Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ -
|
|
- Γεννάδιος Νικολάκος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Denisa Diaconescu 1 1 Introducere Teorema de completitudine a lui Gödel pentru logica de ordinul I este unul dintre cele mai cunoscute rezultate din logica matematică. De-a lungul timpului, au fost propuse diverse demonstraţii ale acestui rezultat cheie din logică, demonstraţii care ulterior au fost adaptate pentru a furniza teoreme de completitudine şi pentru alte sisteme logice. Demonstraţia iniţială propusă de Gödel se bazează pe aducerea enunţurilor la forma normală Skolem. În prezent, această demonstraţie are doar un interes istoric. În lucrarea de faţă prezentăm patru dintre cele mai cunoscute demonstraţii ale teoremei de completitudine pentru logica de ordinul I. Dintr-o simplă analiză a acestor demonstraţii aparent total diferite, se observă că deşi fiecare foloseşte instrumente matematice diferite, ele au totuşi o substanţă comună. Pentru a susţine această teză, prezentăm în Secţiunea 6 doua analize paralele între demonstraţiile prezentate în lucrare. Prima demonstraţie prezentată în Secţiunea 2 este demonstraţia dată de Henkin [2, 3]. Ideea de bază a acestei demonstraţii este de a extinde limbajul L la un limbaj L(C), de acelaşi cardinal cu L, prin adăugarea unei mulţimi C de constante noi, apoi extinderea unei teorii din limbajul L la o teorie Henkin maximală consistentă în limbajul L(C) şi, în final, construirea modelului canonic asociat unei teorii Henkin. Demonstraţia propusă de Rasiowa şi Sikorski [5, 6, 7] prezentată în Secţiunea 3 este o demonstraţie de natură algebrică ce foloseşte algebra Lindenbaum- Tarski asociată unui limbaj L. Forcingul este o metodă inventată de P.J. Cohen pentru demonstrarea independenţei axiomei alegerii şi a ipotezei continuului în raport cu sistemul 1 Facultatea de Matematică şi Informatică, Universitatea din Bucureşti ddiaconescu@funinf.cs.unibuc.ro 1
2 de axiome ZF [1]. Demonstraţia prin forcing descrisă în Secţiunea 4 se bazează pe o generalizare a forcingului sintactic al lui Robinson [8, 9] din teoria modelelor, generalizare introdusă de Keisler [4]. Noţiunile principale cu care se operează în teoria forcingului sunt mulţimile generice şi modelele generate de acestea (modele generice). Teorema modelului generic asigură existenţa unui model generic pentru orice condiţie. Demonstraţia sa are două componente: existenţa unei mulţimi generice ce conţine o anumită condiţie şi construcţia unui model generic plecând de la o mulţime generică oarecare. Teorema de completitudine apare ca o consecinţă imediată a teoremei modelului generic. Ultima demonstraţie prezentată în această lucrare se bazează pe proprietăţi de consistenţă, modele abstracte ale familiei mulţimilor consistente de formule. Rezultatul central în teoria proprietăţilor de consistenţă este teorema de existenţă a unui model (orice mulţime de formule ce aparţine unei proprietăţi de consistenţă admite un model). Teorema de completitudine apare ca un caz particular în care proprietatea de consistenţă este familia mulţimilor consistente. Pentru a uşura munca cititorului şi a avea notaţii bine definite şi clare, am inclus în finalul lucrării, în Anexa 1, descrierea calculului cu predicate clasic. 2 Demonstraţia prin metoda Henkin În continuare vom nota limbajul L λ cu L, fără a menţiona tipul acestuia. Cardinalul limbajului L este dat de L = F orm(l. Presupunem că V, mulţimea variabilelor, este numărabilă şi că mulţimile de operaţii, relaţii şi constante sunt cel mult numărabile. În acest caz spunem că L este un limbaj numărabil. Dacă C este o mulţime de constante noi (distincte de constantele lui L), considerăm limbajul L(C) obţinut prin adăugarea constantelor din C. O structură a lui L(C) este de forma (A, a c ) c C, unde A este o structură corespunzătoare lui L şi a c A, pentru orice c C. Fie în continuare C o mulţime de constante noi şi L(C) limbajul extins. Lemă 2.1 Fie ϕ(x) o formulă în L, c o constantă din C şi ϕ(c) enunţul din L(C) obţinut prin înlocuirea lui x cu c. Atunci, pentru orice teorie T a lui L, avem T ϕ(c) în L(C) T ( x)ϕ(x) în L. 2
3 Dacă α 1 (c),..., α n (c) = ϕ(c) este o demonstraţie formală a lui ϕ(c) din T în L λ (C), atunci α 1 (x),..., α n (x) este o demonstraţie formală a lui ϕ(x) din T în L λ. Atunci T ϕ(x) în L λ, deci T ( x)ϕ(x) prin regula generalizării. Dacă T ( x)ϕ(x) în L λ, atunci T ( x)ϕ(x) în L λ (C). Cum ( x)ϕ(x) ϕ(c), rezultă T ϕ(c) în L λ (C). Lemă 2.2 Dacă T este o teorie consistentă în L, atunci T este consistentă şi în L(C). Presupunem prin absurd că T nu este consistentă în L λ (C). Deci există ϕ(c 1,..., c n ) în L λ (C) astfel încât T ϕ(c 1,..., c n ) ϕ(c 1,..., c n ), unde c 1,..., c n C. Conform Lemei 2.1, T ( x 1 )... ( x n )(ϕ(x 1,..., x n ) ϕ(x 1,..., x n )), deci T ϕ(x 1,..., x n ) ϕ(x 1,..., x n ) în L λ, ceea ce este o contradicţie cu faptul că T este consistentă în L λ. În continuare vom consid- Numim o teorie închisă o mulţime de enunţuri. era doar teorii închise. Definiţie 2.1 Fie T o teorie consistentă în L(C). T se numeşte teorie Henkin dacă pentru orice formulă ϕ(x) a lui L λ (C) cu cel mult o variabilă liberă x, există c C astfel încât T ( x)ϕ(x) ϕ(c). Observaţie 2.1 Implicaţia T ϕ(c) ( x)ϕ(x) are loc întotdeauna. Lemă 2.3 Fie L şi C astfel încât L, C, L(C) sunt numărabile. Dacă T este o teorie consistentă în L, atunci există o teorie Henkin T în L(C) astfel încât T T. Fie C = (c n ) n<ω o enumerare a lui C cu c n c m, pentru orice n m. Fie (ϕ n (x n )) n<ω o enumerare a formulelor lui L λ (C) cu cel mult o variabilă liberă. Construim prin inducţie: un şir de teorii (T n ) n<ω ale lui L λ (C) cu T 0 = T şi un şir de constante (e n ) n<ω din C cu proprietăţile: 3
4 (i) T n consistentă în L λ (C) (ii) T n+1 = T n {( x n )ϕ n (x n ) ϕ n (e n )}, unde e n este o constantă din C ce nu apare în T n şi x n = { variabilă liberă a lui ϕn, dacă există orice variabilă, dacă ϕ n nu are variabile libere Vom lua definiţia prin recurenţă a teoriilor T n ca fiind dată de (ii). Rămâne să arătăm că dacă T n este consistentă, atunci şi T n+1 este consistentă. Presupunem prin absurd că T n {( x n )ϕ n (x n ) ϕ n (e n )} este inconsistentă în L λ (C). Deci T n (( x n )ϕ n (x n ) ϕ n (e n )), echivalent cu T n ( x n )ϕ n (x n ) ϕ n (e n ), deci T n ( x n )ϕ n (x n ) şi T n ϕ n (e n ). Conform Lemei 2.1, T ( x n ) ϕ n (x n ), de unde obţinem că T n ( x n )ϕ n (x n ), ceea ce este o contradicţie cu faptul că T n este consistentă. Fie T = n<ω T n. Se verifică uşor că T este consistentă. Să arătăm că T este o teorie Henkin. Fie ϕ(x) în L λ (C) cu cel mult o variabilă liberă x. Deci există n cu ϕ(x) = ϕ n (x n ). Avem ( x)ϕ(x) ϕ(e n ) = ( x n )ϕ n (x n ) ϕ n (e n ) T n+1 T. Atunci T ( x)ϕ(x) ϕ(e n ) şi deci T este o teorie Henkin. Lemă 2.4 Dacă T este o teorie Henkin şi T este o teorie consistentă astfel încât T T, atunci şi T este o teorie Henkin. Fie Σ o teorie maximală consistentă care este şi teorie Henkin în L(C). Considerăm pe mulţimea C următoarea relaţie binară: c d c = d Σ Σ c = d. Lemă 2.5 este o relaţie de echivalenţă. Vom considera mulţimea cât A = C/ şi vom nota cu c clasa de echivalenţă a lui c C în raport cu. Lemă 2.6 Fie t(x 1,..., x n ) un termen al lui L şi c 1,..., c n C. Atunci ( x)(t(c 1,..., c n ) = x) în L(C). 4
5 Fie ϕ(x) formula t(c 1,..., c n ) = x din L(C). Atunci avem următoarele: ϕ(t(c 1,..., c n )) ( x)ϕ(x) t(c 1..., c n ) = t(c 1,..., c n ) ( x)(t(c 1,..., c n ) = x) t(c 1..., c n ) = t(c 1,..., c n ) ( x)(t(c 1,..., c n ) = x) Lemă 2.7 Fie t(x 1,..., x n ) un termen al lui L şi c 1,..., c n C. Atunci există d C astfel încât Σ t(c 1,..., c n ) = d. Conform Lemei 2.6, ( x)t(c 1,..., c n ) = x. Cum Σ este o teorie Henkin, există d C astfel încât Σ ( x)t(c 1,..., c n ) = x t(c 1,..., c n ) = d, deci Σ t(c 1,..., c n ) = d prin modus ponens. Vom organiza A ca o structură pentru L(C): Fie f un simbol de operaţie n-ară. Definim operaţia n-ară f A pe A prin: f A ( c 1,..., c n ) = d Σ f(c 1,..., c n ) = d. Conform Lemei 2.7, pentru orice c 1,..., c n C există d C astfel încât Σ f(c 1,..., c n ) = d. Se arată cu uşurinţă că f A este bine definită. Fie R un simbol de relaţie n-ară. Definim relaţia n-ară R A pe A prin: R A = {( c 1,..., c n ) Σ R(c 1,..., c n )}. Se arată cu uşurinţă că R A este bine definită. Fie d o constantă a lui L. Conform Lemei 2.7, există c C astfel încât Σ d = c. Definim d A = c Σ d = c. Definiţia lui d A este corectă. Dacă c C, atunci definim c A = c. În acest fel am obţinut o structură A a limbajului L(C). Lemă 2.8 Dacă t(x 1,..., x n ) este un termen şi c 1,..., c n C, atunci t A ( c 1,..., c n ) = c Σ t(c 1,..., c n ) = c. 5
6 Demonstrăm prin inducţie după modul de formare al termenului t. Considerăm doar cazul când t este de forma f(t 1 (x 1,..., x n ),..., t m (x 1,..., x n )), restul cazurilor fiind evidente din definiţia lui A. Presupunem că echivalenţa este adevărată pentru t 1,..., t m. Conform Lemei 2.7 există d 1,..., d m C astfel încât Σ t i (c 1,..., c n ) = d i, pentru 1 i m. Din ipoteza de inducţie obţinem că t A i ( c 1,..., c n ) = d i, pentru 1 i m. Atunci avem următoarele echivalenţe: t A ( c 1,..., c n ) = c f A (t A 1 ( c 1,..., c n ),..., t A m( c 1,..., c n )) = c f A ( d 1,..., d m ) = c Σ f(d 1,..., d n ) = c Σ f(t 1 (c 1,..., c n ),..., t m (c 1,..., c n )) = c Σ t(c 1,..., c n ) = c. Propoziţie 2.1 Pentru orice formulă ϕ(x 1,..., x n ) din L şi pentru orice c 1,..., c n C avem A = ϕ[ c 1,..., c n ] Σ ϕ(c 1,..., c n ). Vom arăta prin inducţie după modul de formare al formulei ϕ: ϕ este de forma t 1 (x 1,..., x n ) = t 2 (x 1,..., x n ) Conform Lemei 2.7 există d i C astfel încât Σ t i (c 1,..., c n ) = d i, unde 1 i 2. Aplicând Lema 2.8 obţinem t A i ( c 1,..., c n ) = d A i, pentru 1 i 2. În acest caz avem: A = ϕ[ c 1,..., c n ] t A 1 ( c 1,..., c n ) = t A 2 ( c 1,..., c n ) d A 1 = d A 2 d 1 = d 2 Σ d 1 = d 2 Σ t 1 (c 1,..., c n ) = t 2 (c 1,..., c n ) Σ ϕ(c 1,..., c n ). ϕ este de forma R(t 1,..., t m ), cu t i = t i (x 1,..., x n ), unde 1 i m. Conform Lemei 2.7 există d i C astfel încât Σ t i (c 1,..., c n ) = d i, 1 i m. Aplicând Lema 2.8 obţinem t A i ( c 1,..., c n ) = d A i, pentru 1 i m. Atunci: A = ϕ[ c 1,..., c n ] (t A 1 ( c 1,..., c n ),..., t A m( c 1,..., c n )) R A ( d 1,..., d m ) R A Σ R(d 1,..., d m ) Σ R(t 1 (c 1,..., c n ),..., t m (c 1,..., c n )) Σ ϕ(c 1,..., c n ). 6
7 ϕ este de forma ψ(x 1,..., x n ) Din ipoteza de inducţie ştim că A = ψ[ c 1,..., c n ] Σ ψ(c 1,..., c n ) ψ(c 1,..., c n ) Σ. Atunci A = ϕ[ c 1,..., c n ] A / = ψ[ c 1,..., c n ] Σ/ ψ(c 1,..., c n ) ψ(c 1,..., c n ) / Σ = ψ(c 1,..., c n ) Σ ϕ(c 1,..., c n ) Σ. Am folosit faptul că Σ este maximal consistentă. ϕ este de forma ψ χ. Demonstraţia rezultă imediat din ipoteza de inducţie. ϕ este de forma ( x)ψ(x, x 1,..., x n ) Avem următoarele echivalenţe: A = ϕ[ c 1,..., c n ] există c A astfel încât A = ψ[ c, c 1,..., c n ] există c A astfel încât Σ ψ(c, c 1,..., c n ) Σ ( x)ψ(x, c 1,..., c n ) Σ ϕ(c 1,..., c n ). În demonstraţie am folosit faptul că Σ este teorie Henkin. Observaţie 2.2 Conform Propoziţiei 2.1, pentru orice enunţ ϕ L λ (C), A = ϕ ϕ Σ. Atunci A = Σ. A construit anterior se numeşte modelul Henkin asociat teoriei Σ şi se notează A Σ. Teoremă 2.1 Dacă T este o teorie consistentă în L, atunci ea admite un model. Fie T o teorie consistentă în L. Fie C o mulţime de constante noi cu C = L. Conform Lemei 2.3, există o teorie Henkin T în L(C) astfel încât T T. Fie Σ o teorie maximală consistentă a lui L(C) cu T Σ. Conform Lemei 2.4, Σ este teorie Henkin. Considerăm modelul Henkin A Σ asociat lui Σ. Conform Propoziţiei 2.1, pentru orice ϕ(x 1,..., x n ) L λ si c 1,..., c n C avem A Σ = ϕ[ c 1,..., c n ] ϕ(c 1,..., c n ) Σ. Cum T Σ, rezultă că A = T. 7
8 Teoremă 2.2 (Teorema de completitudine tare) Pentru orice teorie Σ şi orice ϕ, Σ ϕ Σ = ϕ. Implicaţia de la stânga la dreapta se demonstrează cu uşurinţă prin inducţie după definiţia lui Σ ϕ. Pentru cealaltă implicaţie, presupunem prin absurd că Σ / ϕ. Deci Σ { ϕ} este consistentă. Conform Teoremei 2.1 există o structură A astfel încât A = Σ { ϕ}. Atunci A = Σ şi A =/ ϕ, în concluzie Σ =/ ϕ, ceea ce este o contradicţie. Corolar 2.1 (Teorema de completitudine) ϕ = ϕ. În Teorema 2.2 considerăm Σ =. 3 Demonstraţia prin metoda Rasiowa-Sikorski Fie B o algebră Boole oarecare şi (x i ) i I o familie oarecare de elemente ale lui B. Lemă 3.1 Presupunem că există în B infimumul i I x i al familiei (x i ) i I. În acest caz, există în B supremumul familiei ( x i ) i I şi este dat de x i. i I x i = i I Lemă 3.2 Dacă în B există i I x i, atunci în B există i I x i şi este dat de i I x i = i I Cele două leme de mai sus reprezintă generalizarea legilor lui de Morgan pentru algebre Boole. x i. 8
9 Definiţie 3.1 O algebră Boole B se numeşte completă dacă pentru orice familie (x i ) i I de elemente ale lui B există i I x i şi i I x i. Propoziţie 3.1 Sunt echivalente următoarele afirmaţii: (i) B este o algebră Boole completă. (ii) Orice familie (x i ) i I de elemente ale lui B admite supremum. (iii) Orice familie (x i ) i I de elemente ale lui B admite infimum. Propoziţie 3.2 (Rasiowa-Sikorski) Fie B o algebră Boole şi A n = {x ni i N}, n N, un şir de submulţimi numărabile ale lui B, astfel încât pentru orice n N există următorul infimum a n = x ni. i N În aceste condiţii, pentru orice y B, y 0, există un ultrafiltru F al lui B, astfel încât y F şi pentru orice n N avem Deci x ni F, pentru orice i N a n F. Vom construi prin inducţie un şir din B b 1, b 2,..., b n,... astfel încât: (1) b n A n, pentru orice n N (2) y (a 1 b 1 )... (a n b n ) 0, pentru orice n N. Presupunem prin absurd că pentru orice b A 1 avem y (a 1 b) = 0. (y a 1 ) (y b) = 0 de unde rezultă y a 1 = 0 şi y b = 0, pentru orice b A 1. Avem egalităţile b = (y b) b = (y b) ( b b) = (y b) 1 = y b, de unde rezultă y b, pentru orice b A 1. Aceasta nu înseamnă altceva decât că y i N x 1i = a 1. Rezultă y = y a 1 = 0, ceea ce este o contradicţie. Deci va exista b 1 A 1 astfel încât y (a 1 b 1 ) 0. Deci (1) şi (2) au fost verificate pentru n = 1. Presupunem că am găsit elementele b 1,..., b n B astfel încât: 9
10 (1 ) b 1 A 1,..., b n A n (2 ) y (a 1 b 1 )... (a n b n ) 0. Presupunem prin absurd că pentru orice b A n+1 avem y (a 1 b 1 )... (a n b n ) (a n+1 b n+1 ) = 0. Notând z = y (a 1 b 1 )... (a n b n ) 0, avem z (a n+1 b) = 0. Prin acelaşi raţionament ca mai sus, cu z în locul lui y, rezultă contradicţia z = 0. Deci există b n+1 A n+1 astfel încât y (a 1 b 1 )... (a n b n ) (a n+1 b n+1 ) 0. Cu aceasta inducţia este terminată. Considerăm următoarea mulţime: M = {y, y (a 1 b 1 ),..., y (a 1 b 1 )... (a n b n ),...}. M este un şir descrescător: y y (a 1 b 1 )... y (a 1 b 1 )... (a n b n )... Filtrul lui B generat de M este: (M) = {x B există z 1,..., z m M, z 1... z m x}. Vom arăta că (M) este filtru propriu. Presupunând prin absurd că (M) nu ar fi propriu, am avea 0 (M), deci ar exista z 1,..., z m M astfel încât z 1... z m = 0. Cum elementele lui M formează un şir descrescător, vom putea ordona mulţimea {z 1,..., z n }: z i1 z i2... z im. Se subînţelege că z i1, z i2,..., z im sunt elementele z 1,..., z m în altă înşiruire, deci 0 = z 1... z m = z i1 z i2... z im = z i1. Conform (2), toate elementele lui M sunt nenule, deci z i1 0. Contradicţia este evidentă, deci (M) este propriu. Vom putea atunci considera un ultrafiltru F al lui B astfel încât y M (M) F. Pentru orice n N avem y (a 1 b 1 )... (a n b n ) F a n b n F, conform definiţiei filtrului. Rezultă a n b n F, pentru orice n N. 10
11 Cum orice ultrafiltru este filtru prim, rezultă că a n F sau b n F. Dacă x ni F, pentru orice i N, atunci în particular b n F, deci nu putem avea b n F, deoarece F este propriu. Vom avea deci a n F. Demonstraţia este terminată, cealaltă implicaţie fiind evidentă. Forma duală a teoremei Rasiowa-Sikorski este următoarea: Propoziţie 3.3 Fie B o algebră Boole şi A n = {x ni }, n N un şir de submulţimi numărabile ale lui B, astfel încât pentru orice n N există a n = x ni. i N În aceste condiţii, pentru orice y B, y 0, există un ultrafiltru F al lui B astfel încât y F şi pentru orice n N avem: a n F există i N, astfel încâtx ni F. Fie şirul de submulţimi ale lui B A n = { x ni i N}, n N. Conform Lemei 3.2 există a n = i N x ni = i N x ni = a n. Aplicând Propoziţia precedentă, va exista un ultrafiltru F al lui B astfel încât y F şi pentru orice n N să avem: x ni F, pentru orice i N a n F. Pentru orice n N, avem următoarele echivalenţe: a n F a n = a n / F există i N, astfel încât x ni / F există i N, astfel încâtx ni F. Teoremă 3.1 (Teorema de completitudine) = ϕ ϕ. 11
12 Presupunem că / σ. Vom arăta că există o structură A astfel încât A =/ σ, unde σ este închiderea lui σ. Va rezulta că σ nu este universal adevărată ( =/ σ), deci demonstraţia va fi terminată cu aceasta. Conform Lemei A.3 avem / σ. În algebra Lindenbaum-Tarski F/ acest fapt se exprimă prin σ 1, deci σ = σ 0. Pentru orice formulă ϕ(x) a lui L λ este validă relaţia: (i) ( x)ϕ(x)= { ϕ(v) v V } Cum mulţimea formulelor lui L λ este numărabilă, în (i) avem o mulţime numărabilă de infimumuri. Aplicând teorema Rasiowa-Sikorski rezultă existenţa unui ultrafiltru al lui F/ astfel încât σ şi pentru orice formulă ϕ(x) a lui L λ avem: (ii) ( x)ϕ(x) ϕ(v), pentru orice v V Definim pe V următoarea relaţie binară : x y x = y Se arată cu uşurinţă că este o relaţie de echivalenţă pe V. A = V/ şi cu x clasa de echivalenţă a lui x V. Pentru orice simbol de relaţie n-ar R, definim pe A relaţia R prin: ( ) ( x 1,..., x n ) R n R n (x 1,..., x n ) Notăm cu Faptul că definiţia de mai sus nu depinde de reprezentanţi rezultă imediat. Prin inducţie asupra modulului de formare a formulelor lui L λ vom arăta că pentru fiecare formulă ϕ(x 1,..., x n ) a lui L λ este valabilă relaţia: ( ) pentru orice v 1,..., v n V. A = ϕ[ v 1,..., v n ] ϕ(v 1,..., v n ), Pentru formule atomice, relaţia ( ) este chiar relaţia ( ). Dacă ϕ = ψ(x 1,..., x n ), atunci: A = ϕ[ v 1,..., v n ] A =/ ψ[ v 1,..., v n ] ψ(v 1,..., v n )/ 12
13 ψ(v 1,..., v n ) ϕ(v 1,..., v n ) Dacă ϕ = ψ 1 ψ 2, atunci: A = ϕ[ v 1,..., v n ] A = ψ 1 [ v 1,..., v n ] şi A = ψ 2 [ v 1,..., v n ] ψ 1 (v 1,..., v n ) şi ψ 2 (v 1,..., v n ) ψ 1 (v 1,..., v n ) ψ 2 (v 1,..., v n ) ψ 1 (v 1,..., v n ) ψ 2 (v 1,..., v n ) ϕ(v 1,..., v n ) Presupunem că ϕ = ( x)ψ(x, x 1,..., x n ). Din (ii) deducem: ( x)ϕ(x) = (( x) ϕ(x)) ( x) ϕ(x)/ există v V astfel încât există v V astfel încât ϕ(x)/ ϕ(x) Atunci: A = ϕ[ v 1,..., v n ] există v A astfel încât A = ψ[ v, v 1,..., v n ] există v A astfel încât ψ(v, v 1,..., v n ) xψ(x, v 1,..., v n ) ϕ(v 1,..., v n ) Cu aceasta relaţia ( ) a fost demonstrată. Din relaţia ( ) şi din faptul că σ, rezultă A = σ, deci A =/ σ. Am arătat că σ nu este validă în A, deci =/ σ. Astfel teorema a fost demonstrată. 13
14 4 Demonstraţia prin forcing Fie L un limbaj de ordinul I numărabil, C o mulţime numărabilă de constante noi şi L(C) limbajul numărabil obţinut prin adăugarea constantelor din C la L. Notăm cu F orm(l) mulţimea formulelor lui L(C). Definiţie 4.1 O proprietate forcing este un triplet P = (P,, f) astfel încât: (i) (P, ) este o mulţime parţial ordonată cu 0 (ii) f este o funcţie de la P în mulţimea enunţurilor atomice din L(C) (iii) p q f(p) f(q) (iv) pentru orice termeni t, t din L(C) şi orice p P avem: (t = t ) f(p) există q p, t = t f(q) (t = t ), ϕ(t) f(p), ϕ(t) atomică există q p, ϕ(t ) f(q) există c C si q p, t = c f(q) Elementele lui P se numesc condiţii. Definiţie 4.2 Pentru orice proprietate forcing P = (P,, f), definim relaţia forcing, P F, prin: (a) ϕ atomică: p ϕ ϕ f(p) (b) p = ϕ pentru orice q p, q / ϕ (c) p ϕ ψ p ϕ şi p ψ (d) p ( x)ϕ există c C, p ϕ(c) Definiţie 4.3 G P se numeşte mulţime generică dacă: (i) p G, q p q G (ii) p, q G există r G, p, q r (iii) pentru orice ϕ F, există p G astfel încât p ϕ sau p ϕ Definiţie 4.4 O mulţime generică G generează modelul M dacă ϕ F, p G si p ϕ M = ϕ 14
15 Modelul M este generic pentru p P dacă M este generat de o mulţime generică ce conţine p. Modelul M este generic dacă este generat de o mulţime generică pentru 0. Fie în continuare P = (P,, f) o proprietate forcing. Lemă 4.1 Orice p P aparţine unei mulţimi generice G. Fie ϕ 0, ϕ 1, ϕ 2,... o enumerare o formulelor lui L(C). condiţii p 0 p 1 p 2... astfel: Definim un şir de p 0 = p presupunem definite p 1... p n : dacă p n ϕ n, luăm p n+1 = p n dacă p n / ϕ n, există q p n cu q ϕ n şi p n+1 va fi un astfel de q Mulţimea G = {q P există n, q p n } este generică şi p G. Lemă 4.2 Fiecare mulţime generică G generează un model. Notăm T = {ϕ L(C) există p G, p ϕ}. T are următoarele proprietăţi: (1) (t = t ) T (t = t) T Dacă (t = t ) T, atunci există p G astfel încât p t = t. Cum G este generică, înseamnă că există q G astfel încât q t = t sau q (t = t). Cum există r G, p, q r, avem r t = t şi (r t = t sau r (t = t)). Dacă r (t = t), atunci pentru orice r 1 r, r 1 / t = t, ceea ce nu este posibil. (2) (t = t ) T, ϕ(x) formula atomică şi ϕ(t) T ϕ(t ) T (3) pentru orice t termen din L(A), există c C astfel încât (c = t) T (4) pentru orice formulă ϕ, exact una din formulele ϕ sau ϕ este în T Fie ϕ o formulă din L(C). Atunci există p G cu p ϕ sau p / ϕ, deci ϕ T sau ϕ T. Dacă ϕ T şi ϕ T, atunci există p 1, p 2 G, p 1 ϕ, p 2 ϕ. Luând p G cu p 1, p 2 p, avem p ϕ şi p ϕ, ceea ce este o contradicţie. 15
16 (5) ϕ ψ T ϕ, ψ T (6) ( x)ϕ(x) T există c C, ϕ(c) T Pe mulţimea C introducem următoarea relaţie: c d (c = d) T Din (1) şi (2) rezultă că este o relaţie de echivalenţă. Fie a c clasa de echivalenţă a lui c C şi M = {a c c C}. dacă f este un simbol de funcţie n-ar, atunci definim f M : M n M prin f M (a c1,..., a cn ) = a c (f(c 1,..., c n ) = c) T dacă R este un simbol de relaţie n-ar, atunci definim R M M n prin R M (a c1,..., a cn ) R(c 1,..., c n ) T Conform (2) şi (3), definiţiile de mai sus sunt corecte. Interpretările constantelor se definesc folosind (3). M este înzestrată cu o structură pentru L(C) în care fiecare constantă c C este interpretată prin a c. Aratăm că pentru orice ϕ F, ( ) M = ϕ ϕ T Afirmaţia ( ) se demonstrează prin inducţie după ϕ. ϕ atomic: din definiţia lui M ϕ = ψ: M = ϕ M =/ ψ ψ / T ipoteza de inducţie ψ T din (4) cazurile când ϕ = ψ 1 ψ 2 si ϕ = ( x)ψ se demonstrează similar folosind (5) şi (6). Modelul M construit mai sus are proprietatea: pentru orice formulă ϕ din L(C), M = ϕ există p G, p ϕ 16
17 Teoremă 4.1 (Teorema modelului generic) Dacă P este o proprietate forcing şi p P, atunci există un model generic pentru p. Rezultă imediat din Lemele 4.1 şi 4.2. Să considerăm în continuare: P = mulţimea mulţimilor consistente finite din L(C) f(p) enunţurile atomice din p Atunci P = (P,, f) este o proprietate forcing. Lemă 4.3 Pentru orice p P şi ϕ L(C), avem: p {ϕ} P există q p, q ϕ Demonstrăm prin inducţie după structura lui ϕ: ϕ atomic: din definiţia forcingului ϕ = ψ: Conform ipotezei de inducţie asupra lui ψ avem că pentru orice q P, Deci a demonstra q ψ orice r q, r / ψ q {ψ} / P. revine la a stabili echivalenţa: p { ψ} P există q p, q ψ p { ψ} P există q p, q {ψ} / P Presupunem q p, q {ψ} / P, deci ( q ψ). Cum q P, avem / ( q (ψ ψ)), deci / ( g ψ) sau / ( g ψ). Rezultă / ( g ψ), deci q { ψ} P, deci p { ψ} P. Presupunem q = p { ψ} P. Atunci este evident că q {ψ} = p {ψ, ψ} / P. 17
18 ϕ = ψ 1 ψ 2 : q p, q ψ 1 ψ 2 q p, q ψ 1 si q ψ 2 p {ψ 1 }, p {ψ 2 } P / ( p ψ 1 ) si / ( p ψ 2 ) / ( p (ψ 1 ψ 2 )) p {ψ 1 ψ 2 } P ϕ = ( x)ψ(x): q p, q ϕ există c C, q ψ(c) există c C, p {ψ(c)} P / ( p ψ(c)) / ( p ( x)ψ(x)) p {( x)ψ(c)} P p {( x)ψ(x)} P există c C, p {( x)ψ(c)} {ψ(c)} P există c C, există q p {( x)ψ(c)}, q ψ(c) există q p, q ( x)ψ(x) Teoremă 4.2 (Teorema de completitudine) = ϕ ϕ Presupunem / ϕ, deci { ϕ} este consistentă. Considerând proprietatea forcing descrisă mai sus, obţinem { ϕ} P. Din Lema 4.3 rezultă că există q P astfel încât q ϕ şi ϕ q. Aplicând Teorema 4.1, găsim un model M generic pentru q. Deci M = ϕ, adică M =/ ϕ, ceea ce este o contradicţie. 5 Demonstraţia prin proprietăţi de consistenţă Fie L un limbaj de ordinul I numărabil, C o mulţime numărabilă de constante noi şi L(C) limbajul numărabil obţinut prin adăugarea constantelor din C la L. Un termen primitiv al lui L(C) este un termen de forma f(c 1,..., c n ), unde f este un simbol de operaţie n-ar şi c i C, orice i 1, n. 18
19 Definiţie 5.1 Oricărei formule ϕ din L îi asociem o nouă formulă ϕ definită astfel: dacă ϕ este atomică, atunci ϕ = ϕ ( ϕ) = ϕ (ϕ ψ) = ϕ ψ (ϕ ψ) = ϕ ψ (( x)ϕ) = ( x) ϕ Propoziţie 5.1 ϕ ϕ Definiţie 5.2 Fie S o familie de mulţimi de formule din L(C). Atunci S se numeşte proprietate de consistenţă dacă pentru orice Γ S, următoarele aserţiuni sunt adevărate, pentru orice formule ϕ, ψ din L(C): (C0) dacă Γ, atunci S (C1) ϕ Γ sau ϕ Γ (C2) dacă ϕ Γ, atunci Γ {ϕ } S (C3) dacă ϕ ψ Γ, atunci Γ {ϕ} S şi Γ {ψ} S (C4) dacă ϕ ψ Γ, atunci Γ {ϕ} S sau Γ {ψ} S (C5) dacă ( x)ϕ Γ, atunci pentru orice c C, Γ {ϕ(c)} S (C6) dacă ( x)ϕ Γ, atunci există c C, Γ {ϕ(c)} S (C7) dacă c, d C si (c = d) Γ, atunci Γ {d = c} S (C8) dacă c C, t termen primitiv, (c = t) Γ şi ϕ((t) Γ, atunci Γ {ϕ(c)} S (C9) pentru orice termen primitiv t, există c C astfel încât Γ {c = t} S Lemă 5.1 Dacă S satisface condiţiile (C1)-(C9), atunci S = {Γ Γ, S} satisface condiţiile (C0)-C(9). Definiţie 5.3 Fie S o proprietate de consistenţă. O funcţie f : S S este admisibilă peste S dacă pentru orice Γ S următoarele condiţii sunt satisfăcute: (i) Γ f(γ) 19
20 (ii) c C c apare în ϕ f(γ) = {c C c apare în ϕ Γ} + m, pentru m < ω Teoremă 5.1 (Teorema de existenţă a unui model) Fie S o proprietate de consistenţă şi < f α α < F orm(l) > o familie de funcţii admisibile peste S. Atunci pentru orice Γ S, există un model (A, a c ) c C al lui Γ ce satisface condiţiile: (i) A = {a c c C} şi A F orm(l) (ii) pentru orice α < F orm(l), există S astfel încât Γ f α ( ) {ϕ (A, c C ) = ϕ} Presupunem ω = F orm(l) si Γ S. Definim o secvenţă < Θ α α ω >. Fie Θ 0 = Γ. Presupunem că Θ α S a fost definit, pentru α < ω şi construim Θ α+1 astfel: Θ α = Θ α, dacă Θ α {ϕ α } / S Θ α = Θ α {ϕ α }, altfel Θ α = Θ α {ϕ s }, dacă Θ α {ϕ α } S, ϕ α = ϕ s ϕ t şi Θ α {ϕ s S} Θ α = Θ α {ϕ t }, dacă Θ α {ϕ α } S, ϕ α = ϕ s ϕ t şi Θ α {ϕ s / S} Θ α = Θ α, altfel = Θ α {ψ(c)}, dacă Θ α {ϕ α } S, ϕ α = ( α)ψ şi c este cel mai mic membru al lui C astfel încât Θ α {ϕ α, ψ(c)} S Θ α Θ α = Θ α, altfel Θ iv α = Θ α {c = τ α }, unde c este cel mai mic element din C astfel încât Θ α {c = τ α } S Θ α+1 = f α (Θ iv α ) Evident Θ α+1 S. În final, luăm Θ = α<ω Θ α. Rezultă imediat că Θ S. Pentru orice formule ϕ, ψ din L(C) avem următoarele condiţii îndeplinite: (1) ϕ / Θ sau ϕ / Θ (2) dacă ϕ Θ, atunci ϕ Θ (3) dacă ϕ ψ Θ, atunci ϕ, ψ Θ (4) dacă ϕ ψ Θ, atunci ϕ Θ sau ψ Θ 20
21 (5) dacă ( x)ϕ Θ, atunci pentru orice c C, ϕ(c) Θ (6) dacă ( x)ϕ Γ, atunci există c C, ϕ(c) Θ (7) dacă c, d C şi (c = d) Θ, atunci d = c Θ (8) dacă c C, t termen primitiv, (c = t) Θ şi ϕ((t) Θ, atunci ϕ(c) Θ (9) pentru orice termen primitiv t, există c C astfel încât c = t Θ (10) pentru orice α < ω, există S astfel încât Γ f α ( ) Θ Toate aceste condiţii se demonstrează cu uşurinţă. De exemplu, să presupunem că ϕ, ϕ Θ. Atunci există α < ω astfel încât ϕ, ϕ Θ α, ceea ce contrazice Θ α S. Considerăm următoarea relaţie binară pe C: pentru orice c, d C c d c = d Θ (11) este o relaţie de echivalenţă pe C Afirmaţia (11) se arată cu uşurinţă folosind punctele (7), (8). (12) Dacă ϕ(v 1,..., v m ) este o formulă din L(C), c 1,..., c m C, d 1,..., d m D astfel încât c i d i, pentru orice 1 i m, şi ϕ(c 1,..., c m ) Θ, atunci ϕ(d 1,..., d j, c j+1,..., c m ) Θ, pentru orice j m. Demonstrăm (12) prin inducţie după j. Cazul j = 0 este trivial. Presupunem afirmaţia (12) adevărată pentru j, cu j + 1 m şi că ϕ(c 1,..., c m ) Θ. Din ipoteza de inducţie obţinem că ϕ(d 1,..., d j 1, c j,..., c m ) Θ. Fie ψ formula ϕ(d 1,..., d j 1, v, c j+1,..., c m ). Atunci d j = c j Θ (din (7)) şi ψ(c j /v) Θ. Din (8) rezultă ϕ(d 1,..., d j, c j+1,..., c m ) Θ. Dacă în (12) considerăm j = m obţinem următoarea proprietate a lui Θ: (13) Dacă ϕ(v 1,..., v m ) este o formulă din L(C), c 1,..., c m C, d 1,..., d m D astfel încât c i d i, pentru orice 1 i m, şi ϕ(c 1,..., c m ) Θ, atunci ϕ(d 1,..., d m ) Θ. Fie A = C/. Definim o structură A pentru L, având universul A. Notăm cu [c] clasa de echivalenţă a lui c în raport cu. Dacă f este un simbol de operaţie n-ar, definim: f (A) ([c 1 ],..., [c n ]) = [d] d = f(c 1,..., c n ) Θ Dacă R este un simbol de relaţie n-ar, definim: ([c 1 ],..., [c n ]) R A R(c 1,..., c n ) Θ 21
22 Fie A = (A, [c]) c C. În final arătăm că pentru orice formulă ϕ din L(C) avem următoarea proprietate: (14) Dacă ϕ Θ, atunci A = ϕ, şi dacă ϕ Θ, atunci A = ϕ. Demonstrăm cele două proprietăţi prin inducţie după structura lui ϕ: Dacă ϕ este o formulă atomică, atunci proprietăţile se arată printr-o nouă inducţie după numărul de simboluri de operaţii din ϕ. Presupunem că proprietăţile sunt adevărate pentru ϕ şi să arătăm că sunt adevărate şi pentru ϕ. Este suficient să arătăm că dacă ϕ Θ, atunci A = ϕ. Din (2), ( ϕ) Θ, i.e. ϕ Θ, deci A = ϕ din ipoteza de inducţie. Presupunem că (14) este adevărată pentru ϕ şi ψ. Întâi presupunem că ϕ ψ Θ. Din (3), ϕ, ψ Θ, rezultă din ipoteza de inducţie că A = ϕ, A = ψ, deci A = ϕ ψ. Acum presupunem că (ϕ ψ) Θ. Din (2) obţinem că (ϕ ψ) Θ, i.e. ϕ ψ Θ. Din (4), ϕ Θ sau ψ Θ, deci din ipoteza de inducţie A = ϕ sau A = ψ, deci A = (ϕ ψ). Presupunem că ( x)ϕ Θ. Din (5), ϕ(c) Θ, pentru orice c C. Din ipoteza de inducţie obţinem că A = ϕ(c), pentru orice c C, deci A = ( x)ϕ. Dacă ( x)ϕ Θ, din (2) avem (( x)ϕ) Θ, i.e. ( x) ϕ Θ. Din (6) există c C astfel încât ϕ(c) Θ. Din ipoteza de inducţie obţinem A = ϕ(c), deci A = ( x)ϕ. Cum Γ Θ, din (14) rezultă că A = Γ. Evident A are forma (A, [c]) c C, cu A = {[c] c C}. Dacă α ω, din (10) şi (14) rezultă că există S astfel încât Γ f α ( ) Θ {ϕ A = ϕ}. Folosind Lema 5.1, obţinem cea mai simplă formă a teoremei de existenţă a unui model: Corolar 5.1 Dacă F orm(l) = ℵ 0 şi S o familie de mulţimi de formule din L(C) ce satisface condiţiile (C1)-(C9) din Definiţia 5.2, atunci orice Γ S are un model (A, a c ) c C, cu A = {a c c C}. Propoziţie 5.2 Fie S mulţimea tuturor mulţimilor consistente Γ de formule din L(C) cu proprietatea că c C c apare în ϕ Γ < C. Atunci S este o proprietate de consistenţă. Fie Γ S. Se verifică cu uşurinţă condiţiile (C0)-(C9) pentru Γ. Să arătăm, de exemplu, (C9). Alegem c C astfel încât c nu apare în termenul t şi nici 22
23 în Γ. Dacă Γ {c = t} / S, atunci Γ (c = t). Dacă în demonstraţie lui (c = t) din Γ, înlocuim c cu o variabilă nouă x, obţinem Γ (x = t), deci Γ x (x = t). Obţinem Γ (t = t), deci Γ este inconsistentă, ceea ce este o contradicţie. Teoremă 5.2 (Teorema de completitudine) = ϕ ϕ Presupunem că / ϕ şi obţinem că { ϕ} este consistentă. Aplicăm Teorema 5.1 pentru proprietatea de consistenţă dată de Propoziţia 5.2 şi găsim un model A astfel încât A = ϕ, deci A =/ ϕ. 6 Comparaţie între cele patru demonstraţii Fiecare din cele patru demonstraţii prezentate mai sus este, în primul rând, o metodă de a construi modele ale teoriilor de ordinul I. La nivelul observaţiei directe, cele patru demonstraţii au parţi asemănătoare. Ar fi interesant de studiat în ce măsură această substanţă comună poate căpăta o formă matematică (de exemplu, dacă se obţin modele izomorfe). În acest sens, menţionăm două paralele între demonstraţiile anterioare: Se observă o strânsă legătură între demonstraţia lui Henkin şi demonstraţia Rasiowa-Sikorski. În primul rând se observă că noţiunea de Q-ultrafiltru poate fi privită ca o algebrizare a teoriilor Henkin maximale consistente. Lema Rasiowa-Sikorski este corespondentul rezultatului prin care orice teorie consistentă se scufundă într-o teorie Henkin maximală consistentă, iar construcţiile modelelor în cele două demonstraţii au numeroase elemente de similaritate. Un rezultat al lui Lablanquie stabileşte o corespondenţă între proprietăţile de consistenţă şi forcing: Dacă S este o proprietate de consistenţă, atunci P = (S,, f) este o proprietate forcing, unde f(s) este mulţimea formulelor atomice. dacă s S, ϕ s, atunci s ϕ teorema de existenţă a modelului implică teorema modelului generic Dacă P este o proprietate forcing, atunci S(P) = {s p p P }, s p {ϕ p ϕ}, este o proprietate de consistenţă. 23
24 A Sistemul formal al calculului cu predicate A.1 Sintaxă Definiţie A.1 O structură de ordinul I este de forma A = (A, {f i} i I, {R j} j J, {c k } k K ) unde A este o mulţime nevidă (universul structurii), f i : A n i A este o operaţie n i-ară, pentru orice i I, R j A m j este o relaţie m j-ară pe A, pentru orice j J şi c k A este o constantă, pentru orice k K. Tipul structurii A este λ = ({n i} i I, {m j} j J, 0 k K ). Fiecărei clase de un tip fixat λ îi vom asocia un sistem formal L λ, numit sistemul formal al calculului cu predicate asociat lui λ. Fie λ = ({n i} i I, {m j} j J, 0 k K ) un tip. Alfabetul sistemului L λ este format din următoarele simboluri: o mulţime infinită de variabile V simboluri de operaţii: f i, pentru orice i I simboluri de relaţii: R j, pentru orice j J simboluri de constante: c k, pentru orice k K simbolul de egalitate = conectorii, simbolul de cuantificare universală paranteze Mulţimea termenilor lui L λ se defineşte prin inducţie: a) variabilele şi constantele sunt termeni b) dacă f este un simbol de operaţie n-ară şi t 1,..., t n sunt termeni, atunci f(t 1,..., t n) este termen. Formulele atomice ale lui L λ sunt definite astfel: a) dacă t 1, t 2 sunt termeni, atunci t 1 = t 2 este formulă atomică b) dacă R este un simbol de relaţie n-ar şi t 1,..., t n sunt termeni, atunci R(t 1,..., t n) este o formulă atomică. Formulele lui L λ sunt definite prin inducţie astfel: a) formulele atomice sunt formule b) dacă ϕ este formulă, atunci ϕ este formulă c) dacă ϕ, ψ sunt formule, atunci ϕ ψ este formulă d) dacă ϕ este formulă şi x variabilă, atunci ( x)ϕ este formulă. 24
25 Pe lângă conectorii,, ( x), putem defini următorii conectori: ϕ ψ = ϕ ψ ϕ ψ = (ϕ ψ) ϕ ψ = (ϕ ψ) (ψ ϕ) ( x)ϕ = ( x) ϕ Definim prin inducţie F V (t), mulţimea variabilelor termenului t, astfel: a) dacă t este variabilă x, atunci F V (t) = {x} b) dacă t este constantă c, atunci F V (t) = c) dacă t este de forma f(t 1,..., t n), atunci F V (t) = n i=1 F V (ti). Definim prin inducţie F V (ϕ), mulţimea variabilelor libere din formula ϕ: a) dacă ϕ este de forma t 1 = t 2, atunci F V (ϕ) = F V (t 1) F V (t 2) b) dacă ϕ este de forma R(t 1,..., t n), atunci F V (ϕ) = n i=1 F V (ti) c) dacă ϕ este de forma ψ, atunci F V (ϕ) = F V (ψ) d) dacă ϕ este de forma ψ χ, atunci F V (ϕ) = F V (ψ) F V (χ) e) dacă ϕ este de forma ( x)ψ, atunci F V (ϕ) = F V (ψ) \ {x}. Dacă x F V (ϕ), atunci x se numeşte variabilă liberă a lui ϕ; altfel x se numeşte variabilă legată. O formulă în care nu apare nicio variabilă liberă se numeşte enunţ. Pentru a specifica că x 1,..., x n sunt variabile libere ale unei formule ϕ, vom nota ϕ(x 1,..., x n). Dacă avem o formulă ϕ(x) şi un termen t, formula ϕ(t) obţinută prin substituţia variabilei x cu t se defineşte astfel: dacă y este o variabilă din t, se înlocuieşte y cu o variabilă v care nu apare în ϕ(x) sau în t în toate apariţiile legate ale lui y în t; se înlocuieşte apoi x cu t. Pasul următor în descrierea sintaxei lui L λ este definirea teoremelor sale. Axiomele lui L λ sunt formule care au una din următoarele forme: (A0.1) ϕ (ψ ϕ) (A0.2) (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) (A0.3) ( ϕ ψ) (ψ ϕ) (A1) ( x)(ϕ ψ) (ϕ ( x)ψ), daca x / F V (ϕ) (A2) ( x)ϕ(x, y 1,..., y n) ϕ(t, y 1,..., y n) (A3) x = x (A4) (x = y) (t(v 1,..., x,..., v n) = t(v 1,..., y,..., v n)) (A5) (x = y) (ϕ(v 1,..., x,..., v n) t(v 1,..., y,..., v n)) Axiomele (A0.1)-(A0.3) sunt axiomele calcului propoziţional, iar axiomele (A3)- (A5) poartă numele de axiomele egalităţii. Regulile de deducţie ale sistemului formal L λ sunt: ϕ,ϕ ψ ψ (modus ponens) ϕ ( x)ϕ (generalizarea) 25
26 O demonstraţie formală a unei formule ϕ este un şir finit de formule ϕ 1,..., ϕ n = ϕ astfel încât, pentru orice 1 i n, să fie verificată una din condiţiile următoare: ϕ i este axiomă există j, k < i astfel încât ϕ k = ϕ j ϕ i există j < i astfel încât ϕ i = ( x)ϕ j. Dacă pentru o formulă ϕ există o demonstraţie formală, atunci ϕ se numeşte teoremă a sistemului formal L λ. Notăm cu ϕ faptul că ϕ este o teoremă a lui L λ. Deci mulţimea T a teoremelor lui L λ este obţinută din axiomele lui L λ prin aplicarea celor două reguli de deducţie de mai sus. Fie Σ o mulţime de formule ale lui L λ. Spunem că o formulă ϕ este dedusă din ipotezele Σ dacă există un şir finit de formule ϕ 1,..., ϕ n = ϕ astfel încât, pentru orice 1 i n, este verificată una din condiţiile de mai jos: ϕ este axiomă ϕ Σ există j, k < i astfel încât ϕ k = ϕ j ϕ i există j < i astfel încât ϕ i = ( x)ϕ j. Vom nota cu Σ ϕ faptul că ϕ este dedusă din Σ. Dacă Σ =, atunci este evident că avem ϕ ϕ. Deci teoremele sunt formulele deduse din ipoteza vidă. Lemă A.1 Pentru orice formulă ϕ, avem ϕ ϕ. Lemă A.2 Pentru orice formule ϕ, ψ şi χ, avem (ψ χ) ((ϕ ψ) (ϕ χ)). O formulă deschisă este o formulă care nu conţine niciun cuantificator. Dacă ϕ(x 1,..., x n) este o formulă ale cărei variabile libere sunt x 1,..., x n, atunci prin închiderea lui ϕ(x 1,..., x n) vom inţelege enunţul ( x 1)... ( x n)ϕ(x 1,..., x n). Lemă A.3 Pentru orice formulă ϕ(x 1,..., x n) avem ϕ(x 1,..., x n) ( x 1)... ( x n)ϕ(x 1,..., x n). 26
27 O formulă a lui L λ este teoremă dacă şi numai dacă închiderea ei este o teoremă. Cu alte cuvinte, din punct de vedere al adevărurilor sintactice, este suficient să considerăm enunţurile care sunt teoreme. O mulţime Σ de formule se numeşte inconsistentă dacă Σ ϕ, pentru orice formulă ϕ. În caz contrar, Σ se numeşte consistentă. Propoziţie A.1 Următoarele afirmaţii sunt echivalente: (1) Σ inconsistentă (2) există o formulă ϕ astfel încât Σ ϕ ϕ (3) există o formulă ϕ astfel încât Σ ϕ şi Σ ϕ (4) pentru orice formulă ϕ, Σ (ϕ ϕ) (5) există o formulă ϕ astfel încât Σ (ϕ ϕ). Propoziţie A.2 (i) Σ {ϕ} inconsistentă Σ ϕ (ii) Σ { ϕ} inconsistentă Σ ϕ. O mulţime se numeşte maximală consistentă dacă este un element maximal în mulţimea părţilor consistente ale lui L λ. Propoziţie A.3 Orice mulţime consistentă se scufundă într-o mulţime maximală consistentă. Propoziţie A.4 Fie Σ o mulţime maximală consistentă. următoarele proprietăţi: (1) Σ ϕ ϕ Σ (2) Σ ϕ ψ Σ ϕ sau Σ ψ (3) pentru orice formulă ϕ, avem Σ ϕ sau Σ ϕ. Atunci sunt adevărate Observaţie A.1 Pentru orice formule ϕ, ψ, Σ ϕ ψ Σ ϕ şi Σ ψ. Propoziţie A.5 Dacă Σ este consistentă, atunci sunt echivalente: (1) Σ maximală consistentă (2) pentru orice ϕ, ψ, Σ ϕ ψ Σ ϕ sau Σ ψ (3) pentru orice ϕ, Σ ϕ sau Σ ϕ 27
28 A.2 Algebra Lindenbaum-Tarski Algebra Lindenbaum-Tarski asociată sistemului formal al calculului cu predicate este o algebră Boole obţinută prin factorizarea mulţimii formulelor printr-o relaţie de echivalenţă canonică. Proprietăţile sintactice ale sistemului formal se vor reflecta în proprietăţi algebrice ale algebrei Lindenbaum-Tarski. Pe mulţimea F orm(l λ ) a formulelor sistemului formal L λ considerăm următoarea relaţie ϕ ψ ϕ ψ si ψ ϕ. Conform Lemei A.1, este reflexivă şi conform Lemei A.2 este tranzitivă. Este evident că este simetrică, deci este o relaţie de echivalenţă pe F orm(l λ ). Vom nota cu ϕ clasa de echivalenţă a lui ϕ. Pe mulţimea cât F orm(l λ )/ considerăm următoarele operaţii: ϕ ψ= (ϕ ψ) ϕ ψ= (ϕ ψ) ϕ= ( ϕ) 0 = (ϕ ϕ) 1 = (ϕ ϕ) (F orm(l λ )/,,,, 0, 1) are o structură de algebră Boole şi se numeşte algebra Lindenbaum-Tarski asociată sistemului formal L λ. Propoziţie A.6 Pentru orice formulă ϕ(x) a lui L λ, în algebra Lindenbaum-Tarski F orm(l λ )/, sunt verificate următoarele egalităţi: A.3 Semantica ( x)ϕ(x) = { ϕ(v) v V } ( x)ϕ(x) = { ϕ(v) v V } Fie A o structură corespunzătoare limbajului L λ. Dacă f (respectiv R, c) este un simbol de operaţie (respectiv de relaţie, de constantă), atunci vom nota cu f A (respectiv R A, c A ) operaţia (respectiv relaţia, constanta) corespunzătoare din A. O interpretare (evaluare) a lui L λ în A este o funcţie s : V A. Pentru orice termen t şi pentru orice interpretare s, definim prin inducţie t A (s) A prin: dacă t este variabilă v, atunci t A (s) = s(v) dacă t este constantă c, atunci t A (s) = c A dacă t este de forma f(t 1,..., t n), atunci t A (s) = f A (t A 1 (s),..., t A n (s)). Pentru orice formulă ϕ şi orice interpretare s, definim ϕ(s) = ϕ(s) A L 2 = {0, 1} astfel: pentru formulele atomice: 28
29 { 1, dacă t A dacă ϕ este de forma t 1 = t 2, atunci ϕ(s) = 1 (s) = t A 2 (s) 0, altfel dacă ϕ este de forma R(t 1,..., t n), atunci ϕ(s) = 1 (t A 1 (s),..., t A n (s)) R A pentru formulele oarecare, definim prin inducţie: pentru formulele atomice a fost definit dacă ϕ = ψ, atunci ϕ(s) = ψ(s) dacă ϕ = ψ χ, atunci ϕ(s) = ψ(s) χ(s) dacă ϕ = ( x)ψ, atunci ϕ(s) = a A ψ(sx a), unde sx a : V A este { a, dacă v = x interpretarea definită de s x a(v) = s(v), dacă v x Avem următoarele consecinţe imediate: (ϕ ψ)(s) = ϕ(s) ψ(s) (ϕ ψ)(s) = ϕ(s) ψ(s) (ϕ ψ)(s) = ϕ(s) ψ(s) ( x)ϕ(s) = a A ϕ(sx a) Lemă A.4 Fie s 1, s 2 două interpretări. Pentru orice termen t, dacă s 1 F V (t) = s 2 F V (t), atunci t A (s 1) = t A (s 2). Propoziţie A.7 Fie s 1, s 2 două interpretări. Pentru orice formulă ϕ, dacă s 1 F V (ϕ) = s 2 F V (ϕ), atunci ϕ(s 1) = ϕ(s 2). Fie t(x 1,..., x n) un termen, ϕ(x 1,..., x n) o formulă şi a 1,..., a n A. Atunci definim: t A (a 1,..., a n) = t A s ϕ(a 1,..., a n) = ϕ(s), unde s : V A este o interpretare ce verifică s(x i) = a i, pentru orice 1 i n. Conform Lemei A.4 şi Propoziţiei A.7, definiţiile de mai sus sunt corecte. Vom nota prin A = ϕ[a 1,..., a n] faptul că ϕ(a 1,..., a n) = 1. Folosind această notaţie, putem transcrie unele proprietăţi din definiţia : dacă ϕ(x 1,..., x n) = (t 1(x 1,..., x n) = t 2(x 1,..., x n)), atunci A = ϕ[a 1,..., a n] t A 1 (a 1,..., a n) = t A 2 (a 1,..., a n) dacă ϕ(x 1,..., x n) = R(t 1(x 1,..., x n),..., t n(x 1,..., x n)), atunci A = ϕ[a 1,..., a n] (t A 1 (a 1,..., a n),..., t A n (a 1,..., a n)) R A dacă ϕ(x 1,..., x n) = ψ(x 1,..., x n), atunci A = ϕ[a 1,..., a n] A =/ ψ[a 1,..., a n] 29
30 dacă ϕ(x 1,..., x n) = ψ(x 1,..., x n) χ(x 1,..., x n), atunci A = ϕ[a 1,..., a n] [A = ψ[a 1,..., a n] A = χ[a 1,..., a n]] dacă ϕ(x 1,..., x n) = ( x)ψ(x, x 1,..., x n), atunci A = ϕ[a 1,..., a n] pentru orice a A, A = ψ[a, a 1,..., a n] Observăm că dacă ϕ este un enunţ, atunci ϕ(s) nu depinde de interpretarea s şi în acest caz putem nota ϕ = ϕ(s). De asemenea, A = ϕ ϕ = 1. Dacă A = ϕ, spunem că enunţul ϕ este adevărat în A sau că A este un model pentru ϕ. Dacă Γ este o mulţime de enunţuri, atunci spunem că A este model al lui Γ dacă A = ϕ, pentru orice ϕ Γ. Dacă ϕ(x 1,..., x n) este o formulă, atunci A este model al lui ϕ(x 1,..., x n) (A = ϕ(x 1,..., x n)) dacă A = x 1... x nϕ(x 1,..., x n). Dacă Σ este o mulţime de formule, atunci A este model al lui Σ dacă A = ϕ, pentru orice ϕ Σ. 30
31 Bibliografie [1] P.J. Cohen. Set Theory and the Continuum Hypothesis. W.A.Benjamin Inc., [2] L. Henkin. The completeness of the first-order functional calculus. J. Symb. Logic, pages [3] L. Henkin. The discovery of my completeness proofs. Bull. Symb. Logic, pages [4] H.J. Keisler. Forcing and the omitting type theorem. Studies in Model Theory, pages [5] H. Rasiowa. An Algebraic Approach to Non-classical Logics. North-Holland, [6] H. Rasiowa and R. Sikorski. A proof of the completeness theorem of gödel. Fund. Math., pages [7] H. Rasiowa and R. Sikorski. The Mathematics of Metamathematics. Polish Scientific Publ., [8] A. Robinson. Forcing in model theory. Symposia Math., pages [9] A. Robinson. Infinite Forcing in Model Theory. North-Holland,
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότεραElemente de logicǎ matematicǎ
Elemente de logicǎ matematicǎ 9 noiembrie 2004 - Calcul propoziţional - Calculul predicatelor - Proceduri de decizie pt. realizabilitate - Demonstrare de teoreme prin rezoluţie Elemente de logicǎ matematicǎ
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραProbleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a IX-a
Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a IX-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Str. Academiei Nr. 14, Sector 1, Cod
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραModulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII
Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραAritmetică. 1 Mulţimea numerelor naturale
Aritmetică. 1 Mulţimea numerelor naturale Calitatea unei propoziţii matematice de a fi adevărată (sau falsă) se demonstrează (numim atunci propoziţia respectivă teoremă, lemă, propoziţie, corolar, etc)
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραRădăcini primitive modulo n
Universitatea Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Rădăcini primitive modulo n Îndrumător ştiinţific: Prof. Dr. Victor Alexandru 2010 Rezumat Tema lucrarii este studiul radacinilor primitive.
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραCurs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate
Curs 4 I.4 Grafuri I.4.1 Grafuri orientate Definiţia I.4.1.1. Un graf orientat este un tuplu G = (N, A, ϕ : A N N), unde N şi A sunt mulţimi, numite mulţimea nodurilor, respectiv mulţimea arcelor, iar
Διαβάστε περισσότεραSpaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.
Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραCapitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor
Capitolul II Grupuri II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Definiţia 1. Fie G o mulţime nevidă şi " " operaţie algebrică pe G. Cuplul (G, ) se numeşte grup, dacă sunt satisfăcute
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραCercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!)
Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Prof. ION CĂLINESCU,CNDG, Câmpulung Voi prezenta o abordare simplă a determinării cercului lui Euler, pe baza unei probleme de loc geometric. Preliminarii:
Διαβάστε περισσότεραDOUĂ DEMONSTRAŢII ALE TEOREMEI DE REPREZENTARE A LUI STONE. Andra Jugănaru
DOUĂ DEMONSTRAŢII ALE TEOREMEI DE REPREZENTARE A LUI STONE I Introucere Anra Jugănaru Scopul acestei lucrări este e a prezenta ouă emonstraţii ale teoremei următoare: orice algebră Boole este izomorfă
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2. Integrala stochastică
Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότερα1 Corpuri finite. 1.1 Introducere. Reamintim mai intai
1 Corpuri finite. 1.1 Introducere Reamintim mai intai Definiţie 1 Se numeşte corp un inel comutativ (K,+, ) cu proprietatea ca orice element nenul x din k este inversabil, i.e. există x 1 k astfel încât
Διαβάστε περισσότεραGeorge Georgescu 1, Afrodita Iorgulescu 2 1 Universitatea din Bucureşti, Catedra de Fundamentele Informaticii 2 Academia de Studii Economice, Catedra
Logică matematică George Georgescu 1, Afrodita Iorgulescu 2 1 Universitatea din Bucureşti, Catedra de Fundamentele Informaticii 2 Academia de Studii Economice, Catedra de Informatică Economică October
Διαβάστε περισσότεραAl cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραPartea a II-a. Elemente de teoria mulţimilor şi aplicaţii
Partea a II-a Elemente de teoria mulţimilor şi aplicaţii Cuprins I. Logică, mulţimi, axiome... 2 I.1. Mulţimi, teorie naivă. Paradoxuri şi necesitatea axiomatizării... 2 I.2. Principiile axiomaticii Zermelo-Fraenkel...
Διαβάστε περισσότεραTeorema lui Peano de existenţă
Universitatea Alexandru Ioan Cuza Lucrare de licenţă Teorema lui Peano de existenţă locală Student: Cosmin Burtea Coordonator ştiinţific: Prof. Ioan I.Vrabie 2 Prefaţă Lucrarea de faţă tratează problema
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραAlgebră liniară CAPITOLUL 1
Algebră liniară CAPITOLUL SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE. Definiţia spaţiilor vectoriale Pentru a introduce noţiunea de spaţiu vectorial avem nevoie de noţiunea de corp comutativ de caracteristică
Διαβάστε περισσότεραprin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
Διαβάστε περισσότερα3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R
3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότεραAlgebră liniară CAPITOLUL 3
Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότερα7 Distribuţia normală
7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare
Διαβάστε περισσότεραPuncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.
Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότερα1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.
Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότερα1.7 Mişcarea Browniană
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA PROCESELOR STOCHASTICE 43 1.7 Mişcarea Browniană Mişcarea Browniană a fost pentru prima dată observată de către botanistul scoţian Robert Brown în 1828, când a observat
Διαβάστε περισσότερα