije gasova su približno jednake i uglavnom veće od molarnih entropija tečnosti i čvrstih supstanci iz razloga što su čestice sa svojim energijama u velikoj zapremini (dispergovana energija) za razliku od čvrstih supstanci gde je energija u malom prostoru. Molarne entropije čvrstih supstanci koje su izgrađene od složenijih molekula (npr. CuSO 4 x5h 2 O, saharoza itd.) mogu biti mnogo velike jer se energija raspoređuje na veći broj atoma. Molarna entropija vode je niža od entropije drugih tečnosti zbog vodoničnih veza koje uređuju sistem. Supstance slične kristalne strukture (izomorfne) i sastava imaju bliske vrednosti entropije (CaO, SrO, CuO, ZnO itd.) Entropije alkalnih halogenida rastu duž grupe (LiCl, NaCl, KCl, RbCl, CsCl). Izotopski sastav utiče na vrednosti entropije: H 2 O 69,9 JK -1 mol -1 a D 2 O 75,02 JK -1 mol -1. Proces rastvaranja čvrstih jedinjenja u vodi praćen je povećanjem entropije: + NaCl s + aq = Na aq + Cl aq Rastvaranje tečnosti i gasova praćeno je smanjenjem entropije: HCl g + aq = H + aq +Cl aq H 2 O 2 l + aq = H 2 O 2 aq
20 . ENROPIJA JONA Entropija jona se izračunava u odnosu na entropiju H + koja je uslovno uzeta da je nula: o S 298K H + =0 Entropija anjona se izračunava iz disocijacije kiseline: HA = H + + A o dis S HA o = S H + + S o A o S HA o S H + = 0, S o o HA iz tablica a dis S HA preko drugih termodinamičkih podataka ( H, G, K) S o A o = S HA o + dis S HA Entropije katjona se mogu izračunati iz promene entropije disocijacije baze znajući o S 298K OH o može da se odredi iz promene entropije procesa disocijacije vode dis S H 2 O
21 . Ova entropija se određuje iz temperaturne zavisnosti K dis ili ΔG kao nagib te zavisnosti što uslovljava i izvesne greške pri tom određivanju. + H 2 O l = H aq + OH aq o dis S H 2 O o = S H + o + S OH o S H 2 O l tablični podatak o Vrednost S OH se kreće od -8,24 do -12,13 JK 1 mol 1 u zavisnosti od tačnosti određivanja o dis S H 2 O pa se uzima srednja vrednosti od -10,18 JK 1 mol 1. Obzirom da iz jednog molekula vode nastaju dva jona za očekivati je da je Objašnjenje je u sledećem: H + i OH - joni koji nastaju disocijacijom vode jako deluju na molekule vode (jon-dipol interakcija), orijentišu ih tako da disocijacija ima za posledicu uređivanje sistema odnosno smanjenje neuređenosti. Povećanjem temperature, disocijacija raste, ali raste i tendencija narušavanja pomenute uređenosti pa pri višim temperaturama dolazi do porasta entropije.
22 ENROPIJA VEZE Suma entropija slobodnih atoma je veća od entropije istog broja atoma vezanih u molekul. Za molekul HCl: S o H = 114,60 JK 1 mol 1 ; S o Cl = 165,09JK 1 mol 1 o ; S HCl = 186,80JK 1 mol 1 S o H + S o Cl o > S HCl 0 S H Cl = S o o o H + S Cl S HCl = 92,89 JK 1 mol 1 o o o S veze = S atoma S molekula Prethodna jednačina važi za dvoatomne molekule. Kod složenih molekula entropija neke veze zavisi od prisustva drugih atoma u molekulu (veličine i broja atoma ili atomskih grupa i njihovog oblika i orijentacije). Pri izračunavanjima entropije veze kod složenih molekula uzima se u obzir simetrija molekula. S C C > S C=C > S C C veća uređenost odnosno manji broj mogućih rasporeda u molekulu Entropije veze se mogu koristiti i za izračunavanje promene entropije hemijske reakcije s tim što se entropije produkata i reaktanata računaju preko: o o o S molekula = S atoma S veze r S o o o = S prod. S reak.
23 PROMENA ENROPIJE FAZNE RANSFORMACIJE Fazna transformacija predstavlja promenu stanja agregacije pri ravnotežnoj temperature faznog prelaza: topljenje, isparavanje, sublimacija, prelazak iz jednog kristalnog oblika u drugi. Npr. 1 mol neke tečnosti je u ravnoteži sa svojom parom na pritisku od 1 bar. emperatura kada su u ravnoteži je tačka ključanja k. Isparavanje je praćeno apsorbovanjem određene količine toplote a što je razlika standardne molarne entalpije pare i tečnosti. Entropije topljenja su manje od entropija isparavanja. Entropija topljenja npr. je veća što je duži lanac ugljovodonika. Molarna entropija očvršćavanja je >O iako nastaje uređenija struktura. Razlog tome je činjenica da je process egzoterman pa je porast S okoline veći od smanjenja S sistema i ukupna promena entropije izolovanog sistema je >O.
24 PROMENA ENROPIJE IDEALNOG GASA Prati se reverzibilna promena 1 mola idealnog gasa. Prema I zakonu termodinamike: du = dq rev + dw dq rev = du dw dq rev = du + PdV du = C V d dq rev = C V d + PdV/: dq rev = C V d + P dv ds = C V d + P dv
25 P = R V d ds = C V + R dv V ds = C V d + R dv V Opštom integracijom (neodređene granice) uz uslov da C V ne zavisi od dobija se zavisnost entropije 1 mola idealnog gasa od i V: i V S = C V ln + RlnV + const. C P C V = R V = R P S = C P R ln + Rln R P + const. S = C P ln Rln + RlnR RlnP + const. S = C P ln Rln + RlnR + Rln RlnP + const.
26 Zavisnost entropije 1 mola idealnog gasa od i P: S = C P ln RlnP + const. i P Promena stanja 1 mola idealnog gasa pri promeni od 1 do 2 i V od V 1 do V 2 (integraljenje u određenim granicama): S = S 2 S 1 = C V ln Rln V 2 V 1 Promena stanja 1 mola idealnog gasa pri promeni od 1 do 2 i P od P 1 do P 2 : IZOHORSKI PROCES S = S 2 S 1 = C P ln 2 1 Rln P 2 P 1 V=const. (ΔV=0) S V = C V ln 2 1 IZOBARSKI PROCES P=const. (ΔP=0) S P = C P ln 2 1 s porastom entropija uvek raste pošto je C>0
27 IZOERMSKI PROCES =const. (Δ=0) S = Rln V 2 V 1 = Rln P 2 P 1 = Rln P 1 P 2 Pri izotermskom širenju V 2 >V 1 pa je ΔS>0. ADIJABASKI PROCES dq=0 du = dw C V d = PdV/: C V d = R dv V C V ln 2 1 = Rln V 2 V 1 C V ln Rln V 2 V 1 = 0 jednačina adijabate ΔS=0 izoentropijski proces
28 PROMENA ENROPIJE SA PROMENOM EMPERAURE 1. Uticaj pri V=const. ds = du + PdV ds V = du U V = C V veza I i II zakona S U V = S V U V S U V = 1 U V = C V pošto su i S i U funkcije temperature može se pisati: S = C S 1 V = C V U V V C V = S V toplotni kapacitet preko promene entropije
29 Integraljenjem u granicama 1-2 : ds V = C V d = C Vdln rečeno kod entropije idealnog gasa pri V=const. 2 S V = S 2 S 1 V = C V dln 1 2. Uticaj pri P=const. H = U + PV dh P = du + PdV + VdP dh P = du + PdV ds = du + PdV dh P = ds S H P = 1
30 S H P = S P H P H P = C P S = C S 1 P = C P H P P pošto su i S i H funkcije temperature može da se piše toplotni kapacitet preko promene entropije C P = S P C P i C V >0 sledi da S uvek raste sa porastom i pri P=const. i pri V=const. 2 d ds P = C P = C Pdln S P = S 2 S 1 P = C P dln ΔS se može odrediti grafički: 1 C P = f ln ili C P = f Površina ispod krive u granicama 1-2 je ΔS. ΔS se može odrediti analitički kada se C da kao polinom pa se rešava integral.
31 PROMENA ENROPIJE SA PROMENOM ZAPREMINE ds = du + PdV PdV = ds du P = S U V V P = 2 S V V + S 2 U V V S V = C V = 1 P V = 1 2 S V = 1 2 U V U V 2 U V + S 2 U V V diferencira se po V pri =const. diferencira se po pri V=const. ranije rečeno diferencira se po V pri =const. S = P V V Maksvelova relacija-promena S sa V pri =const. preko lako merljive promene P sa pri V=const.
32 Isto se dobija i iz jednačine : Kod idealnog gasa: S = P V V P = R V S = R V V V = R V = R V
33 PROMENA ENROPIJE SA PROMENOM PRIISKA H = U + PV dh = du + PdV + VdP dh = ds + VdP diferencira se po P pri =const. H = S + V P P P P V = S + H diferencira se po pri P=const. P P V = 2 S P P S + 2 H P P S = C P P = 1 2 S P = 1 2 H P H diferencira se po P: P ranije rečeno V = 1 2 H P P S + 2 H P P S = V P P Maksvelova relacija: promena S sa P na =const. preko lako merljive promene V sa pri P=const.
34 S = S 2 S 1 = P 1 P 2 V dp Sa grafika V=f() pri P=const. se za različite P nađu nagibi Onda se nagibi crtaju u f-ji od P pa se grafičkom integracijom-površina ispod krive u granicama P 1 -P 2 nađe ΔS.
35 ENROPIJA MEŠANJA S je ekstenzivna veličina. Pri mešanju supstanci dolazi do promene stanja sistema i do promene S. Npr. mešanje idealnih gasova: 1. Gasovi razdvojeni u sudu pregradama (ne reaguju) i pri istom P i imamo n 1, n 2, n 3, n n molova gasova koji zauzimaju zapremine V 1, V 2, V 3,, V n. o je stanje 1 sa ukupnom entropijom S 1 koja, pošto je aditivna veličina, je jednaka sumi svih entropija, odnosno entropija svakog pojedinačnog gasa: S 1 = n i=1 n i C V ln + RlnV i + const. entropija 1 mola idealnog gasa 2. Ukloni se pregrada, gasovi se mešaju, smeša je na istoj P i i ima ukupnu zapreminu V. o je stanje 2 sa ukupnom entropijom S 2 : S 2 = n i=1 n i C V ln + RlnV + const.
36 Entropija mešanja: entropija smeše me š S = S 2 S 1 V i = X i V suma entropija pojedinačnih gasova Amagatov zakon meš S = n i=1 n i RlnV RlnX i V n = n i RlnV RlnX i V RlnV i=1 meš S = n i=1 n i RlnX i V X i < 1 n = R n i lnx i i=1 meš S > 0 mešanje gasova je spontano. Jednačina važi i za idealne tečne smeše.
37 ERMODINAMIČKE JEDNAČINE SANJA 1. ds = du + PdV PdV = ds du P = S V U V diferenciramo po V uz =const. P = P V U V S = P V V Maksvelova relacija ermodinamička jednačina stanja (P, V, ) Ako se jednačina primeni na idealan gas: diferenciramo po : P V = R V P = R V U V PV = R U V = 0 iz Džulovog eksperimenta
38 2. H = U + PV dh = du + PdV + VdP dh = dq + VdP dh = ds + VdP diferenciramo po P uz =const. H = S + V dp P P dp V = S P + H P S = V P P Maksvelova relacija V = V P + H P ermodinamička jednačina stanja (P,V, )
39 Ako se jednačina primeni na idealan gas: PV = R V = R P diferenciramo po pri P=const. V = V P + H P V P = R P V = R P + H P PV = R H P = 0 iz Džul-omsonovog eksperimenta
U unutrašnja energija H entalpija S entropija G 298. G Gibsova energija TERMOHEMIJA I TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA
HEMIJSKA TERMODINAMIKA Bavi se energetskim promenama pri odigravanju hemijskih reakcija. TERMODINAMIČKE FUNKCIJE STANJA U unutrašnja energija H entalpija S entropija Ako su određene na standardnom pritisku
Διαβάστε περισσότεραDrugi zakon termodinamike
Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραBIOFIZIKA TERMO-FIZIKA
BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA Akademik, prof. dr Jovan P. Šetrajčić jovan.setrajcic@df.uns.ac.rs Univerzitet u Novom Sadu Departman za fiziku PMF Powered byl A T E X 2ε! p. / p. 2/ Termika FENOMENOLOŠKA TEORIJA
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραTermohemija. C(s) + O 2 (g) CO 2 (g) H= -393,5 kj
Termohemija Termodinamika proučava energiju i njene promene Termohemija grana termodinamike odnosi izmeñu hemijske reakcije i energetskih promena koje se pri tom dešavaju C(s) + O 2 (g) CO 2 (g) H= -393,5
Διαβάστε περισσότεραentropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: S čvrsto < S tečno << S gas
,4,4, Odreñivanje promene entropije,4,4,, romena entropije pri promeni faza Molekular ularna interpretacija entropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: čvrsto
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραNULTI I PRVI ZAKON TERMODINAMIKE
NULTI I PRVI ZAKON TERMODINAMIKE NULTI ZAKON (princip)termodinamike ako su dva sistema A i B u međusobnom termičkom kontaktu, i u ravnoteži sa trećim sistemom C onda su u ravnoteži i jedan sa drugim Ako
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραC P,m C V,m = R C P C V = nr
I zakon termodinamike du dq + dw + dw e dh du + pd du U U d + d d + u d,m,m R nr dh Izotermski procesi: p d + H H d w nr ln R ln Izotermski reverzibilni zapreminski rad gasa u I.G.S. w pδ Izotermski revetzibilni
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραEnergetska priroda toplote Mejer i Džul (R. Mayer, , i J. Joul, ) W. Thomson S. Carnot J. W. Gibbs
ERMODINAMIKA ermodinamika naučna disciplina koja proučava energetske promene koje prate univerzalne procese u prirodi kao i vezu tih promena sa osobinama materije koja učestvuje u njima. ermodinamika je
Διαβάστε περισσότεραC P,m C V,m = R C P C V = nr
I zakon termodinamike du dq+ dw+ dw e dh du+ pd du U U d+ d d+ u d,m,m R nr dh Izotermski procesi: p d + H H d wnr ln R ln Izotermski reverzibilni zapreminski rad gasa u I.G.. w p Izotermski revetzibilni
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραOsnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji
Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραH T. C P,m C V,m = R C P C V = nr U T U V T H P. Izotermski procesi: I zakon termodinamike. Izotermski reverzibilni zapreminski rad gasa u I.G.S.
I zakon termodinamike du dq dw dh du pd C U dw e C,m C,m = R C C = nr C H du C d U d C d d u dh C p d H d Izotermski procesi: w nr ln R ln w p Izotermski reverzibilni zapreminski rad gasa u I.G.S. Izotermski
Διαβάστε περισσότεραTOPLOTA I RAD, PRVI ZAKON TERMODINAMIKE
TOPLOTA I RAD, PRI ZAKON TERMODINAMIKE Mehanički rad u termodinamici uvek predstavlja razmenu energije izmedju sistema i okoline. Mehanički rad se javlja kao rezultat delovanja sile duž puta: W Fdl W Fdl
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραIdealno gasno stanje-čisti gasovi
Idealno gasno stanje-čisti gasovi Parametri P, V, T i n nisu nezavisni. Odnos između njih eksperimentalno je utvrđeni izražava se kroz gasne zakone. Gasni zakoni: 1. ojl-maritov: PVconst. pri konstantnim
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA
OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE Hemjska termodnamka proučava promene energje (toplotn efekat) pr odgravanju hemjskh reakcja. MATERIJA ENERGIJA? Energja je dskontnualna
Διαβάστε περισσότεραGASNO STANJE.
GASNO STANJE http://www.ffh.bg.ac.rs/geografi_fh_procesi.html AGREGATNA STANJA MATERIJE Četiri agregatna stanja materije na osnovu stepena uređenosti, tj. odnosa termalne energije čestica i energije međumolekulskih
Διαβάστε περισσότεραTERMODINAMIKA. Sistem i okruženje
TERMODINAMIKA Sistem i okruženje SISTEM je deo sveta koji nas zanima; to je bilo koji objekat, bilo koja količina materije, bilo koji deo prostora, izabran za ispitivanje i izdvojen (misaono) od svega
Διαβάστε περισσότεραI zakon termodinamike unutrašnje energije, U I zakon termodinamike II zakon termodinamike
I zakon termodinamike je doveo do uvoñenja unutrašnje nje energije, U koja nam omogućava da odredimo koje termodinamičke promene su moguće: samo one u kojima unutrašnja energija izolovanog sistema ostaje
Διαβάστε περισσότεραC P,m C V,m = R C P C V = nr
I zakon termodinamike du dq + dw + dw e dh du + pd du C U U C d + d C d + u d C,m C,m R C C nr dh Izotermski procesi: C p C d + H H d w nr ln R ln Izotermski reverzibilni zapreminski rad gasa u I.G.S.
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραTOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem.
1.OSNOVNI POJMOVI TOPLOTA Primjeri * KALORIKA Nauka o toploti * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. * TD SISTEM To je bilo koje makroskopsko tijelo ili grupa tijela,
Διαβάστε περισσότεραReverzibilni procesi
Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραTERMODINAMIKA.
TERMODINAMIKA http://www.ffh.bg.ac.rs/geografi_fh_procesi.html 1 Termodinamika naučna disciplina koja proučava energetske promene koje prate univerzalne procese u prirodi kao i vezu tih promena sa osobinama
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραMolekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika
Molekularna fizika proučava strukturu i svojstva supstanci polazeći od molekularno -kinetičke teorije: supstance su sastavljene od vrlo malih čestica (molekula, atoma i jona) koji se nalaze u stalnom haotičnom
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραSPONTANI PROCESI II ZAKON TERMODINAMIKE
SPONANI PROCESI II ZAKON ERMODINAMIKE I zakon termodinamike se bavi termodinamičkim procesom kao procesom koji je praćen ekvivalentnošću različitih oblika energije bez ikakvih ograničenja odnosno ne govori
Διαβάστε περισσότεραTermodinamika se bavi materijom u svim agregatnim stanjima.
Termodinamika - Termo toplota - Dinamika promena, snaga Termodinamika je oblast fizike koja se bavi odnosima između toplote i drugih oblika energije. Konkretno objašnjava kako se toplotna energija pretvara
Διαβάστε περισσότερα= T 2. AgBr (s) + ½ Cl 2(g) + ½ Br 2(g) = AgCl (s) O (l) O (g) +1/2O 2(g) H 2(g) =H 2. značaj navođenja agregatnog stanja
TERMOEMIJA Termohemija proučava toplotne promene koje prate hemijske reakcije, fazne prelaze (topljenje, isparavanje, sublimacija, polimorfne promene), rastvaranje supstance, razblaživanje rastvora itd.
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραI zakon termodinamike unutrašnje energije, U I zakon termodinamike II zakon termodinamike
I zakon termodinamike je doveo do uvođenja unutrašnje nje energije, U koja nam omogućava da odredimo koje termodinamičke promene su moguće: samo one u kojima unutrašnja energija izolovanog sistema ostaje
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραPromene termodinamičkih funkcija na putu do ravnoteže i u ravnoteži
romene termodinamičkih funkcija na putu do ravnoteže i u ravnoteži Helmholcova slobodna energija-2.5.1.,2.5.2. Gibsova slobodna energija-2.5.3. Gibs-Helmholcova jednačina-2.5.4. Reverzibilni i ireverzibilni
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραC 273,15, T 273,15, 1 1 C 1 50 C 273,15 K 50K 323,15K 50K 373,15K C 40 C 40 K
1 Zadatak temperatura K- C Telo A se nalazi na temperaturi 50 C i zagreje se za 50 K. Telo B se nalazi na temperaturi 313 K.i zagreje se za 40 C. Koje je telo toplije posle zagravanja i kolika je razlika
Διαβάστε περισσότεραTERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota
TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota TERMODINAMIKA TERMO TOPLO nauka o kretanju toplote DINAMO SILA Termodinamika-nauka odnosno naučna disciplina koja ispituje odnose između promena u sistemima
Διαβάστε περισσότεραTERMODINAMIČKI PARAMETRI su veličine kojima opisujemo stanje sistema.
TERMODINAMIKA U svakodnevnom govoru, često dolazi greškom do koriščenja termina temperatura i toplota u istom značenju. U fizici, ova dva termina imaju potpuno različito značenje. Razmatračemo kako se
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα2. TERMODINAMIKA 2.1. Prvi zakon termodinamike
. ERMODINAMIKA.. rvi zakon termodinamike ermodinamika je naučna disciplina koja proučava energetske promene koje prate univerzalne procese u prirodi kao i vezu tih promena sa osobinama materije koja učestvuje
Διαβάστε περισσότεραPrvi zakon termodinamike
Prvi zakon termodinamike Uvod Prvi princip termodinamike je apsolutni prirodni zakon koji važi za sve pojave koje se odigravaju na svim prostornim nivoima (mikro, makro i mega svetu). Zasnovan je na brojnim
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραTERMOENERGETIKA. Boričić Aleksandra
TERMOENERGETIKA Boričić Aleksandra Šta proučava termodinamika? Termodinamika je nauka koja proučava pojave vezane za međusobno pretvaranje jednog oblika energije u drugi. Termodinamika analizira i definiše
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραGibbs-ova slobodna energija
ibbs-ova slobodna energija Reakcija će se odvijati spontano ili ne, zavisno od toga de li je praćena porastom entropije univerzuma ili ne: ri = const: S S S univerzuma sistema okruzenja S univerzuma H
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότερα13.1. Termodinamički procesi O K O L I N A. - termodinamički sustav: količina tvari unutar nekog zatvorenog volumena
13. TERMODINAMIKA - dio fizike koji proučava vezu izmeñu topline i drugih oblika energije (mehanički rad) - toplinski strojevi: parni stroj, hladnjak, motori s unutrašnjim izgaranjem - makroskopske veličine:
Διαβάστε περισσότεραAntene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:
Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos
Διαβάστε περισσότεραMEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE
MEĐUMLEKULSKE SILE JN-DIPL VDNIČNE NE VEZE DIPL-DIPL JN-INDUKVANI DIPL DIPL-INDUKVANI INDUKVANI DIPL DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE jake JNSKA VEZA (metal-nemetal) KVALENTNA VEZA (nemetal-nemetal) METALNA
Διαβάστε περισσότεραHEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
Διαβάστε περισσότερα3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.
ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότερα