2. CALCULE TOPOGRAFICE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2. CALCULE TOPOGRAFICE"

Transcript

1 . CALCULE TOPOGRAFICE.. CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE... CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE DIN COORDONATE RECTANGULARE Distanţa în linie dreaptă dintre două puncte se poate calcula dacă se cunosc coordonatele rectangulare X şi Y ale acestor puncte. Reamintim că în sistemul Gauss-Krüger pe verticală se situează axa X, iar pe orizontală axa Y. De exemplu trebuie calculată distanţa dintre punctele (de coordonate X, Y şi (de coordonate X, Y, fig. 4. Din figura 4 reiese că diferenţa de coordonate dintre cele două puncte pe axa X este: ΔX = X X, iar diferenţa de coordonate pe axa Y este: ΔY = Y Y. Deoarece distanţa este numai o valoare pozitivă, nu se ţine cont de semnul diferenţelor de coordonate şi se va scădea întotdeauna coordonata cu valoare mai mică din coordonata cu valoare mai mare (pe aceeaşi axă. Fig. 4. Calcularea distanţei dintre două puncte din coordonatele rectangulare Gauss-Krüger Pentru calcularea distanţei D - dintre punctele şi se aplică teorema lui Pitagora: într-un triunghi dreptunghic pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: D - = (ΔX + (ΔY = (X X + (Y Y D ( X ( Y (X X (Y Y - Se dau două puncte, A şi B, de coordonate cunoscute (X A = 45,73 km, Y A = 430,544 km, X B = 43,36 km, Y B = 439,846 km şi se cere calcularea distanţei dintre punctele A şi B. ΔX = X B X A = 43,36 km 45,73 km = 5,649 km ΔY = Y B Y A = 439,846 km 430,544 km = 9,30 km D A-B 5,649 9,30 8, ,88940km 0,883 km... CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE DIN COORDONATE RECTANGULARE ŞI UN UNGHI Dacă în afară de coordonatele rectangulare în sistem Gauss-Krüger dispunem şi de valoarea unghiului de orientare (θ - din fig. 4, atunci pentru calcularea distanţei se mai pot folosi relaţiile valabile într-un triunghi dreptunghic: Sursa: Osaci-Costache Gabriela (006, 008, Topografie-Cartografie. Metodologie, exemple rezolvate şi

2 ΔX X X D - cosθ cosθ ΔY Y Y D sinθ sinθ Calcule topografice Se cere calcularea distanţei dintre punctele şi (X = 34,66 m, Y = 44444,47 m, X =3398,88 m, Y = ,60 m, cunoscându-se valoarea unghiului de orientare (θ - = 36 g 34 c 63 cc. ΔX = 9,78 m ΔY = 300,3 m sin θ - = 0, cos θ - = 0, ΔX 9,78 D 356,7m cosθ 0, ΔY 300,3 D 356,7m sinθ 0, Distanţa D - a fost calculată prin ambele formule, pentru verificare. Este mai bine să se calculeze distanţa cu ambele formule, pentru a exista un control asupra calculelor. Rezultatul calculelor de verificare poate avea o diferenţă nesemnificativă din punct de vedere practic, care apare datorită aproximării coordonatelor etc. Calculele se pot realiza cu calculatorul ştiinţific (fie de buzunar, fie cel din dotarea PC-ului. În cazul folosirii tabelelor de valori naturale ale funcţiilor trigonometrice, acestea se extrag cu şase zecimale...3. CALCULAREA DISTANŢELOR ORIZONTALE (REDUCEREA LA ORIZONT A DISTANŢELOR ÎNCLINATE Pe teren se măsoară distanţa înclinată l, care este linia ce uneşte cele două puncte între care se face măsurătoarea. De exemplu, în figura 5 distanţa înclinată dintre punctele A şi B este l A-B. Precizăm că între punctele A şi B panta se consideră uniformă. Pe hărţi se reprezintă proiecţia orizontală a distanţei l, adică distanţa redusă la orizont (numită şi distanţă orizontală, notată în figura 5 cu d A-B. Pentru calcularea distanţei orizontale este nevoie, pe lângă valoarea distanţei înclinate, fie de valoarea unghiului de pantă (α, fie de valoarea unghiului zenital (Z. Unghiul de pantă (α este unghiul vertical format de distanţa înclinată cu proiecţia ei orizontală (d. Dacă unghiul α este pozitiv, terenul urcă (cazul unghiului α A-B din figura 5, iar dacă este negativ terenul coboară (cazul unghiului α B-A din figura 5. În cazul cunoaşterii valorii unghiului de pantă α, distanţa Fig. 5. Calcularea distanţei orizontale orizontală dintre punctele A şi B (fig. 5 se calculează cu relaţiile: d A-B = l A-B cos α A-B sau d B-A = l B-A cos α B-A Sursa: Osaci-Costache Gabriela (006, 008, Topografie-Cartografie. Metodologie, exemple rezolvate şi

3 Calculaţi distanţa redusă la orizontală (d A-B între punctele A şi B, ştiind că distanţa înclinată l A-B măsoară 0,5 m, iar unghiul de pantă α A-B = 5 g 0 c 45 cc. d A-B = l A-B cos α A-B = 0,5 m cos 5 g 0 c 45 cc = 09,59 m În acest caz, terenul urcă de la A la B deoarece α A-B este pozitiv. Se cere calcularea distanţei reduse la orizont dintre punctele 03 şi 04, ştiind că distanţa înclinată l = 30, m, iar unghiul de pantă α = 6 g 7 c 84 cc. d = l cos α = 30, cos 6 g 7 c 84 cc = 308,59 m În acest caz, terenul coboară de la 03 la 04 deoarece unghiul de pantă α este negativ. Unghiul zenital (Z este unghiul vertical format de verticala locului cu distanţa înclinată. Dacă unghiul zenital este mai mic de 00 g (90 o terenul urcă (cazul unghiului Z A-B din figura 5, iar dacă este mai mare de 00 g (90 o terenul coboară (cazul unghiului Z B-A din figura 5. În cazul cunoaşterii unghiului zenital, distanţa orizontală se calculează cu relaţiile: d A-B = l A-B sin Z A-B sau d B-A = l B-A sin Z B-A Se cere calcularea distanţei reduse la orizont dintre punctele A şi B, ştiind că distanţa înclinată l A-B este de 0,78 m, iar unghiul zenital dintre A şi B (Z A-B este 98 g 34 c cc. d A-B = l A-B sin Z A-B = 0,78 sin 98 g 34 c cc = 0,74 m În acest exemplu terenul urcă de la A la B deoarece unghiul zenital Z A-B < 00 g. Se cere calcularea distanţei reduse la orizont dintre punctele şi, ştiind că distanţa înclinată l - este,67 m, iar unghiul zenital Z - este 6 g 09 c 04 cc. d - = l - sin Z - =,67 sin 6 g 09 c 04 cc = 09,09 m Se observă că în acest caz terenul coboară de la la deoarece Z - > 00 g. Distanţa redusă la orizont se poate calcula chiar dacă nu se cunoaşte unghiul de pantă sau unghiul zenital, dar se cunosc: fie diferenţa de nivel ΔH A-B dintre cele două puncte între care se calculează distanţa orizontală, caz în care distanţa redusă la orizont se calculează cu relaţia ce derivă din teorema lui Pitagora: da B A-B ( HAB Se cere calcularea distanţei reduse la orizont dintre punctele A şi B, fiind cunoscute: distanţa înclinată A-B = 8,36 m şi diferenţa de nivel dintre punctele A şi B (ΔH A-B = 5,0 m. d A B A-B ( H AB (8,36 (5,0 8,30 fie altitudinile absolute ale celor două puncte între care trebuie calculată distanţa redusă la orizont (altitudinile H A, respectiv H B din figura 5. În acest caz se face diferenţa de nivel (ΔH A-B dintre cele două cote (ΔH A-B = H B H A, iar distanţa orizontală se calculează cu relaţia: da B A-B ( HAB AB (HB HA Se cere calcularea distanţei reduse la orizont dintre punctele A şi B, ştiind că distanţa înclinată l A-B are valoarea de 07,3 m, altitudinea absolută a punctului A este: H A = 3,6 m, iar a punctului B este: H B = 346,5 m. d AB A-B (07,3 ( H AB (346,5 3,6 AB (H B 04,5 m H A m Sursa: Osaci-Costache Gabriela (006, 008, Topografie-Cartografie. Metodologie, exemple rezolvate şi 3

4 Se cere calcularea distanţei reduse la orizont dintre punctele C şi D, ştiind că distanţa înclinată dintre cele două puncte C-D este de 89,33 m, altitudinea absolută a punctului C (H C este 4,79 m, iar a punctului D (H D este 400,0 m. d C-D 89,33 C-D ( H CD (400,0 4,79 CD (H D 88,96 m Din figura 5 se observă că unghiul de pantă α se poate calcula dacă se cunoaşte unghiul zenital Z: α A-B = 00 g Z A-B (dacă α este pozitiv şi Z < 00 g ; α B-A = Z B-A 00 g (dacă α este negativ şi Z > 00 g. Din relaţiile de mai sus, ca şi din figura 5 se observă că se poate calcula şi unghiul zenital, dacă se cunoaşte unghiul de pantă α: Z A-B = 00 g α A-B (dacă α este pozitiv şi Z < 00 g ; Z B-A = α B-A + 00 g (dacă α este negativ şi Z > 00 g. Se cere calcularea unghiului de pantă α A-B cunoscându-se valoarea unghiului zenital (Z A-B = 97 g 0 c 5 cc. α A-B = 00 g Z A-B = 00 g 97 g 0 c 5 cc = + g 97 c 85 cc Se cere calcularea unghiului de pantă α C-D cunoscându-se valoarea unghiului zenital (Z C-D = 0 g 36 c 5 cc. α C-D = Z C-D 00 g = 0 g 36 c 5 cc 00 g = g 36 c 5 cc Se cere calcularea unghiului zenital Z 0-0 cunoscându-se valoarea unghiului de pantă (α 0-0 = 5 g 03 c 07 cc. Z 0-0 = 00 g α 0-0 = 00 g 5 g 03 c 07 cc = 94 g 96 c 93 cc Se cere calcularea unghiului zenital Z cunoscându-se valoarea unghiului de pantă (α = g 3 c 3 cc. Z = α g = g 3 c 3 cc + 00 g = 0 g 3 c 3 cc H..4. CALCULAREA CORECŢIEI DE REDUCERE LA ORIZONT (CALCULUL CORECŢIEI DE PANTĂ Corecţia de reducere la orizont sau corecţia de pantă reprezintă diferenţa dintre distanţa înclinată şi proiecţia ei orizontală (d. Observând figura 5 şi notând cu C A-B corecţia de reducere la orizont dintre punctele A şi B, se pot scrie următoarele relaţii: C A-B = l A-B d A-B, dar d A-B = l A-B cos α A-B şi deci C A-B = l A-B A-B cos α A-B = l A-B ( cos α A-B, dar cos α = sin α/ şi ca urmare C A-B = l A-B (sin α A-B /. Distanţa redusă la orizont se obţine scăzând valoarea corecţiei din distanţa înclinată: d A-B = l A-B C A-B Să se calculeze corecţia de reducere la orizont şi apoi distanţa orizontală dintre punctele şi, cunoscând: distanţa înclinată l - = 8,59 m şi unghiul de pantă α - = 4 g 35 c 74 cc. C - = l - (sin α - / = 8,59 (sin 4 g 35 c 74 cc / = 37,8 (sin g 7 c 87 cc = 0,8 m d - = l - C - = 8,59 m 0,8 m = 8,3 m Acelaşi rezultat se obţine şi prin calcularea distanţei orizontale cu formula: d - = l - cos α - = 8,59 cos 4 g 35 c 74 cc = 8,3 m C.. CALCULAREA ORIENTĂRII UNEI DIRECŢII Sursa: Osaci-Costache Gabriela (006, 008, Topografie-Cartografie. Metodologie, exemple rezolvate şi 4

5 DIN COORDONATELE RECTANGULARE (X, Y Ne referim în cele ce urmează la calculul orientării unei direcţii în sistem de coordonate Gauss-Krüger (vezi cap... Cercul trigonometric şi cercul topometric. Orientarea (θ este unghiul orizontal măsurat în sens topografic (spre dreapta sau în sens orar de la direcţia axei X până la o direcţie oarecare.... CALCULAREA ORIENTĂRII DIRECTE Fig. 6. Calcularea orientării θ Din figura 6 se observă că orientarea θ (unghiul pe care îl face direcţia nordului cu segmentul de dreaptă - se obţine pe cale trigonometrică: ΔY Y Y ΔX X tgθ sau X cotgθ ΔX X X ΔY Y Y Diferenţele de coordonate se calculează întotdeauna prin scăderea coordonatelor punctului (de plecare din coordonatele punctului (de sosire! Valoarea unghiului de orientare se obţine prin funcţia arctg sau arccotg. În funcţie de folosirea tangentei sau cotangentei se obţine: - unghiul pe care-l face direcţia respectivă cu axa X, când se lucrează cu tg; - unghiul pe care-l face direcţia respectivă cu axa Y, când se lucrează cu cotg. Pentru a obţine orientarea θ se modifică unghiul rezultat în urma calculelor prin relaţiile de mai sus cu un anumit număr de grade, în funcţie de cadranul în care se găseşte orientarea. Pentru a creşte precizia determinării se lucrează cu raportul subunitar al diferenţelor de coordonate (ΔX şi ΔY. Ca urmare, se alege funcţia trigonometrică care dă raportul subunitar: se lucrează cu tangenta orientării dacă raportul subunitar este dat de ΔY/ΔX; se lucrează cu cotangenta orientării dacă raportul subunitar este dat de ΔX/ΔY. Raportul ΔX/ΔY sau ΔY/ΔX se calculează cu şase zecimale. Cadranul cercului topometric în care se află orientarea este dat de semnele diferenţelor de coordonate (tab. 4: Tabelul 4 ΔY ΔX Cadranul I + + Cadranul II + Cadranul III Cadranul IV + În tabelele valorilor naturale ale funcţiilor trigonometrice sunt trecute numai unghiurile cuprinse între 0 g 00 g (0 o 80 o. Ca urmare, pentru a obţine valoarea unghiului de orientare θ este necesar să se adauge sutele de grade corespunzătoare cadranului în care se află unghiul θ (tab. 5: Tabelul 5 Cadranul Relaţia de calculare a unghiului θ Grade centezimale Grade sexagesimale I θ = θ calculat (scos din tabele θ = θ calculat (scos din tabele II θ = 00 g + θ calculat (scos din tabele θ = 90 o + θ calculat (scos din tabele II θ = 00 g + θ calculat (scos din tabele θ = 80 o + θ calculat (scos din tabele IV θ = 300 g + θ calculat (scos din tabele θ = 70 o + θ calculat (scos din tabele Pentru aflarea cadranului în care se află orientarea se ţine cont de semnele diferenţelor de coordonate (tab. 4. Sursa: Osaci-Costache Gabriela (006, 008, Topografie-Cartografie. Metodologie, exemple rezolvate şi 5

6 Când se foloseşte calculatorul ştiinţific pentru efectuarea calculelor, se lucrează numai cu tangenta orientării, chiar dacă raportul ΔY/ΔX este supraunitar. Considerând că se utilizează calculatorul ştiinţific (de buzunar sau cel din sistemul de operare Windows, pentru calcularea orientării θ se procedează astfel: - se calculează diferenţele de coordonate, ţinând cont de semnele acestora: ΔX = X X şi ΔY = Y Y (se scade valoarea coordonatei punctului de plecare din valoarea coordonatei punctului de sosire; - se calculează valoarea tangentei: tg θ = ΔY/ΔX; - se efectuează la calculator operaţia arctg, obţinându-se o valoare pentru orientare pe care o numim în continuare θ calculator ; - în funcţie de semnele diferenţelor de coordonate (ΔX, ΔY, deci de cadranul în care se află orientarea se vor efectua următoarele calcule (tab. 6 pentru a obţine valoarea orientării θ corecte (finale. Tabelul 6 Cadranul Semnul Semnul Formula de calcul ΔX ΔY Grade centezimale Grade sexagesimale I + + θ final = θ calculator θ final = θ calculator II + θ final = θ * calculator +00 g θ final = θ * calculator +80 o III θ final = θ calculator + 00 g θ final = θ calculator + 80 o IV + θ final = θ * calculator +400 g θ final = θ * calculator +360 o * Pentru cadranele II şi IV unghiul θ calculator are semnul minus! Valorile ΔX şi ΔY se introduc în calculator cu semnele lor (+ sau, astfel încât calculatorul să ofere rezultatul corect pentru valoarea orientării (θ calculator. De semnul θ calculator se va ţine cont în calculele din tabelul 6. Să se calculeze orientarea θ A-B, cunoscându-se coordonatele punctelor A şi B: X A = 46045,9 m, Y A = ,44 m, X B = ,4 m, Y B = ,37 m. Y Y , ,44 78,93 gθ B A t AB, XB XA , ,9 80,33 θ A-B = arctg, = 64 g 36 c 69 cc şi deci se află în cadranul I. Să se calculeze orientarea θ C-D, cunoscându-se coordonatele punctelor C şi D: X C = 5366,8946 m, Y C = 34877,890 m, X D = 53365,3 m, Y D = 35094,7350 m. YD YC 35094, ,890 6,8448 tgθ C D 0, X D XC 53365,3 5366, ,684 arctg ( 0, = 40 g 07 c 9 cc,378 θ C-D = 40 g 07 c 9 cc + 00 g = 59 g 9 c 07 cc şi deci se află în cadranul II. Să se calculeze orientarea θ E-F, cunoscându-se coordonatele punctelor E şi F: X E = 68005,98m, Y E = 4634,59 m, X F = 6788,65 m, Y F = 4530,7 m. Y Y 4530,7-4634,59 03,87 tgθ F E E F 0, XF XE 6788, ,98 77,33 arctg 0, = 33 g 73 c 6 cc,56 θ E-F = 33 g 73 c 7 cc + 00 g = 33 g 73 c 7 cc şi se află în cadranul III. Să se calculeze orientarea θ G-H, cunoscându-se coordonatele punctelor G şi H: X G = 4,66 m, Y G = 64443,47 m, X H = 554,54 m, Y H = 6333,3 m. Y Y 6333, ,47 0,5 tgθ H G G H 0, XH XG 554,54-4,66 430,88 arctg ( 0, = 4 g 8 c 36 cc,004 θ G-H = 4 g 8 c 36 cc g = 357 g 7 c 64 cc, situându-se în cadranul IV. Sursa: Osaci-Costache Gabriela (006, 008, Topografie-Cartografie. Metodologie, exemple rezolvate şi 6

7 ... CALCULAREA ORIENTĂRII INVERSE În figura 7 θ A-B este orientarea directă, adică unghiul orizontal măsurat în sens topografic în punctul A, de la direcţia de referinţă (axa X până la direcţia A-B, iar θ B-A este orientarea inversă, adică unghiul orizontal măsurat în punctul B de la aceeaşi direcţie de referinţă până la direcţia B-A. Se observă că: θ B-A = θ A-B ± 00 g sau θ B-A = θ A-B ± 80 o Se adaugă 00 g (80 o când orientarea directă este mai mică de 00 g (80 o şi se scad 00 g (80 o când orientarea directă este mai mare de 00 g (80 o. Fig. 7. Orientare directă şi orientare inversă Se folosesc mai mult formulele valabile în sistemul centezimal, deoarece dispozitivele de măsurare ale aparatelor topografice sunt divizate tot în grade centezimale. Dacă orientarea directă θ - este 0 g 45 c 86 cc, să se calculeze orientarea inversă θ -. θ - = θ - ± 00 g = 0 g 45 c 86 cc + 00 g = 30 g 45 c 86 cc Dacă orientarea directă θ A-B este 43 g 70 c 36 cc, să se calculeze orientarea inversă θ B-A. θ B-A = θ A-B ± 00 g = 43 g 70 c 36 cc 00 g = 43 g 70 c 36 cc.3. CALCULAREA COORDONATELOR RELATIVE (δx, δy ŞI ABSOLUTE (X, Y ALE PUNCTELOR DIN ORIENTĂRI ŞI DISTANŢE ORIZONTALE Fig. 8. Calcularea coordonatelor rectangulare Problema care se pune (fig. 8 este de a calcula coordonatele absolute ale unui punct B, cunoscându-se orientarea direcţiei de la un punct de coordonate cunoscute (A spre punctul B (θ A-B şi distanţa orizontală dintre punctele A şi B. Şi în rezolvarea acestei probleme ne raportăm tot la sistemul de coordonate Gauss-Krüger. Se calculează mai întâi creşterile de coordonate (coordonatele relative δx şi δy: δx A-B = d A-B cos θ A-B δy A-B = d A-B sin θ A-B Aceste valori (δx A-B, δy A-B, odată calculate, se adaugă la coordonatele absolute ale punctului A (X A, Y A, care sunt cunoscute, obţinându-se coordonatele absolute ale punctului B: X B = X A + δx A-B = X A + d A-B cos θ A-B Y B = Y A + δy A-B = Y A + d A-B sin θ A-B Se ţine cont de semnul funcţiei trigonometrice (în concordanţă cu cadranul cercului topometric în care se află orientarea θ. Să se calculeze coordonatele absolute ale punctului B (X B, Y B, cunoscându-se coordonatele absolute ale punctului A (X A = 6398,88 m, Y A = 44743,66 m, orientarea de la A la B (θ A-B = 69 g 3 c 66 cc şi distanţa orizontală dintre A şi B (d A-B = 89, m. Sursa: Osaci-Costache Gabriela (006, 008, Topografie-Cartografie. Metodologie, exemple rezolvate şi 7

8 δx A-B = d A-B cos θ A-B = 89, cos 69 g 3 c 66 cc = 89, ( 0, = 56,0 m δy A-B = d A-B sin θ A-B = 89, sin 69 g 3 c 66 cc = 89, 0, = 34,33 m X B = X A + δx A-B = 6398,88 m + ( 56,0 m = 6366,87 m Y B = Y A + δy A-B = 44743,66 m + 34,33 m = 44877,99 m Sursa: Osaci-Costache Gabriela (006, 008, Topografie-Cartografie. Metodologie, exemple rezolvate şi 8

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

TOPOGRAFIE - CARTOGRAFIE LP. 5. Elemente de cartometrie

TOPOGRAFIE - CARTOGRAFIE LP. 5. Elemente de cartometrie TOPOGRAFIE - CARTOGRAFIE LP. 5 Elemente de cartometrie Cartometria este acea parte a cartografiei care se ocupă cu procedeele şi instrumentele necesare aprecierii cantitative a diferitelor obiecte sau

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC .Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede 2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA NOŢIUNI DE BAZĂ ÎN CINEMATICA Cinematica studiază mişcările mecanice ale corpurilor, fără a lua în considerare masa acestora şi

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

15. Se dă bara O 1 AB, îndoită în unghi drept care se roteşte faţă de O 1 cu viteza unghiulară ω=const, axa se rotaţie fiind perpendiculară pe planul

15. Se dă bara O 1 AB, îndoită în unghi drept care se roteşte faţă de O 1 cu viteza unghiulară ω=const, axa se rotaţie fiind perpendiculară pe planul INEMTI 1. Se consideră mecanismul plan din figură, compus din manivelele 1 şi 2, respectiv biela legate intre ele prin articulaţiile cilindrice şi. Manivela 1 se roteşte cu viteza unghiulară constantă

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1 CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei

Διαβάστε περισσότερα

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI In mecanică există mărimi scalare sau scalari şi mărimi vectoriale sau vectori. Mărimile scalare (scalarii) sunt complet determinate prin valoarea lor numerică

Διαβάστε περισσότερα

a. 0,1; 0,1; 0,1; b. 1, ; 5, ; 8, ; c. 4,87; 6,15; 8,04; d. 7; 7; 7; e. 9,74; 12,30;1 6,08.

a. 0,1; 0,1; 0,1; b. 1, ; 5, ; 8, ; c. 4,87; 6,15; 8,04; d. 7; 7; 7; e. 9,74; 12,30;1 6,08. 1. În argentometrie, metoda Mohr: a. foloseşte ca indicator cromatul de potasiu, care formeazǎ la punctul de echivalenţă un precipitat colorat roşu-cărămiziu; b. foloseşte ca indicator fluoresceina, care

Διαβάστε περισσότερα

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument: Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VI-a

Subiecte Clasa a VI-a Clasa a VI Lumina Math Intrebari (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 14. Asamblari prin pene

Capitolul 14. Asamblari prin pene Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este.

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este. Copyright c 007 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului atematician 1 inisterul Educatiei si Tineretului Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 14 iunie 007 Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE

4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE 4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE 4.1. GENERALITĂŢI În general corpurile geometrice sunt în poziţii oarecare faţă de planele de proiecţie. Prin metodele geometriei descriptive proiecţiile acestor corpuri

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul

Διαβάστε περισσότερα

Circuite electrice in regim permanent

Circuite electrice in regim permanent Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul mecanic. Puterea mecanică.

Lucrul mecanic. Puterea mecanică. 1 Lucrul mecanic. Puterea mecanică. In acestă prezentare sunt discutate următoarele subiecte: Definitia lucrului mecanic al unei forţe constante Definiţia lucrului mecanic al unei forţe variabile Intepretarea

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA NR. 3 DETERMINAREA DISTANŢEI FOCALE A OGLINZILOR SFERICE

LUCRAREA NR. 3 DETERMINAREA DISTANŢEI FOCALE A OGLINZILOR SFERICE LUCRAREA NR. 3 DETERMINAREA DISTANŢEI FOCALE A OGLINZILOR SFERICE Tema lucrării: 1) Determinarea distanţei focale a unei oglinzi concave ) Determinarea distanţei focale a unei oglinzi convexe 3) Studiul

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene Geometrie liniară în spaţiu CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU 6.. Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu I. Coordonate carteziene În cele ce urmează, notăm cu E 3 spaţiul punctual tridimensional

Διαβάστε περισσότερα

SEXTANTUL CUM FUNCŢIONEAZĂ UN SEXTANT?

SEXTANTUL CUM FUNCŢIONEAZĂ UN SEXTANT? SEXTANTUL CUM FUNCŢIONEAZĂ UN SEXTANT? Să considerăm mai întâi (pentru a asigura o descriere fizică riguroasă) două oglinzi plane paralele M 1, M 2 (orientate după direcţia MN PQ), aparţinând spre exemplu

Διαβάστε περισσότερα

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3 6.CONUL ŞI CILINDRUL 6.1.GENERALITĂŢI Conul este corpul geometric mărginit de o suprafaţă conică şi un plan; suprafaţa conică este generată prin rotaţia unei drepte mobile, numită generatoare, concurentă

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

TOPOGRAFIE ŞI DESEN TEHNIC

TOPOGRAFIE ŞI DESEN TEHNIC UNIVERSITATEA DE ŞTIINŢE AGRICOLE ŞI MEDICINĂ VETERINARĂ ION IONESCU DE LA BRAD IAŞI FACULTATEA DE AGRICULTURĂ VALERIU MOCA TOPOGRAFIE ŞI DESEN TEHNIC ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ 2002 2 U. Ş. A. M. V. IAŞI

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate... SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele

Διαβάστε περισσότερα

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g. II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

2. CONDENSATOARE 2.1. GENERALITĂŢI PRIVIND CONDENSATOARELE DEFINIŢIE UNITĂŢI DE MĂSURĂ PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI CONDENSATOARELOR SIMBOLURILE

2. CONDENSATOARE 2.1. GENERALITĂŢI PRIVIND CONDENSATOARELE DEFINIŢIE UNITĂŢI DE MĂSURĂ PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI CONDENSATOARELOR SIMBOLURILE 2. CONDENSATOARE 2.1. GENERALITĂŢI PRIVIND CONDENSATOARELE DEFINIŢIE UNITĂŢI DE MĂSURĂ PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI CONDENSATOARELOR SIMBOLURILE CONDENSATOARELOR 2.2. MARCAREA CONDENSATOARELOR MARCARE

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.

Διαβάστε περισσότερα

Polarizarea tranzistoarelor bipolare

Polarizarea tranzistoarelor bipolare Polarizarea tranzistoarelor bipolare 1. ntroducere Tranzistorul bipolar poate funcţiona în 4 regiuni diferite şi anume regiunea activă normala RAN, regiunea activă inversă, regiunea de blocare şi regiunea

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

L.2. Verificarea metrologică a aparatelor de măsurare analogice

L.2. Verificarea metrologică a aparatelor de măsurare analogice L.2. Verificarea metrologică a aparatelor de măsurare analogice 1. Obiectul lucrării Prin verificarea metrologică a unui aparat de măsurat se stabileşte: Dacă acesta se încadrează în limitele erorilor

Διαβάστε περισσότερα

Dioda Zener şi stabilizatoare de tensiune continuă

Dioda Zener şi stabilizatoare de tensiune continuă Laborator 2 Dioda Zener şi stabilizatoare de tensiune continuă Se vor studia dioda Zener şi stabilizatoarele de tensiune continua cu diodă Zener şi cu diodă Zener si tranzistor serie. Pentru diodă se va

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

Noţiuni introductive

Noţiuni introductive Metode Numerice Noţiuni introductive Erori. Condiţionare numerică. Stabilitatea algoritmilor. Complexitatea algoritmilor. Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

4.Inversul lui z=a+bi este nr.complex, z cu proprietatea ca zz =1, rezulta z =a/(a 2 +b 2 ) (bi)/(a 2 +b 2 ) si notam z =z -1

4.Inversul lui z=a+bi este nr.complex, z cu proprietatea ca zz =1, rezulta z =a/(a 2 +b 2 ) (bi)/(a 2 +b 2 ) si notam z =z -1 Numere complexe 1.Multimea numerelor complexe este C=RxR={(a;b)/a,b R} cu operatiile: z 1 =(a 1 ;b 1 ), z 2 =(a 2 ;b 2 ) a 1 ;b 1 ;a 2 ;b 2 R, z 1 +z 2 = (a 1 +a 2 ; b 1 +b 2 ), z 1 z 2 = (a 1 a 2 - b

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 30. Transmisii prin lant

Capitolul 30. Transmisii prin lant Capitolul 30 Transmisii prin lant T.30.1. Sa se precizeze domeniile de utilizare a transmisiilor prin lant. T.30.2. Sa se precizeze avantajele si dezavantajele transmisiilor prin lant. T.30.3. Realizati

Διαβάστε περισσότερα