IKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "IKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel"

Transcript

1 IKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel Allar Veelmaa, Loo Keskkool Gümnaasiumi riiklik õppekava 1 (edaspidi GRÕK) järgi võib õpilane valida kitsa ja laia matemaatikakursuse vahel. Kursused erinevad üksteisest nii sisu kui ka õpetamisele kuluva aja poolest. Mõlema kursuse jaoks on ühine see, et nende õpetamisel on vaja kasutada kaasaegseid IKT vahendeid. GRÕK-is (lisa 3) on punktis 1.6 kirja pandud nõuded füüsilisele õpikeskkonnale matemaatika õpetamisel: 1. Kool korraldab õppe klassis, kus on tahvlile joonestamise vahendid. 2. Kool võimaldab vajaduse korral kasutada klassis internetiühendusega sülearvutite või lauaarvutite komplekti arvestusega vähemalt üks arvuti viie õpilase kohta ainekavas märgitud õpitulemuste saavutamiseks ning esitlustehnikat seoste visualiseerimiseks. 3. Kool võimaldab tasandiliste ja ruumiliste kujundite komplektid. 4. Kool võimaldab kasutada klassiruumis taskuarvutite komplekti. Punktis 2 on fikseeritud, et matemaatika õpetamiseks on vajalik süle- või lauaarvutite olemasolu matemaatikaklassis ning peab olema ka esitlustehnika (vähemalt projektor) visualiseerimiseks. Lisaks projektorile võib olla interaktiivne tahvel (Smart, Cleverboard vms), pultide komplekt interaktiivse tahvli juurde, dokumendikaamera jms. Punktis 4 eeldatakse, et matemaatikaklassis on olemas taskuarvutite komplekt, mida saavad õpilased vajaduse korral kasutada. Märkimata on jäetud, missugused need arvutid peavad olema. Eeldame, et tegemist on vähemalt nn inseneriarvutitega, millega saab leida juuri ja astmeid, eksponentfunktsiooni väärtusi, logaritme, trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi ning mõningaid kombinatoorika elemente. Lisaks riistvarale peab õpetajal olema kasutamiseks sobiv tarkvara, vastasel juhul on IKT vahendite efektiivne kasutamine mõeldamatu. Missugust tarkvara kasutada ja kust seda leida? Arvutiprogrammid, PowerPointi esitlused, Studyworksi töölehed jms, mis on valminud eelmise sajandi lõpus, on üldjuhul moraalselt vananenud, kuigi siiski kasutatavad. Need õpetajad, kes kasutasid veel mõned aastad tagasi Functioni, on üldjuhul üle läinud programmile GeoGebra 2. Tegemist on pidevalt arendatava programmiga, mis oli esialgselt mõeldud geomeetriaülesannete lahendamiseks. Programmi täiustamise käigus on lisandunud hulgaliselt mooduleid, mille abil saab lahendada ülesandeid algebrast, tõenäosusteooriast ja statistikast ning matemaatilisest analüüsist (versioonid 4.0 ja 4.2). GeoGebra puhul ei ole tarvilik internetiühendus, kuid arvutisse peab olema installeeritud Java. Teine arvutialgebra programm Wiris 3, võimaldab teha arvutusi, lihtsustada ratsionaal- ja irratsionaalavaldisi, lahendada võrrandeid (võrratusi) ning nende süsteeme. Saab arvutada funktsiooni piirväärtust, leida tuletisi ning arvutada integraalide väärtusi jpm. Wirises on arvukalt võimalusi jooniste tegemiseks (seda nii kahe- kui ka kolmemõõtmelisena). Wiris töötab ainult juhul, kui on olemas internetiühendus

2 Mõlema eespool mainitud programmi jaoks on tehtud hulgaliselt töölehti, neid on võimalik leida Koolielu 4 portaalist ning samuti Matemaatikaõpetajate virtuaalse võrgustiku kodulehelt 5 ning nende programmide kodulehelt. Tõenäosusteooria elementide tutvustamiseks on olemas eestikeelne programm Tõenäosusteooria, mis on koolides Phare ISE CD-l, vajadusel saab seda ka internetist alla laadida 6. Statistika õpetamisel soovitan kasutada MS Excelit (või mõnda selle analoogi, nt OpenOffice 7 ). Väga võimsa matemaatikapaketi Mathematica veebilehel on ka koolis kasutamiseks sobivaid demosid 8, nende puuduseks on see, et need on ingliskeelsed. Kuna nende demode juures on teksti suhteliselt vähe, siis saab neid väga edukalt kasutada. Tunniks ettevalmistamisel tuleb demod oma arvutisse alla laadida ja üle kontrollida, kas kõik toimib. Rikkalikult on õppematerjale Youtube's, paraku on tekst enamasti ingliskeelne ning mõningatel juhtudel erineb ka kasutatav tähistus oluliselt meile harjumuspärasest. Praktikas olen mõnda õppevideot näidanud nii, et kõlarid on välja lülitatud ning kommenteerin ise esitatavat lahenduskäiku. Youtube`i või Teachtube`i 9 video kasutamine on mõeldav juhul, kui video on eelnevalt põhjalikult üle vaadatud ning selle kasutamiskõlblikkuses veendutud. Soovi korral võib õppematerjalide otsimiseks kasutada ka interneti otsingumootoreid, näiteks Google`t. Sisestades otsingusõnadeks lineaarvõrrandi lahendamine saame üle saja veebilehe, millelt on võimalik materjale leida (kui palju neist on kasutuskõlbulikud, see on iseasi). Kui otsingu lahtrisse sisestada solving linear equations, on õpetajal valikuvõimalus tunduvalt suurem (suureneb ka oht rämpsmaterjalide otsa sattuda). Süstematiseeritud kujul esitatakse õppevideod ja testid Khan Academy 10 veebilehel. Puuduseks pean videos kirja kehva kvaliteeti ning jällegi tuleb arvestada sellega, et kasutatakse meile mitte harjumuspärast sümboolikat. IKT vahendite kasutamise võimalusi matemaatika laias kursuses Järgnevalt vaatleme, kuidas ja missuguseid IKT vahendeid on võimalik kasutada laia kursuse teemade käsitlemisel. Toodud soovitused ei saa mingil juhul olla lõplikud, sest õpetaja võib kasutada siin käsitlemata tarkvaralahendusi (tarkvara uueneb pidevalt, tulevad ka uued tehnilised vahendid jms). I kursus Arvuhulgad. Avaldised Kursuse esimese teema juures arvusüsteeme õppides on võimalik kasutada konverterit, mis teisendab arvu süsteemist X süsteemidesse Y ja Z, kusjuures X, Y ja Z on kümnendsüsteem, kahendsüsteem ja kuueteistkümnendsüsteem. Selle konverteri abil on õpilasel võimalik oma teisenduste tulemusi kontrollida

3 Avaldiste lihtsustamisel soovitan kasutada tulemuste kontrollimisel programmi Wiris. Ülesannete vahetuks lahendamiseks on see programm ebasobiv, sest annab vastuse ilma vahepealseid teisendusi näitamata. Kahjuks pole meil kasutada T-algebra analoogi keerukamate avaldiste jaoks. Ratsionaalavaldise lihtsustamisel soovitan avaldis jaotada osadeks ning lihtsustada iga alaülesanne eraldi. Sellisel juhul saab õpilane vigase lõppvastuse puhul leida vea tekkimise koha. a 3 a a Näide: lihtsustame avaldise a a 6 a 2a 3 1 2a 4a 1. Avaldise lihtsustamisel on vigade tekkeks palju võimalusi: a) eksitakse ruutkolmliikmete tegurdamisel; b) tehakse vigu murdude liitmisel; c) eksitakse korrutamisel ja/või taandamisel. Wirisega lahendades saame: Joonis 1 Samm-sammult ülesande lahendust kontrollides teeme järgmised teisendused: Joonis 2 Joonisel 3 on esitatud avaldise lihtsustamine etappide kaupa ning juhul, kui õpilane on mingi teisendusega eksinud, siis nüüd saab raskusteta vea tekkimise koha avastada. Vajaduse korral saab leida avaldise määramispiirkonna ja arvutada ka avaldise väärtuse. Joonis 3

4 Irratsionaalavaldiste lihtsustamiseks Wiris alati ei sobi, sest programm ei suuda keerukaid avaldisi lihtsustada. Lihtsamate avaldiste puhul tuleb programm lihtsustamisega toime (vt joonis 4). Joonis 4 II kursus Võrrandid ja võrrandisüsteemid Võrrandite ja võrrandisüsteemide lahendamisel saab tulemusi kontrollida Wirise abil. Joonisel 5 on näited erinevat liiki võrrandite lahendamise kohta. Joonis 5 Ruutvõrrandi lahendamisel annab Wiris täpsed lahendid. Kui soovime lahendite kümnendlähendeid, siis lisame vabaliikme lõppu punkti (joonisel on arvu 6 lõpus punkt). Wiris annab soovi korral ka kaaskompleksarvulised lahendid (selleks tuleb lisada sümbolite alt täht C). Wiris sobib õppekavas ette nähtud juurvõrrandite lahendite kontrollimiseks. Programm suudab lahendada ka selliseid võrrandeid, kus esinevad erinevate juurijatega juured. Joonis 6

5 Lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamisel kasutatakse sageli determinante. Determinandi väärtuse arvutamist saab kontrollida jällegi programmiga Wiris. Samuti saab lahendada võrrandeid, kus tundmatu on determinandis: Joonis 7 Wirise abil saab lahendada ka mittelineaarseid võrrandisüsteeme (neid on võimalik lahendada ka GeoGebra abil). Selliseid süsteeme on vaja lahendada, kui soovime leida kahe joone lõikepunkte (näiteks parabooli ja ringjoone ühised punktid vms). Võrrandite lahendamiseks võib soovi korral kasutada ka WolframAlpha t 11 (vt joonis 8). Joonis 8 III kursus Võrratused. Trigonomeetria I Võrratuste lahendamisel saab kasutada mõlemat eespool nimetatud programmi: Wirist ja GeoGebrat. Wirisega saab võrratusi ja nende süsteeme lahendada algebraliselt (vt joonis 9), GeoGebrat kasutades lahendame võrratuse joonise abil (joonestame vastava funktsiooni graafiku ja vajadusel muudame ühikute pikkust koordinaattelgedel), näiteks võrratuse lahendamisel intervallmeetodiga (vt joonis 10). 11

6 Joonis 9 Võrratuse (x + 3)(x 1)(x 5) > 0 lahendamisel teeme GeoGebra abil joonise ning loeme sellelt otsitava lahendihulga. Joonis 10 Trigonomeetria põhiseoste õppimisel (vaadeldakse seoseid täisnurkses kolmnurgas) saab kasutada GeoGebrat (vt joonis 11) või mõnda täisnurkse kolmnurga lahendamiseks mõeldud solverit. Joonis 11 Joonisel on täisnurkne kolmnurk, mille tippu C saab üles-alla liigutada. Tänu sellele muutuvad nurgad tippude A ja C juures ning GeoGebra arvutab automaatselt tipu A juures oleva nurga siinuse ja koosinuse. GeoGebra töölehte saab täiendada nii, et siia tekivad trigonomeetria põhiseosed: 2 2 sinα sin α+ cos α = 1; tanα cosα = ja tan α =. cos α IV kursus Trigonomeetria II Kursuse üheks oluliseks teemaks on nurga mõiste üldistamine. Kui teravnurga trigonomeetriliste funktsioonide käsitluse illustreerimiseks soovitasin kasutada GeoGebrat, siis saab seda programmi kasutada ka siin. Töölehele võib lisada teksti: arvutame joonisel oleva nurga siinuse, koosinuse või tangensi ja esitame selle kümnendmurruna (soovi korral võib suhte esitada ka hariliku murruna) (vt joonis 12).

7 Joonis 12 Joonis 13 Kraadi- ja radiaanmõõdu käsitlemisel leiab sobivaid demosid internetist: kirjutage Google otsingusse Converting radians to degrees ning valige sobiv demo. Soovi korral saab nurga 1 rad konstrueerida ka GeoGebra abil (vt joonis 13). Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamiseks arvestatavaid eestikeelseid arvutiprogramme ei ole. Wiris ei suuda lihtsustada avaldist, kui trigonomeetrilise funktsiooni argumendis on kahe nurga summa või vahe. Õpilastele tasub soovitada internetipõhist programmi Wolfram- Alpha 12. Avaldise sisestamine on küll tülikas, kuid selle programmiga on siiski võimalik avaldisi lihtsustada. Kolmnurgaga seotud teemade puhul (pindala valemid, siinus- ja koosinusteoreem) soovitan kindlasti kasutada GeoGebrat (vt joonis 14 ja joonis 15). Kolmnurga ühe tipu koordinaatide muutmisel (tippe saab hiirega liigutada) muutuvad külgede pikkused ja sisenurgad, kuid säilib külje pikkuse suhe külje vastas oleva nurga siinusesse. Programmist on kasu tunniks ettevalmistumisel: saab teha valmis joonised, mida hiljem tunnis kasutada ning õpilane saab oma kodust tööd programmi abil ise kontrollida. GeoGebraga saab näitlikustada ka neid juhtumeid, kui kolmnurka määravad algandmed on vastuolulised, st kolmnurka pole olemas. Mõnede algandmete korral võib tekkida kaks kolmnurka, ka siis on GeoGebra visualiseerimisel abiks. Internetist saab leida ka kolmnurkade lahendamiseks mõeldud programme, kuid neil on üldine puudus saame lõpptulemuse, kuid ühtegi arvutust ei näidata. Sellised programmid sobivad lahenduste kiireks kontrollimiseks. Joonis 14 Joonis

8 V kursus Vektor tasandil. Joone võrrand See kursus avab laialdased võimalused GeoGebra kasutamiseks. Väga lihtsalt saab demonstreerida lineaartehteid vektoritega, vektori lahutamist koordinaattelgede suunalisteks komponentideks, joonestada etteantud parameetrite järgi sirgeid, leida sirgete lõikepunkti jms. Programm võimaldab joonestada ka teist järku jooni (näeme joont ja selle võrrandit) jms. Joonisel 16 on vektorid u r ja v r ning nende summa m ur ja vahe n r. Muutes vektorite u r ja/või v r koordinaate muutuvad vastavalt ka nende vektorite summa ja vahe. Kui varasemates GeoGebra versioonides esitati vektor meile harjumuspäraselt (n=(6;2)), siis uuemates alates versioonist 4.0 kirjutatakse vektori koordinaadid üheveerulise 6 maatriksina (n= ). 2 Sirge võrrandi saab GeoGebras esitada kolmel erineval kujul: a) tõusu ja algordinaadi kaudu; b) üldvõrrandina ja c) parameetriliste võrrandite kaudu. Missugune viis parajasti sobiv on, selle valib õpetaja. Samuti saab joonestada teist järku jooni ning leida nende lõikepunktide ligikaudsed koordinaadid (vt joonis 17). Kasutades liugurit, on võimalik joone võrrandisse lisada parameetrid. Neid muutes näeme, kuidas parameetrid mõjutavad joone asendit koordinaatteljestikus. Joonis 16 VI kursus Tõenäosus, statistika Joonis 17 Tõenäosusteooria ajaloolises arengus on oluline osa olnud eksperimentidel: mündivisetel kullide ja kirjade loendamine, täringuheidetel teatavate seaduspärasuste uurimine jms. Lisaks õpikule on õpetajal võimalus kasutada mitmeid arvutiprogramme, mille abil saab õppimist muuta atraktiivsemaks. Avatud Eesti Fondi abil tehti juba aastaid tagasi õppevahend tõenäosusteooria õppimiseks. See sisaldab näited ja ülesandeid mündiheitmisest, loteriidest, täringuvisetest jms, lisaks on võimalik demonstreerida Galtoni võre tööpõhimõtet ja panna lapsed pead murdma Monty Halli paradoksi lahendades. Soovi korral saab 6 diskil paikneva

9 programmi alla laadida internetist. 13 Samast leiab teisigi materjale (nt demod YouTube st vms). Statistika elementide käsitlemisel soovitan kasutada MS Excelit või selle analooge (OpenOffice puhul Calk). Kui andmemahud on väiksed, siis saab keskväärtust, moodi, mediaani ja ka standardhälvet leida taskuarvutiga arvutades. Üldjuhul siiski nii enam ei toimita ja andmetöötlust on mõistlik teha arvuti abil, mis ei välista sugugi seda, et arvutusi tehes ei pea õpilane aru saama, kuidas on arvutatavad suurused defineeritud ning mis kombel saab neid ka käsitsi arvutades leida. Kui tunnus on bimodaalne (või multimodaalne), siis annab Excel ainult ühe moodi. Andmetabelile saab lisada vajadusel diagramme. Joonis 18 Jaotusseaduste käsitlemisel on võimalik leida abimaterjale internetist (PowerPointi esitlused, Exceli töölehed jms). XI kursus 14 - Integraal. Planimeetria kordamine Integraali puhul on tegemist taasleitud vanaga, st õppekava muutmise käigus oli see teema vahepeal kohustuslike kursuste nimistust väljas, kuid laia matemaatika kursust on raske ilma integraali käsitlemata ette kujutada, sest siinjuures korratakse ka paljusid varem õpitud teemasid, nt funktsiooni graafiku joonestamine, lõikepunktide leidmine, esimest järku tuletis, arvutamine ratsionaal- ja irratsionaalarvudega jms. Määramata integraali käsitlemisel peab õpilane lihtsamad integraalid leidma paberit ja pliiatsit kasutades, kuid on hea, kui ta saab arvutuste tulemusi kontrollida. Selleks soovitan kasutada Wirist (kõige kättesaadavam eestikeelne programm). Selle programmi kasutamisel tasub tähelepanu pöörata sellele, et mitte alati ei saa me vastust, kus avaldis on lõpuni lihtsustatud (vt joonis 19, teine integraal). Lisaks puudub ka määramata konstant C (mõne arvutiprogrammi puhul kirjutatakse C asemele arv null). Joonis 19 Joonis Kursuste VII-X kohta on käesolevas kogumikus eraldi artikkel

10 Määramata integraali saab leida internetis Wolfram Mathematica Online Integratori 15 abil (vt joonis 20). Määratud integraali väärtuse arvutamiseks saame kasutada Wirist (vt joonis 21) või GeoGebrat (juhul, kui on vaja leida pinnatüki pindala, vt joonis 22). Joonis 21 Joonis 22 Integraali kohta on teinud põhjaliku õppematerjali Viljandi matemaatikaõpetaja Marika Anissimova, 16 lisaks tasub vaadata ka MottWikis olevaid õppematerjale. Planimeetria elementide puhul on tegemist kursusega, kus valdavalt korratakse põhikoolis õpitud teemasid. Kõiki konstruktsioone ning meetrilisi seoseid saab visualiseerida GeoGebra abil. Nende teemade kohta leiab lisamaterjali MottWikist ning interneti otsingut kasutades (saab leida töölehti, PowerPointi esitlusi jms). Konstruktsiooniülesannete puhul soovitan kasutada arvutiklassi, et õpetaja juhendamisel omandaksid kõik õpilased elementaarse konstrueerimise oskuse. Kolmnurga sise- ja ümberringjoone konstrueerimisel tuleb tähelepanu pöörata sellele, et kolmnurga tippude liigutamisel kolmnurgale joonestatud ümberringjoon jääb ka tippude asukoha muutumisel ikka ümberringjooneks (sama siseringjoone kohta). Arvutiprogrammide kasutamine annab võimaluse õpilastel endil avastada (kui õpilased on seda teinud juba põhikoolis, siis tuleb vältida triviaalseid ülesandeid). GeoGebra abil on lihtne näidata, et a) kolmnurga mediaan jaotab kolmnurga kaheks pindvõrdseks kolmnurgaks; b) kumera nelinurga külgede keskpunktide järjestikusel ühendamisel saame nelinurga, mille pindala on pool esialgse nelinurga pindalast (laske õpilastel selle väite õigsus tõestada või väide ümber lükata); c) kui rööpküliku ABCD sees vabalt võetud punkt P ühendada rööpküliku tippudega, siis S ABP + S CDP = S ADP + S BCP ; d) trapetsi haarade keskpunktid ja diagonaalide keskpunktid asuvad ühel sirgel, kusjuures diagonaalide lõikepunktide vaheline kaugus on võrdne trapetsi aluste poolvahega; e) kumera viisnurga ABCDE diagonaalide summa on suurem hulknurga ümbermõõdust, aga väiksem kahekordsest ümbermõõdust. Sobivaid ülesandeid leiab kehtivatest ja varasematest matemaatikaõpikutest ning ka internetist (näiteks TÜ Teaduskooli veebilehelt). Kui viiakse tund läbi arvutiklassis ja kasutatakse GeoGebrat, siis tuleb õpilaste tähelepanu pöörata järgmistele asjadele:

11 a) joonis peab olema piisavalt suur, st ei ole mõtet teha joonist, mis hõlmab ca 1/10 graafikavaatest, sest sellist joonist ei ole praktiliselt võimalik täiendada; b) konstruktsiooni abijooned peavad olema selgelt eristuvad muudest joontest (kasutame kriipsjoont või pidevjoont, mille jämedus on üks ühik); c) jooned ei tohi tähtedest läbi minna (seda loetakse ka tahvlijoonise puhul ebakorrektsuseks; d) lõpetatud töö (konstruktsioon) on mõistlik salvestada. XII kursus Geomeetria I Tegemist on ruumigeomeetria kursusega, kus kõigepealt tegeletakse stereomeetria asendilausetega. Järgnev kuulub analüütilise geomeetria valdkonda: a) punkti koordinaadid ruumis; b) tehted vektoritega, nende kollineaarsus ja komplanaarsus; c) sirge võrrand ruumis, sirgete vastastikused asendid; d) tasandi võrrand, tasandite vastastikused asendid; e) sirge ja tasandi lõikepunkt. Analüütilise geomeetria ülesannete lahendamisel saab kasutada abivahendina programmi Wiris (saab teha kolmemõõtmelisi jooniseid) ning kasutada determinanti tasandi võrrandi koostamisel. Näide: koostame tasandi võrrandi, kui tasand on määratud punktiga A(1; 2; 3) ja r r rihivektoritega u= ( 2;3; 4) ja v= (2; 3;4). Wirise abil leiame determinandi (vt joonis 23) ning võrdsustame selle nulliga, võimaluse korral lihtsustame võrrandi. Joonis 23 XIII kursus Geomeetria II Kursuses käsitletavad ruumikujundid, nt prisma, püramiid, silinder, koonus ja kera on põhikoolis põgusat käsitlemist leidnud. Siis lahendati ülesandeid korrapäraste kolm- ja nelinurksete prismade kohta ning püramiididest uuriti põhjalikumalt korrapärast nelinurkset püramiidi. Käesoleva kursuse raames vaadeldakse püstprismasid, mille põhjad ei pruugi olla korrapärased hulknurgad. Püramiidide puhul võib põhitahuks olla mistahes kumer hulknurk. Kui kasutame GeoGebrat, siis tuleb joonis n-ö tükkhaaval kokku panna (vt joonis 24). Selle heaks küljeks on see, et õpilased näevad joonise teket algusest lõpuni. Hiljem, kui õpilastel on olemas jooniste tegemise vilumus, võib kasutada tunnis varem valmis tehtud jooniseid, mida interaktiivsele tahvlile või ekraanile näidata. Interaktiivsetel tahvlitel (nt Smart, Cleverboard jt) sisaldab tarkvara mõningate ruumi-

12 kujundite jooniseid ning neid tasub ka kasutada. Ruumikujundite pilte saab leida ka Google otsingut kasutades, kuid sel juhul tuleb jälgida, et ei rikutaks autoriõigusi. Joonis 24 GeoGebrat kasutades saab ruumikujundi lõikamisel tasandiga lõiketasandi teket näidata sammhaaval (joonis 25 joonis 27). Selleks tuleb joonis eelnevalt valmis teha ning ülesande lahendamisel kasutame GeoGebras olemasolevat konstruktsiooni sammude navigeerimisriba. Ruumikujundite kohta leiab õppematerjale ka MottWikist ja Koolielu portaalist. Internetiotsingut kasutades leiame mitmeid PowerPointi esitlusi. Internetist leitud õppematerjalide puhul soovitan need enne kasutamist kriitilise pilguga üle vaadata, sest paljud väljapandud materjalid on poolikud või sisaldavad ilmselgeid vigu. Joonis 25 Joonis 26 Joonis 27 XIV kursus Matemaatika rakendused, reaalsete protsesside uurimine Matemaatika ainekava juurde kuuluvas õppeprotsessi kirjelduses märgitakse, et see kursus tugineb arvutusvahendite kasutamisele. Tõepoolest kui lahendada mõni reaalset situatsiooni kirjeldav ülesanne etteantud arvandmete põhjal, siis piisab taskuarvutist, kuid me ei saa mingit ettekujutust sellest, kuidas muutub lahend, kui parameetreid muuta. Selleks on vaja ülesanne lahendada üldkujul (st muutuvad suurused tähistatakse tähtedega) ning seejärel lahendit uurida. Näide 1. Aadu viib sõudepaadiga oma kitse 4 km allavoolu asuvale karjamaale ja pöördub km kohe tagasi. Edasi-tagasi sõiduks kulub tal täpselt 1 tund. Jõe voolu kiirus on 3. h Leida paadi kiirus seisvas vees (ehk paadi omakiirus). 4 4 Lahendus: lahendame murdvõrrandi + = 1, lahendid on v 1 = 9 ja v 2 = 1. Teine v+ 3 v 3 lahend on ilmselt absurdne ja seega on paadi kiirus seisvas vees 9 km/h. Muudame nüüd ülesande andmeid: olgu karjamaa a km kaugusel, edasi-tagasi sõiduks kulugu b tundi ning jõe a a voolu kiirus olgu c km/h. Paadi kiiruse v vee suhtes leiame võrrandist + = b. v+ c v c Võrrandi lahendamisel Wirisega saame kaks lahendit (vt joonis 28). Võrdleme Wirisega saadud lahendeid eespool esitatud murdvõrrandi lahenditega. Näeme, et need on kooskõlas. Muutes nüüd arve a, b ja c võime saada kuitahes palju erinevaid lahendeid. Seejuures tuleb kindlasti absurdsed lahendid eraldada tõepärastest. Kui b = 0,5; a = 4 ja c = 3, siis peaks paadi

13 kiirus vee suhtes olema ligikaudu 16,54 km/h, mis on ilmselt ebareaalne. Kui edasi-tagasi sõiduks kuluks 8 tundi, siis on paadi kiirus vee suhtes 3,54 km/h, mis on samuti ebareaalne. Võttes b = 800 (edasi-tagasi sõiduks kulub 800 tundi) saame paadi kiiruseks 3,005 km/h, st paat vaevu liigub kalda suhtes. Seda lihtsat mudelit uurides saavad õpilased aru, et paadi kiirus seisva vee suhtes peab olema suurem, kui 3 km/h, sest vastasel juhul ei jõua Aadu kunagi enam paadiga koju. Joonis 28 Näide 2. Õhurõhk p kõrgusel h merepinnast leitakse valemiga õhurõhu sõltuvuse kõrgusest graafiliselt. 0,000125h e p= 760. Esitame Joonis 29 Kui soovime leida õhurõhu mingil kõrgusel h 0, siis kirjutame GeoGebra sisendreale f(h 0 ). Soovi korral võib kasutada ka arvutustabelit. Kui soovitakse ülesanne graafiliselt lahendada, siis joonestatakse sirge x = h 0 ning leitakse joonte lõikepunktide koordinaadid. IKT vahendite kasutamise võimalusi matemaatika kitsas kursuses Matemaatika kitsa kursuse ajaressurss on väga piiratud kolme aasta peale on ette nähtud 8 kohustuslikku kursust (ehk 280 tundi). Kui tähelepanelikult vaadata kitsa kursuse õppeprotsessi kirjeldust, siis on näha, et 10. klassis läbitakse samad teemad, mis laias kursuses. Erinevus on teoreetilise osa käsitluse sügavuses ja ülesannete keerukuses. Kuna klassitundideks on aega vähe, kuid õpilased peavad nõutavad õpitulemused omandama (12. kl lõpus on matemaatika riigieksam), siis on väga oluline, et õpilased suudavad ka iseseisvalt matemaatikaga tegeleda ja oskavad ülesannete lahendusi kontrollida (kui see on võimalik). Seepärast on IKT vahendite kasutamine tunnis ning programmide GeoGebra ja Wirise

14 tasemel valdamine õpilaste poolt oluline. Ühegi arvutiprogrammi õpetamiseks õpetajal kahjuks aega ei ole, seepärast tasub juba 10. klassi alguses õpilastele selgitada, et programmide rakendamisvõimaluste uurimine jääb põhiliselt nende ülesandeks, mis ei välista seda, et konsultatsioonitundides ei võiks nimetatud teemasid arutada. Praktilistele kogemustele tuginedes võin öelda, et kui lahendame Wirisega tunnis ülesandeid, siis saavad õpilased hiljem sellega ka ise hakkama. GeoGebra puhul on vaja anda harjutusülesandeid jooniste tegemiseks, et nad harjuksid programmi kasutama. I kursus Arvuhulgad. Avaldised. Võrrandid ja võrratused Avaldiste lihtsustamisel, võrrandite ja võrratuste lahendamisel soovitan kasutada Wirist. Kuna kitsas kursuses vaadeldavad avaldised ei ole väga keerukad, siis saab Wiris nende lihtsustamisega üldjuhul ka hakkama. Pikemate ratsionaalavaldiste puhul on mõistlik avaldis jagada osadeks ning need eraldi lihtsustada (vt joonis 30). Üks näide on ka eespool laia kursuse kohta, kuid selliseid avaldisi kitsa kursuse raames üldjuhul ei lihtsustata. Joonis 30 Joonis 31 Juuravaldiste puhul on võimalik kontrollida võrduse kehtivust (vt joonis 31). Seda tasub õpilastel teha kodutööde kontrollimisel. Võrrandite ja võrratuste käsitlemisel soovitan võimaluse korral kasutada interaktiivse tahvli (nt Smart vms) võimalusi. Notebook 10 vahenditega on võimalik valmis teha slaidide kogu ning seda saab ka tunnis kasutada. Kuna need slaidikogud on korduvalt kasutatavad (saab säilitada ka õpilase lahenduse), siis saab neid ka hiljem kordamistundides kasutada. Soovitan kasutada ka MottWikis leiduvaid soovitusi (neid on iga teema puhul) ning soovi korral võib lisamaterjali leida ka Koolielust või internetiotsingut kasutades. Internetist võetud materjalide puhul on vaja need enne kasutamist kriitilise pilguga üle vaadata kas raskusaste on sobiv ja kas materjal on matemaatiliselt korrektne. II kursus - Trigonomeetria Kuna see kursus sisaldab suure hulga valemeid, siis soovitan need teemade kaupa grupeerida eraldi slaididele (pole oluline, kas kasutame Notebook 10 või PowerPointi võimalusi). Sel juhul on võimalik vajaduse korral näidata vajalikke valemeid ekraanile (valemid on mõistlik esitada koos näitega selle kasutamise kohta). Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamisel ei soovita Wirisega katsetada, sest programm ei suuda üldjuhul neid lihtsustada ning ülesandeid ja nende lahendamiseks vajalikke valemeid käsitsi kirjutades jäävad need ka paremini meelde. Seevastu kolmnurgaga seotud teemade õppimisel (pindala valemid, siinus- ja koosinusteoreem) on mõistlik kasutada programmi GeoGebra. Soovitused on üldjuhul samad, mis laia kursuse puhul (vt eespoolt). III kursus Vektor tasandil. Joone võrrand Selle kursuse teemade juures soovitan kasutada GeoGebrat. Ülesannete juures, kus on vaja avaldada mingi vektor baasi?vektorite kaudu, saab vajaliku joonise varem valmis teha ja seda

15 siis tunnis kasutada. Kui GeoGebra tööleht on html-vormingus salvestatud, siis saab seda kasutada mistahes arvutis, sõltumata sellest, kas arvutis on GeoGebra olemas või mitte. Sirge võrrandi käsitlemisel soovitan kasutada GeoGebrat. Arvutijoonisele tuginedes saab kergesti näidata, kuidas tekib sirge võrrand kahe punkti kaudu, punkti ja tõusu kaudu, punkti ja vektori kaudu ning kuidas leitakse kahe sirge lõikepunkti koordinaadid (vt joonis 32). Tasub näidata ka seda, kuidas joonestada sirget, kui algordinaat on suur arv, nt y = 2x 210 vms. Selliste sirgete joonestamise oskus on vajalik füüsikaülesannete lahendamisel. Joonis 32 GeoGebra abil saab kontrollida, kas kahel joonel on lõikepunkte või mitte. Selleks tarvitseb teha joonis ning kahtluse korral (jooned on teineteisele väga lähedal, st neil võib olla ühine punkt) lahendame tekkinud võrrandisüsteemi ja kontrollime lahendeid Wirise abil. IV kursus Tõenäosus ja statistika Soovitused on üldjuhul samad, mis laia kursuse puhul (vt eespoolt). Soovitan kasutada programmi Tõenäosusteooria ning MS Exceli vahendeid (statistika teemade käsitlemisel). Mõne interaktiivse tahvli tarkvara sisaldab vahendeid, millega simuleerida mündi heitmist, täringu(te) veeretamist, kaardipakist kaardi võtmist jms. Soovitan kasutada ka neid materjale, millele viidatakse MottWikis. VII kursus Tasandilised kujundid. Integraal Tasandiliste kujundite käsitlemisel soovitan tunnis kasutatavad joonised GeoGebraga varem valmis teha ning konstruktsiooni navigeerimisriba abil õpilastele joonise teket seletada. Soovitan lasta ka õpilastel GeoGebra abil jooniseid valmistada (mõne kodutöö võibki GeoGebra abil teha). Arvutijoonistega ei tohi ka üle pingutada, võib tekkida oht, et hiljem ei oskagi õpilased joonestusvahendite abil mõistlikke jooniseid teha. Integraali käsitlemisel soovitan kasutada põhiliselt Wirist (õpilased saavad tulemusi kontrollida).

16 VIII kursus Stereomeetria Tunniks ettevalmistamisel saab kasutada joonise tegemiseks GeoGebrat (vt soovitused laia kursuse juures). Kujundite omaduste uurimisel (tippude, tahkude ja servade loendamisel) on võimalik kasutada programmi Poly. 17 V ja VI kursuse kohta on käesolevas kogumikus eraldi artikkel Funktsioonide käsitlemisest IKT vahendite abil. 17

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58

Διαβάστε περισσότερα

Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria.

Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Hele Kiisel, Hugo Treffneri Gümnaasium Analüütilise geomeetria teemad on gümnaasiumi matemaatikakursuses jaotatud kaheks osaks: analüütiline geomeetria tasandil,

Διαβάστε περισσότερα

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori

Διαβάστε περισσότερα

Lokaalsed ekstreemumid

Lokaalsed ekstreemumid Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,

Διαβάστε περισσότερα

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon 2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides

Διαβάστε περισσότερα

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksarvu algebraline kuju

Kompleksarvu algebraline kuju Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa

Διαβάστε περισσότερα

,millest avaldub 21) 23)

,millest avaldub 21) 23) II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetrilised vektorid

Geomeetrilised vektorid Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse

Διαβάστε περισσότερα

Kitsas matemaatika-3 tundi nädalas

Kitsas matemaatika-3 tundi nädalas Kitsas matemaatika-3 tundi nädalas Õpitulemused I kursus-arvuhulgad. Avaldised. Võrrand, võrratus. 1) eristab ratsionaal-, irratsionaal- ja reaalarve; 2) eristab võrdust, samasust, võrrandit ja võrratust;

Διαβάστε περισσότερα

Funktsiooni diferentsiaal

Funktsiooni diferentsiaal Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral

Διαβάστε περισσότερα

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1 κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii

Διαβάστε περισσότερα

Ehitusmehaanika harjutus

Ehitusmehaanika harjutus Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative

Διαβάστε περισσότερα

DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud.

DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurk 1 KOLMNURK DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurga tippe tähistatakse nagu punkte ikka

Διαβάστε περισσότερα

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2 PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused

Διαβάστε περισσότερα

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,

Διαβάστε περισσότερα

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1 laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad

Διαβάστε περισσότερα

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}

Διαβάστε περισσότερα

Analüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets

Analüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets Analüütilise geomeetria praktikum II L. Tuulmets Tartu 1985 2 Peatükk 4 Sirge tasandil 1. Sirge tasandil Kui tasandil on antud afiinne reeper, siis iga sirge tasandil on selle reeperi suhtes määratud lineaarvõrrandiga

Διαβάστε περισσότερα

Ainevaldkond Matemaatika

Ainevaldkond Matemaatika Ainevaldkond Matemaatika 1 Matemaatikapädevus Matemaatika õpetamise eesmärk gümnaasiumis on matemaatikapädevuse kujundamine, see tähendab suutlikkust tunda matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemsust;

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke

Διαβάστε περισσότερα

9. AM ja FM detektorid

9. AM ja FM detektorid 1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid

Διαβάστε περισσότερα

; y ) vektori lõpppunkt, siis

; y ) vektori lõpppunkt, siis III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: http://www.allaveelmaa.com/ematejalid/vekto-koodinaadid-pikkus.pdf Vektoite lahutamine: http://allaveelmaa.com/ematejalid/lahutaminenull.pdf

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning

Διαβάστε περισσότερα

Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül.

Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül. Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln.6 I kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Astmed.. Arvutada avaldise täpne väärtus. 8 * (,8)

Διαβάστε περισσότερα

sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =

sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α = KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α

Διαβάστε περισσότερα

Ainevaldkond Matemaatika gümnaasiumi ainekava

Ainevaldkond Matemaatika gümnaasiumi ainekava Ainevaldkond Matemaatika gümnaasiumi ainekava 1. Ainevaldkonna õppeainete kohustuslikud kursused Lai matemaatika koosneb 14 kursusest: 10 klass: 1. Avaldised ja arvuhulgad 2. Võrrandid ja võrrandisüsteemid

Διαβάστε περισσότερα

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Διαβάστε περισσότερα

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Ainevaldkonna õppeainete kohustuslikud kursused ja valikkursused

1.2. Ainevaldkonna õppeainete kohustuslikud kursused ja valikkursused Vabariigi Valitsuse 06.01.2011. a määruse nr 2 Gümnaasiumi riiklik õppekava lisa 3 1. Ainevaldkond Matemaatika 1.1. Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.

Διαβάστε περισσότερα

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna

Διαβάστε περισσότερα

Ehitusmehaanika. EST meetod

Ehitusmehaanika. EST meetod Ehitusmehaanika. EST meetod Staatikaga määramatu kahe avaga raam /44 4 m q = 8 kn/m 00000000000000000000000 2 EI 4 EI 6 r r F EI p EI = 0 kn p EI p 2 m 00 6 m 00 6 m Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna

Διαβάστε περισσότερα

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti

Διαβάστε περισσότερα

Trigonomeetria gümnaasiumis

Trigonomeetria gümnaasiumis Trignmeetria gümnaasiumis Hannes Jukk, Tartu Ülikl Trignmeetria võib meile tähendada kahte pisut erinevat matemaatikavaldknda. Ajalliselt n see tähendanud esmalt klmnurkade mõõtmise ja lahendamisega senduvat

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a.

Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a. Geomeetria põhivara Jan Willemson 19. mai 2000.a. 1 Kolmnurk Kolmnurgas tasub mõelda järgmistest lõikudest ja sirgetest: kõrgused, nurgapoolitajad, välisnurkade poolitajad, külgede keskristsirged, mediaanid,

Διαβάστε περισσότερα

AINE ÕPPE- JA KASVATUSEESMÄRGID ÜLDPÄDEVUSED

AINE ÕPPE- JA KASVATUSEESMÄRGID ÜLDPÄDEVUSED Matemaatika Gümnaasium 10.-12. klass Kursusi: 14 (lisaks kordamine) Tunde kursuses: 35 Rakendumine: 1. september 2016 Koostamise alus: Gümnaasiumi riiklik õppekava, lisa 3; Koeru Keskkooli õppekava AINE

Διαβάστε περισσότερα

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad 6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline

Διαβάστε περισσότερα

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise

Διαβάστε περισσότερα

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud... Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega

Διαβάστε περισσότερα

Mathematica kasutamine

Mathematica kasutamine mathematica_lyhi_help.nb 1 Mathematica kasutamine 1. Sissejuhatus Programmi Mathematica avanemisel pole programmi tuum - Kernel - vaikimisi käivitatud. Kernel on programmi see osa, mis tegelikult teostab

Διαβάστε περισσότερα

4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks

4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].

Διαβάστε περισσότερα

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud

Διαβάστε περισσότερα

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass 2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH

Διαβάστε περισσότερα

Õppeprotsessi kirjeldus III kooliastmele

Õppeprotsessi kirjeldus III kooliastmele - 1 - Õppeprotsessi kirjeldus III kooliastmele Õppeprotsessi kirjelduses on klasside kaupa lahti kirjutatud õppesisu ja taotletavad õpitulemused. Märgitud on ka muutused võrreldes 2002.a. Lisatud on soovitusi

Διαβάστε περισσότερα

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:

Διαβάστε περισσότερα

PLASTSED DEFORMATSIOONID

PLASTSED DEFORMATSIOONID PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb

Διαβάστε περισσότερα

Vektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias

Vektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias ektorid Matemaatikas tähistab vektor vektorruumi elementi. ektorruum ja vektor on defineeritud väga laialt, kuid praktikas võime vektorit ette kujutada kui kindla arvu liikmetega järjestatud arvuhulka.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom. Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised

Διαβάστε περισσότερα

HULGATEOORIA ELEMENTE

HULGATEOORIA ELEMENTE HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad

Διαβάστε περισσότερα

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika KLASS 11 TUNDIDE ARV 35

Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika KLASS 11 TUNDIDE ARV 35 Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika Permutatsioonid, kombinatsioonid ja variatsioonid. Sündmus. Sündmuste liigid. Klassikaline tõenäosus. Geomeetriline tõenäosus. Sündmuste liigid: sõltuvad ja

Διαβάστε περισσότερα

Andmeanalüüs molekulaarbioloogias

Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Praktikum 3 Kahe grupi keskväärtuste võrdlemine Studenti t-test 1 Hüpoteeside testimise peamised etapid 1. Püstitame ENNE UURINGU ALGUST uurimishüpoteesi ja nullhüpoteesi.

Διαβάστε περισσότερα

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST EESSÕNA Koostanud Hilja Afanasjeva Enne selle teema käsitlemist avame mõned materjalist arusaamiseks vajalikud mõisted hulgateooriast.

Διαβάστε περισσότερα

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad Eesti LIV matemaatikaolümpiaad 31. märts 007 Lõppvoor 9. klass Lahendused 1. Vastus: 43. Ilmselt ei saa see arv sisaldada numbrit 0. Iga vähemalt kahekohaline nõutud omadusega arv sisaldab paarisnumbrit

Διαβάστε περισσότερα

NÄIDE KODUTÖÖ TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL. Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut. AAR0030 Sissejuhatus robotitehnikasse

NÄIDE KODUTÖÖ TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL. Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut. AAR0030 Sissejuhatus robotitehnikasse TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut AAR000 Sissejuhatus robotitehnikasse KODUTÖÖ Teemal: Tööstusroboti Mitsubishi RV-6SD kinemaatika ja juhtimine Tudeng: Aleksei Tepljakov

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele

MATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Matemaatikainstituut MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele Tallinn 24 3 MATEMAATILINE ANALÜÜS II

Διαβάστε περισσότερα

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil. 8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,

Διαβάστε περισσότερα

Vektori u skalaarkorrutist iseendaga nimetatakse selle vektori skalaarruuduks ja tähistatakse (u ) 2 või u 2 u. u v cos α = u 2 + v 2 PQ 2

Vektori u skalaarkorrutist iseendaga nimetatakse selle vektori skalaarruuduks ja tähistatakse (u ) 2 või u 2 u. u v cos α = u 2 + v 2 PQ 2 Vektorite sklrkorrutis Vtleme füüsikkursusest tuntud olukord, kus kehle mõjub jõud F r j keh teeb selle jõu mõjul nihke s Konkreetsuse huvides olgu kehks rööbsteel liikuv vgun Jõud F r mõjugu vgunile rööbstee

Διαβάστε περισσότερα

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja

Διαβάστε περισσότερα

6 Mitme muutuja funktsioonid

6 Mitme muutuja funktsioonid 6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad

Διαβάστε περισσότερα

Smith i diagramm. Peegeldustegur

Smith i diagramm. Peegeldustegur Smith i diagramm Smith i diagrammiks nimetatakse graafilist abivahendit/meetodit põhiliselt sobitusküsimuste lahendamiseks. Selle võttis 1939. aastal kasutusele Philip H. Smith, kes töötas tol ajal ettevõttes

Διαβάστε περισσότερα

Kontekstivabad keeled

Kontekstivabad keeled Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,

Διαβάστε περισσότερα

Lego Mindstormi roboti programmeerimise juhendmaterjali koostamine

Lego Mindstormi roboti programmeerimise juhendmaterjali koostamine Tallinna Ülikool Informaatika Instituut Lego Mindstormi roboti programmeerimise juhendmaterjali koostamine Seminaritöö Autor: Raido Parring Juhendaja: Jaagup Kippar Autor:...... 2012 Juhendaja:...... 2012

Διαβάστε περισσότερα

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS

Διαβάστε περισσότερα

Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid

Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.. Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Aritmeetilised operaatorid Need leiab paletilt "Calculator" ja ei vaja eraldi kommenteerimist.

Διαβάστε περισσότερα

T~oestatavalt korrektne transleerimine

T~oestatavalt korrektne transleerimine T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:

Διαβάστε περισσότερα

Eesti LV matemaatikaolümpiaad

Eesti LV matemaatikaolümpiaad Eesti LV matemaatikaolümpiaad 2. veebruar 2008 Piirkonnavoor Kommentaarid Kokkuvõtteks Selleaastast komplekti võib paremini õnnestunuks lugeda kui paari viimase aasta omi. Lõppvooru pääsemise piirid protsentides

Διαβάστε περισσότερα

Compress 6000 LW Bosch Compress LW C 35 C A ++ A + A B C D E F G. db kw kw /2013

Compress 6000 LW Bosch Compress LW C 35 C A ++ A + A B C D E F G. db kw kw /2013 55 C 35 C A A B C D E F G 50 11 12 11 11 10 11 db kw kw db 2015 811/2013 A A B C D E F G 2015 811/2013 Toote energiatarbe kirjeldus Järgmised toote andmed vastavad nõuetele, mis on esitatud direktiivi

Διαβάστε περισσότερα

Skalaar, vektor, tensor

Skalaar, vektor, tensor Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,

Διαβάστε περισσότερα

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi Kontrollijate kommentaarid 2002. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta Kokkuvõtteks Uuendusena oli tänavusel piirkondlikul olümpiaadil 10.-12. klassides senise 5 asemel 6 ülesannet, millest

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA KITSA JA LAIA KURSUSE RIIGIEKSAM

MATEMAATIKA KITSA JA LAIA KURSUSE RIIGIEKSAM Lea Lepmann Tiit Lepmann MATEMAATIKA KITSA JA LAIA KURSUSE RIIGIEKSAM Ülesanded, lahendused, kommentaarid ja soovitused Kõigi käesolevas kogumikus kasutatud riigi- ja katseeksamite ülesannete autoriõigused

Διαβάστε περισσότερα

Tuletis ja diferentsiaal

Tuletis ja diferentsiaal Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.

Διαβάστε περισσότερα

1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5

1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5 1. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 2013-14. 1 Reaalarvud ja kompleksarvud Sisukord 1 Reaalarvud ja kompleksarvud 1 1.1 Reaalarvud................................... 2 1.2 Kompleksarvud.................................

Διαβάστε περισσότερα

Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel

Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides Magistritöö Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Tartu 2013 Sisukord Sissejuhatus Ajalooline sissejuhatus iii v 1 Rühmateooria elemente 1 1.1 Substitutsioonide

Διαβάστε περισσότερα

Sirgete varraste vääne

Sirgete varraste vääne 1 Peatükk 8 Sirgete varraste vääne 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-8.1 Sissejuhatus ja lahendusmeetod Käesoleva loengukonspekti alajaotuses.10. käsitleti väändepingete leidmist ümarvarrastes ja alajaotuses.10.3

Διαβάστε περισσότερα

I. Keemiline termodünaamika. II. Keemiline kineetika ja tasakaal

I. Keemiline termodünaamika. II. Keemiline kineetika ja tasakaal I. Keemiline termdünaamika I. Keemiline termdünaamika 1. Arvutage etüüni tekke-entalpia ΔH f lähtudes ainete põlemisentalpiatest: ΔH c [C(gr)] = -394 kj/ml; ΔH c [H 2 (g)] = -286 kj/ml; ΔH c [C 2 H 2 (g)]

Διαβάστε περισσότερα

Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist

Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). KINEMAATIKA. Ühtlane liikumine Punktmass Punktmassiks me nimetame keha, mille mõõtmeid me antud liikumise juures ei pruugi arestada. Sel juhul loemegi keha tema asukoha

Διαβάστε περισσότερα

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots TARTU ÜLIKOOL Teaduskool STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi

Διαβάστε περισσότερα

Elastsusteooria tasandülesanne

Elastsusteooria tasandülesanne Peatükk 5 Eastsusteooria tasandüesanne 143 5.1. Tasandüesande mõiste 144 5.1 Tasandüesande mõiste Seeks, et iseoomustada pingust või deformatsiooni eastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni

Διαβάστε περισσότερα

Energiabilanss netoenergiavajadus

Energiabilanss netoenergiavajadus Energiabilanss netoenergiajadus 1/26 Eelmisel loengul soojuskadude arvutus (võimsus) φ + + + tot = φ φ φ juht v inf φ sv Energia = tunnivõimsuste summa kwh Netoenergiajadus (ruumis), energiakasutus (tehnosüsteemis)

Διαβάστε περισσότερα

(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33

(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 (Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 Normaallõike tugevusarvutuse alused. Arvutuslikud pinge-deormatsioonidiagrammid Elemendi normaallõige (ristlõige) on elemendi pikiteljega risti olev lõige (s.o.

Διαβάστε περισσότερα

3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE

3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3.1. Loendamise põhireeglid Kombinatoorika on diskreetse matemaatika osa, mis uurib probleeme, kus on tegemist kas diskreetse hulga mingis mõttes eristatavate osahulkadega

Διαβάστε περισσότερα

1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014

1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 1 MTMM.00.188 Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 Eksamitöö annab kokku 80 punkti ja ülesanded jagunevad järgmisse kuude gruppi: P1 ( 10p ) - ülesanded I kontrolltöö põhiteemade peale; P2 ( 10p ) - ülesanded

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja

Διαβάστε περισσότερα

Kehade soojendamisel või jahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks.

Kehade soojendamisel või jahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks. KOOLIFÜÜSIKA: SOOJUS 3 (kaugõppele) 6. FAASISIIRDED Kehade sooendamisel või ahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks. Sooendamisel vaaminev

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte 51. täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte 51. täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte 5 täppisteaduste olümpiaad Füüsika lõppvoor 7 märts 2004 a Põhikooli ülesannete lahendused ülesanne (KLAASTORU) Plaat eraldub torust siis, kui petrooleumisamba rõhk saab võrdseks veesamba

Διαβάστε περισσότερα

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui Ülesnded j lhendused utomtjuhtimisest Ülesnne. Süsteem oosneb hest jdmisi ühendtud erioodilisest lülist, mille jonstndid on 0,08 j 0,5 ning õimendustegurid stlt 0 j 50. Leid süsteemi summrne ülendefuntsioon.

Διαβάστε περισσότερα

Skalaar, vektor, tensor

Skalaar, vektor, tensor Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)

MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks

Διαβάστε περισσότερα

5. TUGEVUSARVUTUSED PAINDELE

5. TUGEVUSARVUTUSED PAINDELE TTÜ EHHTROONKNSTTUUT HE00 - SNTEHNK.5P/ETS 5 - -0-- E, S 5. TUGEVUSRVUTUSE PNELE Staatika üesandes (Toereaktsioonide eidmine) vaadatud näidete ause koostada taade sisejõuepüürid (põikjõud ja paindemoment)

Διαβάστε περισσότερα

7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85

7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7 Hii-ruut test Üks universaalsemaid ja sagedamini kasutust leidev test on hii-ruut (χ 2 -test, inglise keeles ka chi-square test). Oletame, et sooritataval katsel on k erinevat

Διαβάστε περισσότερα

Sisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32

Sisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32 Sisukord Sündmused ja t~oenäosused 4. Sündmused................................... 4.2 T~oenäosus.................................... 7.2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b),

Διαβάστε περισσότερα

Deformeeruva keskkonna dünaamika

Deformeeruva keskkonna dünaamika Peatükk 4 Deformeeruva keskkonna dünaamika 1 Dünaamika on mehaanika osa, mis uurib materiaalsete keskkondade liikumist välismõjude (välisjõudude) toimel. Uuritavaks materiaalseks keskkonnaks võib olla

Διαβάστε περισσότερα