MODELOVANJE HETEROGENIH KATALITIČKIH REAKTORA
|
|
- Ανδρόνικος Γκόφας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 MODELOVNJE HETEOGENIH KTLITIČKIH EKTO Dva osova tipa katalitičih reaktora sa čvrstim katalizatorom su: reaktor sa epokretim slojevima (fixed bed) katalizatora reaktor sa fluidizovaim slojem (fluidized bed) katalizatora Najjedostaviji matematički model za proces u sloju katalizatora je kvazihomoge i to: I model, za epokreti sloj katalizatora PIM model, za fluidizovai sloj katalizatora Složeiji model procesa u epokretom sloju katalizatora uključuje i hidrodiamiku, i difuziju kompoeata i toplote. ealističiji model fluidizovaog sloja je višefazi. Pomeuti modeli, radi defiisaja dopriosa hem. reakcije tj. člaa geerisaja u bilasu zahtevaju makrokietički izraz za zro katalizatora i jegovo izvodjeje je predmet aredog izlagaja. Proces formulisaja matematičkog modela u sloju katalizatora je prikaza a Sl ivo: Sloj katalizatora HIDODINMIK PENOS TOPLOTE I KOMPONENT EKIJ makrokietički model. ivo: Porozo zro katal. spoljašja difuzija mase i toplote uutrašja difuzija mase i toplote reakcija mikrokietički model. ivo: eakcioa površia adsorpcija reakcija desorpcija Slika 9. Šema procesa formulisaja matem. modela procesa u sloju katalizatora
2 Matematički model stacioarog procesa u porozom zru katalizatora Mada je porozo zro katalizatora heteroge sistem (čvrsto + fluid), zbog izuzeto složee geometrije međufaze površie, oo se pri modelovaju zamejuje ekvivaletim kvazihomogeim sistemom, posredstvom efektivih koeficijeata difuzije i preosa toplote i specifiče površie katalizatora (veličia katalitičke površie po jediici zapremie porozog zra). Modelovaje procesa u porozom zru ćemo prikazati a jedostavom slučaju katalizovae reakcije: ( g) produkti ( g) (9.) čija je brzia data izrazom (mikrokietički model), r k ( mol / m s) s s (9.) koja se odigrava u katalizatoru sferog oblika uiforme poroze strukture. Pretpostavimo da je sfero zro katalizatora urojeo u turbuletu gasu struju u kojoj su kocetracijsko i temperaturo polje uiformi. Izotermski proces Temperaturo polje u porozom zru je uiformo tj. temperatura je kostata i jedaka temperaturi okolog gasa. Što se tiče kocetracije reaktata može se predvideti jea promea duž radijusa zra (koordiata r u sferom koordiatom sistemu čiji je početak smešte u cetru zra)- vidi Sl. 9.. Slika 9. -Kocetracijsko polje reaktata u kvazihomogeom zru katalizatora Profil (r) u zru se uspostavlja zbog otpora difuziji reaktata iz gasa u uutrašjost zra, kroz porozu strukturu zra koju azivamo i uutrašja difuzija. O je simetriča, sa miimumom u cetru katalizatora,
3 Zbog otpora difuziji reaktata kroz epokreta sloj gasa oko zra (film ili graiči sloj) koju azivamo spolja difuzija, postoji lieara pad kocetracije po debljii graičog sloja. Kao što smo već pretpostavili, u masi fliuda je kocetracija uiforma i jedaka. Izotermski model procesa u kvazihomogeom zru sastoji se od bilasa reaktata i graičih uslova. Pošto, kroz porozo zro ema strujaja gasa, ema dopriosa kovekcije akumulaciji reaktata i preostaje: mol + (9.) m s rad. dif. reakc. Za doprios radijale difuzije važi izraz (7.7), izvede za homoge sistem sfere geometrije: D r r r rad. dif. r Doprios reakcije predstavlja trošeje reaktata u jediici vremea i po jediici zapremie u posmatraoj reakciji. Trošeje po jediici katalitičke, ili reakcioe, površie je: r ( s, T ) (7.94) k s ( mol / m s) ko uzmemo bilo koji elemet zapremie zra dv, ukupa reakcioa površia u tom elemetu ds je jedaka: ds s dv gde je s specifiča površia reakcioe površie (m /m ) jedaka za bilo koji elemet dv, u skladu sa pretpostavkom da je poroza struktura zra uiforma. Tako je trošeje reaktata u bilo kom elemetu zra dv jedako: s r (, T ) dv s pa je trošeje reaktata po jediici zapremie, u bilo kojoj tački uutar zra (doprios reakcije akumulaciji): reakc. srs (, T ) dv dv k mol m s k - kostata brzie kvazihomogee reakcije, k k s s Smeom dopriosa u (9.) dobijamo bilas reaktata u obliku diferecijale jedačie drugog reda:
4 d D r dr r d dr pa preostaje da defiišemo graiče uslove. k (9.4) Za cetar zra, graiči uslov sledi iz uslova miimuma fukcije (r): d r ; dr Za spolju površiu zra (r ), kao drugu graicu sistema, graiči uslov sledi iz pricipa eprekidosti difuzioog fluksa reaktata: ( N ) ( N ) + (N ) - predstavlja fluks uutrašje difuzije a graicu r, pa je u skladu sa Fikovim zakoom: ( N ) D d dr r (N ) + predstavlja fluks spolje difuzije iz mase vrtložog gasa a spolju površiu zra, ili fluks prelaza kompoete : [ ] ( N ) + β ( ) Tako, graiči uslovi glase r : r : d dr D d dr r β [ ( ) ] (9.5a) (9.5b) Za dalju aalizu, koriso je model prevesti u bezdimezioi oblik, uvođejem bezdimezioih promeljivih: r ξ x ; ezultat smee je bezdimezioi matematički model: d x dx x + Φ (9.6) dξ ξ dξ dx ξ ; dξ (9.6a) 4
5 dx ξ ; x ( ) (9.6b) Bi d ξ ξ Bezdimezioi parametri koji karakterišu proces, su: Tilov modul (Thiele), Φ k ( ) D (9.7) Bajotov difuzioi broj (Biot), Bi β (9.8) D Kvadrat Tilovog modula Φ se može iterpretirati kao odos brzie reakcije i brzie uutrašje difuzije: Φ r D r D brzia reakcije po jed. povrsie brzia uutr. difuzije Velika vredost Φ zači da je u odosu a brziu reakcije, mala brzia uutrašje difuzije tj. da je veliki otpor uutrašjoj difuziji - difuzioi režim. malo Φ zači da je reakcija spora u odosu a uutrašju difuziju - kietički režim. Bajotov broj, Bi, očigledo predstavlja odos brzie spoljašje i brzie uutrašje difuzije, ili odos otpora uutrašjoj i spoljašjoj difuziji: β Bi D ko je Bajotov broj velik: Bi >> brzia spolj. difuzije brzia uutr. difuzije zači da je otpor spoljoj difuziji zaemarljiv u odosu a otpor uutrašje difuzije, što pojedostavljuje graiči uslov (9.6b): ( ) x( ) ; ( ) (9.9) Drugim rečima, može se zaemariti pad kocetracije u graičom sloju oko zra. Diferecijala jedačia (9.6) se može aalitički rešiti za reakciju prvog reda ( ) i uz graiči uslov Dirihleovog tipa (9.9), što ćemo pokazati. Za, model (9.6) izgleda: d x dx + Φ dξ ξ dξ x, Φ k D (9.) 5
6 dx ξ ; dξ (9.a) ξ ; x () (9.b) Uvodimo ovu fukciju z(ξ) smeom: x z ξ Za prvi i drugi izvod x po ξ dobijamo: dx z dξ ξ dξ ξ d x d z z + dξ ξ dξ ξ dξ ξ dξ ξ Posle smee u (9.) i sređivaja, dobija se diferecijala jedačia drugog reda sa kostatim koeficijetima, po ovoj fukciji z: d z z dξ Φ čije je opšte rešeje: Φ ξ z x ξ e + e Φ ξ Itegracioe kostate i alazimo iz graičih uslova: dx ξ : + dξ Φ Φ ( ) ξ : x( ) e e Prvu jedačiu: + smo mogli lakše dobiti rezoujući a sledeći ači. Vredost bezdimezioe kocetracije x, e x Φξ + e ξ Φξ u cetru zra ( ξ ) mora biti koača, što je moguće samo ako je i vredost brojioca u prethodom izrazu, za ξ, takođe jedaka uli. Iz dve jedačie dobijamo: e, e e e Φ Φ Φ Φ Tako je bezdimezioo rešeje: Φ ξ Φ ξ e e x Φ Φ ξ( e e ) ko uvedemo fukciju: 6
7 e x e x sh( x) (sius hiperbolički) rešeje možemo apisati kraće, kao: sh( Φξ) x ( ξ) (9.) ξ sh( Φ) Izotermski faktor efektivosti reakcije Pogoda ači aalize efekata pojediih parametara a proces u porozom zru katalizatora je preko faktora efektivosti reakcije defiisaog kao: stvara brzia procesa u zru η (9.) brzia kojom bi se proces odvijao kada e bi bilo otpora uutr. difuziji Jaso je da je za izotermski proces η < : Stvara brzia procesa u zru jedaka je ukupoj količii reaktata koja prodifuduje kroz spolju površiu zra u jediici vremea jer je upravo toliko reaktata izreagovalo u jediici vremea u zru (stacioarost). D d dr S D d dr r r 4π Ideala brzia procesa, kojom bi se o odvijao da je otpor uutrašje difuzije jedak uli, tj. kocetracija reaktata u zru uiforma, jedaka je: 4 k [ ] ( ) ] V π k[ ( ) Tako za η dobijamo : d η (9.) dr r D k[ ( ) ] Logičo je da će η biti fukcija parametara u bezdimezioom matematičkom modelu: η η( Φ, Bi, ) (9.4) 7
8 Slučaj reakcije prvog reda i zaemarljivog otpora spoljašjoj difuziji Za i Bi >> imamo aalitičko rešeje (9.) i treba da smeimo izraz za vredost kocetracije (r) i jeog izvoda a spoljjoj površii ( r ), odoso vredost bezdimezioe fukcije x (ξ) i jeog izvoda u tački ξ u defiiciou jed. (9.), ezultat je : d dx d dr r ξ ξ η D k[ )] ( ) ] Φ [ x( η Φ th( Φ) Φ (9.5) gde je th(φ), tages hiperbolički od Φ th( Φ) e e Φ Φ e + e Φ Φ Uopšteje a proizvolju geometriju zra ris je uspeo da uopšti aalizu i da pokaže da se može dobiti (približo) jedistveo rešeje za η u fukciji od modifikovaog modula Φ * : ( ) Φ * L k D (9.6) za bilo kakav oblik katalitičkog zra, pri čemu je karakterističa dimezija L defiisaa kao L zapremia zra spolja povrsia zra (9.6a) Tako je za sferu: * L /, Φ Φ / Tako za faktor efektivosti reakcije (9.) prvog reda ( ) za Bi >>, za bilo kakvu geometriju zra približo važi izraz: η Φ * th( Φ * ) Φ * (9.7) 8
9 kome odgovara dijagram a slici Sl.9.. log η η η (9.7) Bi>> η Φ kietièki režim prelazi režim difuzioi režim log Φ Slika.9. Izotermski faktor efikasosti za reakciju (9.7) prvog reda Za male vredosti Φ *, može se pokazati lim η (9.8) * Φ tj. u kietičkoj oblasti je stvara brzia procesa približo jedaka idealoj, pošto je otpor uutrašjoj difuziji zaemarljiv. Ovo aravo, važi i za reakciju - tog reda. S druge strae, iz (9.7): lim η lim Φ Φ Φ * * * tj. u difuzioom režimu (praktičo za Φ * > ) važi : η cost Φ * ( za reakciju prvog reda, cost ) (9.9) što odgovara pravoj liiji u log-log dijagramu (Sl.9.). elacija (9.9) važi i u opštem slučaju reakcije -tog reda. U slučaju kada se e može zaemariti otpor spoljašjoj difuziji, za η u oblasti Φ * >, za reakciju -tog reda, važi približo: η Φ cost ( + Φ Bi) * * (za, cost ) (9.) Faktor efektivosti eizoterme reakcije 9
10 bilas: Za aalizu eizotermskog procesa u porozom zru eophoda je i eergetski E + E t t rad. dif. reakc. E rad. dif. λ r d dr r dt dr E r H k H, reakc. Tako eergetski bilas glasi: λ r r : r : d dr r dt dr λ dt k dr r dt dr r α H ( T ( ) T ) (9.) (9.a) (9.b) T - temperatura u masi fluida Nako uvođeja smee: r T ξ, x, θ T dobija se matematički model eizotermskog procesa u zru (kompoeti i eergetski bilas) u bezdimezioom obliku: d x dx + Φ dξ ξ dξ d θ dθ + + γφ dξ ξ dξ x x θ expb θ θ expb θ (9.) sa graičim uslovima: ξ : dx d ξ dθ dξ (9.a) ξ : dx x ; Bi dξ Bi dθ θ dξ T (9. ) b
11 U modelu fugurišu tri ova bezdimezioa parametra. Bezdimezioa eergija aktivacije, b b E T (9.4) i predstavlja meru osetljivosti brzie reakcije a temperaturu Parametar: γ H D (9.5) λ T se može iterpretirati kao odos brzie geerisaja toplote u sistemu i brzie odvođeja toplote. Bajotov toploti broj, Bi T aaloga Bajotovom (difuzioom) broju (9.8) Bi T α λ (9.6) koji predstavlja odos otpora uutrašjeg i spoljjeg preosa toplote. Za faktor efektivosti (9.) u slučaju eizotermske reakcije se može, a osovu jedačia (9.) i (9. -9.b) predvideti: * T η η( Φ, b, γ, Bi, Bi, ) Skica dijagrama zavisosti eizotermskog faktora efektivosti od uopšteog Tilovog modula (9.6), Φ * i parametra γ (9.5) pri: Bi, Bi T >>, b cost i data je a slici Sl.9.4. Jaso je da kriva γ (geerisaje toplote ), odgovara izotermskom faktoru efektivosti (Sl.9.). Slika 9.4 Neizotermski faktor efektivosti alogo faktoru efektivosti površiske reakcije (jed..99) za izrazito egzoterme reakcije (γ > ), η prevazilazi jediiču vredost i pokazuje maksimum.
12 Mikro - i makrokietički model procesa Pomoću faktora efektivosti brzia složeog procesa se izražava u fukciji od merljivih potecijala - u ovom slučaju od kocetracije i temperature T u masi gasa. Naime iz (9.) sledi: r(, T ) ηr (, T ) ( mol / m s) Za posmatrau reakciju (9.) E T r sr (, T ) s k e ( ) s s s - specifiča površia katalizatora Pošto opisuje brziu procesa a samoj reakciooj površii izraz za brziu površiske reakcije r s (,T) se aziva i mikrokietički izraz, dok se izraz za brziu procesa u zru katalizatora, koji uključuje i feomee uutrašje i spolje difuzije aziva makrokietički izraz. Dakle: tj. ( ( makrokieticki faktor ( mikrokieticki specifica izraz za efektivosti izraz za brziu povrsia porozo zro reakcije povrsiske zra katalizatora u zru reakcije * T r(, T ) η( Φ, b, γ, Bi, Bi, ) s rs (, T) ( mol / m s) (9.7) makrokiet ika eizotermski faktor efektivosti mikrokiet ika,t - kocetracija i temperatura u masi reakcioog fluida Jaso je da se makrokietički izraz može dobiti u aalitičkom obliku samo ako se faktor efektivosti može dobiti u aalitičkoj formi tj. ako se može aalitički rešiti sistem diferecijalih jedačia kompoetih i eergetskog bilasa. Ovo je moguće u vrlo ograičeom broju slučajeva. Jeda takav slučaj je posmatraa izotermska reakcija: ( g) proizvodi -tog reda u difuzioom režimu, ako se može zaemariti otpor spoljašjoj difuziji (Bi >> ): η cost Φ * (9.8)
13 Potražićemo sada makrokietički izraz za posmatrau izotermsku reakciju, koja se odvija u uslovima zaemarljivog otpora spoljoj difuziji reaktata. Kietički režim U ovom režimu (Φ * ), važi: η pa je makrokietički izraz: r(, T ) s r (, T ) s k ( T ) k( T ) ( mol / m s) s s tj. praktičo je jedak (proporcioala) mikrokietičkom izrazu. Difuzioi režim Za makrokietiku dobijamo: cost r(, T ) L s k s k k s ( ) s ( ) D (9.9) gde je privida kostata brzie k : k s ks D cost k e k e L E/ T E / T (9.) E - privida eergija aktivacije: E + - privida red reakcije: E / ežim ed procesa, Eergija aktivacije, E Kietički E - Difuzioi ( + ) / E / / L Efekat dimezije zra, L
14 Stacioara reaktor sa epokretim slojem katalizatora Jeda od ačia realizacije katalizovaih gasih reakcija u idustriji su reaktori sa epokretim slojem katalizatora, kroz koje struji reakcioi fluid (Sl.9.5) a) b) Slika 9.5 eaktor sa epokretim slojem katalizatora: a) jedosloji, b) višesloji Hlađeje ili zagrevaje sloja se može izvoditi pomoću fluida u omotaču (Sl.9.5a). Kod egzotermih reakcija, da bi se postiglo efikasije hlađeje, ukupa količia katalizatora se deli a više slojeva (Sl.9.5b), a hlađeje postiže međuslojim izmejivačima toplote ili uvođejem svežeg reakcioog gasa između slojeva. Zbog komplikovae geometrije međufaze površie, pri modelovaju se porozi sloj katalitičkih zra smatra homogeim. Formulisaćemo kvazihomoge matematički model sloja zra katalizatora u kome se odvija egzoterma reakcija. ( g) proizvodi Pretpostavićemo rava brziski profil (izrazito turbuleto strujaje gasa kroz sloj): r r w w ( z) e azmotrimo dva slučaja: sr z a) reaktor sa omotačem za hlađeje (grejaje), kroz koji protiče rashladi (greji) fluid kostate temperature T cost (Sl.9.5a). b) sloj je idealo izolova (adijabatski) ( Sl.9.5b). Na slikama 9.6a,b su skicirai radijali profili temperature i kocetracije. 4
15 Slika 9.6a adijali profil u eizotermskom sloju katalizatora Slika 9.6b adijali profil u adijabatskom sloju katalizatora Neizotermski jedosloji reaktor (Sl. 9.5a), sa jedom reakcijom Temperatura T i posledičo kocetracija su fukcija i radijale koordiate zbog hlađeja sloja fluidom u omotaču (Sl.9.6a) ( z, r), T T( z, r) Kvazihomoge kompoeti bilas ima sva 4 dopriosa: t t t t aks. dif rad. dif kov. reakc. i ako smee izraza za pojedie dopriose (7.49), (7.5), (7.5), (7.5): D L z D r ( F) + r( T r r, ) (9.) r S z Zapremiski protok F(z) je dat jedačiom kotiuiteta: F( z) F ρ / ρ( c, T, p) ili jedačiom (4.8): v F( z) F ( + Kvx ) v Izraz r(,t) [mol /(m porozog sloja s)] daje količiu reaktata koja izreaguje po jediici zapremie porozog sloja katalizatora, u fukciji kocetracije i temperature T u turbuletoj masi reakcioog gasa koji struji kroz sloj. Dakle, to je 5
16 makrokietički izraz za sloj katalitičkih čestica i o je u vezi sa makrokietičkim izrazom za zro katalizatora: odoso: ( specifi ca zapremia porozog sloja r (, T ) r(, T ) zro ( specifica zapremia porozog zra r(, T ) r(, T ) zro ρ ρ ρ s - asipa gustia sloja (kg /m ) ρ z - gustia porozog zra (kg /m ) s z Dakle, veza između izraza r(,t) sa izrazom za brziu površiske reakcije (mikrokietika) je: ρ s r(, T) η s rs (, T (9.) 44 ρ 44 ) mikroki. izraz makro ki. z izraz η - faktor efektivosti reakcije u zru Graiči uslovi uz kompoeti bilas su r : r (9.a) r : (9.b) r z : w w (, r) D L z (9.c) z L: (9.d) z Parametri D L i D su efektivi koeficijeti poduže i popreče difuzije reaktata kroz sloj katalizatora ili koeficijeti poduže i popreče disperzije reaktata kroz sloj. D sloja treba jaso razlikovati od D za zro katalizatora. Dok je (D ) zro fukcija pravog molekulskog koeficijeta D, porozosti zra i izvijugaosti pora kao i Kudseove difuzivosti (pogl..), (D ) sloj zavisi od D, porozosti i dimezija sloja i režima strujaja gasa kroz sloj. D L takođe zavisi od režima strujaja, disperzioi koeficijeti D L i D za sloj se određuju eksperimetalo, ili a bazi korelacija - kriterijalih jedačia, dobijeih a bazi ekperimetalih podataka. 6
17 Eergetski bilas takođe obuhvata sva 4 dopriosa (jed.(7.5a-7.56)): T T T λ L + λ ρ (, ) (, ) r c p w r T H T p (9.4) z r r r z F ρ w ρ S Fm S F m - masei protok (kg/s) Graiči uslov za osu cevi sledi iz simetrije radijalog temperaturog profila (Sl.9.6a), T r : (9.4a) r a uslov a zidu cevi (r ) predstavlja uslov eprekidosti toplotog fluksa uz aproksimaciju da je otpor provođeju toplote kroz zid zaemarljiv, pa je temperatura zida jedaka temperaturi reakcioog fluida uz zid: [ T( z, ) ] ' T r : λ α T (9.4b) r α - koeficijet prelaza toplote sa zida a pomoći fluid T - temperatura pomoćog fluida Za z-pravac, važe Dakvercovi graiči uslovi: z λ L T : w T wt (, r) (9.4c) ρ z p T z L : (9.4d) z T - temperatura apoje struje dijabatski sloj katalizatora (Sl. 9.5b) u kome se odigrava jeda reakcija ava brziski profil i odsustvo radijalog preosa toplote uslovljavaju jedodimezioa kocetracijska i temperaturo polje ( Sl. 9.6b). Kompoeti bilasi e sadrže dopriose radijale difuzije, pa glase: d d( F) DL r(, T ) (9.5) S sa Dekvercovim graičim uslovima: 7
18 d z : w w () DL (9.5a) z d z L : (9.5b) Eergetski bilas je aaloga kompoetima: d T dt λ L c ρw r(, T ) H ( T, p) p (9.6) λ dt z : w T wt () (9.6a) ρ L p z dt z L : (9.6b) Stacioara reaktor sa fluidizovaim slojem katalizatora lterativa katalitičkom reaktoru sa epokretim slojem katalitičkih zra je raktor sa fluidizovaim slojem katalizatora. Fluidizovai sloj čie lebdeće čestice katalizatora, kroz koji struji reakcioi gas (Sl. 9.7). Gas fluidizovai sloj katalizatora Gas F (m /s) Slka 9.7 Skica fluidizovaog sloja katalizatora Emulzioa faza Kada se kroz sloj katalizatora propušta gas i povećava jegov protok, u jedom mometu - pri protoku koga zovemo miimala protok fluidizacije, F, formira se sloj, visie H, u kome lebde čestice katalizatora (Sl. 9.8) 8
19 H F ( m s) Slika 9.8 Miimala protok fluidizacije. Emulzioa faza Taj sloj sa uiformo raspodeljeim lebdećim česticama katalizatora, visie H smatraćemo kvazi fazom i zvati je emulzioa faza. Sada možemo da izračuamo zapremiu emulzioe faze: V S H (9.7) S - površia poprečog preseka fluidizovaog sloja ko je zapremiski udeo gasa u emulziooj fazi ε, zapremia gasa u joj će biti: V g V ε (9.8a) a zapremia katalizatora: V k ( ) V ε (9.8b) Pod miimalom brziom fluidizacije ćemo podrazumevati površisku brziu : w F / S (9.9) Faza mehurova Kada se protok gasa povećava izad F, pojavljuju se mehurovi gasa koji barbotiraju kroz emulziou fazu, a fluidizovai sloj ekspaduje do eke visie H > H (Sl.9.9) Gas Emulzioa faza H>H Gas F >F Faza gasih mehurova Slika 9.9 Ekspadovai fluidizovai sloj sa dve faze : emulzioa (kvazi) faza i gasi mehurovi 9
20 U daljem tekstu ćemo fazu mehurova ozačiti ideksom, a emulziou fazu ideksom. Matematički model Formiraćemo matematički model katalitičkog reaktora sa fluidizovaim slojem katalizatora, u kome se odigrava reakcija : ( g) produkti( g) uz sledeće pretpostavke :. Čestice katalizatora su ravomero raspoređee (dispergovae) uutar emulzioe faze,. Gasi mehurovi (faza ) su ravomero dispergovai u emulziooj fazi,. Faza mehurova struji u režimu idealog potiskivaja. 4. Zbog mešaja emulzioe faze gasim mehurovima, u emulziooj fazi postoji poduža difuzija, 5. eaktor je idealo izolova Pošto su zapremie faza : V V SH ( ) V V V S H H zapremiski udeo faze () u dvofazom sistemu biće: V S( H H ) ϕ V SH H H (9.4) Što se sredjih brzia strujaja faza tiče, možemo da kostatujemo da je površiska brzia emulzioe faze jedaka miimaloj brzii fluidizacije (9.9): w w dok je prava brzia: w w w /( ϕ) (9.4) ϕ Površiska brzia faze mehurova je : F F w S w w (9.4)
21 a prava brzia: w w w w ϕ ϕ (9.4) Faza mehurova Bilas reaktata : Pretpostavili smo režim idealog potiskivaja: kov. +. s m mol dvofazog sistema - kocetracija reaktata u fazi (): kov. d w ϕ (9.) ( w w d ). sk ( ) Tako je bilas reaktata : d ( w w ) sk( ), ( ) (9.44) alogo izvodimo eergetski bilas : dt ( ) sk ( T T ), T ( ) T (9.45) ρ cp w w T Emulzioa faza U skladu sa pretpostavkama, za kompoeti bilas imamo : + + t aks + t. t kov. Pojedii dopriosi su: dif. reak..
22 kov. w d ( ϕ) (9.) w d aks dif.. D L d ( ϕ) reak. makrokiet ( icki ( izraz za kataliticko zro r(, T ) ( ϕ) sme u udeo dvofazoj faze () ( si ( ε) udeo katali - zatora u fazi () sk ( ) pa bilas reaktata u emulziooj fazi glasi : d d w + DL ( ϕ) r(, T )( ϕ)( ε) sk ( ) (9.46) z : z L : w d w () ( ϕ) D L d Za eergetski bilas izvodimo : ρ dt d T c p w + λ L ( ϕ) r(, T )( ϕ)( ε) H sk ( T T ) T (9.47) z : w T w λ L T () ( ϕ) ρ c p dt z L : dt
koja se odigrava u katalizatoru sfernog oblika uniformne porozne strukturu.
MTEMTIČKI MODEL STCIONNOG POCES U POOZNOM ZNU KTLIZTO Mada je porozo zro katalizatora heteroge sistem (čvrsto + fluid), zbog izuzeto složee geometrije međufaze površie, oo se pri modelovaju zamejuje ekvivaletim
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραMETODA SEČICE I REGULA FALSI
METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραIzrada Domaće zadaće 4
Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 26. jun Katedra za Računarsku tehniku i informatiku
Elektrotehički fakultet uiverziteta u Beogradu 6. ju 008. Katedra za Račuarku tehiku i iformatiku Performae račuarkih itema Rešeja zadataka..videti predavaja.. Kretaje Verovatoća Opi 4 4 Kretaje u itom
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραodvodi u okoliš? Rješenje 1. zadatka Zadano: q m =0,5 kg/s p 1 =1 bar =10 5 Pa zrak w 1 = 15 m/s z = z 2 -z 1 =100 m p 2 =7 bar = Pa
.vježba iz Terodiaike rješeja zadataka 1. Zadatak Kopresor usisava 0,5 kg/s zraka tlaka 1 bar i 0 o C, tlači ga i istiskuje u eizolirai tlači cjevovod. Na ulazo presjeku usise cijevi brzia je 15 /s. Izlazi
Διαβάστε περισσότεραAritmetički i geometrijski niz
Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραTačkaste ocene parametara raspodele
Tačkaste ocee parametara raspodele Na osovu uzorka treba da se odredi kakva je raspodela obeležja a populaciji Ako je tip raspodele pozat, treba da se odrede parametri raspodele Pošto je realizovaa vredost
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti
MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom
Διαβάστε περισσότεραPRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)
PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni
Διαβάστε περισσότεραPolarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam
Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραnepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena.
Testiraje parametarskih hipoteza Pretpostavka (hipoteza) o parametru raspodele se zove parametarska hipoteza. Postupak jeog potvrđivaja ili odbacivaja a osovu podataka iz uzorka je parametarski test. t
Διαβάστε περισσότεραIdealno gasno stanje-čisti gasovi
Idealo gaso staje-čisti gasovi Parametri P, V, T i isu ezavisi. Odos između jih eksperimetalo je utvrđei izražava se kroz gase zakoe. Gasi zakoi: 1. Bojl-Maritov: PVcost. pri kostatim T i. Gej-Lisakov:
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότερα3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.
ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραT r. T n. Naponi na bokovima zubaca
Napoi a bokovima zubaca U treutoj tački dodira spregutih profila zubaca dejstvuje ormala sila i to u pravcu dodirice profila. Na mestima dodira spregutih zubaca astaju lokale elastiče deformacije, tako
Διαβάστε περισσότεραReverzibilni procesi
Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Prosti cevovodi
MEHANIKA FLUIDA Prosti ceooi zaatak Naći brzin oe kroz naglaak izlaznog prečnika =5 mm, postaljenog na kraj gmenog crea prečnika D=0 mm i žine L=5 m na čijem je prenjem el građen entil koeficijenta otpora
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK
SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραINŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d e s e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) G L A V A 5
INŽENJERSKA MATEMATIKA NOTA BENE Dobro zapamti. Imaj a umu. Ne zaboravi. P r e d a v a j a z a d e s e t u s e d m i c u a s t a v e (u akademskoj 9/. godii) G L A V A 5 DIFERENCIJALNI RAČUN REALNIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραOvo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραPP-talasi sa torzijom
PP-talasi sa torzijom u metrički-afinoj gravitaciji Vedad Pašić i Dmitri Vassiliev V.Pasic@bath.ac.uk D.Vassiliev@bath.ac.uk Department of Mathematics University of Bath PP-talasi sa torzijom p. 1/1 Matematički
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema
Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama
Διαβάστε περισσότερα2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja
Skupovi brojeva 17 Skupovi brojeva.1 Skup prirodih brojeva Skup N prirodih brojeva čie brojevi 1,,3,... Nad skupom prirodih brojeva defiisae su operacije sabiraja (+) i možeja ( ), čiji je rezultat takože
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραII. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Διαβάστε περισσότεραDIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραPRELAZ TOPLOTE - KONVEKCIJA
PRELAZ TOPLOTE - KONVEKCIJA Prostiranje toplote Konvekcija Pri konvekciji toplota se prostire kretanjem samog fluida (tečnosti ili gasa): kroz fluid ili sa fluida na čvrstu površinu ili sa čvrste površine
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραIdealno gasno stanje-čisti gasovi
Idealo gaso staje-čisti gasovi Parametri P, V, T i isu ezavisi. Odos izmeñu jih eksperimetalo je utvrñei izražava se kroz gase zakoe. Gasi zakoi: 1. ojl-aritov: PVcost. pri kostatim T i. Gej-Lisakov: V
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Διαβάστε περισσότεραSistem sučeljnih sila
Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραHemijska ravnoteža. Zakon o dejstvu masa Van t Hofova reakciona izoterma Termodinamički uslov i položaj hemijske ravnoteže. Poglavlje 2.
Hemijska ravoteža Zako o dejstvu masa Va t Hofova reakcioa izoterma Termodiamički uslov i položaj hemijske ravoteže oglavlje 2.6 Hemijska ravoteža Odigravaje eke hemijske reakcije predstavlja termodiamički
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα