FLAMBAJUL BARELOR DREPTE

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "FLAMBAJUL BARELOR DREPTE"

Κλήμης Μιχαλολιάκος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 . FAMBAJU BAREOR DREPTE.1 Calculul sarcinii critice de lambaj la bara dreapta supusa la compresiune Flambajul elastic al barelor drepte a ost abordat prima data de. Euler care a calculat expresia sarcinii critice de lambaj P cr in anul Se considera o bara avand aria sectiunii transversale A si rigiditatea EI y constante in lungul sau. Bara este articulata la ambele capete si solicitata la compresiune de o orta P (ig..1). Flambajul se produce la o anumita valoare P = P cr a acestei orte. Intr-o pozitie deormata a barei se observa ca intr-o sectiune oarecare de la cota x, avand deplasarea de incovoiere w (pe axa Oz) apare alaturi de eortul axial P si un moment incovoietor M. Fig..1 Flambajul barei dublu articulate Momentul incovoietor in sectiunea x este M = Pw si ca urmare ecuatia ibrei medii deormate este:

2 EEMENTE DE STABIITATEA STRUCTURIOR EI d w = M = Pw (.1) dx Aceasta ecuatie se poate scrie d w + α w = 0 (.) dx unde α = P (.3) EI Ecuatia caracteristica a acestei ecuatii dierentiale este: r + α = 0 (.4) de unde r 1, = ± αi si ca urmare solutia ecuatiei dierentiale este de orma: w( x ) = A sinαx + B cosα x (.5) Conditiile la limita la cele doua capete sunt: a) a x = 0, w = 0 si rezulta Asin0+Bcos0 = B = 0 Ca urmare: w( x ) = A sinα x b) la x =, w = 0 si deci Asinα = 0 Pentru respectarea acestei conditii exista urmatoarele doua posibilitati: A = 0 care presupune solutia banala w = 0, sau α = kπ unde k = 1,,... Observatie: k = 0 ar insemna P = 0 sau = 0. Ca urmare, o solutie nenula se obtine din α = k π si tinand seama de (.3 ) rezulta: P = k π (.6) EI de unde EI k P = π (.7) Cea mai mica valoare a sarcinii critice de lambaj se obtine pentru k = 1 adica: π EI P cr = (.8) Aceasta este cunoscuta sub numele de ormula lui Euler. Daca bara are I y I z, P cr are valoarea cea mai mica atunci cand se considera in calcul valoarea ima a momentului de inertie I = I : π EI P cr = (.9) Atunci cand bara lambeaza, orma deormata a barei este: kπx w = Asin (.10)

3 1. FAMBAJU BAREOR DREPTE adica o sinusoida. Pentru k = 1 se noteaza cu P 1 sarcina critica de lambaj, pentru k = notatia este P si asa mai departe. Formele deormate pentru k = 1 si k = sunt prezentate in ig... unde EI este EI (EI y sau EI z, dupa caz). Fig.. Sarcina critica de lambaj pentru bara dublu articulata Se obtine P = 4P 1, P 3 = 9P 1 si asa mai departe. De exemplu, in cazul din ig.., lambajul la orta P se poate realiza practic daca mijlocul barei este impiedicat sa se deplaseze lateral. Interes practic prezinta lambajul in cazul undamental k = 1, care conduce la cea mai mica valoare a ortei care produce lambajul, data de relatia (.9). Pentru alte cazuri de rezemare (alte conditii la limita), relatia care da sarcina critica de lambaj se stabileste in mod asemanator obtinandu-se: π EI Pcr = (.11) unde =k se numeste lungime de lambaj. Ea reprezinta distanta dintre doua puncte consecutive de inlexiune ale ormei barei in starea lambata. Cateva cazuri uzuale de rezemare sunt prezentate in igura.3 indicandu-se si coeicientul corespunzator k. Pentru bara articulata la ambele capete =, iar pentru bara dublu incastrata = 0.5. Cazul barei cu incastrare la un capat si articulata la celalalt conduce la = 0.7 iar bara incastrata la un capat si libera la celalalt are =. Acestea sunt cazurile cele mai uzuale.

4 EEMENTE DE STABIITATEA STRUCTURIOR Fig..3 Coeicientul k al lungimii critice de lambaj (cazuri uzuale) In cazul unei bare din componenta unei structuri de tip cadru plan de exemplu, coeicientul k are o valoare intermediara intre 0.5 (articulatie) si 1 (incastrare) unctie de rigiditatile (EI) ale barelor vecine cu care bara in discutie este solidarizata (v. ig..4). Fig..4 ungimea critica de lambaj =k

5 1. FAMBAJU BAREOR DREPTE. Flambajul in domeniul elastic si lambajul in domeniul plastic Tensiunea de compresiune in bara, corespunzatoare ortei critice de lambaj P cr este: Pcr π EI cr = = si punand I =A.i I unde i = A A A este raza ima de inertie, rezulta: π EAi π E π E cr = = = (.1) A λ i unde cu: λ = (.13) i s-a notat un coeicient adimensional numit coeicient de zveltete sau coeicient de subtirime. Relatia (.1) reprezinta o variatie hiperbolica iar curba cr (λ) este numita hiperbola lui Euler (v. ig..5). Fig..5 Hiperbola lui Euler Formula lui Euler este valabila in domeniul liniar-elastic acolo unde materialul asculta de legea lui Hooke. Ca urmare cr < p (limita de proportionalitate). Pentru: π E π E p = λ = 0 (.14) λ 0 p Coeicientul λ 0 depinde numai de materialul barei. Formula Euler este deci valabila daca λ > λ 0 (pentru bare zvelte). Daca pierderea stabilitatii are loc pentru λ < λ 0 enomenul poarta numele de lambaj in domeniul plastic. Pe baza rezultatelor experimentale s-au propus diverse relatii analitice pentru

6 EEMENTE DE STABIITATEA STRUCTURIOR cr (λ) in domeniul plastic, dintre care se prezinta o relatie simpla liniara, ormula Tetmajer-Iasinski: = a bλ (.15) cr valabila pentru [ p, c ] si unde a, b sunt constante in MPa [N/mm ] care depind de natura materialului. De exemplu, pentru un otel cu E =, MPa, c = 40 MPa, in domeniul plastic cr = 304-1,1λ, cu λ 0 = 105 si λ 1 = 57. Pentru un asemenea material curba cr (λ) are trei zone distincte aratate in ig..6. Fig..6 Zone tipice in cazul lambajului barelor a) Pentru λ < λ 1 curgerea materialului se produce inainte de aparitia lambajului. Se poate considera ca tensiunea limita este cr = c iar bara se calculeaza la compresiune. b) Pentru λ [ λ 1, λ 0 ] cr = a - bλ (lambaj in domeniul plastic) c) Pentru λ λ 0 cr = π E /λ (lambaj in domeniul elastic) a duraluiu, relatia Tetmajer-Iasinski este cr = 37 -,1λ cu λ 0 = 50 si λ 1 = 0 iar la onta relatia este usor neliniara de orma cr = ,8λ + 0,05λ cu λ 0 = 80 si λ 1 = 0.

7 1. FAMBAJU BAREOR DREPTE.3 Veriicarea unei bare la lambaj Pentru veriicarea la lambaj se cunosc: - caracteristicile barei A, I,, - caracteristicile de material E, c, p, λ 0, λ 1 si a, b (din ormula Tetmajer- Iasinski). - coeicientul de siguranta prescris c Mai intai se calculeaza I i = ; λ =. A i unctie de λ stabilindu-se in care dintre cele trei zone se ace calculul. Coeicientul de siguranta la lambaj se deineste ca: P c cr cr = = P Daca λ < λ 1 c = c / cu = P/A Pentru λ [ λ 1, λ 0 ] c = (a-bλ)/ Pentru λ λ 0 c = π E /(λ ) = π E I /( P) Daca c c conditia de veriicare la lambaj este realizata. Din experienta existenta in proiectare coeicientii de siguranta la lambaj care se prescriu pentru diverse categorii de piese sunt: - in constructii metalice 1,7-,4 - in constructii din lemn pentru piese de masini pentru piese supuse la solicitari variabile Dimensionarea la lambaj In situatia de dimensionare A, I, λ initial nu se stiu. Se cunoaste insa materialul: E, c, p, λ 0, λ 1 si a, b (din ormula Tetmajer-Iasinski). De asemenea se da coeicientul de siguranta la lambaj c ce trebuie realizat in proiectare. Pentru evitarea enomenului de lambaj (prin marirea valorii P cr ) sunt adecvate sectiunile care au momente de inertie apropiate sau egale si de valori mari. In acest sens sunt preerabile sectiuni inchise precum cele din ig..7 a,b nerecomandabile iind orme ale sectiunii prezentate in ig..7 c,d si e (mai ales cand acestea au I y >> I z ).

8 EEMENTE DE STABIITATEA STRUCTURIOR Fig..7 Forme ale sectiunilor barelor supuse la compresiune In vederea dimensionarii, in prima aza se presupune ca ne plasam in cazul cel mai deovorabil si anume in zona lambajului elastic care are cr cel mai redus. In aceasta zona, din relatia: Pcr π EI Pc c = = se scoate I = dupa care se obtin A, i, λ. P P π E Daca λ > λ 0, dimensionarea este corecta, in caz contrar se veriica realizarea ceeicientului de siguranta corespunzator cu zona lambajului in domeniul plastic sau cu zona compresiunii simple. Uneori este nevoie de cateva iteratii eectuate cu dimensiunile sectiunii transversale pana la o solutie satisacatoare..5 Formula lui Johnson O alta relatie utilizata in domeniul lambajului plastic este ormula lui Johnson, care reprezinta o dependenta parabolica cr = a - bλ. Constantele a si b se detera din conditia ca pentru λ = 0, cr = c iar punctul de racordare la curba Euler sa se aca la λ 0, corespunzator unei valori a tensiunii egala cu jumatate din c ( v. ig..7). Rezulta imediat a = c π E π E c cr iar = λ0 =, b =. Astel incat ormula λ0 c 4π E Johnson este data de: c cr = a bλ = c λ (.16) 4π E

9 1. FAMBAJU BAREOR DREPTE Fig..7 Formulele Euler si Johnson Pentru exempliicare, in igura.8 sunt date curbele corespunzatoare unui otel si unui aliaj de aluiu olosite in aviatie. Fata de relatia Tetmajer- Iasinski (ilustrata de igura.6) se observa ca in acest caz sunt delimitate numai doua zone: cea de aplicabilitate a ormulei Euler (lambaj elastic) si zona lambajului in domeniul plastic unde se aplica ormula Johnson. Fig..8 Exemple pentru ormulele Euler si Johnson

10 EEMENTE DE STABIITATEA STRUCTURIOR.6 Bibliograie 1. Buzdugan Gh., Rezistenta materialelor, Ed. Academiei RSR, Bucuresti, Timoshenko S.P. and Gere J.M., Theory o Elastic Stability, McGraw Hill Book Company, New York, Ziegler H., Principles o Structural Stability, Gill-Blaisdell, Waltham, MA, BazÏant, Z.P., Cedolin,., Stability o Structures: Elastic, Inelastic, Fracture and Damage Theories. Oxord University Press, New York.

Σχετικά έγγραφα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii