CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE"

Transcript

1 CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme cocrete. Proprietăţile geerale şi operaţiile cu fucţii depid î primul râd de structura algebrică a mulţimilor X şi Y. Î cazul X, Y R, f : X Y se umeşte fucţie reală de o variabilă reală şi această fucţie este destul de geerală; de aceea î liceu s-au studiat fucţiile reale cocrete de o variabilă reală, adică fucţii petru care legea de asociere a lui x X cu y Y este dată pritr-o expresie aalitică precizată şi graficul lui f, G f ={(x, y) R x X, y Y; y = f (x)} cu X Y R =R R. Clasa fucţiilor de la R la R cupride următoarele fucţii reale cocrete: fucţii poliomiale, fucţii trigoometrice directe, fucţii trigoometrice iverse, fucţia putere, fucţia expoeţială, fucţia logaritmică, fucţiile etajate ş.a. Vom ota cu trig ua ditre fucţiile trigoometrice: sius, cosius, tagetă, cotagetă şi cu arctrig ua ditre fucţiile trigoometrice iverse: arcsius, arccosius, arctagetă, arccotagetă. Cosiderăm următoarea clasa de fucţii reale de o variabilă reală: a { R a ; log a; trig; arctrig} (III.) E 0 = cost; ; exp ; () ude sut icluse: fucţiile costate, fucţia idetitate pe R şi pe X R, fucţia expoeţială de baza a (a > 0; a ); fucţia logaritmică de bază 58

2 a (a > 0; a ); fucţia putere de expoet a ( a R) fucţiile trigoometrice directe şi fucţiile trigoometrice iverse. Mulţimea R fiid u corp comutativ ordoat şi complet e permite să defiim operaţii algebrice cu fucţii reale de o variabilă reală şi alte proprietăţi. Defiiţia III.. ] O fucţie f : X Y cu X, Y R se umeşte fucţie elemetară dacă f poate fi obţită di E0 aplicâd de u umăr fiit de ori cele patru operaţii aritmetice: aduarea, scăderea, îmulţirea, împărţirea, cât şi operaţia de compuere a două fucţii. Notăm cu E mulţimea fucţiilor elemetare. ] Fucţiile f E 0 se umesc fucţii elemetare de bază. Observaţii: f : R R, f x = x cu N f E. Exemple: ( ) def ( ) ( L )( ) ( ) f x = x = x cu x = x, x R R R R R ori o : R Rcu ( ) P ( ) şi P R[ ] f f x = x X f E fucţia poliomială. 3 o ( ), 0 f x = x f E (fucţia radical de ordi ). 4 o def x x x x x x sh sh x e e e e x e e, ch, th x x + x = = = = E chx e + e x ( x ) ch sh x= fucţiile trigoometrice hiperbolice. Orice fucţie elemetară poate fi dată pritr-o formulă, adică pritr-u umăr fiit de simboluri matematice aplicate fucţiilor elemetare de bază di E O fucţie elemetară f : X Y cu X, Y R se otează şi pri: 59.

3 y = f(x) cu x X î loc de f : X Y 4. Dacă mulţimea de defiiţie a lui f u este precizată se subîţelege că ea este mulţimea D f ={x R f(x) R}, a puctelor x di R petru care are ses f(x) î R. Mulţimea D f se umeşte împropriu domeiu maxim de defiiţie al fucţiei f. 5. Dacă avem relaţia ρ X X R, atuci există o mulţime maximă A X a.î. relaţia ρ A R este o fucţie f care se umeşte fucţia aturală asociată relaţiei biare ρ. Câd se spue fie fucţia elemetară y = f ( x) este vorba de fucţia aturală asociată relaţiei biare ρ de la R la R. Defiiţia III.. Fie f, g E cu f : A R, g: B R, atuci defiim: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) f ± g: A B R cu f ± g x = f x ± g x ; B fg : A B R cu fg x = f x g x ; B f III. : A B0 R şi B0 = { t B g() t 0} Bcu g f f ( x) ( x) = ; B0 g g( x) umite: suma algebrică, produsul şi câtul fucţiilor f şi g. Vom preciza î cotiuare uele fucţii particulare remarcabile care se folosesc î studiul uor probleme teoretice şi î aplicaţii. (F ) Fie A R, f : A R cu proprietatea că există ( ) c R a.î. f x = c,, pri defiiţie f este fucţia costată şi o otăm f = c. Petru c = 0, fucţia f este fucţia idetic ulă pe A sau fucţia ulă pe A, otată f =0. 60

4 (F ) Fie f : R R, f ( x) x ; x 0 = x 0; x = 0 y y= fucţia sigum, otată sig x = f( x). y=- O x (F 3 ) Fie f: R R fucţie defiită astfel: f(x) este cel mai mare îtreg cu proprietatea x, adică ( ) = sup { Z } f x x umită fucţia partea îtreagă otată pri [ ] sau [ ] * sau E sau * şi umarul [x] = f (x), x R se umeşte partea îtreagă a lui x. Fucţia ( ) [ ] y 0 x g: R R, g x = x x se umeşte y fucţia partea zecimală şi umărul x [ x], x R se umeşte partea zecimală a lui x. 0 x (F 4 ) Fie f : R R cu f(x) distaţa de la x la cel mai apropiat îtreg, adică (-,0) (- { } f( x) = if d( x, ) = x Z; x R. y y= 0 (, 0) (, 0) x,0) (,0) ; x Q (F 5 ) Fucţia f : R {0, } dată pri f( x) = se umeşte 0; x R-Q fucţia lui Dirichlet. 6

5 x (F 6 ) Fucţia f : R (-, ) cu f( x) = se umeşte fucţia lui + x Hah. (F 7 ) Fucţia f : R R cu ; dacă * p x Q cu x= şi q q f( x) = ( p, q) = ; q * 0; dacă x R-Q se umeşte fucţia lui Riema. (F 8 ) Fie A R o mulţime evidă şi f :R {0, } defiită pri: ; x A f( x) = 0; x R-A y=0 - O y y= 3 A=[-, 3] y=0 ϕ A se umeşte fucţia caracteristică a mulţimii A otată pri ϕ A sau c A sau A. * Fucţia caracteristică a mulţimii A = R R + y se umeşte fucţia lui Heaviside y= otată cu H = ϕ *. R + y=0 O x (F 9 ) Fie I R iterval şi f : I R. Pri defiiţie, f este o fucţie etajată sau î scară dacă există o partiţie fiită ( I k ) k, a itervalului I şi = {λ, λ,..., λ } R astfel îcât f = λϕ k I ude ϕ k Ik este fucţia caracterisită a itervalului I k, cu k =,... k = 6

6 Di defiiţia fucţiei etajate şi a fucţiei caracteristice a uei submulţimi A R se deduc următoarele codiţii de caracterizare petru fucţii etajate: ( ) O ( ) ( ) ( ) (i) f : I R este fucţie etajată (î scară) ( I k ) k, o partiţie = fiită a lui I a.î. f este costată pe fiecare iterval I k cu k =,. (ii) f : I R este fucţie etajată (î scară) exista o diviziue a lui I a. î. f este costată pe iteriorul fiecărui iterval parţial al diviziuii. Coceptul de fucţie etajată (î scară) poate fi geeralizat astfel: Fie X o mulţime oarecare şi s: X [0, ) se umeşte fucţie simplă dacă s(x) [0, ) este o mulţime fiită, adică s are doar u umăr fiit de valori pozitive; otăm s(x) = {α,..., α } cu α k R + petru k =,. Î aceste codiţii, avem k A ude A k k = {x X s(x) = α k }şi ϕ Ak este k = s = αϕ fucţia caracteristică a lui Ak ( X= UAk ). k = (F 0 ) I] Fie f : A R cu A R. Fucţia f este izometrică sau f este o izometrie pe A, dacă: d f( x), f( y) = f( x) f( y) = d xy, = x y, xy, A (III.3) [ ] ( ) II] Dacă există λ > 0 a. î. 63

7 (III.4) f( x) f( y) λ x y, x, y A fucţia f satisface codiţia lui Lipschitz sau f este o fucţie λ - lipschitziaă. III] O f fucţie λ - lipschitziaă cu 0 < λ < se umeşte cotracţie sau λ - cotracţie. IV] O fucţie f : A R este o fucţie local lipschitziaă dacă există V V(x) astfel îcât f A V să fie o fucţie lipschitziaă. V] O fucţie f : A R petru care există p (0,) şi există M >0 astfel îcât: (III.5) f( x) f( y) M x y, x, y A p se spue că f satisface codiţia Hölder sau că f este fucţie p hölderiaă. Observaţii:. Orice fucţie izometrică este fucţie lipschitziaă (λ = ). Reciproca u este umaidecât adevărată. Exemplu: f(x) = six, x R este lipschitziaă, dar u este izometrică, avem: x y x y x y si x si y = si cos = x y ( si t t, t R; cost ). Orice fucţie lipschitziaă este local lipschitziaă. Reciproca u este î geeral adevărată. Defiiţia III.3. Fie f : A R cu A R. ] Fucţia f este mooto crescătoare pe A, dacă x, x A, cu x x, f( x) f( x) avem 0 x, x A, cu x x, avem: x x 64

8 (III.6) [ f x f x ]( x x ) ( ) ( ) 0. Fucţia f este mooto strict crescătoare pe A, dacă x, x A, cu x x, avem: f( x) f( x) (III.6') > 0. x x ] Fucţia f este mooto descrescătoare pe A, dacă x, x A, cu f( x) f( x) x x, avem 0 x, x A, cu x x, avem: x x (III.7) [ f x f x ]( x x ) ( ) ( ) 0. Fucţia f este mooto strict descrescătoare pe A, dacă x, x A, cu x x, avem: f( x) f( x) (III.7') < 0. x x 3] Fucţia f este mootoă pe A dacă f este, fie mooto crescătoare, fie mooto descrescătoare pe A. Fucţia f este strict mootoă pe A dacă f este, fie mooto strict crescătoare, fie mooto strict descrescătoare pe A. Exemple: ) f (x) = [x], x R este mooto crescătoare. ) si: R R, cos: R R u sut mootoe dar admit restricţii si A cu π π A =, şi cos A cu A = [ ] 0, π care sut strict mootoe. 3) Fucţia Dirichlet u este mootoă pe ici u iterval I R edegeerat. Defiiţia III.4. Fie I R şi f: I R. Fucţia f are proprietatea Darboux pe I (otat P.D.) dacă a, b I cu a < b şi oricare ar fi λ cupris ître f(a) şi f(b) există c (a, b) astfel îcât f(c) = λ. 65

9 Se va ota D a (I) mulţimea fucţiilor f: I R care au proprietatea Darboux pe I. Observaţii: ] Se pot da formulări echivalete ale acestei defiiţii: I. f: I R are proprietatea Darboux a, b I cu a < b, mulţimea valorilor fucţiei f pe [a, b] adică mulţimea f([a, b]), coţie toate umerele reale cuprise ître f(a) şi f(b). II. f: I R are proprietatea Darboux a, b I cu a < b şi oricare ar fi λ (0,) există c (a, b) astfel îcât f(c) = (- λ) f(a) + λ f(b). III. ] f: I R are proprietatea Darboux a, b I cu a < b şi oricare ar fi λ cupris ître f(a) şi f(b), paralela la axa Ox care trece pri puctul (0, λ) itersectează graficul lui f îtr-u puct (x, f(x)) cu x [a, b]. ] Fie I R iterval, f: I R o fucţie cu proprietatea: a, b I cu a < b şi oricare ar fi λ cupris ître f(a) şi f(b) există c I astfel îcât f(c) = λ, u rezultă că f are proprietatea Darboux ci doar faptul că f(i) este iterval. 3] Puctul c di defiiţia lui f cu proprietatea Darboux u este totdeaua uic determiat; pot exista o ifiitate de pucte c di (a, b) astfel îcât f(c) = λ. Exemple:. f(x) = sig x, x R u are proprietatea Darboux. x; x Q. f( x) = f u are proprietatea Darboux. x; x R-Q f ( x) = si x f( x) = cosx 3., au proprietatea Darboux. x R x R 66

10 Teorema III.. Fie I R iterval, f: I R o fucţie, atuci următoarele afirmaţii sut echivalete: (i) f are proprietatea lui Darboux; (ii) J I iterval f(j) este iterval; (iii) a, b I cu a < b f([a, b]) este iterval; (iv) A I mulţime covexă f(a) este covexă. Demostraţie: (i) (ii) Fie J I iterval; se cosideră f(j) şi y, y f(j) cu y < y, iar λ R cu y <λ< y există x, x J a. î. f(x )= =y, f(x )= y şi cum f are proprietatea Darboux există x 0 cupris ître x şi x, cu f(x 0 )= λ. Cum J este iterval x 0 J, deci λ = f(x 0 ) f(j), deoarece [y, y ] f(j) care este iterval. (ii) (iii) şi (iii) (iv) sut evidete; A I covexă A iterval (defiiţia şi caracterizarea itevalului î R) (iv) (i) Fie a, b I cu a < b şi λ cupris ître f(a) şi f(b), atuci f(a), f(b) f ([a, b]) şi după (iv) f ([a, b]) este iterval, deci λ f ([a, b]) şi atuci există x 0 [a, b] a. î. f(x 0 ) = λ f are proprietatea lui Darboux. Teorema III.. Fie I R şi f: I R o fucţie ijectivă cu proprietatea Darboux, atuci f este strict mootoă. Demostraţie: Fie x, x, x 3 I cu x < x < x 3 atuci J = f([x, x ]) şi J = f([x, x 3 ]) sut itervale. Cum f(x ) J J şi f este ijectivă, avem J J = {f (x )} de ude rezultă: f ( x) < f( x) < f( x3) sau f x3 f x f x ( ) < ( ) < ( ) f este strict mootoă pe I. Coseciţa III.. Fie I R iterval, f: I R o fucţie cu proprietatea Darboux, atuci f este strict mootoă f este ijectivă. Demostraţia rezultă direct di teorema precedetă. 67

11 Defiiţia III.5. ] O mulţime A R se umeşte mulţime simetrică î raport cu origiea sau mulţime simetrică dacă x A -x A echivalet cu A = - A. ] Fie A R o mulţime simetrică şi f: A R. Fucţia f este fucţie pară dacă: f (- x) = f(x),. Fucţia f este fucţie impară dacă: f (- x) = = - f(x),.. Exemple: Fucţiile trigoometrice cos şi ctg sut pare, iar si şi tg sut impare. Fucţia Dirichlet este pară. Fucţia Hah este impară. Teorema III.3. Fie A, B R cu A mulţime simetrică şi f :A B o fucţie impară bijectivă, atuci B este mulţime simetrică şi f :B A este fucţie impară. Demostraţie: Fie B = f (A) şi să arătăm că B este mulţime simetrică, adică B = - B şi f impară, adică f (-y) = - f (y), y B. Petru y B fixat, există a. î. f(x) = y şi deci: - y =- f(x)= f(-x) f(a) = = f(a) = B şi f (-y)= f [ f (-x)] = - x = - f (y). Exemplu. Fucţiile arcsi şi arctg sut impare deoarece si şi tg sut impare (coform teoremei III.3). Defiiţia III.6. Fie A R şi f :A R. Fucţia f este periodică pe A, dacă există T > 0 astfel îcât: x + T A şi f( x+ T) = f(x),. Numărul T se umeşte perioadă a fucţiei f; cel mai mic umar pozitiv care este perioadă petru f se umeşte perioadă miimă. Exemple: Fucţiile trigoomerice si şi cos au perioada π (miimă). Fucţie f(x) = [x] are perioadă miimă. 68

12 * 3 Fucţia Dirichlet are perioadă orice r, dar u are o perioadă miimă. Defiiţia III.7. ] O fucţie f :A R cu A R este fucţie mărgiită pe A dacă mulţimea f(a) R este mărgiită. O fucţie care u este mărgiită se umeşte fucţie emărgiită. ] Dacă f este mărgiită pe A, pri defiiţie margiea superioară a mulţimii f(a), sup f(a), se umeşte margiea superioară a fucţiei f pe A, otată pri sup f ( x) ; margiea iferioară a mulţimii f(a), if f(a), se umeşte Q + margiea iferioară a fucţiei f pe A, otată pri if f ( x). 3] Fucţia f este majorată pe A, dacă mulţimea f(a) este majorată; fucţia f miorată pe A dacă mulţimea f(a) este miorată. Defiiţia III.8. Fie A R şi f: A R. ] Fucţia f îşi atige maximul pe A, dacă multimea f(a) admite maxim, adică există x 0 A a. î. f(x 0 ) f(x),. Fucţia f îşi atige miimul pe A, dacă multimea f(a) admite u miim, adică există x 0 A a. î. f(x 0 ) f(x),. ] Elemetul f(x 0 ) se umeşte maximul global şi se otează max f ( x) sau max f(x), respectiv f(x 0 ) se umeşte miimul global şi se otează mi f ( x) sau mi f(x). 3] Puctul x 0 A se umeşte puct de maxim global, respectiv de miim global şi maximul, miimul lui f î x 0 se umesc extreme globale ale lui f pe A. Observaţii:. Fucţia f: A R este mărgiită f este mărgiită f este majorată ( f 0 pe A). 69

13 . Fie f: A R, f atige margiea superioară, respectiv f atige margiea iferioară, dacă sup f(a) f(a), respectiv if f(a) f(a). 3. Orice fucţie f: A R care are u umăr fiit de valori este o fucţie mărgiită. Defiiţia III.9. Fie A R şi f: A R. ] Puctul x 0 A este puct de maxim local petru f, dacă există V V(x 0 ) a. î. f(x 0 ) f(x), V { x 0 }. Puctul x 0 A este puct de miim local petru f, dacă există V V(x 0 ) a. î. f(x 0 ) f(x), x (V { x 0 }) A. ] Puctele de maxim local şi miim local se umesc pucte de extrem local ale lui f. 3] Avem: x 0 puct de maxim local î ses strict def V V(x 0 ) a. î. f(x 0 ) > f(x), V { x 0 } şi respectiv x 0 este puct de miim local î ses strict V V(x 0 ) a. î. f(x 0 ) < f(x), V {x 0 }. Î aceste cazuri x 0 este puct de extrem local î ses strict al lui f. Observaţie: U puct de maxim global, respectiv de miim global este şi puct de maxim local, respectiv puct de miim local. Reciproca, î geeral, u este adevărată. Exemple:. si : R R este mărgiită: si x, x R. π 3π Puctele + k π sut pucte de maxim absolut şi puctele + sut pucte de miim absolut. k π. Fucţia tg u este margiită şi u are pucte de extrem local; petru π π f(x) = tg x, avem if f ( x) = - şi sup f ( x) = + ude A =, R. 70

14 3. Fucţia lui Dirichlet este mărgiită, dar u admite pucte de extrem local, fiecare x 0 Q este este puct de maxim global şi fiecare x 0 R - Q este puct de miim local. x 4. Fucţia lui Hah, f( x) =, x R şi f(r) = (-, ) este mărgiită, u + x are extreme locale şi u-şi atige margiile pe R. 5. Orice fucţie mootoă f: A R este mărgiită dacă A este submulţime mărgiită a lui R care îşi coţie margiile. Teorema III.4. Fie A R şi f: A R o fucţie, următoarele afirmaţii sut echivalete: (i) f este mărgiită; (ii) există α, β R a. î. α f(x) β, ; (iii) M > 0 a. î. f(x) M, ; (iv) sup f ( x) < +. Demostraţia este directă folosid defiiţiile precedete care se aplică mulţimii f(a) R. Teorema III.5. Fie A R şi f, g: A R două fucţii mărgiite, atuci f ± g, fg sut fucţii mărgiite. Demostraţie: Fucţiile f şi g fiid mărgiite după (iii) di teorema precedetă există M, M > 0 a. î. f(x) M şi g(x) M. şi atuci f(x) ± g(x) M + M, f ± g mărgiită. La fel f(x) g(x) = f(x) g(x) M M, fg este mărgiită. Teorema III.6. Fie A R o mulţime mărgiită şi f: A R o fucţie lipschtziaă, atuci f este mărgiită. 7

15 Demostraţie: Mulţime A R mărgiită M >0 a. î. x M, şi f fucţie lipschitziaă, deci există λ >0 a. î. f(x) - g(x) λ x- y, x, y A. Fixăm x 0 A şi avem: f(x) f(x) - f(x 0 ) + f(x 0 ) λ x- x 0 + f(x 0 ) λ x + λ x 0 + f(x 0 ) λm + f(x 0 ), mărgiită pe A. loc afirmaţiile: sup f ( x) λm + f(x 0 ) < + f este Teorema III.7. Fie A R şi f, g: A R două fucţii atuci au o sup f ( x) sup g( x) (i) dacă f g pe A o if f () x if g() x o 3 if f ( x) + sup g( x) sup [ f( x) + g( x) ] sup f( x) + sup g( x) o 4 if f ( x) + sup g( x) if [ f( x) + g( x) ] if f( x) + if g( x) o (ii)( III.8) 5 sup f( xgx ) ( ) sup f( x) sup gx ( ) dacă f 0, g 0 o 6sup = dacă if f( x) > 0 şi f( x) 0, f ( x) if f( x) o 7 if = dacă sup f( x) > 0 şi f( x) 0, f( x) sup f( x) Demostraţiile relaţiilor - 7 sut directe aplicâd defiiţiile şi teoremele deja demostrate. Numărul Defiiţia III.0. Fie A R mulţime arbitrară şi fucţia f: A R. sup f ( x) f otată pri: R {+ } se umeşte orma uiformă a fucţiei 7

16 (III.9.) sup f ( x) ot = f ot = f. u Teorema III.8. Fie A R mulţime oarecare şi f, g: A R fucţii, atuci au loc următoarele proprietăţi ale ormei uiforme: I. f = 0 f( x) = 0,, adică f = 0 (fucţia ulă); II. f M f( x) M, x A; III. f <+ f mărgiită pe A; IV. λ R, λ f = λ f dacă f < + ; V. f + g f + g. Demostraţiile petru afirmaţiile I, II şi IV sut evidete; III rezultă di II. Petru a dovedi V, cosiderăm: ( )( ) ( ) ( ), f + g x f x + g x f + g x A, deci: ( )( ) f + g = sup f + g x f + g. Defiiţia III.. O fucţie f: R R se umeşte: - aditivă dacă f( x+ y) = f( x) + f( y); x, y R ; - subaditivă dacă f( x+ y) f( x) + f ( y); x, y R ; - omogeă dacă f( λ x) =λ f( x), λ R şi x R; - liiară dacă f este aditivă şi omogeă; - multiplicativă dacă f( x y) = f( x) f( y); x, y R ; - submultiplicativă dacă f( x y) f( x) f( y); x, y R ; - afiă dacă există I R iterval şi f: I R petru care există a, b R a. î. f( x) = ax+ b, x I. - covexă (cocavă), şi f: I R dacă x, x I şi λ (0, ): 73

17 ( λ) + λ ( λ) ( ) + λ ( ) f x x f x f x respectiv ( λ) + λ ( λ) ( ) + λ ( ) f x x f x f x * Exemple: f: R R cu f( x) ax ( a R ) x f: R R cu f( x) = este subaditivă. + x = este fucţie liiară. 3 f: R R cu f( x) = ax+ b afiă este aditivă b = 0 şi este omogeă b = 0 f este fucţie liiară petru b = 0. 4 Fucţiile modul, sigum, idetitate pe R sut fucţii multiplicative. 5 Fucţia modul şi fucţiile etajate sut afie pe porţiui pe R. ( ) 3, 6 f x = x x R este strict covexă pe R+ şi strict cocavă pe R -. Teorema III.9. O fucţie f: R R este fucţie liiară, dacă şi umai dacă există c R a. î. f(x) = cx, x R. Demostraţie: Avem f(x) = f(x ) = x f(), x R şi c = f(), deci f(x) = cx, x R. fucţie liiară. Teorema III.0. Orice fucţie aditivă f: R R este Q omogeă. Demostraţia se face pri iducţie ([4] pag. 6; [30]). Coseciţa III.. O fucţie f: R R aditivă şi mootoă este Demostraţia î bibliografie ([4] pag. 6; [30]). Teorema III.. Fie I R şi f: I R o fucţie, atuci următoarele afirmaţii sut echivalete: (i) f este fucţie afiă; (ii) f f(0) este restricţia la I a uei fucţii liiare; (iii) f[(- λ)x + y] = (- λ) f(x) + λ f(x) ; x, y I şi λ [0, ]. 74

18 Demostraţie: (i) (ii) f este afiă deci a, b R a. î. f(x) = ax+b; x I f(x) + f(0) = ax, x I adică f - f(0) este restricţia la I a uei fucţii liiare: x ax cu x R. (ii) (iii) este evidetă. (iii) (i) Fie a, b I fixaţi cu a < b şi să demostrăm că are loc f( b) f( a) f ( x) f( a) x a, x I. b a egalitatea: (III.0) = + ( ) I. Dacă x [a, b], avem x = ( - λ)a + λb cu λ = x a şi di (ii) b a rezultă: f(x) = f(a) (- λ) + f(b)λ = f(a) + [f(b) - f(a)] λ (III.0), x [a, b]. II. Dacă x I - [a, b] şi presupuem x > b, avem b [a, x], deci aplicâd (III.0) petru b = x şi x = b rezultă: f( x) f( a) x a f ( b) = f( a) + ( b a) (III.0) şi deci f este fucţie afiă. Coseciţa III.3. Au loc următoarele afirmaţii petru f: R R: (α) f este fucţie afiă f f(0) este fucţie liiară; (β) dacă f este aditivă şi multiplicativă f = 0 sau f = R ; (γ) f este izomorfism de la R la R f = R. Defiiţia III.. Fie A R o mulţime arbitrară. Fucţia f: A A are x 0 A puct fix dacă f(x 0 ) = x 0. Observaţii:. O fucţie f poate să u aibă pucte fixe, poate avea u sigur puct fix, poate avea u umăr fiit de pucte fixe, poate avea o ifiitate de pumcte fixe.. Fie A R şi f: A A; f are cel puţi u puct fix, dacă şi umai dacă graficul lui f itersectează prima bisectoare. 75

19 3.Exemple: Fucţiile si şi cos au fiecare u sigur puct fix.. Fucţiile tg şi ctg au fiecare câte o ifiitate de pucte fixe. 3 f ( x) ax bx c = + + cu x R, a 0 şi a, b R are cel puţi u puct fix, ( ) dacă şi umai dacă, b 4ac. Teorema III.. (Teorema lui Kaster) Fie A R o mulţime cu proprietatea că orice submulţime a lui A are margii care aparţi lui A şi f: A A o fucţie mootoă, atuci există x 0 A a. î. f(x 0 ) = x 0. Demostraţie: Presupuem f mooto crescătoare şi fie a = mia, b = maxa şi B = { f(x) x}. Cum f(a) A, avem f(a) a, deci a B şi B. Fie c = sup B, deoarece c x, x B şi f mooto crescătoare, rezultă f(c) f(x), x B, deci f(c) x x B şi atuci f(c) sup B = c. Î aceste codiţii di f(x) c f[f(c)] f(c) şi f(c) B, deci f(c) c. Î coseciţă, avem f(c) = c şi x 0 = c = sup B. Cosecita III.4. Fie f : [a, b] [a, b] o fucţie mootoă, atuci există x 0 [a, b] a. î. f(x 0 ) = x 0. Defiiţia III.3. Fie P R[X] u poliom de grad, P = k. k = 0 k = ax ( a 0) k ] Fucţia p: R R cu p(x) = ax se umeşte fucţie poliomială k = 0 k asociată poliomului P R[X]. ] U elemet x 0 R se umeşte rădăciă sau soluţie a lui P dacă P(x 0 )=0 şi rădăcia de ordi p dacă există P R[X] a. î. P(x) = (x - x 0 ) p P (x), x R şi P (x 0 ) 0. 76

20 3] Elemetul x 0 R se umeşte umăr algebric, dacă x 0 este rădăcia uui poliom cu coeficieţi îtregi de grad eul şi umăr trascedet dacă u este algebric. Teorema III.3. Fie P, Q R[X] cu Q 0 (poliomul ul), atuci au loc următoarele afirmaţii ([7], [30], [4]): (i) Există C, R R[X] a. î. P = C Q + R şi grad R < grad Q; (ii) Fie a R, atuci există C R[X] uic şi există r R uic a. î. P = (X - a) C + r. (iii) Elemetul a R este rădăciă a lui P, dacă şi umai dacă, P se divide exact la X - a. (iv) Fie P R[X], elemetul a + ib C este o rădăciă a lui P, dacă şi umai dacă, a - ib este rădăciă a lui P. (ivv) Fie P R[X] cu grad P = ( N*) şi a R, atuci are loc formula lui Taylor petru polioame: ( x a) ( ) x a P( x) = P( a) + P ( x) P ( x), x R.!! Defiiţia III.4. Se umeşte fucţie raţioală cu coeficieţi î R, câtul a două polioame cu coficeţi î R, adică există P, Q R[X] a. î. R = P Q. Dacă P şi Q u au rădăcii comue, avem P( x) R( x) =, Q( x) x R-Z Q ude Z Q este mulţimea rădăciilor (zerourilor) lui Q. Dacă P şi Q au o rădăciă comuă x = a, atuci R = P Q se idetifică cu P Q ude, P, Q R[X] şi P = (X - a) P, Q = (X - a)q. 77

21 Teorema III.4. ([4] pag. 30-3) Fie R = P Q cu P, Q R[X] o fucţie raţioală cu R: D R R R, atuci au loc afirmaţiile: ] R este fucţie pară, dacă şi umai dacă, există o fucţie raţioală R a. î. R(x) = R (x ), x D R. R este fucţie impară, dacă şi umai dacă, există o fucţie raţioală R a. î. R(x) = xr (x ), x D R. ] Fie x 0 R fixat, R este o fucţie pară î raport cu x 0, dacă şi umai dacă, există R fucţie raţiolă a. î. R(x) = R [(x - x 0 ) ], x D R. R este fucţie impară î raport cu x 0, dacă şi umai dacă, există R fucţie raţioală a. î. R(x) = (x - x 0 )R [(x - x 0 ) ], x D R. 3] Fie R = P Q fucţie raţioală cu grad P < grad Q. I] Dacă Q are umai rădăcii reale disticte, adică: Q = c( x x)( x x )...( x x )( R xj, j, ) = atuci R admite o descompuere uică î fracţii simple de forma: P( x) A A A (III.) = ( A j R, j =, ) Q( x) x x x x x x II] Dacă Q are rădăcii reale disticte şi multiple, adică: α α αk Q = c( x x) ( x x )...( x xk) ( xi R, i N, i, k) α = atuci R admite o descompuere uică î fracţii simple de forma: P( x) A A A α = α α Q( x) ( x x) ( x x) x x (III.). L L L α + k... αk + αk + + ( x xk) ( x xk) x xk III] Dacă Q are rădăcii complexe simple şi multiple, adică: 78.

22 ( α ) ( αk ) (... k k k i, i, i R, i N, i 4 i i 0) Q= a x + bx+ c a x + b x+ c a b c α b ac < atuci R admite o descompuere uică î fracţii simple de forma: P( x) Ax + B A α x + B α = α Q( x) ( ax bx c) ax + bx + c + + (III.3) L x + M L x + M ( ax k + bx k + ck) + + ( i = α ) αk αk A,B,...,L,M ;, αk i i i i k ax k bx k ck IV] Dacă Q are rădăcii reale şi rădăcii complexe simple şi multiple, atuci R admite o descompuere î fracţii simple uică de forma (III.) plus de forma (III.3). P( x) 4] Fie R o fucţie raţioală oarecare cu R( x) =, P, Q R[X]. Q( x) Fucţia R admite descompuere uică îtr-u umăr fiit de fracţii simple de forma: A Lx + M α b ac< α α (III.4)A x ; ; ude a, b, c, A, L,M R, N, 4 0 ( x x0 ) ( ax + bx + c) A Lx+ M Exemple: Rx ( ) = = + A L ; M 3 = = = + x x+ x x+ 3 3 x = + + x x+ x x Lx+ M Lx+ M Rx ( ) = = + L= L = ; M = M = 4 + x x x x x o x x+ Rx ( ) = x x x x 79

Inegalitati. I. Monotonia functiilor

Inegalitati. I. Monotonia functiilor Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe

Διαβάστε περισσότερα

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii. Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI 122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi

Διαβάστε περισσότερα

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011 Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV

CAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV CAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV Prezetarea uor elemete de bază di teoria mulţimilor, teoria relaţiilor biare, fucţii, sisteme de umere ş. a. presupue cuoscute elemete de logică matematică la ivelul maualelor

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior 4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008 Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se

Διαβάστε περισσότερα

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice

Διαβάστε περισσότερα

6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII

6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII 7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate

Διαβάστε περισσότερα

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.

Διαβάστε περισσότερα

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017 Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =

Διαβάστε περισσότερα

lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.

lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii. 5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare

Διαβάστε περισσότερα

1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...

1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii... Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,

Διαβάστε περισσότερα

2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE

2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode

Διαβάστε περισσότερα

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1

Varianta 1 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert

Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii ormate. Spaţii Hilbert Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p

Varianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI

PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs

Διαβάστε περισσότερα

Analiză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie

Analiză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie Aaliză I Curs Curs Şiruri de umere: D : Fie u şir de umere (a ), a. Spuem că dacă ( )M 0, a.î. a M. (a ) este mărgiit D : Spuem că (a ) coverge către l dacă ( )V (l), ( )N (V ) şi N (V ) a V. D 3 : a l

Διαβάστε περισσότερα

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI G.-F. Şerba, Aplicaţii la teorema lui Frobeius despre matrice 7 PENTRU CERCURILE DE ELEVI APLICAŢII LA TEOREMA LUI FROBENIUS DESPRE MATRICE George-Flori Şerba 1) Î această lecţie vom prezeta rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].

Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ]. Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Algebră 1. Disciplină obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore săptămânal, învăţământ de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen.

Algebră 1. Disciplină obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore săptămânal, învăţământ de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen. Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL

Διαβάστε περισσότερα

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A

Clasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A 1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)

Διαβάστε περισσότερα

Sala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ

Sala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1 - rezolvari mate MT1

Varianta 1 - rezolvari mate MT1 Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn. 86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că

Διαβάστε περισσότερα

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei

Διαβάστε περισσότερα

Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real

Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi

Διαβάστε περισσότερα

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z : Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n =

Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n = Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau,

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul diferenţial

Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul diferenţial Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul difereţial MATHEMATICAL ANALYSIS Differetial calculus The preset book is the first part of the cours of Mathematical Aalysis give by the author for may years

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a IV-a SUBIECTUL Aflaţi difereţa ditre umerele aturale [( 4 a : ) :1 5] 4 6 = 4 [( b 7 ): 5 8] 8 5 = 7 a şi b ştiid că ele verifică egalităţile: Gheorghe Loboţ Suma a două

Διαβάστε περισσότερα

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela

MATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela MATEMATICĂ clasa a IX a - frecveţă redusă - Prof. Bara Mihaela Gariela CUPRINS. Mulţimi şi elemete de logică matematică Mulţimea umerelor reale Elemete de logică matematică Şiruri. Fuctii, ecuaţii, iecuaţii

Διαβάστε περισσότερα

EXAMENE ŞI CONCURSURI

EXAMENE ŞI CONCURSURI 8 Examee şi Cocursuri EXAMENE ŞI CONCURSURI A IV-A EDIŢIE A CONCURSULUI FACULTĂŢII DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ A UNIVERSITĂŢII,,OVIDIUS DIN CONSTANŢA prezetare de Laureţiu Hometcovshi ) şi Diaa Savi )

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvate. Mircea Olteanu

ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvate. Mircea Olteanu @ ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiui teoretice şi probleme rezolvate Mircea Olteau Cupris Serii de umere 7. Noţiui teoretice......................... 7. Serii cu termei pozitivi..................... 5.3 Serii

Διαβάστε περισσότερα

SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ

SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ CLASA a IV-a U gospodar are î curte găii și iepuri, î total 30 de capete și 84 de picioare. Săptămâal, petru hraa uei păsări sut folosite, î medie, 500 g de grăuțe, iar petru hraa uui iepure de 4 ori mai

Διαβάστε περισσότερα

5. PROBABILITĂŢI Evenimente

5. PROBABILITĂŢI Evenimente 5 PROBABILITĂŢI Teoria probabilităţilor este u domeiu importat al matematicii, apărut di activităţi şi ecesităţi practice ale oameilor sau di observaţii directe asupra aturii Î viaţa de zi cu zi se îtâlesc

Διαβάστε περισσότερα

Cap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D

Cap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă

Διαβάστε περισσότερα

CULEGERE DE PROBLEME

CULEGERE DE PROBLEME Colecţia "LICEU CULEGERE DE PROBLEME petru eameul de admitere la Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii, Facultatea de Arhitectură Descrierea CIP a Bibliotecii

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie

CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie Spaţii vectoriale euclidiee/uitare CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE 4.. Produs scalar. Spaţii euclidiee şi spaţii uitare-defiiţie Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI"

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA NAŢIONALĂ aprilie FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT INDUSTRIAL Filiera tehologică: profilul

Διαβάστε περισσότερα

sistemelor de algebrice liniarel

sistemelor de algebrice liniarel Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris

Διαβάστε περισσότερα

TEMATICA pentru proba de Matematică-Fizică din cadrul concursului de admitere în Academia Tehnică Militară sesiunea iulie 2015 A.

TEMATICA pentru proba de Matematică-Fizică din cadrul concursului de admitere în Academia Tehnică Militară sesiunea iulie 2015 A. TEMATICA petru proba de Matematică-Fizică di cadrul cocursului de admitere î Academia Tehică Militară sesiuea iulie 2015 A. MATEMATICĂ Coţiuturile programei de Matematică a cocursului de admitere di iulie

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE

ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8. ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8.. Şiruri de variabile aleatoare Î teoria probabilităţilor şi î aplicaţiile ei o problemă importată o costituie studiul şirurilor de variabile aleatoare,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita

REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.

CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora. Cap PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METODE GENERALE DE CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î aces paragraf vom reamii oţiuea de primiivă, proprieăţile primiivelor şi meodele geerale de calcul ale acesora Defiiţia

Διαβάστε περισσότερα

IV. Rezolvarea sistemelor liniare

IV. Rezolvarea sistemelor liniare IV. Rezolvarea sistemelor liiare IV.. Elemete de aaliză matriceală Fie V u spaţiu vectorial (liiar peste corpul K (K=R sau K=C. Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile ormate şi spaţiile

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 1: FUNCȚII LINIARE. Obiective:

TEMA 1: FUNCȚII LINIARE. Obiective: TEMA : FUNCȚII LINIARE TEMA : FUNCȚII LINIARE Obiective: Defiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale fucţiei, ecuaţiei şi iecuaţiei de gradul Cuoaşterea uor elemete de geometrie aalitică a dreptei

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

4. Integrale improprii cu parametru real

4. Integrale improprii cu parametru real 4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie

Διαβάστε περισσότερα