Geometrie. Geometrie plană. Geometrie în spaţiu. Vectori Geometrie analitică
|
|
- Ὀλυσσεύς Παπάζογλου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Geometie Geometie lnă Noţiuni funmentle Teoeme funmentle le geometiei lne Tiungiui Ptultee (lelogm, etungi, ătt, om, te) Ceul Loui geometie Geometie în sţiu Plnul Teoeme emile Loui geometie Poliee (u, leliie etungi, ismă, imiă, tuni e imiă) Coui otune (ilinu, on, tuni e on, sfe) Vetoi Geometie nlitiă Noţiuni intoutive Ceul Sfe Elis Hieol Pol
2 G e o m e t i e l n Noţiuni funmentle Puntul eeintă inteseţi ouă ete. Det este etemintă e ouă unte. Semiet este oţiune int-o etă limittă l un ăt e un unt, numit oigine semietei. Segmentul e etă este o oţiune int-o etă limittă e ouă unte. El ote fi: esis AB su înis[ AB] şi e lungime AB. Ungiul este figu etemintă e ouă ete u eeşi oigine. Pote fi: suţit (<90 ), et (90 ) su otu (>90 ). Ungiuile omlemente sunt ungiuile ăo sumă este e 90. Ungiuile iente sunt ouă ungiui e u elşi vâf şi o ltuă omună sitută înte ltuile neomune. Ungiuile ouse l vâf sunt ungiuile e u ltuile în elungie. Ungiuile onguente sunt ouă ungiui e elşi fel u ltuile esetive lele. Lo geometi ote fi etă, uă su onă e se uuă e eeşi oiette. Meitoe unui segment este eeniul iită e mijloul lui. Înălţime unui segment este eeniul ooâtă in vâful ous e e. Mein unui segment este o etă e uneşte mijloul lui u vâful ous. Bisetoe unui ungi este semiet e îmte ungiul în ouă ăţi onguente. Două ete lele tăite e o sentă etemină eei e ungiui onguente: ˆ ˆ şi ˆ 4ˆ ungiui ltene intene; 5ˆ 6ˆ şi 7ˆ 8ˆ ungiui ltene etene; ˆ 6ˆ, ˆ 8ˆ, 7ˆ 4ˆ şi 5ˆ ˆ ungiui oesonente. Teoeme funmentle le geometiei lne - sum ungiuilo unui tiungi este eglă u 80 ⁰ su π; - sum măsuilo ungiuilo fomte în juul unui unt este e 60 e ge; - un ungi eteio l unui tiungi este egl u sum elo ouă ungiui le tiungiului, e nu-i sunt lătute; - isetoele ungiuilo unui tiungi sunt onuente în entul I l eului însis în tiungi; - meitoele ltuilo unui tiungi sunt onuente în entul O l eului iumsis tiungiului; - meinele unui tiungi sunt onuente în entul G e geutte l tiungiului; - înălţimile unui tiungi sunt onuente în otoentul H l tiungiului; - et lui Eule este et e onţine e O, G, H; - înt-un tiungi u ouă ltui neegle, ltuii u lungime mi me i se oune ungiul mi me şi eio; - segmentul e uneşte mijloele ouă ltui le unui tiungi este llel u tei ltuă şi egl u jumătte in est; - înt-un lelogm, igonlele se înjumătăţes; - imetul eeniul e o oă eului, îmte o şi ele oesunătoe în âte ouă ăţi egle; - ă un tiungi este eiltel tuni mein, înălţime, isetoe şi meitoe oesunătoe eleeşi ltui oini; - ă înt-un tiungi ungiuile lătute ei sunt onguente tuni tiungiul este isosel; - ă ouă ete fomeă u o sent o eee e ungiui ltene intene onguente, tuni etele sunt lele; - ă ouă ete fomeă u o sent o eee e ungiui ltene etene onguente, tuni etele sunt lele; - ă ouă ete fomeă u o sent o eee e ungiui oesonente onguente tuni etele sunt lele; - ă ouă ete fomeă u o sent o eee e ungiui intene e eeşi te sentei sulimente, tuni etele sunt lele; - ă ouă ete fomeă u o sent o eee e ungiui etene e eeşi te sentei sulimente tuni etele sunt lele; - înt-un tiungi etungi tet ousă ungiului e 0 e ge e lungime eglă u jumătte in lungime iotenuei;
3 G e o m e t i e l n - ă înt-un tiungi lungime unei meine este eglă u jumătte in lungime ltuii oesunătoe estei, tuni tiungiul este etungi; - teoem lui Tles: o lelă l un in ltuile unui tiungi etemină e elellte ouă ltui su e elungiile lo segmente ooţionle; - teoem isetoei: isetoele unui ungi int-un tiungi îmt esetive ltu ousă în segmente ooţionle u elellte ouă ltui; - teoem lui Menelus: fie M, N, P tei unte situte e fiee in etele eteminte e ltuile unui tiungi ABC. Dă ouă in este unte se flă e ltui le tiungiului şi l teile e elungie ltei ltui su tote tei se găses e elungiile ltuilo tiungiului şi ă e lo elţi BM CN AP tuni este tei unte M, N, P sunt olinie; MC NA PB - teoem lui Cev: fie M, N, P tei unte situte e ltuile BC, CA şi AB le tiungiului ABC su e elungiile lo. Pentu etele AM, BN şi CP să fie onuente în elşi unt su să fie lele este nees şi suffiient să vem: BM CN AP ; MC NA PB - teoem lui Stewt: ă A, B, C sunt tei unte olonie, în estă oine, i O este un unt eteio etei e e se flă este tei unte, tuni vem: OA BC OB AC OC AB AB BC CA ; - teoem lui Steine: ă in vâful A l tiungiului ABC uem ouă ete simetie fţă e isetoe ungiului A e întâlnes ltu BC în M şi N tuni vem: AB CM CN AC BM BN ; Tiungiui lungime iotenuei;, lungimile tetelo; R Teoem lui Pitgo: Teoem tetei: AB BD BC ; AC CD BC S i tiungiului; S AB AC AD înălţime; AD CD DB ; AD BC AE m mein; EA EB EC R,, lungimile ltuilo eului însis; R eului iumsis; R Teoem lui Pitgo genelită: os A A lungime înălţimii in A P eimetul, P/ R eului iumsis; R ; O entul eului iumsis 4 eului însis; ; I entul eului însis
4 G e o m e t i e l n,, ele euilo eînsise; A tg S ; m lungime meinei in A; ( ) 4 m i lungime isetoei ungiului A; ( ) os os A C B i S i tiungiului ( ) A P m m m S sin ( ) ( ) ( ) ( ) A tg S Ptultee Plelogm, lungimile ltuilo, lungimile igonlelo; ( ) ϕ ungiul igonlelo lungime unei înălţimi P eimetul; P S i; sin sin ϕ B S Detungi, lungimile ltuilo lungime igonlei; ϕ ungiul igonlelo P eimetul; P S i; sin ϕ S Pătt lungime ltuii D lungime igonlei; R D R eului iumsis P eimetul; P 4 S i; R D S Rom lungime ltuii, lungimile igonlelo ϕ ungiul inte ltuile AB şi AD înălţime S i; S sin ϕ
5 G e o m e t i e l n 4 Te Ceul me, miă; ; PQ înălţime GH lini mijloie; GH, lungimile igonlelo; AD BC AB CD ϕ ungiul igonlelo O untul e inteseţie l igonlelo P eimetul; P AB BC CD DA sin ϕ ( ) S i; S R lungime ei eului L lungime eului l lungime ului e α ini S i isului măginit e eul C s i setoului AOB L π R π D l Rα π D S π R 4 α s R D R lungime imetului ρ utee unui unt P fţă e un e C - utee entului I l eului însis înt-un tiungi fţă e eul iumsis lui ρ R - utee entului G e geutte l unui tiungi fţă e eul iumsis lui ρ 9 - utee otoentului H l unui tiungi fţă e eul iumsis lui ρ 8 R os A os B os Loui geometie Meitoe eeintă loul geometi l tutuo untelo egl eătte e etele segmentului. Bisetoe eeintă loul geometi l tutuo untelo egl eătte e ltuile ungiului. Loul geometi l untelo egl eătte e ouă ete onuente este eeentt e isetoele ungiuilo fomte e ele ouă ete. Loul geometi l untelo situte l o istnţă tă e o etă tă este eeentt e ouă ete lele u et tă. Loul geometi l untelo in ln egl eătte e un unt t in elşi ln este un e. Loul geometi l untelo in e un segment e etă onstnt se vee su un ungi t este eeentt e ouă e e e e u eleşi etemităţi şi segmentl şi sunt simetie fţă e et e e este situt segmentl, făă etemităţi.
6 G e o m e t i e l n 5 Loul geometi l untelo e utee onstntă fţă e un e t este un e onenti u eul t, un unt su mulţime viă. Loul geometi l untelo egl eătte e un unt fi (fo) şi e o etă fiă (ietoe) este o olă. Loul geometi l untelo e u oiette ă sum istnţelo lo l ouă unte fie (foe) este onstntă este o elisă. Loul geometi l untelo e u oiette ă moulul ifeenţei istnţelo lo l ouă unte fie (foe) este onstnt este o ieolă.
7 G e o m e t i e i n s t i u Plnul Plnul este o mulţime e unte e onţine sumulţimi etele. Oie ouă unte istinte etemină o etă. Dă A şi B sunt ouă unte istinte tuni et etemintă e ele se v not AB. Două ete ot ve un unt omun, nii un unt omun su tote untele omune. Două ete e nu u nii un unt omun se numes ete lele. Dă etele AB şi CD su şi sunt lele tuni se v not AB CD su. Aiom lui Euli: Pint-un unt eteio unei ete se ote ue et o lelă l e etă. O etă seă lnul în ouă semilne. Fiin t un ln P şi o etă in est ln, in ieţie, efinită e etă se vo înţelege tote etele in ln lele u et. Se osevă ă ă ouă ete sunt lele tuni ele efines eeşi ieţie. Dieţi unui segment oientt AB, A B, este ieţi efinită e et suot segmentului. Două segmente oientte u eeşi ieţie ă etele lo suot sunt lele. Teoeme emile Două ete lele etemină un ln. Înt-un ln, int-un unt eteio unei ete tee o etă lelă u e şi numi un. O etă ote să nu iă nii un unt omun u lnul α ( α Ø ). În est, vom sune, ă et este lelă u lnul α şi notăm: α su α. Dă o etă este lelă u ouă lne nelele, tuni e este lelă u et lo e inteseţie. Dă ouă ete sunt eeniul e elşi ln, tuni ele sunt lele. Dă un ln inteseteă ouă lne lele, inteseţiile sunt ete lele. Două lne istinte lele u l teile ln sunt lele înte ele. O etă lelă u o etă int-un ln α este lelă u lnul α ( su onţinută în el). Dă o etă este lelă u un ln α, oie ln β e onţine estă etă şi inteseteă lnul α, o fe uă o etă lelă u. Dă o etă este lelă u un ln α lel l et usă int-un unt A, l lnului α, este onţinută în α. Dă ouă ete lele şi sunt situte, esetiv în ouă lne α şi β e se inteseteă uă o etă tuni este lelă u şi. Dă ouă ete istinte şi sunt lele u tei etă, tuni etele şi sunt lele înte ele. Dă un ln onţine ouă ete onuente lele u un lt ln, tuni ele ouă lne sunt lele. Două ungiui u ltuile esetiv lele sunt onguente (ân sunt mânouă suţite su mânouă otue) su sulemente (ân unul in ele este suţit, i elăllt otu. Dă unul este et, elăllt este semene et. Două lne lele etemină e ouă ete lele, e e le inteseteă, segmente onguente. Mi multe lne lele etemină e ouă ete oee, e le inteseteă e este în segmente esetiv ooţionle. Loui geometie Loul geometi l untelo omune l ouă lne este et e inteseţie lnelo. Loul geometi l untelo egl eătte e tei unte neolinie este o etă eeniul e lnul etemint e ele tei unte, în entul eului iumsis tiungiului fomt e ele. Loul geometi l etelo lele u un ln, use int-un unt eteio estui este un ln e tee in est unt şi este lel u lnul t. Loul geometi l eeniulelo use înt-un unt l unei ete te, e estă etă, este un ln, eeniul e e etă. Loul geometi l untelo in sţiu egl eătte e un unt fi, numit entu este o sfeă.
8 G e o m e t i e i n s t i u Poliee Cu ltu igonl lungime ei sfeei însise lungime ei sfeei iumsise R i ltelă 4 ; i totlă 6 ; volumul Pleliie etungi ltui,, igonl lungime ei sfeei iumsise R ; volumul i totlă ( ) Pism i ltelă P I ; i totlă P I S ; volumul S I Pimi V lungime ei sfeei însise P A S P A P A i ltelă ; i totlă S ; volumul (A otem) S I Tuniul e imiă ( P ) i ltelă (A otem) A P A ; i totlă S I ; volumul ( S s Ss )
9 G e o m e t i e i n s t i u Coui otune Cilinul R lungime ei; G lungime genetoei; I lungime înălţimii i ltelă π R I π R G R i totlă ( ) volumul π R I Conul Tuniul e on Sfe R lungime ei; G lungime genetoei; I lungime înălţimii i ltelă π R G π R G R i totlă ( ) π R I volumul R G R lungime ei sfeei însise G R G lungime eei sfeei iumsise Rs G R R lungime ei mi; lungime eei mii; G lungime genetoei; I lungime înălţimii; igonl G lungime eei sfeei iumsise Rs I G R π G R π R i ltelă π ( ) ; i totlă ( ) ( ) π I ( R R ) volumul R sfeei; D imetul R; I înălţime onei O O ; I înălţime lotei O A i sfeei S 4π R π D 4π R π D volumul sfeei V 6 Zon sfeiă i onei sfeie S π R I I ( R I ) volumul onei sfeie V π 6 Clot sfeiă i lotei sfeie S π R I π I ( R I ) π I ( I ) volumul lotei sfeie V 6
10 Vetoi si lul vetoil Noţiune e veto, intousă e Simon Stevin ovine in lim ltină şi însemnă utăto. Vetoul este un segment e etă oientt, teit in umătoele elemente: - unt e liţie (untul A); - ieţie (et Δ); - sens (init e săgetă); - moul (lungime segmentului AB). Vetoii ot fi: - legţi - unt e liţie fi; - luneătoi et suot este fită, untul e liţie ote fi elst în lungul estei ete; - liei untul e liţie ote fi elst oiune în sţiu, suotul lo ămânân lel u eeşi etă. Vetoul legt ăui oigine este untul A şi ăui etemitte este untul B v fi nott Se onsieă vetoul ăui etemitte oinie u oigine s şi se numeşte vetoul legt nul; ieţi şi sensul său sunt neeteminte. Doi vetoi legţi AB şi A ' B' se onsieă egli şi siem AB A' B' ă şi numi ă oiginile şi etemităţile lo sunt ientite: A A' şi B B'. AB. Lungime vetoului legt AB eimtă înt-o numită unitte e lungime se noteă AB şi se numeşte măime su moulul vetoului AB. Doi vetoi legţi AB şi CD se numes eiolenţi şi siem măime şi eeşi oiente (ieţie şi sens). AB ~ CD ă su sunt mii nuli su u eeşi Pin veto lie se înţelege ls tutuo vetoilo legţi eiolenţi u unul t. Vetoul unit (vesoul) l unui veto este un veto vân ieţi şi sensul vetoului, i moulul egl u unitte: u. Vesoul unei e este un veto e e moulul egl u unitte e lungime e ă; ieţi eeşi u ei; sensul elşi u sensul oitiv l ei; untul e liţie în oigine ei (O). Eesi unui veto Oie veto situt e O ote fi sis su fom: i, une este oieţi vetoului e O, oieţie e este oitivă vetoul e elşi sens u sensul oitiv l ei şi negtivă în sens ont., ă Înt-un sistem otogonl e e O,m un veto ote fi sis stfel: i j k şi une şi sunt omonentele vetoului e ele e;, şi eeintă oieţiile vetoului e ele e O, O şi O; i, j şi k sunt
11 vesoii elo O, O şi O. Vetoi si lul vetoil Poieţi unui veto e O e veso i este numul el efinit i osα une α este ungiul fomt e vetoul u O. π π Dă < α < oieţi este oitivă, i ă Desomunee unui veto uă ieţii onuente π π α < < oieţi este negtivă. A esomune un veto uă ouă ieţii onuente ( D ) şi ( ) vesoi u şi esetiv ( ) u însemnă fl oi vetoi şi u D e D şi oientţi uă ieţiile ( ) D stfel înât u. Vetoii D. numes omonentele vetoului uă ieţiile ( ) Oeţii u vetoi D şi esetiv ( ) şi se in elţi Aune s În um unăii oi vetoi şi se oţine tot un veto, nott s, numit veto eultnt su eultntă:. Poietăţile unăii vetoilo. une vetoilo este omuttivă: ; ;. une vetoilo este soitivă: ( ) ( ). une vetoilo este istiutivă: ă m şi n sunt numee ele tuni vem m ( ) m m. ( m n) m n Regul lelogmului Sum oi vetoi este tă e igonl lelogmului onstuit u ei oi vetoi omonenţi ltui, vân oigine omună. Moulul sumei este: s osα une (, ) Regul oligonului α. Sum oi vetoi este tă e vetoul vân ieţie lini e s îniee ontuului oligonl onstuit u vetoii omonenţi: Săee A săe oi vetoi şi însemnă un l vetoul vetoul ous.. Săee vetoilo este ntiomuttivă ( ) ( ) şi
12 Vetoi si lul vetoil Înmulţie unui veto u un sl Pin înmulţie unui veto u un sl m se oţine un veto m ; - moulul egl u m e e: - ieţi eeşi u vetoului ; - sensul t e semnul lui m: ă m > 0 elşi sens u ; ă m < 0 sens ous lui. Poietăţile înmulţiii vetoilo u sli. înmulţie unui veto u un sl este soitivă: m ( n ) ( m n) ; m m m ;. înmulţie unui veto u un sl este istiutivă: ( ).. ( m n) m n Pousul sl oi vetoi Pousul sl oi vetoi şi este număul el, nott, egl u ousul moulelo elo oi vetoi in osinusul ungiuilo inte ei: osα une ( α, ). În ot u un sistem tiotogonl, ousul sl l vetoilo: i j k şi i j k se v sie:. S- ţinut ont ă i i j j k k şi i j j k k i 0. Poietăţile ousului sl oi vetoi. ousul sl oi vetoi este omuttiv : ;. ;. ousul sl este istiutiv fţă e une vetoilo: ( ) ; 4. ousul sl l unui veto u el însuşi este t e elţi: une ; 5. ( m ) ( n ) ( m n) ( ); 6. 0 ă 0 su 0 su ă este eeniul e. Pousul vetoil oi vetoi Pousul vetoil oi vetoi şi, nott sin α, ; - moulul α une ( ) este efinit un veto teit in: - ieţi este eeniulă e lnul etemint e ei oi vetoi; - sensul este t e egul ugiului (et); - untul e liţie este elşi u l vetoilo omonenţi su în vâful unui inte ei. Poietăţile ousului vetoil oi vetoi. ousul vetoil este ntiomuttiv : ; ;. ousul vetoil este istiutiv în ot u oeţi e une vetoilă: ( )
13 Vetoi si lul vetoil 4. ( ) ( ) ( ) n m n m ; 4. 0 ă 0 su 0, su ă este lel u (u 0 şi 0 ). Regul ugiului Se şeă ugiul eeniul e lnul fomt e ei oi vetoi şi şi se eoteşte stfel vetoul să se suună este vetoul e umul el mi sut. Sensul e îninte l ugiului v fi şi sensul ousului vetoil. În ot u un sistem tiotogonl, ousul vetoil l vetoilo k j i şi k j i se v sie: ( ) ( ) ( ) k j i k j i
14 G e o m e t i e n l i t i Noţiuni intoutive AXA: o etă ' e e s- fit un unt O, i în est unt oigine se onsieă un veso i (veto unitte) se numeşte ă. A esisă mi sus o notăm (,O,i ), une în etă esiee m eit et (e e ogniăm ), oigine ei şi vesoul i e ă sensul oitiv l ei. Culul (O,i ) se numeşte ee e et. Distnţ inte ouă unte v fi ( ). Asis untului P e îmte segmentul în otul k este: k. k Distnţ inte ouă unte P (, ) şi P (, ) în ln este: ( ) ( ) Euţi etei e tee in ouă unte P ( ) şi ( ) Euţi genelă etei este:., P este:,. ( ) A B C 0 une A B 0, i euţi eusă este m n une m este oefiientul ungiul l etei su nt etei, i n este oont l oigine etei. Euţi etei in tăietui su euţi etei e tie ele e ooonte în A(,0) şi B(0,): 0. Euţi etei e tee in P0 ( 0, 0 ) şi e oefiientul ungiul m t: Distnţ e l untul ( ) 0 0, 0 ( ) m. 0 0 P l et D : A B C 0 este: A B C A B 0 0.
15 G e o m e t i e n l i t i Ceul Euţi eului C u entul în oigine şi, nott C( O, ) este 0. Euţi nomlă eului este m n 0. Putee ρ untului P0 ( 0, 0 ) fţă e eul C( O, ) este ( ) ( ) ρ. 0 0 Sfe Pesuunem ă în sţiu este t un sistem e ooonte etngul O. Consieăm sfe e ă R u entul în untul C ( 0, 0, 0 ). Sfe este loul geometi l untelo situte l istnţ R e entul său. Pentu M (,, ) un unt oee l sfeei vem euţi sfeei în sistemul e ooonte t: ( ) ( ) ( ) R Elis, lungimile semielo; F si F sunt foe; O entul Elis E ottă l e e euţi noniă 0. Ai elisei este S π. Pmetul elisei este. Hieol, lungimile semielo; F si F sunt foe; O entul Hieol H ottă l e e euţi noniă 0. Pmetul ieolei este. Pol metul olei; / OF sis foului F e e O Pol P ottă l ei e simetie e euţi noniă 0.
CAPITOLUL 1 VECTORI ÎN PLAN ŞI SPAŢIU
CPITOLUL VECTORI ÎN PLN ŞI SPŢIU In um pugeii estui pitol: veţi tuliz noţiune de veto lie, veţi dispune de o fundmente teoetiă noţiunii de veto lie pe z xiomtiii lui Hilet, veţi tuliz piniplele opeţii
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE. Teorema (Teorema bisectoarei interioare) Fie triunghiul ABC, (AD bisectoarea interioară a unghiului A şi D (BC), atunci: DB =
1. Relţii metrie în triunghiul orere 1.1. Teoreme le isetorelor GEOMETRIE Teorem 1.1.1. (Teorem isetorei interiore) Fie triunghiul B, (D isetore interioră unghiului şi D (B), tuni: DB B. D Demonstrţie.
Διαβάστε περισσότεραMarin Chirciu INEGALITĂŢI TRIGONOMETRICE DE LA INIŢIERE LA PERFORMANŢĂ EDITURA PARALELA 45
Main Chiiu INEGLITĂŢI TIGONOMETICE DE L INIŢIEE L PEFOMNŢĂ Cuins Consideații eliminae... 7 Soluţii Caitolul Inegalități u unghiui. Inegalitatea lui Jensen... 4 4 Caitolul Funții tigonometie ale jumătății
Διαβάστε περισσότεραIntegrale generalizate (improprii)
Integrle generlizte (improprii) Fie f : [, ] R, definită prin =, α > 0. Pentru u, funţi α f este integrilă pe intervlul [, u] şi u ln α+ α+ u u = ( α)u α α, α = ln u, α =. Dă treem l limită pentru u oţinem
Διαβάστε περισσότερα1. CAPITOLUL 1. Elemente de calcul vectorial şi geometrie analitică. AB se poate face de la A spre B sau AB sunt definite două sensuri (opuse).
CPITOLUL Elemente de clcul vectoil şi geometie nlitică Vectoi în pln Definiţii O măime este sclă dcă pentu detemie ei este suficientă indice unui singu numă O măime este vectoilă dcă este detemintă de
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότερα3.5. Forţe hidrostatice
35 oţe hidostatice 351 Elemente geneale lasificaea foţelo hidostatice: foţe hidostatice e suafeţe lane Duă foma eeţilo vasului: foţe hidostatice e suafeţe cube deschise foţe hidostatice e suafeţe cube
Διαβάστε περισσότερα4. PLANUL 4.1 Reprezentarea planului. Relaţia punct dreaptă plan
LANUL 37 4. LANUL 4.1 Repreentre plnului. Relţi punt reptă pln Un pln orere [] este eterint în spţiu e trei punte neolinire, e o reptă şi un punt eterior ei, e ouă repte prlele su onurente. Şi în epură
Διαβάστε περισσότεραdef def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a
Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραπ } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.
Trigonometrie FuncŃii trigonometrice. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic b c b sin B, cos B, tgb c C c ctgb, sin B cosc, tgb ctgc b b. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice. sin:r [-,] A c B sin(-x)
Διαβάστε περισσότεραS.VLASE, H.TEODORESCU, L. SCUTARU V.GUIMAN, V.MUNTEANU, A.STANCIU, R.PURCAREA CINEMATICA SI DINAMICA. CULEGERE DE PROBLEME
S.VLASE, H.TEODOESCU, L. SCUTAU V.GUIMAN, V.MUNTEANU, A.STANCIU,.PUCAEA CINEMATICA SI DINAMICA. CULEGEE DE POBLEME efeent ştiinţifi: pof.univ.d.ing. Gheoghe Deliu Desiee CIP Biblioteii ţionle oâniei VLASE,
Διαβάστε περισσότεραSarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1
Sarò signor io sol Canzon, ottava stanza Domenico Micheli Soprano Soprano 2 Alto Alto 2 Α Α Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io sol Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io µ Tenor Α Tenor 2 Α Sa rò
Διαβάστε περισσότερα2AM = AI + AJ EF. Aplicând lema de mai sus în triunghiurile ABD şi ACD avem
Conursul Gzet Mtemtiă și ViitoriOlimpii.ro Prolem 1. Fie D un punt moil pe ltur (BC) triunghiului ABC. În triunghiurile ABD şi ACD se însriu erurile C 1, respetiv C. Tngent omună exterioră (lt deât BC)
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραParts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραSisteme de ecuatii liniare
Sisteme e eutii liire Sisteme e ou eutii u ou euosute Def.U sistem e ou eutii u ou euosute re form ( S : ue,,, se umes oefiietii euosutelor, ir, termeii lieri. Def.Se umeste solutie sistemului orie ulu
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραMULTIMEA NUMERELOR REALE
www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).
Διαβάστε περισσότεραEcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau
EcuŃii de grdul l doile x + x + c = 0,,,c R, 0 Formule de rezolvre: > 0 + x =, x =, = c; su ' + ' ' ' x =, x =, =, = c Formule utile în studiul ecuńiei de grdul l II-le: x + x = (x + x ) x x = S P 3 x
Διαβάστε περισσότερα1.2 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΗ ΑΡΧΗ. ΚΑΝΟΝΑΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ: a a a
. ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΗ ΑΡΧΗ. ΚΑΝΟΝΑΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ: a a a a ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΔΙΑΔΟΧΙΚΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ:, ( ) 3 4 3 4 a a a a a 3 aaa3a4 a 3 a 4,,,,...,,,.,. .,,,, : () a ( ) () ( ) ( ) ( ) (3) 0 (4) (
Διαβάστε περισσότεραrs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â
rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραĐường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.
Đường tròn cung dây tiếp tuyến BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : 1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). 2. FA.FH
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραΑυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.
Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραsin d = 8 2π 2 = 32 π
.. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],
Διαβάστε περισσότεραHONDA. Έτος κατασκευής
Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V
Διαβάστε περισσότεραΔιευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr
Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.
Διαβάστε περισσότεραالهندسة ( )( ) مذكرة رقم 14 :ملخص لدرس:الجداءالسلمي مع تمارين وأمثلةمحلولة اھافواراتاة ارس : ( ) ( ) I. #"ر! :#"! 1 :ااءا&%$: v
الهندسة مذكرة رقم :ملخص لدرس:الجداءالسلمي مع تمارين أمثلةمحللة اھافاراتاة ارس : EFiEG EF EG ( FEG) 6 EF EG ( FEG) 6 FEG 6 ( FEG ) 6 I. #"ر! :#"! :ااءا&%$: u u : اى.( ) H ا ادي C ا u ا#اءا! ھا#د ا! ا(ي
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραÈ http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron
À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß
Διαβάστε περισσότερα!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).
1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότερα! " #$% & '()()*+.,/0.
! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5
Διαβάστε περισσότεραSWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia
SWOT 1 Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries ISIGInstitute of International Sociology Gorizia ! " # $ % ' ( )!$*! " "! "+ +, $,,-,,.-./,, -.0",#,, 12$,,- %
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραQ π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.
II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai
Διαβάστε περισσότερα1 B0 C00. nly Difo. r II. on III t o. ly II II. Di XR. Di un 5.8. Di Dinly. Di F/ / Dint. mou. on.3 3 D. 3.5 ird Thi. oun F/2. s m F/3 /3.
. F/ /3 3. I F/ 7 7 0 0 Mo ode del 0 00 0 00 A 6 A C00 00 0 S 0 C 0 008 06 007 07 09 A 0 00 0 00 0 009 09 A 7 I 7 7 0 0 F/.. 6 6 8 8 0 00 0 F/3 /3. fo I t o nt un D ou s ds 3. ird F/ /3 Thi ur T ou 0 Fo
Διαβάστε περισσότεραOLIMPIADA NAłIONALĂ DE FIZICĂ Râmnicu Vâlcea, 1-6 februarie Pagina 1 din 5 Subiect 1 ParŃial Punctaj Total subiect 10 a) S 2.
Rânicu Vâlcea, -6 febuaie 9 Pagina din 5 Subiect PaŃial Punctaj Total subiect a T T S S G G,75 G + S S T ( G+ S S T (,75 T T 5,5 S S G G G + S S T (,75 G + S S T (4,75 Cobinând cele atu elații ezultă:
Διαβάστε περισσότεραΤο άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
Διαβάστε περισσότερα-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003
-! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!
Διαβάστε περισσότεραEdexcel FP3. Hyperbolic Functions. PhysicsAndMathsTutor.com
Eeel FP Hpeoli Futios PhsisAMthsTuto.om . Solve the equtio Leve lk 7seh th 5 Give ou swes i the fom l whee is tiol ume. 5 7 Sih 5 Cosh osh 7 Sih 5osh's 7 Ee e I E e e 4 e te 5e 55 O 5e 55 te e 4 O Ge 45
Διαβάστε περισσότεραMinisterul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare
Eamenul de bacalaueat 0 Poba E. d) Poba scisă la FIZICĂ BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Vaianta 9 Se punctează oicae alte modalităńi de ezolvae coectă a ceinńelo. Nu se acodă facńiuni de punct. Se acodă
Διαβάστε περισσότεραd 2 y dt 2 xdy dt + d2 x
y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf
Διαβάστε περισσότερα!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραTema 1 - CCIA. Proiectarea unui dig de pământ
Tem - CCIA. Piete unui dig de pământ Dte de temă : Pentu pteje unui bietiv industil împtiv inundţiil, se ee exeute unui dig de pământ u umătele teistii : γ φ γ φ S S = (7,0 0, G )kn / m ;n = (5 0, G )
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραMETODE ŞI ETAPE NECESARE PENTRU DETERMINAREA
ETOE ŞI ETAPE ECESARE PETRU ETERIAREA UGHIULUI A OUĂ PLAE PROF. IACU ARIA, ŞCOALA ROUL LAEA, ORAVIłA, CARAŞ- SEVERI (). Unghi diedru. Fie α şi β două semiplne vând ceeşi frontieră (muchie)d. Se numeşte
Διαβάστε περισσότεραDETERMINAREA AVANTAJULUI MECANIC AL PÂRGHIILOR 1. Scopul lucrării
Luce n. DETERINRE VNTJULUI ECNIC L PÂRGHIILOR 1. Scopul lucăii Deteine vntjului ecnic () l difeite tipui de pâghii, pin clcule potului dinte foń otoe şi foń ezistentă ( / ) şi poi veifice eglităńii cestui
Διαβάστε περισσότεραwww.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont
w. ww lua so ab me lar m.co t me la sit po dis ion du c, bli pu via lar ca do w. ww me.co m, de la ion nta t do cu me on t ed hn iqu tec les en ce s, rι fιr ma rq ue se t lo go s, so nt la pr op riι tι
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότερα!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8
Διαβάστε περισσότεραC 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραMarch 14, ( ) March 14, / 52
March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a
Διαβάστε περισσότερα4ETE KPEMI MA AappleÔÏ ÛÂÈ, Û ÓÙ ÍÈÔ ÔÙ ÛÂÈ, ÂıÂÏÔ Û ÛÙÔ ËÌfiÛÈÔ, ÂÍ ÛˆÛË ÌÈÛıÒÓ Ì ÙÔÓ È ÈˆÙÈÎfi
36Ô Ú. Ê ÏÏÔ 10.741 Àƒø 1,30 TETAPTH 18 MA OY 2011 www.enet.gr ƒπ ÚfiÓÈ ÛÙÔÓ appleúôı Ï ÌÔ ÙÔ ËÌÔÛ Ô ı apple Ú Ì ÓÔ Ó ÔÈ apple Ï- ÏËÏÔÈ ÙˆÓ, π, ÙÚ appleâ ÒÓ Î È ÔappleÈÎ ÙÔ ÈÔ ÎËÛË, appleô ı appleâ- Yπό
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραSeminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii
Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur
Διαβάστε περισσότεραJeux d inondation dans les graphes
Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραLogique et Interaction : une Étude Sémantique de la
Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la Totalité Pierre Clairambault To cite this version: Pierre Clairambault. Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la Totalité. Autre [cs.oh].
Διαβάστε περισσότεραΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότεραPhysique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté
Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Alexis Nuttin To cite this version: Alexis Nuttin. Physique des réacteurs
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA FINALĂ - 22 mai 2010
ETAPA FINALĂ - mi 00 BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A. Pe o dreptă se consideră 00 puncte, cre formeză 009 segmente, fiecre de cm. Pe primul segment, desupr dreptei, construim un pătrt, pe l doile segment,
Διαβάστε περισσότεραErkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit
rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D 2008 6 TAMPR 2009 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D 2008 6, TOUKOKUU 2009
Διαβάστε περισσότεραr t t r t t à ré ér t é r t st é é t r s s2stè s t rs ts t s
r t r r é té tr q tr t q t t q t r t t rrêté stér ût Prés té r ré ér ès r é r r st P t ré r t érô t 2r ré ré s r t r tr q t s s r t t s t r tr q tr t q t t q t r t t r t t r t t à ré ér t é r t st é é
Διαβάστε περισσότεραTransformata z (TZ) TZ este echivalenta Transformatei Laplace (TL) in domeniul sistemelor discrete. In domeniul sistemelor continui: Sistem continuu
Prelucrre umeric semlelor Trsformt Trsformt este echivlet Trsformtei Lplce TL i domeiul sistemelor discrete. I domeiul sistemelor cotiui: xt s Sistem cotiuu yt Ys ht; Hs I domeiul sistemelor discrete:
Διαβάστε περισσότεραVn 1: NHC LI MT S KIN TH C LP 10
Vn : NHC LI MT S KIN TH C LP 0 Mc ích ca vn này là nhc li mt s kin thc ã hc lp 0, nhng có liên quan trc tip n vn s hc trng lp. Vì thi gian không nhiu (khng tit) nên chúng ta s không nhc li lý thuyt mà
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραTRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii:
TRIUNGHIUL Profesor lina Penciu, Școala Făgăraș, județul rașov Daca, si sunt trei puncte necoliniare, distincte doua câte doua, atunci ( ) [] [] [] se numeste triunghi si se noteaza cu Δ. Orice Δ determina
Διαβάστε περισσότεραP Œ ²μ, Œ.. ƒê Éμ,. ƒ. ²μ,.. μ. ˆ ˆŸ Œˆ ˆŸ ˆ Š Œ ˆŸ Ÿ - ˆ ˆ ŠˆŒˆ Œ Œˆ ˆ œ ˆ Œ ˆ ŒˆŠ Œ -25
P6-2011-64.. Œ ²μ, Œ.. ƒê Éμ,. ƒ. ²μ,.. μ ˆ ˆŸ Œˆ ˆŸ ˆ Š Œ ˆŸ Ÿ - ˆ ˆ ŠˆŒˆ Œ Œˆ ˆ œ ˆ Œ ˆ ŒˆŠ Œ -25 Œ ²μ... P6-2011-64 ² μ Ö ²Õ³ Ö ± ³ Ö μ Í Ì μ Ò Ö μ-ë Î ± ³ ³ Éμ ³ μ²ó μ ³ ³ ± μé μ Œ -25 μ³μðóõ Ö μ-ë
Διαβάστε περισσότεραRadio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.
Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Diego Torres Machado To cite this version: Diego Torres Machado. Radio
Διαβάστε περισσότερα!"#$%& '!(#)& a<.21c67.<9 /06 :6>/ 54.6: 1. ]1;A76 _F -. /06 4D26.36 <> A.:4D6:6C C4/4 /06 D:43? C</ O=47?6C b*dp 12 :1?6:E /< D6 3:4221N6C 42 D:A6 O=
! " #$% & '( )*+, -. /012 3045/67 8 96 57626./ 4. 4:;74= 69676.36 D426C
Διαβάστε περισσότεραCursul 10 T. rezultă V(x) < 0.
ursul uţol ătrtă V: X R V s lsă stl: ) V st oztv tă ă X u X rzultă V(). ) V st tv tă ă X u X rzultă V()
Διαβάστε περισσότερα5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
Διαβάστε περισσότερα