סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין"

Transcript

1 סיכום אינפי 2 9 ביוני 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך. סוכם ע"י נגה רוטמן בשעות לא הגיוניות בעליל, ולכן יכול להיות והנתונים לא תמיד מדוייקים... אינני לוקחת אחריות על מה שכתוב מטה. השימוש באחריות הקורא בלבד. הערות יתקבלו בברכה

2 תוכן עניינים 5 קירובים פולינומיאלים מוטיבציה קירוב מסדר n. 7 פולינום טיילור פולינום האינטרפולציה של לגראנג' שיטת ניוטון רפסון.4 23 תרגולים האינטגרל 2 24 שימושים באנליזה בעיית השטח האינטגרל לפי דרבו סכומי דרבו אינטגרביליות דרבו תנאי דרבו לאינטגרביליות משפחות של פונקציות אינטגרביליות תכונות הפונקציות האינטגרביליות האינטגרל לפי רימן סכומי רימן אינטגרביליות רימן קריטריון קושי המשפט היסודי של האינפי המשפט היסודי גרסא רשמית המשפט היסודי גרסא שימושית למת"פ המשפט היסודי גרסא שימושית לאינפי המשך דיון האינטגרל הלא מסויים ושיטות אינטגרציה אינטגרציה לפי הצבה אינטגרציה לפי חלקים האינטגרל הלא מסויים עוד קצת עם פולינום טיילור בהקשר הזה עוד כמה נקודות פונקציית מדרגות פונקציות רציונליות האינטגרל הלא אמיתי אינטגרל על קטעים לא חסומים תכונות האינטגרל הלא אמיתי קריטריון קושי

3 מבחן ההשוואה התכנסות בהחלט ובתנאי אינטגרל של פונקציה שאינה חסומה הגדרה אנליטית של הפונקציות הטריגונומטריות תרגולים טורים הגדרות בסיסיות תכונות של טורים מתכנסים זנבות ושאריות קריטריון קושי התכנסות בהחלט והתכנסות בתנאי טורים חיוביים קריטריון ההשוואה קריטריון ההשוואה הגבולי קריטריון המנה קריטריון השורש קריטריון ההשוואה לאינטגרל קריטריון העיבוי הגדרת e לפי טורים קריטריון לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים קריטריון דיריכלה קריטריון אבל חלקים חיובים ושליליים של טור טורים בשינוי סדר והכנסת סוגריים מכפלת טורים קונבולוציה סדרות וטורי פונקציות 4 74 סדרות של פונקציות קריטריון קושי להתכנסות במ"ש התכנסות במ"ש ורציפות התכנסות במ"ש ואינטגרציה התכנסות במ"ש וגזירות משפט ויירשטראס טורי פונקציות קריטריון קושי עבור התכנסות במ"ש קריטריון M של ויירשטראס להתכנסות במ"ש טורי חזקות על רדיוס ההתכנסות נוסחת קושי הדמר לחישוב רדיוס ההתכנסות

4 משפט אבל משפט על התכנסות, הכללות שלו וקצת על טיילור מסילות הגדרות הנגזרת של מסילה המסילה המשיקה אורך של מסילה מסילות שקולות פרמטריזציה באמצעות האורך עקמומיות אפיון לבאג לאינטגרביליות הלמה של היינה בורל תנאי חדש לאינטגרביליות

5 קירובים פולינומיאלים.0. מוטיבציה נרצה לחשב, לדוגמא, מהו e. π כיצד נעשה זאת? נמצא קירוב! זאת ע"י פולינום המקורב לפונקציה המבוקשת, שאותו קל לפתור. זו גם השיטה בה משתמש המחשבון.. קירוב מסדר n תהי f פונקציה כלשהיא הגזירה n פעמים בנקודה. למדנו באינפי כי המשוואה לקירוב מסדר ראשון, הקירוב הלינארי, הינה: בצורה דומה, הקירוב הריבועי יהיה: וכן הלאה... l (x) = f () + f () (x ) q (x) = f () + f () (x ) + f (x ) 2 2 הנקודה הנתונה ע"י הפונקציה קשה לאיתור אולם כאמור הקירובים הם פונקציות פולינומיאליות, ולכן בעזרתם קל יותר למצוא את הערך. נשאל: מהו הפולינום הקרוב יותר לערך הפונקציה? מהו סדר הגודל של הטעות? נביט בכל הקווים הישרים העוברים ((),): f כל המשוואות שלהם הן מהצורה: כאשר n הוא שיפוע כלשהוא. y = f () + n (x ) כמובן שבגרף המשיק, n הינו השיפוע של הגרף המקורי בנקודה. כעת: lim [f (x) f () n (x )] = 0 x lim x f (x) f () x = f () lim x [f (x) f () n (x )] = 0 5

6 הגדרה. פונקציה f המוגדרת בסביבה של הינה גזירה (=דיפרנציאבילית) שם, lim x [ ] f (x) f () n (x ) = 0 x f (x) q () lim x (x ) 2 = 0 f (x) p (x) lim x (x ) n = 0 אמ"מ קיים n R בעל התכונה: במקרה זה, המשוואה של הקירוב הריבועי תקיים: וכך הלאה. באופן דומה, נרצה פולינום מסדר n המקיים: p (x) = π + ex 2x 2 + ln5 x 3 p (x) = e + 2 2x + ln5 3x 2 p (x) = ln5 3 2x p (x) = ln5 3 2 p (0) = π, p (0) = e, p (x) = 2 2, p (0) = ln5 3 2 p (x) = p (0) 0! + p (0) x! + p (0) x 2 2! + p (0) x 3 3! לדוגמא: p (x) = n i=0 p (x) = p (i) (0) i! x i, n = deg (p) n p (i) () (x ) i i=0 i! תרגיל: הוכיחו באינדוקציה: תרגיל נוסף: הוכיחו, שוב באינדוקציה: 6

7 T n (x) = f () 0! + f () (x )!.2 פולינום טיילור הגדרה.2 תהי f פונקציה בעלת נגזרות מסדר N {0} n בנקודה.n f (i) () (x ) i i! f (n) () (x ) n n! הפולינום: נקרא פולינום טיילור מסדר n של הפונקציה f ב. נסמנו גם ב T. n f הערה.3 n f (i), i = 0,..., מוגדרת בסביבה של. הערה.4 פולינום טיילור מסדר n איננו בהכרח מסדר n, אלא: degt n (x) n הערה.5 פולינום טיילור הוא הפולינום היחידי עם דרגה n המקיים: T n (j) f () = f (j) (), j = 0,..., n T n (j) f = T n j f (j), j = 0,..., n הערה.6 דוגמאות:. = 0, f (x) = exp (x) = e x f (i) (x) = f (x) = e x f (i) (0) = e 0 = T n (x) = + x + x2 2! xn n! = + x + x2 2! xn n!.2 = 0, f (x) = cos (x) f () (x) = sin (x), f (2) (x) = cos ( x), f (3) (x) = sin (x), f (4) (x) = sin (x) T 0 (x) =, T (x) = + 0 x! g (x) = sin (x) =, T 2 (x) = x2 2!, T 3 (x) = x2 2! T 0 g (x) = 0, T g (x) = x, T 2 g (x) = x, T 3 g (x) = x x3 3! 7

8 f (x) T n (x) lim x (x ) n = 0 משפט.7 תהי f מוגדרת בקטע I, בעלת נגזרות מסדר N {0} n ב.I אזי, מתקיים: הוכחה: באינדוקציה על n: בסיס האינדוקציה = n: במקרה זה, לפי ההנחה, f גזירה ב, כלומר: lim f (x) f () x = f () lim f (x) f () f () (x ) x = lim f (x) T f (x) x = 0 לכן מתקיים: הנחת האינדוקציה: נניח נכונות עבור n. צעד האינדוקציה: נראה נכונות הטענה עבור n. תחילה 2 n, לכן, לפי ההנחה, f גזירה בסביבה של. לפי כלל לופיטל: lim f (x) T n f (x) (x ) n = n lim f (x) T nf (x) (x ) n לפי הערה.6: n lim f (x) T nf (x) (x ) n = n lim f (x) T n f (x) (x ) n ולכן, לפי הנחת האינדוקציה עבור f: lim f (x) T n f (x) (x ) n = 0 לכן, מנכונות עיקרון האינדוקציה, הטענה נכונה. משפט.8 תהי f מוגדרת בקטע I, בעלת נגזרות מסדר {0} N n ב I. יהי (x) p פולינום עם degp (x) n אשר מקיים: lim f (x) p (x) (x ) n = 0 אזי (x).p (x) = T n f הוכחה: יהיו (x) p (x), q פולינומים בעלי דרגה n, אשר מקיימים: lim f (x) p (x) (x ) n = 0 = lim f (x) q (x) (x ) n = 0 נגדיר (x) R (x) := p (x) q פולינום עם דרגה.n 8

9 נותר להראות שפולינום כזה המקיים: lim R (x) (x ) n = 0 הינו פולינום האפס. נראה זאת באינדוקציה על n: בסיס האינדוקציה = 0 n.r (x) = b 0 R במקרה זה: lim R (x) (x ) 0 = lim R (x) = R () = b 0 = 0 lim [ ] (x ) n+ R (x) (x ) n+ וזאת בשל רציפות הפולינום. נניח כי המשפט נכון עבור 0 n ונראה נכונות עבור + n: יהי n+.r (x) = b 0 + b (x ) b n+ (x ) = lim R (x) = R () = b 0 = 0 אזי, לפי אריתמטיקה של גבולות: n+.r (x) = (x ) מכאן: מכיון ו 0 = 0 b נוכל לרשום )i i= b (x lim R (x) (x ) n+ = lim n+ i= b i (x ) i (x ) n,n הינו פולינום מדרגה n+ i= b i (x ) i ולכן, לפי הנחת האינדוקציה: lim n+ i= b i (x ) i (x ) n = 0 f (x) = T n (x) + R n (x) f (x) T n (x) lim x (x ) n = 0 ולכן, מנכונות עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה. סימון: כאשר (x) R n היא השארית. הגדרה.9 נאמר ש ( I ),(k N {0}) f C k אמ"מ f בעלת k נגזרות רציפות ב I. אם = 0 k הפונקציה רציפה ב I. נרצה לתת הערכה לשגיאה שנותן הקירוב: אינטואיציה קירוב מסדר 0 ממשפט ערך הביניים לנגזרות (לגראנג'): f (x) f () = f (c) (x ) 9

10 אם אנו יודעים ש ( ) f חסומה בקטע (x,), נניח ע"י f, M אז f (x) f () (x ) כאשר (x) f הוא ערך הפונקציה, ו ( ) f הוא פולינום טיילור מסדר 0. ניתן גם לומר: אם m f M ב ( x (, אז: f () + m (x ) f (x) f () + (x ) קירוב מסדר R (x) = f (x) f () f () (x ) = f (c) 2 (x ) 2 f () + f () (x ) + m 2 (x )2 f (x) f () + f (x ) + M 2 ואז :m f M (x )2 f (x) = T n (x) + f (n+) (ξ) (n + )! משפט השארית נוסח לגראנג' משפט.0 יהי I קטע, (I) f C n+ ו I. (x ) n+ (ξ) f (+n) תקרא השארית נוסח לגראנג'. (n+)! אזי לכל x I קיים x) ξ (, כך ש: כאשר n+ (x ) הוכחה: באינדוקציה על n: בסיס האינדוקציה = 0 n: במקרה זה, לפי ההנחה, f גזירה ברציפות ב I, ולכן ממשפט הערך הממוצע של לגראנג', f (x) f () = f (ξ) (x ) עבור f בקטע x] [, קיים x) ξ (, כך ש: כמו כן, ממהגדרה () T, 0 f (x) = f ולכן נעביר אגפים, נציב ונקבל: f (x) = T 0 f (x) + f (ξ) (x ) כפי שרצינו. נניח שהמשפט נכון עבור 0 n, ונוכיח עבור n: גזירה ב I. f ולכן, לפי הנחה, n, נפעיל את משפט הערך הממוצע של קושי עבור הפונקציות: f (x) T n f (x), (x ) n+ f (x) T n f (x) (x ) n+ = f (η) T nf (η) (n + ) (η ) n בקטע x],[, ונקבל שקיים x) η (, עבורו: 0

11 נשים לב: f (η) T nf (η) = f (η) T n f (η) ולפי הנחת האינדוקציה עבור f, קיים (η ξ,) שעבורו: f (η) T n f (η) = n! f (n) (ξ) (η ) n = n! f (n+) (ξ) (η ) n f (η) T nf (η) (n + ) (η ) n = n! f (n+) (ξ) (η ) n (n + ) (η ) n = (n + )! f (n+) (ξ) לכן: ואם נחזור להתחלה, בסה"כ קיבלנו: f (x) T n f (x) (x ) n+ = f (n+) (ξ) f (x) = T n f (x) + f (n+) (ξ) (x ) n+ (n + )! (n + )! כלומר, הוכחנו את הצעד. הוכחנו את בסיס האינדוקציה, והראינו בעזרת ההנחה כי צעד האינדוקציה נכון, f (x) = x, =, x =.. = 2 ξ (. ) (. ) = = ± 0.05 ולכן, מנכונות עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה! שימושים:. נמצא קירוב מסדר אפס ל. : f (x) = sinx, = 0 x sinx x (= T = 0 + (x 0)) sin (0.) 0. = sin (ξ) 2! (0. 0) נחשב קירוב לינארי ל ( 0. ) :sin נשים לב,x = T, sinx = T 2 ואז: sin (0.) 0. = sin (ξ) 3! (0. 0) f (x) = o (g (x)) lim f (x) g (x) = 0 x f (x) = O (g (x)) k > 0 f (x) k g (x), x הסימון של לנדאו: "או קטן" " או גדול"

12 נשים לב: f (x) T n (x) = O (x ) n+, f (x) T n (x) = o (x ) n כלומר: f (x) T n (x) k (x )n+ (x ) n (x ) n וכאשר x, הביטוי מימין שואף לאפס. משפט. יהיו (x) P (x), Q פולינומים ממעלה קטנה או שווה ל n, וכמו כן: lim f (x) P (x) f (x) Q (x) (x ) n = 0 = lim (x ) n אזי (x).p (x) = Q [ f (x) Q (x) 0 = lim x (x ) n ] f (x) P (x) P (x) Q (x) (x ) n = lim x (x ) n הוכחה: P (x) Q (x) lim x (x ) n = 0 R (x) = 0 [ ] 0 = lim (x ) j R (x) (x ) n, j = 0,, 2,..., n 0 = limr (x) R Rtzif = R () = b 0, j = n x יהי (x),r (x) = P (x) Q וכמו כן.degR (x) n אם כך נשאר להראות כי: יהי.R (x) = b 0 + b (x ) b n (x ) n R (x) = b (x ) b n (x ) n = (x ) [b + b 2 (x ) b n (x ) n ] R (x) (x ) n = b + b 2 (x ) b n (x ) n (x ) n 0 = lim x (x ) n R (x) n = lim (x ) x נשים לב: וכמו כן: לכן: כעת אם n :j = [ b + b 2 (x ) b n (x ) n ] = b שוב מרציפות, וכו'. 2

13 + x + x x n = xn+ = x x xn+ x x ( + x + x x n) = xn+ x (x ) שימושון נשים לב: כעת אם נסמן: f (x) = נקבל, לפי המשפט מעלה: x, P (x) = + x + x x n f (x) P (x) R (x) lim x 0 x n = lim x 0 x n x n ( x) = lim x x 0 x = 0 x n+ = lim x 0 P (x) = T n f (x) כלומר: כעת נוכל להזיז משתנה, ולקבל פולינום טיילור עבור פונקציות נוספות. f ( x) = + x = x + x ( ) n x n = ( )n+ x n+ + x g (x) = ln ( + x) g (x) = x + g (x) = ( + x) 2 g (x) = g (x) =!ln (x + ) = x+ לדוגמא נשים לב אם היינו רוצים לחשב את פולינום הטיילור של ( + x) ln ידנית, ( ) 2 ( + x) 2 [( + x) 2] 2 = ( + x) ( + x)2 ( ( + x) 3) 2 = 2 3 ( + x) 4 היינו עושים כך: g n (x) = ( )n+ (n )! ( + x) n g (n) (0) = ( ) n+ (n )! n ( ) n+ (n )! T n g (x) = (x 0) i i! i=

14 f ( x 2) = + x 2 = x2 + x 4 x ( ) n x 2n + ( )n+ x 2n+2 + x }{{ 2 } R(x) נבצע שינוי משתנה נוסף: נסמן = 0, ואז: lim 0 ( ) n+ x 2n+2 x 2n ( + x 2 ) = 0 rctnx = }{{} c =0 היא הנגזרת של!rctn לכן: נשים לב x+ 2 + x x3 3 + x ( )n x 2n+ + R 2n+ (x) 2n + הערה.2 פולינום טיילור של סכום פונקציות הוא סכום הפולינומים של הפונקציות f (x) = T n f (x) + R n f (x) g (x) = T n g (x) + R n g (x) זהו אופרטור לינארי! סכום השאריות עדיין ישאף לאפס, לכן סכום הפולינומים יהיה פולינום טיילור של שתי הפונקציות. : x, +x [ 2 x ] = + x x 2 = 2 2 ( + x 2 + x x n) + R }{{} x דוגמא: נביט בחיסור של הפונקציות 0 עבור n זוגי: f (x) g (x) = T n f (x) T n g (x) + R x הערה.3 פולינום טיילור של כפל פונקציות: הביטוי הזה יכול להיות פולינום טיילור מסדר (x n x n ) 2n של (x),f (x) g כמובן זאת אם הפונקציה גזירה 2n פעמים. ניתן "להוסיף לשארית" את החזקות הגבוהות, ואז לקבל פולינום טיילור מסדר n של המכפלה. לקורא החרוץ נשאר להוכיח אכן מדובר בפולינום טיילור, כלומר מתקיים: T n f (x) Rg (x) + T n g (x) Rf (x) + Rf (x) Rg (x) (x ) n 0 משפט.4 תהי f גזירה n פעמים ב, אשר מקיימת: f () = f () =... = f (n ) () = 0, f (n) () 0 אזי אם n זוגי, ל f יש נקודת קיצון ב : 0 < f (n) () minimum 0 > f (n) () mximum אם n אי זוגי, אזי ל f אין נקודת קיצון ב. 4

15 הוכחה: יהי (x) T n f הפולינום מסדר n של הפונקציה: [ f (x) T n f (x) f (x) f () + 0 = lim (x ) n n! = lim f (n) () (x ) n] (x ) n [ f (x) f () = lim (x ) n ] n! f (n) () = 0 lim f (x) f () (x ) n = n! f (n) () אזי, קיימת סביבה בה הסימן של הפונקציה שווה לסימן הגבול. f (x) f () x < δ sgn (x ) n = sgnf (n) () sgn (f (x) f ()) = sgnf (n) () 0 < x < δ f (x) f () > 0 f (x) > f () δ < x < (x ) < 0 (x ) n < 0 כלומר, קיים > 0 δ כך ש: כאשר n זוגי, המכנה תמיד חיובי, ולכן: אם () < f (n),0 אם ולכן ל f יש נקודת מינימום מקומי ב. בצורה דומה, אם () > f (n) 0, ל f יש מקסימום מקומי ב. sgnf (n) f (x) f () () = sgn (f (x) f ()) = sgn (x ) n sgnf (n) () = sgn (f (x) f ()) < x < + δ sgnf (n) () = sgn (f (x) f ()) אם n אי זוגי, אזי משמאל לנקודה: ומימין לנקודה: לכן f מונוטונית בנקודה עולה לפניה ויורדת אחריה, או להפך ומכיוון שכך, אין לה נקודה קיצון שם. 5

16 .3 פולינום האינטרפולציה של לגראנג' הרעיון מאחורי פולינום טיילור קירוב של x באמצעות קירוב מסדר I של נקודה. כעת, נביט ביותר מנקודה אחת y = y 0 + y y 0 (x x 0 ) = y 0 (x x 0 ) + y (x x 0 ) y 0 (x x 0 ) x x 0 (x x 0 ) x x 0 (x x 0 ) y = y 0 (x x ) (x 0 x ) + y (x x 0 ) (x x 0 ) עבור x 0 < x ו :y 0, y נקבל פולינום העובר דרך שתי הנקודות ממעלה : עבור שלוש נקודות x 0 < x < x 2 ו :y, y 2, y 3 y = y 0 (x x ) (x x 2 ) (x 0 x ) (x 0 x 2 ) + y (x x ) (x x 2 ) (x x 0 ) (x x 2 ) + y 2 (x x 0 ) (x x ) (x 2 x 0 ) (x 2 x ) וזהו פולינום העובר דרך 3 נקודות ממעלה 2. וכן הלאה. בצורה הזו נגדיר: הגדרה.5 יהיו, n x 0 < x <... < x ו y 0, y,..., y n כולם ב R. אזי, פולינום לגראנג' יסומן להיות: L n (x) = n i=0 n i j=0 y (x x j) i n i j=0 (x i x j ) R n [x] ומתקיים: L n (x i ) = y i טענה.6 (כרגע ללא הוכחה) פולינום זה הינו היחיד מדרגה n המקיים זאת! f (x) = L n (x) + f (n+) (ξ) (n + )! L n (x i ) = f (x i ), i = 0,..., n משפט.7 יהי I קטע ו ( I ).f C n+ יהיו < x 0 < x <... < x n < b ב I. יהי (x) L n פולינום האינטרפולציה של לגראנג' מסדר n, אזי לכל b) x (, קיים b) ξ (, עבורה: (x x 0 ) (x x )... (x x n ) 6

17 בנייה אחרת של פולינום האינטרפולציה: נרצה לבנות פולינום, כך שבהינתן xו 0 < x <... < x n y 0,..., y n יקיים: q (x i ) = y i נבנה בצורה אינדוקטיבית. תחילה, נגדיר: q (x 0 ) = y 0 כעת, נניח כי הגדרנו: q (x i ) = y i, i = 0,,..., k נסמן: q k+ (x) = q k (x) + c (x x 0 ) (x x )... (x x k ) q k+ (x k+ ) = y k+ c = y k+ q k (x k+ ) (x x 0 ) (x x )... (x x k ) אזי מספיק לבחור c כך ש: ולאחר שפיתחנו מעלה את האינטואיציה, ניגש להוכיח את המשפט המקורי לפולינום האינטרפולציה: הוכחה: תהי ϕ (x) = f (x) L n (x) c (x x 0 ) (x x )... (x x n ) לכל b),x x 0,..., x n,x (, ניתן לבחור (x) c = c עם = 0 (x).ϕ טענה.8 אם נקבע לרגע את x (ולכן את הבחירה של (x) c). = c מתברר ש ϕ מתאפסת ב.x 0,..., x n ב I. n גזירה מסדר + ϕ לכן נוכל להפעיל את משפט רול + n פעמים ל ϕ ב ( b,): x 0 < t 0 < x <... < x n < t n < x n עם = 0 ) i.ϕ (t נפעיל שוב את רול ב ϕ ונקבל: t 0 < t 2 0 < t <... < t n 2 < t 2 n 2 < t n עם 2 n.ϕ ( ) t 2 i = 0, i = 0,..., אם נמשיך ונגזור n פעמים, נקבל נקודה יחידה ) n t (x 0, x ששונה מ x 0,..., x n לפי הבניה שלנו המקיימת = 0 (t).ϕ (n) בהנתן b),x x,..., x n, x (, אם בחרנו (x) c = c עבורו = 0 (x),ϕ אז נוכל להפעיל שוב את רול ל (n) ϕ ב ( t,x), ונקבל שקיים (t ξ,x) כך ש: 0 = ϕ (n+) (ξ) = f (n+) (ξ) c (n + )! 7

18 נעשה טוויסט למשפט שכבר עשינו לפעמים קוראים למשפט זה Generlized Rolle משפט רול המוכלל, כי הוא מעין הרחבה למשפט רול מאינפי משפט.9 תהי (I).f C (n) אם f מתאפסת ב + n נקודות שונות בקטע, 2 I אזי (n) f מתאפסת בקטע הפתוח הקטן ביותר, אשר "מכיל" את הכל האפסים של f. הוכחה: באינדוקציה על n: N בסיס האינדוקציה = n ישירות ממשפט רול המקורי. נניח נכונות עבור n, ונסיק נכונות עבור n תהי (I),f C (n) ויהיו x 0 < x <... < x n שהם + n אפסים שונים של f ב I. נפעיל את משפט רול לכל אחד מהקטעים n,[x i, x i+ ], i = 0,..., ונקבל n t i [x i, x i+ ], i = 0,..., אפסים של.f כמו כן (I) f C (n ) ובעלת n אפסים שונים. לכן, לפי הנחת האינדוקציה, הנגזרת ה n אית של f, דהיינו (n) f מתאפסת בקטע ) n,(t 0, t ומכאן המסקנה! מסקנה.20 אם [x],(degp (x) n) p (x) R n ומתאפס ב + n נקודות שונות, אזי 0 (x).p הוכחה: שוב באינדוקציה על {0} N.n בסיס האינדוקציה עבור = 0 n: p (x) R 0 [x], p (x) 0 R אם קיים x 0 R אזי: 0 = p (x 0 ) = 0 לכן 0 (x).p נניח נכונות עבור n. יהי [x],p (x) R n ויהיו x 0 < x <... < x n אפסים שונים של.p לפי המשפט הקודם, [x] p (x) R n מתאפס ב n נקודות שונות, לכן לפי הנחת האינדוקציה 0 (x) p, לכן, לפי משפט הערך הממוצע p. (x) אבל: = p (x ) = 0 p (x) 0 נחזור כעת טיפה אחורה ובעזרת הניתוח האחרון נוכיח את יחידות פולינום האינטרפולציה. ראינו שבכל פעם שגזרנו "איבדנו" נקודת אפס 2 כלומר יש לה + n שורשים. 8

19 L n (x i ) = f (x i ), i = 0,.., n משפט.2 תהי (I),f C (n+) ויהיו x 0 < x <... < x n ב I, ויהיו (t) L n פולינום האינטרפולציה מסר n המקיים: f (x) = L n (x) + f (n+) (n + )! (ξ) (x x 0) (x x )... (x x n ) אזי לכל x I קיים ξ I המקיים: ϕ (t) := f (t) L n (t) c (t x 0 ) (t x )... (t x n ) הוכחה: נתבונן בפונקציה: כאשר עבור x I נתון מראש, נבחר x i x R, i = 0,..., n עם = 0 (x).ϕ 0 = ϕ (n+) (ξ) = f (n+) (ξ) + 0 (n + )! c c := f (n+) (ξ) (n + )! נשים לב (I),ϕ C (n+) וכמו כן היא מתאפסת ב.x, x 0, x,..., x n ϕ (t) = f (t) L n (t) f (n+) (ξ) (n + )! ϕ (x) = 0 f (x) = L n (x) + f (n+) (ξ) (n + )! f (b) = f () + f () (b ) + f () (b ) 2 2! לכן, לפי המשפט הקודם, קיים ξ I עבורו: (t x 0 )... (t x n ) (t x 0 )... (t x n ) כפי שרצינו! נחזור אף יותר אחורה וניתן הוכחה נוספת לצורת לגראנג': משפט.22 תהי (I), f C (n+) ולכל, b I קיים b) ξ (, כך שם: f (n+) (ξ) (b ) n+ (n + )! f (b) = f (t) + f (t) (b ) + f (t) (b t) 2 df (b) = 0 dt ( ) d f (i) (t) (b t) i = dt i! i! t = br n (b, b) = 0 2! f (n+) (t) (b t) n n! t = R n (b, ) T ht s wht we re looking for 0 = f (t) + [f (t) + f (t) (b t)] R n (b, t) = f (n+) (b t) n n! [ ] f (i+) (t) (b t) i + f (i) (t) (b t) i i ( ) [ n (b t) n n! הוכחה: נתבונן ב: + R n (b, t) }{{} S(t) נשים לב: נגזור את השיוויון לפי המשתנה t. למשל: ] + f (n+) (t) (b t) n + R n (b, t) n! 9

20 פאוזה קצרה: אנחנו עדיין לא יודעים את זה, ולכן אסור להשתמש בזה בהוכחה זו, אבל בשביל ההמשך, ובשביל האינטואיציה: x x S (t) = R n (b, ) = f (n+) (t) (x t) n dt n! f (n+) (t) (b t) n dt n! = S (x) S () = 0 R n (b ) זה יהיה רלוונטי אחרי שנלמד אינטגרציה, ותחת ההנחה כי (+n) f אינטגרבילית ב I. נפעיל את משפט ערך הביניים נוסח קושי עבור (t) R, n,b) (t = h.[, b] בקטע (b t) n+ תחילה, מדוע אנחנו יכולים להפעיל את המשפט? גזירה מהגדרתה, ובקטע הפתוח אינה מתאפסת. n n! R n (b, b) R n (b, ) 0 (b ) n+ = f (n+!) (ξ) (b ξ) (n + ) (b ξ) n ( ) = f (n+) (ξ) (n + )! לכן, נקבל: הגדרה.23 בהנתן פולינום אינטרפולציה, לכל (b x,) קיים (b ξ,) עבורה השארית של פולינום האינטרפולציה הינה הביטוי: h (x) = f (n+) (n + )! (ξ) (x x 0) (x x )... (x x n ) h (x) M 4 (n + ) hn+ משפט.24 (כרגע ללא הוכחה): עבור (b x,,) כאשר M היא הנגזרת ה + n של הפונקציה. 20

21 .4 שיטת ניוטון רפסון המטרה למצוא שורש של פונקציה בשיטה טובה משיטת החצאים. 3 הרעיון בכל פעם ניקח משיק, ומההטלה שלו נבחר את הנקודה הבאה. נשתמש בהנחה סמויה סדרת הנקודות מתכנסת y = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) y = 0 f (x 0) f (x 0 ) + x 0 = x T (x) = x f (x) f (x) x 0, x = T (x 0 ), x 2 = T (x ) = T 2 (x 0 )... x n := T n (x 0 ) x n := x n f (x n) f (x n ) δ > 0 x 0 r < δ {x n } (r δ, r + δ) I משפט.25 תהי (I).f (r) = 0,r I,f C 2 נניח ש 0 > f ב I. לכל,x 0 I נגדיר אזי: יתר על כן,.x n r הוכחה: ממשפט טיילור ושארית לגראנג' בסביבת x, n עבור כל x: = r 0 = f (x r ) + f (x n ) (r x n ) + f (t n ) 2 x n+ := x n f (x n) f (x n ) x n+ r = x n r f (x n) f (x n ) (r x r ) 2 x n r = f (x n) f (x n ) + f (t n ) 2 f (x n ) (r x n) 2 x n r = δ > 0 x 0 r < δ {x n } (r δ, r + δ) I e n+ = f (t n ) 2 f (x n ) (r x n) 2 כאשר r).t n (x n, הגדרנו: ומצד שני, לפי טיילור ולגראנג': על כן, מהירות ההתכנסות: אם :e n : x n r 3 בה חוצים כל חלק לשניים חיובי ושלילי, עד למציאת האפס. 2

22 כעת, נרצה להוסיף הנחות כדי שהביטוי לא ישתולל, כך שהפער יילך ויקטן פרופורציונלית לריבוע. 4 יהי > 0 η עם: I = [r η, r + η] I ויהיו K := mx ( f ) [r η,r+η] k := min ( f ) [r η,r+η] e n+ = f (t n ) 2 f (x n ) e2 n K 2 k e2 n, K k e K 2 k e 0 2 K 2 k δ e 0 < 2 e 0 e 2 < 2 e < 2 2 e 9 e n < 2 n e 0 e n 0 יהי > 0 δ כך ש η < δ < 0 ו < δ ויהי x 0 I עם. e 0 = x 0 r < δ אזי: x n+ = x n f (x n) f (x n ) f (x) = x 2 2 x n+ = x n x2 n 2 2x n = x n 2 x n + x n = 2 x n + x n דוגמא נחפש קירוב ל 2 : בהנחה ש x n מתכנסת, נשאיף את n משני האגפים לאינסוף ונקבל: 2 l + l = l 2 l2 + = l 2 2 = l 2 l = 2 כעת נציב שתי נקודות כלשהן מסביב לשורש שתיים: x 0 = 2, x = 3 2 x 2 = x 3 = = = 7 2 =.466 = = = תוך קירוב אחד אנו מגיעים לדיוק טוב יותר מהמחשבון = או בעיברית אנחנו הולכים לחסום את הנגזרות 22

23 .5 תרגולים

24 2 האינטגרל 2.0. שימושים באנליזה בעיית השטח R R µ (R) R כאשר µ היא פונקצית המדידה של השטח. תכונותיה:. חיוביות 0.µ.2 מונוטוניות.µ (R) µ (S) R S.3 אדטיביות יהיו R, S זרים. אזי.µ (R) + µ (S) = µ 4. "בסיס מאורך" (rectngle) µ. 2. האינטגרל לפי דרבו 2.. סכומי דרבו הגדרה 2. חלוקה של [b,] הינה קבוצה סופית סדורה של נקודות } n P = {x 0, x,..., x כך ש b. = x 0 < x <... < x n = דוגמאות:. P = {, b} x 0 = x = + b n 2 (b ) x 2 = + n. x i = +. x n = b i (b ) n 2. החלוקה האוניפורמית עם n קטעים: נסמן ב [,b] R את קבוצת הפונקציות המוגדרות וחסומות בקטע [b,]. 24

25 M i := sup {f (t) x i t x i } m i := inf {f (t) x i t x i } הגדרה 2.2 יהיו f R ו P חלוקה של הקטע, ויהיו: U (P, f) = U (P ) = M (x x 0 ) + M 2 (x 2 x ) M n (x n x n ) L (P, f) = L (P ) = m (x x 0 ) + m 2 (x 2 x ) M n (x n x n ) x i = (x i x i ) וכמו כן נסמן:,P ביחס לחלוקה f יקרא הסכום דרבו העליון של U (P ) = n אזי, הסכום i= M i x i.p ביחס לחלוקה f יקרא סכום דרבו התחתון של L (P ) = n והסכום i= m i x i L (P ) U (P ) m (b ) L (P ) U (P ) M (b ) נשים לב: יתר על כן, אם m f M ב [ b :[, השטחים מתחת לצורה x הם שליליים, והם יכולים "לקזז" את השטחים החיוביים לדוגמא, נביט באינטגרל של מחזור של סינוס: הוא אפס! 2..2 אינטגרביליות דרבו נזכר בלמת החתכים מהסמסטר הראשון (מסקנה ישירה מלמת השלמות): supl = s i = infu למה 2.3 יהיו שתי קבוצות.L U,L φ U אזי התנאים הבאים שקולים: i!c l L, u U, l x u iis = i iii ( ε > 0) ( l L, u U) : u l < ε כאשר סימן הקריאה בתנאי הראשון משמעו יחיד. 25

26 למה זו כאמור לא נוכיח במסגרת הקורס הזה, אבל נשתמש בה להוכחת הלמה הבאה: L (P ) U (Q) למה 2.4 לכל,P Q חלוקות של [b,] את הלמה הזו נוכיח לאחר פיתוחים נוספים. נשים לב שלאחר מכן נוכל להגדיר: הגדרה [,b] 2.5 f R נקראת אינטגרבילית ב [ b [, אמ"מ קיים I R יחיד עבורו (Q) L (P ) I U לכל P, Q חלוקות של b].[, תנאי שקול: הגדרה 2.6 אמ"מ האינטגרל העליון שווה לאינטגרל התחתון, כלומר: U (f) = inf [U (Q)], L (f) = sup {L (P )} L (f) = U (f) U = {U (Q) : Q is prtition}, L = {L (P ) : L is prtition} נתחיל תחילה נביט בשתי הקבוצות: נשים לב כי הן אינם ריקות. כעת נוכיח למה אחרת: למה 2.7 אם Q מתקבלת מ P ע"י הוספת איבר אחד, אז: L (P ) L (Q) U (Q) U (P ) הוכחה: תהי } n P = {x 0, x,..., x כך ש b, = x 0 < x <... < x n = קיים אינדקס j כך ש.x j < y < x j n n L (P ) = m i x i = m i x i + m j x j n = i=,i j i= i=,i j m i x i + m j [(y x j ) + (x j y)] נסמן: M = sup {f (t) : x j t y}, M = sup {f (t) : y t x j } m = inf {f (t) : x j t y}, m = inf {f (t) : y t x j } נשים לב: m j m, m 26

27 ולכן: n m i x i + m (y x j ) + x + m (x j y) = L (Q) i=,i j ובסה"כ: L (P ) L (Q) לתלמיד החרוץ מושאר להוכיח: U (P ) U (Q) באותה הדרך בדיוק! מסקנה 2.8 הלמה הראשונה 2.4 מתקיימת. הוכחה: באופן כללי יהיו,P Q חלוקות כלשהן. נבנה את החלוקה P. Q U (P Q) U (Q) אזי,Q P Q P P Q אזי Q),L (P ) L (P ובסה"כ L (P ) L (Q) U (Q) U (P ) 2..3 תנאי דרבו לאינטגרביליות משפט 2.9 תהי [,b].f R אזי f אינטגרבילית ב [ b,] אמ"מ ε > 0, P U (P ) L (P ) < ε פירוש גיאומטרי: n n n U (P ) L (P ) = M i x i m i x i = (M i m i ) x i i=0 i=0 i=0 הוכחה: נתרגם את התנאים של למת החתכים לעולם האינטגרלים: i!i L (P ) I U (Q) iil (f) = U (f) iii ε > 0 Q, P : U (Q) L (P ) < ε בכיוון הראשון, אם התנאי מתקיים, מספיק לקחת,Q = P ואז התנאי השלישי של למת החתכים מתקיים (מספיק שיהיו קיימים,Q P כלשהם). בכיוון השני, נניח ש f אינטגרבילית. אזי קיימות (לפי התנאי השלישי של למת החתכים) P P, כך ש: U (P ) L (P ) < ε 27

28 תהי P.P = P אזח: P P U (P ) U (P ) L (P ) L (P ) U (P ) U (P ) P P L (P ) L (P ) סימון: אם f אינטגרבילית ב [ b, ]נכתוב [,b],f T b ונסמן ב f את המספר I האחד והיחיד של ההגדרה. דוגמאות:. פונקציות קבועות כלומר פונקציות מהצורה f c אינטגרביליות ב [ b,]. תהי P חלוקה כלשהיא. אזי: m i c M i n L (P ) = m i x i = U (P ) = i=0 n M i x i = i=0 n c x i = c (b ) i=0 n c x i = c (b ) i=0 {U (P )} = {c (b )} = {L (P )} c = c (b ) לכן f אינטגרבילית ו { x Q.[, פונקצית דיריכלה ב [ b D (x) = 2. תהי 0 x / Q תהי P חלוקה, M i, i =,..., n בגלל הצפיפות של Q ב R. לכן: U (P ) = x i = (b ) L (P ) = 0 מצד שני, בגלל הרציפות של R\Q ב R : ולכן D איננה אינטגרבילית. { x = c. < x < b עבור f (x) = 3. תהי f נתונה ע"י 0 x c נשים לב: אם b} P = {, d, e, (כלומר c אינו חלק מהחלוקה) כאשר, < d < c < e < b אזי: U (P ) = 0 (d ) + d (e d) + 0 (b e) = e d L (P ) = 0 U (P ) L (P ) = e d 28

29 f = inf {U (P )} = 0 לכן, לכל > 0 ε נבחר e, d כך ש ε,e d < וכך נעמוד בתנאי רימן לאינטגרביליות. נקבל: 0.4 תהי f (x) = x 2 ב [,[0, ותהי P החלוקה האוניפורמית של [,0] עם מחלקים שווים (סדרה של חלוקות) אזי: U (P n ) = [ ] n n n n2 n [ 2 ] L (P n ) = 0 + n n (n ) n2 n 2 [ t 2 = lim U (P n 2 ] n) = lim n n n n 2 = lim n 3, n בהנתן > 0 ε, נבחר n מספיק גדול כך ש ε < ואז נקבל,U (P n ) L (P n ) < ε ואז אנו עומדים בתנאי רימן, והפונקציה אינטגרבילית, ומתקיים: n (n + ) (2n + ) 6 = 3 לתלמיד הרציני החלף את ה t 2 ב t. M, C R 2..4 משפחות של פונקציות אינטגרביליות,]. תהיה קבוצת הפונקציות המונוטוניות ב [ b M,] [b,]. תהיה קבוצת הפונקציות הרציפות ב [ b C,] [b נסמן: משפט 2.0 או במילים הפונקציות השייכות לקבוצות מעלה הינן אינטגרביליות. הוכחה: נוכיח תחילה לפונקציות מונוטוניות: נניח ש f עולה ב [ b,] (אחרת ניקח f בהמשך נוכיח שגם היא אינטגרבילית ( 6 M i = f (x i ), m i = f (x i ) תהי P חלוקה, אזי: נניח ש P הומוגנית בעלת n חלקים שווים (בהמשך נראה שלכל ε נוכל לספק חלוקה שכזו). x i = b n U (P ) L (P ) = = b n = b n n i= n i= (M i m i ) x i = b n n (M i m i ) i= (f (x i ) f (x i )) = b n [f (x n) f (x 0 )] [f () f (b)] אם כך: 5 בדר"כ בשלב הזה של החומר היינו לומדים פונקציות מדרגות. השנה השתנה הסדר. הידד? 6 "התלמיד הרציני יבנה הוכחה גם לפונקציה יורדת". 29

30 ,n > (b )[f(b) f()] ε כעת, בהנתן > 0 ε נבחר n N המקיים ונקבל חלוקה P המבטיחה קיום תנאי רימן לאינטגרביליות. כעת נוכיח עבור פונקציות רציפות: נניח כי f רציפה ב [ b,]. ממשפט ויירשטראס, מכיוון ו f רציפה, היא מקבלת מקסימום ומינימום בכל קטע סגור. 7 נסמן: M i = mx {f (t)}, x i t x i, m i = min {f (t)}, x i t x i כמו כן, שוב מרציפות f, בקטע סגור [b,] היא רציפה במ"ש. x y < δ f (x) f (y) < ε λ = mx { x i } i=,..,n < δ לכן, בהינתן > 0,ε קיימת > 0 δ כך ש לכן, עבור > 0 ε כלשהיא, נגדיר את החלוקה P כך ש: כאשר λ הינו פרמטר החלוקה של P. כלומר, החלוקה שלנו שומרת שכל שתי נקודות עוקבות יקיימו: x y < δ בנוסף, נבחר δ ו N n כך ש <.δn אזי: n n U (P ) L (P ) = (M i m i ) x i < nε x i < ε n δ < ε i= i= שימו לב שתי השורות האחרונות הן תיקון שאני ביצעתי למה שניתן בכיתה עדיין לא נבדק מול אנשים אחרים, אז נא לקחת בערבון מוגבל! 2..5 תכונות הפונקציות האינטגרביליות באלגברה לינארית הפונקציות האינטגרביליות ניתנות להגדרה כמרחב וקטורי, והאינטגרציה ניתנת להתבוננות כהעתקה לינארית מהפונקציות לממשיים. ואכן, עשינו זאת באלגברה לינארית. נוכיח כעת את מה שראינו בשיעור הראשון על האינטגרל: משפט 2. יהיו b]. 8 f, g R [, אזי: b. חיוביות אם b] f R [, 0 אזי f.0 b. f b.2 מונוטוניות אם f g אזי g 3. לינאריות 7 ולא רק סופרימום (מינימום או מקסימום) כמו פונקציה כללית. 8 לפי מה שהוכחנו מעלה הן חסומות בקטע [b,]. 30

31 (f + g) = f + kf = k f g (א) (ב) יהי k. R אזי: הוכחה: הוא מקרה פרטי של 2. נוכיח את 2: תהי P חלוקה, וכמו כן f. g אזי: m i (f) M i (g) L (f, P ) = m i (f) x i M i (g) x i = U (f, p) f = sup {L (f, P )} inf {U (g, P )} = g נוכיח את 3: M i (f) + M i (g) M i (f + g) {f (t) + g (t)} {f (t)} + {g (t)} sup {f (t)} + sup {g (t)} sup {f (t) + g (t)} m i (f) + m i (g) m i (f + g) L (f, P ) + L (g, P ) L (f + g, P ) U (f + g, P ) U (f, P ) + U (g, P ) כעת, נזכר כי הוכחנו: בהנתן > 0,ε נסמן P = P P 2 כך ש: U (f, P ) L (f, P ) < ε 2 U (f, P 2 ) L (f, P 2 ) < ε 2 ε L (f + g, P ) U (f + g, P ) ε אזי P מקיימת את תנאי רימן עבור f, + g ולכן f + g אינטגרבילית. כעת, נוכיח שיוויון בין f + g לבין f + g : לכל P מתקיים: L (f, P ) L (g, P ) L (f + g, P ) f U (f, P ) g U (g, P ) f + g U (f + g, P ) עכשיו, נשתמש במשפט מעלה: L (f, P ) + L (g, P ) L (f + g, P ) f + g U (f + g, P ) U (f, P ) + U (g, P ) 3

32 L (f, P ) + L (g, P ) f + f + g = ומצד שני אם נחבר את אי השיויונות: g U (f, P ) + U (g, P ) כיוון שקיים רק מספר אחד ויחיד כזה, מתקיים: (f + g) משפט 2.2 תהי b],m f M,f R [, ותהי g : [m, M] R רציפה, אזי: g f R [, b] הוכחה: נגדיר: h := g f בהנתן > 0 ε, לפי תנאי לאינטגרביליות, עלינו להציג חלוקה P של [b,] עם U (h, P ) L (h, P ) < ε בהיות g רציפה בקטע [M,m], היא גם רציפה במ"ש בו. אזי, בהינתן > 0 ε יהי > 0 δ עם: x, y [m, M] x y δ g (x) g (y) < ε נשים לב ל יהיה תנאי הכרחי בהמשך. b],f R [, לכן, לפי תנאי רימן, קיימת חלוקה P של [b,] עם: ( ) U (f, P ) L (f, P ) < δε U (h, P ) L (h, P ) < [(b ) + (L l)] ε טענה 2.3 M i = sup {f (t)}, m i = inf {f (t)}, x i t x i L i = sup {h (t)}, l i = inf {h (t)} הוכחה: יהיו: כאשר l, L מקיימים.l h L g B [m, M], f B [, b] h = g f B [, b] 32

33 9 נסמן: i G M i m i δ i G l i L i < ε i B δ < M i m i כעת: U (h, P ) L (h, P ) = n (L i l i ) x i = (L i l i ) x i + (L i l i ) x i i G i B i= (L i l i ) x i < ε n x i ε x i = ε (b ) i G i G i= n ( ) = (M i m i ) x i < δε δ x i < (M i m i ) < δɛ i= i B i B δ x i < δε x i < ɛ (L i l i ) x i (L l) x i i B i B i B i B (l L) x i < (L l) ε i B U (h, P ) L (h, P ) = (L i l i ) x i + (L i l i ) x i < ε (b ) + (L l) ε i G i B = [(b ) + (L l)] ε f 2 R [, b] מסקנה 2.4 תהי b].f R [, אזי: מסקנה 2.5 אם גם b] g R [, אז b].f g R [, זאת כי ראינו כי: (f + g) R [, b] (f + g)2 f 2 g 2 2 = f g R [, b] מסקנה 2.6 כמו כן, b] f R [, מסקנה 2.7 אם > 0 f וחסומה מאפס, אז b]. f R [, המשך המסקנות: מסקנה 2.8 אם < m g M,0 אזי 0 < M g m. g אזי b] R [, B = Bound 9 33

34 למה 2.9 תהי b] f, f B [, רציפה ב ( b.(, אזי b].f R [, הוכחה: נניח ש M.m f בהנתן > 0 ε נבחר < c < d < b המקיימות: (M m) (c ) < ε 3, (M m) (b d) < ε 3 לאחר בחירה של,c, d נשים לב ש f רציפה ב [ d,c] ולכן אינטגרבילית בו. לפי קריטריון רימן, תהי Q חלוקה של [d,c] המקיימת: U (Q) L (Q) < ε 3 אזי נגדיר b}.p = Q {, כעת: U (P ) L (P ) = (M m) (c ) + U (Q) L (Q) + (M m) (b d) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε 0 מסקנה 2.20 אם [b f B,] בעלת מספר סופי של נקודות אי רציפות, אזי b].f R [, הגדרה 2.2 אם b} P = { = x 0 <... < x n = חלוקה של b].[, אזי n} λ (P ) = mx { x i, i =,..., יקרא פרמטר החלוקה. הערה 2.22 קיימות חלוקות של P עם פרמטר קטן כרצוננו בהנתן > 0 δ מספיק לבנות חלוקה אוניפורמית עם n חלקים, כאשר: b n < δ הגדרה 2.23 תהי f חסומה, ו.A D f אזי התנודה של f ב תסומן להיות: ω (f, A) = M m כאשר: M := sup {f (t), f A} m := inf {f (t), t A} ω (f) = ω (w, D f ) 0 כמסקנה, התלמיד הרציני יוכיח את המשפט הבא: תהי fבקטע [b,], ונניח שלכל תת קטע סגור פנימי הפונקציה אינטגרבילית. אזי הפונקציה אינטגרבילית בכל הקטע. 34

35 הערה 2.24 אם b] f B [, ו P חלוקה של b],[, אזי: n n U (P ) L (P ) = (M i m i ) x i = ω i x i ω i = ω (f, [x i, x i ]) i= i= למה 2.25 תהי b],f B [, ותהי P חלוקה של b],[, ונניח כי : P = P {y} אזי U (P ) L (P ) U (P ) L (P ) + ωλ (P ) w = (M m ) (y x i ) w = (M m ) (x j y) w j = (M j m j ) (x j x j+ ) w j (w + w ) M m }{{} λ (P ) ω(f) U (P ) L (P ) = U (P ) L (P ) (w + w ) + w j U (P ) L (P ) + ω (f) λ (P ) הוכחה: תחת הסימונים מההגדרו מעלה, קיים j יחיד עם.x j < y < x j משפט 2.26 תהי [b f. B,] אזי התנאים הבאים שקולים:. ε > 0 P U (P ) L (P ) < ε 2. ε > 0 δ > 0 P λ (P ) < δ U (P ) L (P ) < ε הוכחה: 2 טריוויאלי : 2 בהנתן > 0,ε תהי b} Q = { = x 0 < x <... < x l+ = חלוקה של b],[, U (Q) L (Q) < ε < ε.λ (P ) < ε ε lω אשר מקיימת לפי : נניח ש f קבועה, לכן 0 ω, ונניח ש l. ε ε = δ <.0 אזי, תהי P עם lω תהי 35

36 נתבונן ב Q P. נשים לב שהוספנו לכל היותר l נקודות ל P. Q P Q L (Q) L (P Q) U (P Q) U (Q) U (P Q) L (P Q) < ε P מקבלת מ Q P ע"י השמטה של l נקודות לכל היותר, לכן לפי הלמה הקודמת : U (P ) L (P ) U (P Q) L (P Q) + lωλ (P ) < ε + lωλ (P ) = ε + (ε ε ) = ε b f := f := 0 f כמו כן: הגדרה 2.27 תהי b]. < b,f R [, אזי: f := c f + c f ואם < c < b אזי: < b b < נניח כי f. M אזי יתקיים: f f M (b ) f = f f M ( b) = M b b b f f M (b ) כלומר בכל מקרה: (P = P Q) 36

37 2.2 האינטגרל לפי רימן 2.2. סכומי רימן הגדרה 2.28 תהי b] f B [, ו P חלוקה. נכנה בשם סכום רימן S של f עבור P ביטוי מהצורה: n S = f (t i ) (x i x i ) i= כאשר.x i t i x i משפט 2.29 תהי b].f R [, אזי לכל סדרה P n של חלוקות עם סדרת פרמטרים ) n λ P) ששואפת ל 0, ולכל סדרה ) n S) של סכומי רימן של f עבור P n בהתאם, אז: S n f אינטגרביליות רימן הגדרה 2.30 תהי f מוגדרת ב [ b,]. נאמר ש f אינטגרבילית לפי רימן, אמ"מ קיים מספר J R המקיים: ε > 0 δ > 0 S S J < ε כאשר S סכום רימן של f עבור חלוקה P של b] [, עבורה.λ (P ) < δ תרגיל: הוכיחו את יחידות המספר J! למה 2.3 תחת תנאים אלו, f חסומה ב [ b,]. הוכחה: נניח כי f עומדת בתנאי ההגדרה כלומר כי קיים J כנ"ל. אזי, בפרט עבור = ε יהי > 0 δ מתאים, ויהי S סכום רימן של f עבור חלוקה מסויימת P עבורה λ. P) ) < δ כלומר, יהיו: n = x 0 t x... t n x n = b, S = f (t i ) x i לכן, מתקיים: < S J < + J < S < + J יהי ] j,s j [x j, x כאשר j n. נגדיר: i= S j = i j f (t i ) x i + f (s j ) x j 37

38 נשים לב סכום רימן S j זה מתאים אף הוא לאותה החלוקה P. על כן, גם הוא מקיים: + J < S j < + J S S j < 2 S S j = f (t j ) x j f (s j ) x j 2 + f (t j ) x j < f (s j ) x j < 2 + f (t j ) x j 2 + f (t j ) x j x j < f (s j ) < 2 + f (t j) x j x j זה נכון לכל הנקודות בקטע ] j x], j, x לכן הפונקציה חסומה בכל קטע מסוג זה, ולכן היא חסומה ב [ b,] קריטריון קושי משפט 2.32 תהי f מוגדרת ב [ b,]. אזי f אינטגרבילית לפי רימן אמ"מ: ε > 0 δ > 0 S, S S S < ε כאשר S S, סכומי רימן של f עבור חלוקות שעבורן.λ (P ) < δ הוכחה: בכיוון הראשון, נניח כי f אינטגרבילית לפי רימן. אזי, בהינתן > 0 ε יהי > 0 δ אשר מבטיח את התנאי הבא: S S J < ε = ε 2 עבור סכום רימן כלשהוא של f עבור חלוקה P עם λ. P) ) < δ יהיו S,S סכומי רימן של f עבור חלוקות עם פרמטר חלוקה גדול מ δ בהתאם. אזי: S S = S J + J S S J + J S ε 2 + ε 2 = ε בכיוון השני, נניח ש f מקיימת את תנאי הקריטריון. נבחר סדרה S n של סכומי רימן של f עבור סדרה P n של חלוקות בהתאם המקיימות λ. P) ) < n בהנתן > 0,ε יהי > 0 δ אשר מבטיח. S S < ε לכל S,S סכומי רימן של f עבור חלוקות עם פרמטר חלוקה קטן מ δ בהתאם,. n < N < δ מתקיים N < n N, ולכן עבור N קיים N N עם < δ אזי, בהנתן :N < n, m N S n S m < ε ומכאן ש S n הינה סדרת קושי ועל כן היא מתכנסת. יהי J גבולה. נראה ש J מקיים את תנאי ההגדרה: בהנתן > 0 ε, ε 2 = יהי > 0 δ שמתאים לו לפי הקריטריון. נבחר אינדקס m N המקיים את שני התנאים הבאים: iλ (P m ) < δ ii S m J < ε = ε 2 יהי S סכום רימן של f עבור חלוקה P עם λ. P) ) < δ אזי: S J S S m + S m J < ε 2 + ε 2 = ε 38

39 2.3 המשפט היסודי של האינפי 2.3. המשפט היסודי גרסא רשמית F := t משפט 2.33 תהי f אינטגרבילית ב [ b,], ותהי: f (t) dt, x b אזי F רציפה ב [ b,]. יתר על כן, F גזירה בכל [b x,] בה f רציפה, ומתקיים: F (x) = f (x) הוכחה: למעשה נוכיח טענה חזקה יותר, ומתוכו תנבע נכונות המשפט מעלה. F (y) F (y) = y f x y f = y x f M y x יהיו b].x, y [, אזי: כאשר f M ב [ b [, 2. לכן, מצאנו כי למעשה F הינה ליפשיץ ב [ b,], ולכן רציפה במ"ש ב [ b,], ובפרט רציפה בקטע [y,x]. F (x) F (c) x c = F (x) F (c) x c x f c f x c תהי b],c [, ונניח ש f רציפה ב c. עבור :x c x c = f x c f (c) = 0 F (x) F (c) x f (c) x c = c f x c f (c) x c x x c = c f x x c f (c) c x c = x [f (t) f (c)] dt c = x c t [, b] t c < δ f (t) f (c) < ε יספיק לנו להראות: x c f x נעשה זאת: c f (c) x c f רציפה ב c, ולכן, בהנתן > 0 ε יהי > 0 δ עם: x c < δ F (x) F (c) x c f (c) ε x c x c = ε ולכן: 2 החסימות נובעת כמובן מאינטגרביליות הפונקציה 39

40 F (x) = x במקרה שבו הפונקציה f רציפה בכל נקודה, יכולנו להוכיח בצורה הבאה: f (t) dt F F (x) F (c) (c) = lim x c x c F (x) F (c) = x c f (t) dt c < x m (x) f (t) M (x) m (x) (x c) m (x) f (c) x c x c x c m (x) x f (t) dt M (x) (x c) f (t) dt M (x) x c c f (t) dt x c M (x) המשפט היסודי גרסא שימושית למת"פ משפט 2.34 תהי f רציפה ב[ b,], ותהי G גזירה ב [ b,] עם G, = f אז: f (t) dt = G (b) G () (G F ) = G F = f f 0 f (t) dt = F (b) F () x הוכחה: תהי F (x) = f (t) dt כמקודם. אז: G F = C (constnt) G (b) G () = (F + C) (b) (F + C) () = F (b) + C (F () + C) = F (b) F (),]! [b גזירה בכל F רציפה, ולכן f המשפט היסודי גרסא שימושית לאינפי 2 הגדרה 2.35 נאמר ש F קדומה של f ב [ b,] אם F רציפה, גזירה פרט אולי למספר סופי של נקודות ב [ b,]. ומקיימת F = f בכל נקודה אחרת. 40

41 משפט 2.36 תהי f אינטגרבילית ב [ b,], ו F קדומה שלה באותו הקטע. אזי: f (t) dt = F (b) F () הוכחה: נראה שלכל חלוקה P של [b, ]מתקיים: L (P ) F (b) F () U (P ) בה"כ ניתן להניח ש P מכילה את כל אותן הנקודות, אם יש כאלה, במספר סופי, ש F אינה גזירה בהן. P = { = x 0, x,..., x n = b} F (b) F () = F (x ) F (x 0 ) + F (x 2 ) F (x ) F (x n ) F (x n ), i n לכל (x i, x i וגזירה ב ( [x i, x i רציפה ב [ F ולכן, לפי משפט ערך הממוצע, קיימים ) i t i (x i, x עם: F (x i ) F (x i ) = f (t i ) (x i x i ) n F (b) F () = f (t i ) x i i= ביטוי אחרון זה הינו סכום רימן של f עבור עבור P. על כן: n L (P ) f (t i ) x i U (P ) i= ומכאן נכונות הטענה המשך דיון משפט 2.37 תהי f רציפה ב [ b,]. אזי, קיים b) c (, המקיים: f (t) dt = f (c) (b ) x הוכחה: תהי f F. (x) = f (t) dt רציפה. אזי, לפי המשפט היסודי: f (t) dt = F (b) F () L grnge = F (c) (b ) = f (c) (b ) 4

42 2.4 האינטגרל הלא מסויים ושיטות אינטגרציה הגדרה 2.38 נאמר ש F קדומה של f בקטע I אמ"מ F = f ב I. הגדרה 2.39 נגדיר את האינטגרל הלא מסויים בצורה הבאה: f := {F F = f} = F + C, C constnt { x dx = lnx + C x > 0 = ln x + C ln ( x) x < 0 דוגמא: k R (f + g) = נשים לב כי גם במקרה של האינטגרל המסויים מתקיים: kf = k f + f g נלמד כעת מספר שיטות למציאת פונקציה קדומה: 2.4. אינטגרציה לפי הצבה e x2 + C = e sinx + C = e lnx + C = e x + C = F (g (x)) + C = F (t)+c e x2 2xdx e sinx cosxdx e lnx x dx e x x dx f (g (x)) g (x) dx = f(t)dt, t=g(x), dt=g (x)dx תחילה, דוגמאות: מהי השיטה? דוגמאות: x 2 dx x=g(t)=cos(t) = g (t)= sin(t) cos2 (t) ( sin (t)) dt = t = g (x) = rccos (x) dx = rccosx + C x 2 dt = t + C. 42

43 x2 dx x=cos(t) = t=rccos(t) cos2 (t) ( sin (t)) dt = T rig sin 2 cos (2t) (t) = 2 ( ) = cos (2t) = 2 [ dt sin 2 (t) dt ( ) ] cos (2t) dt dt = 2 2 [t 2 ] sin (2t) + C = [sin (t) cos (t) t] + C 2.2 כעת, לאינטגרל המסויים: משפט 2.40 תהי d]) g C ([c, (כלומר g גזירה ברציפות בקטע זה), ותהי f רציפה ב ([ d g.,c]) אזי g (f g) אינטגרבילית בקטע d] [c, ומתקיים: f (x) = d c f (g (t)) g (t) dt כאשר (d). = g (c), b = g דוגמא: x2 dx 0 x=cos(t) = t=rccos(t) π π = 0 = 2 cos2 (t) ( sin (t)) dt = π π π 0 sin 2 (t) dt cos (2t) dt = dt + cos (2t) dt = π [ π + ] 2 sin (2t) π 0 = [π + 2 ] 2 (0 0) = π 2 π 0 cos (2t) 2dt הוכחה: תחילה, נשאל, מדוע (t) f (g (t)) g אינטגרבילית? g גזירה ברציפות ב [ d,c], ובפרט היא רציפה, ולכן f g רציפה בקטע זה, ולכן f g אינטגרבילית שם. מצד שני, g רציפה ב [ d,c], ולכן היא אינטגרבילית בקטע זה. ולכן, בסה"כ, אלו שתי פונקציות אינטגרביליות, ולכן הכפל שלהם אינטגרבילי גם כן. b כעת, תהי F.F () = f (x) dx היא קדומה של,f כי f רציפה ב [ b,[, ומתקיים: x [, b] F (x) = f (x) (f g) g = (F g) g Chin rule = (F g) כעת: 43

44 נשים זוהי פונקציה רציפה, ולכן (g F) הינה קדומה של g f). (g לכן, לפי המשפט היסודי בגרסא השימושית (המעבר הראשון והאחרון): d f (g (t)) g dt = (F g) d c = F (g (d)) F (g (c)) = F (b) F () = c f (xdx) נשים לטעות נפוצה אם f גזירה, אזי f אינה בהכרח אינטגרבילית! אינטגרציה לפי חלקים יהיו,g f פונקציות בעלות נגזרות רציפות. אזי: (f g) = f g + fg f g = (f g) fg f g = (f g) f g = f g f g f g {}}{ e x {}}{ x dx f (x) = e x, g (x) = = e x x e x dx = e x x e x + C דוגמאות:. f {}}{{}}{ sin (x)dx = e x sinx e x g = e x sin (x) e x cos (x) 2 f {}}{{}}{ cos (x) dx = e x sin (x) e x g e x ( sin (x)) dx e x sin (x) dx = e x sin (x) e x cos (x) e x sin (x) dx = ex sin (x) e x cos (x) 2 + C [ e x cos (x) ] e x ( sin (x)).2 sin 2 (t) dt = f T rig = cos (t) sin (t) + 2 g {}}{{}}{ sin (t) sin (t)dt = ( cos (t)) sin (t) dt sin 2 (t) dt sin 2 (t) dt = t cos (t) sin (t) sin 2 (t) dt = t cos (t) sin (t) 2 + C ( cos (t)) cos (t) dt.3 44

45 ln (x) dx = f {}}{ g {}}{ ln (x)dx = xln (x) x dx = xln (x) x + C x.4 A f (x) g (x) dx = f (x) g (x) b משפט 2.4 יהי b]).f g C ([, אזי: f (x) g (x) dx f g b = הוכחה: תהי g) (f רציפה ב [ b.[, כנ"ל g f ו g.f לכן, שלושתן אינטגרביליות ב [ b.[, (f g) (x) dx = [f (x) g (x) + f (x) g (x)] dx = f g קדומה של g),(f ולכן, מהמשפט היסודי: f (x) g (x) dx + f (x) g (x) dx הערה f 2.42 רציפה ב [ b,] האינטגרל הלא מסויים הגדרה 2.43 תהי b].f R [, אזי לכל b] :c [, F c (x) = x c f (t) dt תקרא אינטגרל לא מסויים של f ב [ b,]. F c (x) = x c f = c f + x f }{{} F :=F נשים מלינאריות: אם f רציפה ב [ b,], אזי F גם קדומה של f ב [ b,]. מה ההבדל בין אינטגרל לא מסויים לפונקציה קדומה? מתוך וויקיפדיה (מכיוון ועד כה לא הצלחתי להבין מה צביק עשה יעודכן בתקווה בהמשך): האינטגרל המסוים של פונקציה נתונה על פני קטע סופי הוא מספר השווה לשטח הכלוא בין ציר ה x לגרף הפונקציה בין קצוות הקטע. האינטגרל לא מסויים של פונקציה f אינו כפול לקטע זהו אוסף כל הפונקציות הממשיות שנגזרתן שוות ל f. 45

46 F (x) = F (x) = F (x) = f (x) x f במשפט היסודי, אם f רציפה, אזי:.F c (x) = x c מקיימת: כנ"ל לגבי כל עוד קצת עם פולינום טיילור בהקשר הזה תהי b].f C n [, הגדרנו את פולינום טיילור (x) T n f כל ש: f (x) = T n f (x) + R n (x) R n (x) = x f (n+) (t) (x t) n dt n! f (x) = f (t) + f (t) (x t) f (n) (t) n! dr n (x, t) dt משפט 2.44 אם b],f (n+) R [, אזי: באחת ההוכחות של פולינום טיילור, ראינו כי: + R (x, t) }{{} =S(t) ולכן: = S (t) = f (n+) (t) (x t) n n! לכן, S קדומה של הביטוי מימין באותו הקטע, x S (x) S () = f (n+) (t) (x t) n dt n! S (x) = 0 ( R n (x, x)), S () = R n (x) R n (x) = x f (n+) (t) (x t) n dt n! ולכן מהמשפט היסודי: f (x) = עוד כמה נקודות... דוגמא לפונקציה שיש לה קדומה, אך אינה אינטגרבילית: { x 2 sin ( ) f (x) = x x x = 0 { 2xsin ( ) x + x 2 cos ( ) 2 x x x = 0 f גזירה ב R. נביט בנגזרת: היא אינה חסומה בסביבה כלשהיא של אפס, ועל כן איננה איטגרבילית בקטע המכיל את הראשית. 46

47 דוגמא לפונקציה שאין לה קדומה: תחילה, נביט בפונקציה [x] f (x) = פונקציה זו לא מקיימת את הדרישה! יש לה קדומה, אפילו רציפה וגזירה באפס. נבצע מניפולציה קלה: f (x) = x [x] פונקציה זו אינה רציפה בכל נקודה בה x. Z בכל קטע סביב נקודה שכזו לא תהיה פונקציה קדומה כי היא לא מקיימת את משפט דרבו לערך הביניים של נגזרת. לכן, פונקציה כזו לא יכולה להיות נגזרת של פונקציה אחרת! בנוסף, נביט בפונקציית רימן יש לה אינטגרל לא מסויים, "פונקציה מצטברת", כמו לכל פונקציה אינטגרבילית. האינטגרל הלא מסוים הזה גזיר בכל נקודה. אם הוא היה רציף הוא היה פונקציה קדומה. אבל, פונקציית רימן גם היא אינה מקיימת את משפט ערך הביניים של דרבו לנגזרת, ולכן היא לא יכול להיות נגזרת של פונקציה בקטע. 2.5 פונקציית מדרגות הגדרה 2.45 נאמר ש ϕ המוגדרת בקטע [b,] הינה פונקציית מדרגות, אם קיימת חלוקה b} P = { = x 0 < x <... < x n = של b],[, וקיימים c,..., c n R כך ש ϕ (xi,x i) c i נסמן את קבוצת פונקציות המדרגות ב [ b S. =,] קבוצה זו סגורה לחיבור וכפל בסקלר ולכן הינה מרחב וקטורי. 3 סוג של משפט, והוכחה "באוויר" S [, b] R [, b] מאדטיביות ניתן להוכיח אינטגרביליות בכל תת קטע, וזה מספיק לאינטגרביליות של הפוונקציה כולה. בכלל, כל פונקציה המקיימת תכונות טובות "למקוטעין" רציפה למקוטעין, גזירה למקוטעין, מונוטוניות למקוטעין אינטגרבילית. משפט 2.46 תהי [b f. B,] אזי התנאים הבאים שקולים:.[, b] אינטגרבילית בקטע f. 3 היא גם סגורה לכפל ולכן מקיימת מבנה חזק יותר. 47

48 ε > 0 ϕ, ψ S [, b] ϕ f ψ ϕ ψ < ε.2 ε > 0 g, h R [, b] g f h h g < ε.3 הערה 2.47 אם b],f B [, אזי לכל חלוקה P של b] [, L (P ) = ϕ, ψ = U (P ) קיימות b] ϕ, ψ S [, כך ש ψ ϕ f כך ש: הוכחה: להערה: ψ (xi,x i) M i = sup {f (t) x i t x i } ϕ (xi,x i) m i = inf {f (t) x i t x i } ϕ (x i ) = f (x i ) = ψ (x i ) נוכיח את המשפט: הוכחה: 2 נניח ש [ b f. R,] אזי, לפי ההערה, f מקיימת את תנאי 2, b.l (P ) = ϕ, U (P ) = b כלומר קיימות,ϕ ψ כנ"ל כך ש ψ בנוסף, לפי קריטריון האינטגרביליות של רימן, לכל > 0 ε קיימת חלוקה P של [b,] כך ש: U (P ) L (P ) < ε ψ ϕ < ε לכן: 2 3 טריוויאלי, שהרי ראינו כי b] S [, b] R [, 3 תהי: h := inf {U (h, Q)},ε = ε 3 קיימת חלוקה P n המקיימת: לכן, בהנתן טוב את זה צריך לסדר... עוד דוגמאות של אינטגרציה בהצבה יוקלדו מאוחר יותר

49 2.6 פונקציות רציונליות מטה מוקלד החומר של צביק בנושא. עממה, הוא הציג את הנושא הזה בצורה ממש מסובכת. אנסה להביא בהמשך חלקים מחוברת מת"פ של רות לורנס נאימרק המצויינת להסבר פשוט יותר. R (x) = P x (x) + P (x), degp < degq Q (x) P (x) = C (x ) n... (x n ) nr (x 2 + 2b x + c ) m... ( x 2 + 2b 2 x + c s ) ms, 0 < nj, m j > 0 A כאשר < 0 c b 2 j (הדיסקרימיננטה) עבור. k l, k l, j s כל פונקציה רציונלית מהצורה הזו ניתן להציג כסכום של שברים פשוטים. (x ) + A 2 (x ) A n (x ) n B x + C 2. (x 2 + bx + c) + B 2x + C 2 (x 2 + bx + c) B mx + C m (x 2 + bx + c) m כלומר ביטויים מאחת מן הצורות הבאות: נראה השימוש בסדרות: I n = (x ) n dx, n N x x 2 I n+ = (x ) n dx = (x ) n dx I n x 2 x (x ) n dx = (x ) n }{{} x dx }{{} g f וכו', המשך יוקלד בהמשך... 49

50 2.7 האינטגרל הלא אמיתי נרצה להכליל את מושג האינטגרל ולהגדיר: אינטגרל על קטעים לא חסומים. 2. איטגרל של פונקציות לא חסומות אינטגרל על קטעים לא חסומים הגדרה 2.48 תהי f מוגדרת בקטע ) [, כאשר. R נניח ש f אינטגרבילית בכל קטע מהצורה [b,] כך ש R. < b lim b f f (x) dx = lim f b נאמר ש f אינטגרבילית ב I אמ"מ קיים הגבול: f (t) dt במקרה זה נסמן גבול זה ע"י: כלומר: ונאמר שאינטגרל זה מתכנס. אחרת, נאמר שהאינטגרל f מתבדר. דוגמאות 0 + x 2 dx 0 0 π dx = rctn (b) rctn (0) + x2 b 2 e x dx = lim b ( e x ) b 0 = 0 ( e 0) = 0 0 x dx dx = lim x b ln b = sin (x) dx = lim b ( cos (b) ( )) גבול זה לא קיים, לכן האינטגרל מתבדר

51 2.7.2 תכונות האינטגרל הלא אמיתי יהיו g, f איטגרביליות בקטע ) [,.I = f 0 f 0. חיוביות: f g f g 2. מונוטוניות: f + g = k R 3. לינאריות נשים לב שכאן יש מסקנה מוסתרת של קיום: f + kf = k g f < c < c f = f + c f 4. אדטיביות: קריטריון קושי משפט 2.49 תהי f אינטגרבילית בכל קטע b] [, עבור < b (כאשר קבוע, ולכל.(f R [, b] < b ε > 0 B R b, b R B < b < b b f < ε מתכנס אמ"מ אזי f ההוכחה מושארת כתרגיל אך נובעת ישירות ממשפט קושי לגבול של פונקציה. 5

52 2.7.4 מבחן ההשוואה משפט 2.50 יהיו,f g אינטגרביליות בכל תת קטע סגור של הקטע (,] I. = נניח שקיים < k R 0 כך שלכל f (x) kg (x) x I.0 אזי: מתכנס. מתבדר. מתכנס, גם f. אם g מתבדר, אזי גם g.2 אם f F (b) := f (t) dt הערה 2.5 עולה (כי 0 f) ולכן f מתכנס אמ"מ F חסומה. הוכחה: ל : F (b) := f (t) dt G (b) := מתכנס, ולכן: מתכנס, ולכן מלינאריות kg g kg (x) dx מתכנסת. מתכנס אזי G חסומה, ולכן F חסומה, ועל כן f לפי ההערה, מכיוון ש kg ל 2 : בשלילה, אילו האינטגרל של g היה מתכנס, אזי האינטגרל f היה מתכנס, בסתירה להנחה. דוגמאות e x2 dx e x dx <. x e x2 < e לכל, < x לכן: e x2 dx לכן, לפי מבחן ההשוואה: e x dx מתכנס, ולכן גם: מתכנס גם הוא. 52

53 2. נביט ב: f (x) = x P { x α dx = lnb 0 < α R, α = α x b α α אם > :b, 0 > α מתכנס אמ"מ >,α ובמקרה זה: x α dx = α לכן x α dx 0 f (x) = sinx x dx { sinx x x 0 x = 0 דוגמא מאוד חשובה ומעניינת! כאשר כוונתנו כמובן היא לפונקציה הרציפה: sinx x dx P rts = = cosx x b ( cosx) ( x ) 2 dx האינטגרל הנ"ל מתכנס: lim b sinx x מתכנס. 0 dx = cos () cosx x 2 dx מתכנס, 4 ולכן: sinx x מתכנס, ומכאן כי dx cosx x האינטגרל dx 2 sinx x ולכן הגבול קיים, ו dx 4 כמובן שאת זה צריך להוכיח אולם עדיין לא למדנו. בהמשך יוכח ע"י התכנסות בהחלט ומבחן ההשוואה. 53

54 מתכנס. B < < b < b b התכנסות בהחלט ובתנאי מתכנס בהחלט אמ"מ f הגדרה 2.52 נגיד ש f f < ε משפט 2.53 התכנסות בהחלט התכנסות. b f < ε הוכחה: נוכיח בעזרת תנאי קושי בהנתן > 0,ε קיים B R כך ש: b f b f < ε אבל אנו יודעים כי: ומכאן הטענה. הגדרה 2.54 נאמר ש f אינטגרבילית בתנאי ב (,] I = אמ"מ מתבדר. מתכנסת, אבל f f sinx x dx מתבדר. sinx x דוגמא מתכנס בתנאי. מדוע? נראה כי dx sinx, ולכן לכל,sin 2 x sinx x R ולכן: sin 2 x x sinx x נזכור, מטריגונומטריה: cos2x = 2sin 2 x sin 2 x = cos2x 2 sin2 x x = 2 ( x cos2x ) x ולכן: מתבדר, sin 2 x x מתבדר, ולכן dx x dx מתכנס, אבל cos2x x dx ומכן, לפי מבחן ההשוואה, sinx x dx מתבדר אינטגרל של פונקציה שאינה חסומה x בקטע בין 0 ל : נביט בגרף של הפונקציה

55 0 מתבדר. 0 x x 2 dx = rcsin 0 = π 2 0 = π 2 השטח אינו חסום, ולכן האינטגרל לעומת זאת: במקרה זה האינטגרל מתכנס! הגדרה 2.55 תהי f מוגדרת בקטע (b I, =,] ונניח ש f אינטגרבילית בכל תת קטע סגור של I. קיים. b מתכנס, ונסמן באותו סימן את גבולו. b נאמר ש f אינטגרבילית ב I אמ"מ lim f ε 0,ε>0 +ε במקרה זה נאמר שהאינטגרל הלא אמיתי דוגמאות יתבדר, כי הרי הוא גדול 0 0 x 2 dx x dx, 2 ולכן גם 0 x אנו יודעים כי.0 < x עבור כל < x x 2. נשים..2 מ 0 x 2.8 הגדרה אנליטית של הפונקציות הטריגונומטריות

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים

חדווא 2 סיכום טענות ומשפטים חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים 3 ביוני 2 n S(f, T ) := (t k+ t k ) inf k= סכום דרבו תחתון מוגדר על ידי [t k,t k+ ] f אינטגרל רימן חלוקות של קטע חלוקה של קטע [,] הינה אוסף סדור סופי של נקודות מהצורה: טענה.2

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב מערך תרגיל קורס 89-33 סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי למדעי המחשב יוני 05, גרסה 0.9 מבוא נתחיל עם כמה דגשים: דף הקורס נמצא באתר.www.math-wiki.com שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

פונקציות מרוכבות בדצמבר 2012

פונקציות מרוכבות בדצמבר 2012 פונקציות מרוכבות 80519 אור דגמי, or@digmi.org 30 בדצמבר 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ גנאדי לוין בשנת לימודים 2013 מייל של המרצב: levin@math.huji.ac.il אפשר לקבוע פגישה. הקורסלאמבוססעלאףספרספציפי,

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסמלי 2 סיכומי הרצאות

חשבון אינפיניטסמלי 2 סיכומי הרצאות חשבון אינפיניטסמלי סיכומי הרצאות 9 ביולי מרצה: פרופ מתניה בן ארצי מתרגל: מני אקא mennyk@mth.huji.c.il סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmil.com הערה לקראת המבחנים כרגע חסרים מספר דברים

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z.

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z. פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן הגדרה 5. טורלורןסביבקוטב z מסדרm שלפונקציה( f(z הואמהצורה n m a n(z z m. למשל,טורלורן שלהפונקציה e z /z 2 סביב הוא + 2./z 2 +/z+/2+/3!z+/4!z משפט 5. תהי f פונקציה אנליטית

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי (2)

חשבון אינפיניטסימלי (2) חשבון אינפיניטסימלי (2) איתי שפירא 30 ביוני 2017 מתוך הרצאות מהאונברסיטה העברית 2017. i.j.shpir@gmil.com תוכן עניינים 1 מבוא והשלמות 5 1.1 כלל לופיטל................................. 5 1.2 חקירת פונקציות..............................

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות 13 בינואר 211 מרצה: אילון לינדנשטראוס מתרגל: רון רוזנטל סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmail.com אתר הסיכומים שלי: http://bit.ly/huji_notes

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3..................................

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעד (2014) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012 חשבון אינפיניטסימלי מתקדם 836 II אור דגמי, or@digmi.org ביוני אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ ארז לפיד בשנת לימודים נושאים לקורס. המרחב.C(K). קירוב ע י פולינומים, משפט Stone-Weirstrss

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

1 סכום ישר של תת מרחבים

1 סכום ישר של תת מרחבים אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( ) 9. חשבון אינטגרלי. עד כה עסקנו בבעיות של מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה. נשאלת השאלה בהינתן נגזרת האם נוכל למצוא את הפונקציה המקורית (הפונקציה שנגזרתה נתונה)? זוהי שאלה קשה יותר, חשבון אינטגרלי דן בבעיה

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר דקדוק חסר הקשר דקדוק חסר הקשר הנו רביעיה > S

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012 מבנים אלגבריים 80446 II אור דגמי, or@digmi.org 27 במרץ 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ אלכס לובוצקי בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים 1 שדות 3 1.1 תזכורת מהעבר....................................................

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r ל' ' פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות חישוביות הרצאה 4 האם כל פונקציה מלאה היא פרימיטיבית רקורסיבית? לא נראה שתי הוכחות: פונקציות רקורסיביות (המשך) זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה קיומית: קיימות פונקציות

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס תורת הקבוצות (80200) באוניברסיטה העברית, תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L

Διαβάστε περισσότερα

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים לכסון מטריצות יהי F שדה ו N n נאמר שמטריצה (F) A M n היא לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית כלומר, אם קיימת מטריצה הפיכה (F) P M n כך ש D P AP = כאשר λ λ 2 D = λ n

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשסט 467 אלגברה א', סמסטר חורף תשס"ט, פתרונות לשיעורי הבית, עמוד מתוך 6 467 אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט תוכן עניינים : גליון שדות... גליון מרוכבים 7... גליון מטריצות... גליון 4 דירוג,

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות λ = 0 A. F n n ערך עצמי של A אם ורק אם A לא הפיכה..det(λ I ערך עצמי של λ F.A F n n n A) = 0 אם ורק אם: A v וקטור עצמי של Tהמתאים יהי T: V V אופרטור לינארי. אם λ F ערך עצמי של,T לערך העצמי λ, אזי λ הוא

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

משוואות דיפרנציאליות רגילות 80320

משוואות דיפרנציאליות רגילות 80320 1 משוואות דיפרנציאליות רגילות 832 דויד שיפרוט 25 ביוני 215 תוכן עניינים Á מבוא 2 1 הגדרות................................................................ 2 4 ÁÁ משוואות מסדר ראשון משוואה לינארי מסדר ראשון:.....................................................

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 שאלון: 316, 035806 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 E נתון: 1 רוכב אופניים רכב מעיר A לעיר B

Διαβάστε περισσότερα

הרצאות בבקרה לא-לינארית (046196) פרק 7.

הרצאות בבקרה לא-לינארית (046196) פרק 7. הרצאות בבקרה לא-לינארית (04696) מאת פרופ' נחום שימקין טכניון הפקולטה להנדסת חשמל חורף תשס"ה פרק 7. יציבות מוחלטת של מערכות משוב נעבור עתה לדיון ביציבות של מערכת משוב מסוג מסוים הכוללת מערכת לינארית ורכיב

Διαβάστε περισσότερα

ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ. Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â. ÈÂÒÈapple  Ó

ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ. Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â. ÈÂÒÈapple Â Ó ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ ÂȈ appleâù Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â ÈÂÒÈapple Â Ó תוכן העניינים 7 9 6 0 8 6 9 55 59 6 מושגים בסיסיים... אינטרוולים וסביבות... מאפיינים של פונקציות... סוגי הפונקציות ותכנותיהם...

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות

אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות סוכם ע"פ הרצאות פרופ' מ.קריבלביץ' 1.2 אידאלים של פולינומים הגדרה 1.13 יהי F שדה. קבוצת פולינומים [x] I F נקראת אידיאל ב [ x ] F אם מתקיים:.0 I.1.2 לכל f 1, f 2 I מתקיים.f

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 תורת הקבוצות 80200 אור דגמי, ÓÖ Ñ ºÓÖ 11 בפברואר 2012 אתר אינטרנט: ØØÔ»» Ñ ºÓÖ תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים מבוא.............................................

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)

Διαβάστε περισσότερα

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx פרק 9: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי O 9 ושל בציור שלפניך מתוארים גרפים של הפרבולה f() = נמצאת על הנקודה המלבן CD מקיים: הישר = 6 C ו- D נמצאות הפרבולה, הנקודה נמצאת על הישר, הנקודות ( t > ) OD = t נתון:

Διαβάστε περισσότερα

קובץ שאלות ופתרונות של שאלות ממבחנים מנושאים שונים

קובץ שאלות ופתרונות של שאלות ממבחנים מנושאים שונים אוטומטים ושפות פורמליות 236353 סמסטר אביב 2016 קובץ שאלות ופתרונות של שאלות ממבחנים מנושאים שונים קובץ ונערך ע"י אורן אשכנזי ומיכל הורוביץ תכונות סגור ודקדוקים רגולריים. עבור שפות L 1, L 2 מעל א"ב Σ נגדיר

Διαβάστε περισσότερα

logn) = nlog. log(2n

logn) = nlog. log(2n תכנוןוניתוחאלגוריתמים סיכוםהתרגולים n log O( g( n)) = Ω( g( n)) = θ ( g( n)) = תרגול.3.04 סיבוכיות { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 f ( n) c g( n) } { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 c g( n) f ( n) } { f ( n)

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 5. שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), בשתי דרכים:

אוסף שאלות מס. 5. שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), בשתי דרכים: אוסף שאלות מס. 5 שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), חשבו את הנגזרת (t) g בשתי דרכים: באופן ישיר: על ידי חישוב ביטוי לפונקציה g(t) וגזירה שלו, בעזרת כלל השרשרת. בידקו

Διαβάστε περισσότερα

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה Analytical Electromagnetism Fall Semester 202-3 אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה צפיפויות מטען וזרם צפיפות מטען נפחית ρ מוגדרת כך שאינטגרל נפחי עליה נותן את המטען הכולל Q dv ρ היחידות של ρ הן מטען

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות.

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. A = 1,4,7,17,20 B = 1, a, b, c 2 נאמר ש x שייך ל A ונסמן x A אם x הוא

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות 1" (80420) באוניברסיטה העברית,

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס תורת ההסתברות 1 (80420) באוניברסיטה העברית, תורת ההסתברות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות " (80420) באוניברסיטה העברית, 8 2007. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים לוגיקה למדעי המחשב תרגולים ניצן פומרנץ 17 ביוני 2015 אתר הקורס: במודל בשבוע הראשון התרגילים ייועלו גם ל www.cs.tau.ac.il/~shpilka/teaching לירון כהן: liron.cohen@math.tau.ac.il (לא לשלוח שאלות על החומר

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני גירסה 1.00 5.12.2002 אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני מסמך זה הינו השני בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר). ברצוני להודות תודה מיוחדת

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

מכניקה אנליטית תרגול 6

מכניקה אנליטית תרגול 6 מכניקה אנליטית תרגול 6 1 אלימינציה של קואורדינטות ציקליות כאשר יש בבעיה קואורדינטה ציקלית אחת או יותר, לעתים נרצה לכתוב פעולה חדשה (או, באופן שקול, לגראנז'יאן חדש) אשר לא כולל את הקואורדינטות הללו, וממנו

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל-

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל- מ'' ל'' Deprmen of Applied Mhemics Holon Acdemic Insiue of Technology PROBABILITY AND STATISTICS Eugene Knzieper All righs reserved 4/5 חומר לימוד בקורס "הסתברות וסטטיסטיקה" מאת יוג'ין קנציפר כל הזכויות

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים

מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים (8..05). טענה אודות סדר גודל. log טענה: מתקיים Θ(log) (!) = הוכחה: ברור שמתקיים: 3 4... 4 4 4... 43 פעמים במילים אחרות:! נוציא לוגריתם משני האגפים: log(!) log( ) log(a b

Διαβάστε περισσότερα

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשעז חוברת תרגולים בקורס "תורת גלואה" 88 311 21 בפברואר 2017 מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז ערך: איתי רוזנבאום 1 תורת גלואה תרגול ראשון חזרה מחוגים F שדה F. חוג הפולינומים עם מקדמים ב F [λ] זהו חוג אוקלידי,

Διαβάστε περισσότερα

מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות בינואר 2013

מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות בינואר 2013 מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות 80711 אור דגמי, or@digmi.org 23 בינואר 2013 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ מתניה בן ארצי בשנת לימודים 2013. ספר לימוד של פינצ ובר רובינשטיין מבוא למד

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135) באוניברסיטה העברית,

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס אלגברה לינארית 2 (80135) באוניברסיטה העברית, אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135 באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת

תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת תרגול 3 ניתוח לשיעורין תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר 2011. ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת חסמי זמן ריצה נמוכים יותר מאשר חסמים המתקבלים כאשר

Διαβάστε περισσότερα

גירסה liran Home Page:

גירסה liran   Home Page: גירסה 1.00 26.10.03 סיכום באלגברה א מסמך זה הורד מהאתר.hp://uderwar.liveds.co.il אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש

Διαβάστε περισσότερα

ביטויים רגולריים הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) הרצאה 5

ביטויים רגולריים הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) הרצאה 5 הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) ביטויים רגולריים הרצאה 5 המצגת מבוססת על ספרם של פרופ' נסים פרנסיז ופרופ' שמואל זקס, "אוטומטים ושפות פורמליות", האוניברסיטה הפתוחה, 1987. גרסה ראשונה

Διαβάστε περισσότερα