Deliteľnosť a znaky deliteľnosti

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Deliteľnosť a znaky deliteľnosti"

Transcript

1 Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a a b sú celé čísla. Číslo a delí číslo b, ak existuje také celé číslo c, že b = a c. Napríklad číslo 3 delí číslo 15, lebo existuje také celé číslo c (v tomto prípade číslo 5), že 3 c = 3 5 = 15. Podobne: - číslo 12 delí číslo 72, lebo 12 6 = 72, - číslo 7 delí číslo 84, lebo 7 12 = 84, - číslo 5 delí číslo 20, lebo 5 4 = 20, - číslo 4 delí číslo 5, lebo 4 5 = 20, - číslo 12 delí číslo 72, lebo 12 ( 6) = 72, - číslo 12 delí číslo 72, lebo ( 12) ( 6) = 72, - číslo 12 delí číslo 72, lebo ( 12) 6 = 72, - číslo 5 delí číslo 15, lebo ( 5) ( 3) = 15. Ak celé číslo a delí celé číslo b, potom hovoríme, že číslo a je deliteľom čísla b a že číslo b je deliteľné číslom a. Teda číslo 5 je deliteľom čísla 15 a číslo 15 je deliteľné číslom 5. Ak celé číslo a delí celé číslo b, potom to označujeme a b. Teda 5 15,8 48,2 6, 5 15, 5 15,5 15. Teraz preskúmajme, ktoré čísla sú deliteľné číslom 1. Celé číslo 1 delí celé číslo b, ak existuje celé číslo c, že 1 c = b. Ak zvolíme c = b, dostaneme pravdivú rovnosť 1 b = b pre všetky celé čísla b. Teda: Číslo 1 je deliteľom každého celého čísla b. Podobne je to aj s číslom 1. Celé číslo 1 delí celé číslo b, ak existuje celé číslo c, že ( 1) c = b. Ak zvolíme c = b, dostaneme pravdivú rovnosť ( 1) ( b) = b pre všetky celé čísla b. Teda: Číslo 1 je deliteľom každého celého čísla b. Ako je to s číslom 0? Celé číslo 0 delí celé číslo b, ak existuje celé číslo c, že 0 c = b. Avšak 0 c = 0. Teda číslo 0 delí iba samé seba. Avšak, celé číslo a delí číslo 0, ak existuje celé číslo c, že a c = 0. Ak zvolíme c = 0, dostaneme pravdivú rovnosť a 0 = 0 pre všetky celé čísla a. Teda: Každé celé číslo je deliteľom čísla

2 Venujme sa teraz vlastnostiam relácie deliteľnosti na množine celých čísel. Relácia deliteľnosti na množine celých čísel je reflexívna. To znamená, že každé celé číslo delí samé seba. Dôkaz tohto tvrdenia je veľmi jednoduchý. Ak a je ľubovoľné celé číslo, potom a 1 = a. Teda číslo a delí samé seba. Relácia deliteľnosti na množine celých čísel je antisymetrická. To znamená, že ak a a b sú rôzne celé čísla a a delí b, potom b nedelí a. Aj dôkaz tohto tvrdenia je veľmi jednoduchý. Uvedieme si ho pre kladné celé čísla. Ak a a b sú rôzne kladné celé čísla a a delí b, potom existuje také kladné celé číslo c, že a c = b. Z tejto rovnosti vyplýva, že a > b. Ak by aj b delilo a, potom by existovalo také kladné celé číslo d, že b d = a. Z tejto rovnosti by vyplývalo, že b > a, čo je v spore s predpokladom, že a > b. Teda číslo b nedelí číslo a. Relácia deliteľnosti na množine celých čísel je tranzitívna. To znamená, že ak a delí b a b delí c, potom a delí c. Aj dôkaz tohto tvrdenia je veľmi jednoduchý. Ak a delí b, potom existuje také kladné celé číslo k, že a k = b. Ak b delí c, potom existuje také kladné celé číslo l, že b l = c. Potom a k l = b l = c. Pretože k l je tiež celé číslo, platí, že a delí c. Z predchádzajúcich troch tv rdení vyplýva nasledujúce tvrdenie. Relácia deliteľnosti na množine celých čísel je reláciou neostrého čiastočného usporiadania. Teraz si uvedieme niekoľko jednoduchých vlastností deliteľnosti. Nech a, b, c, d, e sú ľubovoľné celé čísla. Potom: 1. Ak a b, potom a d b. 2. Ak a b a a c, potom a b+ c. 3. Ak a b a a c, potom a d b+ e c. Dôkaz tvrdenia 1 je veľmi jednoduchý. Ak a delí b, potom existuje také kladné celé číslo k, že a k = b. Potom a k d = b d = d b. Pretože k d je tiež celé číslo, platí, že a delí d b. Aj dôkaz tvrdenia 2 je veľmi jednoduchý. Ak a delí b, potom existuje také kladné celé číslo k, že a k = b. Ak a delí c, potom existuje také kladné celé číslo l, že a l = c. a k+ l = a k+ a l = b+ c. Pretože k + l je tiež celé číslo, platí, že a delí b + c. Potom ( ) Tvrdenie 3 priamo vyplýva z prvých dvoch tvrdení. 102

3 Už pri definícii operácie delenia so zvyškom v množine celých nezáporných čísel sme si uviedli analogické tvrdenie, ako je to nasledujúce. Nech a, b sú celé čísla. Nech b > 0. Potom existuje jediná dvojica celých čísel q a r tak, že a= b q+ r, pričom 0 r < b. Použitie tohto tvrdenia je nasledovné: Deľme číslo 34 číslom 5. Zrejme 34 = Teda neúplný podiel čísel 34 a 5 je 6 a zvyšok je 4. Teraz deľme číslo 34 číslom 5. Zrejme 34 = 5 ( 7) + 1. Teda neúplný podiel čísel 34 a 5 je 7 a zvyšok je 1. Napokon deľme číslo 13 číslom 3. Zrejme 13 = 3 ( 5) + 2. Teda neúplný podiel čísel 13 a 3 je 5 a zvyšok je 2. Teraz sa budeme venovať vybraným kritériám deliteľnosti. Najprv skúmajme, kedy je prirodzené číslo deliteľné dvoma. Napíšme si najmenšie prirodzené čísla deliteľné dvoma: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30. Všimnime si ich posledné cifry. Vidíme, že na mieste jednotiek sa striedajú iba číslice 0, 2, 4, 6, cn c c s ciframi je deliteľné dvoma, ak jeho posledná číslica c 0 je 0, 2, 4, 6 alebo 8. Teda: - číslo je deliteľné dvoma, lebo jeho posledná číslica je 6, - číslo nie je deliteľné dvoma, lebo jeho posledná číslica je 5. Teraz skúmajme, kedy je prirodzené číslo deliteľné piatimi. Napíšme si najmenšie prirodzené čísla deliteľné piatimi: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75. Všimnime si ich posledné cifry. Vidíme, že na mieste jednotiek sa striedajú iba číslice 0 a cn c c s ciframi je deliteľné piatimi, ak jeho posledná číslica c 0 je 0 alebo 5. Teda: - číslo je deliteľné piatimi, lebo jeho posledná číslica je 5, - číslo nie je deliteľné piatimi, lebo jeho posledná číslica je 7. Podobné tvrdenie platí aj pre deliteľnosť desiatimi cn c c s ciframi je deliteľné desiatimi, ak jeho posledná číslica c 0 je 0. Teda: - číslo je deliteľné desiatimi, lebo jeho posledná číslica je 0, - číslo nie je deliteľné desiatimi, lebo jeho posledná číslica je

4 Teda kritériá deliteľnosti dvoma, piatimi a desiatimi sa viažu na poslednú číslicu. Podobné kritériá máme pre deliteľnosť štyrmi, dvadsiatimi piatimi, päťdesiatimi a stomi. Tieto sa viažu na posledné dve číslice, teda na posledné dvojčíslie cn c c s ciframi je deliteľné štyrmi, ak jeho posledné dvojčíslie cc 1 0 je deliteľné štyrmi cn c c s ciframi je deliteľné dvadsiatimi piatimi, ak jeho posledné dvojčíslie cc 1 0je 00, 25, 50 alebo cn c c s ciframi je deliteľné päťdesiatimi, ak jeho posledné dvojčíslie cc 1 0 je 00 alebo cn c c s ciframi je deliteľné stomi, ak jeho posledné dvojčíslie cc 1 0je 00. Teda: - číslo je deliteľné štyrmi, lebo jeho posledné dvojčíslie 72 je deliteľné štyrmi, - číslo nie je deliteľné štyrmi, lebo jeho posledné dvojčíslie 74 nie je deliteľné štyrmi, - číslo je deliteľné dvadsiatimi piatimi, lebo jeho posledné dvojčíslie 75 je deliteľné dvadsiatimi piatimi, - číslo nie je deliteľné dvadsiatimi piatimi, lebo jeho posledné dvojčíslie 74 nie je deliteľné dvadsiatimi piatimi, - číslo je deliteľné päťdesiatimi, lebo jeho posledné dvojčíslie 50 je deliteľné päťdesiatimi, - číslo nie je deliteľné päťdesiatimi, lebo jeho posledné dvojčíslie 74 nie je deliteľné päťdesiatimi, - číslo je deliteľné stomi, lebo jeho posledné dvojčíslie je 00, - číslo nie je deliteľné stomi, lebo jeho posledné dvojčíslie nie je 00. Analogické kritériá máme aj pre posledné trojčíslie. Uvedieme si iba jedno cn c c s ciframi je deliteľné ôsmimi, ak jeho posledné trojčíslie ccc 2 1 0je deliteľné ôsmimi. Teda: - číslo je deliteľné ôsmimi, lebo jeho posledné trojčíslie 472 je deliteľné ôsmimi, (472 : 8 = 59) - číslo nie je deliteľné ôsmimi, lebo jeho posledné trojčíslie 474 nie je deliteľné ôsmimi. (474 : 8 = 59 zv. 2) 104

5 Ďalšia skupina kritérií sa viaže na ciferný súčet. Uvedieme si dve z nich cn c c s ciframi je deliteľné troma, ak jeho ciferný súčet cn + cn 1+ cn c2 + c1+ je deliteľný troma cn c c s ciframi je deliteľné deviatimi, ak jeho ciferný súčet c + c + c c + c + c je deliteľný deviatimi. Teda: - číslo je deliteľné troma, lebo jeho ciferný súčet =48 je deliteľný troma, - číslo nie je deliteľné troma, lebo jeho ciferný súčet =47 nie je deliteľný troma, - číslo nie je deliteľné deviatimi, lebo jeho ciferný súčet =48 nie je deliteľný troma, - číslo je deliteľné deviatimi, lebo jeho ciferný súčet =45 je deliteľný deviatimi. Napokon si uvedieme kritériá pre deliteľnosť šiestimi, dvanástimi a pätnástimi. Prirodzené číslo je deliteľné šiestimi, ak je deliteľné dvoma aj troma. Prirodzené číslo je deliteľné dvanástimi, ak je deliteľné troma aj štyrmi. Prirodzené číslo je deliteľné pätnástimi, ak je deliteľné troma aj piatimi. Kritériá deliteľnosti si teraz ukážeme na úlohách. Ktorými z čísel 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 je deliteľné číslo ? Pretože posledná číslica je 9, číslo nie je deliteľné dvoma, piatimi ani desiatimi. Teda nemôže byť deliteľné ani šiestimi. Pretože posledné dvojčíslie je 89 a to nie je deliteľné štyrmi, číslo nie je deliteľné štyrmi. Pretože posledné trojčíslie je 789 a to nie je deliteľné ôsmimi, číslo nie je deliteľné ôsmimi. (To, že číslo nie je deliteľné štyrmi a smimi sme mohli zdôvodniť aj tým, že nie je deliteľné dvoma.) Teraz určíme ciferný súčet čísla =45 Keďže ciferný súčet je deliteľný troma, číslo je deliteľné troma. Keďže ciferný súčet je deliteľný deviatimi, číslo je deliteľné deviatimi. Z čísel 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 je číslo deliteľné iba číslami 3 a

6 Ktorými z čísel 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 je deliteľné číslo ? Pretože posledná číslica je 2, číslo je deliteľné dvoma a nie je deliteľné ani piatimi, ani desiatimi. Pretože posledné dvojčíslie je 92 a to je deliteľné štyrmi, číslo je deliteľné štyrmi. Pretože posledné trojčíslie je 992 a to je deliteľné ôsmimi, číslo je deliteľné ôsmimi. Teraz určíme ciferný súčet čísla =47 Keďže ciferný súčet nie je deliteľný troma, číslo nie je deliteľné troma. Teda nemôže byť deliteľné ani šiestimi. Keďže ciferný súčet nie je deliteľný deviatimi, číslo nie je deliteľné deviatimi. Z čísel 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 je číslo deliteľné iba číslami 2, 4 a 8. Na konkrétnom príklade ukážte, že ak je číslo deliteľné dvoma a štyrmi, potom nemusí byť deliteľné ôsmimi. Vezmime si napríklad číslo 36. Toto číslo je deliteľné dvoma aj štyrmi, ale nie je deliteľné ôsmimi. Zdôvodnite kritérium deliteľnosti dvoma, ktoré znie: cn c c s ciframi je deliteľné dvoma, ak jeho posledná číslica je deliteľná dvoma. a= cn 10 + cn cn c c = n 1 n 2 n 3 = c c c c c 10 + c = n 1 n 2 n 3 ( n n n ) = 2 c c c c c 5 + c n 1 n 2 n 3 Ak označíme k = cn cn cn c c1 5, potom a= 2 k+. Pretože prvý sčítanec je deliteľný číslom dva, o deliteľnosti súčtu číslom 2 rozhoduje iba druhý sčítanec, ktorým je c 0, teda posledná cifra čísla a. Ak c 0 je deliteľná dvoma, potom aj číslo a je deliteľné dvoma. Ak c 0 nie je deliteľná dvoma, potom ani číslo a nie je deliteľné dvoma. Zdôvodnite kritérium deliteľnosti piatimi, ktoré znie: cn c c s ciframi je deliteľné piatimi, ak jeho posledná číslica je 0 alebo

7 a= cn 10 + cn cn c c = n 1 n 2 n 3 = c c c c c 10 + c = n 1 n 2 n 3 ( n n n ) = 5 c c c c c 2 + c n 1 n 2 n 3 Ak označíme k = cn cn cn c c1 2, potom a= 5 k+. Pretože prvý sčítanec je deliteľný číslom päť, o deliteľnosti súčtu číslom päť rozhoduje iba druhý sčítanec, ktorým je c 0, teda posledná cifra čísla a. Ak c 0 je deliteľná piatimi, teda ak je to 0 alebo 5, potom aj číslo a je deliteľné piatimi. Ak c 0 nie je deliteľná piatimi, teda ak to nie je 0 alebo 5, potom ani číslo a nie je deliteľné piatimi. Zdôvodnite kritérium deliteľnosti troma, ktoré znie: cn c c s ciframi je deliteľné troma, ak jeho ciferný súčet cn + cn 1+ cn c2 + c1+ je deliteľný troma. na šesťcifernom čísle. Ak a je šesťciferné číslo, potom má tvar a= c c c c c Po jednoduchých úpravách dostaneme: a= c c c c c = = c5 ( ) + c4 ( ) + c3 ( ) + c2 ( ) + c1 ( 9 + 1) + 1= = c c5 + c c4 + c c3+ c c2 + c1 9 + c1+ = = c c c c c1 9 + c5+ c4 + c3+ c2 + c1+ = = 3 c c c 333+ c 33 + c 3 + c + c + c + c + c + c ( ) ( ) Ak označíme k = c c c c2 33+ c1 3, potom a= 3 k+ CS, kde CS = ( c5 + c4 + c3+ c2 + c1+ ) je ciferný súčet čísla a. Pretože prvý sčítanec je deliteľný číslom tri, o deliteľnosti súčtu číslom tri rozhoduje iba druhý sčítanec, ktorým je CS, teda ciferný súčet čísla a. Ak CS je deliteľný troma, potom aj číslo a je deliteľné troma. Ak CS nie je deliteľný troma, potom ani číslo a nie je deliteľné troma. Zdôvodnite kritérium deliteľnosti deviatimi, ktoré znie: cn c c s ciframi je deliteľné deviatimi, ak jeho ciferný súčet cn + cn 1+ cn c2 + c1+ je deliteľný deviatimi. na šesťcifernom čísle. Ak a je šesťciferné číslo, potom má tvar a= c c c c c Po jednoduchých úpravách dostaneme: 107

8 a= c c c c c = = c5 ( ) + c4 ( ) + c3 ( ) + c2 ( ) + c1 ( 9 + 1) + 1= = c c5 + c c4 + c c3+ c c2 + c1 9 + c1+ = = c c c c c1 9 + c5+ c4 + c3+ c2 + c1+ = = 9 c c c 111+ c 11+ c 1 + c + c + c + c + c + c ( ) ( ) Ak označíme k = c c c c2 11+ c1 1, potom a= 9 k+ CS, kde CS = ( c5 + c4 + c3+ c2 + c1+ ) je ciferný súčet čísla a. Pretože prvý sčítanec je deliteľný číslom deväť, o deliteľnosti súčtu číslom deväť rozhoduje iba druhý sčítanec, ktorým je CS, teda ciferný súčet čísla a. Ak CS je deliteľný deviatimi, potom aj číslo a je deliteľné deviatimi. Ak CS nie je deliteľný deviatimi, potom ani číslo a nie je deliteľné deviatimi. Teraz sa oboznámime s pojmom dokonalé číslo. Prirodzené číslo n je dokonalé, ak sa rovná polovici súčtu svojich deliteľov. V prvej stovke sú dve dokonalé čísla, a to 6 a 28. Číslo 6 má delitele 1, 2, 3, 6. Ich súčet je 12. Číslo 28 má delitele 1, 2, 4, 7, 14, 28. Ich súčet je 56. Ďalšie dokonalé čísla sú 496, 8128, Doteraz nie je známe žiadne nepárne dokonalé číslo. Najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok Začneme tým, že si presne zadefinujeme pojem najväčšieho spoločného deliteľa a najmenšieho spoločného násobku. Spoločným deliteľom celých čísel a, b budeme nazývať také číslo, ktoré delí obe tieto čísla. Teda: Celé číslo d je spoločným deliteľom celých čísel a, b, ak d a a d b. Vezmime si čísla 36 a 60. Číslo 36 má tieto kladné delitele: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Číslo 60 má tieto kladné delitele: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Spoločnými deliteľmi čísel 36 a 60 sú: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Vidíme, že najväčším spoločným násobkom čísel 36 a 60 je číslo 12. Všimnime si, že všetky ostatné spoločné delitele delia číslo 12, ktoré je najväčším spoločným deliteľom. 108

9 Kladné celé číslo D je najväčším spoločným deliteľom celých čísel a, b, ak: 1. D a a D b, 2. Ak d je také kladné celé číslo, pre ktoré d a a d b, potom d D. Vlastnosť 1. nám zaručuje, že D je spoločný deliteľ čísel a, b. Vlastnosť 2. nám zaručuje, že D je najväčší spomedzi všetkých spoločných deliteľov. Teraz sa budeme venovať najmenšieho spoločného násobku. Spoločným násobkom celých čísel a, b budeme nazývať také číslo, ktoré je násobkom obidvoch z nich. Teda: Celé číslo n je spoločným násobkom celých čísel a, b, ak a n a b n. Vezmime si čísla 36 a 60. Číslo 36 má tieto kladné násobky: 36, 72, 108, 144, 180, 216, 252, 288, 324, 360, 396, 432, 468, 504, 540, 576, 612, 648, 684, 720, 756,... Číslo 60 má tieto kladné delitele: 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, 720, 780,... Spoločnými deliteľmi čísel 36 a 60 sú: 180, 360, 540, 720,... Vidíme, že najmenším kladným spoločným násobkom čísel 36 a 60 je číslo 180. Všimnime si, že všetky ostatné spoločné násobky sú násobkom čísla 180, ktoré je najmenším spoločným násobkom. Kladné celé číslo N je najmenším spoločným násobkom celých čísel a, b, ak: 1. a N a b N, 2. Ak n je také kladné celé číslo, pre ktoré a n a b n, potom N n. Vlastnosť 1. nám zaručuje, že N je spoločný násobok čísel a, b. Vlastnosť 2. nám zaručuje, že N je najmenší spomedzi všetkých kladných spoločných násobkov. Najväčší spoločný deliteľ čísel a, b označujeme ( ab, ). Najmenší spoločný násobok čísel a, b označujeme [ ab, ]. Vzťah medzi súčinom čísel a, b, ich najväčším spoločným deliteľom a najmenším spoločným násobkom určuje nasledujúce tvrdenie. (, ) [, ] ab ab = a b Nájdite najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok čísel 72 a 108. Overte, či ( 72,108) [ 72,108] = Delitele čísla 72 sú: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Delitele čísla 108 sú: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54,

10 Najväčší spoločný deliteľ je ( 72,108) = 36. Násobky čísla 72 sú: 72, 144, 216, 288, 360,... Násobky čísla 108 sú: 108, 216, 324, 432, 540,... 72,108 = 216. Najmenší spoločný násobok je [ ] Vzťah ( 72,108) [ 72,108] = platí, nakoľko ( 72,108) [ 72,108] = = 7776 = Nájdite najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok čísel 30 a 75. Overte, či ( 30,75) [ 30,75] = Delitele čísla 30 sú: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Delitele čísla 75 sú: 1, 3, 5, 15, 25, 75. Najväčší spoločný deliteľ je ( 30,75) = 15. Násobky čísla 30 sú: 30, 60, 90, 120, 150,... Násobky čísla 75 sú: 75, 150, 225, 300, 375,... 30,75 = 150. Najmenší spoločný násobok je [ ] Vzťah ( 30,75) [ 30,75] = platí, nakoľko ( 30,75) [ 30,75] = = 2250 = S najväčším spoločným deliteľom súvisí aj pojem súdeliteľných čísel. Čísla a a b nazývame nesúdeliteľné, ak ( ab, ) = 1. Inak ich nazývame súdeliteľné. Napríklad čísla 5 a 7 sú nesúdeliteľné, nakoľko ich najväčším spoločným deliteľom je číslo 1. Taktiež čísla 5 a 19 sú nesúdeliteľné, nakoľko ich najväčším spoločným deliteľom je číslo 1. Čísla 15 a 25 sú súdeliteľné, lebo ich najväčším spoločným deliteľom je číslo 5. Taktiež čísla 12 a 20 sú súdeliteľné, lebo ich najväčším spoločným deliteľom je číslo 4. Euklidov algoritmus na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa Jednou z efektívnych metód na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa dvoch prirodzených čísel je Euklidov algoritmus. Je založený na nasledujúcom poznatku. Nech prirodzené číslo d je deliteľom prirodzených čísel a a b, a > b. Potom d je aj deliteľom čísla a b. Nech prirodzené číslo d je deliteľom prirodzených čísel a a b, a > b. Potom d je aj deliteľom čísla c, ktoré je zvyškom po delení čísla b číslom a. O platnosti tohto poznatku sa poľahky presvedčíme. Ak d je deliteľom a, potom existuje také prirodzené číslo k, že a = d k. Podobne, ak d je deliteľom b, potom existuje také prirodzené číslo l, že b= d l. a b= d k d l = d k l, a teda d je deliteľom čísla a b. Potom ( ) 110

11 Ak a b je menšie ako b, potom je zvyškom po delení čísla a číslom b, a teda d je deliteľom čísla c. Ak a b nie je menšie ako b, potom podľa prvej časti tvrdenia d je aj deliteľom čísla a 2b. Takto by sme mohli pokračovať, až kým dostaneme, že d je deliteľom čísla c. Vysvetlime si predchádzajúce zdôvodnenie na konkrétnom príklade. Zvoľme si a = 52 a b = 12. Vieme, že číslo d = 4 je deliteľom čísel 52 aj 12. Podľa prvej časti tvrdenia je d aj deliteľom čísla = 40. Keďže 40 > 12 a číslo d = 4 je deliteľom čísel 40 aj 12, podľa prvej časti tvrdenia je d aj deliteľom čísla = 28. Keďže 28 > 12 a číslo d = 4 je deliteľom čísel 28 aj 12, podľa prvej časti tvrdenia je d aj deliteľom čísla = 16. Keďže 16 > 12 a číslo d = 4 je deliteľom čísel 16 aj 12, podľa prvej časti tvrdenia je d aj deliteľom čísla = 4. Keďže 4 < 12, číslo c = 4 je zvyškom po delení čísla 52 číslom 12. Podľa druhej časti tvrdenia číslo d je aj deliteľom čísla c. Zvyšok po delení väčšieho čísla menším číslom teda môžeme určiť napríklad tak, že postupne odčítavame menšie číslo od väčšieho, až kým nedostaneme menší rozdiel ako je menšiteľ. Postupným odčítavaním určte zvyšok po delení čísla číslom = = = = = = 43 Zvyšok po delení čísla číslom 754 je 43. Teraz prejdeme k Euklidovmu algoritmu. Najväčší spoločný deliteľ prirodzených čísel a a b, a > b určíme takto: 1. Väčšie z čísel a a b nahradíme zvyškom po delení väčšieho čísla menším. 2. Ak menšie z čísel je nula, najväčším spoločným deliteľom je väčšie z čísel. Inak pokračujeme bodom 1. Postup si vysvetlíme na príklade. Chceme nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čísel a 754. Pretože > 754, číslo nahradíme zvyškom po delení čísla číslom 754, teda číslom 43. Pretože 754 > 43, číslo 754 nahradíme zvyškom po delení čísla 754 číslom 43, teda číslom 23. Pretože 43 > 23, číslo 43 nahradíme zvyškom po delení čísla 43 číslom 23, teda číslom 20. Pretože 23 > 20, číslo 23 nahradíme zvyškom po delení čísla 23 číslom 20, teda číslom 3. Pretože 20 > 3, číslo 20 nahradíme zvyškom po delení čísla 20 číslom 3, teda číslom 2. Pretože 3 > 2, číslo 3 nahradíme zvyškom po delení čísla 3 číslom 2, teda číslom 1. Pretože 2 > 1, číslo 2 nahradíme zvyškom po delení čísla 2 číslom 1, teda číslom

12 Zostali nám čísla 1 a 0. Pretože menšie z nich je nula, väčšie z nich je najväčším spoločným deliteľom čísel a 754. Zároveň je aj najväčším spoločným deliteľom čísel 754 a 43, čísel 43 a 23, čísel 23 a 20, čísel 20 a 3, čísel 3 a 2 a čísel 2 a 1. Teda: (4 567,754) = (754,43) = (43,23) = (23,20) = (20,3) = (3,2) = (2,1) = 1. Euklidovým algoritmom určte najväčší spoločný deliteľ čísel 120 a 15. Pretože 120 > 15, číslo 120 nahradíme zvyškom po delení čísla 120 číslom 15, teda číslom 0. (pretože 120:15=8, zvyšok 0) Zostali nám čísla 8 a 0. Pretože menšie z nich je nula, väčšie z nich je najväčším spoločným deliteľom čísel 120 a 15. Teda: (120,15) = 8. Euklidovým algoritmom určte najväčší spoločný deliteľ čísel 124 a 8. Pretože 124 > 8, číslo 124 nahradíme zvyškom po delení čísla 124 číslom 8, teda číslom 4. (pretože 124:8=15, zvyšok 4) Pretože 8 > 4, číslo 8 nahradíme zvyškom po delení čísla 8 číslom 4, teda číslom 0. (pretože 8:4=2, zvyšok 0) Zostali nám čísla 4 a 0. Pretože menšie z nich je nula, väčšie z nich je najväčším spoločným deliteľom čísel 124 a 8. Teda: (124,8) = (8,4) = 4. Euklidovým algoritmom určte najväčší spoločný deliteľ čísel 52 a 12. Pretože 52 > 12, číslo 52 nahradíme zvyškom po delení čísla 52 číslom 12, teda číslom 4. (pretože 52:12=4, zvyšok 4) Pretože 12 > 4, číslo 12 nahradíme zvyškom po delení čísla 12 číslom 4, teda číslom 0. (pretože 12:4=3, zvyšok 0) Zostali nám čísla 4 a 0. Pretože menšie z nich je nula, väčšie z nich je najväčším spoločným deliteľom čísel 52 a 12. Teda: (52,12) = (12,4) = 4. Euklidovým algoritmom určte najväčší spoločný deliteľ čísel 54 a 14. Pretože 54 > 14, číslo 54 nahradíme zvyškom po delení čísla 54 číslom 14, teda číslom 12. (pretože 54:14=3, zvyšok 12) Pretože 14 > 12, číslo 14 nahradíme zvyškom po delení čísla 14 číslom 12, teda číslom 2. (pretože 14:12=1, zvyšok 2) Pretože 12 > 2, číslo 12 nahradíme zvyškom po delení čísla 12 číslom 2, teda číslom 0. (pretože 12:2=6, zvyšok 0) Zostali nám čísla 2 a 0. Pretože menšie z nich je nula, väčšie z nich je najväčším spoločným deliteľom čísel 54 a 14. Teda: (54,14) = (14,12) = (12,2) =

13 Prvočísla Vytvorme si tabuľku všetkých deliteľov prirodzených čísel od 1 do 20. Číslo Delitele Číslo Delitele , , , 2, 3, 4, 6, , , , 2, , 2, 7, , , 3, 5, , 2, 3, , 2, 4, 8, , , , 2, 4, , 2, 3, 6, 9, , 3, , , 2, 5, , 2, 4, 5, 10, 20 Všimnime si, že jedného deliteľa má iba číslo 1. Ostatné čísla majú aspoň dva delitele: 1 a samého seba. Čísla, ktoré budú mať iba tieto dva delitele, nazývame prvočísla. Prirodzené číslo n > 1 nazveme prvočíslo, ak má v množine prirodzených čísel práve dva rôzne delitele (jednotku a samého seba). Prirodzené číslo n > 1, ktoré nie je prvočíslo, nazývame zložené číslo. Medzi číslami 1 20 sú teda čísla 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 a 19 prvočísla. Čísla 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 sú zložené čísla. Ako zistíme, či je dané prirodzené číslo prvočíslo? Jeden z vhodných postupov je založený na nasledujúcej vete. Ak prirodzené číslo n > 1 je zložené číslo, potom má aspoň jedného deliteľa, ktorý je väčší ako 1 a menší alebo rovný n. Teda ak chceme zistiť, či dané prirodzené číslo je prvočíslo, postupne ho delíme číslami 2, 3, 4,..., n. Ak nájdeme deliteľa, prirodzené číslo n je zložené číslo. Inak je n prvočíslo. Zistite, či číslo 293 je prvočíslo. Pomocou kalkulačky zistíme, že ,11. Postupne budeme deliť číslo 293 číslami 2, 3, 4, 5,..., 17. Číslo 293 nie je deliteľné dvoma, lebo nekončí číslicou 0, 2, 4, 6, 8. Nemôže byť teda deliteľné ani číslami 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. Číslo 293 nie je deliteľné troma, lebo jeho ciferný súčet je = 14 a to nie je deliteľné troma. Nemôže byť teda deliteľné ani číslami 6, 9, 12, 15. Číslo 293 nie je deliteľné piatimi, lebo nekončí číslicou 0, 5. Nemôže byť teda deliteľné ani číslami 5, 10, 15. Číslo 293 nie je deliteľné

14 Číslo 293 nie je deliteľné 11. Číslo 293 nie je deliteľné 13. Číslo 293 nie je deliteľné 17. Pretože číslo 293 nie je deliteľné žiadnym z čísel 2, 3, 4, 5,..., 17, je číslo 293 prvočíslo. Ako možno nájsť všetky prvočísla menšie ako dané číslo? Návod nám dáva tzv. Eratostenovo sito. Vysvetlíme si jeho konštrukciu pre nájdenie všetkých prvočísel menších ako 200. Najprv si všetky čísla zapíšeme do tabuľky Teraz si označíme číslo 2 a vyškrtneme všetky jeho násobky Teraz si označíme číslo 3 a vyškrtneme všetky jeho násobky

15 Teraz si označíme číslo 5 a vyškrtneme všetky jeho násobky Teraz si označíme číslo 7 a vyškrtneme všetky jeho násobky Teraz si označíme číslo 11 a vyškrtneme všetky jeho násobky Teraz si označíme číslo 13 a vyškrtneme všetky jeho násobky

16 Pretože ,14, násobky čísla 17 už sú vyškrtnuté všetky. Všetky označené čísla spolu so všetkými nepreškrtnutými číslami sú prvočísla. Zoznam prvočísel do 200: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199. Všimnime si, že v prvej stovke prirodzených čísel je 25 prvočísel a v druhej stovke 21. Hoci ich podiel bude postupne klesať, vždy nájdeme ďalšie a ďalšie prvočíslo. O počte prvočísel vraví nasledujúce tvrdenie. Prvočísel je nekonečne veľa. Dôsledkom tejto vety je nasledovné tvrdenie. Ak si zvolíme ľubovoľne veľké prirodzené číslo n, potom existuje také prvočíslo p, ktoré je od neho väčšie. O počte párnych a nepárnych prvočísel vraví nasledujúce tvrdenie. Nepárnych prvočísel je nekonečne veľa. Párne prvočíslo je iba jedno. Je to číslo 2. Teraz sa ešte budeme venovať pojmu prvočíselné dvojčatá. Sú to také prvočísla, ktorých rozdiel je 2. Medzi číslami sú to teda: 3 a 5, 5 a 7, 11 a 13, 17 a 19, 29 a 31, 41 a 43, 59 a 61, 71 a 73, 101 a 103, 107 a 109, 137 a 139, 149 a 151, 179 a 181, 191 a 193, 197 a 199. Doteraz nie je známe, či je prvočíselných dvojčiat konečne alebo nekonečne veľa. Skúmaniu prvočísel sa venuje v matematike veľké úsilie. Možno je to spôsobené aj tým, že existuje množstvo nevyriešených problémov týkajúcich sa prvočísel a tieto problémy sú často veľmi zaujímavé. Veľmi prestížna je napríklad súťaž o nájdenie najväčšieho známeho prvočísla, ktorá vlastne nebude mať nikdy koniec. O popularite prvočísel svedčí aj množstvo materiálov na Internete. Uvedieme si niekoľko zo zaujímavostí o prvočíslach. 1. Napriek tomu, že prvočísel je nekonečne veľa, v postupnosti všetkých prvočísel existujú ľubovoľne veľké medzery. Pre každé prirodzené číslo n existuje postupnosť po sebe idúcich prirodzených čísel, ktorá má n členov a neobsahuje žiadne prvočíslo. 2. Až doteraz neexistuje žiaden explicitný vzorec, pomocou ktorého možno vyjadriť všetky prvočísla. 3. Ak si zvolíme ľubovoľné prirozené číslo n väčšie ako 1, potom existuje také prvočíslo p, ktoré je väčšie ako n a menšie ako 2n. 4. Keďže prvočísel je nekonečne veľa, matematikov zaujímalo, ako možno odhadnúť počet prvočísel menších ako n. Ak si ich počet označíme P( n ), potom existujú konštanty d a h n log n n log n také, že d P( n) h. Voľne povedané, funkcia ( ) ako funkcia log n n. P n rastie rovnako rýchlo 116

17 Rozklad prirodzeného čísla na súčin prvočísel α1 α2 α3 αk Každé prirodzené číslo n > 1 možno vyjadriť v tvare n= p1 p2 p3... p k, kde p1, p2, p3,..., p k sú navzájom rôzne prvočísla a α1, α2, α3,..., α k sú prirodzené čísla. Naviac, toto vyjadrenie je jednoznačné až na poradie prvočísel p1, p2, p3,..., p k. α1 α2 α3 αk Rozklad čísla n na súčin n= p1 p2 p3... p k nazývame kanonický rozklad čísla n. Uvedené tvrdenie si precvičíme na úlohách. Nájdite kanonický rozklad čísla = = = = = = = = = = = = = = Nájdite kanonický rozklad čísla = = = = 3 = = = Nájdite kanonický rozklad čísla = = = Číslo 997 je prvočíslo, nakoľko ,57 a číslo 997 nie je deliteľné žiadnym z čísel 2, 3, 4,..., 31. Rozklad prirodzeného čísla na súčin prvočísel možno vhodne využiť aj pri hľadaní najväčšieho spoločného deliteľa a najmenšieho spoločného násobku. Postup vyplýva z nasledujúceho tvrdenia a my si ho vysvetlíme najmä na úlohách. Nech m a n sú prirodzené čísla väčšie ako 1 s kanonickými rozkladmi v tvare α1 α2 α3 α k β β β βk n= p p p pk, m= p1 p2 p3... pk, kde p 1, p 2, p 3,..., p k sú navzájom rôzne prvočísla a α1, α2, α3,..., α, β1, β2, β3,..., β sú prirodzené čísla alebo nuly. Označme χ = min { α, β } a δ max { α, β } i i i k =. i i i χ1 χ2 χ3 χk χ1 χ2 χ3 Potom (, ) =... a [ ] mn p1 p2 p3 p k k χk mn, p1 p2 p3... p k =. Keď teda hľadáme najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok dvoch čísel, urobíme ich kanonické rozklady a upravíme ich tak, aby oba rozklady mali rovnaké prvočísla. 117

18 Potom v rozklade najväčšieho spoločného deliteľa sú tie isté prvočísla, ale s menšími exponentmi a v rozklade najmenšieho spoločného násobku sú tie isté prvočísla, ale s väčšími exponentmi. Nájdite najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok čísel a Najprv urobíme kanonický rozklad oboch čísel = = = = = = = = = = = = = = Teraz upravíme kanonické rozklady tak, aby oba rozklady mali rovnaké prvočísla = = = = V rozklade najväčšieho spoločného deliteľa sú tie isté prvočísla, ale s menšími exponentmi a v rozklade najmenšieho spoločného násobku sú tie isté prvočísla, ale s väčšími exponentmi , = = 65 ( ) [ ] , = = Nájdite najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok čísel a Najprv urobíme kanonický rozklad oboch čísel = = 3 5 Teraz upravíme kanonické rozklady tak, aby oba rozklady mali rovnaké prvočísla = 2 5 = = 3 5 = V rozklade najväčšieho spoločného deliteľa sú tie isté prvočísla, ale s menšími exponentmi a v rozklade najmenšieho spoločného násobku sú tie isté prvočísla, ale s väčšími exponentmi. 5120,18225 = = 5 ( ) [ ] ,18225 = = Nájdite najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok čísel 3 a b = = = ( ab, ) = = = [ ] ab, = = a =

19 Rozklad čísla na súčin prvočísel má význam aj pri určovaní počtu kladných deliteľov. Hovorí nám o tom nasledujúca veta. Nech n je prirodzené číslo väčšie ako 1 s kanonickým rozkladom v tvare α1 α2 α3 αk n= p1 p2 p3... p k. Potom n má ( α1+ 1) ( α2 + 1) ( α3 + 1 )... ( α k + 1) rôznych β1 β2 β3 βk kladných deliteľov. Každý z nich má rozklad v tvare n= p1 p2 p3... p k, kde α1 β1, α2 β2, α3 β3,..., αk βk. Tvrdenie si vysvetlíme na nasledujúcom príklade. 2 1 Číslo 12 má kanonický rozklad v tvare 12 = 2 3. Počet jeho deliteľov je teda ( ) ( ) = 6. a b Všetky delitele majú tvar 2 3, kde a 2, b Sú to 1= 2 3,2= 2 3,4= 2 3,3= 2 3,6= 2 3,12= 2 3. Nájdite kanonický rozklad čísla 60. Pomocou neho určte počet kladných deliteľov čísla 60 a vypíšte ich vrátane ich kanonických rozkladov Číslo 60 má kanonický rozklad v tvare 60 = Počet jeho deliteľov je teda ( ) ( ) ( ) = 12. a b c Všetky delitele majú tvar 2 3 5, kde a 2, b 1, c Sú to 1= 2 3 5,2= 2 3 5,4= 2 3 5,3= 2 3 5,6= 2 3 5,12= 2 3 5, = 2 3 5,10= 2 3 5,20= 2 3 5,15= 2 3 5,30= 2 3 5,60=

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

Prvočísla a zložené čísla. a, b N: a b k N: b = a. k. Kritéria deliteľnosti v desiatkovej číselnej sústave:

Prvočísla a zložené čísla. a, b N: a b k N: b = a. k. Kritéria deliteľnosti v desiatkovej číselnej sústave: Prvočísla a zložené čísla Číslo a je deliteľom čísla b (číslo b je deliteľné číslom a alebo číslo b je násobkom čísla a ) ráve vtedy, ak existuje také rirodzené číslo k, že b = a. k (ak o delení čísla

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

Prirodzené čísla. Kardinálne čísla

Prirodzené čísla. Kardinálne čísla Prirodzené čísla Doteraz sme sa vždy uspokojili s tým, že sme pod množinou prirodzených čísel rozumeli množinu N = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12, } Túto množinu sme chápali intuitívne a presne sme ju

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti 4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

Integrovanie racionálnych funkcií

Integrovanie racionálnych funkcií Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie

Διαβάστε περισσότερα

SK skmo.sk. 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie B

SK skmo.sk. 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie B SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie B 1. Každému vrcholu pravidelného 66-uholníka priradíme jedno z čísel 1 alebo 1. Ku každej

Διαβάστε περισσότερα

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený

Διαβάστε περισσότερα

2007/ ročník MO Riešenia úloh domácej časti I. kola kategórie C

2007/ ročník MO Riešenia úloh domácej časti I. kola kategórie C 007/008 57. ročník MO Riešenia úloh domácej časti I. kola kategórie C. Určte najmenšie prirodzené číslo n, pre ktoré aj čísla n, n, 5 5n sú prirodzené. (Jaroslav Švrček) Riešenie. Vysvetlíme, prečo prvočíselný

Διαβάστε περισσότερα

Príklady na precvičovanie Fourierove rady

Príklady na precvičovanie Fourierove rady Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru

Διαβάστε περισσότερα

Vzorové riešenia 3. kola zimnej série 2014/2015

Vzorové riešenia 3. kola zimnej série 2014/2015 riesky@riesky.sk Riešky matematický korešpondenčný seminár Vzorové riešenia. kola zimnej série 04/05 Príklad č. (opravovali Tete, Zuzka): Riešenie: Keďže číslo má byť deliteľné piatimi, musí končiť cifrou

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

1 Úvod Úvod Sylaby a literatúra Označenia a pomocné tvrdenia... 4

1 Úvod Úvod Sylaby a literatúra Označenia a pomocné tvrdenia... 4 Obsah 1 Úvod 3 1.1 Úvod......................................... 3 1. Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Označenia a omocné tvrdenia.......................... 4 Prvočísla 6.1 Deliteľnosť......................................

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

SK skmo.sk. 2009/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A

SK skmo.sk. 2009/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc x2 y = z 1, y2 z = x 1, z2 x = y 1. (Radek Horenský) Riešenie.

Διαβάστε περισσότερα

P Y T A G O R I Á D A

P Y T A G O R I Á D A 30 P Y T A G O R I Á D A Súťažné úlohy a riešenia celoštátneho kola Kategórie P6 - P8 30. ročník Školský rok 2008/2009 BRATISLAVA, 2009 Súťažné úlohy celoslovenského kola. Školský rok 2008/2009. Kategória

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8 Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................

Διαβάστε περισσότερα

1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:

1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín: 1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,

Διαβάστε περισσότερα

Ján Buša Štefan Schrötter

Ján Buša Štefan Schrötter Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako

Διαβάστε περισσότερα

3. prednáška. Komplexné čísla

3. prednáška. Komplexné čísla 3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov

ALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme

Διαβάστε περισσότερα

PYTAGORIÁDA Súťažné úlohy republikového kola 35. ročník, školský rok 2013/2014

PYTAGORIÁDA Súťažné úlohy republikového kola 35. ročník, školský rok 2013/2014 Kategória P 6 1. Napíšte číslo, ktoré sa skrýva pod hviezdičkou: *. 5 = 9,55 2. Janko Hraško je 25 - krát menší ako Ďuro Truľo. Napíšte, koľko centimetrov meria Janko Hraško, ak Ďuro Truľo meria 1,75 metra.

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické substitúcie

Goniometrické substitúcie Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať

Διαβάστε περισσότερα

1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17

1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17 Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy

Διαβάστε περισσότερα

SK skmo.sk. 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A

SK skmo.sk. 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. Číslo n je súčinom troch (nie nutne rôznych) prvočísel. Keď zväčšíme každé z nich

Διαβάστε περισσότερα

Najviac na koľko častí sa dá tromi priamkami rozdeliť medzikružie?

Najviac na koľko častí sa dá tromi priamkami rozdeliť medzikružie? Náboj 01 Vzorové riešenia Úloha 1 J. Ak hranu kocky zväčšíme o 100%, tak o koľko percent sa zväčší jej objem? Výsledok. 700% Návod. Zväčšiť hranu a o 100% je to isté ako ju zdvojnásobiť na a. Objem pôvodnej

Διαβάστε περισσότερα

Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice

Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice Teoretické základy Definícia 1 Nech (koeficienty) a 0, a 1,..., a n sú komplexné čísla a nech n je nezáporné celé číslo. Výraz P n (x) = a n x n + a n 1 x

Διαβάστε περισσότερα

Reálna funkcia reálnej premennej

Reálna funkcia reálnej premennej (ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od

Διαβάστε περισσότερα

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita. Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

1-MAT-220 Algebra februára 2012

1-MAT-220 Algebra februára 2012 1-MAT-220 Algebra 1 12. februára 2012 Obsah 1 Grupy 3 1.1 Binárne operácie.................................. 3 1.2 Cayleyho veta.................................... 3 2 Faktorizácia 5 2.1 Relácie ekvivalencie

Διαβάστε περισσότερα

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus 1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

Technická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach

Technická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan

Διαβάστε περισσότερα

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:

Διαβάστε περισσότερα

Pravdivostná hodnota negácie výroku A je opačná ako pravdivostná hodnota výroku A.

Pravdivostná hodnota negácie výroku A je opačná ako pravdivostná hodnota výroku A. 7. Negácie výrokov Negácie jednoduchých výrokov tvoríme tak, že vytvoríme tvrdenie, ktoré popiera pôvodný výrok. Najčastejšie negujeme prísudok alebo použijeme vetu Nie je pravda, že.... Výrok A: Prší.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk

Διαβάστε περισσότερα

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.

Διαβάστε περισσότερα

Úvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2

Úvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2 Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

Prednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák

Prednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,

Διαβάστε περισσότερα

zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov (tento proces môžeme nazvat formalizácia), jej hlavnou úlohou je potom

zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov (tento proces môžeme nazvat formalizácia), jej hlavnou úlohou je potom 0 Úvod 1 0 Úvod 0 Úvod 2 Matematika (a platí to vo všeobecnosti pre každú vedu) sa viac či menej úspešne pokúša zachytit istý zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =. Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií

Διαβάστε περισσότερα

Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus

Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

Riešenia. Základy matematiky. 1. a) A = { 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3}, b) B = {4; 9; 16}, c) C = {2; 3; 5},

Riešenia. Základy matematiky. 1. a) A = { 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3}, b) B = {4; 9; 16}, c) C = {2; 3; 5}, Riešenia Základy matematiky 1. a) A = { ; ; ; 1; 0; 1; ; }, b) B = {; 9; 16}, c) C = {; ; 5}, d) D = { 1}, e) E =.. B, C, D, F (A neobsahuje prvok 1, E obsahuje navyše prvok 1, G neobsahuje prvok 1)..

Διαβάστε περισσότερα

Maturita z matematiky T E S T Y

Maturita z matematiky T E S T Y RNr. Mário oroš Maturita z matematiky príprava na prijímacie skúšky na vysokú školu T E S T Y Všetky práva sú vyhradené. Nijaká časť tejto knihy sa nesmie reprodukovať mechanicky, elektronicky, fotokopírovaním

Διαβάστε περισσότερα

Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety

Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety Výrok je každá oznamovacia veta (tvrdenie), o ktorej má zmysel uvažovať, či je pravdivá alebo nepravdivá. Výroky označujeme pomocou symbolov: A, B,

Διαβάστε περισσότερα

7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.

7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu. Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B

Διαβάστε περισσότερα

Gymnázium v Košiciach, Opatovská 7 MATEMATIKA

Gymnázium v Košiciach, Opatovská 7 MATEMATIKA Gymnázium v Košiciach, Opatovská 7 MATEMATIKA ŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV, PLUHOVÁ 8, 80 00 BRATISLAVA VZDELÁVACÍ ŠTANDARD S EXEMPLIFIKAČNÝMI ÚLOHAMI Z MATEMATIKY PRE GYMNÁZIUM (štvorročné štúdium) Vypracoval:

Διαβάστε περισσότερα

4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti

4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický

Διαβάστε περισσότερα

XVIII. ročník BRKOS 2011/2012. Pomocný text. Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú

XVIII. ročník BRKOS 2011/2012. Pomocný text. Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú Pomocný text Číselné obory Číselné obory Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú ľudia začali vnímať. Abstrakcia spočívala v tom, že množstvo, ktoré sa snažili

Διαβάστε περισσότερα

Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií

Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť

Διαβάστε περισσότερα

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017 Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine

Διαβάστε περισσότερα

Obyčajné diferenciálne rovnice

Obyčajné diferenciálne rovnice (ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú

Διαβάστε περισσότερα

Číslo a číslica. Pojem čísla je jedným zo základných pojmov matematiky. Číslo je abstraktná entita (fil. niečo existujúce) používaná na opis množstva.

Číslo a číslica. Pojem čísla je jedným zo základných pojmov matematiky. Číslo je abstraktná entita (fil. niečo existujúce) používaná na opis množstva. Číslo a číslica Pojem čísla je jedným zo základných pojmov matematiky. Číslo je abstraktná entita (fil. niečo existujúce) používaná na opis množstva. Číslica (cifra) je grafický znak, pomocou ktorého zapisujeme

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu

Διαβάστε περισσότερα

Symbolická logika. Stanislav Krajči. Prírodovedecká fakulta

Symbolická logika. Stanislav Krajči. Prírodovedecká fakulta Symbolická logika Stanislav Krajči Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice 2008 Názov diela: Symbolická logika Autor: Doc. RNDr. Stanislav Krajči, PhD. Vydala: c UPJŠ Košice, 2008 Recenzovali: Doc. RNDr. Miroslav

Διαβάστε περισσότερα

Funkcie - základné pojmy

Funkcie - základné pojmy Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny

Διαβάστε περισσότερα

Vzorové riešenia 3. kola letnej série 2008/2009

Vzorové riešenia 3. kola letnej série 2008/2009 Vzorové riešenia 3. kola letnej série 00/009 Príklad č. 1 (opravovali Peťo, Juro): Zo zadania vieme, že gulička sa zastavila na čísle deliteľnom tromi, čiže to číslo je násobkom čísla tri. Teraz si vypíšeme

Διαβάστε περισσότερα

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda

Διαβάστε περισσότερα

JKTc01-T List 1. Číselné množiny. Mgr. Jana Králiková

JKTc01-T List 1. Číselné množiny. Mgr. Jana Králiková JKTc01-T List 1 Číselné množiny Mgr. Jana Králiková U: Čo si predstavuješ pod pojmom množina? Ž: Skupinu nejakých vecí. U: Presnejšie by sa dalo povedať, že množina je skupina (súbor, súhrn) navzájom rôznych

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

Matematická logika. Emília Draženská Helena Myšková

Matematická logika. Emília Draženská Helena Myšková Matematická logika Emília Draženská Helena Myšková Košice 2014 Recenzenti: RNDr. Ján Buša, CSc. RNDr. Daniela Kravecová, PhD. Tretie rozšírene a opravené vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedajú

Διαβάστε περισσότερα

Zložené funkcie a substitúcia

Zložené funkcie a substitúcia 3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi

Διαβάστε περισσότερα

Planárne a rovinné grafy

Planárne a rovinné grafy Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia

Διαβάστε περισσότερα

Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh

Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta

Διαβάστε περισσότερα

ZÁPISKY Z MATEMATICKEJ ANALÝZY 1

ZÁPISKY Z MATEMATICKEJ ANALÝZY 1 UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied 4 3 4 n 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 6 7 3 4 2 3 3/5 /2 2/5 /3 /4 /5 /0 d 0/ /0 /5 /4 /3 2/5 6 3 2 3 2 6 5 6 7 3 4 2

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITA MATEJA BELA V BANSKEJ BYSTRICI FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED. Pavol Hanzel, Pavel Klenovčan ČÍSLA A POČÍTANIE

UNIVERZITA MATEJA BELA V BANSKEJ BYSTRICI FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED. Pavol Hanzel, Pavel Klenovčan ČÍSLA A POČÍTANIE UNIVERZITA MATEJA BELA V BANSKEJ BYSTRICI FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED Pavol Hanzel, Pavel Klenovčan ČÍSLA A POČÍTANIE BANSKÁ BYSTRICA 2013 Názov: Čísla a počítanie Autori: Prof. RNDr. Pavol Hanzel, CSc. Doc.

Διαβάστε περισσότερα

23. Zhodné zobrazenia

23. Zhodné zobrazenia 23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:

Διαβάστε περισσότερα

p(α 1 ) = u 1. p(α n ) = u n. Definícia (modulárna reprezentácia polynómu). Zobrazenie

p(α 1 ) = u 1. p(α n ) = u n. Definícia (modulárna reprezentácia polynómu). Zobrazenie 1. Rychlá Fourierová transformácia Budeme značiť teleso T a ω jeho prvok. Veta 1.1 (o interpolácií). Nech α 0, α 1,..., α n sú po dvoch rôzne prvky telesa T[x]. Potom pre každé u 0, u 1,..., u n T existuje

Διαβάστε περισσότερα

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh 16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)

Διαβάστε περισσότερα

Výsledok = 2( ) = (2 15) Zo zadania vieme, že existuje jediná dvojica spĺňajúca rovnicu v zadaní, a preto x = 30.

Výsledok = 2( ) = (2 15) Zo zadania vieme, že existuje jediná dvojica spĺňajúca rovnicu v zadaní, a preto x = 30. Úloha 1J. Malý Peťko kráča s dobou, a preto nosí pár ponožiek tak, že na každej nohe má ponožku inej farby. K dispozícii má 30 červených, 40 zelených a 40 modrých ponožiek vo svojej komode v neosvetlenej

Διαβάστε περισσότερα

Spojitosť a limity trochu inak

Spojitosť a limity trochu inak Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho

Διαβάστε περισσότερα

Gramatická indukcia a jej využitie

Gramatická indukcia a jej využitie a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)

Διαβάστε περισσότερα

2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin

2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin 2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi

Διαβάστε περισσότερα

ÚVOD DO MATEMATICKEJ LOGIKY Podporné učebné texty pre vyučovanie matematiky v 1.ročníku gymnázia

ÚVOD DO MATEMATICKEJ LOGIKY Podporné učebné texty pre vyučovanie matematiky v 1.ročníku gymnázia ÚVOD DO MATEMATICKEJ LOGIKY Podporné učebné texty pre vyučovanie matematiky v 1.ročníku gymnázia 1. VÝROKY Pod pojmom "výrok" rozumieme v bežnom živote čosi ako VÝsledok ROKovania ( napr. súdu, alebo komisie

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

AerobTec Altis Micro

AerobTec Altis Micro AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp

Διαβάστε περισσότερα

(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti:

(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti: Hilbertove priestory Veľké množstvo aplikácií majú lineárne normované priestory, v ktorých norma je odvodená od skalárneho (vnútorného) súčinu, podobne ako v bežnom trojrozmernom euklidovskom priestore.

Διαβάστε περισσότερα