MALE OSCILACIJE. 1. Male oscilacije sustava

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MALE OSCILACIJE. 1. Male oscilacije sustava"

Transcript

1 Male oscilacie sustava MALE OSCILACIJE Razatrao ozervativi izolirai fiziali sustav s stupeva slobode gibaa Stae gibaa sustava opisao e supo od geeraliziraih oordiata i geeraliziraih brzia ( q i, q i ) gde e i,,, Sustav e opisa Lagragia-o: L( q i, q i ) T U, gde e poteciala eergia fucia položaa U U(q) Sustav e u položau ravoteže ada geerazirae sile oe deluu a ega iščezavau: Q i U, () q i što zači da u ravotežo položau sustava (q, q,, q ) poteciala eergia ia estre Ravoteži položa e edia ofuguracia u oo sustav ože irovati Soro svai fiziali sustav ia položa ravoteže: uleus, ato, oleula, ruto tielo, zviezda, plaetari sustav, galatia, Ravoteži položa ože biti stabila, estabila i idifereta stabila iiu od U estabila asiu od U idifereta estre višeg reda od U Ravoteži položa e stabila ao ali poa iz tog položaa rezultira edio ograičei gibae u blizii tog položaa Bilo aav ifietiziali poa (perturbacia) sustava iz estabilog (labilog) ravotežog položaa proizvodi eograičeo gibae oe trao odvodi sustav iz tog položaa Mali poa iz idiferetog ravotežog položaa e opet idifereti ravoteži položa Prier: čestica u gravitaciso polu u udolii, a vrhu briega ili a ravii Fig Obli rivula poteciale eergie u blizii položaa ravoteže

2 Zaia as gibae sustava u blizii položaa stabile ravoteže U slučau alih oscilacia, poaci iz ravotežog položaa su «ali» pa sve fucie oe opisuu sustav ožeo razviti u Taylor-ov red oo položaa stabile ravoteže Prvo uvedio ove geeralizirae oordiate i oe se ere od ravotežog položaa (ovo e uvie oguće, er zači sao traslaciu ishodišta): i q i q i ; i,, () Razviaući potecialu eergiu U oo q i, t oo i, dobiao; U(q,,q ) U(q,,q ) + U Σ i i q + i U Σ i + () q q i i Člaovi lieari po i autoatsi iščezavau ao posledica uveta ravoteže () Budući da e poteciala eergia defiiraa do a ostatu, ožeo odabrati da e ea vriedost u položau stabile ravoteže edaa uli: U U(q,,q ) Zaearuući ifiiteziale člaove višeg reda po i, dobiao izraz za potecialu eergiu sustava za sluča alih oscilacia oo položaa stabile ravoteže oi e vadrata fucia geeraliziraih oordiata i : U U Σ i q q i i Vii ; i,,, (4) iσ gde so druge derivacie poteciale eergie U u položau stabile ravoteže ozačili ostataa V i Očigledo e iz defiicie da su ostate V i sietriče, t V i V i i tvore eleete reale sietriče atrice V Razotrio sada razvo u red ietiče eergie sustava Budući da za izolirai sustav geeralizirae oordiate e sadrže vriee esplicito, ietiča eergia e hoogea vadrata fucua geeraliziraih brzia: T Σ t q q i i i Σ ti i (5) i Koeficieti t i su fucie geeraliziraih oordiata q i, t i, i ogu se razviti u red oo položaa stabile ravoteže: t i t i (q,,q ) + t i Σ q + (6) Kao e (5) već vadrato po ifiiteziali geeralizirai brziaa i, aprosiacia aižeg reda za ietiču eergiu dobie se zaearuući sve osi prvog člaa u razvou (6) Ozačavaući ostate vriedosti fucia t i u položau ravoteže s T i, ietiču eergiu ožeo pisati:

3 T Σ Ti i (7) i Opet e očigledo da ostate T i orau biti sietriče er i i outirau Iz (4) i (7) vidio da e Lagragia sustava oi vrši ale oscilacie oo položaa stabile ravoteže vadrata fucia geeraliziraih oordiata i brzia: L iσ T i i + Vii (8) Pripade Lagrage-ove edadžbe su: Σ T i + Vi Σ (9) Ovo e sustav od diferecialih edadžbi drugog reda s ostati oeficietia Sada trebao aučiti ao ih rešiti!

4 Jedadžba svostveih vriedosti Videli so da su edadžbe gibaa (9) svaog fizialog sustava oi ia položa stabile ravoteže u blizii tog položaa u prvo aprosiacii: Σ T i + Vi Σ () Da poedostavio otaciu pređio a atriči obli satraćeo T i eleetia reale, sietriče atrice T, a V i eleetia atrice V istog tipa Lagrage-ove edadžbe gibaa za ale oscilacie u atričo obliu glase: gde e vetor-stupac t atrica T + V () Možeći () slieva s atrico T, iverzo atrico od T (T uvie postoi, t T e regulara atrica er biso, u protivo, iali liearu zavisost geeraliziraih oordiata što e, po defiicii, eoguće), dobivao: + A, () gde e A T V Želio da rešee bude edostavo haroiso titrae e ± it oe zadovolava edadžbu gibaa: s uto frevecio + ; cost () Iz () i () e očigledo da e eophoda uvet da iao tavo rešee: A, (4) t ao e svostvei vetor atrice A oi pripada svostveo vriedosti, t svostveo frevecii sustava Zači, rešavae problea alih oscilacia svodi se a rešavae svostveog problea (4) atrice A T V Svostvee vriedosti atrice A su oriei araterističe edadžbe: ili, ožeći slieva s det T i : det ( A δ ), (5) det ( V i T i ) (6) Ovo e algebarsa edadžba stupa po i ea rešea su svostveih frevecia alih oscilacia fizialog sustava Pripade svostvee vetore određueo iz (4) ili iz evivalete edadžbe: ( V T ) (7) 4

5 Kao su V i T reale sietriče atrice sliedi da su svostvee vriedosti atrice A reale To e lao doazati Heritsi ougiraa edadžba (7) e: + V Možeći (7) slieva s +, a (8) zdesa s, dobivao: + T (8) + V + T + V pa oduziae sliedi da e: + T,, t R U liearo algebri se poazue da svaa heritsa atrica reda ia svostveih vetora po eda za svau svostveu freveciu Napoea: Jaso e da su atrice V i T heritse er su reale i sietriče, tao da e i atrica T heritsa No, produt dvie heritse atrice e heritsa atrica, ao i sao ao oe outirau U svao poedio slučau ože se proveriti da li atrice V i T outirau No, bez veliog ograičea općeitosti u lasičo fizici, to se ože pretpostaviti i i ćeo tao učiiti bez provere Tada e i atrica A T V heritsa, te e svostvei proble ia rešee, t postoi svostveih frevecia i ia pripadih svostveih vetora Ozačio svostvee vetore atrice A s (), gde e (,,, ) Za poedie opoete svostveih vetora uvedio otaciu : i () i Svostvee vriedosti atrice A su, osi toga, i pozitive što se vidi a sliedeći ači Poožio (7) s i i suirao po i : što dae: Vii Tii i,σ i, ΣV i ΣT i i i Σ, Na deso strai i broi i azivi su eegativi azivi e dvostrua ietiča eergia za brzie i a, broi e poteciala eergia za oordiate i uz uvet da e iiu te poteciale eergie ula, što zači da e: Sluča ulte svostee frevecie zahtieva posebo razatrae: titrae s frevecio ustvari ie titrae ego traslaciso ili rotaciso gibae cielog sustava ao rutog tiela i u prasi se eliiira dodati zahtevo da e brzia cetra ase sustava edaa uli Dosad so poazali da svai ozervativi fiziali sustav s stupeva slobode gibaa u blizii položaa stabile ravoteže ia svostveih frevecia oe su reale i eegative U zavisosti da li su te svostvee frevecie eđusobo različite ili isu iao dva slučaa: i) NEMA DEGENERACIJE svih svostveih frevecia su različite Rešavae araterističe edadžbe (5) ili (6) alazio svostvee frevecie, a zati određueo pripade svostvee vetore iz edadžbe: 5

6 uvrštavae svostveih vriedosti ( A I ) ili ( V T ) PRIMJER Rešio svostvei proble atrice: A t atriču edadžbu: A λ, gde so svostvee vriedosti ozačili s λ Karaterističa edadžba: det ( A λi ), odoso: λ λ λ ( λ) + λ λ Svostvee vriedosti su: λ ; λ ; λ ; Sad treba aći svostvee vetore uvrštavae vriedosti λ i u edadžbu: (A λi ) a) λ + + Ovo e sustav od hoogee lieare edadžbe s epozaice (o sao dvie liearo ezavise edadžbe), oi dae dvie relacie eđu opoetaa svostveog vetora, pr i Očigledo e da postoi besoačo ogo rešea Zato zadaeo dodati uvet oriraa oi zahtievao da e vadrat ore svostveog vetora eda (to e treća liearo ezavisa edadžba za tri opoete svostveog vetora), t : oi dae: (odabrat ćeo sao pozitivo rešee), pa e svostvei vetor atrice A oi pripada prvo svostveo vriedosti λ : () b) λ Potpuo aalogo dobiva se: 6

7 c) λ () () te, Lao e videti da su različiti svostvei vetori eđusobo ortogoali (u sladu s opći teoreo lieare algebre oi važi za svau heritsu atricu), t vriedi: ()+ () ()+ () ()+ () ii) POSTOJI DEGENERACIJA bar dvie od svostveih frevecia su edae U slučau da su dvie ili više svostveih vriedosti eđusobo edae, azivau se degeerirai i tada bro liearo ezavisih edadžbi za opoete pripadih svostveih vetora ie dovola za ihove edozačo određivae Bro degeeriraih svostveih vriedosti e stupa degeeracie atrice očigledo, ože uziati vriedosti od do Karaterističa edadžba (5) osigurava da edadžba (4) za svostvee vetore dae sao uvet za opoeti svaog svostveog vetora, a u slučau degeeracie, bro uveta e U liearo algebri se doazue teore oi aže da uvie postoi tzv Schidt-ov postupa ortogoalizacie, oi iz zahtieva da različiti svostvei vetori oi pripadau isto degeerirao svostveo vriedosti budu eđusobo ortogoali, osigurava dodatih uveta za svai svostvei vetor Uz dodati uvet oriraa +, to e uupo liearo ezavisih uveta za opoeti svaog od različitih svostveih vetora oi pripadau svostveo frevecii stupa degeeracie Uesto da doazueo ova teore, razotrio edostava prier s stupe degeeracie PRIMJER Rešio svostvei proble atrice: A Karaterističa edadžba λ λ (λ )( λ), λ dae: λ ; λ λ Rešio sad edadžbu za svostvee vetore (A λi ) 7

8 8 a) λ ;, pa iz uveta oriraa očigledo sliedi:, te oačo dobiao: () b) λ Jedadžba (4) dae: + t dobieo sao edu edadžbu: Postoe dva svostvea vetora () i () oa pripadau ovo svostveo vriedosti čie dvie opoete su potpuo proizvole ( pr i ) Uveti oriraa ()+ () ()+ (), te dodati uvet ortogoalosti: ()+ () oogućuu da se odrede sve opoete ovih vetora (precizie, iao uveta za 4 opoete zači edu opoetu orao odabrati proizvolo) Odaberio za prvu opoetu drugog svostveog vetora ulu Oda e: (), pa iz uveta ortogoalosti dobiao: () Sva tri svostvea vetora atrice A su oriraa i eđusobo ortogoala Na ova ači se uvie ogu odrediti svostvee frevecie i svostvei vetori

9 Norale oordiate Zači rešavae svostveog problea (4) atrice A T V uvie dobieo svostveih vriedosti i pripadih svostveih vetora () Svostvee vetore poredae ao stupce isoristio za forirae atrice C To zači da za opoete atrice C vriedi: C i i() i Pooću atrice C uvedio ove geeralizirae oordiate y i defiirae atričo edadžbo: C y (9) gde su i y vetori stupci, t atrice Matrica C e ortogoala er su ei stupci različiti svostvei vetori oi su eđusobo ortogoali, t, vriedi C C t pa e: y C t () Doažio da atrica C atričo trasforacio sličosti diagoalizira atricu ietiče eergie T a ediiču atricu, t da vriedi: C t T C I () Zaista, za dvie svostvee vriedosti i l edadžba (4) ili evivaleta edadžba (7) uz orišćee suacioe ovecie po i i dae: i V i () V i (l) T i () (o su po ) ( ) T l i (l), (o su po l) ( ) Kopleso ougiraa edadžba ( ) e: V i T ), (o su po l) ( ) i( l) l i i(l gde so isoristili realost i sietričost atrica poteciale i ietiče eergie Možeći ( ) s i(l), a ( ) s () i oduziae tao dobieih edadžbi, iao: ( ) T ) ( ) (o su po,l) l i i( l Kao su svostvee vriedosti reale i ao svostvee vetore taođer uvie ožeo odabrati da budu reali, dobiao: ( ) T i i(l) () ( l l ) (l)i T i () (o su po,l) ( ) Za l ora biti: T i i(l) () t (l)i T i () (C t T C) l, () a, za l uvie ožeo zahtievati da svostvei vetori zadovolavau ovi uvet oriraa: t ()i T i () (o su po ) () 9

10 Zade dvie edadžbe ožeo uediiti u edu: što u atričo fori pišeo: t ()i T i (l) δ l, (4) C t T C I () Jedadžba () predstavla uvet ortoogoalosti atrice C u prostoru oi ie Eulidsi i čii e etriči tezor T, s opoetaa T i oe su ostate eovise o oordiataa U tavo prostoru e salari produt dva vetora a i b: a b a i T i b, pa (4) predstavla uvet ortooriraosti svostveih vetora () u tavo prostoru Defiirao sad realu diagoalu atricu reda čii su diagoali eleeti svostvee vriedosti atrice A T V, t: V D l δ (o su po ) (5) l Svostvei proble atrice A iz (7) ožeo apisati ao: V i (l) T i (l) T i () δ l T i () l D V l ili u atričo otacii: V C T C V D Možeći slieva s C t zbog () e: V D C t V C (6) Zači, atrica C diagoalizira atricu T a ediiču atricu () i taođer diagoalizira V a V D ao u (6) Zato u ovi geeralizirai oordiataa C y (zači: t y t C t ) i poteciala i ietiča eergia iau zato edostaii obli Zaista, prea (4) i (6) e: U V i i iσ t V y t C t V C y t V D y (7) Posledu relaciu ožeo apisati i esplicito: U y (8) Kietiča eergia će zbog () u ovi oordiataa iati oš edostavii obli:

11 T t Σ i ti T i t t y C TC y y y t (9) Izražea pooću ovih geeraliziraih brzia ietiča eergia e esplicito: T y () Iz () i (8) se vidi da e u ovi geeralizirai oordiataa y i ietiča i poteciala eergia sustava zbro vadrata bez ešovitih člaova Zači, u prvo aprosiacii Lagragia alih oscilacia u blizii položaa stabile ravoteže bilo oeg ozervativog fizialog sustava s stupeva slobode gibaa eda e zbrou od Lagragiaa eovisih liearih haroičih oscilatora, t L L y y () Lagrage-ove edadžbe gibaa za y su: y + s rešee oe e prosto haroičo titrae: y (o su po ), () y A cos ( t + ϕ ) () Svaa ova geeraliziraa oordiata y e edostava haroiča fucia vreea oa sadrži sao edu svostveu freveciu sustava, pa se azivau orali oordiataa sustava svaa orala oordiata opisue prosto haroičo titrae sustava oo položaa stabile ravoteže s edo svostveo frevecio i to predstavla eda orali od titraa sustava Sve čestice, u svao poedio oralo odu, oscilirau s isto svostveo frefecio i fazo Bilo avo gibae sustava u blizii položaa stabile ravoteže ože se satrati sastavlei od lieare obiacie oralih odova s odgovaraući aplitudaa A i fazi fatoria ϕ Dale, u blizii položaa stabile ravoteže u prvo aprosiacii svai ozervativi fiziali sustav s stupeva slobode gibaa ože se satrati asablo od eovisih liearih haroičih oscilatora s svostvei freveciaa (oe se azivau svostvei freveciaa sustava), tao da se uupo gibae sustava sastoi od pobuđivaa različitih haroičih oslilatora (oralih odova osciliraa) s različiti fazaa i aplitudaa Uupo gibae e sadrži haroie svostveih frevecia zbog uveta alih oscilacia, t zahtieva da aplitude titraa budu ifiitiziale veličie Tao se dobie Lagragia oi e vadrata fucia oralih oordiata y i brzia y (er so zadržali sao prve eulte člaove u Taylorovi razvou () i (6) za potecialu i ietiču eergiu) Jaso e da lao ožeo sisteatsi uzeti u obzir i člaove recio trećeg reda po ifiiteziali veličiaa po cieu zatoih ateatičih opliacia

12 4 Prier: Male oscilacie trostruog ihala Razotrio sustav tri ateatiča ihala spoea elastiči oprugaa Radi edostavosti uzio da su ihala edae dulie l i ase i ea obe opruge iau istu ostatu ao a Fig z θ θ θ l l l Fig Trostruo ihalo Sustav ia tri stupa slobode gibaa i za geeralizirae oordiate odaberio uteve oe ihala čie s vertialo: θ, θ i θ Položa stabile ravoteže e aiži položa u oe su geeralizirae oordiate i poteciala eergia sustava (zbro gravitacisa poteciale eergie ihala i elastiče poteciale eergie opruga) edae uli Svao ihalo ia gravitacisu potecialu eergiu: U GR gz gl( cosθ) U slučau alih oscilacia e θ, pa ao cosθ razvieo u red iao: U GR gl( + θ! Svaa opruga ia elastiču potecialu eergiu U EL θ 4 + ) gl θ 4! gde e elogacia opruge, t l siθ (u prvo aprosiacii ožeo zaeariti elogaciu opruge u pravcu z-osi), pa e: U EL l {siθ siθ } + l {siθ siθ } Razviaući u red siθ θ θ + θ 5 i zadržavaući sao prvi čla u razvou! 5! dobiao za potecialu eergiu elastičog eđudelovaa ihala: U EL l { (θ θ ) + {(θ θ ) } Uupa poteciala eergia alih oscilacia sustava e zbro (4) i (5), t: U gl (θ + θ + θ ) + l {(θ θ ) + {(θ θ ) }, (6) što e vadrata fucia geeraliziraih oordiata ao u (4)

13 Kietiča eergia e vadrata fucia geeraliziraih brzia: T l ( θ + θ + θ ) (7) ao u (7) Upoređuući oeficiete uz θ i θ, izraze za poteciale i ietiču eergiu ožeo apisati u atričo fori U + V i T + T (ao u (7) odsad uesto θ geeralizirae oordiate ozačavao s ), gde e: V l T l, pri čeu so ozačili: l g ; Treba rešiti araterističu edadžbu: det(v T ) l ( + ){ 4 ( + ) + ( + )} Rešea ove edadžbe, t vadrati svostveih frevecia su: ; + ; + Svostvee vriedosti su različite pa ea degeeracie Odredio sad pripade svostvee vetore Za prvu svostveu vriedost edadžba (V T) () glasi: + + s rešee: Uz uvet oriraa: +, sliedi:, pa e prvi svostvei vetor: ()

14 Aalogi postupo dobiu se i druga dva svostvea vetora: () ; () 6 Očigledo e da su različiti svostvei vetori eđusobo ortogoali, t: ()+ () ()+ () ()+ () Matrica C čii su stupci svostvei vetori e: C 6 Prea (9) defiirao ove geeralizirae oordiate y : θ θ θ l C y t y l C t (8) Kao e prea (7) ietiča eergia T l + t θ θ, da bi dobili T y y u ovi oordiataa, orao u defiiciu (8) ulučiti l fatore Iz (8) za ove geeralizirae oordiate esplicito dobiao: y l y l y l ( θ + θ + θ ) 6 ( θ θ ) (9) 6 (θ θ + θ ) 6 Stare oordiate izražee preo ovih su: θ ( y + y + y ) l 6 θ ( y y ) (4) l 6 θ ( y y + y ) l 6 Lao se uveriti da su izrazi za potecialu i ietiču eergiu u ovi oordiataa: 4

15 V [ o y + ( + ) y + ( + ) y ] T y + y + y Lagragia alih oscilacia trostruog ihala izraže ao fucia oralih oordiata y e zbro Lagragiaa tri eovisa lieara haroiča oscilatora: L L + L + L y y (4) Rešee edadžbi gibaa dae zavisost oralih odova titraa y od vreea: y (t) A cos ( t + ϕ ), (4) gde se aplitude A i počete faze ϕ određuu iz početih uveta Proizvolo gibae ovog sustava edozačo se ože priazati ao lieara obiacia tri orala oda pr, zavisost origialih geeraliziraih oordiata od vreea dobia se iz (4) Norali odovi (ačii) osciliraa ovog sustava lao se vizualizirau iz odgovaraućih svostveih vetora: : y y y y y y - prvi orali od osciliraa zači titrae sva tri ihala uisoo, t s isto aplitudo i fazo (utovi alih oscilacia a slici su preuveličai radi pregledosti) + : y y y y y - srede ihalo irue, a dva raa oscilirau s isti aplitudaa i suproti fazaa 5

16 + : y y y y y y y - u treće oralo odu raa ihala titrau uisoo, a srede s dvostruo većo aplitudo i suproto fazo Prva dva orala oda osciliraa sustava su očeivaa, do treći od uopće ie očigleda Ova prier odličo ilustrira etod alih oscilacia oo položaa stabile ravoteže, ali e sa sustav veoa artificiela tri ihala spoea dvea oprugaa!!! Pogledao zato sada eda reali fiziali sustav 6

17 5 Titrae lieare troatose oleule Razotrio ale oscilacie sietriče lieare troatose oleule ao što e ugli-diosid CO, ou čie tri atoa oe leže a isto ravo liii Ovaav sustav repreztirao s tri čestice a pravcu, dvie s asaa, a treća, u sredii, s aso M U položau stabile ravoteže udaleost izeđu susedih čestica e l, ao a Fig l M l q q q Fig Model sietriče lieare troatose oleule Stvari, olicirai eđuatosi potecial aprosiirat ćeo s dvie ideale opruge ostate Jedostavosti radi, prvo ćeo razatrati edio titrae duž liie oleule Koordiate čestica ozačio q i, (i,,) Poteciala eergia sustava e oda: U ( q q l ) + ( q q l ) Uvedio ove oordiate oe ozačavau odstupaa čestica od položaa stabile ravoteže: i q i q i gde e: q q q q l ao a Fig, pa izraz za potecialu eergiu postae: Kietiča eergia sustava e: U ( ) + ( ) (4) T + + M (44) Matrice poteciale i ietiče eergie su: V i T M (45) Karaterističa edadžba e: V T M, što dae ubu edadžbu po : ( ){(+M) )}, 7

18 s rešeia: ; ; + M (46) Prva svostvea frevecia ože a prvi pogled izgledati izeađuuće Zaista, ovo rešee ie oscilatoro gibae er e pripada edadžba gibaa: i oo predstavla edoliu traslaciu cielog sustava, a avla se er e oleulu oguće traslirati duž ee osi bez iave proee poteciale eergie Pretpostavili so da sustav ia tri stupa slobode za vibraciso gibae duž osi ( uzeli so tri geeralizirae oordiate i ), do e, u stvarosti, eda od od ih stupa slobode gibaa oleule ao rutog tiela Načešće se proble alih oscilacia oo položaa stabile ravoteže reforilira tao da se odah eliiirau ulti odovi oi e predstavlau titrae oo položaa stabile ravoteže ego traslaciso ili rotaciso gibae cielog sustava ao rutog tiela Stupevi slobode gibaa rutog tiela ogu se eliiirati odah a početu zahtievo da e uupa oličia gibaa ula (t zahtievo da cetar ase sustava irue) za traslacise, te zahtievo da e uupi oet oličie gibaa sustava ula za rotacise stupeve slobode gibaa Pogledao druge dvie svostvee frevecie Frevecia e svostvea frevecia osciliraa ase a opruzi ostate, pa očeueo da u titrau sudelue sao rai atoi (s suproti fazaa), do središi ato irue Jedio u treće oralo odu sudelue i središi ato Potvrdio ovo tražee svostveih vetora oi su određei edadžbaa: zaedo s uveto oriraa: ( ) + ( M) ( ) + ( ), ( + ) + M ( ) Za iz prve i treće edadžbe ( ) sliedi da su sve tri opoete edae:, što iz uveta oriraa dae: + M Fatori ( ) iščezavau pa prva i treća edadžba ( ) poazuu da e, a druga da e, te iz uveta oriraa dobiao: ; ; Koačo, za, iz prve i treće edadžbe ( ) iao, pa e iz uveta oriraa: ( + ) M ; M ( + ) ; ( + ) M 8

19 Ovde dva vasa atoa titrau s isto aplitudo i fazo, a sredi titra u suproti fazi s drugačio aplitudo Sva tri orala oda logitudialih oscilacia lieare sietriče troatose oleule priazaa su a slici 4 Fig 4 Logitudialo titrae lieare sietriče troatose oleule Očigledo e da prvi orali od e pretstavla titrae oleule već eu traslaciu bez iave proee eđuatosih rastoaa Bilo oe logitudialo titrae oleule oe e ulučue traslaciu oleule ao rutog tiela e lieara obiacia oralih odova s freveciaa i Ilustracie radi, rešio isti proble eliiiraući ulti od odah a početu Zahtiev da cetar ase oleule irue, t da e q CM q CM, dae: za t t e (q + q ) + Mq ( + M)q CM, a za t t e (q + q ) + Mq ( + M)q CM, odale sliedi: ( + ) + M M ( + ) (47) i oogućava da iz Lagragiaa eliiirao edu oordiatu, recio Iz (4) i (44) za ietiču i potecialu eergiu iao u atričo otacii: i gde e: T U + a a + b b a + a a M ; b a ( + a) ; (48) b + b, (49) Dobiao proble s dva stupa slobode Vidio da i ietiča i poteciala eergia isu diagoale atrice 9

20 Lao se alaze rešea araterističe edadžbe det (V T) : i + b + a ( + M ) (5) Kao e ovo edostava proble s dva stupa slobode gibaa, a poučei već pozati rešee problea priazai a Fig4, uesto da rešavao cieli svostvei proble ožeo odah pogoditi orale oordiate s i a : s + i a (5) Izražee pooću sietriče i atisietriče obiacie oordiata, origiale variable su: ( s + a ) i ( s a ), (aravo i - a s ) što zaeo direto u (4) i (44) za ietiču i potecialu eergiu dae: T 4 + s + a (5) M 4 U + 4 M s + 4 a (5) Vidio da su i ietiča i poteciala eergia diagoale u ovi variablaa (e sadrže ešae člaove s a ) što zači da so pravilo odabrali orale oordiate s i a Prea (5) i (5), Lagragia logitudialih alih oscilacia sietriče lieare troatose oleule ože se apisati ao zbro: gde su: L 4 Ls + 4 a a + L a, (54) M a L a (55) a L s s s s + M s (56) Lagragiai dva eovisa lieara haroiča oscilatora svostveih frevecia: a i s + M (ostate oe ože L a i L s u (54) eau iavo fizialo začee er očigledo e uteču a edadžbe gibaa), oe su točo edae freveciaa i u priašo otacii Razatrali so sao titrae duž osi oleule Jaso e da uz ove logituale postoe i trasverzali stupevi slobode titraa (ooiti a os oleule)

21 Kopletosti radi, razotrio i trasverzala titraa ove oleule U prvo aprosiacii, poteciala eergia alih trasverzalih oscilacia zavisi sao od uta M (t egovog odstupaa od 8 ), er eđuatose sile u oleuli satrao cetrali zavisi sao o udaleosti atoa Miiala proea poteciale eergie oleule pri trasverzali poacia će astati ao rastoae atoa M i M ostae eproieeo l (sila izeđu tih atoa se e iea, a iea se sao, u pravilu slabia sila izeđu dva atoa) ao a Fig 5 l M l y l M l y Fig 5 Trasverzale ale oscilacie troatose oleule Uvet eliiiraa traslacioih i rotacioih ultih odova za trasverzale titrae zahtieva: - eliiira traslaciu duž y-osi, te: (y +y ) + My (57) y y (58) - eliiira rotaciu oo z-osi roz cetar ase, t roz ato M, što zači da razatrao sao sietriče trazverzale deforacie oleule za oe e y y Naedostavii ači da izračuao potecialu eergiu e da zaislio da se sila izeđu dva atoa ože aprosiirati idealo oprugo ostate i ravoteže dulie l Kotracia opruge uslied trasverzalih poaa e: gde e δ α odstupae uta M od π Za alo δ e u prvo aprosiacii: l l l(cosα + cosα ) l( - cosα) U ( l) l ( - cosα) l ( - cosα + cos α) l ( + α + ), Što oačo dae: gde e: U l α + l δ + (59) δ α taα l [(y y ) + (y y )] (6) Iz (57), (58) i (6) e: l y δ ; y y y + M Ml δ, ( + M )

22 što dozvolava da se cieli Lagragia trasverzalih alih oscilacia lieare troatose oleule izrazi pooću sao ede geeralizirae oordiate δ, t L ( y + y ) + M y l δ Ml [ δ ω δ ] (6) 4( + M ) gde e vadrat svostvee frevecie trasverzalih alih oscilacia lieare troatose oleule: ω ( + M ) M (6)

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1. Rešenje: Imamo sistem sa ekvivalentnim paralelnim serverima: λp 5. X=λ(1-p 5 ) X μ

Zadatak 1. Rešenje: Imamo sistem sa ekvivalentnim paralelnim serverima: λp 5. X=λ(1-p 5 ) X μ Zadatak U račuarskom etru ostoi soba sa 3 račuara. Soba e mala i u o, ored oih koi treuto rade, može da čeka oš dva korisika. Korisii dolaze ezaviso i slučao, u roseku 4 korisika a sat. Svaki korisik radi

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

z - transformacija Linearni, vremenski diskretan sustav je opisan jednadžbom diferencija

z - transformacija Linearni, vremenski diskretan sustav je opisan jednadžbom diferencija - trasforacia - trasforacia Lieari, vreeski diskreta sustav e opisa edadžbo diferecia ay + ay [ ] + ay [ ] +... + a y [ ] bu + bu [ ] + bu [ ] +... + b u [ ] a pobudu oblika u[]u partikularo rešee e y[]

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici. Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Linearni operatori. Stepenovanje matrica

Linearni operatori. Stepenovanje matrica Linearni operatori Stepenovanje matrica Nea su X i Y vetorsi prostori nad istim poljem salara K Presliavanje A : X Y zovemo operator Za operator A ažemo da je linearan ao je istovremeno 1 aditivan: A(u

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

DELJIVOST CELIH BROJEVA

DELJIVOST CELIH BROJEVA DELJIVOST CELIH BROJEVA 1 Osnovne osobine Definicija 1.1 Nea su a 0 i b celi brojevi. Ao postoji ceo broj m taav da je b = ma, onda ažemo da je a delitelj ili fator broja b, b je sadržalac, višeratni ili

Διαβάστε περισσότερα

Παρασκευή 1 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 1. Λύση. Παρατήρηση. Ασκηση 2. Λύση.

Παρασκευή 1 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 1. Λύση. Παρατήρηση. Ασκηση 2. Λύση. (, ) =,, = : = = ( ) = = = ( ) = = = ( ) ( ) = = ( ) = = = = (, ) =, = = =,,...,, N, (... ) ( + ) =,, ( + ) (... ) =,. ( ) = ( ) = (, ) = = { } = { } = ( ) = \ = { = } = { = }. \ = \ \ \ \ \ = = = = R

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h A n a l i s a M a n a j e m e n B P I H d i B a n k S y a r i a h I S S N : 2 0 8 7-9 2 0 2 I S L A M I N O M I C P e n e r b i t S T E S I S L A M I C V I L L A G E P e n a n g g u n g J a w a b H. M

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

U okviru prvog dijela predavanja predviđeno je da studenti savladaju slijedeće programske sadržaje:

U okviru prvog dijela predavanja predviđeno je da studenti savladaju slijedeće programske sadržaje: Predavaja iz predmeta Matematika za ekoomiste: I dio U okviru prvog dela predavaja predviđeo je da studeti savladaju sledeće programske sadržaje: Pojam matrice i operace s matricama Jediiča matrica raspoovaa

Διαβάστε περισσότερα

DESETA VEŽBA 1. zadatak:

DESETA VEŽBA 1. zadatak: DEETA VEŽBA zadata: Trasformator čiji su podaci: VA cu 4 W W u 5 % radi pri eom opterećeju uz fator sage φ 8 (id) ritom su omiali gubici u baru cu određei pri temperaturi od C Za radu temperaturu trasformatora

Διαβάστε περισσότερα

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I . Otnik tnsti = 00, kalem induktivnsti = mh i kndenzat kaacitivnsti = 00 nf vezani su aaleln, a između njihvih kajeva je usstavljen steidični nan efektivne vednsti = 8 V, kužne učestansti = 0 5 s i četne

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja Skupovi brojeva 17 Skupovi brojeva.1 Skup prirodih brojeva Skup N prirodih brojeva čie brojevi 1,,3,... Nad skupom prirodih brojeva defiisae su operacije sabiraja (+) i možeja ( ), čiji je rezultat takože

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Άσκηση 8 Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Δ. Φ. Αναγνωστόπουλος Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2013 Άσκηση 8 ii Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Πίνακας περιεχομένων

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

!!# $ %% %$ & % !'!  #$! " "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

Predavanja i vježbe 2

Predavanja i vježbe 2 Grupirane podataa: pristupi, metode i primene, letni semestar 2013./2014. 1 Predavana i vežbe 2 1.2 Particia supa. Definicia lastera-nastava Zadni puta smo definirali particiu supa A s m 2 elemenata na

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni principi kompresije 2D i 3D signala. 2D transformacija kompakcija energije. Estimacija pokreta u 3D signalima

Osnovni principi kompresije 2D i 3D signala. 2D transformacija kompakcija energije. Estimacija pokreta u 3D signalima OADP: Kompreija lie i ideo igala Ooi priipi ompreije D i 3D igala D traformaija ompaija eergije Katoaje D igala Kodoaje D igala Etimaija poreta u 3D igalima oi ad 06 traa OADP: Kompreija lie i ideo igala

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1 Sarò signor io sol Canzon, ottava stanza Domenico Micheli Soprano Soprano 2 Alto Alto 2 Α Α Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io sol Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io µ Tenor Α Tenor 2 Α Sa rò

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije 9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika krutog tijela. 14. dio

Dinamika krutog tijela. 14. dio Dnaka kutog tjela 14. do 1 Pojov: 1. Vekto sle F (tanslacja). Moent sle (otacja) 3. Moent toost asa 4. Rad kutog tjela A 5. Knetka enegja E k 6. Moent kolna gbanja 7. u oenta kolne gbanja oenta sle M (

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ04.01 5 ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής Όπως συμβαίνει στη φύση έτσι και ο άνθρωπος θέλει να πετυχαίνει σπουδαία αποτελέσματα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja izmjeničnih krugova

Metode rješavanja izmjeničnih krugova Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci

Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci 3 H 12.35 Y β Low 80 1 - - Betas: 19 (100%) 11 C 20.38 M β+, EC Low 400 1 5.97 13.7 13 N 9.97 M β+ Low 1 5.97 13.7 Positrons: 960 (99.7%) Gaas: 511 (199.5%) Positrons: 1,199 (99.8%) Gaas: 511 (199.6%)

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju.

zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju. zastori zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju. (mm) (mm) za PROZOR im (mm) tv25 40360 360 400 330x330 tv25 50450 450 500 410x410

Διαβάστε περισσότερα

i b, onda postoje jedinstveni q (kvocijent) (ostatak) takvi da je a = bq + r. , broj 5 dijeli broj n 5 n

i b, onda postoje jedinstveni q (kvocijent) (ostatak) takvi da je a = bq + r. , broj 5 dijeli broj n 5 n 4 Cel broev Sup prrodh broeva { 3K } Sup prrodh broeva ule 0 { 0} { 03K } Sup celh broeva { K 3 03 K} 4 Delvost u supu celh broeva Defca Nea su tao da e b a Svostva: Za \ { 0} Za b \ { 0} 3 Za b \ { 0}

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2.

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2. Vele u ehc Rd, g eegj D. do. Sl. Veo 3. Tezo II. ed 4. Tezo IV. ed. Sl: 3 0 pod je jedc (ezo ulog ed). Veo: 3 3 pod je jedc (ezo pog ed) 3. Tezo dugog ed 3 9 pod je jedc 4. Tezoeog ed 3 4 8 pod je jedc

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα