CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE
|
|
- Ποδαργη Ιωάννου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme cocrete. Proprietăţile geerale şi operaţiile cu fucţii depid î primul râd de structura algebrică a mulţimilor X şi Y. Î cazul X, Y R, f : X Y se umeşte fucţie reală de o variabilă reală şi această fucţie este destul de geerală; de aceea î liceu s-au studiat fucţiile reale cocrete de o variabilă reală, adică fucţii petru care legea de asociere a lui x X cu y Y este dată pritr-o expresie aalitică precizată şi graficul lui f, G f ={(x, y) R x X, y Y; y = f (x)} cu X Y R =R R. Clasa fucţiilor de la R la R cupride următoarele fucţii reale cocrete: fucţii poliomiale, fucţii trigoometrice directe, fucţii trigoometrice iverse, fucţia putere, fucţia expoeţială, fucţia logaritmică, fucţiile etajate ş.a. Vom ota cu trig ua ditre fucţiile trigoometrice: sius, cosius, tagetă, cotagetă şi cu arctrig ua ditre fucţiile trigoometrice iverse: arcsius, arccosius, arctagetă, arccotagetă. Cosiderăm următoarea clasa de fucţii reale de o variabilă reală: a { R a ; log a; trig; arctrig} (III.) E 0 = cost; ; exp ; () ude sut icluse: fucţiile costate, fucţia idetitate pe R şi pe X R, fucţia expoeţială de baza a (a > 0; a ); fucţia logaritmică de bază 58
2 a (a > 0; a ); fucţia putere de expoet a ( a R) fucţiile trigoometrice directe şi fucţiile trigoometrice iverse. Mulţimea R fiid u corp comutativ ordoat şi complet e permite să defiim operaţii algebrice cu fucţii reale de o variabilă reală şi alte proprietăţi. Defiiţia III.. ] O fucţie f : X Y cu X, Y R se umeşte fucţie elemetară dacă f poate fi obţită di E0 aplicâd de u umăr fiit de ori cele patru operaţii aritmetice: aduarea, scăderea, îmulţirea, împărţirea, cât şi operaţia de compuere a două fucţii. Notăm cu E mulţimea fucţiilor elemetare. ] Fucţiile f E 0 se umesc fucţii elemetare de bază. Observaţii: f : R R, f x = x cu N f E. Exemple: ( ) def ( ) ( L )( ) ( ) f x = x = x cu x = x, x R R R R R ori o : R Rcu ( ) P ( ) şi P R[ ] f f x = x X f E fucţia poliomială. 3 o ( ), 0 f x = x f E (fucţia radical de ordi ). 4 o def x x x x x x sh sh x e e e e x e e, ch, th x x + x = = = = E chx e + e x ( x ) ch sh x= fucţiile trigoometrice hiperbolice. Orice fucţie elemetară poate fi dată pritr-o formulă, adică pritr-u umăr fiit de simboluri matematice aplicate fucţiilor elemetare de bază di E O fucţie elemetară f : X Y cu X, Y R se otează şi pri: 59.
3 y = f(x) cu x X î loc de f : X Y 4. Dacă mulţimea de defiiţie a lui f u este precizată se subîţelege că ea este mulţimea D f ={x R f(x) R}, a puctelor x di R petru care are ses f(x) î R. Mulţimea D f se umeşte împropriu domeiu maxim de defiiţie al fucţiei f. 5. Dacă avem relaţia ρ X X R, atuci există o mulţime maximă A X a.î. relaţia ρ A R este o fucţie f care se umeşte fucţia aturală asociată relaţiei biare ρ. Câd se spue fie fucţia elemetară y = f ( x) este vorba de fucţia aturală asociată relaţiei biare ρ de la R la R. Defiiţia III.. Fie f, g E cu f : A R, g: B R, atuci defiim: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) f ± g: A B R cu f ± g x = f x ± g x ; B fg : A B R cu fg x = f x g x ; B f III. : A B0 R şi B0 = { t B g() t 0} Bcu g f f ( x) ( x) = ; B0 g g( x) umite: suma algebrică, produsul şi câtul fucţiilor f şi g. Vom preciza î cotiuare uele fucţii particulare remarcabile care se folosesc î studiul uor probleme teoretice şi î aplicaţii. (F ) Fie A R, f : A R cu proprietatea că există ( ) c R a.î. f x = c,, pri defiiţie f este fucţia costată şi o otăm f = c. Petru c = 0, fucţia f este fucţia idetic ulă pe A sau fucţia ulă pe A, otată f =0. 60
4 (F ) Fie f : R R, f ( x) x ; x 0 = x 0; x = 0 y y= fucţia sigum, otată sig x = f( x). y=- O x (F 3 ) Fie f: R R fucţie defiită astfel: f(x) este cel mai mare îtreg cu proprietatea x, adică ( ) = sup { Z } f x x umită fucţia partea îtreagă otată pri [ ] sau [ ] * sau E sau * şi umarul [x] = f (x), x R se umeşte partea îtreagă a lui x. Fucţia ( ) [ ] y 0 x g: R R, g x = x x se umeşte y fucţia partea zecimală şi umărul x [ x], x R se umeşte partea zecimală a lui x. 0 x (F 4 ) Fie f : R R cu f(x) distaţa de la x la cel mai apropiat îtreg, adică (-,0) (- { } f( x) = if d( x, ) = x Z; x R. y y= 0 (, 0) (, 0) x,0) (,0) ; x Q (F 5 ) Fucţia f : R {0, } dată pri f( x) = se umeşte 0; x R-Q fucţia lui Dirichlet. 6
5 x (F 6 ) Fucţia f : R (-, ) cu f( x) = se umeşte fucţia lui + x Hah. (F 7 ) Fucţia f : R R cu ; dacă * p x Q cu x= şi q q f( x) = ( p, q) = ; q * 0; dacă x R-Q se umeşte fucţia lui Riema. (F 8 ) Fie A R o mulţime evidă şi f :R {0, } defiită pri: ; x A f( x) = 0; x R-A y=0 - O y y= 3 A=[-, 3] y=0 ϕ A se umeşte fucţia caracteristică a mulţimii A otată pri ϕ A sau c A sau A. * Fucţia caracteristică a mulţimii A = R R + y se umeşte fucţia lui Heaviside y= otată cu H = ϕ *. R + y=0 O x (F 9 ) Fie I R iterval şi f : I R. Pri defiiţie, f este o fucţie etajată sau î scară dacă există o partiţie fiită ( I k ) k, a itervalului I şi = {λ, λ,..., λ } R astfel îcât f = λϕ k I ude ϕ k Ik este fucţia caracterisită a itervalului I k, cu k =,... k = 6
6 Di defiiţia fucţiei etajate şi a fucţiei caracteristice a uei submulţimi A R se deduc următoarele codiţii de caracterizare petru fucţii etajate: ( ) O ( ) ( ) ( ) (i) f : I R este fucţie etajată (î scară) ( I k ) k, o partiţie = fiită a lui I a.î. f este costată pe fiecare iterval I k cu k =,. (ii) f : I R este fucţie etajată (î scară) exista o diviziue a lui I a. î. f este costată pe iteriorul fiecărui iterval parţial al diviziuii. Coceptul de fucţie etajată (î scară) poate fi geeralizat astfel: Fie X o mulţime oarecare şi s: X [0, ) se umeşte fucţie simplă dacă s(x) [0, ) este o mulţime fiită, adică s are doar u umăr fiit de valori pozitive; otăm s(x) = {α,..., α } cu α k R + petru k =,. Î aceste codiţii, avem k A ude A k k = {x X s(x) = α k }şi ϕ Ak este k = s = αϕ fucţia caracteristică a lui Ak ( X= UAk ). k = (F 0 ) I] Fie f : A R cu A R. Fucţia f este izometrică sau f este o izometrie pe A, dacă: d f( x), f( y) = f( x) f( y) = d xy, = x y, xy, A (III.3) [ ] ( ) II] Dacă există λ > 0 a. î. 63
7 (III.4) f( x) f( y) λ x y, x, y A fucţia f satisface codiţia lui Lipschitz sau f este o fucţie λ - lipschitziaă. III] O f fucţie λ - lipschitziaă cu 0 < λ < se umeşte cotracţie sau λ - cotracţie. IV] O fucţie f : A R este o fucţie local lipschitziaă dacă există V V(x) astfel îcât f A V să fie o fucţie lipschitziaă. V] O fucţie f : A R petru care există p (0,) şi există M >0 astfel îcât: (III.5) f( x) f( y) M x y, x, y A p se spue că f satisface codiţia Hölder sau că f este fucţie p hölderiaă. Observaţii:. Orice fucţie izometrică este fucţie lipschitziaă (λ = ). Reciproca u este umaidecât adevărată. Exemplu: f(x) = six, x R este lipschitziaă, dar u este izometrică, avem: x y x y x y si x si y = si cos = x y ( si t t, t R; cost ). Orice fucţie lipschitziaă este local lipschitziaă. Reciproca u este î geeral adevărată. Defiiţia III.3. Fie f : A R cu A R. ] Fucţia f este mooto crescătoare pe A, dacă x, x A, cu x x, f( x) f( x) avem 0 x, x A, cu x x, avem: x x 64
8 (III.6) [ f x f x ]( x x ) ( ) ( ) 0. Fucţia f este mooto strict crescătoare pe A, dacă x, x A, cu x x, avem: f( x) f( x) (III.6') > 0. x x ] Fucţia f este mooto descrescătoare pe A, dacă x, x A, cu f( x) f( x) x x, avem 0 x, x A, cu x x, avem: x x (III.7) [ f x f x ]( x x ) ( ) ( ) 0. Fucţia f este mooto strict descrescătoare pe A, dacă x, x A, cu x x, avem: f( x) f( x) (III.7') < 0. x x 3] Fucţia f este mootoă pe A dacă f este, fie mooto crescătoare, fie mooto descrescătoare pe A. Fucţia f este strict mootoă pe A dacă f este, fie mooto strict crescătoare, fie mooto strict descrescătoare pe A. Exemple: ) f (x) = [x], x R este mooto crescătoare. ) si: R R, cos: R R u sut mootoe dar admit restricţii si A cu π π A =, şi cos A cu A = [ ] 0, π care sut strict mootoe. 3) Fucţia Dirichlet u este mootoă pe ici u iterval I R edegeerat. Defiiţia III.4. Fie I R şi f: I R. Fucţia f are proprietatea Darboux pe I (otat P.D.) dacă a, b I cu a < b şi oricare ar fi λ cupris ître f(a) şi f(b) există c (a, b) astfel îcât f(c) = λ. 65
9 Se va ota D a (I) mulţimea fucţiilor f: I R care au proprietatea Darboux pe I. Observaţii: ] Se pot da formulări echivalete ale acestei defiiţii: I. f: I R are proprietatea Darboux a, b I cu a < b, mulţimea valorilor fucţiei f pe [a, b] adică mulţimea f([a, b]), coţie toate umerele reale cuprise ître f(a) şi f(b). II. f: I R are proprietatea Darboux a, b I cu a < b şi oricare ar fi λ (0,) există c (a, b) astfel îcât f(c) = (- λ) f(a) + λ f(b). III. ] f: I R are proprietatea Darboux a, b I cu a < b şi oricare ar fi λ cupris ître f(a) şi f(b), paralela la axa Ox care trece pri puctul (0, λ) itersectează graficul lui f îtr-u puct (x, f(x)) cu x [a, b]. ] Fie I R iterval, f: I R o fucţie cu proprietatea: a, b I cu a < b şi oricare ar fi λ cupris ître f(a) şi f(b) există c I astfel îcât f(c) = λ, u rezultă că f are proprietatea Darboux ci doar faptul că f(i) este iterval. 3] Puctul c di defiiţia lui f cu proprietatea Darboux u este totdeaua uic determiat; pot exista o ifiitate de pucte c di (a, b) astfel îcât f(c) = λ. Exemple:. f(x) = sig x, x R u are proprietatea Darboux. x; x Q. f( x) = f u are proprietatea Darboux. x; x R-Q f ( x) = si x f( x) = cosx 3., au proprietatea Darboux. x R x R 66
10 Teorema III.. Fie I R iterval, f: I R o fucţie, atuci următoarele afirmaţii sut echivalete: (i) f are proprietatea lui Darboux; (ii) J I iterval f(j) este iterval; (iii) a, b I cu a < b f([a, b]) este iterval; (iv) A I mulţime covexă f(a) este covexă. Demostraţie: (i) (ii) Fie J I iterval; se cosideră f(j) şi y, y f(j) cu y < y, iar λ R cu y <λ< y există x, x J a. î. f(x )= =y, f(x )= y şi cum f are proprietatea Darboux există x 0 cupris ître x şi x, cu f(x 0 )= λ. Cum J este iterval x 0 J, deci λ = f(x 0 ) f(j), deoarece [y, y ] f(j) care este iterval. (ii) (iii) şi (iii) (iv) sut evidete; A I covexă A iterval (defiiţia şi caracterizarea itevalului î R) (iv) (i) Fie a, b I cu a < b şi λ cupris ître f(a) şi f(b), atuci f(a), f(b) f ([a, b]) şi după (iv) f ([a, b]) este iterval, deci λ f ([a, b]) şi atuci există x 0 [a, b] a. î. f(x 0 ) = λ f are proprietatea lui Darboux. Teorema III.. Fie I R şi f: I R o fucţie ijectivă cu proprietatea Darboux, atuci f este strict mootoă. Demostraţie: Fie x, x, x 3 I cu x < x < x 3 atuci J = f([x, x ]) şi J = f([x, x 3 ]) sut itervale. Cum f(x ) J J şi f este ijectivă, avem J J = {f (x )} de ude rezultă: f ( x) < f( x) < f( x3) sau f x3 f x f x ( ) < ( ) < ( ) f este strict mootoă pe I. Coseciţa III.. Fie I R iterval, f: I R o fucţie cu proprietatea Darboux, atuci f este strict mootoă f este ijectivă. Demostraţia rezultă direct di teorema precedetă. 67
11 Defiiţia III.5. ] O mulţime A R se umeşte mulţime simetrică î raport cu origiea sau mulţime simetrică dacă x A -x A echivalet cu A = - A. ] Fie A R o mulţime simetrică şi f: A R. Fucţia f este fucţie pară dacă: f (- x) = f(x),. Fucţia f este fucţie impară dacă: f (- x) = = - f(x),.. Exemple: Fucţiile trigoometrice cos şi ctg sut pare, iar si şi tg sut impare. Fucţia Dirichlet este pară. Fucţia Hah este impară. Teorema III.3. Fie A, B R cu A mulţime simetrică şi f :A B o fucţie impară bijectivă, atuci B este mulţime simetrică şi f :B A este fucţie impară. Demostraţie: Fie B = f (A) şi să arătăm că B este mulţime simetrică, adică B = - B şi f impară, adică f (-y) = - f (y), y B. Petru y B fixat, există a. î. f(x) = y şi deci: - y =- f(x)= f(-x) f(a) = = f(a) = B şi f (-y)= f [ f (-x)] = - x = - f (y). Exemplu. Fucţiile arcsi şi arctg sut impare deoarece si şi tg sut impare (coform teoremei III.3). Defiiţia III.6. Fie A R şi f :A R. Fucţia f este periodică pe A, dacă există T > 0 astfel îcât: x + T A şi f( x+ T) = f(x),. Numărul T se umeşte perioadă a fucţiei f; cel mai mic umar pozitiv care este perioadă petru f se umeşte perioadă miimă. Exemple: Fucţiile trigoomerice si şi cos au perioada π (miimă). Fucţie f(x) = [x] are perioadă miimă. 68
12 * 3 Fucţia Dirichlet are perioadă orice r, dar u are o perioadă miimă. Defiiţia III.7. ] O fucţie f :A R cu A R este fucţie mărgiită pe A dacă mulţimea f(a) R este mărgiită. O fucţie care u este mărgiită se umeşte fucţie emărgiită. ] Dacă f este mărgiită pe A, pri defiiţie margiea superioară a mulţimii f(a), sup f(a), se umeşte margiea superioară a fucţiei f pe A, otată pri sup f ( x) ; margiea iferioară a mulţimii f(a), if f(a), se umeşte Q + margiea iferioară a fucţiei f pe A, otată pri if f ( x). 3] Fucţia f este majorată pe A, dacă mulţimea f(a) este majorată; fucţia f miorată pe A dacă mulţimea f(a) este miorată. Defiiţia III.8. Fie A R şi f: A R. ] Fucţia f îşi atige maximul pe A, dacă multimea f(a) admite maxim, adică există x 0 A a. î. f(x 0 ) f(x),. Fucţia f îşi atige miimul pe A, dacă multimea f(a) admite u miim, adică există x 0 A a. î. f(x 0 ) f(x),. ] Elemetul f(x 0 ) se umeşte maximul global şi se otează max f ( x) sau max f(x), respectiv f(x 0 ) se umeşte miimul global şi se otează mi f ( x) sau mi f(x). 3] Puctul x 0 A se umeşte puct de maxim global, respectiv de miim global şi maximul, miimul lui f î x 0 se umesc extreme globale ale lui f pe A. Observaţii:. Fucţia f: A R este mărgiită f este mărgiită f este majorată ( f 0 pe A). 69
13 . Fie f: A R, f atige margiea superioară, respectiv f atige margiea iferioară, dacă sup f(a) f(a), respectiv if f(a) f(a). 3. Orice fucţie f: A R care are u umăr fiit de valori este o fucţie mărgiită. Defiiţia III.9. Fie A R şi f: A R. ] Puctul x 0 A este puct de maxim local petru f, dacă există V V(x 0 ) a. î. f(x 0 ) f(x), V { x 0 }. Puctul x 0 A este puct de miim local petru f, dacă există V V(x 0 ) a. î. f(x 0 ) f(x), x (V { x 0 }) A. ] Puctele de maxim local şi miim local se umesc pucte de extrem local ale lui f. 3] Avem: x 0 puct de maxim local î ses strict def V V(x 0 ) a. î. f(x 0 ) > f(x), V { x 0 } şi respectiv x 0 este puct de miim local î ses strict V V(x 0 ) a. î. f(x 0 ) < f(x), V {x 0 }. Î aceste cazuri x 0 este puct de extrem local î ses strict al lui f. Observaţie: U puct de maxim global, respectiv de miim global este şi puct de maxim local, respectiv puct de miim local. Reciproca, î geeral, u este adevărată. Exemple:. si : R R este mărgiită: si x, x R. π 3π Puctele + k π sut pucte de maxim absolut şi puctele + sut pucte de miim absolut. k π. Fucţia tg u este margiită şi u are pucte de extrem local; petru π π f(x) = tg x, avem if f ( x) = - şi sup f ( x) = + ude A =, R. 70
14 3. Fucţia lui Dirichlet este mărgiită, dar u admite pucte de extrem local, fiecare x 0 Q este este puct de maxim global şi fiecare x 0 R - Q este puct de miim local. x 4. Fucţia lui Hah, f( x) =, x R şi f(r) = (-, ) este mărgiită, u + x are extreme locale şi u-şi atige margiile pe R. 5. Orice fucţie mootoă f: A R este mărgiită dacă A este submulţime mărgiită a lui R care îşi coţie margiile. Teorema III.4. Fie A R şi f: A R o fucţie, următoarele afirmaţii sut echivalete: (i) f este mărgiită; (ii) există α, β R a. î. α f(x) β, ; (iii) M > 0 a. î. f(x) M, ; (iv) sup f ( x) < +. Demostraţia este directă folosid defiiţiile precedete care se aplică mulţimii f(a) R. Teorema III.5. Fie A R şi f, g: A R două fucţii mărgiite, atuci f ± g, fg sut fucţii mărgiite. Demostraţie: Fucţiile f şi g fiid mărgiite după (iii) di teorema precedetă există M, M > 0 a. î. f(x) M şi g(x) M. şi atuci f(x) ± g(x) M + M, f ± g mărgiită. La fel f(x) g(x) = f(x) g(x) M M, fg este mărgiită. Teorema III.6. Fie A R o mulţime mărgiită şi f: A R o fucţie lipschtziaă, atuci f este mărgiită. 7
15 Demostraţie: Mulţime A R mărgiită M >0 a. î. x M, şi f fucţie lipschitziaă, deci există λ >0 a. î. f(x) - g(x) λ x- y, x, y A. Fixăm x 0 A şi avem: f(x) f(x) - f(x 0 ) + f(x 0 ) λ x- x 0 + f(x 0 ) λ x + λ x 0 + f(x 0 ) λm + f(x 0 ), mărgiită pe A. loc afirmaţiile: sup f ( x) λm + f(x 0 ) < + f este Teorema III.7. Fie A R şi f, g: A R două fucţii atuci au o sup f ( x) sup g( x) (i) dacă f g pe A o if f () x if g() x o 3 if f ( x) + sup g( x) sup [ f( x) + g( x) ] sup f( x) + sup g( x) o 4 if f ( x) + sup g( x) if [ f( x) + g( x) ] if f( x) + if g( x) o (ii)( III.8) 5 sup f( xgx ) ( ) sup f( x) sup gx ( ) dacă f 0, g 0 o 6sup = dacă if f( x) > 0 şi f( x) 0, f ( x) if f( x) o 7 if = dacă sup f( x) > 0 şi f( x) 0, f( x) sup f( x) Demostraţiile relaţiilor - 7 sut directe aplicâd defiiţiile şi teoremele deja demostrate. Numărul Defiiţia III.0. Fie A R mulţime arbitrară şi fucţia f: A R. sup f ( x) f otată pri: R {+ } se umeşte orma uiformă a fucţiei 7
16 (III.9.) sup f ( x) ot = f ot = f. u Teorema III.8. Fie A R mulţime oarecare şi f, g: A R fucţii, atuci au loc următoarele proprietăţi ale ormei uiforme: I. f = 0 f( x) = 0,, adică f = 0 (fucţia ulă); II. f M f( x) M, x A; III. f <+ f mărgiită pe A; IV. λ R, λ f = λ f dacă f < + ; V. f + g f + g. Demostraţiile petru afirmaţiile I, II şi IV sut evidete; III rezultă di II. Petru a dovedi V, cosiderăm: ( )( ) ( ) ( ), f + g x f x + g x f + g x A, deci: ( )( ) f + g = sup f + g x f + g. Defiiţia III.. O fucţie f: R R se umeşte: - aditivă dacă f( x+ y) = f( x) + f( y); x, y R ; - subaditivă dacă f( x+ y) f( x) + f ( y); x, y R ; - omogeă dacă f( λ x) =λ f( x), λ R şi x R; - liiară dacă f este aditivă şi omogeă; - multiplicativă dacă f( x y) = f( x) f( y); x, y R ; - submultiplicativă dacă f( x y) f( x) f( y); x, y R ; - afiă dacă există I R iterval şi f: I R petru care există a, b R a. î. f( x) = ax+ b, x I. - covexă (cocavă), şi f: I R dacă x, x I şi λ (0, ): 73
17 ( λ) + λ ( λ) ( ) + λ ( ) f x x f x f x respectiv ( λ) + λ ( λ) ( ) + λ ( ) f x x f x f x * Exemple: f: R R cu f( x) ax ( a R ) x f: R R cu f( x) = este subaditivă. + x = este fucţie liiară. 3 f: R R cu f( x) = ax+ b afiă este aditivă b = 0 şi este omogeă b = 0 f este fucţie liiară petru b = 0. 4 Fucţiile modul, sigum, idetitate pe R sut fucţii multiplicative. 5 Fucţia modul şi fucţiile etajate sut afie pe porţiui pe R. ( ) 3, 6 f x = x x R este strict covexă pe R+ şi strict cocavă pe R -. Teorema III.9. O fucţie f: R R este fucţie liiară, dacă şi umai dacă există c R a. î. f(x) = cx, x R. Demostraţie: Avem f(x) = f(x ) = x f(), x R şi c = f(), deci f(x) = cx, x R. fucţie liiară. Teorema III.0. Orice fucţie aditivă f: R R este Q omogeă. Demostraţia se face pri iducţie ([4] pag. 6; [30]). Coseciţa III.. O fucţie f: R R aditivă şi mootoă este Demostraţia î bibliografie ([4] pag. 6; [30]). Teorema III.. Fie I R şi f: I R o fucţie, atuci următoarele afirmaţii sut echivalete: (i) f este fucţie afiă; (ii) f f(0) este restricţia la I a uei fucţii liiare; (iii) f[(- λ)x + y] = (- λ) f(x) + λ f(x) ; x, y I şi λ [0, ]. 74
18 Demostraţie: (i) (ii) f este afiă deci a, b R a. î. f(x) = ax+b; x I f(x) + f(0) = ax, x I adică f - f(0) este restricţia la I a uei fucţii liiare: x ax cu x R. (ii) (iii) este evidetă. (iii) (i) Fie a, b I fixaţi cu a < b şi să demostrăm că are loc f( b) f( a) f ( x) f( a) x a, x I. b a egalitatea: (III.0) = + ( ) I. Dacă x [a, b], avem x = ( - λ)a + λb cu λ = x a şi di (ii) b a rezultă: f(x) = f(a) (- λ) + f(b)λ = f(a) + [f(b) - f(a)] λ (III.0), x [a, b]. II. Dacă x I - [a, b] şi presupuem x > b, avem b [a, x], deci aplicâd (III.0) petru b = x şi x = b rezultă: f( x) f( a) x a f ( b) = f( a) + ( b a) (III.0) şi deci f este fucţie afiă. Coseciţa III.3. Au loc următoarele afirmaţii petru f: R R: (α) f este fucţie afiă f f(0) este fucţie liiară; (β) dacă f este aditivă şi multiplicativă f = 0 sau f = R ; (γ) f este izomorfism de la R la R f = R. Defiiţia III.. Fie A R o mulţime arbitrară. Fucţia f: A A are x 0 A puct fix dacă f(x 0 ) = x 0. Observaţii:. O fucţie f poate să u aibă pucte fixe, poate avea u sigur puct fix, poate avea u umăr fiit de pucte fixe, poate avea o ifiitate de pumcte fixe.. Fie A R şi f: A A; f are cel puţi u puct fix, dacă şi umai dacă graficul lui f itersectează prima bisectoare. 75
19 3.Exemple: Fucţiile si şi cos au fiecare u sigur puct fix.. Fucţiile tg şi ctg au fiecare câte o ifiitate de pucte fixe. 3 f ( x) ax bx c = + + cu x R, a 0 şi a, b R are cel puţi u puct fix, ( ) dacă şi umai dacă, b 4ac. Teorema III.. (Teorema lui Kaster) Fie A R o mulţime cu proprietatea că orice submulţime a lui A are margii care aparţi lui A şi f: A A o fucţie mootoă, atuci există x 0 A a. î. f(x 0 ) = x 0. Demostraţie: Presupuem f mooto crescătoare şi fie a = mia, b = maxa şi B = { f(x) x}. Cum f(a) A, avem f(a) a, deci a B şi B. Fie c = sup B, deoarece c x, x B şi f mooto crescătoare, rezultă f(c) f(x), x B, deci f(c) x x B şi atuci f(c) sup B = c. Î aceste codiţii di f(x) c f[f(c)] f(c) şi f(c) B, deci f(c) c. Î coseciţă, avem f(c) = c şi x 0 = c = sup B. Cosecita III.4. Fie f : [a, b] [a, b] o fucţie mootoă, atuci există x 0 [a, b] a. î. f(x 0 ) = x 0. Defiiţia III.3. Fie P R[X] u poliom de grad, P = k. k = 0 k = ax ( a 0) k ] Fucţia p: R R cu p(x) = ax se umeşte fucţie poliomială k = 0 k asociată poliomului P R[X]. ] U elemet x 0 R se umeşte rădăciă sau soluţie a lui P dacă P(x 0 )=0 şi rădăcia de ordi p dacă există P R[X] a. î. P(x) = (x - x 0 ) p P (x), x R şi P (x 0 ) 0. 76
20 3] Elemetul x 0 R se umeşte umăr algebric, dacă x 0 este rădăcia uui poliom cu coeficieţi îtregi de grad eul şi umăr trascedet dacă u este algebric. Teorema III.3. Fie P, Q R[X] cu Q 0 (poliomul ul), atuci au loc următoarele afirmaţii ([7], [30], [4]): (i) Există C, R R[X] a. î. P = C Q + R şi grad R < grad Q; (ii) Fie a R, atuci există C R[X] uic şi există r R uic a. î. P = (X - a) C + r. (iii) Elemetul a R este rădăciă a lui P, dacă şi umai dacă, P se divide exact la X - a. (iv) Fie P R[X], elemetul a + ib C este o rădăciă a lui P, dacă şi umai dacă, a - ib este rădăciă a lui P. (ivv) Fie P R[X] cu grad P = ( N*) şi a R, atuci are loc formula lui Taylor petru polioame: ( x a) ( ) x a P( x) = P( a) + P ( x) P ( x), x R.!! Defiiţia III.4. Se umeşte fucţie raţioală cu coeficieţi î R, câtul a două polioame cu coficeţi î R, adică există P, Q R[X] a. î. R = P Q. Dacă P şi Q u au rădăcii comue, avem P( x) R( x) =, Q( x) x R-Z Q ude Z Q este mulţimea rădăciilor (zerourilor) lui Q. Dacă P şi Q au o rădăciă comuă x = a, atuci R = P Q se idetifică cu P Q ude, P, Q R[X] şi P = (X - a) P, Q = (X - a)q. 77
21 Teorema III.4. ([4] pag. 30-3) Fie R = P Q cu P, Q R[X] o fucţie raţioală cu R: D R R R, atuci au loc afirmaţiile: ] R este fucţie pară, dacă şi umai dacă, există o fucţie raţioală R a. î. R(x) = R (x ), x D R. R este fucţie impară, dacă şi umai dacă, există o fucţie raţioală R a. î. R(x) = xr (x ), x D R. ] Fie x 0 R fixat, R este o fucţie pară î raport cu x 0, dacă şi umai dacă, există R fucţie raţiolă a. î. R(x) = R [(x - x 0 ) ], x D R. R este fucţie impară î raport cu x 0, dacă şi umai dacă, există R fucţie raţioală a. î. R(x) = (x - x 0 )R [(x - x 0 ) ], x D R. 3] Fie R = P Q fucţie raţioală cu grad P < grad Q. I] Dacă Q are umai rădăcii reale disticte, adică: Q = c( x x)( x x )...( x x )( R xj, j, ) = atuci R admite o descompuere uică î fracţii simple de forma: P( x) A A A (III.) = ( A j R, j =, ) Q( x) x x x x x x II] Dacă Q are rădăcii reale disticte şi multiple, adică: α α αk Q = c( x x) ( x x )...( x xk) ( xi R, i N, i, k) α = atuci R admite o descompuere uică î fracţii simple de forma: P( x) A A A α = α α Q( x) ( x x) ( x x) x x (III.). L L L α + k... αk + αk + + ( x xk) ( x xk) x xk III] Dacă Q are rădăcii complexe simple şi multiple, adică: 78.
22 ( α ) ( αk ) (... k k k i, i, i R, i N, i 4 i i 0) Q= a x + bx+ c a x + b x+ c a b c α b ac < atuci R admite o descompuere uică î fracţii simple de forma: P( x) Ax + B A α x + B α = α Q( x) ( ax bx c) ax + bx + c + + (III.3) L x + M L x + M ( ax k + bx k + ck) + + ( i = α ) αk αk A,B,...,L,M ;, αk i i i i k ax k bx k ck IV] Dacă Q are rădăcii reale şi rădăcii complexe simple şi multiple, atuci R admite o descompuere î fracţii simple uică de forma (III.) plus de forma (III.3). P( x) 4] Fie R o fucţie raţioală oarecare cu R( x) =, P, Q R[X]. Q( x) Fucţia R admite descompuere uică îtr-u umăr fiit de fracţii simple de forma: A Lx + M α b ac< α α (III.4)A x ; ; ude a, b, c, A, L,M R, N, 4 0 ( x x0 ) ( ax + bx + c) A Lx+ M Exemple: Rx ( ) = = + A L ; M 3 = = = + x x+ x x+ 3 3 x = + + x x+ x x Lx+ M Lx+ M Rx ( ) = = + L= L = ; M = M = 4 + x x x x x o x x+ Rx ( ) = x x x x 79
Inegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
Διαβάστε περισσότερα3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραSUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV
CAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV Prezetarea uor elemete de bază di teoria mulţimilor, teoria relaţiilor biare, fucţii, sisteme de umere ş. a. presupue cuoscute elemete de logică matematică la ivelul maualelor
Διαβάστε περισσότερα4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραConcursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
Διαβάστε περισσότεραPolinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice
Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice
Διαβάστε περισσότερα6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII
7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate
Διαβάστε περισσότερα5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Διαβάστε περισσότεραlim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
Διαβάστε περισσότερα1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...
Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,
Διαβάστε περισσότερα2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE
Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραLaborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
Διαβάστε περισσότεραCURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραSpaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert
Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii ormate. Spaţii Hilbert Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre
Διαβάστε περισσότεραCursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότεραAnaliză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie
Aaliză I Curs Curs Şiruri de umere: D : Fie u şir de umere (a ), a. Spuem că dacă ( )M 0, a.î. a M. (a ) este mărgiit D : Spuem că (a ) coverge către l dacă ( )V (l), ( )N (V ) şi N (V ) a V. D 3 : a l
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
G.-F. Şerba, Aplicaţii la teorema lui Frobeius despre matrice 7 PENTRU CERCURILE DE ELEVI APLICAŢII LA TEOREMA LUI FROBENIUS DESPRE MATRICE George-Flori Şerba 1) Î această lecţie vom prezeta rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραExamenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραAlgebră 1. Disciplină obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore săptămânal, învăţământ de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen.
Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL
Διαβάστε περισσότεραCLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea
Διαβάστε περισσότεραClasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A
1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)
Διαβάστε περισσότεραSala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ
Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1 - rezolvari mate MT1
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραBAREM DE CORECTARE CLASA A IX A
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5
Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei
Διαβάστε περισσότεραPartea întreagă, partea fracţionară a unui număr real
Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi
Διαβάστε περισσότεραOLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a
CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n =
Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau,
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραSeria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul diferenţial
Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul difereţial MATHEMATICAL ANALYSIS Differetial calculus The preset book is the first part of the cours of Mathematical Aalysis give by the author for may years
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a
Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a IV-a SUBIECTUL Aflaţi difereţa ditre umerele aturale [( 4 a : ) :1 5] 4 6 = 4 [( b 7 ): 5 8] 8 5 = 7 a şi b ştiid că ele verifică egalităţile: Gheorghe Loboţ Suma a două
Διαβάστε περισσότεραŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII
Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότερα3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI
Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela
MATEMATICĂ clasa a IX a - frecveţă redusă - Prof. Bara Mihaela Gariela CUPRINS. Mulţimi şi elemete de logică matematică Mulţimea umerelor reale Elemete de logică matematică Şiruri. Fuctii, ecuaţii, iecuaţii
Διαβάστε περισσότεραEXAMENE ŞI CONCURSURI
8 Examee şi Cocursuri EXAMENE ŞI CONCURSURI A IV-A EDIŢIE A CONCURSULUI FACULTĂŢII DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ A UNIVERSITĂŢII,,OVIDIUS DIN CONSTANŢA prezetare de Laureţiu Hometcovshi ) şi Diaa Savi )
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραîn care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul
Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi
Διαβάστε περισσότεραANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvate. Mircea Olteanu
@ ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiui teoretice şi probleme rezolvate Mircea Olteau Cupris Serii de umere 7. Noţiui teoretice......................... 7. Serii cu termei pozitivi..................... 5.3 Serii
Διαβάστε περισσότεραSOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ
CLASA a IV-a U gospodar are î curte găii și iepuri, î total 30 de capete și 84 de picioare. Săptămâal, petru hraa uei păsări sut folosite, î medie, 500 g de grăuțe, iar petru hraa uui iepure de 4 ori mai
Διαβάστε περισσότερα5. PROBABILITĂŢI Evenimente
5 PROBABILITĂŢI Teoria probabilităţilor este u domeiu importat al matematicii, apărut di activităţi şi ecesităţi practice ale oameilor sau di observaţii directe asupra aturii Î viaţa de zi cu zi se îtâlesc
Διαβάστε περισσότεραCap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D
Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă
Διαβάστε περισσότεραCULEGERE DE PROBLEME
Colecţia "LICEU CULEGERE DE PROBLEME petru eameul de admitere la Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii, Facultatea de Arhitectură Descrierea CIP a Bibliotecii
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE 4.. Produs scalar. Spaţii euclidiee şi spaţii uitare-defiiţie Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI"
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA NAŢIONALĂ aprilie FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT INDUSTRIAL Filiera tehologică: profilul
Διαβάστε περισσότεραsistemelor de algebrice liniarel
Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris
Διαβάστε περισσότεραTEMATICA pentru proba de Matematică-Fizică din cadrul concursului de admitere în Academia Tehnică Militară sesiunea iulie 2015 A.
TEMATICA petru proba de Matematică-Fizică di cadrul cocursului de admitere î Academia Tehică Militară sesiuea iulie 2015 A. MATEMATICĂ Coţiuturile programei de Matematică a cocursului de admitere di iulie
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE
8. ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8.. Şiruri de variabile aleatoare Î teoria probabilităţilor şi î aplicaţiile ei o problemă importată o costituie studiul şirurilor de variabile aleatoare,
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραREZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.
Cap PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METODE GENERALE DE CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î aces paragraf vom reamii oţiuea de primiivă, proprieăţile primiivelor şi meodele geerale de calcul ale acesora Defiiţia
Διαβάστε περισσότεραIV. Rezolvarea sistemelor liniare
IV. Rezolvarea sistemelor liiare IV.. Elemete de aaliză matriceală Fie V u spaţiu vectorial (liiar peste corpul K (K=R sau K=C. Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile ormate şi spaţiile
Διαβάστε περισσότεραTEMA 1: FUNCȚII LINIARE. Obiective:
TEMA : FUNCȚII LINIARE TEMA : FUNCȚII LINIARE Obiective: Defiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale fucţiei, ecuaţiei şi iecuaţiei de gradul Cuoaşterea uor elemete de geometrie aalitică a dreptei
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότερα4. Integrale improprii cu parametru real
4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie
Διαβάστε περισσότερα