DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 25.travnja-27.travnja razred-rješenja
|
|
- Ευάγγελος Ζωγράφος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 5.travnja-7.travnja razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN. 1. S t označimo točne odgovore, s n netočne odgovore, a s m neodgovorene odgovore točnih odgovora bodova - 34 točna odgovora - 33 točna odgovora - 3 točna odgovora - 31 točan odgovor 34t n t m t n t n m t m t 3n t n m t n m t 3m t 4n t 3n m t n m t n 3m t 4m Istinu govore Šime i Ivo.. Traže se četveroznamenkasti brojevi oblika ab5c koji su djeljivi s 36, a znamenke a, b i c su međusobno različite. Broj je djeljiv s 36 ako je djeljiv brojevima 4 i 9. Uvjet djeljivosti brojem 4 daje da je dvoznamenkasti završetak 5c jednak 5 ili 56, što znači da je znamenka c ili c 6. Prema tome, traže se brojevi oblika ab5 ili ab 56 s međusobno različitim znamenkama koji su djeljivi s 9, odnosno kojima je zbroj znamenaka djeljiv s 9. Zbroj znamenaka broja ab 5 je 7 a b pa zbroj znamenaka a b može biti ili 11.
2 Ako je zbroj znamenaka a b, znamenke a i b mogu biti: a = 1 i b = 1 ili a = i b = 0, ali obje mogućnosti otpadaju zbog ponavljanja znamenaka. Ako je zbroj znamenaka a b 11, znamenke a i b mogu biti: a = i b = 9, a = 3 i b = 8, a = 4 i b = 7, a = 5 i b = 6, a = 6 i b = 5, a = 7 i b = 4, a = 8 i b = 3 ili a = 9 i b =. Zbog uvjeta različitosti znamenaka, preostaju: a = 3 i b = 8, a = 4 i b = 7, a = 7 i b = 4, a = 8 i b = 3. Zbroj znamenaka broja ab 56 je 11 a b pa zbroj znamenaka a b može biti 7 ili 16. Ako je zbroj znamenaka a b 7, znamenke a i b mogu biti: a = 1 i b = 6, a = i b = 5, a = 3 i b = 4, a = 4 i b = 3, a = 5 i b =, a = 6 i b = 1 ili a = 7 i b = 0. Zbog uvjeta različitosti znamenaka, preostaju: a = 3 i b = 4, a = 4 i b = 3, a = 7 i b = 0. Ako je zbroj znamenaka a b 16, znamenke a i b mogu biti: a = 7 i b = 9, a = 8 i b = 8 ili a = 9 i b = 7. Preostaju rješenja a = 7 i b = 9, a = 9 i b = 7. Rješenja su brojevi: 385, 475, 745, 835, 3456, 4356, 7056, 7956 i Prema uvjetima i uz oznake kao na slici vrijedi ax 80 i cx 160. Dalje je cx ax pa je c a. Također iz uvjeta vrijedi ab cb te slijedi ab ab 55 odnosno ab 175. Na kraju cd Površina većeg pravokutnika je 510 cm.
3 4. 1. mogućnost: Ako je Borisov iskaz "Ja sam odbojkaš" točan, tada njegov iskaz "Zoran igra košarku" nije točan (lažan je). Očigledno je tada da Markov iskaz "Boris igra košarku" nije točan pa je točan iskaz "Zoran je rukometaš". Prema tome, Boris je odbojkaš, Marko je košarkaš, a Zoran rukometaš. Ovo možemo prikazati tablicom na sljedeći način: košarkaš odbojkaš rukometaš Boris + Marko + Zoran +. mogućnost: Ako je Borisov iskaz "Ja sam odbojkaš" netočan, tada je njegov iskaz "Zoran igra košarku" točan. Očigledno je tada da Markov iskaz "Zoran je rukometaš" nije točan pa je točan iskaz "Boris igra košarku". Kako sada i Zoran i Boris igraju košarku, ova mogućnost otpada. 5. Neka su a,b,c,d redom traženi brojevi. d Tada vrijedi a b c d 1000 i a 4 b 4 4c. 4 Slijedi a 4c 4, b 4c 4 i d 16c. Vrijedi 4c 4 4c 4 c 16c c 1000 c 40 pa je a 156, b 164 i d 640. Traženi brojevi su 156, 164, 40 i 640.
4 DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 5.travnja-7.travnja razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN. 1. Neka je x broj redova u voćnjaku. Tada u njemu ima 0 x voćaka. U slučaju kada bi bila 3 reda manje vrijedilo bi ( x 3 ) 5 = 0 x Dalje je 5 x 75 = 0 x + 40 odnosno 5 x = 115 pa je x = 3. Zasađeno je 3 reda voćki.. C D A E B Trokut AEC je jednakokračan jer vrh E pripada simetrali njegove osnovice AC te je AE CE x. Zbog toga je CAE ACE. U trokutu BCE, BCE BCA ACE 90. Također je i 90 jer je šiljasti kut pravokutnog trokuta ABC. Dakle, i trokut BCE je jednakokračni trokut te vrijedi BE CE x. Iz uvjeta zadatka imamo ove jednakosti : (opseg trokuta ABC) a + b + c = 48, (1) (opseg trokuta AEC) b + c = 3, () (opseg trokuta BCE ) a + c = 36. (3)
5 Iz (1) i () slijedi da je a = 48 3 = 16. Iz (1) i (3) slijedi da je b = = 1. Na kraju slijedi da je c = Od znamenki n, n + 1 i n + mogu se napisati sljedeći troznamenkasti brojevi: n( n 1)( n ), n( n )( n 1), ( n 1) n( n ), ( n 1)( n ) n, ( n ) n( n 1) i ( n )( n 1) n. Zbrajanjem tih brojeva i primjenom svojstva distributivnosti dobivamo 100(6 n 6) 10(6n 6) 6n 6 =111(6 n 6) 666( n 1). Zbroj je djeljiv sa 666 jer se može prikazati kao umnožak broja 666 i prirodnog broja. 4. Krakovi zadanog trokuta ABC ne mogu biti krakovi novih trokuta, ali ni njihove osnovice (jer bi tada novodobiveni trokuti bili sukladni). Znači jednom od dobivenih trokuta je osnovica AC, a drugom je osnovicacd. Kako je trokut ABC jednakokračan, onda je CAB CBA. S obzirom da je trokut ADC jednakokračan, onda je CAD ACD. Tada je CDB CAD ACD. Budući da je i trokut BCD jednakokračan, vrijedi BCD CDB. C A D B Na temelju zbroja veličina unutarnjih kutova u trokutu BCD dobivamo Slijedi da je 36. Veličine kutova trokuta ABC su 36, 36 i 108.
6 xy y x x y(1 xy) y 1 xy 1 x x(1 xy) x y y Traže se brojevi za koje je: x y 100 i y =15x. Traženi parovi su (1,15), (,30), (3,45), (4,60), (5,75) i (6,90).
7 DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 5.travnja-7.travnja razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN. 1. Neka je x broj godina majke. Tada je broj godina oca x + 4. Vrijedi x x =80. Rješavanjem jednadžbe dobivamo da otac danas ima 4 godine, a majka 38. Za nekoliko godina ( z ), zbroj godina djece bit će 59% zbroja godina oca i majke: z = 0.59 ( 80 + z ) Rješavanjem te jednadžbe dobit ćemo z = 10. Za 10 godina otac će imati 5, a majka 48 godina.. Neka je u svakom od 6 odjela s jednakim brojem učenika x učenika. Tada je u njima ukupno 6x učenika. Kako je 6x > 150, onda je x > 5. U ostalim odjelima je 15% više učenika, što znači x = 6.9x učenika. Ukupno ih ima 6x + 6.9x =1.9x i taj broj je manji od 400. Dakle, 1.9 x 400 pa je 4000 x. 19 To znači da je x. 19 Da bi 1.9x bio prirodni broj, mora x biti višekratnik broja 10. Dakle, x = 30. U školi ima 387 učenika.
8 3. Neka je x abc traženi troznamenkasti broj. Prema uvjetu zadatka vrijedi x 1 ( a b c) 3 7 ( a b c ). To znači da je x djeljiv s 3. No, tada je zbroj njegovih znamenaka djeljiv s 3 odnosno postoji prirodni broj k takav da je a b c 3 k. Slijedi x k 9 7 k i time je dokazano da je x djeljiv s 9. Kako su a, b i c znamenke traženog troznamenkastog broja, za njih vrijedi 0 < a 9, 0 b 9, 0 c 9. Zbog toga za zbroj znamenki imamo tri mogućnosti: 1.) a + b + c = 9,.) a + b + c = 18, 3.) a + b + c = 7. 1.) (1 8 9) 378.) (3 7 8) ) (5 6 7) 378 Dakle, traženi troznamenkasti broj je 378.
9 4. Kako je DAB ABD, onda je ΔABD jednakokračan pa je AD BD 5 cm. Promatramo trokute ABC i DAC. S obzirom da je CDA CAB i CAD ABC, prema poučku K-K o sličnosti vrijedi ABC DAC. Iz sličnosti slijedi AC : CB CD : AC AC : 9 4 : AC AC AC odnosno AC 6 36 BC : AB AC : AD 9 : c 6 : 5 c c Na kraju O a b c O O.5 Opseg trokuta ABC je.5 cm.
10 5. Neka se CN i AM sijeku u točki P i neka je točka D na stranici AB takva da je CN MD. Iz zadanih uvjeta vrijedi: AN k, NB 3k, BM 3m i MC 4m, za km,. Prema Talesovom poučku o proporcionalnim dužinama vrijedi BD : DN BM : MC 3: 4 pa je BD 3n i DN 4n, za n. Slijedi NB ND DB odnosno 3k 4n 3n te je k n 7 3. Prema Talesovom poučku o proporcionalnim dužinama vrijedi AP : PM AN : ND pa je k 1 k AP : PM 7 : 6. 4n n 3 6
11 DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 5.travnja-7.travnja razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN. 1. Zadana jednadžba može se pojednostavniti i zapisati u obliku y( x 3) ( x 3) 9 1 y( x 3) ( x 3) 3 y = ( x 3) x 3 3 y x 3 3 x 3 Razlomak 3 x 3 je cijeli broj samo ako je nazivnik djelitelj brojnika. U tom slučaju razlikujemo četiri mogućnosti : 1.) x + 3 = 1 => x = 4 i tada je y = 4,.) x + 3 = 1 => x = i tada je y = 4, 3.) x + 3 = 3 => x = 0 i tada je y = 4, 4.) x + 3 = 3 => x = 6 i tada je y = 4. Dakle, rješenja zadane jednadžbe su uređeni parovi ( 4, 4), (, 4), (0, 4) i ( 6, 4).
12 . Prije susreta Ana je prošla dio puta s 1 brzinom v 1 u vremenu t, a u istom tom vremenu Branka preostali dio puta s brzinom v. Zato vrijede ove jednakosti : s 1 = v 1 t i s = v t. Nakon susreta Ana je dio puta s prošla za 4 sata pa imamo s = 4 v 1, a Branka s 1 za 9 sati te vrijedi s 1 = 9 v. Slijedi v 1 t = 9 v odnosno v 1 9v t. Isto tako je v t = 4 v 1 odnosno vt 4 v 1. Dakle, v t 4 9v t pa je t 36. Slijedi da je t = 6. (Negativno rješenje t = 6, u ovom slučaju odbacujemo ). Dakle, Ana i Branka pošle su na put ujutro u 6 sati. 3. Umnožak znamenaka troznamenkastog broja kojemu je znamenka desetica ili znamenka jedinica jednaka nuli iznosi 0. Takvi brojevi neće utjecati na ukupni zbroj svih umnožaka. Promatrajući brojeve prve stotice lako se vidi: - zbroj umnožaka znamenki brojeva 111,11,113,..., 118, 119 je = 45 - zbroj umnožaka znamenki brojeva 11,1,13,..., 18, 19 je ( ) = = 45 - analogno, slijede zbrojevi umnožaka 3 45, 4 45,..., 8 45 i Ukupan zbroj umnožaka prve stotice iznosi = 45 ( ) = Za brojeve druge stotice taj je zbroj umnožaka dvostruko veći (zbog znamenke stotice ) i iznosi 45. Analogno, za ostale su troznamenkaste brojeve zbrojevi umnožaka znamenaka jednaki 3 45, 4 45,..., 8 45 i Konačni zbroj svih umnožaka iznosi = ( ) = 3 45
13 4. Nacrtani lik je pravilni dvanaesterokut (sve su mu stranice jednakih duljina i svi unutarnji kutovi su veličine = 150 ). Trokut ABS je karakteristični trokut tog pravilnog dvanaesterokuta, a krak SA polumjer je tom trokutu opisane kružnice. S R A P B Uz oznake kao na slici i uvjete zadatka vrijedi SR cm, RP 3 cm. Dakle, SP ( 3) cm. Primjenom Pitagorina poučka na trokut APS dobivamo da je AS AP SP pa je Tada je AS cm. AS 1 ( 3) ( 3).
14 5. S obzirom da je 45 < γ < 90 i prema poučku o obodnom i središnjem kutu, vrijedi 90 BSA 180 odnosno ΔABS je tupokutan. Neka je točka G nožište okomice iz točke A na pravac BS i p AG, q SG, x AP. Kako su trokuti ΔASG, ΔAPG i ΔABG pravokutni, primjenom Pitagorina poučka slijedi r p q, r x p ( q ) i c p ( q r ). Iz druge od ovih jednadžbi slijedi r p x ( q ) što uvrstimo u preostale dvije jednadžbe te nakon sređivanja vrijedi r 4 r x qr i 3r c x qr. 4 Zbrajanjem ove dvije jednadžbe slijedi r r c x odakle je 1 x c r. Budući da je AM AP MP, onda je AM AP MP c r r. Iz određenosti trokuta ΔABS vrijedi c r odnosno c r 0. Kako je c 0, onda je c ( c r ) 0 odnosno Zatim je c cr c r c r pa je c cr 0. c r c cr r odnosno c r ( c r ). Dalje je c r c r odnosno c r r c. Dakle, AM AB te je time tvrdnja dokazana.
RJEŠENJA ZA 4. RAZRED
RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJEJEDANJEDANNAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 24. siječnja razred rješenja
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. siječnja 011. 4. razred rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, 2.travnja-4.travnja razred-rješenja
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, travnja-4travnja 014 5 razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. 4. razred osnovna škola. 23. veljače Odredi zbroj svih neparnih dvoznamenkastih prirodnih brojeva.
MINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I ŠPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 1. Na pitanje koliko
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 9. ožujka 2007.
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 9. ožujka 007. 1. Izračunaj:
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 3.travnja-5.travnja razred-rješenja
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, travnja-5travnja 07 5 razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραRJEŠENJA ZA 4. RAZRED
RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJEJEDANJEDANNAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN..
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραOp cinsko natjecanje Osnovna ˇskola 4. razred
9 1. Općinsko natjecanje Općinsko (gradsko) natjecanje je prvi stupanj natjecanja koji se organizira po jedinstvenim kriterijima Državnog povjerenstva za matematička natjecanja. Godine 1996. ono je održano
Διαβάστε περισσότεραOpćinsko natjecanje. 4. razred
9 1. Općinsko natjecanje iklus susreta i natjecanja mladih matematičara, učenika osnovnih i srednjih škola Republike Hrvatske i u 1998. godini sastojao se od školskih natjecanja, gradskih i općinskih natjecanja,
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 17. siječnja 2013.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 17. siječnja 01. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERE- NSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 2010.
ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja 009. 1. Riješi nejednadžbu x + x Rješenje. 1 u skupu prirodnih brojeva. x + x 1 x + x + 0 x x < 0 x
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 27. siječnja 2014.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 7. siječnja 014. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραx + y + z = 2 (x + y)(y + z)+(y + z)(z + x)+(z + x)(x + y) =1 x 2 (y + z)+y 2 (z + x)+z 2 (x + y) = 6
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija,. svibnja 2007. Rješenja Zadatak 1A-1. Na - dite realna rješenja sustava jednadžbi: x + y + z = 2 (x + y)(y + z)+(y + z)(z + x)+(z
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 25. siječnja 2008.
Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 25. siječnja
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραPRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola B kategorija Pula, 30. ožujka 009. Zadatak B-.. (0 bodova) Tomislav i ja, reče Krešimir, možemo završiti posao za 0 dana. No, ako bih radio s Ivanom
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija 30. ožujka 2009.
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola A kategorija 30. ožujka 009. Zadatak A-.. Odredi sve trojke uzastopnih neparnih prirodnih brojeva čiji je zbroj kvadrata jednak nekom četveroznamenkastom
Διαβάστε περισσότεραZdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Διαβάστε περισσότεραb = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b.
1 DJELJIVOST 1.1. Djeljivost. Prosti brojevi Količnik dvaju prirodnih brojeva nije uvijek prirodni broj. Tako na primjer, broj 54 8 nije prirodan, jer 54 nije djeljiv s 8. Broj 221 jest prirodan, jer 221
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραTeorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραProširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu
Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu Ratko Višak 1. Uvod Na osnovu poučka o obodnom i središnjem kutu izvedene su relacije kada točka nije na kružnici, nego je izvan ili unutar nje. Relacije
Διαβάστε περισσότερα3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA Dokaži dajebroj djeljivs Dokažidajebroj djeljiv Dokaži dajebroj djeljiv
3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 3.. djeljivost 65. Dokaži da je produkt tri uzastopna broja, od kojih je srednji kub prirodnog broja, djeljiv s 504. 652. Ako su a, b cijeli brojevi, dokaži da je broj ab(a
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik 1 U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραProljetno kolo 2017./2018.
MAT liga 0./0.. kolo.0.0. Proljetno kolo 0./0. ŠKOLA EKIPA KATEGORIJA POVJERENIK NATJECANJA B C R. IME I PREZIME UČENIKA RAZRED IME I PREZIME MENTORA.... ODGOVORI:. razred. razred. razred. razred.........................................6..6..6..6..................9..9..9..9..0..0..0..0.................
Διαβάστε περισσότεραProširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu
Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu Ratko Višak 1. Uvod Na osnovu poučka o obodnom i središnjem kutu izvedene su relacije kada točka nije na kružnici, nego je izvan ili unutar nje. Relacije
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija 3. svibnja 2007.
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija 3. svibnja 2007. Zadatak
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότεραALFA List - 1. Festival matematike "Split 2013." Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013.
ALFA List - 1 Točan odgovor: 10 bodova Pogrešan odgovor: 5 bodova Bez odgovora: 0 bodova 1. Ako je (x+ 3): 4=( x ):3, onda je x jednako: A) 1 B) 1 C) 17 D) 17 E) 6. Kut od 1º30' gleda se kroz povećalo
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO (GRADSKO) NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 4. veljače 2010.
ŠKOLSKO (GRADSKO) NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 4. veljače 2010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότερα2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =
Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραmogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.
r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira
Διαβάστε περισσότεραProljetno kolo 2017./2018.
MAT liga 0./0.. kolo.0.0. Proljetno kolo 0./0. ŠKOLA EKIPA KATEGORIJA POVJERENIK NATJECANJA A R. IME I PREZIME UČENIKA RAZRED IME I PREZIME MENTORA.... ODGOVORI:. razred. razred. razred. razred.........................................6..6..6..6..................9..9..9..9..0..0..0..0.................
Διαβάστε περισσότεραSveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek. Tonio Škaro. Diplomski rad
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tonio Škaro Težišnice trokuta i težište Diplomski rad Zagreb, rujan, 015 Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet
Διαβάστε περισσότεραFunkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Διαβάστε περισσότεραIZBORNO NATJECANJE prvi dio rješenja zadataka
IZBORNO NATJECANJE 2010. prvi dio rješenja zadataka Zadatak 1. Postoji li funkcija f : N N za koju vrijedi f(f(n)) = f(n + 1) f(n) za svaki n N? Prvo rješenje. Pretpostavimo da postoji tražena funkcija.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 29. siječnja 2007.
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 9. siječnja 007.. U brojevnom
Διαβάστε περισσότεραTemeljni pojmovi o trokutu
1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότερα