4. Criterii de stabilitate

Transcript

1 Dragomr T.L. Teora sstemelor Curs anul II CTI 04/ Crter de stabltate După cum s-a preczat metodele numerce de analză a stabltăţ se bazează pe crterul rădăcnlor. In ngnera reglăr se folosesc o sere de alte procedee de analză a stabltăţ care ocolesc utlzarea drectă a crterulu rădăcn. Ele se numesc crter de stabltate. Se dstng crter de stabltate pentru STC ş crter de stabltate pentru STD. Atât pentru STC cât ş pentru STD avem crter de stabltate algebrce ş crter de stabltate frecvenţale. Prmele se referă în mod drect la polnomul caracterstc al sstemulu (s) respectv (z) ). Celelalte operează cu caracterstcle de pulsaţe sau cu locurle de transfer ale sstemelor ). În contnuare ne vom refer numa la două crter algebrce: crterul lu Hurwtz pentru STC ş crterul Jury pentru STD. Prncpalul crteru de stabltate frecvenţal este crterul lu Nyqust care are versun dstncte pentru STC ş STD. În încheerea paragrafulu vom prezenta doar o varantă a une versun a crterulu lu Nyqust pentru STC cunoscută sub numele de crterul rezerve de fază. 4.. Crterul de stabltate Hurwtz Crterul de stabltate Hurwtz este un crteru de tp algebrc care se foloseşte pentru STC. El are următorul enunţ: Sstemul lnar de polnom caracterstc ( a ). n n n ( s) s a n s... as a0 este ntern asmptotc stabl dacă ş numa dacă sunt satsfăcute condţle: ) a 0 pentru 0 ; n ) H 0 pentru ; n an an3 an5 0 an an4 0 în care Hn 0 an an3 0 este aşa-numtul determnant Hurwtz ar a0 H an an an3 an5 an an3 H H3 an an4 an 0 an an3 sunt mnor prncpal a determnantulu Hurwtz numţ ş determnanţ de nord-vest. Observaţ: ) Pentru aplcarea crterulu polnomul caracterstc trebue adus în prealabl în forma moncă (4) ) În mod rguros se operează cu polnomul mnmal al sstemulu. (v. Dragomr T.L. Teora sstemelor Aplcaţ Ed. Poltehnca 008). ) j h Locurle de transfer sunt reprezentărle grafce ale lu H ( j) pentru STC sau H( e ) pentru STD în raport cu.

2 Dragomr T.L. Teora sstemelor Curs anul II CTI 04/ a 5b 3 Exemplu: În loc de (s) 7s as 5bs 3 se operează cu (s) s s s ) În expresa lu H n la parcurgerea dagonale prncpale în sens descendent ndc elementelor de pe dagonala prncpală se înşră în ordne descrescătoare ar la parcurgerea coloanelor în sens descendent ndc elementelor de pe fecare coloană cresc cu câte o untate. Dacă ndc nu se regăsesc în polnomul caracterstc atunc elementele respectve ale matrce H n se înlocuesc cu 0. ) Dacă condţa a 0 =0;n- nu e îndeplntă atunc nu ma aplcăm condţa ) 0 = ; n. v) Crterul lu Hurwtz reprezntă un algortm care se pretează la programare. Exemplul : Să se analzeze stabltatea sstemulu în tmp contnuu care are polnomul caracterstc 3 ( s ) 7s s 5s. Soluţe: Se operează cu ( s ) s 3 s 7 5 s 7 7. Observăm că prma condţe de stabltate Hurwtz este îndeplntă (coefcenţ sunt strct poztv). Pentru a nvestga cea de a doua condţe calculăm: => 0 ; ( ) ş 3 îndeplnesc a doua condţe de stabltate Hurwtz => Sstemul este asmptotc stabl. Exemplul : Se consderă famla de ssteme de ordnul al -lea cu polnoamele caracterstce de forma ( s) as as a0 cu a a a 0 de acelaş semn. Să se demonstreze că aceste ssteme sunt asmptotc stable. Soluţe: a a ( s) s s 0 a a a coefcenţ au acelaş semn => a a a. Prma condţe de stabltate Hurwtz este îndeplntă deoarece toţ a 0 a a => a a 0 a 0 0 => sstemele sunt asmptotc stable. 0 a a a a Observaţe: In practca reglăr automate problema proectăr acestor ssteme se reduce dn punct de vedere matematc în mod frecvent la problema determnăr parametrlor regulatorulu. O prma condţe pe care parametr trebue să o îndeplnească este aceea de a confer stabltate asmptotcă sstemulu închs.

3 Dragomr T.L. Teora sstemelor Curs anul II CTI 04/05 43 Exemplul 3: Să se determne domenul de stabltate al sstemulu dn fgură în planul < K T I > al parametrlor regulatorulu având în vedere că K T I > 0. w a c y 0 K ( ) TIs 5s s - G-PI Procesul condus Soluţe: Sstemul are ordnul n = 3. Pentru canalul w y avem f.d.t. 0 K ( ) T Is 5s s 0(K TIs K ) (s) K 5T ( ) Is TIs TI ( 0K )s 0K T Is 5s s 3 K Polnomul caracterstc îl vom folos sub forma ( s) s 0.4s 0.( 0K )s. T Deoarece K 0 T I 0 => coefcenţ polnomulu sunt poztv => prma condţe a crterulu Hurwtz este îndeplntă. Pentru a nvestga a doua condţe calculăm: K TI K 0. 4 K 3 0. ( 0K ) 0 => TI 3 K T ( 0K ) I TI K Dec pentru ca sstemul să fe stabl este necesar ş sufcent să avem H 0.08( 0K ) >0 T K sau K K 5K 0.08( 0K ) ( 0K ) TI. T T 0.08( 0K ) 0K Notăm f (K I 5K ) 0K fgură. (un arc de hperbola).. Funcţa are grafcul dn Domenul în care este îndeplntă condţa 5K T I 0K numt ş domenu de stabltate este reprezentat haşurat ş notat cu D. I I. I 4.. Crterul de stabltate Jury Este un crterul algebrc de stabltate pentru STD lnare. Aplcarea lu constă în verfcarea satsfacer ma multor negaltăţ dntre care o parte se referă la canttăţ generate cu ajutorul aşa-numte scheme a lu Jury. Schema se construeşte pornnd de la polnomul caracterstc al sstemulu în tmp dscret n n (z) anz anz... az a0. (5)

4 Dragomr T.L. Teora sstemelor Curs anul II CTI 04/05 44 Schema are aspectul: [J] a 0 a a n- a n perechea de ln = b =a 0 /a n a n a n- a a 0 j 3 j 3 j 3n perechea de ln = b =j 3 /j 3n j 3n j 3n- j 3 ) Schema are n perech de ln. Elementul de pe lna k ş coloana l se notează cu j kl. ) Fecare pereche de ln se caracterzează prn faptul că cea de a doua lne a perech o reproduce pe prma în ordne nversă. ) Prma lne a prme perech de ln conţne coefcenţ lu (z) în ordnea crescătoare a ndcelu. v) Fecăre perech de ln se asocază pe a doua lne un coefcent b trecut în stânga bare calculat cu relaţa b j j. Coefcenţ b b se numesc coefcenţ Jury (coloana [J]). v) Începând cu perechea a doua de ln prma lne a fecăre perech se calculează cu formula j j( ) b j ( ) ; în care este numărul elementelor de pe o lne a perech de ln +. Crterul de stabltate Jury are următorul enunţ: Sstemul lnar nvarant în tmp având polnomul caracterstc (5) este ntern asmptotc stabl dacă ş numa dacă toţ coefcenţ Jury sunt în modul subuntar adcă b ;n. De observat că această relaţe conţne n duble negaltăţ adcă n negaltăţ smple: b ;n -<b ;n. Un al dolea enunţ cunoscut sub denumrea de varanta smplfcată a crterulu Jury utlzează aşanumta schemã Jury redusă care dferă de schema Jury de ma sus prn absenţa ultme perech de ln. Pentru acest caz când schema are numa n- perech de ln este valabl următorul enunţ: Sstemul lnar nvarant în tmp având polnomul caracterstc (5) este ntern asmptotc stabl dacă ş numa dacă sunt satsfăcute condţle: () > 0 (-) n (-) > 0 Ş de data aceasta avem în total tot n negaltăţ smple. Exemplul : Să se analzeze stabltatea unu sstem cu ( z ) z 0.36z b ;n. Soluţe: ) ( ) ; ) ( ) ( ) 0.36 _ ; ) Schema Jury este [J] b

5 Dragomr T.L. Teora sstemelor Curs anul II CTI 04/05 45 Deoarece b 0.5 => sstemul este asmptotc stabl 0 0 x[t ] Exemplul : Să se analzeze stabltatea sstemulu: 0.5 x[t] u[t] y[t] 0 x[t] Soluţe: z 0 (z) z z 0.5 (z ) (z 0.5) 4 (z ) z 3 3.5z z 4.5. Dec: ) ( ) ) ( ) ( ) (.5 4.5) 0 => sstemul este nstabl Crterul de rezerve de fază Crterul rezerve de fază este o varantă a crterulu de stabltate al lu Nyqust. Ambele crter se referă la structura cu reacţe untară negatvă dn fgură pentru care H ~ H ~ (s) H(s). (s) În aplcarea crterulu rezerve de faza se folosesc caracterstcle Bode ale sstemulu deschs. Presupunem că acestea au aspectul dn fgura de ma jos. Fgura ntroduce următoarele mărm: ω t (pulsaţa de trecere sau de tăere) - este pulsaţa pentru care H ~ ( j) ~ sau H 0 ; db

6 Dragomr T.L. Teora sstemelor Curs anul II CTI 04/ rezerva de faza arg( H ~ (j )). rez rez t Crterul rezerve de fază se referă la cazul când H ~ (s) este de forma ~ ~ K H( s) q s m bs... bms nq as... anqs e s (6) cu K ~ m >0 q{03} m<n 0 bs... bms ş nq as... anqs polnoame Hurwtz coprme. Enunţul crterulu rezerve de fază este următorul: Sstemul în crcut închs cu reacţe untară negatvă având funcţa de transfer a sstemulu deschs de forma (6) este asmptotc stabl dacă ş numa dacă este îndeplntă condţa: rez 0 3) (7) ~ În practca trebue să ne asgurăm faţă de mprecz de determnare a lu H ( s ). In acest context ne asgurăm prn modfcarea membrulu drept dn (7) sub forma: rez. (8) Accesbltatea ş controlabltatea sstemelor. Conceptul de controlabltate Dn punct de vedere aplcatv este mportant ca un sstem să poată f adus pe parcursul unu nterval de tmp fnt prntr-o varaţe în tmp adecvată a mărm de comandă dntr-o stare nţală dată într-o stare fnală dortă. Aceste cernţe î corespunde propretatea structurală denumtă controlabltate. În esenţă satsfacerea une astfel de cernţe garantează posbltatea tranztăr sstemulu prn comandă dntr-un regm de funcţonare în alt regm de funcţonare. Defnţ (se consderă un sstem cu orentarea u x (ntrare stare)) :. Spunem că o stare nţală x 0 este controlablă dacă exstă o funcţe de ntrare u( ) astfel încât prn aplcarea sa sstemul să atngă într-un nterval de tmp fnt starea de repaus x f = 0. (Aceasta înseamnă că în urma aplcăr lu u( ) sstemul evoluează dn starea x 0 în starea x f = 0).. Dacă orce stare x 0 este controlablă în sensul defnţe anteroare spunem că sstemul este controlabl. 3) Aplcând crterul pentru stuaţa dn fgura de pe pagna anteroară rezultă că sstemul este asmptotc stabl.

7 Dragomr T.L. Teora sstemelor Curs anul II CTI 04/ Spunem că o stare fnală x f este accesblă dacă exstă o funcţe de ntrare u( ) prn aplcarea cărea sstemul este adus într-un nterval de tmp fnt dn starea nţală de repaus x 0 = 0 în acea stare fnală x f. (Aceasta înseamnă că în urma aplcăr lu u( ) sstemul evoluează dn starea x 0 = 0 în starea x f ). 4. Dacă orce stare fnală este accesblă spunem că sstemul este accesbl. Pentru sstemele în tmp contnuu cele două propretăţ sunt echvalente. Notă: Întrucât plecând de la această echvalenţă nţal s-a răspândt termenul de controlabltate în general se vorbeşte despre controlabltatea sstemelor. Pentru sstemele în tmp dscret echvalenţa nu este teoretc general valablă. În stuaţle practce ea se verfcă însă. Aprecerea controlabltăţ unu sstem se face prn ntermedul crterlor de controlabltate. Ele reprezntă algortm de calcul care consemnează controlabltatea în sensul defnţlor de ma sus dacă sunt satsfăcute anumte condţ (refertoare la rangul une matrce sau la ordnul une funcţ de transfer). Dacă răspunsul este afrmatv sstemul este controlabl. În caz contrar sstemul este necontrolabl.. Crterul de controlabltate al lu Kálmán Consderăm sstemul lnar 4) x' Ax Bu x n u m. () Cu matrcele A ş B dn () defnm următoarea matrce de tpul (n mn) M c n [B AB A B] 5) () numtă matrcea de controlabltate a sstemulu (). Pentru sstemul () prn mpunerea propretăţ de controlabltate se ajunge la următorul enunţ cunoscut sub de numrea de crterul de controlabltate al lu Kalman: Sstemul lnar () este controlabl dacă ş numa dacă rangul matrce de controlabltate este egal cu ordnul sstemulu rang M c = n. (3) Pentru sstemele monovarable la ntrare când m = dec M c este o matrce pătratcă de tpul (nn) echvalent condţe (3) avem: det M c 0. (3) Exemplu: Să se analzeze controlabltatea sstemulu: 0 x[t ] x[t] u[t] 0. (4) Soluţe: Dn (4) rezultă: 4) Se observă că operăm cu modele cu varablă unfcată. Ca urmare enenţul se referă smultan atât la STC cât ş la STD. 5) Matrcea M c este o matrce celulară. Smbolurle sau servesc ca separatoare pentru delmtarea (în scrs a) celulelor. Aşadar lângă prma celulă B se pune a doua celulă AB apo celula A B ş.a.m.d.

8 Dragomr T.L. Teora sstemelor Curs anul II CTI 04/05 48 n M b Ab c c c det M 0 rangm n Dec sstemul nu este controlabl.. 3. Alte crter de controlabltate Crterul lu Kalman se referă la controlabltatea ansamblulu mărmlor de stare ale sstemulu. Se şte că orce sstem poate f adus prntr-o transformare de stare adecvată la forma de realzare standard dagonală. Prn această transformare mărmle de stare ale orcăre alte realzăr sstemce sunt descompuse sub formă de combnaţ lnare ale mărmlor de stare ale realzăr standard dagonale. Funcţle care descru varaţa în raport cu tmpul ale varablelor de stare ale realzăr standard dagonale sunt numte modur ale sstemulu ar varablele de stare cărora le corespund sunt denumte varable de stare modale. Un alt crteru care garantează controlabltatea stăr unu sstem lnar dar luând în consderare separat fecare dntre varablele de stare modale este crterul de controlabltate al lu Hautus: Sstemul n m x Ax Bu x u este controlabl dacă ş numa dacă orce valoare propre a matrce A satsface condţa: rang[. (5) I A B] n A elaţa (5) cere să se verfce pentru fecare valoare propre a matrce A dacă matrcea alcătută dn cele două celule I A ş B are rangul egal cu ordnul n al sstemulu. Dacă pentru o valoare propre rezultă că rang [ I-A] < n atunc sstemul nu este controlabl întrucât modul e t (al STC) sau modul este nfluenţabl prn mărmea de ntrare u( ). t (al STD) nu Pentru ssteme lnare de tp SISO plecând de la crterul lu Kalman se poate ajunge la un crteru de controlabltate al mărm de eşre 6) (crterul lu Glbert): Un sstem de tp SISO de funcţe de transfer H() are eşrea controlablă dacă ş numa dacă după efectuarea tuturor smplfcărlor în expresa funcţe de transfer gradul numtorulu este egal cu ordnul sstemulu. Practc această condţe revne în numeroase cazur la asgurarea cernţe ca funcţa de transfer a sstemulu să nu permtă smplfcăr. 4. Controlabltatea proceselor dscretzate (r..s.t.) eglarea numercă a proceselor în tmp contnuu se bazează pe conducerea procesulu care este un STC de către un regulator numerc care este un STD. În raport cu regulatorul procesul apare prn modelul dscretzat care se obţne ca r..s.t. Fe H P (s) f.d.t a procesulu P. În acest context se pune problema dacă operaţa de dscretzare nfluenţează controlabltatea modelulu dscretzat H P (z) al procesulu. 6) Controlabltatea eşr se defneşte în aceeş maneră ca ş controlabltatea stăr.

9 Dragomr T.L. Teora sstemelor Curs anul II CTI 04/05 49 Atunc când am prezentat metoda r..s.t. am consderat structura de ma jos: u E u P h y ăspunsul la întrebarea pusă este: Ansamblul dn fgură având pe u mărme de ntrare ş y mărme de eşre este controlabl dacă: ) procesul P este controlabl (P este un sstem în tmp contnuu) ) orcare ar f p ş p k pol dstncţ a funcţe de transfer H P (s) a lu P este îndeplntă condţa p h pk h e e. 7) (6) Potrvt condţe ) controlabltatea poate să depndă de valoarea pasulu de dscretzare h. În adevăr fe p ş p k do pol complex conjugaţ Dferenţa este nulă numa dacă p k ph pkh j j a lu P. Atunc jh e e e ( e h ). h q q N. Dec dacă h q q N * sstemul în tmp dscret nu este controlabl. Ca urmare pentru h este nterzsă adoptarea valorlor se adoptă astfel încât: ş a multpllor acestora. Altfel spus h h q q N (7) 0 0 x x u Exemplu: Fe sstemul (P) 0. Să se analzeze controlabltatea sstemulu P ş a y 0x sstemulu dscret asocat lu ca r..s.t. Soluţe: Pentru început rezolvăm problema aplcând crterul lu Kalman sub forma (3). Calculând matrcea de controlabltate pentru sstemul în tmp contnuu obţnem rang M C =. Dec sstemul P este controlabl condţa ) fnd îndeplntă. Dn MM-ISI al sstemulu rezultă că funcţa sa de transfer este H(s). Ea are pol p = j s ceea ce înseamnă că sstemul este de tp osclant neamortzat (o pereche de pol pur magnar de pulsaţe sec ). Într-adevăr modelul lu P este modelul unu osclator armonc. Aplcând condţa (7) rezultă h q q N. eluăm rezolvarea probleme 8) folosnd r..s.t. asocată sstemulu dat. 7) Pol sstemulu sunt totodată ş valor propr ale polnomulu caracterstc al sstemulu adcă p =. În acest context se observă că (6) este în esenţă tot o condţe modală. 8) Această parte poate f consderată ca exercţu recaptulatv.

10 Dragomr T.L. Teora sstemelor Curs anul II CTI 04/ s.t. a sstemulu P pentru un pas de dscretzare h este: cos h x[t ] sn h y[t] 0 x[t] sn h cos h x[t] u[t] cos h sn h. cos h cos h cos h Pentru acest sstem: M c = [b Ab] = det M c = snh ( cos h). sn h sn h sn h Aplcând crterul lu Kalman sub forma (3') deducem că sstemul este controlabl pentru orce valoare a lu h care satsface condţle sn h 0. În consecnţă sstemul nu este controlabl pentru valorle cos h lu h care satsfac egaltăţle h q q N* h q q N *. egăsm astfel rezultat obţnut prn aplcarea crterulu prezentat în această secţune. 3.5 Observabltatea sstemelor. Conceptul de observabltate Prn defnţe eşrea y ş ntrarea u ultma cu rol de mărm de comandă ale unu proces sunt măsurable. În afara lor ne poate nteresa ş măsurarea altor mărm dn proces în partcular măsurarea mărmlor de stare x cu ajutorul cărora se poate exprma orce altă mărme dn proces. O stuaţe tpcă este cea în care ne nteresează măsurarea mărmlor de stare cu scopul de a le utlza pentru conducerea procesulu prn reacţe după stare. Dacă mărmle de stare nu pot f măsurate nemjloct atunc avem nevoe de un sstem care să le măsoare ndrect. Un astfel de sstem poartă numele de estmator de stare. Observaţe: În mod obşnut în cazul determnst estmatoarele sunt numte observatoare ar în cazul stohastc fltre. În contextul celor ma sus menţonate apare problema determnăr vectorulu de stare al unu sstem prn măsurător ndrecte efectuate asupra lu y ş u. ăspunsul este dat de aşa-numta propretate de observabltate. Dacă sstemul este observabl atunc teoretc poate f conceput un algortm de calcul denumt estmator pentru determnarea stăr. În cele ce urmează ne referm numa la problema observabltăţ problema snteze unu estmator tratându-se la alte dscplne. Pentru început consderăm sstemul în tmp dscret de ordnul n x[t ] Ax[t] Bu[t]. () y[t] Cx[t] Presupunem că sstemul se găseşte într-o stare nţală x[0]=x 0. Defnţa : Spunem că o stare nţală x[0] = x 0 a sstemulu () de ordn n nu este observablă atunc când aplcându- la ntrare semnalul u[t] = 0 până la momentul n- nclusv la eşrea sstemulu se obţne y[t] = 0 pentru t n-.

11 Dragomr T.L. Teora sstemelor Curs anul II CTI 04/05 5 Conform aceste defnţ starea x 0 nu este observablă (stare neobservablă) atunc când în condţle une ntrăr nule urmărnd mărmea de eşre pe un număr de paş cel puţn egal cu ordnul sstemulu se constată că starea nţală a sstemulu x 0 nu nfluenţează eşrea (nu se vede în mărmea de eşre) aceasta fnd permanent nulă. Defnţa : Dacă x 0 = 0 este sngura stare neobservablă spunem că sstemul () este observabl.. Crterul de observabltate al lu Kálmán Matematc faptul că o stare x 0 nu este observablă se nterpretează prn mposbltatea determnăr e pe baza ecuaţle sstemulu dn înregstrăr ale varablelor de ntrare ș de eșre. Investgarea dn această perspectvă a sstemulu () precum ş a sstemulu în tmp contnuu x ( t) A x( t) B u( t) y( t) C x( t) () a condus la rezultatul prezentat în contnuare. Fe matrcea M o C CA n CA Ea se numeşte matrcea de observabltate a sstemulu (). Pentru sstemele () ş () este valabl următorul enunţ cunoscut sub denumrea de crterul de observabltate al lu Kalman: Sstemul (3) x Ax Bu x n u m y Cx (4) este observabl atunc ş numa atunc când rang M O = n. (5) În cazul când p = sstemul (4) având o sngură mărme de eşre M O este o matrce pătratcă ar condţa rang M O = n poate f înlocută prn condţa det M O 0. (6) Mulţmea stărlor neobservable ale sstemulu (4) este dată de nucleul matrce de observabltate n KerMO x0 M0x0 0 Exemplu: Să se analzeze observabltatea sstemulu. (7)

12 Dragomr T.L. Teora sstemelor Curs anul II CTI 04/05 5 ş să se preczeze dacă stărle. 0.3 x[t ] x[t] bu[t] 0 y[t] 0.5x[t] sunt observable x 00 x 0 x 0 x Soluţe: T c 0.5 MO det M T 0 0 rangm0 n c A Dec sstemul nu este observabl. Determnăm nucleul matrce de observabltate rezolvând sstemul nedetermnat M o x 0 0 adcă sstemul x 0.3 x Soluţa sstemulu este dată de ecuaţa 0.5 x 0 fnd x0 0 x x0 a a x. (8) 0 a 0 Dec a Ker Mo a. Mulţmea conţne punctele drepte x 0 = x 0 pe care se găsește ş starea a de repaus (se obţne consderând a = 0). Comparând x 0 dn (8) cu fecare dn cele 4 stăr preczate în enunţ conchdem: x 00 Ker M 0 (x 00 se obțne pentru a = 0.5) dec starea este x 00 este neobservablă; x 0 x 0 x 03 Ker reprezentând stăr observable. 3. Alte crter de observabltate În afara crterulu de observabltate al lu Kalman se utlzează ş alte crter de observabltate care evdenţază smultan ş alte propretăţ. Unul dntre acestea este crterul de observabltate al lu Hautus conform cărua: Sstemul y Cx x Ax Bu x n u m este observabl atunc ş numa atunc când

13 Dragomr T.L. Teora sstemelor Curs anul II CTI 04/05 53 A I rang n C A Fecăre valor propr mod neobservabl.. (9) pentru care condţa de rang (9) nu este îndeplntă î corespunde în sstem un În altă ordne de de pentru sstemele de tp SISO aspectul funcţe de transfer poate să fe un ndcu ş pentru o eventuală perdere a propretăţ de observabltate. Astfel: Dacă în urma aducer funcţe de transfer a unu sstem de ordn n la o formă reductblă gradul numtorulu este egal cu n atunc sstemul este observabl (crterul de observabltate al lu Glbert). Temă: Să se analzeze controlabltatea ş observabltatea sstemulu dn fgură în funcţe de parametr ş 0. u s 0. 5s y 4. Observabltatea proceselor dscretzate (r..s.t.) La fel ca în cazul controlabltăţ dscretzarea poate să afecteze ș observabltatea. În acest context este valablă următoarea teoremă: Sstemul în tmp dscret obţnut ca r..s.t. dntr-un sstem în tmp contnuu cu f.d.t. H(s) este observabl dacă : ) sstemul în tmp contnuu este observabl ; ) orcare ar f p ş p k pol dstncţ a funcţe de transfer H(s) este îndeplntă condţa p h pk h e e. Ca aplcaţe consderăm ş de această dată cazul osclatorulu armonc studat la sfârştul paragrafulu anteror dn punctul de vedere al controlabltăţ. Analzăm observabltatea lu prn două metode. ) Matrcea de observabltate a sstemulu dscretzat fnd T c 0 M0 T c A cos h sn h rezultă că det MO sn h. Sstemul nu este observabl pentru valorle h > 0 pentru care ) * * sn h = 0 dec h q q N h q q N. Sstemul în tmp contnuu este observabl fnd îndeplntă condţa ) dn ultmul enunţ. Întrucât condţa ) e ph e pkh conduce la acelaş rezultat ca ş în cazul controlabltăţ (v. sfârştul paragrafulu refertor la controlabltate) rezultă * * h q q N h q q N În mod natural am regăst rezultatul de la punctual )..