1. CINEMATICA 1.1. SISTEME DE REFERINŢĂ PROBLEMA DE LA PAGINA 1. Pag. 1

Transcript

1

2

3 Pag.. CINEMAICA.. SISEME DE REFERINŢĂ Nimic mai frumos decâ Bucureşiul! Chiar şi cu macarale în prim plan şi cu o Dâmboviţă care nu prea aduce cu Sena sau amisa ouşi, vă sugerează ceva aceasă imagine? Nu mă refer la ideea de jusiţie penru că am surprins în imagine clădirea ribunalului. Mă refer la noţiunea de perspecivă. Da! Perspeciva care face apel la rei dimensiuni spaţiale : lăţime, înălţime şi profunzime reprezenae aici prin rei săgeţi. PROBLEMA DE LA PAGINA Poae fi posibil ca privind o foografie să esimaţi înălţimea unui obiec afla înr-un plan îndepăra? Indicaţie : Ar fi bine să vă aminiţi unele noţiuni elemenare de geomerie şi veţi consaa că misiunea ese realizabilă!

4 Pag. David, sculpură a lui Michelangelo Cele rei dimensiuni spaţiale se regăsesc şi în fiinţa noasră superba fiinţă umană pe care ne-o înfăţişează creaorii de ară. Penru noi oţi eisă diferenţa înre sus-jos, faţăspae, sânga-dreapa. Pe scur, simţurile noasre ne spun că eisăm în spaţiu şi spaţiul are rei dimensiuni. Au eisa şi eisă îndelungi dezbaeri filosofice şi chiar şiinţifice asupra eisenţei sau neeisenţei spaţiului şi, dacă acesa eisă, asupra proprieăţilor sale. Ceea ce ne ineresează în lucrarea de faţă nu sun acese discuţii şi ipoeze, ci doar o simplă abordare pragmaică a realiăţii înconjurăoare, care să ne permiă să eragem concluzii şi legi folosioare în aciviaea noasră de fiecare zi. Prin urmare, ne vom mărgini să afirmăm urmăoarele : Spaţiul ese infini în oae direcţiile. Spaţiul ese omogen şi izorop, adică proprieăţile sale sun aceleaşi în orice punc şi în orice direcţie. Spaţiul are rei dimensiuni. O ală percepţie a simţurilor noasre ese aceea a recerii impului. Cu ale cuvine, răim în imp. Se po spune mule şi despre imp. Po eisa conroverse. Chiar şi în fizică eoria relaiviăţii face afirmaţii despre imp, care mulora li se po părea curioase. Resrângându-ne la abordarea pragmaică despre care discuam, vom afirma urmăoarele : impul se scurge liniar de la recu spre viior, uniform în spaţiu şi independen de prezenţa corpurilor care se află în spaţiu. PRECIZAREA DE LA PAGINA Afirmaţiile pe care le facem aici despre spaţiu şi imp sun sric valabile în cazul mecanicii clasice. Acese afirmaţii nu sun probae eperimenal, ba chiar eisă dovezi eperimenale şi eoreice care le conrazic.

5 Pag. 3 Spaţiul din jurul nosru ese popula cu corpuri maeriale, mobile sau imobile. Cu ale cuvine, unele dinre acese corpuri îşi modifică poziţia în rapor cu celelale. Ceea ce-şi propune CINEMAICA ca şiinţă ese să sudieze mişcările şi să găsească legile după care se desfăşoară acesea. Legile mişcării po fi enunţae caliaiv, în cuvine, sau caniaiv, sub formă de epresii maemaice. Forma maemaică a legilor de mişcare poae fi sabiliă numai definind mărimi fizice măsurabile, măsurându-le eperimenal şi găsind asfel corelaţiile căuae. CUGEAREA DE LA PAGINA 3 o ceea ce se găseşe în spaţiu se supune legilor fizicii. Dacă cunoşi şi asculţi acese legi, spaţiul e va raa cu blândeţe. Şi nu-mi mai spuneţi că omul nu are ce căua acolo. Locul omului ese acolo unde vrea el să fie; şi va face mule lucruri bune când va ajunge acolo. Werner von Braun (9 977)

6 Pag. 4 Referior la spaţiu şi imp, se po defini două mărimi fizice măsurabile : DISANŢA DURAA Măsurarea disanţelor şi duraelor se face cu ajuorul unor ealoane, care mai sun denumie uniăţi de măsură. În Sisemul Inernaţional de Uniăţi de Măsură, disanţele se măsoară în meri, iar duraele în secunde. Disanţa (lungimea) şi duraa (impul) sun mărimi fizice fundamenale ale Sisemului Inernaţional de Uniăţi de Măsură. Ca şi orice ale mărimi fizice fundamenale, disanţa şi duraa au uniăţi de măsură sabilie arbirar. Isoria merului începe în 79, când Academia Franceză l-a defini ca / 4.. din lungimea meridianului eresru care rece prin Paris. În 889, Biroul Inernaţional de Măsuri şi Greuăţi a defini merul drep disanţa înre două linii rasae pe o bară confecţionaă dinrun aliaj de plaină şi iridiu. Progresele în domeniul opicii au condus în 96 la o nouă definiţie : merul ese de ,73 mai mare decâ lungimea de undă a radiaţiei roşu-porocalii a aomului de kripon 86, în vid. Ulima definiţie, în vigoare şi la ora acuală, daează din 983 şi ese urmăoarea : merul ese disanţa parcursă de lumină în vid în a a pare dinr-o secundă. Iniţial, secunda a fos definiă ca a 864-a pare a duraei zilei solare medii. La mijlocul secolului XX a fos necesară o definire mai precisă a uniăţii de măsură a impului. În 96, Biroul Inernaţional de Măsuri şi Greuăţi a adopa definiţia după care secunda ese / ,9747 din duraa anului ropic 9. Deoarece aceasă definiţie nu era operaţională (anul 9 fiind de mul recu), în 964 a fos propusă o nouă definiţie a secundei, care a fos adopaă în 967 şi ese încă în vigoare. Aceasa ese : secunda ese inervalul de imp în care se efecuează oscilaţii asociae ranziţiei înre două nivele hiperfine ale sării fundamenale a aomului de cesiu 33. Puem remarca fapul că deşi ealoanele de imp şi lungime sun prinre cele mai vechi, definirea lor precisă se face pe baza sudiilor de fizică conemporane, efecuae în domenii care nu au nici-o legăură cu mecanica clasică. PRECIZAREA DE LA PAGINA 4 Deşi legislaţia în vigoare impune folosirea merului şi secundei ca uniăţi de măsură, acesea nu po fi adecvae unor anumie siuaţii. Două cazuri, să spunem ereme, ar fi dimensiunile specifice lumii aomilor care se po măsura în angsromi ( Å - m) sau cele cosmice ce se po esima în parseci ( parsec 3,6 ani-lumină 3,9 3 km).

7 Pag. 5 După ce am defini mişcarea ca modificarea poziţiei relaive a corpurilor în spaţiu, pe măsura recerii impului, am vorbi despre cinemaică ca despre şiinţa care urmăreşe să sabilească forma caniaivă a legilor de mişcare, am preciza că forma caniaivă a legilor fizicii se poae sabili numai în urma măsurăorilor eperimenale şi că măsurăorile se po face doar având la îndemână ealoanele adecvae, mai rămâne o singură înrebare : dar care sun corpurile care nu se mişcă şi care sun corpurile în mişcare? Răspunsul la aceasă înrebare, aparen simplă, ese foare complica! Vom încerca găsirea unei eplicaţii câ de câ saisfăcăoare înr-unul din capiolele urmăoare. Penru începu să încercăm o definiţie operaţională a ceea ce înseamnă sarea de mişcare. Privind sculpura din imaginea alăuraă, puem observa că indiferen unde ar fi dusă chiar dacă s-ar afla pe punea unui vapor care raversează oceanul, sau înr-o naveă cosmică disanţele înre cele paru colţuri ale ei nu se modifică în imp. Puem rage concluzia că respecivele paru colţuri formează un sisem de corpuri de referinţă, imobile unele în rapor cu celelale. Faţă de corpul, corpurile, 3, 4 au vecorii de poziţie r,, r,3 şi r,4. r,4 r, r,3 Maemaic vorbind, aceşi rei vecori de poziţie alcăuiesc o bază de vecori în spaţiul ridimensional. Prin operaţii maemaice relaiv simple aceasă bază poae fi ransformaă înro bază de rei vecori oronormaţi e, e y, şi e z care indică direcţiile şi sensurile a rei ae de coordonae careziene. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 5 Versorii unui baze oronormae verifică relaţiile : e, e y, e z e e y, e y e z, e z e e e y e z, e y e z e, e z e e y Orice vecor ese o combinaţie liniară a celor rei versori : A A e + A y e y + A z e z

8 Pag. 6 e z e z O e y y Consruirea sisemului de ae de coordonae ca şi afirmaţia că modulul unui versor ese uniar nu presupun doar aspece maemaice ci şi aspece fizice. Rezulaul final ese baza pe cunoaşerea rapoarelor înre modulele celor rei vecori de poziţie iniţiali. De asemenea, maemaic vorbind, coordonaele, y şi z sun simple numere, incapabile să eprime prin ele însele poziţia unui corp. De aceea, sensul fizic al noţiunii de sisem de ae de coordonae presupune eisenţa unui ealon de lungime. Coordonaele, y, z sun numerele care araă de câe ori se cuprinde ealonul de lungime în disanţele O, Oy sau Oz măsurae în lungul aelor de coordonae fizice. De alfel, chiar şi aele de coordonae din desenul alăura sun de naură fizică şi nu absracă (adică sun rasae pe un supor maerial, au anumie dimensiuni spaţiale ş.a.m.d.) e z e O z e y r y Vecorul de poziţie al unui punc din spaţiu se eprimă în funcţie de proiecţiile orogonale ale puncului pe cele rei ae de coordonae (adică, pe scur, coordonaele puncului) şi versorii aelor de coordonae : r e + y e y + z e z În pracică, coordonaele nu sun simple numere, ci mărimi fizice măsurae cu ealonul de lungime ales. PROBLEMA DE LA PAGINA 6 Calculaţi disanţa dinre puncele A şi B ale căror vecori de poziţie sun : r A e + 4 e y + 3 e z (m) r B 3 e + e y + 5 e z (cm)

9 Pag. 7 Cu recerea impului, poziţia ocupaă de un corp se poae modifica în rapor cu corpurile de referinţă şi, implici, în rapor cu sisemul de coordonae. Imaginea alăuraă vă prezină poziţiile succesive ale unei mingi de basche, sugerându-vă recerea impului prin inensiaea onurilor de gri. Evoluţia de la un on de gri la alul ese o modaliae grafică de a marca recerea unor durae egale, sau, cu ale cuvine, simbolizează indicaţiile unui ceas. Acesea fiind spuse, ajungem în sfârşi la ceea ce denumeam la pagina 5 drep o definiţie operaţională a ceea ce înseamnă sarea de mişcare. Porivi aceseia, mişcarea reprezină modificarea în imp a poziţiei unui corp în cadrul unui SISEM DE REFERINŢĂ. Sisemul de referinţă ese un concep fizic care include urmăoarele elemene : Un ansamblu de corpuri de referinţă considerae fie Un sisem de ae de coordonae, aaşa corpurilor de referinţă Un ealon de lungime, adică o uniae de măsură a disanţelor şi un insrumen cu care se poae face măsurăoarea de lungime (riglă) Un ealon de imp, adică o uniae de măsură a duraelor de imp şi un insrumen cu care se poae face măsurăoarea de imp (ceas) Măsurarea eperimenală a sării de mişcare a unui corp înseamnă în aces cone deerminarea simulană a valorilor coordonaelor mobilului şi a momenelor de imp corespunzăoare. ÎNREBAREA DE LA PAGINA 7 Galileo Galilei a descoperi că perioadele micilor oscilaţii ale unui pendul graviaţional nu depind de ampliudinea de oscilaţie a acesuia urmărind oscilaţiile unui candelabru, în imp ce paricipa la o slujbă religioasă. Înrebarea ese : cum a reuşi aceasa fără a avea un ceas sau al insrumen de măsură a impului?

10 Pag. 8.. RELAIVIAEA MIŞCĂRII ŞI A REPAUSULUI Nu vom vorbi aici despre relaiviaea percepţiilor umane, ci ne vom înreba despre ceva mul mai concre : sun mişcarea sau repausul noţiuni absolue sau nu? Dacă aş afirma că baronul von Münchhausen, călare pe o ghiulea în zbor, ese în repaus, în vreme ce melcul se deplasează cu o vieză de aproimaiv 3 km/s, m-aţi crede probabil la fel de sincer ca şi pe celebrul mincinos-baron, sau la fel de ineligen ca pe melc. Cu oae acesea s-ar puea să am drepae, fireşe omiţând să vă fi spus ceva de la bun începu. Ce ar fi rebui să vă comunic era că aunci când mă refeream la sarea de mişcare a baronului, corpul de referinţă era ghiuleaua, iar când pomeneam melcul, corpul de referinţă era Soarele. Cei care m-ar fi conrazis ar fi făcu-o, fireşe, cu bună credinţă, dar se lăsau ei înşişi înşelaţi de o prejudecaă, şi anume că pămânul pe care ne desfăşurăm eisenţa ese în repaus absolu. Prin urmare, raţionamenul lor, baza pe ideea (şi ea preconcepuă) că o ghiulea în zbor se mişcă faţă de pămân mai repede decâ un melc, li s-ar fi păru perfec valabil. Şi, ca să înregesc şirul de ciudăţenii din aces paragraf, vă voi mai spune că s-ar puea să am drepae şi aunci când, păsrând pămânul ca sisem de referinţă, afirm că eisă un inerval de imp, chiar şi dacă ese aparen mic, în care ghiuleaua se mişcă mai înce decâ melcul (de eemplu, dacă ghiuleaua ese lansaă verical în sus, în puncul de înălţime maimă pe care-l ainge ea ese o clipă în repaus). CUGEAREA DE LA PAGINA 8 Apropo de relaiviae : Nu măsura niciodaă înălţimea unui mune până nu ai ajuns în vârful lui. Aunci vei vedea câ de scund ese. Dag Hammarskjöld, fos secrear general al ONU

11 Pag. 9 CE CONCLUZII REBUIE SĂ RAGEM DIN CELE SPUSE? NU SE POAE VORBI ÎN MOD ABSOLU DESPRE SAREA DE MIŞCARE SAU DE REPAUS A UNUI CORP ÎNAINE DE A SPUNE DACĂ UN CORP ESE ÎN REPAUS SAU ÎN MIŞCARE REBUIE SĂ SABILIM CARE ESE SISEMUL DE REFERINŢĂ FAŢĂ DE CARE SUDIEM EVOLUŢIA CORPULUI Sperând că lucrurile au fos lămurie şi nu încurcae din aces punc de vedere, nu puem, ouşi, să nu ne punem şi unele înrebări : PRIN URMARE, AFIRMĂM CĂ MIŞCAREA SAU REPAUSUL SUN NOŢIUNI RELAIVE, ÎNŢELEGÂND PRIN ACEASA CĂ OBSERVAORI APARŢINÂND UNOR SISEME DE REFERINŢĂ DIFERIE PO AVEA PERCEPŢII DIFERIE ÎN CEEA CE PRIVEŞE SAREA DE MIŞCARE A ACELUIAŞI CORP Ce uiliae mai poae avea cunoaşerea legilor de mişcare înr-un referenţial da, dacă acesea po avea o cu oul ală formă în al referenţial? Eisă oare vreo legăură înre legile de mişcare ale aceluiaşi corp în siseme de referinţă diferie? Cauzele care conduc la o anumiă formă a legii de mişcare depind şi ele de sisemul de referinţă ales sau nu?? O pare din răspunsurile la acese înrebări o veţi găsi în capiolele urmăoare. CUGEAREA DE LA PAGINA 9 Apropo de relaiviae : Când faci cure unei fee frumoase, o oră pare o secundă. Dacă sai pe un grăar încins, o secundă pare o oră. Aceasa ese relaiviaea. Alber Einsein

12 Pag..3. PRINCIPALELE MĂRIMI CINEMAICE Să privim foografia din figura alăuraă. Aceasa înfăţişează o serie de obiece imobile, dar şi o lebădă care se poae deplasa pe suprafaţa apei. Dacă am fi repea foografierea la anumie inervale de imp, am fi surprins lebăda ocupând succesiv poziţiile marcae prin cruciuliţe, în vreme obiecele imobile nu şi-ar fi modifica locul. Fiecare dinre foografii surprinde o sare prin care rece obiecul. Daele caniaive despre acese sări sun coordonaele poziţiei obiecului şi momenele de imp corespunzăoare. Asfel, prima sare surprinsă în foografie ese caracerizaă (vezi figura din dreapa) de coordonaele spaţio-emporale : m y m h min 4 s y (m),4 O ::7 :: ::4 (m) 7 8,5 A doua sare ese caracerizaă de daele : 8,5 m y,4 m h min 7 s Schimbarea de sare ese rezulaul procesului de mişcare mecanică. CUGEAREA DE LA PAGINA impul ese ca un râu alcăui din ceea ce se înâmplă, curgerea sa fiind iue ; nu rece mul de când ceva apare până când piere, iar noul se iveşe penru a dispărea şi el. Marcus Aurelius ( 8), Împăra roman

13 Pag. Cele două sări sun caracerizae de vecorii de poziţie r (, ), respeciv (, ) y r y, şi de momenele de imp, respeciv, iar deplasarea obiecului ese caracerizaă prin vecorul deplasare : r r r şi prin duraa deplasării: -. Să privim figura alăuraă, cazul a. Observăm că vecorii deplasare alcăuiesc o linie frână, care uneşe poziţiile ocupae de obiec în fiecare dinre foografiile succesive. Înjumăăţind in- a ervalele de imp după care se repeă foografierea, se dublează numărul de vecori deplasare ce po fi reprezenaţi (cazul b). Să ne imaginăm că am puea reduce inervalul de imp dinre două fo- b ografii succesive aâ de mul încâ să surprindem obiecul în fiecare din puncele din spaţiu prin care rece. În aces caz segmenele liniei frâne s-ar micşora aâ de mul încâ s-ar forma o curbă coninuă (cazul c). Aceasă curbă coninuă se numeşe raiecorie. Puem remarca că, în general, raiecoria nu coincide cu conurul c poligonal forma de vecorii deplasare. Cu oae acesea, cu câ numărul de sări uiliza penru deerminarea vecorilor deplasare ese mai mare, cu aâ conurul poligonal se apropie mai mul de forma reală a raiecoriei. Rezulă de aici că procesul de mişcare mecanică poae fi aproima prinr-o succesiune de sări, al căror număr rebuie să fie suficien de mare penru ca erorile inroduse să fie convenabil de mici. raiecoria reprezină locul geomeric al puncelor ainse de un mobil în cursul mişcării sale. PRECIZAREA DE LA PAGINA Ce poae însemna afirmaţia erorile inroduse să fie convenabil de mici? Când mergeţi la film, în faţa ochilor vă sun proiecae 4 de foografii în imp de o secundă. Ochiul vosru nu poae discerne fiecare imagine în pare, înregisrând o senzaţie de mişcare adevăraă. Cam acesa ar fi înţelesul afirmaţiei menţionae.

14 Pag. Am puea defini raiecoria şi ca urma lăsaă de un corp în mişcare. Penru eemplificare priviţi figura alăuraă. Jeurile ieşie din mooarele avioanelor lasă pe cer dâre care corespund raiecoriilor fiecărui apara. Am vorbi despre avioane. Să recem la renuri! Cunoaşeţi cu oţii o care erem de ineresană de cii mai ales în cursul lungilor călăorii numiă Mersul renurilor. Iaă un pasaj din ea : Relaţia 3 km Gara P 35 A 4 E 3 Bucureşi Nord 4:5 9:45 6:5 59 Ploieşi Ves 5:8 :4 7:4 Sinaia 7:6 :33 7:58 4 Predeal 7:34 :53 8:8 66 Braşov 8:6 :3 8:5 94 Sighişoara - : : Mediaş - :56 : 374 Blaj - :3 :4 ÎNREBAREA DE LA PAGINA Imaginea alăuraă araă urma lăsaă de un avion cu reacţie. În ce direcţie se deplasează avionul? Veţi răspunde : dinspre sânga-jos spre dreapa-sus. Înrebarea ese : ce vă face să afirmaţi aces lucru?

15 Pag. 3 Privind daele din abel, observăm că ele reprezină o lisă de coordonae legae de poziţie şi imp. Cum puem să eragem o concluzie din aceasă mulţime de cifre? O cale ar fi să facem o reprezenare grafică a disanţei în funcţie de imp. Vom ransforma mai înâi orele în minue, asfel încâ să avem o singură uniae de măsură a impului. Obţinem, în aces mod, abelul de dae alăura : P 35 A 4 E 8 ore: min oal minue km ore: min oal minue km ore: min oal minue km 4: : : : : : : 6 6 : : : : : : : : : : : : : : Fiecare pereche de dae imp-disanţă o reprezenăm prinr-un punc înr-un sisem de ae de coordonae. Rezulă graficul de mai jos : disanţa (km) im p (m in) P 35 A 4 E 3 CUGEAREA DE LA PAGINA 3 Adesea asociem numărul 3 cu ghinionul. Iaă ce spune francezul François La Rochefoucauld (63 68) : Chiar dacă cei mai buni prieeni ai noşri au ghinion, înodeauna vom găsi ceva nosim în asa!

16 Pag. 4 Ce facem mai depare? Am puea uni puncele succesive prin segmene de dreapă (desenae prin linii înrerupe). Ce remarcăm? Curbele obţinue sun aproape nişe linii drepe. Din aces moiv, vom încerca în coninuare să rasăm nişe drepe (de daa aceasa ca linii neînrerupe), care, eviden, nu mai po rece prin oae puncele, dar po fi asfel desenae încâ să lase de o pare sau de ala cam acelaşi număr de punce. Rezulaul ese urmăorul : disanţa (km) imp (min) Remarcăm că oae cele rei renuri au ceva în comun : disanţa srăbăuă ese (aproimaiv) o funcţie liniară de imp! Noând impul cu şi disanţa cu d, puem scrie : d A + B unde A şi B sun două consane. Valorile acesor consane se po deermina din grafic, rezulând : P 35 : d, A 4 : d,5-37 E 3 : d,5-5 PROBLEMA DE LA PAGINA 4 Un călăor rebuie să ajungă de la Bucureşi la Blaj. El ia primul ren (personalul) care-l duce numai până la Braşov. Acolo aşeapă epresul, în care îşi coninuă călăoria. La Mediaş coboară după ţigări, pierde renul şi ese nevoi să-şi ermine voiajul mergând cu acceleraul. Consruiţi graficul disanţă-imp al călăorului şi deerminaţi consanele A şi B.

17 Pag. 5 Acese epresii ne permi să aflăm unde se află fiecare ren la un anumi momen de imp. Asfel, penru : (min) personalul ar rebui să se găsească la disanţa : d, (km) faţă de Bucureşi (verificaţi pe grafic!). O funcţie maemaică care ne permie aflarea poziţiei unui corp la un momen de imp bine sabili se numeşe lege de mişcare. În general, legea de mişcare se referă la vecorul de poziţie. Din aces moiv, în cazul cel mai general, puem scrie: ( ) r r() y y() z z() unde,y şi z sun componenele vecorului de poziţie. Remarcaţi că legea de mişcare ese o ecuaţie vecorială, echivalenă cu rei ecuaţii scalare referioare la componenele vecorului de poziţie. Acesea din urmă se mai numesc ecuaţiile paramerice de mişcare. Să revenim la cele rei renuri. Ar puea cele rei legi de mişcare să ne spună care dinre renuri ajunge mai repede de la Bucureşi la Braşov? Penru a răspunde la înrebare, să luăm din nou cazul personalului. Să scriem legea sa de mişcare la două momene de imp diferie: d, ; d, Scăzând cele două relaţii, rezulă : d - d,68 ( - ) Luând ( - ) 6 (min), rezulă : d - d 4,8 (km). Am afla asfel că în decurs de o oră personalul se deplasează pe o disanţă de 4,8 km. Procedând în mod analog în celelale două cazuri, găsim că acceleraul parcurge 63 km pe oră, iar epresul 69 km pe oră. Acese rei numere ne permi să afirmăm că epresul se deplasează cel mai repede, iar personalul cel mai len. ÎNREBAREA DE LA PAGINA 5 Modul de comparare al rapidiăţilor mişcărilor diferielor mobile pe care îl prezin pe aceasă pagină ese cel radiţional. Cu oae acesea, ar mai puea eisa şi un al mod : cel mai rapid mobil parcurge o disanţă daă în cel mai scur imp. Înrebarea ese : de ce ese prefera primul mod şi nu al doilea?

18 Pag. 6 Penru o analiză caniaivă a mişcărilor unor mobile diferie, ese suficien să comparăm disanţele parcurse de acesea în anumie inervale de imp bine deerminae. Raporul dinre disanţa parcursă de un mobil şi inervalul de imp necesar penru aceasa se numeşe vieză medie. Formula corespunzăoare acesei definiţii ese : d d d v m Să revenim la cele rei renuri. Am afla deja ce vieză medie are mişcarea lor. Oare valorile găsie caracerizează orice porţiune a raseului? Puem verifica aceasa calculând vieza medie pe diferie ronsoane de drum. Mai înâi calculăm lungimea fiecărui ronson şi apoi duraa necesară parcurgerii lui. Raporând lungimea la duraă, aflăm vieza medie. Rezulaele po fi înscrise înr-un abel, după cum urmează : Nr. cr. ronson P 35 A 4 E 3 Bucureşi-Ploieşi 48,5 km/oră 9,8 km/oră 9,8 km/oră Ploieşi-Sinaia 38, km/oră 53,9 km/oră 68,9 km/oră 3 Sinaia-Predeal 4,7 km/oră 57, km/oră 57, km/oră 4 Predeal-Braşov 37, km/oră 4, km/oră 45,9 km/oră 5 Braşov-Sighişoara - 68,6 km/oră 73,8 km/oră 6 Sighişoara-Mediaş - 68,8 km/oră 68,8 km/oră 7 Mediaş-Blaj - 68,3 km/oră 79,4 km/oră Daele din abel po fi reprezenae sub forma unei diagrame, ceea ce uşurează compararea şi inerprearea lor. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 6 Penru că vieza ese o mărime fizică definiă cu ajuorul alor mărimi fizice (disanţa şi duraa), uniaea sa de măsură ese definiă, la rândul ei, în funcţie de uniăţile de măsură ale acesor mărimi fizice. Asfel : [ ] [ d] v [ ] [ ] m v m SI m s

19 Pag. 7 vieza (km/ora), 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,,, ronson P 35 A 4 E 3 Pueţi vedea mai sus o asfel de diagramă. Remarcăm că vieza medie nu ese aceeaşi pe orice porţiune de drum! Rezulă de aici că informaţia cuprinsă în valoarea viezei medii are semnificaţie numai dacă precizăm şi segmenul de drum pe care ea a fos calculaă. Vieza medie nu poae caraceriza sarea de mişcare a unui obiec, adică nu poae oferi o informaţie legaă de un momen concre de imp! Şi aunci, cum puem face disincţia dinre sarea de obiec mobil sau imobil? Simpla precizare a coordonaelor spaţio-emporale ese insuficienă, ceea ce înseamnă că ese necesară definirea unei mărimi fizice, a cărei valoare măsoară caniaiv diferenţa dinre obiecul fi şi cel în mişcare. Aceasă mărime fizică se numeşe vieză momenană, sau pur şi simplu vieză. PRECIZAREA DE LA PAGINA 7 S-ar puea să fie necesar să argumenez afirmaţia : Vieza medie nu poae caraceriza sarea de mişcare a unui obiec. Nimic mai simplu! Fapul că vieza medie a epresului era de 69 km/h, nu poae oferi şi informaţia că el a saţiona minue în gara din Braşov!

20 Pag. 8 Care ese asemănarea dinre vieza medie şi vieza momenană? Ese una singură : formula de calcul ese aceeaşi. Care ese aunci deosebirea dinre vieza medie şi vieza momenană? Din nou ese una singură : inervalul de imp lua în considerare rebuie să fie câ mai scur, asfel încâ şirul de sări prin care rece corpul să fie câ mai mic (idealiza, să se reducă doar la sări erem de apropiae de sarea căreia i se aribuie vieza momenană). Conform celor spuse, puem defini vieza momenană după cum urmează : Vieza momenană ese mărimea fizică vecorială calculaă ca raporul dinre vecorul deplasare şi duraa necesară deplasării, aunci când duraa ese foare mică, adică ese prima derivaă a vecorului de poziţie în rapor cu impul. Formula corespunzăoare ese : r dr v lim sau v r& d raiecorie r, r, r, v În figură se poae observa semnificaţia geomerică a vecorului vieză. Fie sarea marcaă prinr-un cerculeţ, având vecorul de poziţie r, la momenul de imp. Penru a deermina vieza, considerăm două momene de imp <, >, foare apropiae de momenul. rasăm vecorii de poziţie la acese două momene de imp şi facem diferenţa r r r. Înmulţim vecorul r cu scalarul /( - ), găsind asfel vecorul v. r, v Vecorul vieză ese angen la raiecorie. Ca orice al vecor, vecorul vieză are rei componene : v d d & ; v y dy d dz y& ; vz z& ÎNREBAREA DE LA PAGINA 8 În diagrama de la pagina 7 sun prezenae viezele medii penru rei renuri, în funcţie de şape ronsoane de drum care sun menţionae la pagina 6. Viezele medii prezină un minim pe ronsonul 4, Predeal-Braşov. Înrebarea ese : oare de ce?

21 Pag. 9 Vieza aribuiă unui corp în mişcare se poae şi ea modifica în imp. Cum măsurăm câ de repede variază aceasa? Ese nevoie de o nouă mărime fizică, denumiă acceleraţie momenană, sau pur şi simplu acceleraţie. Prin definiţie : acceleraţia momenană ese mărimea fizică vecorială calculaă ca prima derivaă a vecorului vieză în rapor cu impul, sau a doua derivaă a vecorului de poziţie în rapor cu impul. Formula corespunzăoare ese : dv d r a sau d d a v& & r Vecorul acceleraţie are, în general, rei componene: dv dv d y d y dvz d z a & ; ay && y ; az && z d d d d d d v, v, v, v, a, a, v, Similar cu vecorul vieză, se poae consrui geomeric vecorul acceleraţie (vezi figura alăuraă). În general, vecorul acceleraţie ese oriena sub un anumi unghi în rapor cu vecorul vieză, iar cei doi vecori formează un plan. Alegând în aces plan a n, două ae de coordonae perpendiculare, una dinre ele fiind îndrepaă în sensul viezei, eisă două componene ale acceleraţiei : acceleraţia angenţială, orienaă paralel cu vecorul vieză, şi acceleraţia normală, orienaă perpendicular pe vecorul vieză. Eviden, vecorul acceleraţie nu are şi o componenă perpendiculară pe aces plan. a, INFORMAŢIA DE LA PAGINA 9 Penru că acceleraţia ese o mărime fizică definiă cu ajuorul alor mărimi fizice (vieză şi duraa, sau disanţă şi duraă), uniaea sa de măsură ese definiă, la rândul ei, în funcţie de uniăţile de măsură ale acesor mărimi fizice. Asfel : [ ] [ v] m a [ a] SI s [ ]

22 Pag. Din cele discuae până acum reiese fapul că sarea momenană a unui corp în mişcare ese caracerizaă de rei mărimi fizice vecoriale : vecorul de poziţie r, vieza v şi acceleraţia a, la care se adaugă momenul de imp. Valorile şi orienările celor rei mărimi vecoriale se po modifica în imp. Funcţiile maemaice care permi aflarea poziţiei, viezei sau acceleraţiei la un momen de imp da se numesc legi de mişcare sau ecuaţii de mişcare (legea/ecuaţia spaţiului, legea/ecuaţia viezei, sau legea/ecuaţia acceleraţiei). În principiu, dacă cunoaşem ecuaţia acceleraţiei, poziţia şi vieza iniţială ale unui mobil, puem să deerminăm aâ ecuaţia viezei, câ şi ecuaţia spaţiului. Cu ale cuvine, dacă şim locul unde se află mobilul şi ce vieză are la un momen iniţial, precum şi acceleraţia sa la oae momenele de imp, puem afla vieza şi poziţia mobilului la orice momen de imp. v a v v v r r Consrucţia geomerică a viezei La momenul iniţial se cunosc vecorii v şi a. Vieza la momenul + ese daă de suma vecorială : v v + a Vieza v se calculează asemănăor, folosind acceleraţia a de la momenul + şi vieza v. Ieraţiile po coninua până la deerminarea vecorului v, la momenul. r Consrucţia geomerică a vecorului de poziţie La momenul iniţial se cunosc vecorii r şi v. Vecorul de poziţie la momenul + ese da de suma vecorială : r r + v Vecorul r se calculează asemănăor, folosind vieza v de la momenul + şi vecorul de poziţie r. Ieraţiile po coninua până la deerminarea vecorului r, la momenul. PROBLEMA DE LA PAGINA Consideraţi două cazuri : a) Acceleraţia şi vieza sun mereu paralele b) Acceleraţia şi vieza sun mereu perpendiculare În ambele cazuri modulul acceleraţiei ese consan, iar mobilul se află iniţial în originea aelor de coordonae. Consruiţi geomeric succesiunea de punce prin care rece mobilul.

23 Pag. Consrucţiile geomerice făcue penru a deermina vecorul vieză sau vecorul de poziţie au un echivalen analiic : operaţiile de inegrare. Cunoscând epresia analiică a acceleraţiei ca funcţie de imp, epresia viezei se calculează cu inegrala : v a () v( ) () Cunoscând epresia analiică a viezei ca funcţie de imp, epresia vecorului de poziţie se calculează cu inegrala : r + () r( ) + v() d d ÎN REZUMA Principalele mărimi cinemaice care caracerizează deplasarea unui mobil sun : vecorul de poziţie, vecorul vieză şi vecorul acceleraţie. Cunoscând epresia analiică a vecorului de poziţia (adică legea spaţiului), vieza şi acceleraţia se po calcula prin derivare : dr () ( ) dv () ( ) d r( ) v r& ; a & r d d d Cunoscând epresia analiică a acceleraţiei (adică legea acceleraţiei), vieza şi vecorul de poziţia se po calcula prin inegrare : v () v( ) + a() d ; r() r( ) + v() Ecuaţia raiecoriei se poae afla eliminând impul înre ecuaţiile paramerice de mişcare. d PROBLEMA DE LA PAGINA ese : () y z + Epresia analiică a vecorului de poziţie al unui mobil r r cosω e + r sinω e + r e ; r, ω R. Calculaţi vieza şi acceleraţia mobilului. Găsiţi ecuaţia raiecoriei şi reprezenaţi-o grafic înr-un sisem de ae de coordonae.

24 Pag..4. CLASIFICAREA MIŞCĂRILOR DUPĂ RAIECORIE ŞI LEGEA DE MIŞCARE, PRINCIPALELE IPURI DE MIŞCĂRI Piesă în mişcare de balans Piesă în mişcare liniară Piesă în mişcare de roaţie Regulaor în mişcare de roaţie Lanţ de ransmisie În figură se poae vedea o maşină cu aburi din secolul al XIX-lea. Desigur, pueţi remarca compleiaea ei: piese care se roesc, piese în mişcare liniară, piese care balansează, roţi dinţae, lanţ de ransmisie Cum se poae oare consrui ceva aâ de complica? CUGEAREA DE LA PAGINA Apropo de efecele imediae ale indusrializării : Sărăcia naşe ură ; cei în suferinţă urau maşinile care - credeau ei - le luaseră pâinea de la gură ; urau clădirile care adăposeau maşinile ; urau fabricanţii care posedau acele clădiri. Charloe Bronë (86 855), scriioare brianică

25 Pag. 3 aina consă în cunoaşerea legilor după care se mişcă componenele sau părţile lor. Cunoscând acese legi, ese relaiv simplu să anicipezi prin calcul cum va funcţiona ansamblul pieselor, să le consruieşi şi să le asamblezi (simplu penru inginerul a cărui meserie consă ocmai în aceasa!). În fond, acese cunoşinţe au sa la baza Revoluţiei Indusriale din veacul al XIX-lea. Veţi spune : Bine, şi ce legăură are asa cu fizica?. Legăura ese ocmai capiolul de faţă. Un prim demers al cinemaicii ese realizarea unei clasificări a mişcărilor. Clasificarea mişcărilor se poae face în două moduri : după forma raiecoriei după legea de mişcare pe raiecorie Cea mai generală formă de raiec orie ese linia curbă. Dacă raiecoria unui mobil ese o curbă oarecare, spunem că mobilul are o raiecorie curbilinie Dacă curba are forma pariculară de cerc, spunem că mobilul are o raiecorie circulară Dacă curba se reduce la o dreapă, spunem că mobilul are o raiecorie recilinie Clasificarea mişcărilor după forma raiecoriei PRECIZAREA DE LA PAGINA 3 Deşi figura de pe aceasă pagină v-ar puea sugera că raiecoriile curbilinii sun plane, aces lucru nu ese adevăra. Un eemplu de raiecorie ce nu ese plană îl înâlnim în cazul mişcării elicoidale pe care o poae avea un purăor de sarcină elecrică care se deplasează în câmp magneic.

26 Pag. 4 Cea mai generală mişcare ese mişcarea variaă. Înr-o mişcare variaă modulul viezei se modifică de la un momen de imp la alul. v Mişcarea uniform variaă ese mişcarea în care modulul viezei variază cu caniăţi egale în inervale de imp egale. Mişcarea uniformă ese mişcarea în care modulul viezei ese co nsan în imp. v v v v Clasificarea mişcărilor după legea de mişcare Când vorbim despre ipul de mişcare al unui corp rebuie să furnizăm ambele informaţii necesare : forma raiecoriei şi legea de mişcare. Eisă, asfel, mişcări circulare uniforme, mişcări recilinii uniform variae, mişcări curbilinii variae, ş.a.m.d. Deşi cele mai generale ipuri de raiecorii sun cele curbilinii, iar cele mai generale ipuri de legi de mişcare corespund mişcărilor variae, ouşi, în pracica inginerească predomină ipurile simple de mişcări, cum ar fi cele recilinii sau circulare, respeciv uniforme şi uniform variae. De mule ori eisă nevoia de a converi un ip de mişcare în alul. Figura alăuraă vă înfăţişează cum se poae ransforma o mişcare de roaţie înr-o mişcare recilinie cu ajuorul unui roliu. PROBLEMA DE LA PAGINA 4 Fânâna din imaginea de mai sus are m adâncime. Diamerul buucului roliului ese de 5 cm, iar raza manivelei ese de 5 cm. Câe roaţii sun necesare penru a scoae găleaa la suprafaţă?

27 Pag. 5 Vom discua în cele ce urmează principalele ipuri de mişcări mecanice..4.. MIŞCAREA RECILINIE UNIFORMĂ Mişcarea recilinie uniformă ese mişcarea care se face în linie dreapă, vieza având aceeaşi valoare în orice punc al raiecoriei (deci vecorul vieză ese consan în imp). O z vecorul vieză mobil y raiecoria După cum se vede în figura alăuraă, raiecoria poae avea o direcţie oarecare în rapor cu aele sisemului de referinţă. Vecorul vieză ese paralel cu direcţia raiecoriei. În figura din dreapa sun reprezenaţi vecorii de poziţie ai mobilului la două momene de imp : şi. Conform definiţiei viezei momenane, puem scrie : dr v d Penru că vieza ese consană prin definiţie deerminarea legii de mişcare prin inegrare ese foare simplă : r () r( ) + v() d r + v d r + v( ), r z r, r Ecuaţia spaţiului în mişcarea recilinie uniformă v y Ecuaţia spaţiului în mişcarea recilinie uniformă ese o ecuaţie vecorială, echivalenă cu rei ecuaţii scalare, câe una penru fiecare aă de coordonae : ÎNREBAREA DE LA PAGINA 5 Un avion zboară de la Bucureşi la Beijing, în linie dreapă, cu vieză consană şi la aliudine consană. Înrebarea ese : mişcarea avionului ese sau nu o mişcare recilinie şi uniformă?

28 Pag. 6 ( ) ( ) ( ) + v y y + v y z z + vz În acese ecuaţii :, y, z reprezină coordonaele puncului în care se află mobilul la momenul de imp, y, z reprezină coordonaele puncului în care se află mobilul la momenul de imp v, v y, v z sun componenele vecorului vieză z y, v, Dacă nu ese impusă o anumiă orienare a aelor de coordonae, ele po fi alese asfel încâ vecorul vieză să fie paralel cu aa O. În aces caz raiecoria ese paralelă cu aa O, iar componenele v y şi v z sun nule. De asemenea, alegerea sisemului de coordonae se poae face asfel încâ şi coordonaele y şi z să fie nule (vezi figura alăuraă). În acese condiţii, din seul de rei ecuaţii ne rămâne una singură : + v ( ) rebuie remarca că în aceasă ecuaţie v reprezină proiecţia vecorului vieză pe aa O. Aceasă proiecţie ese un număr poziiv dacă vieza are sensul aei O. În caz conrar, proiecţia viezei ese un număr negaiv. Fie mai mule momene de imp succesive :,, 3,., n-, n, asfel încâ : n - n- τ. Conform ecuaţiei spaţiului, puem scrie : v( j ) ( ) j + j j v( j j ) vτ j {,n} j + v j Remarcăm că disanţa parcursă în oricare dinre inervalele de imp considerae ese aceeaşi. Rezulă că în mişcarea recilinie uniformă mobilul parcurge disanţe egale în inervale de imp egale. ÎNREBAREA DE LA PAGINA 6 Fie două mobile care în inervale de imp egale parcurg disanţe ce se află mereu în rapor de /3. Înrebarea ese : pueţi afirma cu siguranţă că mobilele în discuţie efecuează mişcări recilinii şi uniforme?

29 Pag. 7 Acceleraţia momenană ese definiă asfel : dv a d Cum vecorul vieză ese consan, rezulă : a În mişcarea recilinie uniformă acceleraţia mobilului ese nulă. Poziţia mobilului, vieza şi acceleraţia sun funcţii de imp. Ele po fi reprezenae grafic în două cazuri. a (m/s ) (s) Vecorul vieză are acelaşi sens ca şi aa O v (m/s) v (s) (m) (s) Vecorul vieză are sens opus aei O Indiferen de sensul viezei acceleraţia ese nulă. Dacă vecorul vieză ese oriena în sensul poziiv al aei O, valoarea sa numerică ese poziivă, iar în caz conrar ese negaivă. Dacă vecorul vieză ese oriena în sensul poziiv al aei O, valoarea coordonaei creşe în imp, iar în caz conrar scade. Aria cuprinsă înre aa impului şi graficul viezei, limiaă de momenele de imp şi, ese numeric egală cu disanţa parcursă de mobil. -v v (m/s) (s) (m) (s) PROBLEMA DE LA PAGINA 7 Graficul alăura reprezină variaţia poziţiei a două mobile în funcţie de imp. Deerminaţi unde şi când se înâlnesc cele două mobile.

30 Pag MIŞCAREA RECILINIE UNIFORM VARIAĂ Mişcarea recilinie uniform variaă ese mişcarea care se desfăşoară în linie dreapă şi în care modulul viezei variază cu caniăţi egale în inervale de imp egale. sau : v, v, v, a( - ) v, a) În aces caz vecorul vieză variază ca orienare a( - ) b) Penru ca vecorul vieză să nu varieze ca orienare, ese necesar ca vecorul acceleraţie să fie paralel cu vecorul vieză + ( v v a ) Să ne aminim că vecorul vieză ese permanen angen la raiecorie. Rezulă că aunci când raiecoria ese recilinie, vecorul vieză nu variază ca orienare. Din definiţia acceleraţiei momenane : dv a d puem afla vieza la momenul : v v + ad Ecuaţia viezei în mişcarea uniform variaă În figura de mai sus se poae vedea rezulaul acesei operaţii cu vecori. Se observă că dacă direcţia acceleraţiei nu coincide cu direcţia viezei, vecorul vieză variază ca orienare. Rezulă de aici că : În mişcarea recilinie uniform variaă vecorul acceleraţie ese permanen paralel cu vecorul vieză şi, implici, cu direcţia mişcării. CUGEAREA DE LA PAGINA 8 Mişcarea fiind eernă, prima cauză a mişcării, dacă ese doar una, rebuie să fie de asemenea eernă. Arisoel (384 ÎC 3 ÎC), filosof grec, în carea Fizica

31 Pag. 9 Alegând sisemul de referinţă asfel încâ raiecoria să se suprapună pese aa O, a v v obţinem siuaţia din O figura alăuraă. Se,, observă că vecorul acceleraţie poae avea acelaşi sens ca şi vecorul vieză, dar şi sens opus. Ecuaţia vecorială scrisă anerior se a v v reduce în cazul acesa O la o singură ecuaţie,, scalară, referioare la componenele vecorilor pe aa O: v v + a( ) (nu uiaţi că valorile numerice ale mărimilor din ecuaţie sun poziive dacă sensul vecorului corespunzăor coincide cu sensul aei, respeciv negaive în caz conrar!). sau : v v v (m/s) + v - ( ) a d a + (s) [ v + a( )] ( ) În figura alăuraă se poae vedea graficul viezei în funcţie de imp. Ca şi în cazul mişcării recilinii uniforme, aria cuprinsă înre aa impului şi graficul viezei, limiaă de momenele şi, ese numeric egală cu disanţa parcursă de mobil : -. Se şie că aria cuprinsă înre graficul unei funcţii şi abscisă ese o reprezenare geomerică a inegralei funcţiei respecive : d v a + a Ecuaţia spaţiului în mişcarea recilinie uniform variaă PROBLEMA DE LA PAGINA 9 Înre inervalele de imp şi, un mobil afla în mişcare recilinie uniform variaă îşi modifică vieza de la valoarea v la valoarea v. Ce vieză medie i se poae aribui mobilului în aces inerval de imp?

32 Pag. 3 Aceasă ecuaţie permie calcularea coordonaei a puncului în care se află mobilul la momenul de imp, cunoscând poziţia sa iniţială şi vieza sa iniţială v (la momenul ), precum şi acceleraţia mişcării a. 4, 3, Un eemplu de mişcare recilinie uniform variaă (m),, ) Sarea iniţială, v 5 m/s, -, ) Mobilul se depărează de origine, iar vieza scade. -,,,5,,5,,5 3, (s) Ecuaţia mişcării : m m 5 4 s s 3) Mobilul a ajuns la disanţa maimă faţă de origine. În aces momen vieza sa ese nulă. 4) Vieza îşi schimbă sensul, iar mobilul se apropie de origine. Modulul viezei creşe. v (m/s) 6, 4,,, -, -4, -6, -8,,,5,,5,,5 3, Ecuaţia viezei : (s) v m 5 s m 4 s Un eemplu de mişcare recilinie uniform variaă ) Sarea iniţială, v 5 m/s ) Vieza ese poziivă şi scade. 3) Mobilul ese momenan în repaus. 4) Vieza ese negaivă şi creşe în modul. PROBLEMA DE LA PAGINA 3 La pagina 7 se află o foografie care înfăţişează raiecoria pe care o urmează o minge de basche. Eaminând foografia şi uilizând o riglă, deerminaţi ipurile de mişcare ale proiecţiilor cenrului mingii pe aele de coordonae.

33 Pag. 3 O ală ecuaţie imporană a mişcării uniform variae se poae obţine eliminând ermenul ( - ) înre ecuaţia viezei şi ecuaţia spaţiului : v v v v + a( ) ( ) a sau : + v ( ) + a( ) + v v v a + v v a a v v ( ) + a Aceasă relaţie se numeşe ecuaţia lui Galilei. Ea permie calcularea viezei v dacă se cunosc vieza iniţială v, acceleraţia a şi disanţa parcursă de mobil de la începuul mişcării: ( - ) MIŞCAREA CIRCULARĂ UNIFORMĂ r Mişcarea circulară uniformă ese mişcarea care se desfăşoară pe un cerc şi în care modulul viezei ese consan. v r r v v Penru că modulul viezei ese consan, mobilul afla în mişcare circulară uniformă parcurge arce de cerc egale în inervale de imp egale. Faţă de cenrul cercului, un arc de cerc ese delimia de două vecori de poziţie, care formează un anumi unghi înre ei. Din aceea că arcele de cerc parcurse în inervale de imp egale sun egale, rezulă că şi unghiurile la cenru măurae de raza vecoare în inervale de imp egale au valori egale. PROBLEMA DE LA PAGINA 3 Luând în ecuaţia lui Galilei v v, rezulă : a( ). În afara cazului banal a, ce ale semnificaţii pueţi aribui acesei siuaţii?

34 Pag. 3 Să considerăm un mic inerval de imp r,. În figura alăuraă se poae vedea că în dθ aces inerval de imp mobilul parcurge pe raiecorie o disanţă s, iar raza vecoare ds măură un unghi la cenru θ. Conform definiţiei viezei : r, ' + d ds v d Şim că lungimea arcului de cerc ese proporţională cu unghiul la cenru eprima în radiani : ds r dθ unde r ese raza cercului. Înlocuind în formula de definiţie a viezei, obţinem : dθ dθ v v r d d r Observăm că raporul v/r ese consan în imp. Rezulă că şi raporul dθ/d ese consan în imp. Ce semnificaţie are aces rapor? Luând d egal cu uniaea de măsură a impului, dθ reprezină unghiul la cenru măura de raza vecoare în uniaea de imp. Concluzia ese că : Înr-o mişcare circulară uniformă unghiul la cenru măura în uniaea de imp de raza vecoare are o valoare consană pe oaă duraa mişcării. Aces rapor consan poae fi lua ca o măsură a mişcării circulare uniforme, primind denumirea de vieză unghiulară : dθ ω d Puem reformula legea de mişcare asfel : înr-o mişcare circulară uniformă vieza unghiulară ese consană în imp. Relaţia dinre vieza cu care se deplasează mobilul pe cerc (numiă şi vieză liniară) şi vieza unghiulară ese urmăoarea : v ωr INFORMAŢIA DE LA PAGINA 3 Penru că vieza unghiulară ese o mărime fizică definiă cu ajuorul unghiului la cenru şi duraei, uniaea sa de măsură ese definiă, la rândul ei, în funcţie de uniăţile de măsură ale acesor mărimi fizice. Asfel : [ ] [ θ] ω [ ] [ ω] SI rad s

35 Pag. 33 Observăm că vieza liniară ese proporţională aâ cu vieza unghiulară, câ şi cu lungimea razei raiecoriei. O caracerisică a acesei relaţii ese aceea că ea depinde de modulele a două mărimi vecoriale: raza vecoare şi vieza. Oare ce operaţie maemaică cu vecori ar corespunde acesei relaţii înre module? Prima supoziţie ar fi aceea că vieza unghiulară ese o mărime scalară şi că : v ωr. Consecinţa ar fi că vecorii vieză şi rază vecoare ar rebui să fie orienaţi pe direcţii paralele, ceea ce ese fals penru că vieza şi raza vecoare sun perpendiculare). Rezulă de aici că vieza unghiulară rebuie să fie o mărime vecorială! Veţi înreba : dar ce informaţie suplimenară, legaă de direcţie şi sens, poae pura vieza unghiulară? Dacă priviţi figura alăuraă pueţi observa că eisă două ω informaţii imporane : în ce plan se desfăşoară mişcarea circulară uniformă care ese sensul de roaţie pe raiecorie Penru ca vecorul vieză unghiulară să cuprindă acese informaţii se uilizează urmăoarele convenţii : direcţia vecorului ese perpendiculară pe planul raiecoriei sensul vecorului ese acelaşi cu sensul în care înainează un burghiu drep, aşeza perpendicular pe planul raiecoriei, aunci când ese roi în acelaşi sens cu sensul în care se desfăşoară mişcarea circulară Deci relaţia înre vecorii vieză unghiulară, vieză liniară şi rază vecoare poae fi scrisă ca un produs vecorial : v ω r ω r v Orienarea vecorilor ese cea din figura alăuraă. Observăm că ei formează un riedru drep, fiind perpendiculari doi câe doi. are drep rezula e- INFORMAŢIA DE LA PAGINA 33 Dublul produs vecorial A ( B C) presia : B( A C) C( A B). Prin urmare : ω v ω ( ω r) ω( ω r) r( ω ω) Deoarece ω ese perpendicular pe r rezulă că ω r şi : ω v ω r

36 Pag. 34 Vieza unghiulară ese consană în imp. De aceea puem scrie : dθ ω dθ ωd θ θ + ω d d sau : θ θ ( ) + ω Legea spaţiului în mişcarea circulară uniformă diameru de referinţă θ, Aceasă ecuaţie permie calcularea unghiului la cenru pe care îl face raza vecoare cu diamerul de referinţă (vezi figura θ, alăuraă), la momenul de imp, cunoscând vieza unghiulară şi unghiul la cenru la momenul de imp iniţial. În mişcarea uniformă modulul viezei liniare ese consan, dar vecorul vieză îşi schimbă în permanenţă orienarea. Rezulă de aici că vecorul vieză variază în imp. Cu ale cuvine, mişcarea uniform variaă ese o mişcare acceleraă. Rezulă : y v r θ r Am reprezena în figura alăuraă poziţia unui mobil care se roeşe pe un cerc de rază r, la un momen de imp oarecare. Vecorul de poziţie r se poae eprima în funcţie de proiecţiile sale pe aele de coordonae şi de versorii acesora : r e + ye La rândul lor, cele două proiecţii po fi eprimae cu ajuorul unghiului la cenru θ şi al modulului razei vecoare r : r cosθ ; y r sinθ r cos θ e + r sinθ e y y PROBLEMA DE LA PAGINA 34 Demonsraţi că vecorul ω ese consan în imp.

37 Pag. 35 Vieza ese prima derivaă a vecorului de poziţie în rapor cu impul, rezulând : dr d( r cosθ e + r sinθ e y ) dθ dθ v r sinθ e + r cosθ e y d d d d sau : v ωr sinθ e + ωr cosθ e Acceleraţia ese prima derivaă a vecorului vieză în rapor cu impul, rezulând : dv d( ωr sinθ e + ωr cosθ e y ) dθ dθ a ωr cosθ e ωr sinθ e y d d d d sau : a ω r cosθ e ω r sinθ e ω r cosθ e + r sinθ e ω y ( ) r y y Acceleraţia ese proporţională cu păraul viezei unghiulare şi cu modulul razei vecoare. Vecorul acceleraţie momenană are direcţia razei vecoare momenane, iar sensul ei ese opus sensului vecorului de poziţie. Rezulă că vecorul acceleraţie ese îndrepa căre cenrul raiecoriei şi ese de asemenea perpendicular pe vecorul vieză. Din acese moive, acceleraţia mişcării circulare uniforme se numeşe acceleraţie cenripeă sau acceleraţie normală. O caracerisică imporană a mişcării circulare uniforme ese fapul că raiecoria ese o curbă închisă. De aici decurge repearea în imp a poziţiilor prin care rece mobilul. Spunem din aces moiv că mişcarea circulară uniformă ese o mişcare periodică. Perioada reprezină inervalul de imp după care mişcarea se repeă idenic. Înr-o perioadă mobilul parcurge înreaga circumferinţă a raiecoriei. Cum vieza unghiulară ese consană, puem scrie : π ω Perioada se măsoară în Sisemul Inernaţional în secunde. CONCLUZIA DE LA PAGINA 35 Dacă comparaţi epresia acceleraţiei normale, obţinuă pe aceasă pagină, cu rezulaul calculului din cadrul Informaţiei de la pagina 33, veţi rage urmăoarea concluzie : a ω v ω ω r ( )

38 Pag. 36 O ală mărime care reflecă caracerul repeabil al mişcării circulare uniforme ese frecvenţa. Prin definiţie, frecvenţa reprezină numărul de roaţii complee efecuae în uniaea de imp. Eviden, frecvenţa araă de câe ori se cuprinde perioada mişcării în uniaea de imp : ν Uniaea de măsură a frecvenţei în Sisemul Inernaţional se numeşe roaţii pe secundă MIŞCAREA OSCILAORIE ARMONICĂ Mişcarea oscilaorie armonică ese mişcarea a cărei ecuaţie ese de forma : Asin( ω + ϕ) sau Acos( ω + ϕ). Paramerii care inervin în epresie au urmăoarele semnificaţii: elongaţia oscilaţiei, A ampliudinea oscilaţiei, ω - pulsaţia oscilaţiei, ϕ - faza iniţială a oscilaţiei, Φ ω + ϕ - faza oscilaţiei, momenul de imp. Mişcările oscilaorii armonice sun periodice. Perioada de oscilaţie ese inervalul de imp după care oscilaţia se repeă idenic. Conform definiţiei perioadei de oscilaţie, elongaţia unei oscilaţii periodice rebuie să ia aceleaşi valori după recerea unor inervale de imp egale cu câe o perioadă. Asfel, penru o oscilaţie armonică : PROBLEMA DE LA PAGINA 36 Mule din ceasurile cu pendul au lungimea acesuia de circa m, ceea ce le permie să efecueze o oscilaţie compleă în două secunde. Presupunând că acesa ese şi cazul ceasului din foografie şi că lungimea arcului de cerc pe care se deplasează eremiaea pendulului ese de cm, calculaţi duraa dinr-o perioadă în care eremiaea pendulului se află înr-un inerval de ±5 cm în jurul poziţiei de echilibru.

39 sau : De aici obţinem : A sin A sin Pag. 37 ( + ) ( ) [ ω( + ) + ϕ] Asin( ω + ϕ) [ ω( + ) + ϕ] Asin( ω + ϕ) Asin sin ω + ϕ + imp elongaie vieza acceleraie Variaţia în imp a elongaţiei, viezei sau acceleraţiei oscilaorului armonic ω ω Aceasă egaliae ese adevăraă penru orice momen de imp doar dacă : ω kπ, k ℵ sau : k π ω Eviden, inervalul de imp minim corespunde valorii înregi k, asfel încâ perioada oscilaorului armonic are epresia : π ω Inversul perioadei de oscilaţie se numeşe frecvenţă. Rezulă : ω ν π Când elongaţia oscilaorului armonic reprezină disanţa la care se află oscilaorul faţă de poziţia de echilibru, prima derivaă a elongaţiei în rapor cu impul are semnificaţia de vieză, iar a doua derivaă pe aceea de acceleraţie : Asin d d ( ω + ϕ) v & ωacos( ω + ϕ) d Asin d Eaminând acese relaţii, observăm că : dv d ( ω + ϕ) a && ω Asin( ω + ϕ) a ω & + ω Ecuaţia diferenţială a oscilaorului armonic PROBLEMA DE LA PAGINA 37 ω Ese 3cosω + 6sinω + 8sin oscilaţie armonică sau nu? π ω + cos 8 π + 8 o

40 Pag RANSFORMAREA COORDONAELOR z y z v y Primul balon cu aer cald al f raţilor Mongolfier, 783 Un desen de epocă ne înfăţişează primul zbor cu un balon cu aer cald, efecua având oameni la bord. Mi-am permis să adaug desenului original şi două siseme de ae de coordonae, unul lega de pămân şi celălal aaşa balonului. Am ales aele de coordonae în aşa fel încâ direcţiile lor să fie paralele, iar vieza balonului (consană) să fie orienaă în lungul aei O. Vieza balonului? Scuzaţimă, am uia să precizez : vieza balonului faţă de pămân, adică, mai precis, vieza deplasării pe aa O. Eviden, vieza balonului în rapor cu el însuşi ese nulă, dar, în schimb, faţă de aeronauţi, oaă piaţa din imagine se deplasează, rămânând în urmă. Diferenţa înre ceăţenii din piaţă şi aeronauţi ese aceea că dacă primii sun siguri de imobiliaea clădirilor, ceilalţi ar puea avea dubii! INFORMAŢIA DE LA PAGINA 38 Primul zbor cu oameni la bord al unui balon cu aer cald s-a făcu la noiembrie 783, la Paris. Pasagerii erau Pilare de Rozier şi François Lauren, marchiz d'arlandes. Zborul deasupra Parisului a dura 5 de minue, imp în care s-au srăbău 9 kilomeri.

41 Pag. 39 Cel mai rău lucru care li s-ar fi puu înâmpla aeronauţilor era să fie prinşi înr-o ornadă, aşa cum am încerca să sugerez în imaginea alăuraă (pe care, mărurisesc n-am ruca-o prea bine). Mişcarea lor faţă de pămân n-ar mai fi fos o simplă ranslaţie lină, ci o mişcare acceleraă, în care oul s-ar fi roi în jur (în afară, bineînţeles, de sisemul lor de referinţă : balonul). SUBIECUL ACESEI LECŢII ESE SABILIREA RELAŢIILOR DE CORESPONDENŢĂ ÎNRE POZIŢIILE, VIEZELE ŞI ACCE- LERAŢIILE UNUI MOBIL, AŞA CUM SUN MĂSURAE ELE DE DOI OBSERVAORI AFLAŢI ÎN SISEME DE REFERINŢĂ DIFERIE, UNUL DINRE ACESEA FIIND ÎN RANSLAŢIE ŞI ROAŢIE FAŢĂ DE CELĂLAL. z O z O r OO r y r M y Să presupunem că sisemul de coordonae O ese în repaus, iar sisemul O în ranslaţie şi roaţie. Mobilul M se deplasează aâ în rapor cu O, câ şi cu O. La acelaşi momen de imp, mobilul M are o poziţie faţă de O (pe care convenţional o numim poziţie absoluă) şi o poziţie faţă de O (pe care o convenţional o numim poziţie relaivă). Vecorii de poziţie corespunzăori r, respeciv r. o la acel momen de imp, vecorul de poziţie al puncului O faţă de puncul O ese r OO. Cei rei vecori sun reprezenaţi în figura alăuraă, iar relaţia înre ei ese urmăoarea : PRECIZAREA DE LA PAGINA 39 Referior la balonul prins în miezul ornadei : nu poţi afirma că sisemul de referinţă lega de pămân ese mai bun decâ cel lega de balon sau invers. ouşi, ese mai pracic sisemul de referinţă lega de pămân, şi vom vedea de ce în secţiunea închinaă Dinamicii.

42 Pag. 4 r r OO + r' ' Relaţia înre vecorii de poziţie ai unui mobil în rapor cu două siseme de referinţă diferie. DESPRE VARIAŢIA ÎN IMP A BAZEI DE VERSORI A UNUI SISEM DE COORDONAE CARE EXECUĂ O MIŞCARE DE ROAŢIE ÎN JURUL ORIGINII e z ( + d) e z () e () e ( + d) e y ( + d) e y () La momenul baza de versori ese : e ( ), e ( ), e ( ) y La momenul imedia urmăor + δ baza de versori devine : e + dδ, e + δ, ez + δ ( ) ( ) ( ) y Noii versori po fi eprimaţi prin combinaţii liniare ale vechilor versori, oţi coeficienţii δα ij fiind caniăţi foare mici în comparaţie cu uniaea : z Mai puem scrie : e e e e e e y z y z ( + δ) ( + δα ) e ( ) + δα e ( ) + δα e ( ) ( + δ) δα e ( ) + ( + δα ) e () + δα e () y ( + δ) δα e () + δα e () + ( + δα ) e () ( + δ) e ( ) δ ( + δ) e ( ) δ ( + δ) e ( ) δ y z z δα δ δα δ δα δ y z e e e zy y yy δα y y y y z () + e () + e () δ δα yy yz () + e () + e () δ δα zy zz () + e () + e () δ y y y zz z yz δα δ δα δ δα δ Când δ, rapoarele din membrul sâng au semnificaţia de derivae ale versorilor în rapor cu impul. Rapoarele de ipul δα ij /δ po fi noae cu ω ij şi au la momenul o valoarea deerminaă de caliăţile mişcării de roaţie. Prin urmare puem scrie : z z z z z z PRECIZAREA DE LA PAGINA 4 Afirmam la începuul acesei cărţi că impul se scurge liniar de la recu spre viior, uniform în spaţiu şi independen de prezenţa corpurilor care se află în spaţiu. Acesa ese moivul penru care în cele ce urmează inervalele de imp scurse în sisemul mobil se consideră egale cu cele scurse în sisemul fi. Afirmaţia pe care o fac nu ese probaă şi poae fi pusă la îndoială!

43 Pag. 4 de ωe + ωye y + ωzez d de y ωye + ωyye y + ωyzez d dez ωze + ωzye y + ωzzez d Sub formă maricială, relaţia de mai sus poae fi pusă sub forma : e& ω ωy ωz e e& y ωy ωyy ωyz e y e e & z ωz ωzy ωzz z E& ΩE Versorii bazei saisfac relaţiile : dei dei ei ei ei + ei ωii ωii d d de de i j ei e j e j + ei ωij + ω ji ω d d ij ω ji Cu acese relaţii, derivaele versorilor se scriu asfel : e& ωye y ωzez e& y ωye + ωyzez e & z ωze ωyze y Noând : ω y ω z, ω yz ω, ω z ω y relaţiile anerioare devin : e& ωze y ωyez e& y ωze + ωez e & z ωye ωe y Aceasă relaţie poae fi pusă şi sub formă maricială : e& ωz ωy e e& y ωz ω e y e e & z ωy ω z E& ΩE INFORMAŢIA DE LA PAGINA 4 Din punc de vedere maemaic, Ω ese o mărime ensorială, care, în principiu, poae avea nouă componene. S-a arăa mai sus că, în fap, Ω are doar rei componene independene şi formează un ensor anisimeric. Un ensor anisimeric ese asimilabil unui vecor (de fap unui pseudovecor), având ca şi acesa doar rei componene independene.

44 Pag RELAŢIA DE COMPUNERE A VIEZELOR z z O r OO r r M y Să presupunem că mobilul M din schiţa alăuraă se deplasează în rapor cu puncul O, care ese originea unui sisem de ae de coordonae imobil. Vieza mobilului în rapor cu sisemul de coordonae imobil se numeşe vieză absoluă. O y Vieza absoluă ese prima derivaă a vecorului de poziţie r în rapor cu impul : v r& abs Am văzu puţin mai înaine că vecorul de poziţie r se poae eprima în funcţie de alţi doi vecori de poziţie r şi r OO. Noând coordonaele puncului O în rapor cu puncul O prin X, Y şi Z avem : r Xe + Ye + Ze + ' e' + y' e' + z' e' y z Prin urmare, ţinând con că versorii e i nu variază în imp, dar versorii e j variază dacă sisemul lor de coordonae se roeşe, puem scrie : r& X& e + Y& e + Z& e + ' & e' + y' & e' + z' & e' + ' e& ' + y' e& ' + z' e& ' y z Ulimii rei ermeni po fi prelucraţi înlocuind viezele de variaţie ale versorilor prin epresiile lor corespunzăoare : ' e& ' + y' e& ' + z' e& ' ' ω e' ω e' + y' ω e' +ω e' + z' ω e' ω e' y z y z ( ) ( ) ( ) Reordonând în funcţie de versorii bazei, obţinem : ' e& ' + y' e& ' + z' e& ' ω z' ω y' e' + ω ' ω y Revenind la epresia viezei absolue, puem scrie : z z y y z z ( y z ) ( z z' ) e' y + ( ω y' ω y ' ) e' z INFORMAŢIA DE LA PAGINA 4 A B e A B e A B y y y e B z A z z ( A y B z A z B y ) e + ( A z B A B z ) e y + ( A B y A y B ) e z y z z y y z y

45 v abs + ' & e' + y' & e' y + z' & e' z v Pag. 43 ( ω z' ω y' ) e' + ( ω ' ω z' ) e' + ( ω y' ω ' ) X& e & & + Ye y + Ze z + y z z y y e' z v ranslaie v roaie ω r' 3 v relaiva ranspor Vieza de ranspor v ranspor vranslaie + v roaie ese vieza cu care un punc fia din sisemul mobil se deplasează în rapor cu sisemul fi. Vieza de ranspor are două componene vecoriale, dinre care una depinde de mişcarea de ranslaţie a sisemului mobil faţă de cel fi v X& e + Y& e + Z& e, iar a ranslaie doua de mişcarea de roaţie a sisemului mobil faţă de cel fi, un- y z roaie ω r' v de ω ese vieza unghiulară de roaţie a sisemului mobil, iar r ese vecorul de poziţie momenan al mobilului în sisemul mobil. Vieza relaivă, v relaiva & ' e' + y' & e' y + z' & e' z, ese vieza insananee a mobilului în rapor cu sisemul mobil. În mecanica clasică, relaţia de compunere a viezelor are forma : v v + v abs ranspor relaiva şi enunţul : vieza absoluă ese egală cu suma vecorială înre vieza de ranspor şi vieza relaivă. y v ω M r Eemplu : fie sisemul mobil forma din roaa de bicicleă din figura alăuraă. Puncul M ese în repaus faţă de roaă şi, prin urmare, vieza relaivă ese nulă. Vieza de ranslaţie ese vieza bicicleei v, iar vieza de roaţie ese v ωr (egală de fap cu v). Noând cu θ unghiul făcu de raza vecoare a puncului M cu orizonala, epresiile componenelor viezei absolue sun : v v(- sin θ), respeciv v y -v cos θ. ÎNREBAREA DE LA PAGINA 43 În foografia alăuraă pueţi vedea roaa unui ramvai. Înrebarea ese : dacă ramvaiul se deplasează înaine, eisă punce ale sale care se deplasează înapoi?

46 Pag RELAŢIA DE COMPUNERE A ACCELERAŢIILOR Acceleraţia mobilului în rapor cu sisemul de coordonae imobil se numeşe acceleraţie absoluă. Acceleraţia absoluă ese prima derivaă a vecorului vieză v în rapor cu impul : a abs v& Deoarece : v X& e + Y& e + Z& e + ω z' ω y' e' + ω ' ω z' e' + ω y' ω ' e' + + ' & e' y + y' & e' y z + z' & e' obţinem prin derivare în rapor cu impul : v& X&& e + Y&& e + Z&& e + ω z' & ω y' & e' + + z ( ) ( ) ( ) y z y z ( y z ) + ( ωz ' & ωz' & ) e' y + ( ω y' & ωy ' & ) ( ω& y z' ω& z y' ) e' + ( ω& z ' ω& z' ) e' y + ( ω& y' ω& y ' ) e' z + ( ω z' ω y' ) e& ' + ( ω ' ω z' ) e& ' + ( ω y' ω ' ) e& ' + && ' e' + && y' e' + && z' y + ' & e& ' z + y' & e& ' y + z' & e& ' Înlocuind derivaele versorilor, se obţine : v& X&& e + Y&& e + Z&& e + ω z' & ω y' & e' + ω ' & ω + + z z y z ( y z ) ( z z' & ) e' y + ( ω y' & ωy ' & ) e' z + (& yz' ω& z y' ) e' + ( ω& z ' ω& z' ) e' y + ( ω& y' ω& y' ) e' z + ( ωyz' ωz y' )( ωze' y ωye' z ) + ( ωz ' ωz' )( ωze' +ωe' z ) + ( ω y' ωy ' )( ωy && ' e' + && y' e' + && z' e' + ' & ( ω e' ω e' ) + y' & ( ω e' +ω e' ) + z' & ( ω e' ω e' ) + + ω y z Regrupând în funcţie de versori, rezulă : + z y y z y z z y z z y y y y y e' z z e' e' z + + ω e' ( X&& e + Y&& e y + Z&& e z ) + [( ωy z' & ωz y' & ) e' + ( ωz ' & ωz' & ) e' y + ( ω y' & ω y ' & ) e' z ] + [( ω& y z' ω& z y' ) e' + ( ω& z ' ω& z' ) e' y + ( ω& y' ω& y ' ) e' z ] + (&& ' e' + && y' e' y + && z' e' z ) + [ ωy ( ω y' ω y ' ) ωz ( ωz ' ω z' )] e' + [ ωz ( ωy z' ωz y' ) ω ( ω y' ω y ' )] e' y + [ ( ) ( )] + ω ω ' ω z' ω ω z' ω y' e' v& + z y y z z y ) + INFORMAŢIA DE LA PAGINA 44 Prima derivaă în rapor cu impul a unui vecor eprima în funcţie de versorii sisemului mobil ese : A' & A' & e' + A' & e' + A' & e' + A' e& ' + A' e& ' + A' + ( y y z z ) ( y y z e& ' z ) A' & relaiv + ( ω y A' z ωz A' y ) e' + ( ωz A' ω A' z ) e' y + ( ω A' ω A' ) e' A' & + ω A' y y z relaiv

47 Pag. 45 Epresia poae fi resrânsă asfel : a a + ω v' + ω& r' + ω ω r' + a abs ranslaie ( ) ( ) relaiva În epresie, apare prima derivaă a viezei unghiulare în rapor cu impul. Aceasa se numeşe acceleraţie unghiulară şi se noează cu ε. Facorii ecuaţiei po fi grupaţi după cum urmează : a abs ( a ( ) ) ( ) 4 ranslaie + ω ω r' + ε r' + a relaiva ω v' a a ranspor Corioris Acceleraţia de ranspor a a ranslaie + ω ( ω r' ) + ε r' ranspor ese acceleraţia cu care un punc fia din sisemul mobil se deplasează în rapor cu sisemul fi. Acceleraţia de ranspor are rei componene vecoriale, dinre care una depinde de mişcarea de ranslaţie a sisemului mobil faţă de cel fi a ranslaie X& e + Y&& e + Z& e, a doua de mişcarea de roaţie a sisemului mobil faţă y z roaie ω ( ω r' ) de cel fi a (unde ω ese vieza unghiulară de roaţie a sisemului mobil, iar r ese vecorul de poziţie momenan al mobilului în sisemul mobil), iar a reia ( ε r' ) de variaţia în imp a viezei de roaţie a sisemului mo- bil. Acceleraţia relaivă, a relaiva & ' e' + && y' e' y + & z' e' z, ese acceleraţia insananee a mobilului în rapor cu sisemul mobil. Acceleraţia Coriolis acoriolis ( ω v' ) ( ω v relaiva ) depinde aâ de vieza relaivă a corpului mobil, câ şi de sarea de roaţie a sisemului mobil în rapor cu sisemul fi. ermenul de acceleraţie Coriolis nu poae fi inclus în acceleraţia de ranspor deoarece, prin definiţie, acceleraţia de ranspor se referă la corpuri fie în rapor cu sisemul mobil. De asemenea acceleraţia Coriolis nu poae fi o componenă a acceleraţiei relaive deoarece ea cuprinde informaţie privind roaţia sisemului mobil faţă de cel fi şi nu numai informaţie privind deplasarea corpului mobil în rapor cu sisemul mobil (aşa cum presupune noţiunea de acceleraţie relaivă). BIOGRAFIA DE LA PAGINA 45 Coriolis a fos inginer şi maemaician francez. În 835 a publica o lucrare în care a arăa că la deplasarea unui corp pe o suprafaţă în roaţie, asupra corpului acţionează o forţă suplimenară, perpendiculară pe direcţia sa de deplasare. Forţa Coriolis ese de mare imporanţă în meeorologie, balisică şi oceanografie. În meeorologie, forţa Coriolis eplică direcţia vânului şi modul de formare a vârejurilor care sun uraganele şi ornadele.

48 Pag. 46 În mecanica clasică, relaţia de compunere a acceleraţiilor are forma : a a + a + a abs ranspor relaiva Coriolis şi enunţul : acceleraţia absoluă ese egală cu suma vecorială înre acceleraţia de ranspor, acceleraţia relaivă şi acceleraţia Coriolis. ω Eemplu : penru un observaor din sisemul de referinţă cu ω N R P ϕ originea în cenrul Pămânului şi a C a r care are drep corpuri de referinţă ω R P rei sele fie (acesa fiind sisemul de referinţă fi), planea V g ϕ E noasră se roeşe de la ves la es, în jurul aei care rece prin cei doi poli, cu vieză unghiulară ω ω v D ω (ω R P ) consană (ε ). Un al observaor ar puea face pare dinr-un ω v D ω R sisem de referinţă cu originea o P în cenrul Pămânului, dar care S are drep corpuri de referinţă rei oraşe, prinre care şi Galaţiul (acesa fiind sisemul de referinţă mobil). Conform acesor două alegeri, sisemul mobil ese doar în roaţie în rapor cu sisemul fi, nu şi în ranslaţie. Obiecul în mişcare ar puea fi apa Dunării, care poae fi consideraă că se deplasează cu vieză consană de la es spre ves (eviden, afirmaţia ese adevăraă penru observaorul din sisemul lega de suprafaţa Pămânului). Deci, relaiv la observaorul mobil, Galaţiul ese în repaus, ceea ce înseamnă că aâ vieza relaivă câ şi acceleraţia relaivă ale Galaţiului sun nule, iar apa Dunării se deplasează cu vieză relaivă consană, acceleraţia sa relaivă fiind nulă. Penru observaorul fi, aâ Galaţiul câ şi apa Dunării se deplasează, fiind caracerizae de viezele şi acceleraţiile lor absolue. În condiţiile enunţae, Galaţiul are o acceleraţie de ranspor a r ω R P sin ϕ, la fel ca şi apa Dunării (R P ese raza Pămânului). În schimb, acceleraţia Coriolis a Galaţiului ese nulă, pe când cea a apei din Dunăre ese a C ωv D (v D ese vieza de curgere a Dunării). Ce înseamnă că acceleraţiile absolue sun diferie? Nimic alceva decâ aceea că apa Dunării inde să se apropie de malul nordic şi să se depăreze de cel sudic. COMENARIUL DE LA PAGINA 46 ac vd vdro Raporul are valori relaiv ar ωrp sinϕ πrp sinϕ mici. Asfel, penru vd m/s, ro zi 864 s, ϕ 45 şi R P 64 km, aces rapor ese aproimaiv egal cu,6. Deci acceleraţiile absolue diferă cu circa,6%.

49 Pag RANSFORMAREA GALILEI z y y z v v Două siseme de coordonae în mişcare relaivă de ranslaţie uniformă. Fie cele două siseme de coordonae din foografia alăuraă. Unul dinre ele ese lega de pămân, iar celălal de avion. Presupunem că avionul se deplasează reciliniu şi uniform în rapor cu solul, iar vieza sa v ese orienaă paralel cu aa O. Pe cer zboară o pasăre, cu vieza v faţă de sol şi v faţă de avion. Vecorul de poziţie al păsării faţă de sol ese r, iar faţă de avion ese r. Vecorul de poziţie al avionului faţă de sisemul de referinţă lega de sol ese r. NE PUNEM ÎNREBAREA : CUNOSCÂND POZIŢIA ŞI VIEZA PĂSĂRII FAŢĂ DE UNUL DINRE SISEMELE DE REFERINŢĂ, PRECUM ŞI POZIŢIA ŞI VIEZA UNUI SISEM DE REFERINŢĂ FAŢĂ DE CELĂLAL, PUEM OARE DEERMINA POZIŢIA ŞI VIEZA PĂSĂRII FAŢĂ DE CEL DE- AL DOILEA SISEM DE REFERINŢĂ? Parţial, răspunsurile la acese înrebări sun conţinue în paginile anerioare. Cel mai simplu dinre răspunsuri ese cel lega de vieză. Vieza păsării în sisemul de referinţă lega de sol reprezină vieza absoluă, iar vieza păsării faţă de avion ese vieza relaivă. Deoarece avionul nu se roeşe faţă de sol, vieza sa de ranslaţie v ese chiar vieza de ranspor. Prin urmare, puem scrie relaţia : v v + v' Relaţia de compunere galileană a viezelor BIOGRAFIA DE LA PAGINA 47 Galileo Galilei, 5 feb ian. 64. Fizician, asronom şi maemaician ialian. A adus conribuţii fundamenale în şiinţele mişcării, asronomiei şi rezisenţei maerialelor, precum şi la dezvolarea meodelor şiinţifice. A considera că limbajul maemaic ese cel mai porivi penru a descrie fenomenele fizice, iar penru a-l folosi rebuie făcue, mai înâi, deerminări eperimenale. A invena elescopul şi a susţinu modelul heliocenric.

50 Pag. 48 În ceea ce priveşe vecorii de poziţie, relaţia dinre ei ese : r r + r' Penru că sisemul de referinţă mobil (avionul) ese în ranslaţie uniformă în rapor cu sisemul de referinţă fi (solul), iar vieza sa ese v, vecorul de poziţie r poae fi eprima uilizând legea mişcării recilinii uniforme (r (i) ese vecorul de poziţie al originii sisemului mobil la momenul de imp ) : ( i) + ( ) r r v În consecinţă, relaţia înre vecorii de poziţie devine : ( i) + v ( ) r' r r + Relaţia galileană înre vecorii de poziţie Cel mai simplu caz de mişcare relaivă de ranslaţie uniformă a două siseme de referinţă ese acela în care momenul iniţial de imp ese, originile celor două siseme de referinţă se suprapun la momenul iniţial de imp (adică r (i) ), iar aele de coordonae ale unui sisem de referinţă sun paralele cu acelea ale celuilal referenţial (care are drep consecinţa şi relaţia v ±v e ). În aceasă siuaţie, relaţiile înre vecorii de poziţie sau înre vieze devin : ' ± v r v + r' y y' z z' v v + v' v v v' v y z v' v' ± v y z rebuie menţiona încă o daă că acese relaţii sun valabile doar în ipoeza impliciă că impul se scurge la fel în ambele siseme de referinţă : COMENARIUL DE LA PAGINA 48 În cazul ransformărilor Galilei sisemul mobil ese în ranslaţie uniformă faţă de cel fi. Consecinţele sun două la număr : vecorul vieză de ranspor ese consan în imp, iar vecorul acceleraţie de ranspor ese nul. Fapul că acceleraţia de ranspor ese nulă are o însemnăae deosebiă : acceleraţia absoluă şi acceleraţia relaivă sun egale ca vecori: a a.

51 Pag. 49. DINAMICA Sir Isaac Newon În foografia de mai sus pueţi admira răsăriul Pămânului pe Lună. Penru ca un om să poaă imoraliza pe peliculă aces momen, în spaele lui s-au găsi naţiuni mari şi ambiţioase, forţe ehnologice, zeci de mii de oameni implicaţi în proiec, dar şi puerea Şiinţei conemporane. Unul dinre făuriorii preapuernicei Şiinţe, omul care a înţeles şi eplica penru prima oară geniala simpliae a mecanicii cereşi fos Sir Isaac Newon. CUGEAREA DE LA PAGINA 49 Nu şiu cum mă înfăţişez eu lumii, dar, în sinea mea, mă sim doar un băieţel care, jucându-se pe ţărmul mării, ese aras câeodaă de câe o piericică mai lusruiă sau de o scoică mai frumoasă decâ alele, în imp ce imensul ocean al adevărului se îninde necercea în faţa sa. Isaac Newon (64 77), om de şiinţă englez

52 Pag. 5.. FORŢE a b Priviţi figura alăuraă. Ce părere aveţi, foografia rebuie aşezaă în poziţia a, sau în poziţia b? Dacă aveţi spiri de observaţie, veţi răspunde, fără îndoială, : a. De ce? Eviden, din cauza poziţiei părului! El nu poae aârna în sus! Dar, în fond, de ce aârnă părul? Răspunsul pare simplu : din cauza graviaţiei. Alfel spus, din cauza aracţiei eerciae de Pămân. Cum se manifesă graviaţia? Asa o şim cu oţii : lăsând din mână un corp greu, el va cădea spre sol. Problemele care se pun în coninuare sun : ce fel de mişcare are un corp care cade? cad oae corpurile la fel? Răspunsul la prima înrebare se poae găsi prin eperimen. Să privim figura alăuraă. Vedem acolo un apara de laboraor, consrui penru măsurarea impului de cădere al unei bile de oţel. Pe figură sun reprezenae poziţiile bilei la paru momene de imp. Duraele deerminae de momenele de imp succesive sun egale înre ele. Am inclus în figură şi o riglă penru măsurarea disanţei parcurse. Ce observăm? Să facem mai înâi un abel cu daele din figură : PRECIZAREA DE LA PAGINA 5 Spuneam că răspunsul graviaţia pare simplu. El ese simplu aunci când menţionăm graviaţia, pe care o simţim cu oţii, şi ni se pare a fi fenomen firesc. Răspunsul ese, însă, complica dacă ne înrebăm cum se eplică eisenţa graviaţiei ca fenomen fizic. De aceea, în cele ce vor urma, nu vom discua ce ese graviaţia, ci numai cum se manifesă ea.

53 Momenul de imp (uniăţi de imp) Pag. 5 Disanţa parcursă (uniăţi de lungime) ,5,5 3 36,5 Spaţiul parcurs în uniaea de imp (uniăţi de lungime/uniăţi de imp) Coloana a reia a abelului cuprinde valoarea viezei medii în fiecare dinre cele rei inervale de imp. Observăm că graficul disanţei parcurse în funcţie de imp ese o curbă, numiă parabolă, care ese reprezenarea grafică a unei funcţii polinomiale de gradul doi. Dependenţa de imp a disanţei de cădere disanţa (uniăţi de lungime) duraa (uniăţi de imp) Dae eperimenale curba rasaă prinre puncele eperimenale PROBLEMA DE LA PAGINA 5 Încercaţi ca prin erapolare şi calcul să adăugaţi o linie nouă (corespunzăoare momenului de imp 4) în abelul de pe aceasă pagină.

54 Pag. 5 Dependenţa de imp a viezei de cădere 3 5 vieza medie (u.l./u..) 5 5,5,5,5 3 3,5 duraa (uniăţi de imp) Dae eperimenale curba rasaă prinre puncele eperimenale Pe de ală pare, presupunând că vieza medie ese aceeaşi ca şi vieza bilei la momenele de imp corespunzăoare jumăăţilor inervalelor de imp considerae, rasăm şi graficul viezei în funcţie de imp. Observăm că el ese, cu bună aproimaţie, o linie dreapă. Aceasa ne araă că vieza de cădere creşe cu caniăţi egale în inervale de imp egale. Cu ale cuvine, graviaţia eresră deermină căderea uniform acceleraă a corpurilor. COMENARIUL DE LA PAGINA 5 Eperienţele prin care se măsoară acceleraţia graviaţională araă un fap deosebi de ineresan : în limiele de precizie ale insrumenelor de măsură, acceleraţia ese consană pe o parcursul mişcării şi deci nu depinde de vieza corpului la un momen da.

55 Pag. 53 Nu am răspuns încă înrebării : cad oae corpurile la fel? Din eperienţa de oae zilele, veţi răspunde, probabil, că nu : corpurile uşoare cad mai înce decâ corpurile grele. Aşa spunea, de alfel, şi Arisoel, marele filozof al Anichiăţii, care a răi înre 384 şi 3 îc. Aşa spuneau şi cei care, bazându-se pe auoriaea lui Arisoel, predau fizica cu aproape două mii de ani mai ârziu. Galileo Galilei era, însă, nemulţumi de aceasă afirmaţie. Iaă cum gândea el : să presupunem că Arisoel are drepae : o piară mai mare cade mai repede decâ o piară mai mică să luăm două piere, una mai mare şi una mai mică şi să le legăm înre ele lăsându-le să cadă, piara mai mică o va frâna pe aceea mai mare, iar ansamblul va cădea mai înce decâ ar cădea doar piara mare pe de ală pare, grupul de două piere ese mai greu decâ fiecare piară în pare, ceea ce înseamnă că ansamblul va cădea mai repede decâ ar cădea doar piara mare eviden, cele două afirmaţii se conrazic, ceea ce înseamnă că ipoeza ese falsă deci, cele două piere cad la fel de repede, deşi au greuăţi diferie De aceea, Galilei şi-a propus să verifice eperimenal ceea ce se înâmplă. Penru aceasa, el a lăsa să cadă simulan, de la înălţimea urnului din Pisa, diferie corpuri grele şi a consaa, în limia mijloacelor sale de măsură, că ele aing simulan solul. Galilei a găsi şi eplicaţia căderii mai lene a corpurilor uşoare. În aces caz, nu graviaţia ese de vină, ea având aceleaşi efece, ci aerul. Influenţa aerului asupra obiecelor în cădere ese mai puernică asupra corpurilor uşoare comparaiv cu influenţa graviaţiei decâ asupra corpurilor grele. Dacă am înlăura aerul, graviaţia ar face ca oae corpurile să cadă la fel de repede. Aceasă afirmaţie a fos verificaă eperimenal şi s-a găsi că ese corecă. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 53 Măsurăorile eperimenale au arăa că, la suprafaţa Pămânului, în vid, acceleraţia căderii corpurilor ese aproape consană pe oaă planea, variind uşor de la poli spre Ecuaor. Acceleraţia căderii libere a corpurilor în vid se numeşe acceleraţie graviaţională şi se noează cu g. La laiudinea la care se găseşe ţara noasră, ea ese aproimaiv : g 9,8 m/s.

56 Pag. 54 Să discuăm acum o ală eperienţă. Priviţi figura de mai sus. Dispunem de un dispoziiv forma dinr-un aler foare uşor, sprijini de un resor elasic, mona, la rândul său, pe un saiv orizonal. Avem, de asemenea, un număr de bile de oţel idenice. Punând pe aler o bilă, observăm că resorul se scurează cu lungimea. Adăugând o ală bilă, resorul se mai scurează cu şi o aşa. Ce rezulă de aici? Prima remarcă ar fi aceea că prezenţa bilelor pe aler afecează lungimea resorului. Deci, bilele au o influenţă asupra resorului. De daa aceasa influenţa nu se mai manifesă prin accelerarea mişcării, ci prin deformare! În al doilea rând, consaăm că deformarea ese proporţională cu numărul de bile aşezae pe aler. Să ne imaginăm că am opi bilele şi am confecţiona cu maerialul rezula o singură bilă. Punând-o pe aler am măsura aceeaşi deformare ca şi când pe aler ar fi aşezae bilele iniţiale. Deci, deformarea ese proporţională cu caniaea de maerial a corpului aşeza pe aler. În al reilea rând, să observăm că dacă am mona dispoziivul în poziţie orizonală, ca în figura de mai jos, nu am mai obţine nici-o deformare, iar bila ar cădea de pe aler. Deci, influenţa bilei se manifesă doar pe direcţia şi în sensul în care ea ar cădea liber, influenţaă, la rândul ei, de Pămân. Să discuăm acum şi despre bile. Fiecare dinre ele să în repaus pe aler. De ce bilele nu mai cad? Nu se mai află ele sub influenţa Pămânului? Răspunsul cel mai simplu pe care îl puem da ese că alerul nu suprimă influenţa Pămânului, dar eerciă, la rândul său, o influenţă asupra bilelor, care anulează influenţa Pămânului. COMENARIUL DE LA PAGINA 54 Ese eviden că naura influenţei pe care o eerciă alerul nu mai ese una graviaţională (în caz conrar, oae corpurile vecine ar cădea căre aler!). De fap, cauza influenţei pe care o eerciă alerul asupra bilelor rebuie legaă de scurarea resorului prins de aler şi de caracerisicile acesuia.

57 Pag. 55 Puem desprinde de aici o idee fundamenală : deşi cauzele care fac ca un corp să eercie o influenţă asupra alui corp po fi diferie, efecele acesor influenţe po fi comparae! Fapul că efecele po fi comparae înre ele deschide calea, deosebi de imporană, a posibiliăţii de a măsura efecul influenţei pe care o are un corp asupra aluia. Un al aspec imporan releva de aceasă eperienţă ese urmăorul : se observă că bila influenţează alerul, dar şi că alerul influenţează bila. Cu ale cuvine, eisă o reciprociae : influenţa pe care o eerciă un corp A asupra unui corp B ese însoţiă de un răspuns al corpului B asupra corpului A. Vom conveni să numim acum înaine, pe scur, influenţa pe care un corp o eerciă asupra alui corp şi care are drep ca rezula schimbarea sării de mişcare sau deformarea acesuia din urmă : acţiunea unui corp asupra alui corp. Mărimea fizică prin care măsurăm ăria acţiunii o vom numi forţă. Din cele discuae până acum, rezula că acceleraţia sau mărimea deformării se po consiui în măsuri ale acţiunii eerciae de un corp asupra alui corp. De aceea, forţa ar rebui să fie proporţională fie cu acceleraţia, fie cu mărimea deformării : F a F g F F Să revenim la eperienţa cu resorul elasic şi bile. Remarcasem că bila de pe aler rămâne în repaus (figura alăuraă), deşi asupra sa acţionează două corpuri : Pămânul şi alerul (ale influenţe, cum ar fi aceea a aerului, po fi neglijae). Spuneam despre cele două acţiuni că se compensează reciproc, ceea ce eplică rămânerea în echilibru a bilei. COMENARIUL DE LA PAGINA 55 În ambele cazuri, fie că eisă sau nu resorul, ineracţiunea principală are loc înre corp şi Pămân, acesa din urmă fiind presupus imobil.

58 Pag. 56 Siuaţia în care acceleraţia unui corp ese nulă se numeşe sare de echilibru mecanic. Noând forţele care acţionează asupra bilei prin F (acţiunea Pămânului) şi F (acţiunea alerului), rezulă epresia maemaică a afirmaţiei cele două acţiuni se compensează reciproc, ceea ce eplică rămânerea în echilibru a bilei, numiă condiţia de echilibru : F - F Remarcasem că acţiunea alerului depinde de mărimea deformării resorului, dar şi de caracerisicile resorului (un resor mai are se deformează mai puţin decâ unul mai slab ). Vom eprima maemaic aceasa afirmaţie asfel : F k unde ese valoarea deformării, iar k ese o consană care ia în considerare caracerisicile resorului şi se numeşe consana de elasiciae. Forţa cu care Pămânul acţionează asupra bilei se numeşe greuae, fiind noaă cu G (F G). Efecul pe care-l produce greuaea, în absenţa alor forţe, ese accelerarea corpului asupra căruia acţionează. Prin urmare, greuaea rebuie să fie măsuraă prin acceleraţia graviaţională, dar şi prinr-o mărime caracerisică corpului, penru că nu oae corpurile au aceeaşi greuae. Remarcasem, de asemenea, că : efecul deformaor al acţiunii bilei asupra resorului ese proporţional cu caniaea de subsanţă maerială înglobaă în bilă acţiunea bilei asupra alerului ese rezulaul fapului că sub influenţa graviaţiei bila inde să coboare Am puea concluziona de aici că forţa cu care bila acţionează asupra alerului ese egală numeric cu greuaea bilei şi că aceasa din urmă ese proporţională cu caniaea de subsanţă maerială conţinuă de bilă. Mărimea fizică care măsoară caniaea de subsanţă maerială conţinuă de un corp se numeşe masă şi ese noaă cu m. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 56 În SI, uniaea de măsură a masei se numeşe kilogram : [ m] SI kg Un kilogram ese egal cu masa prooipului inernaţional al kilogramului un cilindru confecţiona dinr-un aliaj de plaină şi iridiu, păsra la Biroul Inernaţional de Măsuri şi Greuăţi, păsra la Sevres, lângă Paris.

59 Pag. 57 Deci greuaea bilei se poae scrie ca un produs de doi facori : G mg Cum greuaea ese o forţă, puem face ipoeza că, în general, orice forţă care are ca efec accelerarea unui corp ar rebui să fie proporţională cu produsul dinre masa corpului şi acceleraţia imprimaă acesuia : F ma În paricular, în eperienţa pe care o comenăm, ar fi rebui să scriem zeroul din membrul drep al condiţiei de echilibru asfel m : mg - k m înţelegând asfel că suprapunerea a două acţiuni diferie ese echivalenă unei singure acţiuni, numiă acţiune rezulană, care produce un singur efec măsurabil (în cazul nosru, lipsa acceleraţiei). În fine, penru a încheia discuarea eperienţei cu bile şi resor elasic, să ne aminim că am remarca că acţiunea bilelor asupra alerului ese orienaă verical, de sus în jos. Aceasa înseamnă că forţele sun reprezenabile prin mărimi vecoriale. Forţa cu care alerul acţionează asupra bilei ese orienaă în sens opus vecorului deformare. Prin urmare, aceasă forţă se scrie asfel : F k Consana de elasiciae k ese un scalar poziiv. Greuaea ese un vecor îndrepa în direcţia şi în sensul acceleraţiei graviaţionale : G mg Şi masa m ese un scalar poziiv. Sub formă vecorială, condiţia de echilibru se scrie asfel : G + F m g + k ( ) Mai rebuie menţiona că, înr-o reprezenare grafică, puncul de aplicaţie al unui vecor forţă rebuie să indice corpul asupra căruia acţionează forţa. PRECIZAREA DE LA PAGINA 57 În relaţia : F ma, masa joacă rolul unei mărimi care ne araă câ de dificil ese să schimbăm sarea de mişcare a unui corp da. Aceeaşi forţă va accelera mai puţin un corp cu masă mare decâ un corp cu masă mică. Din aces moiv, spunem că în aceasă relaţie masa ese o măsură a inerţiei corpurilor. Inerţia ese definiă ca fiind proprieaea corpurilor de a inde să-şi păsreze sarea de mişcare recilinie uniformă sau de repaus relaiv.

60 Pag. 58 ÎN REZUMA Efecele acţiunilor pe care unele corpuri le eerciă asupra alor corpuri sun măsurae prin mărimi fizice vecoriale numie forţe. Acese efece po fi de două caegorii : efece dinamice, adică efece care au ca rezula schimbarea sării de mişcare a corpurilor şi sun măsurae prin vecorul acceleraţie. efece saice, adică efece care au ca rezula deformarea corpurilor şi sun măsurae prin vecorul deformare. Efecele acţiunii forţelor asupra unui corp depind şi de două mărimi scalare care-l caracerizează pe acesa : masa, în cazul efecului dinamic consana de elasiciae, în cazul efecului saic În cele două cazuri, epresiile maemaice ale forţelor sun: efecul dinamic : F ma efecul saic : F k Dacă mai mule forţe acţionează asupra unui singur corp, ele se compun (au o rezulană) şi puem măsura eperimenal, ca efece rezulane, un singur efec dinamic şi un singur efec saic Am uiliza noţiunea de masă ca măsură a caniăţii de subsanţă maerială pe care o conţin diferiele corpuri. Spunem că un corp ese alcăui din subsanţă, încercând să realizăm disincţia faţă de ale forme de manifesare ale eisenţei maeriei. Maeria ese o pare a riadei spaţiu-impmaerie, consiuiă din acese rei caegorii fundamenale ale realiăţii fizice. Mecanica clasică se mulţumeşe să ia în considerare doar manifesări, socoie independene, ale acesor caegorii fundamenale. Conform acesei concepţii, spaţiul şi impul eisă în afara maeriei, consiuind un recipien în care ese inrodusă aceasa. Prin urmare, măsurarea masei se face prin comparaţie cu o masă ealon aleasă arbirar şi consideraă ca uniae de măsură. Din aceasă cauză, masa ese mărime fizică fundamenală a SI, la fel ca şi lungimea şi inervalul de imp. Masa, duraa şi disanţa sun mărimi scalare, iar valorile lor nu depind de sisemul de referinţă ales INFORMAŢIA DE LA PAGINA 58 Uniaea de măsură a forţei ese newonul. Relaţia sa cu uniăţile fundamenale din SI ese urmăoarea : m [ F] SI [ m] SI [ a] SI kg N s

61 Pag PRINCIPIILE DINAMICII NEWONIENE... PRINCIPIUL INERŢIEI a b Puneţi-vă în pielea unui deeciv şi eaminaţi foografiile a şi b din figura alăuraă. Veţi afirma că : sigur, o persoană a schimba poziţia mucului de ţigară. De ce sigur? Penru că, din eperienţa de zi cu zi, şim că un asemenea obiec nu poae părăsi de la sine poziţia pe care o ocupă în scrumieră. Alceva, ce şim sigur, ese că dacă am lăsa din mână mucul de ţigară undeva, în aer, acesa ar cădea. Mai şim să eplicăm căderea prin acţiunea graviaţiei eresre. Dar ce ne facem cu siuaţia din figura aflaă mai jos? Mucul de ţigară părăsi de asronauul de pe saţia orbială nu cade, ci plueşe prin cabină. Oare nu mai eisă graviaţia? Oare forţa pe care o eerciă aerul învinge graviaţia? Răspunsul la ambele înrebări ese negaiv : graviaţia ese aproape la fel de inensă ca la suprafaţa Pămânului, iar forţa eerciaă de aer ese şi ea cam aceeaşi ca şi în camera unde ne aflăm. Aunci, ce mai puem şi sigur şi ce nu? Un răspuns pe care posibil ese că : Rezulaul unei eperienţe de mecanică poae depinde de sisemul de referinţă în care ne aflăm. BIOGRAFIA DE LA PAGINA 59 Isaac Newon ese născu pe 5 decembrie 64, la Woolshorpe, Lincolnshire, Anglia şi moare pe daa de marie 77, la Londra. În semn de preţuire a aciviăţii sale a fos înobila, iar locul său de veci ese la Wesminser Abbey. Ese cunoscu ca fizician şi maemaician. A mai sudia eologia şi alchimia.

62 Pag. 6 În cazul nosru, efecuând eperienţe cu mucul de ţigară înr-o cameră oarecare, la suprafaţa Pămânului, vom observa mereu că el cade dacă ese lăsa din mână, sau rămâne nemişca când ese în scrumieră. Pe de ală pare, eperienţele efecuae pe saţia orbială vor arăa mereu că mucul de ţigară nu cade aunci când ese lăsa din mână. Prin urmare, eisă siseme de referinţă în care acţiunea unei singure forţe, în paricular graviaţia, deermină schimbarea sării de mişcare a corpului şi siseme de referinţă în care acţiunea aceleiaşi forţe nu provoacă schimbarea sării de mişcare. Alfel spus, eisă siseme de referinţă în care schimbarea sării de mişcare a unui corp nu se poae face de la sine şi presupune acţiunea măcar a unei singure forţe, după cum eisă şi siseme de referinţă în care schimbarea sării de mişcare poae avea loc de la sine, fără acţiunea vreunei forţe. Dacă ulima pare a afirmaţiei vi se pare ciudaă, închipuiţivă că vă aflaţi înr-un ren care frânează : obiecele aflae pe măsuţa din comparimen vor porni brusc din loc, fără vreo cauză aparenă. Mai mul, rebuie să le aplicaţi o forţă penru a le sili să rămână în repaus! Să recunoaşem că siuaţia ese desul de complicaă!? Legile descoperie prin eperienţă par valabile doar în cazuri pariculare. De aceea apare ca legiimă înrebarea : CUM S-AR PUEA OARE CONSRUI O EORIE GENERAL VALABILĂ A MIŞCĂRILOR MECANICE, CÂND REZULAELE EXPERIENŢELOR DEPIND DE SIS- EMUL DE REFERINŢĂ? INFORMAŢIA DE LA PAGINA 6 Marile merie ale lui Newon în domeniul fizicii consau în formularea principiilor mecanicii şi descoperirea legii aracţiei universale. Deşi primele idei le avusese în inereţe, finalizarea acesora o face abia în 686, când publică lucrarea Principiile maemaice ale filosofiei naurale. În domeniul maemaicii, ese invenaorul calculului diferenţial şi inegral, alăuri de Leibniz.

63 Pag. 6 Cel care a reuşi aceasă performanţă a fos marele fizician şi maemaician englez Isaac Newon. Să urmărim în coninuare esenţa eoriei sale. În concepţia newoniană, spaţiul şi impul sun absolue. Aceasa înseamnă că ele eisă independen de prezenţa sau absenţa maeriei şi, în paricular, a observaorului. În absenţa maeriei, nu eisă moive ca un punc al spaţiului să se deosebească de al punc, sau ca impul să se scurgă alfel înr-o zonă a spaţiului decâ în ala. În consecinţă, spaţiul liber ese omogen şi izorop, iar impul ese universal. Să presupunem acum că în Univers eisă un singur corp maerial. Eviden, el ese liber de orice influenţe eerne. Cum se comporă el în aceasă siuaţie? Răspunsul logic şi firesc, pe care l-a da Newon, ese acela că el îşi păsrează sarea iniţială de mişcare, adică ori rămâne în repaus, ori se mişcă cu vieză consană (are o mişcare recilinie şi uniformă). Eviden, nu puem proba prin eperienţă sau eoreic aceasă ulimă afirmaţie. Ceea ce puem demonsra eperimenal ese doar că în anumie siseme de referinţă, în condiţiile în care influenţele eerne care se eerciă asupra unui corp se anulează reciproc, corpul rămâne în repaus sau în mişcare recilinie uniformă. Ca eemplu, gândiţi-vă la o care care să pe o masă în camera voasră. Ca un al eemplu, imaginaţi-vă că ese iarnă şi vă daţi pe gheaţă. Disanţa pe care alunecaţi ese cu aâ mai mare cu câ gheaţa ese mai lucioasă. Dacă gheaţa ar fi perfecă şi dacă n-ar eisa frecarea cu aerul v-aţi mai opri vreodaă sau aţi mai reuşi să vă modificaţi direcţia de mişcare? PRECIZAREA DE LA PAGINA 6 În lipsa unei fundamenări eoreice, bazaă pe legi superioare, generalizarea unor observaţii eperimenale care conduc la aceeaşi concluzie poară numele de principiu. Un principiu ese considera valabil în fizică aâa vreme câ el nu poae fi infirma prinr-o eperienţă.

64 Pag. 6 ÎN LIPSA ACŢIUNILOR EXERNE, UN PUNC MAE- RIAL ÎŞI PĂSREAZĂ SAREA DE MIŞCARE RECILINIE UNIFORMĂ SAU DE REPAUS RELAIV. PRINCIPIUL INERŢIEI... SISEME DE REFERINŢĂ INERŢIALE ŞI SISEME DE REFERINŢĂ NEINERŢIALE? Veţi remarca : Bine, să accepăm că eperienţele pe care le facem la noi în cameră sau în laboraorul faculăţii nu par să conrazică aces principiu. Dar cum rămâne cu asronauul de pe saţia orbială?. Aveţi drepae! Penru asronau aces principiu nu ese valabil! Aceasa înseamnă că eisă două mari clase de siseme de referinţă : siseme de referinţă inerţiale, adică sisemele de referinţă în care ese valabil principiul inerţiei siseme de referinţă neinerţiale, adică sisemele de referinţă în care nu ese valabil principiul inerţiei INFORMAŢIA DE LA PAGINA 6 În enunţul principiului inerţiei se foloseşe ermenul punc maerial, care desemnează un corp a cărui mişcare poae fi reprezenaă de mişcarea unui singur punc al său, în care se consideră concenraă înreaga sa masă. Po fi considerae punce maeriale corpurile aflae în mişcare de ranslaţie sau corpurile de dimensiuni mici în rapor cu disanţele care le separă de corpurile învecinae.

65 Pag PRINCIPIUL FUNDAMENAL AL DINAMICII DISCUŢIA SE VA REFERI ÎN CONINUARE DOAR LA SISEMELE DE REFERINŢĂ INERŢIALE. Eperienţele ne araă, în acese siseme, că aplicarea unei forţe deermină schimbarea sării de mişcare a corpului asupra căruia se acţionează. Deci, efecul forţei ese unul dinamic : accelerarea corpului. Newon a ridica la rang de principiu acese observaţii eperimenale. SUB ACŢIUNEA UNEI FORŢE EXERNE, UNUI PUNC MAERIAL I SE IMPRIMĂ O ACCELERAŢIE AVÂND DIRECŢIA ŞI SENSUL FORŢEI, PROPORŢIONALĂ ÎN MODUL CU MODULUL FORŢEI ŞI INVERS PROPORŢIONALĂ CU MASA PUNCULUI MAERIAL : F ma a F m PRINCIPIUL FUNDAMENAL AL DINAMICII COMENARIUL DE LA PAGINA 63 Principiul fundamenal ransformă afirmaţia eperimenală : de obicei, aplicând o forţă deerminăm accelerarea mişcării unui corp în afirmaţia general valabilă: înodeauna, aplicând o forţă deerminăm accelerarea mişcării unui corp. Consecinţa ese aceea că dacă dorim să ne eplicăm mişcarea recuă sau viioare a corpurilor ese suficien să cunoaşem forţele care acţionează asupra lor la fiecare momen de imp.

66 Pag PRINCIPIUL ACŢIUNII ŞI AL REACŢIUNII Să ne mai punem acum o riglă înrebare : Puem verifica eperimenal principiul fundamenal a F al mecanicii?. Dacă insisăm F resor elasic să-l verificăm, am puea face eperienţa ilusraă în figura alăuraă. Cu rigla măsurăm deplasa- ceasornic rea căruciorului, iar cu ceasornicul duraa necesară. Puem cal- 6 cula asfel acceleraţia. Masa căruciorului o puem măsura separa. Înmulţind acceleraţia cu masa, ar rebui să găsim valoarea forţei, indicaă de alungirea resorului elasic. Pare corec, dar nu ese! De ce? Penru că produsul dinre masă şi acceleraţie rebuie să fie egal cu forţa care acţionează asupra corpului, pe când forţa măsuraă de resorul elasic ese aceea care acţionează asupra lui însuşi! Veţi spune : Da, dar corpul ese cel care rage de resor cu forţa măsuraă, iar eperienţa indică că resorul, la rândul său, răspunde şi el corpului cu o forţă.. Problema care se pune ese : Sun acese două forţe egale în modul sau nu?. Dacă răspunsul ese da, aunci eperienţa descrisă poae fi folosiă penru verificarea principiului fundamenal al dinamicii, iar în caz conrar nu. Poae din acese moive, generalizând unele observaţii eperimenale, Newon a socoi necesar să formuleze un al reilea principiu al mecanicii clasice, denumi PRINCIPIUL ACŢIUNII ŞI REACŢIUNII. Enunţul său ese urmăorul : DACĂ UN CORP ACŢIONEAZĂ ASUPRA UNUI AL CORP CU O FORŢĂ (DENUMIĂ ACŢIUNE), AL DOILEA CORP RĂSPUNDE PRIMULUI CU O FORŢĂ (DENUMIĂ REACŢIUNE), AVÂND ACEEAŞI MODUL ŞI ACEEAŞI DIRECŢIE, DAR SENS CONRAR. PRINCIPIUL ACŢIUNII ŞI AL REACŢIUNII COMENARIUL DE LA PAGINA 64 Accepând valabiliaea acesui principiu, accepăm, implici, posibiliaea măsurării simulane a acceleraţiei unui corp şi a forţei care deermină aceasă acceleraţie. Mai puem remarca fapul că aces principiu ese firesc şi logic, în sensul în care sabileşe un soi de democraţie în inerrelaţia dinre două corpuri : nici unul dinre ele nu ese avanaja. Dar, firesc şi logic nu înseamnă că principiul ese şi demonsra!

67 Pag PRINCIPUL ACŢIUNII INDEPENDENE A FORŢELOR SIMULANE Realiaea fizică din jurul nosru cuprinde nenumărae corpuri aflae în ineracţiune. O care aflaă pe o masă înseamnă ineracţiuni înre ea şi masă, înre ea şi aerul înconjurăor, înre ea şi Pămân, înre filele ei În acese condiţii, ese greu de crezu că am puea găsi vreun corp asupra căruia să nu acţioneze nici-o forţă, sau, evenual, să acţioneze o singură forţă.? Daă fiind aceasă siuaţie ne mai puem pune ale două înrebări : CE SE ÎNÂMPLĂ DACĂ ASUPRA UNUI CORP ACŢIONEAZĂ SIMULAN MAI MULE FORŢE? ÎN CE MĂSURĂ ACŢIUNEA UNEI FORŢE ESE ALERAĂ DE ACŢIUNEA ALEI FORŢE? Cele rei principii ale mecanicii nu oferă răspuns acesor înrebări. De aceea, răspunsul nu poae fi deermina decâ pe cale eperimenală. F F a În figura alăuraă se poae vedea schiţa unei eperienţe care urmăreşe să clarifice acese aspece. Eperienţa se desfăşoară asfel : se acţionează mai înâi cu forţa F, separa. Se măsoară acceleraţia a şi se deermină direcţia ei. se acţionează apoi cu forţa F, o separa. Se deermină în acelaşi mod caracerisicile acceleraţiei a. se aplică simulan forţele F şi F. Se măsoară acceleraţia a şi se deermină direcţia sa. OMAGIUL DE LA PAGINA 65 Firea şi-ale Firii legi, zăceau sub văl nocurn, înuneca. Să fie Newon!, zise Dumnezeu, iar oul fu srălumina. Aleander Pope ( ), poe englez.

68 Pag. 66 Concluzia eperienţei ese aceea că acceleraţia a ese suma vecorială a acceleraţiilor a şi a. Generalizarea acesei observaţii eperimenale formează ulimul principiu al mecanicii clasice. ACCELERAŢIA MIŞCĂRII UNUI PUNC MAERIAL, SUPUS SIMULAN ACŢIUNII MAI MULOR FORŢE, ESE NUMERIC EGALĂ CU SUMA VECORIALĂ A ACCELERAŢIILOR PE CARE LE-AR IMPRIMA FIECARE DINRE FORŢE ACŢIONÂND SEPARA: a F + F m m +... PRINCIPIUL ACŢIUNII INDEPENDENE A FORŢELOR SIMULANE În calcule, ese mai comod să uilizăm o combinaţie înre principiul fundamenal al dinamicii şi principiul acţiunii independene a forţelor simulane. Asfel, observăm că : F F a ma F m m F COMENARIUL DE LA PAGINA 66 Şi aces principiu are caliaea de a einde domeniul fapelor despre care şim sigur ceva. Conform principiului acţiunii independene a forţelor simulane, epresia maemaică a formulei unei anumie forţe nu se modifică dacă, în loc să acţioneze singură, aceasă forţă acţionează concomien cu ale forţe. Cu ale cuvine, modul de acţiune al unei forţe nu ese alera prin prezenţa alor forţe.

69 Pag. 67 Comparând cu epresia principiului fundamenal : m a F rezulă că suma F + F +... are semnificaţia unei unice forţe, denumiă forţa rezulană şi noaă cu R. De aceea, puem enunţa combinaţia celor două principii asfel : Produsul dinre masa şi acceleraţia unui punc maerial ese numeric egal cu forţa rezulană care acţionează asupra puncului maerial : m a R Prin forţa rezulană înţelegem suma vecorială a uuror forţelor care acţionează simulan asupra puncului maerial. Aceasă relaţie vecorială ese echivalenă, în general, cu rei ecuaţii scalare, câe una penru fiecare dinre aele de coordonae: ma R F + F +... ma R may Ry F y + F y +... maz Rz F z + F z CÂND SUN VALABILE PRINCIPIILE DINAMICII? Să considerăm două siseme fizice idenice, forma fiecare dinr-o bilă grea, aşezaă pe alerul unui cânar cu arc. Unul din siseme ese plasa pe sol, iar celălal înrun ascensor care coboară cu acceleraţia consană a (figura de pe pagina urmăoare). Eisă şi doi observaori : unul plasa pe sol, iar celălal în sisemul de referinţă al ascensorului. Faţă de observaorul de pe sol, bila ese în repaus : a, iar bila coboară cu aceeaşi acceleraţie ca şi ascensorul : a a. Eperienţele făcue înr-un sisem de referinţă lega de sol confirmă principiul inerţiei. De aceea, observaorul de la sol poae aplica principiile mecanicii penru a eplica mişcările celor două bile. Mai înâi, el va face o lisă a forţelor care acţionează asupra bilelor. În ambele cazuri, rebuie să ia în consideraţie forţa de aracţie a Pămânului, adică greuaea, forţa cu care acţionează alerul, ca răspuns la deformarea resorului, şi poae neglija acţiunea aeru- PROBLEMA DE LA PAGINA 67 Fiind dae două forţe egale în modul, care ese condiţia ca rezulana lor să fie nulă? Aceeaşi înrebare şi penru cazurile în care sun dae rei, respeciv paru forţe egale în modul.

70 Pag. 68 lui înconjurăor. Conform principiului acţiunii independene a forţelor simulane, el calculează forţele rezulane : R G + F ; R' G + F' a - ' F F' a a G G Reducând sisemul de forţe la o singură forţă, el poae aplica principiul fundamenal al dinamicii: R m a ; R' ma Eprimând greuaea în funcţie de acceleraţia graviaţională şi forţa eerciaă de aler în funcţie de deformare, el obţine : ma mg k ; ma mg k ' CUGEAREA DE LA PAGINA 68 oaă şiinţa ese fie fizică, fie colecţie de imbre. Ernes Ruherford (87 937), fizician

71 Pag. 69 Alegând un sisem de coordonae cu o aă paralelă cu acceleraţia ascensorului, el obţine câe o singură ecuaţie scalară: mg mg k k m( g a) ma mg k ' ' < k Rezulaul confirmă observaţia eperimenală : arcul cânarului din ascensor ese mai puţin comprima decâ acela al cânarului de pe sol. Alfel spus, bila din ascensor pare mai uşoară decâ aceea de la sol! Mai mul, dacă ascensorul ar cădea liber, adică dacă a g, comprimarea ' ar fi nulă, ceea ce ar însemna că bila nu se mai sprijină pe aler şi are o greuae aparenă nulă! Cu ale cuvine, bila ar plui în ineriorul ascensorului! Observaorul afla în ascensor vede bila din ascensor sând în repaus faţă de el. Rezulă că acceleraţia acesei bile faţă de ascensor ese nulă : a '. Cu oae acesea, forţele care acţionează sun o greuaea mg şi forţa de răspuns a alerului k '. Încercând să aplice principiile mecanicii, observaorul din ascensor ar ajunge la ecuaţia : ma ' mg k ' sau : m ma a Concluzia ese, eviden, falsă!? DE CE, APLICÂND ACELEAŞI PRINCIPII CA ŞI OBSERVAORUL DE LA SOL, OBSERVAORUL DIN ASCENSOR OBŢINE UN REZULA ERONA? Răspunsul nu poae fi decâ unul : Principiile mecanicii nu sun valabile în ascensor! Deci ascensorul ese un sisem de referinţă neinerţial. Rezulaul observaorului din ascensor ar fi corec doar dacă acceleraţia ascensorului ar fi nulă : a, adică dacă ascensorul ar avea cel mul o mişcare recilinie uniformă în rapor cu solul. ÎNREBAREA DE LA PAGINA 69 Fie cazul ipoeic în care ascensorul se deplasează un imp nedefini cu acceleraţie consană (acceleraţia graviaţională fiind de asemenea consană) şi în care observaorul din ascensor nu are cunoşinţă despre eisenţa şi observaţiile eperimenale ale observaorului de la sol. Înrebarea ese : eisă posibiliaea ca el să realizeze că se află înr-un sisem de referinţă neinerţial?

72 Pag. 7 Din aces eemplu puem erage o concluzie imporană : Fiind da un sisem de referinţă inerţial : oae sisemele de referinţă aflae în mişcare acceleraă faţă de el sun neinerţiale. oae sisemele de referinţă aflae în mişcare recilinie uniformă faţă de el sun inerţiale. o aces eemplu ne mai poae sugera o concluzie ineresană. Să spunem că deformarea arcului cânarului de la sol ese 3 cm şi că acceleraţia ascensorului ese doar o suime din acceleraţia graviaţională: a g/. Să calculăm deformarea resorului din ascensor : m( g a) mg a a ' 3cm,99,97 cm k k g g Diferenţa dinre valorile deformărilor ese de doar,3 mm. În lipsa unor insrumene de măsură foare precise aceasă diferenţă nu poae fi, pracic, pusă în evidenţă. Ce rezulă de aici? Răspunsul ese că, în aces caz, eperienţa, în limiele erorilor de măsură, nu poae face disincţia înre sisemul de referinţă al ascensorului şi acela lega de sol. Cu ale cuvine, observaorul din ascensor poae fi şi el considera, în limiele preciziei eperimenale, observaor inerţial. Aceasă observaţie ne permie să înţelegem de ce Pămânul poae fi considera în mod obişnui sisem de referinţă inerţial. În adevăr, în rapor cu spaţiul newonian absolu, Pămânul se mişcă accelera (poae şi numai penru că se roeşe în jurul Soarelui sau în jurul propriei ae). Acceleraţia ese, însă, suficien de mică penru ca în mule siuaţii pracice rezulaul calculelor, făcue în ipoeza că Pămânul ese sisem de referinţă inerţial, să nu difere, pracic, de rezulaele măsurăorilor eperimenale. ÎNREBAREA DE LA PAGINA 7 Observaorul din ascensor poae jusifica rezulaul eperimenal pe care-l obţine pe mai mule căi : fie consideră că acceleraţia graviaţională are o valoare mai mică, fie consideră că resorul are o consană de elasiciae mai mare, fie crede că masa corpului de pe cânar ese mai mică. Înrebarea ese : care dinre acese ipoeze de lucru vi se pare mai rezonabilă?

73 Pag FORŢE DE INERŢIE Ai un senimen de siguranţă aunci când priveşi la un monagne russe : ese un obiec masiv, ancora solid în pămân. Senzaţiile ari vin abia aunci când e urci în renuleţ şi parcurgi raseul. Forţe neaşepae e ţinuiesc pe scaun, sau, dimporivă, par să e lase fără greuae. Ne puem înreba : de ce oare se perec lucruri aâ de ciudae înrun monagne russe?. Moivul ese lega, în primul rând, de eperienţa noasră de viaţă. Ciudăţenia consă de fap în aceea că în mod normal nu încercăm asemenea răiri. În al doilea rând, în mod obieciv, diferenţa principală ese daă de sisemul de referinţă faţă de care ne aflăm în repaus. Pe scur, în renuleţ fiind, sunem plasaţi înr-un sisem de referinţă neinerţial, în care principiile dinamicii nu mai sun valabile. Înr-un asemenea sisem, mule din eplicaţiile pe care le dăm în mod curen unor fenomene îşi pierd valabiliaea. COMENARIUL DE LA PAGINA 7 Fizica ese mul prea grea penru fizicieni. David Hilber (86 943), maemaician şi filosof german

74 Pag. 7 Penru a înţelege mai bine, să analizăm un al eemplu : Observaorul O, afla pe sol, vede un vagon care se deplasează accelera (figura alăuraă). În vagon ese un pendul graviaţional, G a forma dinr-un mic corp, aârna prinr-un fir de avanul vagonului. o Observaorul O remarcă că micul corp îşi păsrează poziţia în rapor cu vagonul, deci corpul are aceeaşi acceleraţie ca şi vagonul. Pe de ală pare, firul de care aârnă corpul ese înclina faţă de vericală cu un anumi unghi. Ese înclinarea firului eplicabilă? La prima vedere, poziţia firului nu se jusifică. De ce? Penru că firul afla în repaus în sisemul de referinţă al observaorului aârnă verical, indicând direcţia forţei de greuae. La o analiză mai aenă, în care uilizăm principiile dinamicii, poziţia pendulului din vagon ese perfec jusificabilă. Iaă cum : forţele care deermină mişcarea corpului aaşa firului sun două: greuaea, respeciv ensiunea, orienaă pe direcţia firului corpul are o mişcare acceleraă, caracerizaă de acelaşi vecor acceleraţie ca şi acela al mişcării vagonului conform principiilor dinamicii se poae scrie ecuaţia vecorială de mişcare : G + ma alegând aa O în direcţia şi sensul acceleraţiei, obţinem două proiecţii ale ecuaţiei precedene : ma y mg angena unghiului făcu de fir cu vericala ese numeric egală cu raporul dinre componena pe aa O a ensiunii şi componena pe aa Oy: a g θ g înclinarea firului ese cu aâ mai accenuaă cu câ acceleraţia vagonului ese mai mare. Mai mul, dacă pendulul nu are mişcare acceleraă în rapor cu observaorul, unghiul de înclinare ese nul, ceea ce jusifică şi poziţia pendulului în repaus. y COMENARIUL DE LA PAGINA 7 Dacă urmăriţi aces calcul şi nu şiţi nimic despre forţa pe care o numesc ensiune, gândiţi-vă că ea ese forţa elasică eerciaă de un resor cu consană de elasiciae foare mare, aâ de mare încâ îninderea resorului ese prea puţin observabilă.

75 Pag. 73 Ecuaţiile pe care le-ar obţine observaorul din vagon (figura alăuraă), urmând aceeaşi cale de rezol- a* vare, ar fi : G O y mg Diferenţa provine din fapul că în rapor cu el corpul aârna de fir nu are acceleraţie, adică a'. Conform celor două ecuaţii unghiul de înclinare θ ar rebui să fie nul, dar eperienţa conrazice aceasă afirmaţie! Ajunşi în aces punc, ne puem pune unele înrebări legiime :? SĂ FIE FIZICA ŞI LEGILE EI VALABILE DOAR PENRU OBSERVAORII DIN SISEMELE INERŢIALE? DACĂ ESE AŞA, CE SE ÎNÂMPLĂ CU OBSERVAORII CARE RĂIESC ÎN SISEME NEINERŢIALE? MAI AU EI ŞANSA DE A CUNOAŞE LEGILE NAURII? G F i a* a F i O Răspunsurile la acese înrebări sun dificile, iar pe baza lor se po, poae, consrui înregi eorii. ouşi, eisă o cale facilă de a simplifica lucrurile, valabilă în condiţiile menţionae în diagrama de pe pagina urmăoare. Să vedem cum funcţionează aceasă meodă în cazul observaorului din vagonul discua anerior. El rebuie să cunoască principiile dinamicii, să şie despre forţa de greuae şi despre ensiunea cu care acţionează firul şi, în plus, să cunoască acceleraţia pe care o are în rapor cu observaorul inerţial. Acese condiţii fiind îndeplinie, el va scrie urmăoarea ecuaţie vecorială de mişcare penru pendulul din vagon (vezi şi figura) : G ÎNREBAREA DE LA PAGINA 73 Să presupunem că pueţi fi pe rând fie observaorul de pe sol, fie cel din vagon. Înrebarea ese : în cele două siuaţii, simţurile voasre ar indica o diferenţă sau nu?

76 Pag. 74 IPOEZE Legile fizicii sun cunoscue înr-un sisem de referinţă inerţial Observaorul din sisemul neinerţial cunoaşe şi el acese legi Observaorul din sisemul neinerţial cunoaşe acceleraţia pe care o are el în rapor cu sisemul inerţial RUC Pe lângă acţiunea forţelor reale asupra corpurilor, se consideră şi unele forţe imaginare, numie forţe de inerţie sau forţe complemenare Forţele de inerţie sun proporţionale cu masa corpului considera şi cu acceleraţia observaorului neinerţial în rapor cu acela inerţial, au direcţia acesei acceleraţii şi sens opus REZULA Observaorul din sisemul neinerţial poae aplica principiile dinamicii, obţinând rezulae comparabile cu acelea ale observaorului inerţial! G + + Fi ma' ; a' G + + Fi Conform definiţiei forţei de inerţie, el obţine : G + + ( m a) ma Proiecând pe ae, rezulă: y mg Cele două ecuaţii îl duc la aceeaşi concluzie ca şi pe observaorul inerţial: a g θ g Mai mul, analiza pendulului afla în repaus faţă de observaorul inerţial conduce la urmăoarele concluzii : ma ma* a* a G + + Fi ma* G + + ( ma) ma* mg mg Rezulaul însemnă că firul are poziţie vericală, iar corpul se apropie de el cu acceleraţie egală cu aceea a vagonului, având aceeaşi direcţie, dar sens opus faţă de aceasa. Ambele concluzii sun corece şi coincid cu acelea ale observaorului inerţial. y COMENARIUL DE LA PAGINA 74 rucul forţelor de inerţie consă, maemaic, în recerea facorului care conţine acceleraţia în ecuaţia mişcării penru observaorul inerţial în celălal membru, rezulând asfel ecuaţia de mişcare penru observaorul neinerţial. Aces facor, lua cu semn schimba, ese numi forţă de inerţie. Forţa de inerţie nu ese o forţă în adevăraul înţeles al cuvânului, ci doar un nume penru facorul : -ma. Nefiind o forţă adevăraă, o forţă reală, forţa de inerţie nu are reacţiune şi deci nu se supune principiului acţiunii şi al reacţiunii.

77 Pag. 75 Un subiec de refleie Aţi remarca, poae, că înrebările Să fie fizica şi legile ei valabile doar penru observaorii din sisemele inerţiale? Şi dacă ese aşa, ce se înâmplă cu observaorii care răiesc în siseme neinerţiale? Mai au ei şansa de a cunoaşe legile naurii? nu şi-au găsi nici-un răspuns deoarece uilizarea forţelor de inerţie presupune cunoaşerea uuror informaţiilor pe care le are observaorul inerţial şi deci o comunicare înre observaorul inerţial şi acela neinerţial. Dacă aceasă comunicare nu eisă, observaorul neinerţial nu are acces la daele necesare penru a eplica fenomenul. De fap, chiar în eemplul da, uilizarea forţei de greuae, ca forţă vericală, ese daora informaţiei care vine de la observaorul inerţial şi ese accepa penru că, în realiae, un observaor care să se deplaseze oaă viaţa înr-un vagon afla în mişcare recilinie uniform variaă nu eisă. Observaorul din vagon ar fi rebui mai înâi să consruiască vagonul, să se urce în el şi să-l pună în mişcare. În o aces imp el ar fi răi în sisemul de referinţă al Pămânului, percepând greuaea ca o forţă orienaă verical. În vagon fiind, el nu ar puea renunţa la aceasă concepţie. Dar, să presupunem prin absurd că ar eisa un G' observaor care a răi oaă viaţa în aces vagon şi nu a puu comunica cu eeriorul. Cum ar fi fizica eperimenală pe care o cunoaşe el? Nu foare diferiă de aceea a noasră! Penru el oae obiecele ar cădea după o direcţie paralelă cu firul (vezi şi figura alăuraă). Deci, direcţia sa vericală ar diferi de direcţia noasră vericală, iar valoarea acceleraţiei de cădere liberă ar fi diferiă de aceea a noasră :? DE g ' g + a Două înrebări care se po pune analizând definiţia forţelor de inerţie sun urmăoarele : CE SĂ LE ÎNREBUINŢĂM, DACĂ UILIZAREA LOR FACE NECESARĂ FOLOSIREA DAELOR DE CARE DISPUNE DOAR OB- SERVAORUL INERŢIAL? NU ESE MAI BINE SĂ NE PUNEM ÎNODEAUNA ÎN SIUAŢIA ACESUIA? COMENARIUL DE LA PAGINA 75 În secolul XVIII, d Alember a enunţa un principiu carei poară numele şi care era meni să înlocuiască principiul fundamenal al dinamicii. Conform acesuia, ese valabilă relaţia : F - ma. Cu ale cuvine, un corp ese în echilibru sub acţiune forţei reale F şi a forţei imaginare ma. În esenţă, principiul reduce o problemă de dinamică la una de saică.

78 Pag. 76 Răspunzând la a doua înrebare, eu v-aş sfăui să NU VĂ COMPLICAŢI UILIZÂND FORŢE DE INERŢIE! Puncul de vedere al observaorului inerţial ese foare uşor de imagina, pe când acela al observaorului neinerţial ese mai greu de înţeles. ouşi, eisă două moive care conduc la folosirea forţelor de inerţie : unul mai curând isoric şi alul care ţine de o eroare de percepţie a noasră. Moivul isoric ese lega de cunoşinţele de fizică ale Anichiăţii : anicii pueau rezolva cu uşurinţă probleme de saică (sau de echilibrul forţelor penru corpuri în repaus, dar nu şiau să rezolve probleme de dinamică (adică, în fond, probleme de mişcare acceleraă). Forţele de inerţie permi ocmai reducerea unei probleme de dinamică la una de saică, mai familiară fizicienilor, pe vremuri, decâ cea dinâi. Al doilea moiv, cel lega de percepţia eronaă, percepţie pe care o avem şi când ne aflăm în monagne russe-ul despre care discuam la începuul lecţiei. Ca să înţelegem ideea de percepţie eronaă, să privim mai înâi figura alăuraă. Ea ar puea reprezena ceva erem de familiar şi firesc : o feiţă înr-o maşină de spăla. Brrr! Nu v-aş dori să fiţi în pielea ei dacă cenrifuga maşinii ar fi pusă în funcţiune! Aţi simţi o forţă formidabilă care vă împinge căre pereţii cuvei. Aceasă forţă ese boezaă forţă cenrifugă de inerţie. Dar, eisă ea? Păi, aici e problema! Forţa cenrifugă de inerţie nu eisă! Repe, ea ese senzaţia pe care ar aveao cineva afla în maşina de spăla. De ce doar o senzaţie? Să încercăm să lămurim aces lucru. G g G N Să privim figura alăuraă : eisă doi oameni, dinre care unul cade liber, iar celălal să pe o suprafaţă plană. Care dinre ei sime că are greuae? Eviden, doar acela care să pe suprafaţa plană. Senzaţia de greuae ese cauzaă, de fap, de acţiunea conjugaă a două forţe : greuaea şi reacţiunea normală. ÎNREBAREA DE LA PAGINA 76 Ineracţiunea înre două corpuri A şi B ese o relaţie cauză-efec : cauza corpul A acţionează asupra lui B cu o forţă, efec corpul B ese accelera. Principiul al reilea ne asigură că şi reciproca acesei afirmaţii ese adevăraă. Ca eemplu, când se rage cu puşca pe lângă vieza imprimaă glonţului apare şi reculul armei. Înrebarea ese : aflându-vă înrun vehicul care frânează brusc şi simţind efecele forţei de inerţie, pueţi idenifica obiecul responsabil de aceasă forţă şi reculul lui?

79 Pag. 77 Cu ale cuvine, ne dăm seama că avem greuae doar penru că suprafaţa de sprijin acţionează asupra noasră cu forţa de reacţiune normală. De aici provine şi generalizarea pe care o facem inconşien : dacă o suprafaţă acţionează asupra noasră, aces fap se perece numai penru că eisă ceva sau cineva care ne împinge (ca şi greuaea) căre acea suprafaţă. În orice caz, nu considerăm acea suprafaţă de vină, adică că ea ne împinge. Să ne imaginăm acum o maşină de spăla giganică, aflaă undeva în spaţiul cosmic, a unde forţa de graviaţie nu mai acţionează (figura alăuraă a). Personajul afla în cuvă, roindu-se odaă cu aceasa, are la un momen da o anumiă vieză liniară v. Conform principiului inerţiei, în absenţa oricărei forţe eerne, el inde să se deplaseze reciliniu uniform în a ω n N direcţia şi sensul viezei momenane. Ce va v păţi? Va păţi acelaşi lucru ca şi vecorul vieză din figură : ar rebui să reacă prin pereele cuvei! Eviden, pereele se opune cu o forţă: forţa normală. Aceasa deermină acceleraţia normală a omului, care, asfel, coninuă să se roească odaă cu cuva. La rândul său, omul se consideră în repaus şi, simţind reacţiunea normală a pereelui, b conform ideii că penru ca aces fap să se pereacă ese necesar să eise ceva care să-l împingă căre peree, va considera că aces ceva ese forţa cenrifugă de inerţie (figura alăuraă, b). Siuaţii similare înâlnim şi când N ne aflăm înr-un mijloc de ranspor care accelerează, frânează sau se deplasează pe o curbă. În oae acese cazuri, preindem că o forţă de inerţie ne împinge în spae, în faţă sau înspre eeriorul curbei. De fap, aceasă forţă nu eisă. Noi indem să ne păsrăm sarea de mişcare recilinie uniformă, iar mijlocul de F cf ranspor ese acela ce ne-o ia înaine, în spae sau vine cu pereele laeral în înâmpinarea noasră. COMENARIUL DE LA PAGINA 77 Maşina de spăla din spaţiul cosmic ar puea fi o saţie spaţială, de forma unui or, care roindu-se în jurul aei de simerie ar beneficia de graviaţie arificială : forţa de inerţie ar împinge locuiorii saţiei spre eeriorul orului acţionând oarecum asemănăor cu forţa graviaţională.

80 Pag IPURI DE FORŢE Foografia de mai sus vă înfăţişează ridicarea obeliscului din piaţa Sfânul Peru din Roma. O mie de oameni au munci împreună penru a duce la bun sfârşi acţiunea. Moivul penru care vă prezin imaginea ese acela că sudiind-o aen aţi puea găsi oae ipurile de forţe despre care vom vorbi în coninuare : greuae, ensiune, forţă elasică, forţe normale, forţă de frecare, ec. În mecanică, forţele sun de două ipuri : forţe cu acţiune de la disanţă şi forţe de conac. PRECIZAREA DE LA PAGINA 78 Împărţirea în acese două caegorii a forţelor ese una sric operaţională, uilă aunci când neglijăm compoziţia microscopică a maeriei. Fizica acuală nu poae afirma că la nivel microscopic componenele maeriei se po afla vreodaă în conac direc.

81 Pag FORŢE CU ACŢIUNE DE LA DISANŢĂ.5... Forţa graviaţională, legea aracţiei universale Vă pueţi înreba ce au în comun foografiile de mai sus. Ce asemănare eisă înre Lună şi un măr? Dar ce legăură eisă înre acesea şi ordinea cosmică? Răspunsul la acese înrebări ese cuprins înr-o legendă referioare la Isaac Newon. Se spune că el săea înins sub un măr, în grădina sa, şi privea Luna pe cer. Pe neaşepae, un măr s-a desprins de pom şi i-a căzu în cap. Un alul ar fi recu uşor pese aceasă înâmplare, dar Newon şi-a pus o înrebare : de ce mărul cade şi Luna nu cade? Ce deosebeşe cele două corpuri? Gândindu-se, a ajuns la concluzia că, în fond, cele două corpuri nu se deosebesc prea mul : Luna ar puea fi un măr mare, iar MĂRURIA DE LA PAGINA 79 Pe 5 aprilie 76 îi fac o viziă lui Sir Isaac îmi spune că se află în aceeaşi siuaţie ca aunci când, mai demul, îi venise în mine ideea graviaţiei. Aceasa era provocaă de căderea unui măr, pe când era cufunda înr-o sare de conemplaţie. William Sukeley ( ), docor şi anicar englez

82 Pag. 8 mărul o Lună mică. Şi penru că nu eisă o deosebire esenţială înre ele, rezulă că Luna cade ca şi mărul! Aşa e : Luna cade permanen, dar rămâne la aceeaşi disanţă faţă de Pămân, eecuând o mişcare circulară uniformă! Acceleraţia cenripeă a mişcării de roaţie a Lunii ese de fap acceleraţia căderii sale libere, în câmpul graviaţional al Pămânului. Pornind de la acese considerene, uilizând principiile dinamicii şi legile lui Kepler, Newon ajunge la concluzia urmăoare : m F, m F, r, F, F, m m k r, r, r, Orice două corpuri maeriale, având dimensiuni mici în rapor cu disanţa care le separă, se arag cu o forţă orienaă pe direcţia care uneşe cenrele corpurilor, al cărei modul ese proporţional cu produsul maselor lor şi invers proporţional cu păraul disanţei dinre cenrele lor : Legea aracţiei universale Consana de proporţionaliae k se numeşe consana aracţiei universale sau consana graviaţională şi are valoarea : k 6,67 - N m /kg Valoarea consanei graviaţionale a fos măsuraă penru prima oară de chimisul şi fizicianul englez Henry Cavendish, în 798. El a folosi în aces scop o balanţă de orsiune. Valoarea foare mică a consanei graviaţionale face ca forţa de aracţie universală să nu fie resimţiă, în mod curen, ca un mod de ineracţiune înre obiecele din jurul nosru. Asfel, două sfere din plumb, fiecare cu raza de un meru, ale căror cenre se află la disanţa de m, se arag cu o forţă de,5 N, în imp ce forţa arhimedică pe care o eerciă aerul asupra unei sfere ese de 54 N, iar greuaea unei sfere ese nu mai puţin de N. ÎNREBAREA DE LA PAGINA 8 Imaginea alăuraă vă sugerează, eviden cu mul eagera, o bilă sferică aşezaă pe o masă perfec plană, pe suprafaţa Pămânului. Înrebarea ese : bila ar rebui să rămână în echilibru sau nu?

83 Pag Greuaea Greuaea unui corp ese forţa de aracţie dinre acel corp şi Pămân. Noând masa corpului cu m, masa planeei cu M, raza planeei cu R şi folosind legea aracţiei universale, rezulă : G mg km mm g G k R R Aunci când Henry Cavendish a măsura consana graviaţională cu ajuorul balanţei de orsiune, s-a spus că el a cânări Pămânul! Înr-adevăr, cunoscând acceleraţia graviaţională, raza Pămânului şi consana graviaţională, se po calcula masa şi densiaea medie ale Pămânului : m 9, 8 64 km s 4 M P 6 kg Nm 6, 67 kg M P ρ P V P 3 P 4πR ρ 3 P ρ P 3M 4πR P 3 P ,4 4 kg ( 64 km) kg/m Greuaea aceluiaşi corp nu ese aceeaşi în orice punc al Pămânului. Eisă mai mule cauze care conribuie la aces fap : Pămânul nu ese perfec sferic, raza sa la pol fiind puţin mai mică decâ aceea la ecuaor. Pămânul nu ese un sisem de referinţă perfec inerţial. Efecul roaţiei în jurul aei ese resimţi ca acţiunea unei forţe cenrifuge de inerţie, care are valoarea cea mai mare la ecuaor şi se anulează în drepul polilor. Prezenţa unor zăcămine poae afeca local acceleraţia graviaţională. PROBLEMA DE LA PAGINA 8 Raza Lunii ese de aproimaiv 75 km, iar densiaea sa medie ese de 335 kg/m 3. De câe ori ese mai mică acceleraţia graviaţională la suprafaţa Lunii decâ la suprafaţa Pămânului? 3

84 Pag FORŢE DE CONAC Să ne concenrăm aenţia asupra monedei evidenţiae în figura de mai sus. Poziţia sa ese oarecum curioasă. Aşa cum ne indică umbra pe care o lasă pe supor, ea să înr-o poziţie uşor înclinaă. Cu oae acesea, moneda nu cade. Cum ne puem eplica aces fap? Veţi răspunde, desigur, că moneda rămâne în repaus penru că forţele care acţionează asupra ei îşi fac echilibrul. Dar care sun acese forţe? Ce şim despre ele? La o primă analiză, puem fi siguri că una dinre forţele prezene ese greuaea monedei şi că oae celelale forţe care acţionează au o rezulană egală în modul cu greuaea, având aceeaşi direcţie şi sens opus. Puem fi siguri şi că aerul înconjurăor are o conribuţie neglijabilă, dae fiind densiaea mare a monedei şi fapul că ea ese în repaus. De alfel, dacă am aşeza moneda în aceeaşi poziţie, dar fără a o sprijini de un supor, ea ar cădea liber. De aici se poae rage o concluzie : BIOGRAFIA DE LA PAGINA 8 Henry Cavendish (73-8) : fizician şi chimis. A descoperi compoziţia aerului şi a apei, naura şi proprieăţile hidrogenului, a măsura căldura specifică a unor subsanţe. A făcu sudii de elecriciae. A măsura masa şi densiaea Pămânului prin meoda cunoscuă sub numele de eperimenul lui Cavendish.

85 Pag. 83 Forţele care asigură echilibrul monedei, cu ecepţia greuăţii, sun efecul ineracţiunii înre monedă şi suporul său. Mai mul, acese forţe acţionează doar dacă înre monedă şi supor eisă un conac direc. Forţele care se eerciă înre corpurile aflae în conac direc se numesc forţe de conac sau forţe de legăură. Subiecele acesui capiol sun consacrae sudiului unei părţi a forţelor de conac. Caracerisica lor generală ese aceea că nici una nu ese o forţă fundamenală, aşa cum sun forţa graviaţională sau forţa elecrică. Forţele de legăură îşi au originea în ineracţiunile dinre aomii sau moleculele corpurilor aflae în conac. În general, acese ineracţiuni sun de naură elecrică, dar po avea şi ale cauze. Deci forţele de legăură sun manifesarea la scară macroscopică a ineracţiunilor care au loc la nivel molecular sau aomic Forţe de conac înre suprafeţe vecine O eperienţă pe care o pueţi face fără dificulae vă ese sugeraă de figura alăuraă. Luaţi un volum carona şi puneţi-l pe masă, având grijă să sprijiniţi una dinre laurile sale pe câeva ale cărţi. Pe suprafaţa înclinaă, asfel formaă, aşezaţi o cuie de chibriuri, o gumă sau ale corpuri asemănăoare. Veţi consaa că, în funcţie de unghiul de înclinare şi de naura corpurilor de care vă folosiţi, eisă două cazuri posibile: corpul pus pe care rămâne în repaus sau alunecă în jos. Ceea ce aţi realiza se numeşe : sudiul mişcării pe un plan înclina. Figura urmăoare vă oferă un al unghi de vedere, mai porivi penru a discua eperienţa pe care o faceţi. Înclinarea cărţii ese măsuraă prin unghiul α, pe care aceasa îl face cu suprafaţa orizonală. Am ales un sisem de ae de coordonae în care : INFORMAŢIA DE LA PAGINA 83 Planul înclina ese numi maşină simplă. Eisă rei asemenea maşini simple, folosie încă din vremea anichiăţii : planul înclina, scripeele şi pârghia. Despre planul înclina se crede că a fos folosi la consruirea piramidelor egipene, cu scopul de a ridica la înălţimea cuveniă marile blocuri de piară.

86 Pag. 84 aa O ese paralelă cu muchia înclinaă y a cărţii aa Oy ese perpendiculară pe copera cărţii aa Oz ese paralelă cu muchia sprijiniă de masă (fiind asfel perpendiculară pe G planul desenului) α Uilizând aces sisem de ae de coordonae, pueţi face observaţia eperimenală că acceleraţia obiecului afla pe G n α G care ese fie orienaă în direcţia şi în sensul aei O, fie nulă. Componenele acceleraţiei pe aele Oy şi Oz sun înodeauna nule. Şim, conform principiilor dinamicii, că mişcarea acceleraă a unui corp se eplică prin acţiunea forţelor. Dacă singura forţă care ar acţiona asupra corpului ar fi greuaea, aunci, cum componena sa G n ese nenulă, ar rebui să înregisrăm şi o acceleraţie orienaă în sensul invers aei Oy. Rezulă de aici că acţiunea suprafeţei de sprijin asupra corpului se maerializează prinr-o forţă a cărei componenă pe aa Oy compensează înodeauna componena pe aceeaşi aă a greuăţii. Componena, perpendiculară pe suprafaţa de sprijin, a forţei prin care aceasa acţionează asupra corpului cu care ese în conac se numeşe forţă de reacţiune normală şi se noează cu liera N. Ce cauză are forţa de reacţiune normală? Să presupunem că avem un microscop care ne permie să vedem aomii şi că aceşia ar fi un fel de sfere impenerabile. Impenerabiliaea înseamnă, de fap, că la apropierea a doi aomi, înre aceşia încep să se eerciă forţe de respingere, care nu le permi să vină în conac sau să se înrepărundă. Încercând să presăm înre ele două corpuri, aomii aflaţi la suprafeţele lor de conac se apropie unii de alţii, suficien de mul penru ca forţele de respingere să se manifese. Acese forţe sun orienae în direcţii diferie şi apar în perechi, conform principiului acţiunii şi reacţiunii. Din moive de simerie, rezulana lor ese perpendiculară pe suprafeţele de conac dinre corpuri. Deci, ceea ce, la ni- INFORMAŢIA DE LA PAGINA 84 Şiţi ce ese şurubul? Ei bine, el ese de fap un plan înclina, de forma unei spirale! Mai mul, chiar şi un obiec casnic, precum irbuşonul, ese şi el un plan înclina.

87 Pag. 85 vel microscopic, ese un ansamblu de forţe individuale, divers orienae, devine, la nivel macroscopic, o pereche de forţe egale în modul, având aceeaşi direcţie şi sensuri conrare, dinre care una acţionează asupra unui corp, iar cealală asupra celuilal corp. Cu câ apăsarea pe care o eerciă un corp asupra aluia creşe, cu aâ forţele de ineracţiune înre aomi sau molecule cresc şi ele, iar rezulana lor devine şi ea mai mare. Acese forţe rezulane se numesc forţă de apăsare normală, respeciv, forţă de reacţiune normală. Care dinre acese două forţe ese acţiunea şi care reacţiunea ese o pură convenţie. ouşi, în cazul eperienţei pe care o discuăm, ese uzual să numim forţa cu care carea acţionează asupra obiecului forţă de reacţiune normală, iar forţa cu care obiecul acţionează asupra cărţii forţă de apăsare normală. Să revenim la eperienţa în discuţie! Ne vom concenra acum asupra mişcării pe aa O. Aşa cum observăm, ese posibilă aâ mişcarea acceleraă a corpului afla pe care, câ şi rămânerea lui în repaus. Repeând eperienţa la diferie unghiuri de înclinare şi uilizând corpuri diverse, puem remarca două aspece : acceleraţia mişcării depinde de unghiul de înclinare. Penru înclinări mari mişcarea se desfăşoară rapid, iar penru înclinări mici corpul poae rămâne în repaus. la acelaşi unghi de înclinare, unele corpuri alunecă, iar alele rămân în repaus. În general, corpurile având o suprafaţă lucioasă încep să alunece la unghiuri de înclinare mai mici decâ cele având o suprafaţă aspră. Priviţi din nou figura. Singura componenă de forţă pe aa O ese G. Cum ea ese nenulă, ar însemna ca înodeauna să eise şi o componenă a acceleraţiei pe aceasă aă. Aces fap ese infirma de eperienţă: nu eisă înodeauna acceleraţie. rebuie să admiem, în consecinţă, că în lungul aei O rebuie să mai acţioneze o forţă având sens opus componenei G a greuăţii! Aceasă forţă se daorează o ineracţiunii dinre corp şi suprafaţa de sprijin şi a primi denumirea de forţă de frecare. PRECIZAREA DE LA PAGINA 85 În realiae, forţa normală şi forţa de frecare nu sun forţe de naură deosebiă. Eisă o singură ineracţiune la suprafaţa comună corpurilor aflae în conac. Aceasă forţă de ineracţiune are o direcţie diferiă de faţă direcţia normalei. Ese, ouşi, comod să discuăm separa despre componenele despre componenele acesei forţe de ineracţiune după direcţia normală (forţa normală) şi direcţia angenţială (forţa de frecare).

88 Pag. 86 Ce şim despre forţele de frecare? Cunoşinţele noasre în aces domeniu provin din sudiul eperimenal al fenomenului. Primele conribuţii în aces sens le-a avu Leonardo da Vinci (45-59). Cerceările efecuae şi sineza daelor obţinue i-au permis lui Charles Coulomb (736-86) să formuleze legile frecării, cunoscue şi sub numele de legile lui Coulomb. În primul rând, rebuie remarca că eisă rei ipuri de frecare : frecare saică frecare la alunecare frecare la rosogolire FRECAREA SAICĂ Frecarea saică apare aunci când, sub influenţa forţelor eerne, două corpuri în conac, aflae în repaus unul faţă de celălal, au doar o endinţă de mişcare relaivă. Forţa de frecare saică nu are o valoare fiă! Câă vreme suprafeţele aflae în conac rămân în repaus relaiv, forţa de frecare saică are o valoare care compensează componena angenţială (adică, componena angenă în zona de conac la ambele suprafeţe) a rezulanei celorlale forţe, fiind orienaă în aceeaşi direcţie ca şi aceasa, dar având sens opus. Valoarea forţei de frecare saică nu poae creşe oricâ de mul. Eisă o limiă superioară a forţei de frecare saică, numiă forţa de frecare saică maimă. De cine şi de ce depinde sau nu depinde valoarea forţei de frecare saică maimă? Eperienţele conduc la urmăoarele concluzii : Forţa de frecare saică maimă ese direc proporţională cu forţa de apăsare normală care se eerciă înre suprafeţele aflae în conac : F s, ma µ s N (prima lege a frecării saice) Facorul de proporţionaliae µ s se numeşe coeficien de frecare saică. Valoarea coeficienului de frecare saică depinde de naura suprafeţelor aflae în conac şi de gradul lor de prelucrare mecanică. În general, cu câ suprafeţele în conac sun mai puţin finisae, cu aâ coeficienul de frecare saic are valori mai mari. Forţa de frecare saică maimă nu depinde de mărimea ariei suprafeţei de conac a corpurilor (a doua lege a frecării saice) COMENARIUL DE LA PAGINA 86 Frecarea de rosogolire ese cu câeva ordine mai mici decâ frecarea de alunecare. De aceea, ese mai convenabil să ragem o valiză cu roile decâ să o ârâm în absenţa roilelor. Deşi omul primiiv nu cunoşea fizica de azi, observaţia eperimenală i-a permis să descopere roaa, invenţie consideraă de ecepţională valoare în isoria umaniăţii.

89 Pag. 87 FRECAREA LA ALUNECARE Forţa de frecare la alunecare are valoare consană. Direcţia forţei de frecare la alunecare ese angenă la ambele suprafeţe aflae în conac, iar sensul său ese opus sensului viezei relaive a unei suprafeţe faţă de cealală.legile frecării la alunecare sun asemănăoare cu cele ale forţei de frecare saică maimă : Forţa de frecare la alunecare ese direc proporţională cu forţa de apăsare normală care se eerciă înre suprafeţele aflae în conac: F f µn (prima lege a frecării la alunecare) Facorul de proporţionaliae µ se numeşe coeficien de frecare la alunecare. Valoarea coeficienului de frecare la alunecare depinde de naura suprafeţelor aflae în conac şi de gradul lor de prelucrare mecanică. Coeficienul de frecare la alunecare are, în general, valori ceva mai mici decâ coeficienul de frecare saică penru aceleaşi perechi de maeriale. Forţa de frecare la alunecare nu depinde de mărimea ariei suprafeţei de conac a corpurilor (a doua lege a frecării la alunecare) Frecarea la alunecare ese însoţiă de încălzirea celor două suprafeţe în conac şi de generarea unor sunee specifice. Asfel, aprinderea unui chibri (vezi figura) ese daoraă încălzirii măciuliei de fosfor prin frecarea cu o suprafaţă aspră. Procesul ese acompania de un sune caracerisic. FORŢA DE FRECARE LA ROSOGOLIRE Forţa de frecare la rosogolire ese mul mai mică decâ forţa de frecare la alunecare. Pariculariaea forţei de frecare la rosogolire ese că ea depinde şi de inversul razei obiecului cilindric care se rosogoleşe : F r µ r N/r (legea frecării de rosogolire) ÎNREBAREA DE LA PAGINA 87 Coeficienul de frecare la lunecare ese adimensional. Înrebarea ese : coeficienul de frecare la rosogolire ese sau nu adimensional?

90 Pag. 88 Ce cauză au forţele de frecare? Răspunsul ese acelaşi ca şi în cazul forţelor normale : ineracţiunile dinre aomii sau moleculele corpurilor aflae în conac. La nivel microscopic, chiar şi cele mai bine polizae suprafeţe prezină asperiăţi sau neregulariăţi. În mod obişnui, acesea se înrepărund, porţiunile proeminene ale unui maerial inrând în adânciurile celuilal. La încercarea de a deplasa un corp faţă de celălal, la suprafeţele microscopice de conac apar forţe normale pe acesea, dar oblice faţă de direcţia deplasării. La nivel macroscopic, rezulana acesor forţe are o componenă angenţială, care ese chiar forţa de frecare. Aces model ne permie să eplicăm de ce forţa de frecare depinde de forţa de apăsare normală : cu câ aceasa ese mai mare asperiăţile maerialelor se înrepărund mai bine şi suprafeţele lor oblice de conac se măresc. Se mai remarcă din aceasă eplicaţie că, de fap, forţa de frecare depinde de suprafaţa reală, microscopică, de conac înre corpuri şi nu de suprafaţa geomerică, macroscopică. Aceasa ar fi moivarea eoreică a celei de-a doua legi a frecării. Aâa vreme câ eisă numai o endinţă de deplasare relaivă a corpurilor aflae în conac, forţele care se eerciă înre asperiăţile maerialelor au ca rezula doar deformarea elasică a acesora. Mărirea soliciării angenţiale poae duce la deformarea plasică a asperiăţilor sau chiar la ruperea lor, urmarea fiind începerea deplasării relaive şi micşorarea suprafeţei reale de conac înre corpuri. Acesa din urmă ese şi moivul penru care coeficienul de frecare la alunecare are valoare ceva mai mică decâ coeficienul de frecare saică. Penru a verifica eperimenal acese afirmaţii luaţi o bucaă de creă şi rupeţi-o în două. Eaminaţi vizual şi pipăiţi suprafeţele rezulae. Veţi consaa că ele sun neregulae şi aspre. rageţi acum o linie pe ablă, asfel încâ suprafaţa respecivă să vină în conac cu abla. Repeaţi eaminarea. Veţi consaa că suprafaţa în cauză ese mul mai needă! N F f F f G n α N G y G α a Revenind la eperienţa descrisă la începu şi la reprezenarea forţelor, observaţi că penru a eplica comporamenul corpului aşeza pe planul înclina rebuie adăugae două noi forţe, care se alăură greuăţii : forţa de reacţiune normală şi forţa de frecare. De asemenea, apar şi cele două forţe cu care corpul acţionează asupra cărţii : forţa de apăsare normală şi forţa de frecare. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 88 V-aţi gândi că la ablă se scrie cu alb pe negru, iar în caie cu negru pe alb? Unul din moive ese acela că obişnuia creă ese un maerial uşor de obţinu din carbona de calciu, caolin (argilă), acid oleic şi sodă causică. Dimporivă, primele mine de creion erau confecţionae din plumb şi lăsau urme gri închis pe hâria albă.

91 Pag Forţa elasică Figura de mai sus vă evidenţiază suspensia roţii unei mici maşini de curse. Arcul suspensiei se deformează sub acţiunea forţelor eerne şi revine la forma iniţială după încearea soliciării eerne. Un corp care se deformează sub acţiunea forţelor eerne şi revine la forma iniţială după încearea soliciării eerne se numeşe corp elasic. Dacă corpul nu mai revine la forma iniţială după încearea acţiunii eerne, el se numeşe corp plasic. Resorul elasic, aşa cum ese şi cel prezena în foografie ese unul dinre cele mai obişnuie eemple de corpuri elasice. Proprieaea principală a unui resor elasic ese aceea că deformarea sa ese direc proporţională cu inensiaea forţei deformaoare. PRECIZAREA DE LA PAGINA 89 În realiae, nu eisă corpuri perfec plasice sau perfec elasice. Un eemplu ese o minge de fobal. Dacă aceasa ese umpluă cu aer la presiunea corespunzăoare, ea se comporă ca un corp aproape perfec elasic. În caz conrar, predomină caracerul de corp plasic.

92 Pag. 9 Condiţia ca un corp să fie elasic ese aceea ca el să fie confecţiona dinr-un maerial elasic. Maerialele obişnuie sun mai mul sau mai puţin elasice. Eemple de maeriale elasice ar puea fi oţelul, cauciucul sau fildeşul. La cealală eremă, maeriale plasice sun plumbul, plasilina sau smoala. Caliăţile elasice ale diferielor maeriale po fi deerminae eperimenal. O modaliae de măsurare eperimenală a elasiciăţii unui maerial vă ese sugeraă de figura alăuraă. Se confecţionează din maerialul respeciv bare de diverse lungimi şi grosimi. Barele sun fiae la capăul superior, iar la capăul inferior se aârnă corpuri de greuae cunoscuă. În aces mod, se poae sudia alungirea barelor în funcţie de rei parameri : lungimea, aria secţiunii ransversale şi mărimea forţei deformaoare. Pracic, doi dinre parameri sun menţinuţi consanţi, iar alungirea se deermină în urma variaţiei celui de-al reilea parameru. Concluziile eperimenale sun urmăoarele : alungirea ese direc proporţională cu inensiaea forţei deformaoare alungirea ese direc proporţională cu lungimea barei alungirea ese invers proporţională cu aria secţiunii ransversale a barei Formula maemaică care înglobează acese legi eperimenale se numeşe legea lui Hooke şi are urmăoarea formă : Fl l ES unde l ese alungirea, F ese modulul forţei deformaoare, l ese lungimea iniţială a barei, S ese aria secţiunii ransversale, iar E ese o consană care caracerizează proprieăţile elasice ale maerialului din care ese confecţionaă bara, numiă modulul de elasiciae sau modulul lui Young. BIOGRAFIA DE LA PAGINA 9 Rober Hooke (635-73) a anicipa o serie de descoperiri sau invenţii ale epocii. A considera problema mişcării planeelor ca o problemă de mecanică, dar nu a reuşi să ajungă la descoperirea legii aracţiei universale. Cele mai cunoscue conribuţii în domeniul fizicii consau în formularea eoriei elasiciăţii şi analiza fenomenului arderii. A fos prinre primii care au uiliza microscopul şi a descoperi că planele sun formae din celule.

93 Pag. 9 Legea lui Hooke ese valabilă şi în cazul comprimării barei, l măsurând de aceasă daă scurarea aceseia. Legea lui Hooke se mai poae scrie şi asfel : l l E F S ε σ E În aceasă epresie, ermenul ε l/l se numeşe alungire relaivă, iar raporul σ F/S se numeşe efor uniar. În aceasă formulare, legea lui Hooke se enunţă asfel : alungirea relaivă a unei bare supusă îninderii ese direc proporţională cu eforul uniar. Deformarea l ese proporţională cu forţa deformaoare F doar dacă aceasa din urmă nu depăşeşe anumie valori. Dacă acese valori sun depăşie, maerialul nu-şi mai păsrează proprieăţile elasice şi se poae chiar rupe. Iaă în coninuare un abel care vă prezină valorile modului de elasiciae şi ale eforului uniar de rupere la alungire penru câeva maeriale: Maerialul Modulul de elasiciae (N/m ) Eforului uniar de rupere (N/m ) Oţel 9,6 6,86 8 Fier 9,6 5,88 8 Cupru,7,35 8 Plumb,66, 8 Siclă 4,9,9 8 Lemn,98 - Analizând daele din aces abel, pueţi erage unele concluzii : legea lui Hooke ese valabilă doar în cazul unor forţe de înindere relaiv mici. Asfel, o bară de oţel se rupe aunci când ese îninsă cu o forţă de circa 3 de ori mai mică decâ aceea care i-ar dubla lungimea. Rezulă de aici că puem aplica legea lui Hooke doar în cazul unor eforuri uniare de câeva sue sau mii de ori mai mici decâ modulul de elasiciae. BIOGRAFIA DE LA PAGINA 9 homas Young (773 89), medic şi fizician englez. A avu merie deosebie în promovarea eoriei naurii ondulaorii a luminii. A arăa că orice culoare percepuă de ochiul uman ese reproducibilă prin combinarea a rei culori de bază: roşu, verde şi albasru. A făcu măsurăori ale dimensiunilor moleculelor, ensiunii superficiale a lichidelor şi elasiciăţii corpurilor. S-a ocupa de egipologie.

94 Pag. 9 deformările solidelor au valori mici, de mule ori insesizabile cu ochiul liber. Asfel o coardă de pian, din oţel, cu lungimea de m şi aria secţiunii ransversale de,5 mm (sau diameru de,8 mm), s-ar îninde doar cu mm sub acţiunea unei forţe: N 6 3 9, 6, 5 m m ES l F m 98 N l m egală cu greuaea unui corp de kg! consana de elasiciae a unui fir sau a unei bare depinde aâ de dimensiunile geomerice, câ şi de naura maerialului din care ese confecţiona firul sau bara. În eemplul preceden, ţinând con că deformarea şi alungirea l reprezină acelaşi lucru, consana de elasiciae k se poae calcula asfel: ES ES F l k k l l În oae acese cazuri şi în limia elasiciăţii maerialului, deformările sun proporţionale cu soliciaînindere 9, 6 k N, 5 m m 6 m 98. N/m încovoiere Maerialele solide po supora şi ale ipuri de soliciări deformaoare în afara îninderii sau comprimării : Încovoierea Forfecarea orsiunea forfecare orsiune COMENARIUL DE LA PAGINA 9 Deformarea solidelor poae fi provocaă nu numai prin acţiunea unor forţe mecanice. Variaţiile de emperaură po deermina alungiri sau conracţii ale maerialelor. Dacă capeele solidului sun fiae, dilaarea sau conracţia ermică po deermina apariţia unor ensiuni erem de mari în maerial. Ca eemplu, vara, şinele de ramvai se po curba, iar iarna, rupe.

95 Pag. 93 rea eernă, depind de maerialul din care ese confecţiona corpul, precum şi de forma şi dimensiunile geomerice ale acesuia. Înr-un caz concre, cele paru ipuri de deformare se po produce concomien, variind, evenual, ponderea lor. Prin idealizare, când un ip de deformare ese preponderen, celelale po fi neglijae, fără a se produce consecinţe imporane. σ yz σ zz σ zy σ z σ yy σy σ z σ y z σ y Forţele care produc deformarea unui elemen de volum acţionează asupra feţelor elemenului de volum. Fiecare dinre acese forţe are câe o componenă normală şi două componene angenţiale, paralele cu aele de coordonae. Eisă 6 38 componene de forţe deformaoare. Dacă elemenul de volum ese în echilibru de ranslaţie, componenele forţelor care acţionează pe feţele opuse sun egale în modul şi au sensuri conrare. Rămân asfel doar 9 componene independene. Eforurile uniare corespunzăoare sun componenele unui ensor : σ σy σz Σ σ y σ yy σ yz σz σzy σzz Componenele angenţiale ale forţelor de pe feţele opuse creează cupluri de forţe care ind să roească elemenul de volum. Asfel eforurile σ y şi -σ y ind să roească elemenul de volum în jurul aei Oz. La fel, eforurile σ y şi -σ y ar produce o o roaţie în jurul aei Oz, dar în sens invers. Dacă elemenul de volum, oricum ar fi el ales, ese în echilibru şi din punc de vedere al roaţiei, rezulă că eforurile σ y şi σ y sun egale. La fel sau lucrurile şi dacă analizăm endinţele de roaţie în jurul celorlale două ae de coordonae. În consecinţă numărul eforurilor independene se reduce cu rei, asfel încâ ensorul ensiunilor nu are decâ 6 componene independene. Concluzia ese aceea că ensorul ensiunilor ese simeric : INFORMAŢIA DE LA PAGINA 93 În urma unei schimbări de coordonae, un ensor simeric se ransformă o înr-un ensor simeric. De asemenea, suma elemenelor diagonale înaine de ransformarea de coordonae (rasa ensorului) ese aceeaşi cu suma acesor elemene după ransformare. Prinr-o alegere poriviă a aelor coordonae un ensor simeric poae fi adus la forma diagonală.

96 Pag. 94 σ Σ σ σ y z σ σ σ y yy yz σ σ σ z yz zz înindere forfecare σ z σ z σ z σ σ σ z ε z ε z Dacă un elemen de volum ese supus doar eforului longiudinal σ (resul componenelor ensorului ensiunilor fiind nule) elemenul de volum se va lungi pe direcţia, dar se va subţia pe celelale două direcţii (aceasă subţiere ese eplicabilă prin aceea că volumul nu se modifică). Alungirile relaive corespunzăoare sun : σ σ ε ; ε yy ε zz µ E E Coeficienul µ se numeşe coeficienul lui Poisson şi ese inrodus penru ţine con de subţierea despre care vorbeam anerior. Dacă elemenul de volum ese supus doar forfecării, σ z σ z, resul componenelor ensorului ensiunilor fiind nule, vor eisa alungirile relaive : σz σz ε z εz G G Consana G se numeşe modul de forfecare şi se poae eprima în funcţie de E modulul de elasiciae : G. + µ ( ) INFORMAŢIA DE LA PAGINA 94 La schimbarea sisemului de coordonae componenele unui ensor de ordinul doi se ransformă după regula : ' 3 3 ij l k unde R mn sun coeficienţi care depind de modul în care se face schimbarea coordonaelor. R il R jk lk

97 Pag. 95 Sub forma cea mai generală, se poae scrie urmăoarea relaţie de legăură înre ensorul deformărilor şi ensorul ensiunilor : ε εy εz σ σy σz σ + σ yy + σzz + µ µ εy ε yy ε yz σy σ yy σ yz σ + σ yy + σzz E E εz ε yz εzz σz σ yz σzz σ + σ yy + σzz Forţe de ensiune Să privim cu aenţie foografia şi dealiul din casea de mai sus. Eisă acolo obiece menţinue în anumie poziţii prin forţe de conac. Ce caracerisici au acese forţe de legăură? Ele sun, cel mai probabil, forţe elasice. Din păcae, deformările cărora le sun daorae sun greu de sesiza sau de măsura, iar consanele de elasiciae corespunzăoare nu sun cunoscue. Din acese moive, acese forţe de legăură au valori care nu po fi calculae uilizând formule specifice. Valorile lor sun deerminae de celelale forţe care acţionează asupra corpului considera şi de sarea de mişcare a acesuia. Forţele de aces ip se numesc forţe de ensiune şi se noează în mod uzual cu liera. În aplicaţiile curene, forţele de ensiune se înâlnesc în puncele de conac înre corpuri şi firele sau ijele de care acesea sun fiae. În cazul firelor fleibile, forţele de ensiune sun orienae înodeauna pe direcţia firului şi se opun îninderii acesuia. În cazul ijelor rigide, forţele de ensiune po avea orice orienare. PROBLEMA DE LA PAGINA 95 Inversaţi relaţia înre ensorul deformărilor şi ensorul ensiunilor, adică eprimaţi ensorul ensiunilor în funcţie de ensorul deformărilor.

98 Pag EOREMELE DINAMICII.6.. LUCRU MECANIC ŞI PUERE ermenul de lucru poae însemna în limba română şi muncă, dar şi obiec. Mărimea fizică lucru are legăură cu munca sau ravaliul (work în engleză, ravail în franceză). Şi penru că ravaliu pare un cuvân nu prea românesc, muncă ese un ermen prea vas, iar simplul lucru ese imprecis, fizicienii români s-au hoărâ să denumească mărimea fizică despre care vorbim lucru mecanic. Elefanul din figură, răgând legăura de lemne, face lucru mecanic. d F p Remarcaţi, poae, privind desenul, că a fos nevoie să se sugereze recerea impului, pe măsură ce elefanul îşi ransporă încărcăura de lemne. Aceasa ne araă că lucrul mecanic ese ceva care se face în imp. Eprimarea corecă, în fizică, ese că : lucrul mecanic ese o mărime de proces. Mule dinre mărimile fizice pe care le-am sudia până acum (acceleraţie, vieză, forţă) sun mărimi de sare, adică mărimi caracerizae la fiecare momen de imp de o valoare insananee. Spre deosebire de ele, lucrului mecanic nu i se poae aribui o valoare momenană, el nu poae fi îngheţa înr-o singură foografie! Când faci lucru mecanic eisă un începu şi un sfârşi. Aciviaea sau munca elefanului din figură mai poae fi caracerizaă prin două elemene: forţa pe care o aplică legăurii de lemne şi disanţa pe care le ransporă. Acesea sun două mărimi fizice măsurabile, care, împreună, ne vor ajua să măsurăm lucrul mecanic. CUGEAREA DE LA PAGINA 96 Apropo de muncă : Dacă vrei ca visurile să ţi se împlinească, nu dormi. Proverb evreiesc

99 Pag. 97 Prin definiţie, lucrul mecanic ese mărimea fizică scalară numeric egală cu produsul dinre lungimea deplasării unui corp şi componena consană şi paralelă cu direcţia deplasării a forţei care acţionează asupra corpului : L F p d Să mai privim încă o daă cu aenţie la elefanul care cară lemne (figura alăuraă). Puem remarca o deosebire înre forţa F cu care rage F lemnele şi forţa F' cu care le împinge: F' prima ese orienaă oblic, sub unghiul α α faţă de direcţia deplasării, iar a doua F p paralel cu deplasarea. Dacă lucrul mecanic al forţei F' ese L' F'd, lucrul mecanic al forţei F ese : L F p d F d cos α Forţa şi deplasarea sun vecori. Ulima formulă pe care am scris-o corespunde unei operaţii maemaice cu vecori : produsul scalar. Prin urmare, puem rescrie formula lucrului mecanic în modul urmăor : L F d Enunţul corespunzăor ese : lucrul mecanic ese mărimea fizică scalară numeric egală cu produsul scalar dinre vecorul consan forţă şi vecorul deplasare al puncului de aplicaţie al forţei.? DEFINIŢIA PE CARE AM DA-O LUCRULUI MECANIC ŞI FORMULA DE CALCUL A ACESUIA AU O MARE PROBLEMĂ. PENRU A FI APLICAE ESE NECESAR CA PROIECŢIA FORŢEI PE DIRECŢIA DEPLASĂRII SĂ FIE CONSANĂ PE OAĂ DURAA DEPLASĂRII CONSIDERAE. CUM SE POAE CALCULA LUCRUL MECANIC DACĂ ACESE CONDIŢII NU SUN ÎNDEPLINIE, IAĂ O ÎNREBARE AL CĂRUI RĂSPUNS ÎL VEŢI GĂSI PE PAGINA URMĂOARE. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 97 Uniaea de măsură a lucrului mecanic în Sisemul Inernaţional se numeşe joule şi are simbolul J. Conform definiţiei lucrului mecanic, puem scrie : [ L ] SI [ F] SI [ d] SI N m J adică un joule ese lucrul mecanic făcu la deplasarea puncului de aplicaţie al unei forţe de un newon pe disanţa de un meru în direcţia şi sensul forţei.

100 Pag. 98 CALCULUL LUCRULUI MECANIC AL UNEI FORŢE VARIABILE F cosα raiecorie r dr ; dr dl r dl l Să considerăm siuaţia schemaizaă în figura de mai sus. Un corp ese deplasa cu ajuorul unei forţe variabile, care face un unghi variabil cu direcţia insananee a deplasării, în lungul unei raiecorii de lungime l. Două poziţii succesive, foare apropiae, ale corpului pe raiecorie sun caracerizae de vecorii de poziţie r şi r. Modulul diferenţei acesor vecori dr aproimează foare bine lungimea porţiunii de raiecorie parcurse de corp în inervalul de imp considera : dl. În graficul din dreapa ese reprezena modul de variaţie a componenei forţei care ese paralelă cu direcţia insananee a mişcării F cosα în funcţie de lungimea drumului parcurs pe raiecorie. Considerând că pe o porţiune foare mică a raiecoriei, componena angenţială a forţei ese pracic consană, lucrul mecanic corespunzăor poae fi calcula cu formula de definiţie : dl F dl cosα F dr Grafic, aces lucru mecanic elemenar ese reprezena de aria unui drepunghi având ca bază segmenul dl şi ca înălţime valoarea componenei angenţiale a forţei : F cosα Lucrul mecanic oal se poae calcula adunând valorile lucrului mecanic făcu pe fiecare asemenea porţiune, ceea ce maemaic revine la a calcula inegrala : L AB ( B) F dr ( A) PRECIZAREA DE LA PAGINA 98 Inegrala care permie calcularea lucrului mecanic nu ese o inegrală simplă ci o inegrală curbilinie. Valoarea ei depinde de drumul urma înre puncele A şi B şi nu numai de poziţia acesora. Din aceasă cauză facem şi afirmaţia lucrul mecanic ese o mărime de proces.

101 Pag. 99 Să privim figura alăuraă. Ne puem înreba : Care dinre cei doi elefanţi va reuşi să ajungă primul la capăul drumului?. Fără îndoială, răspunsul va fi că primul îşi ermină reaba elefanul mai mare. De ce? Penru că ese mai puernic! Dar, ce înseamnă mai puernic? Cum realizăm că ese mai puernic? Proba pracică a puerii se face prin lucrul mecanic realiza şi prin impul necesar. Cu câ se face un lucru mecanic mai mare înr-un inerval de imp mai scur, cu aâ puerea (ca mărime fizică) ese mai mare. Prin definiţie puerea mecanică medie ese mărimea fizică scalară numeric egală cu lucrul mecanic făcu în uniaea de imp : L P m Ca şi vieza medie, puerea mecanică medie nu descrie saisfăcăor fiecare momen de imp al unui proces fizic. De aceea, ese necesară definirea puerii insananee sau momenane : P lim L dl d Puerea momenană se poae eprima în funcţie de vieza momenană şi forţă, după cum urmează : P dl d F dr d dr F d F v Puerea momenană ese numeric egală cu produsul scalar dinre vecorii forţă şi vieză. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 99 În SI uniaea de măsură a puerii se numeşe wa şi are simbolul W. Conform definiţiei puerii, puem scrie : [ L] SI J [ P ] SI W [ ] SI s şi enunţa : un wa ese puerea dezvolaă de o forţă care face un lucru mecanic de un joule în imp de o secundă.

102 Pag..6.. FORŢE CONSERVAIVE, ENERGIE POENŢIALĂ Spre deosebire de ale lecţii, de daa aceasa, vom începe cu o definiţie seacă : Forţele conservaive sun acele forţe care se bucură de proprieaea că lucrul mecanic pe care îl fac nu depinde nici de forma raiecoriei, nici de modul de deplasare pe raiecorie. Lucrul lor mecanic depinde doar de poziţiile iniţială şi finală ale puncului maerial asupra căruia acţionează. Dacă analizaţi cu aenţie definiţia, nu se poae să nu puneţi înrebarea : poziţii faţă de ce sau de cine? Ca să răspundem la înrebare să ne aminim că orice forţă reală ese manifesarea ineracţiunii înre două corpuri maeriale. Deci poziţiile iniţială şi finală ale puncului maerial ar rebui raporae la corpul sau la sisemul de corpuri cu care ineracţionează. r A Să discuăm binecunoscuul eemplu al ineracţiunii graviaţionale. Să presupunem că un mic corp se deplasează înre două punce A şi B aflae în vecinăaea Pămânului. F g r B Puncul maerial şi Pămânul formează un sisem de corpuri. Aces sisem de corpuri prezină la fiecare momen de imp o anumiă configuraţie, înţelegând prin aceasa poziţia relaivă pe care o ocupă corpurile sisemului unele faţă de celelale. În cursul unui proces care implică efecuarea de lucru mecanic, configuraţia variază. PRECIZAREA DE LA PAGINA În cazul ineracţiunilor de la disanţă, forţa rezulană cu care un sisem de corpuri care acţionează asupra unui corp de probă depinde în mod coninuu de poziţia pe care o ocupă acesa din urmă. Ese comod maemaic să considerăm că orice punc din spaţiu aparţine unui câmp de forţe genera de sisemul de corpuri, iar forţa care acţionează asupra corpului de probă ese rezulaul ineracţiunii acesuia cu câmpul şi depinde numai de caracerisicile corpului de probă şi câmpului în puncul considera.

103 Pag. Înr-un punc oarecare al raiecoriei puncului maerial, forţa graviaţională are epresia: kmm () P r Fg r r r Raza vecoare r caracerizează poziţia corpului faţă de cenrul Pămânului, iar m ese masa corpului, respeciv M P ese masa Pămânului. Lucrul mecanic efecua de forţa graviaţională la deplasarea puncului maerial din A în B ese : ( B) ( B) kmm P LAB Fg () r dr r dr 3 r ( A) Şim că păraul modulului unui vecor ese egal cu produsul scalar înre acel vecor şi el însuşi : r r r. Dacă diferenţiem aceasă epresie, obţinem : d( r ) d( r r) dr r + r dr r dr r dr d( r ) dξ Pe de ală pare, puem scrie şi : 3 ( A) 3 ( ) 3 ξ r r Prin urmare, epresia lucrului mecanic se poae scrie ca : L AB ( B) ( A) kmm Revenind la variabila r, obţinem : ξ 3 P dξ kmm ξ P ξ ξ B A kmm ξb P kmm ξ A P L AB kmm r B P kmm r A P Analizând rezulaul, ajungem la concluzia că forţa graviaţională ese o forţă conservaivă, penru că epresia lucrului mecanic nu depinde în nici-un fel de forma raiecoriei sau de vieza cu care puncul maerial s-a mişca pe raiecorie. În cazul sisemului considera, singurii parameri de care depinde lucrul mecanic al forţei graviaţionale sun disanţele iniţială şi finală înre puncul maerial şi cenrul Pămânului. PRECIZAREA DE LA PAGINA Fapul că lucrul mecanic nu depinde decâ de disanţele iniţială şi finală şi nu de vecorii de poziţie corespunzăori ese o consecinţă a simeriei sferice a câmpului graviaţional eresru. Asfel de câmpuri cu simerie sferică se mai numesc şi câmpuri cenrale.

104 Pag. În general, orice configuraţie a sisemului Pămân-corp de probă ese caracerizaă prin facorul : kmm P r Convenim să denumim aces facor : energia poenţială a sisemului Pămân-corp de probă în configuraţia daă şi să-l noăm W p. Cu aceasă definiţie, epresia lucrului mecanic al forţei graviaţionale devine : L W + W r W AB ( B ) ( A ) AB p r p p, Aceasă relaţie poae fi generalizaă penru orice câmp de forţe conservaive. Prin urmare, puem defini noţiunea de energie poenţială asfel : Înr-un câmp de forţe conservaive, variaţia energiei poenţiale în cursul unui proces ese numeric egală cu lucrul mecanic efecua în cursul procesului de forţele conservaive implicae, lua cu semn schimba : W p, AB W p, B W p, B L AB,conservaiv UN CAZ PARICULAR r A B r + h În paricular, în cazul r RP + h ; h << RP ra R P, epresia lucrului mecanic al forţei graviaţionale devine : kmm P kmm P LAB R + h R P P B, kmm P km P h m h mg h RP ( RP + h) RP Epresia corespunde lucrului mecanic efecua de forţa graviaţională în imediaa apropiere a suprafeţei Pămânului. PRECIZAREA DE LA PAGINA Energia poenţială a unui sisem de corpuri care ineracţionează prin forţe conservaive poae fi definiă până la un facor adiiv, arbirar. În adevăr, definind W ' W cons, rezulă : AB p, B p, A p, B p, A p p + L W' + W' W + W. Operaţia prin care consanei i se aribuie o valoare convenabilă se numeşe ealonare.

105 Pag. 3 RELAŢIA ÎNRE FORŢĂ ŞI ENERGIA POENŢIALĂ În general, lucrul mecanic are epresia : L AB ( B) F dr În cazul unui câmp de forţe conservaive, epresia lucrului mecanic ese : L AB ( A) ( W W ) p, B p, A ( B) ( A) dw Deci în cazul câmpurilor de forţe conservaive eisă relaţia : ( B) ( A) ( B) dw p F dr ( A) A,B Energia poenţială ese o funcţie doar de poziţia pe care o ocupă corpul de probă : Wp Wp Wp Wp Wp( r ) Wp(,y,z) dwp(,y,z) d + dy + dz y z Pe de ală pare, produsul scalar dinre forţă şi vecorul deplasare se poae eplicia în modul urmăor : F d r ( F e + F e + F e ) ( e d + e dy + e dz) F d + F dy F dz y y z z y z y + Înlocuind în relaţia inegrală, obţinem : ( B) Wp Wp Wp + F d + + Fy dy + + Fz dz A,B ( A) y z Penru că aceasă relaţia ese saisfăcuă oricare ar drumul de inegrare, rezulă că inegrandul rebuie să fie nul, ceea ce arage după sine urmăoarele egaliăţi : Wp Wp Wp F ; Fy ; Fz y z În acese condiţii, vecorul forţă se poae eprima în modul urmăor : Wp Wp Wp F Fe + Fye y + Fze z e + e y + ez e + e y + ez W y z y z Pe scur aceasă relaţie se scrie sub forma : Înr-un câmp de forţe conservaive, forţa care acţionează asupra corpului de probă ese numeric egală cu gradienul energiei F W p poenţiale INFORMAŢIA DE LA PAGINA 3 Facorul e + e y + ez ese ceea ce se numeşe în y z maemaică un operaor, poară numele de operaorul nabla şi ese simboliza prin semnul. Aplicând operaorul nabla unei funcţii scalare se obţine o funcţie vecorială numiă gradienul funcţiei scalare. p z p

106 Pag ENERGIA CINEICĂ, EOREMA VARIAŢIEI ENERGIEI CINEICE PENRU UN PUNC MAERIAL Să considerăm un punc maerial care se mişcă accelera sub acţiunea unei forţe rezulane eerne F. Acceleraţia şi forţa sun legae prin principiul fundamenal al dinamicii : dv F ma F m d Puem înmulţi scalar epresia cu vecorul vieză : dv dv dv d( v v) d( v ) F v mv F v m v + v m m d d d d d Ţinând con că vieza ese prima derivaă a vecorului de poziţie în rapor cu impul, mai puem scrie : dr d( v ) m F m F dr d( v ) d d Inegrând pe raiecoria urmaă de puncul maerial, obţinem : ( B) ( B) m mv A ( ) B mv F dr d v ( A) ( A) mv Prin convenţie, facorul se numeşe energia cineică a unui punc maerial, fiind o mărime de sare. Noaţia pe care o vom folosi penru energia cineică ese : W c. Ţinând con că ( B) F dr ( A) A în B, rezulă egaliaea : ese lucrul mecanic făcu de forţa rezulană la deplasarea din B mva L AB mv PRECIZAREA DE LA PAGINA 4 În calculele făcue pe aceasă pagină eisă afirmaţia impliciă că masa puncului maerial nu depinde de vieza cu care se deplasează acesa. Aceasă afirmaţie ese unul din principiile fundamenale ale mecanicii clasice şi poae fi pus la îndoială. Eperienţele au dovedi că, de fap, masa depinde de vieză, dar în condiţii obişnuie ea poae fi consideraă consană.

107 Pag. 5 Aceasă ulimă egaliae eprimă maemaic o eoremă a dinamicii, numiă eorema variaţiei energiei cineice a unui punc maerial. Enunţul acesei eoreme ese urmăorul : În cursul unui proces, variaţia energiei cineice a unui punc maerial ese numeric egală cu lucrul mecanic efecua de forţa rezulană care acţionează asupra sa în cursul procesului. Formula care eprimă maemaic aceasă eoremă ese : W c,ab L AB.6.4. EOREMA VARIAŢIEI ENERGIEI CINEICE PENRU UN SISEM DE PUNCE MAERIALE F e F 4, F,4 F, F, F e F 3, F 4, F 3, F,4 F,3 F,3 F 3,4 F 4,3 F e3 F e4 primului punc maerial ese : În figura alăuraă pueţi vedea paru punce maeriale care ineracţionează aâ înre ele, câ şi cu corpuri din eerior. Înr-un proces în care poziţiile puncelor maeriale se modifică forţele de ineracţiune înre puncele maeriale (adică forţele inerne) şi forţele de ineracţiune cu corpurile din afara sisemului (adică forţele eerne) fac lucru mecanic. eorema variaţiei energiei cineice poae fi aplicaă separa fiecărui punc maerial. Asfel, de eemplu, rezulana forţelor care acţionează asupra F + Lucrul mecanic efecua de aceasă rezulană ese : F, + F3, + F4, Fe PRECIZAREA DE LA PAGINA 5 Penru că puerea are epresia P F v, iar : dv m d( v v) m dv d mv F v m v d d d d dw c P d rezulă : dw d Forma diferenţială a eoremei de variaţie a energiei cineice c

108 Pag. 6 L F dr F, dr + F3, dr + F4, dr + Fe dr L, + L3, + L, + Le Li L L i + Le Conform eoremei variaţiei energiei cineice, aces lucru mecanic modifică energia cineică a primului punc maerial : W L L + L c i e Variaţia energiei cineice a unui punc maerial aparţinând sisemului de punce maeriale ese numeric egală cu suma algebrică dinre lucrul mecanic efecua de forţele inerne L i şi lucrul mecanic făcu de forţa eernă L e care acţionează concomien asupra puncului maerial. Acelaşi calcul îl puem face penru oae puncele maeriale care aparţin sisemului. Deci, în general, noând prin k numărul aribui puncului maerial, avem : W L L + L c,k k Dacă sisemul de punce maeriale rece de la sarea A la sarea B, şi dorim să epliciăm mai mul relaţia de mai sus, rezulă : mkvk, B mkvk, A Lk Li,k + Le,k Sumând penru oae valorile lui k obţinem : n n m n n n kvk, B mkvk, A Lk Li,k + Le,k k k 3 k 3 k 3 k L L L i,k oal e,k i,oal e,oal Suma energiilor cineice ale uuror puncelor maeriale care alcăuiesc un sisem : n m k v k ese o mărime de sare a sisemului de punce maeriale şi se numeşe energia cineică oală a sisemului de punce mae- k riale, sau, pe scur, energia cineică a sisemului. Ea se poae noa simplu prin W c. Uilizând definiţia anerioară, ulima relaţie se poae scrie după cum urmează : COMENARIUL DE LA PAGINA 6 Energia cineică oală a unui sisem de punce maeriale ese o mărime globală, care nu furnizează indicii asupra unui componen al sisemului, aşa cum averea unei comuniăţi nu spune prea mul despre averea unui membru al ei.

109 Pag. 7 W L L + L c oal i,oal e,oal eorema variaţiei energiei cineice a unui sisem de punce maeriale În cursul unui proces, variaţia energiei cineice a unui sisem de punce maeriale ese numeric egală cu lucrul mecanic oal efecua de oae forţele care acţionează asupra uuror puncelor maeriale, indiferen că ele reprezină ineracţiuni inerne sau ineracţiuni cu corpuri din eeriorul sisemului ENERGIE MECANICĂ, EOREMA VARIAŢIEI ENERGIEI MECANICE PENRU UN SISEM DE PUNCE MAERIALE Eisă siseme de punce maeriale în care se manifesă acţiunea unor forţe inerne conservaive. Un eemplu în aces sens ar fi sisemul solar, la scara căruia aâ planeele câ şi Soarele po fi considerae ca punce maeriale care ineracţionează prin forţe graviaţionale. OBSERVAŢIA DE LA PAGINA 7 Aâ în epresia maemaică a eoremei variaţiei energiei cineice, câ şi în ale eoreme de variaţie pe care le vom demonsra ulerior, observăm că membrul sâng al egaliăţii conţine doar mărimi de sare, iar membrul drep doar mărimi de proces.

110 Pag. 8 Dacă în cadrul ineracţiunilor care se eerciă înre componenţii unui sisem de punce maeriale eisă şi forţe conservaive, lucrul mecanic oal inern are două componene : lucrul forţelor conservaive şi lucrul forţelor neconservaive : L i,oal Li,oal,conservaiv + Li,oal,neconservaiv Şim deja că lucrul forţelor conservaive ese lega de variaţia energiei poenţiale a sisemului : L W i,oal,conservaiv p Folosind observaţia de mai sus şi revenind la epresia maemaică a eoremei variaţiei energiei cineice a unui sisem de punce maeriale, puem scrie : W W + L + L c p i,oal,neconservaiv Aâ energia cineică, câ şi energia poenţială sun mărimi de sare, asfel încâ, în procesul de modificare a sării sisemului de la A la B, se poae scrie : W W W W + L + L sau : c, B c, A p, B p, A e,oal i,oal,neconservaiv e,oal ( W c, B + Wp, B ) ( Wc, A + Wp, A ) Li,oal,neconservaiv + Le, oal Convenim să numim suma dinre energia cineică şi energia poenţială ale unui sisem de punce maeriale : energie mecanică şi s-o noăm prin W (W W c + W p ). Prin urmare, obţinem : W L i + L,oal,neconservaiv e,oal eorema variaţiei energiei mecanice a unui sisem de punce maeriale În cursul unui proces, variaţia energiei mecanice a unui sisem de punce maeriale ese numeric egală cu lucrul mecanic oal efecua de oae forţele inerne neconservaive, la care se adună lucrul mecanic al uuror forţelor care reprezină ineracţiuni cu corpuri din eeriorul sisemului. PRECIZAREA DE LA PAGINA 8 În cazul paricular în care nu se eerciă forţe inerne neconservaive, iar sisemul ese izola de eerior (ceea ce înseamnă că nu se eerciă nici forţe eerne), rezulă W, adică energia mecanică se conservă (eorema conservării energiei mecanice).

111 Pag IMPULS, EOREMA VARIAŢIEI IMPULSULUI PENRU UN PUNC MAERIAL În Biblie se scrie că micuţul David l-a învins, în lupă dreapă, pe uriaşul Goliah. Cum a fos posibil? Simplu! Uilizând o piară. Dar, de ce alţii nu erau capabili de aceeaşi performanţă, penru că piere se găseau pese o? Piere se găseau, dar David avea şi o armă : praşia. Aceasa îi permiea să arunce piara cu o vieză mai mare decâ aceea pe care alţii o obţineau aruncând pierele cu mâna goală. Praşia nu ese singura armă care foloseşe aceasă idee : arcurile, arbaleele (pueţi vedea una în figură), puşile, se bazează oae pe principiul propulsării cu mare vieză a unui proiecil. Să eaminăm arbalea din figură. Penru propulsarea săgeţii se foloseşe, de fap, un arc elasic cu coardă. Nouaea pe care a adus-o aceasă armă consa în sisemul mecanic folosi penru îninderea corzii, pe care îl zăriţi în dreapa imaginii. Aceasă invenţie permiea unui om obişnui să producă o forţă de înindere cu mul mai mare decâ aceea pe care ar fi puu-o realiza cu mâinile goale. Ce cos avea aceasă amplificare a forţei umane? Răspunsul ese : impul! Penru ca săgeaa să poaă zvâcni din arc înr-o fracţiune de secundă, sub acţiunea forţei elasice, arbaleierul rebuia să roească manivela preţ de câeva zeci de secunde. Iaă înrunie acum elemenele principale ale acesei lecţii : masa şi variaţia de vieză (ale proiecilului), forţa şi inervalul de imp al aplicării forţei (conribuţia corzii elasice). PRECIZAREA DE LA PAGINA 9 Ulimele reglemenări prevăd înlocuirea ermenului de impuls cu acela de caniae de mişcare. Vom coninua, ouşi, să folosim vechea denumire, unul din moive fiind şi acela că ese mai scură.

112 sarea a sarea m v m R m Pag. v Figura alăuraă vă prezină o schemă a procesului de accelerare a unui corp : eisă o sare iniţială, caracerizaă de vieza v şi momenul de imp, precum şi o sare finală, caracerizaă de vieza v şi momenul de imp în inervalul de imp ( - ), asupra corpului acţionează forţa rezulană R(), imprimându-i la fiecare momen de imp o acceleraţia a(). Conform principiului al doilea al mecanicii, puem scrie : m a R Acceleraţia fiind prima derivaă a viezei în rapor cu impul, relaţia se poae pune şi sub forma urmăoare : dv m R mdv R d d Prin inegrare obţinem : m v m v R Iaă, reunie înr-o singură relaţie, elemenele despre care vorbeam mai devreme : masa, variaţia viezei, forţa şi inervalul de imp. Masa şi vieza apar sub forma unui produs care caracerizează din punc de vedere dinamic sarea de mişcare a corpului. Aces produs ese o mărime fizică care conţine informaţie privind aâ inerţia corpului considera, câ şi sarea sa de mişcare. Denumirea pe care o aribuim acesei mărimi fizice ese aceea de impuls (caniae de mişcare). Un al ermen al relaţiei ese inegrala forţei rezulane în rapor cu impul : () d d. Aces ermen caracerizează procesul de accelerare a corpului, adică modul de acţiune în imp al forţei acceleraoare. Prin urmare, aces ermen ese o mărime fizică de proces, denumiă impulsul forţei. Noaţia obişnuiă penru impulsul forţei ese H. () R PRECIZAREA DE LA PAGINA Având în vedere că masa ese consideraă ca fiind independenă de vieză, puem scrie m. În acese dv d( mv) dp d d d dp condiţii, rezulă egaliaea : R (forma diferenţială a eoremei variaţiei impulsului penru un punc d maerial).

113 Pag. Cu acese definiţii, relaţia anerioară se scrie asfel : p H eorema variaţiei impulsului unui punc maerial În cursul unui proces, variaţia impulsului unui punc maerial ese numeric egală cu impulsul forţei rezulane care acţionează asupra puncului maerial pe duraa procesului EOREMA VARIAŢIEI IMPULSULUI PENRU UN SISEM DE PUNCE MAERIALE F e F, F, m m Adunând cele două relaţii, obţinem : F e Să luăm în discuţie cel mai simplu sisem de punce maeriale : cel din figura alăuraă. Fiecăruia dinre cele două punce maeriale care alcăuiesc sisemul i se poae aplica eorema variaţiei impulsului : () d F, () d Fe () v, m v, R + d () d F, () d Fe () v, m v, R + d ( m v, + m v, ) ( m v, + m v, ) R() + R() + ( F () + () ) e Fe d ( ) ) ( ) d F, ( ) + F, ( d + Ce comenarii puem face? Mai înâi, forţele F, şi F, au caliaea de a fi în relaţia acţiune-reacţiune, fiind egale în modul, având aceeaşi direcţie şi sensuri opuse. Deci F, + F,. PRECIZAREA DE LA PAGINA Uniaea de măsură a impulsului în SI se numeşe kilogram meru pe secundă : [ p ] [ m] [ v] SI SI SI m kg s Uniaea de măsură a impulsului forţei ese N s, ceea ce, dimensional vorbind, ese acelaşi lucru cu kg m/s.

114 Pag. Suma vecorială F e + F e reprezină rezulana forţelor eerne care acţionează asupra sisemului de punce maeriale : R e. Suma vecorială m v + m v ese o mărime de sare care caracerizează sisemul de punce maeriale, pe care convenim s-o numim impulsul oal al sisemului de punce maeriale şi s-o noăm cu p. Ţinând con de acese comenarii, rezulă : p p Relaţia mai poae fi scrisă şi sub forma urmăoare, fiind valabilă penru un sisem forma din orice număr de punce maeriale : R e () d p H e eorema variaţiei impulsului unui sisem de punce maeriale În cursul unui proces, variaţia impulsului unui sisem de punce maeriale ese numeric egală cu impulsul forţei rezulane eerne care acţionează asupra sisemului de punce maeriale pe duraa procesului. Vieza cenrului de masă al unui sisem de punce maeriale ese raporul dinre impulsul oal al sisemului şi masa sa oală : v CM n k n m k k m v k n k k n m k k m r& k k Inegrând vieza cenrului de masă în rapor cu impul, puem calcula vecorul de poziţie al cenrului de masă. Invers, prin derivarea viezei cenrului de masă se obţine acceleraţia cenrului de masă. PRECIZAREA DE LA PAGINA eorema variaţiei impulsului unui sisem de punce maeriale poae fi scrisă şi sub forma diferenţială : dp Re d având enunţul : vieza de variaţie a impulsului oal al unui sisem de punce maeriale ese numeric egală cu rezulana forţelor eerne care acţionează asupra sisemului.

115 Pag MOMEN CINEIC, MOMENUL FORŢEI, EOREMA VARIAŢIEI MOMENULUI CINEIC PENRU UN PUNC MAERIAL Deşi aâ de diferie, imaginile de mai sus sisemul solar, aruncăorul de ciocan şi giroscopul care a derona busola şi ese folosi până şi la piloarea auomaă a avioanelor sun legae prin subiecul acesei lecţii. Fie un punc maerial, care, la un momen da, se deplasează cu vieza v şi se află sub acţiunea unei forţe F. Poziţia puncului maerial F se raporează la puncul fi O (pe care-l vom v numi pol) prin vecorul de poziţie r. Fireşe, în r acese condiţii, ese valabil principiul fundamenal al dinamicii : dv ma R () m R () d O Puem înmulţi vecorial fiecare membru al acesei egaliăţi cu vecorul de poziţie : PRECIZAREA DE LA PAGINA 3 În cazul paricular în care sisemul ese izola de eerior (R e ) rezulă p, adică impulsul se conservă (eorema conservării impulsului).

116 Pag. 4 dv mr r R() d Membrul sâng al ecuaţiei se poae prelucra după cum urmează : dv d dr d d mr m r v v m r v v v m d d d d d r v Înlocuind în ecuaţie, rezulă : d m ( r v) r R( ) d md( r v) ( r R( ) )d Relaţia se poae inegra, obţinându-se : ( ) ( ) { ( ) m ( r v ) m( r v ) ( r R( ) ) d Masa, vieza şi vecorul de poziţie apar sub forma unui ermen (mr v) care caracerizează din punc de vedere dinamic sarea de mişcare a corpului şi poziţia sa. Aces ermen ese o mărime fizică de sare care conţine informaţie privind inerţia corpului considera, sarea de mişcare şi poziţia sa. Aribuim acesei mărimi fizice denumirea de momen cineic şi o noăm cu l. Un al ermen al relaţiei ese inegrala produsului vecorial dinre vecorul de poziţie al puncului de aplicaţie al forţei rezulane şi vecorul forţă în rapor cu impul : ( r R() ) d. Facorul r R() caracerizează procesul de accelerare a corpului, adică modul de acţiune în imp şi în spaţiu al forţei acceleraoare. Aces facor ese o mărime fizică, denumiă momenul forţei. Noaţia obişnuiă penru momenul forţei ese M. Inegrala momenului forţei în rapor cu impul ese o mărime fizică de proces. PRECIZAREA DE LA PAGINA 4 d d dl dl Deoarece m ( r v) [ m( r v) ], rezulă : M d d d d Relaţia eprimă forma diferenţială a eoremei variaţiei momenului cineic penru un punc maerial. Enunţul ese : În rapor cu un pol da, vieza de variaţie a momenului cineic al unui punc maerial ese numeric egală cu momenul forţei rezulane care acţionează asupra puncului maerial.

117 Pag. 5 Momenul cineic ese un vecor perpendicular pe planul forma de raza vecoare şi vieză, iar momenul forţei ese un vecor perpendicular pe planul forma de raza vecoare şi forţă. Aâ sensul momenului cineic câ şi sensul momenului forţei se deermină cu regula burghiului drep. Cu acese precizări, puem scrie : ( r F) l d eorema variaţiei momenului cineic penru un punc maerial În cursul unui proces şi în rapor cu un anumi pol, variaţia momenului cineic al unui punc maerial ese numeric egală cu inegrala momenului forţei în rapor impul EOREMA VARIAŢIEI MOMENULUI CINEIC PENRU UN SISEM DE PUNCE MAERIALE O F e F, F, r r r, F e Să luăm în discuţie cel mai simplu sisem de punce maeriale : cel din figura alăuraă. Fiecăruia dinre cele două punce maeriale care alcăuiesc sisemul i se poae aplica eorema momenului cineic : m ( r v ) m ( r v ), ( r F, ) d + ( r Fe ),,, d INFORMAŢIA DE LA PAGINA 5 Uniaea de măsură a momenului cineic ese : kg m [] l SI [ m] SI [] v SI [] r SI s Uniaea de măsură a momenului forţei ese : [ M ] SI [ F] SI [ r] SI N m Dimensional, cele două uniăţi de măsură sun echivalene.

118 m Pag. 6 ( r v, ) m( r, v, ) ( r F, ) d + ( r Fe ) Adunând cele două relaţii, obţinem : sau :, d [ m ( r v ) + m ( r v )] [ m ( r v ) + m ( r v )], ( r F, ) + [( r F, )] d + ( r Fe ) + [( r Fe ) ],,, ( l + l, ) ( l, + l, ) [( r F, ) + ( r F, )] d + ( M e + M e ), d,,, d, Suma vecorială a momenelor cineice ale uuror puncelor maeriale care alcăuiesc un sisem ese o mărime de sare care caracerizează sisemul şi care se numeşe momen cineic oal : l k l. n k Suma vecorială a momenelor uuror forţelor eerne care acţionează asupra uuror puncelor maeriale care alcăuiesc un sisem ese o mărime fizică vecorială care se numeşe momenul oal al forţelor eerne: n M e,k k Forţele de ineracţiune F, şi F, au aceeaşi direcţie direcţie care ese aceeaşi cu direcţia care uneşe cele două punce maeriale şi sensuri opuse : F, -F,. Vecorul r r r, ese paralel cu forţele de ineracţiune F, şi F,. Cu acese precizări, puem scrie : l l [( r r ) F ] d + Med ( r, F, ) d + Med, Med 443 COMENARIUL DE LA PAGINA 6 M Înr-un câmp de forţe cenrale : () r R() r r e r R (în care polul coincide cu cenrul câmpului), eisă relaţia r R, asfel dl încâ:, ceea ce înseamnă că momenul cineic ese consan în imp, consecinţa fiind că raiecoria ese d plană.

119 Pag. 7 În concluzie : eorema variaţiei momenului cineic al unui sisem l M e d de punce maeriale În cursul unui proces şi în rapor cu un pol da, variaţia momenului cineic oal al unui sisem de punce maeriale ese numeric egală cu inegrala în rapor cu impul a momenului rezulan al forţelor eerne care acţionează asupra puncelor maeriale ce consiuie sisemul. UN EXEMPLU Aruncând o monedă verical în sus, ca şi personajul din figura alăuraă, consaaţi că ea coninuă să se învârească, fără ca roaţia ei să fie afecaă de graviaţie. De ce? Penru a răspunde să calculăm mai înâi momenul forţelor de greuae care acţionează asupra uuror moleculelor ce compun moneda : n n M e m k rk g m k r k g mrcm g k k Vecorul de poziţie al cenrului de masă r CM variază după legea : r r v + g CM,CM +, CM ( ) ( ) Luând polul în puncul în care se afla cenrul de masă la momenul aruncării (r,cm ) şi penru că aruncarea ese pe vericală (v,cm g ) rezulă : mrcm g, CM Deoarece momenul rezulan eern M e ese permanen egal cu zero, rezulă : l l cons Concluzia ese că momenul cineic al monedei ese consan în imp (se conservă). ( v g)( ) + ( g g)( ) PRECIZAREA DE LA PAGINA 7 În cazul paricular în care sisemul ese izola de eerior (M e ) rezulă l, adică momenul cineic se conservă (eorema conservării momenului cineic).

120 Pag GRADE DE LIBERAE, COORDONAE GENERALIZAE Maimuţa de mai sus pare mai încânaă la vederea bananei, decâ banana la vederea maimuţei! ÎNREBAREA DE LA PAGINA 8 Înrebarea ese : pueţi preciza fără a rezolva problema (deci fără demonsraţie) dacă maimuţa, fără a se mişca din loc, poae ajunge la banană sau nu?

121 Pag. 9 Cu oae acesea, penru a mânca banana, maimuţa rebuie să rezolve pracic o problemă de mecanică şi nu cred că-şi va frămâna capul să găsească soluţia eoreică. Noi, fiind aşezaţi cu o cracă mai sus (în arborele evoluţiei desigur!) ar rebui să puem deermina eoreic dacă maimuţa poae sau nu ajunge la banană. Penru a ne pronunţa în aces sens va rebui să mai simplificăm puţin lucrurile. Şi iaă simplificările : Vom considera aâ maimuţa câ şi banana ca punce maeriale, de mase m, respeciv m. Vom neglija masa ijei orizonale şi a sforii. De asemenea vom neglija frecările. Ale aspece (precum ar fi gândurile maimuţei) vor fi pur şi simplu recue cu vederea. Ne alegem un sisem de ae de coordonae, asfel încâ orice punc lua în considerare va fi caraceriza de rei coordonae. Reprezenarea schemaică a problemei ese înfăţişaă în figura de mai jos. Puncele cele mai imporane de care ne vom ocupa sun cinci : O, O, M, B şi P. m O(,, ) l M(, y, z ) θ m z y l ϕ l B(, y, z ) Pămânul : P( P, y P, z P ) O (, y, z ) În general, orice punc maerial liber are posibiliaea de a se mişca după oricare dinre cele rei dimensiuni ale spaţiului. Din aces moiv, spunem că un punc maerial liber are rei grade de liberae de mişcare. Cu oae acesea, eisă siuaţii în care liberaea de mişcare a unui punc maerial ese îngrădiă. De eemplu, banana din problema noasră ese aaşaă de o sfoară care o împiedică să se depăreze arbirar de mul de puncul O. Dacă liberaea de mişcare a unui punc maerial ese îngrădiă prinr-un mijloc sau alul, spunem că el ese un punc maerial cu legăuri, iar gradele sale de liberae de mişcare se diminuează. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 9 Legăurile se po clasifica asfel : Holonome dacă nu depind de vieză (neholonome în caz conrar) Scleronome dacă nu depind de imp (reonome în caz conrar) Bilaerale dacă sun eprimae prin ecuaţii (unilaerale dacă sun eprimae prin inecuaţii)

122 Pag. Să analizăm în coninuare siuaţia celor cinci punce reprezenaive penru problema noasră : y P P cons cons zp cons Pămânul ese considera fi. El nu are nici un grad de liberae. y O O zo Puncul O ese fia. Nici acesa nu are nici un grad de liberae. + y l z Parea din dreapa a ijei (O ) se roeşe în jurul lui O, în planul Oy. O are un singur grad de liberae. + y l z Parea din sânga a ijei (M) se roeşe în jurul lui O, în planul Oy. M are un singur grad de liberae. ( ) + + ( y y ) z l Puncul B al sforii se roeşe în jurul puncului O, în planul Oy. B are un singur grad de liberae. Dacă ne-am mulţumi cu enumerarea acesor consrângeri am greşi. Mai eisă una : ija nu se îndoaie în jurul puncului O, deci disanţa înre M şi O ese consană: ( ) ( ) ( ) + y y l + l Aceasa înseamnă că unul dinre cele două punce (să spunem O ) mai pierde un grad de liberae. Numărul gradelor de liberae ale unui sisem de punce maeriale ese egal cu suma numerelor de grade de liberae ale uuror puncelor care alcăuiesc sisemul. Să concluzionăm acum în privinţa sisemului pe care-l discuăm : Puncul Grade de liberae poenţiale Consrângeri (legăuri) P 3 3 O 3 3 O 3 + M 3 B 3 Numărul oal de grade de liberae ale sisemului Grade de liberae rămase PRECIZAREA DE LA PAGINA În e, se scrie că legăura înre puncele O şi B ese asiguraă prinr-o sfoară. Uilizând aces cuvân, am inrodus două posibile erori : nu ese obligaoriu ca puncul B să rămână în planul Oy şi nu ese obligaoriu ca disanţa O B să rămână consană. De aceea sfoară ar rebui înţeles ca ijă rigidă care se poae deplasa doar în planul Oy.

123 Pag. Din cele spuse se poae rage o concluzie : fiind da un sisem forma din N punce maeriale, numărul de grade de liberae al sisemului ese egal cu diferenţa înre riplul numărului de punce şi numărul de legăuri : p 3N - l O ală concluzie ese aceea că înr-un sisem de punce maeriale cu legăuri numărul variabilelor de poziţie independene care caracerizează sisemul ese mai mic decâ numărul oal al coordonaelor puncelor care alcăuiesc sisemul.? Ne punem în aces momen înrebările : CARE OARE DINRE COORDONAELE EXISENE REBUIE ALESE CA VARIABILE INDEPENDENE CONVENABILE PENRU A CARACERIZA SISEMUL? EXISĂ MOIVE CA UNELE DINRE ELE SĂ FIE PREFERAE ALORA? O(,, ) m l M(, y, z ) y z l ϕ O (, y, z ) l m B(, y, z ) Pămânul : P( P, y P, z P ) θ În cazul pe care-l discuăm, nu puem avea moive convingăoare penru a alege înre şi y, sau şi y. Aceasa poae însemna că oricare alegere ar fi la fel de bună sau la fel de proasă. Mai mul dacă ne-am opri doar la acese variane am face o alegere desul de proasă, în sensul că nu ar fi convenabilă penru rezolvarea problemei. Penru ca variabilele independene pe care le vom folosi să fie şi convenabile, vom recurge la o ală soluţie : ele vor fi unghiurile ϕ şi θ din desen. COMENARIUL DE LA PAGINA Alegerea unghiurilor drep coordonae generalizae ese recomandabilă mai ales în siuaţiile în care legăurile permi doar mişcări de roaţie în jurul unor punce dae.

124 Pag. Cu ajuorul acesor două variabile puem eprima poziţiile, viezele şi acceleraţiile celor cinci punce reprezenaive : y z P P P cons cons cons ; ; ; & z& P y& P P ; ; ; && && z P && y P P y z O O O ; ; ; & z& O y& O O ; ; ; && && z O && y O O y z l l cosϕ ; sinϕ ; & y& ; z& ; && z l l ϕ& sinϕ ϕ& cosϕ ; ; && y && l l ϕ&& sinϕ l ϕ&& cosϕ l ϕ& ϕ& cosϕ sinϕ y z l l cosϕ sinϕ ; & ; z& ; && z ; y& l ϕ& sinϕ l ϕ& cosϕ ; ; && l ϕ&& sinϕ + l ϕ& && y l ϕ&& cosϕ + l ϕ& cosϕ sinϕ y z l cosϕ + l sinθ ; & lϕ& sinϕ + lθ& cosθ && lϕ&& sinϕ lϕ& cosϕ + l && θcosθ lθ& sinθ l sinϕ l cosθ ; y& lϕ& cosϕ + lθ& sinθ && y l ϕ&& cosϕ + l ϕ& sinϕ + l && θsinθ + l θ& cosθ ; z& ; && z Paramerii ϕ şi θ se numesc coordonae generalizae, iar ϕ& şi θ & se numesc vieze generalizae. Coordonaele şi viezele generalizae sun variabile independene. PRECIZAREA DE LA PAGINA Coordonaele generalizae nu reprezină neapăra lungimi. De aceea, ele nu se măsoară în mod necesar în meri.

125 Pag. 3 În general, un sisem de punce maeriale cu p grade de liberae ese caraceriza prin p coordonae generalizae şi p vieze generalizae, care sun variabile independene. Din aces moiv, sarea sisemului poae fi reprezenaă prinr-un punc înr-un spaţiu cu p dimensiuni care se numeşe spaţiul configuraţiilor. Aici se încheie ceea ce rebuia să vă spun despre coordonaele generalizae şi spaţiul configuraţiilor. Cu oae acesea, nu aţi afla încă ce se înâmplă cu personajele noasre : banana şi maimuţa. Nu aţi afla penru că până acum am încerca doar să simplificăm siuaţia reală şi să creăm cadrul în care problema ar puea fi rezolvaă. Dacă mai aveţi răbdare, pueţi cii în coninuare şi cum se rezolvă problema. Dacă nu, nu! REZOLVAREA PROBLEMEI O m O G G Pămânul m Orice problemă de dinamică înseamnă găsirea legilor de mişcare ale corpurilor maeriale şiindu-se care sun forţele care acţionează asupra lor la orice momen de imp. Din aces punc de vedere, sunem siguri că orice corp a cărui masă nu ese neglijabilă se află sub acţiunea forţei de greuae (vezi şi schiţa alăuraă). Dacă G şi G ar fi singurele forţe prezene în sisem, aunci ar rebui să fie valabile relaţiile : && ; && y g ; && z -G -G && ; && y g ; && z Dacă vă uiaţi pe pagina precedenă vedeţi că lucrurile nu sau de loc aşa. Ce să însemne aceasa? Eplicaţia nu poae fi decâ urmăoarea : Eisenţa legăurilor ese acompaniaă de apariţia forţelor de legăură, care se manifesă ca forţe de ineracţiune înre componenţii sisemului. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 3 Prinre forţele de legăură cel mai des înâlnie se po enumera forţele normale, ensiunile, forţele elasice, forţele de frecare.

126 Pag. 4 N N -N -N Pămânul -N N -N N Forţele de legăură apar ca perechi acţiune reacţiune. În cazul problemei noasre, forţele de legăură reprezenaive sun înfăţişae în schiţa alăuraă. rebuie să şiţi că valorile şi orienările acesor forţe nu sun cunoscue înaine de rezolvarea problemei (spre deosebire, de eemplu, de forţa de greuae). Sisemul despre care discuăm poae fi caraceriza ca un sisem izola de eerior, în ineriorul căruia nu se eerciă forţe de frecare. Dae fiind acese caliăţi ale sisemului, rezulă, prin prisma eoremelor dinamicii, conservarea impulsului oal, energiei mecanice oale şi a momenului cineic oal. Cu oae acesea, legile de conservare nu sun valabile şi penru fiecare componen al sisemului în pare. Sisemul are o energie cineică oală : mv mv W c + m & + y& + z& + m & + y& ml ϕ& m + ( l ϕ + l θ& & + l l ϕθ & & sin( θ ϕ) ) m l + m l ϕ& + m l θ& + m l l ϕθ & & sin θ ϕ ( ) ( + z& ) [( ) ( )] Observăm că energia cineică oală ese o funcţie cere depinde de coordonaele şi viezele generalizae : W W ( ϕ, θ, ϕ&, θ& c c ). Mai mul, în funcţie de viezele generalizae energia cineică ese o formă păraică simerică. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 4 Ce înseamnă că energia cineică ese o formă păraică simerică care depinde de viezele generalizae? Fiind dae viezele generalizae q, q, q p, energia cineică are urmăoarea epresie generală : p Wc p i j C q& q& ij i j ; C ij C ji i, j

127 Pag. 5 Sisemul are şi o energie poenţială oală : W p ( ϕ, θ) mgy + mgy mgl sinϕ + mg( l sinϕ l cosθ) ( m l m l ) g sinϕ m gl cosθ Energia poenţială depinde doar de coordonaele generalizae. Ea nu depinde de viezele generalizae. Deoarece energia mecanică oală se conservă, rezulă : d Wc ( ϕ, θ, ϕ&, θ& ) + Wp( ϕ, θ) d ( ) Să eaminăm consecinţele acesei relaţii. Vom calcula mai înâi derivaa energiei poenţiale : dwp( ϕ, θ) Wp( ϕ, θ) dϕ Wp( ϕ, θ) dθ Wp Wp + ϕ& + θ& d ϕ d θ d ϕ θ Urmează calculul derivaei energiei cineice : dw ϕ θ ϕ θ& ϕ θ ϕ θ& ϕ ϕ θ ϕ θ& c,, &, Wc,, &, d Wc,, &, + d ϕ d θ W ( ϕ θ ϕ& θ& ) ϕ& ( ϕ θ ϕ& θ& ) θ& c,,, d Wc,,, d + + ϕ& d θ& d ( ) ( ) ( ) W ϕ& ϕ c W ϕ& ϕ c + θ& W θ c + θ& W θ c W + ϕ&& ϕ& + d d c W ϕ& ϕ& + && W θ θ& ϕ& θ& W θ& W c d Wc ϕ + θ& Wc d Wc d Wc & + ϕ& ϕ d ϕ& θ d θ& d ϕ& Se poae verifica cu uşurinţă că : Wc ϕ + θ& Wc & W ( ϕ, θ, ϕ&, θ& ) ϕ& θ& c W q& c W c d d W ϕ& c + dθ + d d d c θ& d d + θ& W θ& p p p p p c q& k q& k Cikq& i Cikq& iq& k k q& k k i i k c W θ& INFORMAŢIA DE LA PAGINA 5 k c q& k p p C q& q& ij i j ik i i j i p C q& + p j C kj q& j W c c p i C ik q& i

128 Pag. 6 asfel încâ obţinem în final : dw ( ϕ θ ϕ θ& ) c,, &, Wc d Wc ϕ θ& Wc d Wc & d ϕ d ϕ& θ d θ& Revenind la legea conservării energiei mecanice şi înlocuind derivaele energiei cineice şi energiei poenţiale, obţinem : W c d Wc Wc d W Wp W c p ϕ& θ& + ϕ& + θ& ϕ d ϕ& θ d θ& ϕ θ Grupând după viezele generalizae, obţinem : W W c p d Wc ϕ θ& W W c p d Wc & + + ϕ ϕ d ϕ& θ θ d θ& Viezele generalizae sun variabile independene. De aceea egaliaea de mai sus poae fi valabilă oricare ar fi valorile viezelor generalizae doar dacă coeficienţii lor sun nuli : d d d d W ϕ& c W θ& c ( W W ) c ϕ ( W W ) c θ p p Dacă ţinem con că energia poenţială nu depinde de viezele generalizae, ceea ce are drep consecinţă şi relaţiile : Wp( ϕ, θ) Wp( ϕ, θ) ; ϕ& θ& rezulă că relaţiile anerioare po fi scrise sub o formă mai simerică : d ( Wc Wp ) ( Wc Wp ) d ϕ& ϕ d ( Wc Wp ) ( Wc Wp ) d θ& θ COMENARIUL DE LA PAGINA 6 Obsevaţi că oae calculele făcue la paginile 5 şi 6 sun generale şi nu depind de problema pe care o discuăm. De aceea, demonsraţia pe care o urmărim ese valabilă penru orice sisem de punce maeriale izola de eerior şi înre care nu se eerciă forţe neconservaive, indiferen de numărul de grade de liberae al sisemului.

129 Pag. 7 Diferenţa înre energia cineică oală şi energia poenţială oală ale unui sisem de punce maeriale se numeşe funcţia lui Lagrange sau, pe scur, lagrangean şi se noează cu L. Lagrangeanul ese o funcţie care depinde de coordonaele şi viezele generalizae : L L ( q,q,...q,q,q&,...& ) p & q p O ecuaţie de forma : d d L L q & i qi ; i,,...p se numeşe ecuaţia lui Lagrange penru forţe conservaive. În problema pe care o rezolvăm, lagrangeanul are forma pariculară : L ( ml + ml ) ϕ& + m l θ& + mllϕθ & & sin( θ ϕ) ml ml g sinϕ+ mgl cos Prima dinre ecuaţiile lui Lagrange ese : d ( m l + ml ) ϕ & + mllθ& sin( θ ϕ) + mllϕθ & & cos θ ϕ + ml ml d g cosϕ sau m l + m l ϕ & + m l l && θsin θ ϕ + m l l θ& cos θ ϕ + m l m l g cosϕ [ ] ( ) θ [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A doua ecuaţie Lagrange ese : d m l θ& + mllϕ& sin( θ ϕ) mllϕθ & & cos θ ϕ + mgl sinθ d sau m l & θ + m l l ϕ&& sin θ ϕ m l l ϕ& cos θ ϕ + m gl sinθ [ ] ( ) ( ) ( ) PROBLEMA DE LA PAGINA 7 Arăaţi că dacă masa bananei ese neglijabilă în comparaţie cu masa maimuţei, iar ija şi sfoara sau iniţial în poziţie vericală, sisemul ese în echilibru.

130 Pag. 8 În aces momen am obţinu două ecuaţii diferenţiale de ordinul doi. În maemaică, se araă că ecuaţiile de aces ip au înodeauna soluţie şi că soluţia ese unică dacă se cunosc valorile iniţiale ale coordonaelor şi viezelor generalizae : ϕ ϕ( ; ϕ, θ, ϕ&, θ& ) θ θ ; ϕ, θ, ϕ&, θ& ( ) Cunoscând forma epliciă a funcţiilor ϕ ϕ( ; ϕ, θ, ϕ&, θ& ) θ θ( ; ϕ, θ, ϕ&,& ) şi θ se po calcula componenele acceleraţiilor fiecărui punc maerial (vezi relaţiile de la pagina ). Aplicând principiul fundamenal al dinamicii în cazul fiecărui punc maerial al sisemului se po calcula mărimile componenelor forţelor de legăură. În aces fel problema de mecanică ese comple rezolvaă. De eemplu, forţele de legăură care acţionează asupra puncelor M şi B sun : ( ϕ& sinϕ + ϕ ϕ) ( ϕ& cosϕ + ϕ ϕ) N, ml & cos N, y & m g + m l sin N,z (& θ cosθ θ& sinθ) ml ( ϕ&& sinϕ + ϕ ϕ) (& θ sinθ + θ& cosθ) + m l ( ϕ&& cosϕ ϕ ϕ) N, & N, y & m l cos m g + m l sin N,z CELE PREZENAE ÎN A DOUA JUMĂAE A ACESEI LECŢII PO FI CONSIDERAE CA NOŢIUNI ELEMENARE DE MECANICĂ ANALIICĂ. REBUIE SĂ REŢINEŢI CĂ FOLOSIREA LAGRANGEANULUI ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DE MECANICĂ ESE POSIBILĂ DOAR PENRU SISEME ÎN CARE NU SE EXERCIĂ FORŢE NECONSERVAIVE! COMENARIUL DE LA PAGINA 8 Chiar dacă se afirmă că ecuaţiile diferenţiale de ordinul al doilea admi înodeauna soluţie şi aceasa ese unică, nu înseamnă şi că forma analiică (epresia maemaică) a soluţiei poae fi găsiă în oae cazurile.

131 Pag. 9 ÎN REZUMA Penru a rezolva o problemă de mecanică care implică un sisem de punce maeriale izola de eerior şi înre care nu se eerciă forţe disipaive (neconservaive) pueţi să procedaţi după cum urmează : Idealizaţi siuaţia daă până la limia în care nu afecaţi esenţa problemei Sabiliţi şi noaţi coordonaele puncelor imporane, uilizând un sisem de ae de coordonae avanajos Scrieţi ecuaţiile maemaice care eprimă legăurile din sisem Deerminaţi numărul de grade de liberae p şi alegeţi cei mai poriviţi parameri drep coordonae generalizae : q, q p Eprimaţi fiecare coordonaă în funcţie de coordonaele generalizae Calculaţi componenele viezelor în funcţie de coordonaele generalizae, evidenţiind asfel viezele generalizae Calculaţi energiile cineică W c şi poenţială W p oale Calculaţi funcţia lui Lagrange (lagrangeanul) : L W W Înlocuiţi lagrangeanul în ecuaţiile lui Lagrange : d L L ; i,,...p d q & i qi Rezolvaţi sisemul de ecuaţii diferenţiale rezula şi sabiliţi valorile consanelor de inegrare uilizând valorile iniţiale ale coor- q q ;q,...q,q&,... q& donaelor şi viezelor iniţiale : ( ) j, p,, p, Dacă ese necesar folosiţi principiul fundamenal al dinamicii penru a calcula valoarea forţelor de legăură, precum şi orienarea acesora Sfârşi j c p BIOGRAFIA DE LA PAGINA 9 Joseph Louis Lagrange (736-83), pe numele său adevăra Giuseppe Luigi Lagrangia, a fos un mare maemaician ialo-francez. A adus conribuţii majore la eoria numerelor şi mecanica analiică şi celesă. Cea mai imporană care a sa ese Mecanica analiică, apăruă în 788. A fos înobila de căre împăraul Napoleon I, primind ilul de cone.

132 Pag ÎNCHEIERE Am ajuns la sfârşiul unui capiol erem de imporan penru formarea dumneavoasră. Aces capiol cuprinde, pe scur, informaţie fundamenală despre mecanica clasică acea mecanică pe care ar rebui s-o cunoască oţi absolvenţii învăţămânului superior al şiinţelor eace sau ehnice. Mecanica clasică sau newoniană a avu perioada ei de glorie, fiind, la vremea respecivă, o regină a şiinţelor. Aces rol l-a puu îndeplini numai umăr la umăr cu maemaica, la dezvolarea căreia a conribui de mule ori. Vremurile au recu, iar buna mecanică clasică (repe, indispensabilă penru aproape orice inginer) a începu să-şi piardă din srălucire. Ca eemplu, ecepţionalele ceasuri elveţiene clasice, mărurii de perfecţiune a mecanicii fine, au fos înlocuie înce înce de ceasurile elecronice, mai iefine şi performane. Ce se mai scrie asăzi despre mecanică înr-o enciclopedie de presigiu? Iaă un fragmen : MECANICA şiinţa acţiunii forţelor asupra corpurilor maeriale. Ea formează miezul uuror şiinţelor eace şi ehnice. Înr-adevăr, prin formularea de căre Isaac Newon în secolul al XVII-lea a legilor mecanicii s-a iniţia dezvolarea şiinţei moderne. eoria lui Newon nu descrie în mod corec comporamenul pariculelor la scala aomică, sau pe acela al sisemelor care se deplasează cu vieze apropiae de aceea a luminii sau în câmpuri graviaţionale inense. În acese cazuri, sun necesare abordări eoreice moderne, cum ar fi mecanica cuanică sau mecanica relaivisă. (Brianica ) Noile ramuri ale mecanicii au fos dezvolae în secolul al XX-lea de căre unele dinre cele mai srălucie nume din isoria fizicii : Niels Bohr, Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Ma Born, Alber Einsein. Ceea ce ese caracerisic acesor noi concepe şiinţifice ese că eisă o limiă de la care predicţiile lor încep să coincidă cu acelea ale mecanicii clasice mecanica care descrie aproape perfec condiţiile ce ne sun familiare în viaţa de zi cu zi. SPERANŢA DE LA PAGINA 3 Regele a muri, răiască regele!

133 Pag OSCILAŢII MECANICE 3.. INRODUCERE Una dinre primele noasre eperienţe în maerie de oscilaţii (pe lângă legănaul în braţele mamei) a fos daul în leagăn. Desigur, puem sa pur şi simplu în scaunul leagănului. În ermeni şiinţifici, spunem în aces caz că sunem un sisem mecanic afla în sare de echilibru sabil. Penru ca legănaul să înceapă ese nevoie ca o ală persoană să împingă scaunul şi să-i imprime o vieză iniţială sau să-l ridice la o anumiă înălţime. Cu ale cuvine, penru ca oscilaţia să înceapă ese nevoie mai înâi ca sarea de echilibru sabil să fie perurbaă prinr-o inervenţie din eerior, sisemul ajungând înr-o sare de neechilibru. Lăsa liber, leagănul se va deplasa în mod repea înre două poziţii ereme, aflae de o pare şi de ala a poziţiei de echilibru. Poziţia, vieza, impulsul, energia cineică, energia poenţială consiuie un grup de parameri ce caracerizează sarea sisemului fizic care ese leagănul. În VERSUL DE LA PAGINA 3 Şi dacă ramuri ba în geam şi se curemur plopii Mihai Eminescu (85 889)

134 Pag. 3 cursul mişcării, aceşi parameri îşi modifică coninuu valorile, dar rămân în inervale care au ca punce de referinţă valorile lor la recerea prin sarea de echilibru. Concluzia acesei discuţii ese urmăoarea : Eisă siuaţii în care paramerii care descriu un sisem mecanic iau succesiv şi repea valori care se află în inervale care au ca punce de referinţă valorile corespunzăoare sării de echilibru. Spunem în aces caz că sisemul efecuează oscilaţii mecanice. Sările prin care rece oscilaorul se po sau nu repea idenic în imp. În cazul în care paramerii ce caracerizează sisemul mecanic iau valori egale după inervale de imp egale, oscilaţia se numeşe oscilaţie periodică, iar inervalul de imp caracerisic aceseia se numeşe perioada oscilaţiei şi se noează cu. De mule ori, dificulaea principală penru cineva care sudiază fizica ese aceea de a ransforma în relaţii maemaice ideile eprimae în cuvine. Cum puem pune sub formă maemaică propoziţia : În cazul unei oscilaţii periodice paramerii sisemului variază coninuu şi iau valori egale după inervale de imp egale? Maemaic, procedăm asfel : noăm paramerul respeciv înrun anume mod şi evidenţiem că ese o funcţie de imp. Scriem, de eemplu, (). Repearea unei valori la recerea unui inerval de imp egal cu perioada se poae raduce în limbaj maemaic asfel : ( ) ( + ). Nu ese însă suficien, penru că o şirul de valori rebuie să se repee idenic şi nu numai o anumiă valoare! De aceea, condiţia rebuie să fie îndepliniă penru oricare valoare a paramerului şi oricare momen de imp : + ( ) ( ) COMENARIUL DE LA PAGINA 3 Oscilaţiile nu sun caracerisice doar fenomenelor mecanice. La rândul ei, acţiunea eerioară care declanşează o oscilaţie nu rebuie în mod necesar să fie de origine mecanică. De eemplu, variaţiile periodice ale inensiăţii curenului elecric dinr-o anenă de recepţie sun provocae de acţiunea câmpului elecromagneic.

135 Pag. 33 Fenomenele periodice ne sun familiare din viaţa de oae zilele. Alernanţa zilei cu noapea, alernanţa anoimpurilor sun eemple de fenomene periodice. Odaă cu evoluţia isorică, oamenii au simţi nevoia să măsoare câ mai precis scurgerea impului şi aşa au invena ceasurile. Oricare dinre limbile unui ceas efecuează o roaţie uniformă, de perioadă bine deerminaă. Deşi aceasă mişcare ese periodică, ea nu ese în acelaşi imp şi oscilaorie, penru că sensul ei nu se schimbă în imp. Să presupunem acum că urmărim evoluţia în imp a proiecţiei pe o aă a vârfului minuarului orologiului din figură. De eemplu, aa vericală. Observăm că la ora 3 fi poziţia vârfului minuarului era de 5,4 uniăţi. Pe măsura recerii impului, aceasă valoare scade, aingând un minim de -5,4 uniăţi, după care creşe din nou până la valoarea iniţială. Aces ciclu se repeă la fiecare oră. Deşi minuarul nu are o mişcare oscilaorie, proiecţia vârfului său pe o aă ese o mişcare oscilaorie, penru că la fiecare jumăae de oră sensul său se inversează. Puem alcăui un abel care să cuprindă valorile impului şi poziţiei vârfului minuarului : (min) (div) 5,4 4,7,8 -,8-4,7-5,4-4,7 -,8,8 4,7 5,4 Graficul poziţiei vârfului minuarului în funcţie de imp ne va permie să inuim mai uşor ecuaţia de mişcare (). ÎNREBAREA DE LA PAGINA 33 Cum s-ar fi modifica abelul de mai sus dacă am fi lua în considerare roaţia orarului şi nu pe cea a minuarului? Dar dacă ne refeream la secundar?

136 Pag L α L Forma graficului ese familiară şi ne amineşe de o cosinusoidă (curba desenaă cu linie înrerupă). Să arăăm acum şi pe cale maemaică că nu ne înşelăm. Luând aa vericală care rece prin originea minuarului ca aă de referinţă, noând lungimea minuarului cu L, alegând ca sens al roaţiei sensul anirigonomeric, noând cu ω vieza unghiulară de roaţie a minuarului şi uilizând legea mişcării de roaţie uniformă, puem scrie mai înâi epresia unghiului pe care-l face minuarul cu aa de referinţă în funcţie de imp : α ω Proiecţia a minuarului pe aa vericală ese : Lcosω Acesa ese şi rezulaul pe care-l aşepam! Un asemenea ip de oscilaţie se numeşe oscilaţie liniară armonică, penru că legea de mişcare depinde de o funcţie armonică. Perioada acesei mişcări oscilaorii poae fi calculaă, conform celor discuae anerior, cu condiţia : ( ) ( + ) Rezulă : Lcos ω Lcos ω( + ) cos ω cos ω cos ω sinω sinω sau : cos ω cosω + sinω sinω [ ] ( ) PROBLEMA DE LA PAGINA 34 În cele discuae pe aceasă pagină am considera ca aă de referinţă penru măsurarea unghiului α aa vericală, a cărei origine coincide cu originea minuarului. Deerminaţi ecuaţia de mişcare () în rapor cu o aă oarecare.

137 Pag. 35 ω ω ω sin cosω + sin cos sinω ω ω ω ω ω sin sin cosω + cos sinω sin sinω + Cum aceasă relaţie rebuie să fie valabilă oricare ar fi momenul de imp, iar ω sin ω + nu poae fi nul la orice momen de imp, rezulă : ω ω π sin kπ ; k Z k ω Rezulaul pare oarecum curios penru că soluţia nu ese unică, valoarea lui k fiind nedeerminaă. De aceea va rebui să definim mai precis ce înseamnă perioada unei oscilaţii : Perioada ese cel mai scur inerval de imp după care paramerii care caracerizează oscilaorul îşi repeă valorile. Conform acesei definiţii, valoarea lui k rebuie să fie cea mai mică posibil, adică. Rezulă : π ω Epresia perioadei oscilaorului armonic Oscilaţia armonică ese unul dinre cele mai simple ipuri de oscilaţie. Cu oae acesea, ea poae fi înâlniă în numeroase siuaţii fizice, având, prin urmare o deosebiă imporanţă. În sineză, puem să definim urmăoarele noţiuni : Mişcările oscilaorii de ipul Asin( + ϕ Acos( ω + ϕ) ω ) sau se numesc oscilaţii armonice. Paramerii care inervin în epresie au urmăoarele semnificaţii : elongaţia oscilaţiei, A ampliudinea oscilaţiei, ω - pulsaţia oscilaţiei, ϕ - faza iniţială a oscilaţiei, Φ ω + ϕ - faza oscilaţiei, momenul de imp. Relaţia de legăură înre perioadă şi pulsaţie ese : ω π. Frecvenţa oscilaţiei ese inversul perioadei : ν /. PROBLEMA DE LA PAGINA 35 Considerând că ese coordonaa puncului în care se găseşe un punc maerial ce efecuează o oscilaţie armonică, calculaţi vieza şi acceleraţia corpului (adică prima, respeciv a doua derivaă a lui în rapor cu ). Arăaţi că a -ω.

138 Pag IPURI DE MIŞCĂRI OSCILAORII 3...O PROBLEMĂ DE MAEMAICĂ Vom discua în aces subcapiol o problemă de maemaică. Ciiorii care au cunoşinţe despre rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale de ordinul al doilea po rece direc la urmăorul subcapiol. Ecuaţia diferenţială de ordinul al doilea pe care o avem în vedere ese urmăoarea : d d + γ + ω d d sau : & + γ& + ω Vom proceda la rezolvare înr-un mod oarecum diferi de cel sandard, penru a face înţelegerea mai uşoară penru aceia care nu au urma un curs de maemaică adecva. Mai înâi facem urmăoarea schimbare de funcţie : α ( ) e X ( ) Conform acesei schimbări de funcţie, obţinem : α α & αe X + e X& şi : α α e X e X& α && α + α + e X& Înlocuind în ecuaţia diferenţială, obţinem : α α α α α α α e X + αe X& + e X&& + γαe X + γe X& + ωe X sau : α e X& + α + γ X& + α + γα + ω X [ ( ) ( ) ] Cum nu poae fi un ermen nul, rezulă : X & + α + γ X& + α + γα + ω X Alegând α -γ, rezulă : γ e X şi e α ( ) ( ) CUGEAREA DE LA PAGINA 36 oae legile maemaice pe care le găsim în Naură mi se par înodeauna suspece, în ciuda frumuseţii lor. Ele nu-mi oferă plăcerea. Ele sun doar nişe auiliare. Privind mai de aproape nu oul ese adevăra. Georg Chrisoph Lichenberg (74 799), fizician şi scriior german

139 Pag. 37 sau : Puem disinge rei siuaţii : X& & ( γ + ω ) + X X& ( γ + ω )X Cazul A) ( γ + ω ) γ ω Ω În aces caz : X& Ω X Mai puem scrie : dx& dx X & X& Ω Ω XX & X& Ω X + C d d unde C ese o consană de inegrare. Ecuaţia se poae pune sub forma : ΩX d dx C d Ωd Ω X + C ΩX + C u u u u e e e + e Cu schimbarea de funcţie ( shu ; chu ; ch u sh u ) : ΩX C shu dx chu du C Ω obţinem : chu du Ωd du Ωd u Ω + ϕ sh u + unde ϕ ese o consană de inegrare. Rezulă : C X sh( Ω + ϕ) sau X Ash( Ω + ϕ) Ω În final, soluţia ecuaţiei diferenţiale în cazul A) ese : e γ X Ae γ sh γ ( Ω + ϕ) Ae sh( γ ω + ϕ) ; γ > ω Cazul B) γ + ω CUGEAREA DE LA PAGINA 37 Orice şiinţă are nevoie de maemaică. Roger Bacon (? 9), călugăr, filosof şi om de şiinţă englez

140 Pag. 38 În aces caz : X& & Prin inegrare, rezulă : X & A X A + B unde A şi B sun două consane de inegrare. Soluţia compleă ese : γ A + B e ; ω ( ) γ Cazul C) γ + ω ω > În aces caz : X& ω X Amplificând cu prima derivaă a lui X obţinem : d( X& ) d( X ) XX & & ω XX & ω d d Prin inegrare rezulă : X & ω X + C unde C ese o consană de inegrare. Epresia se poae pune sub forma : dx ω dx C ω X C ωd d X ω C X Cu subsiuţia ω sinu, obţinem : C cosu du ωd du ωd u ω + ϕ sin u unde ϕ ese o consană de inegrare. Mai rezulă : C X sin( ω + ϕ) sau X Asin( ω + ϕ) ω În final, soluţia ecuaţiei diferenţiale în cazul A) ese : Ae γ sin γ ( ω + ϕ) Ae sin( ω γ + ϕ) ω > γ ; CUGEAREA DE LA PAGINA 38 În măsura în care legile maemaicii se referă la realiae, ele nu sun sigure, iar în măsura în care sun sigure, ele nu se referă la realiae. Alber Einsein ( )

141 Pag. 39 NOĂ SPECIALĂ Dacă γ, ecuaţia Asin ω +. me ( ϕ) & & + ω are un singur ip de soluţie, şi anu- Consanele de inegrare A şi ϕ po fi deerminae cunoscând condi- ; & v. ţiile iniţiale ( ) ( ) De eemplu, în cazul γ, în care soluţia ese Asin( ω + ϕ) (ceea ce corespunde mişcării oscilaorii armonice), puem calcula mai înâi prima derivaă a funcţiei : d & ω Acos( ω + ϕ) d rebuie respecae condiţiile iniţiale : ( ) & ( ) v Asinϕ ω Acosϕ v Se formează un sisem de două ecuaţii cu două necunoscue : A şi ϕ. Soluţiile acesui sisem sun : g ϕ v ω ; A v + ω În final soluţia, ecuaţiei & &+ ω ese : v + ω sin ω ω + arcg v Ecuaţia discuaă până acum ese o ecuaţie omogenă, adică membrul ei drep ese o consană care nu depinde de imp (în cazul nosru ). Ese posibil însă ca fenomenul fizic pe care-l modelăm maemaic în aces mod să fie mai complica şi să impună ca membrul drep al ecuaţiei să fie şi el o funcţie de imp : & + γ& + ω g ( ) CUGEAREA DE LA PAGINA 39 Ecuaţiile sun mai imporane penru mine, penru că poliica ese penru prezen, dar o ecuaţie ese ceva penru eerniae. Alber Einsein ( )

142 Pag. 4 O asfel de ecuaţie se numeşe ecuaţie diferenţială de ordinul al doilea neomogenă. În maemaică, se araă că soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale neomogene ese daă de suma înre soluţia generală a ecuaţiei omogene şi o soluţie pariculară a ecuaţiei neomogene. O asfel de ecuaţie diferenţială care prezină ineres în fizică ese urmăoarea : & + γ& + ω Φ sinωe Se remarcă că funcţia de imp din membrul drep ese o funcţie armonică. Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene fiind deja cunoscuă, vom încerca în coninuare să găsim soluţia pariculară a ecuaţiei neomogene. Începem prin a considera funcţia : B sin ω + φ B sinω cos φ + Bcos ω sin ( ) φ e Calculăm derivaele sale : & ω Bcos ω cos φ ω B sinω sinφ e e e & ω B sinω cosφ ω Bcosω sinφ e Inroducem acese epresii în ecuaţia diferenţială neomogenă şi obţinem : ω Bcosφ γω B sinφ + ω Bcosφ Φ sinω + ( e e ) e + ( ω B sinφ + γω Bcosφ + ω B sinφ) cosω e e Funcţiile sinω e şi cos ωe sun independene, ceea ce înseamnă că egaliaea anerioară poae fi respecaă la orice momen de imp doar dacă coeficienţii acesor funcţii sun nuli : ( ω ωe ) Bcosφ γωeb sinφ Φ ( ω ω ) B sinφ + γω Bcosφ Soluţiile acesui sisem de ecuaţii sun : e e e e e e e e e CUGEAREA DE LA PAGINA 4 În maemaică nu înţelegi lucrurile. Ajungi doar să e obişnuieşi cu ele. John Von Neumann (93 957), maemaician american de origine maghiară

143 şi B sau : sau : ( ω ω ) Φ cosφ γω Pag. 4 γω g φ ω ω e e Φ sinφ ω ω γω cosφ e e γωe Φ + g φ g φ γωe + g φ g φ e e Φg φ B γω + g e B φ γω Φ e γω Φ ω ω + ( ω ω ) + γ ω e 4 e e e 4γ ω ( ω ω ) Soluţia pariculară pe care o căuam ese : Φ γω e sin ω e arcg ω ω + γ ω ω ω ( ) 4 e e e Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale neomogene ese : Cazul A) e e Ae γ sh ( γ ω + ϕ) Φ γω + sin ω arcg ( ) e ω ω + 4γ ω ω ωe e e e Cazul C) Ae γ sin ( ω γ + ϕ) + Φ sin ω arcg γω ( ) e ω ω + 4γ ω ω ωe e e e CUGEAREA DE LA PAGINA 4 Nu lăsaţi pe cei ce nu cunosc maemaică să inre aici. Plaon (48? ÎC 347? ÎC), filosof grec. Inscripţie gravaă la inrarea în Academie

144 Pag OSCILAORUL ARMONIC Începe aici isoria unui O F e cobai pe care-l vom eamina în mai mule iposaze eperimenale. Cobaiul ese un sisem fizic simplu forma dinr-un resor elasic, de consană de k l + + elasiciae k, afla în poziţie vericală şi suspenda la capăul superior, şi un mic corp de masă m, aaşa la capăul inferior. a Iposaza pe care o discuăm în subcapiolul de faţă ese cea mai m G simplă : cobaiul ese aşeza înr-o incină vidaă, plasaă în câmpul graviaţional de la suprafaţa Pămânului. Prin urmare, rezulă că singurele forţe ca- re acţionează asupra corpului m sun : greuaea şi forţa elasică. Conform principiilor mecanicii clasice, rezulana acesor forţe deermină acceleraţia corpului : ma G + F e Proiecând aceasă relaţie pe aa O reprezenaă în figura de mai sus, obţinem : ma mg F e sau : Fe a g m Poziţia de echilibru, corespunzăoare unei valori nule a acceleraţiei a, ese ainsă când elongaţia resorului ese l l. Rezulă : Fe k mg g g m m k Înr-o poziţie de neechilibru oarecare (l l + ), acceleraţia ese : PROBLEMA DE LA PAGINA 4 Cum s-ar modifica epresia elongaţiei la echilibru dacă incina vidaă s-ar deplasa orizonal cu acceleraţia w?

145 ( + ) Pag. 43 ma mg Fe mg k mg k k mg k sau : ma k Împărţind relaţia prin masa m şi noând : k ω m se obţine : a ω sau & + ω mg k k Ecuaţia : & &+ ω se numeşe ecuaţia diferenţială de mişcare a oscilaorului armonic liniar. În ecuaţie, & & ese acceleraţia oscilaorului, ese disanţa la care se găseşe acesa faţă de poziţia de echilibru (pe scur, elongaţie), iar ω ese o consană reală, poziivă, care cuprinde informaţia fizică legaă de forţele ce deermină mişcarea oscilaorie şi de corpul anrena în mişcare. Numele pe care paramerul ω îl poară în fizică ese acela de pulsaţie. Aşa cum am văzu în prologul maemaic al acesui capiol, ecuaţia diferenţială a oscilaorului armonic liniar are soluţia generală : Asin ω + ϕ ( ) Consanele A (ampliudinea) şi ϕ (faza iniţială) sun unic deerminae dacă se cunosc poziţia iniţială a oscilaorului şi vieza sa iniţială v : ω g ϕ v ; A v + ω Perioada oscilaţiei ese π, iar frecvenţa ese ω ν ω π. PROBLEMA DE LA PAGINA 43 Un punc maerial oscilează armonic, cu ampliudinea A şi faza iniţială ϕ. Cum se modifică acesea dacă în momenul la care elongaţia ese şi vieza ese v un impuls aplica oscilaorului dublează insananeu vieza acesuia?

146 Pag. 44 Elongaţia, vieza şi acceleraţia oscilaorului armonic ca funcţii de imp a v Cunoscând epresia maemaică a elongaţiei în funcţie de imp, puem calcula formula viezei prin derivarea elongaţiei în rapor cu impul : d v ω Acos( ω + ϕ) d respeciv, formula acceleraţiei prin derivarea viezei în rapor cu impul : dv a ω Asin( ω + ϕ) d În graficul alăura pueţi vizualiza variaţia în imp a elongaţiei, viezei şi acceleraţiei. Pueţi remarca fapul că vieza ese în cvadraură cu elongaţia (adică valorile ereme ale viezei corespund unor elongaţii nule, sau invers) şi că acceleraţia şi elongaţia sun în opoziţie de fază (adică maimele acceleraţiei corespund minimelor elongaţiei şi invers). CONCLUZIE UN PUNC MAERIAL EFECUEAZĂ O MIŞCARE OSCILAORIE ARMONICĂ ÎN SIUAŢIA ÎN CARE REZULANA FORŢELOR CARE ACŢIONEAZĂ ASUPRA SA ESE DE IP ELASIC. O FORŢĂ DE IP ELASIC ESE CARACERIZAĂ PRIN ACEEA CĂ ESE PROPORŢIONALĂ CU DISANŢA PÂNĂ LA PUNCUL DE ECHILIBRU ŞI ORIENAĂ SPRE ACESA : R k m a k & + ω Consana k depinde de siuaţia fizică concreă în care se găseşe oscilaorul. COMENARIUL DE LA PAGINA 44 Penru ca rezulana unor forţe să fie de ip elasic nu ese necesar ca măcar una dinre acese forţe să fie o forţă elasică. De eemplu, un corp care plueşe pe apă poae fi făcu să oscileze armonic numai sub acţiunile forţelor de greuae şi arhimedică.

147 Pag. 45 Pornind de la ecuaţia diferenţială de mişcare : & ω şi amplificând-o cu &, obţinem : d& d &&& ω& & ω d d sau : d( & ) d( ω ) d d Prin inegrare în rapor cu impul obţinem : & ω + cons. Amplificând prin m/ şi ţinând con că ω k/m, rezulă : k m m& mv k m + cons + cons. În ulima relaţie, ermenii din sânga au semnificaţiile de energie cineică, respeciv energie poenţială asociaă unei forţe de ip elasic. Suma celor doi ermeni reprezină energia mecanică oală a oscilaorului armonic. Concluzia pe care o ragem ese urmăoarea : Energia mecanică oală a oscilaorului armonic ese consană în imp. Cu oae acesea, energiile cineică şi poenţială variază în imp. Micşorarea energiei cineice ese compensaă de o creşere a celei poenţiale sau invers. Deoarece elongaţia şi vieza sun în cvadraură, rezulă că energia mecanică oală a oscilaorului armonic ese fie egală cu energia poenţială maimă (corespunzăoare unei elongaţii egale cu ±A), fie egală cu energia cineică maimă (avuă în momenul în care oscilaorul rece prin poziţia de echilibru) : ka W mv ma COMENARIUL DE LA PAGINA 45 În aparenţă energia poenţială a unui oscilaor armonic : k ka W p sin ( ω + ϕ) nu are o variaţie armonică în imp. ouşi, epresia sa maemaică poae fi pusă sub forma : ka cos ( ω + ϕ) ka ka W cos ( ω + ϕ) p care corespunde unei variaţii armonice în imp. 4 4

148 Pag OSCILAORUL AMORIZA Să complicăm un pic viaţa O cobaiului nosru! De aceasa F e F A F r daă, corpul m se deplasează în ineriorul unui lichid. Apar două noi forţe care acţionează asupra corpului : k l + + v Forţa arhimedică F A Forţa de rezisenţă la înainare F r Ese suficien să şiţi că forţa arhimedică reprezină o fracţiune ρ lichid /ρ corp din greuaea corpului şi ese orienaă în m G a sens invers aceseia : ρl FA G ρc şi că forţa de rezisenţă la înainare ese proporţională cu vieza corpului şi are sens opus aceseia : Fr cv Conform principiilor mecanicii newoniene, puem scrie : m a Fe + FA + Fr + G sau : ρl a F v m e c + G ρc Proiecând relaţia pe aa O din figură obţinem : ρl ma k( + ) cv + mg ρc Coordonaa corespunde poziţiei de echilibru, în care acceleraţia ese nulă a, iar corpul ese în repaus v. Rezulă : INFORMAŢIA DE LA PAGINA 46 Forţa arhimedică reprezină rezulana forţelor de presiune pe care un lichid în echilibru şi în repaus le eerciă asupra unui corp cufunda în ineriorul său. Forţa arhimedică ese numeric egală cu greuaea volumului de lichid dezlocui mc ρl de corp : FA ρlvc g ρl g Gc. ρ ρ c c

149 Pag. 47 ρl ρl k + mg k mg ρc ρc În poziţia de neechilibru avem : ma k k cv + k ma cv k Împărţind prin m şi noând c/v γ, k/m ω, obţinem : a γv ω & + γ& + ω UN PUNC MAERIAL EFECUEAZĂ O MIŞCARE OSCILAORIE AMORIZAĂ ÎN SIUAŢIA ÎN CARE REZULANA FORŢELOR CARE ACŢIONEAZĂ ASUPRA SA ESE O COMBINAŢIE ÎNRE O FORŢĂ DE IP ELASIC ŞI O FORŢĂ DE REZISENŢĂ LA ÎNAINARE PROPORŢIONALĂ CU VIEZA : R cv k ma cv k && + γ& + ω Consanele k şi c depind de siuaţia fizică concreă în care se găseşe oscilaorul. Consanele γ şi ω se numesc facor de aenuare, respeciv pulsaţie proprie. După cum am arăa în subcapiolul de începu, ecuaţia diferenţială a oscilaorului amoriza poae avea rei ipuri de soluţii generale, în funcţie de relaţia înre consanele γ şi ω. Să discuăm în coninuare cele rei ipuri de soluţii şi sensul fizic al acesora. Cazul A) În cazul A) soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale de mişcare a oscilaorului amoriza ese : e γ X Ae γ sh γ ( Ω + ϕ) Ae sh( γ ω + ϕ) ; γ > ω Consanele de inegrare A (ampliudinea iniţială) şi ϕ (faza iniţială) sun unic deerminae dacă se cunosc poziţia iniţială a oscilaorului şi vieza sa iniţială. În funcţie de aceşi doi parameri sun posibile mai mule ipuri de evoluţie ulerioară. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 47 Dacă un corp maerial se deplasează în ineriorul unui fluid cu o anumiă vieză v, asupra corpului acţionează o forţă de rezisenţă la înainare care depinde de vieza corpului şi vâscoziaea lichidului. Vâscoziaea unui lichid se manifesă în impul curgerii acesuia sub forma unor forţe de frecare înre sraurile de lichid învecinae. Dacă corpul care se deplasează în lichid are formă sferică şi dacă vieza sa nu depăşeşe anumie valori forţa de rezisenţă la înainare ese daă de legea lui Sokes : F r 6πrηv (η - viscoziaea, r raza corpului sferic)

150 Pag. 48 Vieza oscilaorului ese daă de epresia : v & γae γ sh γ γ ( Ω + ϕ) + ΩAe ch( Ω + ϕ) Ae [ γ sh( Ω + ϕ) + Ωch( Ω + ϕ) ] La momenul iniţial ( ), elongaţia şi vieza au epresiile Ashϕ v γashϕ + ΩAchϕ În cazul în care puncul de plecare se află în zona negaivă a aei ( < ), rezulă sh ϕ < asfel încâ v > (adică oscilaorul se mişcă în sensul poziiv al aei). Ecuaţia : γ γ Ae sh( Ω + ϕ) Ae sh( Ω ϕ ) admie soluţia : ϕ Ω ceea ce înseamnă că oscilaorul rece la aces momen de imp prin poziţia de echilibru, cu vieza : ep(-,)*sh(-,5) ϕ γ v AΩe Ω > Vieza oscilaorului se anulează corespunzăor condiţiei : γsh ( Ω ϕ ) + Ωch( Ω ϕ ) Ω ϕ + arch > Ω γ În aces momen, sensul viezei se.5 modifică şi puncul maerial revine căre poziţia de echilibru. Cum elongaţia nu se mai anulează penru nici-o ală valoare 5 a impului, rezulă că puncul maerial nu va mai rece niciodaă prin poziţia de.5 echilibru, dar se va apropia asimpoic de acesa deoarece lim. Graficul alăura prezină variaţia elongaţiei în funcţie de imp în cazul discua. Se remarcă fapul că nu eisă mişcarea oscilaorie. Spunem că mişcarea ese aperiodică. PROBLEMA DE LA PAGINA 48 Obţineţi epresiile ampliudinii iniţiale A şi fazei iniţiale ϕ în funcţie de elongaţia iniţială şi vieza iniţială v.

151 Pag ep(-,)*sh(+,5) În cazul în care puncul de plecare se află în zona poziivă a aei ( > ), rezulă sh ϕ > şi ϕ >. În aceasă siuaţie, anularea elongaţiei nu se mai poae realiza la nici-un momen de imp ulerior. Vieza iniţială poae avea aâ valori poziive (cazul γa shϕ + ΩAchϕ > ) câ şi negaive. În primul caz, puncul maerial se depărează iniţial de poziţia de echilibru până în puncul în care vieza se anulează, iar apoi se apropie asimpoic de puncul de echilibru (vezi graficul alăura). 5 Dacă vieza iniţială ese negaivă, puncul maerial va evolua asimpoic căre poziţia de echilibru (vezi graficul alăura). 5 ep(-,)*sh(+3) Şi în acese două siuaţii mişcarea puncului maerial ese una aperiodică. În concluzie, în cazul : ( γ + ω ) γ ω Ω mişcarea puncului maerial ese aperiodică. Cazul B) În cazul B) soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale de mişcare a oscilaorului amoriza ese : Poziţia şi vieza iniţială sun : γ ( A + B) e ; ω γ OBSERVAŢIA DE LA PAGINA 49 Deşi soluţiile pe care le discuăm aici sun obţinue prin rezolvarea ecuaţiei oscilaorului amoriza, puncul maerial a cărui ecuaţie de mişcare corespunde cazurilor A) şi B) nu ese un oscilaor, mişcarea sa fiind aperiodică.

152 Pag Mişcare aperiodică criică v B A γb Şi în aceasă siuaţie, în funcţie de valorile iniţiale ale elongaţiei şi viezei, puem înâlni rei forme de mişcare, asemănăoare cu cele obţinue în cazul preceden. Vorbim despre o mişcare aperiodică criică. În concluzie, în cazul : γ + ω mişcarea puncului maerial ese aperiodică criică. Cazul C) În cazul C) soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale de mişcare a oscilaorului amoriza ese : Ae γ sin γ ( ω + ϕ) Ae sin( ω γ + ϕ) ω > γ ; Poziţia şi vieza iniţială sun : v Asinϕ γae γ sinϕ + ωacosϕ (din acese ecuaţii se po calcula valorile ampliudinii iniţiale A şi fazei iniţiale ϕ). PROBLEMA DE LA PAGINA 5 Obţineţi epresiile ampliudinii iniţiale A şi fazei iniţiale ϕ în funcţie de elongaţia iniţială şi vieza iniţială v.

153 5 5 Pag Oscilaţie pseudoarmonică 4 ep(-) sin() Aşa cum se poae vedea din graficul alăura, în aces caz mişcarea puncului maerial ese oscilaorie, dar ampliudinea oscilaţiei scade eponenţial în imp. Caracerul de mişcare oscilaorie, asemănăoare oscilaţiei armonice, ese cu aâ mai pronunţa cu câ ω are valori mai mari decâ γ. Un asemenea ip de mişcare se numeşe oscilaţie pseudoarmonică. În concluzie, în cazul : γ + ω ω > mişcarea puncului maerial ese periodică şi ese numiă oscilaţie pseudoarmonică. rebuie făcuă o remarcă în ceea ce priveşe caracerul periodic al oscilaţiei pseudoarmonice. În aces caz valorile elongaţiei (sau viezei, sau acceleraţiei) nu se repeă idenic la inervale de imp egale. La inervale de imp egale au loc doar recerile prin sarea de echilibru sau sările de elongaţie maimă. În aces sens, perioada unei oscilaţii pseudoarmonice are epresia : π π ω ω γ COMENARIUL DE LA PAGINA 5 Nici noţiunea de ampliudine nu mai are aceeaşi semnificaţie ca şi în cazul oscilaţiei armonice. Definind drep γ ampliudine coeficienul funcţiei armonice : A() Ae, observăm că aceasa ese o funcţie care scade eponenţial în imp. Un asemenea ip de oscilaţie pseudoarmonică se mai poae numi oscilaţie armonică modulaă în ampliudine.

154 Pag. 5 Penru a caraceriza gradul de amorizare a mişcării se poae uiliza mărimea denumiă decremen logarimic şi definiă prin relaţia ( ese perioada oscilaorului amoriza): δ ln ( ) ( ) + Cu câ decremenul logarimic are valori mai mari, cu aâ amorizarea oscilaţiei ese mai rapidă. Conform ecuaţiei de mişcare a oscilaorului amoriza, rezulă : ln Ae δ γ + γ Ae sin( ω + ϕ) πγ πγ ( ) γ ( ) sin ω + ω + ϕ Se observă că valoarea decremenului logarimic ese cu aâ mai mare cu câ paramerul γ are o valoare mai mare. Din aces moiv, paramerul γ se şi numeşe coeficien de aenuare. Mai puem remarca şi fapul că penru acelaşi coeficien de aenuare, amorizarea ese mai pronunţaă la frecvenţe de oscilaţie mari. ω ω γ O ală observaţie care se poae face ese aceea că în cazul unei oscilaţii pseudoarmonice elongaţia şi vieza nu mai sun în cvadraură, aşa cum ese cazul oscilaţiei armonice. Vieza oscilaorului : γ γ v γae sin( ω + ϕ) + ωae cos( ω + ϕ) poae fi pusă sub forma : γ Ae v cos( ω + ϕ + ϕ) ω Diferenţa de fază suplimenară (faţă de π/) înre elongaţie şi vieză, ϕ, ese : ϕ γ arcg arcg ω ω γ γ PROBLEMA DE LA PAGINA 5 Deerminaţi epresia defazajului dinre elongaţie şi acceleraţie în cazul oscilaorului pseudoarmonic.

155 Pag OSCILAŢII FORŢAE De aceasă daă cobaiul O nosru se găseşe înr-o nouă F e F A F r posură : corpul de masă m ese încărca elecric cu sarcina q şi ese plasa înre plăcile unui condensaor plan. La rândul k l + + v său, condensaorul plan se află în circuiul elecric al unei surse de curen alernaiv. Fără să inru în prea mule dealii (ese loc penru ele în viior), vă voi spune că în aces caz asupra m q E G F C a corpului m acţionează şi o forţă coulombiană care depinde armonic de imp : FC F sinωe unde ω e ese pulsaţia curenului alernaiv genera de sursă. Conform principiilor mecanicii newoniene, puem scrie : ma Fe + FA + Fr + G + FC sau : ρl ma Fe cv + G + FC ρc Proiecând relaţia pe aa O din figură obţinem : ρl ma k( + ) cv + mg + F sinωe ρc Coordonaa corespunde poziţiei de echilibru, în care acceleraţia ese nulă a, corpul ese în repaus v, iar forţa coulombiană ese de asemenea nulă. Rezulă : ρl ρl k + mg k mg ρc ρc În poziţia de neechilibru avem : INFORMAŢIA DE LA PAGINA 53 Forţele elecrosaice, numie şi forţe coulombiene, se manifesă asupra corpurilor încărcae elecric şi aflae în prezenţa unui câmp elecric. Modulul forţei ese numeric egal cu produsul dinre sarcina corpului şi inensiaea câmpului elecric : F C qe. Înre plăcile unui condensaor plan, câmpul elecric ese uniform, iar inensiaea sa are epresia : E Q/(εS), unde Q ese sarcina condensaorului, ε permiiviaea mediului dinre plăci, iar S ese suprafaţa plăcilor.

156 Pag. 54 ma k k cv + k + F sinωe ma + cv + k F sinωe Împărţind prin m şi noând c/v γ, k/m ω, Φ F /m obţinem : a + γv + ω Φ sinω & + γ& + ω Φ sinω e e UN PUNC MAERIAL EFECUEAZĂ O MIŞCARE OSCILAORIE FORŢAĂ ÎN SIUAŢIA ÎN CARE REZULANA FORŢELOR CARE ACŢIONEAZĂ ASUPRA SA ESE O COMBINAŢIE ÎNRE O FORŢĂ DE IP ELASIC ŞI O FORŢĂ DE REZISENŢĂ LA ÎNAINARE PROPORŢIONALĂ CU VIEZA, IAR DIN EXERIOR SE EXERCIĂ O FORŢĂ ARMONICĂ SUPLIMENARĂ : R cv k + F sinω e ma cv k + F sinω && + γ& + ω Φ sinωe Consanele k, c şi Φ depind de siuaţia fizică concreă în care se găseşe oscilaorul. Consana ω se numeşe pulsaţie proprie. Din discuţia problemei maemaice epuse la începuul acesui capiol am reţinu că soluţia ecuaţiei oscilaorului forţa se compune din doi ermeni : soluţia generală a ecuaţiei oscilaorului amoriza şi o soluţie pariculară a ecuaţiei oscilaorului forţa. Indiferen de cele rei cazuri ale soluţiei generale a ecuaţiei oscilaorului amoriza, puem consaa că după un anumi inerval de ermenul referior la oscilaţiile amorizae devine neglijabil (el scade eponenţial în imp), rămânând doar ermenul corespunzăor soluţiei pariculare a ecuaţiei oscilaorului forţa. e După un inerval de imp mai mul sau mai puţin însemna de la momenul declanşării oscilaţiei forţae soluţia saţionară a ecuaţiei oscilaorului forţa devine : Φ e sin ωe arcg ( ω ω ) ω ωe e + γ ω 4 e γω B sin ( ω ϕ ) Aceasă lege de mişcare corespunde unei oscilaţii armonice cu perioada egală cu perioada forţei eciaoare eerne. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 54 Eisă mai mule modaliăţi de a genera curen elecric alernaiv. Una dinre ele consă în roirea unui cadru recangular de sârmă în prezenţa unui câmp magneic uniform. Forţele de naură elecromagneică care acţionează asupra elecronilor liberi ai maerialului din care ese confecţiona cadrul îi deermină pe aceşia să oscileze armonic. Aceasă oscilaţie se ransmie cu vieza luminii în o circuiul elecric, deerminând asfel curenul elecric alernaiv. Dacă în circui ese insera şi un condensaor, curenul elecric îl încarcă sau descarcă în acelaşi rim cu cel al oscilaţiilor elecronilor. De aceea, sarcina acumulaă pe condensaor variază armonic în imp. e e

157 Pag. 55 Puem rage concluzia că după un imp suficien de lung de la începerea acţiunii forţei armonice eerne, oscilaorul forţa eecuă o oscilaţie armonică a cărei ampliudine depinde de ampliudinea forţei, de masa oscilaorului, de pulsaţia proprie ω, de facorul de aenuare γ şi de pulsaţia forţei eerne ω e. Odaă cu variaţia pulsaţiei forţei eerne, variază şi ampliudinea oscilaţiei forţae. Maimul ampliudinii oscilaţiei forţae corespunde pulsaţiei penru care derivaa ampliudinii se anulează : [ ( ) ] db Φ 4ωe ω ωe + 8γ ωe 3 / dωe [( ω ωe ) + 4γ ωe ] Rezulă : ω γ ω e, rez Înlocuind în epresia ampliudinii, găsim epresia maemaică a ampliudinii maime de oscilaţie forţaă : Φ B ma γ ω γ Dacă oscilaţia forţaă se face cu ampliudine maimă, spunem că s- a produs rezonanţa ampliudinii. Ampliudinea la rezonanţă depinde de pulsaţia proprie şi de facorul de aenuare. În cazul în care facorul de aenuare ese neglijabil, iar pulsaţia forţei eerne egalează pulsaţia proprie, ampliudinea de rezonanţă inde căre valori foare mari (infinie). Reprezenarea ampliudinii de rezonanţă în funcţie de pulsaţia forţei eciaoare eerne ese prezenaă în graficul urmăor : EXPERIENŢA DE LA PAGINA 55 Pueţi realiza o eperienţă foare simplă : luaţi două fire de aţă de lungimi egale şi suspendaţi cu ajuorul lor două mici corpuri idenice, realizând asfel două pendule graviaţionale, aflae la o disanţă nu prea mare unul faţă de celălal. Puneţi unul dinre pendule în oscilaţie, înr-un plan perpendicular pe planul forma de cele două fire de aţă. Veţi observa că, în imp, primul pendul îşi micşorează ampliudinea oscilaţiei până la oprire, în vreme ce al doilea, fără nici-o ală inervenţie din eerior începe să oscileze, aingând o ampliudine de oscilaţie maimă când primul se opreşe. În coninuare evoluţia se inversează : oscilaţia rece de la al doilea pendul la primul. Pueţi găsi o eplicaţie?

158 Pag. 56 γ ω e ω Variaţia ampliudinii în funcţie de pulsaţia eernă Un al caz de rezonanţă ese rezonanţa viezei. Rezonanţa viezei se produce când pulsaţia forţei eerne are o asemenea valoare încâ ampliudinea viezei oscilaorului forţa ese maimă. Vieza oscilaorului ese prima derivaă a elongaţiei în rapor cu impul : d ω eφ γω e v cos ω e arcg d ω ω + 4γ ω ω ωe Ampliudinea viezei ese : ( ) V e e ω Φ e ( ω ω ) + γ ω e 4 e Ampliudinea viezei ese maimă când derivaa sa în rapor cu pulsaţia eernă se anulează : [ 4 ( ) 8 ] dv Φ ωeφ ωe ω ωe + γ ωe + 3 / dωe ω ω + 4γ ω ω ω + 4γ ω ( ) e e [( e ) e ] COMENARIUL DE LA PAGINA 56 Fenomenul de rezonanţă are desul de mare imporanţă în pracică. De eemplu, dacă frecvenţa proprie de oscilaţie a srucurii de beon a unei clădiri ese apropiaă de frecvenţa undelor seismice în impul unui curemur, ampliudinea de oscilaţie a srucurii poae creşe foare mul, ducând la disrugerea aceseia. Din aces moiv, proiecanţii rebuie să găsească mijloace prin care energia de vibraţie a srucurii să fie disipaă câ mai accenua (de eemplu, se poae accepa ca pereţii ineriori să sufere deeriorări mari, asociae cu absorbţia de energie de la srucura de rezisenţă).

159 Soluţia acesei ecuaţii ese : ω Pag. 57 e V, ma Maimul ampliudinii viezei ese : Φ V ma γ Puerea dezvolaă de forţa eernă penru înreţinerea mişcării uniăţii de masă a oscilaorului ese : F e ωeφ γω ω ω e p v sin cos arcg m ω ( ) e e ω ω + 4γ ω ω ωe e sau : p ΦV sinωe cos[ ωe ϕe ] Şiind că : sin( α + β) + sin( α β) sinαcosβ observăm că : sinωe cos asfel încâ : ΦV ΦV p sinϕe + sin( ωe + ϕe ) Media în imp a puerii care revine uniăţii de masă ese : ΦV ΦV p sinϕe + sin( ωe + ϕe ) Cum media emporală a funcţiei armonice ese nulă, rezulă : ΦV p sinϕe e [ ωe ϕe ] sin[ ωe ϕe ] + sinϕe Puerea medie ransferaă oscilaorului ese maimă aunci când pulsaţia eernă corespunde obţinerii rezonanţei viezei. În aces caz ϕ e π/, rezulând : p ma ΦV ma Φ γ OBSERVAŢIA DE LA PAGINA 57 Puerea medie maimă ransferaă oscilaorului ese proporţională cu păraul acceleraţiei maime pe care i-o poae imprima forţa eernă acţionând singură (Φ F /m). De aceea, vibraţiile eerne care generează acceleraţii mari sun cu mul mai periculoase decâ cele care generează acceleraţii mici.

160 Pag COMPUNEREA OSCILAŢIILOR ARMONICE 3.3..COMPUNEREA OSCILAŢIILOR AVÂND ACEEAŞI FRECVENŢĂ ŞI DIRECŢII PARALELE Fie cele două cărucioare aaşae resorurilor elasice din figura alăuraă. Scoţând cărucioarele din poziţiile lor de echilibru ele vor efecua oscilaţii armonice. Să presupunem că pulsaţiile acesor oscilaţii sun egale (ceea ce înseamnă că şi frecvenţele de oscilaţie sau perioadele sun egale). Elongaţia oscilaţiei căruciorului inferior ese egală cu deplasarea acesuia faţă de reperul fi din sânga şi are epresia maemaică : ( ω + ) A sin ϕ Elongaţia oscilaţiei căruciorului superior, măsuraă în rapor cu reperul din sânga soliar cu căruciorul inferior, ese : ( ω + ) A sin ϕ În rapor cu reperul fi, elongaţia căruciorului superior ese : ( ω + ϕ ) + A sin( ω + ) + A sin ϕ CUGEAREA DE LA PAGINA 58 Un nou adevăr şiinţific nu riumfă prin puerea de convingere asupra oponenţilor săi, făcându-i să zărească lumina, ci mai degrabă penru că oponenţii mor şi creşe o nouă generaţie care ese familiarizaă cu el. Ma Planck ( ), fizician german

161 Pag. 59 Puem erage din aces eemplu urmăoarea concluzie generală : Dacă un punc maerial paricipă simulan la două oscilaţii care se fac pe direcţii paralele, elongaţia rezulană ese suma algebrică a elongaţiilor celor două oscilaţii. Să eaminăm consecinţele maemaice ale relaţiilor precedene. Cu binecunoscua relaţie : sin ( α + β) sinαcosβ + sinβcosα puem obţine : A cos ϕ + A cos ϕ sinω + A sinϕ + A sinϕ cos ω ( ) ( ) Cu noaţiile : Asinϕ A sinϕ + A sinϕ Acosϕ A cosϕ + A cosϕ puem aduce epresia la forma : ( sinω cosϕ + sinϕcosω) Asin( ω + ϕ) A Epresia elongaţiei ese aceea a unei oscilaţii armonice de ampliudine A şi fază iniţială ϕ, având aceeaşi frecvenţă ca şi cele două oscilaţii care se compun. Concluzia ese urmăoarea : Prin compunerea a două oscilaţii armonice de frecvenţe egale se obţine o o oscilaţie armonică, care are aceeaşi frecvenţă ca şi oscilaţiile care se compun. Epresia fazei iniţiale rezulane ese : g ϕ A sinϕ A cosϕ + + A sinϕ A cosϕ Din epresiile care definesc ampliudinea şi faza iniţială ale oscilaţiei rezulane, obţinem : PROBLEMA DE LA PAGINA 59 Generalizaţi demonsraţia făcuă pe aceasă pagină penru un număr oarecare de oscilaţii armonice paralele şi de frecvenţe egale.

162 A sin ϕ + A cos Pag. 6 ( sinϕ sinϕ + cosϕ cos ) ϕ A sin + A + A A ϕ Puem resrânge epresia asfel : ϕ cos ϕ + A sin ϕ + A cos ϕ + A ( ϕ ) A + A + A A cos ϕ De aici obţinem epresia ampliudinii rezulane : ( ϕ ) + A + A A ϕ A A cos Puem remarca că valoarea ampliudinii rezulane depinde de diferenţa de fază dinre cele două oscilaţii. Dacă oscilaţiile sun în fază, adică diferenţa de fază ese nulă : ϕ - ϕ, ampliudinea rezulană are valoare maimă : A A + A. Când oscilaţiile sun în opoziţie de fază, adică când : ϕ - ϕ π, ampliudinea rezulană îşi ainge valoarea minimă : A A - A. Meoda de compunere a oscilaţiilor armonice paralele şi de frecvenţe egale prezenaă până în aces momen ese meoda algebrică. Alăuri de meoda algebrică eisă şi aşa numia meodă fazorială. În inroducerea acesei secţiuni a manualului am arăa că proiecţia unei mişcări circulare uniforme pe o aă ese o mişcare oscilaorie armonică. Invers, o mişcare oscilaorie armonică poae fi A A reprezenaă prin roaţia uniformă a unui vecor (vieza unghiulară de roaţie a vecorului ese egală cu pulsaţia oscilaţiei, iar lungimea vecorului ϕ ϕ ese egală cu ampliudinea oscilaţiei). Aces vecor se numeşe fazor. Compunerea a două sau mai A ϕ mule oscilaţii paralele, de frecvenţe egale, revine asfel la compunerea vecorială a fazorilor corespunzăori (vezi figura alăuraă). ÎNREBAREA DE LA PAGINA 6 Se compun fazorii care formează laurile unui poligon regula, mai puţin una. Ce diferenţă de fază eisă înre fazorul care corespunde laurii lipsă şi rezulana compunerii fazoriale?

163 Pag COMPUNEREA OSCILAŢIILOR PARALELE DE FRECVENŢE APROPIAE, FENOMENUL DE BĂĂI Puem da urmăoarea definiţie : Prin băăi înţelegem rezulaul compunerii a două oscilaţii paralele ale căror frecvenţe au valori foare apropiae. Penru simplificare, vom considera două oscilaţii având ampliudinile egale şi faze iniţiale nule : Asinω Asinω Pulsaţiile având valori apropiae, puem scrie relaţiile : ω + ω ω ω ω ; ω ; ω << ω Cu acese noaţii, rezulă : sau : [( ω ω) ] + Asin[ ( ω + ω) ] + Asin ( ) sin Acos ω sinω A ω Observăm că ecuaţia care descrie rezulaul compunerii celor două oscilaţii are o formă asemănăoare cu aceea a unei oscilaţii armonice de pulsaţie ω, cu deosebirea că ampliudinea nu mai ese consană în imp. Perioada noii ampliudini π/ω are valoare mul mai mare decâ perioada oscilaţiilor π/ω. Din aces moiv, spunem că prin compunerea celor două oscilaţii se obţine o oscilaţie pseudoarmonică modulaă în ampliudine. OBSERVAŢIA DE LA PAGINA 6 Diferenţa dinre oscilaţia pseudoarmonică amorizaă şi cea corespunzăoare fenomenului de băăi ese că în primul caz ampliudinea ese o funcţie sric descrescăoare de imp, în vreme ce în al doilea caz ese o funcţie armonică de imp.

164 Pag Cele două oscilaţii Rezulaul compunerii celor două oscilaţii Graficele de mai sus reprezină oscilaţiile sin π π şi sin, precum şi rezulaul 9 4π 4π compunerii lor cos sin. Se observă că ampliudinea rezulană variază periodic în imp înre o valoare minimă nulă şi o valoare maimă egală cu dublul ampli udinii oscilaţiilor care se compun. Dacă cele două oscilaţii ar fi reprezena sunee emise de două diapazoane idenice, dinre care unul uşor dezacorda, aunci la urechea noasră ar ajunge un sune cu o frecvenţă pracic egală cu aceea a suneului emis de diapazonul acorda corec, dar a cărui inensiae variază periodic în imp înre valori minime şi maime. Senzaţia audiivă ese aceea a ecoului unor loviuri periodice (băăi), care se perec undeva în depărare. De aici provine şi numele da acesui fenomen. ÎNREBAREA DE LA PAGINA 6 O modaliae de a acorda un pian ese aceea de a folosi un diapazon ealon. Punând simulan în vibraţie diapazonul şi coarda pianului se po auzi băăi din cauza diferenţei de frecvenţă. Rolul acordorului ese acela de a mări sau micşora ensiunea din coardă până când frecvenţele de vibraţie se egalează. Înrebarea ese : acordarea realizaă poae fi perfecă?

165 Pag COMPUNEREA OSCILAŢIILOR AVÂND ACEEAŞI FRECVENŢĂ ŞI DIRECŢII PERPENDICULARE Să considerăm un punc maerial asupra căruia acţionează simulan două forţe elasice perpendiculare. Acţionând separa, fiecare dinre forţe imprimă o mişcare oscilaorie armonică pe direcţia sa : A sin y A sin ( ω + ϕ ) ( ω + ϕ ) Mişcarea pe care o va efecua puncul maerial în prezenţa ambelor forţe va reprezena compunerea acesor două oscilaţii armonice. Vom deermina în cele ce urmează raiecoria descrisă de puncul maerial. raiecoria ese definiă asfel : raiecoria reprezină locul geomeric al uuror puncelor din spaţiu prin care rece un mobil în cursul mişcării sale. După cum se remarcă din aceasă definiţie, raiecoria ese independenă de imp, în sensul că ea ese rezulaul înregului inerval de imp al mişcării mobilului. Din aces moiv, puem rage urmăoarea concluzie : Penru a găsi ecuaţia raiecoriei unui mobil ese suficien să eliminăm impul înre ecuaţiile de mişcare corespunzăoare fiecărei ae de coordonae. Penru eliminarea impului vom folosi relaţia : sin ω + cos ω PROBLEMA DE LA PAGINA 63 Deerminaţi epresia viezei momenane a puncului maerial care paricipă simulan la cele două oscilaţii. Găsiţi valorile momenelor de imp la care vieza are valori ereme.

166 Pag. 64 Penru a găsi epresiile lui sin ω şi cos ω procedăm asfel : dezvolăm rigonomeric epresiile elongaţiilor : A sin y A sin alcăuim sisemul de ecuaţii : ( ω + ϕ ) A sinω cosϕ + A cosω sinϕ ( ω + ϕ ) A sinω cosϕ + A cosω sinϕ A A soluţiile sale sun : sinω cosϕ sinω cosϕ + A cosω sinϕ + A cosω sinϕ y sin ω A y A A cosϕ A cosϕ sinϕ sinϕ A sinϕ A sinϕ A sinϕ ya sinϕ A A sin ( ϕ ϕ ) cos ω A cosϕ A cosϕ A cosϕ A A cosϕ y sinϕ A sinϕ A cosϕ A A sin + ya cosϕ ( ϕ ϕ ) ridicând la păra şi adunând, obţinem : sau : A + A y A ya A A A sin ( cosϕ cosϕ + sinϕ sinϕ ) ( ϕ ϕ ) y y + cos sin ϕ A A A ( ϕ ϕ ) ( ϕ ) PROBLEMA DE LA PAGINA 64 Refaceţi aces calcul penru cazul în care unghiul dinre direcţiile celor două oscilaţii ar avea o valoare oarecare, cuprinsă înre şi π/ radiani.

167 Pag. 65 Aces rezula maemaic ne permie să ragem urmăoarele concluzii : raiecoria unui punc maerial care paricipă la două oscilaţii armonice de frecvenţe egale şi direcţii perpendiculare Dacă un punc maerial paricipă simulan la două oscilaţii armonice de frecvenţe egale şi direcţii perpendiculare, raiecoria sa are în general forma unei elipse. Unghiul făcu de aele elipsei şi aele de coordonae depinde de diferenţa de fază ϕ - ϕ înre cele două oscilaţii. Valoarea semiaelor depinde de ampliudinile oscilaţiilor şi de diferenţa de fază. Puem discua câeva cazuri pariculare : Dacă diferenţa de fază dinre cele două oscilaţii ese egală cu ±π/, (spunem în aces caz că oscilaţiile sun în cvadraură de fază) ecuaţia raiecoriei devine : y + A A Concluzia ese urmăoarea : La compunerea a două oscilaţii perpendiculare, armonice, de frecvenţe egale, aflae în cvadraură de fază, raiecoria puncului maerial ese o elipsă ale cărei ae coincid cu aele de coordonae şi ale cărei semiae au valori egale cu ampliudinile celor două oscilaţii. PROBLEMA DE LA PAGINA 65 Dae fiind două surse diferie de oscilaţii, ese aproape imposibil ca frecvenţele lor să fie riguros egale. În acese condiţii diferenţa de fază variază în imp, iar figura Lissajous îşi modifică coninuu înfăţişarea. Problema ese : dacă inervalul de imp după care formele figurii Lissajous se repeă în aceeaşi succesiune ese de 5 secunde, care ese diferenţa înre frecvenţele oscilaţiilor care se compun?

168 Pag. 66 Dacă diferenţa de fază dinre cele două oscilaţii ese nulă, (spunem în aces caz că oscilaţiile sun în fază) ecuaţia raiecoriei devine y y + A A A A A y A Concluzia ese urmăoarea : La compunerea a două oscilaţii perpendiculare, armonice, de frecvenţe egale, aflae în fază, raiecoria puncului maerial ese o dreapă de pană poziivă şi egală cu raporul ampliudinilor oscilaţiilor. Dacă diferenţa de fază dinre cele două oscilaţii ese egală cu π, (spunem în aces caz că oscilaţiile sun în opoziţie de fază) ecuaţia raiecoriei devine : y y + + A A A A A y A Concluzia ese urmăoarea : A + y A La compunerea a două oscilaţii perpendiculare, armonice, de frecvenţe egale, aflae în opoziţie de fază, raiecoria puncului maerial ese o dreapă de pană negaivă şi egală în modul cu raporul ampliudinilor oscilaţiilor. raiecoriile descrise de puncul maerial în acese rei cazuri pariculare sun prezenae în graficul care urmează : A y A PROBLEMA DE LA PAGINA 66 O oscilaţie elecrică poae fi converiă în oscilaţie mecanică (sune) cu ajuorul unui difuzor şi reconveriă în semnal elecric uilizând un microfon. Propagarea oscilaţei elecrice prinr-un circui elecric se face cu vieza luminii (3 km/s), iar propagarea suneului prin aer are loc cu o vieză de aproape un milion de ori mai mică. Pornind de la acese informaţii şi considerând că aveţi la dispoziţie sursa corespunzăoare de oscilaţii elecrice, difuzorul, microfonul şi un osciloscop, imaginaţi o meodă pracică prin care pueţi deermina eperimenal vieza suneului.

169 Pag. 67 y ϕ ϕ ±π/ A Cazuri pariculare de compunere a oscilaţiilor perpendiculare de frecvenţe egale ϕ π A COMPUNEREA OSCILAŢIILOR PERPENDICULARE DE FRECVENŢE DIFERIE, FIGURILE LISSAJOUS Fie oscilaţiile perpendiculare, de frecvenţe diferie : A sin y A sin ( ω + ϕ ) ( ω + ϕ ) Să presupunem că un punc maerial paricipă simulan la cele două oscilaţii. Ne puem pune înrebarea : în ce condiţii raiecoria puncului maerial ese închisă (adică în ce siuaţie mişcarea puncului maerial ese periodică, repeându-se idenic după inervale de imp bine sabilie)? Mai înâi, să formulăm în limbaj maemaic aceasă înrebare : raiecoria ese închisă dacă eisă un inerval de imp asfel încâ coordonaele şi y ale puncului maerial la momenul de imp şi coordonaele la momenul de imp + să aibă aceleaşi valori, oricare ar fi momenul de imp. aî +, y + y, ( ) ( ) ( ) ( ) INFORMAŢIA DE LA PAGINA 67 Numele de figuri Lissajous provine de la numele unui fizician francez, relaiv obscur, Jules Lissajous (8 88). Acesa a sudia compunerea oscilaţiilor perpendiculare în perioada Rezulaele lui Lissajous nu au fos însă obţinue în premieră de acesa. Curbe similare au fos găsie încă din 85 de maemaicianul american Nahaniel Bowdich, moiv penru care figurile Lissajous se mai numesc curbele Bowdich.

170 Pag. 68 Cele două oscilaţii sun periodice şi, prin urmare, inervalul de imp nu poae fi decâ un muliplu înreg al perioadelor oscilaţiilor : π k k ω π k k ω ; ; k k N N De aici, obţinem : k π k ω π ω ω ω k k ; k,k N Concluzia ese că : raiecoria puncului maerial care paricipă simulan la două mişcări oscilaorii armonice, desfăşurae pe direcţii perpendiculare, ese închisă dacă raporul pulsaţiilor celor două oscilaţii ese un număr raţional. Care ese aspecul unei raiecorii închise? Penru a răspunde la aceasă înrebare să remarcăm mai înâi că sun valabile relaţiile : A A ; A y A raiecoria ese conţinuă în ineriorul unui drepunghi cu laurile A, respeciv A. Prin eliminarea impului înre cele două ecuaţii de mişcare, obţinem ecuaţia raiecoriei ca o funcţie y y(). Aceasă funcţie are ereme, corespunzăoare condiţiei : Puem scrie şi : dy d ÎNREBAREA DE LA PAGINA 68 Eisă posibiliaea ca raporul frecvenţelor celor două oscilaţii perpendiculare să nu fie un număr raţional. De eemplu, aces rapor ar puea fi egal cu. Cum vă imaginaţi că ar arăa raiecoria puncului maerial după recerea unui număr foare mare de perioade comune celor două oscilaţii?

171 dy d d Pag. 69 ( A sin( ω + ϕ) )( A sin( ω + ϕ )) d( A sin( ω + ϕ )) ( ω + ϕ ) ( ω + ϕ ) ω A cos ω A cos Funcţia rigonomerică de la numărăor, cos(ω + ϕ ), se anulează de două ori în fiecare perioadă. În inervalul de imp, corespunzăor parcurgerii raiecoriei închise, care cuprinde numărul înreg k de perioade, numărăorul se va anula de k ori. În concluzie, funcţia y y() are k ereme, dinre care k sun maime, iar k sun minime. În mod analog se poae arăa că funcţia (y) are k ereme, dinre care k sun maime, iar k sun minime. Semnificaţia acesor consaări în ceea ce priveşe reprezenarea grafică a raiecoriei ese urmăoarea : Graficul raiecoriei închise are numere de k punce de angenţă la dreapa y A, k punce de angenţă la dreapa y -A, k punce de angenţă la dreapa A şi k punce de angenţă la dreapa A. Acese observaţii ne permi să rasăm graficul raiecoriei în coordonae,y. Figura alăuraă ese raiecoria puncului maerial care paricipă la k oscilaţiile : A sin ω + ϕ A k 3 A ( ) ( 3ω + ϕ ) y A sin Prin urmare : ω k k 3;k ω 3 k Sudiind graficul, remarcăm că raporul numerelor de crese orizonale şi vericale ese egal cu raporul k /k, respeciv egal cu raporul ω /ω. Concluzia ese urmăoarea : Dacă un punc maerial paricipă simulan la două oscilaţii armonice, pe direcţii perpendiculare, iar raporul pulsaţiilor oscilaţiilor ese un număr raţional, raiecoria puncului maerial ese o curbă închisă, raporului numerelor de crese vericale şi orizonale fiind invers egal cu raporul pulsaţiilor. Aces ip de raiecorie a primi numele de figură Lissajous. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 69 În epoca noasră, figurile Lissajous şi-au găsi aplicaţii în elecronică. Asfel, ele po fi vizualizae pe ecranul unui osciloscop şi pe baza formei lor permi calcularea frecvenţei necunoscue a unui semnal armonic în funcţie de frecvenţa cunoscuă a unui semnal armonic ealon.

172 Pag OSCILAŢII PERIODICE, SERII FOURIER Să ne imaginăm că lăsăm să cadă o v minge de ping-pong de la o înălţime oarecare pe o suprafaţă orizonală, elasică. Să neglijăm frecările cu aerul şi pierderile de energie în urma ciocnirii cu suprafaţa orizonală. În aceasă siuaţie, mingea va avea o mişcare alernaivă de coborâre şi urcare. Graficul viezei mingii în funcţie de imp (prezena în figura alăuraă) relevă periodiciaea mişcării. Ceea ce ese eviden, eaminând graficul, ese că mingea are o mişcare periodică, dar nu şi o mişcare oscilaorie armonică. Problema pe care o înâmpină fizicienii (şi, implici, maemaicienii) înr-o asemenea siuaţie ese modul în care ar puea fi modelaă maemaic legea după care vieza variază în funcţie de imp. Jean Bapise Joseph Fourier (768-83) a fos acela care a oferi soluţia problemei menţionae anerior. Conform sudiului maemaic al lui Fourier orice funcţie periodică de imp poae fi descrisă ca o compunere de oscilaţii armonice ale căror perioade sun submulipli înregi ai perioadei funcţiei în cauză : π () n An sin + ϕn ; n N n n n Suma de mai sus reprezină o serie (cu ale cuvine, penru ca reprezenarea să fie câ mai eacă înregul n rebuie să aingă valori foare mari) numiă şi serie Fourier. Seria Fourier mai poae fi calificaă drep descompunerea Fourier unei funcţii periodice în oscilaţii armonice. BIOGRAFIA DE LA PAGINA 7 Fourier a fos fiul unui croior. A avu un alen deosebi penru maemaică. S-a mai afirma ca egipolog şi conducăor în adminisraţia publică. Poliic, a fos implica în Revoluţia franceză şi perioada domniei lui Napoleon I. A fos înnobila, devenind baron. Principala sa lucrare şiinţifică aparţine domeniului fizicii maemaice, se numeşe héorie analyique de la chaleur ( eoria analiică a căldurii ) şi a fos erminaă în 8.

173 Pag. 7 Valorile ampliudinilor A n se po deermina şiind că funcţiile armonice alcăuiesc un sisem de funcţii oronormae : d k cos n d k cos n cos d k sin n sin π π π π π π sin n,k n,k δ δ unde δ n,k ese egal cu dacă n m sau cu dacă n m. Puem scrie : () n n n n n n n n n sin k sin n cos A cos k sin n sin A k sin n sin A k sin ϕ π π + ϕ π π π + ϕ π π Inegrând pe inervalul (, ), obţinem : () k k n nk n n cos A cos A d k sin ϕ δ ϕ π Analog : () k k n nk n n sin A sin A d k cos ϕ δ ϕ π Rezulă că A k are epresia : () () π + π d k cos d k sin A n PRECIZAREA DE LA PAGINA 7 Funcţiile oronormae (asemănăor cu vecorii care consiuie o bază de vecori oronormaţi cea mai populară bază fiind aceea consiuiă de versorii celor rei dimensiuni spaţiale : i, j, k) permi eprimarea unei funcţii oarecare sub forma unei combinaţii liniare a funcţiilor oronormae, luae cu anumie ponderi. Bazele de funcţii oronormae sun erem de imporane în mecanica cuanică, unde probabiliaea de a înâlni o anumiă sare a sisemului fizic cuanic depinde de ponderea pe care o are funcţia oronormaă în combinaţia liniară a acesora.

174 Pag. 7 iar ϕ k poae fi calcula conform relaţiei : () () π π ϕ k d k sin d k cos g În cazul concre epus la începuul acesui subcapiol, funcţia periodică de imp ese : () () ( ) g v g v, ;, ; Calculul ampliudinilor A k şi fazelor ϕ k decurge după cum urmează : () ( ) ( ) [ ] ( ) π π + π π π + π π + π π π π π + π π k g k g k g k cos k g d k cos g k k cos g k d k sin g d k sin g d k sin g d k sin g d k sin v k k PRECIZAREA DE LA PAGINA 7 În orice serie Fourier, primul ermen corespunde valorii n şi ese o consană care nu depinde de imp. Ne-am permis ca în subcapiolul de faţă să nu vorbim despre aces ermen deoarece conribuţia sa ese nulă : () g g c. d g d g c. c.d v

175 Pag. 73 () ( ) π π π π π π π π π + π π k sin k g d k sin g k k sin g k d k cos g d k cos g d k cos g d k cos g d k cos v De aici rezulă : ( ) π π ϕ ϕ k g k g A ; cos ; sin k k k k Acese rezulae araă că seria Fourier pe care o căuăm ese : () ( ) π + π π π π π... sin sin sin g n sin n g v n n 3 3 A doua aproimaie Prima aproimaie PROBLEMA DE LA PAGINA 73 Calculaţi ermenii seriei Fourier care reprezină funcţia reapă prezenaă în graficul alăura.

176 Pag. 74 A para aproimaie A -a aproimaie A sasea aproimaie Graficele alăurae reprezină suma Fourier compusă din,, 4, 6, respeciv de ermeni. Se observă că încă de la a para aproimaţie suma Fourier reprezină (e adevăra, desul de grosolan) funcţia v(). Suma cu de ermeni se idenifică aproape perfec cu funcţia v(). De aceea, în pracică, descompunerea Fourier a unei funcţii periodice nu necesiă neapăra sumarea unui număr infini de ermeni, ci doar a unui număr convenabil ales în limia erorilor care po fi permise.,,8,6,4, Se obişnuieşe ca frecvenţele oscilaţiilor şi ponderile lor în suma Fourier să fie prezenae sub forma unei hisograme, numiă specrul de frecvenţe asocia funcţiei periodice reprezenaă prin serie Fourier. În figura alăuraă pueţi vedea specrul de frecvenţe asocia cu funcţia v() pe care am lua-o ca eemplu de calcul în cadrul acesui subcapiol PROBLEMA DE LA PAGINA 74 Care ese specrul de frecvenţe asocia problemei epuse în casea din pagina precedenă?

177 Pag UNDE 4.. INRODUCERE Nu şiu câ de clară ese foografia pe care am ales-o penru a prefaţa aceasă secţiune a cărţii. Sper că se po disinge câţiva pescăruşi zburând deasupra oceanului brăzda de valuri. Dacă o priviţi cu ochii unui fizician, s-ar puea ca ea să vă deermine să reflecaţi adânc, penru că reuneşe două elemene aparen conrarii, unificae ouşi de o răsăură comună. răsăura comună ese mişcarea, obiecul de sudiu al mecanicii, dar în ce consă diferenţa? Evoluţia pescăruşilor o puem încadra în cele discuae până acum : ei ocupă poziţii bine deerminae în spaţiu, se deplasează cu VERSUL DE LA PAGINA 75 Ce e val, ca valul rece Mihai Eminescu (85 889)

178 Pag. 76 anumie vieze sau acceleraţii, po fi la nevoie aproimaţi ca simple punce maeriale, ec. Dar oceanul? În ochii noşri el ese aici şi pese o. În imp, rămâne pe loc, dar ouşi valurile par să-l ducă spre ţărm. Ce legi ar puea să-i descrie valurile, mişcarea lor leneşă, aproape hipnoică prin repeabiliae, forma lor geomerică, reparizarea lor pe suprafaţa oceanului? Ei bine, acese înrebări sun moivul penru care fizicianul ese împins căre refleie şi căre nevoia de a sudia mai emeinic ceea ce în fizică a primi denumirea de unde, respeciv fenomene ondulaorii. Să începem, deci, să ne formăm un vocabular adecva şi să definim mărimile fizice de care ne vom folosi în coninuare. Înr-un mediu elasic, se po produce uneori perurbaţii. Daoriă elasiciăţii mediului, perurbaţiile se po ransmie puncelor vecine, propagându-se asfel în ineriorul mediului elasic. Prin definiţie, propagarea unei perurbaţii înr-un mediu elasic se numeşe undă mecanică elasică. O caracerisică foare imporană a undelor elasice ese aceea că propagarea perurbaţiei prin mediul elasic se face cu vieză finiă şi din aproape în aproape. De asemenea, undele elasice nu ransporă subsanţă (adică nu au loc ransferuri de maerie în ineriorul mediului elasic). ouşi, undele elasice ransporă energie şi impuls. Diferenţa dinre valoarea pe care o are o mărime fizică ce caracerizează mediul elasic în prezenţa undei elasice şi valoarea de echilibru a respecivei mărimi fizice se numeşe în general funcţie de undă şi se noează cu Ψ. Funcţiile de undă po fi aâ mărimi fizice scalare, câ şi mărimi fizice vecoriale, iar din punc de vedere maemaic ele sun funcţii de momenul de imp şi de raza vecoare a puncului pe care îl reprezină în ineriorul mediului : Ψ Ψ( r,) PRECIZAREA DE LA PAGINA 76 ermenul de perurbaţie se referă la micile variaţii ale valorilor unor mărimi fizice care caracerizează ineriorul mediului elasic, pe care acesea le po avea faţă de valorile corespunzăoare sării de echilibru. Eemple de asemenea mărimi fizice po fi: deplasarea unei porţiuni a mediului, vieza sa de deplasare, energia cineică dobândiă, ca şi mule alele. Oricare dinre abaerile valorilor acesor mărimi fizice faţă de sarea de echilibru poae fi socoiă ca o măsură a modificărilor induse în prezenţa undei elasice.

179 Pag ECUAŢIA DIFERENŢIALĂ A UNDELOR, SOLUŢII PARICULARE 4...ECUAŢIA DIFERENŢIALĂ A UNDELOR Ne puem pune înrebarea :? ESE OARE POSIBIL CA ŞIIND SAREA DE PERURBARE LA UN ANUMI MOMEN DE IMP ŞI ÎNR-UN ANUMI PUNC AL MEDIULUI ELASIC, PRECUM ŞI CARACERISICILE MEDIULUI, SĂ PUEM CALCULA CARE VA FI SAREA DE PERURBARE ÎNR-UN AL PUNC ŞI LA AL MOMEN DE IMP? CU ALE CUVINE, EXISĂ O ECUAŢIE MAEMAICĂ CARE SĂ DESCRIE PROPAGAREA PERURBAŢIEI ÎN INERIORUL MEDIU- LUI ELASIC? F Penru a răspunde acesei înrebări, să începem prin a eamina siuaţia din schiţa alăuraă. Să luăm ca eemplu propagarea unor valuri în largul mării. Eisă o dublă periodiciae : emporală şi spaţială. Asfel, înr-un punc da are loc o oscilaţie pe vericală (imaginaţi-vă pluiorul unei undiţe sau mişcarea unei geamanduri), iar la un mo- PRECIZAREA DE LA PAGINA 77 Mediul elasic ese mediul forma din paricule care ineracţionează înre ele prin forţe de ip elasic. Spre deosebire de un mediu plasic, mediul elasic are endinţa de a reveni la forma iniţială după ce, deforma fiind de o forţă eerioară, ese lăsa liber.

180 Pag. 78 men da pe suprafaţa mării cresele şi adânciurile valurilor sun reparizae după un model repeiiv. Să presupunem acum că valurile se propagă cu vieza con- c sană c, fără ca aspecul lor să se Ψ(,) Ψ(+cd,d) modifice. În consecinţă, după recerea unui inerval de imp d, valoarea funcţiei de undă corespunzăoare puncului de coordonaă cd + cd va fi regăsiă în puncul de coordonaă + cd. Puem scrie : Ψ (,) Ψ( + cd, + d) Prin dezvolarea în serie aylor şi considerând că inervalul de imp d ese suficien de mic penru ca ermenii de ordin superior să poaă fi neglijaţi, rezulă : Ψ ( ) ( ) (,) Ψ(,) Ψ + d, + d Ψ, + cd + d + ( d ),, sau : Ψ(,) Ψ(,) c În concluzie, derivaele de ordinul înâi ale funcţiei de undă în rapor cu coordonaa sau cu momenul de imp sun proporţionale. +d Ψ(,) Ψ(,+d) Ψ(+d,) Ψ(+d,+d ) +d Să ne imaginăm în coninuare că dispunem două foografii ale unui val, luae la momene de imp foare apropiae: şi + d, pe care le-am aşeza una sub cealală (vezi figura alăuraă). Puem găsi legăura înre Ψ( + d, + d) şi Ψ(, ) pe două căi diferie : Mai înâi sabilim legăura dinre Ψ( + d, + d) şi Ψ( + d, ) : Ψ ( ) ( ) ( + d,) Ψ + d, + d Ψ + d, + +d, d INFORMAŢIA DE LA PAGINA 78 Fiind daă o funcţie f() şi două valori, respeciv ale argumenului său, dezvolarea în serie aylor permie calcularea valorii în cunoscând valoarea funcţiei şi uuror derivaelor ei în : k d f ( ) ( ) k f ( ) f ( ) + f ' ( )( ) + f " ( )( ) +... k k k! d Dacă ( ) ese suficien de mic, ermenii de ordin superior ai dezvolării se po neglija. Dealii despre seria aylor, la cursul de maemaică.

181 şi apoi, uilizând relaţiile : Ψ Ψ sabilim relaţia cu Ψ(, ): Pag. 79 ( + d,) Ψ(,) Ψ + (,) ( + d,) Ψ(,) Ψ(,) +, d, d Ψ ( + d, + d) Ψ(,) + Ψ (,) Ψ(,) Ψ(,) + + dd d d Mai înâi sabilim legăura dinre Ψ( + d, + d) şi Ψ(, + d) : Ψ ( ) ( ) (, + d) Ψ + d, + d Ψ, + d + d şi apoi uilizând relaţiile : Ψ Ψ sabilim relaţia cu Ψ(, ) : Ψ ( + d, + d) Ψ(,) (, + d) Ψ(,) Ψ + (,), (, + d) Ψ(,) Ψ(,) Ψ + + d, d, + d (,) Ψ(,) Ψ(,) d + d + dd Egalând epresiile obţinue şi reducând ermenii egali, rezulă : Ψ (,) Ψ(,) Ψ Ψ Dacă ţinem con de relaţia obţinuă anerior înre derivaele de ordinul înâi în rapor cu coordonaa sau cu impul, rezulă : Ψ Ψ Ψ Ψ c c c c BIOGRAFIA DE LA PAGINA 79 Brook aylor (685 73). În 78, aylor obţine soluţia problemei cenrului de oscilaţie (prioriaea acesui rezula a fos moivul unui conflic cu maemaicianul elveţian Johann Bernoulli). Ese înemeieorul calculului cu diferenţe finie. Pe baza acesuia, a eprima maemaic mişcarea unei coarde vibrane folosind principiile mecanicii. În carea Mehodus incremenorum direca e inversa (75) epune penru prima oară eorema care-i poară asăzi numele.

182 Pag. 8 sau : Ψ c Ψ Aceasă ecuaţie se numeşe ecuaţia diferenţială a undelor plane şi reprezină cea mai generală relaţie maemaică care descrie propagarea unei unde elasice plane. c Fron de undă Locul geomeric al puncelor din spaţiu care sun caracerizae de aceeaşi sare de perurbaţie se numeşe fron de undă sau suprafaţă de undă. În cazul undelor plane, fronul de undă ese un plan perpendicular pe direcţia de propagare a undei. Generalizarea în rei dimensiuni spaţiale a acesei ecuaţii : Ψ Ψ Ψ Ψ + + y z c se numeşe ecuaţia diferenţială a undelor şi poae reprezena maemaic orice proces ondulaoriu. Uilizând operaorul lui Laplace : + + y z ecuaţia diferenţială a undelor se scrie sub o formă simplificaă : Ψ Ψ c INFORMAŢIA DE LA PAGINA 8 Undele se po clasifica în funcţie de forma fronului de undă. Asfel, puem înâlni : Unde plane, ale căror fron de undă ese o suprafaţă plană Unde cilindrice, ale căror fron de undă ese o suprafaţă cilindrică Unde sferice, ale căror fron de undă ese o suprafaţă sferică

183 Pag SOLUŢIA GENERALĂ A ECUAŢIEI UNDEI PLANE, Ψ(, ) Să considerăm o undă elasică plană care se propagă în lungul aei O cu vieza c. Fronul de undă ese perpendicular pe direcţia de propagare a undei, iar în oae puncele sale funcţia de undă Ψ are aceeaşi valoare. Prin urmare, funcţia de undă nu depinde de coordonaele y şi z : Ψ Ψ((, ) Penru că derivaele parţiale ale funcţiei de undă în rapor cu coordonaele y şi z sun nule, din ecuaţia diferenţială a undelor rezulă : Ψ (,) Ψ(,) c Soluţia generală a acesei ecuaţii se poae obţine asfel : se face schimbarea de variabile : ξ + c η c asfel încâ : ξ d + c ξ d ; η d c η d ; se calculează derivaele : Ψ Ψ ξ ξ ( ) ( + c) ( ) ( c) Ψ + η η Ψ ξ Ψ + η c c INFORMAŢIA DE LA PAGINA 8 Undele po fi clasificae şi în funcţie de direcţia pe care au loc perurbaţiile. Asfel, dacă deformările induse de perurbaţie au direcţie paralelă cu direcţia de propagare a undei, unda se numeşe undă longiudinală. Dacă deformările induse de perurbaţie au direcţie perpendiculară pe direcţia de propagare a undei, unda se numeşe undă ransversală.

184 Pag. 8 şi : Ψ ξ Ψ ξ Ψ ξ Ψ + η Ψ + + η η Ψ ξ Ψ ξ + Ψ + η Ψ η ξ Ψ Ψ Ψ Ψ + + ξ ξ η η + η Ψ Ψ Ψ ξ ξ Ψ + η η Ψ c ξ Ψ c η Ψ c c ξ c Ψ ξ Ψ ξ c c Ψ η Ψ η c c η c Ψ ξ Ψ ξ c c Ψ η Ψ η c c ξ Ψ Ψ c ξ c η Ψ + c ξ η Se înlocuiesc derivaele de ordinul al doilea în ecuaţia undei plane : Ψ(,) Ψ(,) c rezulând : Ψ 4 ξ η Puem scrie : Ψ ξ η Ψ Ψ η Deoarece derivaa parţială în rapor cu ξ ese nulă, ermenul Ψ/ η nu poae reprezena decâ o consană în rapor cu ξ, fiind cel mul o funcţie de variabila η : Ψ df ( ) ( η) f ' η η dη Prin inegrarea acesei ecuaţii, obţinem : Ψ f ( η) + cons. CUGEAREA DE LA PAGINA 8 Mecanica ese raiul şiinţelor maemaice, penru că prin mijlocirea ei se ajunge la roadele maemaicilor. Leonardo da Vinci (45 59), om de ară ialian, inginer şi invenaor

185 Pag. 83 Consana de inegrare ese de fap consană în rapor cu variabila η, deci poae ouşi reprezena o funcţie de variabila ξ : Ψ f ( η) + g( ξ) Revenind la variabilele iniţiale, obţinem : (,) f ( c) + g( + c Ψ ) Soluţia generală a ecuaţiei undei plane Concluzia ese că soluţia generală a ecuaţiei undelor plane ese o sumă de două funcţii arbirare, care depind de variabilele - c, şi respeciv + c. Acese două variabile se numesc faze. Să considerăm acum unda plană reprezenaă de ecuaţia : Ψ (,) f ( c) Faza undei ese Φ - c. Să presupunem că luăm în considerare un momen de imp ulerior şi un al punc din spaţiu, cu condiţia ca faza să nu-şi modifice valoarea Φ - c. Fazele fiind egale, funcţiile de undă corespunzăoare sun de asemenea egale. Rezulă de aici că suprafaţa de undă care rece prin puncele de coordonaă la momenul ese idenică cu suprafaţa de undă care rece prin puncele de coordonaă la momenul. Aces fap ese rezulaul propagării undei în lungul aei O. Puem scrie ' c' c ' c( ' ) c c Aceasă relaţie ne permie să găsim semnificaţia fizică a paramerului c : Paramerul c reprezină vieza cu care se propagă o suprafaţă de undă în lungul aei O, adică chiar vieza de propagare a undei. Penru că suprafaţa de undă ese caracerizaă prin valoarea fazei sale, vieza c se numeşe vieză de fază. În cazul discua, vieza de fază ese poziivă, ceea ce semnifică că unda plană se propagă în sensul poziiv al aei O. PROBLEMA DE LA PAGINA 83 Arăaţi că o funcţie F(f(η)) verifică şi ea ecuaţia undelor plane. Verificaţi în paricular cazurile : ± f ( η) F

186 Pag. 84 Rezulă de aici că : Unda plană caracerizaă de faza Φ c se propagă în sensul poziiv al aei O, numindu-se undă progresivă. Analog se poae arăa că : Unda plană caracerizaă de faza Φ + c se propagă în sensul negaiv al aei O, numindu-se undă regresivă. În pracică, unda regresivă şi unda progresivă po fi înâlnie separa sau simulan (de eemplu, al doilea caz apare când suneul inciden la o suprafaţă se înâlneşe cu suneul refleca de suprafaţă). Un caz paricular de undă plană progresivă ese unda plană armonică : (,) Asin ϕ ( c) Asin π ω c + ϕ λ Ψ unde A ese ampliudinea, ese perioada, ω ese pulsaţia, λ ese lungimea de undă (adică disanţa pe care se propagă unda în imp de o perioadă) iar ϕ ese faza iniţială. Înr-un punc de coordonaă, unda plană armonică deermină în imp o oscilaţie armonică în jurul poziţiei de echilibru. Imporanţa undelor plane armonice ese aceea că o undă plană oarecare poae fi descrisă maemaic prin serii sau inegrale Fourier, ca o simplă suprapunere de unde plane armonice. PROBLEMA DE LA PAGINA 84 Demonsraţi maemaic că la acelaşi momen de imp funcţia de undă are valori egale în puncele de coordonae : + nλ ; n N n

187 Pag SOLUŢIA ECUAŢIEI UNDELOR SFERICE y n Undele sferice sun undele ale căror suprafaţă de undă ese o sferă cenraă în jurul puncului în care s-a produs perurbaţia care a genera unda. z r Ψ(r, ) oae puncele suprafeţei de undă sferice se găsesc în aceeaşi sare de perurbare şi, deci, funcţia de undă depinde doar de modulul razei vecoare, dar nu şi de orienarea aceseia. Concluzia ese că funcţia de undă caracerisică unei unde sferice ese o funcţie doar de modulul razei vecoare şi momenul de imp : Ψ Ψ(r, ) Penru a găsi formula maemaică generală corespunzăoare undelor sferice procedăm asfel : observăm că : dar : deci : Ψ Ψ r r r + y + z r + y + z + y + z Ψ Ψ r r INFORMAŢIA DE LA PAGINA 85 Reprezenarea rigonomerică a numerelor complee ese : iα i z ρ cosα + i sinα ρe, z* ρ cosα i sinα ρe ( ) ( ) α Prin urmare, unda armonică poae scrie sub forma : r π π Ψ Acos λ Ψ ReΨ Re i Ae π π λ se mai

188 Pag. 86 Calculăm derivaa a doua în rapor cu : r r r r r r r r r r r r r r r r Ψ + Ψ Ψ Ψ + Ψ + Ψ Ψ Ψ sau : 3 r r r r r r Ψ + Ψ Ψ Ψ Analog : 3 3 r r z r r z r r z r r y r r y r r y Ψ + Ψ Ψ Ψ Ψ + Ψ Ψ Ψ Subsiuind acese derivae în ecuaţia generală a undelor : Ψ Ψ + Ψ + Ψ c z y obţinem : 3 3 Ψ Ψ Ψ + + Ψ c r r z y r r z y r r sau : Ecuaţia diferenţială a undelor sferice Ψ Ψ + Ψ c r r r Facem schimbarea de funcţie : ( ) ( ) r, r, r ψ Ψ asfel încâ : r r r r r r ψ ψ + ψ Ψ INFORMAŢIA DE LA PAGINA 86 Avanajul folosirii unei funcţii de undă complee Ψ ese acela că în cazul undelor armonice, formal, cele două variabile şi po fi separae, funcţia de undă fiind un produs a două funcţii : una de imp şi cealală de poziţie : e Ae λ π π Ψ

189 Pag. 87 Ψ r ψ ψ + r r r r ψ 3 r r ψ r r ψ ψ + r r r ψ 3 r r ψ ψ + r r r Rezulă : sau : 3 ψ ψ ψ ψ ψ + + ψ + r r r r r r r r r c r ψ r c ψ Soluţia ulimei ecuaţii ese : asfel încâ în final obţinem : Ψ ψ ( r,) ( f ( r c) + g( r + c)) ( r,) f ( r c) + g( r + c) Soluţia generală a ecuaţiei undelor r sferice Un caz paricular ese : A r r + ϕ λ ( r,) sin π Ψ care reprezină unda sferică armonică progresivă (sau divergenă). Se poae remarca fapul că, spre deosebire de ampliudinea undelor plane, ampliudinea undelor sferice scade invers proporţional cu disanţa până la sursa de oscilaţii. Aceasă proprieae ese o consecinţă a principiului conservării energiei (energia ransferaă de undă îşi păsrează o valoare consană indiferen de mărimea suprafeţei de undă). INFORMAŢIA DE LA PAGINA 87 Funcţia de undă compleă Ψ prezenaă la pagina anerioară ese soluţia ecuaţiei undelor plane (numiă soluţia saţionară) dacă rezolvarea se face considerând că Ψ(, ) F() G(). Se poae arăa cu uşurinţă că în aces caz ecuaţia are forma : F&& G" ω ; ω cons R + F c G

190 O Pag COMPORAREA UNDELOR SFERICE r c r LA DISANŢĂ MARE DE SURSĂ N M h Să considerăm o undă sferică armonică : A r Ψ( r,) sin π + ϕ r λ Să presupunem de asemenea că unda se propagă înre puncele r şi r aflae pe aa O şi că r r << r. Să discuăm despre valoarea funcţiei de undă în puncele din planul MN, perpendicular pe direcţia de propagare, aflae faţă de sursă la disanţe cuprinse înre r şi r. În acese punce ampliudinea undei sferice variază înre A/r şi A/r. Deoarece r r, rezulă că : A A A( ) A( r) A( r' ) A( ' ) r r' Prin urmare, în puncele de coordonae r şi r funcţia de undă are epresiile : ' Ψ( ) A( ) sin π + ϕ ; Ψ( ' ) A( ) sin π + ϕ λ λ Remarcăm că valoarea (pracic) consană a ampliudinii ese caracerisică unei unde plane. Deci, la propagarea înre şi, unda sferică se comporă ca o undă plană. Aces comporamen ese valabil în oae puncele aflae faţă de sursă la disanţe cuprinse înre r şi r şi care aparţin planului MN. Câ de mare ese îninderea acesei porţiuni din planul MN faţă de disanţa? Eisă relaţia : h r ' r + h ( ' )( ' + ) h h >> Semnificaţia acesei relaţii ese aceea că pe disanţe mici în comparaţie cu disanţa până la sursă (sau, cu ale cuvine, la disanţă mare de sursă) unda sferică se comporă ca o undă plană al cărei fron de undă ese perpendicular pe direcţia de propagare. COMENARIUL DE LA PAGINA 88 Noţiunea de disanţă mică sau mare ese relaivă, fără ermen de comparaţie. În cazul undelor, ermenul de comparaţie ese o lungime asociaă procesului ondulaoriu, şi anume lungimea de undă. Disanţă mare faţă de sursă înseamnă o disanţă mul mai mare decâ lungimea de undă.

191 Pag UNDE ELASICE LONGIUDINALE Undele longiudinale se caracerizează prin aceea că direcţia de propagare coincide cu direcţia în care se produc deformările mediului elasic. Să eaminăm în coninuare propagarea unei unde longiudinale înr-un mediu elasic. Sub acţiunea undei, sarea unui elemen de volum dv al maerialului se modifică. Efecele produse sun de două ipuri : Deplasarea elemenului de volum Deformarea (alungirea sau comprimarea) elemenului de volum dy +d F(, ) Ψ(, ) c dz Ψ(+d, ) F(+d, ) + Ψ(, ) + Ψ(+d, ) Vom noa deplasarea capăului din sânga cu Ψ(, ), iar deplasarea capăului din dreapa cu Ψ(+d, ). Epresiile acesor deplasări vor fi considerae în coninuare ca fiind ocmai funcţia de undă care caracerizează propagarea undei longiudinale. Deplasarea se face în imp, asfel încâ derivaa înâia a deplasării în rapor cu impul reprezină vieza de deplasare : Ψ(,) v Acceleraţia elemenului de volum ese v Ψ(,) a PRECIZAREA DE LA PAGINA 89 Demonsraţia pe care o facem aici ese valabilă în special penru cazul mediilor solide, nelimiae ca înindere. În cazul fluidelor, şi în special în cazul gazelor care sun erem de compresibile, la frecvenţe de oscilaţie mari, po inerveni fenomene suplimenare care să afeceze precizia calculului.

192 Pag. 9 Principiul fundamenal al dinamicii ne spune că acceleraţia elemenului de volum ese rezulaul acţiunii forţelor eerne, adică al forţelor elasice cu care mediul acţionează asupra elemenului de volum. Noând masa elemenului de volum cu dm, puem scrie : dm a F( + d,) F(,) Cum : dm ρdv ρddydz unde ρ ese densiaea maerialului, prin dezvolare în serie aylor şi neglijarea facorilor de ordin superior : F ( ) ( ) (,) F(,) F ( ) (,) F + d, F, + d + d +... F, + d rezulă : ρ Ψ (,) F(,) dydz Să ne ocupăm acum de deformarea elemenului de volum. Lungimea sa în sarea neperurbaă ese d. În sare perurbaă, lungimea elemenului de volum ese egală cu diferenţa înre coordonaa capăului din dreapa şi coordonaa capăului din sânga : d' d' [ + d + Ψ( + d,) ] [ + Ψ(,) ] [ + d + Ψ( + d,) ] [ + Ψ(,) ] d + Ψ( + d,) Ψ(, ) Recurgând din nou la dezvolarea în serie aylor şi neglijarea ermenilor de ordin superior, rezulă : Ψ(,) d' d + d Alungirea elemenului de volum ese diferenţa dinre lungimea sa în sare perurbaă şi lungimea în sare neperurbaă : δ ( d) Ψ d' d (,) d CUGEAREA DE LA PAGINA 9 Doar maemaica şi logica maemaică po spune aâ de puţin câ inenţionează un fizician să spună. Berrand Russell (87 97), filosof şi maemaician englez

193 Pag. 9 Conform legii lui Hooke, alungirea δ(d) ese proporţională cu forţa de înindere F(, ) şi cu lungimea în sare nedeformaă d şi invers proporţională cu aria secţiunii ransversale ds dydz şi cu modulul de elasiciae al maerialului E Înlocuind epresia deformării, rezulă : F ( ) (,) d δ d Edydz sau : Ψ(,) F(,) Edydz sau : Ψ ( ) (,) F, E dydz 4.3..VIEZA DE PROPAGARE A UNDELOR ELASICE LONGIUDINALE Dispunem în aces momen de două epresii referioare la forţele elasice cu care mediul acţionează asupra elemenului de volum : Ψ ( ) (,) F, E dydz ρ Ψ (,) F(,) dydz Derivând prima epresie în rapor cu coordonaa, rezulă : (,) Ψ(,) F E Subsiuind în epresia a doua, ne rămâne : dydz INFORMAŢIA DE LA PAGINA 9 Proprieăţile elasice ale fluidelor sun măsurae prin coeficienul de compresibiliae : V β V p unde V ese volumul, iar p ese presiunea. Formal, modulul de elasiciae al unui fluid poae fi lua ca inversul coeficienului de compresibiliae.

194 sau : ρ Ψ Ψ Pag. 9 (,) Ψ(,) E (,) ρ Ψ(,) E Comparând cu ecuaţia diferenţială a undelor plane : Ψ(,) Ψ(,) c observăm similariaea celor două epresii şi ragem urmăoarele concluzii : Perurbaţiile care au loc în direcţie longiudinală se propagă prin maerialul elasic sub forma unei unde plane longiudinale. Vieza de fază a undelor longiudinale are epresia : c E ρ unde E ese modulul de elasiciae al mediului, iar ρ densiaea mediului. Remarcăm din aceasă epresie că vieza de propagare ese cu aâ mai mare cu câ mediul ese mai elasic şi are densiae mai mică DENSIAEA DE ENERGIE ÎN CAZUL UNDELOR LONGIUDINALE Deplasarea elemenului de volum cu vieza v implică fapul că acesa are o energie cineică : Cu definiţia : (,) ρ Ψ(,) dm v ρ Ψ dw c ddydz dv INFORMAŢIA DE LA PAGINA 9 Conform celor arăae la pagina precedenă, în cazul unui fluid, vieza de propagare a undelor longiudinale ese : c βρ

195 Pag. 93 Densiaea de energie cineică reprezină energia cineică a uniăţii de volum : w c dw c /dv. Puem scrie : w c dw dv c ρ Ψ (,) adică : densiaea de energie cineică înr-un mediu elasic în care se propagă o undă longiudinală ese proporţională cu densiaea mediului şi cu păraul primei derivae a funcţiei de undă (reprezenaă prin deplasarea locală) în rapor cu impul. Prin deformarea mediului elasic, în acesa se acumulează şi energie poenţială. Revenind la legea lui Hooke aplicaă elemenului de volum : Edydz F(,) δ( d) kδ( d) d observăm că forţa deformaoare ese de ip elasic. Energia poenţială asociaă unei asemenea forţe are epresia : k[ δ( d) ] dw p Prin urmare, obţinem : Edydz Ψ(,) E Ψ(,) E Ψ(,) dw p d ddydz dv d Densiaea de energie poenţială reprezină energia poenţială a uniăţii de volum : w p dw p /dv. Puem scrie : w p dw dv p E Ψ (,) adică : densiaea de energie poenţială înr-un mediu elasic în care se propagă o undă longiudinală ese proporţională cu modulul de elasiciae al mediului şi cu păraul primei derivae a funcţiei de undă în rapor cu coordonaa pe aa paralelă cu direcţia de propagare a undei. PROBLEMA DE LA PAGINA 93 Arăaţi că epresiile densiăţilor de energie cineică sau energie poenţială po fi luae ca funcţii de undă şi verifică ecuaţia undelor plane.

196 Pag. 94 După cum am demonsra anerior, funcţia de undă care verifică ecuaţia diferenţială a undelor plane ese o funcţie oarecare de faza Φ c, unde c ese vieza de fază : În acese condiţii : Ψ Ψ ( c) Ψ( Φ) Ψ (,) dψ Φ dψ Ψ(,) dφ dφ ; dψ Φ dφ dψ c dφ Înlocuind acese epresii în formulele densiăţilor de energie cineică şi poenţială, rezulă : w p E dψ Φ Concluzia ese că : ρ dψ E dψ E dψ c c ρ w p w Φ ρ Φ Φ în prezenţa unei unde longiudinale, în orice punc al mediului şi la orice momen de imp, densiaea locală de energie cineică ese egală cu densiaea locală de energie poenţială: w c w p. Mai rezulă de aici şi că : în prezenţa unei unde longiudinale, densiaea oală de energie, adică suma dinre densiăţile de energie cineică şi poenţială, ese egală fie cu dublul densiăţii de energie poenţială, fie cu dublul densiăţii de energie cineică: w w c + w p w c w p. COMENARIUL DE LA PAGINA 94 Ceea ce ese ineresan de remarca ese că în cazul undelor plane variaţiile de energie cineică şi poenţială se fac în fază, spre deosebire de cazul oscilaorului armonic unde ele sun în cvadraură de fază.

197 Pag RANSFERUL DE ENERGIE J(, ) w(, ) w(, +d) dz dy + d J(+d, ) c Densiaea locală de energie variază în imp. De aceea, energia mecanică conţinuă înr-un elemen de volum afeca de prezenţa unei unde longiudinale se modifică în cursul impului. Dacă la momenul de imp energia elemenului de volum ese : (,) w(,) dv w(,) ddydz dw la momenul ulerior + d ea devine : (, + d) w(, + d) ddydz dw În inervalul de imp d, variaţia energiei mecanice a elemenului de volum ese : δ ( dw ) ( w(, + d) w(,) ) ddydz Prin dezvolare în serie aylor şi prin neglijarea ermenilor de ordin superior : w ( ) ( ) (,) w(,) w, w, + d w, + d + d +... w(,) + rezulă : w ( ) (,) δ dw dddydz ( ) d În lumina principiului conservării energiei mecanice, modificarea energiei elemenului de volum nu poae fi accepaă decâ dacă admiem că are loc un ransfer de energie în ineriorul mediului elasic, ransfer făcu în procesul de propagare a undei longiudinale. Mărimea fizică aleasă penru a măsura ransferul de energie se numeşe densiaea curenului de energie. PROBLEMA DE LA PAGINA 95 Găsiţi epresia densiăţii de energie cineică penru unda armonică plană : π π Ψ Acos λ Arăaţi că şi densiaea de energie variază periodic în imp şi spaţiu şi calculaţi perioada.

198 Pag. 96 Densiaea curenului de energie ese mărimea fizică vecorială numeric egală cu energia ransporaă normal prin uniaea de suprafaţă în uniaea de imp : J dw ds d n Curenul de energie inroduce în elemenul de volum, în inervalul de imp d, energia (,) ds d J (,) dydzd dw J n o în aces inerval de imp, elemenul de volum pierde energia : Bilanţul energeic ese : δ dw J + ( d,) dydzd ( dw ) dw dw ( J (,) J ( + d,) ) dydzd Prin dezvolare în serie aylor şi prin neglijarea ermenilor de ordin superior, rezulă : δ ( dw ) J (,) J (,) J Din relaţia pe care am obţinu-o anerior, rezulă : (,) J (,) ddydzd ddydzd sau : w (,) J (,) dddydz ddydzd (,) w(,) J + Ecuaţia de coninuiae PROBLEMA DE LA PAGINA 96 Alăuri de energie, undele ransferă şi impuls. Acesa ese şi moivul penru care undele eerciă presiune asupra suprafeţelor aflae în calea lor. Calculaţi presiunea suplimenară care eisă înr-un punc din câmpul de oscilaţii asocia unei unde longiudinale.

199 Pag. 97 Aceasă relaţie se numeşe ecuaţia de coninuiae şi reprezină eprimarea maemaică cea mai generală a principiului conservării energiei mecanice în cursul propagării unei unde elasice plane, longiudinale. Dacă remarcăm că aâ densiaea de energie, câ şi densiaea curenului de energie po fi la rândul lor funcţii de undă, adică funcţii care depind de faza undei plane Φ - c, rezulă : (,) J dj dφ Φ dj dφ w (,) dw Φ dφ dw c dφ asfel încâ ecuaţia de coninuiae devine : Prin inegrare, rezulă : d d Φ epresie care are forma vecorială : ( J (,) cw(,) ) (,) cw(,) J J (,) w(, )c Densiaea locală a curenului de energie ese proporţională la orice momen de imp cu densiaea locală de energie, iar ransferul de energie se face în direcţia şi sensul de propagare al undei elasice longiudinale. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 97 Ecuaţia de coninuiae ese valabilă şi în cazul undelor luminoase, împreună cu relaţia de legăură înre densiaea curenului de energie şi densiaea de energie. În cazul luminii, energia ese de naură elecromagneică, echivalenul energiei poenţiale fiind energia câmpului elecric, iar echivalenul energiei cineice fiind energia câmpului magneic.

200 Pag VIEZA DE PROPAGARE A UNDELOR RANSVERSALE Undele ransversale se caracerizează prin aceea că direcţia de propagare ese perpendiculară pe direcţia în care se produc deformările mediului elasic. Să considerăm o coardă elasică, având densiaea liniară de masă µ : dm µ d (, ) (, ) y (, ) Ψ(, ) y (+d, ) (+d, ) dm Ψ(+d, ) +d y (+d, ) Pe direcţia O, în lungul coardei, se propagă o undă ransversală. Puem alege ca funcţie de undă Ψ(, ) deplasarea unui punc maerial al coardei în rapor cu poziţia de echilibru. Un elemen de volum al coardei ineracţionează cu porţiunile vecine prin forţele elasice de ensiune. Acesea sun angene la coardă în fiecare punc al ei şi au aceeaşi valoare în oae puncele coardei. Conform principiului fundamenal al dinamicii schimbarea sării de mişcare a elemenului de volum ese deerminaă de rezulana forţelor eerne care acţionează asupra sa. Deoarece deplasarea elemenului de volum are loc doar în lungul aei O, puem scrie : INFORMAŢIA DE LA PAGINA 98 Coardele elasice sun folosie la consrucţia mulor insrumene muzicale (vioară, chiară, pian şi chiar ţambal). Undele sonore pe care le emi acese insrumene sun rezulaul vibraţiei coardelor. Corpul insrumenului are rolul de cuie de rezonanţă, care amplifică suneul da de coarde.

201 dma y Pag. 99 y ( + d,) (,) y Acceleraţia elemenului de volum ese derivaa a doua a deplasării sale în rapor cu impul : Ψ(,) a y Prin dezvolare în serie aylor şi neglijarea ermenilor de ordin superior, rezulă : y (,) y(,) y (,) y( + d,) y(,) + d + d +... y(,) + d Subsiuind în relaţia anerioară, obţinem : Ψ, y, dm Ψ, dm d d ( ) ( ) ( ) ( ), Ψ(,) (,) Componena vericală a ensiunii din coardă poae fi calculaă în funcţie de ensiunea (care nu depinde de poziţia ) şi de unghiul α(, ) pe care ensiunea îl face cu orizonala (acelaşi ca şi unghiul dinre angena la coardă în puncul de coordonaă şi orizonală) :, sinα, y y ( ) ( ) În ipoeza în care deformarea coardei ese mică, deplasările puncelor maeriale ale coardei faţă de poziţiile lor de echilibru sun mici, ceea ce înseamnă că unghiul α are valori mici şi puem aproima sinusul său prin însuşi unghiul eprima în radiani : sinα, α, ( ) ( ) µ y α (, ) Ψ(, ) Ψ(+d, ) d Cum se vede din figura alăuraă, puem scrie : Ψ ( ) ( + d,) Ψ(,) g α, d După dezvolarea în serie aylor şi neglijarea ermenilor de ordin superior, ne rămâne : Ψ Ψ ( + d,) Ψ(,) Valoarea mică a unghiului α ne permie aproimaţia : (,) d PROBLEMA DE LA PAGINA 99 Un arc are înălţimea de,4 m. Arcaşul aplică coardei o forţă de 3 N, îninzând arcul cu cm. Calculaţi forţa de înindere din coardă.

202 Pag. (,) α(,) g α asfel încâ în final rezulă : Ψ ( ) (,) α, În acese condiţii, componena vericală a ensiunii devine : Ψ ( ) (,) y, Derivaa sa în rapor cu coordonaa ese : ( ) y, Ψ(,) asfel încâ relaţia proveniă din aplicarea principiului fundamenal al dinamicii capăă forma : Ψ(,) Ψ(,) µ sau : Ψ (,) µ Ψ(,) Comparând cu ecuaţia diferenţială a undelor plane : Ψ(,) Ψ(,) c observăm similariaea celor două epresii şi ragem urmăoarele concluzii : Perurbaţiile care au loc în direcţie ransversală se propagă prin coarda elasică sub forma unei unde plane ransversale. Vieza de fază a undelor ransversale are epresia : c µ unde ese forţa de ensiune din coardă, iar µ ese densiaea liniară de masă a coardei. ÎNREBAREA DE LA PAGINA Fiind daă o coardă confecţionaă din oţel, credeţi că vieza de propagare a undelor ransversale ese mai mare sau mai mică decâ aceea a undelor longiudinale?

203 Pag FENOMENE ÎNÂLNIE ÎN CURSUL PROPAGĂRII UNDELOR ELASICE 4.5..PRINCIPIUL HUYGENS - FRESNEL Baza eoreică a eplicării mai mulor fenomene legae de propagarea undelor elasice ese principiul lui Huygens. Acesa cuprinde urmăoarele afirmaţii : oae puncele aflae pe fronul de undă (adică oae puncele având la un +d momen de imp da aceeaşi fază de oscilaţie) sun surse secundare de unde sferi- ce. M S Undele secundare ce se propagă în sens invers nu se iau în consideraţie. Înfăşurăoarea undelor secundare, la un momen de imp ulerior, reprezină noul fron de undă. Penru a permie şi calcule maemaice pe baza acesui principiu, Fresnel a adăuga urmăoarele afirmaţii : Diferenţa de fază înre undele secundare ese consană în imp. Ampliudinea fiecărei unde secundare ese proporţională cu mărimea ariei elemenului de suprafaţă care o generează. Sarea de oscilaţie înr-un punc din spaţiu ese rezulaul inerferenţei uuror undelor secundare care sosesc în acel punc. BIOGRAFIA DE LA PAGINA Chrisiaan Huygens (69 695) maemaician, asronom şi fizician olandez. A pus bazele eoriei ondulaorii a luminii, a descoperi adevăraa formă a inelelor lui Saurn şi a avu conribuţii originale în domeniul dinamicii. Descoperirile sale asronomice au fos posibile daoriă îmbunăăţirilor aduse consrucţiei elescopului şi prelucrării lenilelor. Ca asronom, a fos preocupa de perfecţionarea meodelor de măsurare a impului, moiv penru care a descoperi imporanţa pendulului ca mijloc de regularizare a funcţionării ceasornicelor. A fos preocupa de sudiul graviaţiei (având o eorie proprie, deosebiă de a lui Newon) şi de sudiul fenomenelor luminoase. A fos unul dinre fondaorii Academiei Franceze de Şiinţe.

204 Pag REFLEXIA Refleia ese fenomenul care are loc la suprafaţa de separaţie înre două medii elasice şi care consă în reînoarcerea undei în mediul din care provine. i r Unghiul forma de direcţia de propagare a undei incidene cu normala la suprafaţa de separaţie se numeşe unghi de incidenţă. Unghiul forma de direcţia de propagare a undei reflecae cu suprafaţa de separaţie se numeşe unghi de refleie. Sudiul eperimenal al refleiei a condus la urmăoarea concluzie (numiă legea refleiei) : UNGHIUL DE INCIDENŢĂ ESE EGAL CU UNGHIUL DE REFLEXIE. i r PRECIZAREA DE LA PAGINA Legile refleiei sun valabile nu numai în cazul undelor mecanice, ci şi în cazul undelor luminoase.

205 Pag. 3 Legea refleiei poae fi eplicaă uilizând principiul lui Huygens. Fronul de undă AB care se propagă cu vieza de fază c ainge mai înâi suprafaţa r i de separaţie AD în puncul A. Celălal capă (B) mai are de parcurs în aces C c B momen disanţa BD. impul necesar ese : c BD c A D În aces imp undele secundare generae în A se pro- i r pagă pe disanţa AC : AC c BD Înfăşurăoarea undelor secundare ese noul fron de undă CD. În riunghiul ABD, sinusul unghiului i ese : BD sin i AD În riunghiul ACD, sinusul unghiului r ese : AC sin r AD Penru că segmenele AC şi BD sun egale ca lungime, rezulă : sin i sinr sau : care reprezină ocmai legea refleiei. i r Ar mai fi de menţiona că eisă şi o a doua lege a refleiei, care, implici, se găseşe şi în demonsraţia de mai sus : direcţia undei incidene, normala la suprafaţa de separaţie înre mediile elasice şi direcţia undei reflecae se găsesc în acelaşi plan. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 3 Dacă refleia nu are loc pe o suprafaţă perfec lusruiă, ea ese acompaniaă de difuzie. Difuzia ese caracerizaă prin aceea că undele emergene se propagă în direcţii diferie, deoarece unghiul de incidenţă diferă de la un punc al suprafeţei la alul. În cazul luminii, eisenţa difuziei ese observabilă după aspecul suprafeţei pe care are loc refleia : lucios în cazul că ese bine şlefuiă şi ma, în caz conrar.

206 Pag REFRACŢIA Refracţia ese fenomenul care are loc la suprafaţa de separaţie înre două medii elasice şi care consă în schimbarea direcţiei de propagare a undei la părunderea din primul mediu în al doilea mediu. Unghiul forma de direcţia de propagare a undei incidene cu normala la suprafaţa de separaţie se numeşe unghi de incidenţă. Unghiul forma de direcţia de propagare a undei refracae cu suprafaţa de separaţie se numeşe unghi de refracţie. i Sudiul eperimenal al refracţiei a condus la urmăoarea concluzie (numiă legea refracţiei) : r RAPORUL DINRE SINUSUL UNGHIULUI DE INCIDENŢĂ ŞI SINUSUL UNGHIULUI DE REFRACŢIE ESE O CONSANĂ CARE DEPINDE DOAR DE NAURA MEDIILOR ELASICE AFLAE ÎN CONAC. sin i sinr n, PRECIZAREA DE LA PAGINA 4 Legile refracţiei sun valabile nu numai în cazul undelor mecanice, ci şi în cazul undelor luminoase.

207 Pag. 5 Legea refleiei poae fi eplicaă uilizând principiul lui Huygens. Fronul de undă AB care se propagă în primul mediu cu vieza de fază c ainge mai i înâi suprafaţa de separaţie AD în puncul A. Celălal i capă (B) mai are de parcurs în aces momen dis- B anţa BD. impul necesar c ese : A BD D În aces imp undele secundare generae în A se propagă în mediul al doilea, cu C c vieza de fază c, pe disanţa AC : r r c AC c BD c Înfăşurăoarea undelor secundare ese noul fron de undă CD. În riunghiul ABD, sinusul unghiului i ese : BD sin i AD În riunghiul ACD, sinusul unghiului r ese : AC sin r AD Făcând raporul celor două sinusuri, rezulă : sini BD sinr AC Daă fiind relaţia înre lungimile segmenelor AC şi BD, rezulă : care reprezină ocmai legea refracţiei. sin i c sinr c INFORMAŢIA DE LA PAGINA 5 În cazul undelor luminoase, raporul c /c se numeşe indice de refracţie relaiv al celui de-al doilea mediu în rapor cu primul. Raporul dinre vieza luminii în vid (3 km/s) şi vieza luminii înr-un anumi mediu se numeşe indice de refracţie absolu al mediului respeciv şi se noează cu liera n. Indicii de refracţie absoluţi au înodeauna valori suprauniare. c

208 Pag. 6 Demonsraţia făcuă uilizând principiul lui Huygens ne permie să precizăm mai bine ce semnifică consana care caracerizează cele două medii. Mai concre, semnificaţia sa ese aceea de rapor înre viezele de propagare a undei elasice în cele două medii. De aceea, legea refracţiei poae fi reformulaă asfel : RAPORUL DINRE SINUSUL UNGHIULUI DE INCIDENŢĂ ŞI SINUSUL UNGHIULUI DE REFRACŢIE ESE NUMERIC EGAL CU RAPORUL DINRE VIEZA DE FAZĂ A UNDEI ÎN MEDIUL DE INCIDENŢĂ ŞI VIEZA DE FAZĂ ÎN MEDIUL DE REFRACŢIE. Ar mai fi de menţiona că eisă şi o a doua lege a refracţiei, care, implici, se găseşe şi în demonsraţia de mai sus : direcţia undei incidene, normala la suprafaţa de separaţie înre mediile elasice şi direcţia undei refracae se găsesc în acelaşi plan. a) A REFLEXIA OALĂ l B C a) Dacă vieza de fază a undei în mediul de incidenţă ese mai mică decâ cea din mediul de refracţie, eisă un unghi de incidenţă maim penru care refracţia mai poae avea loc. Aces unghi se numeşe unghi limiă şi corespunde cazului în care înfăşurăoarea undelor secundare se reduce la un singur punc : acela în care oae undele secundare sun angene (cazul a) din figura de mai sus). Disanţa AC ese egală în aces caz cu c, unde BC/c. Cum BC/AC sin l, rezulă că unghiul limiă poae fi calcula conform relaţiei : c sin l Unghiul de incidenţă limiă c Penru unghiuri de incidenţă mai mari decâ unghiul limiă (cazul b) din figură) nu mai eisă o înfăşurăoare a undelor secundare şi, implici, nici unda refracaă. În aceasă siuaţie spunem că se produce refleia oală. A B C INFORMAŢIA DE LA PAGINA 6 În dispoziivele opice, se folosesc prisme cu refleie oală penru a înlocui oglinzile uilizae în consrucţia unor insrumene opice (cum ar fi, de eemplu, periscopul). Avanajule prismelor cu refleie oală faţă de oglinzi ese acela că pierderea de energie prin refleie în ineriorul prismei ese mul mai mică decâ aceea din oglindă.

209 Pag COEFICIENŢII DE REFLEXIE ŞI DE RANSMISIE Refleia şi refracţia sun complemenare, în sensul că, în general, amândouă acese fenomene se produc simulan la momenul în care o undă înâlneşe suprafaţa de separaţie dinre două medii elasice şi că energia ransporaă de unda incidenă ese împărţiă înre unda reflecaă şi unda refracaă.? Dacă refleia şi refracţia au loc simulan şi acese două procese îşi dispuă energia adusă de unda incidenă, ese firesc să ne punem urmăoarea înrebare : DE CE FACORI DEPINDE MODUL ÎN CARE UNDELE REFLECAĂ ŞI REFRACAĂ ÎŞI ÎMPAR ENERGIA MOŞENIĂ DE LA UNDA INCIDENĂ ŞI CARE ESE EXPRESIA CANIAIVĂ A RAPORULUI ÎN CARE SE FACE ACEASĂ ÎMPĂRŢIRE? Să considerăm penru începu un c i i elemen de volum paralelipipedic de arie a bazei S şi înălţime dh foare mică. J J Elemenul de volum ese împărţi în două de căre planul suprafeţei de separaţie S înre mediile în care viezele undei sun c, respeciv c. Caniaea de energie c r J care părunde în aces elemen de volum înr-un inerval scur de imp d ese : dw JSnd unde J ese densiaea curenului de energie al undei incidene, iar S n ese aria suprafeţei normale la direcţia undei incidene S n S cosi. Rezulă : dw J S cosi d PRECIZAREA DE LA PAGINA 7 În aces subcapiol considerăm că energia undei incidene se împare la suprafaţa de separaţie înre undele reflecaă şi refracaă. Aceasă afirmaţie ese o idealizare a siuaţiei fizice reale, neglijând pierderea de energie prin absorbţia la nivelul suprafeţei de separare.

210 Pag. 8 În acelaşi imp, din elemenul de volum pleacă energie ransporaă aâ de unda reflecaă câ şi de unda refracaă. Noând cu J densiaea curenului de energie al undei reflecae şi cu J densiaea curenului de energie al undei refracae, puem scrie : dw J S cosi d dw J S cosr d Deoarece undele reflecaă şi refracaă îşi împar energia proveniă de la unda incidenă puem scrie : dw dw + dw sau : cosi J cosi J cos r J + După cum am văzu înr-un capiol anerior, densiaea curenului de energie ese proporţională cu densiaea de energie şi cu vieza de fază a undei, iar densiaea de energie depinde de densiaea mediului şi de păraul viezei de oscilaţie a pariculelor ce compun mediul (Ψ fiind elongaţia oscilaţiei acesor paricule) : Ψ J cw ρc Relaţia de conservare a energiei devine : sau : Ψ Ψ Ψ ρ c cosi ρc cosi + ρc cosr Ψ Ψ c cosr ρ + Ψ ρc cosi Ψ Cei doi ermeni care apar în membrul drep al egaliăţii poară numele de coeficien de refleie R, respeciv coeficien de ransmisie : Ψ Ψ c R ρ ; R Ψ ρc Ψ cosr cosi PRECIZAREA DE LA PAGINA 8 Relaţia J cosi J cosi + J cosr ese valabilă aâa imp câ r 9 (adică aâa vreme câ nu se produce refleia oală). Dacă unghiul de incidenţă depăşeşe unghiul limiă coeficienul de refleie ese uniar, aceasa însemnând că nu are loc ransfer de energie căre mediul de refracţie.

211 Pag. 9 Puem observa că relaţia de conservare a energiei se poae pune sub forma : dw dw dw + JS cosi JS cosi JS cosr d d d + sau : Ψ Ψ Ψ Ψ ρcs ρcs cosi + cosi Ψ Ψ ρcs cosr CE SEMNIFICAŢIE FIZICĂ AU ERMENII CARE APAR ÎN ACEASĂ EXPRESIE? Penru a răspunde la aceasă înrebare, vom lua în discuţie o undă longiudinală. În cazul undei longiudinale, oscilaţiile au loc paralel cu direcţia de propagare a undei, ceea ce înseamnă că şi vieza de oscilaţie are aceasă direcţie. Prin urmare, ermenii de ipul Ψ cos α reprezină proiecţii ale viezelor de oscilaţie pe o aă perpendiculară pe suprafaţa de separaţie (adică direcţia normalei la suprafaţă). Egaliaea : Ψ Ψ Ψ cosi + cosi cos r poae fi inerpreaă ca o condiţie de coninuiae, în sensul că vieza de oscilaţie în direcţie normală imprimaă de unda incidenă ese egală cu rezulana viezelor normale imprimae de undele reflecaă şi refracaă. Pe de ală pare, facorii de ipul ρ c po fi pre- Ψ lucraţi după cum urmează : Ψ( c) dψ( c) ( c) dψ( c) c d( c) d( c) Dar : Ψ( c) dψ( c) ( c) dψ( c) d c d c ( ) ( ) OBSERVAŢIA DE LA PAGINA 9 În calculul de faţă nu se face referire şi la o relaţie de coninuiae privind componenele viezelor de oscilaţie în direcţie paralelă la suprafaţa de separaţie. De ce aceasă condiţie nu ese valabilă vă pueţi imagina dacă consideraţi suprafaţa de separaţie dinre un sra de ulei şi unul de apă : în direcţie angenţială uleiul poae aluneca pe suprafaţa apei, dar, în direcţie normală uleiul comprimă apa.

212 Pag. egaliaea : Ψ Ψ Ψ ρ cs ρc S ρcs reprezină o o condiţie de coninuiae, în sensul că forţa elasică eerciaă normal de undele din primul mediu pe suprafaţa de separaţie ese egală cu forţa elasică normală eerciaă de unda care se propagă în al doilea mediu. Cu ale cuvine, presiunea eerciaă pe suprafaţa de separaţie ese aceeaşi, indiferen de care dinre cele două medii ţinem con. asfel încâ : Ψ Ψ c Deci : Ψ Ψ E Ψ Ψ ρc ρc ρ E ρ Aşa cum am văzu înr-un capiol anerior, facorul Ψ F E reprezină eforul uniar (presiunea) eercia S de forţele elasice. Prin urmare, puem rage concluzia că Concluzia ese aceea că relaţia de conservare a energiei poae fi consideraă ca fiind rezulaul a două condiţii de coninuiae : una referioare la vieza normală de oscilaţie şi cealală la forţa elasică normală : Ψ Ψ Ψ + cosi cosr Ψ Ψ Ψ ρc ρc Se şie că produsul dinre forţă şi vieză ese egal cu puerea insananee. În aces sens, cele două relaţii de coninuiae ne asigură că puerea preluaă de unda refracaă ese egală cu puerea rezulană ransferaă de undele incidenă şi reflecaă. Deci, cele două condiţii de coninuiae asigură ocmai respecarea principiului conservării energiei. INFORMAŢIA DE LA PAGINA Deşi coeficienţii de refleie şi de ransmisie po fi calculaţi înr-un mod oarecum asemănăor şi în cazul undelor luminoase, condiţiile de coninuiae sun cu oul alele şi se referă la câmpurile elecric şi magneic, ale căror variaţii (oscilaţii) în imp deermină propagarea undei luminoase.

213 Pag. În coninuare vom presupune că undele plane despre care vorbim în aces subcapiol sun unde armonice, reprezenae prin ecuaţia : π π Ψ Asin Asin( ω k) λ unde paramerul k se numeşe număr de unde şi are epresia k π/λ. Vieza de oscilaţie are în aces caz epresia : Ψ [ Asin( ω k) ] ωacos( ω k) Conform definiţiei suprafeţei (fronului) de undă, eisă proprieaea că oae puncele acesuia vibrează în fază. La împărţirea undei incidene în unda reflecaă şi unda refracaă, în orice punc al suprafeţei de separaţie, faza oscilaţiei ese aceeaşi penru oae cele rei unde. De aceea, noând : Φ (ω - k), puem scrie : Ψ sinφ ; Ψ A sinφ ; Ψ A sinφ A Condiţiile de coninuiae devin : ω( A + A ) cosφcosi ωa cosφcos r ρc ( A A ) cosφ ρc A cosφ sau : ( A + A ) cosi A cos r ρc ( A A ) ρc A Cele două ecuaţii permi calcularea ampliudinilor A şi A : A A ρc ρ c ρ c cosr ρc cosr + ρ c ρc cosi cos r + ρ c cosi A cosi A cosi Cunoscând epresiile ampliudinilor, puem calcula în coninuare epresiile coeficienţilor de refleie şi de ransmisie : PRECIZAREA DE LA PAGINA În cazul în care propagarea undei are loc înr-o direcţie oarecare, în loc de mărimea scalară număr de unde se foloseşe mărimea vecorială numiă vecor de undă şi noaă cu k. Vecorul de undă are modulul egal cu π/λ, iar direcţia şi sensul său coincid cu direcţia şi sensul viezei de fază. În aces caz, faza undei ese Φ ω - k r (r raza vecoare).

214 Pag. ρ R ρ Ψ R Ψ ω A ω A cos cos Φ ρc Φ ρc cosr ρc cosr + ρ c cosi cosi Ψ c cosr ρc ω A cos Φ cosr 4ρ c Ψ cosi ρ c ω A cos Φ cosi c ρ c cosicosr ( ρ c cosr + ρ c cosi) În general, cei doi coeficienţi depind de unghiul de incidenţă (unghiul de refracţie poae fi calcula în funcţie de unghiul de incidenţă conform legii refracţiei) şi de facorii ρc. Produsul ρc dinre densiaea unui mediu elasic şi vieza de propagare a undelor în ineriorul său se numeşe impedanţă acusică. Puem discua despre rolul impedanţei acusice în ceea ce priveşe redisribuirea energiei undei incidene căre undele reflecaă şi refracaă. Dacă sunem în cazul incidenţei normale (i ), epresiile celor doi coeficienţi devin : ρc ρc R ρc + ρc 4ρcρ c ( ρ ) c + ρc Se observă că în cazul unei disproporţionaliăţi accenuae înre cele două impedanţe acusice (de eemplu, ρ c >> ρ c ) coeficienul de refleie ese aproape uniar, în vreme ce coeficienul de ransmisie se inde căre zero. Aceasa înseamnă că pracic înreaga undă incidenă se reflecă pe suprafaţa de separaţie. Dacă impedanţele acusice au valori apropiae (ρ c ρ c ) coeficienul de refleie inde căre zero, iar coeficienul de ransmisie ese aproape uniar. În aces caz refracţia ese aproape compleă. Eisă posibiliaea ca unghiul de incidenţă să aibă o asfel de valoare încâ : ρ cos r c cosi c ρ INFORMAŢIA DE LA PAGINA În defecoscopia ulrasonoră ese necesară recerea unui ulrasune prin suprafaţa de separaţie înre două corpuri solide. În realiae, aces proces ese unul care implică rei medii : cele două solide şi sraul de aer (chiar foare subţire) care le separă. Aşa cum am arăa mai sus, aerul având impedanţă acusică foare scăzuă, deermină refleia aproape oală a ulrasuneului în mediul de provenienţă. Penru a mări coeficienul de ransmisie, în pracică, suprafeţele celor două solide sun îmbinae prinr-un sra de unsoare (de eemplu, parafină).

215 Pag. 3 În aces caz, ampliudinea undei reflecae A devine nulă, ceea ce înseamnă că înreaga energie puraă de unda incidenă ese ransferaă undei refracae. Condiţia care rebuie îndepliniă de unghiul de incidenţă penru ca refracţia să fie oală ese urmăoarea : c ρ c ( sin r) ρ c ( sin i) ρ c sin i ρc ( sin i) c sau : sin i c c ρ ρ Eisă perechi de maeriale penru care epresia anerioară are sens maemaic. De eemplu nichelul şi oţelul au valori ale modulului lui Young pracic egale ( N/m ) şi densiăţile ρ 89 kg/m 3, respeciv ρ 78 kg/m 3, unghiul i fiind în aces caz apropia de 45. Eaminând epresia ampliudinii undei reflecae, observăm că aceasa are valori poziive dacă ρc cos r > ρc cosi, respeciv valori negaive în caz conrar. Deoarece ampliudinea ese consideraă în general o mărime poziivă, semnul ei negaiv poae fi ransfera fazei funcţiei armonice. Adăugând sau scăzând fazei o caniae de π radiani (Φ Φ + π), semnul funcţiei armonice se schimbă în opusul său. La incidenţă normală salul de fază are loc dacă ρc < ρ c, adică la refleia pe suprafaţa de separaţie dinre un mediu cu impedanţă acusică mai mică şi un mediu cu impedanţă acusică mai mare. În asemenea siuaţii, se obişnuieşe să se spună că în urma refleiei are loc o pierdere de drum egală cu o semilungime de undă. Nu am discua în aces subcapiol ce se înâmplă în cazul refleiei oale, adică aunci când unghiul de incidenţă ese mai mare sau egal decâ unghiul limiă. Fără a recurge la calcule, voi menţiona că în acese cazuri apare o undă de suprafaţă, care imprimă oscilaţii la inerfaţa dinre mediul al doilea şi primul mediu, în direcţie paralelă cu suprafaţa de separaţie. Acese oscilaţii de suprafaţă nu ransferă energie, moiv penru care înreaga energie a undei incidene ese preluaă de unda reflecaă, jusificându-se asfel iulaura de refleie oală. c c ρ ρ INFORMAŢIA DE LA PAGINA 3 Undele luminoase sun unde ransversale. Dacă oscilaţia luminoasă are loc în planul de incidenţă, refracţia oală se produce penru un unghi de incidenţă, numi unghiul Brewser : g i B c /c. În aces caz, se face remarca un fenomen fizic numi polarizare prin refleie. Dinre aplicaţiile pracice larg răspândie ale polarizării luminii puem amini parbrizele de auomobil sau ochelarii de soare polarizanţi.

216 Pag INERFERENŢA Densiaea medie de energie, inensiaea undei unde: Unda plană armonică ransversală poae fi descrisă de ecuaţia : Ψ A sin π λ Ψ ese vecorul deplasare, considera ca funcţie de undă A ese ampliudinea undei ese perioada undei λ ese lungimea de undă, cu λ c c ese vieza de fază a undei ese disanţa faţă de sursa undei ese momenul de imp Înr-un punc fia din spaţiu are loc o oscilaţie de ecuaţie : π π Ψ A sin + ϕ cu ϕ cons λ Densiaea medie de energie a undei poae fi calculaă cu epresia : w () wd Densiaea de energie a unei unde depinde vieza de oscilaţie a pariculelor mediului elasic conform relaţiei urmăoare : Rezulă : Ψ 4π π π w ρ ρ A cos ρω A cos λ ( ω + ϕ ) PRECIZAREA DE LA PAGINA 4 Rezulae asemănăoare se obţin şi în cazul undelor luminoase. Diferenţa ese aceea că în loc să vorbim despre oscilaţii ale unor punce maeriale, luăm în consideraţie variaţiile periodice ale câmpurilor elecric şi magneic.

217 Pag. 5 sau : w ρω A cos ( ω + ϕ ) ρω A d + cos ( ω + ϕ ) d w ρω A ρω A d cos ρω A ( ω + ϕ ) d Penru că media pe o perioadă a unei funcţii armonice ese nulă, ne rămâne : ρω A w adică : densiaea medie de energie a undei ese proporţională cu densiaea mediului, cu păraul pulsaţiei undei şi cu păraul ampliudinii undei. Vom numi în coninuare densiaea medie de energie a undei inensiae a perurbaţiei locale şi o vom noa cu I. În cele ce urmează ne va ineresa în special fapul că inensiaea perurbaţiei ese proporţională cu păraul ampliudinii undei : I ~ A În sens energeic, prin inensiaea unei unde se înţelege media emporală a densiăţii curenului de energie, adică valoarea medie a energiei ransferae de undă în uniaea de imp, normal prin uniaea de suprafaţă: A ρcω I J cw ci După cum reiese din formula de mai sus inensiaea perurbaţiei locale şi inensiaea undei sun direc proporţionale, facorul de proporţionaliae fiind vieza de fază a undei. PRECIZAREA DE LA PAGINA 5 De mule ori, prin inensiaea unei unde se înţelege media emporală a păraului funcţiei de undă. Cum amineam anerior, eisă mai mule mărimi fizice a căror variaţie în imp şi spaţiu să poaă fi folosiă ca funcţie de undă. Semnificaţie fizică, cel puţin în coneul de faţă, au doar cele două inensiăţi definie mai sus şi referioare la mărimi energeice.

218 Pag Caracerisicile şi condiţiile de producere ale inerferenţei Fenomenul de inerferenţă poae fi caraceriza asfel : Ese observabil înr-o zonă a spaţiului unde se suprapun două sau mai mule unde. În câmpul de inerferenţă (adică zona de suprapunere a undelor) ampliudinea de oscilaţie a pariculelor mediului elasic depinde de poziţie. În funcţie de poziţie, inensiaea perurbaţiei locale variază înre o valoare minimă şi una maimă. În cazul în care rezulanul inerferenţei poae fi vizualiza, se remarcă curbe de-a lungul cărora ampliudinea vibraţiei ese aceeaşi, ieşind în evidenţă curbele corespunzăoare maimelor sau minimelor ampliudinii. Acese curbe se mai numesc franje de inerferenţă. Penru a eplica fenomenul de inerferenţă se consideră că în fiecare punc al câmpului de inerferenţă are loc compunerea vecorială a deplasărilor deerminae de cele două unde. Asfel, deplasarea rezulană în puncul de suprapunere al undelor ese : Ψ Ψ + Ψ Densiaea de energie w ese : w Ψ ρ Ψ Ψ + Ψ + Ψ Prin mediere în imp rezulă : w ρ Ψ Ψ + Ψ + Ψ Ψ PRECIZAREA DE LA PAGINA 6 Inerferenţa ese un fenomen care se poae produce aâ în cursul propagării undelor mecanice, câ şi a celor luminoase. De aceea, o ce se discuă în coninuare despre inerferenţă ese valabil în ambele cazuri.

219 Pag. 7 Dacă ermenul Ψ Ψ ese nul inerferenţa nu se observă penru că inensiaea perurbaţiei locale va fi doar simpla însumare a inensiăţilor celor două perurbaţii( I I + I ), iar franjele de inerferenţă nu-şi fac apariţia. Din aces moiv ermenul Ψ Ψ se numeşe ermen de inerferenţă. Prima condiţie penru ca ermenul de inerferenţă să fie nenul ese aceea ca viezele de oscilaţie Ψ şi ale celor două unde să nu fie perpendiculare una Ψ pe cealală. Rezulă că şi direcţiile de vibraţie rebuie să nu fie perpendiculare înre ele. Luând în discuţie unde plane armonice ransversale : π π Ψ A sin + ϕ cu ϕ + ϕ cons λ vieza de oscilaţie a unui punc maerial al mediului ese : Ψ π π A cos + ϕ Vom considera în coninuare că vecorii vieză de oscilaţie sun paraleli : Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ În consecinţă : Ψ Ψ Ψ Ψ 4π A A cos π + ϕ cos π + ϕ sau : Ψ, cos π + ϕ cos Ψ 4π A A, unde, ese perioada comună a celor două unde:, n n. Observând că : π + ϕ d INFORMAŢIA DE LA PAGINA 7 Inerferenţa luminii ese un fenomen care se poae remarca cu uşurinţă în realiaea de zi cu zi. Culorile pe care le prezină peele de ulei răspândie pe suprafaţa apei sun un eemplu de franje de inerferenţă.

220 Pag. 8 + ϕ + ϕ + π + ϕ + ϕ π + ϕ π + ϕ π cos cos cos cos noând ϕ + ϕ Φ ϕ ϕ Φ + ; şi considerându-le consane în imp, rezulă două ipuri de soluţii : a) : ( ) [ ] ( ) [ ] 4 4 π Φ +Φ + π π Φ +Φ π π + π +Φ + π π +Φ π π sin n n sin sin n n sin A A sin sin A A,,, Ψ Ψ Deci : dacă perioadele celor două unde sun diferie, ermenul de inerferenţă ese nul! b) : ( ) Φ π π Φ π + Φ Φ π + Φ π + Φ π cos A A sin sin cos A A d cos d cos A A Ψ Ψ sau : INFORMAŢIA DE LA PAGINA 8 Inerferenţa undelor elecromagneice ese o cauză care poae influenţa caliaea ransmisiilor de radio sau eleviziune. Din aces moiv, eisă regulamene inernaţionale şi naţionale care limiează frecvenţele de ransmisie şi raza de acţiune a emiţăoarelor.

221 Pag. 9 ( ) Ψ Ψ π π 4 A A cos + ϕ ϕ λ Se observă că de aceasă daă ermenul de inerferenţă ese, în general, nenul. Deci o ală condiţie necesară penru a avea loc inerferenţa ese ca undele care inerferă să aibă perioade (sau frecvenţe) egale. De asemenea, condiţia ca ϕ şi ϕ să fie consane în imp, ese puţin probabil să fie îndepliniă de undele care provin de la două surse de oscilaţie independene, penru care ϕ ± ϕ cons. De aceea, singura posibiliae de a obţine eperimenal inerferenţa ese aceea ca undele care inerferă să provină de la aceeaşi sursă, caz în care ϕ - ϕ. În rezuma : inerferenţa ese pusă în evidenţă eperimenal dacă ermenul de inerferenţă ese nenul Ψ Ψ. Penru ca aceasă condiţie să fie îndepliniă rebuie verifica un grup de crierii, care sun urmăoarele : oscilaţiile să aibă direcţii paralele perioadele de oscilaţie să fie egale undele care inerferă să fie generae de o singură sursă de oscilaţii Aces grup de crierii poară denumirea generică de condiţiile de coerenţă, asfel încâ, pe scur, facem afirmaţia : Penru ca două unde să inerfereze rebuie ca ele să fie coerene. Să considerăm acum unde coerene care de la sursă până în puncul de înâlnire au parcurs drumurile, respeciv. În aces caz ermenul de inerferenţă are epresia : Ψ Ψ Şiind că ω π/, observăm că : ( ) π π 4 A A cos λ COMENARIUL DE LA PAGINA 9 Fapul că ermenul de inerferenţă nu depinde de imp (şi deci ese doar o mărime locală) nu înseamnă că oscilaţiile puncelor maeriale ale mediului elasic înceează! Ceea ce depinde doar de poziţie şi nu de imp ese doar ampliudinea de oscilaţie.

222 Pag. 4π 4 ρ A A ρ ω A A ρω A A w w w w 4 rezulând : Ψ Ψ w w π( ) cos ρ λ În acese condiţii: π( ) I I + I + II cos λ În funcţie de valoarea diferenţei de drum - puem obţine două siuaţii ereme : π π dacă cos kπ kλ, k Z aunci : λ λ ( I ) I I + + I + II I Dacă diferenţa de drum ese egală cu un număr înreg de lungimi de undă aunci se obţine un maim de inerferenţă, inensiaea perurbaţiei fiind mai mare decâ suma inensiăţilor perurbaţiilor celor două unde. π π cos λ λ dacă ( + ) π ( + ) Z aunci : I I k k ( I ) + I II I λ, k Dacă diferenţa de drum ese egală cu un număr semiînreg de lungimi de undă aunci se obţine un minim de inerferenţă, inensiaea perurbaţiei fiind mai mică decâ suma inensiăţilor perurbaţiilor celor două unde. În paricular, dacă I I, maimele de inerferenţă au o inensiae de două ori mai mare decâ simpla sumă a inensiăţilor undelor, iar minimele de inerferenţă sun nule. IDEEA DE LA PAGINA În paricular, posibiliaea de a obţine minime de inerferenţă conduce la siuaţii aparen paradoale : înâlnirea a două zgomoe poae avea ca rezula linişea şi înâlnirea a două radiaţii luminoase poae avea ca rezula înunericul! Cu oaă ciudăţenia acesor siuaţii, ele po fi uilizae în pracică, de pildă, la aenuaoarele acive de zgomo sau la sraurile anirefle depuse pe lenilele aparaelor foografice.

223 Pag. În câmpul de inerferenţă are loc o variaţie coninuă a inensiăţii perurbaţiei înre puncele de maim şi puncele de minim. Locul geomeric al puncelor din câmpul de inerferenţă care au inensiăţi de perurbaţie egale formează o curbă denumiă franjă de inerferenţă. Franjele de maim de inerferenţă alernează cu cele de minim, formându-se (în cazul în care acese sun vizibile) o figură caracerisică, cu aspec sria. Fenomenul de inerferenţă nu presupune crearea sau disrugerea de energie, cum ar lăsa impresia eisenţa maimelor şi minimelor de ampliudine, ci doar simpla redisribuire a energiei undelor ce inerferă Cazuri pariculare de inerferenţă Inerferenţa undelor ransversale provenind de la două surse punciforme de oscilaţii Să ne imaginăm un oscilaor armonic care vibrează în plan verical. Oscilaorului îi sun aaşae două ije care aing suprafaţa lichidului conţinu înr-o avă orizonală. Vibrând, ijele generează la suprafaţa lichidului unde ransversale, cu fronuri de unde circulare. La disanţe suficien de mari faţă de cele două surse de oscilaţii, undele care se propagă la suprafaţa lichidului po fi aproimae cu unde plane. Aceeaşi aproimaţie ese valabilă şi dacă undele ar fi unde longiudinale. Mai mul, dacă în cazul undelor ransversale direcţiile de oscilaţie ale pariculelor mediului sun paralele oricare ar fi disanţa faţă de sursele de oscilaţii, în cazul undelor longiudinale, direcţiile oscilaţiilor sun pracic paralele la disanţe mari faţă de sursele de oscilaţie. COMENARIUL DE LA PAGINA Eperienţa descrisă la aceasă pagină foloseşe un singur resor elasic, la care sun aaşae două ije. Vă pueţi înreba de ce nu se folosesc două resoruri idenice, fiecare cu ija lui. Răspunsul ese acela că nu po eisa două resoruri absolu idenice şi, prin urmare, frecvenţele lor de oscilaţie nu ar fi riguros egale, ceea ce ar conduce la nerespecarea condiţiei de coerenţă.

224 λ << a << D S S a Puem observa că : r D r O Pag. P -a/ +a/ r r - r a r D + + a r D + Scăzând cele două relaţii obţinem : Disanţa a dinre cele două surse de oscilaţie ese mul mai mică decâ disanţa D dinre planul surselor şi planul de observaţie P (a << D). În planul de observaţie, disanţa faţa de aa de simerie,, ese şi ea mică în comparaţie cu disanţa de la planul surselor la planul de observaţie ( << D). Rezulaul inerferenţei înr-un punc al planului de observaţie depinde de valoarea diferenţei de drum dinre undele care se înâlnesc în acel punc : a a r r + a Cum a, << D puem face aproimaţia : r r ( r r)( r + r) r D Rezulă : a r D Penru ca în puncul considera să se formeze un maim de inerferenţă, ese necesar ca diferenţa de drum să fie egală cu un număr înreg de lungimi de undă : r kλ Din cele două relaţii se găseşe epresia coordonaelor franjelor de maim de inerferenţă din planul de observaţie : INFORMAŢIA DE LA PAGINA Echivalenul în opică al dispoziivului mecanic prezena aici ese dispoziivul lui Young. Acesa consă dinr-un paravan, în care sun pracicae două fane paralele, lungi, apropiae şi erem de înguse, care lasă să reacă lumina ce provine de la o sursă şi rece prinr-un filru colora. Franjele de inerferenţă se po vedea pe un ecran plasa în spaele paravanului.

225 Pag. 3 k D k λ a Observăm că disanţa dinre două maime consecuive ese : D i ( k ) k D D k+ k + λ λ λ a a a Disanţa dinre două franje succesive de maim de inerferenţă (numiă inerfranjă) ese o consană care depinde de lungimea de undă şi de dimensiunile geomerice ale dispoziivului inerferenţial. În mod analog se po calcula coordonaele franjelor de minim de inerferenţă, rezulând : λd ' k k + a Disanţa dinre două franje succesive de minim de inerferenţă ese aceeaşi ca şi disanţa dinre două franje de maim de inerferenţă Inerferenţa înre undele care suferă refleii şi refracţii muliple Vom discua în cele ce urmează ceea ce i se înâmplă prin divizarea repeaă a ampliudinii unei unde elasice la suprafaţa de separaţie dinre două medii elasice, consecuiv I refleiei sau refracţiei. h r Considerăm un sra, mărgini de două suprafeţe plan paralele, de grosime h, conţinu în ineriorul unui al mediu elasic. i Divizarea repeaă a undei incidene, prin refleie şi refracţie, are ca rezula apariţia, de o pare şi de cealală a sraului considera, a două fascicole de unde care se propagă în direcţii paralele şi sun coerene. Acese fascicole paralele po fi concenrae INFORMAŢIA DE LA PAGINA 3 Realizând eperimenal inerferenţa luminii, homas Young a adus argumenul decisiv în favoarea ipoezei naurii ondulaorii a fenomenelor luminoase. Uilizând aceasă ipoeză a puu eplica culorile care apar la suprafaţa baloanelor de săpun şi a găsi legăura dinre culoarea luminii şi lungimea de undă. În 87 a făcu şi ipoeza (confirmaă mai apoi) a caracerului ransversal al undei luminoase, eplicând polarizarea luminii. Ipoezele sale veneau în conradicţie cu afirmaţiile lui Newon (care considera că lumina ese formaă dinr-un flu de paricule având deci caracer corpuscular), moiv penru care au fos raae mulă vreme cu neîncredere de căre lumea şiinţifică. eoria sa a fos în fine accepaă şi ca rezula al cerceărilor ulerioare făcue de Augusin J. Fresnel şi François Arago, care au confirma-o.

226 Pag. 4 prin anumie mijloace înr-un singur punc, faciliându-se asfel inerferenţa undelor ce le compun. Să considerăm unda care în D puncul A se împare în undele AC şi ADB. Faza undei care ajunge în C h c ese : r r AC ϕ π λ B sau : A i i C c AC ϕ π c Faza undei care ajunge în B ese : AD + DB AD + DB ϕ π π λ c Diferenţa de fază are epresia : AD + DB AC π c ϕ ϕ π ( AD + DB) AC c c c c Deoarece c λ lungimea de undă în mediul, rezulă : π c ϕ ϕ ( AD + DB) AC λ c Observăm că : h AD DB cosr şi că : AC ABsini hg r sini Deci : π ch hsinr sini 4πhc c ϕ ϕ sin r sini λ c cos r cos r λc cos r c Conform legii refracţiei : sin i c sinr c relaţie care subsiuiă în epresia diferenţei de fază conduce la rezulaul : INFORMAŢIA DE LA PAGINA 4 În opică, echivalenul sraului cu feţe plan paralele ese lama cu feţe plan paralele. Aceasa ese confecţionaă dinrun maerial ransparen (de obicei, siclă opică) şi are caliaea de a fi foare subţire. Îndrepând spre ea un fascicul paralel de lumină albă şi roind-o asfel încâ să modificăm unghiul de incidenţă al luminii, observăm că suprafaţa ei îşi schimbă culoarea în funcţie de unghiul de roaţie.

227 Dacă ţinem con că : obţinem în final : ϕ ϕ cos r 4πhc λ c cosr ϕ ϕ sin ϕ Pag. 5 4πhc ( sin r) cosr r 4π λ c λ c c sin h c sin c ermenul de inerferenţă ese proporţional cu : 4πh c cos ϕ cos sin i λ c Rezulă că sarea de inerferenţă obţinuă în puncul de concenrare a undelor emergene depinde de valoarea unghiului de incidenţă. Unghiul de incidenţă corespunzăor formării maimelor de inerferenţă se obţine din condiţia : cos ϕ sau : 4πh c sin λ c i kπ ; i i k N De aici : c k λ i k arcsin c 4h Din epresie se observă că ordinul maim de inerferenţă k ma corespunde celui mai mic unghi de incidenţă. Valorile ordinului de inerferenţă sun limiae de urmăoarele condiţii : c k λ hc k ma pare inreaga c 4h λc c k λ h c c k pare inreaga min c λ 4h Numărul de poziţii în care poae fi ţinu sraul cu feţe plan paralele în rapor cu unda incidenă, corespunzăor obţinerii de maime de inerferenţă, ese : PROBLEMA DE LA PAGINA 5 Consideraţi cazul incidenţei normale (i ) şi c,5 c. Eprimaţi în lungimi de undă care rebuie să fie grosimea sraului penru ca în ineriorul sraului, la faţa care vine în conac cu unda incidenă să se producă un minim de inerferenţă.

228 Pag. 6 k hc h c c pare inreaga pare inreaga λ λ c Rezulă : Minimele de inerferenţă se obţin dacă : 4πh c cos ϕ sin i λ c i k ( k + ) π ; k N ( k + ) c arcsin c 6h Penru a deermina sarea de inerferenţă la compunerea undelor reflecae de sraul cu feţe plan paralele se procedează în mod asemănăor, ţinându-se seamă şi de fapul că unda incidenă în puncul I poae pierde prin refleia pe un mediu de impedanţă acusică mai mare un drum egal cu o semilungime de undă. Rezulaele obţinue sun aceleaşi ca în cazul inerferenţei undelor ransmise, cu singura deosebire că valorile corespunzăoare maimelor rebuie înlocuie cu cele corespunzăoare minimelor şi invers. Inensiaea perurbaţiei în puncul de i concenrare a undelor reflecae sau refracae depinde de numărul undelor care se înâlnesc acolo, precum şi de coeficienţii de refleie I h r şi ransmisie. Asfel, inensiaea pri- mei unde refracae ese I, a celei de-a doua R I, a celei de-a reia R 4 I ş.a.m.d. Am noa cu coeficienul de i ransmisie la faţa superioară a sraului cu feţe plan paralele, cu coeficienul de ransmisie la faţa inferioară şi cu R coeficienul de refleie inernă. Valoarea maimă a inensiăţii perurbaţiei se obţine dacă numărul undelor din fascicolul refraca ese foare mare şi are epresia : 4 ' I I ' ( + R' + R' +...) I R' INFORMAŢIA DE LA PAGINA 6 Lama cu feţe plan paralele poae fi folosiă penru conrolul opic al gradului de prelucrare al unor suprafeţe. Prin aces mijloc, se po pune în evidenţă denivelări de ordinul de mărime al micronului. Denivelările po fi observae graţie franjelor de inerferenţă care se formează. Dacă acesea au un caracer regula suprafaţa nu prezină denivelări. λ

229 Pag Unde saţionare În figura alăuraă pueţi observa formarea undelor saţionare în lungul unei coarde vibrane. Undele saţionare se formează în urma inerferenţei înre două unde care se propagă în aceeaşi direcţie, dar în sensuri conrare. De mule ori, aceasă siuaţie se poae înâlni în urma inerferenţei înre unda direcă şi unda reflecaă. În cazul coardei vibrane din figura alăuraă, puem înâlni rei siuaţii : a) Ambele capee ale coardei sun fie b) Unul dinre capee ese fi, iar celălal ese liber c) Ambele capee sun libere În general, capă fia înseamnă refleia pe un mediu mai dens, care ese însoţiă de un sal de fază, iar capă liber însemnă refleia pe un mediu mai puţin dens şi care se face fără modificarea fazei. Ψ, c Ψ, c O Fie undele Ψ şi Ψ care A se reflecă fără pierdere de energie în puncele O şi A. l Cele două unde se propagă cu vieze egale şi în sensuri opuse în lungul direcţiei OA. Considerăm un punc, de coordonaă, unde, la momenul, are loc suprapunerea undelor. Unda direcă Ψ ese descrisă prin epresia : π π Ψ Asin λ INFORMAŢIA DE LA PAGINA 7 Un dispoziiv eperimenal folosi în acusică şi care uilizează undele saţionare ese ubul Kund. Acesa ese un ub lung, din siclă, închis la ambele capee şi în ineriorul căruia se află un praf fin şi uşor. La unul din capee ese monaă o sursă de sune, iar celălal capă reflecă suneul. Vibraţiile aerului din ub pun în mişcare pariculele de praf şi le aşează în grămezi similare ca înfăţişare cu coarda din foografie.

230 Pag. 8 iar unda reflecaă în O are epresia : π π Ψ A sin ( l ) + ϕ λ unde ϕ ese egal cu zero dacă refleia se face pe un mediu mai puţin dens şi egal cu π radiani dacă refleia se face pe un mediu mai dens. Drumul parcurs de unda reflecaă ese calcula ca suma dinre lungimea drumului dus (l) şi lungimea drumului înors (l - ) Considerăm unde ransversale, direcţiile oscilaţiilor imprimae fiind paralele. În acese condiţii, elongaţia rezulană în puncul de coordonaă ese egală cu suma elongaţiilor produse de cele două unde : Ψ Ψ + Ψ Rezulă : π π π π Ψ A sin + sin ( l ) + ϕ λ λ sau : π ϕ π π ϕ Ψ A cos ( l ) sin l + λ λ Rezulaul araă că în puncul considera are loc o oscilaţie armonică, a π ϕ cărei ampliudine A cos ( l ) λ depinde de poziţia. În puncul de coordonaă l, ampliudinea oscilaţiei ese maimă şi egală cu A dacă ϕ, respeciv nulă dacă ϕ π. Cazul a) În aces caz, ampliudinea oscilaţiilor rebuie să fie nulă aâ în O câ şi în A. Condiţia ca ampliudinea să se anuleze în A ese ϕ π. În acese condiţii, epresia ampliudinii devine : π π π A Acos ( l ) Asin ( l ) λ λ Ampliudinea se anulează şi în O (unde ) doar dacă ese îndepliniă condiţia : π λ l nπ ; n N l n n λ INFORMAŢIA DE LA PAGINA 8 Unde saţionare, sub formă de valuri, po fi observae şi în bazine acvaice închise (lacuri) sau parţial închise (golfuri, poruri). Asemenea valuri au fos sudiae pe lacul Geneva din Elveţia. Caracerisica lor ese aceea că perioada de oscilaţie nu depinde de cauza iniţială care a perurba echilibrul masei de apă, dar depinde de dimensiunile bazinului acvaic şi de direcţia de propagare a valurilor. Până şi apa Mării Nordului are o perioadă de oscilaţie de 36 de ore! Chiar şi acasă pueţi obţine asemenea valuri înr-o avă de chec umpluă parţial cu apă.

231 Pag. 9 n 3 n n l În cazul coardei fiae la ambele capee, undele saţionare se formează doar dacă lungimea coardei ese egală cu un număr înreg de semilungimi de undă : λn l n. Fiecărei lungimi de undă λ n îi corespunde o anumiă frecvenţă de oscilaţie : c c c λ n cn νn n νn λn l Frecvenţele ν n se numesc frecvenţele proprii de oscilaţie ale coardei vibrane. Cea mai joasă dinre acese frecvenţe corespunde lui n şi se numeşe frecvenţa fundamenală. Conform celor arăae mai sus, ampliudinea oscilaţie capăă urmăoarea epresie maemaică : π A Asin ( l ) Asin π n λn l Puncele de pe coardă unde ampliudinea de oscilaţie ese nulă se numesc noduri şi corespund condiţiei : n' π n n' π ; n' N, n' n n' l l n Disanţa înre două noduri ese : n' n' l λn n' n' l n n n Nodurile undelor saţionare sun echidisane. Disanţa înre două noduri succesive ese egală cu o semilungime de undă. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 9 În cazul unei coarde elasice, vieza de propagare a undelor ransversale ese proporţională cu radicalul ensiunii din coardă. Crescând ensiunea, vieza de fază creşe, iar frecvenţele proprii de oscilaţie îşi măresc valorile proporţional cu vieza. Aces fap eplică de ce acordarea insrumenelor cu coarde se face prin mărirea sau micşorarea ensiunii din acesea.

232 Pag. 3 Eisă şi punce ale coardei care oscilează cu ampliudine maimă. Ele se numesc venre şi sun poziţionae asfel încâ ese îndepliniă condiţia : π n' + π n ( n' + ) ; n' N, n' n n' l l n Cazul b) Disanţa dinre două venre succesive ese egală o cu o semilungime de undă. Ca poziţie, venrele se găsesc eac la jumăaea disanţei dinre două noduri. În aces caz, ampliudinea oscilaţiilor rebuie să fie nulă în A şi maimă în O. Condiţia ca ampliudinea să se anuleze în A ese ϕ π. În acese condiţii, epresia ampliudinii devine : π π π A Acos ( l ) Asin ( l ) λ λ Ampliudinea ese maimă în O (unde ) doar dacă ese îndepliniă condiţia : π π λ l ( n + ) ; n N l ( n + ) n λ 4 n 3 l n n În cazul coardei fiaă la un capă şi liberă la celălal, undele saţionare se formează doar dacă lungimea coardei ese egală cu un număr impar de sferuri de λn l n +. lungimi de undă : ( ) 4 Şi în aces caz fiecărei lungimi de undă λ n îi corespunde o anumiă frecvenţă de oscilaţie : c c c λ n cn νn ( n +) νn λn 4 l Înre venre şi noduri eisă disanţe similare cu cele din cazul preceden. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 3 Rezonaoarele sau camerele de rezonanţă sun spaţii închise în care se po forma unde saţionare. În acusică, rolul rezonaorului ese acela de a amplifica suneul. Cuia unei viori ese o caviae rezonană, dar şi laringele nosru are un asemenea rol. imbrul unui insrumen muzical sau al vocii umane depinde de dimensiunile caviăţii rezonane.

233 Pag. 3 Cazul c) În aces caz, ampliudinea oscilaţiilor rebuie să fie maimă aâ în O câ şi în A. Condiţia ca ampliudinea să fie maimă în A ese ϕ. În acese condiţii, epresia ampliudinii devine : π A Acos ( l ) λ Ampliudinea ese maimă şi în O (unde ) doar dacă ese îndepliniă condiţia : π λ l nπ ; n N l n n λ n 3 n n l În cazul coardei libere la ambele capee, undele saţionare se formează doar dacă lungimea coardei ese egală cu un număr înreg de semilungimi de undă : λn l n. Lungimilor de undă proprii λ n le corespund frecvenţele proprii de oscilaţie : c c ν n n λn l Înre venre şi noduri eisă disanţe similare cu cele din cazurile precedene. În final, un comenariu în privinţa ransferului de energie. Dacă ampliudinile celor două unde sun egale, cum şi viezele lor de fază sun egale, rezulă că inensiăţile sun de asemenea egale în modul. Sensurile de propagare fiind opuse, înseamnă că densiaea oală a curenului de energie ese nulă. Deci, în lungul coardei elasice nu se înregisrează un ransfer ne de energie. Cu oae acesea, inensiaea perurbaţiei nu se anulează şi ea. Aceasa are valori maime în puncele corespunzăoare venrelor şi minime în drepul nodurilor. Densiaea de energie nu variază în imp, ceea ce însemnă că repariţia energiei în aces sisem fizic ese saţionară. De aici vine şi denumirea de unde saţionare. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 3 Un aspec curios ese fapul că imbrul vocii unei persoane depinde de compoziţia aerului pe care-l respiră aceasa. Aşa cum amineam deja, laringele are rolul unei caviăţi rezonane. Frecvenţa fundamenală a vocii noasre depinde de lungimea laringelui şi de vieza de propagare a suneului (aproimaiv 34 m/s). Dacă înlocuim azoul din aer cu heliu, se obţine un amesec respirabil (uiliza de scafandri), dar în care vieza suneului creşe de două - rei ori. Prin urmare, frecvenţa fundamenală creşe şi ea în acelaşi rapor, iar o voce gravă se ransformă înr-o voce neaşepa de subţire.

234 Pag DIFRACŢIA Caracerizarea difracţiei Fenomenul de difracţie poae fi caraceriza asfel : Ese observabil ca urmare a recerii undelor prin orificii de mici dimensiuni sau în cazul în care în calea lor se plasează obsacole de mici dimensiuni. Se manifesă prin aceea că fronul de undă după recerea de obsacol are dimensiuni mai mari decâ ale obsacolului şi se poae consaa apariţia franjelor de inerferenţă. Un eemplu de difracţie poae fi văzu în figura alăuraă. Ese vorba de undele plane ransversale de la suprafaţa unui lichid (le pueţi remarca pe laura A B sângă a celor două imagini) care rec prin orificiile A sau B (A fiind mul mai îngus decâ B). Se observă că în cazul orificiului mai îngus unda emergenă ese aproape o undă circulară. În cazul orificiului mai larg, puem disinge franjele de inerferenţă şi, în plus, sesizăm că undele emergene se împrăşie mai puţin decâ în primul caz. Baza eoreică a eplicării fenomenului de difracţie ese principiul Huygens-Fresnel. După cum se poae vedea din figurile de mai jos, în cazul recerii unei unde plane prinr-un orificiu, principiul lui Huygens permie să ne eplicăm de ce efecul de împrăşiere produs de difracţie ese mul mai accenua dacă orificiul ese îngus (cazul B), decâ dacă el ese larg (cazul A). Comparaiv (cazul C) ese prezenaă propagarea în absenţa difracţiei. PRECIZAREA DE LA PAGINA 3 Difracţia se produce aâ în cursul propagării undelor mecanice, câ şi la propagarea undelor luminoase. Consideraţiile epuse în aces capiol se po aplica inegral undelor luminoase şi sun mai degrabă specifice domeniului opicii ondulaorii, decâ domeniului undelor mecanice.

235 Pag. 33 A. Orificiu larg B. Orificiu îngus C. Propagare fără difracţie Difracţia undelor sferice (difracţia Fresnel) Să considerăm urmăoarea siuaţie : o sursă punciformă emie unde sferice Σ θ 4 în calea undelor se inerpune r un paravan, care are pracica un mic orificiu circular de rază a pe care se r 4 r + 4λ/ produce difracţia rezulaul difracţiei se observă r S O M înr-un punc M, coliniar cu sursa S şi cenrul O al orificiului a lungimea de undă λ ese mul mai mică decâ disanţele r şi r, sau raza a a orificiului. Să considerăm suprafaţa de undă sferică Σ, angenă la marginile orificiului. Funcţia de undă în puncele aflae pe suprafaţa Σ are epresia : r r Ψ( r, ) Ψ sin π ΨΣ sin π r λ λ Împărţim suprafaţa Σ în suprafeţele elemenare Σ, Σ, Σ 3,..., rasând sfere cenrae în puncul de observaţie M, ale căror raze diferă succesiv prin câe o semilungime de undă. Conform principiului lui Huygens acese suprafeţe elemenare (denumie zone Fresnel) emi unde coerene ale căror ampliudini sun proporţionale cu ariile S k ale zonelor. În plus, vom considera că ampliudinea unei unde secundare depinde de un BIOGRAFIA DE LA PAGINA 33 Augusin-Jean Fresnel (788-87). Fizician francez cu conribuţii imporane în domeniul opicii ondulaorii. A lucra ca inginer în mai mule deparamene ale Franţei. Şi-a pierdu slujba după reînoarcerea lui Napoleon din insula Elba (84). Se pare că aceasă ocazie a însemna începuul cerceărilor sale în domeniul opicii. A avu conribuţii eperimenale, realizând mai mule dispoziive inerferenţiale. Pe plan eoreic, a uiliza analiza maemaică penru a eplica rezulaele eperimenale.

236 Pag. 34 facor f k (θ k ), care, la rândul său, scade len în funcţie de unghiul θ k făcu de vecorul de poziţie al zonei Fresnel faţă de sursa S şi vecorul ei de poziţie faţă de puncul de observaţie M, anulându-se penru θ 9. Conform acesor afirmaţii, scriem : ( ) Σ Ψ θ Ψ k k k S f Unda secundară se propagă ca undă sferică, aşa încâ penru puncul M ese valabilă relaţia : λ π Ψ Ψ k k k k,m r sin r sau : ( ) λ π θ Ψ Ψ k k k k k,m r sin rr f S Oscilaţia din puncul M reprezină rezulaul compunerii uuror undelor secundare incidene : ( ) λ π θ Ψ Ψ Ψ n k k k k k n k k,m M r sin r f S r Observăm că porivi definiţiei zonelor Fresnel puem scrie : ( ) ( ) sin sin sin π λ π λ λ π λ λ r r k r k k + sau : ( ) sin sin π λ π λ r r k k Rezulă : ( ) ( ) θ λ π Ψ Ψ n k k k k k M r f S r sin r Să calculăm suprafaţa unei zone Fresnel. Se observă cu uşurinţă că aceasa poae fi aproimaă desul de precis ca fiind aria unei coroane circulare, de lăţime h k - h k : ( ) S h h k k k π Dar : PROVERBUL DE LA PAGINA 34 Nu blesema înunericul aprinde o lumânare! Proverb chinezesc

237 Pag. 35 S ( k) ( ) r r + hk rk r + k + h k r r +kλ/ h sau : k r r M r r rk + k + hk k r λ + r kλ + r + r + + h k 4 considerând λ, k << r, r, h k rezulă : rk hk S k r k rk λ hk h De aici : k- hk r hk rr k h r rk h λ λ r + r Aria zonei Fresnel ese : k k k k k S k ( ) rr kλ rr k λ rr π r+ r r+ r π λ r+ r Suprafaţa zonelor Fresnel ese consană, depinzând doar de lungimea de undă şi disanţele de la orificiu la sursa de oscilaţii şi de la orificiu la puncul de observaţie. Cu aces rezula, epresia elongaţiei în puncul M devine : n πψr λ r k ΨM sin π ( ) r + r λ k r Cu aproimaţia : r ( k ) λ + r, ne rămâne : + f ( θk ) ( k ) λ Ψ M πψ λ r k ( ) f ( θk ) n sin π r + r λ k INFORMAŢIA DE LA PAGINA 35 Difracţia ese cu aâ mai accenuaă cu câ dimensiunile obsacolului afla în calea undei sun mai apropiae de lungimea de undă. În cazul suneelor emise de un difuzor, difuzorul însuşi consiuie un obsacol. Dacă suneul ese compus dinr-un amesec de unde cu diferie lungimi de undă, difracţia ese mai pregnană penru lungimile de undă mari (respeciv, frecvenţele joase). Din aces moiv, sând în conul de umbră al difuzorului, nu vom mai percepe un sune aparen naural, ci un sune mai arificial, asemănăor celui ransmis prinr-o linie elefonică.

238 Pag. 36 sau : πψλf r f f3 f4 Ψ M sin π r + r λ f f f Inensiaea perurbaţiei în puncul de observaţie ese proporţională cu păraul ampliudinii undei : I πψλf r M sin, 3, 4, + r r π + λ Concluziile sun urmăoarele : ( f + f f )... Inensiaea perurbaţiei ese invers proporţională cu păraul disanţei dinre sursă şi puncul de observaţie, la fel ca penru o undă sferică ce s-ar fi propaga fără să înâlnească nici-un obsacol înre S şi M. Inensiaea perurbaţiei depinde de facorul : F f + f f n ( ( ) ), n, 3, 4, fn, unde f k, f k /f f(θ k )/ f(θ ). Deoarece, chiar în absenţa fanei, r k nu poae depăşi valoarea r n ma, iar puncele aflae în afara suprafeţei de undă Σ nu r r n ma conribuie la inensiaea perurbaţiei din S r r M, rezulă : M n < n ma fini Σ fn ma, Pe de ală pare, deoarece facorii f k variază len, puem face aproimaţia : fk, + fk+, fk, fk, + fk+, f k, În acese condiţii şi în absenţa fanei : f, f3, f3, f4, f5, F, nma sau : INFORMAŢIA DE LA PAGINA 36 Difracţia poae avea efece uile. Emisiunile radio în banda undelor lungi au lungimea de undă de ordinul kilomerului. Difracţia lor poae avea loc pe obsacole de acelaşi ordin de mărime. Disanţa dinre două dealuri învecinae poae consiui asfel o fană pe care are loc difracţia. Efecul ese acela că semnalul radio poae fi recepţiona şi în spaele dealurilor.

239 Pag. 37 F,n ma Rezulă că facorul F, n ma reprezină aproimaiv jumăae din conribuţia primei zone Fresnel. sau : Dar : sau : Noând cu I M inensiaea perurbaţiei din puncul M în absenţa fanei, rezulă : F Analog :, n I M πψλf 4 r + r I I 4 M F,n M f, f, f n, f n, f n, f n Cum f, puem scrie : sau : f n, n+, 3 + +, F I F ( ), n fn+, < ( + ), n+ fn+, > F M,n n [ ( ) ], n fn, I n [ ( ) f ] M n, I M /I n În funcţie de numărul de zone Fresnel în care poae fi împărţi orificiul, inensiaea perurbaţiei din puncul M variază, având maime aunci când numărul de zone ese impar şi minime penru un număr par de zone. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 37 Difracţia are şi efece supărăoare. Deşi din punc de vedere ehnic s-ar puea consrui microscoape cu puere de rezoluţie suficien de mare penru a vizualiza dealii cu dimensiuni de ordinul zecimii de micron, difracţia împiedică observarea dealiilor cu dimensiuni comparabile sau mai mici decâ lungimea de undă a luminii (circa jumăae de micron).

240 Pag. 38 Cea mai mare inensiae a perurbaţiei se obţine dacă n (adică când orificiul are o deschidere egală cu prima zonă Fresnel) : I M 4I M. Cea mai mică inensiae a perurbaţiei se obţine penru n, când I M. În plan perpendicular pe aa SM inensiaea perurbaţiei rece de asemenea prin maime şi minime. Se obţine asfel o figură de inerferenţă cu franje circulare, concenrice. Dacă numărul de zone Fresnel ese impar Număr impar de zone Fresnel Număr par de zone Fresnel în cenrul figurii se găseşe un maim, iar dacă numărul de zone Fresnel ese par, în cenru se găseşe un minim. Aunci când puncul M descrie aa SM, depărându-se de sursa S, numărul de zone Fresnel cuprinse de orificiu variază, asfel încâ inensiaea perurbaţiei se modifică, recând prin valori maime şi minime. Prin urmare, orificiul se comporă ca o lenilă mulifocală. Poziţia focarelor se poae deermina din condiţia ca raza orificiului să corespundă unui număr impar de zone Fresnel : ( n + ) rr λ r a rn r+ r ( n+ ) λr a Uneori sunem enaţi să credem că propagarea unor unde se face sub formă de raze, cel mai obişnui eemplu fiind razele de lumină. Şi ulrasuneele se bucură de o proprieae asemănăoare. Considerenele prezenae în aces subcapiol ne permi să înţelegem mai bine noţiunea de rază. Aşa cum am arăa inensiaea perurbaţiei are aceeaşi valoare în puncul M aâ în cazul în care în calea undei nu eisă nici-un obsacol, câ şi dacă orificiul din paravan are o suprafaţă egală cu jumăae din aria primei zone Fresnel. Luând r r 3,4 m, c 34 m/s şi ν MHz, diamerul orificiului ese : S rr λ rrc d 8, 5 mm π ( r + r ) ν( r + r ) Aceasă valoare poae fi consideraă ca diamerul razei ulrasonore, adică diamerul canalului prin care energia sonoră se ransmie de la sursă în puncul de observaţie. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 38 Dacă priviţi farurile unui auomobil, pueţi observa că ele nu sun asemănăoare unui simplu geam de siclă, ci prezină o serie de sriaţiuni, care-l fac oarecum opac. Dacă vă miră că proiecanul pare să se împorivească recerii luminii prin suprafaţa farului, greşiţi! Sriaţiunile oburează zonele Fresnel pare şi conribuie la focalizarea luminii la o anumiă disanţă în faţa auomobilului.

241 Pag Difracţia undelor plane (difracţia Fraunhofer) Fie o undă care înâlneşe un paravan P, perpendicular pe direcţia sa P a/ M de propagare. În paravan ese pracicaă o deschidere îngusă, drepun- z r dz z ghiulară. Înălţimea acesei deschideri r α are valoarea a. În spaele paravanului, la disanţa D se află un plan de observaţie P. a O O' Deschiderea fanei ese mul mai P -a/ D mică decâ disanţa înre paravan şi planul P, a << D, dar depăşeşe mul în mărime lungimea de undă λ. Daoriă valorii mari a disanţei D, în locul în care se află planul P, undele secundare emise de elemenele de suprafaţă ale fanei po fi considerae unde plane. Vom discua mai înâi undele secundare generae de o fâşie de înălţime dz a fanei, aflaă la disanţa z de cenrul aceseia. Conform principiului Huygens-Fresnel, ampliudinea undei secundare ese proporţională cu aria suprafeţei elemenare ce o generează : A Aldz f unde: - A ese ampliudinea undei plane ce ajunge la fană - l ese lungimea fanei - dz ese înălţimea elemenului de suprafaţă - f ese un facor de proporţionaliae a cărui valoare poae fi consideraă egală penru oae undele secundare emise în spaţiul fanei. Conribuţia acesei unde secundare în puncul M ese : r r dψ M Asinπ A l f sinπ dz λ λ Observăm că : ( ) r D + z D + z+ z r z+ z Considerând z <<, D rezulă : BIOGRAFIA DE LA PAGINA 39 Joseph von Fraunhofer (787 86). Fizician german care a avu conribuţii la dezvolarea şiinţei specroscopiei. A sudia liniile negre care apar în specrul Soarelui (liniile Fraunhofer). Acesea se daorează absorbţiei unor anumie radiaţii din specrul Soarelui de căre amosfera Pămânului. Eperimenal, a urmări fabricarea de sicle opice de caliae, a îmbunăăţi meodele de şlefuire a lenilelor şi a consrui numeroase aparae opice. A lucra la Unzschneider Opical Insiue din Benedicbeuern. Ajunge membru al Academiei de Şiinţe din Munchen.

242 r Pag. 4 r z r r r Deoarece z << r se po face aproimaţiile : z r r r z r z sin α r r În acese condiţii : r z sinα dψ M Al f sin π + dz λ λ Ca rezula al inerferenţei uuror undelor secundare, elongaţia oscilaţiei în puncul M ese : a / r z sinα ΨM A l f sin π + dz λ λ a / Prin inegrare se obţine : Ψ M λ A l f cos πsinα π r λ z z sinα + λ a / a / Alf λ r a sinα r a sinα ΨM cosπ cosπ + πsinα λ λ λ λ Alf λ πa sinα r ΨM sin sinπ πsinα λ λ Ampliudinea oscilaţiei din M ese : Alf λ πa sinα A M sin πsinα λ Inensiaea perurbaţiei în puncul M ese proporţională cu păraul ampliudinii de oscilaţie : Alf λ πa sinα I M ~ sin πsinα λ Noând cu I inensiaea perurbaţiei în puncul O', se obţine : I λ πa sinα ~ lim lfa α ( A lfa) sin ( A ) πa sinα λ PRECIZAREA DE LA PAGINA 4 Penru a calcula limia de mai sus am recurs la formula : sin lim

243 Rezulă : Pag. 4 M λ sin I πa sinα I.5 λd/a -3λD/a -λd/a λd/a 3λD/a -λd/a λd/a a πa sinα λ Având în vedere că : sinα r D puem scrie în final epresia inensiăţii perurbaţiei la disanţa de cenrul planului de observaţie : πa sin I λd M I πa λd Reprezenând grafic raporul I M /I se observă că inensiaea perurbaţiei ese maimă în puncul O'. Pe măsură ce disanţa faţă de puncul O' creşe, inensiaea perurbaţiei variază periodic şi ese caracerizaă de prezenţa maimelor şi minimelor. Maimul cenral ese de două ori mai la decâ maimele secundare. Inensiaea din puncele de maim scade invers proporţional cu, ceea ce face observabile doar un mic număr de franje de difracţie secundare. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 4 Specroscopia opică urmăreşe descompunerea luminii în culorile componene. În sudiile sale de opică, Newon a obţinu specrul luminii solare uilizând dispersia luminii în prisme de siclă. Fraunhofer s-a folosi de reţelele de difracţie, care consau din succesiunea în număr foare mare de fane ransparene şi obsacole opace liniare, subţiri şi echidisane.

244 Pag. 4 Rezulaul difracţiei ese ne diferi de ceea ce ar rebui să se observe în planul P dacă unda s-ar propaga în linie dreapă, şi anume o disribuţie consană a inensiăţii de perurbaţie înr-o zonă cenraă în O şi de lăţime a. Poziţia minimelor de perurbaţie corespunde condiţiei : πa λ sin k D k ; k Z / {} λd a iar poziţia maimelor secundare corespunde condiţiei : πa λd sin k ( k + ) ; λd a k Z Disanţa dinre două minime sau două maime consecuive (inerfranja), ese : D i ( k ) k D D k+ k + λ λ λ a a a Rezulă că franjele de difracţie sun paralele şi echidisane. Analiza eoreică pe care am făcu-o acesui ip de difracţie ne permie să precizăm mai clar ce înseamnă afirmaţia : difracţia se produce aunci când unda înâlneşe obsacole de mici dimensiuni. Problema consă în a preciza ce înseamnă ermenul mici dimensiuni. Penru a răspunde vom observa mai înâi că difracţia devine evidenă aunci când lăţimea maimului cenral ese mai mare decâ lăţimea fanei : λd cd > a a < λd a ν Rezulă că penru a observa fenomenul de difracţie dimensiunea obsacolului rebuie să fie mai mică decâ media geomerică dinre lungimea de undă şi disanţa până la puncul de observare. În cazul unui ulrasune cu λ,34 mm, penru D,7 m, rezulă : a <, , 34mm INFORMAŢIA DE LA PAGINA 4 O aplicaţie pracică a difracţiei, cunoscuă încă din anichiae, ese camera obscură. Aceasa ese o incină cu pereţi înnegriţi, prevăzuă cu un orificiu circular, de mici dimensiuni. Ca rezula al difracţiei luminii, pe pereele opus orificiului (singurul alb) se formează imaginea răsurnaă a peisajului din eerior. Camera obscură a folosi picorilor care rasau conururile imaginii, dar şi la observarea eclipselor de Soare fără pericol de văămare a ochilor. Numele de cameră obscură ese folosi şi asăzi penru aparaele de foografia, dar la acesea micul orificiu care facilia difracţia a fos înlocui prin lenila obieciv.

245 Pag DISPERSIA UNDELOR c Perurbaţie naurală Perurbaţiile care se produc în mod naural înr-un mediu elasic au caliaea de a fi procese bine limiae în imp şi spaţiu. Asfel, după cum se poae vedea în figura alăuraă, sarea de perurbare durează un inerval de imp înr-un punc de coordonaă, iar einderea spaţială a câmpului de perurbaţie ese. Fără îndoială, epresia maemaică a funcţiei de undă corespunzăoare propagării acesei perurbaţii nu ese deloc simplă. În maemaică, prin analiză Fourier se araă că epresia maemaică a funcţiei de undă care caracerizează o perurbaţie periodică se poae scrie ca o suprapunere de unde armonice plane, numiă serie Fourier, având forma : Ψ, A + A sin jω k + ϕ ; j ( ) ( ) N j j unde ω ese pulsaţia armonicei fundamenale (corespunzăoare lui j ), iar k j sun numerele de undă asociae armonicei fundamenale (penru j ) şi armonicelor de ordin superior (j,3 ). j j Epresia maemaică a funcţiei de undă care caracerizează o perurbaţie neperiodică se poae scrie ca o suprapunere de unde armonice plane, numiă inegrală Fourier, având forma : Ψ (,) A( ω) sin( ω k( ω) ) Acese compuneri de unde plane armonice se mai numesc pachee de unde sau renuri de unde. dω COMENARIUL DE LA PAGINA 43 Aducem aici penru prima oară în discuţie fapul că fenomenele ondulaorii sun caracerizae de einderi spaţiale sau emporale limiae. Până în aces punc nu am lua în considerare aces aspec. Am greşi oare? Răspunsul ese unul nuanţa : penru a puea descrie maemaic un proces real, rebuie făcue anumie simplificări sau idealizări. Acesea po afeca mai mul sau mai puţin eaciaea rezulaului. De eemplu, dacă scara de imp asociaă unui fenomen (cum ar fi perioada oscilaţiei) ese foare mică comparaiv cu duraa procesului ondulaoriu, puem neglija fără a greşi prea mul fapul că acesa are ouşi o eindere emporală limiaă.

246 Pag. 44 În funcţie de ponderea pe care o deţin ampliudinile în seria sau suma Fourier, funcţia de undă poae avea forme diferie. Penru a eemplificare, să compunem oscilaţia fundamenală : y, sin (corespunzând puncului de coordonaă ) cu oscilaţiile : y 5, sin y,5 sin 3 y 3,5 sin 4 y 4,65 sin 5 z,65 sin z,5 sin 3 z 3,5 sin 4 z 4 5, sin 5 obţinând urmăoarele reprezenări grafice (curba puncaă ese armonica fundamenală) : Eemplu de compunere Fourier a undelor plane armonice Se observă că deşi pulsaţiile oscilaţiilor care alcăuiesc perurbaţia compleă sun aceleaşi, rezulaul compunerii acesora ese comple diferi, depinzând de ampliudinile armonicelor. Mai rebuie remarca că forma perurbaţiei rezulane ese o funcţie periodică de imp, perioada fiind egală cu perioada armonicei fundamenale. Daele eperimenale araă că, în general, vieza de fază a unei unde plane armonice poae depinde de frecvenţa sau pulsaţia undei. Dependenţa viezei de fază a unei unde de frecvenţa sau pulsaţia sa se numeşe dispersie. Gradul în care aceasă dependenţă ese mai mare sau mai mică ese funcţie de naura mediului prin care se propagă unda. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 44 De eemplu, în apă, vieza de fază a luminii roşii (λ 67 nm) ese de 5564 km/s, iar vieza de fază a luminii violee (λ 45 nm) ese de 388 km/s. Aceasa înseamnă că dacă două semnale luminoase, unul roşu şi celălal viole, ar fi emise simulan, după o secundă de propagare semnalul roşu ar ajunge cu aproape km mai depare decâ cel viole.

247 Pag. 45 Dispersia are consecinţe asupra formei pacheelor de unde. Numărul de undă k depinde de vieza de fază : π π ω k λ c( ω) c( ω) Înr-un punc de coordonaă, armonica de ordinul j are epresia : jω ( ) ( ) ( ) y j Aj sin jω k j Aj sin jω Aj sin jω c jω c jω sau : y A sin jω τ j j j ( ( )) rezulând că faza iniţială depinde de valoarea lui j. Aceasa înseamnă că oscilaţiile care compun pacheul de unde vor avea în puncul de coordonaă faze iniţiale diferie, chiar dacă în puncul de coordonaă fazele lor iniţiale erau egale. Penru eemplificare, să reluăm unul dinre eemplele precedene şi să vedem care ese rezulaul dispersiei asupra formei pacheului de unde. Cu daele : În puncul de coordonaă În puncul de coordonaă y, sin z, sin (,) y 5, sin z 5, sin (,9) y,5 sin 3 z,5 sin 3(,8) y 3,5 sin 4 z 3,5 sin 4(,7) y 4,65 sin 5 z 4,65 sin 5(,6) graficul alăura ne oferă forma pacheului de unde în puncul de coordonaă (linia coninuă) sau în puncul de coordonaă (linia puncaă). Se remarcă că deşi perioada oscilaţiei ese aceeaşi în ambele cazuri, forma pacheului de unde ese diferiă. 5 5 Eemplu de efec al dispersiei undelor Dacă fiecare undă componenă a pacheului de unde are ală vieză de fază, ce mai înseamnă oare vieza de propagare a perurbaţiei? Noţiunea care se foloseşe în aces caz ese aceea de vieză de grup. COMENARIUL DE LA PAGINA 45 O imagine inuiivă a dispersiei ese aceea a ciclişilor care paricipă la o cursă. La sar, pacheul de ciclişi ese compac. Pe parcursul cursei acesa se desramă. Vieza unui ciclis individual ese echivalenul viezei de fază, iar vieza pluonului ese echivalenă viezei de grup.

248 Pag. 46 Vieza de grup ese vieza cu care se propagă maimul rezulanei obţinue prin compunerea undelor plane care alcăuiesc pacheul de unde. În coninuare vom încerca să găsim relaţia maemaică înre vieza de grup a unui pache de unde şi viezele de fază ale undelor componene. Penru aceasa vom considera cel mai simplu pache de unde posibil, forma din două unde plane armonice având aceeaşi ampliudine şi pulsaţii uşor diferie : Ψ Asin[ ( ω δω) k( ω δω) ] + Asin[ ( ω + δω) k( ω + δω) ] unde δω<<ω. Prin ransformarea sumei de sinuşi în produs, se obţine ( ω + δω) ( ω δω) ( ω + δω) ( ω δω) Ψ k k k k Acos δω sin ω Ţinând con de dezvolările în serie aylor : dk ( ) ( ) ( ω) k ω + δω k ω + δω dω k ( ω δω) k( ω ) ( ω) dk dω mai puem scrie : dk( ) Acos ω Ψ δω sin( ω k( ω ) ) d ω ω Aceasă epresie ese echivalenă unei unde plane : Ψ A (,) sin( ω k( ω ) ) a cărei ampliudine : ( ) ( ) dk ω A, Acosδω dω ω depinde de momenul de imp şi de poziţie. Faza ampliudinii ese : ( ) dk ω Φ δω dω ω Să presupunem că luăm în considerare un momen de imp ulerior şi un al punc din spaţiu, cu condiţia ca faza să nu-şi modifice valoarea : ω ω δω INFORMAŢIA DE LA PAGINA 46 În cursul propagării unui semnal, dispersia afecează forma acesuia. Un cuvân ese şi el un semnal, care poae fi vizualiza pe ecranul unui osciloscop sub forma unei curbe caracerisice. Cenrul audiiv din creier procesează aces semnal şi idenifică cuvânul, făcând asfel diferenţa înre acesa şi un simplu zgomo. La disanţă mare de sursă, prin dispersie, forma semnalului audiiv se modifică şi eisă posibiliaea ca cenrul audiiv să nu mai recunoască cuvânul, recepându-l ca un simplu zgomo, sau ca pe un cuvân dinr-o limbă srăină.

249 Pag. 47 dk Φ δω ' ' dω ω Fazele fiind egale, ampliudinile pacheului de unde în cele două siuaţii sun de asemenea egale. Puem spune în aces caz că pacheul de unde s-a propaga din puncul de coordonaă în puncul de coordonaă. Puem scrie : dk dω ( ω) dk( ω) ω ' dω ω ' ( ' ) ( ω) ( ω) dk dω ω ' dk dω Penru că raporul / are semnificaţia unei vieze, care ese chiar vieza de grup, mai rezulă : v g dω dk ( ω) Şiind că : π π k dk dλ λ λ şi că : π πc πc πc π ω dω dλ + dc c λ λ λ şi înlocuind în epresia viezei de grup, mai rezulă : πc π dλ + dc v λ λ g π dλ λ Sau : dc v Relaţia lui Rayleigh înre vieza de grup şi g c λ dλ vieza de fază ( ω) ω Aceasa ese relaţia de legăură înre vieza de grup a unui pache de unde şi vieza de fază. Ea poară numele de relaţia lui Rayleigh, şi caracerizează mediile dispersive în care vieza de fază a unei unde plane armonice depinde de lungimea de undă a aceleiaşi unde. BIOGRAFIA DE LA PAGINA 47 John William Sru Rayleigh, al reilea baron de erling Place (84 99). Fizician englez, care a făcu descoperiri imporane în domeniile acusicii şi opicii. Acesea se consiuie ca bază a eoriei propagării undelor în fluide. A eplica de ce cerul are culoare albasră, ca urmare a dispersiei luminii pe impuriăţile din amosferă. A primi premiul Nobel penru fizică în 94 penru descoperirea şi izolarea argonului. A fos profesor de fizică eperimenală la Cambridge, succesor al lui Mawell. În 95 a fos ales preşedine al Royal Sociey.

250 Pag. 48 În mediile numie nedispersive, vieza de fază nu depinde de lungimea de undă (dc/dλ ) asfel încâ vieza de grup ese egală cu vieza de fază. În asemenea medii forma perurbaţiei nu se modifică în cursul propagării prin mediu. O ulimă remarcă ese aceea că viezele de fază nu po fi măsurae. Eperimenal se poae măsura doar vieza de grup cu care se propagă perurbaţia Relaţiile de inceriudine Discuam la începuul acesui subcapiol despre cel mai simplu pache de unde, descris de relaţia : dk( ) Acos ω Ψ δω sin( ω k( ω ) ) d ω ω La un momen de imp da, să spunem, ecuaţia pacheului de unde ese : dk( ) Acos ω Ψ δω sin( k( ω ) ) d ω ω Ampliudinea pacheului de unde ese : ( ) ( ) dk ω A Acos δω dω ω Reprezenările grafice ale funcţiei de undă şi ale ampliudinii, în funcţie de disanţa sun redae mai jos : 3 4 INFORMAŢIA DE LA PAGINA 48 Legea refracţiei araă că unghiul de refracţie depinde de unghiul de incidenţă, dar şi de viezele de propagare ale undei în cele două medii. Dispersia face ca razele de lumină de diverse culori care sosesc pe o suprafaţă sub acelaşi unghi de incidenţă să aibă unghiuri de refracţie diferie şi, asfel, să se separe. Acesa ese moivul penru care un corp prismaic (cum ar fi un diaman şlefui) descompune lumina în culorile componene.

251 Pag. 49 Dacă aces pache de unde ar corespunde unui sune, nici urechea noasră şi nici aparaele de măsură nu ar puea să perceapă variaţia coninuă a inensiăţii. Sub un anumi prag, aâ urechea câ şi aparaele de măsură nu ar mai sesiza prezenţa suneului. Să presupunem că aces prag corespunde unei ampliudini egale cu o reime din ampliudinea maimă (ceea ce înseamnă o inensiae a perurbaţiei de aproape zece ori mai mică decâ inensiaea maimă, deoarece inensiaea perurbaţiei ese proporţională cu păraul ampliudinii). În aces caz, semnalul percepu ar puea fi reprezena grafic după cum urmează : 3 4 Nu mai avem de-a face acum cu o undă nelocalizaă în imp şi spaţiu, ci cu o serie periodică de perurbaţii limiae în imp şi spaţiu (aşa cum sun veriabilele perurbaţii). Îninderea spaţială a perurbaţiei se poae calcula din condiţia : Noând ω ( ω) ( ) dk A A δω ma Acos 3 dω ω dk( ω) k δω şi ţinând con că A ma A rezulă ecuaţia : dω cos ( k ) 3, 84rad k, rad k 36rad, k sau : k > Relaţia de inceriudine poziţie număr de unde INFORMAŢIA DE LA PAGINA 49 Relaţiile de inceriudine joacă un rol erem de imporan în mecanica cuanică. Acolo, micropariculele nu se mai supun legilor mecanicii clasice şi sun raae ca unde de probabiliae, ceea ce conferă, spre deosebire de mecanica clasică, un caracer nedeermis evoluţiei sisemelor fizice compuse din asemenea microparicule.

252 Pag. 5 CARE ESE SEMNIFICAŢIA RELAŢIEI DE INCERIUDINE? Pacheul de unde ese o suprapunere de unde plane, având numărul de unde cuprins înr-un anumi inerval de valori k. Corespunzăor valorilor numărului de unde, eisă şi un inerval de lungimi de undă λ. Rezulă de aici că măsurarea lungimii de undă ese echivalenă cu măsurarea numărului de unde. Rezulaul măsurăorii ese afeca de o eroare inerenă, el fiind siua în inervalul k k k k, k +. Poziţia în spaţiu a pacheului de unde poae fi şi ea cunoscuă doar în limia unor erori :, +. Ce rezulă de aici? Rezulă fapul că poziţia pacheului de unde şi numărul de unde asocia acesuia nu po fi deerminae simulan cu oricâă precizie. Deoarece > ragem concluzia că o măsurăoare foare k precisă a poziţiei ( ) arage după sine o imprecizie compleă în deerminarea numărului de unde ( k ) şi invers. Doar penru unda armonică plană (care reprezină o idealizare şi nu o realiae fizică) numărul de unde (şi deci şi lungimea de undă) ar puea fi măsura riguros, deoarece, în aces caz, imprecizia în deerminarea poziţie inde la infini,. O analiză asemănăoare se poae face şi în privinţa preciziei măsurării simulane a pulsaţiei şi momenului de imp. Se poae obţine relaţia : ω > Penru o perurbaţie foare bine delimiaă în imp, ( ), măsurarea pulsaţiei sau frecvenţei aceseia ese imposibilă, deoarece ω. Din nou, doar penru unda plană armonică ar fi posibilă măsurarea precisă a frecvenţei, deoarece ea nu are o localizare bine definiă în imp,. Concluzia ese că în asemenea siuaţii, indiferen de caliaea insrumenelor de măsură de care dispunem, eroarea măsurării ese inerenă şi eplicaă chiar de naura fizică a fenomenului. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 5 O demonsraţie maemaică riguroasă (de alfel, desul de complicaă) araă că relaţiile de inceriudine au urmăoarea formă : k ω

253 v s α s d v s cos α s v o cos α o c c Pag EFECUL DOPPLER v o α o Efecul Doppler se manifesă aunci când sursa perurbaţiilor care generează unda şi observaorul se află în sare de mişcare relaivă unul faţă de celălal. Un eemplu ar puea fi locomoiva care şuieră şi se apropie sau se depărează de noi. onaliaea suneului pe care îl auzim în cele două cazuri ese diferiă, iar aceasa consiuie ocmai manifesarea efecului Doppler. Să considerăm în coninuare o sursă de perurbaţii periodice care se deplasează cu vieza v s. Observaorul care recepţionează undele generae de perurbaţiile generae de sursă se deplasează cu vieza v o. Undele se propagă cu vieza c. Să admiem că prima perurbaţie se produce la momenul de imp, la care disanţa dinre sursă şi observaor ese d. Fronul de undă ajunge din urmă observaorul la momenul de imp. Ne propunem să calculăm înârzierea. Sudiind figura alăuraă puem scrie relaţia : c d + vo cosαo Obţinem : d c v o cosαo Urmăoarea perurbaţie are loc la sursă după un inerval de imp egal cu o perioadă. Înârzierea cu care aceasa ajunge la observaor ese : d c v o cosαo unde d ese disanţa sursă-observaor la momenul producerii celei de-a doua perurbaţii. Aceasă disanţă ese egală cu disanţa iniţială, la care se adaugă disanţa parcursă de observaor în impul şi se scade disanţa parcursă de sursă în acelaşi inerval de imp : d d + vo cos αo vs cos αs INFORMAŢIA DE LA PAGINA 5 Efecul Doppler ese uiliza de radarele în pulsuri penru a deeca ţine în mişcare (de eemplu, avioane sau ornade). Uilizarea efecului Doppler permie eliminarea erorilor daorae refleiei semnalului radar de căre obiecele fie (de eemplu formele de relief din zonă).

254 Rezulă : d Pag. 5 v cosα v cosα o o s s + c vo cosαo c vo cosαo Să calculăm acum perioada perurbaţiilor recepţionae de observaor. Prima dinre ele ese recepţionaă la momenul, iar a doua la momenul +, asfel încâ : vo cosαo vs cosαs ( + ) + c vo cosαo sau : c vs cosαs c vo cosαo Din epresie, observăm că perioada undelor recepţionae ese diferiă de perioada undelor emise. Aceasa ese însăşi esenţa efecului Doppler. Puem rage urmăoarea concluzie : Efecul Doppler ese daora fapului că raporul dinre perioada undelor recepţionae de un observaor şi perioada undelor emise de sursă depinde de vieza de propagare a undelor şi de componenele viezelor de deplasare ale observaorului şi sursei pe direcţia de propagare a undelor. Şiind că perioada unei oscilaţii ese inversul frecvenţei sale, puem scrie şi relaţia : ν c vo cosαo ν c vs cosαs Înre undele recepţionae şi cele emise eisă un decalaj de frecvenţă : vs cosαs vo cosαo ν ν ν c vs cosαs În cazul paricular în care observaorul ese imobil iar sursa ese mobilă, formula decalajului de frecvenţă devine : vs cosαs ν ν ν ν c vs cosα c s vs cosαs Frecvenţa la recepţie ese maimă când sursa se apropie de observaor pe direcţia de propagare a undei (adică când α s ) : νma ν ν c v s INFORMAŢIA DE LA PAGINA 5 Formula după care frecvenţa se modifică în funcţie de vieza relaivă pe care o are observaorul faţă de sursă nu ese valabilă şi penru radiaţiile luminoase. În aces caz, dacă sursa se depărează de observaor cu vieza v, relaţia ese : c v ν ν (c vieza luminii) c + v

255 Pag. 53 Frecvenţa la recepţie ese minimă când sursa se depărează de observaor pe direcţia de propagare a undei (adică când α s 8 ) : ν νmin ν c + vs Se observă că în primul caz semnalul recepţiona are frecvenţă mai mare decâ cel emis, iar în al doilea caz semnalul recepţiona are frecvenţă mai mică decâ cel emis. Dacă undele sun unde sonore, în primul caz suneul recepţiona ese mai înal decâ cel emis, iar în al doilea caz suneul recepţiona ese mai jos decâ cel emis. Aceasă proprieae ar puea fi folosiă penru calcularea viezei de deplasare a sursei în cazul în care se cunoaşe frecvenţa la emisie şi se măsoară decalajul de frecvenţă la recepţie. Efecul Doppler nu se mai manifesă dacă vieza de deplasare a sursei depăşeşe vieza de propagare a undelor emise de aceasa. În aces caz, îşi face apariţia aşa numia undă de şoc. Fronurile de undă succesive, respeciv înreaga energie, sun cuprinse înr-un con caraceriza de unghiul α forma de înălţimea sa şi generaoare : r c sin α d v s La limia acesui con, undele vin în conac cu r c α v s > c receporul producând un şoc mecanic erem de pronunţa şi periculos. Acesa ese şi moivul penru care avioanele supersonice nu au permisiunea de a survola cu vieză supersonică zonele locuie. De alfel, chiar momenul aingerii viezei suneului ese periculos penru d v s avion, deoarece (vezi şi figura alăuraă) aces momen înseamnă penerarea unui sra de aer puernic comprima, care se comporă ca un adevăra zid de care avionul se poae srivi. Aenuarea acesui şoc mecanic se poae face uilizând forme aerodinamice speciale, caracerisice avioanelor supersonice. INFORMAŢIA DE LA PAGINA 53 Unda de şoc sau bang-ul sonic nu depinde numai de disanţa dinre aparaul de zbor şi sol, ci şi de mărimea şi forma acesuia, ca şi de manevrele pe care le înreprinde, presiunea amosferică, emperaură şi inensiaea vânului. În cazul în care avionul ese foare lung se poae eisa un dublu bang sonic, produs mai înâi de parea anerioară a aparaului şi apoi de parea poserioară.

256 Pag ULIMUL VAL adâncă, depare de ţărm : Am începu aceasă secţiune vorbind despre valuri şi ineresul pe care acesea le po reprezena penru oamenii de şiinţă, dar nu numai, aşa cum pueţi vedea în foografia alăuraă. Surferul se mişcă împreună cu valul, rămânând mereu pe creasa acesuia. Creasa unui val are ceva special. Ea pare mereu a se nărui, a cădea în faţa valului şi cu oae acesea valul nu se desramă (un fizician ar spune nu se dispersează). Fenomenul nu a scăpa aenţiei unui fizician, pe nume Koreweg de Vries. Acesa a mai risipi un pic vraja şi poezia şi a dedus o ecuaţie care se referă la ampliudinea h a valurilor de suprafaţă, în porţiunile cu apă puţin h h h + h + 3 în care reprezină coordonaa şi momenul de imp înr-un sisem de referinţă în mişcare cu o vieză egală cu vieza de fază în cazul non-dispersiv. ehnic vorbind, o asemenea ecuaţie se numeşe ecuaţie neliniară cu derivae parţiale. Neliniariaea ese reprezenaă de al doilea facor al ecuaţiei. Aces facor ese cel care eplică de ce valul nu se desramă. Soluţia acesei ecuaţii ese numiă în fizică undă soliară. O soluţie saţionară a ecuaţiei Koreweg de Vries ese urmăoarea : 3η h(,) ch η( η) în care η ese un parameru consan. În figura alăuraă se poae vedea reprezenarea acesei soluţii de ip undă soliară în cazul η. 3 INFORMAŢIA DE LA PAGINA 54 Undele soliare se po înâlni şi în cazul propagării luminii prin fibre opice. Însemnăaea lor pracică ese aceea că se po confecţiona fibre opice în care pierderile de energie în cursul propagării semnalului să fie erem de mici, iar frecvenţa acesuia să ajungă chiar la 5 Hz. Implemenarea unor asemenea ipuri de fibre opice în sisemele de comunicaţii ar reduce cu mul cosurile de eploaare ale acesora.

257 Pag ACUSICA 5.. INRODUCERE Orchesra Filarmonicii din Viena ese aceea care ne aduce amine la fiecare ianuarie că Revelionul a recu şi abia am păşi pragul unui nou an. Desigur, puţini dinre noi, poae nici unul, nu sunem în sala de concere, dar ransmisiunea elevizaă ne face marori la aces evenimen. Se po scrie cărţi, cu mul mai vase şi complicae decâ aceasa despre cum ese posibilă ransmisiunea de eleviziune. Din păcae, deşi ne-ar plăcea să schiţăm măcar principiile fizice care fac posibile emisiunile de radio CUGEAREA DE LA PAGINA 55 Muzica ese arimeica suneelor, aşa cum opica ese geomeria luminii. Claude Debussy (86 98), compozior francez