MALE OSCILACIJE. 1. Male oscilacije sustava

Transcript

1 Male oscilacie sustava MALE OSCILACIJE Razatrao ozervativi izolirai fiziali sustav s stupeva slobode gibaa Stae gibaa sustava opisao e supo od geeraliziraih oordiata i geeraliziraih brzia ( q i, q i ) gde e i,,, Sustav e opisa Lagragia-o: L( q i, q i ) T U, gde e poteciala eergia fucia položaa U U(q) Sustav e u položau ravoteže ada geerazirae sile oe deluu a ega iščezavau: Q i U, () q i što zači da u ravotežo položau sustava (q, q,, q ) poteciala eergia ia estre Ravoteži položa e edia ofuguracia u oo sustav ože irovati Soro svai fiziali sustav ia položa ravoteže: uleus, ato, oleula, ruto tielo, zviezda, plaetari sustav, galatia, Ravoteži položa ože biti stabila, estabila i idifereta stabila iiu od U estabila asiu od U idifereta estre višeg reda od U Ravoteži položa e stabila ao ali poa iz tog položaa rezultira edio ograičei gibae u blizii tog položaa Bilo aav ifietiziali poa (perturbacia) sustava iz estabilog (labilog) ravotežog položaa proizvodi eograičeo gibae oe trao odvodi sustav iz tog položaa Mali poa iz idiferetog ravotežog položaa e opet idifereti ravoteži položa Prier: čestica u gravitaciso polu u udolii, a vrhu briega ili a ravii Fig Obli rivula poteciale eergie u blizii položaa ravoteže

2 Zaia as gibae sustava u blizii položaa stabile ravoteže U slučau alih oscilacia, poaci iz ravotežog položaa su «ali» pa sve fucie oe opisuu sustav ožeo razviti u Taylor-ov red oo položaa stabile ravoteže Prvo uvedio ove geeralizirae oordiate i oe se ere od ravotežog položaa (ovo e uvie oguće, er zači sao traslaciu ishodišta): i q i q i ; i,, () Razviaući potecialu eergiu U oo q i, t oo i, dobiao; U(q,,q ) U(q,,q ) + U Σ i i q + i U Σ i + () q q i i Člaovi lieari po i autoatsi iščezavau ao posledica uveta ravoteže () Budući da e poteciala eergia defiiraa do a ostatu, ožeo odabrati da e ea vriedost u položau stabile ravoteže edaa uli: U U(q,,q ) Zaearuući ifiiteziale člaove višeg reda po i, dobiao izraz za potecialu eergiu sustava za sluča alih oscilacia oo položaa stabile ravoteže oi e vadrata fucia geeraliziraih oordiata i : U U Σ i q q i i Vii ; i,,, (4) iσ gde so druge derivacie poteciale eergie U u položau stabile ravoteže ozačili ostataa V i Očigledo e iz defiicie da su ostate V i sietriče, t V i V i i tvore eleete reale sietriče atrice V Razotrio sada razvo u red ietiče eergie sustava Budući da za izolirai sustav geeralizirae oordiate e sadrže vriee esplicito, ietiča eergia e hoogea vadrata fucua geeraliziraih brzia: T Σ t q q i i i Σ ti i (5) i Koeficieti t i su fucie geeraliziraih oordiata q i, t i, i ogu se razviti u red oo položaa stabile ravoteže: t i t i (q,,q ) + t i Σ q + (6) Kao e (5) već vadrato po ifiiteziali geeralizirai brziaa i, aprosiacia aižeg reda za ietiču eergiu dobie se zaearuući sve osi prvog člaa u razvou (6) Ozačavaući ostate vriedosti fucia t i u položau ravoteže s T i, ietiču eergiu ožeo pisati:

3 T Σ Ti i (7) i Opet e očigledo da ostate T i orau biti sietriče er i i outirau Iz (4) i (7) vidio da e Lagragia sustava oi vrši ale oscilacie oo položaa stabile ravoteže vadrata fucia geeraliziraih oordiata i brzia: L iσ T i i + Vii (8) Pripade Lagrage-ove edadžbe su: Σ T i + Vi Σ (9) Ovo e sustav od diferecialih edadžbi drugog reda s ostati oeficietia Sada trebao aučiti ao ih rešiti!

4 Jedadžba svostveih vriedosti Videli so da su edadžbe gibaa (9) svaog fizialog sustava oi ia položa stabile ravoteže u blizii tog položaa u prvo aprosiacii: Σ T i + Vi Σ () Da poedostavio otaciu pređio a atriči obli satraćeo T i eleetia reale, sietriče atrice T, a V i eleetia atrice V istog tipa Lagrage-ove edadžbe gibaa za ale oscilacie u atričo obliu glase: gde e vetor-stupac t atrica T + V () Možeći () slieva s atrico T, iverzo atrico od T (T uvie postoi, t T e regulara atrica er biso, u protivo, iali liearu zavisost geeraliziraih oordiata što e, po defiicii, eoguće), dobivao: + A, () gde e A T V Želio da rešee bude edostavo haroiso titrae e ± it oe zadovolava edadžbu gibaa: s uto frevecio + ; cost () Iz () i () e očigledo da e eophoda uvet da iao tavo rešee: A, (4) t ao e svostvei vetor atrice A oi pripada svostveo vriedosti, t svostveo frevecii sustava Zači, rešavae problea alih oscilacia svodi se a rešavae svostveog problea (4) atrice A T V Svostvee vriedosti atrice A su oriei araterističe edadžbe: ili, ožeći slieva s det T i : det ( A δ ), (5) det ( V i T i ) (6) Ovo e algebarsa edadžba stupa po i ea rešea su svostveih frevecia alih oscilacia fizialog sustava Pripade svostvee vetore određueo iz (4) ili iz evivalete edadžbe: ( V T ) (7) 4

5 Kao su V i T reale sietriče atrice sliedi da su svostvee vriedosti atrice A reale To e lao doazati Heritsi ougiraa edadžba (7) e: + V Možeći (7) slieva s +, a (8) zdesa s, dobivao: + T (8) + V + T + V pa oduziae sliedi da e: + T,, t R U liearo algebri se poazue da svaa heritsa atrica reda ia svostveih vetora po eda za svau svostveu freveciu Napoea: Jaso e da su atrice V i T heritse er su reale i sietriče, tao da e i atrica T heritsa No, produt dvie heritse atrice e heritsa atrica, ao i sao ao oe outirau U svao poedio slučau ože se proveriti da li atrice V i T outirau No, bez veliog ograičea općeitosti u lasičo fizici, to se ože pretpostaviti i i ćeo tao učiiti bez provere Tada e i atrica A T V heritsa, te e svostvei proble ia rešee, t postoi svostveih frevecia i ia pripadih svostveih vetora Ozačio svostvee vetore atrice A s (), gde e (,,, ) Za poedie opoete svostveih vetora uvedio otaciu : i () i Svostvee vriedosti atrice A su, osi toga, i pozitive što se vidi a sliedeći ači Poožio (7) s i i suirao po i : što dae: Vii Tii i,σ i, ΣV i ΣT i i i Σ, Na deso strai i broi i azivi su eegativi azivi e dvostrua ietiča eergia za brzie i a, broi e poteciala eergia za oordiate i uz uvet da e iiu te poteciale eergie ula, što zači da e: Sluča ulte svostee frevecie zahtieva posebo razatrae: titrae s frevecio ustvari ie titrae ego traslaciso ili rotaciso gibae cielog sustava ao rutog tiela i u prasi se eliiira dodati zahtevo da e brzia cetra ase sustava edaa uli Dosad so poazali da svai ozervativi fiziali sustav s stupeva slobode gibaa u blizii položaa stabile ravoteže ia svostveih frevecia oe su reale i eegative U zavisosti da li su te svostvee frevecie eđusobo različite ili isu iao dva slučaa: i) NEMA DEGENERACIJE svih svostveih frevecia su različite Rešavae araterističe edadžbe (5) ili (6) alazio svostvee frevecie, a zati određueo pripade svostvee vetore iz edadžbe: 5

6 uvrštavae svostveih vriedosti ( A I ) ili ( V T ) PRIMJER Rešio svostvei proble atrice: A t atriču edadžbu: A λ, gde so svostvee vriedosti ozačili s λ Karaterističa edadžba: det ( A λi ), odoso: λ λ λ ( λ) + λ λ Svostvee vriedosti su: λ ; λ ; λ ; Sad treba aći svostvee vetore uvrštavae vriedosti λ i u edadžbu: (A λi ) a) λ + + Ovo e sustav od hoogee lieare edadžbe s epozaice (o sao dvie liearo ezavise edadžbe), oi dae dvie relacie eđu opoetaa svostveog vetora, pr i Očigledo e da postoi besoačo ogo rešea Zato zadaeo dodati uvet oriraa oi zahtievao da e vadrat ore svostveog vetora eda (to e treća liearo ezavisa edadžba za tri opoete svostveog vetora), t : oi dae: (odabrat ćeo sao pozitivo rešee), pa e svostvei vetor atrice A oi pripada prvo svostveo vriedosti λ : () b) λ Potpuo aalogo dobiva se: 6

7 c) λ () () te, Lao e videti da su različiti svostvei vetori eđusobo ortogoali (u sladu s opći teoreo lieare algebre oi važi za svau heritsu atricu), t vriedi: ()+ () ()+ () ()+ () ii) POSTOJI DEGENERACIJA bar dvie od svostveih frevecia su edae U slučau da su dvie ili više svostveih vriedosti eđusobo edae, azivau se degeerirai i tada bro liearo ezavisih edadžbi za opoete pripadih svostveih vetora ie dovola za ihove edozačo određivae Bro degeeriraih svostveih vriedosti e stupa degeeracie atrice očigledo, ože uziati vriedosti od do Karaterističa edadžba (5) osigurava da edadžba (4) za svostvee vetore dae sao uvet za opoeti svaog svostveog vetora, a u slučau degeeracie, bro uveta e U liearo algebri se doazue teore oi aže da uvie postoi tzv Schidt-ov postupa ortogoalizacie, oi iz zahtieva da različiti svostvei vetori oi pripadau isto degeerirao svostveo vriedosti budu eđusobo ortogoali, osigurava dodatih uveta za svai svostvei vetor Uz dodati uvet oriraa +, to e uupo liearo ezavisih uveta za opoeti svaog od različitih svostveih vetora oi pripadau svostveo frevecii stupa degeeracie Uesto da doazueo ova teore, razotrio edostava prier s stupe degeeracie PRIMJER Rešio svostvei proble atrice: A Karaterističa edadžba λ λ (λ )( λ), λ dae: λ ; λ λ Rešio sad edadžbu za svostvee vetore (A λi ) 7

8 8 a) λ ;, pa iz uveta oriraa očigledo sliedi:, te oačo dobiao: () b) λ Jedadžba (4) dae: + t dobieo sao edu edadžbu: Postoe dva svostvea vetora () i () oa pripadau ovo svostveo vriedosti čie dvie opoete su potpuo proizvole ( pr i ) Uveti oriraa ()+ () ()+ (), te dodati uvet ortogoalosti: ()+ () oogućuu da se odrede sve opoete ovih vetora (precizie, iao uveta za 4 opoete zači edu opoetu orao odabrati proizvolo) Odaberio za prvu opoetu drugog svostveog vetora ulu Oda e: (), pa iz uveta ortogoalosti dobiao: () Sva tri svostvea vetora atrice A su oriraa i eđusobo ortogoala Na ova ači se uvie ogu odrediti svostvee frevecie i svostvei vetori

9 Norale oordiate Zači rešavae svostveog problea (4) atrice A T V uvie dobieo svostveih vriedosti i pripadih svostveih vetora () Svostvee vetore poredae ao stupce isoristio za forirae atrice C To zači da za opoete atrice C vriedi: C i i() i Pooću atrice C uvedio ove geeralizirae oordiate y i defiirae atričo edadžbo: C y (9) gde su i y vetori stupci, t atrice Matrica C e ortogoala er su ei stupci različiti svostvei vetori oi su eđusobo ortogoali, t, vriedi C C t pa e: y C t () Doažio da atrica C atričo trasforacio sličosti diagoalizira atricu ietiče eergie T a ediiču atricu, t da vriedi: C t T C I () Zaista, za dvie svostvee vriedosti i l edadžba (4) ili evivaleta edadžba (7) uz orišćee suacioe ovecie po i i dae: i V i () V i (l) T i () (o su po ) ( ) T l i (l), (o su po l) ( ) Kopleso ougiraa edadžba ( ) e: V i T ), (o su po l) ( ) i( l) l i i(l gde so isoristili realost i sietričost atrica poteciale i ietiče eergie Možeći ( ) s i(l), a ( ) s () i oduziae tao dobieih edadžbi, iao: ( ) T ) ( ) (o su po,l) l i i( l Kao su svostvee vriedosti reale i ao svostvee vetore taođer uvie ožeo odabrati da budu reali, dobiao: ( ) T i i(l) () ( l l ) (l)i T i () (o su po,l) ( ) Za l ora biti: T i i(l) () t (l)i T i () (C t T C) l, () a, za l uvie ožeo zahtievati da svostvei vetori zadovolavau ovi uvet oriraa: t ()i T i () (o su po ) () 9

10 Zade dvie edadžbe ožeo uediiti u edu: što u atričo fori pišeo: t ()i T i (l) δ l, (4) C t T C I () Jedadžba () predstavla uvet ortoogoalosti atrice C u prostoru oi ie Eulidsi i čii e etriči tezor T, s opoetaa T i oe su ostate eovise o oordiataa U tavo prostoru e salari produt dva vetora a i b: a b a i T i b, pa (4) predstavla uvet ortooriraosti svostveih vetora () u tavo prostoru Defiirao sad realu diagoalu atricu reda čii su diagoali eleeti svostvee vriedosti atrice A T V, t: V D l δ (o su po ) (5) l Svostvei proble atrice A iz (7) ožeo apisati ao: V i (l) T i (l) T i () δ l T i () l D V l ili u atričo otacii: V C T C V D Možeći slieva s C t zbog () e: V D C t V C (6) Zači, atrica C diagoalizira atricu T a ediiču atricu () i taođer diagoalizira V a V D ao u (6) Zato u ovi geeralizirai oordiataa C y (zači: t y t C t ) i poteciala i ietiča eergia iau zato edostaii obli Zaista, prea (4) i (6) e: U V i i iσ t V y t C t V C y t V D y (7) Posledu relaciu ožeo apisati i esplicito: U y (8) Kietiča eergia će zbog () u ovi oordiataa iati oš edostavii obli:

11 T t Σ i ti T i t t y C TC y y y t (9) Izražea pooću ovih geeraliziraih brzia ietiča eergia e esplicito: T y () Iz () i (8) se vidi da e u ovi geeralizirai oordiataa y i ietiča i poteciala eergia sustava zbro vadrata bez ešovitih člaova Zači, u prvo aprosiacii Lagragia alih oscilacia u blizii položaa stabile ravoteže bilo oeg ozervativog fizialog sustava s stupeva slobode gibaa eda e zbrou od Lagragiaa eovisih liearih haroičih oscilatora, t L L y y () Lagrage-ove edadžbe gibaa za y su: y + s rešee oe e prosto haroičo titrae: y (o su po ), () y A cos ( t + ϕ ) () Svaa ova geeraliziraa oordiata y e edostava haroiča fucia vreea oa sadrži sao edu svostveu freveciu sustava, pa se azivau orali oordiataa sustava svaa orala oordiata opisue prosto haroičo titrae sustava oo položaa stabile ravoteže s edo svostveo frevecio i to predstavla eda orali od titraa sustava Sve čestice, u svao poedio oralo odu, oscilirau s isto svostveo frefecio i fazo Bilo avo gibae sustava u blizii položaa stabile ravoteže ože se satrati sastavlei od lieare obiacie oralih odova s odgovaraući aplitudaa A i fazi fatoria ϕ Dale, u blizii položaa stabile ravoteže u prvo aprosiacii svai ozervativi fiziali sustav s stupeva slobode gibaa ože se satrati asablo od eovisih liearih haroičih oscilatora s svostvei freveciaa (oe se azivau svostvei freveciaa sustava), tao da se uupo gibae sustava sastoi od pobuđivaa različitih haroičih oslilatora (oralih odova osciliraa) s različiti fazaa i aplitudaa Uupo gibae e sadrži haroie svostveih frevecia zbog uveta alih oscilacia, t zahtieva da aplitude titraa budu ifiitiziale veličie Tao se dobie Lagragia oi e vadrata fucia oralih oordiata y i brzia y (er so zadržali sao prve eulte člaove u Taylorovi razvou () i (6) za potecialu i ietiču eergiu) Jaso e da lao ožeo sisteatsi uzeti u obzir i člaove recio trećeg reda po ifiiteziali veličiaa po cieu zatoih ateatičih opliacia

12 4 Prier: Male oscilacie trostruog ihala Razotrio sustav tri ateatiča ihala spoea elastiči oprugaa Radi edostavosti uzio da su ihala edae dulie l i ase i ea obe opruge iau istu ostatu ao a Fig z θ θ θ l l l Fig Trostruo ihalo Sustav ia tri stupa slobode gibaa i za geeralizirae oordiate odaberio uteve oe ihala čie s vertialo: θ, θ i θ Položa stabile ravoteže e aiži položa u oe su geeralizirae oordiate i poteciala eergia sustava (zbro gravitacisa poteciale eergie ihala i elastiče poteciale eergie opruga) edae uli Svao ihalo ia gravitacisu potecialu eergiu: U GR gz gl( cosθ) U slučau alih oscilacia e θ, pa ao cosθ razvieo u red iao: U GR gl( + θ! Svaa opruga ia elastiču potecialu eergiu U EL θ 4 + ) gl θ 4! gde e elogacia opruge, t l siθ (u prvo aprosiacii ožeo zaeariti elogaciu opruge u pravcu z-osi), pa e: U EL l {siθ siθ } + l {siθ siθ } Razviaući u red siθ θ θ + θ 5 i zadržavaući sao prvi čla u razvou! 5! dobiao za potecialu eergiu elastičog eđudelovaa ihala: U EL l { (θ θ ) + {(θ θ ) } Uupa poteciala eergia alih oscilacia sustava e zbro (4) i (5), t: U gl (θ + θ + θ ) + l {(θ θ ) + {(θ θ ) }, (6) što e vadrata fucia geeraliziraih oordiata ao u (4)

13 Kietiča eergia e vadrata fucia geeraliziraih brzia: T l ( θ + θ + θ ) (7) ao u (7) Upoređuući oeficiete uz θ i θ, izraze za poteciale i ietiču eergiu ožeo apisati u atričo fori U + V i T + T (ao u (7) odsad uesto θ geeralizirae oordiate ozačavao s ), gde e: V l T l, pri čeu so ozačili: l g ; Treba rešiti araterističu edadžbu: det(v T ) l ( + ){ 4 ( + ) + ( + )} Rešea ove edadžbe, t vadrati svostveih frevecia su: ; + ; + Svostvee vriedosti su različite pa ea degeeracie Odredio sad pripade svostvee vetore Za prvu svostveu vriedost edadžba (V T) () glasi: + + s rešee: Uz uvet oriraa: +, sliedi:, pa e prvi svostvei vetor: ()

14 Aalogi postupo dobiu se i druga dva svostvea vetora: () ; () 6 Očigledo e da su različiti svostvei vetori eđusobo ortogoali, t: ()+ () ()+ () ()+ () Matrica C čii su stupci svostvei vetori e: C 6 Prea (9) defiirao ove geeralizirae oordiate y : θ θ θ l C y t y l C t (8) Kao e prea (7) ietiča eergia T l + t θ θ, da bi dobili T y y u ovi oordiataa, orao u defiiciu (8) ulučiti l fatore Iz (8) za ove geeralizirae oordiate esplicito dobiao: y l y l y l ( θ + θ + θ ) 6 ( θ θ ) (9) 6 (θ θ + θ ) 6 Stare oordiate izražee preo ovih su: θ ( y + y + y ) l 6 θ ( y y ) (4) l 6 θ ( y y + y ) l 6 Lao se uveriti da su izrazi za potecialu i ietiču eergiu u ovi oordiataa: 4

15 V [ o y + ( + ) y + ( + ) y ] T y + y + y Lagragia alih oscilacia trostruog ihala izraže ao fucia oralih oordiata y e zbro Lagragiaa tri eovisa lieara haroiča oscilatora: L L + L + L y y (4) Rešee edadžbi gibaa dae zavisost oralih odova titraa y od vreea: y (t) A cos ( t + ϕ ), (4) gde se aplitude A i počete faze ϕ određuu iz početih uveta Proizvolo gibae ovog sustava edozačo se ože priazati ao lieara obiacia tri orala oda pr, zavisost origialih geeraliziraih oordiata od vreea dobia se iz (4) Norali odovi (ačii) osciliraa ovog sustava lao se vizualizirau iz odgovaraućih svostveih vetora: : y y y y y y - prvi orali od osciliraa zači titrae sva tri ihala uisoo, t s isto aplitudo i fazo (utovi alih oscilacia a slici su preuveličai radi pregledosti) + : y y y y y - srede ihalo irue, a dva raa oscilirau s isti aplitudaa i suproti fazaa 5

16 + : y y y y y y y - u treće oralo odu raa ihala titrau uisoo, a srede s dvostruo većo aplitudo i suproto fazo Prva dva orala oda osciliraa sustava su očeivaa, do treći od uopće ie očigleda Ova prier odličo ilustrira etod alih oscilacia oo položaa stabile ravoteže, ali e sa sustav veoa artificiela tri ihala spoea dvea oprugaa!!! Pogledao zato sada eda reali fiziali sustav 6

17 5 Titrae lieare troatose oleule Razotrio ale oscilacie sietriče lieare troatose oleule ao što e ugli-diosid CO, ou čie tri atoa oe leže a isto ravo liii Ovaav sustav repreztirao s tri čestice a pravcu, dvie s asaa, a treća, u sredii, s aso M U položau stabile ravoteže udaleost izeđu susedih čestica e l, ao a Fig l M l q q q Fig Model sietriče lieare troatose oleule Stvari, olicirai eđuatosi potecial aprosiirat ćeo s dvie ideale opruge ostate Jedostavosti radi, prvo ćeo razatrati edio titrae duž liie oleule Koordiate čestica ozačio q i, (i,,) Poteciala eergia sustava e oda: U ( q q l ) + ( q q l ) Uvedio ove oordiate oe ozačavau odstupaa čestica od položaa stabile ravoteže: i q i q i gde e: q q q q l ao a Fig, pa izraz za potecialu eergiu postae: Kietiča eergia sustava e: U ( ) + ( ) (4) T + + M (44) Matrice poteciale i ietiče eergie su: V i T M (45) Karaterističa edadžba e: V T M, što dae ubu edadžbu po : ( ){(+M) )}, 7

18 s rešeia: ; ; + M (46) Prva svostvea frevecia ože a prvi pogled izgledati izeađuuće Zaista, ovo rešee ie oscilatoro gibae er e pripada edadžba gibaa: i oo predstavla edoliu traslaciu cielog sustava, a avla se er e oleulu oguće traslirati duž ee osi bez iave proee poteciale eergie Pretpostavili so da sustav ia tri stupa slobode za vibraciso gibae duž osi ( uzeli so tri geeralizirae oordiate i ), do e, u stvarosti, eda od od ih stupa slobode gibaa oleule ao rutog tiela Načešće se proble alih oscilacia oo položaa stabile ravoteže reforilira tao da se odah eliiirau ulti odovi oi e predstavlau titrae oo položaa stabile ravoteže ego traslaciso ili rotaciso gibae cielog sustava ao rutog tiela Stupevi slobode gibaa rutog tiela ogu se eliiirati odah a početu zahtievo da e uupa oličia gibaa ula (t zahtievo da cetar ase sustava irue) za traslacise, te zahtievo da e uupi oet oličie gibaa sustava ula za rotacise stupeve slobode gibaa Pogledao druge dvie svostvee frevecie Frevecia e svostvea frevecia osciliraa ase a opruzi ostate, pa očeueo da u titrau sudelue sao rai atoi (s suproti fazaa), do središi ato irue Jedio u treće oralo odu sudelue i središi ato Potvrdio ovo tražee svostveih vetora oi su određei edadžbaa: zaedo s uveto oriraa: ( ) + ( M) ( ) + ( ), ( + ) + M ( ) Za iz prve i treće edadžbe ( ) sliedi da su sve tri opoete edae:, što iz uveta oriraa dae: + M Fatori ( ) iščezavau pa prva i treća edadžba ( ) poazuu da e, a druga da e, te iz uveta oriraa dobiao: ; ; Koačo, za, iz prve i treće edadžbe ( ) iao, pa e iz uveta oriraa: ( + ) M ; M ( + ) ; ( + ) M 8

19 Ovde dva vasa atoa titrau s isto aplitudo i fazo, a sredi titra u suproti fazi s drugačio aplitudo Sva tri orala oda logitudialih oscilacia lieare sietriče troatose oleule priazaa su a slici 4 Fig 4 Logitudialo titrae lieare sietriče troatose oleule Očigledo e da prvi orali od e pretstavla titrae oleule već eu traslaciu bez iave proee eđuatosih rastoaa Bilo oe logitudialo titrae oleule oe e ulučue traslaciu oleule ao rutog tiela e lieara obiacia oralih odova s freveciaa i Ilustracie radi, rešio isti proble eliiiraući ulti od odah a početu Zahtiev da cetar ase oleule irue, t da e q CM q CM, dae: za t t e (q + q ) + Mq ( + M)q CM, a za t t e (q + q ) + Mq ( + M)q CM, odale sliedi: ( + ) + M M ( + ) (47) i oogućava da iz Lagragiaa eliiirao edu oordiatu, recio Iz (4) i (44) za ietiču i potecialu eergiu iao u atričo otacii: i gde e: T U + a a + b b a + a a M ; b a ( + a) ; (48) b + b, (49) Dobiao proble s dva stupa slobode Vidio da i ietiča i poteciala eergia isu diagoale atrice 9

20 Lao se alaze rešea araterističe edadžbe det (V T) : i + b + a ( + M ) (5) Kao e ovo edostava proble s dva stupa slobode gibaa, a poučei već pozati rešee problea priazai a Fig4, uesto da rešavao cieli svostvei proble ožeo odah pogoditi orale oordiate s i a : s + i a (5) Izražee pooću sietriče i atisietriče obiacie oordiata, origiale variable su: ( s + a ) i ( s a ), (aravo i - a s ) što zaeo direto u (4) i (44) za ietiču i potecialu eergiu dae: T 4 + s + a (5) M 4 U + 4 M s + 4 a (5) Vidio da su i ietiča i poteciala eergia diagoale u ovi variablaa (e sadrže ešae člaove s a ) što zači da so pravilo odabrali orale oordiate s i a Prea (5) i (5), Lagragia logitudialih alih oscilacia sietriče lieare troatose oleule ože se apisati ao zbro: gde su: L 4 Ls + 4 a a + L a, (54) M a L a (55) a L s s s s + M s (56) Lagragiai dva eovisa lieara haroiča oscilatora svostveih frevecia: a i s + M (ostate oe ože L a i L s u (54) eau iavo fizialo začee er očigledo e uteču a edadžbe gibaa), oe su točo edae freveciaa i u priašo otacii Razatrali so sao titrae duž osi oleule Jaso e da uz ove logituale postoe i trasverzali stupevi slobode titraa (ooiti a os oleule)

21 Kopletosti radi, razotrio i trasverzala titraa ove oleule U prvo aprosiacii, poteciala eergia alih trasverzalih oscilacia zavisi sao od uta M (t egovog odstupaa od 8 ), er eđuatose sile u oleuli satrao cetrali zavisi sao o udaleosti atoa Miiala proea poteciale eergie oleule pri trasverzali poacia će astati ao rastoae atoa M i M ostae eproieeo l (sila izeđu tih atoa se e iea, a iea se sao, u pravilu slabia sila izeđu dva atoa) ao a Fig 5 l M l y l M l y Fig 5 Trasverzale ale oscilacie troatose oleule Uvet eliiiraa traslacioih i rotacioih ultih odova za trasverzale titrae zahtieva: - eliiira traslaciu duž y-osi, te: (y +y ) + My (57) y y (58) - eliiira rotaciu oo z-osi roz cetar ase, t roz ato M, što zači da razatrao sao sietriče trazverzale deforacie oleule za oe e y y Naedostavii ači da izračuao potecialu eergiu e da zaislio da se sila izeđu dva atoa ože aprosiirati idealo oprugo ostate i ravoteže dulie l Kotracia opruge uslied trasverzalih poaa e: gde e δ α odstupae uta M od π Za alo δ e u prvo aprosiacii: l l l(cosα + cosα ) l( - cosα) U ( l) l ( - cosα) l ( - cosα + cos α) l ( + α + ), Što oačo dae: gde e: U l α + l δ + (59) δ α taα l [(y y ) + (y y )] (6) Iz (57), (58) i (6) e: l y δ ; y y y + M Ml δ, ( + M )

22 što dozvolava da se cieli Lagragia trasverzalih alih oscilacia lieare troatose oleule izrazi pooću sao ede geeralizirae oordiate δ, t L ( y + y ) + M y l δ Ml [ δ ω δ ] (6) 4( + M ) gde e vadrat svostvee frevecie trasverzalih alih oscilacia lieare troatose oleule: ω ( + M ) M (6)