Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ -

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ -"

Transcript

1 Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Denisa Diaconescu 1 1 Introducere Teorema de completitudine a lui Gödel pentru logica de ordinul I este unul dintre cele mai cunoscute rezultate din logica matematică. De-a lungul timpului, au fost propuse diverse demonstraţii ale acestui rezultat cheie din logică, demonstraţii care ulterior au fost adaptate pentru a furniza teoreme de completitudine şi pentru alte sisteme logice. Demonstraţia iniţială propusă de Gödel se bazează pe aducerea enunţurilor la forma normală Skolem. În prezent, această demonstraţie are doar un interes istoric. În lucrarea de faţă prezentăm patru dintre cele mai cunoscute demonstraţii ale teoremei de completitudine pentru logica de ordinul I. Dintr-o simplă analiză a acestor demonstraţii aparent total diferite, se observă că deşi fiecare foloseşte instrumente matematice diferite, ele au totuşi o substanţă comună. Pentru a susţine această teză, prezentăm în Secţiunea 6 doua analize paralele între demonstraţiile prezentate în lucrare. Prima demonstraţie prezentată în Secţiunea 2 este demonstraţia dată de Henkin [2, 3]. Ideea de bază a acestei demonstraţii este de a extinde limbajul L la un limbaj L(C), de acelaşi cardinal cu L, prin adăugarea unei mulţimi C de constante noi, apoi extinderea unei teorii din limbajul L la o teorie Henkin maximală consistentă în limbajul L(C) şi, în final, construirea modelului canonic asociat unei teorii Henkin. Demonstraţia propusă de Rasiowa şi Sikorski [5, 6, 7] prezentată în Secţiunea 3 este o demonstraţie de natură algebrică ce foloseşte algebra Lindenbaum- Tarski asociată unui limbaj L. Forcingul este o metodă inventată de P.J. Cohen pentru demonstrarea independenţei axiomei alegerii şi a ipotezei continuului în raport cu sistemul 1 Facultatea de Matematică şi Informatică, Universitatea din Bucureşti 1

2 de axiome ZF [1]. Demonstraţia prin forcing descrisă în Secţiunea 4 se bazează pe o generalizare a forcingului sintactic al lui Robinson [8, 9] din teoria modelelor, generalizare introdusă de Keisler [4]. Noţiunile principale cu care se operează în teoria forcingului sunt mulţimile generice şi modelele generate de acestea (modele generice). Teorema modelului generic asigură existenţa unui model generic pentru orice condiţie. Demonstraţia sa are două componente: existenţa unei mulţimi generice ce conţine o anumită condiţie şi construcţia unui model generic plecând de la o mulţime generică oarecare. Teorema de completitudine apare ca o consecinţă imediată a teoremei modelului generic. Ultima demonstraţie prezentată în această lucrare se bazează pe proprietăţi de consistenţă, modele abstracte ale familiei mulţimilor consistente de formule. Rezultatul central în teoria proprietăţilor de consistenţă este teorema de existenţă a unui model (orice mulţime de formule ce aparţine unei proprietăţi de consistenţă admite un model). Teorema de completitudine apare ca un caz particular în care proprietatea de consistenţă este familia mulţimilor consistente. Pentru a uşura munca cititorului şi a avea notaţii bine definite şi clare, am inclus în finalul lucrării, în Anexa 1, descrierea calculului cu predicate clasic. 2 Demonstraţia prin metoda Henkin În continuare vom nota limbajul L λ cu L, fără a menţiona tipul acestuia. Cardinalul limbajului L este dat de L = F orm(l. Presupunem că V, mulţimea variabilelor, este numărabilă şi că mulţimile de operaţii, relaţii şi constante sunt cel mult numărabile. În acest caz spunem că L este un limbaj numărabil. Dacă C este o mulţime de constante noi (distincte de constantele lui L), considerăm limbajul L(C) obţinut prin adăugarea constantelor din C. O structură a lui L(C) este de forma (A, a c ) c C, unde A este o structură corespunzătoare lui L şi a c A, pentru orice c C. Fie în continuare C o mulţime de constante noi şi L(C) limbajul extins. Lemă 2.1 Fie ϕ(x) o formulă în L, c o constantă din C şi ϕ(c) enunţul din L(C) obţinut prin înlocuirea lui x cu c. Atunci, pentru orice teorie T a lui L, avem T ϕ(c) în L(C) T ( x)ϕ(x) în L. 2

3 Dacă α 1 (c),..., α n (c) = ϕ(c) este o demonstraţie formală a lui ϕ(c) din T în L λ (C), atunci α 1 (x),..., α n (x) este o demonstraţie formală a lui ϕ(x) din T în L λ. Atunci T ϕ(x) în L λ, deci T ( x)ϕ(x) prin regula generalizării. Dacă T ( x)ϕ(x) în L λ, atunci T ( x)ϕ(x) în L λ (C). Cum ( x)ϕ(x) ϕ(c), rezultă T ϕ(c) în L λ (C). Lemă 2.2 Dacă T este o teorie consistentă în L, atunci T este consistentă şi în L(C). Presupunem prin absurd că T nu este consistentă în L λ (C). Deci există ϕ(c 1,..., c n ) în L λ (C) astfel încât T ϕ(c 1,..., c n ) ϕ(c 1,..., c n ), unde c 1,..., c n C. Conform Lemei 2.1, T ( x 1 )... ( x n )(ϕ(x 1,..., x n ) ϕ(x 1,..., x n )), deci T ϕ(x 1,..., x n ) ϕ(x 1,..., x n ) în L λ, ceea ce este o contradicţie cu faptul că T este consistentă în L λ. În continuare vom consid- Numim o teorie închisă o mulţime de enunţuri. era doar teorii închise. Definiţie 2.1 Fie T o teorie consistentă în L(C). T se numeşte teorie Henkin dacă pentru orice formulă ϕ(x) a lui L λ (C) cu cel mult o variabilă liberă x, există c C astfel încât T ( x)ϕ(x) ϕ(c). Observaţie 2.1 Implicaţia T ϕ(c) ( x)ϕ(x) are loc întotdeauna. Lemă 2.3 Fie L şi C astfel încât L, C, L(C) sunt numărabile. Dacă T este o teorie consistentă în L, atunci există o teorie Henkin T în L(C) astfel încât T T. Fie C = (c n ) n<ω o enumerare a lui C cu c n c m, pentru orice n m. Fie (ϕ n (x n )) n<ω o enumerare a formulelor lui L λ (C) cu cel mult o variabilă liberă. Construim prin inducţie: un şir de teorii (T n ) n<ω ale lui L λ (C) cu T 0 = T şi un şir de constante (e n ) n<ω din C cu proprietăţile: 3

4 (i) T n consistentă în L λ (C) (ii) T n+1 = T n {( x n )ϕ n (x n ) ϕ n (e n )}, unde e n este o constantă din C ce nu apare în T n şi x n = { variabilă liberă a lui ϕn, dacă există orice variabilă, dacă ϕ n nu are variabile libere Vom lua definiţia prin recurenţă a teoriilor T n ca fiind dată de (ii). Rămâne să arătăm că dacă T n este consistentă, atunci şi T n+1 este consistentă. Presupunem prin absurd că T n {( x n )ϕ n (x n ) ϕ n (e n )} este inconsistentă în L λ (C). Deci T n (( x n )ϕ n (x n ) ϕ n (e n )), echivalent cu T n ( x n )ϕ n (x n ) ϕ n (e n ), deci T n ( x n )ϕ n (x n ) şi T n ϕ n (e n ). Conform Lemei 2.1, T ( x n ) ϕ n (x n ), de unde obţinem că T n ( x n )ϕ n (x n ), ceea ce este o contradicţie cu faptul că T n este consistentă. Fie T = n<ω T n. Se verifică uşor că T este consistentă. Să arătăm că T este o teorie Henkin. Fie ϕ(x) în L λ (C) cu cel mult o variabilă liberă x. Deci există n cu ϕ(x) = ϕ n (x n ). Avem ( x)ϕ(x) ϕ(e n ) = ( x n )ϕ n (x n ) ϕ n (e n ) T n+1 T. Atunci T ( x)ϕ(x) ϕ(e n ) şi deci T este o teorie Henkin. Lemă 2.4 Dacă T este o teorie Henkin şi T este o teorie consistentă astfel încât T T, atunci şi T este o teorie Henkin. Fie Σ o teorie maximală consistentă care este şi teorie Henkin în L(C). Considerăm pe mulţimea C următoarea relaţie binară: c d c = d Σ Σ c = d. Lemă 2.5 este o relaţie de echivalenţă. Vom considera mulţimea cât A = C/ şi vom nota cu c clasa de echivalenţă a lui c C în raport cu. Lemă 2.6 Fie t(x 1,..., x n ) un termen al lui L şi c 1,..., c n C. Atunci ( x)(t(c 1,..., c n ) = x) în L(C). 4

5 Fie ϕ(x) formula t(c 1,..., c n ) = x din L(C). Atunci avem următoarele: ϕ(t(c 1,..., c n )) ( x)ϕ(x) t(c 1..., c n ) = t(c 1,..., c n ) ( x)(t(c 1,..., c n ) = x) t(c 1..., c n ) = t(c 1,..., c n ) ( x)(t(c 1,..., c n ) = x) Lemă 2.7 Fie t(x 1,..., x n ) un termen al lui L şi c 1,..., c n C. Atunci există d C astfel încât Σ t(c 1,..., c n ) = d. Conform Lemei 2.6, ( x)t(c 1,..., c n ) = x. Cum Σ este o teorie Henkin, există d C astfel încât Σ ( x)t(c 1,..., c n ) = x t(c 1,..., c n ) = d, deci Σ t(c 1,..., c n ) = d prin modus ponens. Vom organiza A ca o structură pentru L(C): Fie f un simbol de operaţie n-ară. Definim operaţia n-ară f A pe A prin: f A ( c 1,..., c n ) = d Σ f(c 1,..., c n ) = d. Conform Lemei 2.7, pentru orice c 1,..., c n C există d C astfel încât Σ f(c 1,..., c n ) = d. Se arată cu uşurinţă că f A este bine definită. Fie R un simbol de relaţie n-ară. Definim relaţia n-ară R A pe A prin: R A = {( c 1,..., c n ) Σ R(c 1,..., c n )}. Se arată cu uşurinţă că R A este bine definită. Fie d o constantă a lui L. Conform Lemei 2.7, există c C astfel încât Σ d = c. Definim d A = c Σ d = c. Definiţia lui d A este corectă. Dacă c C, atunci definim c A = c. În acest fel am obţinut o structură A a limbajului L(C). Lemă 2.8 Dacă t(x 1,..., x n ) este un termen şi c 1,..., c n C, atunci t A ( c 1,..., c n ) = c Σ t(c 1,..., c n ) = c. 5

6 Demonstrăm prin inducţie după modul de formare al termenului t. Considerăm doar cazul când t este de forma f(t 1 (x 1,..., x n ),..., t m (x 1,..., x n )), restul cazurilor fiind evidente din definiţia lui A. Presupunem că echivalenţa este adevărată pentru t 1,..., t m. Conform Lemei 2.7 există d 1,..., d m C astfel încât Σ t i (c 1,..., c n ) = d i, pentru 1 i m. Din ipoteza de inducţie obţinem că t A i ( c 1,..., c n ) = d i, pentru 1 i m. Atunci avem următoarele echivalenţe: t A ( c 1,..., c n ) = c f A (t A 1 ( c 1,..., c n ),..., t A m( c 1,..., c n )) = c f A ( d 1,..., d m ) = c Σ f(d 1,..., d n ) = c Σ f(t 1 (c 1,..., c n ),..., t m (c 1,..., c n )) = c Σ t(c 1,..., c n ) = c. Propoziţie 2.1 Pentru orice formulă ϕ(x 1,..., x n ) din L şi pentru orice c 1,..., c n C avem A = ϕ[ c 1,..., c n ] Σ ϕ(c 1,..., c n ). Vom arăta prin inducţie după modul de formare al formulei ϕ: ϕ este de forma t 1 (x 1,..., x n ) = t 2 (x 1,..., x n ) Conform Lemei 2.7 există d i C astfel încât Σ t i (c 1,..., c n ) = d i, unde 1 i 2. Aplicând Lema 2.8 obţinem t A i ( c 1,..., c n ) = d A i, pentru 1 i 2. În acest caz avem: A = ϕ[ c 1,..., c n ] t A 1 ( c 1,..., c n ) = t A 2 ( c 1,..., c n ) d A 1 = d A 2 d 1 = d 2 Σ d 1 = d 2 Σ t 1 (c 1,..., c n ) = t 2 (c 1,..., c n ) Σ ϕ(c 1,..., c n ). ϕ este de forma R(t 1,..., t m ), cu t i = t i (x 1,..., x n ), unde 1 i m. Conform Lemei 2.7 există d i C astfel încât Σ t i (c 1,..., c n ) = d i, 1 i m. Aplicând Lema 2.8 obţinem t A i ( c 1,..., c n ) = d A i, pentru 1 i m. Atunci: A = ϕ[ c 1,..., c n ] (t A 1 ( c 1,..., c n ),..., t A m( c 1,..., c n )) R A ( d 1,..., d m ) R A Σ R(d 1,..., d m ) Σ R(t 1 (c 1,..., c n ),..., t m (c 1,..., c n )) Σ ϕ(c 1,..., c n ). 6

7 ϕ este de forma ψ(x 1,..., x n ) Din ipoteza de inducţie ştim că A = ψ[ c 1,..., c n ] Σ ψ(c 1,..., c n ) ψ(c 1,..., c n ) Σ. Atunci A = ϕ[ c 1,..., c n ] A / = ψ[ c 1,..., c n ] Σ/ ψ(c 1,..., c n ) ψ(c 1,..., c n ) / Σ = ψ(c 1,..., c n ) Σ ϕ(c 1,..., c n ) Σ. Am folosit faptul că Σ este maximal consistentă. ϕ este de forma ψ χ. Demonstraţia rezultă imediat din ipoteza de inducţie. ϕ este de forma ( x)ψ(x, x 1,..., x n ) Avem următoarele echivalenţe: A = ϕ[ c 1,..., c n ] există c A astfel încât A = ψ[ c, c 1,..., c n ] există c A astfel încât Σ ψ(c, c 1,..., c n ) Σ ( x)ψ(x, c 1,..., c n ) Σ ϕ(c 1,..., c n ). În demonstraţie am folosit faptul că Σ este teorie Henkin. Observaţie 2.2 Conform Propoziţiei 2.1, pentru orice enunţ ϕ L λ (C), A = ϕ ϕ Σ. Atunci A = Σ. A construit anterior se numeşte modelul Henkin asociat teoriei Σ şi se notează A Σ. Teoremă 2.1 Dacă T este o teorie consistentă în L, atunci ea admite un model. Fie T o teorie consistentă în L. Fie C o mulţime de constante noi cu C = L. Conform Lemei 2.3, există o teorie Henkin T în L(C) astfel încât T T. Fie Σ o teorie maximală consistentă a lui L(C) cu T Σ. Conform Lemei 2.4, Σ este teorie Henkin. Considerăm modelul Henkin A Σ asociat lui Σ. Conform Propoziţiei 2.1, pentru orice ϕ(x 1,..., x n ) L λ si c 1,..., c n C avem A Σ = ϕ[ c 1,..., c n ] ϕ(c 1,..., c n ) Σ. Cum T Σ, rezultă că A = T. 7

8 Teoremă 2.2 (Teorema de completitudine tare) Pentru orice teorie Σ şi orice ϕ, Σ ϕ Σ = ϕ. Implicaţia de la stânga la dreapta se demonstrează cu uşurinţă prin inducţie după definiţia lui Σ ϕ. Pentru cealaltă implicaţie, presupunem prin absurd că Σ / ϕ. Deci Σ { ϕ} este consistentă. Conform Teoremei 2.1 există o structură A astfel încât A = Σ { ϕ}. Atunci A = Σ şi A =/ ϕ, în concluzie Σ =/ ϕ, ceea ce este o contradicţie. Corolar 2.1 (Teorema de completitudine) ϕ = ϕ. În Teorema 2.2 considerăm Σ =. 3 Demonstraţia prin metoda Rasiowa-Sikorski Fie B o algebră Boole oarecare şi (x i ) i I o familie oarecare de elemente ale lui B. Lemă 3.1 Presupunem că există în B infimumul i I x i al familiei (x i ) i I. În acest caz, există în B supremumul familiei ( x i ) i I şi este dat de x i. i I x i = i I Lemă 3.2 Dacă în B există i I x i, atunci în B există i I x i şi este dat de i I x i = i I Cele două leme de mai sus reprezintă generalizarea legilor lui de Morgan pentru algebre Boole. x i. 8

9 Definiţie 3.1 O algebră Boole B se numeşte completă dacă pentru orice familie (x i ) i I de elemente ale lui B există i I x i şi i I x i. Propoziţie 3.1 Sunt echivalente următoarele afirmaţii: (i) B este o algebră Boole completă. (ii) Orice familie (x i ) i I de elemente ale lui B admite supremum. (iii) Orice familie (x i ) i I de elemente ale lui B admite infimum. Propoziţie 3.2 (Rasiowa-Sikorski) Fie B o algebră Boole şi A n = {x ni i N}, n N, un şir de submulţimi numărabile ale lui B, astfel încât pentru orice n N există următorul infimum a n = x ni. i N În aceste condiţii, pentru orice y B, y 0, există un ultrafiltru F al lui B, astfel încât y F şi pentru orice n N avem Deci x ni F, pentru orice i N a n F. Vom construi prin inducţie un şir din B b 1, b 2,..., b n,... astfel încât: (1) b n A n, pentru orice n N (2) y (a 1 b 1 )... (a n b n ) 0, pentru orice n N. Presupunem prin absurd că pentru orice b A 1 avem y (a 1 b) = 0. (y a 1 ) (y b) = 0 de unde rezultă y a 1 = 0 şi y b = 0, pentru orice b A 1. Avem egalităţile b = (y b) b = (y b) ( b b) = (y b) 1 = y b, de unde rezultă y b, pentru orice b A 1. Aceasta nu înseamnă altceva decât că y i N x 1i = a 1. Rezultă y = y a 1 = 0, ceea ce este o contradicţie. Deci va exista b 1 A 1 astfel încât y (a 1 b 1 ) 0. Deci (1) şi (2) au fost verificate pentru n = 1. Presupunem că am găsit elementele b 1,..., b n B astfel încât: 9

10 (1 ) b 1 A 1,..., b n A n (2 ) y (a 1 b 1 )... (a n b n ) 0. Presupunem prin absurd că pentru orice b A n+1 avem y (a 1 b 1 )... (a n b n ) (a n+1 b n+1 ) = 0. Notând z = y (a 1 b 1 )... (a n b n ) 0, avem z (a n+1 b) = 0. Prin acelaşi raţionament ca mai sus, cu z în locul lui y, rezultă contradicţia z = 0. Deci există b n+1 A n+1 astfel încât y (a 1 b 1 )... (a n b n ) (a n+1 b n+1 ) 0. Cu aceasta inducţia este terminată. Considerăm următoarea mulţime: M = {y, y (a 1 b 1 ),..., y (a 1 b 1 )... (a n b n ),...}. M este un şir descrescător: y y (a 1 b 1 )... y (a 1 b 1 )... (a n b n )... Filtrul lui B generat de M este: (M) = {x B există z 1,..., z m M, z 1... z m x}. Vom arăta că (M) este filtru propriu. Presupunând prin absurd că (M) nu ar fi propriu, am avea 0 (M), deci ar exista z 1,..., z m M astfel încât z 1... z m = 0. Cum elementele lui M formează un şir descrescător, vom putea ordona mulţimea {z 1,..., z n }: z i1 z i2... z im. Se subînţelege că z i1, z i2,..., z im sunt elementele z 1,..., z m în altă înşiruire, deci 0 = z 1... z m = z i1 z i2... z im = z i1. Conform (2), toate elementele lui M sunt nenule, deci z i1 0. Contradicţia este evidentă, deci (M) este propriu. Vom putea atunci considera un ultrafiltru F al lui B astfel încât y M (M) F. Pentru orice n N avem y (a 1 b 1 )... (a n b n ) F a n b n F, conform definiţiei filtrului. Rezultă a n b n F, pentru orice n N. 10

11 Cum orice ultrafiltru este filtru prim, rezultă că a n F sau b n F. Dacă x ni F, pentru orice i N, atunci în particular b n F, deci nu putem avea b n F, deoarece F este propriu. Vom avea deci a n F. Demonstraţia este terminată, cealaltă implicaţie fiind evidentă. Forma duală a teoremei Rasiowa-Sikorski este următoarea: Propoziţie 3.3 Fie B o algebră Boole şi A n = {x ni }, n N un şir de submulţimi numărabile ale lui B, astfel încât pentru orice n N există a n = x ni. i N În aceste condiţii, pentru orice y B, y 0, există un ultrafiltru F al lui B astfel încât y F şi pentru orice n N avem: a n F există i N, astfel încâtx ni F. Fie şirul de submulţimi ale lui B A n = { x ni i N}, n N. Conform Lemei 3.2 există a n = i N x ni = i N x ni = a n. Aplicând Propoziţia precedentă, va exista un ultrafiltru F al lui B astfel încât y F şi pentru orice n N să avem: x ni F, pentru orice i N a n F. Pentru orice n N, avem următoarele echivalenţe: a n F a n = a n / F există i N, astfel încât x ni / F există i N, astfel încâtx ni F. Teoremă 3.1 (Teorema de completitudine) = ϕ ϕ. 11

12 Presupunem că / σ. Vom arăta că există o structură A astfel încât A =/ σ, unde σ este închiderea lui σ. Va rezulta că σ nu este universal adevărată ( =/ σ), deci demonstraţia va fi terminată cu aceasta. Conform Lemei A.3 avem / σ. În algebra Lindenbaum-Tarski F/ acest fapt se exprimă prin σ 1, deci σ = σ 0. Pentru orice formulă ϕ(x) a lui L λ este validă relaţia: (i) ( x)ϕ(x)= { ϕ(v) v V } Cum mulţimea formulelor lui L λ este numărabilă, în (i) avem o mulţime numărabilă de infimumuri. Aplicând teorema Rasiowa-Sikorski rezultă existenţa unui ultrafiltru al lui F/ astfel încât σ şi pentru orice formulă ϕ(x) a lui L λ avem: (ii) ( x)ϕ(x) ϕ(v), pentru orice v V Definim pe V următoarea relaţie binară : x y x = y Se arată cu uşurinţă că este o relaţie de echivalenţă pe V. A = V/ şi cu x clasa de echivalenţă a lui x V. Pentru orice simbol de relaţie n-ar R, definim pe A relaţia R prin: ( ) ( x 1,..., x n ) R n R n (x 1,..., x n ) Notăm cu Faptul că definiţia de mai sus nu depinde de reprezentanţi rezultă imediat. Prin inducţie asupra modulului de formare a formulelor lui L λ vom arăta că pentru fiecare formulă ϕ(x 1,..., x n ) a lui L λ este valabilă relaţia: ( ) pentru orice v 1,..., v n V. A = ϕ[ v 1,..., v n ] ϕ(v 1,..., v n ), Pentru formule atomice, relaţia ( ) este chiar relaţia ( ). Dacă ϕ = ψ(x 1,..., x n ), atunci: A = ϕ[ v 1,..., v n ] A =/ ψ[ v 1,..., v n ] ψ(v 1,..., v n )/ 12

13 ψ(v 1,..., v n ) ϕ(v 1,..., v n ) Dacă ϕ = ψ 1 ψ 2, atunci: A = ϕ[ v 1,..., v n ] A = ψ 1 [ v 1,..., v n ] şi A = ψ 2 [ v 1,..., v n ] ψ 1 (v 1,..., v n ) şi ψ 2 (v 1,..., v n ) ψ 1 (v 1,..., v n ) ψ 2 (v 1,..., v n ) ψ 1 (v 1,..., v n ) ψ 2 (v 1,..., v n ) ϕ(v 1,..., v n ) Presupunem că ϕ = ( x)ψ(x, x 1,..., x n ). Din (ii) deducem: ( x)ϕ(x) = (( x) ϕ(x)) ( x) ϕ(x)/ există v V astfel încât există v V astfel încât ϕ(x)/ ϕ(x) Atunci: A = ϕ[ v 1,..., v n ] există v A astfel încât A = ψ[ v, v 1,..., v n ] există v A astfel încât ψ(v, v 1,..., v n ) xψ(x, v 1,..., v n ) ϕ(v 1,..., v n ) Cu aceasta relaţia ( ) a fost demonstrată. Din relaţia ( ) şi din faptul că σ, rezultă A = σ, deci A =/ σ. Am arătat că σ nu este validă în A, deci =/ σ. Astfel teorema a fost demonstrată. 13

14 4 Demonstraţia prin forcing Fie L un limbaj de ordinul I numărabil, C o mulţime numărabilă de constante noi şi L(C) limbajul numărabil obţinut prin adăugarea constantelor din C la L. Notăm cu F orm(l) mulţimea formulelor lui L(C). Definiţie 4.1 O proprietate forcing este un triplet P = (P,, f) astfel încât: (i) (P, ) este o mulţime parţial ordonată cu 0 (ii) f este o funcţie de la P în mulţimea enunţurilor atomice din L(C) (iii) p q f(p) f(q) (iv) pentru orice termeni t, t din L(C) şi orice p P avem: (t = t ) f(p) există q p, t = t f(q) (t = t ), ϕ(t) f(p), ϕ(t) atomică există q p, ϕ(t ) f(q) există c C si q p, t = c f(q) Elementele lui P se numesc condiţii. Definiţie 4.2 Pentru orice proprietate forcing P = (P,, f), definim relaţia forcing, P F, prin: (a) ϕ atomică: p ϕ ϕ f(p) (b) p = ϕ pentru orice q p, q / ϕ (c) p ϕ ψ p ϕ şi p ψ (d) p ( x)ϕ există c C, p ϕ(c) Definiţie 4.3 G P se numeşte mulţime generică dacă: (i) p G, q p q G (ii) p, q G există r G, p, q r (iii) pentru orice ϕ F, există p G astfel încât p ϕ sau p ϕ Definiţie 4.4 O mulţime generică G generează modelul M dacă ϕ F, p G si p ϕ M = ϕ 14

15 Modelul M este generic pentru p P dacă M este generat de o mulţime generică ce conţine p. Modelul M este generic dacă este generat de o mulţime generică pentru 0. Fie în continuare P = (P,, f) o proprietate forcing. Lemă 4.1 Orice p P aparţine unei mulţimi generice G. Fie ϕ 0, ϕ 1, ϕ 2,... o enumerare o formulelor lui L(C). condiţii p 0 p 1 p 2... astfel: Definim un şir de p 0 = p presupunem definite p 1... p n : dacă p n ϕ n, luăm p n+1 = p n dacă p n / ϕ n, există q p n cu q ϕ n şi p n+1 va fi un astfel de q Mulţimea G = {q P există n, q p n } este generică şi p G. Lemă 4.2 Fiecare mulţime generică G generează un model. Notăm T = {ϕ L(C) există p G, p ϕ}. T are următoarele proprietăţi: (1) (t = t ) T (t = t) T Dacă (t = t ) T, atunci există p G astfel încât p t = t. Cum G este generică, înseamnă că există q G astfel încât q t = t sau q (t = t). Cum există r G, p, q r, avem r t = t şi (r t = t sau r (t = t)). Dacă r (t = t), atunci pentru orice r 1 r, r 1 / t = t, ceea ce nu este posibil. (2) (t = t ) T, ϕ(x) formula atomică şi ϕ(t) T ϕ(t ) T (3) pentru orice t termen din L(A), există c C astfel încât (c = t) T (4) pentru orice formulă ϕ, exact una din formulele ϕ sau ϕ este în T Fie ϕ o formulă din L(C). Atunci există p G cu p ϕ sau p / ϕ, deci ϕ T sau ϕ T. Dacă ϕ T şi ϕ T, atunci există p 1, p 2 G, p 1 ϕ, p 2 ϕ. Luând p G cu p 1, p 2 p, avem p ϕ şi p ϕ, ceea ce este o contradicţie. 15

16 (5) ϕ ψ T ϕ, ψ T (6) ( x)ϕ(x) T există c C, ϕ(c) T Pe mulţimea C introducem următoarea relaţie: c d (c = d) T Din (1) şi (2) rezultă că este o relaţie de echivalenţă. Fie a c clasa de echivalenţă a lui c C şi M = {a c c C}. dacă f este un simbol de funcţie n-ar, atunci definim f M : M n M prin f M (a c1,..., a cn ) = a c (f(c 1,..., c n ) = c) T dacă R este un simbol de relaţie n-ar, atunci definim R M M n prin R M (a c1,..., a cn ) R(c 1,..., c n ) T Conform (2) şi (3), definiţiile de mai sus sunt corecte. Interpretările constantelor se definesc folosind (3). M este înzestrată cu o structură pentru L(C) în care fiecare constantă c C este interpretată prin a c. Aratăm că pentru orice ϕ F, ( ) M = ϕ ϕ T Afirmaţia ( ) se demonstrează prin inducţie după ϕ. ϕ atomic: din definiţia lui M ϕ = ψ: M = ϕ M =/ ψ ψ / T ipoteza de inducţie ψ T din (4) cazurile când ϕ = ψ 1 ψ 2 si ϕ = ( x)ψ se demonstrează similar folosind (5) şi (6). Modelul M construit mai sus are proprietatea: pentru orice formulă ϕ din L(C), M = ϕ există p G, p ϕ 16

17 Teoremă 4.1 (Teorema modelului generic) Dacă P este o proprietate forcing şi p P, atunci există un model generic pentru p. Rezultă imediat din Lemele 4.1 şi 4.2. Să considerăm în continuare: P = mulţimea mulţimilor consistente finite din L(C) f(p) enunţurile atomice din p Atunci P = (P,, f) este o proprietate forcing. Lemă 4.3 Pentru orice p P şi ϕ L(C), avem: p {ϕ} P există q p, q ϕ Demonstrăm prin inducţie după structura lui ϕ: ϕ atomic: din definiţia forcingului ϕ = ψ: Conform ipotezei de inducţie asupra lui ψ avem că pentru orice q P, Deci a demonstra q ψ orice r q, r / ψ q {ψ} / P. revine la a stabili echivalenţa: p { ψ} P există q p, q ψ p { ψ} P există q p, q {ψ} / P Presupunem q p, q {ψ} / P, deci ( q ψ). Cum q P, avem / ( q (ψ ψ)), deci / ( g ψ) sau / ( g ψ). Rezultă / ( g ψ), deci q { ψ} P, deci p { ψ} P. Presupunem q = p { ψ} P. Atunci este evident că q {ψ} = p {ψ, ψ} / P. 17

18 ϕ = ψ 1 ψ 2 : q p, q ψ 1 ψ 2 q p, q ψ 1 si q ψ 2 p {ψ 1 }, p {ψ 2 } P / ( p ψ 1 ) si / ( p ψ 2 ) / ( p (ψ 1 ψ 2 )) p {ψ 1 ψ 2 } P ϕ = ( x)ψ(x): q p, q ϕ există c C, q ψ(c) există c C, p {ψ(c)} P / ( p ψ(c)) / ( p ( x)ψ(x)) p {( x)ψ(c)} P p {( x)ψ(x)} P există c C, p {( x)ψ(c)} {ψ(c)} P există c C, există q p {( x)ψ(c)}, q ψ(c) există q p, q ( x)ψ(x) Teoremă 4.2 (Teorema de completitudine) = ϕ ϕ Presupunem / ϕ, deci { ϕ} este consistentă. Considerând proprietatea forcing descrisă mai sus, obţinem { ϕ} P. Din Lema 4.3 rezultă că există q P astfel încât q ϕ şi ϕ q. Aplicând Teorema 4.1, găsim un model M generic pentru q. Deci M = ϕ, adică M =/ ϕ, ceea ce este o contradicţie. 5 Demonstraţia prin proprietăţi de consistenţă Fie L un limbaj de ordinul I numărabil, C o mulţime numărabilă de constante noi şi L(C) limbajul numărabil obţinut prin adăugarea constantelor din C la L. Un termen primitiv al lui L(C) este un termen de forma f(c 1,..., c n ), unde f este un simbol de operaţie n-ar şi c i C, orice i 1, n. 18

19 Definiţie 5.1 Oricărei formule ϕ din L îi asociem o nouă formulă ϕ definită astfel: dacă ϕ este atomică, atunci ϕ = ϕ ( ϕ) = ϕ (ϕ ψ) = ϕ ψ (ϕ ψ) = ϕ ψ (( x)ϕ) = ( x) ϕ Propoziţie 5.1 ϕ ϕ Definiţie 5.2 Fie S o familie de mulţimi de formule din L(C). Atunci S se numeşte proprietate de consistenţă dacă pentru orice Γ S, următoarele aserţiuni sunt adevărate, pentru orice formule ϕ, ψ din L(C): (C0) dacă Γ, atunci S (C1) ϕ Γ sau ϕ Γ (C2) dacă ϕ Γ, atunci Γ {ϕ } S (C3) dacă ϕ ψ Γ, atunci Γ {ϕ} S şi Γ {ψ} S (C4) dacă ϕ ψ Γ, atunci Γ {ϕ} S sau Γ {ψ} S (C5) dacă ( x)ϕ Γ, atunci pentru orice c C, Γ {ϕ(c)} S (C6) dacă ( x)ϕ Γ, atunci există c C, Γ {ϕ(c)} S (C7) dacă c, d C si (c = d) Γ, atunci Γ {d = c} S (C8) dacă c C, t termen primitiv, (c = t) Γ şi ϕ((t) Γ, atunci Γ {ϕ(c)} S (C9) pentru orice termen primitiv t, există c C astfel încât Γ {c = t} S Lemă 5.1 Dacă S satisface condiţiile (C1)-(C9), atunci S = {Γ Γ, S} satisface condiţiile (C0)-C(9). Definiţie 5.3 Fie S o proprietate de consistenţă. O funcţie f : S S este admisibilă peste S dacă pentru orice Γ S următoarele condiţii sunt satisfăcute: (i) Γ f(γ) 19

20 (ii) c C c apare în ϕ f(γ) = {c C c apare în ϕ Γ} + m, pentru m < ω Teoremă 5.1 (Teorema de existenţă a unui model) Fie S o proprietate de consistenţă şi < f α α < F orm(l) > o familie de funcţii admisibile peste S. Atunci pentru orice Γ S, există un model (A, a c ) c C al lui Γ ce satisface condiţiile: (i) A = {a c c C} şi A F orm(l) (ii) pentru orice α < F orm(l), există S astfel încât Γ f α ( ) {ϕ (A, c C ) = ϕ} Presupunem ω = F orm(l) si Γ S. Definim o secvenţă < Θ α α ω >. Fie Θ 0 = Γ. Presupunem că Θ α S a fost definit, pentru α < ω şi construim Θ α+1 astfel: Θ α = Θ α, dacă Θ α {ϕ α } / S Θ α = Θ α {ϕ α }, altfel Θ α = Θ α {ϕ s }, dacă Θ α {ϕ α } S, ϕ α = ϕ s ϕ t şi Θ α {ϕ s S} Θ α = Θ α {ϕ t }, dacă Θ α {ϕ α } S, ϕ α = ϕ s ϕ t şi Θ α {ϕ s / S} Θ α = Θ α, altfel = Θ α {ψ(c)}, dacă Θ α {ϕ α } S, ϕ α = ( α)ψ şi c este cel mai mic membru al lui C astfel încât Θ α {ϕ α, ψ(c)} S Θ α Θ α = Θ α, altfel Θ iv α = Θ α {c = τ α }, unde c este cel mai mic element din C astfel încât Θ α {c = τ α } S Θ α+1 = f α (Θ iv α ) Evident Θ α+1 S. În final, luăm Θ = α<ω Θ α. Rezultă imediat că Θ S. Pentru orice formule ϕ, ψ din L(C) avem următoarele condiţii îndeplinite: (1) ϕ / Θ sau ϕ / Θ (2) dacă ϕ Θ, atunci ϕ Θ (3) dacă ϕ ψ Θ, atunci ϕ, ψ Θ (4) dacă ϕ ψ Θ, atunci ϕ Θ sau ψ Θ 20

21 (5) dacă ( x)ϕ Θ, atunci pentru orice c C, ϕ(c) Θ (6) dacă ( x)ϕ Γ, atunci există c C, ϕ(c) Θ (7) dacă c, d C şi (c = d) Θ, atunci d = c Θ (8) dacă c C, t termen primitiv, (c = t) Θ şi ϕ((t) Θ, atunci ϕ(c) Θ (9) pentru orice termen primitiv t, există c C astfel încât c = t Θ (10) pentru orice α < ω, există S astfel încât Γ f α ( ) Θ Toate aceste condiţii se demonstrează cu uşurinţă. De exemplu, să presupunem că ϕ, ϕ Θ. Atunci există α < ω astfel încât ϕ, ϕ Θ α, ceea ce contrazice Θ α S. Considerăm următoarea relaţie binară pe C: pentru orice c, d C c d c = d Θ (11) este o relaţie de echivalenţă pe C Afirmaţia (11) se arată cu uşurinţă folosind punctele (7), (8). (12) Dacă ϕ(v 1,..., v m ) este o formulă din L(C), c 1,..., c m C, d 1,..., d m D astfel încât c i d i, pentru orice 1 i m, şi ϕ(c 1,..., c m ) Θ, atunci ϕ(d 1,..., d j, c j+1,..., c m ) Θ, pentru orice j m. Demonstrăm (12) prin inducţie după j. Cazul j = 0 este trivial. Presupunem afirmaţia (12) adevărată pentru j, cu j + 1 m şi că ϕ(c 1,..., c m ) Θ. Din ipoteza de inducţie obţinem că ϕ(d 1,..., d j 1, c j,..., c m ) Θ. Fie ψ formula ϕ(d 1,..., d j 1, v, c j+1,..., c m ). Atunci d j = c j Θ (din (7)) şi ψ(c j /v) Θ. Din (8) rezultă ϕ(d 1,..., d j, c j+1,..., c m ) Θ. Dacă în (12) considerăm j = m obţinem următoarea proprietate a lui Θ: (13) Dacă ϕ(v 1,..., v m ) este o formulă din L(C), c 1,..., c m C, d 1,..., d m D astfel încât c i d i, pentru orice 1 i m, şi ϕ(c 1,..., c m ) Θ, atunci ϕ(d 1,..., d m ) Θ. Fie A = C/. Definim o structură A pentru L, având universul A. Notăm cu [c] clasa de echivalenţă a lui c în raport cu. Dacă f este un simbol de operaţie n-ar, definim: f (A) ([c 1 ],..., [c n ]) = [d] d = f(c 1,..., c n ) Θ Dacă R este un simbol de relaţie n-ar, definim: ([c 1 ],..., [c n ]) R A R(c 1,..., c n ) Θ 21

22 Fie A = (A, [c]) c C. În final arătăm că pentru orice formulă ϕ din L(C) avem următoarea proprietate: (14) Dacă ϕ Θ, atunci A = ϕ, şi dacă ϕ Θ, atunci A = ϕ. Demonstrăm cele două proprietăţi prin inducţie după structura lui ϕ: Dacă ϕ este o formulă atomică, atunci proprietăţile se arată printr-o nouă inducţie după numărul de simboluri de operaţii din ϕ. Presupunem că proprietăţile sunt adevărate pentru ϕ şi să arătăm că sunt adevărate şi pentru ϕ. Este suficient să arătăm că dacă ϕ Θ, atunci A = ϕ. Din (2), ( ϕ) Θ, i.e. ϕ Θ, deci A = ϕ din ipoteza de inducţie. Presupunem că (14) este adevărată pentru ϕ şi ψ. Întâi presupunem că ϕ ψ Θ. Din (3), ϕ, ψ Θ, rezultă din ipoteza de inducţie că A = ϕ, A = ψ, deci A = ϕ ψ. Acum presupunem că (ϕ ψ) Θ. Din (2) obţinem că (ϕ ψ) Θ, i.e. ϕ ψ Θ. Din (4), ϕ Θ sau ψ Θ, deci din ipoteza de inducţie A = ϕ sau A = ψ, deci A = (ϕ ψ). Presupunem că ( x)ϕ Θ. Din (5), ϕ(c) Θ, pentru orice c C. Din ipoteza de inducţie obţinem că A = ϕ(c), pentru orice c C, deci A = ( x)ϕ. Dacă ( x)ϕ Θ, din (2) avem (( x)ϕ) Θ, i.e. ( x) ϕ Θ. Din (6) există c C astfel încât ϕ(c) Θ. Din ipoteza de inducţie obţinem A = ϕ(c), deci A = ( x)ϕ. Cum Γ Θ, din (14) rezultă că A = Γ. Evident A are forma (A, [c]) c C, cu A = {[c] c C}. Dacă α ω, din (10) şi (14) rezultă că există S astfel încât Γ f α ( ) Θ {ϕ A = ϕ}. Folosind Lema 5.1, obţinem cea mai simplă formă a teoremei de existenţă a unui model: Corolar 5.1 Dacă F orm(l) = ℵ 0 şi S o familie de mulţimi de formule din L(C) ce satisface condiţiile (C1)-(C9) din Definiţia 5.2, atunci orice Γ S are un model (A, a c ) c C, cu A = {a c c C}. Propoziţie 5.2 Fie S mulţimea tuturor mulţimilor consistente Γ de formule din L(C) cu proprietatea că c C c apare în ϕ Γ < C. Atunci S este o proprietate de consistenţă. Fie Γ S. Se verifică cu uşurinţă condiţiile (C0)-(C9) pentru Γ. Să arătăm, de exemplu, (C9). Alegem c C astfel încât c nu apare în termenul t şi nici 22

23 în Γ. Dacă Γ {c = t} / S, atunci Γ (c = t). Dacă în demonstraţie lui (c = t) din Γ, înlocuim c cu o variabilă nouă x, obţinem Γ (x = t), deci Γ x (x = t). Obţinem Γ (t = t), deci Γ este inconsistentă, ceea ce este o contradicţie. Teoremă 5.2 (Teorema de completitudine) = ϕ ϕ Presupunem că / ϕ şi obţinem că { ϕ} este consistentă. Aplicăm Teorema 5.1 pentru proprietatea de consistenţă dată de Propoziţia 5.2 şi găsim un model A astfel încât A = ϕ, deci A =/ ϕ. 6 Comparaţie între cele patru demonstraţii Fiecare din cele patru demonstraţii prezentate mai sus este, în primul rând, o metodă de a construi modele ale teoriilor de ordinul I. La nivelul observaţiei directe, cele patru demonstraţii au parţi asemănătoare. Ar fi interesant de studiat în ce măsură această substanţă comună poate căpăta o formă matematică (de exemplu, dacă se obţin modele izomorfe). În acest sens, menţionăm două paralele între demonstraţiile anterioare: Se observă o strânsă legătură între demonstraţia lui Henkin şi demonstraţia Rasiowa-Sikorski. În primul rând se observă că noţiunea de Q-ultrafiltru poate fi privită ca o algebrizare a teoriilor Henkin maximale consistente. Lema Rasiowa-Sikorski este corespondentul rezultatului prin care orice teorie consistentă se scufundă într-o teorie Henkin maximală consistentă, iar construcţiile modelelor în cele două demonstraţii au numeroase elemente de similaritate. Un rezultat al lui Lablanquie stabileşte o corespondenţă între proprietăţile de consistenţă şi forcing: Dacă S este o proprietate de consistenţă, atunci P = (S,, f) este o proprietate forcing, unde f(s) este mulţimea formulelor atomice. dacă s S, ϕ s, atunci s ϕ teorema de existenţă a modelului implică teorema modelului generic Dacă P este o proprietate forcing, atunci S(P) = {s p p P }, s p {ϕ p ϕ}, este o proprietate de consistenţă. 23

24 A Sistemul formal al calculului cu predicate A.1 Sintaxă Definiţie A.1 O structură de ordinul I este de forma A = (A, {f i} i I, {R j} j J, {c k } k K ) unde A este o mulţime nevidă (universul structurii), f i : A n i A este o operaţie n i-ară, pentru orice i I, R j A m j este o relaţie m j-ară pe A, pentru orice j J şi c k A este o constantă, pentru orice k K. Tipul structurii A este λ = ({n i} i I, {m j} j J, 0 k K ). Fiecărei clase de un tip fixat λ îi vom asocia un sistem formal L λ, numit sistemul formal al calculului cu predicate asociat lui λ. Fie λ = ({n i} i I, {m j} j J, 0 k K ) un tip. Alfabetul sistemului L λ este format din următoarele simboluri: o mulţime infinită de variabile V simboluri de operaţii: f i, pentru orice i I simboluri de relaţii: R j, pentru orice j J simboluri de constante: c k, pentru orice k K simbolul de egalitate = conectorii, simbolul de cuantificare universală paranteze Mulţimea termenilor lui L λ se defineşte prin inducţie: a) variabilele şi constantele sunt termeni b) dacă f este un simbol de operaţie n-ară şi t 1,..., t n sunt termeni, atunci f(t 1,..., t n) este termen. Formulele atomice ale lui L λ sunt definite astfel: a) dacă t 1, t 2 sunt termeni, atunci t 1 = t 2 este formulă atomică b) dacă R este un simbol de relaţie n-ar şi t 1,..., t n sunt termeni, atunci R(t 1,..., t n) este o formulă atomică. Formulele lui L λ sunt definite prin inducţie astfel: a) formulele atomice sunt formule b) dacă ϕ este formulă, atunci ϕ este formulă c) dacă ϕ, ψ sunt formule, atunci ϕ ψ este formulă d) dacă ϕ este formulă şi x variabilă, atunci ( x)ϕ este formulă. 24

25 Pe lângă conectorii,, ( x), putem defini următorii conectori: ϕ ψ = ϕ ψ ϕ ψ = (ϕ ψ) ϕ ψ = (ϕ ψ) (ψ ϕ) ( x)ϕ = ( x) ϕ Definim prin inducţie F V (t), mulţimea variabilelor termenului t, astfel: a) dacă t este variabilă x, atunci F V (t) = {x} b) dacă t este constantă c, atunci F V (t) = c) dacă t este de forma f(t 1,..., t n), atunci F V (t) = n i=1 F V (ti). Definim prin inducţie F V (ϕ), mulţimea variabilelor libere din formula ϕ: a) dacă ϕ este de forma t 1 = t 2, atunci F V (ϕ) = F V (t 1) F V (t 2) b) dacă ϕ este de forma R(t 1,..., t n), atunci F V (ϕ) = n i=1 F V (ti) c) dacă ϕ este de forma ψ, atunci F V (ϕ) = F V (ψ) d) dacă ϕ este de forma ψ χ, atunci F V (ϕ) = F V (ψ) F V (χ) e) dacă ϕ este de forma ( x)ψ, atunci F V (ϕ) = F V (ψ) \ {x}. Dacă x F V (ϕ), atunci x se numeşte variabilă liberă a lui ϕ; altfel x se numeşte variabilă legată. O formulă în care nu apare nicio variabilă liberă se numeşte enunţ. Pentru a specifica că x 1,..., x n sunt variabile libere ale unei formule ϕ, vom nota ϕ(x 1,..., x n). Dacă avem o formulă ϕ(x) şi un termen t, formula ϕ(t) obţinută prin substituţia variabilei x cu t se defineşte astfel: dacă y este o variabilă din t, se înlocuieşte y cu o variabilă v care nu apare în ϕ(x) sau în t în toate apariţiile legate ale lui y în t; se înlocuieşte apoi x cu t. Pasul următor în descrierea sintaxei lui L λ este definirea teoremelor sale. Axiomele lui L λ sunt formule care au una din următoarele forme: (A0.1) ϕ (ψ ϕ) (A0.2) (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) (A0.3) ( ϕ ψ) (ψ ϕ) (A1) ( x)(ϕ ψ) (ϕ ( x)ψ), daca x / F V (ϕ) (A2) ( x)ϕ(x, y 1,..., y n) ϕ(t, y 1,..., y n) (A3) x = x (A4) (x = y) (t(v 1,..., x,..., v n) = t(v 1,..., y,..., v n)) (A5) (x = y) (ϕ(v 1,..., x,..., v n) t(v 1,..., y,..., v n)) Axiomele (A0.1)-(A0.3) sunt axiomele calcului propoziţional, iar axiomele (A3)- (A5) poartă numele de axiomele egalităţii. Regulile de deducţie ale sistemului formal L λ sunt: ϕ,ϕ ψ ψ (modus ponens) ϕ ( x)ϕ (generalizarea) 25

26 O demonstraţie formală a unei formule ϕ este un şir finit de formule ϕ 1,..., ϕ n = ϕ astfel încât, pentru orice 1 i n, să fie verificată una din condiţiile următoare: ϕ i este axiomă există j, k < i astfel încât ϕ k = ϕ j ϕ i există j < i astfel încât ϕ i = ( x)ϕ j. Dacă pentru o formulă ϕ există o demonstraţie formală, atunci ϕ se numeşte teoremă a sistemului formal L λ. Notăm cu ϕ faptul că ϕ este o teoremă a lui L λ. Deci mulţimea T a teoremelor lui L λ este obţinută din axiomele lui L λ prin aplicarea celor două reguli de deducţie de mai sus. Fie Σ o mulţime de formule ale lui L λ. Spunem că o formulă ϕ este dedusă din ipotezele Σ dacă există un şir finit de formule ϕ 1,..., ϕ n = ϕ astfel încât, pentru orice 1 i n, este verificată una din condiţiile de mai jos: ϕ este axiomă ϕ Σ există j, k < i astfel încât ϕ k = ϕ j ϕ i există j < i astfel încât ϕ i = ( x)ϕ j. Vom nota cu Σ ϕ faptul că ϕ este dedusă din Σ. Dacă Σ =, atunci este evident că avem ϕ ϕ. Deci teoremele sunt formulele deduse din ipoteza vidă. Lemă A.1 Pentru orice formulă ϕ, avem ϕ ϕ. Lemă A.2 Pentru orice formule ϕ, ψ şi χ, avem (ψ χ) ((ϕ ψ) (ϕ χ)). O formulă deschisă este o formulă care nu conţine niciun cuantificator. Dacă ϕ(x 1,..., x n) este o formulă ale cărei variabile libere sunt x 1,..., x n, atunci prin închiderea lui ϕ(x 1,..., x n) vom inţelege enunţul ( x 1)... ( x n)ϕ(x 1,..., x n). Lemă A.3 Pentru orice formulă ϕ(x 1,..., x n) avem ϕ(x 1,..., x n) ( x 1)... ( x n)ϕ(x 1,..., x n). 26

27 O formulă a lui L λ este teoremă dacă şi numai dacă închiderea ei este o teoremă. Cu alte cuvinte, din punct de vedere al adevărurilor sintactice, este suficient să considerăm enunţurile care sunt teoreme. O mulţime Σ de formule se numeşte inconsistentă dacă Σ ϕ, pentru orice formulă ϕ. În caz contrar, Σ se numeşte consistentă. Propoziţie A.1 Următoarele afirmaţii sunt echivalente: (1) Σ inconsistentă (2) există o formulă ϕ astfel încât Σ ϕ ϕ (3) există o formulă ϕ astfel încât Σ ϕ şi Σ ϕ (4) pentru orice formulă ϕ, Σ (ϕ ϕ) (5) există o formulă ϕ astfel încât Σ (ϕ ϕ). Propoziţie A.2 (i) Σ {ϕ} inconsistentă Σ ϕ (ii) Σ { ϕ} inconsistentă Σ ϕ. O mulţime se numeşte maximală consistentă dacă este un element maximal în mulţimea părţilor consistente ale lui L λ. Propoziţie A.3 Orice mulţime consistentă se scufundă într-o mulţime maximală consistentă. Propoziţie A.4 Fie Σ o mulţime maximală consistentă. următoarele proprietăţi: (1) Σ ϕ ϕ Σ (2) Σ ϕ ψ Σ ϕ sau Σ ψ (3) pentru orice formulă ϕ, avem Σ ϕ sau Σ ϕ. Atunci sunt adevărate Observaţie A.1 Pentru orice formule ϕ, ψ, Σ ϕ ψ Σ ϕ şi Σ ψ. Propoziţie A.5 Dacă Σ este consistentă, atunci sunt echivalente: (1) Σ maximală consistentă (2) pentru orice ϕ, ψ, Σ ϕ ψ Σ ϕ sau Σ ψ (3) pentru orice ϕ, Σ ϕ sau Σ ϕ 27

28 A.2 Algebra Lindenbaum-Tarski Algebra Lindenbaum-Tarski asociată sistemului formal al calculului cu predicate este o algebră Boole obţinută prin factorizarea mulţimii formulelor printr-o relaţie de echivalenţă canonică. Proprietăţile sintactice ale sistemului formal se vor reflecta în proprietăţi algebrice ale algebrei Lindenbaum-Tarski. Pe mulţimea F orm(l λ ) a formulelor sistemului formal L λ considerăm următoarea relaţie ϕ ψ ϕ ψ si ψ ϕ. Conform Lemei A.1, este reflexivă şi conform Lemei A.2 este tranzitivă. Este evident că este simetrică, deci este o relaţie de echivalenţă pe F orm(l λ ). Vom nota cu ϕ clasa de echivalenţă a lui ϕ. Pe mulţimea cât F orm(l λ )/ considerăm următoarele operaţii: ϕ ψ= (ϕ ψ) ϕ ψ= (ϕ ψ) ϕ= ( ϕ) 0 = (ϕ ϕ) 1 = (ϕ ϕ) (F orm(l λ )/,,,, 0, 1) are o structură de algebră Boole şi se numeşte algebra Lindenbaum-Tarski asociată sistemului formal L λ. Propoziţie A.6 Pentru orice formulă ϕ(x) a lui L λ, în algebra Lindenbaum-Tarski F orm(l λ )/, sunt verificate următoarele egalităţi: A.3 Semantica ( x)ϕ(x) = { ϕ(v) v V } ( x)ϕ(x) = { ϕ(v) v V } Fie A o structură corespunzătoare limbajului L λ. Dacă f (respectiv R, c) este un simbol de operaţie (respectiv de relaţie, de constantă), atunci vom nota cu f A (respectiv R A, c A ) operaţia (respectiv relaţia, constanta) corespunzătoare din A. O interpretare (evaluare) a lui L λ în A este o funcţie s : V A. Pentru orice termen t şi pentru orice interpretare s, definim prin inducţie t A (s) A prin: dacă t este variabilă v, atunci t A (s) = s(v) dacă t este constantă c, atunci t A (s) = c A dacă t este de forma f(t 1,..., t n), atunci t A (s) = f A (t A 1 (s),..., t A n (s)). Pentru orice formulă ϕ şi orice interpretare s, definim ϕ(s) = ϕ(s) A L 2 = {0, 1} astfel: pentru formulele atomice: 28

29 { 1, dacă t A dacă ϕ este de forma t 1 = t 2, atunci ϕ(s) = 1 (s) = t A 2 (s) 0, altfel dacă ϕ este de forma R(t 1,..., t n), atunci ϕ(s) = 1 (t A 1 (s),..., t A n (s)) R A pentru formulele oarecare, definim prin inducţie: pentru formulele atomice a fost definit dacă ϕ = ψ, atunci ϕ(s) = ψ(s) dacă ϕ = ψ χ, atunci ϕ(s) = ψ(s) χ(s) dacă ϕ = ( x)ψ, atunci ϕ(s) = a A ψ(sx a), unde sx a : V A este { a, dacă v = x interpretarea definită de s x a(v) = s(v), dacă v x Avem următoarele consecinţe imediate: (ϕ ψ)(s) = ϕ(s) ψ(s) (ϕ ψ)(s) = ϕ(s) ψ(s) (ϕ ψ)(s) = ϕ(s) ψ(s) ( x)ϕ(s) = a A ϕ(sx a) Lemă A.4 Fie s 1, s 2 două interpretări. Pentru orice termen t, dacă s 1 F V (t) = s 2 F V (t), atunci t A (s 1) = t A (s 2). Propoziţie A.7 Fie s 1, s 2 două interpretări. Pentru orice formulă ϕ, dacă s 1 F V (ϕ) = s 2 F V (ϕ), atunci ϕ(s 1) = ϕ(s 2). Fie t(x 1,..., x n) un termen, ϕ(x 1,..., x n) o formulă şi a 1,..., a n A. Atunci definim: t A (a 1,..., a n) = t A s ϕ(a 1,..., a n) = ϕ(s), unde s : V A este o interpretare ce verifică s(x i) = a i, pentru orice 1 i n. Conform Lemei A.4 şi Propoziţiei A.7, definiţiile de mai sus sunt corecte. Vom nota prin A = ϕ[a 1,..., a n] faptul că ϕ(a 1,..., a n) = 1. Folosind această notaţie, putem transcrie unele proprietăţi din definiţia : dacă ϕ(x 1,..., x n) = (t 1(x 1,..., x n) = t 2(x 1,..., x n)), atunci A = ϕ[a 1,..., a n] t A 1 (a 1,..., a n) = t A 2 (a 1,..., a n) dacă ϕ(x 1,..., x n) = R(t 1(x 1,..., x n),..., t n(x 1,..., x n)), atunci A = ϕ[a 1,..., a n] (t A 1 (a 1,..., a n),..., t A n (a 1,..., a n)) R A dacă ϕ(x 1,..., x n) = ψ(x 1,..., x n), atunci A = ϕ[a 1,..., a n] A =/ ψ[a 1,..., a n] 29

30 dacă ϕ(x 1,..., x n) = ψ(x 1,..., x n) χ(x 1,..., x n), atunci A = ϕ[a 1,..., a n] [A = ψ[a 1,..., a n] A = χ[a 1,..., a n]] dacă ϕ(x 1,..., x n) = ( x)ψ(x, x 1,..., x n), atunci A = ϕ[a 1,..., a n] pentru orice a A, A = ψ[a, a 1,..., a n] Observăm că dacă ϕ este un enunţ, atunci ϕ(s) nu depinde de interpretarea s şi în acest caz putem nota ϕ = ϕ(s). De asemenea, A = ϕ ϕ = 1. Dacă A = ϕ, spunem că enunţul ϕ este adevărat în A sau că A este un model pentru ϕ. Dacă Γ este o mulţime de enunţuri, atunci spunem că A este model al lui Γ dacă A = ϕ, pentru orice ϕ Γ. Dacă ϕ(x 1,..., x n) este o formulă, atunci A este model al lui ϕ(x 1,..., x n) (A = ϕ(x 1,..., x n)) dacă A = x 1... x nϕ(x 1,..., x n). Dacă Σ este o mulţime de formule, atunci A este model al lui Σ dacă A = ϕ, pentru orice ϕ Σ. 30

31 Bibliografie [1] P.J. Cohen. Set Theory and the Continuum Hypothesis. W.A.Benjamin Inc., [2] L. Henkin. The completeness of the first-order functional calculus. J. Symb. Logic, pages [3] L. Henkin. The discovery of my completeness proofs. Bull. Symb. Logic, pages [4] H.J. Keisler. Forcing and the omitting type theorem. Studies in Model Theory, pages [5] H. Rasiowa. An Algebraic Approach to Non-classical Logics. North-Holland, [6] H. Rasiowa and R. Sikorski. A proof of the completeness theorem of gödel. Fund. Math., pages [7] H. Rasiowa and R. Sikorski. The Mathematics of Metamathematics. Polish Scientific Publ., [8] A. Robinson. Forcing in model theory. Symposia Math., pages [9] A. Robinson. Infinite Forcing in Model Theory. North-Holland,

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de logicǎ matematicǎ

Elemente de logicǎ matematicǎ Elemente de logicǎ matematicǎ 9 noiembrie 2004 - Calcul propoziţional - Calculul predicatelor - Proceduri de decizie pt. realizabilitate - Demonstrare de teoreme prin rezoluţie Elemente de logicǎ matematicǎ

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

DOUĂ DEMONSTRAŢII ALE TEOREMEI DE REPREZENTARE A LUI STONE. Andra Jugănaru

DOUĂ DEMONSTRAŢII ALE TEOREMEI DE REPREZENTARE A LUI STONE. Andra Jugănaru DOUĂ DEMONSTRAŢII ALE TEOREMEI DE REPREZENTARE A LUI STONE I Introucere Anra Jugănaru Scopul acestei lucrări este e a prezenta ouă emonstraţii ale teoremei următoare: orice algebră Boole este izomorfă

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii. Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.

Asist. Dr. Oana Captarencu.  otto/pn.html. Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu http://www.infoiasi.ro/ otto/pn.html otto@infoiasi.ro Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40%

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri.

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri 17 decembrie 2016 Cuprinsul acestui curs Cuplaje Cuplaj perfect, maxim, maximal Cale

Διαβάστε περισσότερα

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL DIFERENŢIAL IAŞI 2011 Cuprins 1 Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

1Reziduuri şi aplicaţii

1Reziduuri şi aplicaţii Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamiltoniene decembrie 2016 Grafuri Noţiuni fundamentale D.p.d.v. matematic, un graf este o structură G = (V, E) formată din o mulţime de noduri

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n 1 Preliminarii Fie M, A mulţimi nevide şi n N. Se muneşte operaţie n ară (sau lege de compoziţie n-ară) definită pe M orice aplicaţie τ : M n M (M n = } M {{... M } ). In cazul n = 2, obţinem operaţiile

Διαβάστε περισσότερα

Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu

Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu Folosirea formelor normale conduce la eliminarea multora din problemele de redondanţe şi anomalii enunţate anterior. Fie o schemă

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE. Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică

POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE. Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE Andrei Mărcuş Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică 6 martie 2015 Cuprins 1 Ecuaţii algebrice 1 1.1 Ecuaţii binome. Grupul rădăcinilor de ordin

Διαβάστε περισσότερα

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.

Διαβάστε περισσότερα

Transformata Laplace

Transformata Laplace Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

1. GRUPOIZI. MORFISME. ACŢIUNI. (noţiuni algebrice)

1. GRUPOIZI. MORFISME. ACŢIUNI. (noţiuni algebrice) . RUPOIZI. MORFISME. ACŢIUNI. (noţini algebrice) Un grpoid poate fi gândit ca n grp c mai mlte elemente nitate. Dacă n grpoid are n singr element nitate, atnci de fapt, este grp. Astfel noţinea de grpoid

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE 1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ 2 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 5 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος - Επίδειξη Συμφωνίας În linii mari sunt de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου Cineva este de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου D'une façon générale,

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y). Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f

Διαβάστε περισσότερα

Logică și structuri discrete. Marius Minea marius/curs/lsd/ 31 octombrie 2016

Logică și structuri discrete. Marius Minea  marius/curs/lsd/ 31 octombrie 2016 Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius@cs.upt.ro http://cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 31 octombrie 2016 Logica stă la baza informaticii circuite logice: descrise în algebra

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

Curs 5 Semnale stationare si nestationare. Testul unit root

Curs 5 Semnale stationare si nestationare. Testul unit root Curs 5 Semnale stationare si nestationare. Testul unit root Seriile de timp stationare intuitiv inseamna medie si deviatie standard constante in timp. In aplicatii insa intalnim de obicei marimi nemarginite

Διαβάστε περισσότερα

LOGICA PENTRU INFORMATICĂ

LOGICA PENTRU INFORMATICĂ LOGICA PENTRU INFORMATICĂ (cu mai multe detalii) Facultatea de Informatică Universitatea Al.I.Cuza Iaşi (http://www.info.uaic.ro) Realitate Realitate: obiecte şi fenomene aflate în relaţii de interdependenţă

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii Felix Klein (1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de grup pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului. In discursul inaugural de

Διαβάστε περισσότερα

EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a

EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ M Manual pentru clasa a 1-a Cuprins ALGEBRÃ 1. Grupuri... 6 1.1. Legi de compoziþie... 6 1.. Proprietãþi ale legilor de compoziþie... 9 1.3. Grupuri... 1.4. Exemple

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

2 Probleme propuse Clasele V-VI Clasele VII-VIIII Clasele IX-X... 18

2 Probleme propuse Clasele V-VI Clasele VII-VIIII Clasele IX-X... 18 Cuprins 1 O privire de ansamblu asupra metodei 1 1.1 Un joc cu jetoane colorate...................... 2 1.2 O problemă amuzantă........................ 3 1.3 Şcoala lui Pitagora şi numerele iraţionale.............

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

Fişier template preliminar

Fişier template preliminar logo.png Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Fişier template preliminar Universitatea Tehnica din Iaşi (front-hyperlinks-colors * 29 iulie 212) UTC.png UTI.png Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi

Διαβάστε περισσότερα

Calculul valorilor şi vectorilor proprii

Calculul valorilor şi vectorilor proprii Capitolul 4 Calculul valorilor şi vectorilor proprii Valorile şi vectorii proprii joacă un rol fundamental în descrierea matematică a unor categorii foarte largi de procese tehnice, economice, biologice

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα