Ευκλείδης (~325 - ~265 π.χ.): «Ο ΘΕΜΕΛΙΩΤΗΣ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ευκλείδης (~325 - ~265 π.χ.): «Ο ΘΕΜΕΛΙΩΤΗΣ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ»"

Transcript

1 Ευκλείδης (~325 - ~265 π.χ.): «Ο ΘΕΜΕΛΙΩΤΗΣ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ» Για τη ζωή του Ευκλείδη είναι γνωστά λίγα πράγματα: ήταν σύγχρονος του Αρχιμήδη και πιθανόν να μαθήτευσε στην Ακαδημία του Πλάτωνα στην Αθήνα. Ήταν ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν από τον Πτολεμαίο Α, για να επανδρώσουν το περίφημο πανεπιστήμιο της Αλεξάνδρειας. Άλλες αξιόλογες τεκμηριωμένες πληροφορίες δεν υπάρχουν. Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια, όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του, των Στοιχείων. Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία, γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη, θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδρασή της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί. Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου, που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγούμενων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξή τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη με την πρώτη εμφάνισή τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση. Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο, καμία άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε, μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ. Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας. Από τη πρώτη έκδοσή της στα 1742 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις. Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών. Γιατί όμως «στοιχεία»; Ο Πρόκλος, ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε τον 5 ο αιώνα, έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου «στοιχεία». Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης. Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσοτέρων από τα άλλα θεωρήματα. Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα: τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία. Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα. Αυτό καταδεικνύει τη δυσκολία του εγχειρήματος του Ευκλείδη και του προσδίδει την αίγλη που το χαρακτηρίζει. Δεν σώζεται κανένα αντίγραφο των Στοιχείων από την εποχή του ίδιου του Ευκλείδη. Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θέωνας από την Αλεξάνδρεια, ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια χρόνια μετά τον Ευκλείδη. Μόνο στις αρχές του 19 ου αιώνα ανακαλύφθηκε, στη βιβλιοθήκη του Βατικανού, ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από τον Θέωνα. Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θέωνα. Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά. Τον 8 ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν ένα αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια από τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις. Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Ντικράν Ματοσσιάν Μαθηματικός Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας Μυτιλήνης, Σχολικό Έτος:

2 Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 στα λατινικά και ήταν μετάφραση του Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus). Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε. Μια σημαντική μετάφραση έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε σαν βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν. Στην έκδοση του Θέωνα, τα Στοιχεία περιλαμβάνουν δεκατρία βιβλία ή μέρη και περιέχουν συνολικά 465 προτάσεις. Αντίθετα με την εντύπωση που επικρατεί, ένα μεγάλο μέρος του υλικού αφορά όχι την γεωμετρία αλλά τη στοιχειώδη θεωρία αριθμών και την ελληνική άλγεβρα. Ειδικότερα: τα πρώτα έξι βιβλία καλύπτουν τη Γεωμετρία του επιπέδου, τα βιβλία επτά μέχρι εννέα την Αριθμητική και τη Θεωρία Αριθμών (για παράδειγμα το βιβλίο 7 αρχίζει με τη διαδικασία που σήμερα είναι γνωστή ως ο αλγόριθμος του Ευκλείδη, με την οποία βρίσκουμε το Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη δύο ή περισσοτέρων ακεραίων), το δέκατο βιβλίο, ένα δύσκολο στην ανάγνωση βιβλίο, αναφέρεται στους άρρητους αριθμούς δηλαδή με ευθύγραμμα τμήματα που είναι ασύμμετρα ως προς κάποιο δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα, και τα τρία τελευταία βιβλία στη Στερεομετρία. Η ύλη που υπάρχει σήμερα στα σχολικά βιβλία είναι σε μεγάλο βαθμό αυτή που βρίσκουμε στα βιβλία 1, 3, 4, 6, 11 και 12 του Ευκλείδη. Η ύλη των σύγχρονων σχολικών βιβλίων που αναφέρεται στη μέτρηση του κύκλου και της σφαίρας έχουν μεταγενέστερη προέλευση και δεν περιέχονται στα Στοιχεία του Ευκλείδη. Το Βιβλίο 1 αρχίζει με τους απαραίτητους αρχικούς ορισμούς και τις επεξηγήσεις, τα αιτήματα και τα αξιώματα. Αν και σήμερα οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν τις λέξεις «αξίωμα» και «αίτημα» σαν συνώνυμα, οι αρχαίοι Έλληνες έκαναν κάποια διάκριση που υιοθέτησε και ο Ευκλείδης: σύμφωνα με αυτή, αξίωμα φαίνεται πως είναι μια αρχική υπόθεση που είναι κοινή σε όλα τα πεδία μελέτης, ενώ το αίτημα είναι μια αρχική υπόθεση ειδικά για το συγκεκριμένο αντικείμενο μελέτης. Τα αξιώματα και τα αιτήματα του Ευκλείδη ήταν τα ακόλουθα: Τα αιτήματα : 1. Από κάθε δυο σημεία μπορούμε να φέρουμε ευθεία γραμμή. 2. Ένα ευθύγραμμο τμήμα μπορεί να προεκτείνεται συνεχώς και ευθύγραμμα. 3. Με οποιοδήποτε σημείο ως κέντρο και με οποιαδήποτε ακτίνα μπορεί να γραφεί κύκλος. 4. Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. 5. Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες ευθείες γραμμές έτσι ώστε οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες που σχηματίζονται να έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε, όταν οι δύο ευθείες προεκταθούν απεριόριστα, θα συναντηθούν από εκείνο το μέρος που σχηματίζονται οι μικρότερες των δύο ορθών γωνίες. Τα αξιώματα ή κοινές έννοιες : 1. Πράγματα που είναι ίσα προς τρίτο είναι και μεταξύ τους ίσα. 2. Αν ίσα προστεθούν με ίσα, τότε το άθροισμα θα είναι ίσα. 3. Αν ίσα αφαιρεθούν από ίσα, τότε τα υπόλοιπα θα είναι ίσα. 4. Πράγματα που εφαρμόζουν το ένα πάνω στο άλλο, είναι ίσα μεταξύ τους. 5. Το όλον είναι μεγαλύτερο του μέρους 2

3 Παρατηρήστε ότι τα τρία πρώτα αιτήματα περιορίζουν τις κατασκευές σε εκείνες που μπορούν να γίνουν με κανόνα και διαβήτη και αβαθμολόγητο κανόνα (χάρακα χωρίς υποδιαιρέσεις). Για το λόγο αυτό τα δύο αυτά εργαλεία λέγονται συχνά ευκλείδεια εργαλεία και οι κατασκευές που γίνονται από αυτά ευκλείδειες κατασκευές. Ο Ευκλείδης χρησιμοποιούσε τις κατασκευές ως θεωρήματα ύπαρξης, για να αποδείξει δηλαδή την πραγματική ύπαρξη ορισμένων οντοτήτων. Έτσι μπορεί κανείς να ορίσει τη διχοτόμο μιας δεδομένης γωνίας ως μια γραμμή του επιπέδου της γωνίας η οποία περνά από την κορυφή της γωνίας και τη διαιρεί σε δύο ίσες γωνίες. Ο ορισμός όμως δεν εγγυάται την ύπαρξη αυτού που ορίζεται, αυτό απαιτεί απόδειξη. Για να αποδείξουμε ότι η γωνία έχει πραγματικά διχοτόμο, πρέπει να αποδείξουμε ότι μπορούμε να τη κατασκευάσουμε. Τα θεωρήματα ύπαρξης είναι πολύ σημαντικά στα μαθηματικά και η πραγματική κατασκευή μιας οντότητας είναι ο πιο ικανοποιητικός τρόπος απόδειξης της ύπαρξής της. Μια μέρα, ο βασιλιάς Πτολεμαίος έκανε επιθεωρώντας τα συγγράμματα της βιβλιοθήκης, στάθηκε αρκετή ώρα μπροστά από τους πολυπληθείς κυλίνδρους των Στοιχείων. Απευθυνόμενος στον Ευκλείδη, το ρώτησε αν υπάρχει πιο σύντομος δρόμος από αυτόν για να μυηθεί στα μαθηματικά θέματα. Και ο Ευκλείδης του απάντησε «Δεν υπάρχει βασιλική οδός για τη Γεωμετρία». Μια άλλη φορά, τη στιγμή που ο Ευκλείδης είχε ολοκληρώσει τη διδασκαλία ενός θεωρήματος, ένας μαθητής του, τον ρώτησε τι όφελος θα είχε από το θεώρημα αυτό. Τότε ο Ευκλείδης διέταξε σε ένα σκλάβο: «Δώσ του τρεις οβολούς, αφού πρέπει οπωσδήποτε να έχει ωφέλεια από αυτά που έμαθε». Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της «δυτικής» επιστήμης και τεχνικής και σ' αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά. Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου, ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος, αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις, ταχύτητες, μάζες κτλ.). Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η ευκλείδεια Γεωμετρία, επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός! Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό, ελλειπτικό κ.ά. χώρο. Η πρώτη επιστημονική προσέγγιση των οπτικών φαινομένων, από μαθηματική άποψη, γίνεται από τον Ευκλείδη, τον 4ο π.χ. αιώνα, μέσα από τις προτάσεις που διατυπώνει και αποδεικνύει στην Οπτική του. Στην μελέτη αυτή ο Ευκλείδης συγκεντρώνει και καταγράφει όλες τις μέχρι τότε εμπειρικές γνώσεις γύρω από την οπτική αντίληψη και επιχειρεί μία γεωμετρική ερμηνεία των οπτικών φαινομένων. Πηγές: Howard Eves: «Μεγάλες στιγμές των Μαθηματικών», Εκδόσεις Τροχαλία Denis Guedj: «Το Θεώρημα του παπαγάλου» 7%CF%82 3

4 ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ Το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο είναι τα πρωταρχικά γεωμετρικά σχήματα και δεν επιδέχονται ορισμό. Μπορούμε μόνο να τα περιγράψουμε μέσω φυσικών αναπαραστάσεων, αφαιρώντας από αυτά τα περιττά χαρακτηριστικά. Στα βασικά αυτά μεγέθη προσδίνουμε ιδιότητες, έτσι σύμφωνα με τον Ευκλείδη: Το σημείο δεν έχει διαστάσεις. Περιγράφεται με μια κουκίδα, αδιάφορο του πάχους της ή του χρώματός της. Η ευθεία έχει μόνο μήκος και εκτείνεται προς τις δύο κατευθύνσεις απεριόριστα. Το επίπεδο έχει μήκος και πλάτος. Δεν έχει πάχος και εκτείνεται απεριόριστα ως προς το μήκος και το πλάτος απεριόριστα και ως προς τις δύο κατευθύνσεις. Το ευθύγραμμο τμήμα ορίζεται από δύο σημεία που είναι και ονομάζονται άκρα του. Το ευθύγραμμο τμήμα έχει συγκρίσιμο μέγεθος και άρα μετριέται. Το μέγεθος αυτό ονομάζεται μήκος του ευθυγράμμου τμήματος αλλά και απόσταση των δύο σημείων. Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ή ΒΑ Αν φανταστούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα να προεκτείνεται απεριόριστα και προς τα δυο του άκρα, έχουμε ένα νέο σχήμα που λέγεται ευθεία. Η ευθεία ε Αν προεκτείνουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα απεριόριστα προς το ένα άκρο έχουμε ένα σχήμα που ονομάζεται ημιευθεία. Η ημιευθεία Αx ΣΥΝΟΨΙΖΟΝΤΑΣ Το ευθύγραμμο τμήμα έχει άκρα, δηλαδή αρχή και τέλος. Η ευθεία δεν έχει άκρα, δηλαδή ούτε αρχή ούτε τέλος. Η ημιευθεία έχει μόνο αρχή και δεν έχει τέλος. Από δύο σημεία περνά μόνο μια ευθεία Από ένα σημείο περνούν άπειρες ευθείες. 4

5 Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να γραφτούν τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζονται από όλα τα σημεία του σχήματος: Ε Β Δ Γ 2. Πόσες ημιευθείες έχουν αρχή το σημείο Ο στο σχήμα; Να συμπληρωθεί το σχήμα με γράμματα, ώστε να μπορέσουμε να ονομάσουμε τις ημιευθείες. Ποιες από τις ημιευθείες αυτές είναι αντικείμενες; Ο 3. Να γράψετε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα, όλες τις ευθείες και όλες τις ημιευθείες που ορίζονται στο παρακάτω σχήμα: Β Α Γ Δ Ε 4. Να χαράξετε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα που έχουν άκρα τα παρακάτω σημεία: Α Ε Β Δ Γ Για όσους θέλουν να προσπαθήσουν περισσότερο: πόσα ευθύγραμμα τμήματα ορίζουν 2, 3, 4 σημεία; Υπάρχει μήπως ένας γενικός κανόνας; 5

6 5. Αν στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΓ = 22 cm και ΑΒ = 8 cm, να βρείτε το μήκος του τμήματος ΒΓ. 6. Επάνω σε μια ευθεία παίρνουμε τα σημεία Α, Β και Γ, ώστε το Β να είναι το μέσο του τμήματος ΑΓ. Αν ΑΓ = 20 cm, να βρείτε τα μήκη των τμημάτων ΑΒ και ΒΓ. Στη συνέχεια να πάρετε τα μέσα Μ και Κ των τμημάτων ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα και να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος ΜΚ. 7. Πάνω σε μια ευθεία ε παίρνουμε στη σειρά τα σημεία Α, Β, Γ και Δ, ώστε να ισχύει ΑΓ = 7,5 cm και ΒΓ = 1 3 ΑΓ. α) Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος ΑΒ. β) Να σημειώσετε τα σημεία Α, Β, Γ και Δ πάνω στην ευθεία ε, αν είναι γνωστό ότι ΓΔ = 3 5 ΑΒ. γ) Να υπολογίσετε τo μήκος του τμήματος ΑΔ. 8. Πάνω σε μια ευθεία ε να σημειώσετε κατά σειρά τα σημεία Α, Β, Γ και Δ, ώστε ΑΒ = ΓΔ. Να δικαιολογήσετε γιατί ΑΓ = ΒΔ. 9. Να σχεδιαστούν οι διάμεσοι του τριγώνου ΑΒΓ. Τι παρατηρείτε; Β Α Γ Διάμεσος λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή ενός τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. 6

7 ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο θα λέμε ότι τέμνονται όταν έχουν ένα και μόνο κοινό σημείο. Ο ε 2 ε 1 Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κανένα κοινό σημείο λέγονται παράλληλες. α β Γράφουμε: α // β C Αν δύο ευθείες έχουν δύο ή περισσότερα κοινά σημεία, τότε οι ευθείες αυτές θα ταυτίζονται, δηλαδή θα αποτελούν την ίδια ευθεία, αφού, όπως γνωρίζουμε, από δύο σημεία περνά μια μόνο ευθεία. Δύο ευθείες που θα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή θα τέμνονται ή θα είναι παράλληλες Ακόμη: Δύο ευθύγραμμα τμήματα (ή δύο ημιευθείες) που βρίσκονται πάνω σε παράλληλες ευθείες, θα λέγονται παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα (ή παράλληλες ημιευθείες) Όταν οι τέσσερις γωνίες που σχηματίζονται από δύο ευθείες που τέμνονται, τότε οι ευθείες αυτές λέγονται κάθετες. β α Γράφουμε: α β Επίσης: Δύο ευθύγραμμα τμήματα (ή δύο ημιευθείες) που βρίσκονται πάνω σε κάθετες ευθείες, θα λέγονται κάθετα ευθύγραμμα τμήματα (ή κάθετες ημιευθείες) 7

8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ποια από τα παρακάτω ευθύγραμμα τμήματα τέμνονται, ποια είναι παράλληλα, ποια κάθετα; 2. Ποια από τα παρακάτω ζεύγη ευθειών είναι παράλληλα, ποια τέμνονται πλάγια και ποια κάθετα; (ε, γ):... (ζ, γ):... (α, γ):... (β, γ):... (ε, ζ):... (γ, δ):... (α, ζ):... (β, ζ):... (α, ε):... (δ, ζ): Χαράξτε 3 ευθείες α, β, γ, ώστε: α) οι ευθείες αυτές να μην τέμνονται β) η μια να τέμνει τις άλλες δύο γ) να τέμνονται ανά δύο δ) να έχουν κοινό σημείο 8

9 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΧΑΡΑΞΗ ΚΑΘΕΤΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ Από σημείο Α, που δεν ανήκει στην ευθεία ε, φέρνουμε μια κάθετη στην ευθεία ε που την τέμνει στο σημείο Β. Το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ε. η απόσταση ίχνος της κάθετης α στην ε Από ένα σημείο μπορούμε να φέρουμε μόνο μια κάθετη προς την ευθεία ε Χάραξη καθέτου σε ευθεία ε που διέρχεται από σημείο Α που ανήκει στην ευθεία: Χάραξη καθέτου σε ευθεία ε που διέρχεται από σημείο Α που δεν ανήκει στην ευθεία: 9

10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να σχεδιάσετε μια ημιευθεία Οx και να χαράξετε ευθεία που να διέρχεται από το Ο και είναι κάθετη στην Οx. 2. Ένα πλοίο απέχει 10 km από ένα φάρο Φ. Μετά από ταξίδι 12 km, σε ευθεία γραμμή βρίσκεται στη θέση Β που απέχει 13 km από το φάρο. Να κατασκευάσετε το σχήμα παίρνοντας 1 cm για απόσταση ίση με 1 km. Να υπολογίσετε περίπου, πόσο κοντά πέρασε το πλοίο από το φάρο. 3. Να σχεδιαστούν τα ύψη του τριγώνου ΑΒΓ. Τι παρατηρείτε; Α Η απόσταση κάθε κορυφής ενός τριγώνου από την απέναντι πλευρά, λέγεται ύψος του τριγώνου. Β Γ 4. Να σχεδιαστούν τα ύψη και στα ακόλουθα τρίγωνα: 10

11 ΧΑΡΑΞΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ Γεωμετρία Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες Δύο ευθείες του επιπέδου που είναι κάθετες στην ίδια ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες. Χάραξη παραλλήλου σε ευθεία ε που διέρχεται από σημείο Α : Άλλος τρόπος Από ένα σημείο εκτός ευθείας μπορούμε να φέρουμε προς αυτήν μόνο μια παράλληλη (5 ο αίτημα του Ευκλείδη). 11

12 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να γράψετε μια ευθεία ε και να ορίσετε ένα σημείο Α που να απέχει 3,5 cm από την ευθεία ε. Να χαράξετε την ευθεία δ η οποία διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη στην ε. Επιλέξτε στη τύχη τρία σημεία Α, Β και Γ της δ. Μετρήστε πόσο απέχει κάθε σημείο από την ε. Τι συμπέρασμα βγάζετε; 2. Να σχεδιάσετε μια ευθεία ε και στη συνέχεια μια παράλληλη προς την ε η οποία να απέχει από αυτήν απόσταση 1,5 cm. Μπορείτε να προτείνετε περισσότερους από έναν, τρόπους κατασκευής; 3. Να γράψετε δύο παράλληλες ημιευθείες Ox και Οy οι οποίες να μην περιέχονται στην ίδια ευθεία. Να βρείτε ένα σημείο Α της Οx που να απέχει από την Οy 2,7 cm. 4. Να γράψετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ = 3,8 cm. Να βρείτε ένα σημείο Α τέτοιο, ώστε στο τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος από τη κορυφή Α, να είναι 2,9 cm. Υπάρχουν πολλά τέτοια σημεία; 12

13 ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ είναι το επίπεδο σχήμα (κλειστή καμπύλη) που όλα τα σημεία του απέχουν από το Ο απόσταση ίση με ρ. Συμβολίζεται με (Ο, ρ) κέντρο ακτίνα Στοιχεία του κύκλου : Χορδή Διάμετρος Τόξο Η χορδή ΑΒ Η διάμετρος ΓΔ Το τόξο EZ! ή ΑΒ Κυκλικός δίσκος (Ο, ρ) είναι ο κύκλος (Ο, ρ) μαζί με το μέρος του επιπέδου που περικλείει. Ο ρ Ο κύκλος ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Πώς θα περιγράφατε δύο ίσους κύκλους;

14 2. Δώστε μια περιγραφή των στοιχείων του κύκλου: Χορδή: Διάμετρος: Τόξο: Τι σχέση έχουν η ακτίνα με τη διάμετρο; 3. Να σχεδιάσετε τον κύκλο (Ο, 5cm) και στη συνέχεια να σημειώσετε: α) μια διάμετρό του, β) ένα ημικύκλιο, γ) μια χορδή του, δ) μια ακτίνα του. Πόσο είναι το μήκος της διαμέτρου του κύκλου αυτού; 4. Να γράψετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 3,8cm, και μετά να σχεδιάσετε τον κύκλο που έχει διάμετρο το ΑΒ. 5. Να ορίσετε ένα σημείο Μ και να σχεδιάσετε κύκλους με κέντρο το Μ και διαμέτρους 4cm, 5cm, 48mm. 6. Να γράψετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 4cm. Να βρείτε τα σημεία του επιπέδου τα οποία απέχουν από το Μ: α) 3cm από το Α, β) 2cm από το Β Ποια σημεία στο σχήμα σας απέχουν 3cm από το Α και 2cm από το Β; 7. Να ορίσετε ένα σημείο Μ. Να χρωματίσετε τα σημεία του επιπέδου που απέχουν από το Μ: α) περισσότερο από 1,5cm, β) λιγότερο από 2,5cm, γ) περισσότερο από 1,5cm και ταυτόχρονα λιγότερο από 2,5cm. 8. Να γράψετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 4 cm. Να χρωματίσετε τα σημεία του επιπέδου που απέχουν από το Α λιγότερο από 2 cm και από το Β λιγότερο από 36 mm. 14

15 ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ Η ευθεία που περνάει από το μέσον ενός ευθυγράμμου τμήματος και είναι κάθετη σε αυτό ονομάζεται μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος. Βρίσκουμε το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος έχει ίσες αποστάσεις (ισαπέχει) από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος Αλλά και Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος βρίσκεται πάνω στην μεσοκάθετό του Κατασκευή της μεσοκαθέτου με κανόνα (χάρακα) και διαβήτη : ή Κύκλοι ίδιας ακτίνας 15

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να σχεδιάσετε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Με τη χρήση του κανόνα και του διαβήτη να το χωρίσετε σε δύο ίσα τμήματα και στη συνέχεια σε τέσσερα ίσα τμήματα. 2. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη η κάθετος της ευθείας ε στο σημείο της Α. 3. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη η κάθετος της ευθείας ε από το σημείο Α (που δεν ανήκει στην ευθεία ε). 4. Στο διπλανό σχήμα να βρείτε ένα σημείο της ευθείας ε το οποίο να ισαπέχει από τα σημεία Α και Ο. 16

17 5. Να χαράξετε τις μεσοκαθέτους των τμημάτων ΑΒ και ΓΔ. Τι ιδιότητες νομίζετε ότι έχει το σημείο τομής τους; 6. Να σχεδιαστούν οι μεσοκάθετοι των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ. Τι παρατηρείτε; Α Β Γ 17

18 ΟΙ ΓΩΝΙΕΣ Δύο ημιευθείες που έχουν την ίδια αρχή χωρίζουν το επίπεδο σε δυο περιοχές. Η κάθε μια από τις περιοχές Ονομάζεται γωνία. Η γωνία του σχήματος μπορεί να διαβαστεί με τρεις τρόπους: α) γωνία ˆ xoψ ή ˆ ψox (το γράμμα της κορυφής μπαίνει πάντα στη μέση) β) γωνία Ô γ) γωνία ˆω κορυφή πλευρά πλευρά Μέτρηση γωνιών Είδη γωνιών Για τη μέτρηση των γωνιών χρησιμοποιούμε σαν μονάδα τη γωνία μιας μοίρας (1º). Μια μοίρα υποδιαιρείται σε 60 πρώτα λεπτά 1º = 60. Ένα πρώτο λεπτό υποδιαιρείται σε 60 δεύτερα λεπτά 1 = 60. Άρα 1º = 60 = Ορθή γωνία: είναι η γωνία της οποίας οι πλευρές είναι κάθετες. Ακόμη 1 ορθή γωνία = 90º Οξεία γωνία: ονομάζεται κάθε γωνία μικρότερη από την ορθή. 1 οξεία γωνία < 90º Αμβλεία γωνία: 0νομάζεται κάθε γωνία μεγαλύτερη από την ορθή. 1 αμβλεία γωνία > 90º Ευθεία γωνία: είναι η γωνία της οποίας οι πλευρές είναι αντικείμενες ημιευθείες. 1 ευθεία γωνία = 180º Πλήρης γωνία: Ονομάζεται κάθε γωνία που περιλαμβάνει όλο το επίπεδο. 1 πλήρης γωνία = 360º 18

19 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να ονομάσετε και να χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις ακόλουθες γωνίες ως ορθή ή οξεία ή αμβλεία ή πλήρη ή ευθεία Να μετρήσετε τις γωνίες που είναι σημειωμένες: 19

20 3. Να σχεδιάσετε τις γωνίες: ˆα = 48º, ˆβ = 6º, ˆγ = 17º, ˆδ = 90º, ˆε = 170º, ˆζ = 215º, ˆη = 318º. 4. Να σχεδιάσετε μια γωνία ˆ xoψ = 76º. Να γράψετε μια ημιευθεία Οz η οποία να χωρίζει τη γωνία σε δύο άλλες, που η μια να είναι 20º και η άλλη 56º. 5. Να σχεδιάσετε μια γωνία 68º και μετά να γράψετε τη διχοτόμο της. (Διχοτόμος μιας γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες ). 6. Να σχεδιαστούν οι διχοτόμοι του τριγώνου ΑΒΓ. Τι παρατηρείτε; 7. Στα παρακάτω τρίγωνα μετρήστε, στο καθένα, τις γωνίες και το μήκος των πλευρών. Τι παρατηρείτε Κ Π Α Λ Ρ Σ Β Γ Μ 8. Να γράψετε δύο κάθετες ευθείες ε 1, ε 2 και να ονομάσετε Ο το σημείο τομής τους. Να πάρετε σημείο Α της ε 1 ώστε να είναι ΟΑ = 52 mm. Να γράψετε ημιευθεία Αx, η οποία να σχηματίζει με την ημιευθεία ΑΟ γωνία 42º. Να ονομάσετε Β το σημείο στο οποίο η ημιευθεία Αxτέμνει την ε 2 και να μετρήσετε τη γωνία ˆΒ του τριγώνου ΑΒΓ. 9. Ένα πλοίο μετά την αναχώρησή του διανύει 100 km προς το Βορρά και μετά στρίβει 60º προς τα δεξιά. Μετά από άλλα 80 km πορεία, στρίβει 25º προς τα αριστερά και μετά από άλλα 60 km πορεία φθάνει στον προορισμό του. α) Να χαράξετε σε τετραγωνισμένο χαρτί την πορεία του πλοίου σχεδιάζοντας τα 20 km σε 1 cm β) Να μετρήσετε τη γωνία που σχηματίζει το τελευταίο μέρος της πορείας του πλοίου, με την διεύθυνση Νότος-Βορράς. 20

21 Εφεξής γωνίες είναι οι γωνίες που έχουν: Την ίδια κορυφή, Μια κοινή πλευρά και Κανένα άλλο κοινό σημείο κοινή κορυφή Στο σχήμα οι γωνίες ΑΟΒ ˆ και ΒΟΓ ˆ είναι εφεξής κοινή πλευρά Κατακορυφήν γωνίες είναι οι γωνίες που οι πλευρές της μιας είναι αντικείμενες ημιευθείες των πλευρών της άλλης Στο σχήμα οι γωνίες ˆα και ˆβ είναι κατακορυφήν όπως και οι γωνίες ˆκ και ˆλ αντικείμενες ημιευθείες Δύο κατaκορυφήν γωνίες είναι ίσες. Παραπληρωματικές γωνίες Λέγονται δύο γωνίες όταν έχουν άθροισμα 180º Στο σχήμα οι γωνίες ˆφ και ˆω είναι παραπληρωματικές Συμπληρωματικές γωνίες Λέγονται δύο γωνίες όταν έχουν άθροισμα 90º Στο σχήμα οι γωνίες ˆη και ˆθ είναι συμπληρωματικές 21

22 1. α. β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ γ. Ονομάστε ένα ζευγάρι εφεξής γωνιών. Ονομάστε ένα ζευγάρι παραπληρωματικών γωνιών. Ονομάστε ένα ζευγάρι κατακορυφήν γωνιών. δ. ε. στ. Ονομάστε ένα ζευγάρι συμπληρωματικών γωνιών. Ονομάστε ένα ζευγάρι παραπληρωματικών γωνιών. Ονομάστε ένα ζευγάρι εφεξής και ένα ζευγάρι κατακορυφήν γωνιών. 2. Υπολογίστε καθεμιά από τις ακόλουθες γωνίες: α. β. γ. δ. ˆ URH = ˆ PRC = 42º ε. ˆ MLH = ˆ MLP = 45º στ. ˆ XEY = ˆ MEY = 25º ˆ MVJ = ˆ CVL = 36º ˆ RLE = ˆ HLA = 40º ˆ PDL = ˆ LDQ = 52º 22

23 ζ. η. θ. ι. ˆ HYX = ˆ HYU = 56º ια. ˆ GMJ = ˆ LMY = 46º ιβ. ˆ NBQ = ˆ NBS = 141º ˆ RCA = ˆ RCF = 30º ˆ BSC = ˆ YSG = 26º ˆ AUG = ˆ JUT = 55º 3. Στο παρακάτω σχήμα ε 1 // ε 2. Ονοματίστε και υπολογίστε καθεμιά από τις γωνίες που σχηματίζονται. Παρατηρούμε κάτι; Μήπως μπορούμε να βγάλουμε ένα γενικό κανόνα; δ ε 1 ε 2 23

24 ΟΜΑΔΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 Γεωμετρία Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες Το μήνυμα που έφτασε στο Κρατικό Κέντρο Επιχειρήσεων ήταν αναπάντεχο. Ένα μικρό πλοίο εξέπεμψε SOS και εξαφανίστηκε στο βόρειο Αιγαίο. Η κινητοποίηση ήταν άμεση: 1) Εντολή σε όλα τα παραπλέοντα πλοία να σπεύσουν για βοήθεια στην περιοχή και αναμονή για λεπτομερέστερες οδηγίες, 2) Συλλογή λεπτομερέστερων πληροφοριών από άλλους σταθμούς, 3) Προσδιορισμός της περιοχής όσο ακριβέστερα γίνεται. Οι πληροφορίες: Ο σταθμός στη Λάρισα εκτιμά ότι το πλοιάριο όταν εξέπεμψε SOS ήταν σε απόσταση μικρότερη από 170 km, o σταθμός στην Αθήνα εκτιμά ότι βρίσκονταν σε απόσταση μικρότερη από 90 km και o σταθμός της Χίου ότι βρίσκονταν σε απόσταση μικρότερη από 150 km. α) Να προσδιοριστεί η περιοχή στο χάρτη β) Τρία πλοία σπεύδουν στη περιοχή. Ένα από Λήμνο, ένα από Βόλο και ένα από Θεσσαλονίκη. Ποιες οδηγίες θα δοθούν στους καπετάνιους των αντίστοιχων πλοίων, με βάση τα σημεία εκκίνησης; 24

25 ΟΜΑΔΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 2 Γεωμετρία Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες Η Μαρία, ο Νίκος και ο Κώστας βρίσκονται σε τρία διαφορετικά σημεία, όπως δείχνει το σχέδιο. Ο καθένας έχει ένα ασύρματο τηλέφωνο. Η συσκευή της Μαρίας εκπέμπει (έχει εμβέλεια) μέχρι 80 m, του Νίκου μέχρι τα 40 m και τέλος του Κώστα μέχρι τα 100 m. α) Παίρνοντας το 1 cm για 10 m, να κατασκευάσετε το τρίγωνο που σχηματίζουν οι τρεις φίλοι. β) Να σχεδιάσετε τους κυκλικούς δίσκους που παριστάνουν τις ζώνες μέσα στις οποίες ο καθένας εκπέμπει. γ) Η Μαρία μπορεί να επικοινωνήσει με τον Νίκο και τον Κώστα; δ) Ο Νίκος μπορεί να επικοινωνήσει με τον Κώστα και την Μαρία; ε) Ο Κώστας μπορεί να επικοινωνήσει με την Μαρία και τον Νίκο; 25

26 ΟΜΑΔΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 Γεωμετρία Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες Ένας σκύλος είναι δεμένος από το σημείο Σ με αλυσίδα μήκους 8 m και φυλάει το σπίτι ΚΛΜΝ που έχει σχήμα τετραγώνου. Να χρωματίσετε την περιοχή που φυλάει ο σκύλος, δηλαδή αυτή μέσα στην οποία μπορεί να κινηθεί. 26

27 ΟΜΑΔΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Γεωμετρία Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες Μια επιχείρηση αποφάσισε να κατασκευάσει ένα εργοστάσιο σε μια αγροτική περιοχή. Στο σχέδιο που δίνεται παρακάτω, φαίνεται η περιοχή που έχει επιλεγεί για το σκοπό αυτό. Η πλευρά κάθε τετραγώνου του σχήματος αντιπροσωπεύει στην πραγματικότητα απόσταση 100 m. Το εργοστάσιο πρέπει να βρίσκεται μακριά από τα σπίτια (Σ) και σε ακτίνα 600 m τουλάχιστον από αυτά. Επίσης πρέπει να απέχει το λιγότερο 250 m από την άκρη του δρόμου. Να αντιγράψετε σε τετραγωνισμένο χαρτί το παραπάνω σχήμα και να χρωματίσετε τις περιοχές που μπορεί να κατασκευαστεί το εργοστάσιο. 27

28 ΟΜΑΔΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 5 Γεωμετρία Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες Ένα ποτιστικό κανάλι περνάει κοντά από δύο αγροτόσπιτα Α και Β. Οι ιδιοκτήτες των σπιτιών θέλουν να εγκαταστήσουν μια βάνα, σε κάποιο σημείο της όχθης του καναλιού, για να ποτίζουν τα χωράφια τους. Να υποδείξετε το κατάλληλο σημείο στην όχθη που να ισαπέχει από τα δύο σπίτια. 28

29 ΟΜΑΔΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 6 Γεωμετρία Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες Δύο οικογένειες κατασκήνωσαν σε παραθαλάσσιο κάμπινγκ. Τοποθέτησαν τις σκηνές τους Σ 1 και Σ 2 σε απόσταση 1,5 m από την ακτή και 3,8 m μεταξύ τους. α) Να τοποθετήσετε τα σημεία Σ 1 και Σ 2 σε ένα σχέδιο παίρνοντας το 1 cm για 1 m. β) Να υποδείξετε το σημείο Ν που πρέπει να τοποθετηθεί ένα πρόχειρο ντους, ώστε αυτό να ισαπέχει από τις δύο σκηνές. Υπάρχουν πολλές θέσεις που μπορεί να τοποθετηθεί το ντους; Αν ναι, να διαλέξετε εκείνη για την οποία οι αποστάσεις Σ 1 Ν και Σ 2 Ν να είναι οι μικρότερες που γίνεται. γ) Μετά μια εβδομάδα έφθασε στο κάμπινγκ μια φιλική τους οικογένεια. Θέλει να τοποθετήσει της σκηνή της Σ 3 σε μια θέση που απέχει 2 m από τη σκηνή Σ 1 και 3,5 m από τη σκηνή Σ 2. Να σημειωθεί το σχέδιο θέσης της σκηνής Σ 3. δ) Σε ποια θέση πρέπει να τοποθετηθεί τώρα το ντους, ώστε και οι τρεις σκηνές να απέχουν εξίσου από αυτό; Υπάρχουν πολλές τέτοιες θέσεις; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 29

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις :

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις : ΓΥΜΝΑΣ Ο ΕΞΑΠ ΑΤΑΝΟΥ ΣχολK Έτος: OMNM-OMNN Τάξη: Α Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙ Α Ημερομηνία : 30/0/2011 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN Θέμα 1 ο (ΘΕΩΡ Α) Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα

Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν () Στρογγυλοποίησε τον αριθμό 8.987. στις πλησιέστερες: (α) δ ε- κάδες, (β) εκατοντάδες, (γ) χιλιάδες,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1, Οι φυσικοί αριθμοί. Α Γυμνασίου, Μέρος Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 1, Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1, Οι φυσικοί αριθμοί. Α Γυμνασίου, Μέρος Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 1, Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 1 Περιεχόμενα Σελίδα 4: Σελίδα 16: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1, Οι φυσικοί αριθμοί Α

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 Θέμα 1 ο A. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) +

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ

ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ ÊåöÜëáéï 7 ï Åõèýãñáììá ó Þìáôá âéâëéïììüèçìá : -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ âéâëéïììüèçìá 3: -Åìâáäü ôñéãþíïõ -Åìâáäü

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Εκτελώντας το πρόγραμμα παίρνουμε ένα παράθυρο εργασίας Γεωμετρικών εφαρμογών. Τα βασικά κουμπιά και τα μενού έχουν την παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις 1 ου Διαγωνίσματος Θέμα 1 ο α) Από μία κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy ΒΓ. Τότε ω = Β και φ = Γ, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Α και Β Γενικού Λυκείου ε 3 Γ ε 2 Κ Ε ε 1 Ι Ο Θ Η Ζ Α μ α Ψ ε 4 Β Β ( Σελ. 63 120 ) Τόμος 2ος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό.

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό. Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) : 5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης .5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ & ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΡΕΘΥΜΝΟΥ & ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ Λ.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ & ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΡΕΘΥΜΝΟΥ & ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ Λ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ & ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΡΕΘΥΜΝΟΥ & ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ Λ. ΚΩΝΣΤΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-14 3 η Φάση Η συλλογή αυτή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1 Η : Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα 1

ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1 Η : Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα 1 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα ΕΝΟΤΗΤΑ. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ Όταν ήμουν χρονών άρχισα να διαβάζω τα Στοιχεία του Ευκλείδη Αυτό ήταν ένα από τα μεγάλα γεγονότα στη ζωή μου, τόσο εκτυφλωτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Η προοπτική εικόνα, είναι, όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός χωρικού αντικειμένου, σε ένα επίπεδο, με κέντρο προβολής, το μάτι του παρατηρητή. Η εικόνα αυτή, θεωρούμε ότι αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα