Isomorphism-invariants and their applications in testing for isomorphism between finitely presented groups

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Isomorphism-invariants and their applications in testing for isomorphism between finitely presented groups"

Λυσάνδρα Παπάγος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 014 مجلة جامعة دمشق للعلوم الا ساسية المجلد (30) العدد الثاني الصفات الثابتة بالتماثل وتطبيقها في التحقق من تماثل الزمر منتهية التمثيل () (1) نضال جبيلي و عبد اللطيف هنانو تاريخ الا يداع 013/03/5 قبل للنشر في 013/09/6 المل خص تقدم هذه الورقة العلمية بعض الصفات الثابتة بالتماثل في الزمر مع توظيفها في خوارزمية لاختبار زمرتين منتهيتي التمثيل. وتبدا هذه الخوارزمية با يجاد الزمر الدوارة المحتواة في كل من الزمرتين المطلوب اختبارهما ومن ثم يقارن توز ع مجموعة معينة من عناصر الزمرتين الخاضعتين للاختبار ضمن تلك الزمر الدوارة. تهدف الخوارزمية ا لى الوصول ا لى ا حدى النتيجتين: 1. الحصول على زمرتين تملكان البصمة نفسها.. ا ثبات ا ن الزمرتين الخاضعتين للاختبار غير متماثلتين. الكلمات المفتاحية: تماثل زمر منتهية التمثيل صفات ثابتة بالتماثل. التصنيف الرياضي العالمي : 05E15 (1) () طالب ماجستير ا ستاذ مساعد قسم الرياضيات كلية العلوم جامعة دمشق سورية. 351

2 جبيلي وهنانو الصفات الثابتة بالتماثل وتطبيقها في التحقق من تماثل الزمر منتهية التمثيل Isomorphism-invrints nd their pplictions in testing for isomorphism between finitely presented groups N.Jbeily ( 1) nd A. Hnno () Received 5/03/013 Accepted 6/09/013 ABSTRAT This pper introduces some isomorphism-invrints for groups nd uses them to test two finitely presented groups. The introduced lgorithm strts with the construction of ll cyclic groups contined in the groups under test, then it compres the distribution of prticulr set of elements in the constructed cyclic groups. The lgorithm leds to one of these two results: 1. The groups hve the sme "fingerprint". The groups re not isomorphic Key words: Isomorphism, Finitely Presented Groups, Isomorphisminvrints. ( 1 ) MS., Student, () Associte Professor, Deprtment of Mthemtics, Fculty of Sciences, Dmscus University, Syri. 35

3 014 مجلة جامعة دمشق للعلوم الا ساسية المجلد (30) العدد الثاني مقدمة كان تيتز (Tietze) ا ول من طرح مسا لة التحقق من تماثل زمرتين منتهيتي التمثيل وذلك في عام (1908) ومن ثم صاغ ماكس دين Dehn) (Mx عام (1911) ثلاث مساي ل حول الزمر منتهية التمثيل من بينها التحقق من تماثل الزمر ذات التمثيل المنتهي وتعرف هذه المساي ل بمساي ل دين Problems) (Dehn's وهي: مسا لة ترميز الحيادي problem) (identity ومسا لة الترافق problem) (conjugcy ومسا لة التماثل problem).(isomorphism والمساي ل الثلاث السابقة غير قابلة للا قرار فقد ا ثبت نوفيكوف (Novikov) وبون (Boone) ا ن مسا لتي الترافق وترميز الحيادي غير قابلتين للا قرار كما ا ثبت ربين (Rbin) وا ديان (Adin) ا ن مسا لة التماثل غير قابلة للا قرار. وي عد ماغنس (Mgnus) في كتابه [3] ا ن مسا لة التماثل هي الا كثر صعوبة من بين هذه المساي ل. تعاريف ومصطلحات ا ساسية:[ 1 ] 1. يقال عن زمرة ا نها زمرة حرة على المجموعة X Φ المحتواة في ا ذا وفقط ا ذا تحقق ما يا تي: ا يا تكن الزمرة G وا يا يكن التطبيق θ : X G يوجد x X : θ ( x) = θ ( x) يحقق: θ : تشاكل زمري وحيد G. اللصاقة النظامية لمجموعة R في G التي كل منها يحتوي المجموعة في زمرة. R ونرمز لها > G هي تقاطع الزمر الجزي ية الناظمية [1]. < R G x, {( بالرمز 1) : x 3. لتكن X مجموعة غير خالية نرمز للمجموعة {X 1. X ونرمز لكل عنصر x, ( من 1) 1 بالرمز X 1 [1]. x A X 4. نعرف المجموعة با نها 1 X X با نها مجموعة الكلمات التي كل منها من الشكل ونعرف من ا جل A X المجموعة * A X 1 x r... x x ا ذ xi A X.5 لتكن X للزمرة مجموعة غير خالية ولتكن G با نه زمرة R مجموعة جزي ية من و i r [1].1 * A X نعرف التمثيل N تحقق ا ن N G ا ذ N =< R > N بالرمز. < X R > ونرمز الزمرة 353

4 جبيلي وهنانو الصفات الثابتة بالتماثل وتطبيقها في التحقق من تماثل الزمر منتهية التمثيل ت سمى ونقول: ا ن التمثيل > R < X منته ا ذا كانت X, R مجموعتين منتهيتين وعندي ذ G زمرة منتهية التمثيل. [1] 6. نقول عن زمرتين: ا نهما تملكان البصمة (fingerprint) نفسها ا ذا امتلكتا صفة مشتركة ثابتة بالتماثل. طراي ق التحقق من تماثل الزمر ذات التمثيل المنتهي: من الممكن تصنيف خوارزميات واختبارات التحقق من تماثل الزمر ذات التمثيل المنتهي ا لى ثلاثة ا صناف: 1. خوارزميات للتحقق من وجود تماثل بين زمر ذات تمثيل منته تملك خاصة معينة فقدا ثبت سيغال (Segl) في عام (1990) وجود خوارزمية للتحقق من تماثل زمر متعددة التدوير Groups) (Polycyclic معطاة بتمثيلات منتهية [5]. كما قدم (O Brien) عام (1994) خوارزمية لاختبار تماثل ال p زمر [4].. في عام (199) قدم هولت و ريز Rees) (Holt & مقاربة ا كثر عمومية لاختبار التماثل بين الزمر منتهية التمثيل وذلك بالاعتماد على ا جراي ية كنوث بندكس Knuth-) (Bendix Procedure وتقوم هذه المقاربة على محاولة ا ثبات وجود ا و عدم وجود تماثل بالتناوب عبر تنفيذ برنامج حاسوبي مددا طويلة ا لى ا ن تتحقق ا حدى هاتين النتيجتين []. 3. الاعتماد على الصفات الثابتة بالتماثل (Isomorphism-invrints) ا و ما يعرف ببصمة الزمرة وت ستخدم هذه الطريقة لغايتين: i) ا ثبات عدم وجود تماثل بين زمرتين. (ii تبسيط البحث عن الزمر المتماثلة عبر تقسيم مجموعة من الزمر المطلوب اختبارها ا لى مجموعات ا صغر في عدد عناصرها وفي كل منها زمر تحمل البصمة نفسها [1]. قد منا خوارزمية من النوع الا خير (3) ولكن نبدا بتعريف دليل عنصر في زمرة دوارة 354

5 014 مجلة جامعة دمشق للعلوم الا ساسية المجلد (30) العدد الثاني تعريف x لتكن زمرة دوارة مولدة بالعنصر نعرف دليل عنصر العدد با نه من. I () ( ونرمز له ب 1 i i = x وذلك حيث ) الطبيعي i الذي يحقق ا ن G 1,G تملكان البصمة نفسها الخوارزمية. G,G 1 الدخل: تمثيلان منتهيان لزمرتين الخرج : في حال نجاح الخوارزمية فا ن الزمرتين وا لا.G G 1 لا تماثل فا ن خطوات الخوارزمية: ا سرة خالية: من ا جل كل عنصر من G 1 شك ل الزمرة الدوارة.1 لتكن {} = 1 Σ. Σ 1 H المولدة بهذا العنصر وا ضف ا لى الا سرة H من ا جل كل عنصر c من G شك ل الزمرة الدوارة. لتكن {} = Σ ا سرة خالية:. Σ K c المولدة بهذا العنصر وا ضف ا لى الا سرة K c G 1 لا. Ψ = { Ζ K : K Ζ Ψ1 = { و الا سرة } H.3 شك ل الا سرة Σ1} : H Σ Ψ1 = Ψ انتقل ا لى الخطوة التالية وا لا ا وقف العمل وا ظهر النتيجة 4. ا ذا كان.G تماثل H H H b H b Σ 1 ا ذا و جد حيث احذف من H Σ 1 5. من ا جل كل. Σ 1. Σ. S. S c K c Kc K d حيث من احذف K d = {. b : Hb Σ1; < b >= Hb H} Σ K c ا ذا و جد Σ 1 شك ل المجموعة = { c. d : Kd Σ; < d >= Kd Kc} شك ل المجموعة Σ Σ ومن ا جل كل H من K c 6. لكل ولكل. Γ = { S c : Kc و{ Σ Γ1 = { S : H ولتكن {Σ1 S حيث: Σ 1 شك ل المجموعة H من 7. لكل S =, b ) : s S ; s H,..., H ; H =, I ( s) = b } k {( k k 1 m k k H k. H,..., Σ 1 H m 1 من وذلك حيث ) m k (1 و حيث 355

6 جبيلي وهنانو الصفات الثابتة بالتماثل وتطبيقها في التحقق من تماثل الزمر منتهية التمثيل S حيث: c Σ شك ل المجموعة K c من 8. لكل S = c, d ) : z S ; z K,..., K ; K = c, I ( z) = d } l c {( l l c 1 n l l K l : Ω. K,..., 1 K Σ n وذلك حيث ) n l (1 و حيث = { S c : Kc و{ Σ Ω = { S : H 1} 1.9 لتكن Σ G G, 1 تملكان البصمة ذاتها وا ذا كان Ω1 = Ω فا ن الزمرتين ا ذا كانت. G G 1 لا تماثل Ω1 Ω فا ن عندما مبرهنة ا ذا كانت الا ثبات G G, 1 زمرتين منتهيتين فالخوارزمية السابقة تعطي في حال نجاحها (ا ي ( Ω1 = Ω زمرتين تملكان البصمة نفسها وا لا فا نها تعطي زمرتين غير متماثلتين. G f (g) : G,G 1 f : G1 تماثلا بين الزمرتين ليكن G g G 1 و كانت مرتبة g في هي n فا ن مرتبة ا ذا كان هي في G 1 n ا يضا لا ن: وا ن n هو ا صغر عدد طبيعي يحقق العلاقة f = m ( g ) 1G ( f ( g)) m = 1G n n ( f ( g)) = f ( g ) = f (1 G ) = 1 1 G m < n g)) ( f ( لا ن: n = 1G ا ن بفرض وجود عدد يحقق وهذا يناقض ا ن مرتبة في عندي ذ يكون ا ي Σ,Σ 1 ( Z G 1 هي. n ومنه نجد ا ن الا سرتين g m g = 1 G1 Σ,Σ 1 الزمرة ستكونان متساويتين (بعد ا ن نستبدل بكل زمرة دوارة تنتمي ا لى Σ 1,Σ وهذا يصلح معيارا مستقلا للزمر المتماثلة ا ي تكفي مقارنة بعد ا جراء عملية السابقة. G G 1 لا تماثل الاستبدال و في حال عدم تساويهما فا ن ليكن بقي ا ن نثبت ا ن ا دلة عنصر في الزمر الدوارة التي تحويه تساوي ا دلة صورته وفق تماثل: ( g) i 1 1 n وبفرض ا ن g) I =,..., I ( حيث = i n زمر 1,..., n. g g G 1 دوارة محتواة في G 1 و كل منها يحوي 356

7 014 مجلة جامعة دمشق للعلوم الا ساسية المجلد (30) العدد الثاني K 1,..., K m K ( f ( g)) j 1 1 K m وبفرض ا ن محتواة في g)) I =,..., I ( f ( حيث = j m وكل منها يحوي زمر دوارة : f (g) g) f ( (حيث t n (1 ولما f ( t g t فا ن ) ا ن m = n لا ن: ا ذا كان : f يساوي عدد صورها المباشرة وفق 1,..., n كان f تقابلا فا ن عدد المجموعات. f ( 1 ),..., f ( n ) i ( c t ومنه t =< c t (حيث > t = g ا ي ا ن I t ( g) = i t : K t لدينا = f ( t لتكن ) i it it f ( g ) = f ( ct t ) = ( f ( ct )) = k ; t K t =< kt فا ن: >. I ( g) ا ي ا ن g)) I ( f ( = t Kt G 357

8 جبيلي وهنانو الصفات الثابتة بالتماثل وتطبيقها في التحقق من تماثل الزمر منتهية التمثيل REFERENES [1]Holt, D. F., Bettin Eick nd Emonn A.O Brien. (005). Hndbook of omputtionl Group Theory. hpmn & Hll/R Press. [] Holt, D. F. nd Srh Rees. (199). Testing for isomorphism between finitely presented groups. Groups, ombintorics & Geometry Durhm, London Mthemticl Society Lecture Note Series [3] Mgnus, W., Krrss, A. nd Solitr, D. (1966). ombintoril Group Theory Presenttions of Groups in Terms of Genertors nd Reltions. Dover Publictions, IN. New York. [4] O'Brien, E. A. (1994). Isomorphism testing for p-groups. Journl of Symbolic omputtion. Volume 17, Issue [5] Segl, Dn. (1990). Decidble properties of polycyclic groups. Proceedings of the London Mthemticl Society.Volume s3-61 Issue

Σχετικά έγγραφα

قوانين التشكيل 9 الةي ر السام ظزري 11/12/2016 د. أسمهان خضور سنستعمل الرمز (T,E) عوضا عن قولنا إن T قانون تشكيل داخلي يعرف على المجموعة E

قوانين التشكيل 9 الةي ر السام ظزري 11/12/2016 د. أسمهان خضور سنستعمل الرمز (T,E) عوضا عن قولنا إن T قانون تشكيل داخلي يعرف على المجموعة E ظزري 45 قوانين التشكيل 9 11/12/2016 8 الةي ر السام د. أسمهان خضور صاظعن الاحضغض الثاخطغ operation) (the Internal binary تعريف: ا ن قانون التشكيل الداخلي على المجموعة غير الخالية ( E) E يعر ف على ا نه التطبيق.