Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Transcript

1 Διάλεξη 3: Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Βραχύτερα Μονοπάτια σε γράφους -Ο αλγόριθμος ijkstraγια εύρεση της βραχύτερης απόστασης -Ο αλγόριθμος ijkstraγια εύρεση του βραχύτερου μονοπατιού & απόστασης Διδάσκων: Παναγιώτης νδρέου ΕΠΛ03 Δομές Δεδομένων και λγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. Και Μηχ. Υπολ.

2 Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους Με δεδομένο ένα κατευθυνόμενο γράφο με βάρη G=(V,), θέλουμε να βρούμε τα μονοπάτια με το ελάχιστο δυνατό βάροςαπό κάποιο κόμβο A προς οποιονδήποτε κόμβο Χ. Ορισμός:Βραχύτερο μονοπάτιμεταξύ ενός συνόλου από μονοπάτια είναι το μονοπάτι με το ελάχιστο βάρος. Υπενθύμιση: Το βάρος w(p) ενός μονοπατιού p δίνεται ως εξής: Aν τότε p w( = v p ) v... v o k = i = w( v i Σε αυτή την διάλεξη θα δούμε ακόμα ένα άπληστο αλγόριθμο (greedy algorithm)του Δανού dsgerijkstra ( )για την επίλυση αυτού του προβλήματος. Ένας τέτοιος αλγόριθμος έχει πολλές εφαρμογές (π.χ. εύρεση μικρότερης διαδρομής σε ένα οδικό δίκτυο, σε δίκτυα υπολογιστών κτλ).,v i k ) ΕΠΛ03 Δομές Δεδομένων και λγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. Και Μηχ. Υπολ. 2

3 Η δομή της βέλτιστης λύσης Λήμμα Έστω κατευθυνόμενος γράφος με βάρη G=(V,) και έστω p u v... v k = το βραχύτερο μονοπάτι μεταξύ των κόμβων u και v. Τότε κάθε υπο-μονοπάτι του p είναι βραχύτερο. v ς δούμε την λογική πίσω από το Λήμμα. 6 ΕΠΛ03 Δομές Δεδομένων και λγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. Και Μηχ. Υπολ. 3

4 νασκόπηση του λγόριθμου ijkstra Έστω ότι θέλουμε να βρούμε το/α βραχύτερα μονοπάτια από κάποιο κόμβο Aπρος όλους τους υπόλοιπους κόμβους σε κάποιο γράφο G(V,) 6. Ποιο είναι το κόστος του βραχύτερου μονοπατιού από προς ; 2. Ποιο είναι το ακριβές μονοπάτι; Ο αλγόριθμος του ijkstra είναι ένας single source shortest path algorithm(δηλαδή αναφέρεται συγκεκριμένα σε μια κορυφήεκκίνησης) για γράφους με μη-αρνητικά βάρη. ΕΠΛ03 Δομές Δεδομένων και λγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. Και Μηχ. Υπολ.

5 ρνητικά Βάρη στον λγόριθμο του ijkstra Σημειώστε ότι όταν υπάρχουν αρνητικά βάρη, τότε είναι δυνατό αυτά να μας θέσουν την μικρότερη απόσταση, αναδρομικά, ίση με -. Παράδειγμα: 6-20 Ποια είναι η βραχύτερη απόσταση μεταξύ (,Γ); Πρώτη Εκτέλεση : => Δεύτερη Εκτέλεση -: =>=>=>=> Τρίτη Εκτέλεση -: =>=>=>=>=>=>Β=>.. ΕΠΛ03 Δομές Δεδομένων και λγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. Και Μηχ. Υπολ.

6 Παράδειγμα Εκτέλεσης λγορίθμου ijkstra / Πάρε σαν παράμετρο κάποια κορυφή, έστω η κορυφή ρχικοποίησε ένα πίνακα distanceκαι θέσε την απόσταση όλων των κορυφών από την κορυφή είναι ίση με -. Εκτέλεση S d(a) d() d() d() d() d() S= 0 ρχικοποίησε ένα πίνακα visited όπου θα σημειώνει από ποιες κορυφές έχουμε περάσει ήδη 6 Εκτέλεση S v(a) v() v() v() v() v() S= ΕΠΛ03 Δομές Δεδομένων και λγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. Και Μηχ. Υπολ. 6

7 Παράδειγμα Εκτέλεσης λγορίθμου ijkstra 2/ ρχικοποίησε τον πίνακα distance με τις ακμές της κορυφής εισόδου. 6 Εκτέλεση S d(a) d() d() d() d() d() S= 0 2 S={A} 0 6 Σε κάθε βήμα του αλγόριθμου, επίλεξε«άπληστα» την κορυφή με την ελάχιστη απόστασηπου δεν έχεις επισκεφθεί Κορυφές που έχουµε επισκεφθεί (visited=) ΕΠΛ03 Δομές Δεδομένων και λγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. Και Μηχ. Υπολ. 7

8 Παράδειγμα Εκτέλεσης λγορίθμου ijkstra 3/ 6 Εκτέλεση S d(a) d() d() d() d() d() S= 0 2 S={A} S={A,} Χ Κορυφές που έχουµε επισκεφθεί (visited=) Επιλογή της ελάχιστης απόστασης Μείωση από την προηγούµενη απόσταση Η Ε (απόσταση=6) έχει ακμές με Β,(6+=7) και (6+=0) φού οι αποστάσεις αυτές είναι μικρότερες από τις υπάρχουσες τότε ενημερώνεται ο πίνακας ανάλογα. ΕΠΛ03 Δομές Δεδομένων και λγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. Και Μηχ. Υπολ.

9 Παράδειγμα Εκτέλεσης λγορίθμου ijkstra / 6 Εκτέλεση S d(a) d() d() d() d() d() S= 0 2 S={A} S={A,} S={A,,} S={A,,,} S={A,,,,} S={A,,,,, } Χ Κορυφές που έχουµε επισκεφθεί (visited=) Επιλογή της ελάχιστης απόστασης Μείωση από την προηγούµενη απόσταση ΕΠΛ03 Δομές Δεδομένων και λγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. Και Μηχ. Υπολ.

10 Υλοποίηση του λγόριθμου ijkstra // A: Σημείο Εκκίνησης. G(V,): Ο Γράφος dijkstra( G(V,), vertex ){ distance[ V ]={ }; // πόσταση κορυφής i από κορυφή visited[ V ]={}; // Σημειώνει αν περάσαμε η όχι από κορυφή count = 0; // Μετρητής κορυφών που επισκεφθήκαμε // ρχικοποίηση σημείου εκκίνησης distance[a]=0; visited[a]=; while (count < V ){ // σε χρόνο O( V ) // Προχωρούμε στον επόμενο κόμβο u=minvertex(v); // Άπληστη επιλογή σε χρόνο O( V ) } // Ενημέρωση αποστάσεων γειτόνων προς για κάθε γείτονα v του u { if (distance[v] > distance[u] + w(u,v)) distance[v] = distance[u] + w(u,v); } count++; } Συνολικός Χρόνος Εκτέλεσης: O( V 2 ) ΕΠΛ03 Δομές Δεδομένων και λγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. Και Μηχ. Υπολ. 0

11 ijkstra για εύρεση του Βραχύτερου Μονοπατιού ν εκτός από το μήκος του μονοπατιού μας ενδιαφέρει και το ακριβές μονοπάτι (οι κόμβοι του) τότε μπορούμε να ακολουθήσουμε την ίδια βασική ιδέα με την εξής προσθήκη Για κάθε κορυφή αποθηκεύουμε σε ένα πίνακα P, τον γείτονα που θα μας δώσει το βραχύτερο μονοπάτι προς τον κόμβο εκκίνησης. Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε με τον τερματισμό του αλγόριθμου να κατασκευάσουμε από τον πίνακα P το μέγιστο μονοπάτι από τον κόμβο εκκίνησης προς κάποιον άλλο κόμβο Χ ΕΠΛ03 Δομές Δεδομένων και λγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. Και Μηχ. Υπολ.

12 λγόριθμος ijkstra για εύρεση Βραχ. Μονοπατιού 6 Εκτέλεση S d(a) d() d() d() d() d() S= 0,-,-,-,-,-,- 2 S={A} 0,-,, 6, 3 S={A,} 0,- 7,Ε 7,Ε 6, 0,Ε S={A,,} 0,- 7,Ε 2,Β 7,Ε 6,,Β S={A,,,} 0,- 7,Ε 2,Β 7,Ε 6,,Β 6 S={A,,,,} 0,- 7,Ε, 7,Ε 6,,Β 7 S={A,,,,, } 0,- 7,Ε, 7,Ε 6,,Β Χ Κορυφές που έχουµε επισκεφθεί (visited=) Επιλογή της ελάχιστης απόστασης Μείωση από την προηγούµενη απόσταση ΕΠΛ03 Δομές Δεδομένων και λγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. Και Μηχ. Υπολ. 2

13 Υλοποίηση του λγόριθμου ijkstra // A: Σημείο Εκκίνησης. G(V,): Ο Γράφος dijkstra( G(V,), vertex ){ distance[ V ]={ }; // πόσταση κορυφής i από κορυφή visited[ V ]={}; // Σημειώνει αν περάσαμε η όχι από κορυφή shortest[ V ]={}; // Σημειώνει το βραχύτερο μονοπάτι count = 0; // Μετρητής κορυφών που επισκεφθήκαμε // ρχικοποίηση σημείου εκκίνησης distance[a]=0; visited[a]=; } while (count < V ){ // σε χρόνο O( V ) // Προχωρούμε στον επόμενο κόμβο u=minvertex(v); // Άπληστη επιλογή σε χρόνο O( V ) // Ενημέρωση αποστάσεων γειτόνων προς για κάθε γείτονα v του u { if (distance[v] > distance[u] + w(u,v)) { distance[v] = distance[u] + w(u,v); shortest[v] = u; } } count++; } ΕΠΛ03 Δομές Δεδομένων και λγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. Και Μηχ. Υπολ. 3