ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Μανόλης Παπαδρακάκης Καθηγητής ΕΜΠ Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών

2 Ειδικά κεφάλαια μητρωικής ανάλυσης ραβδωτών φορέων Συνοριακές συνθήκες Στερεοί κόμβοι-διαφράγματα Στατική συμπύκνωση Τροποποιημένα μητρώα Ελαστικοί κόμβοι Μέθοδος υποφορέων 2 2

3 Συνοριακές Συνθήκες Καθορισμένες μετατοπίσεις στηρίξεων Κεκλιμένη κύληση η 3 3

4 Προσομοίωση στερεών κόμβων Τοιχία Όψη Τριδιάστατη απεικόνηση Κάτοψη 4 4

5 Προσομοίωση στερεών κόμβων Τοιχία στο επίπεδο Πέδιλα ιαφράγματα 5 5

6 Προσομοίωση στερεών κόμβων Κινηματικές εσμεύσεις διαφραγμάτων B A u Δx2 u 1 B A u2 = 0 1 Δx1 u2 B A θ θ 3 {D B } = [e]{d A } 6 6

7 Προσομοίωση στερεών κόμβων Ισοδύναμες δράσεις διαφραγμάτων A B F F 1 A B F = F2 A B M x x 1 M Δ Δ {A A } = [e] T {A B } 7 7

8 Προσομοίωση στερεών κόμβων Τοιχία στο επίπεδο 8 8

9 Προσομοίωση στερεών κόμβων Τοιχία στο επίπεδο Δ x = x x J j J 1,2 1,2 1,2 Δ x = x x K k K 1,2 1,2 1,2 j j J J j j D e 0 D A e 0 A = = k k K K k k D 0 e D A 0 e A {D jk } = [e jk ]{D JK } {A JK } = [e jk ] T {A jk } {A jk } = [k i ]{D jk } [e jk ] T {A jk } =[e jk ] T [k i ]{D jk } T j J J u Δx 2 u 1 j J J u2 = 0 1 Δx1 u2 j J θ θ 3 k K K u Δx 2 u 1 k K K u2 = 0 1 Δx1 u2 k K θ θ 3 [e jk ] T {A jk } = [e jk ] T [k i ] [e jk ]{D JK } {A JK } = [e jk ] T [k i ] [e jk ]{D JK } {A JK } = [k JK ] {D JK } [k JK ] = [e jk ] T [k i ] [e jk ] 9 9

10 Στατική συμπύκνωση στοιχείου {P e } = [K ee]{ ]{Δ e } + [K e]{ ]{Δ e } {P } = [K e ]{Δ e } + [K ]{Δ } {Δ }=[K ]-1 e ee ({P} e - [K e ]{Δ }) {P } - [K e ][K ee ] -1 {P e } = ( [K ] - [K e ][K ee ] -1 [K e ] ){Δ } [K 1 ] = [K ] [K e ][K ee ] 1 [K e ] {P } = [K ]{Δ } Pe Kee Ke Δe = P Ke K Δ 10

11 Μητρώo στιβαρότητας (P 2)-Απαλοιφή στροφής στο άκρο k(2) Μητρώo στιβαρότητας (P2) [ k] EA / L 0 0 EA / L EI / L 6 EI / L 0 12 EI / L 6 EI / L 2 4 EI / L 0 6 EI / L 2 EI / L = EA / L EI / L 6 EI / L 4 EI / L 11 11

12 Μητρώo στιβαρότητας (P 2)-Απαλοιφή στροφής στο άκρο k(2) Pe Kee Ke Δe P = Ke K Δ 2 2 P 6 4 EI L 0 6 EI L 2 EI L 0 6 EI L Δ 6 P 1 0 AE L 0 0 AE L 0 Δ P 2 6EI L 0 12EI L 6EI L 0 12EI L Δ 2 = 2 2 P3 2EI L 0 6EI L 4EI L 0 6EI L Δ3 P 4 0 AE L 0 0 AE L 0 Δ P5 6EI L 0 12EI L 6EI L 0 12EI L Δ

13 Μητρώo στιβαρότητας (P 2)-Απαλοιφή στροφής στο άκρο k(2) Pe Kee Ke Δe P = Ke K Δ [K 1 ] = [K ] [K e ][K ee ] 1 [K e ] [ Κ ] C = ΑΕ/ L 0 0 ΑΕ/ L 0 0 3ΕΙ/ L 3ΕΙ/ L 0 3ΕΙ/ L 0 3ΕΙ/ L 3ΕΙ/ L 0 3ΕΙ/ L ΑΕ L ΑΕ L / 0 0 / ΕΙ/ L 3ΕΙ/ L 0 3ΕΙ/ L

14 Μητρώo ηρ στιβαρότητας (P 2)-Απαλοιφή στροφής στο άκρο k Φυσική ερμηνεία 14

15 Μητρώo στιβαρότητας (P 2)-Απαλοιφή φ εγκάρσιας ελευθέρωσης στο άκρο k 15

16 Μητρώo στιβαρότητας (P 2)-Απαλοιφή στροφής στο άκρο j(1) Pe Kee Ke Δe = P Ke K Δ [K 1 ] = [K ] [K e ][K ee ] 1 [K e ] EA / L 0 0 EA / L EI / L EI / L 3 EI / L ' k = EA / L EI / L 3 EI / L 3 EI / L 16 16

17 Μητρώo στιβαρότητας (P 2)-Απαλοιφή στροφών στα άκρα j,k [K 1 ] = [K ] [K e ][K ee ] [K e ] Στοιχείο P1 EA/ L 0 0 EA/ L ' k = EA / L Pe Kee Ke Δe P = K K Δ e 17 17

18 Τροποποιημένα P 2 μητρώα στιβαρότητας στοιχείου P2 18

19 ράσεις παγιώσεως τροποποιημένων στοιχείων 19

20 ράσεις παγιώσεως τροποποιημένων στοιχείων λόγω κατανεμημένων φορτίων Pe = Se Kee Ke Δe = 0 P Ke K Δ = Ισοδύναμου φορέα {Δe} = [Kee] 1 {Se} {P} = [Ke][Kee] 1 {Se} {S} = {S} [Ke][Kee] 1 {Se} 20

21 ράσεις παγιώσεως τροποποιημένων στοιχείων με φόρτιση Pe στην ελευθέρωση Pe Kee Ke Δe P = 0 Ke K Δ = Ισοδύναμου φορέα {Δe} = [Kee] 1 {Pe} {S} = [Ke][Kee] 1 {Pe} 21

22 Εσωτερικές ελευθερώσεις-συνδυασμένοι κόμβοι 22

23 Εσωτερικές ελευθερώσεις-συνδυασμένοι κόμβοι 23

24 Μητρώο στιβαρότητας συνδυασμένου κόμβου (N + 1) (N + 2) ( N + 3) ( N' + 1) ( N' + 2) ( N' + 3) ( N + 1) ( N + 2) ( N + 3) ( N + 4) ( N + 5 ) ( N + 1) ( N + 2) ( N + 3) (i) (i) (i) k 0 k k (i) (i) (i) (i) [k ] k 0 k k 0 [0] jj (i) (i) k 0 k k 0 (i) (i) (i) (i) 34 (i) 35 (i) 36 (i) 44 (m) 45 (m) 46 (m) (m) (m) (i) 11 (m) 12 (i) (m) (i) 13 (m) 14 (m) 15 (m) 54 (i) (i) 56 (i) (m) 65 (m) 66 (m) (m) (m) (m) (m) (m) k k 0 k (m) (m) (m) (m) kk (m) (m) (m) k k 0 k (N + 1) k k k k 0 k k (N + 2) k k 0 k k k k 16 (i) (i) (i) (N + 3) k k k k k k + k k k k k k (i) (i) (i) (N + 4) k k k k 0 k k (N + 5) k k 0 k k k k (N + 1) ( N + 2) (N + 3) [0] 0 k k 0 k [ k ] (m) (m) (m)

25 ράσεις παγιώσεως - Συνδυασμένοι κόμβοι 25

26 Pe Kee Ke Δe Φυσική ερμηνεία στατικής συμπύκνωσης = P Ke K Δ = K Δ { P} [ ]{ } {P } - [K e ][K ee ] -1 {P e } = ( [K ] - [K e ][K ee ] -1 [K e ] ){Δ } P Δ { } [ ]{ } = K 26

27 Στατική συμπύκνωση-αλγεβρική διατύπωση (2) (2) P1,2,3 Κee Κe Δ1,2,3 (1) (1) R123 1,2,3 Δ 1,2,3 123 = (3) (3) P 1,2,3 Κe Κ Δ 1,2,3 (4) (4) R 123 1,2,3 Δ 1,2,3 123 (1) Δ1,2,3 ( 2 ) 1 (2) (3) Δ 1,2,3 = [ Kee] P1,2,3 [ Ke ] Δ1,2,3 (4) Δ1,2,3 (1) (1) R1,2,3 Δ1,2,3 (3) -1 (2) -1 (3) P1,2,3 [ Ke][ Kee] { P } 1,2,3 [ K] [ Ke][ Kee] [ Ke] = Δ 1,2,3 (4) (4) R 1,2,3 Δ 1,2,3 (1) (1) (1) R1,2,3 S1,2,3 Δ1,2,3 (3) (3) (3) P1,2,3 S1,2,3 = [ K ] Δ1,2,3 (4) (4) (4) R 1,2,3 S 1,2,3 Δ 1,2,3 { } [ ]{ } P = 27 K Δ

28 Στατική συμπύκνωση-φυσική ερμηνεία Εφαρμογή της Αρχής ισοδυναμίας στον Συμπυκνωμένο Φορέα Pe Kee Ke Δe P = Ke K Δ (1) (1) (1) R1,2,3 S1,2,3 Δ1,2,3 (3) (3) (3) P1,2,3 = S1,2,3 + K Δ1,2,3 (4) (4) (4) R 1,2,3 S 1,2,3 Δ 1,2,3 [ ] { P } = [ K ]{ Δ } Δ 28

29 Στατική συμπύκνωση-φυσική ερμηνεία Εξίσωση συμπυκνωμένου φορέα { P} = [ K ]{ } S Δ (1) 1,2,3 (3) -1 (2) S1,2,3 = [ Ke ][ Kee ] { P1,2,3} (4) S 1,2,3 (1) (1) 1,2,3 Δ1,2,3 (3) -1 (2) -1 (3) ,2,3 [ e][ ee] { 1,2,3} = [ ] [ e][ ee] [ e] 123 1,2,3 (4) (4) 1,2,3 Δ1,2,3 R P K K P K K K K Δ R Εξίσωση ισοδύναμου φορέα (1) (1) (1) R1,2,3, S1,2,3, Δ1,2,3, (3) (3) (3) P1,2,3 S1,2,3 = [ K ] Δ1,2,3 (4) (4) (4) R 123 S 123 Δ 1,2,3 1,2, ,2,3 29

30 Ελαστικoί κόμβοι 30

31 Ελαστικός κόμβος-στροφικό ελατήριο στο άκρο

32 Ελαστικός κόμβος-στροφικό ελατήριο στο άκρο 1 1 P3 k k Δ 3 ' ' P = 3 k k Δ3 1 P 2 k 22 k 23 k 25 k 26 Δ 2 P 3 k32 k33 k35 k 36 Δ 3 =. P5 k52 k53 k55 k56 Δ5 P6 k62 k63 k65 k66 Δ k 0 k k k 0 k k 0 0 k k k + k k k k 0 k k k k 0 k k k Δ Δ Δ Δ Δ Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ =

33 Ελαστικός κόμβος-στροφικό ελατήριο στο άκρο 1 {P - -1 }=([K - -1 } [K e ][K ee ] {P e ] [K e ][K ee ] [K e ]){Δ } k 22 0 k 23 k 25 k 26 Δ 2 Ρ 2 0 k k 0 0 Δ 3 Ρ 3 k32 k k33 + k k35 k 36 Δ 3 = Ρ 3 k 52 0 k 53 k 55 k 56 Δ 5 Ρ 5 k62 0 k63 k65 k66 Δ6 Ρ6 Στατική συμπύκνωση του 3 k22 0 k25 k26 k23 0 k 0 0 ˆ k 1 K = k k k k k52 0 k55 k56 k53 k33 + k k62 0 k65 k66 k63 [ ] P Δ { } [ ]{ } = K kk o 22 k23k32 kk 23 kk o 25 k23k35 kk o 26 k23k36 1 kk kk kk kk + o kk k k k kk k k kk k kk o 62 k63k32 k kk o 65 k63k35 kk o 66 k63k =, ( ko= k33 + k) k o o o 56 53k36 33

34 Ελαστικός κόμβος-στροφικό ελατήριο στο άκρο 1 1 P = K Δ { P} = [ K]{ Δ } { } [ ]{ } {P } - [K e ][K ee ] -1 {P e } = ( [K ] - [K e ][K ee ] -1 [K e ] ){Δ } {P }={P } - [K e ][K ee ] -1 {P e } kk o 22 k23k32 kk 23 kk o 25 k23k35 kk o 26 k23k36 1 kk kk kk kk K = k k + k kk o 62 k63k32 k kk o 65 k63k35 kk o 66 k63k36 ˆ , ( o = 33 ) ko kk o 52 k53k32 k kk o 55 k53k35 kk o 56 k53k36 34

35 ράσεις παγιώσεως στοιχείου με ελαστικό κόμβο στο άκρο 1 1 ράσεις παγιώσεως τροποποιημένων στοιχείων λόγω κατανεμημένων φορτίων Pe = Se Kee Ke Δe = P 0 Ke K Δ = Ισοδύναμου φορέα {Δe} = [Kee] 1 {Se} {P} = [Ke][Kee] ] 11 {Se} {S} = {S} [Ke][Kee] 1 {Se} {S} = {S} [Ke][Kee] 1 ({Se} {Pe}) 35

36 ράσεις παγιώσεως στοιχείου με ελαστικό κόμβο στο άκρο 1 1 {S} = {S} + Ke][Kee] ee] 1 {Pe} Pe = Se Kee Ke Δe = P 0 Ke K Δ = k23 k 1 = k 53 k33 + k k63 { P } { P } e k22 0 k23 k25 k Δ Ρ 0 k 0 0 k Δ 3 Ρ 3 k32 k k33 + k k35 k 36 Δ 3 = Ρ 3 k52 0 k53 k55 k 56 Δ 5 Ρ5 k62 0 k63 k65 k66 Δ6 Ρ6 {P} = [Ke][Kee] 1 {Pe} {Pe} = {Se}{ } 36

37 2 F 56 Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Ε.Μ.Π. Στοιχεία μεταβλητής διατομής Μητρώο στιβαρότητας-ακριβής υπολογισμός F A Fkk = 0 F F = = [ kkk ] [ Fkk ] 0 B C 0 C D 0 F65 F66 [ F ] = = Α=1/F 44, B=F 66 /H, C=-F 56 /H, D=F 55 /H, H=F 55 F 66 -F

38 Μητρώο στιβαρότητας-ακριβής υπολογισμός Α=1/F 2 44, B=F 66 /H, C=-F 56 /H, D=F 55 /H, H=F 55 F 66 -F 56 [ k ] A 0 0 A 0 0 B C + BL 0 B C BL 2 D+ 2CL+ BL 0 C D CL = A 0 0 B C D 38

39 Μητρώο στιβαρότητας-ακριβής υπολογισμός F 44 = ( N ( x )) 2 L 4 1 EA ( x 1 ) 0 dx F 55 L = 0 ( M 5 ( x 1 )) EI( x ) 1 2 dx F 66 = L 2 ( M 6( x1)) 0 EI( x ) 1 dx F 56 L M5( x1) M6( x1) = dx EI( x )

40 Στοιχεία μεταβλητής διατομής Μητρώο στιβαρότητας-προσεγγιστικός υπολογισμός (1) (2) (3) Τ e 1,2,3 1,2,3 1,2,3 { Δ } = Δ Δ Δ ( j) ( k) T 1,2,3 1,2,3 { Δ } = Δ Δ Pe Kee Ke Δe P = Ke K Δ [ 1 ] e ee e [ K ] = [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] 40

41 Στοιχεία μεταβλητής διατομής- ράσεις ς παγιώσεως- Ακριβής ρβ ς υπολογισμός k δ1 k {0}={δ}+[F]{R} { δ} = δ 2 k δ 3 { R} = δ δ R k 1 k R2 k R3 L k NN = dx EA x1 k 2 = 0 ( ) L ΜΜ 0 5 dx EI( x 0 1) δ k 3 = L ΜΜ 0 6 dx EI ( x 1 ) 0 41

42 Στοιχεία μεταβλητής διατομής- ράσεις παγιώσεως-προσεγγιστικός υπολογισμός {P 0 } j R j S j P 12,, 3 123,, 12,, 3 k = k k R12,, 3 + S123,, P12,, 3 j { } k T = 1,2,3 1,2,3 1,2,3 1,2,3 1,2,3 S S S S S S 42

43 Στοιχεία μεταβλητής διατομής- ράσεις παγιώσεως-προσεγγιστικός υπολογισμός {P 0 } Εξισώσεις ισορροπίας ΙΦ Pe Kee Ke Δe jk, P = 1,2,3 Ke K Δ = 0 { e} = [Kee] -1 {Pe} {P j,k 123} 1,2,3} = [Ke][Kee] ] -1 {P e } {P e }={P 0 }-{S 0 } { S } S S S = ,2,3 1,2,3 1,2,3 ράσεις παγιώσεως ΑΦ {R j,k 1,2,3} = {S j,k 1,2,3} + {P j,k 1,2,3} T 43

44 Η Μέθοδος των Υποφορέων Παράδειγμα εφαρμογής 44

45 Η Μέθοδος των Υποφορέων 45

46 Η Μέθοδος των Υποφορέων {P} = [K]{Δ} (45x45=2025) {P A } = [K A ]{Δ A } (21x21=441) {P B } = [K B ]{Δ B } (21x21=441) {P C } = [K C ]{Δ C } (18x18=324) 46

47 Η Μέθοδος των Υποφορέων A A A A Pe Kee Ke Δ e A A = A A A R + P Ke K Δ A (5) (6) (7) (8) (9) T { Δ e } = Δ1,2,3 Δ1,2,3 Δ1,2,3 Δ1,2,3 Δ1,2,3 A (4) (10) T { Δ } = Δ1,2,3 Δ1,2,3 A { Pe } = [ ] A { P } = [ T ] A (4 Α) (10 Α) T { R } R1,2,3 R1,2,3 = T 47

48 Η Μέθοδος των Υποφορέων B B B B Pe Kee Ke Δ e B B = B B B R + P Ke K Δ B (2) (3) T { Δ e } = Δ1,2,3 Δ1,2,3 B (4) (10) (11) (12) (13) T { Δ } = Δ1,2,3 Δ1,2,3 Δ1,2,3 Δ1,2,3 Δ1,2,3 B T { Pe } = [ ] B { P } = [ ] B (4 Β) (10 Β) (11 Β) (12 Β) (13 ) T { R } = R1,2,3 R1,2,3 R1,2,3 R1,2,3 R Β 1,2, T 48 48

49 Η Μέθοδος των Υποφορέων Υποφορέας C C C C C Pe Kee Ke Δe C C = C C C R + P Ke K Δ C (15) (16) (17) T { Δ e } = Δ1,2,3 Δ1,2,3 Δ1,2,3 C (11) (12) (13) T { Δ } = Δ1,2,3 Δ1,2,3 Δ1,2,3 C { P e } = [ ] C { P } = [ ] C { R } (11 C ) (12 C ) (13 C ) T R1,2,3 R1,2,3 R1,2, T = T 49 49

50 { ( 4A) R } { ( 4B) R } 123,, 12,, 3 + = 0 ( 10A) ( 10B) { R123,, } { R123,, } + = 0 ( 11 B ) ( 11 C ) { R123,, } + { R123,, } = 0 ( 12B) ( 12C) { R123,, } { R12,, 3 } + = 0 ( 13B) ( 13C) { R12,, 3 } { R123,, } + =

51 A A 1 A A A { Δ } = [ K ] [{ P } [ K ]{ Δ }] e ee e B { Δe } [ ee B 1 = K ] { Pe B } [ Ke B ]{ Δ B } e [ ] 1 { Δ C } C { C } C { C e = Kee Pe Ke Δ} Ι Ι Ι Ι Pe Kee Ke Δe Ι Ι = Ι Ι Ι, Ι=Α, Β, R + P Ke K Δ C { } { } [ ][ ] { } [ A A A A 1 A A A A 1 A R + P K K P = K ] [ K ][ K ] [ K ]]{ Δ } e ee e C C C C C C C C C C { } { } [ ][ ] 1 { } [ R + P K K P = K ] [ K ][ K ] 1 [ K ] ]{ Δ } { } { } [ ][ ] { } [ B B B B 1 B B B B 1 B R + P K K P = K ] [ K ][ K ] [ K ]]{ Δ } e e ee ee e e e e e ee ee ee e e e A B { P A } { A } { A } { A } A { A = R + P S = K Δ} { P B B B B B B } = { R } + { P} { S } = K { Δ } { P C } { C } { C } { C } C { C = R + P S = K Δ} 51 51

52 Η Μέθοδος των Υποφορέων Α 1 1 (4) (10) T { Δ } = Δ1,2,3 Δ1,2,3 2 (11) (12) (13) { Δ } = Δ123 1,2,3 Δ123 1,2,3 Δ123 1,2,3 A A1 1 { Δ } = { Δ } = { Δ} { Δ } B B 1 B 2 Δ Δ = 1 = 2 Δ Δ C C2 2 { Δ } = { Δ } = { Δ} T Β 2 C 52

53 { P A1 } A11 { A1 = K Δ } B 1 B 11 B 12 B 1 P K K Δ B2 = B21 B22 B2 P K K Δ { P C } C { C = K Δ } P K K Δ 2 = P K K Δ K = K + K K K 11 A11 B11 12 B12 = K 21 B21 = K 22 B22 C22 K = K + K 53 53

54 { P 1 } = { P A1 } + { P B1 } { P 2 } = { P B2 } + { P C2 } { P A } = { A } { A } { A } = A { A R + P S K Δ } { P B } { B } { B } { B } B { B = R + P S = K Δ} { P C } { C } { C } { C } C { C = R + P S = K Δ} { P } { A } { A } { A } { B } { B } { B = R + P S + R + P S } A B { R } { R } = 0 { P 1 } = { P A1 } { S A1 } + { P B1 } { S B1 } { P } { B } { B } { B } { C } { C } { C = R + P S + R + P S } B2 C2 { R } { R } + = { P 2 } = { P B 2 } { S B 2 } + { P C 2 } { S C 2 }

55 P K K Δ 2 = P K K Δ { A} [ A ] 1[ { A} [ A ]{ A Δ = K P K Δ }] e ee B { Δ } [ ] { } [ e ee B 1 = K Pe B Ke B ]{ Δ B } e e [ ] 11 { Δ C } C { C } C { C e = Kee Pe Ke Δ} A A1 1 { Δ } = { Δ } = { Δ} { Δ } B B 1 B 2 Δ Δ = 1 = 2 Δ Δ C C2 2 { Δ } = { Δ } = { Δ} 55 55